方程的意义范文

导语：如何才能写好一篇方程的意义，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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教学目标：借助生活情境理解方程的意义，能从形式上判断一个式子是不是方程；经历从生活情境到方程模型的建构过程，感受方程思想；培养学生观察、描述、分类、抽象、概括、应用等能力。

教学重点：准确从生活情境中提炼方程模型，然后用含有未知数的等式来表达，理解方程的意义。

教学难点：理解方程的意义，即方程两边代数式所表达的两件事情是等价的。

教学过程――

一、呈现情境，建立方程

1.师：(出示一台天平)请看，这是一台天平，在什么情况下天平会保持平衡呢?

教师在天平的一边放上两袋100克的食物，另一边放一个200克的砝码，这台天平保持平衡了吗?

提问：你能用一个式子表示这种平衡吗?(100+100=200或100×2=100)你怎么想到了用数学符号“=”来表示天平的平衡呢?(引导学生说出：这里的100+100表示的是天平左盘食物的质量，200表示的是天平右盘砝码的质量，正因为它们的质量相等，天平才会平衡，如果学生说成：食物的质量=砝码的质量，教师也给予肯定，然后问：现在已经知道这两袋食物的质量都是100克，砝码的质量是200克，那么上面的式子可以写成什么形式?)

2.(出示两小袋食品)将左盘的食物换成两袋30克的食物，天平还是平衡的吗?为什么?你能用一个式子表示这种不平衡吗?(30+30

师：这里有一袋重x克的小豆，我们把它加到轻的一端，(等待天平平衡后)天平平衡了，你又能想到什么式子?(60+x=200)

3.一盒牛奶有275克，在左盘里换上它，这时候天平会怎样?(不平衡)会用式子表示这种不平衡吗?(275>200)咱们班谁喜欢喝牛奶?你喝吧!问：这盒牛奶被喝掉多少克了?再问：这盒牛奶现在的质量可以怎么表示?(275-x)克。

4.再将这盒喝过的牛奶放在天平的左盘，可能会出现什么情况?可以怎么表示?写一写!点名汇报，(切忌一问一答!当学生答出一种情况，老师随机问这种情况表示的是什么情况)

当学生说出275-x>200、275-x=200、275-x

5.刚才，我们列出了这么多的式子表示天平的平衡情况，其实，不单是天平的平衡与否可以用这样的一些式子来描述，很多问题也可以用类似的式子来描述，老师这儿就有几个问题，想试试吗?在纸上写一写!

(3)学生写时，教师巡视，接着点名汇报，询问学生是怎么想的后，根据学生的回答，随机板出：3x

设计意图：从实际情境中列出等式和不等式(其中有两个方程)，是为了让学生用数学的符号把要说的话(两件事情等价)表达出来，抽象出数学模型，初步感知方程的表现形式，从生活中的提炼到数学表达再到形式化的过程，正是为了渗透建模思想。

6.对式子100+100=200，30+30200，275-x>200，275-X=200，275-x

二、变化情境，理解方程

1.运用上面的三盒彩笔的情境图，教师说，根据这幅图能列出方程吗?如果换成：买4盒，分给每人一枝，则刚好，怎么列方程?

2.联系刚才的情境，要求学生再说说对方程的理解，(学生可能说，方程表示平衡；方程的两边虽然形式不一样，但总是相等的；方程表示数量关系；方程一定是等式……)

3.小明也根据一些生活情境列出了一些式子，哪些是方程?

①35+65=100，②x-14>72，③y+24④5x+32=47，⑤2x+3)=34，⑥6(a+2)=42

(对不是方程的式子，一定要学生从本质上解释为什么不是方程)

学完方程后。小明又列了两个式子，却不小心被墨水给弄脏了，猜猜他原来列的是不是方程?

让学生明白，不管墨迹处是什么，第一个都是方程，第二个则可能是也可能不是，可小明说，他列的第二个式子也是方程，猜一猜，他列了个什么方程?

4.看来，大家对方程又有了更深刻的认识，其实，早在三千六百多年以前，人们就对方程有了自己的认识你知道吗?

课件出示(配以录音)：早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了，在我国古代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料，一直到三百年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，才形成了现在的方程。

篇2

教学内容:

教学目标:

1.知识与技能使学生理解和掌握等式与方程的意义。

2.过程与方法

:通过自主探究学习，弄清方程和等式两个概概念

3.情感与价值观：让学生感受方程与生活密切联系。

教学重推点

重点:

理解和掌握方程的意义。

难点：弄清方程和等式的意义。

教学过程

一、课前复习(课件出示做习题，用字母表示长方形的周长和面积)。

谈话导入：前面我们学习了用字母表数或表系数量关系，今天我们就学

习新的知识

认识天平：天平是由天平秤和砝码组成的。因为物体的质量有轻重，所以砝码也有大小，砝码越大就越重。把要称量的物体放在左边的托盘，右边的托盘放相应的砝码,当天平平衡、指针指在正中央，说明这个物体的重量就是砝码的重量。

三、实际操作，探究新知。

1.

课件出示第一幅图:左盘放50克的两个砝码,右盘放上100克砝码。

师提问:

（1）仔细观察，现在天平处于什么状态?(平衡)

（2）天平平衡说明什么?

(左右相等)

师:你能用一个式子表示这种平衡了状态吗?

教师根据学生回答板书:

50+50=

I00

师:

50+50=100这个式子是用等号连接的。数学上就把“用等号连接的式子”叫等式。它表示等号左右两边相等。

师:其实“等式”大家并不陌生，我们在过去学过的加减、乘、除

运算时就得到许的“等式”。谁能说几个等式?(请学生回答)

2.老师提问：如果要称一个杯子的重量，如何操作天平。（左物右码)

课件出示第二幅图:一个天平左盘上放了一个玻璃杯，右盘上放100克重的砝码，正好平衡。

师:仔细观察,现在天平处于什么状态?

(平衡)

师;对，我们知道了杯子重100克。

3.师：在空杯子里加满水，右边不变，天平会怎样?

(天平失去平衡)

你发现了什么?哪边重?

(左低右高、左边重)

题问:如果水重X克，杯子和水重多少?(一怀水共重的少?)

生:

100+x

师：要使天平平衡应该怎么办?

(加砝码)

4.课件演示:在右边加100克砝码。

师:仔细观察，你发现了什么?

那边重?（天平不平衡，左低右高，左边重)

师：天平左边重100+X，右边重200克，能用一个式子表示吗？

生：100+x

>

200

师：像100+x

>

210

这样左右两边不相等的式子叫做不等式

5.继续演示:在右边增加100克法码,观察能否让天平平衡。

师:你又发现了什么？(天平平衡了)

师：能用一个式子表示吗？

生:

100+x

300

(它也是一个不等式).

6.课件演示:将右盘中一个100克砝码换成50的克法码

师:看现在天平处于什么状态?

(平衡)用一个式子表示(100+X=250)

师:

100+X=250是一个等式，因为它由“=”连接，左右相等。

7.课件出示:一本练本x元，3本2.4元。

提问:你们可以用一个式子表式这个等量关系吗?

生：3x=2.4

8.课件出示以上所有的式子,和些其它式子。让学生找出等式。再从等式中找出含有未知数的等式。

给出方程的意义:

像100+x=250

，3x=2.4

...这样含有未知数的等式就是方程。

三巩固练习

1.判断哪些式子是方程。

62+口=78

3x+口=42是不是友程。

2.看图式方程。

四、课堂小结

说一说你有哪些收获?

五、布置作业

第6页

练习十四，第2题前两题。

六、板书设计

50+50=100(等式)

等式:用等号连的式于叫等式。

100+x

>

200

(不等式)

100+X

300

(不等式)

100+X

=

250

（方程）

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【关键词】微分方程；齐次方程；变量代换；分离变量

1.问题的提出

称形如dydx=f（yx）的微分方程为齐次方程.对方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，当c1=c2=0时，即为齐次方程；当a1b1a2b2≠0时，可通过线性变换将其转化为齐次方程进行求解.对于a1b1a2b2=0或c1，c2不定的情况，该微分方程又如何求解呢？

2.问题的求解

对于方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，随着常数取值的不同，可以把其转化为其他类型的微分方程进行求解，下面根据二阶行列式为零的几种特殊情况分别进行讨论：

（1）当a1=b1=0，c1≠0时，

dydx=c1a2x+b2y+c2.（*1）

令u=a2x+b2y+c2，得：dudx=a2+b2dydx.

将（*1）代入上式，得：dudx-a2=b2c1u.

这是典型的可分离变量的微分方程，不妨设解为φ（u，x，C）=0（C为任意常数，下同），从而原微分方程的解为φ（a2x+b2y+c2，x，C）=0.

（2）当a2=b2=0，c2≠0时，方程可整理为：

dydx=a1x+b1y+c1c2=b1c2y+a1x+c1c2，

即dydx-b1c2y=a1x+c1c2.

这是一阶线性微分方程，直接可借助求解公式，

y=e-∫P（x）dx（∫Q（x）e∫P（x）dxdx+C），

其中P（x）=-b1c2，Q（x）=a1x+c1c2.

（3）当a1a2=b1b2=c1c2时，

不妨设比值为k，则可将原微分方程化为：

dydx=ka2x+kb2y+kc2a2x+b2y+c2=k.（*2）

显然，此时微分方程的解为y=kx+C.

（4）当a1a2=b1b2≠c1c2时，

仍令a1a2=b1b2=k，代入原微分方程，得：

dydx=ka2x+kb2y+c1a2x+b2y+c2=k+c1-kc2a2x+b2y+c2（*3）

令u=a2x+b2y+c2，则：dudx=a2+b2dydx.

代入微分方程（*3）并整理，得

u（a2+kb2）u+b2（c1-kc2）du=dx.

两边积分可得：

1a2+kb2{a2x+b2y+c2-（c1-kc2）b2a2+kb2ln[（a2+kb2）（a2x+b2y+c2）+（c1-kc2）b2]}=x+C.

3.问题的扩展

考察方程dydx=f（a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2），右边尽管是a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的表达式，但变量代换令u=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，整理后得到：

a2ux+b2uy+c2u=a1x+b1y+c1.

两边关于x求导，得

a2dudxx+a2u+b2dudxy+b2udydx+c2dudx=a1+b1dydx.

显然，这样的代换只能使得方程求解更为复杂.因此对这类形式的微分方程，一般通过考察a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的具体形式选择具体的求解方法.例如当a1b1a2b2≠0时，可通过线性变换x=X+h，y=Y+k将微分方程转化为

dYdX=fA1X+B1YA2X+B2Y.

这是典型的齐次方程，该方程的求解可以按照前面方法进行.而当a1b1a2b2=0的讨论要复杂一些，需要对内部进行整理并寻求合适的变量代换.限于篇幅，这里不再赘述.

4.结 论

微分方程的求解对研究实际问题具有重要意义，这里针对由齐次方程衍生的一类特殊方程，通过考虑参数的不同取值，基于传统的变量代换和分离变量以及现有微分方程理论，研究了不同条件下的具体求解方法.从求解过程可以看出，微分方程的求解方法完全依赖于方程的具体形式，对形式复杂的微分方程只有通过分析局部特点，简化方程形式，类比基本模型，才能获得原方程的解.

【参考文献】

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关键词：小学数学；方程；教学

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）12-141-01

一、为什么要用等式基本性质解方程

顺应着基础教育的这一发展，新一轮课程改革中推出的各学科课程标准，都将小学、初中视为一个整体，予以通盘考虑，这是一大进步。数学学科当然也不例外。可以说，义务教育数学课程标准的研制、颁布为我们研究和践行中小学数学教学的衔接，提供了教学内容、教学要求等多方面的支撑和保障。我们应该基于这样的背景，展开有关的讨论。

其实，解方程的依据，严格说来，应该是方程的同解定理。但由于中小学数学的理论要求不高，再说在陈述等式的第一条性质时，只要指出等式两边都乘或除以，加上或减去同一个不等于零的数，就可以作为同解定理来使用。所以，多年以来，即使是中学数学教材，也大多采用等式的基本性质作为解方程的依据。这样处理可以避开“同解方程”等概念，减少教学的麻烦。

过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和-另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”等等。由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时，早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。

但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。当然，负迁移的程度也取决于初中数学教师的教学策略与教学艺术，但在整体上存在负迁移是一个不争的事实。

既然如此，那是不是意味着四则运算法则就到了穷途末路的境地呢？其实不然，下面我们来综合比较一下等式的基本性质、四则运算法则和移项法这三种简易方程解法的优劣。

二、移项法PK等式的基本性质

例如方程5x+2=7x-8，为了使方程化为ax=b的形式，我们就要把同类项合并，但它们又不在等号的同侧，如何合并？不妨我们利用等式的基本性质，在方程的两边都减去2，然后在方程的两边都减去7x，这样就得到：5x-7x=-8-2，然后再合并同类项就可以了.这里的2就改变符号移到了方程的右边，7x就改变符号移到了方程的左边，这种变形相当于把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。

方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边。也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边。移项中常犯的错误是忘记变号，还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不变号，因为改变某一项在多项式中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一边移到另一边时，这些项都要变号。例如5x=4x+8，如果用等式的基本性质来解，学生只知道等式两边加上或减去同一个数，等式不变，学生就会认为只能加已知数，很难想到两边可以同时减去4x，给教学带来了一定的麻烦。但如果移项的话就容易理解了，4x左移加号变减号，5x-4x=8，解方程就很容易了。这种情况下，移项法占一定优势。又例如20-8=4x，如果采用移项法把未知数左移变成-4x=-20+8，反而把简易方程复杂化了。但如果采用等式的基本性质，根据天平平衡原理，左右交换变成4x= 20-8就容易多了。这种情况下，等式的基本性质占优势，综合比较，各占千秋。

三、四则运算法则PK等式的基本性质

新课标人教版教材五年级数学上册“简易方程”教学内容由原教材用加减乘除四则运算之间的关系解方程改成天平平衡原理（等式的基本性质）解方程。然而，在学生的学习中，都用这种方法解决的话，有些方程不太容易解，大部分学生老是学不会。怎么办呢？

回顾学生学过的四则运算之间的关系，实质是由等式的基本性质得到的，是否可以教用学生已经熟悉的四则运算之间的关系来解方程呢？于是我就尝试让学生回忆加、减之间的关系和乘、除法之间的关系，弄清楚它们之间的关系后，我让学生试着用“一个加数等于和减去另一个加数” “被减数等于差加减数”“减数等于被减数减差” “ 一个因数等于积除以另一个因数”“被除数等于商乘除数”“除数等于被除数除以商”这六句话来解方程，没想到学生尝试后都觉得好用，大部分学生都学会了用这种方法来解方程。

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关键词：一元一次方程；应用题；等量关系

一元一次方程应用题是建模思想的具体运用，就是把应用题中的数量关系建立成方程模型，运用方程解决实际问题，学生通过解答这种类型的题目有助于培养自身的综合运用能力。由于受列式计算的影响，很多学生缺乏建模观念，面对实际问题感觉无从下手，不能灵活运用方程解决实际问题。教师在实际教学中要为学生灌输建模思想，并积极传授一些方法和技巧，不断提高学生解决问题的能力。本文结合笔者多年教学实践经验和具体教学实例，简要阐述了解决一元一次方程应用题的方法技巧。

一、仔细审题，找出关键

审题是解决问题的前提，在解答一元一次方程应用题时，有很多学生在审题时不能够深入题目，对题目内容理解得模棱两可或者不到位，找不到解决问题的关键，这种不够深的审题导致很多学生无法找到解决问题的切入点，常常会使问题陷入僵局，究其原因，是因为学生在解答这种类型的题目时缺乏必要的审题方法与技巧，从而影响到学生的审题效果，导致学生在做题时出现不应有的失误。因此，在教学这部分内容时，教师必须给学生传授一些审题方面的技巧，让学生明白审题并不是单纯意义上的阅读，而是要通过阅读找到题目中的关键词、关键句，只有抓住这些关键之处，才能为顺利解决问题打下坚实的基础。

如，“假期到了，小华和表哥小明约好去骑车旅行，他们计划各自从自己的家出发碰面，已知小明骑车的速度是每小时50公里，小华骑车的速度是每小时40公里，并且两家在相距150公里的直线上。如果两人同时出发，相向而行，则经过多少小时两人车相距30公里？”这是一道非常普通的行程类应用题，学生在阅读时对于题目中的数量非常容易理解，也不会混淆，但是在实际解决问题时仍然有些学生出现了错误，通过对学生的错因分析，主要是因为学生审题不够仔细，没有正确理解题目中的关键词“相距”，这种由于审题不清造成的错误实际上是可以避免的。通过阅读分析，教师要引导学生找出此题中的关键词句应是“两人相距30公里”，很多学生理解为“两人还差30公里就要相遇”，但是在实际运用中“两人相距30公里”包括“两人相遇前的相距”和“两人相遇后的相距”两种情况，本题到底是哪种形式的相距，很多学生搞不清，这时教师可以画出两车的运行图，让学生结合运行图理解和分析，很容易就会发现这两种情况都成立，从而顺利解决问题。

二、按照需要，灵活设元

应用题是让学生运用所学的数学知识解决实际生活中的一些问题，在这种类型的题目中蕴含着许多错综复杂的数量关系， 如何将这些错综复杂的数量表示出来是解决问题的关键，而要具体表示这些数量，往往需要根据题意设未知数，也就是设元。而设元也有一定的技巧，设元并不仅仅是问什么设什么，问什么设什么仅仅是设元的一种，除了这种直接设元的方法外，还有间接设元的方法，多设元少设元等方法，这些方法需要根据问题的实际灵活选择，如果我们让学生掌握设元的方法和技巧，就能够使问题的解决事半功倍。但是正确选择合适的设元方法解决一元一次方程实际问题对于初学者来说有一定的难度，这就需要我们教师在教学这部分内容时教会学生正确灵活地设元。

如，“小明在指导弟弟做作业时发现了这样一个有趣的两位数，这个两位数的个位数字与十位数字的4倍相等，如果他将这个两位数个位与十位上的数字对换位置，则对换后的两位数要比原来的两位数大54，这个两位数是多少？”对于这一问题如果学生不仔细地分析，直接设原两位数是x，这必定会使问题的解决陷入困境，这时，教师可以引导学生分析个位和十位之间有什么关系，学生通过认真分析发现组成这个两位数个位和十位上的数字之间为4倍关系，可设十位上的数字为x，从而根据题意很容易就能知道个位数字为4x，可以用含有x的式子表示出这个两位数为10x+4x=14x，而新的两位数可以表示为：40x+x=41x，再根据题目中给出的关系列出方程：41x-14x=54，这样就可以比较容易地解决问题。由此可见，设元对于列方程解应用题至关重要，只有合理地设元，才能为后面顺利解决问题提供便利。

三、加强训练，构建代数式

将题目中的未知数量通过代数式的形式表示是审题和正确设元之后的重要环节，也是列方程的关键步骤，只有熟练地构建代数式才能合理地列出方程。但是有很多学生缺乏这方面的能力，从而导致无法列方程解应用题，这就需要教师在教学时对列代数式的内容加强训练，首先，可以训练学生对只含有一次结果的普通数学语言和代数式之间的直译，通过这样的训练为列方程扫除障碍，打下基础；其次，可以让学生尝试设未知数，并用含未知数的式子表示另一个数，初步感知列代数式的方法和技巧；最后，通过具体的应用题让学生设未知数，并用含未知数的代数式表述多个复杂的量，体会特殊到一般、实际到抽象的过程。

如，“小花家现有60米长的护栏，打算要用它围一块长方形的鸡圈，根据地块的实际，需要围成的长方形的长要比宽的2倍少3米，你能帮助她求出这个鸡圈的面积吗？”学生要想利用列方程解决好这一问题，必须首先设出未知数，将题目中涉及的数量用含未知数的代数式表示出来，通过对题目分析可以发现要想求长方形的面积，必须知道长方形的长和宽，因此，可以先让学生设长方形的长为x米，根据护栏总长60米，可以用含有x的代数式表示出长方形的宽为30-x米，再根据长比宽的2倍少3米可以列出长的另一种代数式为[2（30-x）-3]米，从而列出一元一次方程[2（30-x）-3]=x，这样就可以使应用题迎刃而解。由此可见，列代数式是用方程解决实际问题的关键，教师必须加强学生这方面的能力培养，只有这样，才能达到化繁为简、化难为易，顺利解决问题的目标。

四、深入分析，找等量关系

探求数量之间的关系是列方程解决实际问题的突破点和关键点，这需要教师对学生进行合理的方法指导，让他们学会在题目中准确地找出等量关系。首先，要让学生明确数量关系是蕴含在题目的一些句子或公式之中的，数量关系的个数可能只有一个，也可能有几个；其次，要教会学生利用应用题中的关键性语句找等量关系的方法，教师可以结合具体的例题，通过一步步的演示，让学生掌握在各种不同类应用题中快速准确地找等量关系的方法；最后，学生根据在题目中找到的等量关系列出方程，从而完美地解决一元一次方程应用题。

如“有人要从阳朔坐船到桂林去旅游，去时逆水用了3小时，来时顺水用了2小时，假如来去水流的速度都是3千米/时，你能求出阳朔距离桂林有多远吗？”此题中的等量关系不明确，通过仔细分析发现这之间的距离是一个不变量，顺水和逆水行驶的时间又知道，只需知道顺水和逆水的速度即可，而题目中已给出水流速度3千米/时，根据以前学习过的水流速度、逆水速度和顺水速度三者之间的关系，则可以得出顺水速度为（x+3）千米/时，逆水速度为（x-3）千米/时，最后根据公式：路程=速度×时间，两码头之间的距离可表示为2（x+3），也表示为3（x-3），从而列出方程2（x+3）= 3（x-3），使此题得到圆满解答。

总之，一元一次方程应用题是初中数学教学的重要内容，对于培养学生的综合运用能力具有重要意义。教师要注重解题技巧的指导，让学生全面地掌握解答一元一次应用题的具体方法，从而不断提升做题的效率，让这种类型的题目不再成为学生数学学习中的“拦路虎”。

参考文献：

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1．使学生会解含有字母系数的一元一次方程。

教学分析

重点：含字母系数的一元一次方程的解法。

难点：含字母系数的一元一次方程的解法。

教学过程

一、复习

1．什么叫方程？什么叫方程的解？什么叫解方程？

2．试述一元一次方程的意义及解一元一次方程的步骤。

3．什么叫分式？分式有意义的条件是什么？

二、新授

1．含有字母系数的一元一次方程

引例：一数的a倍（a≠0）等于b，求这个数。

用x表示这个数，根据题意，可得方程

ax=b（a≠0）

在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。

含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。

例如：解方程5x+6=3x+10与解方程ax+b=cx+d。

解：移项，5x-3x=10-6，ax-cx=d-b，

合并同类项，2x=4，（a-c）x=d-b，

x=2。当a-c≠0时，

x=.

可以看出，上述两个方程的解法及其步骤基本相同。只是最后一步，从2x=4与（a-c）x=d-b中求出x不同，其中2≠0是很明显的，所以得x=2。而a-c必须指明a-c≠0时x=.

例1解方程ax+b2=bx+a2（a≠0）.

解：移项，得ax-bx=a2-b2，

合并同类项，得（a-b）x=a2-b2。

因为a≠b，所以a-b≠0，方程两边同除以a-b，得

x=，x=a+b.

注意：方程的解是分式时，一般要化成最简分式或整式。

例2解方程。

解：去分母，得b（x-b）=2ab-a（x-a），

去括号，得bx-b2=2ab-ax+a2，

移项，得ax+bx=a2+2ab+b2，

分解因式，得（a+b）x=（a+b）2。

a+b≠0，x=a+b。

三、练习

练习：P90中练习1，2，3，4。

四、小结

本课内容：含有字母系数的一元一次方程的解法。

五、作业

作业：P93中习题9.5A组7，8，9。

需要注意的几个问题

篇7

化学学科是一个研究微观世界的科学，而物质的存在状态和相互发生的关系是其研究的主要内容，在看似平凡的世界内部，每时没刻都在发生着怎样的变化，产生什么新物质，或者有什么物质消失了。对这种规律的描述，就是化学语言中的符号样式——化学方程式。

1 了解化学方程式的内涵及意义

1.1 定义及内涵:化学方程式，也称为化学反应方程式，是用化学式表示不同物质之间化学反应的式子。即用化学式（有机化学中有机物一般用结构简式）来表示化学反应的式子，叫做化学方程式。化学方程式反映的是客观事实。

从书写的角度看，化学方程式的书写必须建立在客观事实的基础上，不能凭空去想象物质不存在的物质和化学反应，同时，要能够满足物质守恒的规律，也就是说在化学方程式等号的两边各种原子总类与数量必须相等。

化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，同时，化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系，通过相对分子质量或相对原子质量还可以表示各物质之间的质量关系，即各物质之间的质量比。对于气体反应物、生成物，还可以直接通过化学计量数得出体积比。

1.2 表示意义：每一个化学方程式，都表示一定的特定意义：表示反应物和生成物；表示化学反应的条件；表示各物质之间的质量比；表示参加反应的各粒子的相对数量；表示化学反应的类型；表示反应前后质量守恒(即反应物的质量总和等于生成物质量总和)。

2 化学方程式的结构依据和正确书写

以客观事实为依据。所谓的事实依据，指的是作为化学反应参与的物质过程，由哪些物质参与化学反应这一行为，从而促进和推动物质间向另外一种状态变化。变化发展的过程，必须是实实在在可以发生，并且条件缺一不可，或者至少能通过某种相关的辅助手段，实现化学反应的实现。这一事实，即是化学反应不可改变的规律。同时，这里的事实是说明反应的过程是客观存在的，而不是主观臆造的，也不会因为我们意志的改变而发生改变。

遵循质量守恒定律。化学方程式遵循质量守恒，是指在方程式两边参与式子反应的物质，在质量、式量和总能量方面，都保持前后一致。这个原则告诉我们，在进行化学方程式复习时，要随时检查是否与质量守恒保持平衡，是否能在能量守恒方面找到恰当的等量关系，以突破解决的最佳方案。

那么，如何才能书写化学方程式呢？

这里，总结一个四字步骤：写——配——注——等。

写——写出反应物和生成物的化学式并用短线或箭头相连。写方程式，首先保证所写的物质的化学式书序正确，包括所描述的元素符号、下角线要保持一致，如果书写的式子不是所描述的物质，那么，描述的反应过程就会产生与化学事实不符的情况，造成记录和科学实验的严重后果。

配——配平化学方程式。书写化学方程式的第二个重要步骤，就是在书写好的反应式两端，寻找恰当的系数与等号两边相配合，在配平方程式的过程中，可以使用观察法、最小公倍数法、奇数偶配法、定一法（把其中某个式子系数假定为“1”）、待定系数法、分数法、化合价升降法、得氧失氧法等方法。

注——注明反应条件，生成物的状态。

等——将短线或箭头改为等号。

3 化学方程式的分类复习

3.1 按照教材知识编排：这是根据所使用的教材知识结构顺序，分门别类地进行复习，这个方法适合于高三年级第一轮复习使用。在梳理教材知识点的过程中，每个一个化学知识最基本的线索就是具体看似分散的一个个化学方程式组成的。

应该说，化学方程式是化学语言中最基础的语言符号，它直观地描述了某种化学物质的特征，性质，同时，也真实地反映了某一化学现象产生、变化和发展的动态改变过程。所以，学生在做第一轮复习时，不仅仅是回忆老师讲授过的内容，更要把知识中的文字叙述部分，与化学符号语言的关联部分进行配合理解，做好分析整理，明白每个化学方程式是如何推演而来，又描述一件什么样惊人的物质变化。

在按照教材复习化学方程时要注意每个知识点与方程式之间的对应，做到准确务实，包括化学方程式的书写，条件的生成，以及反应结果的文字描述等，一定要忠诚于教材的观点，不能想当然地发挥。

3.2 按照物质分类来复习

3.2.1 非金属单质：高中阶段常见的非金属单质有F2、Cl2、O2、S、N2 、P 、C 、Si、 H等。这几种单质有可以根据反应条件的不同，而有所区别。

假如是氧化反应。

篇8

【关键词】一元二次方程应用 题型归类

在初中数学的教学中，应用题的教学是一个难点，一元二次方程的应用也不例外是一个，在近几年的中考中时时刻刻困扰着学生，下面我就一元二次方程的应用做一个归纳。仅供参考：

应用一元二次解决实际问题有下面常见的几种类型：

增长率或降低率问题：

关于一元二次方程应用题中的增长（降低）率问题，根据相等关系，多渠道筹措会得出基本关系式为： a（1±x）2=b，

套用公式a（1±x）2=b，注：（1）a是初始量，b是连续增长两次或连续降低两次的量，x为百分率，“+”为增长，“-”为降低；（2）解的过程用直接开平方法，无论是增长的百分率还是降低的百分率都是正值，把负值舍去。

青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8712kg，求水稻每公顷产量的平均增长率。

解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x，于是有

7200（1+x）2=8712

解方程，得

x1=0.1=10%， x2=-2.1（舍去）

根据问题的实际意义，水稻每公顷产量的平均增长率为10%。

这类问题在现实世界中有许多原形，它可以用一元二次方程作为数学模型，设平均变化率为x，则有下列关系

变化前数量×（1+x）2=变化后数量

营销问题：

问题背景是商品买卖中的定价、销量、利润的关系，其中定价的高低直接影响到销量的变化，价格降低，销量增加；价格升高，销量减少，进而会引起利润和管理成本的变化，主要数量关系由售价、成本、销量、利润四部分组成。

百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎 “六一”国际儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

解：设每件童装应降价x元，于是有：

（40-x）（20+2x）=1200 即 x2-30x+200=0

解方程，得 x1=20， x2=10

根据题意，因为要扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x=20。

方程的两个根都是正数，但它们并不都适合问题的解，必须根据它们的值来确定哪个合乎实际，这种取舍选择要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题结合的能力。

几何问题：

与几何问题有关的一元二次方程应用题主要有两类：（1）几何图形的面积问题：这类问题的面积公式的等量关系，如果图形不规则，应分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式找出等量关系列出方程。（2）勾股定理问题：直角三角形的两直角边的平方等于斜边的平方是这类问题的等量关系。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直天积（矩形面积），八百六十四步，（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步，（宽比长少一十二步，问阔及长各几步？

解：设阔（宽）x步，则长为（x+12）步，

根据题意，列出方程：

x（x+12）=864

即 x2+12x-864=0

解方程，得 x1=24， x2=-36（舍去）

答：矩形的阔（宽）为24步，长为36步。

与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数字及数字间的关系隐蔽在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形，涉及三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等。解决这类问题的关键是把实际问题数字化，这就要求我们认真分析题意，先把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何定理来寻找它们之间的关系，列出一个相关的一元二次方程，从而问题得以解决。

数字问题：利用一元二次方程解决数字问题的关键是正确而巧妙地设未知数，一般采用直接设未知数的方法。

一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数。

解：设十位数字为x，则个位数字为x+3，于是有：

（x+3）2=10x+x+3

解方程，得 x1=2， x2=3

根据题意，x1， x2都是方程的解

所以这个两位数是52或63

方法技巧：从文字语言中找出存在的相等关系

注意：做一元二次方程的应用这些题目时，首先要正确地设未知数并列出方程，然后正确地解方程，所以要对这类问题进行适当的归纳，但不要搞成偏重死记硬背题型的教学方式，要教会学生分析问题的能力。

本内容的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立一元二次方程是主要难点，突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。

经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

篇9

关于x的分式方程 ，（1）、方程若有增根，则增根是

这是中考总复习《导学精练》上面的一道例题，原题只有第二问，解法指导是：去分母，把分式方程转化为整式方程，再将增根一一代入，可求出a的值。我认为这种说话存在一些问题，去分母，把分式方程转化为整式方程，这是必须的，也没什么问题，可是再将增根一一带入，你得把增根先求出来吧，可怎么求增根呢？只有最简公分母x（x-1）=0可求出x=0或x=1，你怎么能确定哪一个或者两个是不是增根呢？具体应该如何操作呢？

我们首先来探讨一下增根的概念，增根是在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根。这也就意味着增根要同时满足两个条件：（1）、增根一定是分式方程转化的整式方程的根。也就是说他一定满足整式方程，（2）、增根一定是使最简公分母等于零的未知数的值。这样一来你把分式方程化为整式方程也求不出增根，单纯的由最简公分母也不能确定增根。例如上面的题目你也不能由最简公分母就确定增根为x=0或x=1，当我们把整式方程的解表示出来就会发现问题，整式方程的解x= 根本是不可能等于零的， 是一个分式，而分式等于零的条件是分子等于零而分母不等于零。这就是说x=0不是整式方程的根，增根的第一个条件他都不满足，所以x=0不可能是增根， =1是有可能的，方程若有增根，那增根就只有x=1。

这样可以看出，要求出分式方程的的增根要分两步，要把分式方程转化的整式方程的解表示出来，再看最简公分母等于零的未知数的值能否满足整式方程的解，有可能满足就有可能是增根。例题中而如果直接代入就会出现这种结果：（a-1）×0=5，则0=5.明显的矛盾就出现了，这样的a也是不存在的。为此要强调，求分式方程的增根不能只根据最简公分母等于零来求，他有可能连整式方程都不满足。

增根是满足整式方程而不满足分式方程的，这样若求出了增根再求第二问的a的值就简单了，我们把分式方程转化为整式方程的解都表示出来了，就没有必要再代入整式方程了，代入整式方程的解会更快的解决问题。像第二问， =1，则a=6即可。这样一来，方程有增根求字母的值的问题，实质上还是要先求出增根，再将增根带入表示出来的整式方程的解或者代入整式方程也可以。由此可见，没有第一问的结果是不能解决第二问的。

下面我们看看第三问关于分式方程无解的问题，很容易想到的就是把分式方程解出来，将增根代入，从而求出之母的值。实质上这里面忽视了一个问题，那就是有可能分式方程转化的整式方程都无解，那样一来分式方程不也是照样无解了吗？上面的例题中，整式方程的解可以表示为x= ，当a=1时a-1=0， 是没有意义的，也就是说当a=1整式方程是无解的，即a=1时原分式方程无解。可能有时候没考虑整式方程无解的问题结果也会做对是什么问题呢，在一般情况下，那就要看表示整式方程的解的代数式是不是分式，例如某分式方程转化为整式方程的解表示为x= ，则a等于任何实数，整式方程都是有解的。这种状况下，你忽视了整式方程无解的情况也与最后结果没关系。但就我们分析分式方程无解的解题思路上来说还是不对的，由此总结分式方程无解，求某一字母的值过程应该是：（1）、先将分式方程转化为整式方程，表示出整式方程的解。（2）、看看整式方程是否有无解的可能，若有，求出无解的字母的值。（3）、求出增根带入整式方程的解，求出字母的值。（4）上述两种情况求出的值综合到一起就是我们所需要的结果。

篇10

一元二次方程这一章容量远大于一元一次方程和二元一次方程组，学习的要求远高于一元一次方程和二元一次方程组，既是第三学段数与代数的重点内容，更是继续学习的重要基础。《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

根据课程标准的要求，我安排了授课内容，在第一环节中我选取的题目是常见的但却容易出错的，比如，解方程中的（1）2（x+3）2=x（x+3），学生会两边约去（x+3），从而导致丢根。接下来的解答题和应用题都是易错题型，比如，（2）若关于x的一元二次方程 （m-1）x2+x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。（3）某校去年对实验器材的投资为4万元，预计今明两年的投资总额为9.24万元，若该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率相同，求这个增长率？学生作业都能完成，但出现的问题不少，甚至第二小题多半学生都做得不完整，第三小题也因为读题不清做错得较多。

在第二环节中，由学生讲解复习作业中的题目，其中第一题解方程的第一个小题，请一位学生将自己的解题过程展示给大家，其余小题请一位学生与大家对答案即可。剩余的2、3、4题分别请学生展示自己的解题过程并且讲述自己的解题思路，再由其他学生进行补充说明或者纠错。对于第一题，学生普遍完成比较好。第二题较多学生在做题时只考虑了方程有两个实数根，令根的判别式大于等于0就求解了，而实际上还应该考虑二次项的系数不能为0。第三题学生在完成时大部分做错了，都说没有看清题目条件，其实也反映出学生在找这道题的等量关系时出错了，他们就按照一般情况下求第三次的量列出了方程，也提醒学生常见题型在做时也要认真审题，找准题目的等量关系是做对应用题的关键。第四题上黑板展示的学生讲解得很好，其余学生也完成得很好。请做错的学生自己给自己找错，我觉得这种形式的教学可能教学效果会很显著，因为这种强化势必会让这些曾经犯过一些错误的学生记忆非常深刻。

接下来第三环节中考链接中，要选择了具有代表性的两个题目，一个是动点问题，一个是增长率与不等式应用结合的题，这两个题都是近年的中考题，选择让学生自主探究与小组探究结合的方式去完成。第一题学生在自主探究时就有大半能找到等量关系列出方程，在相互交流时就已经很多人会做了，最后由一位学生给大家讲解了完整过程。第二题的第一问因为已经有了前车之鉴，大家找等量关系都没费时，顺利完成，到这时本章的基本应用学生已大致掌握，数学建模思想初步形成。在第二问的合作学习过程中，呈现出不同的思维形式，各组针对“使用新设备几个月后，所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润”展开了讨论，各种想法的提出，真正展现了学生开阔的思维，真正体现了合作学习的优势。通过对这两个题目的具体分析，学生再次经历在实际问题中抽象出一元二次方程的过程，发展他们分析问题、解决问题的意识和能力，也为下一章二次函数的学习奠定一定的基础，体现了教材螺旋式上升的设计意图。

到此时学生已经经历了由最初的发现本章中自己易犯的错误到纠正错误，再到细心地解决问题的过程，第四环节反思小结就很有必要了，让学生都来说一说这一章中重点是什么，需要注意什么，然后第五环节跟上课堂小测，让每位学生看看这节复习课到底有没有收获。最后环节回家的作业是回归课本，阅读本章内容。

一节复习课上完之后，学生的反应给了我很多提示，（1）复习课就是为了查漏补缺，学生总觉得我已经学过了而不重视，所以上课时一定要让他们动起来，我想在梳理一元二次方程知识点时可以让学生说，学生总想比一比自己是不是比别人说得多，这样复习课就会活起来。（2）复习课时让学生搜集平时的错题，让学生准备他认为这一章大家应该掌握的题型带到课堂上来大家交流。平时的复习课总是老师认为这些或那些需要复习，其实学生才是学习的主人，由他自己准备他才会认真整理全章的知识。（3）复习课后是不是可以由学生出一份单元测试卷并附上标准答案呢？这样就可以知道他自己是不是已经全部掌握了。

总之，复习课就要查缺，就要补漏，每位准备上复习课的教师都要事先想好这个，只有这样，复习课才能起到事半而功倍的效果。

参考文献：