排列与组合范文
时间：2023-04-12 03:17:52
导语：如何才能写好一篇排列与组合，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
数学是一门训练思维的学科，中学阶段学习数学，主要是通过例题引进有关概念，性质等，“排列与组合”一章对学生思维训练是至关重要的。因而教师在例题的选取上是值得研究的，所选的题目不但要具有典型性和代表性，还要有内在联系及其变化，这样便于对问题进行联系比较，对知识的理解也就更加深刻透彻，有利于培养学生深入钻研教材的良好学习习惯。
排列与组合一章的概念、性质、公式的灵活应用都需要较高的抽象思维能力，关于它们的应用题往往具有以下特征：（1）题目的条件往往很隐晦，一般这种有约束条件的应用题情况较复杂且较抽象，（2）答 数较大，不便作直接检验，难于鉴别是否正确。要使学生达到“能懂、会用”的目的，必须配合适量的例题。
一、排、组应用题
1、排列应用题
（1）定位问题：某个（些）元素必须在某个（些）位置上，或某个（些）位置必须排某个（些）元素，应先排特殊元素或特殊位置。
（2）缺位问题：即某个（些）元素不能排在某个（些）位置上，这类问题可采用直接、间接两种办法。
（3）相邻与不相邻问题：相邻问题可用“捆绑”法；不相邻问题可用“插空法”。
2、组合应用题
（1）“至多、至少”问题
这种问题中元素常分为两种不同属类；其中某一属类中至多（少）有几个元素入选，应把所有情况按某一属类元素的入选个数进行准确的分类或采用间接法。
（2）几何中的组合问题
（3）分组分配问题
二、夯实基础，深刻理解两个原理
加法、乘法原理是学习排列组合的思想基础，又是分析、解决问题的主要依据；加法原理中的“方法间的独立、不相容性”可结合例题理解。乘法原理中“步骤与方法间的相依、不相交性”亦应很好理解。
典型例题
（1）双基的训练
例1.解方程=P42n+1=140P3n
分析：必须注意到2n+1≥4且n≥3.n∈N
例2.已知Pmn=120Pmn+1=360，求n，m
分析：考虑Pmn=n.（n-1）…（n-m+1）特征。
Pmn=120=5·4·3·2=6·5·4=P36=P45
Pmn+1 =360=6·5·4·3=P46 n=5，m=4
例3.计算：C15+C25…+P55
分析一：逐个计算原式=31
分析二：利用公式Con+C1n…+Cnn=2n
（2）培养思维的广阔性、灵活性和深刻性
例：某学生有语文书8本，数学书6本，外语书3本，（每本书不同）按要求完成以下问题：
1、（1）从上面三类书中任取一本，有几种不同取法？
（2）从三类书中各取一本，有几种不同取法？
分析：两小题仅一字之差
（1）C18+6+3=17 （2）C18C16C13=144
2、（1）把语文书排在书架的一层上，有几种不同摆法？ （P88）
（2）把语文书中选5本摆在书架的一层上，有几种不同摆法？（P58）
3、（1）把语文书摆在书架一层上，但甲不在最左边，有几种不同摆法？
（2）把语文书摆在书架一层上，但甲不在最左，乙不在最右，有几种不同摆法？
分析：这是特殊元素，特殊位置排列
（1）P17P77（2）P88+2P77+P66或P77+P16P16P66
4、（1）把语文书摆在书架两层，第一层5本，第二层3本，有几种不同放法？
（2）把语文书摆在书架两层，有几种不同摆法？
分析：
（1）分步P58P33或P38·P55
（2）8本书摆在两层和摆在一层进行全排列是一样的。
5、（1）把三类书摆在书架的同一层，要求同类在一起有几种不同摆法？
（2）把三类书中两类摆在同一层，要求同类在一起有几种不同摆法？
分析：（1）捆绑法 P33（P88P66P33）
（2）分类：P22（P88P66+P88P33+P66P33）
6、（1）在三类书中仅取2本，有几种不同取法？
（2）在三类书中各取2本，有几种不同取法？
分析：（1）C28+6+3=136 （2） C28·C26·C23=1260
7、（1）语文书中选5本摆在书架的一层上，其中一定要有书甲
（2）语文书摆在书架的两层上，第一层5本，其中包括甲、乙第二层3本。
以上两问分别有几种不同摆法？
分析：（1）C47P55（2）C35P55P33
8、（1）把语文书摆在架上一层的5个空档中，每个空档放一本。
（2）把语文书摆在书架一层的15个空档中，每个空档放一本。 它们分别有几种方法？
分析：利用分步法
（1） P58或C58P55（2） C815P88或P815
9、（1）把语文书平均分给2人，有几种不同分法？
（2）把语文书平均分成2堆，有几种不同分法？
分析：（1）可让一人先取4本，余下的给另一人。
C48C442！·2！=70，或C48=70
（2）C48C44P22=35小结：
1。.均匀分组：
有n个人分成m组，每组r人，共有CrnCrn-r∧Crr/m！（种）
2。均匀分书：
有n个不同书分给m个人，每人r本，共有CrnCrn-r∧Crr（种）
10、（1）从语文书中取4本，数学书中取3本，外语书中取2本，分类放在书架的一层，有几种不同放法？
（2）从语文书中取4本，数学书中取3本；或从语文书中取4本，外语书中取2本，分类放在书架的一层，有几种不同的法？
分析：
（1）分步排列：（P48P36P23）P33
（2）分类、分步排列：P48P36P22+P48P23P22
11、（1）若8本语文书有3本相同，排在书架的一层上有几种不放法？
（2）把语文书放在书架的6层上，每本书可以任意放在某一层，有几种不同放法？
分析：
（1）3本不同书有3！种排法，若3本相同，则只有一种，本题可按相异元素排列，再除以3！，共有8！3！=6720种
篇2
关键词：数学教学；排列与组合；顺序
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）23-0139
在排列组合问题中，由于元素的顺序已定，即使是“没有差别的元素”，但由于其顺序不同，导致这些元素也应该看作不同的元素；如在进行的十次射击中，第一枪、第二枪都命中目标，但由于它们的顺序不同，故应看作不同的元素；在解决这些与顺序有关的计数问题时，可用排列、组合的常规模型进行求解，但在求解方法种数时，由于受到顺序的影响，可根据实际情况灵活运用排列、组合的常规模型。
一、排列与组合在与顺序有关的问题中的区别
例1. 飞碟（隶属射击项目），是奥运会射击比赛项目之一，由于其近似狩猎活动，趣味性强，深受人们的欢迎。某人在飞碟射击项目中射击8枪，命中4枪。
（1）命中的4枪中有恰好有两个两枪连续命中（不能出现四枪连续命中），有多少种不同的情况？
（2）命中的4枪中有且仅有三枪连续命中，有多少种不同的情况？
分析：（1）因为是两枪连续命中，可把连续命中的两枪“捆绑”在一起.由于两个“捆绑”在一起的“大元素”不相邻，可以采用插空法解决问题，但由于射击的顺序已定，不需对没有命中目标的射击（即不受限制的元素）再进行排列，又由于“捆绑”在一起两个的“大元素”之间没有差别，属组合问题；（2）解法同（1），但由于“捆绑”在一起的“大元素”与另一命中目标的一枪不相同，属于排列问题。
解：（1）把两个连续命中目标的两枪“捆绑”在一起，形成两个“大元素”，且这两个“大元素”不相邻，使用插空法。命中目标的4枪除外，还剩没有命中目标的4枪。
第一步，这剩余的4枪都是没有命中目标，元素相同，其排法只有一种；
第二步，把两个相同的“大元素”插入已经排好的4枪形成的5个空中，有C2种插法。
（如图所示，
如选中第一、第三个空位，则相当于第1，2，5，6枪命中目标）
根据分步乘法计数原理，其所有情况数有C2=10种。
（2）把连续命中目标的三枪“捆绑”在一起，形成一个“大元素”，且这个“大元素”与命中目标的另一枪不相邻，使用插空法，命中目标的4枪除外，还剩没有命中目标的4枪。
第一步，这剩余的4枪都是没有命中目标，元素相同，其排法只有一种；
第二步，把“捆绑”在一起的“大元素”和命中目标的另一枪共两个不相同的元素，插入已经排好的4枪形成的5个空中，有A2种插法。
（如图所示，
如选中第一、第三个空位，则相当于第1，2，3，6枪命中目标）
根据分步乘法计数原理，其所有情况数有A2=20种。
点评：本题实际上还是考查了不相邻问题，对于不相邻问题，我们往往利用了“插空法”使问题顺利地解决。
二、与顺序有关的最短距离问题
例2. 如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从A点到B点的不同路径之中，最短路径有多少条？
分析：从A点走到B点最短路线的做法，即只能向右或向下走，且只能走7步。这7步的顺序一定，向同一方向的可看着相同元素，所以只要在7步中确定哪些步向下即可解决问题。
解：总揽全局：把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，
因此，本题的结论是：C3=35。
点评：观察分析并能通过分析得出解决问题的模型是解决此类问题的关键。
三、可转换为与顺序有关的排列组合问题
例3. （1）在连续自然数100，101，102，……999中，对于0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有 个。
分析：要完成这件事情需分两大步，第一步，从0到9这十个数字中选出三个不同且不相邻的数字，第二步，把选出的数字按递增或递减的顺序排列。难点在于第一步，但我们可以先借鉴例1的经验解决此问题。
解：第一类，选出的三个数字中含有“0”。
第一步，从剩余的9个数字中选出另两个数字，如图所示，
从可插空的8个位置中选出2个（如选第一、第五个空相当于选择数字1，5）共有种选法；
第二步，由于有数字“0”，所以只能按递增进行排列，各组数字各有一种排法，
根据分步乘法计数原理，可得含有数字有“0”且满足题意的数字共有C2×1个。
第二类，选出的数字不含数字“0”
第一步，从剩余的9个数字中选出另三个数字，如图所示，
从可插空的7个位置中选出3个（如选第一、第二、第五个空相当于选择数字1，3，7）共有C3种选法；
第二步，选出的数字按照题意有递增和递减两种排列方法，
根据分步乘法计数原理，可得含有数字有“0”且满足题意的数字共有C3×2个。
根据分类加法计数原理，可得满足题意的数字共有C2×1+C3×2=98个。
篇3
关键词：不定方程；排列组合；综合应用
在排列组合的问题中，我们常常会碰到把若干相同的元素分成几组，每个组至少要有一个元素，问分法数有几种？其问题的实质就是用隔板法求排列组合数的问题.隔板法中强调的是每组元素的个数，而与每组包含哪个元素无关.
常见的隔板法问题如下：
例1 （1）6本完全相同的书分给4人，每人至少1本，有几种分法？
（2）6本完全相同的书分给4人，允许有人分不到书，有几种分法？
分析：（1）可以设想把6本书排成一排，要分成4堆，可以想象成用了3块板插到5个空位中，第一块板之前的为第一个人得书数，第一块板和第二块板之间的为第二个人得书数，第二块板和第三块板之间的为第三个人得书数，第三块板以后的为第四个人得书数，故排法数有C■=10种.
（2）可以在（1）的基础上，将“允许有人分不到书”与“至少有一本”建立一一对应关系，由“0”个变为“1”问题等价于有10本相同的书分给4人，每人至少有一本，即分法数有C■=84种.
我们可以将上面两种问题归类，可看成隔板法的两种基本模型.
模型1 不定方程x1+x2+…+xn=m. （m，n∈N*，且m≥n≥1）的正整数解（x1，x2，…，xn）的个数.
分析：正整数中最小值为1，即至少取1，故解的个数有C■种.
模型2 不定方程x1+x2+…+xn=m（m，n∈N*，且m≥n≥1）的非负整数解（x1，x2，…，xn）的个数.
分析：由0≤x1，x2，…，xn≤m. 不妨令x1=y1-1，x2=y2-1，…，xn=yn-1，则y1+y2+…+yn=m+n，其中1≤y1，y2，…，yn≤m+1，即原不定方程的非负整数解即为不定方程y1+y2+…+yn=m+n的正整数解的个数，即C■.
然而，在我们经常碰到的问题中，每组的数目要求不尽相同，且被分的元素又要区别对待，该如何根据实际情况分组呢？建立在以上两个基础模型的基础上，我们可以这样解决此类问题.例如：
例2 （1）8名男生与25名女生排成一列，任意相邻两名男生之间至少有两名女生的排法有多少种？
（2）8名男生与25名女生沿圆周排成一圈，任意相邻两名男生之间至少有两名女生的排法有多少种？
分析与解法：（1）首先将8名男生排成一列，共有Α■=40320种. 8个男生之间可产生9个空格，为求女生的排法，先将这些空格所排的女生依次记为x1，x2，x3，…，x9，显然有x1+x2+x3+…+x9=25.
依题设，x1≥0，xi≥2（i=2，3，…，8），x9≥0，女生插空方法数对应着方程x′1+x′2+x′3+…+x′9=20的正整数解个数为C■.而每一种插空方法对应着女生的A■种排列，所以所求的排法数有：C■Α■A■种.
（2）首先考虑将8个男生排成一排，共有Α■种排列方法，先将排列好的8个男生身后再排上若干个女生，将排上的女生数依次记为x1，x2，x3，…，x8，显然x1+x2+x3+…+x8=25，其中xi≥2（i=1，2，…，8）.由前面的例子可知，方程合乎要求的解有C■组，对于每一组符合要求的解对应着A■种女生的排列组成圆排列时，方法种数一共有：■・C■A■A■种.
问题的拓展：把1996个女生和10个男生排成一列，自左至右每相邻两个男生之间分别至少有4、5、6、7、8、9、10、11、12名女生，问有多少种不同的排法？
分析与解法：首先将10名男生排成一排共有A■种排法，10个男生之间可产生11个空格，为求女生的排法，先将这些空格所排的女生依次记为x1，x2，x3，…，x11. 显然有x1+x2+x3+…+x11=1996.
依题设，x1≥0，x2≥4，x3≥5，…x10≥12，x11≥0，女生插空的方法对应着方程x′1+x′2+x′3+…+x′11=1996+2-（3+4+…+11），
篇4
关键词：排列与组合；分类加法原理；分步乘法原理
关于排列与组合问题的解决是要讲究方法和策略的。首先，要认真审题，弄清楚是完成“什么样的一件事”。其次，要分析出完成的“这件事”是属于哪一类排列与组合问题，即先从整体上给出一个定性的分析。最后，要思考“怎样完成这件事”：结合各类排列与组合问题其特有的解题策略和两个计数原理即分类加法、分步乘法计数原理进行计数。一个排列与组合问题解决的对与错还应该注意以下两点：首先，思考、分析、解决问题要做到不重复、不遗漏，要缜密、要全面。其次，分析清楚某一问题是排列还是组合，还是先组合后排列。区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。高中数学中遇到的排列与组合计数问题主要可以归纳为以下六类，而每一类都有着特有的解题策略与方法。下面我们借助具体的例题进行讲解。
一、“含特殊元素”的排列组合问题――采取特殊元素优先考虑法
例1.现从甲、乙、丙等6名工人安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两人中安排，则有多少种不同的安排方案？
解：此题中有两个特殊位置，第一道工序和第四道工序。一个特殊的人――“甲”。所以可以考虑先从甲入手，甲的位置有三类，然后再考虑第一、四道工序的安排。
第一类：甲在第一道工序，这时有C11・C11・A24=12（种）排法；第二类：甲在第四道工序，这是有C11・C11・A24=12（种）排法；第三类：甲不在第一道工序也不在第四道工序，这时有C11・C11・A24=12（种）排法。利用分类加法计数原理知，总共有N=12+12+12=36种不同的分配方案。
变式1：有3名男生，4名女生，求全体排成一排，甲不站排头也不站排尾，有多少种不同的排法？
解：“甲”元素受限制、比较特殊优先排。先排甲有A15=5种排法，再排其他人有A66=720种排法。根据分步乘法计数原理，共有 种排法。
二、“含相同元素”的排列组合问题――采取给为相同元素找位置的方法
例2.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，有多少种不同的排法？
解：此题同色球不加以区分，导致有相同元素，排列时相同元素间无顺序之分，因此相同元素按组合问题选位置。
分三步：第一步，排2个红球，有C29=36（种）排法；第二步，排3个黄球，有C37=35（种）排法；第三步，排4个白球，有C44=1（种）排法.利用分步乘法原理，总共有N=36×35×1=1260种排法。
变式2：把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是多少？
解：此题实质是“含相相同元素”的排列问题.考虑“e、o、r、r、r”排成一列共有C15・C14・C33=20排法，其中拼写正确的只有1种，所以把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错有20-1=19种。
三、“元素相邻型”的排列组合问题――采取“捆绑法”，即将相邻的元素视为一个整体参与其他元素的排列，同时注意捆绑元素内部排列
例3.有3名男生，4名女生，求全体排成一排，女生必须相邻有多少种不同的排法？
解：先把4名女生合在一起看作一个元素，和3名男生参加全排列共有A44=24种排法，然后4名女生局部排列共有A33=6种
排法，根据分步计数原理，共有N=24×6=144种排法。
四、“元素不相邻型”的排列组合问题――采取“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
例4.有3名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻有多少种不同的排法？
解：4名女生不受限制，则先排4名女生有A44=24种排法，然
后将3名男生插入4名女生产生的5个空档中，有A35=60种排法。根据分步乘法计数原理，共有N=A44・A35=1440种排法。
变式3：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有6架歼-15飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须前后相邻，而丙、丁两机不能前后相邻着舰，那么不同的着舰方法有多少种？
解：“相邻与不相邻”的混合型问题，捆绑法和插空法相结合。设其他两机为A，B。先将甲、乙合在一起看作一个元素，和A，B参加全排列共有A33=6种排法，然后甲、乙局部排有A22=2种排法，最后将丙、丁插入甲、乙合在一起看作一个元素和A，B产生的4个空挡中，有A24=12种插入法。由分步乘法计数原理N=A33・A22・A24=144种方法。
五、“分堆型”的排列组合问题――需要注意辨别是“平均分组”还是“非平均分组”
平均分组型是指把k、n个不同元素平均分成k组，每组n个元素，共有■种不同的分法，其特点是每堆的个数相同。
非平均分组型是指n个不同元素分成个数为n1，n2，L，nk的k堆，其中n1≠n2≠n3≠L≠nk，n1+n2+L+nk=n，有Cn1n・Cn2n-n1・Cn3n-n1-n2・L・
Cnknk种不同的分法，其特点是每堆的个数都互不相同。
例5.六本不同的书，按下列要求，各有多少种不同的分法？
篇5
智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．
据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合P概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．
排
列
、
组
合
概念
从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.
专题一
算法
在解释P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由P1n或C1n组成的算式来解答）．
专题二
排列数公式与计算
专题三
组合数公式、计算与性质
应用
用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.
专题四
用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．
专题五
用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．
专题六
图1
于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．
2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性
运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．
因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．
排
列
、
组
合
概念
排列、组合的概念
算法
算法原理、计算公式
应用
解排列、组合问题
图2
值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．
3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性
如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．
按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．
（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．
（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．
1．调整教材内容顺序，加强认知结构的层级性智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认
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（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．
4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性
我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．
于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：
（1）排列与组合的判定标准（见前文）．
（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．
（3）排列数公式的特征（略）．
（4）组合数与排列数的关系（略）．
（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：
①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．
所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．
②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．
处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．
③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．
解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性
智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．
所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．
在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．
为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．
（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．
（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．
一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．
错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．
故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
错解：由分步法得C12C299＝9702（种）．
略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．
参考文献
1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990
篇6
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2013）24—0086—02
数学具有高度的抽象性，排列组合就充分体现了抽象的特征。解排列组合的应用题对学生思维能力的要求比较高，是中学数学教学的难点之一。因此，排列组合的复习教学，教师要对教材内容进行细致分析，选取行之有效的教法，多角度、多方位、多层次地训练和培养学生思维的灵活性，进而提高复习的效率。笔者认为，复习时教师应重视以下三个环节：抓关键、理思路、重分析。
一、 抓关键
解决带有附加条件的排列问题的关键是会处理“在与不在”的问题，即就是某种特殊元素在或不在某个特殊位置的问题。与排列的情况类似，解决带有附加条件的组合问题的关键是会处理“含与不含”的问题，即就是某种特殊元素含或不含在所要求的组合中的问题。
例1 学校举行田径运动会，要从7名学生中选出4名组成4×100米接力队，其中甲、乙两人都不能跑中间两棒的不同安排方法有多少种？
分析：首先要明确7名学生中的哪4名参加接力赛，即从7名学生中选出4名学生组成4×100米接力队，与次序无关，属组合问题；其次是安排跑序，与顺序有关，属排列问题。故该问题属于排列组合的综合问题，分先选后排两步来完成。又甲、乙两人都不能跑中间两棒（受限元素或受限位置），故已选出的4名接力队队员，是否选甲、乙二人，是解决问题的关键。根据题意分析有以下三种可能，即甲、乙都没选上，只选上甲（或乙），甲、乙都选上。是否选甲、乙决定着跑序的安排，于是分三类考虑：
三、 重分析
根据解决排列组合问题的基本思路，其具体步骤是：分析题意——把问题中的哪些具体对象看作元素（如人、图形、数等），是排列问题，还是组合问题，或者是排列组合的综合问题；对“物”（元素）和 “事”（关系）的分析，分析完成这事件有几类办法，确定分类标准，合理分类，保证不重不漏；执行各类办法时又需进行几步才能完成，即以不同的特征对把完成一个事件的程序适当分步，分步要连续。确定解法——没有附加条件的排列或组合问题都可直接求解；带有附加条件的排列或组合问题有直接或间接两种方法。无论哪种方法，都要注意从不同角度，正、反两方面考虑同一问题，遵循“先组合、后排列，先特殊、后一般”的原则；列式计算——正确运用两个原理和两个公式。
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关键词：加法；乘法；排列；组合
一、加法、乘法原理混淆
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.
【例1】50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.
【错解】有（C34+C246）（C44+C146）=46575种.
【错因】分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.
【正解】分为两类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）C34C246种；第二类，有4件次品的抽法，同理有C44+C146种，最后由加法原理，不同的抽法共有C34C246+C44C146=4186种.
二、排列、组合概念混淆
界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是顺序，有序是排列问题，无序是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.
【例2】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有 种种植的方法.
【错解】有C34=4种.
【错因】3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题.
【分析】对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先组后排”.
【正解】有C34A33=24（或A34=24）种种植方法.
三、重复计数出增解
重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.
【例3】7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有 种.
【错解】排在排头的有除甲之外的A16种情形，排在排尾的也有除乙之外的A16种情形，两端排好后余下的排中间有A55种情形，所以不同的排法有A16A16A55=4320种.
【错因】排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5A55种情形.
【正解】减去重复数，应为A16A16A55-5A55=3720种.
四、思维不严密而漏解
【例4】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的站法有 种.
【错解】把A、B“捆绑”为一个元素（B在A的右边），与C、D、E一起全排列，有A44=24种站法.
【错因】审题不严，未注意到“A、B可以不相邻”而漏解.
【正解】按B的位置分为四类：B排第一、二、三、四位时的排法数分别是A44，3A33，2A33，A33，所以共有A44+3A33+2A33+A33=60种排法.
参考文献：
[1]管宏斌.排列组合常见错误剖析.考试：高考理科版，2008（01）.
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解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有(）
A．120种B．96种C．78种D．72种
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。
二、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）
（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种
分析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有种不同的选法，所以不同的选派方案共有=240种，选B。
三、插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
例3、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
分析：先将其余四人排好有A=24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有C=10种方法，这样共有24*10=240种不同排法。
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下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。
一、合理分类与准确分步法
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1.五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有( )
A.120种B.96种C.78种D.72种
由分类计数原理，排法共有A44+A33A31A31=78种，选C。
练习1. (89年全国)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个(用数字作答)。答案:36
二、混合问题“先选后排”
对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。
例2.4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种?
分析:因有一空盒，故必有一盒子放两球。1)选:从四个球中选2个有C42种，从4个盒中选3个盒有C43种;2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有种，故所求放法有C42C43A33=144种。
练习2.由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个?答案:有C43C32A55=1440(个)
三、局部问题“整体优先法”
对于局部排列问题，可先将局部看作一个元与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。
例3.7人站成一排照相，要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种?
分析:甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有C52种;这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有A33种方法，它的内部甲、乙两人有A22种站法，中间选的3人也有A33种排法，故符合要求的站法共有C52A33A22A33=720种。
练习3.四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种?
答案:A4424=384
四、元素间隔，分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。
例4.5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法?
解:先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有A55A43种。
注意:①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素;②数清可插的位置数;③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
练习4.4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种?答案:2A44A44
五、顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。
例5.6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种?
分析:不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66÷A33=120种。
练习5.要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法?答案:A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种
六、“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。
例6.四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种?
解:先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理，共有A42A22A33种。
练习6. 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种?答案:A22A44
七、构造模型 “隔板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。
例7.方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?
篇10
1、数学中的排列是指从给规定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
2、组合则是指从给规定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，将其组合，不考虑排序。
3、排列组合是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况的总数。
4、排列组合与古典概率论关系密切。
（来源：文章屋网 ）
