数学智力题及答案范文
时间：2023-03-18 06:36:58
导语：如何才能写好一篇数学智力题及答案，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
“鸽巢原理”（一）
知识梳理
把4本书放进3个抽屉中，为什么不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进2本书？
方法一：枚举法
把4本书放进3个抽屉中，一共有上面4种情况，每种情况总有一个抽屉里至少放进2本书。
方法二：数的分解法
把4分解成3个数，如下图所示：
把4分解成3个数，共4种情况，每种情况分得的3个数中，至少有一个数是大于或等于2的。
方法三：假设法
把4本书放进3个抽屉中，假设先在每个抽屉中放1本书，那么3个抽屉就放了3本书，把剩下的1本书放入任何一个抽屉中，这个抽屉就有2本书了。
由此说明，把4本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进2本书。
1.
关键词解析
“总有”是一定要有的意思；“至少”是指最小的限度，可能比已知情况多，也可能与已知情况相等。
2.
“鸽巢原理”（一）
（1）把4本书放进3个抽屉中，总有一个抽屉中至少有2本书。同理，把5本书放进4个抽屉中，总有一个抽屉中至少有2本书。……
得出：只要放的书本数比抽屉的数量多1，就总有一个抽屉中至少放进2本书。
（2）如果放的书本数比抽屉的数量多2，也是总有一个抽屉中至少放进2本书。如果放的书本数比抽屉的数量多3，也是总有一个抽屉中至少放进2本书。……
得出：把书放进抽屉中，只要放的书本数比抽屉的数量多，就总有一个抽屉中至少放进2本书。
总结：把个物体任意分放进n个“鸽巢”中（>，和是非0自然数），那么一定有一个“鸽巢”中至少放进了2个物体。
例题1
某小学有367名2008年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？
解答过程：2008年是闰年，这年应有366天。把366天看作366个“鸽巢”，将367名小朋友看作367个物体。这样，把367个物体任意分放进366个“鸽巢”里，总有一个“鸽巢”里至少放进2个物体。因此至少有2名小朋友的生日相同。
答：至少有2名小朋友的生日相同。
技巧点拨：制造“鸽巢”是正确运用原理解题的关键。
例题2
11名学生到老师家借书，老师的书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本。至少有几名学生所借的书的类型完全相同？
解答过程：列表找出借一本书和借两本不同类型的书的所有可能情况。
借一本书
A、B、C、D
4种
借两本不同类型的书
AB、AC、AD、BC、BD、CD
6种
合计
10种
把这10种类型看作10个“鸽巢”，把11名学生看作11个物体，所以至少有两名学生所借的书的类型完全相同。
答：至少有两名学生所借的书的类型完全相同。
技巧点拨：解答此题的关键是通过列表找到给定要求可能出现的情况总数。
例题3
在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？
解答过程：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是3个“鸽巢”。一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“鸽巢”里。将四个自然数放入3个“鸽巢”，至少有一个“鸽巢”里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。
技巧点拨：解答此题的关键是明确任意自然数除以3的余数只有3种不同的情况，即余数是0,1或2，且余数相同的两个不同自然数的差必定是3的倍数。
同步练习
（答题时间：15分钟）
关卡
解决问题
1.
少年宫开办了语文、数学、英语、绘画这四个学习班,小林、小云、明明、军军、小芳5
个人去参加学习，试说明至少有2
个人在同一个学习班学习。
2.
任意调查13个人，其中至少有2人的属相是相同的。为什么？
3.
今天上午上了4节课，分别是：语文、数学、英语、美术，并且每科都留了作业。现在教室里有5名同学在做作业，试说明：至少有2名同学在做同一科作业。
4.
在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？
5.
用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？
关卡
解决问题
1.
将四个学习班看作4个“鸽巢”，将5个人看作5个“物体”，根据“鸽巢原理”（一）可知，必有一个“鸽巢”放入2个“物体”。
所以至少有2
个人在同一个学习班学习。
2.
把12个生肖看作12个“鸽巢”，任意调查的13个人，看作13个物体，根据“鸽巢原理”（一）可知，至少有2个人的属相相同。所以至少有2人的属相是相同的。
3.
把语文、数学、英语、美术这四种作业看作4个“鸽巢”，5名同学看作5个物体，根据“鸽巢原理”（一）可知，至少有2名同学在做同一科作业。
4.
任何整数除以3的余数只能是0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据“鸽巢原理”（一），至少有一个“鸽巢”里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。
第一种情形：有三个数在同一个“鸽巢”里，即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能被3整除。
第二种情形：至多有两个数在同一个“鸽巢”里，那么每个“鸽巢”里都有数，在每个“鸽巢”里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之和能被3整除。
综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。
5.
篇2
关键词 数字系统故障诊断与综合；开放性思维；求异思维
中图分类号：G642.4 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2015）10-0097-03
Abstract Instructors often neglect open mind thinking cultivation of students in classroom teaching. Aimed at this situation，the issue of how to cultivate open mind thinking of students in Fault Diagnosis and Synthesis of Digital System classroom teaching is discussed in this paper.Teaching practice shows that Open mind thinking is beneficial to knowledge comprehension， knowledge utilization， inspiration of learning enthusiasm and creativity of undergraduates.
Keywords fault diagnosis and synthesis of digital system； open mind thinking； divergent thinking
1 引言
随着计算机的普及，数字化自动测试系统的应用越来越多，它的可靠性问题也日益突出。而提高数字系统可靠性的两个主要途径就是故障诊断和可靠性设计，数字系统故障诊断与综合正是考虑到这种技术发展趋势而设置的，它是检测技术与自动化装置学科方向一门重要的学位专业课。学生对该课程的学习质量将直接影响到学生未来在相关领域思维素质的形成和潜能的发挥[1-2]。
本门课程的授课重点是：让学生掌握数字系统故障诊断、可测性设计和可靠性设计的基本概念和主要方法，并力求了解掌握近年来最新的技术进展和研究成果。但是，传统的教学方法比较注重知识的传授，忽视对学生开放性思维的培养，因此，学生往往知其然而不知所以然，且处理实际问题的灵活性不强。
组合逻辑电路的测试是数字系统故障诊断与综合课程的重要内容，其中布尔差分法和特征分析法是组合逻辑电路测试的两种典型方法，但其内容抽象，学生掌握困难，容易理解不深。本文以布尔差分法和特征分析法的授课内容为例，浅谈数字系统故障诊断与综合教学中开放性思维的培养，并认为开放性思维形式至少包含求异思维、类比思维和追本溯源思维这三种，从而培养学生突破传统思维定势，从多视角、全方位看问题的能力。
2 求异思维的培养
求异思维又叫发散思维，是指在解决问题时从特定的目标出发，沿不同的视觉和方向多方位和多层面地思考，寻找解决问题的不同办法。要培养学生的求异思维，就要引导学生在解题时多产生奇思妙想，鼓励他们在掌握基本解法的同时，去寻找前人没有想到的方法[3]。
如在讲解利用布尔差分法求解测试集时，书中介绍了两种方法来求解布尔差分，一种是根据布尔差分的定义，一种是根据定义推导后的代入法。但无论哪种方法都需要进行大量的异或运算，特别是对于求解多固定故障测试集的计算。基于此，可以引导学生思考：是否还有其他方法计算布尔差分呢？这样一方面引导学生从多个角度思考问题，另一方面借机向学生介绍该领域较新的研究成果。这里举一个实例来说明。
针对该问题，向学生进一步提出问题：布尔差分计算的关键是什么？有没有别的方法能够求解布尔差分？经过启发，学生了解到计算布尔差分的关键是进行异或运算，因此不用公式也可以求解，如采用卡诺图法也可以进行异或运算。
【方法二】采用卡诺图法计算布尔差分时，只需要画出各自的卡诺图，然后进行化简计算。如计算二阶布尔差分时，已知：。设f1=h+x1x2+x4，，将表示f1和f2的卡诺图重叠在一起，如图1所示，其中浅色代表f2，黑色代表f1。
逐一检查相同位置的最小项情况，若某个最小项同时包含于f1和f2中，或都不包含于f1和f2中的任意一个，则异或结果中该最小项为1，异或运算后的结果如图2所示。经进一步的合并整理，可以很容易地得到结果为。该方法比方法一计算量大幅减少。
那么该问题是否就到此为止了呢？实则不然，可以继续启发学生更深入地思考：布尔差分计算的实质是什么？还可以采用什么办法？通过思考，可以让学生认识到当布尔差分值为1的实质是当一个或多个变量取反时，其相应的逻辑函数值也发生变化。基于此，向学生介绍近年来出现的新方法，如恒等式等效法[4]。
【方法三】求解时，实际上可以转化为求解f（X）=xi和，也即逻辑函数值随着xi或变化而同步变化。而转化后的两个方程求解非常容易，只需要使方程两边的各项系数相同就可以。同理，求解布尔差分也可以采用同样的思想，其计算量可大大减少。
通过探究教材上没有的求解方法，不仅培养了学生的求异思维，更开阔了眼界，使学生了解到该领域最新的研究成果和思考方法。
3 类比思维的培养
类比思维是指在理解或解决问题遇到障碍时，联想有共性的其他问题的解决方法，从而得到启发，并类比地解决问题。要培养学生的类比思维，就要鼓励学生在解决问题时多联系生活及已有的见闻，借鉴已有问题的解决思路，从而使复杂的问题变得容易解决，使难懂的方法变得容易理解。
在数字系统的故障诊断中，跳变次数计数测试（TC）是特征分析法中一种重要方法。TC诊断序列的核心问题是如何把诊断集编排成TC诊断序列。教材中给出与非门多故障诊断序列，并给出证明。但对于这一问题，学生理解有困难，产生“为什么要这样编排TC诊断序列”“怎样想到的”“为什么别的方法不行”等问题。
为了便于理解，可以采用类比思考的方法来引导学生。先让学生思考一个常见的智力题：“有100枚金硬币，每叠10枚，垒成10叠。10叠硬币中，9叠是真的，1叠属伪造。每枚真金币的重量完全一样（每个2两），每枚假金币的重量也完全一样（每个1两）。现有一读数秤，如何只称一次，就能确定哪一叠金币是假的？”该问题的答案：把这10叠硬币按1～10编号，编号是几就取出几枚，称一次，少几两，就说明第几叠是假币。
上述智力题给学生带来启发，类比想到TC诊断序列的生成方法实际上和这个智力题的解决方法是类似的，即可使第一种故障跳变次数改变2次，第二种故障的跳变次数改变4次，以此类推，第i种故障的跳变次数改变2i次，这样通过跳变次数的改变值就可知道是哪种故障。同时启发学生理解，之所以不采用与辨别金币相同的方法，是因为有可能同时发生多种故障。
经过以上的类比思考后，学生就很容易理解了以下TC诊断序列求法：先求出与非门的诊断矢量u，e1，e2，...，en，其中u是使与非门无故障时输出为0的测试矢量，e1，e2，...，en是使与非门无故障时输出为1的其他故障的测试矢量，则与非门的常规诊断序列可为S=S1S2...Sn，其中Si=uei，uei，...，uei（i=1，2，...，n），其长度为2i[1]。
培养学生的类比思维，不仅可使学生分析和解决问题的思维更加敏捷，更可提高学生的学习兴趣，体会学习的成就感。
4 追本溯源思维的培养
追本溯源思维是指在解决问题时寻找和抓住问题的根本，从源头上寻找问题的症结所在，并有针对性地提出解决问题的方法。同时，该种思维还可使学生在学习已有方法时知其所以然，理解更深刻。要培养学生的追本溯源思维，就要鼓励学生学习已有知识和方法时，多问为什么，不仅要学习方法本身，更要知道提出该方法的学者是如何思考的，怎样提出该方法的。久而久之，学生独立解决问题的能力会大大加强。
如在讲解布尔偏差分时，可以这样引导学生：求解布尔差分时，高阶布尔差分的计算量很大，但同时发现一阶布尔差分的计算量要少很多，因此是否能够把高阶布尔差分转化为一阶布尔差分来求解呢？布尔偏差分正是基于这种目的被提出的。同时，结合类比思维，使学生联想到数学中高阶求导可用偏导数转化为几次一阶求导，而布尔偏差分与之类似。至此学生就可水到渠成地理解布尔偏差分的由来、概念及作用。培养学生的追本溯源思维，不仅可使学生对知识的理解更深刻，更可培养学生独立解决问题的能力。
5 结论
本文针对“数字系统故障诊断与综合”的教学实际，讨论了一些培养学生开放性思维的教学体会，并结合求异思维、类比思维和追本溯源思维的培养进行具体论述。连续几年的教学实践表明，该方法对课程教学有很好的促进作用，不仅可以使学生很好地掌握知识与方法，更能激发学生的学习积极性和创造力。本文提出的教学方法通用性较强，可以推广到其他课程。
参考文献
[1]杨士元.数字系统的故障诊断与可靠性设计[M].2版.北京：清华大学出版社，2000.
[2]Abramovici M，等.数字系统测试与可测性设计[M].华伟，等，译.北京：机械工业出版社，2006.
[3]朱明旱，伍宗富，侯清莲.浅谈“数字信号处理”教学中的创新思维培养[J].电气电子教学学报，2012，34（2）：
篇3
为了让广大即将应试或者有跳槽念头的白领打“有准备之仗”，笔者采集了微软等知名大企业的考题编汇成专辑，以此为“企业考试提纲”供参考。在模拟考中，先掂量掂量自己目前的现状，如果可以的话，不妨把高中的教材拿来翻翻，温故而知新，可以应试矣。
基础数学题
(1)有三个不同的信箱，今有4封不同的信欲投其中，共有多少种不同的投法？
(2)连续4次抛掷一枚硬币，求恰出现两次是正面的概率和最后两次出现是正面的概率。
(3)一个口袋内装有除颜色外其他都相同的6个白球和4个红球，从中任意摸出2个，求：A、2个都是白球的概率；B、2个都是红球的概率；C、一个白球，一个红球的概率。
(4)有30支篮球队，先分3组(每组10队)按单循环制进行比赛，然后将每组前三名集中，再按单循环制进行比赛，规定在小组赛已相遇的两队不再重赛，求先后比赛共有多少场？
(5)你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会？在你的计划中，得到红球的准确几率是多少？
(6)M、N是两个平等平面，在M内取4个点，在N内取5个点，这9个点中，无其它四点共面，且其中任意三点不共线。求：A、这些点最多能决定几条直线？几个平面？B、以这些点为顶点，能作多少个三棱锥？四棱锥？
(7)某轮船公司每天中午有一艘轮船从哈佛开往纽约，有一艘轮船从纽约开往哈佛；轮船途中来去都是7昼夜，问今天中午从哈佛开出的轮船在途中将遇到几艘从对面开来的轮船？
(8)正方形边长为1，以各个顶点半径为1做弧，在正方形中间有一个公共区域，求面积。
趣味数学和应用数学题 本文来自：中国求职简历网
(1)使用下列每组数字，排出加减乘除的公式，得出“24”。第一组“1、2、3、4”；第二组“5、6、7、8”；第三组“3、3、8、8”。
(2)10个人排队戴帽子，10个黄帽子，9个蓝帽子，戴好后，后面的人可以看见前面所有人的帽子，然后从后面问起，问自己头上的帽子是什么颜色，结果一直问了9个人都说不知道，而最前面的人却知道自己头上的帽子的颜色。问是什么颜色，为什么？
(3)一个班有m名同学，问m为多少时，有两人同一天生日的概率为0.6。建立数学模型并解答。同时说明该模型适用于通信中的那些情况。
(4)为了解决学生洗澡难的问题，东方学校新建一座澡堂，水龙头数为m,每天开放k小时，如果学生人数为n,每位学生每周洗一次澡，每次须半小时，学生到达澡堂服从均匀分布，问当m为多少时，学生洗澡等待时间不超过10分钟。建立数学模型并解答。同时请说明该模型适用于通信中的那些情况。
(5)有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕。如果第一台收割时间是最后一台的5倍，请问：用这种收割方法收割完这片土地上的小麦需用多长时间？
(6)有一批货，如果本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%，如果下月初出售，可获利120元，但要付5元保管费，试问这批货何时出售最好（本月初还是下月初）？请说明理由。
写作能力测试
请根据下列材料分别写3封信。(1)手机厂由于设计失误，有可能造成电池寿命比原设计的寿命短一半(不是冲放电时间)，解决方案是免费更换电池或给50元购买厂家新手机的折换券。请给所有已购买此手机的用户写信，告诉解决方案。
(2)一位高层领导在参观某博物馆时，向博物馆馆员小王要了一块明代的城砖作为纪念。按国家规定，任何人不得将博物馆的收藏品变为私有。博物馆馆长需要如何写信给这位领导，将城砖取回？
(3)营业员王小姐由于工作失误，将2万元的笔记本电脑以1.2万元错卖给李先生，王小姐的经理怎么写信给李先生试图将钱要回来。
综合测试
(1)如果有了钱你首先想干什么？
(2)你最要好的朋友是什么人，你们认识多久了，你对她（他）的评价如何？
(3)一名主播，跳槽去了另一家电视台，在原电视台一档主持了两年之久的节目的最后，可以用30秒与其观众告别。如果你是他（她），你会怎么说？
(4)一名新闻记者，原定当天下午1：30开始采访，2：00他必须去执行另一项采访任务。可是前一名从1：00起采访的媒体记者已经拖延了时间。1：35，这名记者决定要求前一位记者暂停下来，让自己先进行采访。如果你是他，你会怎么达到目的？
(5)电影《英雄》取得了巨大的票房效益。试分析《英雄》商业运作的方式及效果。
智力题
(1)为什么下水道的盖子是圆的？
(2)美国有多少加油站？有多少辆汽车？
(3)你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？
(4)你有4个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染药丸的重量+1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？
(5)如果你有无穷多的水，一个3夸脱的和一个5夸脱的提桶，你如何准确称出4夸脱的水？
(6)将汽车钥匙插入车门，向哪个方向旋转就可以打开车锁？
(7)如果要你去掉50个州的任何一个，那你去掉哪一个，为什么？
篇4
【关键词】新课程标准；自学辅导；高中数学
本文是广州市教育科学“十二五”规划面上一般课题（资助类别）“促进美术类高中生高效学习文化课程的实践研究”1201431029（课题名称和编号）的研究成果.
21世纪的今天，“学会学习”、“终身学习”、“构建学习型社会”已成为21世纪的主题.“自主、合作、探究”的教学模式，已成为培养学生创新精神和实践能力的公认的有效教学与学习模式.因此，如何培养学生的自主学习能力，成为新课程标准实施过程中的重要问题.中国科学院心理学研究所卢仲衡等，从1965年开始，根据我国学校教育实际，吸收了“程序教学”的思想理论，设计了自学辅导教学这一研究课题，进行实验.其特点是在教师辅导下以学生为主体进行自学，其步骤分为“启、读、练、知、结”五步.从20世纪80年代开始，自学辅导教学在全国开始进行了扩大试验，并取得较好成绩.从2000年开始，随着新课程标准（下面简称“新课标”）在全国的实施，20世纪80年代的自学辅导法与新课标之间存在的问题日益明显.
一、自学教材不能完全满足新课标的要求
现有的自学教材是根据旧有的教学大纲进行编制的，因此在教学内容和教材的编排方式上都不能完全满足新课标的要求.首先在教学内容上，新课标增加了算法、函数与方程等新内容，而弱化了映射、反函数、幂函数等旧教学大纲的内容，将排列组合、复数、简易逻辑等内容安排在x修课程；其次在教材的编排方式上，新课程提倡进行探究式的学习，因此在新课标的教材中编排了大量的探究活动，但原有的自学教材是探究活动较少，更多的是大量举例，然后让学生进行模仿练习.
二、没有体现与现代信息技术的整合
《新课标》指出“高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用各种数学教育技术平台，鼓励学生运用计算机等进行探索和发现”.但在20世纪80年影仪、计算机等现代化教学设备还未能进入课堂当中，信息技术与学科的整合还处于萌芽阶段，因此当时的自学辅导教学几乎不可能与信息技术进行整合.
三、容易加剧学生学习水平的两极分化
学生的个别差异是绝对的，不仅表现在学生先天的遗传因素有区别，而且还表现在其身心成长与智能发展的后天条件有区别.对于同一知识，不同的学生掌握起来，有快有慢，有好有差.同一学校的同一个班级的不同学生之间存在比较明显的差异.在使用自学辅导教学时，学生需要发挥自己的学习能动性，学生的自学效果受到阅读能力、理解能力、个性等多方面客观因素的影响，虽然自学辅导提倡“自定步调”，但是如果班内学生差异较大时，学生之间的学习步调差距会增大，适应这种教法的学生会迅速脱颖而出，不适应这种学法的学生会每况愈下，甚至逐渐丧失学好数学的信心，从而加剧了学生间学习水平的两极分化，这无疑影响了数学教学质量的提高.
根据普通高中数学新课程标准的理念，及针对20世纪80年代的自学辅导法所存的问题，在教学中，笔者将探究学习、合作学习、分层学习和自学辅导教学相结合，并由单一教学方式向多元教学方式整合，此外还将信息技术与数学学科教学进行整合，探究出新课程下的高中自学辅导教学法，其主要环节为在预习、启发、自学、议论、总结、课后巩固.
一、预 习
本文所指的预习是指学生对所需使用的旧知识（特别是初中的知识）进行复习，即重新唤起学生可能已经遗忘的“已有发展区域”.预习应该在开展课堂学习之前进行.在高中数学教学中，有很多知识会涉及初中的内容，如两圆的位置关系、一元二次函数、古典概型等知识是在初中学习的基础上进行拓展或升华，根据维果斯基“最近发展区理论”，高中数学中这部分内容都处于学生的“就近发展区域”，但若学生遗忘了这部分旧知识，则会阻碍他们进行有效的学习，因此课前的预习显得尤为重要，特别是对基础薄弱的学生.在教学实践中，笔者在每节课后会制作预习学案，指引学生复习下节课所需旧知，预习学案包括旧知的相关概念、定理等，并配有相对应的基础性习题和拓展性习题，学生可以根据自己的学习需要使用.如在学习两圆位置关系的预习学案中，指引学生回顾初中所学的两圆的位置关系及判别依据、前章所学两点间距离公式和点到直线的距离公式、本章所学的圆的方程，然后在每个复习内容后配上对应的基础题和拓展题，并可将下节课要学的内容以思考题的形式呈现.
二、启 发
启发不是讲课，而是从旧知识引入新问题，是针对本节课的教学内容而预设情境，从而激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣，使学生更加主动地阅读教材，积极地进行自主探究和解决问题.那么，“启发”又该如何进行？在高中教学当中，常见的启发形式有：
1.复习式.是指在复习与新知识有关的旧知识同时，引入所要学习的新内容.如学习“一元二次不等式”时，先复习一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）和一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），然后将等号变为不等号（>，
2.发现式.是指通过某些暗示和启迪，使学生从中发现问题的关键所在，并探究出问题的答案.如学习“对数运算的性质”时，可让学生填空：
启发学生去观察同底的两个对数之和（差）与真数乘积（商）的对数之间有什么关系，待学生有一定印象后再指出：今天我们学习的目的就是弄清楚对数的运算性质.要想弄清楚对数的运算性质，只有通过阅读教材才能彻底弄明白，这样容易激发学生的发现欲，从而提高学生的学习欲望.
启发的方式多种多样，除以上常见方式外，还有设问题式启发、类比式启发、结合实际问题启发、课题式启发、猜想式启发、实验式启发等.兴趣是最好的老师，而好的启发恰似激发学生学习兴趣的催化剂，激发学生的求知欲和学习热情，让学生在强烈的求知欲望氛围中去阅读教材，探究疑惑，真正掌握知识实质.
三、自 学
这一步骤主要让学生自觉地阅读教材，并利用各种资源独立地开展探究活动，寻找解决问题的方法和途径，与此同时教师进行必要的指导.在开展自学时，教师可制作自学提纲，引导学生开展自学活动.针对高中数学课时较紧、学生的学习能力和基础存在差异等问题，在这一环节中，笔者做了如下教学尝试：
（一）进行分层自学辅导，关注学生学习的差异自学
在通常情况下，班内学生的知识和能力水平总是存在着很大差异，因而在自学过程中如果用同一目标来要求全体学生，必然与相当一部分学生的学习能力不相适应，从而使这些学生或轻易达标，或难以达标，他们的学习活动不能有效展开，他们的发展就会受到影响.要改变这种状况，因材施教显得极为必要.对学生进行分层自学教学，是使全体学生共同进步的一个有效措施.在分层自学辅导中，要体现“”的原则，即既要重视各类学生的共同要求，又要照顾到各类学生的个体差异.
首先，将教学目标层次化，合理地确定各类学生的学习目标.如在学习“方程的根和函数的零点”时，可将学习能力较弱的学生的学习目标设定为①了解零点的概念；会求简单函数的零点；②掌握函数零点存在性判定定理；③理解零点与方程的根的关系，特别是二次函数的零点个数问题，但对于学习能力较强的学生可进一步将学习目标③提高为：理解二次函数的零点分布及条件，以体现出对不同层次学生的不同要求.
其次，⒆匝内容层次化，使每一个学生在数学学习上都有所得.自学内容既有面向全体学生的内容，也有只面向个别学习能力强的学生的内容，这主要体现在学习内容和课堂练习题分为基础部分、拓展部分、外延部分三个部分，基础部分是所有学生都必须掌握和完成的，拓展部分是面向学生能力较强的学生，而外延部分则可供学有余力的学生选学.如在学习“函数的单调性与导数”时，基础部分为研究不超过三次的多项式函数的单调区间问题，是《普通高中数学课程标准》要求学生掌握的内容；拓展部分为研究带参数的函数的单调性和复合函数的单调性问题；外延部分为二阶导数的几何意义（函数的凹凸性）.
最后，将辅导分类化，将培优辅差落实到实处.辅导可分为集体辅导和个别辅导，集体辅导主要解决学生自学时出现的共性问题，个别辅导是指导个别学生的学习方法，解决学习中遇到的困难问题.在辅导学习能力较弱的学生时，要以鼓励他们多练、多思考为主，对他们进行针对性的查漏补缺，帮助学生战胜畏惧心，树立坚强的意志和自信；对于学习能力较强的学生，要引导他们在自学中学会比较、归纳、总结，做好知识积累与解题方法积累，遇到疑难，只指出关键，画龙点睛，多让学生发表己见，培养独创精神，鼓励求异思维.
（二）利用信息技术，让学生开展自主探究活动
传统的数学教育强调了数学重视演绎推理的一面，忽视了数学作为经验科学的一面.现代数学教育更强调进行“问题解决”，在解决问题过程中锻炼思维、提高应用能力.现在，学生自主探究的活动可以得到信息技术的有力支持，学生可以利用计算机软件（如Geogebra软件、几何画板）和图形计算器自主地在“问题空间”里进行探索和做“数学实验”，使得枯燥乏味的自学课堂变得生动有趣.如几何画板为学生提供了积极探索问题的“做数学”的环境，学生可利用它来做“数学实验”，从而使学生在问题解决过程中获得真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论.
四、议 论
在学生充分自学的基础上，教师要引导和组织学生进行议论.议论是合作学习的基本形式，是指课堂教学过程中，学生在教师的引导下，师生之间、同学之间有共同的学习要求，围绕着对知识的理解和掌握、学习方法等个体信息，相互激励、同化、吸收，促进学习意向，培养分析问题和解决问题的能力.它不只是以对某个问题求得答案为目的，而是在议论过程中，学生可以把自学时所遇到的问题提出来，寻求其他同学的帮助，也可以分享自己自学的心得，对某些问题发表自己的见解，开展热烈的争辩.议论的形式有分组和全班两种.在分组议论时，教师可按学生的学习能力将学生分成学习组，也可以让学生自由进行分组，分组一般由4或6人组成，小组的这种排列缩短了学生与学生之间的距离，增强了学生间互相交往的机会，有利于组内成员的交流和合作.全班议论则更有利于学生对共性问题的探讨和解决.
在议论时，教师既是议论的巡视者，也是引导者和参与者.首先，教师要通过巡视，确保正常的课堂秩序；其次，教师要学会“授之以渔”，教给学生交流协作的学习方法，教师不仅要指导学生进行组内的交往，还要引导学生进行组际交流，不仅重视交流学习结果，更要重视交流学习方法.最后，教师不仅要鼓励学生大胆提出自己认为不懂的问题，还要鼓励学生充当“小老师”，大胆讲清自己的解决问题的方法，再让其他同学进行评价，或者共同探寻更多的解题方法，从而开拓学生的思路、诱发学生的创造性思维.在民主、开放的合作学习氛围中，议论使得优等生的才能达到发挥，中等生得到锻炼，学困生得到帮助和提高.
五、总 结
总结，必须要做到有的放矢，概括全貌，对本节所学的知识加以系统提高.总结不一定需要由教师独立完成，也可以学生总结、教师加以适当的补充的方式进行.总结的方式一般有：
1.按自学提纲小结、整理；
2.根据学生自学中普遍寻在的疑难问题进行；
3.就本节教材的某一个重要问题深入分析讲解；
4.当学生自学本节的内容很顺利的时候，可以进行引申性的总结，为学习下一节课的内容做铺垫.
六、课后巩固
课后巩固包括了课后作业和课外辅导两部分.
（一）课后作业
作业的分层包括了作业量的分层和作业难度的分层.
作业量的分层要视学生学习情况而定，让各类学生既能得到充分练习，又能得到自由发展.学困生控制有难度知识的作业量，增加基础知识的作业量，确保基础知识的掌握；优等生适当减少做基础性练习的作业量，给予自由发展的空间，拥有足够的时间自己去做一些融综合性、灵活性于一体的高智力题；中等生的作业量，则介之于优等生与后进生之间.
作业的设计要依据各类学生的不同学情，难易有度，分别适应各个层次学生学习的需要，让各类学生练有所得，有所提高.学困生作业难度适当降低，确保完成基础目标；中等生保持难度，使他们在确保达成基础目标的基础上，努力完成发展目标；优等生增加难度，促使他们在较高的知识平台上发展，努力实现创造目标.
由于作业的分层可以避免“一刀切”的现象，充分调动了各类学生的学习积极性，使各类学生完成作业的质量大为提高.
（二）课外辅导
课外辅导是课内辅导的延伸.网络技术为开展课外辅导提供了技术支持.学生可以通过专题学习网站学习课的内容，教师也可以通过视频、语音等软件和学生进行互动，远程辅导学生的学习，从而将自学课堂从课内延伸到课外，使学生的自学活动更具有连续性和多样性.
