角的分类范文

导语：如何才能写好一篇角的分类，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

教材分析：

“角的分类”是义务教育课程标准实验教科书数学4年级上册第二单元第三课时的内容。它是在学生初步认识角，会用量角器量角的基础上进行教学的，教材借助两把折扇的实物素材认识平角和周角。通过观察、动手实践、探究掌握锐角、直角、钝角、平角、周角之间的关系，让学生感受到数学学习内容是现实的、有意义的。在教材的编排方法上，它充分采用了不完全归纳法，步步设疑，层层推进，引导学生在做中悟理、在看中归纳、在用中深化揭示新知。考虑到学生的年龄特点和知识水平，教材以直观操作作为思维的起点，综合运用了基本的逻辑方法和数学方法，在培养学生的动手操作能力、迁移类推能力、自主探究能力和归纳概括能力方面均有较为重要的作用。

学情分析：

学生已经初步认识了锐角、直角和钝角，并学会了测量角的度数，知道直角的度数是90度。他们在生活中也接触了大大小小不同的角。但是学生对角的认识多存在于直观和感性认识层面上，缺乏理性的认识。

教学目标：

1.使学生根据角的度数区分直角、锐角、钝角、平角和周角，并理解这些角之间的关系。

2.通过生动、有趣的数学情境和活动，培养学生动手操作、观察比较、抽象概括的能力，发展学生的空间观念。

3.培养学生的合作意识和自主探究学习的能力，激发学生学习数学的兴趣，感受数学与生活的密切联系。

教学重、难点：

认识平角、周角，依据角的度数区分锐角、直角、钝角、平角和周角，利用平角和周角来求出两条相交直线所形成的4个角的大小。认识周角。

教学设想：

本节课考虑到学生的心理特点和对知识的认知程度，我把课堂交给学生，放手让学生去探索交流、去寻找问题的答案。考虑到分类这一现象生活中到处可见，我把学习建立在学生原有的生活和经验的基础上，让数学带上生活味，充分调动学生的积极性、主动性，渗透分类的思想。

教具学具：折扇、活动角、量角器、三角板。

教学过程：

一、谈话交流，导入新课

师：同学们，昨天我们学习了角的测量，今天我们继续学习和角有关的知识。（板书课题：角的分类。）

【设计意图：本节课我采用直接导入的方式，重在让学生明确本节课的学习内容，使学生能够很快把精力投入到本节课的学习过程中来。】

（请学生自己画几个角，然后小组内把组员所画的角进行分类。）

汇报分类的结果（锐角、直角、钝角），并板书。除了这3种角，我们今天还要认识两种新的角。如果有同学知道，则由学生说出。（平角和周角）如果学生说不出则教师呈现。

【设计意图：让学生画角，并回顾之前学过的角，是为后面学习角的分类以及几种角之间的关系做铺垫。】

二、自主探究，学习新知

1.学习数学书第41页例2

（1）出示平角和周角。

（2）学生质疑。（这是角吗？）

（3）小组内讨论：平角和周角到底是不是角。

（4）汇报。结合角的定义，学生会知道第一个图形有一个顶点，两条边，是从一点引出两条射线所围成的图形，所以应该是角。

第二个图形学生可能会理解不了，因为直观看去只有一个顶点、一条边。拿出折扇慢慢打开，使学生看清把扇子转了一圈的动作，明白是两条边重合在一起，所以也应该是角。

（5）动手画一个平角，一个周角。

（6）找身边的平角和周角。

【设计意图：平角与周角的定义直接给出，而至于什么样的角是平角，什么样的角是周角，为什么说这样的角是角，这一系列的问题都由学生通过自主活动找到答案，教师适时地点拨，激发学生的探究欲望。这样的学习过程，调动学生多种感官参与到课堂学习活动中来。找身边的平角与周角，巩固学生对在生活中处处都有角，都有数学知识的认识。】

2.学习例3

我们现在都认识了哪些角？（锐角、直角、钝角、平角、周角。）你知道这些角之间有什么关系吗？

（1） 学生小组内测量上课初所画的角的度数。填学习汇报单。

（2） 通过小组讨论，学生会发现锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度，平角等于180度，周角等于360度。

（3）总结：锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度，平角等于180度，周角等于360度。

1平角=2直角

1周角=2平角=4直角

【设计意图：测量角的度数，可以对上一节所学的角的测量这一部分知识进行巩固。学生在小组内测量，那么测量的过程中就会发现，直角、平角、周角的度数是唯一的，而锐角、钝角的度数是不唯一的，他们就会自主去探究锐角和钝角度数的范围。】

三、学以致用，拓展升华

知识大闯关。（课件出示。）

第一关：基础达标

1.拿出活动的角，按老师的要求，摆出各种角。

2.教材第43页第2题。

3.判断。

（1）1平角=2直角。 （ ）

（2）钟面上3：00时，时针和分针所成的角是锐角。（ ）

（3）钝角都大于锐角。（ ）

（4）常用的计量角的大小的单位是“度”。（ ）

（5）角的大小与角两边叉开的大小有关。（ ）

第二关：拓展延伸

1.教材第43页第4题。

2.利用三角板拼角。

3.教材第44页第7题。

【设计意图：设计闯关练习的目的是为了充分调动学生的兴趣，练习以课本中的习题为主，并在此基础上进行了拓展。其中用活动的角摆角和用三角板拼角的练习，不但随机性强，而且能使学生的练习不局限于纸笔。】

四、回顾所学，课堂小结

篇2

一、运用角平分线的定义沟通角之间的关系

例1（湖北荆州）如图1，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E.找出图中与PA相等的线段，并说明理由.

解析：由DP平分∠ADC可得∠ADP＝∠PDC＝45由AD∥BC可得∠ADP＝∠DPC，从而得到∠PDC＝∠DPC，所以PC＝DC.又因为AB＝DC.所以AB＝PC.由于直角三角板的直角顶点放在点P处，所以∠APE＝90从而∠APB＋∠EPC＝90，又因为∠EPC＋∠PEC＝90，所以∠APB＝∠PEC.在PAB和EPC中，因为∠B＝∠C＝90AB＝PC，∠APB＝∠PEC，所以PAB≌EPC，从而可得PE＝PA.

点评：本题把角平分线置于矩形的背景之中，与平行线组合使用，沟通了角与角之间的关系.由于角平分线、平行线都具有转化角的作用，在两者共存的图形中常会出现等腰三角形，所以命题者常将两者组合，设计出精彩纷呈的题目.

二、运用角平分线的性质转化垂线段的长度

例2（河南省）如图2，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC∥OA交OB于点C．若∠AOB＝60，OC＝4，则点P到OA的距离PD等于_____．

解析：因为OP平分∠AOB，∠AOB＝60，所以∠AOP＝∠BOP＝30由PC∥OA可得∠OPC＝∠AOP＝∠BOP＝30，所以PC＝OC＝4，∠PCB＝∠OPC＋∠POC＝60 由于点P是∠AOB的角平分线上一点，且PDOA，所以可联想到角平分线的性质――角平分线上的点到角两边的距离相等，为此过点P作PEOB于点E，则PE＝PD.在RtPCE中，由∠PCE＝60可得∠CPE＝30，从而PC＝2CE＝4，由勾股定理可得PE＝ ＝＝2，从而点P到OA的距离为PD＝PE＝2.

点评：角平分线的性质是角的轴对称性的一个具体体现，由条件“PDOA”联想到角平分线的性质是解决本题的思维突破口.本题通过添加辅助线，构造出了角平分线性质的基本图形，巧妙实现了垂线段长度的转化.

三、运用等腰三角形“三线合一”性质巧作角平分线

例3（江西省南昌市）如图3，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（请保留画图痕迹）．

解析：由条件OA＝OB可联想到连接AB，得到等腰三角形OAB.根据等腰三角形的“三线合一”性质，要画出∠AOB的平分线，只需作底边AB上的中线.考虑到AB是矩形AEBF的对角线，根据矩形的性质，要作出AB的中点，只要连接EF，那么AB与EF的交点C就是AB的中点，从而过点C作射线OC就可得到∠AOB的平分线（如图4）.

点评：命题者把等腰三角形“三线合一”性质的基本图形与矩形的基本图形进行了有机的组合.本题有两个巧妙之处，一是矩形对角线的交点恰好就是等腰三角形底边的中点，二是等腰三角形底边上的中线恰好就是顶角的平分线.正是这两个“巧妙”，为我们作角的平分线提供了一种新方法.

四、以角平分线为轴构造翻折型全等三角形

例4（山东省济宁市）如图5，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点.OA，OB的长分别是8，6，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动.

（1）求直线BC的解析式；

（2）设PA－PO＝m，P点的移动时间为t.

①当0＜t≤4时，试求出m的取值范围；

②当t＞4时，你认为m的取值范围如何？(只要求写出结论)

解析：（1）如图5，在RtABO中，根据勾股定理，由OA＝6，OB＝8可得AB＝10.由于BC平分∠ABO，所以可过点C作CDAB于点D，易证得OBC≌DBC，所以BD＝BO＝6，OC＝CD，又因为AB＝10，所以AD＝4.设OC＝CD＝x，在RtACD中，由勾股定理得CD2＋AD2＝AC2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，所以点C的坐标为(3，0).设BC的解析式为y＝kx＋b，把B(0，6)、C(3，0)代入得，解得，所以BC的解析式为y＝－2x＋6.

（2）先考虑t＝4这种特殊情形（如图6），此时PB＝4 ，又因为BC＝ ＝＝3，所以PC＝ 4－3 ＝.作PHOA于点H，易得OBC∽HPC，所以 ＝＝，即＝，所以CH＝1.由OC＝3，CH＝1可得OH＝4，又因为OA＝8，所以H为OA的中点，又PHOA，所以此时PO＝PA，即m＝0.

①当0＜t≤4时（如图7），显然PA≥PO，即m≥0.由于BC是∠OBA的角平分线，所以可考虑构造翻折型全等三角形，为此在BA上截取BE＝BO＝6，易证得BPO≌BPE，从而PE＝PO.在PAE中，根据三角形三边关系可得，PA－PE＜AE，而AE＝4，所以PA－PE＜4，又因为PE＝PO，所以PA－PO＜4，即m＜4，又此时m≥0，所以当0＜t≤4时，0≤m＜4.

②当t＞4时（如图8），显然PA＜PO，即m＜0.同①可得m＜4，所以当t＞4时，m＜0.

篇3

1． 通过操作根据三角形角、边的特点给三角形分类，认识各种三角形。

2． 经历操作、分析思考的过程，感悟分类、抽象概念的数学思想。

3． 在操作、思考中逐步发展学生的空间想象能力。

教学重点：

能准确地按照三角形角、边的特点给三角形分类，认识各种三角形的特征。

教学难点：

各类三角形之间的联系和区别。

教师准备：

课件、7个有代表性的三角形教具（两套）、等腰和等边三角形纸片。

学生准备：

小组：一套7个有代表性的三角形、一张白卡纸、一套三角板。

个人：等腰和等边三角形纸片、钉子板。

一、激发需要，揭示课题

1． 三角形各部分名称：（屏幕出示：三角形图）同学们，这是什么图形？哪位同学愿意给大家介绍一下三角形各部分的名称。（屏幕出示图及名称）

2． 师生举例：生活中你在哪里见过三角形？老师也收集了一些（屏幕出示图片：三角板，红领巾，花瓶，积木；自行车，警示牌，房屋，长江大桥；金字塔等）。的确，在我们生活中会经常用到三角形。

3． 揭示课题：把这些三角形放在一起（屏幕出示更多三角形）。看到这么多三角形，你有什么想法？这节课我们就来对三角形进行整理，学习三角形的分类。

二、动手操作，合作探究

（一）合作探究

学生以小组为单位尝试按照不同的标准进行分类，教师参与到学生的分类活动中。

（二）汇报交流

学情预设：学生分类主要有以下4种、3种或两种，还可能有其他分类方法。

（1）按角分，分两类。哪一组先来展示？并说明是按什么标准来分类的？分成几类？（2和6都有直角分一类，其他5个没有直角分一类。）老师用教具把分类展示在黑板上。

（2）按角分，分三类。有没有也是按角分但不是分成两类的？（2和6都有直角分一类，1和3都有钝角分一类，4、5、7全是锐角分一类。）与刚才不同的是把1和3有钝角的单独分成了一类。还有没有按角分，分得不同的？【板书：按角分】

（3）按边分，分三类。除了按角分还有别的分类标准吗？分成几类呢？（2、3、4都有两条边相等分一类，5是三条边相等分一类，1、6、7三条边都不相等分一类。）老师用教具把分类展示在黑板上。（师摆三排）有没有按边分，分得不同的？

（4）按边分，分两类。两类的：有边相等的分一类，无边相等的分一类；与刚才不同的是把5分到两条边相等一类。还有没有按边分，分得不同的呢？【板书：按边分】同学们，除了按角分和按边分还有别的标准吗？若有，要展示判断。

（三）初步研究按角分的三角形

（1）直角三角形。同学们即会定标准又会操作，将三角形按角分了类，还按边分了类。我们先来看按角分的三角形，第一组三角形的角有什么相同的地方？（有一个角是直角，另两个角是锐角）（屏幕出示图文）叫什么名字？你在哪里知道这个名字的？【板书：直角三角形】

（2）钝角三角形。再看第二组三角形的角有什么相同的地方？（有一个角是钝角，另两个角是锐角）（屏幕出示图文）什么名字？【板书：钝角三角形】

（3）锐角三角形。再看第三组三角形的角又有什么相同的地方？（三个角都是锐角的三角形）（屏幕出示图文）三个角都是锐角的三角形是（生：锐角三角形）。【板书：锐角三角形】

（四）猜三角形活动

事实上，三角形的个数远远不止这几个，按角分的三角形，除了这三种，还有别的种类吗？【板书：三角形的种类】（学生可能回答有或没有，也可能疑惑不回答）看来大家意见还不够统一，不过没关系，我们一起来做个猜三角形的活动后大家就明白了。

（1）猜直角三角形

①顺猜：袋子里装着三角形，只露一个角请猜是什么角三角形？说说你的想法。有没有不同的？（若有猜锐角或钝角三角形的，追问：你是怎样想的？其他同学的意见呢？让正确的反驳。）

②反证：三角形中有了一个直角，还会有第二个直角吗？如果有两个直角会是什么样子呢？想象一下。（屏幕出示：两个角是直角的演示图■）你发现了什么？有了两个直角还能围成三角形吗？师小结：说明三角形中有了一个直角，还会有第二个直角吗？（不会）有一个直角还会有钝角吗？（屏幕出示：第二个角是钝角演示图■）师小结：说明三角形中有了一个直角还会有钝角吗？（不会）也就是说三角形中有了一个直角后，另外的两个角既不可能是直角也不可能是钝角，另外两个角一定是锐角。

③简洁：（屏幕出示：有一个角是直角，另两个角是锐角的三角形是直角三角形。）你能把这句话说得简洁些吗？（有一个角是直角的三角形是直角三角形。）

（2）猜钝角三角形

谁来猜是什么角三角形？说说你的想法。（屏幕出示：有一个角是钝角，另两个角是锐角的三角形是钝角三角形。）谁又能把第二句话说得简洁些？（有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。）

（3）露一个锐角猜三角形

还想猜吗？（锐角三角形）有没有不同的？（直角三角形）还有没有不同的？（钝角三角形）三种情况都有可能吗？谁来说说你是怎样想的？师展示：同样大的一个锐角所在的三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。什么是锐角三角形呢？改成“有一个角是锐角”行吗？改成“有两个角是锐角”行吗？为什么？必须三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形。

（五）三角形中至少有两个锐角

直角三角形、钝角三角形、锐角三角形虽然名称不同，但都有什么角？（锐角）各有几个锐角？（2个3个）三角形中有2个锐角或3个锐角，可以怎么说？（三角形中至少有两个锐角）谁能解释一下至少在这里是什么意思。

（六）研究按边分的三角形

（1）等腰三角形

①概念、通过按边分类，我们发现三角形的边还有特殊的情况。第一组的三角形的边有什么特点？取个什么名字？【板书：等腰三角形】什么是等腰三角形？（屏幕出示：两条边相等的三角形是等腰三角形。）

②各部分名称。这两条相等的边就是腰，另一条边是底。两腰之间的夹角是顶角，剩下的两个角是底角。（直角横放）哪位同学上来给大家边指边介绍等腰三角形各部分名称？师小结：不管怎样摆放，相等的两条边才是腰。请标出8号三角形各部分名称。

③验证底角相等。除了两腰相等，等腰三角形还有什么特征呢？请用8号三角形去发现吧！你发现了什么？怎样发现的？（量）还有什么方法？（对折）请生边展示完全重合边验证底角相等。

（2）等边三角形

第二组三角形的边有什么特点？什么名字？（等边三角形）【板书：等边三角形】什么是等边三角形？（屏幕出示：三条边都相等的三角形是等边三角形。）等边三角形也是正三角形。除了三条边都相等，等边三角形还有什么特征呢？请用9号三角形去发现吧！怎样发现的？还有什么方法？请生展示对折两次传递相等的方法。

（3）等腰三角形和等边三角形的关系

什么是等腰三角形？什么是等边三角形？等边三角形是不是等腰三角形呢？看来意见又不统一双方各派一名代表发表意见。师小结：等腰三角形的条件是两条边相等，等边三角形具备两条边相等的条件，等边三角形还具备三边相等的特点，所以等边三角形是特殊的等腰三角形。

三、弹性活动，落实建构

1． 其实这些三角形还可以用钉子板来围一围，请你围一个喜欢的三角形。

篇4

关键词 分类教学 数学教学 应用

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

一、分类教学的内涵

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，为下一步分类讨论奠定基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。

讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：

通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。

二、分类教学法能够增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：

（一）根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例1，化简解：

这是按绝对值的意义进行分类。

例2、比较与易得的错误，导致错误在于没有注意到数 可表示不同类的数。而对数 进行分类讨论，既可得到正确的解答：

〉0 时 ，= 0 时 ，< 0 时 ，

（二）根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

学习一元二次方程，根的判别式时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类研究 大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题 的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。

（三）根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例如 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是（ ）。

分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD，如图，可得腰上的高是 或从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

三、在教学和学习中充分体现分类思想

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

例3、已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－110 两种情况来研究解决问题。

解：当m＝l 时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当 m11 时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

当＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0.

抛物线 y=－x2－2x－1，的顶点（－1，0）在x轴上。

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献：

篇5

一、摸清情况，分类排队

新生入学后，笔者便组织两次基础摸底考试，考试内容包括基本概念、定理、公式、计算题、推理题等，两份试卷题量不一，难易相差较大。通过考试成绩，将全班学生分成A、X两类，把基本掌握初中数学内容的划为A类，其余的划为X类。在开课一个月内，通过课堂提问、作业完成情况等，进一步掌握学生的真实情况，又将X类分为B类和C类。所谓B类，是指尽管数学基础差，但智力条件和综合素质并不差，在初中阶段由于主客观原因而掉队的学生；所谓C类，是指不但基础差，而且综合素质相对差一些的学生。开始分类时，B、C类的学生不宜太少，各类学生的比例大体相当。

二、指标考核，动态管理

通过建立相应的指标考核体系，随时调整学生的分类。指标内容分为软硬两部分，软指标包括学习态度、学习主动性和自觉性、互帮互学情况、素质能力等，有学生本人、教师、班主任、课代表、班长等打分评价；硬指标包括课堂作业和课后作业的完成情况和质量、课堂提问的回答情况、考试考核的分数的等。上述指标体系按分值进行综合，确定评价得分，根据全班的评价得分情况进行顺序排队，确定各类的分数线。各类分数线动态下浮，每两周一次，半学期后，A类学生占到二分之一以上，B类四分之一左右。

三、分类要求，按类施教

中专数学课的教学目的主要有三个，其一是培养他们严密的逻辑思维能力和基本的运算技能；其二是作为重要的文化基础课，满足与专业基础课和专业课等后续课程的教学需要；其三是学生继续升学深造的一门必考课程。对不同类别的学生确定不同的培养目标。

1.课前预习――任务不同

在每堂课结束前，都要布置下堂课的预习内容，并分类提出任务和要求。例如，“倍角公式”的教学，A类学生的要求是掌握公式的推导及变形应用：B类学生的任务是了解公示的推导及公式的直接应用；C类学生则要求记住公式。

2.课堂提问――重点不同

对不同类别的学生提出不同难度、不同深度的问题，通过学生的回答情况，既可以了解学生对上次课内容的掌握情况，又能对学生课前预习的检查和督促，还是进行动态管理的依据。对达到目标要求的学生及时鼓励使之向上一类努力，对B类学生达到A类预习要求的及时提高要求，对个别学生不求上进、完不成预习任务的，课后个别谈话，掌握动向，经常督促检查。

3.课堂讲授――内容不同

课堂讲授的主要精力应用于解决重点、难点和学生在预习中没有解决的问题。因此，讲课时要根据作业、预习及提问和各类学生的实际情况，突出重点，抓住关键，分散难点，讲清知识，循序渐进。课前准备好三种不同类型的例题，先讲授直接套用公式的例题，并随时布置课堂练习，让C类学生随时巩固。再讲难度较大和变形应用的例题，让A、B类学生进一步提高，让全体学生都有提高。

4.课堂练习――要求不同

课堂练习题目的选择要有艺术性、技巧性、趣味性和目的性。既要让全体学生在掌握基本理论的基础上，利用基本方法解决问题，又要使A、B类学生通过积极思考，解答有一定难度的问题。因此要精选题型、难易相间。分类教学的课堂练习有三个好处，一是学生边做题教师边辅导，个别问题可以在学生身边及时解决；二是课内做题效率高，课堂内容可以当堂消化巩固；三是A类学生受到督促，B、C类学生能及时得到辅导，所有学生学有所得，不断提高他们的学习兴趣。

5.课后作业――题量不同

课后作业的选择应做到：难易有度；加强对概念的理解；掌握计算和表达方法；检查所学定理、公式、法则的掌握情况；搞清容易混淆的概念；防止学生忽略某些条件的习题。作业量相对大一些，但不要学生全部做完，各类别的学生可根据自己的水平有选择地完成。通过作业和联系，全体学生都要达到对课堂所学知识的复习、巩固、提高的目的。

6.考试考核――难易不同

为实行分类施教的需要，考试考核的内容既要全面具体有一定的广度，又要有一定的难度和深度，拟定试题一般掌握：基本知识、基本应用方面的试题占70%，有一定难度的试题占20%，难度较大的试题占10%。

篇6

等腰三角形是九年制义务教育课程标准实验教科书（人教版）八年级上册第十二章“轴对称”第三节的内容。它是一个特殊的三角形，两腰相等且两底角相等。它的性质可以用来解决很多几何问题，但也正是因为它有这样的特性，与它相关的问题会因为条件的不确定而出现多解。因此，在解等腰三角形边、角问题时，常常要运用分类思想。在等腰三角形复习课中，将分类讨论作为一个专题复习很有必要。

二、学情分析：

八年级的学生已经有了一些几何知识的积累，在本节课以前，学生已经学习了有关等腰三角形的一些知识，如等腰三角形的定义，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等。对于等腰三角形中的分类讨论，有时学生感到似乎比较简单,但要真正完整解答,却并非容易。学生遇到的最常见问题是漏解，有些同学甚至从初学阶段到最后的复习阶段都反复出现同样的错误。要解决这一问题，除了认真仔细，更重要的是要学会运用分类思想解等腰三角形边、角问题。

三、教学目标：

（一）知识与技能目标：

1、培养分类讨论的思想；

2、会运用分类讨论的思想来解决等腰三角形有关问题。

（二）过程与方法目标：

1、让学生在知识点复习、归纳以及充分的变式训练过程中，体会分类思想；

2、在上述过程中，发展学生归纳、概括和有条理表达活动的过程和结论的能力。

（三）情感态度与价值观：

1、培养学生积极参与、合作交流的意识；

2、在分类讨论的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气。

四、教学重点：

1、了解等腰三角形边、角分类讨论的情况；

2、会运用分类思想解等腰三角形边、角问题。

五、教学难点：

会运用分类思想解等腰三角形综合题

六、教学思路：

首先，通过知识点流程图复习等腰三角形边、角有关知识点，让学生明白因为等腰三角形边、角的特殊性，所以在解与它相关问题时常常要分类讨论。接着，通过变式训练让学生了解等腰三角形边、角分类讨论情况。最后，让学生学会运用分类思想解等腰三角形边、角综合题。

七、教具准备：

内角为110°、20°、50°的三角形纸板、三角板、PPT课件、电脑、投影仪等。

八、教学过程：

一、［教学环节］温故而知新

［教学内容］问题：请同学们根据知识点流程图，按箭头方向，将屏幕中的条件添加到最合适位置。

［教师活动］1、展示一幅等腰三角形边、角知识点流程图，让学生添加合适条件。

2、由等腰三角形边、角的特殊性导入新课。

［学生活动］1、观察流程图，思考问题。

［设计意图］通过复习相关知识点，让学生明白等腰三角形边、角的特殊性，顺利导入新课。

2、根据箭头方向选择最合适的条件。

二、变式探究

［教学内容］【既快又准】

1、ABC中，已知：AB=AC，

①若∠A=40°，则ABC的另两个角的度数为；

②若有一个角为40°，则ABC的另两个角的度数为；

③若有一个角为140°，则ABC的另两个角的度数为；

2、在ABC中，已知：AB=AC

①AB=2，BC=3，则ABC的周长为；

②若有两边长为2、3，则ABC的周长为 ；

③若有两边长为2、5，则ABC的周长为 ；

［教师活动］1、提示学生画出草图，帮助解题。

2、提醒学生注意题目间的联系与区别。

3、提问:为何出现两个答案？如何分类讨论？

4、提醒：求出三角形边长后，应记得判断是否能构成三角形。并复习如何判断三条线段能否构成三角形。

5、小结：在解等腰三角形边、角问题时，要注意分类讨论，防止掉入数学的“陷阱”。

［学生活动］

1、通过观察、比较习题，画出草图，了解分类情况，自主得出答案。

2、共同回顾“三条线段能构成三角形” 的判断方法：任意两条之和大于第三条。归纳技巧：只要最短两条之和大于第三条即可。

［设计意图］1、通过针对性的变式训练，让学生了解等腰三角形边、角分类情况。

2、鼓励学生发表自己对问题的理解，大胆说出解题思路，锻炼学生思维，培养语言表达能力。

三、巩固提高

［教学内容］

【小试牛刀】

1.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则其顶角的度数为_________。

2.若等腰三角形的底边为5，其周长被一腰上的中线分成差为2的两部分，求腰长。

【挑战自我】

在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形。

［教师活动］1、要求学生根据题目意思，画出符合条件草图，写出解题过程。

2、提问：等腰三角形按角的大小可分为几类？等腰三角形周长被一腰上的中线分成的两部分指的是哪两部分？

1、提示：注意分类讨论，找出所有符合要求的图形。

2、指出学生错误做法，提醒要认真审题、理解题目意思。

3、让学生展示结果，说出方法，与大家分享。

［学生活动］

1、思考问题，根据题意画出草图，得出答案。

2、思考，质疑，发表自己的见解，得出不同结果。

［设计意图］

1、鼓励学生发表自己对问题的理解，展示解题过程，说出解题思路，锻炼学生思维，培养书写和语言表达能力。

2.鼓励学生敢于质疑发表不同意见和看法，培养分析问题能力。

3、培养学生团结协作意识。

4、让学生学会用分类思想解决问题。

四、体会、分享

［教学内容］1、通过本堂课的探索,你有何收获?

2、反思一下你所获成功的经验, 与同学交流!

［教师活动］1、归纳总结今天所学内容。

2、引出下一节课《等腰三角形中的转化思想》。

［学生活动］学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法

［设计意图］通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力。

五、布置作业

［教学内容］《等腰三角形》练习卷

（其中的思考题，学生可以根据自己的情况选择完成）

［教师活动］1、针对学生认知的差异设计了有层次的作业题。

2、为了下一节的学习，设计了有关等腰三角形中的转化思想的习题。

［学生活动］根据自己的实际情况选择完成相应作业。

［设计意图］1、既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展。

2、为了下一节的学习，起到很好的铺垫作用。

九、教学反思：

（一）反思教学设计

本节课在教学过程中设计的一系列的教学环节，充分体现了新课改的理念。设计力图贯彻“以学生发展为本”的教育理念，采用“以教师为主导，学生为主体”的现代教学思想。并结合多媒体，使教学过程更加直观，学生更易于比较知识点间的联系与区别，从而掌握知识点。本教学设计充分体现了知识的发生、形成和发展的过程，通过知识点复习、变式训练等，引导学生发现等腰三角形边、角问题中蕴含的分类思想，突出重点，突破难点，抓住关键，得出结论。在教学过程中提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与结论让学生归纳，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。如此教学设计，对于学生良好思维品质的形成有重要的作用。

本节课首先通过知识点流程图复习等腰三角形边、角有关知识点，让学生明白因为等腰三角形边、角的特殊性，所以在解与它相关问题时常常要分类讨论，从而顺利导入新课。接着，通过变式训练让学生了解等腰三角形边、角分类讨论情况，培养学生分类讨论意识。最后，让学生学会运用分类思想解等腰三角形边、角综合题。

（二）反思学情分析

如何进行学情分析才能得到客观准确的结果呢？我觉得要明确分析的对象：

1、分析学生原有的知识基础。由于数学是一门前后知识关联性很强的学科，所以教师首先要了解与本堂课教学内容相关联的知识有哪些？学生的掌握情况如何？这是教学时引入和设计例题的关键。

2、分析学生的思维特点。数学是一门逻辑思维能力要求较高的学科，教师只有了解了学生的思维特点才能制定出适合的教学方案。

3、分析学生在学习过程中可能会遇到的困难。我在课前尽可能完整地估计出学生在学习过程中会遇到的各种困难，这样就可以针对每一种问题采取不同的应对策略。

篇7

一、三角形的形状不确定

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为

（ ）

A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°

分析 根据题意满足条件的三角形可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形。

解 （1）当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内部，它与另一腰的夹角为30°，则顶角∠C为60°，如图1—1。

（2）当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在腰的延长线上，它与另一腰的夹角为30°，则顶角的补角是60°，顶角的度数为120°，如图1—2。

综上所述，顶角的度数为60°或120°。故答案选D。

点评 因为三角形的形状不确定，因此，所对应的三角形的顶角的度数也就不一样。

二、线段未确定

在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

分析 线段OA可以是底边，也可以是腰。

解 如图2所示，若OA为底，则P1（1，0）；

点评 以上解答是按OA为边时的情况讨论，当然也可以按A为顶角的顶点和O为顶角的顶点的情况讨论。

三、角未确定

已知等腰三角形的一个角为80°，则它的另外两个角是_______。

分析 题目中没有指出80°角是等腰三角形的底角还是顶角，因此，需要分两种情况求解。

四、边未确定

已知AD为等腰ABC的腰BC上的高，∠DAB=60°，求这个三角形内角的度数。

分析 已知AD为腰上的高，则∠A为底角，而AB与AC不能确定哪个为腰，因此要分类讨论。

解 分三种情况：（1）如图3—1所示，AB=BC且ABC为锐角三角形。

因为∠ADB=90°，∠DAB=60°，所以∠B=30°。又AB=BC，所以∠BAC=∠C=75°。

（2）如图3—2所示，AB=BC且ABC为钝角三角形，则∠BAC=∠C。

因为∠ADB=90°，∠DAB=60°，所以∠ABC=90°+60°=150°，∠BAC=∠C=15°。

（3）如图3—3所示，AC=BC，则∠BAC=∠B。

因为∠ADB=90°，∠DAB=60°，所以∠B=30°。所以∠BAC=30°，∠ACB=120°。

综上所述，ABC的三个内角的度数分别为30°、75°、75°或150°、15°、15°或120°、30°、30°。

篇8

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性、条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题、探索规律的能力的提升。

一、把握时机，把分类思想渗透于日常教学中

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等。我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类、绝对值的意义、不等式的性质等，都是渗透分类思想的好机会。

例如：讲授完“负数、有理数”的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法。如可分为：

有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数 有理数正有理数正整数正分数零负有理数负整数负分数

又如：两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不能互相交叉。

二、思维的严密是解决分类思想的基础

所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的特征，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一小类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：

1.根据数学的概念进行分类

例1：化简：|a+3|+|a-2|

分析：这是按绝对值的意义进行分类，分别以a＜-3、-3≤a＜2和a≥2三种情况来讨论，教会学生注意区分界点的无缝特征。

2.根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

例2：解关于x的不等式：ax+3＞2x+a

分析：通过移项，不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0、a－2＝0、a－2＜0三种情况分别解不等式。

3.根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：相离、相切、相交。在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部、角的外部三种不同的情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。

三、引导探索，循序渐进地提高

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题。只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误以致丢失题目的关键部分。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性、严密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：一是涉及代数式或函数方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例3：已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1（m是实数）。如果函数的图像和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：切入点应选在是何种函数的讨论上，不同的函数会有不同结局。

解：当m=l时函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当m≠1时，函数就是一个二次函数y=(m-1)x2+(m-2）x-1

因而当Δ=(m-2)2+4(m-1)=0时，函数与x轴有唯一交点，所以此时m=0。

篇9

关键词 分类 渗透 思维 讨论

推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治.波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”，随着课程改革的深入，在应试教育“向”素质教育“转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。具体做法如下：

一、渗透分类思想，养成分类意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

进行完负数、有理数的概念教学后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：正有理数和负有理数。这就为下一步分类讨论奠定了基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。

讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

二、学习分类方法，增强思维缜密

（一）根据概念分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

（二）根据法则分类

学习一元二次方程 根的判别式时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类研究大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。

（三）根据图形分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，根据直线和圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

三、引导分类讨论，提高解题能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教学这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误，出现误解。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。例如，已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－110 两种情况来研究解决问题。

解：当m＝l 时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当 m=1时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

当＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0.

抛物线y=－x2－2x－1，的顶点（－1，0）在x轴上

又如， 函数y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求证：y的值恒为正数。

分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。

证明：⑴ 当x ≤0时

x5 - x3 - x ≥0 ， y≥1恒成立；

⑵ 当0 < x

y = x6 + （ x4 - x5 ） + （ x2 -x3 ） + （ x - 1）

x4 > x5 ， x2 > x3 ， 1> x

y > 0 成立；

⑶ 当x = 1 时， y = 1 > 0 成立；

⑷ 当x >1时

y = （ x6 - x5 ） + （ x4 - x3 ） + （ x2 - x ） + 1

x6 > x5 ， x4 > x3 ， x2 > x

y > 1成立

综上可知，y > 0 成立。

由此而观之，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献：

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一、识记

识记是指把某种意识到的数学信息，按其原本的形态或初步加工改组之后的形态，储存在大脑之中，以保证在需要的时候，能再认或再现这些信息。简单地说，就是记住和识别事实材料，使之再认或再现，不求理解。它是学习行为表现的最低水平。它又可分为认知和识别两级。

1.认知：指反复感知事物并记住事物特征的过程。它表现为对事物和表象原型的记忆，它只涉及“是什么”，这是一种最低级的“刺激――反应”过程。主要行为表现有：（1）写出或说出各种定义、定理、法则、方法、步骤等。如写出数列的定义，说出数学归纳法的证题步骤。（2）画出各种明确要求的简单的几何图形、函数图象和方程的曲线。（3）写出各种常用的数学符号，如各种集合符号，基本初等函数的解析式，排列数、组合数符号等等。（4）写出各种公式或各种关系式，如平均数不等式，柱、锥、台、球的面积公式和体积公式，圆锥曲线的标准方程等。

2.识别：是指在反复感知事物的过程中，能对事物与记忆中的其它相似或不相似的事物进行比较、对照和鉴别。在该过程中，能准确地找出其相互间的异同点，这种异同点应局限在“外部特征”上。主要行为表现有：（1）能指出各种具体的几何图形之间的差异，如球与球面、正弦曲线与余弦曲线等。（2）能说出各种关系式之间结构上的异同，如幂函数的解析式与指数函数的解析式，椭圆的标准方程与双曲线的标准方程。（3）能指出概念间在定义上的异同，如反正弦函数的定义与反余弦函数的定义、等差数列与等比数列的定义、排列与组合的定义、椭圆与双曲线的定义等。（4）能准确说出两种不同运算或解题模式、方法、步骤在程序或过程环节上的差异，如解指数方程、对数方程与解指数不等式、对数不等式在格式和步骤上的异同，用综合法和分析法在证明不等式时程序和格式叙述上的差异等。

二、理解

理解是指抓住材料的实质，把握材料的组成要素，能准确地叙述材料的结构特征，熟悉其适用范围和应用条件，掌握其应用模型，并能在规范或相似的环境中进行一定的发展和推理，它注重“为什么”，也就是知其所以然。理解可分为说明性理解和探究性理解两级。

1.说明性理解：就是对知识、技能的实质性领会，能用自己的语言表述出来或换一种形式表述出来，能说出其结构的组成要素及相互关系。主要行为表现有：（1）能把定义概念分解成几种不同的要素，如说明集合的三个特征，说明数列极限的“ε―N”定义的组成要素等。（2）能将一种形式（文字、符号、式子、图象等）的数学表示转化为他种形式表示，如将等差数列的定义用数学式表示出来，根据给定的曲线方程画出其曲线，由函数解析式作其图象，将极限的运算法则用文字语言叙述等。（3）能准确地区分定理、命题的题设和结论。能说明公式法则的适用条件和范围。

2.探究性理解：就是要求学生亲自参与提出、解决、研究、发展问题的全过程，对某一事物在一定范围内可能的发展趋势、倾向或结论，经过学生自己动手获得，它是较高层次上的理解。主要行为表现有：（1）说出某概念的所有外延形式，如说出任意角的分类、复数的分类、六面体的分类等。（2）说出某定理、公式的各种可能的用途，如说出同角三角函数关系式的作用。（3）对于给出的某些条件推出一些结论，如推导等差数列的通项公式、前n项和的公式。（4）证明一些定理和公式。（5）对一些问题成立条件进行深入的探索和研究，如研究三角形不等式（|a|-b|≤|a+b|≤|a|+|b|）等号成立的条件。

三、运用

运用，是指应用学过的知识和已有的经验，在一定的情境中解决问题，是知识转化为能力的具体表现。运用可分为模仿运用、封闭运用和开放运用三级。

1.模仿运用：是指直接利用某些公式、定理、法则、范例等，在相似的情境里解决相似的问题。它的主要特征有三点：一是定理法则等的直接应用，不作复杂的转换；二是与原始学习的情境相同或相似；三是解决的问题与原始的问题相似，即在旧情境中解决问题。很明显，这是一种低水平的运用。主要行为表现有：（1）能按一定步骤、方法、程序处理新问题，如仿照指数函数的性质，总结出对数函数的性质。（2）能根据例题、解决条件、模式相同或相似的新问题，如利用例题的处理方法，解决每节的练习题和少部分习题，这样的运用多数能在课堂上及时完成。

2.封闭运用：它是指应用学过的知识和已有的技能，解决情境中的问题。所谓“新情境”，是指学生遇到的问题与经历过的问题不论是条件、结论和结构均不相同。解决这类问题，一般不能直接利用现成的或经验过的模式来完成，大都需要进行一系列转化过程才能实现。由于经过一定的迁移可转化为旧情境，所以是一种封闭式的运用。主要行为表现有：（1）将新问题转化为旧问题解决，如将无理不等式化为有理不等式组求解。（2）把非标准式转化为标准式，将问题换角度解决，如用换底法求三棱锥的体积，又如用换元法、三角代换法、数形结合法等解决数学问题。