一次函数知识点范文

导语：如何才能写好一篇一次函数知识点，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】初中数学；函数；教学方法

在初中数学学习阶段中，函数部分主要包括了一次函数和二次函数。本文针对一次函数的知识结构和教学方法进行分析。一次函数，用公式表示就是y=kx+b（k≠0）。一次函数不仅在数学的教学中是重要的知识点，而且在日常生活中也得到了非常广泛的运用。通过对学生进行调查，了解到大部分学生认为一次函数知识的学习较为困难。因此，需要对一次函数的教学特点、教学方法进行分析，旨在能够有效的提高初中数学函数的教学质量，达到预期的教学效果。

一、注重提高学生的学习兴趣

函数是初中数学教学的重要核心内容，其思想方法涉及到方程、求极限、代数式以及几何等方面的内容，其对于培养学生的逻辑思维能力具有十分重要的作用。对初中一次函数进行教学时，要注重结合生活实例，来对一次函数的知识点进行扩展，这样有利于极大的提高学生的积极性和学习兴趣，并提高一次函数教学的质量和效果。兴趣是最好的老师，因此，在教学过程中，教师通过引进生活中的实例，这样有利于拉近函数与学生的距离，进而引起学生的好奇心和求知欲。另外，教师在引进一次函数的生活实例时，教师运用情境创设法，创造出和一次函数知识点有关的情境，提出相应的问题，引导学生对问题进行分析、思考和讨论，实现一次函数知识内容和现实生活的紧密联系，进而引导学生运用学到的一次函数知识来解决现实生活中的实际问题。在学生进行解决的过程中，进而提高对知识的理解掌握能力，最终实现一次函数的教学目的。

二、结合一次函数的知识特征

由于一次函数是初中数学教学中的重点和难点，所以，要引起对这块知识的重视度。教师在进行初中一次函数的教学过程中，对一次函数自身的知识、特征进行了解，找到一次函数知识内容的重点内容，构建全面系统性的教学思想体系，对一次函数知识内容进行实践教学，进一步提高学生对一次函数知识点的理解和掌握能力，有效的提高课堂的教学效率。

由于函数知识内容在初中阶段的数学教学过程中属于基础知识，并且是学生第一次接触的知识。因此，在对初中数学的一次函数知识进行教学时，通过对学生的接受能力进行了解，设计出生动有趣的教学内容，探寻函数教学知识的学习规律和方法，最终提高学生的学习兴趣。例如，教师通过对一次函数概念的本质进行分析，让学生了解到一次函数的公式：y=kx+b（k≠0），其中k、b为常数，k≠0，x属于自变量，b=0，一次函数公式可以作为正比例函数公式。由此，让学生了解到，正比例函数是一种特殊的一次函数，在具体的解题过程中，将探索验证的结构运用在解题思考的过程中。

三、运用数形结合的方法

由于函数具有抽象性的特点，单从公式来看，不能清晰的了解到公式所表达的内容。因此，在进行一次函数的教学过程中，对一次函数的解析式与函数图像之间的关系进行了解，运用数形结合的方式，给学生渗透数形结合思想，进一步开展一次函数的教学实践。在函数的知识结构中，对一次函数公式进行表示，可以通过运用函数的解析式或者函数图像的方式，来对函数公式、自变量的变化规律进行充分的表达，并让学生了解到函数的解析式与函数图像之间的关系。

在开展一次函数的教学实践中，教师要注意加强对学生进行一次函数解析式和图像关系的分析与探寻，在解答一次函数问题的过程中，强调学生运用数形结合的方式，解决一次函数问题。例如，对于一次函数y=kx+b（k≠0），对其函数解析式和图像关系的分析时，由于常数k和b可以取不同的值，所以，受到常数k、b取值不同因素的影响，一次函数所列出的解析式情况也就不同。那么，将常数k和b取值上的变化给函数解析式造成的影响，代入到函数图像的关系分析中，将常数k、b取值结果的正负情况表现出来。例如，当k>0且b>0，那么函数的图像必定经过一、三象限，函数值y随着x的增加而不断发生变化，函数图像和y轴的正半轴相交；同样的道理，当k

除此之外，还可以运用对比的方法，通过对一次函数和正比例函数进行对比，运用类比的方法，进行开展一次函数教学实践。由于正比例函数是一次函数中的特殊表现形式，所以，在进行一次函数的教学时，对正比例函数和一次函数进行对比，让学生掌握了解一次函数特殊形式的规律，提高其运用能力。还可以运用待定系数法进行一次函数的解题，给学生传授解题思想。

三、结语

总而言之，函数教学知识点在初中的数学教学过程中是其中重要的内容，因此，在教学的实践过程中，教师要通过结合函数相关的理论教学知识，了解学生的接受能力，运用科学、合理、行之有效的教学方法，营造生动活泼的教学氛围，有利于极大的调动学生学习函数的积极性，让学生树立学习自信心，最终有效的提高初中数学教学的质量水平、学生的学习效率和成绩。

参考文献

[1]俞光贤.初中数学中函数教学方法的分析[J].数理化教学

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近几十年来，日本借鉴吸收东西方的先进改革经验，形成了具有自身特色的数学课程体系，在数学课程改革方面取得了很大进展，达到了世界前列水平.目前，我国正在进行数学课程改革，所以对中日两国的教材进行比较、分析，对我国的数学课程改革会有很大的帮助和启发.

早在20世纪六十年代的新数运动是以结构化和集合、映射为基础的，因此此次运动为函数的教学奠定了方法.就现今来说，函数是衔接中学和大学数学教学的重要支柱，因此本文将对中日两国在《一次函数》的内容上进行比较研究，分别从教材内容的整体结构、具体内容、例习题、数学活动四个方面入手.2 整体结构比较

日本东京书籍株式会社出版的教材《新数学2》第三章的教学内容标题和中国人民教育出版社出版的教材《数学》八年级下册第十九章的教学内容标题均为《一次函数》，具有可比性，故本文选取《一次函数》内容进行比较.

为了说明中日两国教材在《一次函数》内容上的差异性，先从教学内容的整体结构进行比较，得到表1和图1.

分析表6数据并结合“数学活动”的具体内容比较，可以得出，（1）两国教材均看重学生的动手能力及学生运用数学知识解决实际问题的能力.分别举例说明：人教版教材中的“信息技术应用”，通过使用计算机画函数图象来帮助学生直观感受函数的性质，并作为将来学习知识的一种手段，日本教材中的“数学之窗”，通过让学生做一根杆秤来培养学生的动手能力及探究能力；人教版教材中的“课题学习”，通过选择最佳方案达到解决实际问题的效果，日本教材中的“生活数学”，通过调查东北山行新干线的速度解决实际问题.（2）日本教材十分看重学生思维水平的发展.例如：日本教材在得出“一次函数的增减性”之后，利用“做做看”让学生通过图象感受倾斜与切片的大小对图象位置的影响.

6 结论

通过对中日两种教材《一次函数》内容从整体结构、知识点、例习题、数学活动四个方面的比较，得到以下四方面的结论.6.1 整体结构方面

从两国教材编写体系上看，两国基本相同，且均运用了旁白、图表等手段，帮助学生思考问题.而从前后章的比较上看，两国的差异较大，人教版的本章内容与前后章内容并没有联系，而日本教材的本章内容与前章有较大的联系.6.2 具体内容方面

从两国教材的具体编排内容上看，人教版教材将函数、正比例函数、一次函数均归结到第十九章《一次函数》中，按照从特殊到一般的顺序学习一次函数，而日本教材并没有将这三者作为整体出现在教材中，而是将函数、正比例函数归结到《数学1》的《比例和反比例》中，所以日本教材按照从一般到特殊的顺序介绍一次函数.

从知识点上看，日本教材的知识点内容要比人教版教材丰富，且日本教材中存在利用关联性问题连接的知识点，而人教版教材中则没有出现，提出的问题相对独立.6.3 例习题方面

从例习题的数量上看，人教版教材的数量较多，给学生更多的练习机会.从认知水平上看，人教版教材的例题重视学生各类水平的发展，日本教材的例题看重学生对概念的识记、方法的操作和理解；日本教材中存在一题多解的例题，且在习题的设置上更为人性化，而人教版的例题解法相对单一，但在习题的分层上更具有代表性.6.4 教材的“数学活动”方面

日本教材中存在团队形式的“数学活动”，有助于培养学生的团队合作意识和动手操作能力.人教版教材中的“数学活动”旨在激发学生的学习兴趣，以及对知识的灵活应用，符合数学课程标准.相比较而言，日本教材的“数学活动”更具有开放性.

参考文献

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关键词：初中数学；教学研究

一、生活中小数学：

如图①在一条河流的两侧，有两个村庄，现在需要在河边修建一送水站P，使得送水站到两个村庄的距离和最短，求P点的位置？（河流宽度忽略不计）

解决办法：如图②连接AB两点，交l与点P，P为所求。

此题是在学习过沪科版第4章《直线与角》中4.2线段、射线、直线后，直接利用了 “两点之间、线段最短”这个知识点应用到图形中，即可得出作法。七年级学生在刚接触线段的相关定理时也可以很轻松的完成此题。

等到八年级上册学习过第15章《轴对称图形和等腰三角形》中的15.1轴对称图形后，可将题目变形为：

二、与函数的联系应用：

沪科版八年级上册还学习了第11章《平面直角坐标系》，第12章《一次函数》，这两章是学生第一次接触、学习函数，也是对数形结合能力的重要考察。将上面的问题直接应用到平面直角坐标系中，将图形和函数结合，即可变形为数形结合题：

3、如图⑤，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（8，8），你能在x轴上找到一点P，使得PA+PB的值最小吗？求出点P的坐标。

此时，可以将x轴看做是河流l，直接应用第2题的结论，就可以通过作图的方式找出点P：如图⑥，点A（0，2）关于x轴的对称点是A’（0，-2），连接A’B，与x轴的交点就是点P。

在第2题的情境下，是无法得出有关点P的代数内容，但是将情境改在平面直角坐标系中，A’B也就可以看做是一个一次函数，只要求解出一次函数解析式，再求解出一次函数与x轴的交点既可以求出点P的坐标。解题过程如下：

解：设 ，经过A’（0，-2），B（8，8）得：

解得：

当 时， ，解得：

P

此题除了考察了“两点之间、线段最短”、“轴对称性质”，还使用了“待定系数法求一次函数解析式”、“一次函数性质”等知识点，使用了转化、数形结合等思想综合解决问题。

三、与根与系数的关系的联系应用：

圆与直线的交点可以分为三种情况：两个交点；一个交点；没有交点，正如代数知识中的一元二次方程，可以有：两个不相等的根；两个相等的根；没有实数根，所以上题可以继续变形为：

7、如图⑨，在线段CD上找一点P，使得点PAC和PBD相似，请问当l，m，n满足什么条件时，这样的点有1个？有2个？有3个？（ ）

首先还是需要分类讨论：PAC和PBD相似可以理解为：（1）PAC∽PBD；（2）PAC∽BPD；

如图?，设CP= ，则PD= ，∠ACP=∠PDB=90°，

（1）当 时，PAC∽PBD

即： ，

解得： （ ）

（2）当 时，PAC∽BPD

即： ，化简得：

当 时，有两个不相等的解；

当 时，有两个相等的解；

当 时，无实数解；

综合上面两种情况，可得：

时，有3个点，使得点PAC和PBD相似；

当 时，有2个点，使得点PAC和PBD相似；

当 时，有1个点，使得点PAC和PBD相似；

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关键词：初中数学；教学有效性；一次函数；方法探究

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2015）10-0327-02

提高初中数学教学的有效性是每一个初中教师的共同追求，在课程改革的推广下，提高教学有效性不仅仅是为了提高学生们的数学成绩，更在于培养学生们的学习能力，提高学生们的综合素质水平。在平时的教学活动中，数学老师需要充分激发学生对于数学学生的兴趣和热情，抵消掉学生对数学的畏惧，并不断对学生的学习能力进行专项锻炼，以提高教学的有效性。以下以初中数学中的一次函数为例，对如何提高初中数学教学的有效性进行了较为详细的探究。

1.制定科学合理的教学目标

教师们开展教学活动的第一步就是制定教学目标，只有在确立了教学目标之后才能依此进行有针对性的教学安排。初中数学不同于小学数学那样简单，对初中数学知识的教授是需要老师们多下一些功夫的。初中数学老师在制定教学目标时必须要将教学大纲的要求、现实生活以及学生们的具体学习情况相结合，这样设定的教学目标才科学合理，既能为学生传输专业的理论知识，又能满足学生多方面的发展要求，提高学生的综合能力。

例如：针对"一次函数"这样初中数学教学中的重点内容，对其进行教学目标的设定时需要进行细化，将这部分的教学内容分成三个课时。第一个课时是为学生们简单地介绍"一次函数"的概念及其他性质，为学生们接受全新的知识做一个基础铺垫。第二个课时是承上启下的一个关键的课时，对它的目标设定应该更加细化，应该充分考虑到学生们在第一课时上的反应，结合学生的认知习惯，如：学生们对一次函数中的变量和常量的具体含义，一次函数和正比例函数之间有哪些区别和联系，一次函数图像上的特点等问题有没有理解到位。针对学生们对这些关键知识点的掌握情况，再进行第三课时的目标设定。由此可见，只有数学老师们对学生的学习情况有一个比较详细具体的了解，有针对性的进行目标设定，并依据目标展开教学活动，才能有效提高每堂课的教学效率，促成教学相长。

2.引导学生开展自主学习活动

初中阶段的学生们相较于小学生，他们的思维能力、学习能力和自我意识都有了很大程度上的发展，在初中教育中注重对学生开展自主学习活动的引导，培养他们的自主学习能力，将对于学生今后的学习、工作、生活都会带来诸多益处。通过引导，不仅可以培养学生们的自主学习意识，更可以从培养学生能力的角度促使教学有效性的提高。因此逐步地对学生的自主学习加以引导成为大部分数学老师的重要教学方法。

例如：在开始"一次函数"的具体课堂教学之前，老师就可以要求学生们在课前进行对这部分内容的预习，并落实到具体的家庭作业上，要给学生们的预习作业进行问题布置，而问题的内容需要以教材为主。对于积极完成预习作业、自觉投入到学习中去的学生，老师应该在课堂上给予表扬和鼓励。通过这种言语上的鼓励和对学生自主学习活动的潜移默化的干预来对学生进行引导，可以逐步培养学生们的自主学生意识，渐渐地让学生们体会到自己才是学习活动的主人，并由此产生浓烈的学习积极性，数学教学的有效性便可再学生一次又一次的自主学习中得到提高。

3.通过教学情景的设置来吸引学生

对教学情景进行设置，可以使老师们的教学方式更加生动新颖，因此也更能吸引学生们的注意力，激发学生们的参与兴趣。在所设置的情景中，老师对知识点的讲解也更容易被学生理解和掌握，还可以有效的活跃课堂氛围，使整堂课变得形象、活泼、趣味十足。生活情景和疑问情景等情景的设置对于提高数学教学的有效性的贡献是非同一般的。数学老师可以将生活中的一些元素引用到课堂教学之中，通过设置生活情景拉近数学学科知识与学生间的距离，并通过生活化的教学提高学生将理论知识应用于实际生活的实践能力。老师还可以通过对疑问情景的设置来保持学生们注意力的集中。

例如：通过设置疑问情景来开展"一次函数"的课堂教学活动。

老师提问："同学们，你们知道为什么在我们对一次函数进行解答时，一定要强调常数b不等于0呢？"

学生1答："如果让常数b等于0的话，那么一次函数就是正比例函数，我们对一次函数的解答就变成了对正比例函数的解答了。"

老师提问："那你们觉得一次函数和正比例函数有什么关联吗？他们是同一类型的函数吗？"

学生2答："正比例函数也是一次函数，只不过是一次函数中的一个特殊形式。"

老师提问："现在同学们形成了两种观点，那么究竟那种观点正确呢？一次函数和正比例函数之间到底是不是相同呢？它们的区别与联系具体有哪些？我们接下来就一起进行一下探讨。

通过老师这样的疑问来设置情景，一步一步将学生引导到这堂课的内容，即一次函数和正比例函数之间的关联与区别之中来了，而且通过学生们的回答，可以充分调动学生们的参与积极性，由此提高数学教学的有效性。

4.小结

本文以一次函数为例对如何提高初中数学教学的有效性进行了分析探讨，得出设定合理化的教学目标、引导学生开展自主学习活动和设置教学情景来吸引学生是最有成效的三种方法，数学老师们做好这三项工作便可大大提高教学的有效性。

参考文献：

[1] 黄广泽.提高初中数学教学质量的几点认识[J].基础教育研究2010年11期

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一、掌握高中数学恒成立问题的解题方法和思路的意义

在数学学习中恒成立的问题主要出现在函数知识点中，即在已知的条件下，无论在题型中变量如何变化，其结果和命题都能够成立，这就是恒成立。恒成立问题在数学学习中主要考查的就是学生抽象思维能力、对问题的推理能力以及对相应数形结合思想的应用等，所以恒成立问题能够最大限度地提高学生的综合学习能力。

学生在数学学习的过程中主要是依靠学生的逻辑思维解答相应的题目，这就是数学与高中其他科目不同的地方，所以学生若是想要提高数学的成绩，就需要寻找有效的解题方式和思路，并在解答的过程中灵活运用相应的公式，这样就能解决恒成立的相关问题。

二、高中数学恒成立问题的解题方法和思路

1.一次函数的恒成立

下面将利用案例来解释一次函数的恒成立问题：

问题：一次函数f（x）=（n-6）x+2n-4，在函数中对任意值x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，就其实数n的取值范围。

解题分析：在f（x）=（n-6）x+2n-4的图象中可以得知，若对x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，则f（-1）>0且f（1）>0，由此可以得出n> ，由此可以解得实数n的取值范围是[ ，+∞]。

本次解题的主要思想就是利用一次函数f（x）=（n-6）x+2n-4 的图象，这样在不等式中，就可以直接化解为一元一次不等式组的问题，从而也为学生提供了更加便捷的思路，让整个考题更加简单，思路更加清晰。

2.二次函数的恒成立

在高中数学教学过程中，二次函数的知识点是非常重要的，在数学考试中也占有非常大的比例，所以教师在进行二次函数的恒成立解析过程中，需要更加细致地进行讲解。

问题：已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a。若是函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。

解题分析：若在题中a=0，则f（x）=2x-3，这时很明显函数 处在[-1，1]的区间中没有零点，所以a≠0。令Δ=0，可以解得a= 。①当a= 的时候，函数y=f（x）正好有一个零点处在[-1，1]上。②当f（-1）≤f（1）≤0时，解得1≤a≤5，代入两端点，经检验a=5时，有两个零点，所以当1≤a≤5时，函数y=f（x） 在[-1，1]之上正好也有一个零点。

③若是当函数y=f（x）在[-1，1]区间之中有两个零点的时候，则a>0>0-1

由此可以得出a≥5或者是a< 。

综上所述，可以得出实数a的取值范围是-∞， ∪ [1，+∞）∪ 。

本问题主要是以一元二次方程的根为主要的知识点考查对象，这种题型也是学生在学习数学中经常遇见的题型，在解这种类型题目的时候，首先需要学生能够确认根的数量，再对应抛物线对称轴的位置，最后再根据相应的数据判断区间端点所相对的数值函数的正负情况。

3.分离参数法

所谓的分离参数法就是指在高中数学函数教学过程中，若是遇见含有参数的数学习题，可以将习题中的参数不等式进行变形，将题中的参数进行分离，这样就能够将恒成立问题的难度降低，并将整体的问题简单化，这样的方式也能够让学生在面对问题的时候更加能快速地进行解答。

问题：在x∈R时，不等式-4a-sin2x-4sin x+a2>0恒成立，求a的范围。

问题分析：在此不等式中拥有两个变量，一个是a，一个是x，给出的条件就是x∈R的时候，求a的取值范围。这个题型可以利用分离参数法将a和x进行分析，变形为sin2x+4sin x0恒成立，就需要a2-4a>5，得出 a5。

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关键词：二元一次方程 一次函数 图象 方程组解

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-187-02

如果我们在教学过程中，注意引导学生用二元一次方程的知识和观点来看待一次函数，往往会收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函数图象

一个二元一次方程 （m、n都是常数，且m、n都不为0）是一个不定方程，有无数组解。如果把x看作横坐标、y看作纵坐标，那么每一组解就是一个点的坐标。以二元一次方程组 的解为坐标的所有的点集中在一起，就构成了直线 。也就是说，直线 的点与二元一次方程 的解是一一对应的。这样理解后，下面的问题就容易理解了。

求直线 与坐标轴的交点。这问题相当于知道x（或y）的值为0，求y（或x）的值。

例：直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，求A、B的坐标。

解：当y=0时，代入直线解析式方程 ，得 ，解得 所以A点的坐标是 。

当x=0时，代入直线解析式方程 ，得 ；所以B点的坐标是 。

二、利用二元一次方程组来判断对应的两个一次函数图象的位置

设二元一次方程组的一般形式为 ，可转化为 ，令 ，则上述形式又可以写成 。这就对应着两个一次函数。

（1）当 时，二元一次方程组 有唯一解，此时直线 和直线 相交。

（2）当 时，方程组 无解，此时直线 和直线 平行，没有公共点。

（3）当 时，方程组 有无数组解，此时直线 和直线 重合，有无数个公共点。

三、二元一次方程组解决一次函数问题

在学习过程中，不少一次函数的问题可以转化成二元一次方程组的问题来解决，下面这种题型就是很好的例子。

如何求两个一次函数图象交点坐标。这个交点，同时在这两个函数图象上，所以同时满足这两个函数解析式方程。我们可以通过解这两个解析式组成的方程组来解决问题。

例：求两个一次函数 和 图象的交点坐标。

解：由题意可得： ；解方程组得： ；所以交点坐标是（1，1）。

四、二元一次方程与一次函数的综合应用

实际问题一直是个难点，应根据具体情况把一次函数和二元一次方程组有机地结合，灵活运用，从而顺利解决问题。

例：中国移动公司开设两种通讯业务，“全球通”使用者先缴50元月租费，每通话1分钟再付0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1分钟付话费0.6元。现在小明想开通其中一种通讯业务，请问他应该开通哪一种更省钱？

分析：每月付话费的多少与小明每月通话时间有关，我们可设小明每月通话x分钟，付的话费为y元，分别建立起两种通讯业务方案的函数模型，然后再进行比较。

解：设小明每月通话x分钟，付的话费为y元。

全球通每月付款为y=0.4x+50；神州行通每月付款为y=0.6x

在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象

解方程组 ；解之得： ；所以两图象交于点（250，150）

由图象易知：

当 时， ，此时选择神州行更省钱；

当 时， ，此时两种方案没有区别；

当 时， ，此时选择全球通更省钱。

总之，在一次函数教学过程中，教师要引导学生把一次函数和二元一次方程有机联系起来，给予学生充分的时间和空间来体验数学知识的学习过程，适当的练习来熟练应用各知识点。这样，相信学生学好一次函数不成问题。

参考文献：

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关键词：数学学习知识侧重点衔接

一、问题的提出

许多刚刚升入高中的学生(新高中生)，在初中数学学习成绩优秀，到高中之后，数学学习一筹莫展，有的甚至失去了学习数学的信心。常听到学生这样说，“初中时，这些知识老师都讲过，有些没有作为重点来讲，只是了解。老师说高中老师会细讲的，但是现在老师也不讲初中的知识而是拿来直接运用。”这种现象的产生源于初中数学学习侧重点与高中的要求不吻合。

二、问题的分析

举个例子，初中学习解一元二次方程有三种方法：一是直接开方法，二是配方法，三是求根公式法。在初中时重点掌握的是前两种方法，在高中，由于计算量和计算速度的要求，解一元二次方程时最常使用的是十字相乘法和求根公式法。十字相乘法初中教材中没有，初中数学课上不作重点讲授或根本就不讲。像这样的问题很多，使新高中生是不能满足高中数学课的基本要求的。高中数学的学习是螺旋上升的过程，高一的学习以初中为基础，哪一个环节出现问题，都影响数学的学习。知识侧重点衔接出现了问题，久而久之，学不会、跟不上数学学习也就是正常现象了。

随着高中教材改革和初中减负大刀阔斧的进行，初高中数学知识点侧重衔接问题越来越明显，已经成为高中数学学习的第一瓶颈。那么，在那些主要知识侧重点衔接上存在问题，列举如下：（1）解一元二次方程问题。（2）函数和函数图像的关系理解问题。（3）画一次函数和二次函数的草图的问题。（4）二次函数的配方问题。

以上问题，为什么是高中数学学习的第一瓶颈呢？分析如下：一、函数图像是认识函数很好的一个途径。函数图像是函数的具体，使函数具有形的可触性，降低函数的抽象性。函数与函数图像的关系就像是人的身份证号与本人关系一样，一个人对应着一个身份证号，一个身份证号对应一个人。仅仅看到一个人身份证号是不会了解这个人的，要了解这个人就了解这个人的生活、工作、学习情况，也就是看这个人的行为。什么样的人有什么样的行为。每个人都有特有的行为。类似的，什么样的函数有什么样的图像。函数图像的走势、形状、最值、自变量取值范围直观地反应特定函数的性质。特定函数具有其本身特有的图像。

很多新高中生没有将函数与函数图像建立联系，割裂了函数和图像的关系，脱离函数图像，仅仅是从函数式上来学习函数，而函数解析式本身是非常抽象的，这样对于初学者来说学会并掌握是不可能的。在高中要在初中的基础上学习基本初等函数指数函数、对数函数和幂函数。这些函数的许多性质都是通过图像学习的，通过图像来区分它们的不同，如果割裂函数与图像关系学习函数将是寸步难行。而在初中的学习，没有很好的建立函数与图像联系。二、画好一次函数图像和二次函数图像是掌握函数的基础。 新高中生只知道这两种函数的图像是什么，具体到画图时总是画不准确，不能掌握基本要点。对于一次函数图像新高中生知道一次函数图像是直线，画直线时总是列出很多的点，将这些点都描在直角坐标系中，再利用这些点画出直线。不知道由两点确定一条直线，不会快速选出确定直线的两个点。在画二次函数图像时，先利用顶点坐标公式求出顶点坐标，然后根据开口方向在直角坐标系中描出定点，之后随意勾画出抛物线，不注意抛物线的开口的大小、函数图像是否关于对称轴对称。这样画出的图像速度慢、质量难以保证，不仅影响对函数的认识，将影响以后的学习。在学习基本初等函数时，首先通过一次函数、二次函数图像学习函数的值域、单调性、奇偶性等。必修5中第三章将学习不等式时，利用二次函数图像学习一元二次不等式的解法，如果对二次函数图像没有深刻的认识，学习一元二次不等式就会有困难，在许多含有参数一元二次不等式的求解过程中借助二次函数图像解答。在学习线性规划问题时要求快速画出约束条件对应的可行域，准确快速画出直线是基础。对于这两种函数图像，初中要求不高，但是高中继续深入学习的基础。而在高中数学学习内容中不包含如何快速准确画出一次、二次函数的图像。

三、问题的解决方法

一、教师认真学习研究初中教学内容、教学大纲和课程标准，掌握初中数学教学侧重点，找出初中数学学习与高中数学要求的差距。二、对刚刚升入高中的心高中生进行知识测试，测查他们知识掌握的情况，找出他们知识的薄弱点、欠缺点。三、结合学生的实际情况和教学要求，制定相应的教学计划。四、教学计划实施时，应注意一下几点：(1)腾出足够的时间。（2）

知识点的深入，不是把知识点罗列下去，应对相应的知识点多加练习。（3）补充的内容不能过深，否则会打消学生的积极性，影响学习效果。五、加强对学生学习方法的指导，改变学生的学习方法。初中的学习方法不适应高中的学习，如果再像初中那样学习的话，会影响高中的数学学习。良好的学习方法和习惯，对高中数学的学习非常有帮助，提高学习效率。六、经常和学生沟通，了解学生时时的学习情况，以便及时调整不适合教学计划和内容。七、将每个班级的学生分成数学学习小组，选出组长。在课下遇到不会的问题可以互相讨论解决，即使在讨论的过程中问题没有解决，学生也得到了思维上的训练。进一步养成好的数学习惯。

参考文献

【1】初中数学教学《大纲》

【2】初中数学《课程标准》

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通过统计可以发现：试卷中有关函数的题目少则4题，多则达7题，分值占总分20%以上，重点为一次函数和二次函数. 由于此部分试题具有一定的综合性，对同学们数形结合和函数方程等重要数学思想方法的培养、解题思路的拓宽以及综合能力的提升具有十分重要的意义，因而备受命题者的青睐. 同学们要总结解题规律，掌握函数的基本技能和方法，强化数形结合意识、分类讨论思想、渗透模型思想以及配方法、公式法、待定系数法等重要方法的应用，注意观察、归纳、分析、比较，把重点放在落实基础知识和基本技能及通性、通法的掌握上，从而提高复习效率和效果.

函数常考知识点

一、 平面直角坐标系

1. 坐标平面内点的对称性、点所在的象限、坐标轴上点的坐标特点等. 坐标平面内点的对称性，主要以填空题、选择题形式出现.

2. 自变量的取值范围的确定：

①当函数关系式为分式形式时，其自变量的取值范围必须使分母不为零；

②函数关系式为二次根式形式时，其自变量的取值范围必须使被开方数为非负数；

③函数关系式为整式形式时，其自变量的取值范围为任意实数；

④还应注意要使实际问题有意义. 自变量的取值范围主要以填空题、选择题形式出现.

二、 一次函数

一次函数考点包括一次函数、正比例函数表达式，一次函数与坐标轴的交点坐标（一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴交于-

，0，与y轴交于（0，b）），一次函数与两坐标轴围成三角形的面积，一次函数的性质（当k>0时，y随x的增大而增大；当k

三、 反比例函数

反比例函数考点包括反比例函数的表达形式和性质（当k>0时，图像的两个分支分别在第一、三象限内，且在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k

四、 二次函数

二次函数主要考查表达式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0））、顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值以及用二次函数模型解决生活实际问题. 其中顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值、图像与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题形式出现. 有关二次函数的解答题主要有三种类型：一类是有关二次函数图像及性质的纯数学问题，如2012年徐州中考第24题；一类是利用二次函数性质结合其他知识解决实际问题的题目，如2011年徐州中考第25题 ；再一类是二次函数与几何知识结合的综合题，如2013年徐州中考第28题、2012年徐州中考第27题、2011年徐州中考第28题.

如何将中考压轴题化难为易，在有限的时间内取得更高的分值是同学们关心的问题，下面以2013年徐州中考压轴题为例，说明解决此类问题的方法、思路及对策.

如图1，二次函数y=x2+bx-的图像与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E.

（1） 请直接写出点D的坐标：_______；

（2） 当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3） 是否存在这样的点P，使PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.

【解析】（1） 要求D点的坐标，知A、D两点的横坐标相同为-3，关键是求点D的纵坐标，也就是求出AB的长度，就可确定点D的坐标了. 根据点A（-3，0）在二次函数y=x2+bx-的图像上，可求出b=1，继而求出点B的坐标为（1，0），从而可求出AB=4，所以点D（-3，4）.

（2） 当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动时，说明0

-2+，t=，即P为OA的中点时，OE有最大值，最大值为.

（3） 要使PED是等腰三角形，由于∠DPE=90°，只能是PD=PE. 同学们遇到此类题目不妨动手操作一下，这样可以帮助我们全面考虑问题. 如用两支笔垂直放置且一支笔始终过点D进行旋转，便可得出下面的两种符合条件的图形.

①如图2，点P点在y轴左侧时，由于PD=PE，再抓住∠PAD=∠POE=90°，便可想到三角形全等. 即PAD≌EOP，所以PO=AD=4，也可以由三角函数的定义求PO的长度，即cos∠PDA=cos∠EPO，=，且PD=PE，PO=4，PA=OE=4-3=1，由tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，重叠部分的面积SDAG=×4×=.

②如图3，当P点在y轴右侧时，由于PD=PE，仍抓住∠PAD=∠POE=90°，PAD≌EOP，所以PO=AD=4，PA=OE=4+3=7，tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，同理tan∠DFC=tan∠PFB，即=，CF=，重叠部分的面积S四边形DGBF=4×4-××4-××4=.

篇9

已知一次函数的图像经过点（2，1），（-1，-3），

（1）求此一次函数的解析式；

（2）求此一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标。

这是一道基础题，是在学生了解平面直角坐标系特征和一次函数的基础知识后的简单应用，其中有一位喜爱数学的学生交给我如下答案。

（1）解：设一次函数的关系式为：y=kx+b，将点A（2，1），B（-1，-3）代入，可得

1=2k+b，-3=-k+b，解得

所以一次函数的关系式为：。

（2）与x轴、y轴交点的坐标为。

看完他的作业后，我分析：他对一次函数的知识有一定了解，但也存在一些理解误区，便叫他来办公室详谈。

师：你觉得这题容易吗？

生：挺容易的，都是基础知识。

师：做题时，你画过的图像吗？

生摇头。

师：我觉得你已完成第一问，但没有正确理解第二问的含义。

生：那怎样才能正确理解呢？

师：很容易，在学习数学时，我们可以借助图形理解，老师画图后，我们一起观察。

生（指着图像）：老师，我应该是对的啊，从图中可以看出函数图像与x轴、y轴的交点坐标是。

师：真的吗？请回忆老师讲课时关于点在x轴和点在y轴上坐标的特征。

生：x轴上点的特征？

师：在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数表示，这一对有序实数分别表示该点的横坐标和纵坐标。

生：是的。

师：那函数图像与x轴和y轴的交点坐标难道只能用单个数表示吗？

生：不能够吧！

师：这下你明白了吗？在图中，函数图像与x轴的交点坐标是一对有序实数，只是此时它对应的纵坐标为零，也就是函数图像与x轴的交点坐标是。同时，你也混淆了“与x轴的交点”和“与x轴交点的坐标”的概念。

生：原来是这样啊，我明白了，与x轴的交点是一个点，而与x轴的交点坐标则是一对有序实数。

师：那你知道函数图像与y轴的交点坐标吗？

生：知道，函数图像与y轴的交点坐标是。

师：很好，你弄清楚了“交点”与“交点坐标”后，以后要注意区分。同时，第二问是“与x轴、y轴的交点坐标”，你应该分别回答，而不是混作一团来答题。

生：知道了，谢谢老师……

虽然该生理解了，但是，我们需要反思：为什么会出现这种错误呢？以后的教学中如何避免呢？

其一，学习时背景知识让学生产生了错误认识。本章对平面直角坐标系的定义是：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。在前面的学习中我们知道，在数轴上的点是一个数值，而不是一对有序实数，教师在讲述时只是借用数轴直观明了的结构，而忽视了数轴上的点与直角坐标系中的点有不同之处。学生在学习过程中也往往犯先入为主的错误，把数轴上的点的概念嫁接到平面直角坐标系中，这就必然导致平面直角坐标系中的点是一个数值的错误概念。

其二，没有完全理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系。在教学中，教师能够把第一象限至第四象限内的点是一对有序实数说得很明了，可以从横、纵坐标轴作垂线而得一个交点。但是在坐标轴上的点只能形象地作出其中一条坐标轴的垂线，而另一个坐标轴的垂线必然是它本身，此时必然得到的数为零。如点A在横坐标轴上，它的坐标是A（2，0），如果按照捕捉点的坐标的方法，我们可以作出与横坐标轴垂直的直线，再作与纵坐标轴垂直的直线，得到的数为零。该直线也与横坐标轴融合成一条直线。学生不能直观地学习这个知识点，而教师也可能只是一笔带过，不会讲得更详细，就直接给出了定义：x轴上的点的纵坐标为零，y轴上的点的横坐标为零。这样必然会造成学生认识上的误区。

其三，“交点”还是“交点坐标”？本试题是求此一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标，学生在审题时由于各种原因会看成“交点”而忽视“坐标”，这是大多数做错题的学生的通病。这也给学生提出了更高的要求，要提高解题能力，必须认真、仔细地审题才能正确解答。

篇10

例6.已知函数y=2/3x+1.（沪教版数学八年级第二学期P10）

（1）当x取何值时，函数值y=5？

（2）当x取何值时，函数值y>5？

（3）在平面直角坐标系xOy中，在直线y=2/3x+1上且位于x轴下方的所有点，它们的横坐标的取值范围是什么？

下面笔者从三个角度进行关注：

1.以学定教，把握更精准的例题目标

《中小学数学课程标准》中所提出的数学课程目标，是指各学段终结时的目标；在教学过程中，还要确定每个教学阶段的具体目标，直至每节课的学习目标，由此构成形成性的学习目标.我们再将每节课的教学目标细化到每道题的教学目标，评价先行，以学定教.

从整个初中数学的学习体系来看本例题所涉及的知识点，其在不同层面的目标分别是：

《课标》目标：建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系.

单元目标：能借助一次函数的图像认识一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的内在联系.

课时目标：知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系，能以函数的观点认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集；通过研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系，体会数形结合的数学思想，初步领略用函数知识分析问题的方法.

通过研读目标，我们将这道例题的目标和功能进一步细化：

A层目标：

（1）会从代数的角度思考问题，用式的代换和运算解决；

（2）通过观察函数图像、求方程的解和不等式的解集，体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的联系；

（3）会用图像法解一元一次不等式；

（4）能利用一次函数与一元一次不等式的内在关系，解决实际问题.

B层目标：

（1）会从代数的角度思考问题，用式的代换和运算解决（达标率100%）；

（2）通过观察函数图像、求方程的解和不等式的解集，体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的联系（达标率75%以上）；

（3）会用图像法解一元一次不等式（达标率75%以上）.

2.因材施教，深入更严谨的教材教学

本节课的知识要点是新教材中后添加的内容，不仅是应试的重点考察对象，而且是帮助学生进一步感受数形结合的数学思想重要途径之一.本节课也是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组等的认识之后，从变化和对应关系的角度，对一元一次不等式的运算进行更深入的讨论，是站在更高起点上的动态分析.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识，加强知识间的横向和纵向联系，发挥函数的统领作用，构建和发展相互联系的知识体系.

于是，我们备课组设计一道检测拓展：

已知一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图像分别是直线l1和l2，根据图像填空：

（1）方程k1x+b1=0的根是______________；

不等式k1x+b1

（2）不等式k2x+b2>0的解集是______________；

方程k2x+b2=-2的根是______________.

这道检测题目的设计源于拓展依据的综合处理，检测题目的难度要求要高于例6，它可以从数和形两方面进行检测对代数方法和图像直观法的理解.

3.以学促教，理解更贴切的实际学情

例6是在一次函数与一元一次方程的基础上展开的，学生理解了一次函数与一元一次方程的关系，进一步体会数形结合的基本思想，并初步有了用函数的观点考查教学问题、解决教学问题的思想.函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型.本节的目的就是通过具体例子渗透三者之间的内在联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用.在教学过程中注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法，渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想，拓宽学生视野，相信学生并为学生提供充分展示自己的机会.

回归本源，张奠宙教授早就提出“教什么永远比怎么教重要”.数学教育面临两大问题：

（1）教什么――教学内容