一元一次方程应用题范文

导语：如何才能写好一篇一元一次方程应用题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、学情分析

1、 学生初学到方程解应用题时，往往弄不清解题步骤，不设未知数就直接进行列方程或直接进行列方程或在设未知数时又单位却又忘记写等。

2 、学生在用一元一次方程解应用题时，可能存在分析问题时思路不同，列出方程也不同，这样部分学生可能会怀疑自己的解法存在错误。实际不是，作为老师应该鼓励学生开拓思路，在将例题时就贯穿其中，让学生明白只要思路正确，所列方程合理，都是正确的。这样学生在做题时就会选择合理的思路，使得方程尽可能简单明了。

3 、学生在用一元一次方程组解应用题时，抓不准相等关系或找出相等关系后不会列方程，甚至部分学生列出方程后不会解方程。

4 、学生在学习中可能习惯于用算术方法分析问题对于用代数方法分析应用题不适应，以至于较为复杂的应用题无法找到等量关系，随便列式解答。

5 、学生在学习中习惯于套题型，找解题模式，而不重视分析等量关系。

二、简单分析解一元一次方程应用题

至于解一元一次方程应用题呢？关键是找出代表题目全部含义的等量关系。每到应用题都包含事物的情节和数量两个方面。都由已知条件和问题两部分构成。同学们只有对情节和数量关系理解和掌握了，才能将数量关系概括为抽象为数学问题，正确列出方程，这就需要同学们抓住关键语句理清解题思路，另外，把应用题的条件和问题通过线段图表示出来，可以使抽象的数量关系具体化，直观化，便于理解题意，找出已知数更好的列出一元一次方程解应用题。

在一个应用题中，有时可以找出两个或两个以上的等式，而我们列一元一次方程能以以个代数式为依据来列方程组。这时就需要我们确定出一个既包含题目的已知数量又要能直接或间接的包含未知量的代式。确定好等式后，再分析等式左右两边的已知量和未知量与所求问题关系，若能通过此未知量求出所求问题，则确定此未知量为X。若出现两个或两个以上未知量，这时需要根据题目中其它等式找出这些未知量的关系，结合所求问题确定其中一个为X然后再用含未知数的代数式表示其它未知量。最后再根据等量关系列出方程组。

综上所述，列方程解应用题的一般步骤为：

（1）弄清题意，找出已知条件和所述问题；

（2）根据题意确定等量关系，设未知数X

（3）根据等量关系列出方程；

（4）列方程

（5）检验，写出答案

下面来看几道例题：

例1 已知又甲，乙、丙、丁 四个数，甲比乙多3，丙比甲的2倍多7，丁比乙的2倍多5，四个数的总和为45，求这四个数各为多少?

分析：题目中已知的有: 甲=乙+3

丁=乙*2+5 丙=甲*2+7 甲+乙+丙+丁=45

未知：甲乙丙丁四个数

通过分析我们可以看出能够包含全部题意的等式是甲+乙+丙+丁=45

右边为45，左边四个数均为未知数，因为只能设其中一个为x，所以分析四个数之间的关系，

故设乙为x，则甲= x+3，丁=2x+5，丙=2（x+3）+7，代入甲+乙+丙+丁=45，

可得方程：(x+3)+(2x+5)+[2(x+3)+7]=45

解出x后，便可求出甲乙丙丁四个数.

解：设乙数为X则：（略）

当然，我们平时遇到列方程组解应用题时，还可通过画图，列表等帮助分析，但不管用什么形式分析，都离不开寻找等量关系。

例2 天平的两个盘内分别盛有51g和45g的盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内；才能使两者所盛盐的质量相等？

分析：（图略）设应从盘A内拿出Xg盐，列出下表

解：设应从盘A内拿出盐Xg放到B盘内，则根据题意得，51-x=45+X

解之得：X=3

符合题意。

答：应从A盘中拿出3g盐放到B内。

同学们在掌握了用一元一次方程解应用题的方法后，应多做一些不同层次，不同形式的列席，如模仿性的练习，发展性的练习……逐渐学会观察比较，分析综合的学习方法，联系实际学会抽象，概括学会思考的方法，促进思维的提高，提高自主学习能力。

三、一元一次方程应用题的归纳。

用一元一次方程解答实际问题，关键在抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程，求的方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答。

这一过程可以简单的表述为：

其中分析和抽象的过程通常包括：

（1） 弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数。

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一、使学生顺利审题列方程

列方程解应用题的一般步骤为：

(1)弄清题意，找出已知条件和所述问题；

(2)根据题意确定等量关系，设未知数x；

(3)根据等量关系列出方程；

(4)检验。写出答案。

其中找“等量关系”是列方程解应用题的关键。我在教学中对每道例题都坚持让学生正确叙述其中的“等量关系”。这样做，我认为有以下几点好处：①有利于学生理解题意，找出“等量关系”。学生列方程有时感到困难，原因之一就在于对题意的理解还不透彻，忙于列方程，结果常常出错。②有助于学生考虑问题的思路规范化。通过教学要使学生明确：解题之前，首先要在理解题意的基础上，找出其中的“等量关系”，然后列方程。这样就不会处于一种审题怕方程列不出来，而茫然不知所措的状态。③有助于显现未知数的设法。“等量关系”就是用语言或文字列出方程。因此，在所列的“等量关系”中，哪些量是已知的，哪些量需要设成未知数，便明显可见。④有助于减少学生列方程的困难。从审题到列方程，对于理解能力较弱或数学基础较差的学生来说，这一步的距离是比较长的，而“等量关系”是从应用题的事实到把内部联系以方程为桥梁，用这样的―个桥梁来过渡，再把“等量关系”翻译”成方程。

例如：甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇。甲比乙每小时多骑2.5千米，求甲乙的时速各是多少?

分析：本题中的等量关系有：甲的时速=乙的时速+2.5千米肘，甲走的路程+乙走的路程=65千米。

未知：甲乙的时速。

通过分析我们可以设乙的时速为x千米，时，则甲的时速为(x+2.5)千米，日寸，其中的等量关系为“甲走的路程+乙走的路程=65千米”。

由分析可列方程为2(x+2.5)+2x=65，解x求出甲乙的时速。

二、明确正确列方程的三条标准

为了使学生能够正确列出方程，并具有检验自己所列方程是否正确的能力，我结合例题讲解了正确列方程的三条标准：①两边的意义相同。②两边的单位一致。③两边的数量相等。也就是说，左边的代数式的意义若表示路程，右边的代数式的意义也必须表.示路程，左边若以“千米”为路程单位，右边也必须以“千米”为路程单位，左边总共代表的是10千米，右边总共代表的也必须是10千米。因为，方程两边所代表的意义是通过代数式表达出来的，若不认真加以推敲，就容易犯两边意义不同、单位不统一的错误。如，有含盐8％的盐水40千克，要配制成含盐20％的盐水，需要加盐多少克?学生很容易设成加入x克盐，错列为40×8％+x=20％(40+x)。由于单位不统一，数量不相等，这就破坏了“等量关系”，也歪曲了原题的意思。所以是错误的。实践表明，明确提出列方程的三条标准对于提高学生列方程的能力有一定的积极作用。

三、为熟练列方程做好准备-

在讲每一类型的应用题之前，都把基本关系式或解题要点加工整理，明确列出。―方面强调记忆，―方面配备列代数的例题及练习，使学生熟练地运用基本关系式列出代数式，向列方程靠近。如，在行程问题中，基本关系式可列为：①路程=速度×时间；②甲、乙相向运动的速度=甲的速度+乙的速度；③追赶的速度=迫者的速度―被迫者的速度；④顺水的速度=静水速度+水流速度；⑤逆水速度=静水速度-水流速度。

工程问题的解题要点为：①把全工程看成“整体1”；②如果某人独做某工程要a天完成，那么他的工作效率就是每天做全部工作的1／a，基本单位式为：工作效率×工作时间=工作量。

浓度配比问题的基本关系式为：①浓度=溶质质量，溶液重量×100％；②溶液重量=质重量+剂重量。

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一、 设k法

利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设定未知单位量k，就能轻松地列出方程求解.

例1 一个三角形三条边长的比是2∶4∶5，最长的边比最短的边长6厘米，求这个三角形的周长.

【分析】要求三角形的周长，若知道三边即可，由于三角形三条边长的比是2∶4∶5，可设这三条边长分别为2k、4k、5k，这样根据最长的边比最短的边长6厘米，即可列出方程求解.

解：因为三角形三条边长的比是2∶4∶5，所以设这三条边长分别为2k、4k、5k，则根据题意，得5k-2k=6. 解得k=2.

所以三角形的周长为2k+4k+5k=22厘米.

答：这个三角形的周长为22厘米.

二、 数形结合思想

数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把数与形结合起来解决问题的思想方法.

例2 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成. 设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为_______.

【分析】通过观察图形可以发现，除了边长为1的正方形，其余5个正方形中，右下角的两个大小相等，顺时针方向上的正方形边长依次增加1.

解：设右下角两个边长相等的正方形边长为x，则顺时针方向的其余三个正方形的边长依次为x+1、x+2、x+3. 根据矩形的对边相等，可得x+x+（x+1）=（x+2）+（x+3），解得x=4.

所以（x+2）+（x+3）=13，（x+2）+（x+1）=11，即13×11=143.

答：矩形的面积为143平方单位.

三、 整体思想

在研究应用问题时，若能将所要思考的问题看成一个整体，通盘考虑，则既便于列方程，又便于解方程.

例3 一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字1移到右端，那么所得新的六位数等于原数的3倍，求原来的六位数.

【分析】本题若逐个设出各位数字，则未知数过多，不易列出方程. 如果从整体思考，视后五位数为一个整体，则方便简捷.

解：设原六位数为100 000+x，则根据题意，得10x+1=3（100 000+x），

解得x=42 857.

答：原六位数为142 857.

四、 分类思想

数学的思维是严密的，所以求解许多数学应用题时，为保证答案全面、完整，需要分情况解决，这有利于培养思维的缜密性.

例4 在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行. 已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？

【分析】因为C地的位置不确定，它既可能在A、B两地之间，也可能在A地的上游，所以应进行分类讨论.

解：设乙船由B地航行到C地用了x个小时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了（4-x）小时. 下面分两种情况：

1. 若C地在A、B两地之间，则根据题意，得（4-x）（7.5+2.5）-x（7.5-2.5）=10.

解得x=2. 这时10×2=20（千米）.

2. 若C地在A地的上游，则根据题意，得x（7.5-2.5）-（4-x）（7.5+2.5）=10.

解得x=■. 这时10×■ = ■（千米）.

答：乙船从B地到达C地时，甲船离B地有20千米或■千米.

五、 逆向思维

数学中有些问题，如果按照题意叙述由后往前推算就显得很简单，这种解决问题的方法叫逆推法. 逆推法是解决数学问题的一种重要方法. 有些数学问题若按常规思维方法考虑非常困难，而用逆推法就十分简便.

例5 李飒的妈妈买了几瓶饮料. 第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒索性将第二天所剩的饮料的一半零半瓶喝了. 这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则李飒的妈妈买的饮料一共有多少瓶？

【分析】如果设妈妈买的饮料一共有x瓶，则第一天喝了■+■瓶，第二天喝了■x-■-■？摇+■瓶，第三天……这种做法很繁. 若能依据题意，反过来考虑，问题或许就简单多了.

解：设第三天李飒喝饮料之前，还有x瓶饮料，则x-■+■=0，即■-■=0. 解得x=1. 这也是第二天喝饮料之后所剩的饮料瓶数.

设第二天喝饮料之前，还有y瓶饮料，则■-■=1. 解得y=3. 这也是第一天李飒全家喝饮料之后所剩的饮料瓶数.

再设李飒全家喝饮料之前，还有z瓶饮料，则■-■=3.

解得z=7. 这就是李飒全家喝饮料之前妈妈买的饮料瓶数.

答：李飒的妈妈买的饮料一共有7瓶.

下面一道题目供同学们自己练习：

甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发，在离B地6千米处相遇后又继续前进，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在离A地8千米处相遇，求A、B两地间的距离.

参考答案

【分析】用常规方法解决本题具有一定难度，若把两个运动过程一起处理，便可使问题迎刃而解.

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1.A、B两列火车同时从相距400千米的甲乙两地相向出发，2.5小时后相遇，如果同向而行，A列火车需经过12.5小时追上B列火车，求两列火车的速度.

解：设A列火车的速度是x千米/时，B列火车的速度是y千米/时。

根据题意，得：

2.5x+2.5y=400

12.5x-12.5y=400

2.某体育场的环行跑道长400米，甲乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次。如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次。甲、乙的速度分别是多少?

解：设乙的速度是x米/秒，甲的速度是y米/秒。

根据题意，得：

30x+30y=400

80x-80y=400

3、客车和货车分别在两条互相平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米。如果两车相向而行，那么两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟;如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒，求两车的速度。

解：设客车的速度是x米/秒，货车的速度是y米/秒。1分40秒=100秒

根据题意，得：

10x+10y=150+250

100x-100y=150+250

4、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与水流的速度。

解：设船在静水中的速度是x千米/时，水流的速度是y千米/时。

根据题意，得：

3x+3y=36

3x-3y=24

小结：以上4题虽然题设情境不同，但解题思路相同，前三题属于相遇追击问题，分别列两个方程式，一个是相向而行，一个是同向而行。相向而行为两者路程之和，同向而行为两者路程之差。第四题可以把静水中船速和水流速度看作前三个题目中所设的两个速度，把顺流而行看作相向而行，逆流而行看作同向而行，因此可以归纳成同一方程组如下：

解：设两个未知数分别是x,y

ax+ay=m

bx-by=n (其中a、b、m、n是正数)

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一、以生活场景为题

例1甲、乙隔河放羊，两人相互问数量。甲说若得你羊9只，我羊是你羊2倍；乙说若得你羊8只，我俩数目相等。请你帮忙来算，甲、乙各有多少只羊？

解析：设甲放羊x只，乙放羊y只，

则x+y=2(y-9),x-8=y+8.解得x=59,y=43.

故甲放羊59只，乙放羊43只。

二、以寓言故事为内容

例2 古代有这样一个寓言：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重。驴子抱怨自己的负担太重。骡子说：“你抱怨什么？如果你给我一袋，那我的负担就是你的两倍；如果我给你一袋，那我们驮的袋数才一样多！”请问驴子原来所驮货物的袋数是（）

A．5 B．6 C．7D．8

解析： 解题所需要的信息都在骡子说的话中，简洁而有趣。设驴子原来所驮货物x袋，骡子所驮货物y袋，

则y+1=2(x-1),y-1=x+1.

解得x=5,y=7.

故选A。

三、以游戏为背景

例3两位同学玩“石头、剪子、布”的游戏。我们规定：“布”赢“石头”得5分，“石头”赢“剪子”得4分，“剪子”赢“布”得3分。小华和小军一起玩，小华赢了10次，得38分，其中“剪子”赢“布”5次。你能否求出小华“布”赢“石头”多少次？

解析：设小华“布”赢“石头”x次，“石头”赢“剪子”y次，

则x+y+5=10,5x+4y+15=38.解得x=3,y=2.

故小华“布”赢“石头”3次。

四、以表格叙述信息

例4某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜市场批发了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖。西红柿和豆角这两天的批发价与零售价如下表所示：

问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？

解析：本题可抓住经营户所批发的西红柿和豆角的数量和所付的总钱数这两个方面的等量关系建立方程组，从而求解。设批发了xkg西红柿和ykg豆角，

则x+y=40,1.2x+1.6y=60.解得x=10,y=30.

故赚了10×(1.8-1.2)+30×(2.5-1.6)=33元。

五、以几何图形为题

例5如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（）

A．400cm2 B．500cm2

C．600cm2 D．4000cm2

解析： 设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据矩形图案与小长方形的拼接关系，可列方程组

x+y=50,2x=x+4y.解得x=40,y=10.

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【关键词】初中数学；一元一次方程；解法；应用；提高

在一元一次方程的教学中其实就涉及了两方面的内容，一是一元一次方程的基本解法，二是一元一次方程的实际应用.这两块教学内容看似简单，但是学生们学习起来却有些吃力，尤其是在学习一元一次方程的实际应用时尤为明显.针对这样的教学现状，教师应该从一元一次方程的教学意义和教学策略中去想办法，以提高学生们的解题能力.

一、一元一次方程的教学意义

（一）有助于建立方程思想

一元一次方程不仅是一种模型更是一种思想.无论是在初中还是在高中数学的学习中，学生们都要和方程打交道，而想要学习好关于方程的内容，首先应该具备一定的方程思想.在初中的一元一次方程的学习中，教师引导学生才能开始认识方程、应用方程，从而建立起方程的思想.所以，一元一次方程的教学有助于建立学生的方程思想.

（二）有助于提高解题能力

在小学的学习中学生在解应用性的问题时常常采用的是分步列式的方法，这种方法虽然也能得到相应的答案，但是它比较麻烦，甚至有一步出现错误，整个题目都会出现问题.但是方程却能有效规避这一问题，在应用方程解决应用性的问题时，只要学生能找到恰当的等量关系，列出相应的方程，就能解决问题.从这一点来看，一元一次方程的教学有助于提高学生的解题能力.

二、一元一次方程的教学策略

（一）打基础

在教授一元一次方程时，首先让学生学习基本的解题步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.从心理学的角度来讲这属于原型认知的阶段，在这个阶段教师的教学步调要放慢，让学生在教师的指引下慢慢理解方程的意义和内涵.这样做才能让学生将机械的学习转化为主动的学习.另外，在解方程的步骤中，教师还应该为学生渗透“化归”的数学思想，解方程的5个步骤，尤其是到最后得出结果的时候，都体现了“化归”的思想，在这样的引导下，才能让学生理解和掌握解一元一次方程的实质.

当学生经历过原型认知的阶段，教师就可以向原型定向的阶段进行教学了.在这个阶段中，学生要遵循解一元一次方程的步骤与原则.解一元一次方程虽然简单，但是学生却往往会出现一些错误，在教授一元一次方程的基本解法时，教师切莫急于求成，在这个阶段就要让学生进行一定量的练习，从原型定向的角度来看，这是必须要经历的.在具体练习的过程中，学生就会慢慢发现解一元一次方程其实也不难，只是“细节决定成败”.当学生经历了原型认知、原型定向，就要向原型操作和内化过渡了，这最后的一步其实也是应用提高的过程.

（二）激趣导入

为了让学生更快地接受一元一次方程和其应用的典型例题，就要在上课前激发学生的学习兴趣.比如，为了顺利讲解下面的“希望工程募捐”问题，我是这样激发学生兴趣的：“在暑假期间，老师和同事们搞了一次‘希望工程募捐’的活动，在这次活动中，我们卖出去了两种票，即学生票和成人票，但是活动结束后老师们都疲惫了，没有计算出到底售出成人票和学生票各多少张，你们能帮助老师解决这个问题吗？”

在这个问题的引导下，学生们都来了兴趣，都希望一展身手，把教师的问题解决了.这样的激趣导入就自然而然地把学生引入到了学习情境中去了.

（三）小组讨论

在这个阶段教师的主要任务就是提示点拨，指路引导.

问题展示：老师们为“希望工程募捐”组织了一次活动，共售出1 000张票，筹得票款6 950元.学生票5元/张，成人票8元/张.问：售出成人票和学生票各多少张？

小组讨论：在小组讨论中，教师先不要给出过多的提示，先看看学生们有什么样的思路.因为每个小组中都有6名学生，而且学生们的学习能力、学习风格都是有区别的，教师应该相信学生们有能力将此问题解决.但是，如果学生们遇到问题时，教师可以及时点拨，因为有的小组还是用小学数学解决问题的方法来解决方程问题，所以在这时教师要“拨乱反正”，给予明确的思路，就以本题为例，教师应给出以下提示：

问题一：上面的问题中包含哪些等量关系？

问题二：设售出的学生票为x张，填写下表.

1学生1成人票数/张11票款/元11问题三：列方程解应用题，并考虑还有没有另外的解题方法？

这一提示是在三个问题的逐步引导中展开的.通过问题一的引导，学生们能顺利找出本题的等量关系，接着顺利过渡到第二个问题，即设出合理的未知数，当以上两步都解决了，就是列出一元一次方程的时候了.我通过两步的方法指导让学生顺利地解决了问题，但是本题还没结束，我还布置了一问题，那就是让学生用其他的方法来解决这一问题，这个环节就是让学生在打好基础的前提下再一次提高自主学习数学的能力.

（四）问题解决

在问题提示的引导中，学生们的思路被教师引到了“方程思想”中来了，在逐步思考和探索的基础上，学生们自然而然地得出了问题的答案，即：

设学生票卖出x张，那么成人票卖出（1 000-x）张，

依据题意，得5x+8（1 000-x）=6 950.

在这次教学活动中，我没有操之过急，而是带领学生一步步地走进了数学情境，即：先激发学生的兴趣，让学生想学数学；再让学生小组合作，让学生会学数学；最后解决问题，让学生爱上数学.所以，在初中数学的教学中，教师就要拿出“走一步，再走一步”的教学策略――将大问题分解成小问题.如果教师能持之以恒地坚持下去，那么学生解决问题的能力终会有飞跃式的进步和发展.

三、运用与提高

有了一元一次方程的思维和基础，下面我们用一元一次方程的应用题实例来学会运用一元一次方程巩固和提高我们学习的方法.例如，商品利润问题的应用，一家商场将某种商品按进价提高80%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利约22元，则这种商品每件进价是多少钱？

分析探究题目中隐含条件是解决问题的钥匙，可以直接设服装的进价为未知数x.

进价1折扣率1标价1优惠价1利润x元18折1（1+80%）x元180%（1+80%）x元122元根据等量关系，利润=折扣后价格-进价，列出方程.

解设这种服装每件的进价为x元.

80%（1+80%）x-x=22，解得x=50.

答：这种服装每件的进价为50元.

这道题到这里就算是解完了，但是数学的教学应该是一个过程，是知识认知和掌握直到可以灵活运用解决问题的一个过程.学习是学生独立思考、发现问题和解决问题的过程.

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(一)知识教学点

会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理.

(二)能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力.

(三)德育渗透点

1.体会代数方法的优越性.

2.向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想.

3.向学生进行理论联系实际的教育.

(四)美育渗透点

学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美.

二、学法引导

1.教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法.

2.学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解.

三、重点·难点·疑点及解决办法

(一)重点与难点

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组.

(二)疑点

正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程.

(三)解决办法

通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键.

四、课时安排

一课时.

五、教学具学具准备

投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题.

2.师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤.

3.通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺.

七、教学步骤

(一)明确目标

本节课主要学习列二元一次方程组解应用题.

(二)整体感知

列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组.

(三)教学过程

1.创设情境、导入新课

(1)根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程.

①甲、乙两数的和是10.

②甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70.

③买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元.

(2)甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件.已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件?

①列出一元一次方程和二元一次方程组解题.

②比较一下，两种方法得到的结果是否相同?是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易?

学生活动：第(1)题口答，第(2)题在练习本上完成.

【教法说明】第(1)题为根据相等关系列二元一次方程打下了基础;第(2)题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣.

2.探索新知，讲授新课

例1小华买了80分与2元的邮票共16枚，共花了18元8角，80分与2元的邮票各买了多少枚?

分析：(1)题中有几个未知数?分别是什么?

(2)题中有几个相等关系?分别是什么?

学生活动：观察、分析后回答.

未知数：80分邮票枚数与2元的邮票枚数.

相等关系(1)80分邮票枚数+2元邮票枚数=总枚数.

(2)80分邮票总价+2元邮票总价=全部邮票总价.

学生活动：设未知数、根据相等关系列方程.

解：设共买枚80分邮票，枚2元邮票，根据题意得

解这个方程组，得

答：80分邮票买了11枚，2元邮票买了5枚.

强调：(1)选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义.

(2)列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成.

(3)得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句.

反馈练习：P351，2.(只列不解)

例2小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分;做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分.平均每1个小狗与1个汽车各用多少时间?

仿照刚才分析例1的方法，分析问题.

学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答.

教师根据学生的拟题板书.

两个未知数：平均做1个小狗的时间与1个小汽车的时间

(1)做4个小狗的时间+做7个小汽车的时间=3时42分

(2)做5个小狗的时间+做6个小汽车的时间=3时37分

解题过程由学生完成，一个学生板演.

解：设平均做1个小狗用分，做1个小汽车有分，根据题意，得

解这个方程组，得

答：平均做一个小狗用17分，做1个小汽车用22分.

【教法说明】例2用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力.

反馈练习：P353，4.

学生活动：口答、设未知数、列方程组.

3.变式训练，培养能力

用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒?

分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系.

相等关系：(1)制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=150张.

(2)盒底总数=2×盒身总数.

解：设用张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒.根据题意，得

(四)总结、扩展

我们这节课学习了二元一次方程组的应用，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗?

学生发言后，老师适当补充、纠正.

八、布置作业

(一)必做题：P391，2，3.

(二)选做题：P41B组2.

(三)补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数.

参考答案

(一)1.到甲地130人，到乙地70人.

2.有28个队参加篮球赛，20个队参加排球赛.

3.长38㎝，宽16㎝.

(二)解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货吨、吨，根据题意，得

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一、初中数学中例题教学的功能

（一） 例题教学是将数学知识、数学方法和数学思想相联系的纽带

初中数学的目标是培养学生利用数学知识解决生活中的问题，这些通过简单的数学理论记忆、数学方法的机械学习和数学思想的灌输是难以实现的，这样的知识对于初中生而言也过于抽象。例题教学正是将数学知识、数学方法和数学思想通过具体的例题内容展示出来，例题的讲解和示范是学生获得数学知识的主要途径，是培养学生数学解题技巧和解题方法的重要环节，是以促进学生数学能力为主要目标的。例如，例题：足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队1：0，蓝队胜 红队1：0，计算各队的净胜球数。这个例题以有理数知识的讲解为主要内容，渗透着有理数的解题技巧和符号思想。

（二）例题教学通过解题示范规范学生的解题步骤

初中数学在传递数学知识的同时，培养着学生严谨的数学精神。在例题教学中教师通过对解题过程详细的展示，引导学生掌握解题的思考过程，习得规范的解题格式。例如，在应用题的解题过程中，教师通过例题展示向学生讲解例题的思考过程，先将题目要求解答的问题设为x，然后分析题目中的已知条件和未知条件，根据所学知识建构已知条件和未知条件之间的数量关系进行解答，同时，进行规范解答，先对问题进行未知数的假设，然后列出符合题意的含有未知数的方程，接下来解方程，最后对问题进行回答。

（三）例题教学促进学生解题错误的纠正，巩固学生的数学知识

数学知识和数学能力的培养需要学生通过练习题的不断巩固，在习题练习中不断出现的知识漏洞和解题错误是通过教师的例题讲解纠正的。教师通过对学生的习题进行分析，总结出学生在知识学习中的共性问题和个性错误，通过对典型题的讲解纠正学生的错误。例如，在学习一元一次方程时，学生第一次接触方程思想，教师在观察学生解题过程中发现，大部分学生的应用题解答是先使用小学阶段的方法进行解答，然后把代数式子转化为含有未知数的方程，教师通过对典型应用题进行分析，引导学生念出方程的思维过程，进而掌握和学习方程思想。

二、初中数学例题教学的有效策略

（一）例题的讲解要注重步骤的完整性

初中学生的思维发展需要具体事例的支持，在应用题教学中表现为步骤呈现的逐渐过渡，从纸质呈现到思维表象呈现，再到思维的跨越发展。因此，在应用题的学习初期，教师要注重表现步骤的完整性。一元一次方程应用题是初中生第一次接触应用题的教学，这些题目内容很多学生利用小学的知识便可以进行解答，因此很多教师在教学中的进度很快，并没有作为一个重要的内容进行教学，同时在试题检测中，学生的高准确率使得教师在讲解一元一次方程应用题时快速带过。但是，一元一次方程应用题是初中阶段学生第一次使用方程思想解决问题，在教学中更为重要的是培养学生通过用x、y等字母符号表示所求内容，通过正向思维思考已知条件和所求问题的联系，这就要求教师在教学过程中展示思维的分析过程和运用方程解答应用题的基本步骤。例如，一桶油连桶的重量是10千克，油用去一半后连桶的重量是5.5千克，桶内原来有油多少千克？首先对用x表示所求条件，设：桶内原来有油x千克。已知条件：油未用前油和桶共10千克，油用一半后油和桶共5.5千克。x/2是用去的油量，用总重量减去用去的油量，就是剩余的重量，所以可得到方程，10-x/2=5.5。尔后的步骤是解方程，最后对所求问题进行解答。在教学中教师要注重步骤呈现的完整性，逐一呈现每一个步骤，直到学生完全掌握。

（二） 例题的讲解要注重对学生思维能力的培养

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一、“鸡兔同笼”，创设思维情境

“鸡兔同笼”是中国古代《孙子算经》中的一个有趣的问题，也是古代著名的一个难题。“鸡兔同笼”问题，把学生们带入到古代的数学问题情景中，让他们体会到数学中的“趣”，激发学习激情，引导他们学会用自己的大脑去探索，培养和提高学生的思维能力；也让他们体会到数学中的“难”，培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志。

“鸡兔同笼”问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：“有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？”

课堂上老师出示“鸡兔同笼”问题后，说明该问题是古代著名的一个有趣难题，以此激发学生的好奇心。在读懂古算题，理解题意后，让学生先思考，寻找解题思路,写出解题过程，然后让全班学生交流讨论，说出各自的思路和观点。老师对学生独特的思维和见解给予肯定，最后在学生充分讨论的基础上，用列二元一次方程组方法，给出正确的答案。课后鼓励他们用算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组方法等多种方法继续解决“鸡兔同笼”问题，鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的不同看法。

二、多种思路，激活思维浪花

综合课内、课外，练习、作业的各种解法，本人整理出6种有代表性的解法：

解法1：用算术方法（先求兔只数）

分析：若全鸡则只有（2×35）足，故总足数比（2×35）足每多2足，则有兔1只：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数。

总只数－兔的只数=鸡的只数。

解：(94－2×35)÷2=12 (只)。

35－12=23 (只)。

所以有鸡23只，兔12只。

解法2：用算术方法，先求鸡只数。（略）

解法3：用一元一次方程求解，把鸡设为未知数。

分析： 鸡足+兔足=94

解：设有鸡x只，则有兔（35-x）只。

根据题意，得2x+4(35-x)=94。解得有鸡23只，兔12只。

解法4：用一元一次方程求解，把兔设为未知数。（略）

解法5：列二元一次方程组后用加减法求解。

分析：鸡头+兔头=35，鸡足+兔足=94。

解：设有鸡x只，兔y只。根据题意，得

x+ y = 35,①2x+4y = 94。②

解得有鸡23只，兔12只。

解法6：列二元一次方程组后用代入法求解。（略）

通过解决“鸡兔同笼”问题,使学生体会了算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组方法等三类方法的优缺点。用算术方法解法优点：计算便捷些。不足之处：思维较复杂。用一元一次方程解法优点：思维便捷些。不足之处：计算较复杂。用二元一次方程组解法优点：思维快速简单。不足之处：计算复杂些。

通过解决“鸡兔同笼”问题,使学生体会到算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三类方法的不同思维过程，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，领会了列二元一次方程组简化思维过程、思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性。

三、古代趣题，充满思维乐趣

解决“鸡兔同笼”问题的方法还有很多，但当老师综述以上6种解法时，全班学生还是发出了一阵阵的惊叹，学习兴趣非常浓厚，大脑思维空前活跃，不少学生从中获得了成功经验。因此，解完“鸡兔同笼”问题后,本人继续让学生探索以下几道古代算题，使他们保持思考乐趣，增强思维能力，提高数学素质。

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关键词：初中数学 一元二次方程

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2012）08（b）-0193-01

【教学目标】

（1）理解一元二次方程的概念。

（2）掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。

（3）由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。

（4）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。

【教学重点】

一元二次方程的概念及一般形式。

【教学难点】

（1）由实际问题向数学问题的转化过程。

（2）正确识别一般式中的“项”及“系数”。

【教学流程】

活动1 创设情境 引入新课

复习一元一次方程有关概念；通过实际问题引入新知。

活动2 启发探究 获得新知

通过类比一元一次方程的概念和一般形式，让学生获得一元二次方程的有关概念。

活动3 运用新知 体验成功

巩固训练，加深对一元二次方程有关概念的理解。

活动4 归纳小结 拓展提高

回顾梳理本节内容，拓展提高学生对知识的理解。

活动5 布置作业 分层落实

分层次布置作业，提高学生学习数学的兴趣。

【教学过程】

[活动1]

问题：

2008年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员，以此类推来完成此次培训任务。

某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。

（1）已知经过第一轮培训后该校共有11人合格，请列出满足条件的方程。

（2）若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？

通过多媒体播放视频短片，引入情境，提出问题。在第（1）问中，通过教师引导，学生列出方程，解决问题。

在第（2）问中，遵循刚才解决问题的思路，由学生思考，列出方程。

通过创设情境，引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式，为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫。

通过解决实际问题引入一元二次方程的概念，同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。

[活动2]

（1）一元二次方程的概念。

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的。

（2）一元二次方程的一般式：

引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念。

[活动3]

例1：天津四中为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？（列方程并整理成一般形式）

教师在此活动中应重点关注。

（1）由一个学生列出方程，并解释解题方法，教师进行引导，点评，引起其他学生的关注，认同。

（2）教师在归纳点评过程中，应注意把两队只打一场比赛解释清楚，以便学生理解题意。

（3）整理一般形式后，教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法，如去括号，移项，合并同类项，去分母等。

（4）让学生指出各项系数时，教师强调系数须带符合。

此题有在实际生活中应用的意义，通过此题让学生理解比赛赛制安排原则。

例2：当m取何值时，方程：

是关于x的一元二次方程？

此题是字母系数问题，由学生思考解题过程，让学生讲解此题，教师进行总结点评，大屏幕显示解题过程。

[活动4]

（1）问题：

本节课你又学会了哪些新知识？

学生反思本节课中学到的知识，总结活动中的经验。

小结时，教师应重点关注。

①学生是否能抓住本节课的重点；

②学生是否掌握一些基本方法。

小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。

（2）思维拓展。

若方程x2m+n+xm-n+3=0是关于x的一元二次方程，求m，n的值。

此题让学生进行思考，讨论，让学生进行讲解，教师作适当归纳，可留疑，让学生课下思考。

[活动5]

课后作业：

（1）教科书第98页习题17.1第1、2、5、6、7题。

（2）请根据所给方程：

（16-2x）（10-2x）=112，

联系实际，编写一道应用题：（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）。

（1）组题目为巩固型作业，即必做题。

（2）组题目为思维拓展型作业，即为学有余力的学生设置。

分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。

【教学反思】

本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念，并学会利用方程解决实际问题。在教学过程中，注重中难点的体现。