加法交换律和结合律范文

导语：如何才能写好一篇加法交换律和结合律，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

讲述：由猴年引发关于猴子“朝三暮四”的成语故事，引导学生思考――故事中的养猴人怎么样？猴子怎么样？为新课做好知识和心理上的铺垫。

【设计意图：运用趣味的导入方式，让学生从“朝三暮四”的成语故事开始就对本课产生浓厚的探究激情。本故事只是个引子，在教学过程中还会运用这个故事对本节课所学的内容进行“理”的说明。】

一、 探索加法交换律

1. 细心观察。

（1） 现场了解上课班级的男生、女生人数情况，引导学生提出加法问题。

（2） 用两种方法列式，并明确列式道理。

（3） 相机组合成加法交换律的等式。

（4） 引导学生自由列举加法中相似的例子。

（5）选择板书，让学生细心观察，尝试总结规律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

2. 提出猜想。

针对这种现象的描述，我们现在还只能把它当作一种猜想。虽然这个猜想对于这三道式子是成立的，但是如果我们把这里的数换成其他的两个数相加还能成立吗？

3. 验证猜想。

（1） 多样举例

鼓励学生继续举出多样性的例子验证猜想。教师相机引导选取典型的例子（如数据大小、不同类别）让学生分别试算（或借助计算器），验证算式的成立情况。

（2） 反面思考

有没有发现交换加数的位置，和发生变化的？这说明了什么？

（3） 模型解释

现在你能用发现的规律来解读“朝三暮四”的故事吗？如果用线段来分别表示两个数，那么这些等式可以怎样表示？能说明什么？

（投影显示：无论是用蓝色线段加上红色线段，还是用红色线段加上蓝色线段，总长度不变。）

（4） 得出结论

不管是通过计算来验证，还是用图形来验证，都说明了我们的猜想是正确的。谁能给这种现象取个合适的名字？（加法交换律）

在这一规律中，变化的是什么？不变的又是什么？原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。

（5） 符号表示

你能用自己喜欢的方式表示加法交换律吗？（结合课堂情况，及时说明：用字母a+b=b+a表示比较简洁）

（6） 联系旧知

屏幕出示“数的分与合”“一图两式”“加法验算”等知识，让学生寻找加法交换律的身影。

【设计意图：本环节由学生所在班级的实际情况入手，既排除了学生对数据的陌生感，又能使学生很快地进入到情景中去。孩子们通过“读”“上下对比”“左右对比”，用语言对发现的现象进行描述，并通过大量的例子来进行验证，验证时让学生充分地拓展自己的思维，学生即使想到没尝过的计算，也可以用计算器来进行验证，以实现学以致用。整个验证的过程努力实现从具体例证走向说理，让学生对自己发现的规律有本质的认识和深刻的理解。最后，一起对加法交换律进行总结，并通过动画带着学生回忆加法交换律在过去所学知识中的应用。】

二、 研究加法结合律

（一） 情境引入

1. 形成经验。

回顾刚才的学习，我们一起经历了“细心观察、提出猜想、验证猜想、得出结论”的探究过程，这也是数学家发现数学规律所要经历的一般过程。接下来我们就用这样的研究方法继续研究三个加数之间的规律

2. 进入情境。

（出示例题）让我们一起到运动场上去看一看。根据这幅图你能获得哪些信息？怎样列式计算？道理分别是什么？从计算的角度来看哪种更加简便？

3. 形成等式。

它们表示的意义相同，得数也相同，所以可以用等号把它们连接起来。

（二） 合作探究

1. 意义辨析。

读一读这道等式，比较一下等式的左右两边，它们有什么相同的地方和不同的地方？

2. 独立探究。

利用学习单，按照探究加法交换律的方法进行研究。

（三） 汇报交流

请一个小组分享学习过程，其他同学有不懂的可以提问，有补充的也可以提出来。

（四） 得出结论

引导学生概括：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，并尝试用符号表示： （a+b）+c=a+（b+c）。

（五） 解释结论

在这一规律中，变化的又是什么呢？不变的又是什么呢？（变化的是运算顺序，不变的是加数的位置和它们的和。）再结合旧知“凑十法”相加的不同方法和线段图示帮助学生理解。

（六） 新知总结

回顾前面的学习，我们运用细心观察、提出猜想、验证猜想、得出结论这样的方式一起研究了加法的交换律和结合律。想一想，这两个运算律之间有什么相同点和不同点？

【设计意图：授人以鱼，不如授人以渔，通过加法交换律的研究不仅一起经历细心观察、提出猜想、验证猜想、得出结论的过程，还使学生经历发现数学规律所要经历的一般过程。】

三、 拓展应用

1. 填一填。请根据加法交换律和结合律填空。

96+35=35++65=+35

130+（70+4）=（+70）+

（36+）+59=36+（41+）

2. 找一找。请把相同的算式放到同一个小房子里。（动画演示直接拖动）

思辨：（184+68）+32和184+（68+23）为什么不放到同一个小房子里呢？（36+）+59和36+（41+）为什么也不放到同一个小房子里呢？在方框里可以怎样填数呢？如果让你来计算这两道题你更愿意计算哪一道？为什么？

【设计意图：由练习填空到请同学们到大屏幕上利用现代信息技术拖一拖，再到观察比较，最后发现在解决实际问题时，两种运算律需要灵活地结合在一起。整个练习的设计既有层次性，又有趣味性和思维价值。】

四、 总结延伸

总结：今天的学习你有哪些收获？

延伸（电脑出示）：关于数学家高斯计算“1+2+3+……+99+100”的故事，让学生边看边思考，更深地理解加法交换律和结合律的独特价值：不管几个数相加，我们可以随意交换加数位置和改变运算顺序，使计算变得更加方便。

【设计意图：最后的总结引导学生进行大胆的猜想，能进一步深化对加法运算律的认识，发展应用意识，并通过高斯的例子，让学生试图通过学过的新知来解释，让学生学以致用。】

总评：

一、 整合教材，强化数学与生活的联系

本节课真正做到用教材，而不是教教材，灵活处理好数学与生活的关系。课前通过“朝三暮四”的故事进行课前谈话，看似要引入本课新知的学习，而教师却只把它作为课前学习氛围调动的催化剂，学生热情高涨时，教师又从班级实际情况出发，把学生熟悉的男生、女生人数作为本课新知探索的素材，让学生从已有的生活经验和知识背景出发，激发起学习的兴趣。当学生通过不完全归纳对加法结合律有“感知”时，又把课前的故事再次引入“说理”，让学生在自主探索的过程中体验身边的数学，强化了数学与生活的联系。

二、 经历过程，让数学课散发浓浓的数学味

本节课有意识地让学生运用已有经验，经历细心观察、提出猜想、验证猜想、得出结论的过程，在合作与交流中让学生经历从“感知”到“认知”再到“说理”的学习过程，在亲身经历中不仅合理地构建知识，也学会了数学研究的方法。学生从读等式到写等式，再到左右对比，上下比较，层层递进，引导学生进行大胆的猜想并进行验证。把计算器引入课堂，让学生的大胆举例有了保障，无论是“大数”“小数”等都可以进行验证，不仅帮助学生积累感性材料，丰富了学生的表象，而且让学生进一步感悟到加法交换律的普遍价值。线段图的引入更是使学生所学的知识得到了升华，从“认知”走向了“说理”。学生对加法交换律的探究过程，在数学思想和方法上都有所提升，从而使学生自主探究加法结合律有了保障。

篇2

教学内容：新人教版四年级数学下册教科书第17～19页内容，及相关试题。

设计理念：

在教学中，教师应充分利用学生已有的生活经验，让他们在已有的生活经验的基础上实现对数学的再创造，切实体验数学与生活的联系，让学生经历数学知识发生、发展和形成的过程，同时注重数学思想方法的渗透，通过猜想、验证、类比、归纳，提升学生的理性思维，提高学生应用数学思想方法解决实际问题的能力。

教材分析：

本节内容是在学生经过的四则运算学习，对四则运算已有较多认识的基础上，结合一些实例，学习加法的运算律。这是学习加法交换律的基础。教材安排这两个运算律都是从学生熟悉的实际问题的解答引入，让学生通过观察、比较和分析，找到实际问题不同解法之间的共同特点，初步感受运算规律。然后让学生根据对运算律的初步感知举出更多的例子，进一步分析、比较，发现规律，并先后用符号和字母表示出发现的规律，抽象、概括出运算律。教材有意识地让学生运用已有经验，经理运算律的发现过程，让学生在合作与交流中对运算律的认识由感性逐步发展到理性，合理地构建知识。

教学目标：

（1）通过尝试解决实际问题，观察、比较，发现并概括加法交换律、加法结合律。

（2）初步学习用加法运算定律进行简便计算，并用来解决实际问题。

（3）培养学生的观察能力、概括能力和语言表达能力。

教学重点：（1）能通过观察和分析概括出加法交换律和加法结合律的概念。（2）尝试用字母表示加法交换律和加法结合律。

教学难点：理解加法交换律和加法结合律的概念，培养学生的观察、概括能力和语言表达能力。

教学准备：多媒体课件。

教学过程：

1.创设情境

（1）谈话引入。在咱们班里，哪些同学会骑车？你最远骑到什么地方？

骑车是一项有益健康的运动，但是不满12周岁的学生不能骑自行车哦，骑车上路一定要注意安全。这不，这里有一位李叔叔正在骑车旅行呢！

（课件展示例1主题图及信息）

（2）获得信息。

问：从中你可以得到哪些信息？

（同桌交流，然后全班汇报。）

（3）解决问题。

问：能列式计算解决这个问题吗？

（学生自己列式并口答。）

【设计理念】一开始上课，我先问学生是否会骑自行车？告知学生骑车是一项有益健康的运动，同时也告知学生骑车也要注意交通安全等问题。再根据得到的信息自由提问并解答，让他们体会到数学来源于生活，服务于生活的同时，培养了学生的发散性思维和问题意识。

2.探索规律

2.1加法交换律

（1）李叔叔今天一共骑了多少千米？谁会解决？

（2）生列式计算：（两种）

（3）观察等式，发现特点：

仔细看，等号左右两边什么相同 ？

生：都是加法算式，而且两个加数相同，得数都相等。

师：不同呢 ？ （两个加数的位置不同。）

位置怎样了 ？ （交换 ）

（4）举例验证，并表示规律

师：你能再举出几个这样的例子吗 ？ （指名说）

对学互说。

出示学生举的例子：_______、_______、_______、

师：仔细观察，这些等式有共同的规律，你发现了吗 ？ （学生汇报）

师生小结：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

（5）用其他形式表示

我们用语言把加法中的这个规律表达了出来，我们还可以用一些更为简洁的方式来表达，比如用汉字、图形、字母等写成等式，也能表示这样的规律，你能用自己喜欢的方式来表达吗 ？ 把它写出来。

指名汇报

（6）教师小结

刚才的运算定律你能给它取个名字吗 ？（加法交换律）

教师强调：在数学上，我们通常用字母 a 和 b 来表示两个加数，加法交换律可以写成： a+b=b+a 。

师：加法交换律是我们的老朋友了，想一想，什么时候曾经用过它 ？ （验算加法时，交换两个加数的位置。）

【设计理念】本环节的设计，层层递进，教师引导学生自己去发现规律，并学会用字母表示，体现了学生的主体地位。

2.2探究加法结合律

师：两个数相加，交换加数的位置，和不变，那么三个数、四个数甚至更多的数相加，任意交换加数的位置，改变他们的运算顺序，和会不会变呢 ？ 接下来我们就一起来研究这个问题。

2.2.1解决问题二：

多媒体展示：李叔叔三天骑车的路程统计？

（1）学生列式，汇报两种方法。

师：两道算式都能求出三天所行路程，会计算吗 ？

要求：一、二两组算第一题，三、四两组算第二题。

（2）汇报：两道算式都等于（ ）千米，得数相同！

【设计理念】把学习的主动权交给学生，让学生自己探索，在探究中获得新知。

2.2.2比较异同，连成等式

两道算式完全一样吗 ？ 有什么不同 ？

2.2.3感知实例，积累认识

出示： （13+45）+25 ， 13+（45+25））

（1）猜一猜，它们的得数可能会怎样 ？

（2）对学，一人算一道，看看结果怎样 ？

（3）汇报：

（4）观察下面的两组算式， 里用什么符号连接？

155+（145+207）（155+145）+207

69+172）+2869+（172+28）

师：仔细观察，大胆猜测，它们的结果又会怎样 ？观察上面这些算式，你们有什么新的发现吗？什么变了？什么不变？

你们是不是发现什么规律了 ？ 能说说吗 ？

师引导：这三组等式，运算顺序变了，相加的三个数不变 ，和不变。

2.2.4举例验证

你能不能再举些例子来验证 ？ 同桌互相验证，全班汇报。

这样的例子能举完吗？

2.2.5归纳加法结合律

师生共同小结：三个数相加，可以先把前两个数相加，再和第三个数相加；也可以先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。

师：这个规律又是我们今天要认识的另一个运算律――加法结合律。 加法结合律也可以用字母来表示，现在需要几个字母？

你能用字母把加法结合律表示出来吗？

（ 板书： （a+b）+c=a+（b+c））

【设计理念】教师引导学生通过观察，举例验证，归纳等活动，使学生在获得知识的同时，渗透了数学思想。

2.2.6巩固应用：填数

你能在里填上合适的数吗？说说你是依据什么填的。

（1）6 + 35 = 35 +

（2）a + 204 = + a

（3）（45 +36）+ 64 = 45 +（ + ）

2.2.7渗透简算意识

（1）计算比赛：一二两组算左边，三四两组算右边，不写过程，直接写得数，半分钟，看哪组速度最快！快的组说说计算快的原因。

56+72+2856+（72+28）

自己选择，想算哪道就算哪道！

出示：75+（48+25）（75+25）+48

等于多少？你算的是哪道？为什么都选这道？

（2）试一试，你能用简便方法计算吗？

24+42+76+58

【设计理念】计算比赛激发了学生的学习兴趣，自选算式培养了学生的观察能力。

3.巩固练习，理解运用

运用加法交换律和结合律填数。

4.回顾总结，举例拓展

（1）本节课你有什么收获？学生自由说。

【设计理念】通过总结，可以理顺知识、培养学生的学习能力，使教学环节更完整、学生思路更清晰。

（2）拓展练习

巧算：1+2+3+4+5+6+7+..........99

【设计理念】这一环节练习的设计，既是对新知识的一个巩固，又是一个延伸，同时也激发了学生强烈的求知欲望。

5.作业布置

教材练习六第1题的加法试题。

6.板书设计

加法运算定律

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a + b = b + a

篇3

师：昨天我们在数学王国里学习了加法的运算定律，谁来说说加法运算定律的内容及其字母表达式？（学生用语言叙述加法运算定律的内容）

生1：a＋b＝b＋a。

生2：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

师：加法运算定律中有加法交换律、结合律，请你猜一猜，哪些运算中还有像加法这样的运算定律？

生3：我猜减法中可能有交换律和结合律。

生4：我猜乘法中可能有交换律和结合律，减法中没有。

生5：我猜除法中可能有交换律和结合律，减法中没有。

……

师：大家说得很好，都有自己的想法。下面大家小组合作，以三个研究小课题分别举例来验证自己的猜想，看看哪些运算中具有交换律和结合律。

研究小课题一：减法中有交换律和结合律吗？（出示研究报告表，如下）

■

生6：

■

师：有不同意见吗？

生7：我有不同意见。因为5－5＝0，被减数和减数交换位置还是5－5＝0，所以减法中有交换律。

生8：不对。这是减法中的一个特例，不适合所有的减法算式。

师：那减法中有没有结合律呢？

生9：没有。如（15－5）－3＝7，而15－（5－3）＝13。

师：大家同意吗？

生：同意。

研究小课题二：乘法中有交换律和结合律吗？（出示研究报告表，如下）

■

生10：

■

生11：

■

师：大家同意吗？

生：同意。

师：同学们都有自己的发现，并能用自己最喜欢的方法表示出自己的发现，真聪明！

研究小课题三：除法中有交换律和结合律吗？（出示研究报告表，如下）

■

生12：

■

生13：除法中没有结合律。如（4÷2）÷2＝1，而4÷（2÷2）＝4。

师：大家还有没有什么问题？没有的话，我们就来研究乘法运算定律的运用。（指导学生学习教材第61～62页的内容）

……

反思：

现代教学论认为：“学生既是活动的主体，也是建构活动的主体。”学生的学习不应是教师给予，而应是主动获取知识的过程。正如一个美国心理学家所说：“一个人就某一问题的解决是否有所见，不在于这一解决是否曾有别人提出过，而关键在于这一问题及其解决对这个人来说是否新颖。”本节课以小课题研究的形式进行教学，让学生在学习过程中接触到一些有探索价值的题材和方法，帮助学生全面认识数学，了解数学知识中的奥秘。小课题研究的教学模式，重在引导学生探索解决问题，体验、经历知识的形成过程，掌握科学探究的方法，培养他们的创造性思维。

1．开放教材，让学生有问题可提

教材中是通过两个例题来完成本课知识讲授的，在这样的教学中，学生只能按部就班地进行学习，缺乏积极主动的探究意识，即无问题可提。新课程提倡“变教材为用教材，处处以学生的眼光看待教学内容，努力将原先用于讲授的内容转变为适合学生探究的问题空间”。上述教学中，教师没有牵着学生的鼻子走，而是为他们创设问题情境，使他们逐渐走向解决问题的彼岸。这样既满足了学生探究的欲望，又激发了学生的学习兴趣。

数学教学活动以教材为载体，学生是学习的主人，教材是为学生学习服务的，而教师在整个教学活动中则起组织者、引导者和合作者的作用。教材的教育价值与智力价值能否得到充分发挥和实现，关键在于教师对教材的把握、运用及重新开发和创造。本节课，教师以加法运算定律为引子，让学生猜测哪些运算中还有像加法这样的运算定律，使学生由此产生以下问题：（1）减法中有没有交换律和结合律？（2）乘法中有没有交换律和结合律？（3）除法中有没有交换律和结合律？问题是推动创新的原动力，古希腊哲人也说过“头脑不是一个要被填满的容器，而是一个需要被点燃的火把”。点燃学生求知的火把，需要教师在教学中别具匠心、巧妙地创设问题情境，这样才能激活学生的思维，使学生的思维随着问题的解决得到一种令人惊喜的发展。

2．注重亲历，体现自主探究性

学生的潜能是巨大的，他们思考问题的方法有时会大大出乎我们的意料之外。因此，课堂教学中，教师的首要任务是充分发挥自己的创造性，根据学生的年龄特点和认知水平，为他们创造自主探索的空间。解决同一个问题，不同的学生有不同的方法，这时教师绝不能用统一的标准来要求学生，而应该大胆放手，让他们各显神通。

篇4

学习目标：

1、  掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、  会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

3、  通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

学习重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.

学习难点：理解向量加法的定义.

复    习：向量的定义以及有关概念

二、自主导学：

学生自学

1、向量的加法：------------------------------------------------

2、向量求和的法则有：-------------------------------------------

3、 a+0= -------

4、P81例14．

5、向量加法的交换律------------------------------------

向量加法的结合律-------------------------------------------

小组讨论

1.P84练习1（2）（3）练习2

 

 

2．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是------------------

教师点评：（1）两向量的和仍是一个向量；

（2）两种法则求和的注意事项及适用范围

（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加

小组讨论

1.P84练习4 （3）（4） P914（1）

 

 

 

2．向量(＋)＋(＋)＋=----------

教师点评由向量加法运算的结合律可知多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

四、小结 

1、向量加法的几何意义；2、交换律和结合律；

五、课后作业A组

1.已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.

2.．向量(＋)＋(＋)＋=------------------------------

P84练习1 （1）（4）练习3 P911题

B组

1．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有---------------------

①a∥b  ②a＋b＝a③a＋b＝b

2．设P为▱ABCD所在平面内一点，则①＋＝＋；②＋＝＋；③＋＝＋中成立的序号为________．

3．设P是ABC所在平面内的一点，＋＝2，判断点P的位置

 

 

 

 

篇5

[关键词]教学目标 课时核心目标 有效达成

教学目标是一切教学活动的方向和归宿。目标的有效确定则是教学过程中的一个重要环节。注重目标的优化设计是实现教学优化的重要前提，目标不明或者有偏差，教学行为就表现为盲目性和随意性。因此，要在课堂教学中真正做到教学到位，教师必须在教学目标上狠下功夫。

核心目标，我觉得应该是一节课中，学生必须达到的基本目标。如何达成课时核心目标，方法很多，我今天结合3个具体的案例和大家一起来探讨。

案例一：精心设计题组，直奔目标。

这是三年级的一节单元复习课，内容是《乘法复习》，此课曾获得携进式课堂教学竞赛一等奖。这节课的基本核心是复习两位数乘整数的口算和两位数乘两位数的笔算，正确进行口算、笔算和估算。为了达成核心目标教者是这样设计的：

42×23= 24×19= 22×17=

师：这个保险箱的密码是456，下面三把钥匙，谁能在最短的时间内找到这把钥匙，打开保险箱呢？

师：这么快！你们一定有什么“绝招”吧！说来听听！

（学生汇报）

生1：我是用竖式计算，答案是24×19。（……）

生2：我是利用两个乘数的个位相乘的积的个位是否等于6。22×17=这两个乘数的个位相乘的积的个位是4而不是6，可以将22×17=先排除。

师：谁明白他的意思？再来说一遍

生3：我用的估算，只有24×19的计算结果大约在400左右，所以只有它能打开保险箱。

师：你是怎么估算的？

生：把24看做20，19看做20，20×20=400 （先板书：24×19≈400 ）

师：真聪明！将两个乘数分别看成最接近的整十数，这种估算的结果误差较小。

师：还能怎么估算？

（再板书： 20×10 比200大

24×19 ≈ 400

30 20 比600小 ）

师：42×23= 为什么不选，谁来估算一下？

（再板书： 40 20 比800大

42×23 ≈ 800

50×30 比1500小 ）

我们有这样的体会，计算单元的复习课，往往题量多、计算耗时多，处理不当，就会挤占学生的课堂作业时间。教者在这个环节精心设计三道题，充分尊重学生思维品质的差异，实现了笔算与估算的有机整合。打开保险柜的办法很多，有的同学逐条竖式计算，教师适时复习了两位数乘两位数的笔算方法；有的同学口算积的个位，排除22×17，教师巧妙地渗透了排除法；有的同学在排除22×17以后，将剩下的两道题估算，教师又借势系统地复习了估算的两种方法，一是在（ ）和（ ）之间，二是在（ ）左右。

这个教学环节的设计，从笔算到估算，学生的思维水平在不断提升，不仅复习了笔算和估算的方法，促进教学目标的达成，还将培养学生的学习能力落到了实处。

案例二：合理利用板书，突显目标。

《乘法运算律》是四年级下册运算律这个单元的一节新授课，同样曾获得携进式课堂教学竞赛一等奖。这节课的基本核心是理解乘法交换律和结合律。请看乘法交换律的教学片段：

一、复习旧知，引入新课。

师：同学们，我们学习了哪些加法的运算律？

什么是加法交换律？用字母怎么表示？

什么是加法结合律？用字母怎么表示？

师：大家猜想一下，乘法也会有类似的运算律吗？板书：猜想

二、猜测验证，探索规律。

1、大胆猜测

师：乘法可能有哪些运算律？

板书： 乘法交换律 乘法结合律

师：你会仿照加法交换律说说乘法交换律是怎样的？

指名说；

2、学习乘法交换律

师：我们的猜想对不对，就需要我们来验证。板书：验证

你想用什么方法来验证？

同桌讨论；

指名汇报；

学生可能出现的回答：用乘法算式，根据学生说的相应板书。

师：你能再说出一组这样的算式吗？

学生说师板书；

师：有不相等的例子吗？

师：看来同学们的猜想是对的，你们真了不起。

像这样的算式写得完吗？

师：观察这些等式你能说说什么是乘法交换律吗？板书：结论

理解乘法交换律和结合律，不只是单纯地教，还需要借助一定的数学思想方法来学习，这节课渗透的思想方法是猜想――验证――结论。教者从加法运算律入手，猜想一下，乘法也会有类似的运算律吗？板书猜想。乘法可能有哪些运算律？板书乘法交换律、乘法结合律。我们的猜想对不对，就需要来验证。板书验证。观察这些等式你能说说什么是乘法交换律吗？板书结论。

教者恰到好处地对一些关键词的板书，让学生很清晰地感受到了这节课的目标是运用猜想――验证――结论的思想方法来探究乘法交换律和结合律。可想而知，通过一节课的学习，学生的收获能不大吗？

案例三：寻求多种解法，深化目标。

《公倍数与最小公倍数》是五年级下册的教材，属于概念课。这节课是差异教学模式的探讨课，核心目标是会用列举法求10以内两个数的公倍数。让我们再来回顾一下例2的教学过程。

自主探究，深化理解

1.教学例2。

多媒体出示：6和9的公倍数。师：这句话是什么意思呢？

生：这个数既是6的倍数也是9的倍数。

师：有哪些呢？想一想你打算用什么方法找出6和9的公倍数，在随堂本上试一试。

汇报交流。充分利用板书细化过程，先请一个学生说，再全班同学一起说。

师：通过列举两个数的倍数找到了它们的公倍数。方法和他一样的举手？我们把这些公倍数读一读。

师：这些公倍数中最小的一个，我们叫做最小公倍数，6和9的最小公倍数是几？

师：老师只列举了一个数的倍数，就能找到它们的公倍数，你知道是怎么找的吗？

生：先列举出6的倍数，在里面就能找到6和9的公倍数。或者，先列举出9的倍数，在里面就能找到6和9的公倍数。

在“尊重差异，目标导学”教学模式的研讨活动中，听了陈老师执教的这一节课我收获很大，以前我在教学求6和9的公倍数的时候，只停留在最基本的列举两个数的倍数找它们公倍数的方法，然后就进入集合图的教学，并没有立足目标，从学生的实际需要出发作深度的挖掘。而陈老师在第一种教学方法结束后，随即问：“老师只列举了一个数的倍数，就能找到它们的公倍数，你知道是怎么找的吗？”学生说出了列举一个数的倍数，在里面就能找到6和9的公倍数的方法，与全班同学共同分享。这三种方法的发现，思维难度在加大，学生的思维水平在不断提升，尊重了学生的个性需求，满足了不同层次学生的需要。这样的教学设计不是为了教学而教学，它实现了对教学目标的再认识，强化了教学基本目标的达成。

篇6

【关键词】思维素质；教学生产链；深度合作；单元整合；实例教学

一、学习运算律的意义

（一）三个阶段

新北师大版教科书关于运算律的学致可以分为三个阶段.第一阶段也就是第一学段，学生能够结合具体的生活实例，对运算律有所体会，在解决简单实际问题和计算题的计算中，有的学生凭借直觉有所运用，没有出现概念，是自然渗透、自觉运用阶段.第二阶段也就是本学期（四年级上册），系统地学习5个运算律，重点是理解运算律的意义，并运用一些运算律使一些运算简便，感受算式的等值变形，提升运算能力.第三阶段在五年级下册和六年级上册，主要是学习运算律在小数和分数中的应用，运用运算律使一些小数和分数的混合运算简便，提升运算能力.

（二）意义

运算律是运算中进行简便计算的必要的理论依据，是学生正确、合理、灵活地进行计算的思维素质，掌握的好坏将直接影响学生今后的简便计算和计算速度.这部分内容是在学生已经学过的加法及乘法计算和验算的基础上进一步探究，从感性上升到理性的内容.

二、本期学习的五个运算律的内容

（一）教学目标

能够用自己的语言说出各运算律的意义，把握其特点；能运用各运算律进行简便运算和解决相关的应用问题.

（二）内容

1.加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a.

2.乘法交换律：两个乘数相乘，交换乘数的位置，积不变，即a×b=b×a.

3.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数所得的和，c先把后两个数相加，再加上第一个数所得的和是相等的，即（a+b）+c=a+（b+c）.

4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数所得的积，与先把后两个数相乘，再乘第一个数所得的积是相等的，即（a×b）×c=a×（b×c）.

5.乘法分配律：两个数的和乘第三个数所得的积等于这两个数分别与第三个数相乘所得积的和，即（a+b）×c=a×c+b×c.

三、学生学习中遇到的困难

（一）学习后恐惧，不能做题

新课讲授完，教师都会利用文字和字母总结各种运算律的内容，部分学生因为之前缺乏理论性的学习，对于文字和字母感到陌生和比较抗拒，对于所学的内容不能乐于消化，进而不会做题.

（二）各种运算律混淆，计算错误

相对于一二年级的简单教学，四年级的教材难度和容量上了一个台阶，在运算律学习方面，以下的错误是比较经常出现的：

128-37-63

=128-（63-37）

=128-26

=102 8×19×125

=（125+8）×19

=133×19

=2527 8×（125+25）

=125×8×25

=1000×25

=25000

（三）一定程度上掌握，但运用解决问题方面比较困难

学生学习运算律的目的是使一些运算简便，在提高计算能力和速度的基础上，会运用相关知识解决生活中的一些实际问题.但是因为对运算律的理解不到位或没有进行归纳总结，部分学生在运用解决问题方面比较困难.

四、建议措施

（一）课前

1.教师自身学习，教前认真备课，打通小学六年的教材，做实教的生产链：备课―上课―作业―辅导―考试.

2.低中高学段教师科组内深度合作，有意识地为学生的系统性学习和终身发展成长负责.

（二）课中

1.建议讲授的过程采用单元整合.

（1）各运算律分类：交换律（加法交换律和乘法交换律）、结合律（加法结合律和乘法结合律）、分配律（乘法分配律）.

（2）教授顺序：观察―发现―小结―公式正用巩固和强化―公式逆用巩固和强化―变式练习―综合练习.

2.充分利用生活情境或生活实例教学，提供机会让学生多想、多说、多总结，重理解和运用.比如，在讲授乘法分配律的时候，可以借助之前学习过的长方形的周长=长+长+宽+宽=长×2+宽×2=（长+宽）×2，或者举例子：马上要到元旦表演了，全班同学54人计划购买衣服（上衣+裤子）的场景，即（上衣单价+裤子单价）×54=上衣单价×54+裤子单价×54.

（三）课后

1.分层次练习，及时地进行试题检测.

2.查缺补漏，尽可能做到人人清、日日清和周周清.

五、结论

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关键词：学习需求；课堂效率；创新思维

课堂上怎样给学生提供一个自由探究的舞台，让学生用自己的经验学习呢？下面结合几则案例谈谈自己的教学体会。

一、遵循学生学习需求，促进主动建构

学生一旦有了学习需求，就会激发强大的学习动力。如，以《加法交换律》为例，当课堂上在探索出加法交换律后，学生往往会提出这样的猜想：减法、乘法、除法有没有交换律？教材先是呈现加法交换律、结合律，再是探究乘法交换律、结合律，而把乘法分配律单独编制单元放到了四年级下册。而站在学生的角度来看，从学生的认知规律出发，现在学生的热情明显倾向于探究减法、乘法、除法有没有交换律上。基于以上认识，我产生了一个大胆的想法：既然学生都要学到交换律，那我能不能从学生实际出发，让学生自由地选择感兴趣的研究内容呢？于是我把教材进行了纵向联系，从探索加法交换律拓展到探索减法、乘法、除法有没有交换律上，而把探索加法结合律调整到下一课时与乘法结合律一起。接下来学生分组选择一个猜想去研究，在巡视过程中，我发现学生从猜想到举例最后得出结论，或奋笔疾书，或争论得面红耳赤，个个积极主动，情绪高涨。学生通过讨论、交流，明白减法、除法没有交换律，而乘法有交换律。

二、提供多样选择材料，激活学生思维

教学中，我们可以提供不同的学习材料，鼓励学生从不同的角度、不同的途径运用多种策略探索、思考和解决问题，真正激活学生思维。请看我的《梯形的认识》教学片段：

师问：你能用身边的材料创造出梯形吗？

（1）学生操作，师巡视指导。

（2）展示汇报。

生1：用小棒摆。

生2：用钉子板围。

师问：有没有围得不一样的呀？举起来看看。

生3：老师，有人围了五条边。

师：看来梯形是四边形。（板书：四边形）

生4：用方格纸画。

生5：用七巧板拼。

生6：用纸折，展示沿线折。

师：用长方形纸折出了一个梯形，说说你是怎么想到的。

生6：长方形有两组对边平行，现在只要沿这条斜线折就行了。

师：还有用以前学的不同图形折出梯形吗？

生7：用平行四边形折的。平行四边形有两组对边平行，只要破坏一组平行的对边，就可以变成梯形了。

师：为什么？

生8：平行四边形有两组对边互相平行，而梯形只有一组对边平行。

生9：我还能用正方形和三角形折呢。

师小结：大家用已经学过的不同图形都折出了梯形，你能说说折的诀窍吗？

生10：有两组对边平行的就破坏掉一组，没有对边平行的就创造一组。

师：看来梯形……（强调：只有一组对边平行）

上述片段，让学生通过用小棒摆、用钉子板围、用方格纸画、用七巧板围等不同方法去创造梯形，用以前学的各种平面图形去转换“变”出梯形，经历了探索梯形基本特征的过程，学生在操作、交流中激发了灵感，逐步清晰地建构梯形的概念“只有一组对边平行的四边形是梯形”。同时在大量操作交流中，学生的思维得到了提升，发展了空间想象能力。

三、允许学生自由表达，鼓励个性创新

今天的课堂上，很多教师依然为节省时间，提高课堂效率，只要学生一讲到书上的要点就急于小结练习。在这样的教学过程、教学方式中，教师很难有什么创造性，学生的创造力也同时被扼杀了，更谈不上生成智慧了。如果多给学生自由表达的机会，允许学生表达不一样的想法，学生就会迸发出创新思维的火花。

如，教学《退位减法》的片段：

师：你能计算13-9吗？

生1：我用小棒先摆1捆和3根，先拿去3根，再拆开一捆拿去6根。

生2：我先拆开1捆小棒拿去9根，再把剩下的合起来。

生3：3根不够减9根，拆开一捆和3根合起来是13根，拿去9根，还剩4根。

师：还有不同的想法吗？

生4：我认为3不够减9，但可以把9减3得6，这样就当欠6个，再从10里还掉6个，即10减6得4，这样算得的结果也是4。

师（根本没有想到）：这种想法与众不同，咱们再举几个例子用你的方法试试呢？……学生举例成功。

我统计了班上每种算法相同的人数，前三种算法说出来，大多数学生选择个位不够减时要从十位“先借再减”的方法，但实际上今后在计算几十几减几的退位减法时，学生往往先算十几减几（不熟练）很容易口算错。反而是上面与众不同的算法“先欠后减”，两步都是10以内的算法并不易出错很受欢迎。学生发现的这种“高招”很妙，使学生的思维更具灵活性、求异性。

篇8

在学生学习数学的过程中，计算能力的高低会不同程度的制约着其它能力的培养和形成。学生往往会因为计算过程中的某个环节的失误，而导致整个解题过程前功尽弃。所以培养学生的计算能力是小学数学教学的基础，而培养学生合理、灵活运用简便算法的能力则是发展学生计算能力中的重要环节之一。如何能使学生合理、灵活的运用简便算法？我认为只有在理解算理和掌握运用运算律的情况下，采用多种形式加强练习，才能提高学生的计算能力。

一、理解算理，掌握运算律是合理、灵活运用简便算法提高学生计算能力的前提。

算理教学是计算的基础，要让学生正确理解四则运算的意义，熟练掌握它们的计算法则，理解加与减、乘与除之间的关系。在此前提下，让学生进一步理解运算律的产生过程，使学生认识到运用运算律进行简便计算和按四则运算的顺序进行计算是不矛盾的。并且前者的运用使计算更快捷，不容易出错。所以，加强学生算理的理解，让学生掌握运算律是提高学生合理、灵活运用简便算法进行计算的前提。因此，在计算教学中要加强学生以下几种运算律的理解。

1.加强加法的交换律和结合律及减法性质的理解

（1）加法的交换律即交换两个加数的位置和不变。例如：2.5+3=3+2.5

+3-=-+3=1+3=4。

（2）加法结合律可以把能凑成整数(包括凑成整十、整百)的数结合起来，进行简便运算。例如：2.5+37+7+63=（2.5+7）+（37+63）。

（3）利用减法的性质，可以进行简便运算。例如：563-174-26=563-（174+26）。

（4）对“多加则减，多减则加，少加则加，少减则减”的理解。

287+198=287+200-2

287-198=287-200+2

265+202=265+200+2

265-202=265-200-2

理解加减法的运算律和性质是掌握加减法的简便算法的关键，因此教师在教学时应加强概念的理解和运用。

2.加强乘法的运用律的理解

（1）乘法的交换律和结合律的理解。

乘法的交换律和结合律是相辅相成的，乘法的交换律是交换因数的位置积不变，而乘法的结合律大多数在交换位置的情况下进行的。

例如：25×3×4×12

=12×3×4×25……（乘法的交换律）

=（12×3）×（4×25）……（乘法的结合律）

=36×100

=3600

（2）加强乘法分配律的训练。乘法分

配律在简便运算中运用较广，用字母表示它的公式，即（a+b）×c=a×c+b×c，正反运用此运算律则是训练的重点。

例如：（2.5+25）×8=2.5×8+25×8=

20+200=220；

又如：15×26+15×14=15×（26+14）=

15×40=600。

3.加强对除法的性质的理解

除法的性质就是指一个数连续除以两个数就等于这个数除以后两个数的积。

例如：394÷25÷4=39÷（25×4）

630÷35=630÷（7×5）=630÷7÷5

综上所述，只有在理解运算律和性质的基础上，才能提高简便运算的能力。

二、采用多种形式加强练习是合理、灵活运用简便算法提高学生计算能力的途径

在简便运算中可以进行多种形式的练习，这样不但可以防止简便算法的混淆，避免计算中的错误，更重要的是提高学生合理、灵活进行简便运算的能力。

1.填空练习：以帮助学生正确运用运算律。

（1）填运算符号的练习，例如：

456+102=4561002

456-102=4561002

427+99=4271001

427-99=4271001

26+2.6+34+3.4=2634（2.63.4）

（2）填数和运算符号的练习。如：

12×6.7+12×3.3=（）

（37+18)×35=

48+25+15=（）

48-25-15=（）

55×25×2×4=（）（）

2.对比练习：以帮助学生掌握简便算法之间的联系和区别，防止在计算时混淆，如：

此外，还可以通过对比，进一步认识简便算法，例如，比较下面每组里哪一种算法比较简便：

3.改错练习：在学生基本掌握算法后，可以通过改错并说明理由，防止计算时犯常见的错误，例如：

（1）42×（20+7） （2）58×14+58×6

=42×20+7 =58×（14+6）

=840+7 =58×84

=847 =4872

4.口算练习：学生开始学习简便算法时，应该要求说出或写出简便计算的过程，以便让学生学会有根有据，有条有理的进行思考，切实掌握简便算法。

三、培养学生检验的习惯是合理、灵活运用简便算法提高学生计算能力的保证。

篇9

1. 0.85读作（ ），“二十点零七”写作（ ）。

2. 0.8里面有（ ） 个0.1 ， 16个0.01是（ ）。

3. 一个小数的整数部分是100，十分位是2，百分位是9，这个小数写作（），把这个小数精确到十分位约是（ ）。

4. 把10.25的小数点向左移动一位，再扩大100倍后是（）；10.25的小数点向（）移动（）位后是 0.1025。

5. 4950303000改写成以“万”作单位的数是（）万，省略“万”后面的尾数是（）。

6. 在中填上“>”、“

0.61 0.6110.99143.3 43.30

0.67吨67千克 3元5分3.5元1.01厘米l米1厘米

7. 在括号中填上适当的数。

6元2角=（）元 1 .6平方米=（）平方分米

8. 0.78是由（）个0.1和（）个0.01组成的。 0.269是由2个（ ），6个（）和（）个0.001组成的。

9. 小数部分的最高位是（）位，计数单位是（）；整数部分的最低位是（），计数单位是（）；整数部分的最低位与小数部分的最高位之间的进率是（）；个位与百分位之间的进率是（）。

10. 46.6扩大到它的100倍，再除以1000后是（）；把46.6的小数点向左移动两位，再乘10后是（）；把46.6的小数点向右移动三位，再缩小到它的千分之一后是（）；把46.6先除以10，再乘100后是（）；把46.6先缩小为它的十分之一，再把小数点向左移动一位，再乘10000后是（）。

二、判断题。

1.把一个小数的小数点向右移动两位，这个小数就扩大两倍。

2. 去掉小数末尾的零，小数大小不变。

3. 0.3和0.30大小是相等的，计数单位也相同。

4. 整数部分相同，小数部分位数多的比小数部分位数少的大。

5. 比8大、比9小的小数有无数个。

三、选择题。

1. 把3.0600化简，正确的是（）。

A．3.6B．3.60C．3.06

2. 12.396保留两位小数是（）

A．12.4 B．12.40C．12.00

3. 下面的数中与10最接近的数是（）。

A．9.998B. 10.1 C．10.09

4. 下面小数大小排列正确的是（）。

A．50.676>50.76>50.67>50.766 B．9.028

C．5.555千克

5. 一个数扩大100倍后，又缩小10倍是3.86，这个数原来是（）。

A．3.86 B．0.386 C．38.6

四、写出下面各式的得数。

23.92÷10＝ 8.36÷100＝ 2÷1000=

6.38×10＝ 2.06×100＝ 0.0056×1000＝

16÷100＝ 0.1085×100＝ 1.12÷100＝

五、按要求用“>”排列下列各组数。

1.5.1 1 5.01 5.1 5.00

2.1.81千克 1千克81克 1086克2千克

3.8.808 8.088 8.288 8.82

六、怎样简便就怎样计算。

4.8+8.63+5.2+0.375.93+0.19+2.81 1.76+0.195+3.24

0.134+2.66+0.866 1.27+3.9+0.73+16.17.5＋4.9－6.5

3.07－0.38－1.621.29＋3.7＋2.71＋6.3 8－2.45－1.55

3.25＋1.79－0.59＋1.75 23.4－0.8－13.4－7.20.32×403

七、按要求完成下列题目。

1.写出3个不同的大于2.8且小于2.9的小数。

2.把下面各数先改成以“亿”为单位的数后再保留两位小数。

1095400000970900000

八、想一想，做一做。

请你用5、6、0、0这4个数和小数点写出符合下面要求的各数，每个数都要用到，并且不能重复。

1. 组成1个零也不读的小数。 （ ）

2.组成读出1个零的小数。（ ）

3.组成读出2个零的小数。（ ）

九、应用题。

1.1支钢笔是5.57元，买10支、100支各需多少元?

2.100千克甘蔗可榨糖12千克，10千克、1000千克甘蔗可以榨糖多少千克?

3.苹果和白梨每筐都是45千克。商店上午运进75筐苹果，下午运进25筐梨，这一天共运进苹果和梨多少千克?

4．同学们练习短跑，成绩是：小刚14.5秒，小冬14.05秒，小明14.65秒，小中15.01秒。请把这4名同学的成绩按由高到低的名次排列出来。

一、填空题。

1.（）+45=55+（），这里运用了加法（），用字母表示是（ ）。

2.交换两个（）的位置，（）不变，这叫乘法交换律。

3.乘法分配律可用字母表示为（ ）。

二、选择题。

1.56+72+28=56+（72+28）运用了（）。

A.加法交换律B.加法结合律C.乘法结合律D.加法交换律和结合律

2.25×（8+4）=（）

A.25×8×25×4B.25×8+25×4 C.25×4×8D.25×8+4

3.3×8×4×5=（3×4）×（8×5）运用了（）。

A.乘法交换律 B.乘法结合律C.乘法分配律D.乘法交换律和结合律

4.101×125=（）

A.100×125+1 B.125×100+125 C.125×100×1 D.100×125×1×125

三、计算题。

1.直接写出得数。

12+88=25×8= 100-35-25=1000÷125=

65+35= 8×125=235-（35+27）=300÷（25×4）=

37+63+98= 23×99+23= 725+90-25=2.5+7.5+2＝

2.怎样简便就怎样计算。

355+260+140+245102×99 32×125

645－180－2453600÷4÷25 382×101－382

4×60×50×835×8+35×6－4×35

四、应用题。

1.某商场1―4季度分别售出冰箱269台、67台、331台和233台。该商场全年共售出冰箱多少台？

2.小明拿了100元钱去买体育用品。各种体育用品的价格如下。

排球：56元足球：73元 羽毛球拍：35元 皮球：4元

小明想：“我最多能买几样？是哪几样？”

3.第3小组6个队员的身高分别是128厘米、136厘米、140厘米、132厘米、124厘米、126厘米。他们的平均身高是多少？

4. 一个工程队要用1个月的时间挖一条长2670米的水渠，已知上旬挖了1016米，中旬挖了984米。要想按期完成任务，下旬需要挖多少米？

5.学校要做4800面彩旗，把这个任务交给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？

本期答案

（A）

一、1.零点八五 20.072. 80.16 3. 100.29100.3

4. 102.5左2 5. 495030.3495030万6. ＜＜=＞ ＜ ＜7. 6.2160

8.780.10.019 9.十分0.1个位11010010. 4.664.6646.64664660

二、1.×2.√3.×4.×5. √

三、1.C2.B3.A4.C5.B

四、2.3920.08360.00263.82065.60.1610.850.0112

五、1. 5.11>5.1>5.01>5.002. 2千克＞1.81千克＞1086克＞1千克81克

3.8.82＞8.808＞8.288＞8.088

六、19 8.93 5.195 3.66 225.91.07 1446.22128.96

七、1. 2.812.832.852. 10.954亿≈10.95亿 9.709亿≈9.71亿

八、1.500.62.50.063.5.006

九、1. 10支需要55.7元，100支需要557元。

2. 10千克可以榨1.2千克，1000千克可以榨120千克。

3. 4500千克。

4. 第一小冬，第二小刚，第三小明，第四小中。

（B）

一、1.5545交换律a+b=b+a 2.乘数得数3.a×（b+c）=a×b+a×c

二、1.B2.B3.D4.B

三、1.10020040810010001733198230079012

篇10

1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则中的符号法则和绝对值运算法则，并初步理解有理数乘法法则的合理性；

2.能根据有理数乘法法则熟练地进行有理数乘法运算，使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则；

3．三个或三个以上不等于0的有理数相乘时，能正确应用乘法交换律、结合律、分配律简化运算过程；

4．通过有理数乘法法则及运算律在乘法运算中的运用，培养学生的运算能力；

5．本节课通过行程问题说明有理数的乘法法则的合理性，让学生感知到数学知识来源于生活，并应用于生活。

教学建议

(一)重点、难点分析

本节的教学重点是能够熟练进行有理数的乘法运算。依据有理数的乘法法则和运算律灵活进行有理数乘法运算是进一步学法运算和乘方运算的基础。有理数的乘法运算和加法运算一样，都包括符号判定与绝对值运算两个步骤。因数不包含0的乘法运算中积的符号取决于因数中所含负号的个数。当负号的个数为奇数时，积的符号为负号；当负号的个数为偶数时，积的符号为正数。积的绝对值是各个因数的绝对值的积。运用乘法交换律恰当的结合因数可以简化运算过程。

本节的难点是对有理数的乘法法则的理解。有理数的乘法法则中的“同号得正，异号得负”只是针对两个因数相乘的情况而言的。乘法法则给出了判定积的符号和积的绝对值的方法。即两个因数符号相同，积的符号是正号；两个因数符号不同，积的符号是负号。积的绝对值是这两个因数的绝对值的积。

（二）知识结构

（三）教法建议

1．有理数乘法法则，实际上是一种规定。行程问题是为了了解这种规定的合理性。

2．两数相乘时，确定符号的依据是“同号得正，异号得负”．绝对值相乘也就是小学学过的算术乘法．

3．基础较差的同学，要注意乘法求积的符号法则与加法求和的符号法则的区别。

4．几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么，至少有一个因数为0．