线性代数范文

导语：如何才能写好一篇线性代数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】线性代数 教学

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0090-01

一 线性代数的重要性

数学作为最古老的学科之一，对于人类社会的发展、科学的进步起着举足轻重的作用。随着知识的细化，数学领域有了许多分支，线性代数就是其中之一。线性代数是大学必修的一门数学基础课，它以其理论上的严谨性、方法上的灵活多样性以及与其他学科之间的渗透性，使得它在自然科学、社会科学及工程技术等许多领域都有广泛的应用。且线性代数对学生逻辑思维能力、抽象思维能力及事物认知能力的培养也至关重要。另外，线性代数可为解决实际问题提供重要方法，因为在现代研究中我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要研究多个变量之间的关系，而各种实际问题可以线性化，由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。同时线性代数也是学习其他许多课程不可缺少的基本工具。

二 线性代数的“难”

线性代数具有高度抽象、逻辑严密、符号独特、方法灵活等特点，概念多、定理多、结论也多。学生普遍反映线性代数学起来难度较大，较吃力。理论性过强，感觉没有实际用处，普遍印象空洞枯燥，教材实例太少。部分学生反映听课状况良好，但前后知识联系不起来，形不成知识体系，面对题目束手无策。

三 变线性代数“难”为“不难”

1.及时对难点进行总结概括

对于学生认为不易掌握的方法、技巧，在教学过程中及时进行总结。如行列式的计算是初学者学习的重点也是难点，在教学过程中，对行列式部分在简单介绍行列式的定义及性质后，重点要求学生掌握计算，由于行列式的类型多种多样，使得行列式的计算有很大的难度，通过总结行列式的解法，使学生更好地掌握这一重难点，在教学过程中，与学生总结几种求解行列式的方法。（1）定义法：利用行列式按某行（列）展开公式，将高阶行列式降成低阶行列式。（2）化三角形行列式法：利用行列式性质将行列式化为上三角或下三角形行列式，从而得出结论，这是一种常用的方法。（3）逆推法：这种方法的一般步骤是从原行列式出发，找到高阶行列式和一个或几个同型低阶行列式间的关系式后，再归纳运算结果。（4）拆开法：当行列式中某行元素有两数相加时，将行列式拆成几个简单的行列式加以计算。（5）范德蒙行列式法：这种方法是将行列式利用性质化为范德蒙行列式，再利用其结果计算出原行列式的值。

在教学过程中，应告诉学生各种方法并不局限于某种行列式，而且一个行列式也不只局限于某种方法，鼓励学生利用不同方法解决同一问题，有利于培养学生的发散思维能力及综合能力。

2.帮助学生消除抽象感

抽象性是困扰学生学习线性代数的最大障碍。现行的线性代数教材普遍有一个缺点，就是缺少知识背景，编写上完全采用逻辑演绎的形式，从定义到定理，从概念到结论，不是按问题解决的方式来展开知识内容，而且，定理往往是成堆地集中出现，让学生应接不暇，这是抽象的主要根源。这样就导致学生的学习始终处于一种迷惘状态。因为任何的抽象都是来自具体的，每一种抽象又是可分层次的，由低向高逐级而来的，所以，要找到每一个问题的源头，使所讲内容具体化、形象化。

第一，类比法。虽然线性代数的内容很难找到生活实例，但和中学的代数还是有一定联系的。在讲解某些概念时，可以与初等代数中的概念进行类比。

第二，引导法。先给出一个简单的实例，引导学生将其逐渐复杂化，当复杂到一定程度用以往知道的概念已经很难描述时，再给出新的概念。如讲矩阵的秩的概念时，先让学

生观察一个方程组，如 ，问学生这3

个方程之间是否有联系，是否可相互推出，有的同学就会发现第三个方程可以由前两个方程推出，即3个方程中“有效方程只有2个”。然后再举稍复杂的方程组，让学生继续观察，说明有效方程的个数即是阶梯形矩阵中非零行的个数的重要性。需要下个定义，最后再抛出矩阵的秩的概念。

3.帮助学生总结一些结论

在具体教学中应该注意多帮助学生总结短小、简练、朗朗上口的结论。如讲行列式的性质时可以总结为：特殊性质――换行、转置，一般性质――数乘、代数和、数乘+代数和。

四 结束语

教好线性代数是我们必须重视的一项任务，既需要学校的高度重视、支持，也需要任课教师不断总结教学经验，及时解决教学中出现的问题，更新教学理念，将老师的教和学生的学有机地结合起来。只有这样，才能变线性代数“难”为“不难”。

参考文献

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关键字：线性代数；本科教学；直观性

中图分类号：G642.41？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）16-0062-02

《线性代数》是本科数学教学的主要课程之一，内容广、公式复杂、定理证明多，具有严密的数学逻辑。这种纯粹的代数思维十分抽象，对许多非数学专业学生而言，常常觉得难懂、难记、枯燥无味又难应用。因而大多数学生并无太大兴趣，也觉得没有多大的用处，很难激发学生使用线性代数建模解决实际问题。只是为应付考试而学，考过就忘得干干净净，没有起到什么教学效果。然而，《线性代数》是许多自然科学的基础，是人类智慧的结晶，其中的每一个数学公式的背后实际上都有其在特定场合中的深刻物理或几何意义。如果不熟悉《线性代数》的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多了。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，具有相对的抽象性，丢失了数学的直观性。这就带来了教学上的困难。在教学过程中，我们往往很难把数学公式、定理背后的意义、思想具象化，而只能把枯燥的、抽象的公式、定理直接给学生。这显然违背人类的认识原理数学的教学规律。对于学生而言，一旦这些知识点没有办法用直觉去理解，就很难消化，自然很难引起学生的兴趣。

一、线性代数的抽象性与直观性

自从上世纪30年代法国布尔巴基学派兴起，数学通过公理化与系统化的描述从而获得相当大的成功与进步，这使得数学的严谨性得到很大提高。然而，这也存在着一定的副作用，因为这种公理化是以数学的直观性的丧失为代价。有些人认为数学的直观性与抽象性是相互矛盾的，因此直观性就被抛弃了。这造成了《线性代数》在教学上的难题。许多教科书从行列式开始，有的从矩阵着手，从起始处就都很让学生头疼。因为在现实世界中找不到一个直观的能与之对应的事物或对象。以同济《线性代数》教材为例，该教材从介绍逆序数开始，再用它定义没有什么直观道理可言的行列式，行列式的计算到底是代表什么？为什么这么算？绝大数教材中都没有解释。再接着引入矩阵，介绍矩阵乘法的定义，计算的方法与形式都是直接告诉学生就是这么做的，得到的结果代表什么？也没有解释。这种教学过程，自然是很难让学生接受，也是《线性代数》成为学生最为头疼的一门课。绝大多数学生觉得是被强迫进入一个符号世界中，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。上述这些问题都是直观性引发的问题，不能通过抽象的数学证明做回答，必须将这些问题具象化了才能解决。但事实上，线性代数不是纯粹的代数运算法则，有其直观的几何意义和物理意义。希尔伯特曾言：算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。明白无误地告诉了我们线性代数与几何之间的关系，几何解释是可以让人们很容易将看到的平面和空间中物体与几何外观联系起来。学习这门课程也就不在是仅仅研究符号代数，从而有更直观但又和很深刻的含义。从宏观上来说，任何一种数学理论，它的主要概念与方法常常都出自于一些直观的简单的目标。要么是从对实验观察结果中分析得到，要么从几何图形及其解法过程中得出，再要么是从各种结果的类比想象出来。从微观上来看，《线性代数》中某个特定的定理、推论的证明，也同样常常有着某个比较直观和简单的思想。从这个思想出发的证明过程细节，也能从几何上进行直观的分析和推断。正如希尔伯特所述的，证明要能透过概念的严格定义和实际证明中的推演细节，描绘出证明方法的几何轮廓。事实上，很多数学上的发现常常都是数学家从几何直观性上大胆猜想到的结果，然后去寻找几何上的解释，最后再补上严格的数理证明。这正如我国著名拓扑学家张素诚先生所说的，对数学中的许多问题来说，“灵感”往往来自几何，表达的简洁靠代数，计算的精确靠分析。因此我们认为，在本科教学《线性代数》的过程中，要注重数学意义的讲解，建立学生的对《线性代数》的直观性即能够把这门课的抽象性具象化，才能化解学生对它的厌学情绪。只有在这个基础之上才能让学生对它的具体知识点、公式、定理等有深刻的理解与熟练使用。

二、《线性代数》的基本知识点的一些直观性解释

在教学过程中，我们将线性代数的几何直观性融入到了课堂中，通过这种几何解释，学生们普遍能较快接受。以空间、向量、矩阵为例，其几何解释主要如下所述。

1.空间。空间是线性代数的基础概念，是指具有一些特定性质的集合。如经常把所有的n维向量组成的集合称之为‘N维空间’，但大多数学生却很难理解用“空间”这一名称来形容集合。因为我们熟悉的是我们生存在三维欧几里德空间，在初中高中的几何学中，学生们所接触的是点、线、面、三角形、圆……等直观的几何图形。而在线性代数中则变成向量、矩阵，再通过向量和矩阵的各种计算来描述空间中的对象，如A*x=b描述一个超平面、{x|x’Ax≤1，A对称正定}描述一个N维空间中的椭球，这种描述和表达相对于初中高中所学的方式，显然没有一点直观性，超过三维以上就很难让学生如何去想象。因而我们认为在讲解到空间概念时，需要常常把问题化成二维或三维几何空间中的图形，帮助学生理解。

2.向量与空间关系。一个空间实际上是无穷多个位置点组成，即是点的集合，在线性代数中表现为N维向量的集合。一个向量代表从原点到N维空间中的一个点的方向，是空间中一个存在的对象，可以定义出一些几何特性，比如它的长度。向量的加减法可以在解讲过程中用几何中的矢量平行四边形法则解释，向量内积通过几何中的投影来解释，而不是纯粹的向量中各个分量的代数加减乘除等。通过几何解释显然更容易让学生有比较具象化的认识，而纯粹的代数解释不能有生动体现向量意义，只能让学生死记硬背。

3.矩阵与向量关系。向量可以用空间中的对象来解释，它在空间中必然有它存在的方式，也有在空间中变化过程，即运动。矩阵从代数形式上看只是一个数的列表，它与向量的乘法，代数上的运算没有多少生气，看不出如此的计算规则有什么意义。然而从几何空间中却可以把二者关系理顺，而且非常直观：①如果把矩阵看作是一个几何空间中的坐标系，那么A*X=b就可以看成是在标准坐标系下的向量b在新坐标系A下的坐标。自然的矩阵与向量的乘法A*X的意义即为把X转换成为标准坐标系下的坐标，b中的系i分量值就可以从向量内积的角度解释为X在坐标系A中系i个数轴上的投影值。如果A的坐标系所描述的空间能够容纳b，那么方程A*X=b有解，否则无解。②如果把A*X=b当作向量X的一次线性变换，则矩阵A就可以解释为向量X在空间中的运动描述。A的各个特征向量此时即可以生动的表示为X的运动方向，相应的特征值就是在各个方向上的运动幅度。最终在各特征向量方向上的变化结果再几何合成为向量b。

在线代数的教学过程中，纯粹的代数理论教学不符合人类的认知知识方式，虽然它具有高度的严谨性和抽象性，但也丢失了直观性，因而很多知识点难于让学生理解。本文从线性代数的直观性角度做了探讨，从几何上的直观性来解释纯代数的难点。可以对学生学习这门课程产生比较直观的印象，激发学生对这门课程的兴趣和深层思考，对学生理解知识点背后的意义产生积极的影响。

参考文献：

[1]Lars Garding.数学概观[M].北京：科学出版社，2001.

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线性代数是大学的一门基础课程，并且在数学的各个分支和其他自然科学、工程技术及社会科学中都起着工具性作用。对于某些具有一定的概念理解和数学计算能力而抽象推理训练不足的大学生，学习线性代数是弥补这种缺陷的适宜的机会。本书的目的是为这类大学生在计算与推理之间架设桥梁，通过线性代数的学习进一步掌握逻辑论证技巧，以有利于学习其他抽象数学。本书以学生比较熟悉的线性方程组、复数计算和多项式因子分解等知识为起点，逐步深入地引进有限维向量空间线性映射的抽象概念，涵盖对角化，特征空间，行列式和谱理论等重要结果，是一本简明的线性代数的引论性教材。

全书由11章和4个附录组成：1.什么是线性代数？通过中学课程中的线性方程组和二次方程的求解直观地显示线性代数的某些特征；2.复数引论，是对中学代数有关知识的复习，也是课程展开的预洌3.代数学基本定理和多项式因式分解。也是复习性材料，其中涉及连续函数的极值性质；4.向量空间。在前面的背景材料的基础上并应用图解引进向量空间的概念和基本性质，指出引进向量空间本质上是为了叙述和解决线性代数问题；5.跨度和基地，建立空间维数概念和基本结果；6.线性映射。以第1章线性方程组为背景引进线性映射概念和有关性质，以及线性映射的矩阵，指出刻画线性方程组的解是线性代数的目的之一；7.特征值和特征向量。这是线性代数的最重要的概念之一，着重讨论了2维情形；8.置换和方阵的行列式。给出行列式概念、基本性质以及通过余因子展开的计算公式；9.内积空间。引进向量空间的抽象定义，给出内积空间的重要性质，包括Gram Schmidt正交化；10.基变换。给出有限维内积空间的基变换公式；11.正规线性映射的谱理论。研究有限维内积空间的上线性算子的谱分解以及对于对角化问题的应用，还讨论了正算子、极分解和奇异值分解。每章后配备习题，分为计算题和证明题两类。4个附录主要是关于矩阵的补充材料，以及关于集合论和抽象代数结构的概要。

本书可作为我国理工科大学数学教学参考书，特别适宜初学者阅读。

朱尧辰，研究员

（中国科学院应用数学研究所）

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线性代数是工科数学的主要基础课程之一，具有逻辑性强、抽象程度高的特点，其涉及的主要内容既包括了线性方程组、行列式、二次型等，又包括了n维向量、矩阵以及特征值与特征向量等方面的内容，从根本上加大了学生对该课程的学习难度。信息技术的发展，使得教学不断的实现创新，传统的以教师口头讲授为主的教学模式已经逐渐被新的模式所取代，在线性代数的实际教学中，学生已经取代教师成为课堂中的主体，教师也更加注重了对信息技术的应用，特别是对资源的有效利用，并根据课程内容的不同来选择与之相适合的模式进行授课。

2线性代数教学实践中存在的问题

对于线性代数课程的教学工作而言，传统的以教师口授为主的教学模式已经完全不再适应我国教育教学改革不断推进的当下，其弊端也在实际当中不可避免的显露出一些问题，主要体现在以下几个方面。

2.1课程定位不够准确

课程定位的不准确是线性代数教学中存在的最主要的问题。随着信息技术的发展与应用，高校也逐渐将培养创新型的应用人才作为实际的目标，将数学课程也视为是一种具有价值创造功能的手段，也是对学生逻辑性思维能力的提高。但是，在实际的线性代数教学实践当中，一些教师无法认识到其自身定位的重要性，使得教学实际与目标之间存在较大的偏差。

2.2教学手段较为单一

对于线性代数内容的教学而言，其教学手段的单一是学生无法提高学习积极性的最重要原因。在现在很多高校的实际教学当中，对于线性代数课程学时的安排较少，由于其内容的复杂性，使得教师在有限的时间之内无法完成对既定内容的教学；再加之“粉笔+黑板”的教学方法，使得学生对板书例题的讲解无法投入过多的兴趣，使得学生失去了对该课程的学习兴趣。

2.3信息技术与教学内容整合不够

由于学校相关管理人员对信息技术应用的不重视，在线性代数教学的过程中必然出现了信息技术与教学内容整合不够的问题。线性代数课程在一定程度上是经过了无数科教人员共同努力而建设的，在继承与发展的格局之下，一些人员在进行教学模式改革的过程中常常畏手畏脚，使得线性代数教学无法应用到现代信息技术的成果。

3实现线性代数与信息技术教学模式整合的途径

3.1利用信息技术架构内容体系

利用信息技术架构线性代数的内容体系，是实现二者有效整合的途径之一。在线性代数的所有内容当中，主要包括了以矩阵为主和以线性方程为主的两种内容体系，利用信息技术，能够使各个知识点之间的内在联系更为清楚明晰。例如，在对线性方程组内容进行研究的时候，可以利用信息技术构建其在化简、判解和求解的结构体系，使得学生对线性方程组中的知识点能够更加系统的进行把握，使得知识点之间的逻辑性更加清楚，有助于实施探究式的学习方法。

3.2对线性代数教学内容的创新

对线性代数教学内容进行创新，特别是加入与几何代数之间的关系，是推动线性代数课程不断发展的根本性动力。例如，利用信息技术，可以制作出大量的人脑无法直观进行描述的图形，通过动态的呈现使得学生能够更加精确的对问题进行解答；同时，还可以通过对问题设置的创新来实现线性代数教学内容的转变。加大信息技术与教学内容的整合力度实际上就是充分的利用互联网技术来为学生学习线性代数提供方便。例如，教师可以在互联网上构建与之相关的教学网站，在网站中设置不同的知识内容板块，包括教材中没有出现的定理和性质等，为学生提供教师自己设计的问题进行课后训练，并提供细致的解题过程；还可以通过一些绘图软件来实现学生动手作图的能力，例如对矩阵对角化问题的建模。

3.4加强教师的信息技术知识水平的能力

加强教师运用信息技术的水平能力是实现线性代数与信息技术结合教学模式的有效途径。对于教师来说，要对构建的信息平台功能进行了解，并且能够熟练的利用这些不同的系统来实现与学生的沟通交流，逐渐实现用信息技术代替黑板板报，例如能够熟练地使用J2EE技术构建起来的WEB2.0虚拟学习社区。

3.5线性代数与信息技术教学模式整合的意义

实现线性代数和信息技术教学模式的整合，对于实际的教学具有十分重要的意义。首先，互联网具有数之不尽的知识资源，学生能够通过其搜索功能来实现对所需内容的获取；其次，信息技术为线性代数的教学提供了强大的软件支持，通过对软件的应用，教师可以将复杂的问题转换成学生便于理解的计算机C语言；再次，信息技术的发展还为教师和学生之间的沟通交流构建了平台，通过建立qq群、论坛讨论组以及飞信群组等，在这些平台上可以随时随地进行信息的，使得教师能够在线解答学生的疑问，还促进了学生互相之间的协作；除此之外，这种整合的教学模式还大大的激发了学生的学习兴趣，特别是提高了学生进行自主学习的能力。

4结语

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【关键词】独立学院 线性代数 课程改革 线性方程组 初等行变换

【中图分类号】G47 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0153-01

一、《线性代数》在独立学院教学中的现状分析

《线性代数》是理工院校的一门重要基础课，它的理论与方法已成为科学研究及处理工程技术各领域问题的有力工具。在现阶段，《线性代数》在我院教学中面临着如下困境：

首先，我院工科专业对《线性代数》分配的课时为32课时，课时量较其他工科院校偏少，教师很难系统完整的讲好这门课；其次，我院学生的数学基础较差，自主学习能力不强，习惯被动的接受知识；最后，我院大多数青年教师刚走出校门就踏上了大学的讲台，教学经验不足，理论知识不强，较难做到理论与实践相结合。

二、同济版《线性代数》不适合独立学院教学的几点表现

同济版《线性代数》是一本优秀教材，不少工科院校都使用它。自建院以来，我院一直指定该教材作为大一学生学习的课本。根据近几年在独立学院教学一线的切身体会，以及学生们在学完这门课程后的信息反馈，本文提出了该教材不适合独立学院教学的几点表现。

（1）因课时短，而教材的内容偏多，要从“行列式”到讲到“线性空间及线性变换” ，教师只能泛泛而讲，或是选取某些重点内容讲解，致使学生在学完这门课程后，不知道学习了什么，更不会用所学的知识去解决实际问题。

（2）教材在某些章节的编排上存在着可优化整合的地方，比如说第三章第二节是矩阵的秩，而第四章第三节是向量组的秩，这两个概念分两章编写，知识的系统性不强。

（3）“线性空间和线性变换”这一章理论性较强，较抽象，和工科专业知识的联系也不大，可做删减。

（4）教材中某些性质、定理的证明，理论性较强且篇幅较长，学生理解较困难。比如说行列式六个性质的证明。

（5）教材中一些概念起不到前后衔接的作用，在解题中也不常用，可做删减。

（6）教材所给出的实际应用题较少，容易使学生产生“线性代数有什么用的困惑”。

三、根据独立学院的教学特点，提出几点整改建议

根据独立学院课时少、学生基础差的特点，现将同济版《线性代数》共六章的内容整合缩减为四章，分别为矩阵及初等行变换、线性方程组及向量组的线性相关性、方阵的行列式、相似矩阵及二次型。下面谈一下这样整改的优点。

（1）将矩阵及初等行变换整合作为第一章，突出了矩阵及初等行变换的重要性。本章教材编排可先由线性方程组作为引例给出矩阵的概念，然后介绍矩阵的运算，最后重点介绍初等行变换的应用，包括利用初等行变换化矩阵为行阶梯形型和行最简形矩阵，求解线性方程组、以及求方阵的逆矩阵。

（2）将向量组的线性相关性和线性方程组整合作为第二章，增强了知识的系统性。本章由齐次线性方程组引入向量组的线性相关性及最大线性无关组，然后介绍线性方程组解的结构、最后是矩阵的秩。在介绍矩阵的秩这一节中，考虑到矩阵的秩等于矩阵行（列）向量组的秩，因此可将两者进行整合，便于学生系统地掌握知识。

（3）第三章为方阵的行列式。本章由未知量个数和方程个数相同的线性方程组引出了行列式的概念，先是介绍了二、三阶行列式及n阶行列式的定义，然后是行列式的性质及计算，最后重点介绍了行列式的应用。通过第一章的学习，学生对“方阵”有了较深的理解，再去学习将方阵的行列式就容易接受了。因此先编排矩阵后编排行列式是合理的，也符合学生的认知规律。

（4）第四章为相似矩阵及二次型，与原教材无很大改变，不编排线性空间和线性变换的内容。

（5）教材中一些性质、定理的证明理论性较强且篇幅较长，比如说行列式6个性质的证明可采用例证的方法来证明。

（6）删掉如第一章行列式中“对换”、第三章“k阶子式”的概念。

（7）教材所给出的例题不少，但实际应用题较少。因此，可以在每一章的最后一节给出一些实际应用题，或是与《线性代数》有关的数学模型，这有利于培养学生的思维能力和创新精神。比如，矩阵及初等行变换这一章给出“投入产出模型”，教会学生用矩阵理论解决实际问题，就消除了学生在学习过程中产生的“线性代数有什么用”的困惑。

四、结论

在充分肯定同济版《线性代数》为优秀教材的同时，本文对同济版《线性代数》教材在内容上作了优化整合，弱化理论，强化应用，使教材的知识系统更科学，内容衔接更紧密，主线更鲜明，更适合独立学院学生的学习，同时也达到了独立学院培养应用型人才的目的。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.线性代数[M].5 版.北京：高等教育出版社， 2007.

[2]陈丙振.线性代数[M].1 版.北京：机械工业出版社， 2014.

[3]李小平.关于线性代数教学改革的一些思考[J].大学数学.2011.Vol.27，No.3， 23-25.

[4]袁晖坪等.线性代数[M].1版.北京：高等教育出版社， 2010.

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关键词 线性代数 主线教学 实践教学 教学改革

中图分类号：G424 文献标识码：A

线性代数是高校理工科及经济、管理等专业普遍开设的一门公共必修课程，同时与其他数学基础课程相比较，线性代数课程的特点是知识点琐碎、概念符号及定理公式多，内容抽象而具体实例少，使得学生在学习这门课程时普遍感到有一定的难度。因此在教学过程中教师不仅要帮助学生理解和掌握线性代数的基本知识，同时也要转变其固有的思维模式，逐步培养其抽象思维能力和逻辑思维能力。

1 重视主线教学，以此建构知识点关联，培养学生的逻辑思维能力

线性代数的内容主要包括行列式、矩阵、线性方程组、向量、二次型、线性变换和线性空间。在教学过程中可以任意模块为中心展开进行讲解。鉴于大学一年级是中学教育阶段与大学教育阶段的“接口”，学生入校还没有适应大学的生活，也没有相应的代数和几何方面的知识做铺垫，因此选择以线性方程组为中心，这种结构符合系统性、科学性，而对于初学者来说更易于接受。以线性方程组为核心即认为线性代数的基本问题或研究对象是线性方程组，线性方程组主要包括以下三方面内容：（1）判断线性方程组有没有解，即解的存在性问题；（2）若方程组有解，是唯一解还是无穷多解，即解的唯一性问题；（3）若方程组有无穷多解，解之间的关系怎样，即解的结构问题。

围绕线性方程组辐射于各章，引出行列式、矩阵、向量等的概念和理论，由此理清章节关系，整体把握该课程内容，培养学生的逻辑思维能力。

2 重视概念教学，由浅入深系统培养学生抽象的思维能力

线性代数课程明显特点即知识点零碎，怎样把知识完整而又具体地传授给学生是摆在教师面前的迫切问题，教师不仅要对这门课程整体上有把握，弄清各章节之间的关系，而且还要对琐碎的知识进行重组加工，使得它脉络分明，重难点突出。众所周知，线性相关性是向量的最基本的关系，而它本身又是线性代数中非常抽象的概念。可以先从平面上两个向量的共线和空间中三个向量的共面谈起，借助中学所学的知识唤起学生的共鸣，有了这些铺垫之后，线性相关性概念的理解也就达到呼之欲出的效果了。由特殊到一般、由具体到抽象，使学生从最低的门槛进来，从高门槛出去！这样逐步培养学生的抽象思维能力。比如线性变换是线性代数的重要概念，从中学所学的数的运算着手，介绍向量和矩阵的运算，而这些运算都归结为加法和乘法两种运算，这两种运算以线性关系反映在图形上，这样使学生有了“线性”的初步认识，同时线性变换就是一种映射，而映射在不管是在中学数学，还是高等数学里都有了详细介绍，因此有了这些背景之后对线性变换的理解就更具体了，没有铺垫的概念学生是理解不透彻的，没有背景的定义是野蛮的“被定义”！在教学过程中不断地培养学生能从大量具体的事物，抽象出它们的共性的一种归纳总结的数学素质。

3 重视实践教学，培养学生的动手能力、创新能力

线性代数是一门古老而又年轻的数学学科，称其古老是因线论可以追溯到柏拉图的四艺：算术几何天文音乐；孔子的六艺：礼乐射御书数。称其年轻是因线性代数的计算于20世纪60年代伴随着计算机技术的发展才蓬勃发展起来的，使得线性代数的应用扩展到越来越多的领域。应运而生的MATLAB数学软件拓展了线性代数实际应用的范围，比如逆矩阵在保密编译码中的应用、交通流量的分析、建立信号流图模型等实际问题在MATLAB的环境中都有科学的分析及解决。

4 重视教师研究水平，逐步培育学生对科学的浓厚兴趣及主动获取知识的能力

5 教师的全心投入教学是使教学内容生活化、教学过程有趣化的前提条件

兴趣和爱好是最好的老师，学生往往注意那些能引起兴趣的形象和读物，而对那些缺乏兴趣的东西不愿注意。而教师的用心教学会捕捉到很多教学内容生活化的素材，增加教学过程的趣味性，提高学习的积极性。在讲解逆矩阵的内容时，巧妙引入《潜伏》中的接收电报、破译密码的剧情，恰当地介绍逆矩阵在保密编译码中的应用，使得抽象内容生活化，教学过程有趣化。在讲解特征值特征向量理论时，结合Google搜索引擎的优越性，Google 搜索引擎的显著优点是它搜索所得到的条目是按其重要性（主要指相关性和有用程度）排列起来的。这是得益于它的创始人Sergey Brin 和Larry Page 首创的Page Rank 算法，而支撑该算法的就是矩阵的特征向量理论。通过这些兴趣点的刺激，笔者相信学生对相关知识的掌握应该能达到预期效果。

参考文献

[1] 陈维新.线性代数（第二版）[M].北京：科学出版社，2007.

[2] 同济大学数学系.工程数学教研室.线性代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007.

[3] 张志让，刘启宽.线性代数与解析几何（第二版）.高等教育出版社，2009.

[4] 汪雷.线性代数及其应用.高等教育出版社，2005.

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关键词：线性代数；教学次第

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）17-0119-02

线性代数课程属于代数的范畴，研究对象是有限维空间的线性理论，特点是概念多且抽象，概念与概念之间又有错综复杂的联系。很多教师讨论了怎样进行教学内容与教学形式的改革，怎样培养学生的应用意识，怎样培养学生应用MATLAB等数学软件的能力，致力于解决培养适应各种专业的人才，做出教学改革上的思考。但是，如何进行落实？线性代数乃至整个数学的教学目的，都是让学生具备数学的思想，培养数学的思维，掌握数学的方法，并能学以致用，达到这一较高的目标并不容易。笔者认为，需要在教师的教学和学生的学习上有次第。

一、线性代数教学的第一梯次

笔者认为，线性代数教学的第一梯次应该是讲清楚线性代数的理论、方法和计算，让学生课上能听懂，初步领悟线性代数的理论、方法并会进行相应的计算。而要做到这一点，根据笔者这几年的教学经验，认为就是要把线性代数的概念、性质、定理、推论、方法、计算、应用等几个方面讲清楚。具体论述如下：①对于概念，应从概念的引入，概念的内涵、外延，概念和概念之间的区别与联系，新旧概念所形成的知识链几个方面来讲解。这里需要选择恰当的引例、准确的语言、各种情况下的例子及与前面概念的区别与联系的认识，等等。例如，向量组的秩可以用线性方程组的独立方程的个数来引入，[1]即讨论表示方程的行向量之间的线性相关性，说明方程组中独立方程的个数由谁来确定，从而给出向量组的秩的概念。从实例引入向量组的秩的概念，也就是知道这个概念的内涵之后，说明它的外延，即举例说明向量组的秩。有几种情况：一种是只有零向量的向量组，一种是一般的向量组，即极大无关组包含的向量的个数少于向量组所包含的向量的个数，还有一种是向量组本身就是线性无关的，即向量组是其本身的一个极大无关组，即极大无关组包含的向量的个数等于向量组所包含的向量的个数。要描述向量组的秩的概念，就得了解向量的线性表示、线性相关（无关）和极大无关组的概念，这是一条知识链。即：向量的线性表示 线性相关（无关） 极大无关组 向量组的秩。[2]另外，了解向量组的秩的概念与前面学过的矩阵的秩在概念上的联系，是需要讨论的。②性质。性质当然不是凭空而来，它是由概念推导而来的。但是，人们是怎样想到性质的呢？当然也不是凭空想到的。例如，矩阵的运算规律。前面学习了矩阵的线性运算、矩阵的乘法，与数的运算作为类比讨论了他们的运算规律，到了矩阵的转置运算，就想到转置的转置是什么，加入线性运算后就得到两个矩阵相加后得到的矩阵的转置是什么，一个数乘以一个矩阵后得到的矩阵的转置是什么，加入矩阵的乘法就得到两个矩阵的乘积所得到的矩阵的转置是什么，对于矩阵其它运算的性质也是类似的。再比如，逆矩阵的运算规律。首先，是一个矩阵的逆矩阵的逆矩阵是什么，加入线性运算得到的性质，加入矩阵的乘法运算得到的性质，加入矩阵的转置运算得到的性质，加入矩阵的行列式运算得到的性质，加入矩阵的伴随矩阵的运算得到的性质。③对于定理和推论。所谓定理是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。所以对于前人提出来的每个定理，都要进行证明，这样能让学生更好地理解定理的内涵和它的应用。④对于方法、计算。讲完了基本的概念、性质、定理、推论后，应该引入具体的计算方法。但是方法、计算的讲解是要以前面的这些要素作为基础的。应该让学生在理解了这些概念之后，也就是在头脑中对这些概念、性质、定理等有印象了以后，再来理解这些计算的方法。例如，利用矩阵的初等行变换来求一个可逆阵的逆矩阵。这个方法的推导用到了初等阵的概念，用到了初等阵是初等变换的矩阵表示这一定理和任何一个可逆阵都可以分解成有限个初等阵的乘积这一定理，用到了分块矩阵的乘法，等等。只有把要用到的知识都讲清楚、讲明白，方法自然就顺理成章地推导出来了。⑤对于应用。一般的线性代数的教材上具体应用的实例都很少，大部分都是在讲理论与方法，但这是基础。由于学时很紧，在课堂上能把理论与方法讲好已经很不容易。但是，如果只讲理论与方法，会使学生觉得课程太过枯燥，而学习的目的很大部分是为了学以致用，所以适当地列举一些简单的应用实例，是必不可少的，如逆矩阵在对明码加密中的应用等。总之，把这些方面讲清楚是教学的基础，要想使学生更容易接受，还得在讲课思路和教法上下功夫。上述内容，是笔者对线性代数第一梯次的认识，这些都可以在课堂上实现。

二、线性代数的第二梯次

笔者认为，第二梯次应该是第一梯次的升级，即熟练掌握各种概念、性质、定理、计算，更要掌握知识与知识之间的各种联系，这就需要大量的习题训练，从单一的知识点的运用，到复合的知识点的运用。这时，考研题是很好的选择。在课堂上，可以适当地举一些例子，但大部分的训练还是需要学生课下去做的。

三、线性代数的第三梯次

笔者认为，第三梯次是知识的应用，这就需要数学建模的训练，可以从一些简单的数学建模的练习题开始，锻炼学生运用知识、解决实际问题的能力。同时，还可以锻炼学生应用MATLAB来解决线性代数中的计算问题的能力。对于MATLAB的训练，可以建立一个基于MATLAB的《线性代数实验课程》的GUI平台。便于学生的操作和教师的演示。[3]数学建模不仅可以使学生更好地理解引入概念的意义，更能在解决问题的过程中更好地理解线性代数的理论和方法。更深刻地认识线性代数乃至整个数学学科。

四、线性代数的最高境界

线性代数的最高境界应该是创新思维、创新能力的培养。要做到这一点，应该了解代数的起源、现状，才可以把握未来的发展动向。当然，这一目标的实现，需要学生多读一些课外的读物，广泛涉猎综合性的知识。

综上，这是笔者对线性代数教学次第的认识与思考。任何一种教学都是需要有次第的，只有有次第的教学才能使教育真正落到实处，才能让学生在学习上获得更多真实的利益。

参考文献：

[1]杜红等.线性代数（第一版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

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关键词：线性代数；MATLAB软件；实验教学

一、线性代数教学的现状

众所周知，在大学数学所有科目的教学中，线性代数以它固有的理论性及繁杂的计算过程为特点已经使学生对其望而生畏，据了解，多数学过现性代数的同学就会以两个字形容此门课程即“费劲”，而作为我们教师而言上课时也经常为学生的认知能力感到教得费劲，这是在遇到一些理论上的教学，另外线性代数在计算上耗时太多，且还经常出现个别数字的计算错误导致整个过程计算的不成功性，等等还有很多在教学过程中令学生头疼的问题，这些问题归根结蒂是让人要不就太抽象要不就太多的过程进行运作，人为的因素太多，所以才致使学生望其生畏。

试想一下，如果我们引进计算机的计算方法，即利用计算机的量大滚动型强的特点[2]。首先我们要将我们目前的线性代数所要受教的内容化为计算机的语言既利用适当的软件，而什么软件最合适线性代数呢？我认为MATLAB软件最能将线性代数的某些复杂的计算过程化为学生所能接受的结论。

二、数学实验的特点及优势

所谓“数学实验”指的是在数学教学过程中，老师根据实际问题的特点和要求，经过对所需研究的实际问题的深入考察。提出某些尽可能合理的假设[2]，将实际问题尽量简化到能用数学理念加以抽象概括，运用学生现有的数学观点和思想方法建立数学模型，再研究数学模型的解法[3]。利用计算机求得结果，最后回到实际中去应用、解释和检验。这些过程需要老师引导学生细心去完成。

实际上，数学实验并非是一个新的事物。过去数学实验的形式是在数学教学中进行测量、手工操作、制作模型、实物或教具演示等形式。而这一切只不过是为了帮助学生感性的理解和掌握数学概念、定理，以演示实验、验证结论为目的[2]。很少用来进行探索、发现、解决实际问题。并且这样得到的都是一些很简易的数学理论解决不了实际问题。而作为现代数学实验主要是以计算机数学软件的应用为平台，结合数学模型，模拟实验环境进行教学的新型教学模式。整个实验过程中强调学生的实践与活动，学生可以采用不同的实验程序。设计不同的实验步骤[4]。现代数学实验它能很好的发挥学生的主体作用，且有利于培养学生的创新精神和发现问题的能力，因而是一种新型的数学实践的教学模式。为了很好地完成这一过程，下面我们来浅显地了解一下MATLAB软件。

三、利用MATAB进行线性代数的实验教学

MATLAB是目前数学领域应用较广泛的软件。它也已经成为线性代数的计算工具之一。特别是MATLAB的符号运算工具箱、统计工具箱、最优化工具箱、偏微分方程的数值解工具箱和大量的函数，使得它在数学实验教学中具有相当的优势[5]。更不用说MATLAB能将将科学计算与图形绘制完美地结合起来.利用MATLAB提供的函数和工具可以绘制基本的二维图形、三维线形图和表面图，利用句柄图形对象。可以进行图形定制，创建自己的图形类型和样式。

由于MATLAB的语言是以C语言为基础写的，因此语法特点与结构形式与C语言较为相似。而某种程度上更为简单，更有利于非计算机专业的老师及学生使用.并且这种语言可变通性好、可扩展性极强，这也是MATLAB之所以能够成为数学实验教学中不可缺少的工具的重要原因。若学生学过C语言的编程则应用起来更使得心应手。

在实际实验的操作中，首先，可先根据当天课堂中所要讲线性代数中知识点来介绍MATLAB中有关的语言应用。如：就拿线性代数中矩阵这章而言，我们就可充分发挥MATLAB语言的优势。其实我大家知道MATLAB是Matrix Laboratory即矩阵实验室的缩写，因此与矩阵的关系十分密切的MATLAB语言就充分显示出它的优越性，将它与实数或复数矩阵的运算很好地结合起来。下面我就来具体举例说明用MATLAB语言进行线性代数教学的优势。

例：利用矩阵的基本运算求解矩阵方程[1]。已知矩阵与满足关系式A-1BA=6A+BA，其中A=1/30001/40001/7，计算矩阵B。

此题若运用矩阵的知识来计算，计算量较大，步骤如下：|A|=184≠0 ，A可逆，A-1=300040007解矩阵方程得，A-1BA-BA=6A，（A-1-I）BA=6A|A-1-I|=200030006=36≠0，因而前者可逆，且（A-1-I）-1=1/20001/30001/6，A可逆B=6（A-1-I）-1AA-1=6（A-1-I）-1=300020001B=300020001。

若此题结合MATLAB语言来计算就简便得多：

程序如下：

验证关系式：

四、结语

就整个一个解题过程来看即能掌握矩阵的相应知识点又能很好地应用MATLAB软件解决繁琐的计算过程，特别对于某些从事专业学习和研究的老师和学生优处甚多，而这些相应的应用结合最好是在我们教线性代数的时候就可引入，但事实上我们叫线性代数的学时又限制了我们不能引用过多，所以还有待我们细细研究和开创出一条基础课与应用软件相结合的教学之路，更好的培养出一批批能实际应用的高水平学生，我们一起努力一定能达到预期的目的。

[参考文献]

[1]郑阿奇，MATLAB实用教程[M]北京：电子工业出版社，2005.

[2]梅颖，基于MATLAB的高等数学实验教学[J]，丽水学院学报，2008（5）80-82.

[3]唐耀平.基于数学专业的数学实验课程研究[J].湖南科技学院学报，2005（1Z）-287—288.

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关键词 线性代数 教学内容 教学方法 教学现状

中图分类号：G424 文献标识码：A

线性代数课程是高等学校理工科专业的基础专业课程，重要性可见一斑。但是它却以高度的一般性和抽象性使得学习者叫苦不迭，望而生畏，原本让人锻炼聪明头脑的数学课程却成了后续课程学习的拦路虎。

线性代数定义多、定理推论多、运算规律多、知识联系紧密、内容复杂、例题抽象， 对于培养学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力，以及解决实际问题的能力等都具有十分重要的意义，是一种解决具有线性关系实际问题的有力工具。教师上好和学生学好线性代数课程对于学好其它课程及后续发展都具有重要的作用。

1 教学现状

线性代数是高等代数的主要部分，其理论体系已发展得相当完善。可是由于时代在发展、科技在进步，对数学知识的需求也在不断发生着变化。近些年来，关于其改革的研究讨论一直在继续，虽然取得了一些成绩，但是在实际教学过程中仍旧存在不少问题。主要原因在于一方面是教材内容经久不变，虽然进行过数次的修订和补充，但定理和问题证明仍然是课本内容的主体部分，相关数学背景知识和专业特点提及甚少。严密的逻辑推理和抽象的证明使学生的学习相当吃力，稍有懈怠就会跟不上，直至完全放弃。课本配备的习题也基本上是围绕定理公式的一些纯数学的强化训练题目，与实际联系很少，让人很难体会数学源于生活，是生活的抽象。另一方面，课堂教学成了照本宣科，教学质量不高。由于连年扩招，导致生源素质普遍下降，使得教育管理者和教师对课堂知识和能力的要求一降再降，使得高校课堂也只是一味地讲授课本内容，只要学生对课本知识掌握，会做课后习题就万事大吉。学生普遍认为与中小学课堂没有什么区别，自然兴趣全无。再者是在社会大环境下学生存在急功近利、急于求成的思想。再加上这门课程本身的深奥，复杂，使得学生觉得这门课不仅抽象乏味，而且学不学这门课根本没什么大不了的，只不过是少记了几条定理，少背了几条公式，殊不知却正是对待这门课程的这种消极态度严重地影响着自己后续专业课程的学习和发展。

2 教改策略

2.1 将线性代数与学生所学专业紧密结合

培养学生学习线性代数的兴趣， 教师对上课的学生的专业要有所了解，这样才能做到取舍合理，详略得当，有针对性、有目的地讲授内容。而且要注意线性代数在该专业的应用、与专业课的衔接， 切忌使学生感到这门课程难学、产生畏惧心理。着重向学生介绍这门课程的重要性和它在本专业实践中的应用等， 结合学生的专业讲解案例， 提出学生所学专业中需要用线性代数解决的问题。这样可以激发学生学习这门课程的热情，提高学习兴趣，为上好课程开好头。

2.2 要加强与解析几何的联系

几何是形，代数是数，所谓“数形结合”就是指代数和几何是密不可分的，将它们分开是不合理、不科学的。几何使问题具体、直观，而代数能够更加精确地求解问题。而且随着空间维数的升高（三维以上），问题往往已经找不到几何背景，这就需要用代数的思想方法来解决问题。解析几何就是用代数方法来研究几何问题，正是它的创立为几何的发展研究开辟了新的天地。平面解析几何内容可作为线性代数部分内容的直观背景，如向量组线性相关和线性无关、线性方程组的解理论等均可利用解析几何知识作为直观背景。大量的教学实践进一步表明，正确、简明的直观几何背景对学生正确、快速地理解、掌握抽象的代数概念和理论有着巨大的促进作用。这种数形结合的教学方法受到教师和学生们的一致欢迎和接受。这样使得几何知识讲得更深入，同时对进一步理解代数知识培养应用能力有一定帮助。

3 改革教学方法和手段

线性代数相对于其他课程最大的特点就是抽象， 这也就增加了学习它的难度。而运用恰当的教学方法和手段会收到事半功倍的教学效果。

3.1 启发式教学是一种互动的双向教学方法

照本宣科的填鸭式教学，只会使得课堂气氛沉闷，教师在讲台上讲得津津有味，忘乎所以，而学生在下面昏昏欲睡。启发式教学不仅能够更好地发挥教师的主导作用，更能使学生们集中注意力，随着教师的引导去思考，去求是，真正成为课堂的主体， 显然教学质量得到提高，使课堂教学过程取得最优效果。

3.2 比较是一切理解和思维的基础

有比较才有鉴别，在教学中，遇到学生难以理解、又易于混淆的知识点时，引导学生进行比较，找出知识点之间的差异，会收到较好的教学效果。比如，讲解矩阵，矩阵性质及运算时可以和行列式进行全面比较，通过比较学生就会认识到，矩阵的本质是图表，而行列式是个数值；另外在讲解概念、定义时将其和初等代数进行比较，就会进一步体会到线性代数概念具有一般性和抽象性的典型特征。

3.3 另外还可以适当地采用多媒体进行教学

现代高科技信息技术为我们提供了形象、生动展现复杂理论问题的平台，用比较生动直观的动画把复杂过程展示出来，不仅帮助学生获得更多的感性材料，加深对数学理论的理解与掌握，同时还能丰富课堂内容，增大信息量，调节课堂气氛，提高教学效率。

3.4 在日常的教学中积极地融入科研活动

学习不仅是为了将优秀的文化知识进行传承，更要在积累的基础上不断创新。教师要把课本中的知识内容讲解清楚，也要将课堂进一步拓宽，介绍线性代数和其它相关课程之间的联系。而且要提出思考性的问题，以供学生讨论，建议期末考核时针对某个具体问题要求学生以论文形式完成作为考核的一部分，这样，更能激发他们的学习兴趣和斗志。

总之只要能充分调动学生的积极性，提高课堂教学效果，就可以尝试多样的课堂教学方法和教学手段。

4 结束语

教学无常法，教学有良法。线性代数的教学充满困难和挑战，但只要坚持一定的教学规律和认知规律，灵活多样地尝试多种教学方式方法，就一定能够收到好的效果，使这门课程更好地发挥自身的特点，服务于科学研究和现实生活。

参考文献

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【关键词】线性代数 教学体系

【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）17-0107-01

线性代数是培养学生用数学的思想、方法解决问题的能力、素质的一门重要课程。随着国家高等教育教学改革的不断深入和科学技术的迅猛发展，课程教学内容、教学手段和教学方法不断更新，也对线性代数课程教学提出了更高的要求;改变传统的教学模式，积极开展教学模式的改革研究，建立以培养学生知识的综合分析和创新应用为目标的线性代数教学体系和教学模式，已成为值得思考的重要问题

1.传统《线性代数》教材内容结构与存在的问题

1.1大部分国内教材内容顺序为行列式、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型、向量空间与线性变换。这种模式的教材中对行列式、矩阵的基本运算都要花很长教学学时和力气进行细致的讲授。准备阶段过于漫长，还没有接触到核心问题，很多学生在这个时候对这么课程已经失去兴趣了。

1.2矩阵求逆的初等变换法介绍过于后置，造成该课程教学不流畅，对该课程教学造成一定的影响.如果能将该矩阵求逆法放在逆矩阵一节讲授，能起到内容规整、教学一气呵成的效果。但是由于初等变换没有及时介绍，该方法不得不滞后，形成骨鲠在喉的局面，该问题的破解一直为相关老师教学所期盼。

1.3《线性代数》教学难点扎堆是现行教学的一大难点，一直没能得到完满的解决。学生学习到矩阵的秩和向量组的线性相关性这一部分时感觉概念、定理太多，教材编排凌乱，理论性太强，理论推导太多，难看、难懂，学习起来很吃力。

1.4 k阶子式的引入给学习者一种为理论教学而存在，解题时几乎用不到的感觉，从使用的角度来看，没有必要存在，但没有它理论又无法建立。

1.5《线性代数》教学主线不明确，教学中没有将该课程使用的主要方法――初等变换法重点突出出来。

1.6《线性代数》教学学时一般介于32―40课时之间，由于该课程理论性强，实践性强，教学中教师很难平衡两者：过于注重该课程理论体系的完整性，则导致教学布局不尽合理，授课时言犹未尽，主要解题方法无法及时介绍;过于强调学生的动手能力则无法保证数学原理的传授。现行的教材重理论轻应用，重公式推导轻数值计算，不符合工科数学“以应用为目的，以够用为度”的原则。

2. 线性代数教学内容的重新确立

2.1考察《线性代数》各章内容，它们都涉及到线性方程组，因此在开始的第一章由具体方程组入手，从解线性方程组的过程中抽象出矩阵的概念、初等行变换的方法、说明线性方程组解的情况及其判别准则、引入矩阵方程，向量方程的概念、用线性表示解释方程组的解。初等变换的方法是线性代数中主要的方法，第一章介绍并练熟对学生很有益处。另外很多内容可以依赖方程组的表达形式，所以方程组的内容放在第一章。虽然篇幅较长，但是适当分解了相关性部分的重难点，与方程组的概念衔接自然，易于学生理解。

2.2第二章行列式。从一元二次方程组的解法中引入行列式，进一步说明性质、按行列展开的方法、最终介绍克拉默法则解方程组。因为相关无关、向量组的秩、矩阵的秩、可逆矩阵等内容也可利用行列式来做某些判断，因此，虽然内容上与上一章衔接不多，比较突兀，但是为了下面的内容，只能放在这里。

2.3第三章向量组的线性相关性。因为相关无关的概念在三维空间上有很明显的几何解释，因此从几何上的共面引出三个向量的相关无关概念，再把这个概念推广到n维空间上去。线性表示实质就是研究齐次线性方程组和非齐次线性方程组，因此在教授时尽量联系第一章的内容使得学生可以把内容联系起来。在介绍线性相关、相关性质、向量的线性表示，向量组等价，等价性质后，内容作如下编排：

定理1.向量组初等变换前后等价。

定义1.若向量组中子线性无关向量组与原向量组等价，则称此子向量组为原向量组的最大无关组。

定理2.向量组与它的极大无关组等价。

推论1 等价向量组的两个最大无关组等价。

定理3.如果向量组1可以由向量组2线性表示，且1的数量大于2的数量，则向量组2线性相关。

推论1 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。

定义2 向量组的秩

定理4 向量组线性无关的充要条件是它的秩等于它所含向量的个数。

定理5 如果向量组1可以由向量组2线性表示，则1的秩小于等于2的秩。

推论1 等价的向量组有相同的秩。

定理6 矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

定理7 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩。

定理8 任一矩阵的行秩等于列秩。

定义2 矩阵的秩

事实上，矩阵是由向量组构成，理论也表明矩阵的秩等于行向量组的秩及列向量组的秩。所以，如果能直接从向量组的秩入手介绍矩阵的秩将大大降低学生学习的困难，节约讲授内容，减少讲授课时，另一方面传统的k阶子式的引入给学习者一种为理论教学而存在，解题时几乎用不到的感觉。从使用的角度来看，没有必要存在，但没有它理论又无法建立。这种设置从实用的角度和体系完整的角度都优于传统课程体系，在第三章最后介绍线性方程组解的结构。

2.4 第四章矩阵的运算。从具体的应用问题入手介绍矩阵加法、数乘、乘法等运算。再从解矩阵方程的角度引入逆矩阵的概念以及其两种求法，这里注意可以联系几何形式解释乘法与向量组线性表示的关系。从而利用矩阵把之前的内容做一个串联和总结。

2.5第五章特征值特征向量，特征值特征向量则是研究特殊的齐次线性方程组。

2.6第六章线性变换、坐标变换同样研究线性方程组解的问题。因此，方程组特别是解方程组所使用的初等变换法应该成为本课程教学的主体和主线，它们贯穿整个教学始终。