排列组合例题范文

导语：如何才能写好一篇排列组合例题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、解排列问题的基本方法

解排列问题的基本方法主要有特殊元素（位置）法、插空法、捆绑法、对称性。

例1：7个人站在一起照相，

（1）全部排成一排，有多少种排法？

（2）排成两排，前排3人，后排4人，有多少种排法？

（3）站成一排，甲不能站左端，也不能站右端，有多少种不同的站法？

（4）站成一排，甲不在左端，乙不在右端，有多少种排法？

分析：

（1）这是一个没有限制条件的问题，7个人可以任意站，直接解得A=5040种站法。

（2）看起来比刚才复杂，仔细分析，实际上每个人都没有限制，7个人对应7个位置，所以还是A=5040种站法。

（3）①甲有了限制，只有5个位置可以站，我们先安排甲站，有A种站法，其他人没有限制，有A种站法，AA=3600种站法。这种方法叫特殊元素法。

②也可以这样思考，先找除甲以外的2人将左端的位置站好，有A种站法，接下来就没有限制了，5人任意站，有A种站法，所以共有AA=3600种站法。这种方法叫特殊位置法。

③还可以用间接法解：不考虑甲的限制条件，有A种，甲站左右各有A种方法，要去掉，共有A-2A=3600种站法。

实际上，当某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素时，我们应该优先处理这些特殊要求。在计算时先处理特殊元素或先处理特殊位置，再考虑其他条件。

先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数，这种方法也称为间接法。用这种方法特别注意要不重复，不遗漏。

（4）这是在（3）的基础上将限制条件增加为两个，变得难一些，但解题的基本方法不变。

①用先处理特殊元素（特殊位置）的方法：甲在右有A种方法，甲在中间位置有A种，这时乙不能在右，也有A种，共有AAA+A=3720种方法。

②若用间接法，特别注意要不重复，不遗漏。要注意在右这种情况，共有A-2A+A=3720种方法。

二、解组合问题的基本方法

分组分配问题要注意分组后是否拿走。注意均匀与非均匀，编号与不编号限制条件的分组问题。

例2：6本不同的书按下列方法分配，有多少种分法？

（1）分给3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本。

（2）分给3人，1人1本，1人2本，1人3本。

（3）平均分成3组。

（4）分给3人，每人2本。

分析：

（1）各组元素数目确定，分配对象确定，按要求分配到人。

先从6本不同的书中任取1本给甲有C，然后从剩余的5本中任取2本给乙有C，最后把剩余的3本都给丙C，由乘法原理，共有CCC=60种分法。

（2）与（1）相比，各组元素数目确定，分配对象不固定，哪个得多少是不知道的。各组元素数目仍分别为1，2，3，但哪个人得几本没有固定。

仿（1）分成三组，有CCC种分法，然后让3人自由选取，有A种，所以共有CCCA=360种分法。

（3）平均分组，相当于分成三组放在一起，不管怎么按什么顺序分，放在一起只能算一种情况。按CCC分，是实际情况的A倍，因此只有=15种分法。

注意：有n个平均分组时应除以A。

（4）各组元素数目相等，分配给具体对象。可以分两步走：先分成三组，每组2本，然后三人再来拿走。先分组，有分法。三人的拿法有A种。共有A=CCC=90种分法。

篇2

1.将编号为1、2、3、4的四个球放入A、B、C、三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且1、4号两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（）

A．15B．18 C．30D．36

2.某省教育厅从外地引进5名专家担任该省的特聘教师，现欲将5名特聘教授安排到三个大学讲学，每所大学至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）

A．30种 B．90种 C．180种 D．270种

3.某省教育部门拟从10位有突出贡献的教师中选6人作为教育标兵进行表彰奖励，其中甲、乙两位教师不能同时当选，则表彰奖励的不同方法有（）

A．84种 B．98种 C．112种 D．140种

4.若 ，则 =（ ）

A．32B．1 C．-1 D．-32

5.某项运动会闭幕式结束后拟举行文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F六个不同节目编排成节目单，如下表：

序号 1 2 3 4 5 6

节目

如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 （）

A 192种 B 144种 C 96种 D 72种

6.若m∈A，则 ∈A，就称集合A是和谐的。集合M={－1，0， ， ，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有和谐关系的集合的个数为（）

A．15 B．16 C．28 D．25

7. 若 的展开式中 的系数是( )

A． B． C．D．

8.已知 为等差数列 中的第8项，则二项式 展开式中常数项是（）

A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项

9.在 的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）

A．3项 B．4项 C．5项 D．6项

10.多项式 的展开式中 的系数是（）

A. B. C.D.

11. 某开发商计划在我国的四个候选城市投资3个不同的旅游项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该开发商不同的投资方案有（）

A．16种 B．36种 C．42种 D．60种

12. 若 ， ，则 =（）

A.2012 B.1 C.-1 D.-2

二、填空题

13.从5名外语系大学生中选派4名同学参加在广州举办的大学生运动会当翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有。

14. 的展开式中的第四项是 。

15.某学校组织4名学生参加体格检查，4名学生在同一天的上、下午参加视力、听力、五官、体重、身高五个项目的检查，每位学生上、下午各测试一个项目，且不重复。若上午不测“体重”项目，下午不测“视力”项目，其余项目上、下午都各测试一人。则不同的安排方式共有_________种。（用数字作答）

篇3

排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。

解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。下面通过例题逐个掌握：

一、相邻问题---捆绑法不邻问题---插空法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

【例题1】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？

A.20B.12C.6D.4

【答案】A。

【解析】首先，从题中之3个节目固定，固有四个空。所以一、两个新节目相邻的的时候：把它们捆在一起，看成一个节目，此时注意：捆在一起的这两个节目本身也有顺序，所以有：C(4，1)×2=4×2=8种方法。二、两个节目不相邻的时候：此时将两个节目直接插空有：A(4，2)=12种方法。综上所述，共有12+8=20种。

二、插板法

一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只对分成的份数有要求。

【例题2】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法？

A.190B.171C.153D.19

【答案】B。

【解析】此题的想法即是插板思想：在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份，那么共有：C(19，17)=C(19，2)=171种。

三、特殊位置和特殊元素优先法

对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。

【例题2】从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种？

A.120B.240C.180D.60

【答案】B。

【解析】方法一：特殊位置优先法：首先填充第一棒，第一棒共有5个元素可供选择，其次第4棒则有4个元素可以选择；然后第2棒则有4个元素可以选择，第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4×3=240种。

方法二：特殊元素优先法：首先考虑甲元素的位置

第一类，甲不参赛有A(5,4)=120种排法；

第二类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有2种排法；其余5人占3个位置有A(5,3)=60种占法，故有2×60=120种方案。

所以有120+120=240种参赛方案。

四、逆向考虑法

对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题，我们就要学会间接的方法。

正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体？

A.70B.64C.61D.58

【答案】D。

【解析】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，共C(8，4)-12=70-12=58个。

五、分类法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

【例题3】五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有

A.120种B.96种C.78种D.72种

【答案】C。

【解析】由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A(4，4)=24种排法；2)若甲在第二，三，四位上，则有3×3×3×2×1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。

专家点评：解排列与组合并存的问题时，一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。解决一道排列、组合提的方法很多，但我们必须选择一种最快做有效的解题方法。这就要求我们准确掌握各种解题方法，能迅速的判断出哪种方法最适合解答该题。

下面我们为考生准备5道习题，请考生们注意选择最合适的解题方法。

1、丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？

A.6B.12C.9D.24

2、马路上有编号为l，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种？

A.60B.20C.36D.45

3、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数？

A.300B.360C.120D.240

4、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？

A.45B.36C.9D.30

5、六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数？

A.120B.64C.124D.136

1、【解答】C。能站在第一位，因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。

如果甲站在第二位，则共有三种可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙

如果甲站在第三位，则共有三种可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙

如果甲站在第四位，则共有三种可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲

因此一共有9种可能

2、【解答】B。关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。所以共C(6，3)=20种方法。

3、【解答】A。排除法解P(6,4)-P(5,3)个=300个

4、【解答】B。把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C(9，7)=36种。

5、【解答】D。先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

篇4

关键词： 排列组合 概念 常用解法 以学生为主体

一、通过比较，理清排列组合的概念

为能较好地提高学生的识别能力，强化“排列既取又排，组合只取不排”的意识，我们在平时的教学中可以把内容类似、易混淆的排列、组合问题并列起来，进行对比分析，这样比较直观，学生更容易理解掌握。

比如：

（1）8名毕业生，见面互相握手，共握几次手？

8名毕业生，每人互赠照片一张，共需准备多少张照片？

（2）从15个学生中任选3人参加学代会，共有几种不同的选法？

从15个学生中任选3人分别参加语数外三门课程的竞赛，共有几种不同的选法？……

通过分析可知以上的几个例题都是前者涉及组合知识点、后者涉及排列知识点，这样把易混淆的问题摆出来，比较分析，不但能加强学生对概念的理解，而且能提高教学效果。

二、认真审题，多角度分析问题

下面介绍几种有条件限制的排列组合应用题的常用解法：

1.插空法

把甲、乙两类不同的元素安排在一起，求甲类元素不安排在一起的方法总数，一般是先安排乙类元素，然后在乙类元素之间的空档中选出部分安排甲类元素，最后由乘法原理得到所求的结果。

例1：4本不同的数学书、3本不同的语文书放在同一层书架上，要求4本数学书必须分开，有多少种排法？

解：第一步，先排语文书有P种排法；

第二步，在3本语文书之间（包括两端）的4个空档中插入数学书有P排法；

最后根据分步原理共有：P•P=144（种）。

2.特殊优先法

对于存在特殊元素或特殊位置的排列组台问题，我们可先从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。

例2：特殊位置――由0、1、2、3、4可组成多少个没有重复数字的三位数？

解：百位是特殊位置（不能选0），所以先排百位有P种排法，再排个位和十位有P种排法，据分步计数原理有：P•P=48（个）。

例3：特殊元素――七个人站成一排照像，若甲不站在两端，有多少种不同的排法？

解：甲是特殊元素（不站在两端），所以从中间五个位置中选一个位置安排甲，有P种站法，然后其他六名人在其余6个位置上，有P种站法，据分步计数原理共有：P•P=3600（种）站法。

3.捆绑法

对于带有附加条件是某些元素必须相邻的排列组合问题，可以把这些要求相邻的元素作为一个整体捆绑在一起，看成一个“新元素”参与排列或组合，但还要注意这个整体内部元素之间是否有序。

例4：7个人站成一排照像，甲乙丙3人必须站在一起的排法有多少种？

解：把甲乙丙3人看成一个整体，问题就转化为“5人”，有P种站法，“甲乙丙”整体有种站法，据分步计数原理共有P•P=720（种）站法。

4.换位思维法（间接法）

如果从正面思考问题比较困难的话，我们可以换一种思维方式思考，也许问题就迎刃而解了。

例5：现从6名男生和4名女生中，任选3名同学参加学校朗诵比赛，则至少有一名女生当选的选法有多少种？

解：“至少一名女生”就等价于“排除三个全选男生”。从10名学生中任选3名有C种选法，其中全选男生的选法有C种，那么至少有一名女生的选法有：C-C=100（种）。

除此以外还有分类讨论法和树图分析法，这七种方法只是我们常用的思考方法，并非是解题方法的分类。对于一些较复杂的有条件限制的排列组合问题，还需要综合应用多种思考方法。

三、以学生为主体，充分调动学生的积极性

在教学过程中，要让学生主动参与，针对排列组合教材的特点，要尽可能地为学生提供参与解题的机会，当学生遇到困难时，予以适当的提示。例如：有6本不同的书分给甲、乙、丙三个人，（1）如果每人分得2本，有多少种分法？（2）如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（3）如果1个人得1本，1个人得2本，1个人得3本，则有多少种分法？

给出题目后，让学生相互之间充分地讨论，在讨论中得出相应的解法，对于学生的错误要及时发现并予以解释纠正。在这样一个学生参与解题的过程中，会自然而然帮助学生养成良好的分析问题的习惯，掌握正确的分析方法，从而培养探索的精神和毅力。

总之，在排列、组合的教学中，教师应研究不同的教学方法，随机应变，转换策略，使学生在做题时，思维进退自如，得出正确结果。当然，教师还需不断探索，不断总结，使自己的教学工作上一个新的台阶。

篇5

一、加大两个计数原理、排列与组合的对比力度

分类计数原理和分步计数原理的知识的应用贯穿着排列组合及概率的学习，是学好这部分知识的关键.如果对分步计数原理和分类计数原理的理解不充分，就会影响解决排列组合问题的准确性.而且近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考查上.所以在进行这两个原理的教学中一定要讲清讲透.我的做法是，先通过教材（人教A版）给出的问题利用列举法得出答案，让学生对分类、分步有初步的了解，分析两个问题的区别，明白类和步的区别，使学生清楚“类”和“类”是相互独立的，任何一类办法中的一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法数就用分步计数原理；“步”和“步”是相互依存、缺一不可的，完成一件事需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.最后总结出：分类相加，分步相乘.然后再做一些深化巩固练习.为了激发学生的兴趣并与高考接轨，可以让学生练习一些高考题.

【例1】（2012年高考全国卷理，11）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）.

A.12种B.18种C.24种D.36种

师生互动：先排第一行第一列，可以在a，b，c中任意选一个，有三种方法；再排第一行第二列，可以在剩下的两个字母中任意选一个，有两种方法；最后排第二行第一列，有两种方法.排完这三个位置后其他位置的字母就确定了，完成这件事分3步，所以用乘法.可得3×2×2=12种.

【例2】（2012年高考北京理，6）从0，2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为（）.

A.24B.18C.12D.6

师生互动：组成的三位数可以分成两类：奇偶奇，和偶奇奇.第一种先填个位（3种选择），再十位（2种选择），最后百位（2种选择），共12种；如果是偶奇奇，同理，个位（3种选择），再十位（2种选择），最后百位（1种选择），共6种，因此共有12+6=18种情况.得到结果后再来与学生一起分析用乘法或加法的原因.这样设计使学生从具体到抽象到具体地去掌握两个原理，符合人的认识规律.

而区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关.若交换两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即有序排列，无序组合，并用例题来说明.在教学中加大分类与分步计数原理、排列与组合的对比力度，就能强化它们在学生头脑中的可辨别性，避免在解题中产生混淆.

二、把抽象转化为具体

教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应当是一种过程的经历，一种体验，一种感悟.”对于排列组合的应用题，学生觉得比较难，主要还是因为排列组合的抽象性.如果能把抽象的数学学习变得具体形象起来，把问题与学生的生活紧密联系，就能使学生体验到生活中的数学是无处不在的，从而培养学生的观察能力和解决实际问题的能力.如对于这样的问题：4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队，不同的报名方法种数是多少？刚开始解决这类问题时学生老弄不清是34还是44.我是这样处理的：在讲台上准备3个盒子，分别写上足球队、篮球队、乒乓球队，先让一名学生上来选队，选上哪个队就把纸团扔到哪个盒子里，问：1号同学有几种选择？生：3种.师：完成选球队这件事了吗？生：没有.师：2号同学上来选.通过这样的过程，学生知道每个同学都有3种选择，只有当4位同学都选完球队后才完成这件事，根据分步计数原理，得3×3×3×3，即34.这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛.同时，学生也能顺利地解决这个问题.又让学生做巩固练习：汽车上有乘客10人，沿途有5个车站，问乘客下车的方式有几种？有些学生能迅速地得到答案，有些学生觉得难以下手.我对一个学生说：假设你在车上，可以有几种下车方式？通过引导，最后大部分学生都可以得到正确的答案.由此可见，对于排列组合中的许多抽象问题，让学生变成题目当中的人，使学生身临其境，成为解决问题的决策者，充分发挥了学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，达到解决问题的目的.

三、注意解题方法、解题策略的归纳总结

认知结构是人们头脑中的知识结构，它具有整体性和概括性.认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移.经常有学生说：上课听得懂，但课后不会做.这些学生在解题过程中，不会利用或利用不好已学的相关知识，找不到解题途径或解题方法，以致解题速度不快、解答过程繁杂、解答结果出现重复或漏缺等.这时需要教师引导学生进行必要的反思，提升学生的解题能力.不能就题论题，问题解决后要引导学生进行必要的总结.如，有限制条件的排列问题的解题策略：特殊位置、特殊元素要优先考虑；相邻问题先捆后松，不相邻问题见空插入，分组问题等.通过例题的讲解再加以概括，使学生真正掌握解题的策略.如：7人站成一排，甲不站两端，有几种站法？引导学生明白7人排队，与顺序有关，这是一个有条件限制的排列问题，可以通过分步及排列知识来解答.不少学生先考虑甲，有5个位置可以站，其他6个人可以随便地站6个位置，得到A15A66；师：可以先考虑前后两个位置吗？由学生思考，回答：前后两个位置可以由甲以外的6个人中选两个来排，其他5个位置由包括甲等5人来排，共有A26A55；让学生比较两种解法，并发现其结果是一样的.前一种方法考虑人（元素），后一种方法考虑位置.教师归纳出特殊元素法和特殊位置法.在巡视和学生回答的过程中发现有的学生先考虑甲站在哪，又考虑前后两个位置可以站什么人，出现了思维混乱.强调：在解题过程中，应以某一元素（或位置）为轴心展开讨论，不能一会以这个元素来展开，过一会又以位置来展开，这样会造成思路不清，引起重复或遗漏.再如：

【例3】（2012年高考辽宁理，5）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐一起，则不同的坐法种数为（）.

A.3×3！B.3×（3！）3

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关键词：高中数学 排列组合 素质教育 能力培养

笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：

1、占位子问题

例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

①仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

②转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：

让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

③解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C=20（种）。这样原题也就得到了解决。

④学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）

⑤老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

2、分组问题

例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P×P）

①仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

②转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：

从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

③解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案

同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P×P种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法；最后由乘法原理得出结论为（P×P）×（P×P）（种）。（这时同学B表示反对）

同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P.（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）

同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P（种）。

④老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。

篇7

在教学过程中，我认为学生之所以 “怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进课题当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

下面我就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：

一、占位子问题

例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

（1）、仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

（2）、转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：

让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

（3）、解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C=20（种）。这样原题也就得到了解决。

（4）、学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）

（5）、老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

二、分组问题

例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P×P）

（1）、仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

（2）、转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：

从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

（3）、解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案

同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P×P种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法；最后由乘法原理得出结论为（P×P）×（P×P）（种）。（这时同学B表示反对）

同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P。（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）

同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P（种）。

篇8

1、相邻问题捆绑法

例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种。

A、720 B、360 C、240 D、120

解:因甲、乙两人要排在一起,故将甲乙两人捆在一起视作一人有 种排法,与其余四人进行全排列有 种排法,由乘法原理可知,共有 =240种不同排法,故选(C)。

点评:从上述解法可以看出,所谓“捆绑法”,就是对元素进行整体处理的形象化表述,体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题,只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体,视作一个“大”元素,再考虑相邻元素内部的排列或组合,就能保证这些元素相邻而不散乱。

训练: 3名男教师,3名女教师,6名学生站成一排,要求男教师和女教师必须站在一起,且教师不站在两端,则一共有多少种站法?

2、相隔问题插空法

例2 排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单

(1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?

(2) 舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种?

解:(1)先排歌唱节目有 种,歌唱节目及两端有6个空位,从这6个空位中选4个放入舞蹈节目,共有 种方法,所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 种。

(3)先排舞蹈节目有 种排法,在舞蹈节目和两端有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入,所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有 种。

训练:若将例题当中的“4个舞蹈节目”改为“5个舞蹈节目”,求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种?

点评:从解题过程可以看出,“插”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段。在具体操作时,可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素“插入”到它们的间隙及两端位置,从而保证它们不相邻。

3、限定问题优限法

例3 由数字0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的四位偶数?

解:因所求是偶数,所以个位必须是0,2,4中的任何一个,又首位不能为0,所以分个位为0时有 种,个位不为0时有 种。所以共有 种。

点评:所谓“优限法”,即有限制条件的元素(或位置)在解题时优先考虑,本题对四位偶数中的个位数字有特殊要求,首位数字又不能为0,故优先考虑。

训练 本例条件不变,问题改为“求能组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数?”,应如何求解?

4、多元问题分类法

例4 三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个?

解:设三角形的另外两个边分别为x和y,且不妨设 ,要构成三角形,必有 则分类讨论如下:

当y为11时,x可以为:1,2,3,…,11,可有11个三角形;

当y为10时,x可以为:2,3,4,…,10,可有9个三角形;

当y为9时,x可以为:3,4,5,…,9,可有7个三角形;

当y为8时,x可以为:4,5,6,7,8,可有5个三角形;

当y为7时,x可以为:5,6,7,可有3个三角形;

当y为6时,x可以为:6,只有1个三角形;

所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。

点评:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求,分成互不相容的几类情况分别计算,最后总计。

训练 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图,现要栽4种不同颜色的花,每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花,不同的栽种方法有多少种?

5、标号排位问题分步法

例5 同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年卡的分配方式有( )

A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种

  解:此题可以看成是将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有 种填法;第二步把被填入方格的对应数字,填入其它3个方格,又有 种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中,只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法,而选B。

点评:把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成。

训练: 将标有1,2,…10的10个小球投入同样标有1,2,…10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?

6 自由选择问题住店法

例6 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同的选法的种数是( )

A B C D

解:6名同学每人都可以在5个课外知识讲座中任选一种,所以均有5种选法,故总共有 种,选 A 。

点评:自由选择问题可以看成“顾客住店”问题。每名顾客(元素)都可以任意选择旅店(位置),因而每个元素都有位置数种选法,所以总方法为 种。

训练:某同学要将标有1,2,3,4,5,6的6封信投递出去,现有三个不同的信箱供选择,则有多少种不同的投递方法?

7 分配问题隔板法

例7 高一年级7个班级要组成篮球队,共需10名队员,每个班级至少要出一名,则不同的组成方法共有多少种?

解: 由于10名队员来自于7个不同的班级,每一个班级至少要一名,所以问题相当于将10名队员分成7组,10名队员并排站立中间有9个空格,在这9个空格中插入6个隔板就将10名队员分成了7组,每一组来自于一个班级,即得到了不同的组成方法共计 种.

点评:“隔板法”所解决的问题有以下特征:(1)被分的元素不加以区别;(2)被分的元素的个数不小于分得的组数;(3)每个小组至少分得一个元素。具备这些条件时就可以用公式:将 个相同元素分成 份 时,有 种分配方法

训练: 将10个相同的小球装

入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数,则不同的装法共有多少种? 8 定序问题缩倍法

例8 A、B、C、D、E五个人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法的种数是()

  (A)24 (B)60 (C)90 (D)120

解:B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即 60种,故选(B)。

点评:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题,这类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷。

训练: 从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?

9 有序分配问题逐分法

例9 有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?

(1) 平均分给甲、乙、丙三人;

(2) 甲得一本,乙得两本,丙得三本;

解:(1)每人得2本,可考虑甲先在6本书中任取2本,取法有 种,再由乙在余下的书中取2本,取法有 种,最后由丙取余下的2本,有 种取法,所有取法为 种。

(2)选取方法同(1),所以共有取法数为 种。

点评:有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,常采用逐步分组法求解。

训练:有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名英、日都精通,从中找出8人,使他们能组成两个翻译小组,其中4名翻译英语,另外4名翻译日语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单共可开出几张?

10 匹配问题配对法

例10 从6双不同型号的鞋中任取4只,其中恰有两只配成一双的取法有多少种?

解:先在6双鞋中任取一双有 种取法,再在余下的5双中任取两双,每双中各取一只有 种取法,所以总取法有 种。

点评:“配对法”就是将两个相关元素之间建立一一对应关系,如鞋子配对,钥匙和锁配对,比赛选手和比赛场次配对等,利用这些对应关系,使得比较杂乱的问题简单化,解答思路明晰化,能够将难度分步化解,提升解答准确度。

训练:有111名选手参加乒乓球比赛,比赛采取单淘汰制,需要打多少场比赛才能产生冠军?

11 选排问题先选后排法

例11 有6名男医生,4名女医生,从中选3名男医生和两名女医生到5个不同的地区巡回医疗,但规定男医生甲不能到地区A,共有多少种不同的分派方法?

解:分两类:

第一类:甲被选,共有 种分派方法;

第二类:甲未被选,共有 种分派方法;

所以共有 种分派方法。

点评:本题中不仅要选出5名医生(元素),还要求分配到5个地区(空位),因此是一道“既选又排”的排列组合综合问题,解决这类问题的方法是“先选后排”,同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则。

训练:从1到9的九个数字当中取出三个偶数四个奇数,试问:

(1) 能组成多少个没有重复数字的七位数?

(2) 上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个?

(3) (1)中的七位数当中,偶数排在一起奇数也排在一起的有几个?

12、至少问题间接法

例12 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名队长。现从中选5人主持某种活动,至少有一名队长当选的选法有多少种?

解:在选取的人员当中,总的选法有 种,不包含队长在内的有 ,所以总的选法有 种。

训练: 从甲、乙等10名同学当中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有多少种?

点评:含“至多”或“至少”的排列组合问题,通常用分类法,但是往往分类较多,讨论起来难度较大。本题所用的解法是间接法,即排除法(总体去杂),适用于反面情况明确且易于计算的情况。

13多排问题单排法

例13 两排座位,第1排3个座位,第2排5个座位。若8名学生入座(每人1个座位),则不同的座法有多少种?

解:因8名学生可以在前后两排座位中随意入座,再无其他条件,所以两排座位可以看成一排来处理,故不同的座法有 种。

点评:把元素排成几排的问题,限定条件若不影响问题归结为一排考虑,那么就将多排问题化为一排,再分段处理。

训练:12名同学合影,站成前排4人,后排8人。

(1) 总共有多少种不同的站法?

(2) 摄影师要从后排8人中抽调2人到前排,其他人顺序不变,总共有多少种调整方法?

14交叉问题集合法

例14 从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?

解:设全集I={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有: (种)。

说明:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数的公式: 来求解。

训练:从7名运动员当中选出4人参加4×100米接力,求满足下列条件的安排方法数:(1)甲、乙二人都不跑中间两棒;(2)甲、乙二人不都跑中间两棒。

15 多排问题剔重法

例15 用5个数字0,1,1,2,2,组成的五位数总共有多少个?

解:特殊元素0先排,不能排在万位,有 种排法,1与2共有 种排法,剔除掉11与22的重复排列,共得五位数有 个。

点评:元素在排列过程当中出现重复排列称之为多排,所以在总排列数当中应该剔除掉重复排列。

篇9

我们都知道"0"很特殊：数字"0"在排列构成整数中不能放在首位；末尾是"0"的数一定是偶数，一定能被10整除等等。因此在有"0"时我们一般要特殊处理，优先考虑"0".

例1：用数字0，2，3，4，5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

分析：由于该三位数为偶数，故末位数字必然为偶数。还要注意的是"0"不能排在首位。所以这里我们将"0"视作特殊元素，应该优先安排，按"0"在末尾和"0"不在末尾分为两类：（1）"0"排末尾时，只需要在剩下的4个数字中选出2个数字排在十位和百位，有A42=12种；（2）"0"不排在末尾时，应该从2，4这两个数字中选出一个排在末尾，然后再从刚才选中的这个数和"0"以外的3个数中选出一个排在百位，最后再从剩下的三个数中选出一个排在十位，故有C12 C13C13=18种。由分类计数原理可知本题的正确答案为30个。

2.若干个数字排列与指定数做比较

这一类问题通常是告诉你某几个数字来排列成一个不重复的几位数，问排出来有多少个数比已知数大；或者问某一个数按大小顺序排出来应该在第几位。针对这类问题我们需要对这个数的每一个数位逐一考察，形如查字典，因此我们把这种方法称为"查字典法"。

例2，用1，2，3，4四个数字无重复数字的四位数，有多少个数比2314大？

分析：（1）首先如果某个数的首位排3或4，那么这个数的后面几个数位无论怎么排都比我们的2314大，这时有2A33=12个；

（2）如果某个数的千位排的是2，它的百位是4，那么这个数后面的十位和个位无论怎么排都比2314大，这时有A22=2个；

（3）如果某个数的千位排的是2，它的百位是3，十位是4那么这个数后面的个位只能是1，它比2314大，这时有1个；

（4）如果某个数的千位排的是2，它的百位是3，十位是1，个位只能是4，它不比2314大，这时有0个。

由分类计数原理可知一共有：2A33+A22+1=15个数满足题意。

这是这一类问题中比较简单一点的问题，有时几种特殊条件综合在一起，需要我们引起高度的重视。比如我们一起来看下面的例3：

例3：用0， 1， 2， 3， 4五个数字组成无重复数字的四位数 ， 若按从小到大排列 ， 3204是第几个数？

分析：这个问题实际上是：看排成的四位数中有多少个比已知数3204小。

解 ：由高位到低位逐级分为 ：

（1） 千位是1或2时 ， 无论后面的三个数位怎么排列都比3204小，这时有A12A34 =48个；

（2）①千位是3时，当百位排0， 1时 ， 后面的两个数位无论怎么排这个数都比3204小，有2A23 =12个； ②千位是3时，当百位排2时 ， 比3204小的仅有3201，有1个。

所以，比3204小的数一共有48+12+1=61个数，3204是第62个数。

3.循环问题

关于这一类问题，一般中学里面不会做深入的研究，但是循环排列在中学竞赛中是有所涉及的。大学里面的初等代数，图论组合课程研究的比较多，这里我们做一个简单的介绍。如果是n个元素循环排列，那么它的排列种数共有（n-1）！ 种。因为我们知道一个循环它是没有固定起点，终点的，排列好后它可以以任何一个元素作为起点，终点也就随之确定。所以它的排列种数为n1/n=（n-1）！。

例：学生6人，教师2人，师生8人围桌而坐，在下面几种约束条件下各有几种不同的坐法？

（1）不加任何限制；

（2）两位教师必须在相邻的位置；

（3）两位教师不相邻。

解：（1）这显然是一个很直接循环排列问题，由题易知有8！/8=（8-1）！=5040种坐法；

（2）这是在循环排列的基础上要求了其中两个元素必须相邻的情况，首先把这两个教师捆在一起作为一个元，则相当于7个元素循环排列，其次两位教师的内部是需要讲顺序的，所以，一共有7！7×2！=1440种；

（3）这是在循环的基础上要求了其中两个元素不相邻的情况，首先把6位学生排列好，则相当于6个元素循环排列，最后两位教师再插空且是需要讲顺序的。所以，一共有6！6×A36=3600种。

当我们看了以上的例题后发现：其实循环排列和一般排列脸有在考虑总体排列情况时存在差别，形如相邻，不相邻这类问题的处理方法是一致的。

篇10

排列组合知识内容抽象，方法独特而且影响悠远，是进行思维训练和能力培养的绝好智能教材.加法原理和乘法原理是人们处理离散对象的计算原理.它像一条红线贯穿教材始终：从推导排列数，至组合数公式，至处理应用问题，至推导概率公式，至反复应用，最后到步步加深，这是一个循序渐进过程.要具备分析处理问题的实际能力，在教学和复习中就必须一切围绕对加法原理和乘法原理的理解和应用展开，在反复应用中加深理解，进而达到形成数学思想和提高学习能力的高度.

一、循序渐进，环环相扣

在加法原理和乘法原理的应用中安排了介绍原理、推理原理、解应用问题，必须使这几次循环每次都有所侧重，每次都有质的飞跃.侧重引导学生分清、分类与分步的区别和联系.加法原理需理解各类办法的互斥性，对乘法原理，明确各个步骤联系性，缺一不可是前提，重点强调对于完成上一步的任意一种方法，下一步都有同样多种方法，这才能用乘法原理.对应，应在每一个例题和练习中强调，让学生从开始就注意到应用两个原理的条件.

在导出排列数、组合数公式时，侧重于强调元素的互异性，从而使学生认识排列数、组合数公式应用的局限性；同时应用乘法原理说明两个公式间的内在联系，运用两分法，讲清组合数的两个性质公式.有比较才有鉴别.可以对比安排一些元素来重复排列、组合问题，可使学生加深对公式适用条件的印象，同时也有利于更进一步熟悉加法原理和乘法原理.如：（1）三封信投入四个信箱，有多少种不同投法？（2）某县使用7位电话号码，前两位都用2，其他各位不限，问该县最多可安多少部电话？（3）6名同学报名参加音乐、美术、体育三个课外兴趣小组，每人限报一个，有多少种报名方法？

在解应用题教学中重点集中在对加法原理和减法原理应用条件的理解和运用上.教材的例题和习题既典型又符合学生的认知水平，对它们应引导学生多问几个为什么，多从不同角度、不同方向去探索应用两个原理分析处理问题的方法，充分挖掘每个题目的不同解题方案.例如，从1，3，5，7，9中任取三个数，从2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？若先选元素后排列为C35C24P55=7200（个）；若先选位子，即先从5个位子中选定了3个放奇数（或从5个位子中选2个排偶数），再分别选排元素则为C35 P35 P24（或C25 P24 P25）=7200（个）.

适当选择既典型又联系实际贴近生活且难易适中的课外练习题，引导学生自觉用两个原理去设计不同的解题方案.如3封信投4个邮箱，用乘法原理得43种投法固然简便，但若用加法原理，分成分别由一个、两个、三个邮箱去接受三封信这三大类，则得C14+C24C23P22+C34P33=64（种）投法.又如，10 名划船运动员，其中5名擅长划左舷，3人擅长划右舷，另两个左右都行，今从10人中选6人均分到船的两舷，有多少种选法？首先确定划右舷的人，可以两个左、右舷都行的人不参与划右舷、有一个参与、两个人都参与分类，则得C33 C37+ C23 C12 C36+ C13 C22C35=185（种）选法；若先定划左舷的人，则得C35C35+ C25 C12 C34+ C15 C22 C33=185（种）选法.若先把划左、右舷都行的人安排后再选配其他人，则须分两人全安排、只排一人、两人全不安排三大类，其中第一类又分全在右舷、全在左舷、一左一右三小类，第二类又分一人安排在左舷或右舷两类，故共有（C22 C15 C33+ C22 C35 C13+ P22 C25 C23）+（C12 C25 C33+ C12 C35 C23）+ C35 C33=185（种）选法.此说明虽然都是加法原理，但分类的方案也可以是几种.利用这些融知识性、趣味性融一体的问题，引导学生摆脱死板的模式，设身处地用加法原理和乘法原理去设计解题方案，对于消除畏难情绪，提高解题能力大有裨益.

不同侧重点的讲解和应用，学生初步形成应用处理简单应用题的能力和归类、分步的数学思维雏形.

二、总结要点，培养能力

1.回顾教学过程，紧扣教材，理清思路前后贯通，使学生充分认识加法原理和乘法原理的纲领作用.如图所示.