与三角形有关的线段范文

导语：如何才能写好一篇与三角形有关的线段，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一．添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”，这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（7）相似三角形：

相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明

（9）半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。

二．基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形内平移两腰

（4）延长两腰

（5）过梯形上底的两端点向下底作高

（6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。

（9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决。

（1）见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。

（2）见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦

篇2

一、截取(延长)线段，构造全等三角形

例1如图1，AD是ABC的中线，DE、DF分别是ABD、ACD的角平分线，求证：EF

分析利用角平分线的条件，分别构造两对全等三角形，转移BE、CF，使三条线段构成一个三角形.

证明在DA上截取DN=DB=DC，连结NE、NF.

由DE平分∠ADB，知∠1=∠2.

又BD=ND,ED=ED，

所以BDE≌NDE，

得BE=NE.

同理可得CF=NF.

而在EFN中，NE+NF>EF，

故BE+CF>EF，

即EF

点评当有角平分线时，截取相等线段，为解题开通道路.本例也可延长ED到N，由全等三角形得BE=CN,EF=NF.

二、截取(延长)线段，构造等腰三角形

例2如图2，在ABC中，∠ACB=2∠B，求证：2AC>AB.

分析本题关键是如何构造出2AC.利用角的二倍关系，构造以AC为腰的等腰三角形，该等腰三角形的底边恰与AB相等.

证明延长BC到D，使CD=AC，连结AD.

则∠CAD=∠D.

而∠ACB=∠CAD+∠D，

所以∠ACB=2∠D.

而∠ACB=2∠B，

所以∠B=∠D，得AB=AD.

在ACD中，AC+CD>AD，

所以2AC>AB.

点评本题也可以在BC上取点E，使∠AEC=∠ACB.连结AE，可类证.

三、延长中线构造平行四边形

例3如图3，AD是ABC的中线，求证：AB+AC>2AD.

分析由2AD想到延长AD至等长，构造出平行四边形，就可把有关线段转移到一个三角形中.

证明延长AD到E，使DE=AD，连结BE、CE.

又DB=DC，所以四边形ABEC是平行四边形，得AC=BE.

在ABE中，

AB+BE>AE，

所以AB+AC>2AD.

点评如果没学到平行四边形，也可证明EBD≌ACD.

四、构造中位线

例4证明：三角形任两条中线之和大于第三条中线.

已知：如图4，AD、BF、CE是ABC的三条中线，它们相交于N.

求证：BF+CE>AD.

分析利用三角形重心N将各中线三等分的性质，取AN的中点M，使EMN的三边分别是各中线的三分之一.

证明取AN的中点M，连结ME.

因为AD是中线，N是重心，

所以MN=13AD.

又E是AB中点，

则EM=12BN=13BF.

因为EM+NE>MN，

而NE=13CE，

所以13BF+13CE>13AD，

从而BF+CE>AD.

点评本题也可延长ND到G，使DG=DN，得平行四边形BNCG，再利用BNG的三边不等关系.

五、移动线段

例5如图5，D是ABC的边BC的中点，E、F分别在AC、AB上，且∠EDF=90°，求证：BF+CE>EF.

分析利用直角∠EDF，构造等腰三角形以及全等三角形，将三条线段转移到同一个三角形中.

证明延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG.

由∠EDF=90°，知EFG是等腰三角形，则EF=EG.

又FD=DG，BD=CD，∠1=∠2，

则BDF≌CDG，

得BF=CG.而CG+CE>EG，

所以BF+CE>EF.

点评本题的关键是对直角DEF条件的利用.一般有两种方法：一是作出斜边上的中线，二是加倍直角边.本例采用的是后一种方法.这样将目标式中的三条线段转移到同一个三角形中.

六、截大补小

当已知条件中，一个角大于另一个角时，可采用“截大补小”法，即在大角内作一个角等于小角，或将小角补成与大角相等的角.

例6在ABC中，∠C>∠B，求证：AB>AC.

证法1如图6-1，在∠C内部作∠BCD=∠B,CD交AB于点D，则BD=CD.

在ADC中，AD+CD>AC，

则AD+BD>AC,即AB>AC.

证法2如图6-2，作∠CBE=∠C，BE与CA的延长线交于点E，则BE=CE.

在ABE中，AE+AB>BE，

则AE+AB>CE=AE+AC，

即AB>AC.

点评本例结论实际上是有关三角形边角不等关系的一个重要定理.即在三角形中，大角对大边，大边对大角.

练习题1.在ABC中，AB>AC，M是角平分线AD上一点，求证：BM-CM

篇3

初中几何的教学应把解题规律的教学当作课堂教学的一个方面，尤其是在后期和复习阶段，通过这可以培养学生注重知识的系统性和对知识的灵活应用能力，而对知识的归类、总结以及对规律的探讨也能调动学生学习的积极性并能够从中体验知识结构中的美感，激发学生的学习兴趣。

学生通过几何的学习，在具备一定的能力基础上，随着知识及题目类型的增多，在解题的过程中，若能重视解题方法及规律的探求则可达到举一反三，触类旁通的效果。几何题型虽然灵活多变，但证明与计算则是主线。“事物的发展总有着一定的规律”，解题亦是如此，针对学生在学习的不同阶段常遇到的一些题型及其解法要及时总结归纳，既要让学生知其然，也要知其所以然。

比如几何证明中线段或角的一些关系的证明是非常常见的一类问题，线段的关系通常有其不等、相等及其和差关系的证明，最基本的应让学生掌握好相等关系的证明，而线段相等关系的证明在不同阶段的证明方法或思路一般有“三角形全等”、“等角对等边”、“比例线段”及选取中间量过渡等。其中“三角形全等”是较常用的，也是解决该类问题的一种基本方法，这也是利用全等三角形的性质解决具体的问题，务必让学生牢记；线段不等关系常用证明思路一般考虑“线段公理”或“三角形三边的关系定理”；对于线段的和差及其它（如倍、分）关系一般可通过截长、补短把它转化成线段相等关系的证明，特殊情况下如出现“线段的中点”这一条件时应重视“中位线定理”的使用，而角的类似关系的证明与线段的类似关系的证明有“异曲同工”之处。再如两线的垂直关系的证明，虽然方法不一，但通常都要运用直角三角形的判定方法，而该法中又以证明三角形中的两个锐角互余居多，应让学生认真领会。其它如两线平行关系的证明，线段比例关系的证明等等也都有其一定的方法及规律，在此不一一赘述。

解题中，除要掌握常规方法、规律之外，还要注意辅助线的添加与使用。当在原题目的条件下直接解决问题有困难时，常常需要考虑添加辅助线，而适当的添加辅助线在解题中常能起到“柳暗花明”的效果。因此，在教学中要结合学生实际适时总结常用辅助线的添加方法。如学习了等腰三角形后，针对其“三线合一”的性质，要让学生知道在解与等腰三角形的有关问题时，作底边上的高（或中线或顶角的平分线）是常用辅助线；在解决直角三角形的问题时，常作斜边上的中线作为辅助线，尤其是在出现直角三角形斜边的中点时；梯形的问题常常通过平移一腰或对角线、作高的方法将其转化为平行四边形或者三角形的问题；圆中与弦相关的问题常作“弦心距”作为辅助线，而在圆中学习了“切线”后，针对切线的性质定理要着重指出在切线存在条件下“作过切点的半径”是常用的辅助线，既使今后学习了与切线相关其他定理之后也是不能忽视的。当然，几何中常用辅助线还有很多，这就要求教师在平时教学中注意总结，以利于学生对知识的掌握与运用，提高解题能力。

另外，对某些特殊条件下所常用辅助线也要注意归类总结，以系统的掌握相关知识。如“角的平分线”是我们在解题中经常遇到一个条件，除在题目能给我们提供“等角”的条件外，很多情况下都需要添加辅助线，虽然具体方法不一，但归结起来常用辅助线有如下三种形式（下图中实线为条件，虚线为辅助线）：

图（1）中是利用角的平分线的性质定理得出；图（2）中是在角两边上截得相等线段，构造全等三角形；图（3）中是在有角的一边上的点到其平分线的垂线线段条件下延长垂线段与另一边相交从而出现全等三角形。这些辅助线是角平分线条件下常用的几种辅助线。通过观察不难发现，这三种图形都有一个共同点――角的平分线两侧的两个三角形是全等的，同时也是关于角的平分线所在的直线对称的。学生仅仅知道这些还很不够，我们还应该找出其中的一些本质性的东西，为什么这样添加辅助线呢？这与角的特点有着很大的关系，其本质就是由于角是以角的平分线所在的直线为对称轴的轴对称图形，这点要让学生领会透彻，进而可把上述辅助线归结为：当有“角的平分线”这一条件时，常构造角平分线一侧的三角形的关于角的平分线所在直线为对称轴的对称三角形。这样，学生既对这一条件有一个本质上的认识，又方便了记忆，同时也复习了全等三角形与轴对称的相关知识。

还有“线段的中点”这一条件在题目中也是比较常见的，当三角形中出现边的中点或者在梯形中有一腰的中点时，常作其中位线以便利用其相关性质。此外，还有一个方面是不能忽视的――线段是以中点为对称中心的中心对称图形，所以此条件下的另一类常用辅助线作法是构造以线段中点为对称中心的两个全等三角形。常见的辅助线作法下列图（1）、图（2）（其中点C是线段AB的中点）所示：

图（1）是把以中点C为顶点的ABC绕点C旋转180得到；图（2）是过线段AB的两个端点A和B作过中点C的直线的垂线而得到，图（2）是图（1）的特殊情况。例如当有三角形的中线存在时，常用把中线延长一倍的方法来构造全等三角形也正是基于这一思想。

篇4

宋代历史学家司马光小时候砸缸救小伙伴的故事给我们启示：在证明时，如果不能顺利地从条件推出结论，不妨倒过来想.这种“让水离开人”、“执果索因”的推理方法称为分析法，而“让人离开水”，即在证明时顺利地从条件推出结论，这种“由因导果”的推理方法称为综合法.“分析法”和“综合法”是我们常用的数学思维方法.

反证法是一种特殊的证明方法.在证明时，不是直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设，然后推导出矛盾的结果，从而证明命题的结论成立，这种方法叫反证法.

运用反证法证明问题时，结论的反面要找得准确、全面，证明的每一步要有依据，直到推出与“定义、定理、基本事实、已知条件”等相矛盾.

2. 等腰三角形

（1） 等腰三角形的主要性质有：等边对等角；等腰三角形的三线合一性；等边三角形的每个内角都等于60°；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；等等.应用性质可以简捷地证明三角形中的线段或角的相等、线段的垂直等.

（2） 判定一个三角形是等腰三角形，除了利用定义外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角对等边.等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，这时60°的角是顶角还是底角都无妨.

（3） 关注“分类讨论”的数学思想方法.因为等腰三角形中有两边相等，有两角相等，所以当“边”或“角”元素不确定时，就需要分类讨论.

3. 直角三角形

直角三角形是一种特殊的三角形，因此学习时要特别注意对其特殊性质的理解和应用.如“直角三角形的两个锐角互余”是一般三角形所不具备的；“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，这个性质反映出任何一个直角三角形斜边上的中线把它分成两个等腰三角形，因此，学习直角三角形时必须与等腰三角形紧密结合；“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，不是任何直角三角形所具有的.

直角三角形与等腰三角形的密切关系还表现在：以任意直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，得到的轴对称图形，一定是一个等腰三角形.同时任意等腰三角形的底边上的高，一定分它为两个全等的直角三角形.这种关系使我们能更好地理解和掌握“斜边直角边定理”.

4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形

这些图形的概念重叠交错，容易混淆，常常出现“张冠李戴”的现象，所以它们之间的联系和区别是本章学习的难点.分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服难点的关键.它们之间的联系与区别可通过下图表示：

5. 在“等腰梯形的性质定理和判定定理”探究中运用的数学方法

等腰梯形的性质和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四边形基础上的，所以可通过添加辅助线的方式将等腰梯形转化为等腰三角形和平行四边形，常见辅助线如下：

通过“转化”，我们得到了等腰梯形的性质定理：等腰梯形同一底上的两底角相等；等腰梯形的对角线相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

6. 三角形的中位线定理

三角形中位线定理包含两个内容：（1） 三角形的中位线平行于第三边；（2） 三角形的中位线等于第三边的一半.前者是两条线段所在直线的位置关系，后者是线段与线段之间的数量关系，因此定理的作用也就不言而喻了.

篇5

一、“遇到中点连中点”，直接构造中位线

例1已知：如图1，在四边形ABCD中，

AB=DC，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点.猜想：

EF与GH有怎样的特殊的关系？试证明你的猜想.

分析：EF与GH的特殊关系，可以从两个方面来观察与思考：一是是否有特殊的位置关系，图中EF与GH是相交线段，则它们是否互相垂直；二是大小关系，显然EF与GH不会相等，但可以互相平分.

解：猜想：EF与GH互相垂直平分.

证明：连结EG、GF、FH、HE.

在ABD中，因为AE=DE，BG=DG，所以EG=

12AB.

同理GF=12CD，FH=12AB，HE=

12CD.

又因为AB=CD，所以EG=GF=FH=HE.

所以四边形EGFH是菱形， 所以EF与GH互相垂直平分.

说明：“遇到中点连中点”，本题通过连结中点，由此构造出三角形的中位线，从而利用中位线定理解决问题.

图1图2

二、有中位线无三角形时，添线补全三角形

例2已知：如图2，在梯形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点，

NE∥DM交BC于点E，连结ME.

求证：ME=DN.

分析：由M、N分别是AB、CD的中点，知

DN=12DC.因此，欲证

ME=DN，只需要证ME=12DC，联想三角形中位线定理，考虑延长

DM交CB的延长线于点P，构造出三角形中位线基本图形，由三角形中位线定理，问题便可得证.

证明：延长DM交CB的延长线于点P.

因为AD∥BC，所以∠ADM=∠ BPM.

因为∠AMD=∠BMP，AM=BM.所以AMD≌BMP.

因为DN=CN，NE∥DP，所以CE=PE，所以ME=12DC=DN.

说明：在证明四边形中有关边、角相等的问题时，常常是把边、角构造为三角形中的边、角来解决.若题设中有中点条件、线段的两倍或一半关系，则可考虑中位线，当条件不完备时，可以作辅助线构造中位线，为使用中位线定理创造条件.

三、有中点无中位线时，取中点连中位线

图3

例3已知：如图3，在四边形ABCD中， AC、BD相交于点 O、E、F分别是

AD、BC的中点，EF交AC、BD于点M、N.求证： OM=ON.

分析：要OM=ON，只需要证

∠OMN=∠ONM，由E、F分别是AD、BC的中点，联想三角形中位线定理，考虑取AB中点P，并连结EP、FP，构造出三角形中位线基本图形，易证

PE=PF，再由平行线的性质，便可证得结论.

证明：取AB中点P，连结

EP、FP，则EP、FP分别是ABD、ABC的中位线，

所以PE=12BD，PF=12AC，

因为AC=BD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE，

又因为PE∥BD，PF∥AC，

所以∠OMN=∠PFE，∠ONM=∠PEF，所以∠OMN=∠ONM，所以OM=ON.

说明：在三角形（或梯形）中，如果已知一边（或一腰）的中点，常常取另一边（或另一腰）的中点，以构造出中位线定理的基本图形来解决有关问题.

四、仅有中点时，先构造三角形，再构造中位线

图4

例4已知：如图4，在四边形ABCD中， AB=CD， E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N.

求证：∠BME=∠CNE.

分析：先连结BD构造出三角形，再取BD中点H，连结

HE、HF，构造出三角形中位线基本图形，易证

HE=HF，从而∠1=∠2，再由平行线的性质，便可证得

∠BME=∠CNE.

证明：连结BD，取BD中点H，连结HE、HF，

因为F是AD的中点，

所以HF∥AB，HF=12 AB，

所以∠1=∠BME，

同理：HE∥CD.HE =12CD，

所以∠2=∠CNE.

因为AB=CD，所以HF=HE，∠1=∠2，所以∠BME=∠CNE.

篇6

一、旋转变换的知识

1.定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度形成新的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角.

2. 旋转的三个基本要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.

3. 基本特征：

一是图形上的每个点都按照相同的方式转动了相同的角度，即任意一对对应点与旋转中心连线所成的夹角都是旋转角，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度.

二是旋转中心在旋转的过程中始终保持不动，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等.

三是旋转不改变图形的大小和形状（即旋转前后的两个图形是全等图形），只是位置发生了变化.

二、旋转变换的应用技巧

有关旋转变换的常见题型有填空题、选择题、作图题、证明题等.常结合平移、轴对称、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函数等知识进行综合考查.解答这类试题，要求同学们具备扎实的数学基本功，较强的观察力，丰富的想象力及综合分析问题的能力.解题时，要切实把握几何图形的整体运动过程和图形变换前后的形状，并注意运动过程中图形的特殊位置， 弄清图形旋转前后哪些是不变的量、哪些是变化的量，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律，寻找到问题中相等的角和线段，使问题得以解决.

三、应用举例

例1 （2011年安徽省中考题）在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为？兹（0°

（1）如图1，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：A′CD是等边三角形；

（2）如图2，连接A′A、B′B，设ACA′ 和BCB′ 的面积分别为SACA′ 和SBCB′. 求证：

SACA′ ∶ SBCB′ =1∶3.

（3）如图3，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC=a，连接EP，当 ？兹= °时，EP长度最长，最大值为 .

分析：（1）由题知，∠A′=60°，故要证A′CD是等边三角形，可考虑证它是等腰三角形或再证它有一个角为60°.利用AB∥CB′，可得∠BCB′=∠B=30°，则∠A′CD=60°，可得A′CD

是等边三角形.

（2）由于∠BCB′=∠ACA′，且AC=A′C，BC=B′C，可知ACA′和BCB′是两个相似的等腰三角形，故SACA′ 和SBCB′之比可转化为ACA′和BCB′对应边AC与BC平方之比.

在三角形中，要判断线段的长短，可利用三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的定理，故考虑连接CP，在ECP中，EP

说明：旋转变换具有如下性质：（1）旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离

相等（旋转中心在对应点连线的垂直平分线上）；（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.中考对图形的旋转的基本要求是：（1）通过具体实例认识旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；（2）能够按要求作出简面图形旋转后的图形；（3）灵活运用轴对称、平移和旋转几种图形变换进行图案设计.本题正是充分利用了旋转角相等和旋转前后对应线段相等的性质来解决问题的.

例2 （2011年江苏南通市中考题）已知：如图4，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将FOE绕点O逆时针旋转α角得到F′OE′（如图5）.

（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；

（2）当α=30°时，求证：AOE′为直角三角形.

分析：（1）要证AE′=BF′，可证明线段AE′和BF′所在的OAE′与OBF′全等，利用已知易知OA=OB，OE′=OF′，利用旋转知∠AOE′=∠BOF′，故OAE′≌OBF′，得到AE′=BF′.

（2）由于旋转角α=30°，可知∠AOE′=60°，且OE′=2OA，可考虑取OE′的中点M，得到AOM为等边三角形，AME′为等腰三角形且外角∠AMO等于60°，即得到∠E′AM=30°.从而∠E′AO=∠E′AM+∠MAO=30°+60°=90°，证得AOE′为直角三角形.

解：（1）AE′=BF′.

证明如下，如图5，在正方形ABCD中， ACBD，

∠F′OE′=∠AOD=∠AOB=90°，

即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′，

∠AOE′=∠BOF′.

又OA=OB=OD，OE′=2OD，OF′=2OA，

OE′=OF′，

OAE′≌OBF′（SAS），

AE′=BF′.

（2）作AOE′的中线AM，如图6.

则OE′=2OM=2OD=2OA=2E′M，

OA=OM，

α=30°，

∠AOM=60°，

AOM为等边三角形，

MA=MO=ME′，∠AMO=60°.

又∠AE′M+∠E′AM=∠AMO，

即2∠AE′M=60°，∠AE′M=30°，

∠AE′M+∠AOE′=30°+60°=90°.

在AOE′中，由三角形内角和可得

∠E′AO=180°-（∠AE′M+∠AOE′）=90°，

篇7

一、线、角

1.直线没有端点，没有长度，可以无限延伸。

2.射线只有一个端点，没有长度，射线可以无限延伸，并且射线有方向。

3.在一条直线上的一个点可以引出两条射线。

4.线段有两个端点，可以测量长度。圆的半径、直径都是线段。

5.角的两边是射线，角的大小与射线的长度没有关系，而是跟角的两边叉开的大小有关，叉得越大角就越大。

6.几个易错的角边关系：

（1）平角的两边是射线，平角不是直线。

（2）三角形、四边形中的角的两边是线段。

（3）圆心角的两边是线段。

7.两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

8.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫做点到直线的距离。

9.在同一个平面上不相交的两条直线叫做平行线。

二、三角形

1.任何三角形内角和都是180度。

2.三角形具有稳定的特性，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。

3.任何三角形都有三条高。

4.直角三角形两个锐角的和是90度。

5.两个三角形等底等高，则它们面积相等。

6.面积相等的两个三角形，形状不一定相同。

三、正方形面积

1.正方形面积：边长×边长

2.正方形面积：两条对角线长度的积÷2

四、三角形、四边形的关系

1.两个完全一样的三角形能组成一个平行四边形。

2.两个完全一样的直角三角形能组成一个长方形。

3.两个完全一样的等腰直角三角形能组成一个正方形。

4.两个完全一样的梯形能组成一个平行四边形。

五、圆

1.把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。则长方形的面积等于圆的面积，长方形的周长比圆的周长增加r×2。

2.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是

3.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。

六、半圆的周长公式：C=d？2+d或C=pr+2r

4.半圆面积=圆的面积/2

5.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。

七、圆柱、圆锥

1.把圆柱的侧面展开，得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面的周长，宽等于圆柱的高。

2.如果把圆柱的侧面展开，得到一个正方形，那么圆柱的底面周长和高相等。

3.把一个圆柱沿着半径切开，拼成一个近似的长方体，体积不变，表面积增加了两个面，增加的面积是r×h×2。

4.把一个圆柱沿着底面直径劈开，得到两个半圆柱体，表面积和比原来增加了两个长方形的面，增加的面积和是d×h×2。

篇8

重点省市中考数学试卷统计：

从上面的统计来看，三角形的相关概念及其全等在中考中的考查涉及内容丰富，知识点较多，题型涉及选择题、填空题和解答题.由于该部分内容是初中数学的重点知识，等腰三角形、全等三角形的性质与判定更是中考必考内容，所以所占的分值较多，一般在8分至17分之间，也有部分地区超过20分，如在2008年上海市中考试卷中就达到了25分之多．

一、解读基础――三角形基础知识

通过研究和分析2008年各地中考试题，不难发现，在考查三角形相关概念及其全等的基础知识与重点知识方面所占比重较大，试题注重对基本概念、公理、定理及应用的考查.这部分内容应掌握的基础有：

1.三角形基本概念

（1）三角形按边分为：不等边三角形和等腰三角形；按角分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．

（2）三角形的性质有：

①三角形内角和为180°；

②三角形外角与内角的关系；

③三角形的三边关系定理；

④三角形的稳定性．

2. 等腰三角形和直角三角形

（1）了解等腰三角形和等边三角形的概念.

（2）等腰三角形的性质和判定，尤其是等腰三角形三线合一．

（3）掌握等边三角形的性质和判定方法．

（4）了解线段的垂直平分线、角的平分线的性质和判定．

（5）掌握轴对称的性质，了解轴对称的判定.

（6）掌握直角三角形的性质和判定：

①直角三角形的两锐角互余，反之亦成立；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，反之亦成立；

③直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；

④勾股定理及其逆定理.

3.全等三角形

（1）全等三角形的性质有：

①全等三角形的对应边、对应角分别相等；

②全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等．

（2）掌握全等三角形的5种判定方法．

（3）掌握基本的尺规作图．

例题精选（2008哈尔滨考题）如图1，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）．

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

解析：设CN=xcm ,则EN=DN=8-x ,在RtCEN中由勾股定理可求得 x=3，故选B.

中考题型总结与预测 在2008年各地中考试题中，对三角形的相关概念及判定三角形全等的考查，一般所涉及的是选择题或填空题.此部分内容仍将是2009年各省市中考数学试题的考查对象，多以选择题或填空题的形式出现，分值一般为3分．

二、提升能力――三角形知识的应用

三角形相关的概念及其全等这部分内容，由于概念、性质较多，因此对其理解能力和应用能力的要求相对要高一些．在掌握好基础知识的情况下，要注意比较、分类和联系，切实掌握基本方法，积极尝试这些知识在新的问题情景中的应用，还应注重与相关知识的联系. 对其要求掌握的知识点总结如下：

1. 三角形的三边关系定理.这是我们比较线段长短的一个重要工具.使用该定理判定围三角形问题时常出现如下思维误区：①判断三条线段能否组成三角形时，误认为只要有两边之和大于第三边就可以；②求边长、周长或解与等腰三角形有关的问题时，易丢解．

2. 三角形的角平分线、中线和高线的应用方法.三角形角平分线的应用方法主要有：①直接用角平分线分得的两个角相等；②在角的两边截取相等的线段；③向角的两边作垂线；④向角的一边作平行线．

三角形中线的应用方法主要有：①用中点证中点；②利用中点作全等；③利用中点作中位线．

三角形高的应用方法主要有：①直接运用高的定义；②利用定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”转化问题．

3.与三角形相关的角.三角形内角和等于180°是三角形本身固有的性质，它作为一个隐含条件，在有关角的计算中经常用到.定理的证明是通过转化思想，借助辅助线完成的，这种方法在其它问题中经常用到.三角形的外角及其性质除了和内角和相结合，用于求角度的计算外，也用于求说明角的不等关系，有时利用外角的性质求角的度数比利用内角和求要简单．

4.全等三角形.关于全等三角形的性质，要注意从全等三角形的概念出发，认真观察图形，找出对应角和对应边，总结出寻找两个全等三角形对应边、对应角的规律，进而掌握确定对应边、对应角的方法.关于全等三角形的判定，要注意两个三角形全等时应认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要证明结论的内在联系，从而选择最适当的方法.有时，直接证两个三角形全等的条件不具备，就要通过作辅助线，构造全等三角形，“创造”条件，来达到证明的目的．

例题精选（2008北京市考题）如图2， C为 BE上一点，点A、D 分别在BE 两侧．AB∥ED ， AB=CE，BC=ED ．求证：AC=CD ．

解析：AB∥ED ，∠B=∠ E．

在 ABC和CDE 中，AB=CE，∠B=∠E，BC=DE.

ABC≌CDE，

AC=CD.

中考题型总结与预测 三角形相关概念及其全等在2009年的中考题中将会更多地贴近生活，试卷中仍将把理解能力和应用能力作为中档题目，形式一般以解答题为主，分值约在6~10分之间.

三、注重归纳――解三角形的思想方法

数学思想方法一直是中考考查的重点内容之一，所以在复习这部分知识时，一定要注意数学思想方法的运用.这部分内容的常见思想方法有方程思想、转化思想和分类讨论思想等．

1.方程思想：三角形的角、边及全等三角形的对应角、对应边，已知其中的部分量计算其他量，可用方程来求解．

2.转化思想：在解决三角形相关概念及其全等的问题时，需要通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、公式或已知条件将问题通过变换进行转化，并选择运用恰当的数学方法进行变换，从而达到化复杂为简单，化未知为已知，化抽象为具体来解决．

3.分类讨论思想： 三角形的角、边及全等三角形的对应角、对应边均须讨论对应关系，如已知等腰三角形一个角求其他两个角的度数，就须确认已知角是顶角还是底角来才能解决．

例题精选 （2008长沙市考题）如图3，在四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点.

（1）求证：ABE≌CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.

解析：（1）证明略；

（2）当四边形AECF为菱形时，可转化为ABE为等边三角形，且边长为2.求ABE的高为，可知菱形AECF的高为，

菱形AECF的面积为2．

中考题型总结与预测 在2008年各地中考试题中，针对这部分知识运用数学思想方法的考题，出现频率较多，但难度适中.在2009年的数学中考试题中，针对这部分知识运用数学思想方法的考题仍会是各地重点关注的对象，一般会以选择题、填空题或解答题的形式出现，分值在3~10分之间.

四、综合运用――与三角形相关知识的融汇贯通

三角形相关概念及其全等作为后续学习四边形和相似的一个平台，在考查这部分知识时，一定会将其与函数、图形相结合，引申出内容复杂、形式多样的考题，尤其是该部分内容的开放性、探究性试题，有利于考查学生的思维能力与创新意识.因此，中考中增加其创新题型，突出试题的开放性、探究性，将是今后中考数学命题的方向，同时也将是学生们所面对的难点.

例题精选（2008天津市考题）已知RtABC中，CA=CB ，∠ACB=90°，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线交于点M、N．

（1）当扇形CEF 绕点C在∠ACB 的内部旋转时，如图4，求证：MN2=AM2+BN2；

（2）当扇形CEF绕点C旋转至图5的位置时，关系式MN2=AM2+BN2 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

解析：（1）如图5，将ACM 沿直线CE 对折，得DCM ，连DN、DM，则DCM ≌ACM ．

CD=CA ，AM=DM ，∠DCM=∠ACM ，

∠CDM=∠A.

又由CA=CB ，得CD=CB．

由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM ，

∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM

=90°-45°-∠ACM，

得 ∠DCN=∠BCN．

又 CN=CN，CDN ≌CBN ．

DN=BN，∠CDN=∠B ．

∠MDN=∠CBM+∠CDN=∠A+∠B= 90°．

在RtMDN 中，由勾股定理得MN2=DM2+DN2， 即 MN2=AM2+BN2．

（2）关系式MN2=AM2+BN2 仍然成立.证明略．

篇9

1角平分线加等线段模型

当已知条件或结论中有角平分线和相等的线段出现时，往往采取两种作辅助线的方法：

1.从角平分线上一点向两边作垂线，从而构造全等三角形；

2.利用角的轴对称性，采用截长或补短的方法构造全等三角形.

下面以例1为例对这两种作辅助线的方法做以说明.

图1例1已知：如图1，在四边形ABCD中，AB>AD，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°.求证：BC=CD.

分析题目中的已知条件共三个.考虑角平分线，容易想到向两边作垂线；考虑线段的长短，容易想到用“截长补短”的方法构造全等三角形；考虑对角互补的条件，可用四点共圆.

解法1有角平分线出现时，容易想到角平分线的性质――即角平分线上的点到角两边的距离相等.如图11，过点C作CEAB于点E、CFAD交AD的延长线于点F，从而得到CE=CF，再利用AAS证得CEB≌CFD，所以BC=CD.

图11图12解法2利用角的轴对称性，构造全等三角形.如图12，采取“截长”的方法，在AB上截取AE=AD，连接CE.根据SAS可以证得AEC≌ADC，从而证得CE=CD，∠D=∠AEC，由此∠B=∠CEB，所以CE=CB，命题得证.

解法3利用角的轴对称性，构造全等三角形.如图13，采取“补短”的方法，延长AD到F，使AF=AB，连接CF.根据SAS可以证得AFC≌ABC，从而证得CF=CB，∠F=∠B，因此可证得∠B=∠CDF，由此∠F=∠CDF，所以CF=CD，命题得证.

图13图14解法4题目中出现对角互a条件时，联想到四点共圆.作经过点A、B、C、D的圆，如图14，由于AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠DAC，所以BC=CD，所以BC=CD.

我们把例1的题设和结论交换位置，可以得到如下的变式练习，请读者尝试以上作辅助线的方法.

变式练习1已知：如图1，在四边形ABCD中，（AB>AD），AC平分∠BAD，BC=CD.求证：∠B+∠D=180°.

变式练习2已知：如图1，在四边形ABCD中，（AB>AD），BC=CD，∠B+∠D=180°.求证：AC平分∠BAD.

2角平分线加平行线模型

1.当一个三角形中有角平分线和平行线出现时，一定能寻找到等腰三角形

一个三角形中有角平分线和平行线时，常见模型有以下几种：

如图2①中，AD平分∠BAC，DE∥AC，则ADE为等腰三角形；

如图2②中，AD平分∠BAC，CE∥AD，则ACE为等腰三角形；

如图2③中，AD平分∠BAC，EF∥AD，则AEG为等腰三角形；

如图2④中，AD平分∠BAC，CE∥AB，则ACE为等腰三角形；

图2例2如图3，在ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作线段EF∥BC，交AB于E、交AC于点F，请你猜想线段EF，BE，CF的数量关系，并加以证明.

分析猜想：EF=BE+CF.

由于BD平分∠ABC，所以∠1=∠2，又EF∥BC，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以BE=DE.同理DF=FC.因此，EF=BE+CF.

图3图4此例题还可以变成以圆为背景的题目，我们来看下面的变式练习.

变式练习如图4所示，点O为ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交与点E，F.请你猜想EF，AE，BF的大小关系并加以证明.

分析：点O为ABC的内心，也就是说如果连接AO、BO，则AO、BO分别为∠A、∠B的角平分线，而又有EF∥AB，即可得到结论：EF=AE+BF.

2.有角平分线出现时，过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.

例3已知：在ABC中，AC=BC，∠C=100°，AD平分∠CAB.求证：AB=AD+CD.

分析有角平分线出现时，过角平分线上一点作角的一边的平行线；有线段的和或差出现时，往往采取“截长补短”的办法.如图5，过点D作DE∥AB，交AC于点E，在AB上截取AF=AD，连接DF.

图5图6容易证得AE=DE.根据DE∥AB容易得到AE=DB，从而DE=DB，因此可证得CED≌FDB，所以CD=FB.又AD=AF，命题得证.

当然，本题也可以根据角的轴对称性构造全等三角形和等腰三角形来解决.如图6，在AB上截取AE=AC，连接DE，在AB上截取AF=AD，连接DF，根据SAS可得ACD≌AED，因此CD=ED.同时可以证明DEF、DFB都为等腰三角形，所以BF=DF=DE=CD，所以AB=AF+FB=AD+CD.

3.有角平分线出现时，过角的一边上的点作另一边的平行线或过角的一边（或延长线）上的点作角平分线的平行线与另外一边相交，从而构造等腰三角形.

例4已知：过ABC的边BC的中点D作∠BAC的平分线AG的平行线，交AB、BC及CA的延长线于点E、D、F.求证：BE=CF.

分析点F为CA延长线上的点，且FD∥AG（AG为∠BAC的角平分线），可以得到等腰AEF.

如图7，过点C作CH∥AB，交ED的延长线于点H.

由CH∥AB，可得∠H=∠3，又由已知DF∥AG，可得∠3=∠1，∠F=∠2，又因为AG是∠BAC的角平分线，所以∠1=∠2，因此∠F=∠H，所以CF=CH.由ASA或AAS容易证得BDE≌CDH，所以BE=CH，由此命题得证.

图7图8当然，本题还可以过点B作AC的平行线，构造全等和等腰三角形.如图8，过点B作BI∥AC，交ED的延长线于点I.证法类似，不再赘述.

3角平分线加垂线模型

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形.因此，当题目中有角平分线以及垂直于角平线的线段出现时，往往是延长该垂线段，使它与角的另一边相交，从而构造等腰三角形.

例5如图9，已知ABC中，CE平分∠ACB，且AECE，∠AED+∠CAE=180°，求证：DE∥BC.

分析已知条件中有角平分线以及与角平分线垂直的线段，因此，延长垂线段AE交BC于点F，容易证得AEC≌CEF，所以CA=CF，所以∠CAE=∠EFC亩可证得∠CAE=∠DEF，所以∠DEF=∠EFC，命题得证（即逆用等腰三角形三线合一这一性质）.

此例题在已知条件不变的情况下，可以改为：求证：DE=12（BC-AC），作辅助线的方法同上，再在此例题的基础上证出DE为ABF的中位线即可.当然，如果已知BC、AC的长，我们还可以进而求出DE的长度.

图9图10例6已知：如图10，在ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD为∠ABC的平分线，CEBD，交BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.

分析BD为∠ABC的平分线，而CEBD.因此，延长垂线段CE与角的另一边相交，构造等腰三角形.延长CE交BA的延长线于点F.根据AAS证得BEC≌BEF，因此有CE=EF，即CF=2CE.只需证得BD=CF即可.而根据AAS或ASA可以证得ABD≌ACF，从而得到结论.

以上解题规律和添加辅助线的方法可以概括为下面的顺口溜：

图中有角平分线，可向两边作垂线；

也可将图对折看，对称以后关系现.

角平分线平行线，等腰三角形来添；

角平分线加垂线，三线合一试试看.

篇10

知识结构

重点、难点分析

相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点．

它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．

它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．

教法建议

1.教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入，例如照片的放大、模型的设计等等

2.教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入，设计一个具体问题由学生参与解答

3.在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比

（第1课时）

一、教学目标

1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．

2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．

3．进一步培养学生类比的教学思想．

4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美

二、教法引导

先学后教，达标导学

三、重点及难点

1．教学重点：是性质定理1的应用．

2．教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具．

六、教学步骤

［复习提问］

1．三角形中三种主要线段是什么？

2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？

3．什么叫相似比？

［讲解新课］

根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．

建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．

性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比

∽，

，

教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．

分析示意图：结论∽（欠缺条件）∽（已知）

∽，

BM=MC，

∽，

以上两种情况的证明可由学生完成．

［小结］

本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．