一元一次方程组范文

导语：如何才能写好一篇一元一次方程组，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、重点、难点分析

本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．难点是了解二元一次方程组的解的含义．这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作二元一次方程组的解．用大括号来表示二元一次方程组的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答．这是克服这一难点的关键所在．

二、知识结构

本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、二元一次方程组（用描述的语言）以及二元一次方程组的解等概念．

三、教法建议

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．

3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．

4．为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如

和矛盾方程组如

等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0（因为这种数学中的特例较少实际意义）当然，作为特例，出现类似

之类的二元一次方程组是可以的，这时可以告诉学生，方程（1）中未知数的系数为0，方程（1）也看作一个二元一次方程．

教学设计示例

一、素质教育目标

（－）知识教学点

1．了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念．

2．会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．

3．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力．

（三）德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度．

（四）美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情．

二、学法引导

1．教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法．

2．学生学法：理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（－）重点

使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．

（二）难点

了解二元一次方程组的解的含义．

（三）疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个二元一次方程组的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点．在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．

3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及二元一次方程组的概念并会判断一对未知数的值是否为二元一次方程组的解．

（二）整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及二元一次方程组的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验二元一次方程组解的问题．

（三）教学过程

1．创设情境、复习导入

（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例．

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学元一次方程做铺垫．

（2）列一元一次方程求解．

香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答．

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克．

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？

设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点．

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程．

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—二元一次方程组．

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解．

2．探索新知，讲授新课

（1）关于二元一次方程的教学．

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习．

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由．

①②③

④⑤⑥

练

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程．

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2．

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解．

练习三

课本第6页练习1．

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（或）每取一个值，另一个未知数（或）就有惟一的值与它相对应．

练习四

填表，使上下每对、的值满足方程．

师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为．

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解二元一次方程组奠定了基础．

（2）关于二元一次方程组的教学．

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程．因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起．

练习五

已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？

①②

③④

【教法说明】练习五有助于学生理解二元一次方程组的概念，目的是避免学生对二元一次方程组形成错误的认识．

对于前面的问题，列二元一次方程组要比列一元一次方程容易些．根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说

是二元一次方程组

的解．

学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言．

教师纠正、指导后板书：

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例题判断是不是二元一次方程组的解．

学生活动：口答例题．

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．

3．尝试反馈，巩固知识

练习：（1）课本第6页第2题目的：突出本节课的重点．

（2）课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性．

4．变式训练，培养能力

练习：（1）P84．

【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础．

（2）P8B组1．

【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．

2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．

八、布置作业

（一）必做题：P73．

（二）选做题：P8B组2．

（三）预习：课本第9～13页．

篇2

“三元一次方程组”是苏科版《义务教育教科书・数学》（以下简称“修订版教材”）七年级下册第十章第4节内容（选学）.

就教材地位变化而言，苏科版《义务教育实验教科书・数学》（以下简称“实验版教材”）将“三元一次方程组”作为第十章（二元一次方程组）章末的阅读材料（转化）呈现.由于学习目标定位为“阅读”，所以常态的教学法就是让学生课后看看而已，没有明确的阅读指向，甚至忽略不计，这对后续用待定系数法求解二次函数解析式、圆的一般方程等通式、通法带来不便.如若学生不会解三元一次方程组，就会造成知识断层或解题思路中途搁浅.因此，就这个层面而言，三元一次方程组的地位有待提高，有必要与二元一次方程组并肩行走.尽管，修订版教材为此作了必要的微调，将其“阅读”地位提升到“选学”行列，但依然不能解决学生不会解的问题.直面考试的压力，大多数教师经常挂在口边的一句话“不考的坚决不讲”，何况是选学，怎么可能讲？相信基于继后学习以及知识结构化的需要，三元一次方程组将会与二元一次方程组齐头并进，携手同行.

就课程标准指向而言，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程内容中指出，“能解简单的三元一次方程组.”其实，要达成这一目标并不像说得那样简单，学生学过了二元一次方程组的解法，解的过程依然磕磕绊绊，没学的可想而知.课标在实施建议中指出，“教材内容的呈现要体现数学知识的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用的过程，并关注对学生人文精神的培养.”这里的“整体性”在一定层面上就要求一次方程组要平行行走，门当户对，当然也包括三元一次方程组.可是，高中教材没留位置，初中教材也没妥善安置，而后续的求解却要用到解三元一次方程组的技术，这就势必产生矛盾.要解决这一矛盾就必须给它合适的位置，在文本空间限量的情况下，只能在教学设计中预留领地.事实上，教材可以在不违背数学知识逻辑关系的基础上，根据学生的数学认知规律、知识背景和活动经验，合理的安排学习内容，形成自己的编排体系，体现出自己的风格和特色.这就表明在设计空间弹性限度内，借助校本教材、特色课堂的展演，能解决编者因文本所限而无法解决的问题.

就思想方法孕伏而言，三元一次方程组的解法和应用是转化思想和化归方法的具体表现，思维行走的线路是：三元二元一元.“转化思想方法”不仅是具体知识的精髓，而且是数学课堂教学的灵魂，一直伴随着方程成长，伴随着岁月长大，无处不在、无处不用.

在学习一元一次方程的解法时，让学生明确解方程的过程是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤，将所给方程转化为最简方程x=a的过程.在学习一次方程组的解法时，继续孕育转化思想，让学生明确解一次方程组的过程就是用代入消元或加减消元，将“多元”转化为“一元”的过程.在一次方程（组）的基础上，以“一元二次方程”“可化为一元一次、二次方程来解其他方程”“二元二次方程组”等方程内容为载体，通过教师对蕴涵思想的不断揭示和学生自身的内化，以此领悟并形成转化思想，进而由学生个体归结出解方程组的基本思想：无理方程有理化、分式方程整式化、高次方程低次化、多元方程一元化，凝结为一句话，消元降次简单化.

2特色教学设计与思考

2.1领悟教材

站在初中三年甚至未来六年的层面研读教材是一种教学智慧，能提升课堂教学的执行力.

三元一次方程组在“实验版教材”中编写意图是思想方法大于数学结论，借助生活中转化事例（运动员的姓名转化为号码）、数形转化（引入绝对值就能将实数转化为两点间的距离）、数与式内部运算的转化（引入相反数和倒数就将有理数减法转为加法、除法转化为乘法）以及由方程（组）辗转而来的转化（方程建模可将实际问题转化为数学问题，探求解方程组问题可采用代入消元或加减消元将二元转化为一元）等事项将“转化”的方法变迁为学生的解题思想.然后直白提出，运用“转化”的思想方法，你能解三元一次方程组吗？在说明（只要设法消去某个未知数就可以将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解）的帮助下，借助“试一试”，让学生自主完成求解思路的探求与表达.由此可见，教材行走线路是：转化示例转化思想运用转化方法求解深化认识转化思想.沿着这样的思考主线展开，遵循了学生的认知规律，利于思想方法的孕伏，但疏于解题技艺，不利于后续解题.我们深知强势的“解题关”不过，所有的思想方法在解题视界将沦为“鸡肋”.因此，就某种角度而言，打造解题技艺尤为必要.

“修订版教材”为获取三元一次方程组的求解技艺和思想方法，高仿二元一次方程组的母版.沿着“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的模式设置了三个活动.活动1是以人人喜爱的“足球运动”为载体，借助“比赛赋分规则”将实际问题转化为数学问题，在建模思想的参与下将数学问题转化为求解三元一次方程组问题.这一思维提炼的过程就是三元一次方程组发生、发展和应用的过程.在“试一试”活动的谐振下，借助小明和小丽的旁白（代入消元和加减消元），能让学生明白如何将三元一次方程组转化为二元一次方程组.在已有的解二元一次方程组经验的支持下，不仅能获得正确结论，还切身领悟转化的思想方法.这一编写序列表明在思维最近发展区内施教，不仅符合学生获得新知的习惯，利于学生思维梯度推进，而且外显教材蕴涵的教学价值.活动2设置一道解三元一次方程组的典例.学生在获得解题经验的基础上，求解不是难事，关键是教师要全方位下放“学权”，学生的作答路径才会是开放的、喜人的；若只是教师“表演”，则教学效果将大打折扣，也就体现不了例题应有的教学价值，违背了编者的设计初衷.在探求例题求解的过程中，插入“想一想”活动，能让学生深度参悟转化思想的支点是消元的方法，利于学生理解“终于思想，源于经验”的微言大义.活动3是具有诊断功能的练习和习题，解方程组具有梯度性，能满足学生学习的个性化需要；第105页104习题的第2题则是二次函数通式求法的范例，为后续用待定系数法求二次函数解析式埋下伏笔.遗憾的是圆的一般方程求法没有触及，出现知识短暂性脱节的现象，延缓了思维伸长的速度.事实上，思维的连续性是排斥因简单而牺牲过程为代价的.

2.2特色设计

活动目标

1.在具体情境中体验三元一次方程组的建立以及求解过程，进一步领悟“模型”思想.

2.能灵活选用消元方法解简单的三元一次方程组，感受运用转化思想的必要性.

活动过程

活动一：学一学

1.足球比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某足球队赛了22场得47分，且胜的场数比负的场数的4倍还多2.该球队胜、平、负各多少场？

2.三个小动物年龄的和是26岁.流氓兔比加菲猫大1岁，流氓兔年龄的两倍与米老鼠的年龄之和比加菲猫大18岁.求三个小动物的年龄.

设计理念基于学生的爱好兴趣不一样，试图满足个性化学习的需要，提供不同的学习载体，让学生自主选择自己喜欢的问题情境，借此激发思维兴趣的正状态.

活动二：练一练

解方程组：

（1）x+y=20

y+z=19

x+z=21（2）x-y+z=7

x+y=-1

2x-y-z=0

（3）3x-y+z=10

x+2y-z=6

x+y+z=12

设计理念三个方程组的求解过程都具有极强的开放性，不同的消元视角，探解的思路不同.因为每道题未知数的系数具有均衡性，洗练的效果是殊途同归的.这种选材视点既展现一题多解的合情性，还提供了多样化学习的操作范式.

活动三：议一议

1.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=5；当x=1时，y=1；当x=2时，y=2.求a、b、c的值.

2.在方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，当x=-1时，y=0；当x=0时，y=1；当x=-2时，y=1.求D、E、F的值.

设计理念基于数学学习的循序渐进性，为预防知识真脱节，特设课时长远目标性问题，能为继后的二次函数和圆的一般方程的待定求解铺路架桥.

活动四：试一试

1.请任意写出一个三元一次方程组并求解.

2.编制一道以三元一次方程组x+y+z=22

3x+y=47

x=4z+2为模型且符合实际意义的应用型问题.

设计理念立足于“学以致用”的教学观，让学生经历创编问题的过程，感受编者的思维求索过程，深度体悟知识的来龙去脉，挖掘学生的创造潜能.

活动说明

本次活动是借用校本教研时间，改教师间的互动研讨为观察学生的特色学习（游戏、竞赛或小老师的说教等丰富多样的自助形式）.立足于学生全方位自学，下放“组织权”于组内，让学生自行确定学法以及测量学习效果.是一节真正无老师的课堂，所有的教师都是听众抑或学习者，学习效果毋容置疑.为选学而又必学的课程提供一种特色示范，丰富了校本教研的内涵，奠定了学有所优的格局，其中饱含理念的升华和境界的高远.

3对教学设计的两点认识

31欣赏教材应有“度”

教材是达成课程目标、实施教学的重要资源，但绝不是金科玉律，更不是真理的化身，不是不容改动的.因此，欣赏教材应有度.“越度”的教学行为会带来些许不良的后果.要么迷信教材，僵化地使用教材，照本宣科.导致活生生的知识变成了死知识，教师教的死，学生学的板，用的僵硬，束缚了思维的手脚，剥夺了学生创造的契机；要么轻视教材，脱离课本，信马由缰，不分青红皂白的堆砌中考题，举轻若重，远离课程目标，打乱学生学习的心理程序，辜负编者的整编意图，不能实现教材应有的教育价值.因此，欣赏教材理应把握好“度”.本文设计示例就是沿着课本指向，秉持开放理念（兴趣开放、解法开放、思维开放），融入学情、教情、实情、方法、思想供选择性学习的需要，借以提升学习效能.显然，适度的欣赏是对教材的尊重和理解，也是对学生认知规律的尊重，能更好地发挥教材的教育功能，同时也是对编者劳作的尊重和认可.

3.2重组教材应有“心”

教材教材宜教之材.教材能为学习活动提供基本线索和实施素材，不同素材践行的方式不同；同一素材，施教的方式也是千差万别的，这就是教学的辩证法，是对具体学情的有力回应，是对教材进行重组和开发的结果.亦如“一千个读者，就有一千零一个哈姆雷特”的研读观.其实，教材开发的过程就是课堂即将运行的脉络路径，怎样的开发视角就有怎样的教学行为.浅层的开发，造就花架式课堂，表面热热闹闹，实质缺乏数学味，遮蔽数学教学的本质，是一种“假开发”、“粗开发”.尤其是当下的有些赛课，不乏其现象.生活化情境一个接一个，问题接二连三，短短的45分钟能提问上百次，只需回答是或否的频率高.就课堂表征看，学生玩的开心，学的快乐，笑声频频，事实上，缺乏真思考.风声大，雨点小，没有实质性的真收获，只是一种过程性的过场或过场性的过程，是对数学本质的误解.契合学情，基于教材，融入年龄特点、认知情绪、思维惯性、教育规律等教学因子，创造性的增删、重组、改编问题.让问题贴合学生最近发展区，活动吻合学生的能力区，思维行走在学生的经验潜能区，方法衍生在努力伸手可触区，唯有这样，方能让学生得到原本应有的发展.另一侧面是对教材的敬畏和理解，让学生收获真知的同时也发展了自己，创造了专业快速成长的契机.因此，重组教材贵在有“心”.参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011：2-7.

[2]杨裕前，董林伟.义务教育数学课程标准实验教科书（苏科版・七年级下册）[M].南京：江苏科学技术出版社，2008：98-99.

[3]杨裕前，董林伟.义务教育数学课程标准实验教科书（苏科版・七年级下册）[M].南京：江苏科学技术出版社，2012：103-105.

篇3

【关键词】 初中数学；应用题；一元一次方程；二元一次方程组

列方程是解决数学应用题的一种有效方法，它可以帮助学生理清题目中的等量关系，促进学生积极地思考题目中的数量关系，从而设置未知数，根据他们之间的关系列出有效的方程，进而解决应用题. 但是根据题目是列一元一次方程还是二元一次方程组仍然是一个让学生很困惑的问题，教师要引导学生帮助学生分析题目中的数量关系，促进学生顺利地列出方程并解答.

一、列一元一次方程解数学应用题

对于数学应用题的解答采用列方程的方法会达到事半功倍的效果，它会帮助学生梳理数学问题中的各个数量关系，让学生对于知识进行深入理解和探究. 常用的解一元一次方程的应用题通常有行程问题、工程问题、调配问题、分配问题、配套问题以及增长率问题等方面的问题. 教师在教学中可以把这些数学问题给学生归类，使学生能够清楚地了解他们之间的数量关系，从而轻松地设出一个未知数，找到等量关系，顺利地解答问题. 例如：某厂一车间有64人，二车间有56人. 现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半. 问需从第一车间调多少人到第二车间？这就是一道典型的劳动力调配问题，为了解决这类问题，教师就可以引导学生通过列一元一次方程的方式来解决这类问题. 在解题时教师首先要带领学生搞清楚人数的变化，使学生能够理清题目中的数量关系，从而解决问题.

二、列二元一次方程解数学应用题

需要列二元一次方程来解决的应用题比一元一次方程的应用题要复杂，学生需要设置两个未知数，并且理清这两个未知数之间的关系. 学生在解题时要从整体上考虑，列出符合要求的代数式. 二元一次方程一般涉及两个未知数x和y，根据题意以及题目中的数量关系，学生可以列出两个数量关系，构成一个方程组. 例如：一个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加上后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是几？根据题目的要求，学生设出两个未知数，根据他们的数量关系，学生可以列出x + y = 7；10x + y = 10y + x. 通过学生对于题目的分析，学生可以充分地理解题意，进而总结出题目中的数量关系，总结出这两组关系式. 通过学生对于题目的阅读，学生可以找到两个相等的关系，从而列出代数式，帮助学生顺利地解决问题.

三、二元一次方程与一元一次方程的区别

二元一次方程与一元一次方程最大的区别就是他们的未知数的数量是不同的，二元一次方程中包含了两个未知数，而一元一次方程中只有一个未知数，解答起来要更容易、简便. 学生通过对于题目的阅读可以轻松地梳理出一个数量关系的方程式就可以列出一个一元一次方程，而一个未知数无法解决问题时，学生则应该考虑到采用列方程组的形式，列出两个未知数.

例如教师设置问题：某加工厂用稻谷加工大米出米率为70%，现在加工大米100公斤，设要这种稻谷多少公斤？通过学生对于问题的阅读，学生会发现这是一元一次方程中经常会出现的增长率方面的问题. 学生可以设需要这种稻谷x公斤，通过题目中给出的关系，学生可以列出方程：70%x = 100. 简单的一元一次方程就可以解决问题. 但是面对题目中出现了复杂的数量关系的应用题时，学生则要考虑二元一次方程. 通过对于题目中的数量关系的分析和判断来寻找有效的数量关系. 例如：某班学生参加义务劳动，男生全部挑土，女生全部抬土，这样安排恰需筐68个，扁担40根，问这个班男生、女生各有多少人？通过对于题目的分析，学生可以设班级男生为x人，女生为y人，用方程组可以列出方程组2x + ■ = 68；x + ■ = 40. 题目中有两个数量关系，学生根据题目的要求可以列出两组方程，构成一个方程组.

在选择是用一元一次方程还是二元一次方程时，学生首先需要认真阅读题目，了解题意，通过题目中的数量关系学生在确定解题几个未知数，进而确定所使用的方程.

四、二元一次方程与一元一次方程的联系

二元一次方程与一元一次方程并不是完全独立的，学生要想顺利地解答二元一次方程就必须要掌握一元一次方程的解法. 学生通过对于一元一次方程的学习，可以掌握方程的解法，进而把这样的解决问题的方法引用到解二元一次方程中，让学生能够顺利地解决问题，提高学生的解题能力. 一元一次方程的解法是学元一次方程的前提. 学生要想学好二元一次方程就必须要把一元一次方程的解法学好，为二元一次方程的学习打下一个坚实的基础，促进学生综合素质的提高和进步.

总之，在教学中教师要关注教学方法的指导，让学生通过思考和探究能够掌握解题策略，学会分析问题，促进学生的可持续发展. 通过教师有效的指导，学生会更加明确一元一次方程和二元一次方程的区别和联系，在解决应用题过程中快速地分析题目中的数量关系，设置出有效的方程组，促进学生学习能力的提高和数学解题能力的提高.

【参考文献】

篇4

《分式方程》是人教版八年级下册第16章第3节的内容，是在学习完一元一次方程和二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又一种方程的解法。分式方程的解法是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。

二、学情分析

在学习本章之前，我们已经学习了整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），学生对于整式方程特别是一元一次方程的解法已经比较熟悉，而分式方程的未知数在分母中，它的解法比一元一次方程和二元一次方程组复杂，需要通过转化思想，把分式方程转化成一元一次方程来解。

三、教学目标

知识与技能：理解分式方程的定义；掌握解分式方程的基本思路和方法；理解分式方程可能无解的原因，并掌握分式方程验根的方法。

过程与方法：经历“实际问题——分式方程——整式方程——求解——检验解的合理性”的探索过程，发展学生分析问题、解决问题的能力；渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。

情感、态度与价值观：培养学生乐于探究、合作学习的习惯；培养学生的进取心，体会数学的应用价值。

四、教学重点及难点

分式方程的解法及理解分式方程无解的原因。

五、教学流程

1.忆一忆

（1）什么叫方程？什么叫方程的解？

（2）解-这个一元一次方程的步骤。

（设计意图：以旧引新，便于学生接受）

2.猜一猜

板书课题“分式方程”，让学生猜一猜其概念，结合分式和方程的特点，学生易得出：分母中含有未知数的方程叫分式方程。

（设计意图：学生在回忆的基础上很容易猜出分式方程的概念，使学生感受到数学并不难，从而树立学好数学的信心。）

3.辨一辨

判断下列方程是不是分式方程，并说出为什么？

（1）=-5 （2）9x+4= （3） =2（4）=-1

（设计意图：学生可以很容易的判断出分式方程，进一步巩固分式方程的概念；对于这个方程在判断方程是否为分式方程时，不能化简，以形式为准）

4.想一想

想一想=的解是什么？怎样去解这个方程呢？

（设计意图：引导学生用已学过的知识解决现在的问题。通过去分母，方程两边同乘以各分母的最简公分母，让学生了解转化的思想）

5.试一试

（1）= （2） =

解：方程两边同乘以（x+5）（x-5）得：x+5=10 解得x=5，解：方程两边同是乘以x（x-3）得2x=3（x-3） 解得x=9

（设计意图：提醒学生检验，对比两个方程发现（1）的解代回到原方程，分母为零，引入增根定义）

6.议一议

分式方程为什么会产生增根？（两边都乘以了一个零因式，但这个根是整式方程的解）所以分式方程的检验代入最简公分母即可，提出“分式方程能不检验吗”？通过讨论使学生得出分式方程必须检验，因为分式方程的检验是为了看是不是增根，而不是检验对错，所以必须检验。

7.说一说

总结出解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。

（2）解这个整式方程。

（3）把整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使最简公分母为零的值是原方程的增根，必须舍去。

可简单记作：一化二解三检验。

（设计意图：让学生对所学知识上升到一个理论高度）

8.做一做

（1）= （2）=

篇5

(一)知识教学点

会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理.

(二)能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力.

(三)德育渗透点

1.体会代数方法的优越性.

2.向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想.

3.向学生进行理论联系实际的教育.

(四)美育渗透点

学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美.

二、学法引导

1.教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法.

2.学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解.

三、重点·难点·疑点及解决办法

(一)重点与难点

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组.

(二)疑点

正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程.

(三)解决办法

通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键.

四、课时安排

一课时.

五、教学具学具准备

投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题.

2.师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤.

3.通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺.

七、教学步骤

(一)明确目标

本节课主要学习列二元一次方程组解应用题.

(二)整体感知

列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组.

(三)教学过程

1.创设情境、导入新课

(1)根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程.

①甲、乙两数的和是10.

②甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70.

③买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元.

(2)甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件.已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件?

①列出一元一次方程和二元一次方程组解题.

②比较一下，两种方法得到的结果是否相同?是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易?

学生活动：第(1)题口答，第(2)题在练习本上完成.

【教法说明】第(1)题为根据相等关系列二元一次方程打下了基础;第(2)题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣.

2.探索新知，讲授新课

例1小华买了80分与2元的邮票共16枚，共花了18元8角，80分与2元的邮票各买了多少枚?

分析：(1)题中有几个未知数?分别是什么?

(2)题中有几个相等关系?分别是什么?

学生活动：观察、分析后回答.

未知数：80分邮票枚数与2元的邮票枚数.

相等关系(1)80分邮票枚数+2元邮票枚数=总枚数.

(2)80分邮票总价+2元邮票总价=全部邮票总价.

学生活动：设未知数、根据相等关系列方程.

解：设共买枚80分邮票，枚2元邮票，根据题意得

解这个方程组，得

答：80分邮票买了11枚，2元邮票买了5枚.

强调：(1)选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义.

(2)列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成.

(3)得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句.

反馈练习：P351，2.(只列不解)

例2小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分;做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分.平均每1个小狗与1个汽车各用多少时间?

仿照刚才分析例1的方法，分析问题.

学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答.

教师根据学生的拟题板书.

两个未知数：平均做1个小狗的时间与1个小汽车的时间

(1)做4个小狗的时间+做7个小汽车的时间=3时42分

(2)做5个小狗的时间+做6个小汽车的时间=3时37分

解题过程由学生完成，一个学生板演.

解：设平均做1个小狗用分，做1个小汽车有分，根据题意，得

解这个方程组，得

答：平均做一个小狗用17分，做1个小汽车用22分.

【教法说明】例2用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力.

反馈练习：P353，4.

学生活动：口答、设未知数、列方程组.

3.变式训练，培养能力

用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒?

分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系.

相等关系：(1)制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=150张.

(2)盒底总数=2×盒身总数.

解：设用张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒.根据题意，得

(四)总结、扩展

我们这节课学习了二元一次方程组的应用，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗?

学生发言后，老师适当补充、纠正.

八、布置作业

(一)必做题：P391，2，3.

(二)选做题：P41B组2.

(三)补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数.

参考答案

(一)1.到甲地130人，到乙地70人.

2.有28个队参加篮球赛，20个队参加排球赛.

3.长38㎝，宽16㎝.

(二)解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货吨、吨，根据题意，得

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二、用加减法解下列方程 组

三、选择适当的方法解方程组

四、列二元一次方程组解下列应用题1、加工某种产品需经两道工 序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一第 二道工序所完成 的件数相等。

2 .我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”

3.有48支队520名运动员参加篮排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，没命运动员只参加一项比 赛。篮排球队各有多少支参赛？

4.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5小时后到达县城。他骑车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全场20千米。他骑车 与步行各用多少小时

5.一条船顺流航行，每小时行20km ;逆流航行；每小时行16km，求轮船在静水中的速度与水的速度。

篇7

从七年级学习数学以来，我们已掌握了许多刻画现实世界的数学模型，如一元一次方程模型、不等式模型、函数模型等，通过本章的学习我们认识到一元二次方程是又一个重要的数学模型. 数学来源于生活，服务于生活，当一个问题情景中蕴含未知量和数量关系时，方程就自然而然出现了，所以当我们用数学的眼光去看实际问题时，最关键的是确定用数学的方法解决和解释实际问题，至于何时会出现一元二次方程，不能刻意而为，而是顺应背景、水到渠成的，并且它和一元一次方程模型一样，都属于方程模型.

二、 抽象思想

1. 把现实生活中的具体问题抽象到数学中来

如：长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3 m. 问：梯子底端向右滑动的距离会是梯子顶端向下滑动的距离的2倍吗？

在这样的生活情境中，我们可以抽象出一个三边长分别是3 m、4 m、5 m的直角三角形，梯子底端向右滑行的距离和顶端向下滑动的距离是两个未知量（实际上只有一个未知量，设为x），本题的目标是要找到一个梯子顶端向下滑动的距离x的值，使得（4-x）、（3+2x）和5构成一个斜边长为5的直角三角形，因此就得到了等量关系（4-x）2+（3+2x）2=52，整理得到一个含有未知数x的方程：5x2+4x=0. 这个实际问题中，关键是抽象出几何图形，题中的等量关系则是建立方程模型的条件.

2. 从数量到数量的抽象

解一元二次方程的源头是直接开平方法，如果一个一元二次方程能够变形为（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常数），当k≥0时就可以用直接开平方法求解. 同学们都知道这种解一元二次方程的方法叫配方法，但关键是如何“配方”得到（x+h）2的形式.

我们不妨从熟悉的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2进行抽象：将a看作x，将b看作h，则上面的等式就可以表示为x2+2hx+h2=（x+h）2，其中2h相当于x的一次项系数，则h相当于x的一次项系数的一半. 由此我们不难抽象出配方法的一般步骤：对于任何一个一元二次方程，我们首先将二次项系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就可以得到（x+h）2的形式.

抽象的思想无处不在，我们从乘法公式中抽象出了数学中重要的配方法. 你能不能在今后的数学学习中用抽象的思想得到某个结论或方法呢？去尝试一下吧！

三、 化归思想

“化归”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题. 一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法这几种解法，都是用“化归”的数学思想方法求解.下面就四种方法分别加以说明.

直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程.我们可以利用平方根的定义“化归”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为mx+n=±■，分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根.

配方法：适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（当然一般的形如ax2+bx+c=0，a≠0也可用，但不一定是最合适的方法）.这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“化归”为上述形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程，然后再用直接开平方法求解.

因式分解法：这种方法平时用得较多，适用于等式左边能分解成几个一次因式的积，而右边必须为零形式的一元二次方程.这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如（a1x+c1）（a2x+c2）=0的方程，从而“化归”为a1x+c1=0、a2x+c2=0，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解.

公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单.但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小数值的情况下才考虑使用该方法.

化归思想就是把新问题转换成熟悉的旧方法去解决，在初中数学中还有许多运用：如解二元一次方程化归为一元一次方程，分式方程化归为整式方程，二元二次方程组化归为二元一次方程组或代入消元化归为一元二次方程，平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线化归为三角形问题等. 由此可见熟练掌握化归数学思想，对增强解题能力、改善知识结构、提高数学素养大有裨益.

四、 数学方法

回顾解一元二次方程的各种解法，从中我们能感受到不少常见的数学方法.

1. 学习知识的路径：从简单到复杂

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），先学习ax2=0（a≠0）的解法，再学习ax2+bx=0（a≠0）的解法，最后学习ax2+bx+c=0（a≠0）的解法.

2. 解决问题的办法：“降次”转化

无论是直接开平方法、配方法或因式分解法，都实现了从一元二次方程向一元一次方程的转化，这也告诉了我们，当遇到新问题时，应该尝试用已有的知识或方法去解决未知的问题，将不熟悉的转化为熟悉的，将未知的转化为已知的，将高次的转化为低次的，将多元的转化为少元的.

3. 从特殊到一般

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）通过配方，得到x+■2=■，当b2-4ac≥0时，可以得到方程的求根公式x=■. 因此，只要一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式非负，就可以直接由公式计算得到方程的根，具有一般性.

4. 对立和统一

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第二章：整式的加减

1、单项式：；单独的一个数或一个字母也是单项式

2、系数：；

3、单项式的次数：；

4、多项式：；

叫做多项式的项；的项叫做常数项。

5、多项式的次数：；

6、整式：；

7、同类项：；

8、把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；

合并同类项后，所得项的系数是合并同前各同类项的系数的和，且字母部分不变。

9、去括号：（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同

（2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反

10、一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项

第三章：一次方程（组）

一、方程的有关概念

1、方程的概念：

（1）含有未知数的等式叫方程。

（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。

2、等式的基本性质：

（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。若a=b，则a+c=b+c或a–c=b–c。

（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。若a=b，则ac=bc或

二、解方程

1、移项的有关概念：

把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据。把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要变号。

2、解一元一次方程的步骤：

解一元一次方程的步骤

主要依据

1、去分母

等式的性质2

2、去括号

去括号法则、乘法分配律

3、移项

等式的性质1

4、合并同类项

合并同类项法则

5、系数化为1

等式的性质2

6、检验

3、二元一次方程组

（1）将二元一次方程用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；

（2）解二元一次方程组的指导思想是转化的思想；

（3）解二元一次方程组的方法有：加减消元法；代入消元法；

二、列方程解应用题

1、列方程解应用题的一般步骤：

（1）将实际问题抽象成数学问题；

（2）分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系；

（3）设未知数，列出方程；

（4）解方程；

（5）检验并作答。

2、一些实际问题中的规律和等量关系：

（1）几种常用的面积公式：

长方形面积公式：S=ab，a为长，b为宽，S为面积；正方形面积公式：S=a2，a为边长，S为面积；

梯形面积公式：S=，a，b为上下底边长，h为梯形的高，S为梯形面积；

圆形的面积公式：，r为圆的半径，S为圆的面积；

三角形面积公式：，a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S为三角形的面积。

（2）几种常用的周长公式：

长方形的周长：L=2（a+b），a，b为长方形的长和宽，L为周长。

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关键词：阅读；途径；方法；原则

叶圣陶老先生曾说：“教，是为了不教。”老师的主导作用不是给学生“鱼”，而是教会他们怎样“渔”。阅读是现代社会人们汲取知识的重要手段之一，中学生在学习数学的过程中，阅读教材是掌握好数学知识的重要途径，是培养学生自学能力的有效方法，也是新课程改革下需要对学生培养的能力之一。学生通过阅读数学教材和有关资料可以获得比较全面系统的数学知识，掌握准确的数学语言和表达方法，对于理解和把握数学规律，打开创新思维的大门，促使学生按认知规律进行有效数学学有好处。因此，在中学数学教学过程中，教师应该重视指导学生阅读教材和相关材料，注重培养学生阅读能力，教给学生一些方法，培养学生自主学习数学知识。

一、阅读能力培养的途径

随着市场经济的发展，教学改革已经在进行中，变“要学生学”为“学生要学”是主旋律。改革中要求教师用教材教，而如何教会学生阅读课本，利用课本提供的信息，学生动脑动手，在迫切需要的情景下获取知识是教学的关键所在。目前，教师还没有充分利用课本，学生不会看书，死做题，做死题的现象比较严重，如果再不改变现状，数学教学就不能适应形势发展的需要。就我们目前学生的水平看，不少学生词汇理解能力差，如果不进行阅读教学就很难理解数学中定义、定理、法则，理解规律和其本质就尤为困难，提高教学质量，就变成“巧妇难为无米之炊”的事。

新的教学知识如果涉及数学规律，教师主要引导学生通过观察和实验给学生一个客观形象的感性认识，不必苛求学生对数学规律字面的掌握，不过教师要列出重要的实验事实，详细说明前提条件和操作步骤，提出关键问题，引导学生在读教材中尽可能解决和发现新问题，得出一般性的结论（可以与书本上的表达方式有差别）。例如，在讲授“多边形内角和”一节内容时，教师可演示：把正方形和长方形中任意画一条对角线，把正方形和和长方形都分成两个三角形，据三角形内角和定理提出正方形和长方形内角和，与我们知道的一致，再指出多边形的内角和有多少度的问题，这样，学生有了初步的认识以后，学生阅读教材时，理解多边形内角和定理是顺理成章的事。

教师可以引导学生在巩固已有知识的基础上所要求学习的新知识做好铺垫，通过新旧知识的联系，使之自然过渡到新知识中。例如，在研究二元一次方程组的解法时，教师首先应该复习一元一次方程的解法，因为二元一次方程组在解决过程中，不管用代入消元法还是加减消元法，其目的在于将二元一次方程化为一元一次方程，若不熟悉一元一次方程的解法，然后再进行二元一次方程组的解决研究，学生学习时自然从一元一次方程的解法过渡到二元一次方程组的解法中。

二、阅读方法的指导

在数学教学过程中，教师忽视课内阅读的现象较普遍，长期以来不少人认为多做习题，数学即可取得好成绩，然而在我看来，学好数学的关键还是应当熟悉教材，透彻的理解概念、定理、公式，在此基础上再精讲多练。在数学阅读教学中，教师要指导学生：阅读概念，透彻地理解概念，才能为以后学习定理，运用概念打下坚实的基础；阅读定理，对于每一条定理必须分清条件、结论。必须让学生弄清其中的关键词语，然后再思考，某些条件下更换后会得出什么结论，这样可以加深学生对定理的理解和记忆；阅读定理证明，典型例题和关键性结论，教材中的定理证明及例题向学生揭示一些典型的主题及解题方法，阅读时不仅要学生弄懂定理的证明或解题的过程，可以让学生模仿证明或解题，这样不仅可以培养学生的逻辑思维能力，而且可以规范解题过程。

三、数学阅读教学过程中应遵循的原则

数学阅读教学的目的是提高学生学习数学的能力，加强数学语言表达的能力，但数学学科有其自身的特点，在阅读教学中应遵循以下原则：

1.遵从“要我读”到“我要读”，从“我要读”到“我爱读”，从“我爱读”到“我会读”的规律，让学生形成良好的读书习惯。

2.在阅读中遵从学生实际水平，学生的阅读和教师的辅导阅读应该相结合。

3.阅读形式力求多样，要适合学生兴趣。

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所谓“系统思维”就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系、相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。

初中数学中，数、式及其运算，方程与不等式，一次函数、二次函数，三角形、四边形等等，都是一个系统。但考虑到学生发展的水平层次需要，教材也是将各部分错落安排在了三年的不同阶段中。也只有当教师进行中考总复习时，才会将各个板块整合在一个系统下来看待，以强调其中的关联性。那我们能否可以在平常的教学活动中就让学生不断地体会感悟数学知识之间的联系系呢，比如概念课。结合区里开展的“预学先行，小组合作”教学模式，我作了以下尝试。

二、教材内容分析

浙教版数学八下2.1《一元二次方程》是一节概念课，又是这一章的起始课，教材的处理方式是用两个来源于生活和生产实际中的问题作为情境，由学生列出两个一元二次方程，感受一元二次方程的产生过程，并从而得出一元二次方程的定义。

如果只从教材教的角度分析本节课的教学内容，就容易忽视各种类型方程之间的关系。对于学生来说，一元二次方程已经不是一个独立的新的知识，只是一元一次方程向多元高次方程的一个延续。所以，应该顺着方程学习的经验，在系统的思维下审视这堂概念课，对课程资源进行有效整合，改变教学内容的呈现方式和顺序，让学生感受到数学的整体性。这种基于系统思维下的数学概念课教学，我把它理解为：旧经验，类比迁，其义见，新知建，整体联，横纵延。

三、课前自学预案设计说明

1.你能任意写一个一元一次方程吗？你还记得一元一次方程是如何定义的吗？

设计说明：这样设计，由简入手，并让学生回忆所学，为类比一元二次方程的定义做铺垫。

2.请你在下列五个代数式中选取两个，用等号连接，构建尽可能多的方程。

2x+1，4，x2，y，x3

（1）请指出你所写的方程中哪些是我们学过的，哪些是我们没学过的？

（2）你所写的方程中哪些是一元一次方程？

（3）你能类比一元一次方程的概念给一元二次方程下个定义吗？

（4）你所写的方程中哪些是一元二次方程？

（5）为了方便学习一元二次方程，预习书本后你能写出它的一般形式吗？

（6）你能给其他方程命名吗？

设计说明：第2题的一连串问题是基于以下的考虑，在学生构建方程（这里针对的是整式方程）的过程中，势必跌宕起伏，有些方程熟悉，有些方程陌生，便会心生疑惑，而我们正是要解学生这一惑，在学生已有的方程知识基础上（一元一次方程）类比迁移出一元二次方程的概念，而同时对“元”――未知数的个数和“次”――未知数的最高次数这两个概念更进一步深入了解，以达到可以对高次多元方程进行命名而不陌生的目的，在系统内对方程这个大家族有一个更深刻的认识。

3.学习一元一次方程时我们从哪几方面入手？你觉得我们可以学习一元二次方程的哪些方面？

设计说明：这一问题的设置，也是建立在学生已有的方程学习经验上，方程的概念，方程解的概念，方程的解法，方程的应用等等，也是可以迁移到一元二次方程身上来的。让学生明白方程的学习可以建立在系统的思维下，也更能深刻地理解知识都是有联系和传承的，学习是有经验的。结合之前所提到的高次多元方程，虽然我们暂时不接触类似方程，但如果学到也可以类比基础方程的学习经验。

四、课中研学学案设计说明

1.概念认知。同桌合作，写出两个方程，使方程①不是一元二次方程，并写出不是的原因；使方程②是一元二次方程，并指出其一般形式，二次项系数，一次项系数和常数项。

设计说明：活动的目的是为了更好得辨识一元二次方程一般形式。同桌对学，学生自主编题，教师挑选优秀自编方程板演到黑板，由其他小组同学回答相关问题。这一过程可发挥学生的自主能动性和创造力，让学生站在命题者的高度去思考问题。恰恰也就是这些出自于学生之手的方程，是很多老师上课举例讲解的例题或是习题，而且形式各样，并且具有代表性，学生的想象力，创造力和模仿能力超过预期。

2.解法探究。独学完成：①已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。

②已知一元二次方程x2+bx+c=0的两个根为x1=3和x2=-1，求这个方程。

设计说明：学生之前提及了一元一次方程和二元一次方程组的解的概念，再次熟悉方程学习的思维架构。设置一元二次方程的解（或根）的应用，习题难度设置具有梯度性。学生投影展示讲解，增强语言组织能力，表达分析能力。

3.颗粒归仓。设计说明：学生自主小结，回味系统思维下的方程观，以及所学的一元二次方程。让学生明白一元二次方程从哪里来，到哪里去，是怎样去的，并感悟数学知识是有机并相互联系的。

五、系统思维教学感悟