三角形三边关系范文

导语：如何才能写好一篇三角形三边关系，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、判断三条线段能否构成三角形

例1以下列各组线段为边，能构成三角形的是（）.

A.1cm，2cm，3cmB.8cm，6cm，4cm

C.12cm，5cm，6cmD.12cm，3cm，3cm

解析：判断三条线段能否构成三角形的方法：若三条线段的长为a、b、c（a≤b≤c），则当a+b>c时，它们能构成一个三角形.由此不难判断，正确答案为B.

二、已知三角形两边长，求第三边的取值范围

例2已知三角形的两边分别为a=3，b=5，则第三边c的取值范围是______.

解析：根据三角形的三边关系可知，a-b

三、已知三角形两边长及其他条件，求第三边的长

例3已知三角形的周长为偶数，其中两边长分别为7和2，则第三边长应为（）.

A.6B.7C.8D.9

解析：先根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，再根据其他条件求值.

设第三边长为x，根据三角形的三边关系可知，7-2

例4如果等腰三角形的两边长分别为3和6，则其周长为____.

解析：由于不知道已知的两边哪条边为底，哪条边为腰，因此需要分类讨论.

若长为3的边为腰，长为6的边为底，则三角形的三边长分别为3，3，6.由于3+3=6，不符合三角形三边关系，故这样的三角形不存在.

若长为6的边为腰，长为3的边为底，则三角形的三边长分别为3，6，6. 显然，3+6>6，符合三角形三边关系.

所以该等腰三角形的周长为3+6+6=15.

四、判断三角形的形状

例5已知一个三角形的三边长都是整数，且周长为8，试判断这个三角形的形状.

解析：设三角形的三边长分别为a、b、c（a≥b≥c），则a+b+c=8，3a≥a+b+c，故a≥ ；根据三角形的三边关系可知b+c>a，则a+b+c>2a，故2a

说明：由以上分析可以得出这样一个结论：设三角形的周长为l，最长的边为a，最短的边为c，则 ≤a< ，0

五、根据题意画三角形

例6在平面内，分别用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？一个同学通过尝试，列出了表1.

（1）4根火柴能搭成三角形吗？

（2）8根、12根火柴分别能搭成几种不同的三角形？画出它们的示意图.

解析：（1）用4根火柴组成三条线段，只有1，1，2一种情形.因1+1=2，不符合三角形三边关系，故4根火柴不能搭成三角形.

（2）由例5推出的结论可知，用8根火柴搭三角形，最长的边应少于4根火柴，因此只能搭成（3，3，2）这一种三角形.而用12根火柴搭三角形，最长的边应少于6根火柴，因此能搭成三种不同的三角形，即（5，5，2），（5，3，4）（4，4，4）.（示意图略.）

六、解决实际问题

例7有四个村庄，位于四边形ABCD的四个顶点处（如图1），现在要建一个批发市场P.问P选在何处，才能使它到A、B、C、D四个村庄的距离之和PA+PB+PC+PD最小.请说明理由.

解析：连结AC、BD，设AC、BD的交点为P，任取异于点P的一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.由三角形的三边关系可知：

P′A+P′C>AC， ①

P′B+P′D>BD.②

①+②得，P′A+P′C+P′B+P′D>AC+BD.

篇2

在新课程理念指导下，通过动手实践引导学生积累数学活动经验，获得数学知识，这是一条比较有效的途径。那么，是否所有的教学内容都必须让学生动手操作呢？该如何选择合适的操作材料呢？现以“三角形三边关系”一课教学为例，谈谈自己的看法。

案例一：

师：现在提供给大家三根小棒，上面标有长度，先动手摆三角形，然后将围成三角形的小棒长度填写在下表中，并思考为什么有的小棒能围成三角形，有的却不能。

学生经过思考讨论后得出结论——三角形任意两边之和大于第三边，师让学生画出三角形进行验证。

……

案例二：

师：现在拿出学具中的三根小棒（都有长度），让这三根小棒围不成三角形，然后将数据和发现填写在下表中。

学生先拼摆、交流讨论，再上台演示摆不成的情况，通过教师的引导，最终得出“两边之和小于或等于第三边摆不成三角形”的结论，即“三角形的两边之和大于第三边”。

……

思考：

上述两个案例的教学方法大同小异，都是通过动手操作，让学生理解三角形两边之和大于第三边，前者是从能够围成三角形的角度入手，后者是从不能围成三角形的角度引入。无论是用哪种教学方式，这两位教师选取的材料是一样，因而在实践中出现了共同的问题：在探究为4厘米、5厘米、9厘米的三根小棒能否围成三角形时，学生出现了分歧，认为能够围成三角形的学生大有人在。究其原因，主要在于操作材料的使用上有其局限性。教师给学生操作的材料都是吸管、细铁丝、磁力棒、细条等，但这些材料不是太软就是太厚，使得端点的连接不能严丝合缝，导致动手操作的普遍性大打折扣，学生无法从直观表象中抽象出本质。此外，动手操作的步骤都是在教师引导下进行的，剥夺了学生自主探究的权力，使数学的活动经验不能得到正向迁移。

那么，该如何改进这一问题呢？笔者认为可采用推理和探究的方式，引导学生得出结论。

改进后的教学：

师：小明家到邮局有2千米，学校到邮局有5千米，小明家到学校有多远？你能有几种方案？

学生认为有以下两种情况：

师：还有哪种情况？

生1：我认为还有一种情况，即学校和邮局、小明家不在一条线上，都在不同的位置（如下图）。

师：那么，小明家到学校的距离比7千米远还是近？（学生猜测远，因为三角形两边之和大于第三边）是否如此呢？（学生将小明家的位置全部画出来，师使用几何画板动态演示如下）

学生发现，当刚好是5－2=3或5+2=7时，小明家、邮局、学校在同一条线上，这个时候就没有形成三角形。学生根据算式得出结论：三角形一边小于其他任意两边之和，大于其他两边之差。

……

思考：

从上述教学发现，课堂教学并没有固定的模式可循，并不是所有的教学内容都必须要让学生动手实践操作。如在“三角形的三边关系”一课中，学生的操作不但抑制了思维的发展，而且也让学生失去了思考的机会。而借助多媒体课件的展示，教师可以一步步地引导学生探究，培养学生思维的严密性，得出正确的结论。

篇3

【关键词】数学；小学；三角形；教学；案例

教学内容：

北师大版小学数学第八册《三角形边的关系》

教学目标：

1、通过摆一摆等操作活动，探索并发现三角形任意两边的和大于第三边，并应用这一性质判定指定的三条线段能否组成三角形。

2、引导学生参与探究和发现活动，经历操作、发现、验证的探索过程，培养自主探索、合作交流的能力，激发学生探究知识的愿望和兴趣 ，进一步发展空间观念，锻炼思维能力。

教学重点：

探索发现三角形任意两边的和大于第三边。

教学难点：

能应用发现的结论，来判断指定长度的三条线段能否组成三角形，并能灵活实际运用生活。

教学过程：

一、导入

1、小熊要建一座小竹屋，什么形状的屋顶美观又稳固？（三角形）

2、小熊已搭好了一条8m的边，从3m、4m、5m的竹子中再选两根，合起来做三角形屋顶，可以怎样选择？

3、学生操作演示（实物投影）：老师事先准备了4根分别注明是8cm、3cm、4cm、5cm的小棒（老师说明：cm代表m）

3cm、4cm、8cm （不能围成）

3cm、5cm、8cm （不能围成）

4cm、5cm、8cm （能围成）

4、看到结果，你有什么疑问？（为什么有的能围成三角形，有的不能围成？到底怎样的3根小棒才能围成三角形呢？能围成三角形的三根小棒之间有什么关系？）

5、让我们像数学家一样去探索和发现三角形边的关系（板书课题）。你有信心和勇气吗？

二、实验探索：

1、分组实验，合作探索：

从3cm、3cm、3cm、4cm、5cm、6cm、9cm共7根小棒中选三根小棒摆一摆，也可以用画一画（自己选择数据画三角形）、量一量（量已有三角形的各边）、折一折（用纸折三角形）等其它方法来试一试。将实验结果填在报告单中：

（附实验报告单）：

3cm、3cm、3cm、4cm、5cm、6cm、9cm

第一边长度cm第二边长度cm第三边长度cm能否围成（能√，否×）比较三条边关系

3453+454+535+34

2、小组内分析数据，交流探究结果。

三、发现结论

1、小组汇报交流实验结果：你发现了什么？（能围成的三角形任意两边之和都大于第三边。）

①不能围成三角形的每组小棒的长短有什么关系？（有一组两边之和小于或等于第三边）

如：3+4

②能用一句话说说你的发现吗？（三角形任意两边之和都大于第三边）

2、归纳结论：

同学们，祝贺你们探索和发现了三角形边的关系，让我们自豪地再说一遍这个结论。

四、拓展应用

师：同学们真了不起，能探索和发现三角形三边的关系了。那么请同学们拿出信封中的三根小棒，说说为什么这三根小棒围不成三角形呢？

生1：我的信封中的三根小棒中有两根小棒的长度和没有第三根长，所以围不成。

生2：我的信封中的三根小棒中的两根小棒的长度和等于第三根，所以也围不成。

师：看来只有当三根小棒的长度满足三角形边的关系，才能围成三角形。请同学们判断下面几组线段是否能围成三角形？

（1）3厘米 4厘米 6厘米 （ ）

（2）1厘米 2厘米 3厘米 （ ）

生1：因为3+4>6、4+6>3、3+6>4，满足了三角形边的关系，所以能围成三角形。

生2：因为1+2=3，所以围不成三角形。

师：大家想一想，有没有一个简单的方法，快速判断三条线段是否能围成三角形？

生1：可以直接看较短的两条线段之和是否大于第三条线段，如果大于就说明能围成，反之就不能围成三角形。

生2：我同意，两条短边之和大于第三边，那么长边和短边之和肯定就大于另一条短边了。

师：同学们说的很好，下面就请同学们自己说几组线段让同学们用这个方法快速判断一下。（同桌互说）

五、完成书上的例题填表然后集体交流

六、全课总结

这节课你有哪些收获？关于三角形边的关系还有值得我们探讨的地方，比如三角形任意两边的差与第三边有什么样的关系？有兴趣的同学课后可以自己探索。

反思：

对于四年级的学生来说，三角形一点都不陌生，所以我放手让学生独立进行操作，把较多的时间放在了探究三角形边的关系方面了，这是本课的一个难点。从“是不是所有的三根小棒都能围成一个三角形？”，借助了小棒、画图等手段，引发学生的主动探究，使学生获得了一定的数学知识，激发了学习兴趣，培养了探索意识。

我首先创设有趣的、具有生活实践意义和挑战性的问题情境，可以激发学生强烈的求知欲和探索兴趣，使学生积极主动参与操作活动，进行探索。通过小熊造房子盖三角形屋顶这一具体情景，创设数学问题，激发学生强烈的探究欲望，感受数学学习的价值，体现了“数学知识来源于生活”。

其次，我设计了摆三角形的探索性学习活动。三角形两条边长度的和大于第三边，是本课的教学重点，是三角形内在的特征，教学时采用的一般操作活动是很难让学生自主体验的，因此，我由指向明确的问题导入：是不是任意长度的三条线段都能围成三角形呢？继而组织学生展开探索性学习活动，把探索结果记录下来后，组织全班学生展开充分的讨论：为什么不能围成三角形，什么情况下能围成三角形。其中，着重解决两边之和等于第三边的情况，并引导学生形成思维：两条边长度之和大于第三边，是指任意两条边之和大于第三边，在此基础上，进行抽象概括，形成正确认识。这一过程，使学生既加深了对三角形内在特征的认识和理解，又通过此过程感受到数学思想方法，提高了数学学习的兴趣和信心。

再次，我安排了探究意味很浓的课堂练习。课堂练习不是简单的强化和巩固，而是进一步完善认知结构，优化思维的过程。教学中我充分注意到了这一点，通过练习，学生在所学内容的基础上，对知识又有发展，找到了最佳的判断方法。

课堂是每个学生都在经历着的生命历程，学生渴望着这个历程的丰富多彩，生活中毫不起眼的一些例子都能引起他们为之思考、争论、兴奋、抱怨，那是因为师生共同的“演绎”让课堂成为富有经历与创造的过程。我注意引导学生自己动脑、大胆猜想、勇于实践、积极创新，用数学的眼光去探索和发现，使学生感受到学习数学的乐趣。但在组织学生动手实践时，怎样引导学生有序地、有目的性地去合作探索？这是值得我去探索，去继续努力的。

参考文献

篇4

【关键词】 认识 三角形 教学设计

【中图分类号】 G423 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)04(b)-0100-01

1 教材分析

【教材】北师大版七年级数学下册第5章第1节的内容【课时安排】第1课时

【教材编排与内容分析】

(1)教材编排特点:教材没有把知识结论直接呈现给学生,而是让学生在“做”图形活动中发现问题,研究规律。

(2)内容分析:三角形是最简单、最基本的几何图形,是初中数学贯穿始终的重点内容,是研究其他图形的基础,探索和掌握它的基本性质,有助于学生更好的认识现实世界、发展空间观念。而三角形三边关系是构成三角形的前提。本节内容既是对之前学习内容的复习巩固,也是对三角形三边关系进一步的探究和验证。因此学好本节知识是学好后续知识的基础。

【教学三维目标】

* 知识与技能:认识和掌握三角形概念及其基本要素,理解三角形三边关系,并会用来解决问题。

* 过程与方法:使学生经历三角形三边关系从特殊到一般的独立建构过程,培养学生观察、探索问题的能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识。

* 情感态度价值观:带领学生体验数学来源于实践,又服务于实践,并体会数学以不变应万变的魅力。

【教学重点】三角形三边关系的探索与应用【教学难点】对两边之差小于第三边的探索

2 教法与学法分析

【学情分析】(1)七年级的学生在小学时已接触过三角形的初步知识,对三角形并不陌生。(2)七年级的学生思维活跃,求知欲强,有比较强烈的自我意识,对观察、猜想、探索性的问题充满好奇.

【教法分析】探究式教学法【学法分析】研讨式学习法、指导发现式学习

3 教学过程

【情境引出概念】(一)请大家说说三角形的特征,并播放介绍所三角形特征的flash

设计意图:1.创设情境,让学生充分感受生活中的三角形。准确把握数学学习的起点,促使学生在自身已有的基础上去探求新知。2.在学生在观看动漫片中自主概括三角形的特征,进一步完善对三角形的认知结三角形的特征,进一步完善对三角形的认知结构。

【迁移中形成新知】(二)请看以下的问题:在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠,它会选择哪条路线? 设计意图:设置“小狗觅食选择路径”的问题,回顾所学知识:两点之间,线段最短,以旧知引出新知。(三)观彩灯:在元宵节的晚上,房梁上亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说说你的理由。设计意图:从彩灯的长短比较顺利迁移到三角形的三边关系,利于对知识的同化。

【操作中感悟规律】(四)发吸管,明确操作任务:让学生以已有的2个塑料管(3cm,5cm)作为三角形的两条边,在纸上画一条线段表示要配的第三根塑料管并探索塑料管的最短长度。设计意图:根据皮亚杰动手操作理论,巧妙设计:固定两边的长度,有效地控制变量,降低操作难度,又为活动的有序进行做好了铺垫,提高课堂的有效性.(五)议一议:组内合作,组间交流,分享成果。设计意图:通过合作,让学生发现规律,让学生演示、说理,发展学生的数学语言,激发学习兴趣,形成对教师参与的心理期待。(六)看一看:让学生观看三角形三边关系。设计意图:在学生亲身获得体验的同时,教师加以点拨,强化了学生的认知。

【应用中掌握规律】(七)应用定理:例1:有两根长度分别为5cm和8cm的木棒,用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？动手摆一摆。设计意图:学以致用,让学生体会三角形三边关系解决问题的实际应用中渗透波利亚的解题思想(八)沙场点兵:(1)基础题:等腰三角形一边长9cm,另一边长4cm,它的第三边是多少？为什么？(2)情境题:老师一步迈2.6m,合理吗?设计意图:1.让学生在选择腰的长度的过程中,进一步感悟三角形三边关系;2.通过生活中的有趣例子,引导学生体验数学来源于生活又服务于生活,增强用数学的意识.

【小结与思考】(九)课堂小结(1)通过今天的学习你有什么收获？还存在哪些疑问？2.由学生小结本节课的内容并及时加以引导。设计意图:利用情境回顾知识的发生与发展过程,让学生自主总结,提高他们的表达能力。

【作业布置】(1)必做题:(1)P138 T1;(2)等腰三角形的一边长为5cm,另一边长为6cm,求它的周长。(2)选做题:小明画了一个ABC,用尺量得三边的长之后,他发ABC的周长为偶数,AB:AC=3:2,AB-AC=2,请你猜出第三边BC的长。设计意图:分梯度布置作业体现分层教学,突显以生为本的教学理念。

【板书设计】略设计意图:提纲式的板书,重点突出,具有直观性,有助于学生抓住知识的核心。

4 教学评价

【教法创新】从记结论转向高认知水平的学生动手操作,教师引导发现,师生共同抽象概括,形成正向产生式:“两边差

篇5

苏教版四年级下册第三单元系统教学三角形的知识，本课《认识三角形》为该单元第一课时。课堂充分基于儿童立场展开教学，探究知识和启迪思维明暗两线相得益彰，特别在“探究并发现三角形三边关系的基本特征”这个教学重难点上有了一定突破。

先由问号“是不是任意三条线段都能围成三角形”经历猜想、验证的探究过程后变成句号“不是任意三条线段都能围成三角形”；再由学生从这个句号中提出新的问号“围成三角形的三条线段的长度，具有怎样的关系”，然后再次经历猜想、验证的探究过程后变成新的句号“任意两条边长度的和大于第三边”；课尾，再次引导学生思考：从这个新的句号中，你还能提出新的问号吗？

“君子学以聚之，问以辩之”。求真知，就须在学中问、问中学，学问之道正是基于儿童的从问号到句号、从句号到问号、再从问号到句号的螺旋探究之路。

【教学目标】

本课教学目标如下：

1.使学生联系已有认识和生活经验，经历观察、提问、猜想、验证等学习活动，认识三角形的基本特征，探究并发现三角形三边关系的基本特征。

2.使学生在认识三角形有关特征的活动中，体验认识多边形特征的基本方法，发展几何直观、思维能力（抽象、概括、推理等）、应用意识和创新意识。

3.使学生体会三角形是日常生活中常见的图形，并在学习活动中进一步激发其学习图形的兴趣和积极性。

教学重点与难点：认识三角形的基本特征，探究并发现三角形三边关系的基本特征。

【教学过程与意图】

一、导入三角形：基于儿童的年龄特点与认知经验

1.趣味导入。

（1）看：先来看看，咱们班同学的眼睛亮不亮！准备好了吗？看！（课件显示一些平面图，2秒后隐去）

（2）问：刚才出现的图形中，哪种图形最多？

（3）看：是不是这样呢？再来看！

2.揭示课题：这些都是我们一年级时就已经初步认识的平面图形，到了中年级，我们还要来深入研究。这节课，先来进一步认识三角形。（板书：三角形）

【美国教育心理学家奥苏伯尔说：“假如让我把全部教育心理学原理归结为一条原理的话，我将一言以蔽之，影响学生的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并据此进行教学。”学生已经初步认识了平面图形的名称和形状，设计这样一个趣味导入，既扣准了新旧知的链接点，又使学生的注意力迅速聚焦于“三角形”上。】

二、认识三角形的基本特征：基于儿童的观察感悟与生活经验

1.观察说话：三角形在我们生活中随处可见，你看，哪些地方能看到三角形？

2.丰富感知：再想想看，生活中还有哪些地方也能看到三角形？

3.观察发现。

（1）既然这些图形都是三角形，那它们一定具有共同的特征，是什么呢？（3条边、3个顶点、3个角）

（2）现在你明白了吗？为什么称这样的图形为三角形？它还有三条边，所以还可以叫什么？

【概念的引入是概念教学的第一步。从“观察说话”的点普及到“丰富感知”的面，是基于儿童生活经验的唤醒，以此建立正确、丰富的三角形表象。然后从具体事物中抽象出数学中的三角形图形，并引导学生观察发现三角形的共同特征，再联系特征反思名称的由来，既突出了三角形的特征又体现了知识之间的融合。】

4.感悟特征。

（1）自主画。

画：接下来，你能在点子图上画出一个三角形吗？

问：你是怎么画的？还有不同的画法吗？

（2）辨析画。

定点：画三角形的方法有很多。我也想来画一个，先定三个点（在一条直线上），怎么啦？三个点不能定在一条直线上。

连线：再把这些点连接成线段（画第三条边时没有围成），又怎么啦？这样是三角形了吗？

概括：现在你能根据画三角形的过程来说一说怎样的图形是三角形吗？（三条线段首尾连接围成的图形）（板书：三条线段围成三角形）

【概念的形成是概念教学至关重要的一步。教材安排学生每人至少“做”一个三角形并相互交流，“做”三角形的目的不在于结果，而在于建立边、角和顶点等概念。鉴于学生在二年级认识角时就已建立了边、角和顶点等概念，于是，将“在点子图中画三角形”的练习提前至此以形成概念。自主画是了解并呈现学生的已有认知，基于自主画后的辨析画，一是进一步体验三角形的基本特征，二是感悟中学里的三角形定义“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形”，三为下面的三边关系认知盲点“两条短边长度的和等于长边也能围成三角形”埋下伏笔。】

三、探究并发现三角形三边关系的基本特征：基于儿童的认知结构与活动经验

（一）探究一：是不是任意三条线段都能围成三角形呢？

1.提问猜想：那是不是任意三条线段都能围成三角形呢？（补充板书：任意三条线段都能围成三角形？）

2.实验验证：到底是不是呢？猜想还只是一种感觉，不一定正确，我们来实验验证。这是一根小棒，将它任意折三段（示范），把这三段看做三条边，围一围，是否一定能围成三角形呢？想自己试一试吗？

3.得出结论：

（1）（展示围成的）围成三角形了吗？

（2）（展示围不成的）围成三角形了吗？不着急，我来往下压压看，还是围不成。

看来，的确不是任意三条线段都能围成三角形的。（修改板书：不是任意三条线段都能围成三角形。）

篇6

例1已知等腰三角形的一个内角为50°,求其顶角的度数.

解析:50°的角可能是顶角,也可能是底角.

(1)当50°的角是底角时,顶角的度数为180°-50°×2=80°;

(2)当50°的角是顶角时,则该三角形的顶角为50°.

所以这个等腰三角形的顶角为80°或50°.

点评:条件中没有明确指出50°的角是顶角还是底角,所以应分类讨论.

例2已知等腰三角形的一边等于7,另一边等于10,求它的周长.

解析:已知条件中没有明确指出7和10哪个是腰长哪个是底边长,所以应分类讨论.

(1)当腰长是7时,则底边长是10,其周长是7+7+10=24;

(2)当腰长是10时,则底边长是7,其周长是10+10+7=27.

根据三角形三边关系定理,这两种情况都成立. 所以这个等腰三角形的周长是24或27.

点评: 在解底边和腰不相等的等腰三角形问题时,若条件中不能确定底边与腰,应在符合三角形三边关系的前提下进行分类讨论或先分类讨论,再根据三角形的三边关系进行取舍.

例3已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,求这个等腰三角形的各个角的度数.

解析:应分两种情况来讨论.

(1)当高位于等腰三角形的内部时,如图1.

由∠ACD=30°,∠ADC=90°,

得∠A=60°.

因为AB=AC,所以∠B=∠ACB=60°;

(2)当高位于等腰三角形的外部时,如图2.

由于∠DAB=30°,∠D=90°,所以∠DBA=60°,∠ABC=120°.

因为AB=BC,所以∠C=∠BAC=30°.

所以等腰三角形的各角为60°,60°,60°或120°,30°,30°.

例4数学课上,同学们在探究下面这个命题的正确性:顶角为36°的等腰三角形具有一种特性,即经过它某一顶点的一条直线可把它分为两个小等腰三角形.为此,请你解答下列问题.

(1)已知,如图3,在ABC中,AB=AC,∠A=36°,直线BD平分∠ABC交AC于点D.试说明:ABD与DBC都是等腰三角形;

(2)在证明了该命题后,小颖发现:下面两个等腰三角形(如图4、图5)也具有这种特性.请你在图4、图5中分别画出一条直线,把它们分成两个小等腰三角形,并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数;

(3)接着,小颖又发现:直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性,如:直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形.请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图,并在图中标出三角形各内角的度数.(说明:要求画出的两个三角形不相似,而且既不是等腰三角形也不是直角三角形.)

解析: (1) 在ABC中,AB=AC,

∠ABC=∠C.

∠A=36°,

∠ABC=∠C=72°.

BD平分∠ABC,∠1=∠2=36°.

∠3=∠1+∠A=72°.

∠1=∠A,∠3=∠C,

AD=BD,BD=BC,

ABD,DBC都是等腰三角形.

(2)当三角形是等腰直角三角形时,如图6;当三角形是三个内角分别为36°,36°,108°的等腰三角形时,如图7和图8.

(0°＜a＜45°,其中a≠30°,a≠36°.)

篇7

关键词：小学；平面图形；课堂教学

一、平面图形的教学要注重学生的生活经验

新课标明确指出，数学是来源于生活的，同时又是服务于生活的。教材中平面图形的教学都十分注重学习内容与现实原型之间的联系，小学生生活中对相关图形的认识和理解是学生学习平面图形的宝贵资源，学生平面图形的学习应当以此为前提条件。

如认识圆时要从学生的生活经验出发，通过风扇转动、画投掷圈等入手，引导学生展开对圆特征的认识。在了解圆的特征后，可以围绕生活中圆形物品来展开讨论，让学生能够进一步理解圆的相关特征，并把平面图形与生活实际相结合，明确平面图形来源于生活，又同时服务于生活。

二、平面图形的教学要培养学生正确的图形观察方法

小学平面图形的教学在注重让学生通过观察和对比去认识图形的特征与内在联系的同时，还应当注重培养学生形成观察平面图形的正确方法。

小学阶段所需要认识的长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形、扇形等平面图形都是由线所围成的图形，因此在教学中要从用什么线围、怎么围这两点上去展开观察，并帮助学生形成正确的图形观察方法。

在《长方形、正方形的特征以及周长、面积》的教学中，教材安排了学生对于线段和角的认识，这样的安排就是为了能够让学生明确长方形是用什么线围、怎么围的。在教学活动时，首先，通过观察、对比等活动帮助学生明确长方形是由四条对边相等的线段围成的（用什么线围的），这些线段围成的角都是直角（怎么围的）。其次，在总结阶段让学生用自己的语言来归纳长方形的特征。最后，在正方形的特征学习时，就可以让学生借助长方形学习时的观察经验来进行主动的观察分析，并发现长方形与正方形特征的异同。通过这样的学习活动，学生逐步形成观察平面图形的正确方法，为后续认识三角形、平行四边形、梯形等图形打下基础。

三、平面图形的教学要让操作活动贯穿于教学活动的始终

搭一搭、折一折、剪一剪、拼一拼、做一做等操作活动在教学活动中往往被忽略，而没有真正地发挥出操作活动在帮助学生建构平面图形认知中的重要作用。因此，让操作活动贯穿于学生课堂的学习与练习之中，对学生真正理解和掌握图形的特征是十分有用的。

在教学“三角形的三边关系”时，让学生课前准备若干不同的小棒，教学时：

（1）让学生任选三根小棒，围成一个三角形，然后指名说说你选了哪几根。

（2）让学生试试哪三根小棒不能围成三角形，然后指名说说哪几根不能围。

（3）重点围绕着为什么这些小棒不能围成三角形去思考三角形的三边关系，并在得出三角形的三边关系后让学生举一些不能围成三角形的三条线段的例子。

在得出三角形的三边关系之后，对于三条边能否围成一个三角形的判断并不是每个学生都能完全理解和掌握，如果只凭空洞的语言――三角形的任意二边之和大于第三边，去让这部分学生去理解和掌握是比较困难的。因此，练习的设计时要围绕着学生手中的几种小棒去设计，让这部分学生在思考遇到困难时可以借助手上的小棒去操作，他们在操作的过程中自然会越来越清楚地理解两条短边之和没有大于长边之时三角形是围不起来的。

四、平面图形的教学要让画图和描述有机地结合在一起

要让学生在头脑中建立比较清晰的平面图形特征及其相互关系，除了要让学生通过画图来掌握特征，应让画图与语言描述结合起来。这样学生对于图形的各个特征、图形特征之间的相互关系才能有更清晰的认识。

在《圆的认识》这一单元的教学中，学生在认识了圆的基本特征之后，在学生画圆的活动中，要注意让学生把各部分的名称标出来并说清它们之间的关系。在后续的练习当中，出示一个圆先要让学生说清圆心、半径、直径等的关系，再让学生用圆规画一个同样大小的圆。通过画图与描述相结合的方式，让学生对圆的半径、直径、圆规两脚张开的距离、圆的大小等特征及相互关系，形成一个比较完整统一的认识。

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关键词：初中数学；创新思维；优化教学

培养学生在学习过程中逐步具有创新思维能力，已经成为新课程标准对初中数学教育的明确要求，在初中数学教学中也愈来愈显得重要。那么，在中学数学教学中如何才能培养学生的创新思维能力，培养出适应社会需要的新型人才呢？现结合教学实践，谈谈在初中数学课堂中，怎样培养学生的创新性思维能力。

一、创造宽松的课堂氛围，激发学生的创新性意识

新课程理念倡导：要相信学生，相信学生的能力，让学生成为课堂的真正主人。如何才能营造一个宽松的课堂氛围呢？这就需要教师教学态度平易近人，教学语言生动而形象，问题新颖而巧妙，教具有趣而直观等，这样才能够调动学生的学习积极性，才能够调动学生课堂的学习兴趣，才能够激发出学生的创新性意识。另外教师还要根据不同的教学内容和要求，利用精心设计、生动有趣的教学情境，让学生能够立刻融入情境里面，进入一种主动学习状态中去，从而发掘学生的创造性潜能。在课堂教学中,教师应让学生积极参与，打破常规，克服思维定式的干扰，运用新方法激发学生大胆探讨问题，增强学生思维的灵活性、开拓性和创造性。

二、改变教学观念，优化教学手段

一方面，教育本身就是一个创新的过程，教师要具备创新思想，要改变过去以讲授为主的教学方法。在课堂教学过程中，教师要积极地引导学生，注重培养学生的创新性思维能力，不能仅仅局限于教材中的方法和结论，要能够创新性地去突破已有的解题方法和结论，找出更简捷、更合理的解决问题的方法。另一方面，教学手段是教育观念、教学能力、学识和素质的综合体现，良好的教学手段不仅是提高课堂教学效率的重要方式，也是吸引学生的磁石。所以，在教学中，教师要引导学生养成积极主动去发现问题和解决问题的习惯，调动学生对知识学习的主动性和积极性。例如：在讲授教材中“轴对称”内容时可按照以下方式进行：①提出问题：要在一条河边修建一座水利调配站，分别向城市A、城市B送水，水利调配站建在河边的什么地方，可以使所通往两个城市的水管最短？②建立一个可变的模型。③让学生按照要求设计模型，从而引出矛盾和问题。④讲授教材这章节的新内容。⑤让学生重新设计模型。

三、让学生在课堂中成为主人

数学与我们的日常生活息息相关，可以根据日常生活中的事例来对数学课堂进行拓展。在课堂中，教师要让课本中的知识与学生动手实践相结合，这样学生能够在动手实践中体验所学到的数学知识，从而提高自己的实际动手能力。例如，在教“三角形的三边关系”时，可按照以下几个步骤进行教学：首先，设立情境提出问题，让学生亲自动手，用准备好的木棒来研究三角形三边关系。其次，归纳探究：①综合以上结论得出构不成三角形的情况：两条较短的线段之和小于第三边时；两条较短线段之和等于第三边时。②放手让学生猜想、归纳三角形的三边关系。③演绎推理，得出推论：三角形的两边之差小于第三边。最后，三角形按边关系分类。全班合作交流后得出：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又可分为腰与底边不等的三角形和腰与底边相等的三角形。

四、保护学生创新性思维的“闪光点”，鼓励学生大胆猜想

作为启迪人类心灵智慧的教师，就应该及时捕捉和诱发学生思维过程中出现的灵感。对于学生在探究时那种“违反常识”的提问，在争辩中那种与众不同的见解，教师都应该充分肯定，并引导学生进一步思考，扩大思维中的闪光点。而这些“闪光点”若不能被及时发现，创造性思维就得不到训练和发展。因此，教师要鼓励学生敢于大胆猜想、勇于探索创新，教学中要多给学生独立思考的机会，使学生养成独立思考的习惯，必要时要及时准确地进行启发和引导，从而提高思维效率。

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【关键词】三角形；判断；边边；角角

三角形是由三条线段首尾顺次连结而形成的图形。它主要由元素“边”、“角”组成。因此，按其边分类可分为：不等边三角形、等边三角形、等腰三角形。按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

故一般判断三角形的形状，可分为判断几种特殊的类型：等腰三角形、等边三角形、直角三角形。下面浅淡一下判断这几类三角形的方法：

一、勾股定理逆定理的运用

根据勾股定理逆定理，在三角形中，只要三边满足关系式a2=b2+c2或b2=c2+a2或c2=a2+b2则此三角形定为直角三角形，因此当条件中有边边关系且有平方关系时，我们首先用勾股定理的逆定理进行考证：

例1 已知三角形三边满足关系：

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c判断此三角形的形状。

分析：此题中只有边边关系，因此，我们用勾逆定理验证，但没有直接的条件说明，故应制造条件，求出边长或边边关系，这里主要运用配方法：

解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c

（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0

（a-5）2≥0，（b-12）2≥0+（c-13）2≥0

a=5，b=12，c=13

a2+b2= c2

三角形为直角三角形

二、三角法

首先将条件中的边角关系，由正余弦定理统一为“角角”关系或“边边”关系，再由三角变成代数，变形分解因式从而判别形状。

例2 ABC中，bcosB=ccosC，试判断三角形ABC的形状。

分析：已知条件中既有边，又有角。通常是把它统一为“角角”或“边边”关系。

解：方法1 由余弦定理有：

a2+c2-b2 a2+b2-c2

b·————=c·————

2ac 2ab

去分母得：b2（a2+c2-b2）=c2（a2+b2-c2）

即：a2b2-b4-a2c2+c4=0

a2（b2-c2）-（b2+c2）（b2-c2）=0

（b2-c2）（a2-b2-c2）=0

b2=c2即b=c或a2=b2+c2

ABC为等腰三角形（b=c）或直角三角形（∠A=90°）

方法2：由正弦定理b=2RsinB c=2RsinC代入式中得：

2RsinBcosB=2RsinCcosC

sin2B=sin2C

B=C或2B=π-2C

2B=π-2C

B+C= π —2

ABC为等腰三角形（B=C）或直角三角形（∠A =90°）

三、韦达定理及判别式的运用

当题设中的条件与一元二次方程有联系，并且此一元二次方程的各项系数与三角形的边或角相关时，用韦达定理或判别式将其边或角转化为“边边”或“角角”关系，从而判别其形状。

例3 已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a、b、c是ABC的边长，判断ABC的形状。

解：设此方程两根分别为x1，x2由韦达定理有：

x1+x2= 2b —— a+c =-1

x1·x2= c-a —— a+c

x1-x2=

x1- x2=

=0，（a+c）≠0

a=c

又-=-1

=1 a=b

ABC为等边三角形

四、利用平面几何知识

当题设中的条件与平面几何知识密切联系，此时，利用平面几何的有关知识找出所要判断的三角形的边角关系。

例4 已知等腰梯形ABCD中，AB//CD（AB

解：分别连结BE、CF

四边形ABCD是等腰梯形

又∠AOB=60°

AOB与DOC均为正三角形

E、F分别是OA、OD的中点

BEOA，CFOD，EF=AD

G是BC的中点

EG =BC GF =BC

又BC=AD

EF=FG=EG

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[关键词]避轻就重；层层递进；前后联系；实践操作

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）05-0051-01

在数学教学中，教师必须创设实践活动的情境，让学生亲身参与实践操作，只有这样，学生的思维才能展开，学生才会主动地思考。

一、避轻就重，在实践操作中强化理解

动手实践，既满足了学生活泼好动的心理需要，也为学生的认知和理解提供了足够的时间和空间，为学生自主探索和理解数学的方法策略创造了契机。在实践操作过程中，学生能通过对比、交流、争论，获得更全面的数学认知，活跃思维，拓宽视角。

如教学“三角形内角和”时，教师从直观的三角尺入手，要求学生对两种三角尺的内角和进行推测，从而引出三角形内角和的初步概念。学生先测量出每个角的度数，相加后得出两种三角尺的内角和都是180度。接着，教师借助学生对三角尺的认知，从特殊向一般延伸，将探索的重点转向了对一般三角形的研究上。教师提问：“如果我们随手画一个三角形，它的内角和会是多少呢？除了测量的方法，还有什么方法能快速算出三角形内角和呢？”学生在动手实践中进行各种尝试，有的将三角形的三个角剪下来进行拼贴，有的将三角形两个小角折叠在大角的两边……最终，学生得出一致的结论，即三角形的内角和等于180度。

教师紧紧围绕学习的难点，突出动手实践在实际教学中的运用，引导学生在实践操作中感悟数学问题，解决现实问题，有效引导学生在丰富有趣的实践中掌握数学规律，在原有认知的基础上获得新知识的积累。

二、层层递进，在辨析对比中升华认识

实践操作要以适应课堂需要、适应学生的发展为前提，旨在通过理论与实践相结合，激发学生学习的热情，提升学生的学习效益。

如教学“三角形三边关系”时，教师就可以利用实践操作，让学生在亲身体验和交流中领悟三条边长度之间的关系。为了帮助学生厘清“怎样判断三条线段能不能围成三角形？如何确定是哪两边的和与第三边比较？”等难点，教师采用强化比较与辨析的方法，明晰了操作的要求和方向，旨在引导学生边操作边思考，将操作实践落到实处。首先，教师拿出四根小棒，分别为8厘米、5厘米、4厘米、2厘米，随机取出三根，让学生分小组对所抽取的三根小棒进行实践操作，并用算式表示操作结果。然后，教师选取8厘米、5厘米、2厘米的一组小棒，让学生操作。学生发现这组小棒无法拼成三角形，于是引发问题：为什么不能拼成三角形，怎样调整才能拼呢？学生在调整中比较、辨析、交流，最终发现三角形三边的内在联系。接着，教师引导学生利用三角形的三边关系，有目的地选取两根小棒的长度和与第三根小棒的长度进行比较，学生在多次尝试后总结出“选取两根相Χ痰男“粲胱畛さ男“艚行比较”。最后，引导学生反向思考“两条边的和只要大于第三边，就一定能拼出三角形吗？”

教师将学生的实践操作与数学问题有机结合起来，通过逐层深入的引导，使学生在实践操作中领悟了解决问题的具体方法，增强了数学逻辑推理能力，提高了对数学问题的解析和运用能力。

三、前后联系，在实践印证中提升素养

实践是判断数学结论的正确与否的重要途径。通过实践活动，学生能更深入地理解数学问题的本质，理解数学知识的意义。

如教学“平行四边形的定义”时，教师一般会让学生直接观察平行四边形，并将其与长方形作比较，然后说出平行四边形的特点。这样的教学忽视了学生的主体地位，因为学生的观察能力和认知水平有限，直接观察图片，学生的认知会停留于感性层面，对所学知识只会一知半解，此时，教师设置画图形的动手操作活动是很有必要的。首先引导学生从生活记忆中搜寻平行四边形的模型，如地板砖、纽扣、饼干等，并在方格纸上画出平行四边形，顺势追问：“怎样判断你画的是否是标准的平行四边形？你如何确定这两条斜着的边是平行的？”学生借助画平行线的方法迅速证明斜着的两条边平行。至此，平行四边形的定义水到渠成。

学生通过实践操作对所学知识理解更加透彻、更加深刻，为牢固掌握新知及丰富所学知识奠定了基础。