等腰三角形的性质范文

导语：如何才能写好一篇等腰三角形的性质，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

(1)知识目标：1、掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、

中线及顶角平分线三线合一的性质，并能运用

它们进行有关的论证和计算。

2、理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间

的联系。

(2)能力目标：1、定理的引入培养学生对命题的抽象概括能力，

加强发散思维的训练。

2、定理的证明培养大胆创新、敢于求异、勇于

探索的精神和能力，形成良好的思维品质。

3、定理的应用，培养学生进行独立思考，提高独

立解决问题的能力。

(3)情感目标：在教学过程中,引导学生进行规律的再发现，激发

学生的审美情感，与现实生活有关的实际问题使

学生认识到数学对于外部世界的完善与和谐，使

他们有效地获取真知，发展理性。

教学重点等腰三角形的性质定理及其证明。

教学难点用文字语言叙述的几何命题的证明及辅助线的添加。

达标进程

教学内容

教师活动

学生活动

一、前置诊断，开辟道路

1、什么样的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。

首先教师提问了解前置知识掌握情况。

动脑思考、口答。

二、构设悬念，创设情境

1、一般三角形有哪些性质？

2、等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还有那些特殊性质？

把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。

问题2给学生留下悬念。

三、目标导向，自然引入

本节课我们一起研究——等腰三角形的性质。

板书课题

了解本节课的学习内容。

四、设问质疑，探究尝试

请同学们拿出准备好的等腰三角形，与教师一起按照要求，把两腰叠在一起。

[问题]通过观察，你发现了什么结论？

[结论]等腰三角形的两个底角相等。

板书学生发现的结论。

[问题]可由学生从多种途径思考，纵横联想所学知识方法，为命题的证明打下基础。

[辨疑]由观察发现的命题不一定是真命题，需要证明，怎样证明？

[问题]1、此命题的题设、结论分别是什么？

2、怎样写出已知、求证？

3、怎样证明？

[电脑演示1]

[投影学生证明过程，并由其讲述]

从而引出定理等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

通过电脑演示，引导学生全面观察，联想，突破引辅助线的难关，并向学生渗透转化的数学思想。

引出学生探究心理，迅速集中注意力，使其带着浓厚的兴趣开始积极探索思考。

继续观察图形

[问题]1、指出全等三角形中还有哪些

对应边、对应角相等？

2、等腰三角形的顶角的平分线又有什么性质？

设问、质疑

小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学材料的能力。

教学内容

教师活动

学生活动

[辨疑]一般三角形是否具有这一性质呢？

[电脑演示2]

从而引出推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边.

“三线合一”性质等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

[填空]根据等腰三角形性质定理的推论，在ABC中

（1）AB=AC，ADBC，

∠＿=∠＿，＿=＿；

（2）AB=AC，AD是中线，

∠＿=∠＿，＿＿；

（3）AB=AC，AD是角平分线，

＿＿，＿=＿。

通过电脑演示，引出推论1，并引入[填空]、强调推论1的运用方法。

电脑演示给学生对推抡1留下深刻印象，并通过[填空]了解推论1的运用方法。

五、变式训练，巩固提高

达标练习一

A组：根据等腰三角的形性质定理

(1)等腰直角三角形的每一个锐角都等于多少度？

(2)若等腰三角形的顶角为40°，

则它的底角为多少度?

(3)若等腰三角形的一个底角为40°,则它的顶角为多少度?

B组：根据等腰三角形的性质定理

(1)若等腰三角形的一个内角为40°,则它的其余各角为多少度?

(2)若等腰三角形的一个内角为120°,则它的其余各角为多少度?

(3)等边三角形的三个内角有什么关系?各等于多少度?

从而引出推论2等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.

题目设计遵循由易到难的原则，引导学生拾阶而上。沟通等腰三角形的性质定理和三角形内角和定理的联系，并引出推论2。

A组口答练习

B组讨论后回答。

掌握等腰三角形性质定理的应用，训练学生的类比思维，让学生获得从问题中探索共同的属性和规律的思维能力。

教学内容

教师活动

学生活动

达标练

A组：等腰三角形斜边上的高把直角分成两个角，求这两个角的度数。

B组：已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°。求顶架上∠B、∠C、

∠BAD、∠CAD的度数。

理论联系实际,

充分体现数学解决实际问题的作用,培养学生的应用意识,提高数学修养。

A组口答

B组独立解答.

加深理解定理及推论1，能初步灵活地运用它们进行计算和论证。

布置作业：1、看书：P1——P3

2、课本P5想一想

教案设计说明

本节课是在学生掌握了一般三角形基础知识和初步推论证明的基础上进行学习的，担负着训练学生会分析证明思路的任务，等腰三角形两底角相等的性质是今后论证两角相等的依据之一，等腰三角形底边上的三条主要线段重合的性质是今后论证两条线段相等、两个角相等及两条直线垂直的重要依据。因此设计时，我分别从几个方面作了精心策划：

1、创设丰富的旧知环境，有利于帮助学生找准新旧知识的连接点，唤起与形成新知相关的旧知，从而使学生的原认知结构对新知的学习具有某种“召唤力”。

2、提供可探索性的问题，合理的设计实验过程，创造出良好的问题情境，不断地引导学生观察、实验、思考、探索，使学生感到自己就象科学家那样提出问题、分析问题、解决问题，去发现规律，证实结论。发挥学生学习的主观能动性，培养学生的探索能力、科学的研究方法、实事求是的态度。

3、在巩固应用时，训练题组的设计具有阶梯性，加强了变式训练，便于及时反馈。实际应用充分体现了数学解决实际问题的作用，培养学生的应用意识，提高数学修养。

篇2

1.教学知识点

（1）等腰三角形的概念。

（2）等腰三角形的性质。

（3）等腰三角形的概念及性质的应用。

2.能力训练要求

（1）经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点。

（2）探索并掌握等腰三角形的性质。

【教学重点】

1.等腰三角形的概念及性质。

2.等腰三角形性质的应用。

【教学难点】

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。

【教学方法】

探究归纳法。

【教学过程】

Ⅰ.提出问题，创设情境

1.复习轴对称和轴对称图形的知识。

2.三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？

Ⅱ.导入新课，合作探究

满足轴对称图形条件的三角形是轴对称图形――等腰三角形。

1.你会画等腰三角形吗？学生动手，教师适当提示，并演示。

2.等腰三角形有什么性质？（提示：可从以下几个方面探索：A.等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴.B.等腰三角形的两底角有什么关系？C.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？D.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？）

经过学生的探索、归纳及提示，我们得出等腰三角形的性质。

等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。

你会证明这些性质吗？教师引导学生进行规范的证明。

看我大显身手：

1.如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。

2.在等腰ABC中，AB=AC，∠B=75°，求∠A和∠C的度数。

3.在等腰三角形中，已知两边的长为3 cm和4 cm，求它的周长。

Ⅲ.随堂练习

1.课本P51练习1、2、3。

2.解答下列各题。

（1）在等腰三角形中，有一个角为75°，求其余两角的度数。

（2）在等腰三角形中，已知两边的长为4 cm和5 cm，求它的周长。

（3）在等腰三角形中，已知两边的长为8 cm和3 cm，求它的周长。

Ⅳ.课堂小结

1.知识小结

等腰三角形的定义、等腰三角形的性质。

2.学习技能小结

探究学习、合作学习、实践能力等。

Ⅴ.课后作业

1.课本P56第1，4，7题。

2.预习课本P51～P53。

篇3

宋代历史学家司马光小时候砸缸救小伙伴的故事给我们启示：在证明时，如果不能顺利地从条件推出结论，不妨倒过来想.这种“让水离开人”、“执果索因”的推理方法称为分析法，而“让人离开水”，即在证明时顺利地从条件推出结论，这种“由因导果”的推理方法称为综合法.“分析法”和“综合法”是我们常用的数学思维方法.

反证法是一种特殊的证明方法.在证明时，不是直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设，然后推导出矛盾的结果，从而证明命题的结论成立，这种方法叫反证法.

运用反证法证明问题时，结论的反面要找得准确、全面，证明的每一步要有依据，直到推出与“定义、定理、基本事实、已知条件”等相矛盾.

2. 等腰三角形

（1） 等腰三角形的主要性质有：等边对等角；等腰三角形的三线合一性；等边三角形的每个内角都等于60°；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；等等.应用性质可以简捷地证明三角形中的线段或角的相等、线段的垂直等.

（2） 判定一个三角形是等腰三角形，除了利用定义外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角对等边.等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，这时60°的角是顶角还是底角都无妨.

（3） 关注“分类讨论”的数学思想方法.因为等腰三角形中有两边相等，有两角相等，所以当“边”或“角”元素不确定时，就需要分类讨论.

3. 直角三角形

直角三角形是一种特殊的三角形，因此学习时要特别注意对其特殊性质的理解和应用.如“直角三角形的两个锐角互余”是一般三角形所不具备的；“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，这个性质反映出任何一个直角三角形斜边上的中线把它分成两个等腰三角形，因此，学习直角三角形时必须与等腰三角形紧密结合；“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，不是任何直角三角形所具有的.

直角三角形与等腰三角形的密切关系还表现在：以任意直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，得到的轴对称图形，一定是一个等腰三角形.同时任意等腰三角形的底边上的高，一定分它为两个全等的直角三角形.这种关系使我们能更好地理解和掌握“斜边直角边定理”.

4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形

这些图形的概念重叠交错，容易混淆，常常出现“张冠李戴”的现象，所以它们之间的联系和区别是本章学习的难点.分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服难点的关键.它们之间的联系与区别可通过下图表示：

5. 在“等腰梯形的性质定理和判定定理”探究中运用的数学方法

等腰梯形的性质和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四边形基础上的，所以可通过添加辅助线的方式将等腰梯形转化为等腰三角形和平行四边形，常见辅助线如下：

通过“转化”，我们得到了等腰梯形的性质定理：等腰梯形同一底上的两底角相等；等腰梯形的对角线相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

6. 三角形的中位线定理

三角形中位线定理包含两个内容：（1） 三角形的中位线平行于第三边；（2） 三角形的中位线等于第三边的一半.前者是两条线段所在直线的位置关系，后者是线段与线段之间的数量关系，因此定理的作用也就不言而喻了.

篇4

等腰三角形周长公式：三角形的周长等于三个边的和，等腰三角形的周长等于底边加二乘腰长。等腰三角形指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

（来源：文章屋网 ）

篇5

知识与技能：掌握等腰三角形的判定，会用等腰三角形的判定，进行简单的推理、判断、计算作用.

过程与方法：让学生经历等腰三角形判定方法的发现过程，培养学生的观察力、实验推理能力.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想；并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

【教学重难点】

重点：等腰三角形的判定方法及其运用.

难点：综合运用等腰三角形的性质和判断解决问题.

【教法与学法】

在教学中，把重点放在学生如何学，教师不断设置思维台阶，启发学生主动参与，亲自动手实践，通过学生自己猜、折、画、证等探索性活动，自己主动“发现”等腰三角形的判定方法，便于激发学生学习热情，体验成功的喜悦，在引导学生得到感性认识的同时逐步向逻辑的合理性推理跨越，这样做有利于开拓学生的创造性思维，帮助他们探本求源，让每位学生都学有价值的数学.

【教学用具】

墨水涂抹后的等腰三角形，直尺，圆规.多媒体辅助教学.

【教学实录】

师：前面我们学习了等腰三角形的性质，哪位同学来叙述一下？

生：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

师：很好.下面有这样一个问题：如图1左所示，ABC是等腰三角形，AB=AC，倘若一不留心它的一部分被墨水涂没了（用黑纸遮挡，如图1右所示），只留下一条底边BC和一个底角∠C.同学们想一想，用什么办法能把原来的等腰三角形ABC重新画出来？在家试试看.

（学生先画出残余图形，略作思索，然后独立画图.画好以后，同学间相互交流画法，教师在全班巡视，参加同学间的议论，最后请两名学生口答画图的方法.）

生：先用量角器量出∠C的度数，然后以BC为一边，B为顶点画出∠B=∠C（图2略）.

生：取BC边上的中点D，用三角板过D作BC的垂线，与∠C的一边得到一个交点A，连结AB（图3略）.

师：很好！刚才我看了一下，同学们大都想出了上面两种画法，第一种方法，用角的相等来画.第二种方法，过一边中点作垂线的方法画.同学们，你们认为这样画出来的三角形都是等腰三角形吗？

生：是.

师：到底是不是等腰三角形？这就是今天我们所要学习的内容――“等腰三角形的判定”.（板书.）

要判定刚才作出的三角形是等腰三角形，应当加以论证.我们先分析第一种画法，这就是说，在两角相等的条件下能否判定画出的是等腰三角形？大家想一想，在这里已知是什么？求证又是什么？请同学回答一下.

【评析：第一种画法正好可以得出这节课要学的判定定理.第二种画法则是今后学习线段垂直平分线性质的事实基础.据了解，当时学生还有将残余图形对折的第三种画法，而这又是等腰三角形对称的体现.几何来源于现实生活，对于初学平面几何的学生来说，选择适当时机让他们从个体实践经验中学习，可以提高学习的主动性.在这里，等腰三角形的判定定理不是由教师给出，而是让学生先凭经验画图，那么画出的图形究竟是不是等腰三角形呢？产生了问题，然后从问题是出发，得出判定定理.这样做，改变了过去学生只是被动接受的状况，因此，学习的兴趣和积极性有所提高.】

生：已知：在ABC中∠B=∠C，求证：AB=AC.

师：考虑一下，这个题目怎样来证明.现在告诉我们的是两个角相等，要求证的是两条线段相等，而要证明两条线段相等，常用什么方法？

生：三角形全等.

师：图上有吗？

生：没有.

师：那么怎么办？

生：添辅助线.

师：同学们动笔做做看，怎么添辅助线？又怎么证明？把主要证明过程写一写.

（学生认真练习，教师巡视了解情况，待全班学生基本完成证明之后，教师又要求学生相互议论还有哪些不同的证明方法？全体学生对不同的画法很感兴趣.接着，教师请学生谈谈自己是怎么证明的.）

生：作∠A的平分线AT，交BC于T（图3略）.在BAT和CAT中，

∠BAT=∠CAT，∠B=∠C，AT=AT，

BAT≌CAT（角角边）

AB=AC（全等三角形对应边相等）.

师：这位同学添了∠A的平分线，通过角角边来证明三角形全等，从而得到AB=AC.还有其他方法吗？

生：过A点作ADBC，垂足为D（图4略）.

ADBC，∠ADB=∠ADC.

在ADB和ADC中，

∠ADB=∠ADC∠B=∠C AD=AD

ADB≌ADC（角角边）

AB=AC.

师：这位同学是作了BC边上的高AD，证明两个直角三角形全等，然后得到对应边相等，还有其他方法吗？

生：作BC边上的中线AM（图5略），用边角边证全等.

AM是BC边上的中线，

BM=CM……

（这名学生发现不对，停顿不讲了，不少学生纷纷指出她的错误.）在AMB和AMC中，BM=CM，AM=AM，

∠B=∠C，

篇6

变式一：如图，D为等腰三角形ABC的底边BC上任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点C作CM⊥AB于点M，那么DE、DF、CM之间存在怎样的数量关系?并加以说明.

分析：首先引导学生大胆猜想三条线段的数量关系，学生很容易想到：CM=DE+DF.其次引导学生分析该问题属于证线段的和差关系，应采用截长补短法.法一：截长法.可以过点C作CN⊥ED并交ED的延长线于点N，易证四边形MENC为矩形，可得EN=CM，欲证CM=DE+DF，只须证EN=DE+DF，而EN=DE+DN，故证DN=DF即可.通过证DFC≌DNC即可得到DN=DF.法二：补短法.过点D作DI⊥CM并交CM于点I，证CI=DF即可.法三：由于CM是等腰三角形的高，于是联想到等积法.可连接AD，因为ABC的面积等于AB•CM，ABC的面积还等于AB•DE+AC•DF，又AB=AC，故CM=DE+DF.

通过此题，引导学生归纳出“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质.

这是一道很常规的证线段的和差问题，学生想到方法一、二很容易，此题出彩点在引导学生想到等积法及归纳出等腰三角形的又一重要性质，并应用该性质解题，于是引出变式二、三.

变式二：点D是边长为2的等边三角形ABC的边AB上任一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，那么DE+DF的值为_____________.

分析：这是某省市一道中考填空题.有了变式一的基础，学生很容易知道求DE+DF的值就是求等边三角形一边上的高，再利用三线合一及勾股定理可求得DE+DF=.

解：过点B作BG⊥AC于G，连接CD.SABC=AC•BG，又SABC=AC•DF+BC•DE∴AC•BG=AC•DF+BC•DE，而AC=BC，故DE+DF=BG.

又等边三角形三线合一可知G为AC的中点，∴AG=1.∴BG=.即DE+DF=.

变式三：在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为____________.

分析：此题是一道全国初中联赛试题，在变式二的基础上又有了一定的难度，分别求出PE、PF有困难，引导学生善于从复杂图形中找到基本图形，由矩形的对角线相等且平分知AOD为等腰三角形，P为其底上任意一点，则P到两腰的距离和等于腰上的高，故PE+PF的值等于BD边上的高，则问题迎刃而解.

解：过点A作AI⊥BD于I，连接PO.

在矩形ABCD中有AO=DO，

∴AOD为等腰三角形.

SAOD=OD•AI=AO•PF+DO•PE，∴PE+PF=AI.

篇7

等腰三角形是九年制义务教育课程标准实验教科书（人教版）八年级上册第十二章“轴对称”第三节的内容。它是一个特殊的三角形，两腰相等且两底角相等。它的性质可以用来解决很多几何问题，但也正是因为它有这样的特性，与它相关的问题会因为条件的不确定而出现多解。因此，在解等腰三角形边、角问题时，常常要运用分类思想。在等腰三角形复习课中，将分类讨论作为一个专题复习很有必要。

二、学情分析：

八年级的学生已经有了一些几何知识的积累，在本节课以前，学生已经学习了有关等腰三角形的一些知识，如等腰三角形的定义，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等。对于等腰三角形中的分类讨论，有时学生感到似乎比较简单,但要真正完整解答,却并非容易。学生遇到的最常见问题是漏解，有些同学甚至从初学阶段到最后的复习阶段都反复出现同样的错误。要解决这一问题，除了认真仔细，更重要的是要学会运用分类思想解等腰三角形边、角问题。

三、教学目标：

（一）知识与技能目标：

1、培养分类讨论的思想；

2、会运用分类讨论的思想来解决等腰三角形有关问题。

（二）过程与方法目标：

1、让学生在知识点复习、归纳以及充分的变式训练过程中，体会分类思想；

2、在上述过程中，发展学生归纳、概括和有条理表达活动的过程和结论的能力。

（三）情感态度与价值观：

1、培养学生积极参与、合作交流的意识；

2、在分类讨论的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气。

四、教学重点：

1、了解等腰三角形边、角分类讨论的情况；

2、会运用分类思想解等腰三角形边、角问题。

五、教学难点：

会运用分类思想解等腰三角形综合题

六、教学思路：

首先，通过知识点流程图复习等腰三角形边、角有关知识点，让学生明白因为等腰三角形边、角的特殊性，所以在解与它相关问题时常常要分类讨论。接着，通过变式训练让学生了解等腰三角形边、角分类讨论情况。最后，让学生学会运用分类思想解等腰三角形边、角综合题。

七、教具准备：

内角为110°、20°、50°的三角形纸板、三角板、PPT课件、电脑、投影仪等。

八、教学过程：

一、［教学环节］温故而知新

［教学内容］问题：请同学们根据知识点流程图，按箭头方向，将屏幕中的条件添加到最合适位置。

［教师活动］1、展示一幅等腰三角形边、角知识点流程图，让学生添加合适条件。

2、由等腰三角形边、角的特殊性导入新课。

［学生活动］1、观察流程图，思考问题。

［设计意图］通过复习相关知识点，让学生明白等腰三角形边、角的特殊性，顺利导入新课。

2、根据箭头方向选择最合适的条件。

二、变式探究

［教学内容］【既快又准】

1、ABC中，已知：AB=AC，

①若∠A=40°，则ABC的另两个角的度数为；

②若有一个角为40°，则ABC的另两个角的度数为；

③若有一个角为140°，则ABC的另两个角的度数为；

2、在ABC中，已知：AB=AC

①AB=2，BC=3，则ABC的周长为；

②若有两边长为2、3，则ABC的周长为 ；

③若有两边长为2、5，则ABC的周长为 ；

［教师活动］1、提示学生画出草图，帮助解题。

2、提醒学生注意题目间的联系与区别。

3、提问:为何出现两个答案？如何分类讨论？

4、提醒：求出三角形边长后，应记得判断是否能构成三角形。并复习如何判断三条线段能否构成三角形。

5、小结：在解等腰三角形边、角问题时，要注意分类讨论，防止掉入数学的“陷阱”。

［学生活动］

1、通过观察、比较习题，画出草图，了解分类情况，自主得出答案。

2、共同回顾“三条线段能构成三角形” 的判断方法：任意两条之和大于第三条。归纳技巧：只要最短两条之和大于第三条即可。

［设计意图］1、通过针对性的变式训练，让学生了解等腰三角形边、角分类情况。

2、鼓励学生发表自己对问题的理解，大胆说出解题思路，锻炼学生思维，培养语言表达能力。

三、巩固提高

［教学内容］

【小试牛刀】

1.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则其顶角的度数为_________。

2.若等腰三角形的底边为5，其周长被一腰上的中线分成差为2的两部分，求腰长。

【挑战自我】

在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形。

［教师活动］1、要求学生根据题目意思，画出符合条件草图，写出解题过程。

2、提问：等腰三角形按角的大小可分为几类？等腰三角形周长被一腰上的中线分成的两部分指的是哪两部分？

1、提示：注意分类讨论，找出所有符合要求的图形。

2、指出学生错误做法，提醒要认真审题、理解题目意思。

3、让学生展示结果，说出方法，与大家分享。

［学生活动］

1、思考问题，根据题意画出草图，得出答案。

2、思考，质疑，发表自己的见解，得出不同结果。

［设计意图］

1、鼓励学生发表自己对问题的理解，展示解题过程，说出解题思路，锻炼学生思维，培养书写和语言表达能力。

2.鼓励学生敢于质疑发表不同意见和看法，培养分析问题能力。

3、培养学生团结协作意识。

4、让学生学会用分类思想解决问题。

四、体会、分享

［教学内容］1、通过本堂课的探索,你有何收获?

2、反思一下你所获成功的经验, 与同学交流!

［教师活动］1、归纳总结今天所学内容。

2、引出下一节课《等腰三角形中的转化思想》。

［学生活动］学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法

［设计意图］通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力。

五、布置作业

［教学内容］《等腰三角形》练习卷

（其中的思考题，学生可以根据自己的情况选择完成）

［教师活动］1、针对学生认知的差异设计了有层次的作业题。

2、为了下一节的学习，设计了有关等腰三角形中的转化思想的习题。

［学生活动］根据自己的实际情况选择完成相应作业。

［设计意图］1、既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展。

2、为了下一节的学习，起到很好的铺垫作用。

九、教学反思：

（一）反思教学设计

本节课在教学过程中设计的一系列的教学环节，充分体现了新课改的理念。设计力图贯彻“以学生发展为本”的教育理念，采用“以教师为主导，学生为主体”的现代教学思想。并结合多媒体，使教学过程更加直观，学生更易于比较知识点间的联系与区别，从而掌握知识点。本教学设计充分体现了知识的发生、形成和发展的过程，通过知识点复习、变式训练等，引导学生发现等腰三角形边、角问题中蕴含的分类思想，突出重点，突破难点，抓住关键，得出结论。在教学过程中提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与结论让学生归纳，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。如此教学设计，对于学生良好思维品质的形成有重要的作用。

本节课首先通过知识点流程图复习等腰三角形边、角有关知识点，让学生明白因为等腰三角形边、角的特殊性，所以在解与它相关问题时常常要分类讨论，从而顺利导入新课。接着，通过变式训练让学生了解等腰三角形边、角分类讨论情况，培养学生分类讨论意识。最后，让学生学会运用分类思想解等腰三角形边、角综合题。

（二）反思学情分析

如何进行学情分析才能得到客观准确的结果呢？我觉得要明确分析的对象：

1、分析学生原有的知识基础。由于数学是一门前后知识关联性很强的学科，所以教师首先要了解与本堂课教学内容相关联的知识有哪些？学生的掌握情况如何？这是教学时引入和设计例题的关键。

2、分析学生的思维特点。数学是一门逻辑思维能力要求较高的学科，教师只有了解了学生的思维特点才能制定出适合的教学方案。

3、分析学生在学习过程中可能会遇到的困难。我在课前尽可能完整地估计出学生在学习过程中会遇到的各种困难，这样就可以针对每一种问题采取不同的应对策略。

篇8

一、设计“问题串”的原则

1.目的明确，难易适中

首先，问题必须具有鲜明的目的性，为什么提出这样的问题？提出这样的问题对最终解决问题起什么作用？这就要求教师要有目的地设计问题，并准确地加以表述，其次，严格控制问题的数量，在教学时选择一些繁简得当，难度适中的问题，要符合大多数学生的实际，处于大多数学生的。“最近发展区”，所谓“跳一跳，摘得到”，少提质量粗糙、简单重复、无关紧要的问题，如导入新课时设问，要力争激起学生的求知欲；接触新知识后要在关键处设问，引导学生准确掌握本堂课的重点；例题讲解后要抓住题目的变通处设问，培养学生思维的流畅性和灵活性，从而激发学生的兴趣，打开他们探究的心扉，点燃他们心中的创新之火，使他们既有所得又乐在其中。

2.面向全体，因人而异

问题要有层次，照顾到全体学生，这就要求教师备课时对学生心中有数，课堂上善于观察每一位学生的微妙变化，捕捉那些容易被忽视的思维浪花，通过不同层次的问题，调动全体学生的兴趣，使每一个学生都能得到提高，在此基础上，教师提问应面向全体学生，然后根据教学目的、要求与问题的难易程度，有目的地选择提问对象，较难的问题要向基础好的学生发问，待学生回答后，再作必要的讲解，以便让基础差的学生也有所收获；较易的问题向基础差的学生发问，这样，可以吸引所有的学生参加思维活动，促使每一位学生用心回答问题。

3.鼓励探索，科学讲评

在课堂教学中，学生对问题的回答，标志着他们对问题的理解和掌握程度，也是教师检查自身教学效果的重要途径，因此，教师要积极鼓励学生大胆回答问题，而且提问不仅可以是教师提，也包括学生问教师要鼓励学生大胆质疑，在无疑处找疑，在有疑处解疑，对于学生提出的疑问，或让学生议论，或给予适当的启发、诱导、指导思路，但教师不要包办代替，教师听完学生回答后要进行小结，学生受知识水平所限，回答问题出现的错误是难免的，教师要及时给予归纳总结，对正确的加以肯定，不完整的给予补充，错误的给予纠正，使学生最后能掌握系统、完整、科学的知识。

在评价学生提出的问题时，首先应关注学生提出问题的积极性；其次要关注学生提出问题的深度和广度，在评价学生解决问题时，不仅关注解答结果的正确，更应关注学生是否积极思考，能否表述自己发现的规律及与同伴进行交流等。

二、设计“问题”的方法

1.创设情境，激活兴趣

问题1：请帮助小李想办法：墙上钉了一根木条，小李想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图1所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤，小李将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点，如果重锤过A点，那么这根木就是水平的你能说明其中的道理吗？

等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有其他性质吗？想一想，你能告诉我们吗？在我们还没有确切答案以前，让我们先分组做个实验吧。

问题1引导学生思考开放性、应用性的实际问题，设悬念唤起学生的学习需要，激发学生的兴趣，诱发学生思考，为下面的教学活动拉开了序幕。

2.师生互动，以旧引新

问题2：如图2，任意画一个等腰三角形，请大家剪下刚才画好的等腰三角形ABC，把纸片对折，让两腰重叠在一起，折痕为AD，然后展平，那么∠1与∠2相等吗？教师同时演示。

由于角两边互相重合，∠1=∠2，发现折痕AD为等腰三角形ABC的顶角平分线。

问题3：观察AABC被折痕AD分成的两个部分能否完全重合？

因为等腰三角形ABC是以顶角平分线AD所在的直线为对称轴的对称图形，点B的对称点是点C，点A的对称点是点A，点D的对称点是点D，所以ABD作关于直线AD的轴对称变换所得到的像是ACD，因此，ABD与ACD重合。

问题2、3以等腰三角形的轴对称性为切入点，使得知识衔接较为自然，并为下一步探索等腰三角形的性质埋下伏笔。

3.动手实践，归纳结论

问题4：你还能找出图中其他相等的线段和相等的角吗？

因为ABD与ACD重合，根据轴对称变换不改变图形的形状和大小得出ABD≌ACD，故BD=CD，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC。

问题5：你能否用文字叙述等腰三角形中有关底角的性质呢？

等腰三角形两底角相等，也就是说，在同一个三角形中，等边对等角。

问题6：抢答练习。

（1）等腰三角形的一个内角为100°，则另两个角为：_______。

（2）等腰三角形的一个内角为40°，则另两个角为_______。

（3）等腰三角形的一个内角为60°，则另两个角为_______。

（4）一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______。

问题7：现在再观察折痕AD，你能得出什么结论？

因为∠ADB=∠ADC，∠ADB +∠ADC=180°，所以ADBC，即折痕AD为底边上的高，因为∠1=∠2，折痕AD为顶角的平分线，因为BD=CD，折痕AD为底边上的中线。

问题8：你能否用文字叙述等腰三角形中有关折痕AD的性质呢？

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高互相重合，简称等腰三角形三线合一。

问题9：如图2，在ABC中，根据下列已知条件，写出你能得到的结论：

①如果AB=AC，∠1=∠2，那么_______。

②如果AB=AC，ADBC，那么______。

③如果AB=AC，BD=DC，那么______。

问题4～9围绕探求折痕AD的多重“身份”层层展开讨论，用运动变换的方法一起得出等腰三角形的两个性质，不仅激发了学生学习的兴趣和求知欲，而且问题的梯度拾级而上，符合学生的认知规律。

4.指导应用，延伸拓展

例1如图3，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DELAB，DFAC，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由。

问题10：若不能添辅助线，你会添加一个怎样的条件？

添加BD=CD，或BE=CF均能证明BDE≌CDF（ASA）

问题11：若能添辅助线，你会添加一个怎样的条件？

连结AD，添加BD=CD，利用等腰三角形三线合一得出AD平分∠BAC，由角平分线上的点到角的两边距离相等得到DE=DF。

此例是为使学生巩固等腰三角形的性质而增设，亦可通过构造三角形全等的角度证得，从而拓宽分析问题的视野和思路。

例2如图4，已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，BC边上的高为h。

问题12：底边BC已知，底边上的高长为h，你知道怎样确定顶点A的位置吗？

该例有效地训练学生发散性思维能力，在已有认知的基础上使新知得以内化。

5.归纳小结，反思提高

问题13：在本节课的学习中，你有哪些收获与我们分享？

问题14：你还有什么不理解的地方，需要得到老师或同学的帮助？

三、“问题”教学的实践体会

1.创设问题情境，把问题作为教学的出发点

学生问题意识的培养，首先依赖于教师的教学设计，因此，教师要善于联系学生的生活实际，找准“最近发展区”，通过多种手段呈现问题情境，制造学生认识冲突，诱发学生的问题意识，使学生确实感到有问题要问。

其次，课堂教学提问要有明确的目的，要根据每节课的教学要求，对要提问的问题进行精心的设计，一定要克服课堂教学的随意性，提问要紧紧围绕课堂教学的中心来进行，提问内容要具有典型性、代表性，提问的形式要具有灵活性、多样性，问题不能太笼统另外，教师提出的问题还要符合逻辑，注意按照教材顺序，层层设问，环环紧扣，使问题与问题间构成内在的必然联系和逻辑层次。

从问题出发设计教学，关键之处在于把握学生的固有认识与新现象、新事物的矛盾，在于引导学生自己发现或创设情境，帮助学生发现这一矛盾，这样才会引发真正有效的学习活动，才能真正让学生学有所思。

2.指导学生开展尝试活动，启发他们发现问题，提出问题，分析问题

（1）营造敢问的氛围，由于传统教育思想的束缚，我们不少教师对学生在课堂上的随意议论、相互交流、回答提问等活动限制过多、过细，因而造成了学生因回答不对或害怕违反有关规定而感到紧张、焦虑甚至受压制的现象。

因此，教师既要经常鼓励学生大胆提出问题，又要设法保护学生的积极性，在组织讨论中，能最大限度地让每个学生有发表自己见解的机会，真正使学生动起来，课堂活起来，特别是与众不同的见解，无论是否正确，是否完整，只要学生在思考，只要敢说，就应鼓励，这样让各个层次的学生都尝到成功的乐趣，能提高学生分析问题、解决问题的能力。

要让学生在课堂上多思敢问，就必须为学生参与教学创造有心理安全和自由的气氛，否则学生就不会多思，也不敢多想，有了问题也不敢多问，有了想法也不敢多说，长此以往，学生的问题意识就会淡化。

（2）创设想问的情境，心理学家研究表明“思维来自于疑问，意向产生于恰当的问题情境”，设置问题情境的目的是为了激发学生的学习兴趣，使学生处于智力的情境中，事实上，当创设的问题情境激发了学生接受挑战的欲望时，则说明这种问题情境已经生成，已起到了作用。

因此，教师在设计以问题为核心的情境中，在问题基础上展开讨论、阅读、讲解、点拨，然后再激发出新的问题，同时，教师要学会从学生的直接表述中发现问题，应该学会从了解到学生的认识基础与新现象矛盾中发现问题，而且积极引导学生多角度地观察问题，思考问题，使学生敢想、敢说、敢质疑。

（3）教给会问的方法，要培养学生的问题意识，除了要学生敢问、想问，还要让学生会问、教师要教给学生一些提问的技巧，提高学生的思维品质，如教材中出现的“通过上面例子，你发现了什么规律？”“你有解决这个问题的更好的方法吗？”“在同样条件下，还有其他结论吗？如果条件改变或部分条件改变，结论会怎样？”这不仅教给学生会问的方法，同时使学生能主动参与认识过程，能提高学生分析问题、解决向题的能力。

3.问题获解后的探究

篇9

1.

作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；

2.作一腰上的高；

3过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行边

2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线

3.平行于两条斜边

4.作两条垂直于下底的垂线

5.延长两条斜边做成一个三角形

菱形

1.

连接两对角

2.

做高

平行四边形

1.垂直于平行边

2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意

矩形

1.

对角线

2.作垂线

很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线?

①见中点引中位线，见中线延长一倍.

在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有

1、过上底的两端点向下底作垂线

2、过上底的一个端点作一腰的平行线

3、过上底的一个端点作一对角线的平行线

4、过一腰的中点作另一腰的平行线

5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交

6、作梯形的中位线

7、延长两腰使之相交

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线

一．

添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明

二．

基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

作辅助线的方法

一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

九：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

初中几何辅助线

一 初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线.

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为和。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二 由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

三 由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，

四 由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）

、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

（二）

、由中点应想到利用三角形的中位线

（三）

、由中线应想到延长中线

（四）

、直角三角形斜边中线的性质

（五）

、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

（六）中线延长

口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

五 全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

六 梯形的辅助线

口诀：

篇10

【关键词】数学情境；语言思维；探索能力

在教学实践中，设置数学情境是前提，它起着思维定向、激发动机的作用，教师重在用语言引导学生，培养学生的观察能力、分析能力，而在课堂上提出数学问题则是关键之关键，这是培养学生创造性语言思维能力的核心和难点，重在引导学生大胆猜测和探索，数学情境的问题教学研究，可以看作是语言教学法的一种形式，语言教学模式可以在以下几个方面有所探索：

一、加强文字语言在课堂教学中的运用，培养学生的学习兴趣

要在数学课堂教学中培养学生的语言思维能力，教师首先要有良好的语言思维品质，在教学中正确发挥语言思维的广阔性、深刻性、灵活性、批判性.数学教师的教学风格也生动地体现出教师的语言思维特点和语言思维品质，教学风格多由教师的教学语言表现出来，思维与语言互相融合、互相推进，通顺、清晰、精练、活泼的语言，不但能准确地传递信息，加强学生对知识的理解与掌握，而且有助于创设优良的教学环境，使师生双方处于轻松，愉快的美好状态下共同完成教学任务.教学风格还与教师的语言特长有关，但不论什么特长，教师的语言思维品质必须优良，只有具备了优良的语言思维品质，教师的语言思维特长才能发挥得淋漓尽致，才能更好地为教学服务.

二、加强文字语言、符号语言互译的教学，培养学生对符号语言的解译能力

符号语言是数学语言的一种，具有简洁、严谨、通用等特点，符号语言教学也是数学教学的一项基本内容.用符号表达则简练，用图形表达则直观形象，但是不少学生不善于对数学语言的多种形式进行转化，尤其是对抽象的数学符号语言常常回避，造成死板、思维僵化的结果，因此数学语言形态间的互译，不仅有利于对数学知识的理解和记忆，还可使学生熟悉数学语言本身，能够合理简洁、准确地用数学符号语言表达数学思维，提高学生的数学素质.

例如，在学习等腰三角形的性质时，这节课是对等腰三角形性质的探讨，采用实验归纳与逻辑推理两种方法同时进行的处理方式.学生通过操作实验，不仅发现和明确了结论，而且获得了进行逻辑推理的经验支持和思考基础.对于等腰三角形的“三线合一”这一性质，是从对“等腰三角形两个底角相等”的说理过程进行反思以后得到的，教科书上的语言分析过于简单，而这一性质相当重要，学生如果不理解透彻了，以后就很难把它演变成数学符号语言来进行证明.首先用语言把它分成三个方面来进行讲解：①等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线重合；②等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合.同时，在上课时，结合等腰三角形的图形让学生自己用语言进行逻辑推理C明，让学生对所学知识的认识经历一个过程，使学生能更好地掌握这一知识点.接着，让学生根据图形，用符号语言表达这三条性质，

①如图1：在ABC中.如果AB=AC，∠1=∠2，那么BD=DC；②如图1：在ABC中.如果AB=AC，∠1=∠2，那ADBC；③如图1：在ABC中，如果AB=AC，BD=DC，那么ADBC.最后让学生自己把这三个知识用文字语言归纳为：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）.再让学生用符号语言进行归纳为：如图1，在ABC中，AB=AC，①∠1=∠2，②BD=DC，③ADBC三个条件中，满足其中一个就能得出其他两个.然后，根据这条性质出了一些练习，当堂进行测试，学生都能做对，这个知识点通过这样一分解，学生上课时都能理解和应用.

图1

图2

三、加强文字语言、图形语言互译的教学，培养学生对图形语言的解译能力

数学几何图形综合题令很多学生望而生畏，有些学生可能一看到长题或复杂图形就放弃，其实我们教师只要在平时教学中加强训练，引导学生合理解读几何图形，将难度分解，一个复杂问题推到最简单的基本图形情况，构建解决问题的简单情境，由此获得启发，进而找到解决问题的正确途径.

几何证明中许多题目都是由基本图形组成的，特别在相似三角形这一内容中，许多图形都有A字形.例如，让全班学生动手操作：将一把等腰直角三角尺放在腰长为2的等腰直角ABC上，并使它的45度角的顶点（D）（见图2）在斜边BC上滑动（点D不与B、C重合），使三角尺的一边始终经过直角三角尺顶点A，另一边与AC相交于点E.探究：①问图中有哪些三角形相似，并加以证明.②设BD=x，AE=y.求y关于x的函数关系式，并写自变量x的取值范围.③当点D在线段BC上滑动时，ADE是否可能成为等腰三角形？如果有可能，求BD的长.