高中数学题范文

导语：如何才能写好一篇高中数学题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

【关键词】向量；向量法；角和距离的求解

在高中数学的许多立体几何问题如果用常规的方法来解题的话，对许多同学来说是非常棘手的。难找的思路，密匝的辅助线，繁杂的计算，令不少的同学觉得头疼。借助向量工具，可以对一些传统解法中较为烦琐的问题加以定量化，从而降低了思维难度，增强了可操作性，使学生对立体几何更容易产生兴趣。

一、角的求解

角的求解在立体几何中占据一个举足重轻的位置，但对不少的同学，解决这一类问题并不是易事，新教材引入空间向量的概念以后，便使这类问题思路清晰明确，运算简便起来。

高中数学第二册下给出了向量?a=（x1，y1，z1），则

①

（1）利用向量求二面角。不需作出二面角的平面角，直接依据二面角定义求解。设二面角α-L-β大小为θ，平面α，β的法向量分别?a，?b，则θ=

在空间直角坐标系中，先求出?a、?b的坐标，再利用公式①求出< ?a， ?b>，判断θ与

例1：已知平行六面体中，底面ABCD是边长为m的正方形，

侧棱AA1的长为n，且∠A1AB=∠A1AD=120°

求二面角A1?AB?D的余弦值。

解：作A1EAB交AB延长线于点E，A1E与AD所成的角是二面角A1?AB?D

=+

=（+=+

=・=cos120°=-

∠

cos===

此题传统解法为，先证BD面ACC1A1，然后利用三垂线定理作出二面角，再归结到三角形中求出余弦值，思路繁琐不易找，且计算量大，容易出错，而用向量法思路简单清晰，且避开庞大的计算量，易解，省去不少的麻烦，所以向量法在解决这类问题成为首选。

（2）向量求异面直线所成的角。设两异面直线a，b所成的角为θ（0≤θ≤）再设、分别在直线a、b上或∥a，∥b，则当为锐角（或直角）时，θ=当为钝角时θ=π-，在空间直角坐标系中，求出、坐标，利用公式①，便可求出，利用θ与关系可得θ。

例2：四棱锥P―ABCD的底面是梯形ABCD，它在空间直角坐标系中的位置如图五所示，若设AB=4，CD=1，AD=2，PD=，求异面直线PA、BC所成角。

解：分析在一个平面里作出两异面直线的平行线，然后归在一个三角形中，求出它们的夹角，这个思路比较难找，而且牵涉比较大的计算，比较麻烦。这时我们可以利用求向量夹角的方法来处理异面直线所成角，这个方法更加简单。

依题意，得A（2，0，0） B（2，4，0）

C（0，1，0）P（0，0，），

，故直线PA、BC所成角为。

二、巧用向量求点面间的距离或异面直线间的距离

异面直线间的距离虽可以通过定义求解，但用向量的射影长解决将更加快速简洁。

1.向量法求点到平面的距离

设平面α外一点A到α距离d，α的一个法向量为，取α的一条斜线段AB，B为斜足，则d===

在空间直角坐标系中，求出，坐标，即可求d。

2.向量法求异面直线间的距离

在两条异面直线a，b上各取一点E，F设a，b的公共法向量为?n，公垂线段为AB，则?n∥，且cos

=，在空间直角坐标系中，求出?n，的坐标就可求出a，b间距离。

注：为了求两异面直线a，b的公共法向量?n的坐标，可设?n=（x，y，z）

分别在a，b上取已知向量、，则由?n・=0，?n・=0得到含x，y，z的两个方程，令x=0或者1求出y，z得到?n的坐标。

例 3：如图，已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中AB=1，A1A1=2，求异面直线BD1与CC1之间的距离。

解建立直角坐标系，以D为坐标原点，D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，1，2）D1（0，0，2）

=（-1，-1，2）， =（0，0，2）

设?n=（x，y，z）是与BD1，CC1垂直的向量，则

{?n・=0 即 { -x-y+2z=0

?n・=0 2z=0

z=0，y=-x，则?n=（x，-x，0） 又=（-1，0，2）

BD1与CC1之间的距离为

d===

即BD1与CC1之间的距离为。

例4 如图，在正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1

（1）求点E到平面ACF的距离

（2）求异面直线CF、BE的距离

解：如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）D1（0，0，5）E（0，0，1）F（2，2，4）

（1）分析：求点到平面的距离，一个方法是找出点在平面内的射影，然后解相应的直角三角形，另一个方法是利用等积法，这两种方法都比较困难，特别是找点在平面影位置，利用法向量可以大大减轻处理问题的难度，方法很有效。

，

平面ACF 所以是平面ACF的法向量，

=（-2，0，1），d==。

（2）解：设向量

满足：

则有，

，

解之得：p=-2r，q，

所以可取=（-4，5，2），BC是端点分别在异面直线CF、BE的线段，所以。

注：“立体几何向量化，向量问题几何化”是解决空间中的角和距离问题的有效方法和途径，也是处理高中立体几何问题的一种趋势，对几何中的夹角、距离等问题，必须熟练地掌握其向量法。

总之，向量法最大限度地避开了思维的高强度转换，避开了各种辅助线添加的难处，代之以空间向量的计算，有利于我们较好地解决问题，在同学们解题时，大敢地起用向量法解决某些问题，可以大大地减少解题时间，提高解题速度。

参考文献：

[1]周子君.空间向量在角和距离求解中的应用.数学通报，2003年第11期

[2]戴新忠.向量法求空间的角和距离.中学数学教学，2005年第1期

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【关键词】高中数学；变量代换解题方法

在高中数学学习过程中，必须重视思维能力的培养，培养高中学生变量代换解题能力，在实际解题过程中，可以减少对数学题的恐惧心理，增自身学习积极性，进而提高解题效率.

一、高中数学中变量代换解题方法的学习意义

在高中数学学习过程中，数学题难度较高，导致学生对高中数学知识失去学习兴趣，难以提高高中数学学习效率.同时，高中数学知识本身就具有一定的逻辑性，在学习期间，很容易遇到难以解决的问题，进而出现学习障碍，导致高中学生学习兴趣降低.为了解决此类高中数学学习问题，学习中必须应用新学习方式，可以激发学习兴趣，提高学习积极性.由此可见，高中数学中变量代换解题方法的应用，可以有效提高学生的数学知识学习效率与解题质量.

在高中数学学习期间，变量代换解题方法的应用，在解决烦琐类型数学题的时候，可以利用变量代换解题思路将数学题的难度降低，顺利解决数学问题.同时，在变量代换解题方法学习过程中，利用不同的解题方式解决数学问题，提高学习效率，进而增强学习效果.高中数学中变量代换解题方法的应用，可以全面提高高中数学学习水平.

二、高中数学中变量代换解题方法的应用措施

在高中数学学习过程中，变量代换解题方法的应用可以促进学生解题效率的提升，激发学习兴趣，提高学习积极性.具体应用方法包括以下几种.

（一）三角变量代换解题方法的应用

在实际学习期间，必须重视三角变量代换解题方法的应用.高中三角变量代换解题方法多用于解决积分问题，在现实生活中的应用也较为广泛.所以，在高中数学三角变量代换解题方法学习期间，利用三角恒代换方法解决数学问题，然后科学、合理地对三边与三角进行代换，进而得出简化的证明，提高数学问题解题正确性.

（二）函数变量代换解题方法

在高中学生学习数学知识的过程中，函数是学生最为抵触的知识内容，主要因为高中函数知识较为抽象，不容易理解，学生不能快速学习函数基础知识，也难以正确解答函数数学题，同时，高中学生在解决函数数学题的时候，也会增加不必要的解题步骤，导致学生解题速度缓慢，解题正确性降低.因此，在高中函数学习过程中，要充分利用变量代换解题方法，全面了解函数知识，进而加快解题速度，提高解题效率，充分发挥变量代换解题方法的作用.

（三）导数变量代换解题方法

在高中数学学习过程中，必须重视导数问题的解决，因为导数是高中学生数学知识学习中的重点内容，只有提高导数学习效率，才能增强数学问题解决能力.很多高中学生在学习导数知识的时候，只能认识到导数的表面知识，不能从根本上理解导数知识内容，高中教师在课堂学习中也很少会涉及深层次研究的学习内容，无法有效提高学生的学习效率.这就需要在导数学习过程中，利用变量代换解题方法对数学问题进行解决.第一，要求解决具有函数性质的导数问题.第二，要求解决具有隐函数性质的导数问题.第三，要求解决具有积分函数性质的导数.进而发挥变量代换解题方法的作用，通过以上几个方面的实践，深刻理解、熟练应用变量解题方法.

三、结语

高中数学学习过程中，必须重视变量代换解题方法的应用，可以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题效率与解题质量.

【参考文献】

[1]黄文芳.谈谈高中数学变量代换解题方法[J].时代教育，2014（8）：123.

[2]袁魁.谈谈高中数学变量代换解题方法[J].读写算（教育学习研究），2015（10）：201.

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一 认真备课，使理论知识形象化

备课是教师教学的前期工作，是教师根据本学科课程标准要求及课程特点，结合学生实际，选择最合适的教学方法，按顺序将知识点展现出来，以保证学生掌握知识的一种方法。教师备课是对即将上课的准备，其目的就是为了提高教学质量，使学生有效学习。高中数学是一个逻辑性比较强、对学生学习能力要求比较高的课程。它有两个显著的特点：（1）概念、推理比较抽象。高中数学中的概念和推理是学生生活实际中很少遇到的，因此，这就需要学生具备丰富的想象力和推理能力。（2）新旧知识结合，各个知识点都相互联系。因此，学生在高中数学学习中除了对单个知识点的掌握外，还要懂得将整个高中数学知识进行全面整合，要求学生有较强的整合能力与全局观念。

高中数学知识本身的特点就是符号化、概念化、抽象化，这无形中增加了学生的学习难度。因此，高中数学教师在备课时，要立足教材特点，联系学生实际，将数学理论知识通俗化、形象化，让学生轻松掌握知识。另外，在学习新知识时，还要实时巩固旧知识，并不断训练学生，培养学生全面学习的观念。

如在学习集合时，教师只是单单说某个集合是另一集合的子集，对数字不敏感的学生是很难听懂的，这时，教师就可以联系学生实际来举例说明。设A集合等于班上的所有男生，张某、王某是班上两名男生，张王组成的集合B就是集合A的子集；张某和李某（女生）组成的集合C就不是集合A的子集了。教师通过这样的方法使数学知识形象化，学生更易接受，而在学习三角函数时，教师可以将集合与三角函数联系起来，帮助学生巩固知识，培养学生整合能力。

二 灵活教学，培养学生发散思维能力

数学作为理科类学科，要求学生思维灵活，头脑反应能力强。高中是学生意志、性格、品质等处于逐渐发展成熟的阶段，这个阶段的学生在遇到某一问题时往往有自己独特的看法。因此，高中数学教师要根据学生这一特点，在教学活动中大胆探索，变“形式教学”为“变式教学”，灵活改变教学方法，如引导学生思考、采用多媒体演示、带领实际活动等，充分调动学生的积极性与主动性。另外，教师也可以就同一道数学题用多种解决方法为学生仔细讲解，培养学生发散思维的能力，从而提高教学质量。

如数学题求函数f（a）=cosa-sina+2的最大值和最小值，教师就可以用多种方法为学生讲解。（1）利用三角函数的有界性求解来为学生讲解。（2）利用解析几何题中的斜率公式，将函数转化为几何图形求解为学生讲解。（3）利用变量代换，将函数转化为有理分式函数求解为学生讲解等。教师通过这个题，引导学生从三角函数、解析几何、分式函数等多个解题方式寻求答案，使学生将所学知识有机联系起来，克服了思维定式，拓宽了学生的思维。高中数学教师要带领学生多练习相关解题方法，让学生“举一反三”，培养学生思维的灵活性，从而提高教学质量和学生学习效率。

三 落实实际，增强数学知识的“应用性”

数学作为理科类典型的科目，知识点比较抽象，导致教师难教，学生难学。目前高中数学教学方法依旧是应试教学，主要依靠教师讲解，学生听讲，然后记忆，最后不断做题来达到学习知识的目的。但在新时期下，这样旧式的教学方法已经不切实际，它无法发散学生思维，使学生创新学习方法，达到提升自己素质和能力的目的。因而，要提高高中数学教学质量，要求高中数学教师大胆创新教学方法，积极培养学生自主创新、自主探索、动手实践、交流合作的能力。教师要以提高学生实践能力为目的来开展教学，落实生活实际，增强数学知识的应用性，提高学生的学习效率，从而达到提高数学教学质量的目的。

如研究分期付款中的有关计算这一课题时，教师就需要将知识点落到实际，安排学生参加实践活动先弄清银行的有关知识，了解三种付款方式（分期付款、一次性付款、公积金付款）的具体计算方式，然后让学生整理资料并与同学交流、讨论，最终使讨论的结论与实际结果相符合。通过这样的实际考察与交流讨论，培养了学生的实际操作能力，增强了数学知识的应用性，提高了学生的学习兴趣。

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【关键词】高中数学 解题策略 解题能力

在进行高中数学的教学过程中，解题教学为其核心的组成部分。所以在进行教学时就要求教师应该对每部分教学内容所涉及到的相关知识点进行分析，并将其涵盖的数学思想以及解题方法进行抽象的概括总结，然后将这种积极的思想贯彻给学生们，使其在进行学习时能够找到思想的精髓，并将这种抽象的事物进行形象化，将涉及到的知识合理应用在具体的习题解答的过程中，最终有效培养学生掌握高中数学解题策略，提高其思维能力与数学习题解答的能力。

一、重视审题训练

想要有效提高解题的效率并保证解题的正确性，最为关键的就是审题。要求学生应该在准备解题之前，首先对题型进行认真分析，能够找到问题的关键点与重要的条件，并且找到与问题有关的信息，将其进行收集，之后进行正确地分析研究，最终找到问题的突破口。

例如我们在学习函数基偶性的判断之后，对有关题目进行解析时，如函数y=x3，x∈[-1，3]，判断此函数的奇偶性。往往许多的同学在面对这类问题时，都没有进行仔细地审题，因此就注意不到x的取值范围，只机械套用函数的奇偶性，最终将公式进行化简后得到y=x3，最后直接定义此函数为奇函数；但是如果学生在解题前能够仔细解题，最后在判断函数的奇偶性时就会参考x的取值范围来进行解题，首先要判断此函数的图像是否关于坐标原点中心对称，如果不对称则说明此类函数不具有奇偶性，所以正确的解题过程应该为：因为2满足定义域，但是-2不在定义域的范围内，所以可以判断此函数图像关于坐标原点不对称，最后判断此函数为非奇非偶函数。

在针对这种类型题的解题时，一定要注意首先要仔细进行审题，在进行审题的过程中不仅能给解题带来一定的思路，更能挖掘出问题的关键与隐含的重要条件。所以对学生进行审题训练显得至关重要，只有这样才能够有效提高学生的解题能力。

二、数形结合思想

在高中数学众多的解题思想当中，数形结合为其最基本的思想，并且也为数学的核心思想。将形象直观的图形与比较抽象的语言进行有效结合，最后就可以将抽象的概念进行形象化，数形二者之间进行了有效结合，这就会对学生在解题的过程中给予一定的启发，能够将复杂难懂的习题进行有效简化。在高中数学的教学过程中，数形结合通常体现在以下几种形式：方程和曲线二者的对应关系；实数与数轴上点的对应关系；函数与图像二者的对应关系等。

（一） 用图像解决问题

当学生在解题的过程中遇到困难时，应该教会学生能够合理利用图形来进行解题。此外，当遇到了更为复杂的运算时，也可以利用图形来将问题简化，最终能够有效解决，最后在检验结果时，同样可以通过图形来进行检验。

例如：求函数最大值与最小值。

在解答此题时，就可以画出函数图形对其进行有效解决。经过一系列的分析，其函数图像可以表示如下：

其中Q代表的是（cosx，sinx），P为（-2，0），Q所形成的轨迹为一个单位圆，可以在图形上看出，最后可以判断出，。这样就可以得出用图像有效将三角函数的最值问题进行解决，通常采用的方式就是用两点求斜率的形式。

（二） 正确分析利用数量运算

对题目中的一些数量进行正确的运算，之后对其进行有效利用。以这种方式来进行解题也非常有效。在解决高中数学题的过程中，学生通常都会采用用图像来解决问题的方法，所以就忽视了通过数量运算来解决问题的方法。要求教师在进行教学的过程之中，对这种方法也要认真讲解，并且对学生们加强训练，最终使学生掌握更多的解题策略，提高解决问题的能力。

三、方程思想与对称思想

在教师渗透解题思想的过程当中，也需要要求同学们利用方程思想与对称思想来进行数学的解题。对于数学的方程思想而言，它主要就是要求学生应该在方程的角度上进行充分思考，最终可以正确的将数学的问题转化为方程的问题来进行有效解决。目前来看，方程在高中数学中占有着不可替代的位置，可是仍然有多数的同学不能合理的利用方程思想来解决数学问题。

例如：对于椭圆，设F1、F2分别为其左右两个焦点，此时在椭圆上部存在一个动点P，（一）问的最大值与最小值是多少。（二）如果经过点M（0，2）存在着一条直线L，与椭圆相交，交点分别为A、B，∠AOB为锐角，设O是函数的坐标原点，这样在直线上斜率k的取值范围为多少。当遇到这种问题时，利用方程来解题就会将其简单化，最终能够正确解决。

此外，对称的思想也同样重要，利用这种思想来进行解题也非常有效，也是应用比较普遍的一种方法。对高中的诸多数学习题进行分析后发现，也同样存在着一些形式非常优美并且结构比较均匀的问题。

例如：将甲乙丙丁戊排成一排，乙一定要在甲的右边，但是不可相邻，这样有多少种排列方式。利用对称思想就可以将其进行有效解决，最后得出，所以一共有60种排列方式。

四、总结

对于高中数学的解题策略而言，其方式多种多样，所以就要求教师在进行具体教学的过程中，应该依据所进行教学的内容及其特点来进行设计与规划，找到具体的教学方法来有效引导学生进行解题，并且培养学生能够在分析习题时具有举一反三的能力，最终形成自己的解题策略体系，这样当在解答习题遇到类型题时，就可以运用自己的解题策略对其进行快速准确地解决，不仅拓展了学生的解题思维，也提高了学生的解题能力，最终有效提高了教师的教学质量。

参考文献

[1]马进.浅析高中数学解题的思维策略[J].数学教学通讯

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关键词： 构造法 高中数学解题 应用

构造法，简而言之，是指根据题设条件或结论所具有的特征、性质，进而构造出满足条件及结论的数学模型，在解题过程中，主要是将“未知”量转变为“已知”量，进而帮助学生快速解决问题.采用构造法最主要的是“转化”思想，构造与原问题相关的辅助问题，帮助学生解决问题.

1.构造方程

方程法的构造是高中数学解题中最常使用的一种构造方法.方程式对于学生来说并不十分陌生，其作为数学的重要内容，通常与函数等相关知识紧密联系.在一定程度上，可利用题型所给的数量关系和结构特征，通过设想建立一种等量性的式子，分析几个未知量之间的相互联系及方程式等量关系，利用恒等式的多方位的变形，将数学题中的抽象内容实质化、特殊化，提高学生解题速度及质量.利用方程构造的方法进行解题，可培养学生的观察能力和思维能力.

如：（m-n） -4（n-x）（x-m）=0，求证：m，n，x为等差数列.

解析：针对这个问题，利用构造的方法，将题中的条件和结论联系在一起，可以将这个问题简单化，针对这个问题构建方程：（n-x）t +（m-n）+（x-m）=0 ①，令=（m-n） -4（n-x）（x-m），根据题意得出=0，则构建的方程①中的实数根相等，再由（n-x）+（m-n）+（x-m）=0得出t=1，进而得出该方程中的两个实数根均为1.由韦达定理得出m+n=2x，进而证明题中的m，n，x是等差数列.利用方程构造的方法，对高中数学中的难题进行求解，将数学题简单化，培养学生的观察能力及思维能力，遇到数学题，可以快速地进入主题求解.

2.构造函数

高中数学中，函数与方程一样是高中数学的重要组成部分，采用函数构造的方法进行数学解题，可以对学生的解题思想进行培养，提高学生的实际解题能力.解题思想是数学题解题中的主线，在数学题中，代数类型的题和几何类型的题，均含有一定的函数思想.所以在解题过程中，采用函数构造，可以将数学问题转化为简单的函数问题，然后求解.在这个函数构造的转化过程中，学生的思维和创造性会逐渐形成.

如：已知m、n、a∈R ，其中n

解析：从这个数学题中的信息可知，使用x将题中的a代替，这样就会得出可以一个关于x的式子， < ，将该式子看成一个函数，x∈R ，就可以构造一个函数：f（x）= ，其中的 可以将其看成是 +1，因此可以得出 是在[0，∞]这个区间上的一个函数，而且是一个增函数，进而就可以对这题进行求解.

3.构造图形

在高中数学中，利用图形解题是一种常采用的方法，数形结合是高中数学解题中的重要工具.遇到可以使用图形解题的数学题时，采用图形构造的方法进行解题，可将抽象、复杂问题形象化、简单化，使问题更直观，同时也能够培养学生的数形结合思想.

如： + ，其中（0≤x≤4），求解其最小值.

解析：根据题意可以对该题进行图形构造，利用直角三角形的构造，将这个问题简单化.

图1

从图1，可以得出ABBD，ABAC，当AB，AC，BD的取值设定为4，1，2时，在AB上会出新一个动点O，为此设AO=x，此时就可以得出OC =OD= ，如果想要 + 的值最小，只需要将OC+OD的最小值求出，就可以得出 + 的最小值.

4.构造数列

高考题的特征“源于课本，而不同于课本”，学生在解课本习题时，当遇到陌生问题时，应静下心想想教师之前所教的解题方法，选择适当的解题方法，深化思维.在解题过程中，认识到与某个知识点类似，可将其转化为该知识点进行解答.构造法能够有效解决这一问题.已知a ，且a =pa +q（p、q是常数）的形式的数列，均可用构造等比数列法即a +x=p（a +x）（x是常数），数列{a +x}为等比数列，这是大家都非常熟悉的.

如：若数列{a }满足a =1，a = a +1，求a .

解析1：令a +x= （a +x）（x是常数），则a = a + x-x= a - x

该式与已知式a = a +1对比，可求得x的值.

- x=1

即x=-2

= 数列{a -2}是以a -2=-1为首项，以 为公比的等比数列.

a -2=-1×（ ）

a =2-

对既非等差又非等比数列通项求解，应用化归思想，可以通过构造将其转化成等差或等比数列之后，再对应用各自的通项公式进行求解.

解析2：a = a +1

a = a +1

两式相减得a -a = （a -a ）

令b =a -a （n=1，2，3，…）

则b =a -a = ，b = b

所以，数列{b }是以 为首项，以 为公比的等比数列.

所以b = ×（ ） = ，即a -a = ，

a -a = ，a -a = ，a -a = ，当n>1时，a -a = .

这n-1个式子相加得

a -a = + + +…+

于是a =1+ + + +…+ = =2- （n≥2）

a =1也满足上式，

因此，a =2- .

这两种方法相比，后一种方法比较麻烦，从中可得知：相邻三项之间也可构造出等比数列.在教学中，可以让学生思考、讨论并相互交流，让学生自主分析如何将其构造成等差及等比数列，教师可以根据学生的实际情况，适时对学生的疑问给予引导，如果学生还找不到方法，教师就可以引导学生参照例一的方法，对课本习题进行研究探讨，从而找到解题方法.

5.构造向量

向量是高中数学解题中应用较广泛的知识点，通过构造向量，能够提高解题效率.尤其对于不等式的结构，如x x +y y ，可采用向量的数量积的坐标表示，将原不等式进行适当变形，为不等式的证明提供新方法.

如：已知 ≤x≤5，证明：不等式2 + +

解析：在上述不等式左侧，2 + + 可变形为2 +1・ +1・ 的形式，而该形式正好是x x +y y +z z 的结构，对此，可采用向量的数量积表示，并利用数量积的性质a・b≤|a||b|证明该不等式.

构造向量a=（ ， ， ），b=（ ， ， ），则有：|a|= =

|b|= =

又因为a・b≤|a||b|，所以 ・ + ・ + ・ ≤ ・

最后可得：2 + +

6.构造模型

所谓现实模型，是指构造与现实生活相关的模型，这种模型构造有利于学生理解，使复杂问题简单化，抽象问题形象化.仍以“已知α、β、λ均为正实数，且α ”为例，可构建以下现实模型.

解析：因为α、β、λ均为正实数，且α

高中生课程繁多，面对浩瀚如海的数学题，在实际学习中难免有无形压力，不仅失去数学学习兴趣，而且挫伤解题积极性.为此，教师应在数学解题教学中加强“构造法”在高中生数学解题中的运用，根据题目类型，寻找适合的构造方法，帮助高中生节省解题时间，同时在一定程度上培养高中生的思维能力和创新能力，提高学生的数学解题能力.

参考文献：

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【关键词】高中数学；解题教学；变式训练

高中数学课业繁杂众多，加之高考的压力，学生对数学的学习兴趣和学习效率往往不佳.变式训练的加入摆脱了这种传统枯燥的学习方式，注重学生思维能力的培养，大大地提高了学生学习数学的兴趣，并提升了学生的解题能力.本文概述了变式训练的意义，并提出了相应的变式训练实施措施，力求为今后相关学科的学习和研究做出笔者微薄的贡献.

一、变式训练概述

（一）简述变式训练

解题教学是数学教学的一项重要内容，它主要包含标准题、变式题以及探究题三类解题形式，解变式题介于解标准题与解探究题之间，是数学基本理论知识学习逐渐过渡到探究学习的一个中间环节.变式训练主要是通过一系列变式的方法，来展现整个基础知识发生的全过程，是数学问题的结构调整和过程演变，也是学生思维过程的一种相应转变，最终形成一种特定思维解题模式.

（二）变式训练的意义

变式训练，是一种经过多方实践后成功衍生出的解题教学改革模式，它是教师在解题教学中教学途径的转变过程之一.变式解题是标准解题到探究解题的过程过渡，教师可以扩展延伸标准题型的解题思路，然后将其转变成为另外一种架构的题型，让学生进一步认识变化中的不变关系，指引学生运用原有掌握的数学知识去进行新题型的探究的活动，以此来培养学生的辩证思维能力与解题能力，实现学生对更高层次的题型的挖掘，加深学生对题型的理解能力，确保学生的解题正确率并提升学生解题的速率.

通过灵活运用变式训练，可以培养学生的数学学习兴趣，吸引学生数学学习的注意力，培养其发散知识、整合知识的能力.只有根据学生的实际学习能力和发展需求来进行不同层次、不同难度的变式训练，才能使不同的学生学有所获，“各取所需”.学生们在变式训练中可以品尝到成功的喜悦，并提升学生高中数学乃至今后数学学习的实际能力，可见，运用变式训练意义重大且深远.

二、高中数学解题教学中的变式训练

变式训练，从某种角度上来讲就是适当地调整学生已有的数学知识为一种新的题型模式，然后通过训练逐渐使他们正确地认识新的题型构架并做出合理的科学解答.其训练模式经常是转换表述方式，对数学题型“换汤不换药”.深化学生对高中数学题型的深度认识，引入变式训练，将一些题型转换表达形式以及问答方式来提升学生的思维变通以及整合能力，深化对题中知识点的理解.其实知识点是没有转变的，转变的只是问答形式等，确保学生在题型换汤不换药的情况下也不会出错.具体的训练方法有以下几方面：

（一）题干与问题表达方式相互之间进行转变

例如，原题：在已知两定点A（2，0）和B（-4，0），若动点C（x，y）经过运动可以与点A、点B在C点处形成形一直角，求点C的轨迹方程.变式训练就可以转变为：过点A（2，0）的直线CA与过点B（-4，0）的直线CB相交并垂直于点C，求垂足点C的轨迹方程.其实，原题和变式训练的本质是一样的，只是在语言表述上发生了改变，学生面对这样的问题就要辩证地进行拓展与思考.其求解的方式是完全一致的，只要明确点C在线段AB为直径的圆周上即可.

此外，还可以进行变式2：已知定点A（2，0）与∠ACB为90度，C点在线段AB为直径的圆周上，直线AC交直线CB于C点，B点在坐标轴上，求B点的坐标.经过这样题干和表达方式之间的转换，学生的思维就得到了扩展和锻炼，有利于学习生实掌握数学相关知识.

（二）让学生自主进行题型改变，增设问题

所谓让学生自主进行启发性改变题型就是指课上让学生进行题型转换变式训练.学生通过对原题的题型理解来进行思维转变，改变题型，由此来扩充自己的知识储备，发挥自我学习潜能，培养自我创新性学习.

例如在数学函数图像的课程时，原题：画出函数图像，并根据图像指出函数的单调区间，明确各单调区间上函数是增函数还是减函数.这样的题型，变式可以为：画出函数图像，并根据图像说出函数的单调区间，以及在各单调区间上函数是增函数还是减函数，并求出函数在区间[-2，5]上的最值.经过这样的变式训练，学生可以画图得出结果，也可以通过数学方法算出结果，既能巩固基础知识，还能熟练解题.

总结

在高中数学中适当地加入变式训练，可以大大提高高中数学学习的趣味性与挑战性，对学生高中时期乃至以后的数学学习生涯影响深远，意义重大.学生可以在训练过程中有意识、有目的地从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，融会贯通数学知识，体会数学的独有教学魅力.

【参考文献】

[1]卓英.重视高中数学解题教学中的变式训练[J].福建基础教育研究，2011（11）：91-92.

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在高中教学体系中，数学占有举足轻重的地位，而且高中生数学解题能力的高低充分体现对数学知识的理解、掌握程度，因此在高中数学教学过程中，教师应注重加强对高中生解题能力的培养。加强对高中生数学解题能力的培养不仅符合素质教育和新课改的要求，而且可以帮助高中生更好的理解、掌握高中数学知识，培养高中生数学理论、知识的运用能力，所以教师在开展数学教学中注重培养高中生的解题能力。

2培养高中生数学解题能力的思想

2.1培养学生用数学概念巧解习题的数学解题思想

用数学概念进行习题求解，是数学解题思想中最基本的思想。用数学概念巧解习题就是直接引用数学教材中的数学定义、概念进行解答，数学中的定义、概念可以将事物的本质明白准确的表现出来，高中数学教材中的定理、法则以及性质等，基本上都是由数学基本定理、概念进行演绎推理而得到的，因此高中教师应对高中生贯彻用数学概念巧解习题这一解题思想。

2.2培养学生将方程与函数相结合的解题思想

函数思想是在函数基础内容上更高层次的抽象与概括，函数思想普遍存在于高中数学不等式、解析几何、数列以及方程等领域。现阶段我国高考数学命题重要内容之一就是对方程思想的考察，因为方程的思想是提高高中生运算能力的重要依据，也是高中生在进行各种各样的数学计算求解类型题目中最基本的思想。在历年的高考数学试题中，方程思想所占的比重很大，而且涉及的方程思想的知识点也较多，因此高中数学教师要注重培养高中生结合运用函数思想和方程思想的解题思想。

2.3培养学生分情况讨论的解题思想

分情况讨论的解题思想，就是结合讨论对象的性质和特征，将问题分为多个情况进行讨论、分析。分情况讨论的重要特点就是：涉及的数学知识点非常多，且具有极强的逻辑性和综合性，因此可以有效的考察高中生对数学知识的掌握程度以及数学分类的思想和技巧。

3高中数学教学中培养学生解题能力的有效途径

3.1课堂上注重对学生认真审题习惯的培养

高中数学教师应注重培养高中生认真审题的良好习惯，以便提高高中生对数学的审查能力。众所周知，学生在解题过程中不论是遇到什么类型的题，首先需要做的就是要认真审题，审题是数学解题的基础，多年的教学经验表明高中学生在数学解题中出现的错误，或者是数学解题感到困扰，通常情况下都是由于学生审题不认真或者是不擅长审题等原因造成的，所以高中数学教师应加强对高中生认真审题习惯的培养，使高中生意识到解题的必要条件是学会审题。高中数学教师要擅长引入自己的思维方式和习惯，从而引导学生学会分析数学题中隐含的条件，提高高中生审题的能力。

3.2引导高中生分析数学解题思路

高中数学教师应该注重引导高中生分析数学解题思路，找寻数学解题的途径，从而发现数学解题的规律。高中数学中找寻数学解题思路的途径有综合法和分析法，结合数学题的实际情况针对性的使用这两种解题策略，可分开使用也可以将两种解题策略相结合使用。数学解题的过程就是灵活运用所学的数学知识，发现条件和所需求解的问题之间的逻辑关系，进而通过思考揭示此逻辑关系。高中数学教师值得注意的，高中生数学解题过程是否可以合理有效的使用解题策略，主要的是是否可以灵活运用所学的数学知识进行进一步的推理。

3.3教师应正视高中生数学解题的错误

高中数学教学过程中，部分高中数学教师害怕学生出现解题错误，因此对数学解题错误采取严厉禁止的态度，在这种害怕学生出现解题错误的心理影响下，教师就会忽视讲解数学知识形成的过程，只注重教给学生正确的结论，长此以往，这种教学方式造成学生接受的数学知识的片面性，使学生面对解题错误缺乏心理准备，甚至于不清楚数学解题错误的来源。所以教师应在数学教学过程中正视学生数学解题的错误，可以合理利用学生的解题错误当作数学教学案例，防止其他学生犯同样的数学解题错误，使学生正确认识数学解题错误原因，巩固完善所学数学知识，进而使学生的数学思维具有严谨性。

4小结

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[关键词] 导数 高中数学 合理应用

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0000

导数是高考出题的热点，这让教师和学生对导数学习的意识也逐渐加强.导数在数学教学中的引入，加深了学生对函数的理解，激发了学生的创新思维，同时引导学生将导数解题的方式运用到实际生活中去，并且对激发学生学习数学的积极性有一定的作用.所以导数是数学教学中有利的辅助工具.注重引导学生用导数进行解题，并且能熟练掌握已成为数学教学的教学目标之一.

一、导数在代数中的应用

导数不是很复杂难学的知识，只要将公式、法则、性质牢记于心，多做练习，自然就能熟练应用.运用导数求极值一般有固定的解题步骤：首先求出f′（x）的根值，根据所得数值，确定根两侧的函数单调性，再根据单调性呈现出来的递增或递减状态，得到相应的最大值或最小值.如果两侧单调性相同，则说明此根处没有相应的极值.

例如，用导数求函数f（x）=-x3+3x2+9x在单调区间[1，5]上的最大值.

解： 函数f（x）的导数为f′（x）=-3x2+6x+9，所以在区间（-1，3）上是单调递增的，即f′（x）>0.在区间（-∞，-1），（3，+∞）上是单调递减的；对于区间[1，5]在[1，3]的范围内f′（x）>0，即是递增，在[3，5]范围内f′（x）

这类题目在高中是常见的基础题型，在某一区间内求取极值的问题，根据导数的定义，在区间内如果两侧符号不同，那就说明这个区间存在极值，以此为根据，有清晰的解题思路，就能快速地解出答案.

二、导数在几何中的应用

导数在几何题目的解答上都能使解题变得更高效简单.学生在导数知识章节的学习中，对于导数的公式和两个函数之间的四种求导法则，可以不用加以过多的证明，但一定要将公式和法则熟记于心，在遇到难题时，能够正确使用相应的步骤和法则.学生在导数知识的学习过程中，也要注意适时的进行总结，对知识有一个连贯性.注重知识的全面运用，可以提升学生自身的综合学习能力.

导数在几何解题的应用也可以有效地提高解题效率.比如常见的给出某M点坐标和曲线c方程，求出最终的切线方程.解题基本上也是有固定的步骤：首先确定M点是否在相应的曲线c上，另外要求得相应的导数f′（x）；根据题目的实际情况会得出不一样的数值，然后结合导数知识根据具体的情况运用相应的方程公式.如果点在曲线上，那么需要用的方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果点不在曲线上，那么需要用到的方程为y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此为根据，得出具体的x1的值，这样就能求得切线方程.

在几何题目的解答中，合理的应用导数可以使计算方法变得更加简单，通过这种方式可以提高数学题目解答的效率.在高中数学中我们经常会遇到坐标系中切线方程求解.一般的题目都是给出曲线外的一个坐标点，让学生来求解过这个点的曲线的切线方程，这些题目的解答都是通过导数来实现的.

例如：已知一条直线p：x+4y-4=0，以及曲线y=x4，直线p与曲线的一条切线n相互垂直，求切线n的方程.这是一道典型的采用导数来进行解答的曲线切线题目.在解题的过程中，我们要对题目所给的信息进行分析，根据直线x+4y-4=0与切线n相互垂直这一信息，来计算出n这条直线的斜率，然后再求出曲线的导函数.当导函数取具体值的时候，我们就可以将其对应的点坐标求出，这样就可以根据斜率和点的坐标来得出直线的方程.具体解题步骤为：y=x4，求导结果为y′=4x3，直线x+4y-4=0的斜率为-1/4，那么与这条直线垂直的直线n的斜率就是4.我们令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，这条直线与曲线的交点，也就是切点的位置就是（1，1），那么对应的切线方程就为y-1=4（x-1），即为y=4x-3.

学生要想在数学解题中很好地应用导数，必须是建立再对导数的概念、性质以及法则等有深刻理解的基础上的.通过导数典型性的应用，可以使一些题目变得一题多解，帮助学生对各个知识点有更加深层的掌握，并在此基础上选择较为简单的方法，更好的解决问题.

总之，导数在高数解题中的运用，有效地帮助学生更快速地解答难题；在有些包含导数、方程组、数列等方面的综合题目，通过使用导数进行解题，可以考察学生的综合思考能力，提高高中数学教学有效性.

[ 参 考 文 献 ]

[1]吴龙福.例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用[J].数学大世界：教师适用，2012，（11）：62-62.

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关键词：高中数学；数学思维；培养

在高中学习中最重要的课程之一就是数学，它不仅在高考分数上占很大比例，在题目上也愈发新颖多样，如何适应高中数学题型愈加灵活的变化，是教师需要重视的问题。对于这种情况，本文将分别从高中数学教学中培养学生解题能力的重要性和在高中数学教学中培养学生解题能力的方法两方面进行阐述。

一、高中数学教学中培养学生解题能力的重要性

高中数学是一门知识点多并且零散的科目，由于教学主要为了提高分数，因此在实际教学中只讲题目本身而不去引申为讲同一类型题目，十分缺乏对学生的数学思维的培养。学生在解题中往往只会教师教过的题，却对同一类型其他题不知如何求解，因此教师在教学中更应注重学生数学解题能力和数学素养的培养。

二、在高中数学教学中培养学生解题能力的方法

（一）从审题方面入手

审题是否认真是能不能进行正确解题的第一步，也是很关键的一步。审题中要抓住已知条件、未知条件以及所求的答案。审题的关键就在于理解题意，弄清题目的结构，并且挖掘题中的隐含条件。很多学生在解题时出现的错误，主要归结为审题能力培养的不够。正确的审题方式，有助于开阔解题思路，理清解题顺序。从另一方面来说，认真审题的目的就是发掘题目中的隐含条件。例如，已知向量a=（√3，1），b不是平行x轴的单位向量，且a×b=√3，则b等于？分析：b是单位向量，这是一个隐含条件，说明向量b的模为1即√（x^2+y^2）=1。那么接下来就很好求了，a×b=√3×x+1×y=√3和√（x^2+y^2）=1联立，求出的x，y即是b的坐标。只有不断审题才能对做题有正确的思路，因此加强审题能力是培养学生解题能力的基本方法。

（二）从数学概念入手

数学概念是通过观察、感知、探求与概念相关的事物，引入概念模型，探究模型属性，并通过分析、比较、抽象出其本质特征，来定义科学概念，在最后概括、归纳、反馈概念系统来得出的。而运用数W概念解题，则是直接把高中数学课本的知识拿出来运用到解题中去。高中数学的定理、法则和性质都是可以通过高中数学书上的公理演绎出来的。因此，用知识点的直接套用来解题，是数学解题方法里最直接、最简单的方法，同时也是学生最容易忽视的方法。例如，函数的单调性、周期性、奇偶性判断的问题，都可以通过直接套用数学概念的方式来解题。

（三）从函数与方程相结合的解题思路入手

函数的思想核心就是从函数关系里的相关性质、图形出发，进而对这些图形和性质进行分析。简单来说，就是将方程问题转化为函数问题，这样可以根据函数图像、性质的判断为求解提供条件，从而简化问题。例如，已知关于x的分式方程（a+2）/（x+1）=1的解是非负数，则a的取值范围是多少？解析：去分母，a+2=x+1；因为x≠-1。a≠-2，x=a+1≥0；所以a≥-1且a≠-2。因此，根据高中的知识点，函数与方程相结合的解题思路可以归纳为两部分，一是熟练掌握函数的全部性质，包括函数的单调性、图形变化、周期性、最值等等；二是要重视一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式等的问题。

（四）从数形结合的解题思路入手

通过运用图形与数量相结合的方法，能清晰地理解题中的已知条件、未知条件以及所求答案各种对解题有用因素，能对原题中代数的意义有着精确的理解，并且还能对原题中相关数据的几何含义有所了解并能在脑海中形成形象直观的图形，从而能够高效快速的找到最优的解题方法。对于需要解决的数学问题，当找到合适的解题思路之后，是运用图形的简洁直观来解析数字的复杂难懂，还是通过数字的逻辑缜密来表达图形所不能表达的局限性，或者两者在同一题目中结合运用，在保证图形信息和数字信息两者等价转化正确的前提下，要看那种途径更加简单易懂，更加便于解题者理清逻辑关系，从而能更加准确快捷地解题。在一定意义上来说，通过对比运用数形结合所解答出答案的简洁程度，也反映出学生对数形结合思想的理解能力强弱。而在目前的高中数学中，主要是对数量关系和空间关系进行探讨。例如，在数轴中，数轴上的各点与实数一一对应，在平面直角坐标系中，坐标平面上的各点实数一一对应。

（五）从分类讨论的解题思路入手

此类问题要求学生深入研究题目所要表达的对象有什么性质和特征，然后对这些性质和特征进行分类讨论，这对于学生的知识掌握程度要求的十分严格，需求学生广泛的数学知识。学生在高中运用分类讨论的解题思路主要是两种。 1.在函数中的分类讨论

学生在高中阶段遇到的函数问题大多是含参数的，而在含参数的函数问题中，参数值的量变往往会导致结果发生变化，想得出更加完整具体的答案，就必须对参数进行分类讨论。

2.在不等式中的分类讨论

不等式求解在高考数学中占有很大比重，而对不等式求解题的关键是分类讨论的正确应用。例如，解关于x的不等式√（x2-4mx+m2）>m+3。解：原不等式等价于|x-2m|>m+3；当m+3>0即m>-3时，x-2m>m+3或x-2m

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关键词：高中数学;有效提问;运用策略

伴随我们国家教育的不断优化，高中数学课堂的有效提问也成为人们当前所关注的重要问题。在新时代的背景下，高中数学老师要优化有关教学的方法，同时激发起学生学习的源动力，设计课堂提问环节，最大限度调动起学生学习的积极性并提升教学质量。针对现有的{中数学课堂教学中的有效提问情况进行分析，同时为同中数学课堂教学中实现高效提问提出有效的解决办法。

一、有效提问在高中数学教学中的重要意义

有效提问是高中教师在数学教学中经常运用的方法，事实证明它的应用也取得了很好的教学效果。在高中数学教学中，学生常常会面对很多数学问题，但是很少有人关注这些数学问题是怎样设计出来的，它们有着什么样的深层含义，通过借鉴和解决这些数学问题，他们能够从中得到什么经验和教训等。而这些恰恰是有效提问必须要解决的问题。一个好的问题能够激发学生的好奇心和求知欲，牵动学生一步步通过自己的理解和分析，去发现其与相关数学知识的联系，并运用自己的知识积累和逻辑分析能力，来最终解决问题，得出正确答案。在整个过程中，学生不仅能收获了更多的知识和解题方法，还能使得自己的读题能力、逻辑分析能力以及解答题目的能力在一个有效提问的牵引下，得到有效提升。有效的提问能够吊起学生的胃口，让他们由出于对题目的好奇和对答案的渴望，自觉地寻找出解决问题的方法和途径。有效提问能够激励学生发挥他们的主观能动性，开动发散性思维，对题目进行谨密的逻辑分析，通过步步推导，在不断的假设和检验的过程中，得出正确的答案。这是对学生解题能力的考验，也是对教师设计题目的考验。一个有效的提问不亚于教师的苦心督促，它可以激发学生的学习热情，鼓励他们克服困难，自觉自愿地对题目进行解析。学生为了解决题目，会不断地增加自己的知识积累，学习更好的思维方法，从而提高自身的数学解题能力，培养数学思维，提高学习效率。因此，教师在高中数学教学中，要重视对有效提问的应用，从各种经典的数学题目的设置中，去寻找有效提问的方法，应用有效的提问来提高教学质量。

二、高中数学课堂有效提问的策略

1.情境提问

在高中数学课堂上引入有效提问，要注重提问的方法，因此教师通过对课堂教学形式的有效设计，进行情境创设，提出本堂课程相关问题，能够大大增加学生对问题的认可程度，同时能够提高对学习的兴趣，从而积极的参与到学习活动中来，努力进行思考。例如，在利用二分法求方程近似解这一课程当中，教师可以为学生设立一个情景，通过选中两个学生来做游戏，猜测一件物品的具体价格，首先猜中的价格为1至100，再逐渐缩小价格区间，逐渐距离正确的价格相近。通过这样一个情境的设立，能够有效吸引学生的学习兴趣，在游戏过程中还能够体会到二分法应用的数学思想，从而加深对课程的理解，提高对课程的认识。

2.根据学生的认知水平进行问题的创设

在高中数学教学课堂上，为学生提出的问题，要能够贴近学生的理解范围，太高难度的问题会使学生产生学习数学的恐惧，从而不愿意学习数学，过于简单的问题又不利于学生的成长和进步。问题要能够针对当堂课程的内容，例如，可以用观察的方法，使学生自己进行观察，在学习等差数列的过程中，学生观察一组组的数字，容易产生直观的感觉，从而对等差数列有更深刻的认识。

3.教师要调整课堂问题的密度

课堂有效提问能否成功不是看提了多少问题，而是看提出的问题是否引起学生积极思考的欲望，从而让学生发现问题，分析问题，解决问题。如果教师的问题过于频繁，就会引起学生的反感，学生无法快速地反应教师的问题，精神处于高度紧张的状态，就会引起思维疲劳，不利于学生深入思考问题。但若提问过少，则调动不了课堂气氛，缺少师生之间的交流与互动。可见课堂的有效提问既不能太多也不能太少，在合适的时机提出适度的问题，才能发挥更好的作用。

4.结合时事，设计生活类题目

高中数学教师在设计有效提问的时候，要注意与当前的时事新闻、热点问题相结合，或者是与学生的社会经验和生活经历相结合，以发生在我们身边的故事为背景，设计一些与我们的生活紧密相关的问题，以此体现数学问题与现实生活的联系。这样的问题设置可以激发学生的共鸣，可利用学生对问题背景的关注，来引发学生的思考。通过对现实事件的设置和引入，学生会对提问更加感兴趣，希望去探讨其中所蕴含的数学意义和经济意义、社会意义等。教师设计生活类题目，一方面体现了数学的实用性，有助于让学生感受到数学的强大功能从而爱上数学;另一方面，教师通过生活类题目，消弭了学生对数学的陌生感，让学生学会了从数学的角度观察身边的世界，分析事件背后的数学原理，增强了数学的应用能力。

5.问题应具开放性、创新性，以培养学生数学思维、发散思维

传统高中数学课堂教学中，教师所提出的问题普遍为记忆型的问题，极少提出一些开放性问题，将学生思维限制在一些条条框框中，不仅不利于学生发散思维、创新思维的养成，也不利于学生数学能力培养。因此，高中数学课堂有效提问，须教师适当的提出一些开放性较强的问题，开展教学活动对一些开放性问题进行研究、讨论、总结，进而在思考、交流过程中激发学生主动探究数学知识的兴趣，鼓励学生进行问题拓展和引申、阐述自身观点，以提高学生数学能力、思维能力、创新能力，提高课堂提问实效和数学课堂教学效果。

综上所述，高中数学课堂中有效的提问，能培养学生独立思考的能力，激发学生的学习兴趣，有效发展学生的智力。教师要在平时的教学中不断探索，优化课堂提问模式，切实提高高中数学的教学质量，培养学生不断探索和学习的能力。

参考文献：