分式方程应用题范文
时间：2023-03-18 04:15:23
导语：如何才能写好一篇分式方程应用题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
1审题 弄清题意和题目的已知数、未知数，并找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系
2设未知数 选择一个适当的未知数用字母表示，并根据题目中的数量关系用含未知数的代数式表示有关的未知量
3列方程 根据相等关系列分式方程
4解方程 其过程可以省略
5检验 首先检查所列方程是否正确，然后检查所列方程的解是否符合题意
6写答 千万不要忘记单位
以上六个步骤，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量
现举例介绍，供同学们参考
例1 2008年5月12日，四川省汶川发生80级大地震，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少?人均捐款多少元?
分析:解答本题要注意利用如下相等关系：
第一天人均捐款数=第二天人均捐款数
解:设第一天捐款的人数为x人，则第二天捐款的人数为(x+50)人，依题意，得
=
解方程得, x=200
经检验, x=200是所列方程的解，且符合题意
所以两天捐款人数为x+(x+50)=450，人均捐款为 =24
答:两天共参加捐款的有450人,人均捐款24元
例2 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定:用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜结果:甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完 事后，甲同学说:“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说:“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的12倍” 根据图文信息，请问哪位同学获胜?
分析：要判断哪位同学获胜，应把甲、乙两位同学跑完全程的时间分别求出来 不难发现，表示本题全部含义的一个相等关系为：
甲跑完全程的时间+乙跑完全程的时间=甲、乙两同学所用的全部时间的和
解:设乙的速度为每秒x米，则甲的速度为每秒12x米 依题意，得 +6+ =50
解之, x=25
经检验, x=25是所列方程的解，且符合题意
所以甲跑完全程的时间为 +6=26(秒),乙跑完全程的时间为 =24(秒)
答:乙同学获胜
例3 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元
(1)求第一批购进书包的单价是多少元?
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元?
分析：解答本题要注意利用如下相等关系：
第二批所购书包数量=第一批所购书包数量的3倍
解:(1)设第一批购进书包的单价是x元，则第二批购进书包的单价是(x+4)元 依题意，得
= ×3
解方程得, x=80
经检验, x=80是所列方程的解, 且符合题意
答:第一批购进书包的单价是80元
(2)不难计算出,第一批所购书包数量为 = =25(个),第二批所购书包数量为25×3=75(个)
所以两批书包的全部售价为(25+75)×120元，即12000元
因为两批书包的全部进价为(2000+6300)元，即为8300元
篇2
北师大版八年级下册第三章第四节第三课时《列分式方程解应用题》。
一、设计思路：教材分析：
本节教学内容是在学过一元一次方程和二元一次方程及其应用之后进行的，是对方程应用的扩展，又是进一步学习可化为一元二次方程的分式方程的基础。学习了分式方程后，也为解决实际问题拓宽了思路，打破了列方程解应用题时代数式必须为整式的这一限制。
1、学情分析：学生已认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程，同时已掌握了利用一元一次方程解应用题的方法步骤，为本节分式方程的应用打下了基础。
2、设计理念：根据学生已有的知识结构，结合教材特点，选择引导式教学法、自主式探究法，积极培养学生的学习兴趣，争取让更多的学生达到学习目标。注重“学生是学习的主体”这一教学思想的体现，教学中通过设计开放性问题让学生认真分析、主动探索、积极讨论、友谊合作、尝试总结。使学生由被动接受知识变为主动地去获得知识。
三、教学目标:知识与技能：通过情景激趣，引导学生观察分析，在与列一元一次方程解应用题的类比中得出列分式方程解应用题的方法步骤。过程与方法：学生亲身经历探究相等关系的过程，再次体会应用方程思想解决数学问题的方法。情感态度：体会数学来源于生活，又应用于实际生活。
四、教学重点：认识列分式方程解应用题的基本方步骤。
五、教学难点：寻找等量关系的方法，体会建模的过程。
六、教具准备：选择学生身边的问题情境，制成多媒体课件。
七、教学方法：主要采用引导式教学法、自主式探究法。教师要引导学生认真分析题意，积极思考，主动探索，尽量让学生自己找出等量关系，归纳出列分式方程解应用题的一般步骤。课堂上让学生始终处于主动学习的状态，教师只起引导作用。
八、教学过程：
（一）、复习引入
出示题目：解方程略学生活动：两名学生板演，其他同学自主完成后交给同伴检查、交流，达成共识。最后另选两名同学点评板演的情况。教师活动：巡视指导，总结引入。解分式方程的思路是利用转化思想，先将其转化为已学过的一元一次方程，再通过验根来完成求解的。今天我们将要学习列分式方程解应用题，这与已学过的列一元一次方程解应用题基本类似，但又有区别，希望同学们在学习过程中认真体会。设计意图：既复习解分式方程的三个步骤，又为本节课的教学扫清障碍，作好铺垫。教师的总结引入承上启下，既点明了本节的学习内容，又道出了类比对象，同时提出了问题，引发学生注意与思考，并自然过渡到新课。
（二）、情境分析 构建模型
出示“房屋出租问题”的情境（教材P92 ），并依次出示思考题：（1）你能找出这一情境中的等量关系吗？（2）根据这一情境你能提出什么问题？（3）你能利用方程求出这两年间房屋的租金各是多少吗？学生活动（1）：仔细读题，认真分析题意。找出情境中的已知量、未知量，分析量与量之间的关系，最后找出等量关系，完成思考题（1）。活动形式：先自主分析，再小组讨论、交流后选一名代表板书找到的等量关系，各小组进行比赛，看哪个小组找到的等量关系多还用的时间少，最后集体交流、订证 ，选出优胜组。 教师活动：巡回指导，及时点拨。鼓励引导学生能从多角度分析出等量关系。集体订证整理后教师大屏幕展示学生找出的所有等量关系，包括：①第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元。②第一年出租房屋的间数=第二年出租房屋的间数。根据这一情境你最想知道什么?不防提出来让大家帮你解决。
篇3
关键词： 屋面和钢筋头；硬泡聚氨酯防水保温一体化材料；应用
中图分类号：TU198 文献标识码：A
引言：
建筑的节能和墙体的改造的改革政策的不断深化施工，工程队采用在现场喷涂硬泡聚氨酯屋面保温防水等一体化新兴技术正在兴起。
1. 屋面和钢筋头
我国在传统的屋面保温材料中，居民大多数采用的是挤塑聚苯板、珍珠岩，近年来珍珠岩有逐渐淘汰的趋势，而屋面的防水材料大多数采用的却是卷材防水。然而当遭遇到里外露钢筋头的陡坡屋面或造型怪异的屋面时，上述无论哪种做法均有很大的弊端，因为块体和卷材受本身形态限制无法有效贴合需做防水保温的钢筋头、造型基面，影响防水保温质量，若发生穿刺性破坏还将影响材料的使用年限，而硬泡聚氨酯喷涂克服了上述难点，其成型后稳定的化学性能可保证长久的使用年限。
2. 硬泡聚氨酯防水保温一体化材料
作为防水的保温一体化专用材料，喷涂硬泡聚氨酯体现了其自身一定的价值，在现场喷涂硬泡聚氨酯不仅要克服传统材料防水的不保温方面、保温的不防水方面、并且防水层一旦渗漏将会造成保温层失效等一系列弊病。况且在与其他的单一防水或保温材料的比拼中，其他材料相比硬泡聚氨酯材料具有比较明显的优势：但是硬泡聚氨酯材料具有一材多用的功能，不仅同时具备防水保温、隔音等诸多功能之外，况且保温性能优良的优势，在国内具有良好的声誉，其也是国内建材材料中导热系数最低小、热阻值最高的保温材料之一，更何况具有理想的不透水的效果。因而我国居民在家具生活中大部分将会采用这种的硬泡聚苯板来代替以往的传统材料，如果建筑商采用在现场喷涂以达到防水保温层的连续无接缝，防水抗渗性能优异，可有效节约材料、工期。
3.硬泡聚氨酯防水保温一体化材料介绍
硬泡聚氨酯的发展历史：建筑行业所用到的硬泡聚氨酯体保温材料是属于聚氨酯工业场中的一个重要分支，因为其具有一材多用的特点，并且同时具备保温、防水等功能。本类产品在20世纪60年代以来已经在欧洲建筑行业应用已超过40多年的历史，由于其生产工艺比较娴熟和成熟、混合密度高、耐用年限竟然长达30余年。在西欧的一些国家还专门通过立法把硬泡聚氨酯作为建筑行业的指定保温防水用材。并且在近10年来，由于我国在建筑行业的回暖，伴随着国内的大好发展前景，我国建筑行业的节能市场的迅速响应其发展，硬泡聚氨酯一体化保温产品在建筑行业的保温防水领域得到了广泛的应用，并且已经成为了主导市场的保温节能主流产品。 在我国的发展开始之初,硬泡聚氨酯在防水保温一体化材料方面可以说是情景很不明朗，在国内建筑业的应用也是尚处于初始阶段的试验过程。然而可喜的是，我国为了加快建筑保温材料的革新工程，国家开展了一系列的座谈会，只为促进硬泡聚氨酯在建筑节能领域的广泛的推广应用，因此国家司法部的建设部科学司专门成立了“硬泡聚氨酯建筑节能应用方面的推广工作小组”,以推进硬泡聚氨酯在保温防水材料方面从而国内建筑节能行业的应用。下面来介绍一下：
3.1 硬泡聚氨酯的保温、防火性能好
概念：硬泡聚氨酯是由聚醚多元醇（简称A料）和异氰酸酯（简称B料）中加入适量的发泡体和固化剂等添加剂之后，经化学反应之后产生了闭孔率不超过95%的聚氨酯硬泡体聚合物，因为其导热系数＜=0.024W/（m・K），而此仅仅为EPS发泡聚苯板导热系数的一半，节能效果非常好。又由于其喷涂厚度在40mm就能达到国家规定节能65%的要求。因而在材料密度≥55Kg/m3,压缩性能≥300kPa，尺寸稳定性（70℃，48h）≤1%，吸水率≤1%，不透水。掺加一定比例阻燃剂后硬泡聚氨酯材料的防火性能良好，自身燃烧性能可达到B1级，属于热固性保温材料，遇火不熔化，表面形成致密碳化层，无燃烧滴落物，具有较好的阻火性能。
3.2 硬泡聚氨酯的防水性能优良
聚氨酯硬泡体连续致密的表皮和95%的高强度互联壁闭孔，具有理想的不透水性。采用现场喷涂法施工达到防水保温层连续无接缝，形成无缝屋盖保温壳体，防水抗渗性能优异。根据《硬泡聚氨酯保温防水工程技术规范》GB50404-2007附录A 硬泡聚氨酯不透水性试验方法，0.2MPa,30min不透水。硬泡聚氨酯在低温-50℃情况下不脆裂，在高温+150℃情况下不流淌，不粘接，可正常使用，抗老化强度的温度范围大，优于一般卷材防水。根据图集08BJ1-1，P366第11行，喷涂厚度不小于40mm可以作为两道防水层。
硬泡聚氨酯在防水保温一体化材料方面不仅使施工成本降低了，加快了施工进度，其应用的效果带来的是节能型经济在社会节约资源方面产生的效益巨大。据有关行业专家评估分析，到本世纪2020年，如果城镇居民建筑要求全部达到节能标准，每年则可节省3.35Et标准煤；空调在高峰负荷运行则可减少8000万kW的电力，这相当于我国电力从1988年到2002年这5年新增电力容量的总和，其也是相当于4.5个三峡大坝的年发电量，或相当于每年国家可以节省电力建设投资1万亿元。
4.应用
作为建筑材料的应用，我们需要了解建筑材料的优缺点，并且要知道产品的好次，结合我们在实际工程中的应用，现需要介绍一个硬泡聚氨酯防水保温一体化材料在坡屋面防水保温设计过程中的应用情况。 应用背景：中国科学院坐落于北京，然而中国科学院西苑区的医院在扩建一期工程中成为医院综合楼的主楼，并且工程位于北京市海淀区的西苑操场医院院内，综合楼的主楼为框架杆式链条剪力墙结构，主要分为地下2层，地上3层，且檐口高度14m，建筑面积28866。由于其地理位置紧贴着圆明园和颐和园，因此工程要求在设计仿古屋方面破费周折，南北坡屋面上预留Φ10多个钢筋头以用来挂着小青瓦和琉璃瓦，并且直接喷涂硬泡聚氨酯，而后再继续铺挂琉璃瓦。
5.结语
由于西方国家在建筑行业防水保温方面方面相对起步较早，而我国应用硬泡聚氨酯防水保温一体化材料起步较晚，自1997年才从德国引进有关硬泡聚氨酯的技术和设备，在1998年我国才正式推广使用。经过近几年国家加大了对硬泡聚氨酯的研究和推广应用，修订《硬泡聚氨酯保温防水工程技术规范》，扶持此领域企业发展等措。硬泡聚氨酯防水保温一体化材料已经实现国产化，并且已经达到了国外先进技术水平，在我国生产的聚氨酯已经在世界其他国家畅销，我国劳动力较低，降低了生产成本。我国技术综合了自身的特点，技术的程度大部分提高，并且成本的降低已为国内大面积的推广应用硬泡聚氨酯防水保温一体化材料奠定了基础。硬泡聚氨酯不仅仅仅应用在立体面，也可以应用于平屋面，但是对平面的要求是平屋面在Ⅰ级防水处需要再增加一道防水购，并需要处理好女儿墙、管根等节点的做法。在坡屋面上处理外露钢筋头部位的防水和保温，硬泡聚氨酯的应用更有优势，其效果是其它材料所不能达到的。
参考文献：
[1]GB8624-2006 建筑材料燃烧性能分级方法[S].北京： 中国标准出版社，2006
[2]GB50404-2007 硬泡聚氨酯保温防水工程技术规范[S].北京：中国计划出版社，2007.
篇4
［关键词］应用题 列表法 分析 分式方程
［中图分类号］G42 ［文献标识码］A ［文章编号］1009-5349（2012）01－0177－01
列方程解应用题是数学学习中的重难点之一，怎样使学生快速分析题意，准确列出方程，解决实际问题？“等量关系”是列方程的依据，又与问题中所有的基本量密切相关，用列表法来分析，将题目给出的条件和要求反映的基本量在一个表格中显示出来，使那些较为复杂的关系条理清楚、明朗，能较快发现等量关系，准确快速列出方程，大大降低解题难度。
如北师大版八年级数学下册中分式方程的应用题，一般都涉及三个基本量，根据三者的关系可用其中的两个量表示出第三个量，又有两种情况之分，均可列成3×4表格来分析。
例1：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。
分析：此题中有三个基本量：面积、单位产量、总产量（三者关系为：总产量=单位产量×面积），又有第一块、第二块之分。可列表格为：
由面积相同易得方程 = 。
例2：从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
分析：此题中有三个基本量：路程、速度、时间（三者关系为：路程=速度×时间），又有普通、高速之分。可列由高速路速度比普通路快45km/h易得方程 -
例3：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额4800元，第二次捐款总额5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为x人。那么x满足怎样的方程?
分析：此题中有三个基本量：人数、人均捐款、总捐款（三者关系为：总捐款=人均捐款×人数），又有第一次、第二次之分。可列表格为： 第一次 第二次
由两次人均捐款恰好相等易得方程 = 。
例4：某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道。为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的功效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务。实际每天铺设多长管道？
分析：此题中有三个基本量：工作量、功效、时间（三者关系为：工作量=功效×时间），又有原计划、实际之分。可列表格为： 原计划 实际
由提前30天完成易的方程 - =30。
例5：某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率。
篇5
专题1 一元一次方程（组）
考点解读：单独求一元一次方程（组）的解和字母系数的值的题很少见，即使有也很简单，只要掌握基本概念就可解答，命题的主要方向是一元一次方程（组）的简单应用?郾
考点1 列一元一次方程
例1 （2011年湘潭卷）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”?郾 李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为 ?摇?郾
解：50-8x=38?郾
温馨小提示：这是一元一次方程命题的重点?郾 解题的关键是寻找等量关系?郾
考点2 二元一次方程解的识别
例2 （2011年益阳卷）二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A?郾x=0，y=-■.?摇?摇 B?郾x=1，y=1.?摇?摇 C?郾x=1，y=0.?摇?摇 D?郾x=-1，y=-1.
分析：将所有选项逐一代入验证，即可得到答案?郾
当x=1，y=1时，x-2y=1-2×1=-1≠1?郾 选B?郾
温馨小提示：将x与y的值代入方程，若使方程成立，则是方程的解，否则就不是方程的解?郾
考点3 求字母系数的值
例3 （2011年枣庄卷）已知x=2，y=1是二元一次方程组ax+by=7，ax-by=1的解，则a-b的值为（ ）?郾
A?郾 -1?摇?摇 B?郾 1?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 3
解：因为x=2，y=1是二元一次方程组ax+by=7，ax-by=1的解，
所以有2a+b=7，2a-b=1.解得a=2，b=3.所以a-b=-1?郾 选A?郾
温馨小提示：根据二元一次方程组解的定义，把解代入方程组，即可求a-b的值?郾
专题2 分式方程
考点解读：解分式方程和分式方程的应用是命题的重点?郾 解分式方程要注意验根，在实际应用中，自变量还受实际问题的限制?郾
考点1 解分式方程
例4 （2011年鄂州卷）解方程：■+■=1?郾
解：方程两边同乘以x（x+3）得2（x+3）+x2=x（x+3），
解得x=6?郾
经检验，x=6是原分式方程的解?郾
温馨小提示：解分式方程的基本思路是“转化”，把分式方程转化为整式方程求解?郾 另外，解分式方程一定要验根?郾
考点2 增根问题
例5 （2011年鸡西卷）分式方程■-1=■有增根，则m的值为（ ）?郾
A?郾 0和3?摇?摇 B?郾 1?摇?摇 C?郾 1和-2?摇?摇 D?郾 3
解：去分母，得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，即x=m-2.
因为原分式方程有增根，增根只能是x=1或者x=-2，
当x=1时，得m=3；当x=-2时，得m=0?郾
而当m=0时，分式方程变为■-1=0，此方程不成立?郾
所以m的值为3?郾 选D?郾
温馨小提示：当x满足最简公分母等于0时，它就是分式方程的增根，再代入原方程检验?郾 本题中容易出现选A的错误，原因是没有再代入原方程检验?郾
考点4 分式方程无解
例6 （2011年龙东卷）已知关于x的方程■-■=0无解，则a的值为?摇 ?郾
解：原方程两边同时乘以x（x+1），得ax-（2a-x-1）=0，
即（a+1）x=2a-1?郾
一方面，当a+1=0，即a=-1时，2a-1≠0，方程无解?郾
另一方面，原分式方程无解，即x（x+1）=0，解得x=0或x=-1?郾
当x=0时，代入（a+1）x=2a-1，得2a-1=0，解得a=■；
当x=-1时，代入（a+1）x=2a-1，得-a-1=2a-1，解得a=0?郾
综上所述，a的值为-1，0，■?郾
温馨小提示：分式方程无解，说明分母为0，由此可求出方程的增根，再将增根回代，即可求得a值?郾 本题中容易忽视由分式方程转化的整式方程无解的情况?郾
考点5 列分式方程解应用题
例7 （2011年毕节卷）小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B铅笔，请根据下列情景解决问题?郾
（1） 这个学校九年级学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，那么这个学校九年级学生有多少人？
分析：由已知得总人数不多于300人，若多购买60支，则可按批发价付款，说明总人数大于240人?郾
解：（1）依题意，得 240＜学校九年级学生总数≤300?郾
（2）设九年级学生总数为x，根据题意，得
■×5=■×6?郾 解得x=300?郾
经检验x=300是原方程的解?郾
答：这个学校九年级学生有300人?郾
温馨小提示：本题以人物的情景对话为背景，考查我们解决实际问题的能力. 在阅读对话中，发现解决问题的条件，建立数学模型求解?郾
专题3 一元一次不等式（组）
考点解读：会用数轴表示不等式（组）的解集，理解不等式的基本性质，构建一元一次不等式（组）解决实际问题是考试的重点.
易错点：在不等式两边同乘以（或除以）一个负数，忘记改变不等号的方向.
考点1 不等式的基本性质
例8 （2011年深圳市）已知a、b、c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是（ ）?郾
A?郾 a+c＞b+c?摇?摇 B?郾 c-a＜c-b C?郾■＞■?摇?摇 D?郾 a2＞ab＞b2
分析：根据不等式的性质，逐一验证即可得出结果?郾
解：因为a＞b，所以-a＜-b，而c≠0，所以a+c＞b+c、c-a＜c-b、■＞■均正确，只有a2＞ab＞b2不一定正确. 选D?郾
温馨小提示：在运用不等式的基本性质3时，要明确不等号的方向是变还是不变?郾
考点2 解一元一次不等式（组）
例9 （2011年佛山卷）解不等式组：■-1＜x，x-（3x-1）≥-5?郾
解：解不等式■-1＜x，得x＞-2；
解不等式x-（3x-1）≥-5，得x≤3.
因此原不等式组的解集是-2＜x≤3?郾
温馨小提示：不等式组的解集可以通过“数轴法”确定，也可以通过“口诀法”确定?郾
考点3 确定一元一次不等式（组）的整数解
例10 （2011年烟台卷）不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有（ ）.
A?郾 1个?摇?摇 B?郾 2个?摇?摇 C?郾 3个?摇?摇 D?郾 4个
解：解不等式，得x≤2，因为x是非负整数，所以x=0，1，2，共有3个. 选C?郾
温馨小提示：求不等式（组）的整数解是比较简单的基础题，考查的频率却较高.
考点4 确定一元一次不等式组中的字母系数的范围
例11 （2011年安顺卷）若不等式组5-3x≥0，x-m≥0有实数解，则实数m的取值范围是（ ）.
A?郾 m≤■?摇?摇 B?郾 m＜■?摇?摇 C?郾 m＞■?摇?摇 D?郾 m≥■
解：解不等式5-3x≥0，得x≤■，解不等式x-m≥0，得x≥m，
不等式组有实数解，所以m≤x≤■，m必须满足m≤■?郾 选A?郾
温馨小提示：解本题时，要理解“有实数解”的意义，同时不要遗漏等于■的情况?郾
考点5 一元一次不等式的应用
例12 （2011年广州卷）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案. 方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9?郾5折优惠?郾 已知小敏5月1日前不是该商店的会员?郾
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？
解：（1）120×0?郾95=114（元），所以实际应支付114元?郾
（2）设购买商品的价格为x元. 根据题意，得0?郾8x+168＜0?郾95x，
解得x＞1 120.
当购买商品的价格超过1 120元时，采用方案一更合算?郾
温馨小提示：解决这类问题，认真审题，读懂方案是解题的关键?郾
例13 （2011年桂林卷）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒?郾
（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）
（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？
分析：（1）根据“给每个老人分5盒，则剩下38盒”可求牛奶共有（5x+38）盒数?郾 （2）根据“每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒”可知：1≤最后一个老人的牛奶盒数＜5，由于前面的（x-1）个老人每人6盒，总共（5x+38）盒，最后一个老人分得的牛奶盒数为（5x+38）-6（x-1），因此有1≤（5x+38）-6（x-1）＜5?郾
解：（1）依题意，得牛奶盒数为（5x+38）盒?郾
（2）根据题意，得5x+38-6（x-1）＜5，5x+38-6（x-1）≥1?郾 解得39＜x≤43?郾
因为x为整数，所以x=40，41，42，43?郾
答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人?郾
温馨小提示：利用不等式及不等式组解决实际问题时，都要先确定一个取值范围，再根据实际情况来做出判断?郾 如本题老人的数目必须是整数，故最小值为40?郾 另外，要注意根据“不足”、“至少”等词的含义列不等式?郾
专题4 一元二次方程
专题解读：一元二次方程是中考的重点. 解一元二次方程一般不难，根的判别式及根与系数的关系的简单应用、列一元二次方程解实际问题是命题的重中之重，在本刊第6期作专题讲解.
考点1 一元二次方程的解法
例14 （2011年聊城卷）解方程：x（x-2）+x-2=0?郾
分析：可以先通过整理，使得原方程转化一元二次方程的一般式，进而利用求根公式或因式分解或通过配方求解，考虑方程的结构，不如视（x-2）为一个整体，通过因式分解求解?郾
解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0，解得x=2或x=-1?郾
温馨小提示：解一元二次方程，因式分解是首选方法?郾
考点2 用一元二次方程解决生活中图形类问题
例15 （2011年六盘水卷）小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中x的值?郾
分析：分别从各种方案的图形中获取信息，寻求等量关系，利用面积关系构建一元二次方程求解?郾 这是一道开放性题，可任选一种方案计算.
方案一：（8-x）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾
而x1=12不合题意，舍去?郾 所以x=2?郾
方案二：（8-2x）（6-2x）=■×8×6，解得x1=6，x2=1?郾
而x1=6不合题意，舍去?郾 所以x=1?郾
方案三：■×（8-x）（6-x）×2=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾
而x1=12不合题意，舍去?郾 所以x=2?郾
方案四：■×（8-2x+8）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾
篇6
1．数形结合思想
数和式是问题的抽象和概括，图形和图像是问题的具体和直观的反映。华罗庚先生说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。比如在讲“圆与圆的位置关系”时，我让学生自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透。这样不仅可提高学生的迁移思维能力，还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
2．化归思想
化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程(组)、多边形的内角和、几何证明等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识，学生有意无意接受到了化归思想。如已知(x+y)2＝11，xy＝1求x2+y2的值，显然直接代入无法求解，若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y)2－2xy，则易得：原式＝9；又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决，这都是化归思想在实际问题中的具体体现。化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的，其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。
3．方程思想
众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想，主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法。如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根与系数关系求字母系数的值等。教学时，可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如我讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，就启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”，告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然。与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想，诸如换元，消元、降次、函数、化归、整体、分类等思想，这样可起到“拨亮一盏灯，照亮一大片”的作用。
4．整体思想
整体思想在初中教材中体现突出，如在实数运算中，常把数字与前面的“+，－”符号看成一个整体进行处理；又如用字母表示数就充分体现了整体思想，即一个字母不仅代表一个数，而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等；再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理，如：(a+b+c)2＝[(a+b)+c] 2视(a+b)为一个整体展开等等，这些对培养学生良好的思维品质，提高解题效率是一个极好的机会。
5．分类讨论思想
分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例如，对三角形全等判别方法的探索，教材中的思考题：如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？同时，教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论，由简到繁，一步步得出，教学时要让学生体验这种思想方法。
6．变换思想
变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换，定律、公式中的命题等价变换，几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征，就是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题，但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题，因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。例：四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上的两点，且AE＝CF。求证：DE＝BF。这道题若是由已知向后推理较难把握方向，但用变换方法寻找证法比较容易：要证DE＝BF，只要证ADE≌CBF(证ABF≌CDE也可)；要证ADE≌CBF，因题目已知BC＝DA，AE＝CF，只要证∠DAE＝∠BCF；要证∠DAE＝∠BCF，可由ABC≌CDA得到，而由已知条件AB＝CD，BC＝DA，AE＝CF不难得到ABC≌CDA。这样问题就解决了。
7．辩证思想
篇7
一、要关爱学生，注重情感教学
关爱学生本是教师的天职，作为一名教师，首先对学生要关爱，对教学要负责. 尤其对后进生，他们大多数不知自己为何而学，学什么，怎么学，学有何用. 所以，教师对后进生的数学教学转化，就要让学生明白自己为什么学，怎样才能喜欢数学. 这不是一句话就能解决的问题，首先要告诉学生，学习数学是为了用数学知识来解决我们生活中的问题，要在教学中设置一些与生活密切相关的问题，将数学知识技能训练“生活化”，训练着眼于学以致用，训练材料应尽可能来自生活，从而激发学生学习的兴趣，激起学生解决问题的欲望. 这样一来，学生对数学学习就会逐步产生兴趣，再加上教师关爱学生，耐心教学，就会让“爱”在其中，让学生喜欢“你”，跟“你”走，最终达成互动教学.
二、语言要和蔼，情趣教学很重要
教学时，要想让“后进生”静下来听课，不是件容易的事，让学生静下来又要让学生集中注意力，更难. 但有一种教学可以消除这两个障碍――幽默教学. 数学后进生，大多数也是玩出头的学生，他们对教师的语言态势教学特别敏感，对态度和蔼、语言幽默的教师特别喜欢. 态度和蔼，语言幽默可以集中学生的注意力，消除学生的畏惧感，积极调动学生的听课兴趣. 如在公理“两点间，线段最短”教学时，先讲述“愚公移山”的故事，再提问“愚公移山”在开路之中用到了什么数学知识. 在故事中教学，这样就会让学生在数学学习中感受兴趣，学而不倦.
三、创设问题，激发思维
课堂提问是组织课堂教学的重要手段，是实施启发式教学的一个重要环节. 一个好的提问，不仅能激发学生的学习兴趣，而且能迅速集中学生的注意力，启迪思维，开发智力. 著名数学家波利亚指出：“尽量通过问题的选择、提法和安排激发读者，唤起他处理各种各样的研究对象.”在数学教学中，有些学生接受快，有些接受慢，因此，对于不同层次的学生，要选择深浅不同的问题，这样可以较好地发挥教师的主导作用和学生的主体作用，调动学生参与课堂教学的积极性，提高教学效果. 现在的初中数学教材添加了一些趣味内容“想一想”与“谈一谈”等栏目，这是数学教学的内容改革之一，这是有意加强了数学知识和趣味数学. 它对求知欲旺盛的学生具有较强的诱惑力，激发了学生的学习兴趣的联系，也培养了学生阅读、动脑、观察、想象的思维能力. 事实证明，穿插于课堂的趣味教学，不仅能满足学生的求知欲，还能提高学生学习的主动性和积极性.
四、要大胆鼓励学生，让每一个人都有成功的一刻
每个后进生的智力、身心发展，每一个人对知识的需求都有所不同，这就需要教师“因材施教”. 教师要尊重每个“后进生”的不同知识需求，无论是堂上提问，还是巡堂辅导，都要在培“优”转“差”上下工夫，要充分引导学生，使差的学生向好的方向靠拢，好的学生向更高的层次发展，鼓励个性发展，力求使每名学生的素质在课堂上都得到应有的提高，要大胆鼓励学生，让每一个人都有成功的一刻，让他们都能够看到自己的进步，增强自己的信心，这样就有了提高成绩的希望，转差的课题也就有了良好的开端.
五、以旧带新，化新为旧，唤起学困生学习欲望
在讲授新内容时，既要考虑数学知识本身的联系，又要符合学生学习新内容时的认知特点. 我们知道，数学知识逻辑性很强，课堂上教师适时巩固旧知识，以旧带新，化新为旧，做到新旧知识的连接，可让学生对新知识的学习有个知识基础，吸引学生的注意力，也给那些在课下没有完成复习的学生一个复习的时间，不至于使一些后进生新旧知识连接不上，前后脱节，形成不了知识体系. 同时，学生的学是建立在原有基础知识之上的. 因此，课前的小测、提问尽量用一些简单而又有说明性的小题. 知识点复习到了，就排除了后进生的一些障碍，增强其学会新知识的信心.
有的老师在课上总强调“把新知识、新问题转移到旧知识、旧问题当中去”. 这样学生在学习新知识时就不用死记硬背，容易消化. 例如讲“分式方程”，先通过去分母转化成带括号方程，再去括号转化成一般方程，再通过移项、合并同类项转化成标准方程. 这样学生就觉得和以前一样，不感到陌生了. 但教师需要强调其与解一般方程之间的区别，如在去分母时，把不带分母的项乘以公分母，去分母加小括号，验根等. 初三的应用题是学生头疼的问题，一些学生对应用题看都不看，若要告知他们初三应用题和初二的解方程几乎相同，有一部分人就来了兴趣，就愿意看一看、想一想，结果就又多了一部分人参与答题，通常是在教师的点拨下，问题就解决了. 我在教学中就曾经遇到过这样的问题：
某校组织学生去距学校10 千米远的烈士陵园扫墓，初中学生步行出发1小时后，高中学生骑车出发，反而比初中学生早到半个小时，骑车比步行每小时多走6千米，若骑车的速度是步行的2．5倍，求初中学生步行的速度.
篇8
【摘要】数学思想和方法是数学知识的精髓，在教学过程中渗透数学思想方法，能提高教学效果，提高学生数学素养。初中数学思想和方法主要有：数形结合的思想、分类讨论的思想、整体思想、化归的思想、转化思想、归纳思想、类比的思想、函数的思想、辩证思想、、方程与函数的思想方法。
一、 了解《数学新课标》要求，把握教学方法
1．新课标要求，渗透“层次”教学。《数学新课标》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。
2．从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。 在初中数学中，数学思想和方法，两者之间很难分割，它们既相辅相成，又相互蕴含。在数学教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。
二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育
1．渗透“方法”，了解“思想”；2、训练“方法”，理解“思想”；3、掌握“方法”，运用“思想”；4、提炼“方法”，完善“思想”。
三、初中阶段常见的几种数学思想方法举例说明
【关键词】数学思想 数学方法
【正文】
数学思想和方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。目前初中阶段，主要数学思想方法有：数形结合的思想、分类讨论的思想、整体思想、化归的思想、转化思想、归纳思想、类比的思想、函数的思想、辩证思想、、方程与函数的思想方法等。提高学生的数学素质、指导学生学习数学方法，必须指导学生紧紧抓住掌握数学思想方法，这也是数学教学中的最重要的一环。在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题，它们所体现的数学知识和数学方法固然重要，但其蕴涵的数学思想却更显重要，作为一线教师，要善于挖掘例题、习题的潜在功能。
九年义务教育全日制初级中学数学《新课程标准》中指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
新课程把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分，在数学《新课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。
一、 了解《数学新课标》要求，把握教学方法
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。
1．新课标要求，渗透“层次”教学。《数学新课标》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在《数学新课标》中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。
教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《数学新课标》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们失去信心。如初中数学三年级上册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《数学新课标》只是把“反证法”定位在通过实例，“体会”反证法的含义的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。
2．从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的教学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在数学教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。
二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育
要达到《数学新课标》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：
1．渗透“方法”，了解“思想”。由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思维能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如北师大版初中数学七年级上册课本《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节──“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了数形结合的思想，学生易于接受。
在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用数形结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。
2、训练“方法”，理解“思想”。数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。
3、掌握“方法”，运用“思想”。数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固。数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。比如，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握。学习一次函数的时候，我们可以用乘法公式类比；在学次函数有关性质时，我们可以和一元二次方程的根与系数性质类比。通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的数学方法。
4、提炼“方法”，完善“思想”。教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此，教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。
三、初中阶段常见的几种数学思想方法举例说明。
如数形结合思想：数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。初中代数教材列方程解应用题所选很多是采用了图示法的例题，所以，教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。
再如在讲“圆与圆的位置关系”时，可自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透；这样不仅可提高学生的迁移思维能力，还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
方程思想： 众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要。
所谓方程思想，主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根与系数关系求字母系数的值等。
教学时，可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然。与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想，诸如换元，消元，降次，函数，化归，整体，分类等思想，这样可起到拨亮一盏灯，照亮一大片的作用。
篇9
关键词：问题情境；教学时机；数学疑难问题；教学高效作用
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）11-008-01
人类的发展离不开数学，数学是人类思维的基础。中学基础学科的教学均有基本，明确的教学要求，初中数学的学科教学性质尤为明显。义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地心智发展。它不仅要考虑初中数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，重视从学生已有的生活经验出发，让学生在数学学习中亲身经历把实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。因此，初中数学教学就是帮助学生根据已有的经验去理解知识，解除疑惑，形成三维目标的思维过程，初中数学教师要懂得创造使数学问题解决得到积极高效进行的课堂环境，做到充分尊重学生的主体地位，让学生积极主动地去获取掌握数学知识的解疑方法和进行教学解疑实践。在师生共同探寻初中数学教学解疑的高效作用中以积极探索的态度，综合应用那些已有的数学基础知识、基本技能，创造性地解决来自课堂或实际学习生活中的新问题，以期实现获得自觉养成的数学解疑能力，创新能力和参与活动能力。
在新课程改革趋势的大力推动下，初中数学教师的传统教学观念现已有明显转变，自觉地由题型教学逐渐转向对问题情境的创建，学习情感的培养，学习方法的指导和学习策略的关注，把单纯的培养学生学数学的刺激反应转向学生积极思考、主动解疑的道路上来。如果说过去的教学行为是循规蹈矩，相应的教师与学生课堂行为上的变化是不明显，那么现在有了多样化的教学活动的认知和评价，就能够使教学行为向更理性和更高的水平上发展，实现高效作用。笔者在初中数学教学中探索思考，认为教会学生解疑是学习初中数学的核心价值所在，需要明确和运用以下这些教学问题与策略。
一、明确“教什么”，用好教材，创建问题情境，着眼于学生的知识框架和思维规律，把握好数学问题，把数学问题作为教学指挥中心。我们知道，初中数学教学要解决的不是那些尚未解决的难度大的数学问题，而是根据已有的数学知识去再发现。透过从学生实际数学知识出发提出问题，根据学生学习心理，思维障碍的显现与成因的考虑，结合学生数学思考的即时状态，让学生明确产生问题的情境去引导学生走入研究存疑问题的气氛之中，积极调动其知识储备，思维特征，迁移能力和学习态度及方式，产生探求解疑的欲望和动机，进行有思维目的地思考活动。由此，学生把特定的数学问题确定为自己努力思考并攻克的方向，实现教学活动以一定的方法，在一定的解疑情境中进行，从而激发学生的解疑和创造热情。不断冲击往常中已有认知结构，不断构建出新的数学认知结构。
例：1、怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
解析：（1）剪一个三角形，记为ABC
（2）分别取AB、AC中点D、E，连接DE
（3）沿DE将ABC剪成两部分，并将ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
2、思考：四边形BCFD是平行四边形吗？
3、探索新结论：若四边形BCFD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？
通过一个有趣的动手操作问题入手，激发学生学习兴趣，然后设置一连串的递进问题，启发学生逆向类比猜想：DE∥BC，DE= BC.引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。
此时，师生从共有的解疑体验出发，联系运用学生已有的认知水平，在阐述、解析数学知识过程中，通过精心的设计教学内容和教学策略，适时解疑，勾通学生的认知冲突，积极地引导学生的数学思考，激发学生对数学解疑的内驱力，师生共同成为数学问题探究者 ，一起走入初中数学教与学的高效活动中。这种解疑高效作用的第一步就是使学生有了数学解疑的极大热情和对数学探索与导向作用，为他们备齐解疑的方向及数学知识迁移的方法，激发数学课堂的创造和进取精神。
二、选择与找准合适的时机进行解疑活动，使数学解疑活动产生事半功倍的高效作用。在初中数学教学中，教师不可以一味地给学生制造疑难问题，教学过程中的数学疑难问题要能够提供合适的时机给学生，尝试建立数学解疑的机会，让学生根据观察和实验的结果，尝试运用合适地数学思想以及常见地归纳、类比的方法探寻解疑方向，再进行问题高效解决。在这样数学的解疑过程中，学生的求知欲和学习的积极性才能得到最大限度的激发和调动。在一堂精彩的初中数学课上，教师引导学生把知识和数学疑惑水到渠成地在合适的时机架起领悟的桥梁，仅靠例题解析是不够的，要找准时机积极地拓展数学思维，使数学学习过程充满着观察、实验、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动中来。恰如珍珠落玉盘，玲珑剔透，一目了然。正如《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》所述，寻找这种合适的时机关键在于全面了解，准确把握学生的理解范围和能力范围，要从学情出发，考虑教学的有效性、高效性。
例：解方程：
解析过程：
师：解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母？
师：同学们讨论一下，能否通过类比的方法在方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母？
生：乘以分式方程中所有分母的公分母。
师：这个分式方程的最简公分母是什么？
生：
师生共析：方程两边同乘 得：
生：解方程得
师： 是上式整式方程的解吗？是原分式方程的解吗？为什么？
（同学们在小组内讨论，教师参与到学生的讨论中，倾听学生们的想法）
合作交流报告：在解分式方程时，我们在分式方程两边同乘以最简公分母才得到整式方程，如果整式方程的根使最简公分母的值为0，那么它就相当于分式方程的两边都乘以0，不符合等式变形的两个基本性质，得到整式方程的解，必然使分式方程中有的分母为0，也就不适应原方程了，所以X=2不是原方程的根。
师生共析：产生增根的原因。
得出结论，为什么分式方程需要验根。
本例是在学生学会解一元一次方程，并基本上了解分式方程的概念及解法的基础上，让学生通过观察、类比，在进行充分讨论、交流，教师在结合学生的理解情况下给予指导补充，揭开解分式方程需要验根的原因，使问题最终得到有效的解决。让学生的学习能力得到最大限度的提升。
因此，我们在解疑的活动中既要重视学生的参与程度，重视教学过程的情感化，又要考虑教学时机的产生，这样不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立数学学习的自信力，这对培养学生形成全面的独立人格具有重要作用。教师在这个关键教学过程中应该考虑以下几个方面：
（1）明确树立促进学生主动学习数学的自觉习惯。只有充分调动学生的学习内驱力，诱发学生的学习动机，激发浓厚的学习兴趣，才会形成积极的学习态度和良好的学习习惯，培养出学生思维的灵活性长久性。如在教学“一元一次方程的应用”时，我用了这样一道情境题引入新课：（2009年山东济宁中考题）请你阅读下面的诗句“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各多少？”学生看到是一道诗句的应用题，觉得很新颖一下子就来了兴趣，这样就可以牢牢吸引学生的注意力.在一个可以宽容的、民主的、支持性的数学课堂情境中，学生才会放飞思考、潜心思考、愉悦攻克困难。在这当中，教师要细致科学地钻研把握教学内容，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出的数学问题要有一定的难度又是学生在其学习阶段力所能及的，数学教师要学会把握时机走在学生数学能力发展的前面，注意适时、适度地创造问题情境，培养学生的解疑方向和能力。
（2）明确建立促进学生自主学习的尺度空间。数学教学过程因采用问题化的形式，教师要科学地根据学生的年龄特征，已有的认知结构及学生的经验，生活出发，创建合适的问题情境，寻找合适的时机引导学生发现，分析、解决问题，使学生积极主动地去寻找解决数学问题的策略。为学生的自主学习提供可持续的机会。在这寻找过程中，教师要多关注教学过程的渐近性和情境化，我们知道，人的认识过程是由浅入深、由易到难的渐近过程，因此学生在解决数学疑难时，以多形式多层次的课堂讨论、问答、操作、演示等精彩的角色活动来夯实教学解疑过程。让学生在自我实践探索的过程中不断地产生合适的解疑时机，培养出学生的自主学习意识和兴趣，发展自主学习数学的能力。
（3）明确落实促进学生创新学习的能力发展。选择合适的时机进行解疑其实质是进行数学知识教学，在这过程中让学生学会质疑，善于发现问题，培养学生的创新意识和能力，使学生主动尝试用数学知识和思想方法去寻求解决问题的途径。比如，在讲授“直角三角形”时，从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的平分线，能够证明出“等边对等角”。个别学生提出是否也能通过作等腰三角形底边上的高来证明？学生对这一问题产生了质疑，质疑点在于之前学习全等的时候知道没有“SSA”这个定理。这时我鼓励学生从不同的角度进行探索、分析，最终学生惊奇地发现“SSA”在一些特殊的情况下也是可能的，这为探究“HL”做铺垫。这样的探究、质疑尽管不够全面，甚至是错误的，但其中蕴含许多创新的火花。在数学疑难问题的设置和解决过程中，让学生学会评价，敢于发表不同、独特见解、方法；学会总结思考，敢于分析自身学习的不足、得失，探索出适合自己的学习规律。
初中数学学习过程中有问题、有疑惑，这是师生共有的创造性活动。只有在师生共同的提出问题，解决问题过程中，以良好的问题情境寻找合适的解疑时机，养成数学的探索精神和创造品质，感受数学美和快乐。让学生有真正的数学眼光，引导学生从无到有，从少到多，从现象到本质地发现问题，解决问题，让学生学会思考，不断地提升数学思维品质。
综上所述，初中数学教学解疑活动是师生共有的创造性活动。讲求教学内容的选择，需要对数学疑难问题做出分析：分析问题背景，找出问题与数学知识的关联；分析问题的步骤，需要师生共同的力量和智慧。学生自主分析疑难时，通过创设问题情境激发学生的求知欲望，使学生体验和感受分析数学问题，教师在合适的时机给以必要的指导和点拨，用来控制初中数学教学的难度和进度，提高解疑的效率，在数学教学解疑过程中，一定要强调学生用数学思维与思想意识的培养和形成，把学生已有的数学知识和思想方法进行组合成思维桥梁。
在初中数学教学解疑过程中，是师生共同的一种高水平的思维活动，这一过程注重学生的主体过程，又重视教师的主导作用，二者相铺相成。其高效作用就是使学生形成优质的数学思维与意识，培养学生的探索精神，合作意识和实际解决能力，通过解疑能使学生对数学知识形成深入地，结构化的理解，养成个人的、可以迁移的数学问题解决方法，进而产生浓厚的学习兴趣，养成严谨、敏锐的科学精神和敢于拼搏的坚强信念。
参考文献：
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[4] 何 锋.有效的教学技能--教学问题诊断与技能提高[M].长春：吉林大学出版社 2009.
篇10
[关键词] 初中数学 转化思想 应用
数学思想方法是初中数学的基础知识,是素质教育对初中数学教育的基本要求。初中数学的思想方法很多,如对应思想、分类思想、转化思想、数形结合思想等,但最活跃、最实用的是转化思想。转化就是把一个事物转化为另一个事物或与之接近的、相关的事物。转化的目的是分析问题和解决问题,转化思想是辩证观点的具体体现,是数学解题的一种重要方法。
一、初中数学的思想转化形式
1.语言转化
语言转化就是将语言的表达形式进行转化。如将日常语言转化数学语言;代数中应用题文字等量关系和方程的转化;基本规律(法则、公式、定律)与文字语言的转化;几何中图形语言、符号语言和文字语言之间的相互转化等。
2.类比转化
类比转化就是将对象转为与之相似的对象。如分式的加、减、乘、除法则以及分式的通分、约分、基本性质,可类比转化为分数的加、减、乘、除法则和分数的通分、约分、基本性质;整式因式分解概念类比转化为无理式的因式分解概念;一元一次不等式的有关的概念和解法可转化为一元一次方程的有关概念和解法,并强调异同点;有理数可转化为算术数,只注意符号和取绝对值等。
3.数形转化
数形转化就是在数字与图形之间建立某种关系并相互转化来解决问题。根据图形可构造方程;根据题意可构造函数;根据方程(或等式)可构造图形;函数图象的平行移动与其解析式的变化;根据函数图象研究其性质;一元二次方程、二次函数图象、一元二次不等式之间的关系等。
4.分解转化
分解转化就是将综合问题转化成若干个相关的简单的小问题。这样的转化一般在解决综合性较强的问题时都会遇到。如分式运算转化为因式分解,公因式,整式加、减、乘、除运算;因式分解的分组分解、拆项和补项;平面几何解题中将一个复杂图形分解为若干个基本图形。
5.等价转化
等价转化就是将未知事物转化为与之相当的事物。如除法转化为乘法;减法转化成加法开方转化为乘方;多元方程转化为一元方程;分式方程、无理方程转化为整式方程;平行线间的距离转化为点与点之间的距离代数、平面几何、三角问题之间的转化;图形的对称、平移、旋转转化等。
6.间接转化
间接转化就是通过间接方法解决问题。如列方程解应用题的设间接未知数;解方程中的换元法;平面几何中的添加辅助线,逆推的万法;从反面考虑问题的方法等。
二、思想转化在数学解题中的应用
1.已知与未知的转化
数学解题过程中,常量与变量、已知量与未知量不是绝对的,而是相对的。有时把数字看作未知、字母看作已知,能够给解题带来意想不到的效果。
2.特殊与一般的转化
在解决带有“任意”条件的数学问题时,采用特殊值法解题是非常准确而快速的。
3.多元与一元的转化
解题时,恰当选定主元,可有效避开干扰因素,这是求多元代数式的值、分解多元高次多项式的常用方法。
转化方法的种类繁多,方法多样,具体解题时要由题目条件而定,因题而异,选择最简捷、最快速的转化途径。
4.相等与不等的转化
三、思想转化在教学中的渗透
1.注意转化条件
思想转化是有一定条件的,如除法转化为乘法的条件是倒数;减法转化为加法的条件是相反数;数形转化的条件是直角坐标系等等。如果忽视了这些基本条件就会出问题。在教学中,教师首先要熟悉教材内容,并做到心中有数,明确转化条件。其次让学生明确和掌握“转化是有条件的,条件是什么,应该如何去创造条件”。
2.注意渗透,加强训练
在教学中,教师必须根据教学内容,不断地渗透转化思想。渗透的原则是适时、适度、清晰、印象深刻。同时要注意将知识的学习和方法的运用结合起来,让学生真正明确转化是解决问题的有效方法。在解决具体问题时,要与已有的知识结构联系起来。在日常的训练中要有针对性,要先易后难、先简后繁,要把握转化的不同形式,养成转化的思维定势,使学生在训练中体验到通过思想转化解题成功的喜悦,进而不断体会和深化转化思想在数学中的作用和乐趣。
参考文献:
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[2]郭立昌.关于中学数学教学模式的几点思考[J].数学通报,1998,(5):11-13.
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