一次函数范文

导语：如何才能写好一篇一次函数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

大部分学生在学习这段内容后，都存在不同程度的困惑，特别是受前面学习的自然数、有理数、实数等“数”的影响，对函数意义的理解感到很渺茫，会不自觉地将函数与有关的数进行联系、归类.从而造成了许多认识上的混乱.

一、函数不是“数”

如果说整数、分数、有理数、无理数等数我们不仅能举出相应的数例来，而且还能在数轴上找到它们的相应的点的话，那么函数是什么呢？函数是一种关系，通俗地讲，函数是指两个变量之间的一种对应关系，那么变量又是怎么一回事呢？变量是相对于常量的.在一个事件过程中，始终保持不变的量我们称之为常量，而那些变化的量则称之为变量.在一次函数中有两个变量，比如：（1）y=3x、（2）y=x+1等式子，当式子中的一个变量x的值一旦确定，那么式子中的另一个变量y的值也随之确定了，即（1）中x的值确定3x 的值确定y的值确定，（2）式子中的x的值确定x+1 的值确定y的值确定.

二、数学模型化

任何一个二元一次方程，都可以化为用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，例如方程3x-2y+4=0，化为y=

32x+2，x是自变量，y是x的一次函数.化为x=

23y-

43，则y是自变量，x是y的一次函数.可见一次函数的一般表达式就是形如：y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0）.当b=0时，即y=kx，（k≠0），y是x的正比例函数，反之，无论y是x的正比例函数y=kx（k≠0），还是y是x的一次函数y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0），都可以化为kx-y=0、kx-y+ b=0的形式，这就是关于x、y二元一次方程.一次函数与二元一次方程在本质上是相同的，即含有未知数的等式，不同的只是函数的研究注重于因变量与自变量的那种对应关系.

三、“ 一”统到底

一次函数其基本模型是y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0），它与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）总是存在千丝万缕的联系，也正是一次函数的出现，才使得这四个“一次”赋予了更新的内涵.

1.透过方程看函数

我们在学习一次函数前，已经系统地掌握了二元一次方程（组）的有关知识，两者从概念上看都是一次，说明未知数（或变量）的次数都是1，从式子的外形上看二元一次方程都可以转化为一次函数的形式（当然一次函数也可以转化为二元一次方程的形式）二元一次方程中的两个未知数就是一次函数中的两个变量.在一次函数中自变量x每取一个数值，函数y都有唯一的数值与它对应，一次函数的函数值是随自变量的取值的确定而确定，这与二元一次方程有无数个解是完全一致的.

2.借助图象解方程（组）

一次函数y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0），它的图象是一条直线.直线是由无数个点组成的，其中直线上每个点的坐标都适合方程y=kx+b，因此方程y=kx+b由无数个解，在同一直角坐标系中，如果有两条直线y=k1x+b1， y=k2x+b2不平行，那么它们必然有一个交点，而且只有一个交点，这个交点坐标既适合方程y=k1x+b1，又适合方程y=k2x+b2，这个交点坐标就是由方程y=k1x+b1，y=k2x+b2组成的方程组的解.如果直线y=k1x+b1、y=k2x+b2平行，它们没有交点，这个方程组就无解，如果直线y=k1x+b1、y=k2x+b2是同一条直线，即两条直线互相重合，它们有无数个公共点，这个方程组就有无数个解.实践表明，方程组有无解以及它的解是否唯一，取决于k1、k2的关系：（1）当k1≠k2时，两条直线有唯一公共点，原方程组有唯一解；（2）当k1=k2、且b1≠b2时，两条直线无公共点，原方程组无解；（3）当k1=k2、且b1=b2时，两条直线有无数公共点，原方程组有无数解.

3.利用图象找解集

图1

一次函数的图象是一条直线，这条直线如果不与坐标轴平行、不经过坐标原点，则必然与两坐标轴相交，例如一次函数y=1.5x+3，其图象如图1所示.

该直线与x轴、y轴分别交于点A（-2，0）、B（0，3），由此图不难看出，当x= -2时，y=0，以点A为分界点，点A右边的图象处于x轴上方，点A左边的图象处于x轴的下方，这说明：当取x>-2时，y>0，即不等式1.5x+3>0的解集是x>-2；当取x

四、撩开面纱成双对

1.天生的一对变量

借用教材中的话说：“如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数”.可见，函数中必须有两个变量，如果把其中一个变量规定为自变量，那么另一个变量就是这个自变量的函数.

例如：在正比例函数y=-12x中，x是自变量，y是x的正比例函数，当x每取一个确定的数值时，y都有惟一的数值与它对应，也就是说，只要x取一个确定的数值，y也就有一个确定的数值了.

2.函数图象中点的坐标是一对有序实数

在平面直角坐标系中，可以通过列表、描点、连线等一系列过程作出函数的图象，那么在平面直角坐标系上找出任何一点的坐标，都是用两个实数表示的，并且表示横坐标的数写在前面，表示纵坐标的数写在后面，两个数中间用逗号隔开，前后再用小括号括起来.

例如，一次函数y=2x+2.如图2，其图象与x轴、y轴的交点坐标分别是（-1，0）和（0，2）.图象上其他点的坐标也都是如此表示.

图2图3

3.画一次函数图象只需找出两个点

一次函数的图象是一条直线，由直线公理：两点确定一条直线.可知：画一次函数的图象时，只需找出图象上的两个点的坐标即可.例如要作一次函数y=3x-2的图象时，当x=0时y=-2，即点坐标是（0，-2）；当x=1时y=1，即点坐标是（1，1）；在直角坐标系中将经过点（0，-2）与（1，1）的直线作出，就是函数y=3x-2的图象，如图3.

在平面直角坐标系中，能作出函数y=3x-2的图象的点很多，因为在函数y=3x -2中，x每取一个值，y都有惟一的数值与它对应，这样的坐标点在平面直角坐标系上可以找出无数个，因此，只要从中任取两个坐标点，就可以作出函数y=3x-2的图象了.

4.一次函数y=kx+b （k≠0，k、b为常数）的图象所经过的象限中，有两个象限是由k的符号确定的

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1.函数的概念

在某变化的过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有惟一确定的值与它对应,那么称x是自变量,y是x的函数.

2.函数的表达式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数的解析式或函数关系式,用数学式子来表示函数的方法叫做解析法.

3.自变量取值范围的确定

必须考虑自变量的取值使解析式有意义,具体地,整式型的自变量的取值范围是全体实数;分式型的自变量的取值范围是使分母不为零的实数;二次根式型的自变量的取值范围是被开方数为非负数;复合型的自变量的取值范围由所列不等式的解集确定;应用型的自变量的取值范围还应考虑实际意义.

4.函数值

对于自变量在取值范围内的一个确定的值,如当x=0时,函数有惟一确定的对应值,这个对应值叫做x=0时的函数值.

5.一次函数与正比例函数的定义

一般地,如果两个变量x与y之间的关系,可以表示为y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数.

特别地,当b=0时, y叫做x的正比例函数.

6.如何求一次函数与正比例函数的解析式

①因为正比例函数y=kx(k≠0)中的待定系数只有一个k,因此确定正比例函数的解析式只需关于x、y的一组条件,列出一个方程,从而求出k值.

②而一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有k和b,因此要确定一次函数的解析式需关于x、y的两组条件,列出一个方程组,从而求出k和b.

7.一次函数的图象

一般地,正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线,一次函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b

因为一次函数的图象是一条直线,由直线的公理可知:两点确定一条直线,显然一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象是经过点(0,b)、(-■,0)的一条直线.

8.一次函数的性质

在一次函数y=kx+b中,

如果k>0,那么y随x的增大而增大;

如果k

9.一次函数表达式的确定

(1)通过分析数量(等量)关系得出函数关系式;

(2)通过利用函数图象,根据直线上两点坐标列出方程组确定k,b的值,求出一次函数表达式;

(3)从已知条件出发,通过数学建模得出一次函数表达式.

10.一次函数的应用

用一次函数解决实际问题的步骤:(1)认真分析实际问题中变量之间的关系;(2)若具有一次函数关系,则建立一次函数的关系式;(3)利用一次函数的有关知识解题.

在一些具体的生活问题中,数据往往较多,反映的内容也很复杂,如何把众多的信息组织起来是解题的核心.在实际生活问题中,应用一次函数知识解题的关键是建立一次函数关系式,然后根据一次函数的性质,综合方程知识求解.

在一次函数应用的过程中,要注意结合实际,确定自变量的取值范围,求出对应的函数值时,舍去不符合题意的部分.

11.一元一次函数与一元一次方程

对于一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0),它反映了2个变量x、y之间的某种对应关系,当其中的一个量变化时,另一个量也随着变化,并且它们之间建立的是一一对应关系,把这一对对有序实数(x,y)作为点的坐标,在平面直角坐标系中,就可以画出一条直线,这条直线就是一次函数的图象.

同学们知道一元一次方程都可以转化为kx+b=0 (k、b为常数,k≠0)的形式,所以当一次函数的函数值为0时,求自变量x的值,就是解方程kx+b=0求其根. 从图象上看,就相当于已知直线y=kx+b(k、b为常数,k≠0),求这条直线与x轴交点的横坐标的值.

12.一元一次函数与一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以转化为kx+b>0 或kx+b0或y0 或kx+b

13.一元一次函数与二元一次方程组

一般地,一元一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解;以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上.

一般地,如果两个一元一次函数的图象有一个交点,那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解,所以解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法.

用图象法解二元一次方程组的步骤如下:

①把二元一次方程化成一次函数的形式;

②在直角坐标系中画出两个一次函数的图象,并标出交点;

③交点坐标就是方程组的解.

二、渗透的数学思想方法

1.数形结合思想

著名的数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微;数形结合百般好,数形分离万事休”,这句名言道出了“数形结合思想”的重要性. 函数图形可直观形象地表示出两个变量之间的关系,我们知道一次函数的图象是坐标(x,y)满足解析式y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的所有点的集合,这样就将数与式的关系同点与线的位置关系紧密地融合在一起,实现了形数的完美结合.由一次函数的图象探索其性质就是一个由“形”向“数”转化的例证.

2.分类讨论思想

研究一次函数的图象和性质的时候,对k、b进行讨论,体现了分类讨论的思想.

3.化归思想

求两个函数图象交点的坐标可以转化为求方程组的解,即将函数问题转化为方程问题,当然求方程组的解也可以将二元一次方程转化为一次函数画出图象,求交点坐标即可.

4.待定系数法

待定系数法是一项重要的数学方法,要结合它在确定一次函数表达式中的应用,理解它的基本思想,并注意在以后的学习中应用.

三、典型例题展示

1.自变量的取值范围、函数值的计算

例1(1)(2009年广东肇庆)函数y=■的自变量x的取值范围是( ).

A.x>2 B.x

(2)(2008年江苏泰州)根据流程图1中的程序,当输入数值x为-2时,输出数值y为( ).

A.4B.6C.8D.10

解析:(1)由于函数关系式y=■是二次根式,由算术平方根的意义可知x-2≥0,所以x≥2,故选C.

(2)因为输入数值x为-2,符合x

点评:求自变量的取值范围主要是观察函数的表达式中蕴含自变量的那些运算,必须保证算式有意义,如算术平方根的被开方数必须是非负数、分式的分母不能为零等.求函数值时,一定要在自变量的取值范围内代入相应的解析式,如本题若将x=-2代入y=0.5x+5求值,就是错误的.

2.由创设的实际问题情景,选择相吻合的函数图象

例2 (2009年黑龙江牡丹江)将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内,现用一注水管沿大容器内壁匀速注水(如图2所示),则小水杯内水面的高度y(cm)与注水时间x(min)之间的函数图象大致为( ).

解析:由于起初小杯内盛有一部分水,说明当x=0 时,y≠0(y>0),这样首先将选项A、D排除,向大容器内壁匀速注水(直到大容器内水面的高度与小水杯高度相同)的这一段时间内,小水杯内水面的高度始终没有变化,此后,大容器内的水流入小水杯内,y随x的增大而升高,但当小水杯内的水的高度与水杯高度相同时,再向大容器内注水,y不再发生变化,这样排除选项C,故选B.

3.数形结合探究解析式与一次函数的图象的对应关系

例3 (1)(2009年安微芜湖)关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是( ).

(2)(2008年浙江宁波)如图3,某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系,则以下说法错误的是( ).

A.若通话时间少于120分钟,则A方案比B方案便宜20元

B.若通话时间超过200分钟,则B方案比A方案便宜12元

C.若通讯费用为60元,则B方案比A方案的通话时间多

D.若两种方案通讯费用相差10元,则通话时间是145分钟或185分钟

解析:(1)因为k2+1>0,所以一次函数y=kx+k2+1的图象与坐标轴只能交于y 轴的正半轴,观察图象只有选项C符合.

(2)观察图象:A方案当通话时间不超过120分时需话费30元,B方案当通话时间不超过200分时需话费50元,因此选择项A是正确的.

超过120分钟时,A方案的费用y与通话时间x之间的关系为:yA=■x-18.

超过200分钟时,B方案的费用y与通话时间x之间的关系为:yB=■x-30.

故通话时间超过200分钟时,yA-yB=12,所以选择项B是正确的.

当通讯费用为60元时,显然方案B通话时间长,所以选项C是正确的.

由选项B可知,当通话时间超过200分钟时,两种方案通讯费用相差12元,不可能是10元,观察图象当通话时间在120～170分钟之间时,B方案的费用高于A方案的费用10元时,即A方案的费用为40元时,40=■x-18,解之得x=145;当通话时间在170～200分钟之间时,A方案的费用高于B方案的费用10元,即A方案的费用为60元时,60=■x-18,解之得x=195,所以选项D是错误的.

四、与几何知识牵手

例4如图4,点A的坐标为(1,0),点B在直线y=-x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为( ).

A.(0,0) B.(■,-■)

C.(■,-■) D.(-■,■)

解析:过点A作ACBO于点C,根据点到直线的距离可知,点B运动到与点C重合时AB最短.由∠AOC=45°,ACOC,可知AOC是等腰直角三角形,可得点C(■, -■),故选C.

例5 (2008年江西南昌)如图5,在平面直角坐标系中,有A(0,1),B(-1,0),C(1,0)三点坐标.

(1)若点D与A、B、C三点构成平行四边形,请写出所有符合条件的点D的坐标;

(2)选择(1)中符合条件的一点D,求直线 BD的解析式.

解析:(1)根据平行四边形的判定可知,D点与另一点所形成的线段必须与另一条线段平行,如果以AB和BC为邻边,则AB∥CD,AD∥BC,可得D1(2,1);如果以BC和CA为邻边,则AC∥BD,AD∥BC,可得D2(-2,1);如果以AB和AC为邻边,则AB∥CD,AC∥BD,可得D3(0,-1),故符合条件的点D的坐标分别是D1(2,1),D2(-2,1),D3(0,-1).

(2)①选择点D1(2,1)时,设直线BD1的解析式为y=kx+b,

由题意得-k+b=0,2k+b=1,解得k=■,b=■,

直线BD1的解析式为y=■x+■.

②选择点D2(-2,1)时,类似①的求法,可得直线BD2的解析式为y=-x-1.

③选择点D3(0,-1)时,类似①的求法,可得直线BD3的解析式为y=-x-1.

五、一次函数与一次方程(组)、不等式(组)

例6 (2008年湖北咸宁)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图6所示,则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为 .

解析:观察图象可以发现当xk1x+b的解集为x

例7 (2009年浙江台州)如图7,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).

(1)求b的值;

(2)请直接写出关于x,y的方程组y=x+1,y=mx+n的解.

解析:(1)因为(1,b)在直线y=x+1上, 即当x=1时,b=1+1=2,所以直线l1:y=x+1与直线 l2:y=mx+n的交点P的坐标为(1,2).

(2)根据二元一次方程组的解与两个一次函数图象交点坐标的关系,方程组的解是x=1,y=2.

六、利用图象、表格信息建立一次函数模型,解决实际问题

例8 (1)(2009年吉林长春)某部队甲、乙两班参加植树活动.乙班先植树30棵,然后甲班才开始与乙班一起植树.设甲班植树的总量为y甲(棵),乙班植树的总量为y乙(棵),两班一起植树所用的时间(从甲班开始植树时计时)为x(时).y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图8所示.

(1)当0≤x≤6时,分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式.

(2)如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率,通过计算说明,当x=8时,甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵.

(3)如果6个小时后,甲班保持前6个小时的工作效率,乙班通过增加人数,提高了工作效率,这样继续植树2小时,活动结束,两班植树的总量相差20棵,求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵.

解析:(1)设y甲=k1x,把(6,120)代入,得k1=20,所以y甲=20x.

当x=3时,y甲=60.

设y乙=k2 x+b,把(0,30),(3,60)代入,得b=30,3k2+b=60,

解得k2=10,b=30.

所以y乙=10x+30.

(2)当x=8时,y甲=8×20=160, y乙=8×10+30=110,因为160+110=270>260,

所以当x=8时,甲、乙两班植树的总量之和能超过260棵.

(3)设乙班增加人数后平均每小时植树a棵.

当乙班比甲班多植树20棵时,有6×10+30+2a-20×8=20,解得a=45.

当甲班比乙班多植树20棵时,有20×8-(6×10+30+2a)=20,解得a=25.

所以乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵.

例9 (2008年湖北咸宁)“5・12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心,某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后,决定调运蔬菜支援灾区.已知A蔬菜基地有蔬菜200吨,B蔬菜基地有蔬菜300吨,现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点.从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从B地运往C处的蔬菜为x吨.

(1)请填写下表,并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值;

(2)设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元,写出w与x之间的函数关系式,并求总运费最少的调运方案;

(3)经过抢修,从B地到C处的路况得到改善,缩短了运输时间,运费每吨减少 m元(m>0),其余线路的运费不变,试讨论总运费最少的调运方案.

解析:(1)从表格中可以看出从B地运往C处的蔬菜为x吨,而B地共有300吨,剩余(300-x)吨必然运往D地,而C地需要240吨,故需从A地调运(240-x)吨,剩余200-(240-x)=(x-40)吨全部运往D地,填表如下:

两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时,依题意得20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x).

解得x=200.

(2)w与x之间的函数关系式为:w=2x+9200.

依题意得240-x≥0,x-40≥0,x≥0,300-x≥0.

40≤x≤240.

在w=2x+9200中,w随x的增大而增大,故当x=40时,总运费最少,此时调运方案如下表:

(3)由题意知w=(15-m)x+18(300-x)+20(240-x)+25(x-40)=(2-m)x+9200.

当0

篇3

1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。

2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。

二、内容分析

1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。

2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。

3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学次函数、反比例函数的学习方法。

三、教学过程

复习提问：

1、什么是函数?

2、函数有哪几种表示方法？

3、举出几个函数的例子。

新课讲解：

可以选用提问时学生举出的例子，也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式)，y=x，s=3t等。观察时，可以按下列问题引导学生思考：

(1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后，可指出，这是函数。)

(2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后，可指出，式子中等号左边的y与s是函数，等号右边是一个代数式，其中的字母x与t是自变量。)

(3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念，表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子，都是关于自变量的一次式。)

(4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)

由以上的层层设问，最后给出一次函数的定义。

一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)那么，y叫做x的一次函数。

对这个定义，要注意：

(1)x是变量，k，b是常数；

(2)k≠0(当k＝0时，式子变形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常数函数，这点，不一定向学生讲述。)

由一次函数出发，当常数b＝0时，一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。

在讲述正比例函数时，首先，要注意适当复习小学学过的正比例关系，小学数学是这样陈述的：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

写成式子是(一定)

需指出，小学因为没有学过负数，实际的例子都是k＞0的例子，对于正比例函数，k也为负数。

其次，要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系：正比例函数是特殊的一次函数。

课堂练习：

教科书13、4节练习第1题．

一、目的要求

1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。

2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。

二、内容分析

1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。

2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。

3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学次函数、反比例函数的学习方法。

三、教学过程

复习提问：

1、什么是函数?

2、函数有哪几种表示方法？

3、举出几个函数的例子。

新课讲解：

可以选用提问时学生举出的例子，也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式)，y=x，s=3t等。观察时，可以按下列问题引导学生思考：

(1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后，可指出，这是函数。)

(2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后，可指出，式子中等号左边的y与s是函数，等号右边是一个代数式，其中的字母x与t是自变量。)

(3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念，表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子，都是关于自变量的一次式。)

(4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)

由以上的层层设问，最后给出一次函数的定义。

一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)那么，y叫做x的一次函数。

对这个定义，要注意：

(1)x是变量，k，b是常数；

(2)k≠0(当k＝0时，式子变形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常数函数，这点，不一定向学生讲述。)

由一次函数出发，当常数b＝0时，一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。

在讲述正比例函数时，首先，要注意适当复习小学学过的正比例关系，小学数学是这样陈述的：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

写成式子是(一定)

需指出，小学因为没有学过负数，实际的例子都是k＞0的例子，对于正比例函数，k也为负数。

其次，要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系：正比例函数是特殊的一次函数。

篇4

一、 培养学生学习一次函数的兴趣

在课堂上，经常会看到个别学生活跃的身影，他们总是在教师讲完甚至未讲完的时候就迫不及待地将答案脱口而出。难道这些学生有学习数学的天赋吗？难道是他们有与生俱来的才智吗？不，都不是，是因为他们对数学学习具有热情。他们总是充满激情，充满学习的乐趣，善于思考，如此，就会形成自己的思维。因此，要想教好数学，教好一次函数，首先就应该培养学生学习一次函数的兴趣，调动学生参与学习的积极性，为学生营造充满生机和活力的课堂氛围。

二、 明确函数及一次函数的概念

要学习一种新事物，首先要明确它是什么。因此，在学习一次函数前，应该让学生先明确函数的概念，以及所要学习的一次函数的概念。所谓函数，其实表示的是一种关系，表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。而一次函数是函数的一种，它表示在某一变化过程中，设有两个变量分别为x和y，如果将其写成y=kx+b（k为一次项系数，b为常数）这样的表达式，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。看起来似乎很复杂，那么如何来理解这个概念呢？就是说在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b（k为一次项系数，b为常数），即每一个x都有唯一一个y与之对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，它随x的变化而变化。当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个或2个以上的值与x对应，那就不是函数。然后教师可以写出一些表达式，让学生来区分一下哪些是一次函数，哪些不是。比如这样的一个习题：确定下面哪些是一次函数？哪些不是？

1. y=2x-1 2. y=x2 3. y-2=x 4y=-x

很显然第二个是不符合一次函数定义的，而其他的几项都符合，所以其他几项都属于一次函数。

三、 通过图象理解一次函数解析式的性质特征

将数与形进行有机结合，对于理解函数来说是一种很好的方式，因此教师要让学生熟练掌握一次函数的图形，能够熟练作图以及通过图形得出一次函数的基本性质特征。图象的画法一般是通过三个步骤来完成的：1.列表；2.描点；3.连线。通过分析图，我们可以得出一次函数的基本性质：（1）在一次函数图象上任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b（k≠0）.（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总交于（-，0）.a.当 k>0，b>0， 此函数的图象经过第一、二、三象限；b.当 k>0，b

四、加强训练和巩固

篇5

知识准备

一、解析式：一次函数的解析式为y=kx+b（k,b都是常数且k≠0）。当b=0时，y=kx(k≠0)叫做正比例函数。

二、图象：一次函数和正比例函数的图象是一条直线。

三、性质

1、当k>0时，y随x的增大而增大；

当k

2、当b>0时，直线与y轴的正半轴相交；

当b

当b＝0时，直线经过原点

3、当k>0,b>0时，直线经过第一、二、三象限；

当k>0,b

当k0时，直线经过第一、二、四象限；

当k

4、画一次函数的图象只需取直线上两个不同点即可。一般取直线y=kx+b与坐标轴的交点（- ，0）和（0,b）

5、两直线y1=k1x+b1与y2=k2x+b2

当k1=k2 b1≠b2时，两直线平行；

当k1≠k2 b1=b2时，两直线交于y轴同一点（0,b）

四、一次函数的表示法有：解析法、列表法、图象法。

方法解析

一、一次函数的判定方法

1、定义法：一次函数需同时满足以下三个条件：

①函数的解析式是关于自变量（如x）的整式；

②函数自变量x的最高次数是1；

③函数自变量x的系数不等于0.

2、数形结合法：一次函数的图象是一条直线（或直线上的一部分）。

二、求一次函数的解析式。

1、用待定系数法求一次函数的解析式。

①待定系数法：先设出函数的解析式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而求出函数解析式的方法，叫做待定系数法。

②一般步骤：

I：设函数关系式为y=kx+b（k≠0）

II：由已知条件得出关于k、b的方程（组）；

III：解方程（组）求出k、b的值；

IV：写出所求的函数关系式。

③例题详解

例1：(2007年・乐山)直线l1经过点A（-3,1），B（0,-2），将该直线向右平移2个单位得到直线l2，求直线l2的解析式。

解题导引：根据两点确定一条直线，故只需找出l2上的两点即可。

解：A（-3,1），B（0,-2）向右平移两个单位后的点坐标为（-1,1）和（2,-2），即直线l2经过（-1,1）和（2,-2）。

设直线l2的解析式为y=kx+b(k≠0)

由已知得解方程组得

直线l2的解析式为y=-x。

2、用数形结合法求一次函数的解析式。

①解题思路：从题目中读懂信息，找到两组对应值，从而得到相应的函数解析式。利用数形结合的方法解决有关函数问题，使抽象的数形象化、直观化，化数为形，以形思数。

②例题详解

例2：某商店试销售一种成本单价为100元/件的商品，规定试销时售价不低于成本价，又不高于180元/件，经市场调查发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系满足一次函数y=kx+b（k≠0）其图象如右图所示。

（1）根据图象求一次函数的解析式；

（2）若销售量y不低于80件，求销售价

x的范围。

解题导引：由函数图象可知直线y=kx+b

经过点（120,120），（140,100），从而可求其解

析式。

解：（1）由图象可得：

解这个方程组得

所求的一次函数的解析式为：y=-x+240（100≤x≤180）

（2）由题意得：

即

100≤x≤160

3、运用一次函数的性质求解析式

例3：已知一次函数y=kx+b（k,b为常数且k≠0）中自变量的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的取值范围是-10≤y≤6，求此函数的解析式。

解题导引：欲求函数的解析式，只需求出函数的两组对应值。但本题中没有指出函数值随自变量的变化情况，故应分两种情况：

①y随x的增大而增大和②y随x的增大而减小考虑。

解：（1）当y随x的增大而增大时

则由已知得x=-2时,y=-10,x=6时,y=6

解这个方程组得

所求的函数解析式为y=2x-6

（2）当y随x的增大而减小时，

则由已知得，x=-2时y＝6,x=6时,y＝-10

解这个方程组得

所求的函数解析式为y=-2x+2

由（1）（2）得所求函数的解析式为y=2x-6或y=-2x+2

4、由函数与坐标轴围成的三角形面积求解析式。

例4：若直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求此一次函数的解析式。

解题导引：此题得解的关键是求b，于是需由已知条件建立一个关于b的方程。

解：在y=2x+b中

当x=0时y=b，当y=0时，x=-

直线y=2x+b与x,y轴的交点分别是

(- ,0) 和（0,b）

由已知条件得： ｜b|・|- |=4

所求的一次函数的解析式为y=2x+4或y=2x-4。

5、由对称性求一次函数的解析式。

例5：已知直线l1：y=x-2与直线l2关于x轴对称，求直线l2的解析式。

解题导引：求直线l2的解析式，关键要找出l2上两个点，因为l2与l1关于x轴对称，则l1上的每个点关于x轴的对称点都在l2上，故只需在l1上任取两点，再求出它关于x轴的对称点即可。

解：在y=x-2中

当x=0时，y=-2，当y=0时，x＝2

（0,-2）和（2,0）关于x轴的对称点分别是（0,2）和（2,0）

设l2的解析式为y=kx+b

篇6

例1 (2009吉林)A,B两地相距45千米,图中折线表示某骑车人离A地的距离y与时间x的函数关系.有一辆客车9点从B地出发,以45千米/时的速度匀速行驶,并往返于A,B两地之间.(乘客上、下车停留时间忽略不计)

(1)从折线图可以看出,骑车人一共休息次,共休息 小时;

(2)请在图中画出9点至15点之间客车与A地距离y随时间x变化的函数图象;

(3)通过计算说明,何时骑车人与客车第二次相遇.

点拨:①休息的次数就是折线中平行于x轴的线段的条数,休息的时间就是这些的线段长度之和.

②A,B两地相距45千米,而客车正好以45千米/时的速度匀速行驶,可知客车在A,B两地间的行进时间为1小时,据此不难作出如图所示的由6条线段组成的端点分别是(9,45),(10,0)(11,45),(12,0),(13,45),(14,0)(15,45)的折线.

③骑车人与客车相遇在图象上的体现,就是相应的函数图象相交.观察函数图象,从左至右的第二个交点,是直线EF与直线y=30的交点.先求出线段EF的解析式,再把y=30(10≤x≤11)代入,即可求出骑车人与客车第二次相遇的时间.

解:(1)两.两.

(2)

(3)设直线EF所表示的函数解析式为y=kx+b.

把E(10,0),F(11,45)分别代入y=kx+b,得

解得

直线EF所表示的函数解析式为y=45x-450.

把y=30代入y=45x-450,得45x-450=30,x=10.

答:10点40分骑车人与客车第二次相遇.

二、工程类应用题

例2(2009南宁)南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖.现有甲、乙两个工程队参加竞标,甲工程队铺设广场砖的造价y甲(元)与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示;乙工程队铺设广场砖的造价y乙(元)与铺设面积x(m2)满足函数关系式:y乙=kx.

(1)根据图象写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲(元)与铺设面积x(m2)的函数关系式;

(2)如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m2,那么公园应选择哪个工程队施工更合算?

点拨:①函数图象由一条线段和一条射线组成可知,故需分别求出0≤x≤500和x≥500时的函数解析式,再合成为分段函数解析式.

②由已知铺设广场砖的面积为1600m2,可求得甲工程队的造价.因为乙工程队铺设广场砖的造价y乙(元)与铺设面积x(m2)满足函数关系式为y乙=kx,所以公园应选择哪个工程队施工更合算,就取决于k值.分类建立不等式,求出相应的k值,即可作出正确的判断.

解:(1)当0≤x≤500时,设y甲=k1x,把(500,28000)代入上式得:

28000=500k1,k1==56.y甲=56x.

当x≥500时,设y甲=k2x+b,把(500,28000)、(1000,48000)代入上式得:

解得:y甲=40x+8000.

y甲=

(2)当x=1600时,y甲=40600+8000=72000,y乙=1600k.

当y甲

当y甲>y乙时,即72000>1600k,解得0

当y甲=y乙时,即72000=1600k,k=45.

答:当k>45时,选择甲工程队更合算,当0

三、销售类应用题

例3(2008荆州)“5•12”汶川大地震后,某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心,捐出了五月份全部销售利润.已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台,每种型号器材不少于8台,五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出(含人员工资和杂项开支)3.8万元.这三种器材的进价和售价如下表,人员工资y1(万元)和杂项支出y2(万元)分别与总销售量x(台)成一次函数关系(如图).

(1)求y1与x的函数解析式;

(2)求五月份该公司的总销售量;

(3)设公司五月份售出甲种型号器材t台,五月份总销售利润为W(万元),求W与t的函数关系式;(销售利润=销售额-进价-其他各项支出)

(4)请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值.

点拨:①依图象所提供的信息,用待定系数法求y1与x的函数解析式.

②已知人员工资和杂项开支为3.8万元,而人员工资和杂项开支与销售总量的关系分别为y=0.05x+0.2,y2=0.005+0.3,据此建立方程即可求得五月份该公司的总销售量.

③已知五月份售出甲种型号器材t台,再设五月份售出乙种型号器材p台,则售出丙种型号器材(60-t-p)台. 由五月份这批器材进货款为64万元可列出方程,化简方程即可得到p与t的关系式. 由“销售利润=销售额-进价-其他各项支出”列出函数解析式,再化简即可得到W与t的函数关系式.

④由“每种型号器材不少于8台”列出不等式组,解不等式组就得到t的取值范围,再利用一次函数的增减性,即可推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值.

解:(1)设y1=kx+b(x>0),则解得

y1与x的函数关系式为y=0.05x+0.2.

(2)依题意得y1+y2=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8.解得x=60.

五月份该公司的总销售量为60台.

(3)设五月份售出乙种型号器材p台,则售出丙种型号器材(60-t-p)台.

依题意得0.9t+1.2p+1.1(60-t-p)=64.p=2t-20.

W=1.2t+1.6(2t-20)+1.3(60-t-2t+20)-64-3.8.

即W与t的函数关系式为W=0.5t+4.2.

(4)依题意有解得14≤t≤24.

W是关于t的一次函数,由(3)W随t的增大而增大,

篇7

关键词：一次函数；现实背景；模型探究

作者简介：周占锋（1963-），男，福建省龙岩市武平县，本科，高级教师，武平县教师进修学校中学教研室主任.数学建模是数学学科六个核心素养之一，而模型思想是初中数学的重要数学思想.数学课程标准（2011年版）指出：数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面. 课标把模型思想作为十个核心概念之一，认为模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.一次函数是初中学生学习和理解函数的重要素材，其中自变量与函数的对应关系是初学者理解两个变量间对应关系的难点，探究一次函数现实背景模型，有利于学生理解一次函数中两个变量间的对应关系及其图象和性质，并利用一次函数的图象和性质解决实际问题.以下是几种一次函数的现实背景模型探究.

一、行程问题的一次函数现实背景模型

设路程为s，速度为v，时间为t，则s=vt . 当速度v为常量，如v=30km/s，s=30t是正比例函数；而正比例函数是最特殊的一次函数. 若行程问题中出现两个或两个以上对象，不同时间段有不同的位置状态，就构成一次函数的分段函数模型.

例1甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的体检中心体检，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走，s关于t的函数图象的一部分如图1所示.设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分）.

（1）求甲行走的速度；

（2）在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分；

（3）问甲、乙两人何时相距360米？

分析此现实背景中出现甲、乙两人为两个不同对象，出发时间不同使各个时间段两人的相对位置不同，构成距离s与时间t在不同时间段有各自不同的一次函数对应关系，其中题设信息以文字信息和图象信息相结合的形式出现，从图象信息发现背景涉及四种不同情形：

①t=5分钟时甲走了150米；

②甲出发5分钟后，乙开始出发，t=12.5分钟时，甲追上乙，s=0；

③t=35分钟时，甲走了1050米；乙用时30分钟走了1500米，到达体检中心，s=450米；

④t>35分钟时，乙已到达体检中心，甲还要用15分钟走完450米的路程，t=50分钟时甲也到达体检中心，s=0.

根据以上分析s与t的函数关系式是：

s=30t（0≤t≤5）

-20t+250（5

20t-250（125

-30t+1500（35

试题设计要点：

1.基础题设置：从图象信息中发现甲5分钟走的路程为150米，可求甲行走的速度为30米/分.

2.对实际问题的再现：t=35分钟时，乙实际用时30分钟，乙已经到达图书馆，此时s=450米，甲用时t=15分钟才能到达图书馆，此时s=0. 在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分是连接（35，450），（50，0）的一条线段.

3.设甲、乙两人t分钟后相距360米，此处的难点是乙实际用时为（t-5）分钟，而不是t分钟，根据图象信息时间应在12.5

二、收费问题的一次函数现实背景模型

收费问题通常与两种或两种以上的收费方式相关，收费金额有的与时间建立一次函数关系，有的与用量建立一次函数关系.

例2（2014龙岩中考第23题）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水.某市对居民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图2所示.图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元）.请根据图象信息，回答下列问题：

（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按元收取；超过5吨的部分，每吨按元收取；

（2）请写出y与x的函数关系式；

（3）若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？

水费问题通常采用“阶梯水价”方式进行收费，水费与用水量建立一次函数的分段函数现实背景模型，考查学生从现实生活中抽象出一次函数模型的数学思考，并用数学思考进行问题解决的考量.

三、销售问题的一次函数现实背景模型

销售问题通常以何种销售、销售单价与销售量为现实背景模型出现，多数是利润与销售量建立一次函数关系的模型，关注利润的合理区间. 有时通过图象信息提供已知条件，考查学生的读图能力.

例3（2016龙岩中考第23题）某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为y甲、y乙（单位：元），y甲、y乙与销售数量x（单位：件）的函数关系如图3所示，试根据图象解决下列问题：

（1）分别求出y甲、y乙关于x的函数关系式；

（2）现厂家分配该商品800件给甲商场，400件给乙商场，当甲、乙商场售完这批商品后，厂家可获得总利润是多少元？

该题以图象信息显示问题背景，突现从实际生活中抽象出一次函数模型解决实际问题的能力，考查用解析法求解一次函数解析式.

四、图形运动的一次函数现实背景模型

图形运动通常有点动、线动和面动等，其构成的轨迹、距离、面积等可以用函数来刻画，初中数学常有用一次函数刻画图形运动的情况.

例4已知如图4，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图5所示，则ABC的面积是（）

A.10B.16C.18D.20

篇8

关键词：二元一次方程 一次函数 图象 方程组解

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-187-02

如果我们在教学过程中，注意引导学生用二元一次方程的知识和观点来看待一次函数，往往会收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函数图象

一个二元一次方程 （m、n都是常数，且m、n都不为0）是一个不定方程，有无数组解。如果把x看作横坐标、y看作纵坐标，那么每一组解就是一个点的坐标。以二元一次方程组 的解为坐标的所有的点集中在一起，就构成了直线 。也就是说，直线 的点与二元一次方程 的解是一一对应的。这样理解后，下面的问题就容易理解了。

求直线 与坐标轴的交点。这问题相当于知道x（或y）的值为0，求y（或x）的值。

例：直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，求A、B的坐标。

解：当y=0时，代入直线解析式方程 ，得 ，解得 所以A点的坐标是 。

当x=0时，代入直线解析式方程 ，得 ；所以B点的坐标是 。

二、利用二元一次方程组来判断对应的两个一次函数图象的位置

设二元一次方程组的一般形式为 ，可转化为 ，令 ，则上述形式又可以写成 。这就对应着两个一次函数。

（1）当 时，二元一次方程组 有唯一解，此时直线 和直线 相交。

（2）当 时，方程组 无解，此时直线 和直线 平行，没有公共点。

（3）当 时，方程组 有无数组解，此时直线 和直线 重合，有无数个公共点。

三、二元一次方程组解决一次函数问题

在学习过程中，不少一次函数的问题可以转化成二元一次方程组的问题来解决，下面这种题型就是很好的例子。

如何求两个一次函数图象交点坐标。这个交点，同时在这两个函数图象上，所以同时满足这两个函数解析式方程。我们可以通过解这两个解析式组成的方程组来解决问题。

例：求两个一次函数 和 图象的交点坐标。

解：由题意可得： ；解方程组得： ；所以交点坐标是（1，1）。

四、二元一次方程与一次函数的综合应用

实际问题一直是个难点，应根据具体情况把一次函数和二元一次方程组有机地结合，灵活运用，从而顺利解决问题。

例：中国移动公司开设两种通讯业务，“全球通”使用者先缴50元月租费，每通话1分钟再付0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1分钟付话费0.6元。现在小明想开通其中一种通讯业务，请问他应该开通哪一种更省钱？

分析：每月付话费的多少与小明每月通话时间有关，我们可设小明每月通话x分钟，付的话费为y元，分别建立起两种通讯业务方案的函数模型，然后再进行比较。

解：设小明每月通话x分钟，付的话费为y元。

全球通每月付款为y=0.4x+50；神州行通每月付款为y=0.6x

在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象

解方程组 ；解之得： ；所以两图象交于点（250，150）

由图象易知：

当 时， ，此时选择神州行更省钱；

当 时， ，此时两种方案没有区别；

当 时， ，此时选择全球通更省钱。

总之，在一次函数教学过程中，教师要引导学生把一次函数和二元一次方程有机联系起来，给予学生充分的时间和空间来体验数学知识的学习过程，适当的练习来熟练应用各知识点。这样，相信学生学好一次函数不成问题。

参考文献：

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下面是我从《一次函数》这节课的教学反思中得到的几点体会。

一、备课要关注学生差异，重视基础知识

新课程指出，课堂教学要面向全体学生，目的是促进学生的全面发展。心理学表明，学生的发展是存在差异的。教师要关注学生的差异，在备课的时候根据学生的认知水平，要有针对性。

在引入一次函数的时候，我展示了一个学生熟悉的生活实例，让学生更好地找出两个变量的关系。比如，某弹簧的自然长度是3厘米。在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米。（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度。（2）你能写出x与y之间的关系式吗？对于问题（1），学生已有比较丰富的生活经验，很快就可以得出结果；对于问题（2），学生因为比较陌生，要求学生先思考，再与其他同学讨论，我也参与了学生的讨论，适当引导。教师不能一味追求结论，而忽略学生的差异，对接受能力较差的学生要适当进行引导，降低难度，帮助学生找出两个变量的关系式。同时，为了让学生找出一次函数中两个变量的特点，我在教学中展示了几个与生活联系紧密的实例。让学生分析从几个实例得到的关系式的共同点，再引导学生归纳出一次函数的定义。这样既满足了学生的求知欲，提高了学生分析的能力，又大大提高了课堂的教学质量。

在学习了一次函数的定义后，为了加深学生对一次函数的理解，我让学生完成了以下的练习。判断下列函数哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=2x；（2）y=3x+1；（3）y=2x-3；（4）y=■x。在这一教学环节中，其实还可以添加一些形如（5）y=■和（6）y=x2+1类型的函数。在学生完成这几道练习题后，再让学生分析一次函数与其他函数的不同之处，明确一次函数的特点。这里要给学生充足的时间思考和讨论，因为这是学生形成知识的重要环节。新课程指出，学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才能成为有效的知识。

二、创设问题情境，激发学生学习的积极性

第一，打破沉闷的课堂气氛，让课堂教学变得更有生机

美国心理学家布鲁纳指出：“学习的刺激乃是对所学材料的兴趣，要想使学生上好课，就得千方百计点燃学生心灵上的兴趣之火。”所以在教学时，不一定要完全按照课本的引入去设计教学环节。在引入两个变量的关系的时候，我们可以设计一个学生在生活中遇到的问题情境，让数学与生活联系，学生就会认识到数学就在我们身边，萌发探究数学问题的好奇心。例如，小明现有5元，他想存钱买一本价值30元的数学兴趣书，假如他每月存5元。（1）请你帮他算算1个月、2个月、3个月、4个月后一共有多少钱？（2）经过x个月后，小明一共有多少钱？这样设计可以激发学生学习的积极性，促使学生主动参与教学活动。实践表明，学生的主动学习是获得知识的最有效的方法。

第二，引导学生主动地参与课堂教学

新课程指出，好的教学能够促进学生进行有效地学习。而教师的主要作用在于组织教学活动，激发学生主动从事数学活动。有时候，教师的一个微笑，可以给学生很大的鼓舞，让学生主动去学习。如上面小明买数学兴趣书的问题中，在提问一个学生的时候，他可能还没想出来，有点着急，我笑了笑说：“别急，慢慢想，你可以做得到的。”这位学生感受到老师对他的信任，更加积极地去思考问题，虽然他花了很长时间才回答出来，但是我觉得这是值得的。我们在教学时还可以通过设计一些有趣的问题情境，引导学生主动参与课堂教学了。例如，果农李大叔养的一只猴子帮李大叔摘了8个桃子，假如它从现在开始每分钟摘2个，求x分钟后这只猴子一共摘的桃子数y与时间x的关系式？在这里如果能用上多媒体的动画设计就更能吸引学生的注意力，让学生在轻松愉快的课堂气氛中学习、掌握新知识，这样他们对新知识更加乐于接受。

第三，多给学生创造机会，让学生得到更好地发展

每个学生都有分析问题、解决问题和创造的潜能，关键是如何为学生提供机会，让学生发掘自己的潜能。学生总是喜欢把自己当成探索者、研究者、发现者，并且往往是当自己的观点与其他人的观点不一致的时候，会产生要证实自己思想的欲望。这里要注意，让学生挑战自己，不是要难倒学生。不要出太难的习题，否则会挫伤学生学习的积极性。从而激励学生在学习的过程中不断获得成功的体验，提高自主学习的能力。如，写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系；（2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）。在教学中，我特意让几个基础不太好的学生上黑板演练，这几个题目的背景都是和生活联系比较紧密的，只要给学生足够的时间，他们基本能自己解决。所以，在教学中教师不要一味地追求教学进度，抹杀了学生体验成功的机会。特别是基础比较差的学生，更应该给他们一些这样的机会去提高他们学习的积极性和学习的自信心，进一步减少差距，让他们学得更有动力。

三、学有所用，培养学生掌握、运用知识的能力

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我们小组的观察点是教师是否关注学生，是否根据学生的认知基础引导学生自主构建知识体系。观察维度是教学环节设计如何提高学生的数形结合能力和解决实际问题的能力。总的来说，这节课教学环节时间分配较合理，教师引导及时恰当。教师教学思路清晰，教学重点突出，教师由浅入深、轻松愉悦地完成了教学目标。教师亲切的表情、流畅的语言、课件的精心准备等等方面都为学生的引领提供了一个轻松和谐的学习环境。课堂环节设计，教师仔细引导学生通过图象识图辩图，掌握信息，体会分析自变量和因变量的潜在规律，根据了解到的信息，解决提出的问题，提高了学生的数形结合能力。

具体教学过程中，有以下几个环节值得商议：

（1）在教学过程中，学生的主体地位没有充分展示出来，对于问题的生成，最好是教师引导学生去发现问题，提出问题，给每个学生充分的讲话机会，让他们大胆讲出自己的问题，大胆地参与探索和交流，彼此分享各自的观点和灵感，这样才可以调动学生的自主学习积极性。而不是教师牵着学生走，扼杀了学生的思维。

（2）缺少对学生动手能力的培养。缺少鼓励性评价性语言。通过交流，让学生之间互评，可以充分交流、碰撞，提高学习的主动性，积极性，参与性和创造性，是一种体验式的学习。

（3）小组合作探究再增加一个问题环节效果更好。对于例2的讲解，教师应更加强小组合作的模式，通过小组内探讨发现，找到问题，培养学生数形结合的能力和语言表达能力。