双曲线及其标准方程范文

导语：如何才能写好一篇双曲线及其标准方程，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

主讲：王晓斌

地点：学校新篮球场

时间：2012年12月6下午第一节课

学习目标：

1.知识目标

（1）掌握双曲线的定义。

（2）体会双曲线的标准方程求解过程中所蕴含的数学思想。

（3）掌握双曲线的标准方程。

（4）理解数形结合的数学思想，体会运动变化的观点。

2.能力目标

（1）培养学生的合作探究能力、发现问题的能力及大胆提出问题的良好习惯。

（2）训练和培养学生分析、解决数学问题的能力。

（3）掌握探究数学问题的一般方法。

3.情感目标

（1）通过双曲线的形成过程培养学生的数学美感。

（2）培养学生的团结协作精神。

学习重点：

1.双曲线的定义

2.双曲线标准方程的探究过程

学习难点：

1.坐标系的建立及几何特征的描述

2.标准方程的推导过程

学习方法：

1.动手探究法

2.小组讨论法

3.发现总结法

课前预习：

问题1.我们已经学习了椭圆及其标准方程，回忆我们是如何推导其方程的？

①画图；②建系；③取代表；④条件几何化；⑤进一步代数化。

问题2.你能举出与双曲线有关的例子吗？

教学过程：

一、观察分析

问题3.用一平面截两个圆锥会得到什么样的曲线？

出示道具，观察得出双曲线。

问题4.椭圆的定义是什么？

平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数（大于|F1F2|）的轨迹叫做椭圆。

问题5.如果把椭圆定义中“距离的和”改成“距离的差”，那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

变成双曲线。

二、动手探究

1.分组探究画双曲线的过程

人员：全班分成8个小组，各小组由小组长负责。

道具：一根绳子，一个竹筒，两个固定物，粉笔。

2.双曲线的定义（用语言描述）

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。

问题6.竹筒的距离差与两定点之间有什么关系？

三、推导双曲线的标准方程

1.建系

使x轴经过两焦点F1、F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线。

2.取代表

设M（x，y）是双曲线上任一点，焦距为2c（c>0），那么焦点F1（-c，0），F2（c，0）

3.条件几何化

MF1-MF2=2a

四、小组展示，学习交流

在展示过程中，其他同学可以发问，可以补充纠正，充分展示每个同学的才能，最后教师根据情况点评、及时表扬，充分发挥激励作用，调动学生学习的积极性和趣味性。

五、问题思考

问题7.这里的“标准”指的是什么？

以双曲线的两对称轴为坐标轴，以中心为坐标原点。

问题8.标准方程有几种形式？怎样才能确定焦点在哪条轴上？

问题9.双曲线形状和大小与哪些量有关？

与a，b，c有关，特别是用“e”来刻画。

问题10.双曲线的方程中，a，b，c三者之间是什么关系？哪一个最大？它们表示什么？在图形中能指出来吗？

c2=a2+b2（满足勾股定理） c最大

六、布置作业

1.完成今天的学案

2.推导完成另一种双曲线的标准方程

篇2

【关键词】高中数学；圆锥曲线；性质；推广；应用；解题

圆锥曲线是解析几何的重要内容，其对于几何问题的研究却是利用代数的解题方法。而且，对于高中生来说，圆锥曲线的性质掌握及其推广应用是目前我国高考数学的重点考查内容。从更深层次来讲，加强对于圆锥曲线分类与性质的研究，在一定程度上可以帮助学生打开解题思路、提高解题技巧，同时培养学生以数学思维能力、创新能力为代表的综合能力。

因此，为了使学生能够更好地掌握圆锥曲线的性质及其的推广应用，且进一步提高学生的数学学习素质，作为高中数学教师的我们，就要积极探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，注重对学生圆锥曲线性质及其推广应用的教学。

一、 圆锥曲线的定义

对于圆锥曲线在解析几何下的分类及性质的研究前提，是对于圆锥曲线定义的了解及掌握。本文，笔者从三个方面介绍圆锥曲线的定义。

1、 从几何的观点出发。

我们说，如果用一个平面去截取另一个平面，然后两个平面的交线就是我们所要研究的圆锥曲线。严格来讲，圆锥曲线包含许多情况的退化，由于学生对于数学知识学习的局限性，对于圆锥曲线的教学，我们通常包含椭圆、双曲线和抛物线，这三类的知识内容。

2、 从代数的观点出发。

在直角坐标系中，对于圆锥曲线的定义就是二元二次方程 的图像。高中生在其的学习中，可以根据其判别式的不同，分为椭圆、双曲线、抛物线以及其他几种退化情形。

3、 从焦点-准线的观点出发。

在平面中有一个点，一条确定的直线与一个正实常数e，那么所有到点与直线的距离之比都为e的点，所形成的图像就是圆锥曲线。

学生在具体的圆锥曲线学习中可以了解到，如果e的取值不同，这些点所形成的具体的图像也不同。

（1） 如果e的取值为1，那么那些点所形成的圆锥曲线是一条抛物线；

（2） 如果e的取值在0到1之间，那么圆锥曲线就为椭圆；

（3） 如果e的取值大于1，那么圆锥曲线就为双曲线。

但是，严格来说，在数学的研究领域，这种焦点-准线的观点是只能定义圆锥曲线的几种的主要情形的，是不能算作为圆锥曲线的定义。但是，在对于学生的圆锥曲线教学中，这种定义被广泛使用，并且，其也能引导出许多圆锥曲线中的重要的性质、概念的。

二、 圆锥曲线的分类

1、 椭圆。

椭圆上的任意一个点到某个焦点与一条确定的直线的距离之比都是一个大于0且小于1的实常数e，而且这个点到两个焦点的距离和为2a。一般情况下，我们称这条确定的直线为椭圆的准线，e就是我们经常说的椭圆的离心率。

2、 双曲线。

双曲线上的任意一点到其焦点与一条确定直线的距离之间为一个大于1的实常数e。同样的，这条确定直线也是一条准线，其为双曲线的准线，e为双曲线的离心率。

3、 抛物线。

抛物线上的任意一点到其定点与一条确定直线的距离之比等于1。同样地，这条确定的直线为抛物线的准线。

三、 圆锥曲线的基本性质

1、 椭圆的基本性质。

在高中对于圆锥曲线的学习，通常包含两个定义和三个基本定理。

定义1 即椭圆的定义，课本上是这样表述的：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于实常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。简单地用公式来表达，就是|PF1|+|PF2|=2a。

定义2 即椭圆的第二定义，关于椭圆的准线方程及其离心率。

动点P（x，y）与定点F（-c，0），即椭圆的焦点的距离和它到确定直线 的距离的比为实常数 （a>c>0）时，那么P点的轨迹即为椭圆。简单来说，即到定点确定直线的距离的比等于定值e（0

定理1 假设AB是椭圆的右焦点弦，准线与x轴的交点为M，则∠ABM小于 。

定理2 假设椭圆 与一过焦点的直线交于A（x1，y2），B（x2，y2）两点，则AB就被称为椭圆的弦，并且有|AB|的值等于 │ │。

定理3 假设椭圆 与一过焦点且垂直于长轴F1F2的直线交于A，B两点，那么我们把AB称为通径，并且有|AB|的值等于 。

2、 双曲线的基本性质。

对于圆锥曲线中双曲线的学习，在高中阶段，学生对其需主要掌握两个定义及基本定理。

定义1 平面内动点P与两个定点F1，F2的距离差的绝对值为一个确定常数，P的运动轨迹就叫做双曲线。即||PF1|-|PF2||=2a，标准方程为 。这两个定点就是我们常说的，双曲线的焦点。两焦点之间的距离为双曲线的焦距，通常我们把|F1F2|记为2c。

定义2 双曲线的第二定义，也是关于其准线方程及离心率的。

动点P（x，y）与定点F（-c，0）的距离和它到确定直线 的距离的比是常数 （a>c>0）时，P点的运动轨迹即为双曲线。简单的说，到定点与到确定直线的距离比等于一个定值e （e>1）的点的集合所形成的的图像就是双曲线。我们把定值 （e>1），叫做椭圆的离心率。确定直线为准线，方程是 。

定理1 渐近线是双曲线特有的性质，渐近线可以与双曲线无限接近，但这两者却永不会相交，当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的渐近线方程是 ；而当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的渐近线方程是 。

定理2 当实轴长与虚轴长相等时，即2a=2b，此时双曲线被称为等轴双曲线，它的渐近线方程就为 ，而标准方程是x2-y2=C，其中C≠0；离心率 。

3、 抛物线的基本性质。

抛物线对于学生在圆锥曲线的学习过程中，其相对于椭圆与双曲线，无论是从解题技巧，还是从思维方式，它对于学生的学习来说，还是相对较为简单的。抛物线的性质，在学生的学习过程中，较为常接触的有两个定义、三个定理。

定义1 平面内到一个定点P和一条确定直线l的距离都相等的点的集合所形成的的图像叫做抛物线，而这个点P就叫做抛物线的焦点，确定的直线l就叫做抛物线准线。

定义2 定点P不在确定的直线l上时的情况，对于离心率e的比值不同时，圆锥曲线的图像也不同。当e=1时，圆锥曲线的图像为抛物线，而当0

抛物线的标准方程有四种形式，这一知识点较为简单，且在高中数学的实践教学中，学生对这一知识点也能迅速的理解、掌握，所以在这里笔者就不一一说明了。

四、 圆锥曲线的推广应用

对于学生高中阶段的学习，上文所提到的圆锥曲线的这些基本性质只是起到稳固学生基础的作用，要想使得学生在圆锥曲线的学习上有更加良好的进步、发展，进一步对学习的知识进行稳固，并培养学生的创新能力、自主学习能力等各种综合能力，这就使得，作为高中数学教师的我们就要利用这些基本性质，对其进行推广，得出更进一步的推理定理，从而提高学生圆锥曲线中的解题技巧。

而笔者对于在课堂教学中对于学生提出的问题进行了积极的研究，并且对圆锥曲线的这些基本性质也同样进行了深入的研究，两者相结合，得出了这么两个推理定理。

推理定理1 F是横向型圆锥曲线的焦点，E是与焦点F相对应的准线和对称轴的交点，经过F且斜率是k的直线交圆锥曲线于A，B两点，e 是圆锥曲线的离心率，如果< ， >=θ，则五、 总结

圆锥曲线在历年高考中都会出现，其涉及的题型范围也很广泛，且分值都较高。但是学生在圆锥曲线上没有太多的解题技巧，解题思路往往也会受到自身的限制。这就要求作为高中数学教师的我们，加强学生对于圆锥曲线的基本性质的理解与掌握，而且我们要在教学之余加深对圆锥曲线的研究，利用其基本性质进行推广，得到多种推广性推理定理，从而提高学生的解题技巧、扩展学生的数学思维。

我们在对圆锥曲线的性质进行推广应用时，相应地，我们还要加强自身在教学过程中对圆锥曲线的教学内容及重难点的掌握。而在日常生活中，我们在对学生的解题技巧进行训练，要严格把握好题目的难易程度，使得学生可以在提高解题技巧的同时，树立自己在考试中的信心。

参考文献：

[1]李满春.高中课堂之变式教学[J]数理化学习

[2]杨丽.抛物线焦点弦的性质及其应用[J]科技信息

篇3

1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为()

A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

答案：A　解题思路：设AC的中点为O，即.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.

2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()

A.1 B.2

C. -2D.3

答案：C　解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2，所以切线长的最小值是l==.

3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点，则b的取值范围是()

A.{b||b|=}

B.{b|-1

C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则渐近线的斜率为()

A.或- B.或-

C.1或-1 D.或-

答案：D　命题立意：本题考查了双曲线的几何性质的探究，体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用，难度中等.

解题思路：如图如示，不妨设点A是第一象限内双曲线渐近线y=x上的一点，由AF2F1F2，可得点A的坐标为，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，则tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-，故应选D.

4.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()

A. B.

C. D.

答案：C　解题思路：由题意可得，EF1F2为直角三角形，且F1EF2=90°，

|F1F2|=2c，|EF2|=b，

由椭圆的定义知|EF1|=2a-b，

又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，

即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，

所以e2===，故e=，故选C.5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为()

A. B.2 C.4 D.8

答案：C　解题思路：由题意得，设等轴双曲线的方程为-=1，又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4，代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以双曲线的实轴长为2a=4，故选C.

6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于()

A. B.3 C. D.3

答案：B　命题立意：本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.

解题思路：依题意得，抛物线y2=-12x的准线方程是x=3，双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3，±)，因此所求的三角形的面积等于×2×3=3，故选B.

7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

答案：D　解题思路：双曲线的离心率为e1=，椭圆的离心率e2=，由题意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故选D.

8. F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()

A.2 B. C. D.

答案：B　命题立意：本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识，考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.

解题思路：如图，由双曲线定义得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因为ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故选B.

9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()

A.2 B.3

C. D.

答案：A　解题思路：设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义可知直线l2：x=-1恰为抛物线的准线，抛物线的焦点为F(1,0)，则d2=|PF|，由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时，即为点F到l1的距离，利用点到直线的距离公式得最小值为=2，故选A.

10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q.若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-，则双曲线的离心率是()

A. B. C. D.

答案：C　命题立意：本题考查双曲线方程及其离心率的求解，考查化简及变形能力，难度中等.

解题思路：设A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于点P在双曲线上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故选C.

二、填空题

11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面积的最小值是________.

答案：(1)-8　(2)2　命题立意：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，难度中等.

解题思路：设直线AB的方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，联立得y2-4my-8=0.(1)由根与系数的关系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面积为S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.

知识拓展：将ABF分割后进行求解，能有效减少计算量.

12. B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是________.

答案：　命题立意：本题考查椭圆的基本性质及等比中项的性质，难度中等.

解题思路：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.

13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若=，则p=________.

答案：2　解题思路：过B作BE垂直于准线l于E，

=， M为AB的中点，

|BM|=|AB|，又斜率为，

BAE=30°， |BE|=|AB|，

|BM|=|BE|， M为抛物线的焦点，

p=2.

14.

篇4

一、教师要更新观念

教师的观念决定教师的意识和课堂行为，目前江苏高考模式，数学权重太大，所以教师都放不开手脚，大量的习题、训练、讲授，功利性教学把学生和自己都累垮了.

笔者时常回忆自己的高中生活，数学老师挺悠闲，课堂上常与我们互动，课后的课业负担也不是很重，感觉很轻松地消化了数学知识，课外辅导资料几乎没有.现在的数学课却变成了高考的演练场，考什么讲什么、练什么，学生也不敢开小差，课堂很紧凑，更严重的是数学基础知识和基本问题没有讲透，提出高难度的数学问题让学生练，学生难以应付，对自己的学习能力产生了怀疑.这一做法无疑扭曲了数学教学的价值取向，感觉数学教学是学生通向高考的手段.

为了提高数学教学的效果，首先要改变教师的这种功利性教学观念，数学教学是为了提高学生的数学修养，是为了让学生亲近数学，是为了让学生在数学学习过程中感受数学符号的美丽，是为了让学生自然生成一种研究数学、勇攀高峰的毅力与精神.为此，教学内容的设置要拾级而上，要重视基础，要关注学生的兴趣度.

二、树立正确的数学教学的价值取向

数学教学的价值有两个：数学的实用性；思维训练功能.数学教学必须同时兼顾教育价值的两个方面，目前的教学过于偏重于后者，导致在数学课程与生活脱离，课堂充满了密不透风的演绎与推理，数学让学生感受到的只有“冷冰冰”的一面，感受到的只有数学对考分的贡献，学生对数学的认识自然就有偏差，误以为学数学就是学解数学题.当然，过于强调应用而忽视思维也是不行的，这是另一个极端.数学是一门自然科学，直觉思维和逻辑思维同等重要，而且思维训练是推进数学学科发展不可或缺的.

要树立正确的价值取向，教师就要理清楚高中数学教育的出发点.高中数学教学的出发点在于培养高中学生基本的数学素养，这是与其价值取向高度相关的.（1）给学生提供最基本的思维训练平台，通过高中数学教学，引导学生学会以数学的眼光去认识世界、思考问题.（2）从学生的生活实际出发，创设情境，将数学与现实世界有机地联系在一起，让学生在处理实际问题时，感受到数学学习的社会价值，从中学会处理数学问题的方法，提升解决问题的能力.

三、教学案例分析：双曲线及其标准方程

1.导入新课

在抗美援朝战争的早期，我志愿军某炮兵团侦察出美军阵地后当机立断炮击美军阵地.可是在此不久，美军也较为准确地将炮弹打到了我军的阵地，大家想一想为什么美军会如此准确呢？提出这一历史性的问题，有效地激发了学生的学习兴趣.是什么原因呢？大家都想一探究竟，这个时候教师初步进行解释，

而解释的最佳方式就是配上图形来理解：如图，美军在其阵地旁建筑了三个固定观测点A、B、C，假设我方阵地的位置在D点（任意位置），美军从我方的打炮声到达这几个点的时间差，再借助于声速就能较为准确地判断我方阵地的位置，这是数学在军事上的应用.

这样的解释，学生能够理解，但是玄机究竟在哪里呢？这就是今天要学习的内容，如此导入，学生的精气神都调动起来了.

2.开放探究，合作学习

（1）提供双曲线形状的建筑物、实物、图片，让学生能够直观地感受到双曲线的形状，对知识学习有一个美好的第一印象，感性地认识双曲线，感受其美丽.

（2）从学生原有的认知出发，类比“椭圆”来理性地剖析双曲线，将前面学习的数学思想方法迁移到双曲线的定义和标准方程的学习中来.这个过程是学生自主学习的过程，没有附加习题训练，而是将大量的时间和思维空间留给了学生，学生从“椭圆标准方程”的推导过程和推导经验出发推导双曲线的标准方程，虽然有些学生的思维过程比较慢，但是自己经历了数学思维过程，总是能够归纳出一些结论.

篇5

年 级

高二

科目

数学

模块名称

选择性必修第一册

任课教师

教学目标与要求

1、 掌握空间向量的相关知识点，会用向量的方法解决立体几何问题。

2、 掌握直线的方程求法，会求解圆的标准方程，能解决直线与圆的相关问题，总结其中的解题方法。

3、 能会求椭圆的标准方程、会利用椭圆的简单几何性质，解决相关问题，为解决椭圆的综合问题。

4、 可以类比椭圆的求解方法，求解双曲线的标准方程，能够利用双曲线的简单几何性质解决相关问题。

5、 会求抛物线的标准方程，并且根据抛物线的简单几何性质解决相关问题，总结圆锥曲线的解题方法。

6、 理解数列特征，会求等差等比数列，以及求和公式、等差等比数列求和的综合应用。

教学重点

与难点

1、会用向量方法解决空间几何问题，求对应的线面角及二面角，以及空间距离。

2、圆的标准方程，椭圆双曲线抛物线的标准方程，及其简单应用。

3、等差等比数列以及求和公式的应用。

学情

学生基础差，要抓基础重落实，圆锥曲线部分知识较难，可以稍作删减。重点在于标准方程的求解以及离心率的应用，能够会做相应的选择选择题及填空题。本章第一你们两个出去，节与上学期平面向量联系密切，要注意回顾复习，注意它们的区别和联系，让学生能够融会贯通，尽最大努力可以使他们得到掌握。

教

学

策略

1、激发学生的学习兴趣。由数学活动、故事、吸引人的课、合理的要求、师生谈话等途径树立学生的学习信心，提高学习兴趣，在主观作用下上升和进步。

2、注意从实例出发，从感性提高到理性；注意运用对比的方法，反复比较相近的概念；注意结合直观图形，说明抽象的知识；注意从已有的知识出发，启发学生思考。

3、加强培养学生的逻辑思维能力就解决实际问题的能力，以及培养提高学生的自学能力，养成善于分析问题的习惯，进行辨证唯物主义教育。

4、抓住公式的推导和内在联系；加强复习检查工作；抓住典型例题的分析，讲清解题的关键和基本方法，注重提高学生分析问题的能力。

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关键词：抛物线；翻转课堂；教学设计

一、研究背景及意义

圆锥曲线是高中课程的重要内容，抛物线是圆锥曲线之一，与之前学习的椭圆与双曲线相比相对比较复杂。此外，抛物线在初中阶段学习一元二次函数的时候接触过，学习者很可能将抛物线错误地定义为“二次函数的图像”。因此，如何更好地讲解《抛物线及其标准方程》显得尤为重要。

总结前人[1][2][3]所做的研究可以发现对于抛物线的教学设计研究者大都是在传统课堂的基础上进行的。《抛物线及其标准方程》这一节内容难度较大，整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。因此，仅利用课堂上45分钟时间，学生很难真正掌握这部分内容。

翻转课堂是教学流程变革所带来的，教学环节包括课前、课中、课后三个主要教学环节以及评价、诊断两个辅助教学环节[4]。利用“翻转课堂”进行《抛物线及其标准方程》教学。

通过课前，课中，课后这三阶段的教学，学生可以分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。因此，在翻转课堂的教学模式下研究抛物线及其标准方程是具有一定意义的。

二、教学案例

（一）教材分析

《抛物线及其标准方程》是选修2-1的第二章《圆锥曲线与方程》。教材内容的顺序是：曲线与方程-椭圆―双曲线―抛物线。可以减少了学生的认知障碍。

（二）学情分析

学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识。并且对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识。

（三）教学目标

（1）动手实践，体验抛物线的形成过程从中抽象出抛物线的几何特征；（2）掌握抛物线的定义和标准方程；（3）进一步感受类比，数形结合的重要思想方法；（4）感受抛物线的广泛应用与文化价值，体会数学美。

（四）教学重难点

教学重点：1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程。

教学难点：1.从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义；2.建立合适的坐标轴求解抛物线的解析式。

（五）教学过程

1.课前教学过程的设计（问题引导，观看视频）

（1）问题引人，温故知新。

教师活动1：思考以下几个问题：？做出函数 的图象。？求到点F（0，2）与直线l： 距离相等的点的轨迹方程，并作出其图象。

设计意图：激发学生的学习兴趣。

教师活动2：根据学生的回答，对以上问题进行总结，并且提出新问题：我们可不可以把抛物线定义为二次函数的图像呢？为什么？

设计意图：纠正学生头脑中“抛物线就是二次函数的图像”这一错误观念。

（2）动手操作，探究新知。

教师活动3：提问：那么抛物线到底是如何形成的呢？播放微视频（首先呈现生活中的抛物线，接着演示抛物线的形成过程，并给出操作步骤）。

设计意图：调动学生的学习兴趣，提高他们的动手实践能力。

教师活动4：提出问题：1.在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？2.在作图过程中，绳长，|AP|，|PF|，|CP|中，哪些量没有变？哪些量变了？

设计意图：引导学生发现抛物线的几何特征。

教师活动6：提出问题：试着给抛物线下个定义。

2.课中教学设计：（继续探究，小组讨论，观看视频）

（1）类比迁移，自主探究。

教师活动1：给出抛物线的定义。提问：类比之前学过的椭圆以及双曲线，试着选择合适的坐标系并求解抛物线的方程？

学生活动1：学生自己选择建系方式，并求出对应的抛物线方程，然后小组讨论，选出最佳建系方式，并求出其相应的抛物线方程。

教师活动2：播放微视频（总结学生可能会想到的三种建系策略，并用以前学习的二元一次函数图像的平移来解释选择坐标系的原因。）

设计意图：培养学生用类比法解决问题的能力；体现学生的主体地位。

教师活动3：思考：椭圆与双曲线各有两种标准方程，抛物线有几种呢？并思考原因。

学生活动3：小组讨论。并汇报各小组探究的结果。

教师活动4：思考抛物线的标准方程与其焦点坐标与准线方程的关系。

设计意图：加快解题速度。

（2）课堂作业，学以致用。

教师活动5：例1：？抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标与准线方程；

？一直抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。

（3）学生总结，教师提炼。

教师活动6：要求学生回忆本节课的教学，鼓励学生进行总结。对学生的小结进行补充。

3.课后教学设计（问题探究，拓展知识）

拓展作业：

初中我们已经知道对于一元二次方程y=ax2+bx+c的图像是抛物线，a影响其开口方向和开口大小，类比a对一元二次方程y=ax2+bx+c的图像的影响试着研究对于抛物线y2=2px，p对抛物线的影响。

设计意图：将课堂的数学探究活动延伸到课外，使学生进一步体会类比思想方法对于数学研究中的意义。

三、小结

《抛物线及其标准方程》整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。传统课堂的45分钟显然不能使学生完全理解掌握全部知识点。因此，本节课笔者采用翻转课堂。课前，学生通过反复观看微视频进行深入的思考，并在老师的引导下，体会抛物线的基本特征，最后给抛物线下定义；课中，讨论与交流建系策略以及标准方程，通过观点的相互碰撞深化学生的认知。课后，布置相应的探究题，拓宽学生的思维。这样学生可以分阶段分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。

参考文献：

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[2]武湛.《抛物线及其标准方程》教学实录与反思[J].福建中学数学，2015（12）：26-18

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关键词：高中数学；主动；创新探究式；课堂教学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）06-359-01

数学探究在培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，发展学生的创新意识和实践能力。探究性学习，是一种在好奇心驱使下、以问题为导向、学生有高度智力投入且内容和形式都十分丰富的学习活动。是根据青少年身心特点提出的学习方法；是培养创新人才的需要；是数学教学改革和研究的重要课题；是探索性学习和研究性学习的整合。下面笔者就高中数学探究性学习谈谈一下个人看法。

一、设境激趣，让学生想探究

兴趣在学习过程中起着极大的推动作用，在高中教学中要激发学生的兴趣，增强学生学习的自主性，把数学教学和实际生活密切联系起来，让学生从现实生活中学习数学，并应用到现实中去。

如椭圆及其标准方程的教学：师：我们的日常生活中，椭圆随处可见。你能举出椭圆形的例子吗？生1：斜着切出来的四色卷是椭圆的。生2：教室前的花圃是椭圆的。生3：嫦娥二号绕月球运行的轨道是椭圆形的。

创设情境：请拿出预先准备的圆形纸片（圆心为O，F是圆内异于圆心的一点），将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过F点，将折痕用笔画上颜色，继续上述过程，绕圆心一周，观察所得到的图形。

探究1：多媒体演示。让我们回到折纸活动中，看看得到的椭圆究竟是怎样形成的。我们不妨来分析其中的一个折叠过程。此时圆周上的点A与点F重合，连接OA，交折痕BC于点M，那么点M的轨迹是什么？

探究2：取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧细线，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

情境：用“几何画板”进行动画演示，进一步使学生从视觉上感受椭圆的形成过程及其几何关系。

在这个案例中，教师充分发挥主动性和创造性，从学生的年龄特征出发，对教材内容做不同程度的处理，根据学生的知识经验创设学生熟悉的生活情境，把学生引入一种迫切探究的状态，诱发学生的学习欲望。教师发挥主导性，努力为学生创造学习的自由环境，诱发学生探究的主动性，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习。

二、鼓励学生大胆探究，让学生真正“动”起来

解决问题是每个学生在学习中必须要经历的，在课堂教学中教师不但要精心选择问题，更要鼓励学生大胆进行合理、科学的探究，使他们在探究与想象中找到解决问题的办法，享受成功的喜悦，增强他们解决问题的能力和自信心。

由于高中数学的高度抽象性、逻辑思维的严密性，如何才能更好地让学生成为课堂中的主人，如何让学生真正“动”起来，我们应积极探创设问题情境，诱发学生“动”起来。

以“双曲线及其标准方程例题”的教学为例：

已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为、（，5），求双曲线的标准方程.

可让学生先思考该问题的解题方法，自己去动手尝试一下，再让学生对照课本的解法和其他同学的解法，比较一下谁的解法好，再由学生总结此题的解题思路.大多数学生会运用待定系数法去求解，并且花较大的精力用在解方程组上，当用换元法圆满解出时，都认为此题已圆满解决.这时，教师可启发学生质疑：“此题是否有条件过剩？”有学生会说：“条件全用到了，怎么会有多余的条件呢？”，这真是“一石激起千层浪”，于是全体学生又都积极主动地去探究、去思考、去讨论了，最后，再由学生得出可删去“双曲线的焦点在y轴上”这个条件，创造性地得出设此双曲线标准方程。学生自己评价说还是这方法简单，易掌握，计算量小。

如果只是用待定系数法求解，重知识传授，轻知识体验，学生感受不到数学源于生活，抓不住数学的本质.创设学生欲知、欲究、欲得、欲进的各种良好的问题情境来激发学生的求知和探究欲望，为课堂教学创造一个良好氛围.让学生一开始就能进入一种主动、活跃的能动状态。同学们的参与及思考的热情如此之高，主要是他们感受到数学就在身边，以及参与实践、小组合作、自主探究的乐趣.这里学生是课堂的主人，学生“动”了，课堂也就“活”了。

三、转换思维，让学生能探究

在高中数学教学中，我们常常发现，一个题目，只从一个角度看，有时会找不到解题方法，或虽能解这一道题，但计算量大。许多知识是相互关联的，如果使用知识间的联系，换一个角度去分析，往往可以化繁为简。如：函数y=ex-e-x2的反函数。A。是偶函数，在（0，∞）上是增函数B。是奇函数，在（0，∞）上是减函数C。是奇函数，在（0，∞）上是增函数D。是偶函数，在（0，∞）上是减函数。

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一、分类讨论思想的概念

由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想。做到正确的分类，必须遵循一定的原则，以保证分类科学、统一，不重复、不遗漏。

二、典型例题

例：解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1

分析：这是一个含参数a的不等式，它不一定是二次不等式，故首先应对二次项系数a进行分类，a=0和a≠0。当a≠0时，不等式是一元二次不等式，不等式的解集可能是两根之外，也可能处于两根之间，故又须分a>0和a

（1）当a=0时，原不等式化为-x+11

（2）当a≠0时，原不等式化为a（x-1）（x-）

①若a0?x>1或x

②若a>0，则化为（x-1）（x-）

A、a>1时，

B、a=1时，=1?解是空集

C、01?1

三、分类讨论的步骤

（1）确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；（2）正确选择分类标准，合理分类；（3）逐类、逐段分类讨论；（4）归纳并做出结论。

下面从一个具体的例子出发来分析分类讨论的四个步骤。

例：设k∈R，问方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）（k-4）表示什么曲线？

分析：第一步，确定讨论对象及其范围。因为方程系数中含有参数k，所以将k视为研究对象，k的取值范围是全体实数R。

第二步，选择正确分类标准，合理分类。当k≠4且k≠8时，方程可变形为+=1，（k-4）与（8-k）的正负会引起曲线有不同的类型，故“4”和“8”是一个分界点，而k-4=8-k与k-4>0，8-k>0，但k-4≠8-k所表示的曲线也是不一样的。因此，“6”也是一个分界点，所以对k进行正确的分类应为：（-∞，4），4，（4，6），6，（6，8），8，（8，+∞）

第三步，逐类、逐段分类讨论

（1）k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线

（2）k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线

（3）k≠4且k≠8时，原方程化为+=1

①当k

②当4

③当k=6时：表示圆；

④当6

⑤当k>8时：表示双曲线。

第四步，归纳并做出结论

当k8时，方程表示双曲线；当4

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关键词：多媒体教学：课堂教学：数学

教学手段是传递教学信息的媒体和教学的辅助用具，它包括在教学中一直采用的黑板、粉笔等传统的教学手段，另外也包括近几年来在教学中运用的多媒体教学软件，现代化的多媒体教学手段对于当前的教育、教改具有重要的意义，一方面，计算机、投影仪进入数学课堂辅助教学，给数学教学带来了勃勃生气，它通过文本、图像、声音等方式，创设情境，激趣，增大容量，突出重点，突破难点，不但发展了学生的数学思维，培养了学生的能力。还打破了传统、单一、枯燥的教学模式，大大提高了课堂教学效率，另一方面，教师劳动中非创造性的工作及部分创造性的工作都将由计算机完成或者辅助完成，教师单纯传授知识的职能减弱，而判断学习者的需要以及管理、指导、激励、咨询、评价、帮助学生的职能得以加强，未来的教师既要教书育人，又要研究教育本身的科学，在这里，本人从高中数学的角度出发，谈一下对多媒体教学在实现课堂教学整体优化中的认识。

掌握多媒体教学的特点

数学是以思维为主的抽象学科，和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，代数里首先遇到的是理论性很强的函数，再加上平面向量、立体几何，空间概念、空间想象能力又不可能一下子就建立起来，如果只利用单一的传统教学模式，很难激发起学生的学习兴趣，教学效果不可能达到最理想的状态，只有将传统的教学手段与多媒体有机整合，才能达到最佳教学效果，在多媒体教学中，运用媒体“传递信息”实现教学最优化才是多媒体教学的出发点和归宿，因此，多媒体教学中的“多媒体”只是它的外壳，“应用”才是它的实质，“教学”是它的目的和价值由此可见，多媒体教学在实施教学的过程中，主要体现在现代化手段的应用上，所以，要探讨多媒体教学如何实现数学教学的优化，就必须掌握多媒体在应用中的规律。

多媒体教学的理论告诉我们：多媒体教学的主要特征就是现代教学媒体在教学中的应用，但是，多媒体教学又是传统教学媒体与现代教学媒体的恰当结合，综合运用，这才是多媒体教学的存在形态，就多媒体本身固有的功能来说，它在数学教学中的应用具有如下特点：它利用计算机作平台。把文本、图形、声音和视频图像等多种信息交流手段有机地结合起来，使人和计算机之间的关系更融洽，达到自然的对话，形成文本、图形、图像、声音并存于一体的人机界面，扩大了计算机的应用领域，它可以起到幻灯、录音机、投影仪、放像机的综合作用，比如，在教正余弦函数图象这一课时，可以利用计算机展现正余弦函数图象的形成过程，形象生动，便于学生理解；再比如，在学习正多面体这一课时，也可以利用计算机作为平台，给学生展示五种多面体模型，及各种多面体展开动画，帮助学生理解认识，给以更多的想象空间，因此，掌握多媒体教学的特点，是利用多媒体实现课堂教学优化的前提。

设计丰富的感性材料

1、在新知的生长处，设计感知材料

本人在教椭圆及其标准方程时，由于这是全新的东西，在一开始，就给出了大量实际生活中与椭圆有关的实例，又利用几何画板制作了太阳系各大行星绕太阳公转形成椭圆轨迹的动画，给学生以耳目一新的感觉，一下就把学生的注意力集中到课堂上来，接着利用计算机演示椭圆的形成过程，用计算机将形成椭圆的几个关键条件重点突出，并一边演示，一边给予提示(由于是利用计算机操作，还可以反复演示)，让学生通过观察，归纳出椭圆的定义，再将椭圆的定义，标准方程及推导绘制成一框复合幻灯片，课堂上边演示边讲授，层次分明，详略有别，重点突出，由分到合，形成一个严谨有序的教学过程，在这个过程中，学生观察层次清楚，思维方向明确，概括条理分明，多媒体的应用为学生的认知发展和能力发展都创造了有利条件。

2、在知识的障碍处，设计感知材料

在学生的认知过程中，正迁移能够促进学生对新知的理解，负迁移则往往会使思维产生障碍，为此，本人应用幻灯片变静为动的特点，用计算机制作出恰到好处的教学课件，引导学生的思维朝着正确的方向深入发展，例如，两条异面直线所成的角，这是一个比较抽象的概念，学生在学习这个概念时，可以利用课件用动画展示出两条异面直线所成角的定义，以动带静，引导学生理解。

3、在知识的延展处，设计感知材料

双曲线及其标准方程是在学会椭圆及其标准方程基础上延伸的教学内容，处理好椭圆与双曲线的转化关系，就能使学生运用迁移规律，顺利地掌握好双曲线，如何设计好这个教学环节呢?本人利用计算机设计了一组动画幻灯片，先看椭圆是“平面内到两定点的距离之和(大于两定点的距离)等于定长的点的轨迹”，把定义中的“距离之和”改成“距离之差”，提问这时又是什么轨迹呢?然后再用计算机设计了双曲线轨迹的形成过程，让学生观察分析，最后得出双曲线的定义。在与椭圆的对比学习中，得出双曲线的标准方程，从而顺利实现知识的“同化”。

4、在知识的归纳完善处，设计感知材料

在学习完椭圆，双曲线和抛物线的定义及标准方程后，可以利用第二定义，将三种曲线联系起来，对比认识，加深学生的理解，这时可以利用几何画板，制作三种曲线形成的动画：即平面内，到定点的距离与定直线的距离的比为定值的点的轨迹，改变数值，使比值分别小于1，等于1，大于1，得到相应三种曲线，这样的对比之下，学生对这些曲线的本质又有了进一步认识。

丰富的感知材料，寓知识于形象之中，满足了学生认知的需要，同时，在运用这些感知材料时，始终离不开对感知对象的观察思考、分析综合、归纳概括等，因此我们说，设计丰富的感知材料，既构建了抽象思维的支柱，也提供了各种能力发展的基础，形成知识与能力同步增长的良好教学趋势。

设计多种形式的练习

练习是课堂教学的一个重要环节，是消化巩固知识，完善认知结构的重要手段，是形成能力、发展能力的重要措施，在课堂教学设计中，从教学过程的优化出发，灵活运用多媒体教学手段。精心设计多种形式的练习，将促进知识的形成，强化能力的训练，比如，在学习排列的应用问题时，对于3个女生和4个男生排成一列，设计各种不同的条件，计算在各种条件下，不同的排法有多少种，本人就是利用幻灯片将这个问题活了起来，先找来3个女生、4个男生的动画，根据不同的要求形成不同的排列，课堂上，学生看着一个个有趣的画面，思考着其中所蕴涵的数学问题，思维更加活跃。

数学知识具有抽象性的特点，要求练习应避免形式的单调重复，多媒体教学设计能根据不同的练习要求，设计出灵活的练习形式和题型，有助于提高学生学习兴趣，训练学生的判断、推理能力。

实现课堂教学的整体优化

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关键词： 高路堤；沉降预测；原理；应用

Abstract: On the basis of analyzes the high embankment settlement characteristics, settlement prediction methods are discussed, studied the curve fitting, the legal gray system method, artificial neural network, genetic algorithm, the inverse analysis method, based on genetic algorithms and neural networks prediction methods, as well as Pierre - genetic neural network method and other high embankment settlement prediction method and its application, to provide a theoretical reference for the accurate prediction of high embankment settlement.Key words: high embankment; settlement prediction; principle; application

中图分类号：F272.1文献标识码： A 文章编号：

1引言

随着我国公路建设的快速发展，高速公路逐步向山区延伸，出现了越来越多的高路堤。与一般路基相比，高路堤沉降量大，沉降稳定时间长。然而，高路堤的沉降是一个很复杂的过程，环境条件、地基土的应力历史、路堤填料的工程性质、路堤填筑高度和施工工艺等因素都不同程度地影响和制约着高路堤沉降。目前，国内外针对软基沉降的预测开展了大量的研究，取得了较丰富的的研究成果[1]，但对于高路堤沉降预测尚缺乏系统、全面的研究。因此，对现有高路堤沉降预测方法进行系统的总结分析，并提出改进措施，以期找到一种较适宜的高路堤沉降预测方法具有较为重要的工程。

2现有沉降预测方法分类

路基沉降预测方法可以分为三类：以经典土力学为基础的传统预测方法、以本构理论为基础的数值计算法和根据实测沉降资料预测法。

2.1 传统预测方法

传统的沉降预测方法是建立在太沙基等人创立的经典土力学基础之上。传统预测方法包括：一维沉降计算法、司开普顿和比伦法、三维计算法和应力路径法[2]。

2.2 数值分析方法

数值分析方法包括有限元法和有限差分法。

(1)有限元法[3]：有限元法将地基和路堤作为一个整体来进行分析，将其划分网络，形成离散体结构，在荷载作用下求得任一时刻路堤和地基各点的位移和应力。

(2)有限差分法[4]：有限差分法是用差分公式将地基沉降问题的控制方程转化为差分方程，然后结合初始条件和边界条件，求解线性代数方程组，得到所求问题的数值解。

2.3 根据实测资料的沉降预测方法

根据实测资料进行沉降预测的方法主要有双曲线法、指数曲线法、泊松曲线法、Asaoka法、三点法、星野法、皮尔曲线法、龚帕斯曲线法、灰色预测法、神经网络预测法、模糊综合评判法、反分析法等[5]。

2.3.1 曲线拟合法

曲线拟合法假定地基沉降历程符合某一种已知函数曲线，利用实测沉降数据拟合曲线的参数，然后利用确定后的曲线公式预测地基在任一时间的沉降值。包括双曲线法、指数曲线法、时间对数拟合法、泊松曲线法、Asaoka法、三点法、星野法等。其中最常见的有双曲线法、指数曲线法、时间对数拟合法、泊松曲线法、Asaoka法。

（1）双曲线法[6]假定沉降平均速度随时间按双曲线变化，其基本方程式为：

（2）指数曲线法[7]假定沉降平均速度随时间按指数曲线变化，其基本方程式为：

（3）时间对数拟合法[8]假定沉降平均速度随时间按对数曲线变化，其基本方程式为：

利用这些曲线方程可以计算任一时刻t（）的沉降量。同时，对分别求一阶导和二阶导可以求得沉降速率及沉降速率变化率。当时，利用极限方程可以推算出最终的地基沉降量。其中为荷载稳定之后的某一时刻。

（4）泊松曲线就是逻辑斯蒂成长曲线[9]，也称皮尔曲线，其表达式为：

其中a、b、c均为待定参数，t为时间，为t时刻的沉降值。

（5）Asaoka[10]法是一种从一定时间过程所得的沉降观测资料来预计最终沉降量和沉降速率的方法，其基本表达式为：

为时间时的沉降量，，，且为常数。根据实测沉降资料，作图确定待定参数、和最终沉降量。

2.3.2 灰色预测法[11,13]

GM(1,1)模型是灰色系统理论中最基本也是最常用的模型，它是通过对已知的单位时段内的沉降量的研究来获得沉降的变形规律，从而预测它在未来时间内的变化量。其基本思想是对无规则的数据序列做一定变换使其变得有规则。

GM(1,1)常用的微分方程式为：

对原始数列做累加生成：（=1,2,3…n）

得到GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列解为：

=1,2,…，n

还原值 =1,2,…，n

根据上列各式，便可对观测数列的后序值进行预测。

2.3.3 神经网络预测法

神经网络中目前比较成熟且应用最为广泛的是误差逆传播网络，简称BP网络。它一般由输入层、隐含层及输出层组成，同层节点间没有任何联系，不同层节点均采用前向连接方式。BP神经网络模型实现特定的输入与输出的映射分为学习过程和运用过程两部分。其学习过程可归纳为“信号正向传播、误差逆向传播、记忆训练、学习收敛”。具体学习算法可归纳如下[14]：

(1) 网络初始化：随机给全部权值及神经元的阈值赋以初始值，给定输入模式和输出模式；

(2) 用输入模式计算中间层各单元的输入，然后利用计算中间层各单元的输出；

(3) 利用计算输出层各单元的输入，然后利用计算各单元的响应；

(4) 计算各单元的一般化误差并修正连接权，通过修正各权值使误差最小；

(5) 选择下一个学习模式对从第3步开始，直至全部模式对训练完毕；

(6) 达到误差精度和循环次数后输出结果，否则返回第3步。

2.3.4 遗传算法[15]

遗传算法模拟了自然选择和遗传过程中发生的繁殖、杂交和变异现象。在利用遗传算法求解问题时，每个可能的解都被编码成一个“染色体”，即个体，若干个体构成了群体，即所有可能解。选择、交叉、变异这3个操作算子构成遗传算法的遗传操作。使用遗传算法时，首先要随机地产生一些初始解，同时给出一个目标函数和适应度值，然后根据预定的目标函数对初始解进行评价，根据适应度值按“优胜劣汰”的原理选择复制下一代。在这个过程当中，因为选择来复制的是好的个体，因此，选择出来的个体经过杂交和变异算子进行再组合生成的新的一代就继承了上一代的优良性状，这样一来，就可以使得遗传过程朝着更优解的方向进行。

2.3.5反分析法

反分析法是利用施工过程中实测的地基沉降资料反演确定地基土的物理力学模型参数，再将反演得到的参数代回到正分析模型中计算地基沉降量。进行反分析的方法有很多种，其中直接反分析是比较有效、稳定且应用较多的一种方法，其具体步骤如下[16]：

(1) 建模。这个模型是一个描述实际岩土工程结构问题或理论数学的模型，其中含有一组待定的材料性质参数，用列阵P表示。

(2) 待定参数的选取。用理论模型在外部条件下产生的响应作为待定参数的函数。

(3) 建立目标函数并确定参数的约束条件。目标函数的通用表达式为：

其中，J为目标函数，为观测值向量， X为有限元计算值。

(4) 选择优化策略，使。式中，是最终反分析结果。

2.3.6 基于遗传算法和神经网络的预测方法[17]

基于遗传算法和神经网络的预测方法是遗传算法和神经网络法两种方法的结合。它是指在人工神经网络的学习过程中，应用遗传算法对神经元连接权值进行编码，并随机生成初始群体，进行交叉、变异，同时计算能量函数，调整交叉、变异概率，迭代，直至神经网络训练完成。这种新算法能够改变神经网络法收敛时间长、搜索能力较差的弱点。

2.3.7 皮尔-遗传神经网络法

皮尔-遗传神经网络法是在总结分析皮尔曲线法、遗传算法、神经网络法三种方法的基础上提出来的，它结合了此三种方法的优点。研究表明[18]，皮尔曲线可以较准确地描述高路堤沉降趋势，但是趋势项的偏移量是一个复杂的非线性序列，使用皮尔曲线计算时误差较大，因而采用神经网络模型进行外推。然而人工神经网络学习过程又有收敛时间过长、易陷入局部最小以及搜索能力较差等缺点，故采用遗传神经网络法来进行研究。这种方法与上述的基于遗传算法和神经网络的预测方法的唯一不同就是先采用皮尔曲线建模，然后对趋势偏移量用神经网络法建模，其后的算法同遗传-神经网络法。

3结语

通过对沉降预测方法的分析，可以看出各种沉降预测方法既有其优越性也有其缺陷，没有一种方法是万能的。因此，如何充分利用各方法的优点，改正其缺点是探求一种精确预测方法时必须考虑的问题。

(1) 在曲线拟合法中，目前还没有一种方法能够精确的拟合实测沉降曲线。比如，运用双曲线法预测最终沉降量有时偏大，指数法有时偏小，同时双曲线和指数曲线更适合于施工前期预测，对于后期预测误差比较大，而皮尔曲线则更适合长期预测。因此，分析各种曲线的优缺点及其适用条件以找到一种能够精确拟合实测沉降的曲线方法显得很有必要。

(2) 运用神经网络法进行预测时存在收敛时间过长，易陷入局部最小，以及搜索能力较差等缺点。针对这个问题，有人提出了遗传-神经网络法，将遗传算法与神经网络法结合，用遗传算法来改变神经网络法收敛时间长、搜索能力差的弱点。同时也有人提出了皮尔-遗传神经网络法，用皮尔曲线提取趋势线，用神经网络法对偏移量进行外推，用遗传算法进行计算。这为我们指出了一个研究的方向，那就是如何使各种方法优势互补，以找到一种能准确预测沉降量的方法。

(3) 目前已有的沉降预测方法虽然较多，但是相对来说还是比较笼统，对于不同的地质情况使用什么样的预测方法还没有系统的研究。比如，对于填土、填石、土石混填以及不同性质的土料分别填筑路基时选用何种预测方法有待于进一步研究。

主要参考文献

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杨盛福,张之强,李家本,等.高速公路路基设计与施工[M].上海:人民交通出版社,1997.

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