立体几何范文

导语：如何才能写好一篇立体几何，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

（1） 证明：OD∥平面PAB；

（2） 当k=■时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

（3） 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？

下面我们通过对此题的分析和解决，来思考高三立体几何的复习策略．

一、 明确考试要求，找准复习目标

立体几何是研究空间中点、线、面间位置关系的科学．高考考查的关于空间中点、线、面间位置关系的问题大致可以分为两类：一类是定性判断，主要有判断点是否在线上或面内，直线和直线、直线和平面以及平面和平面是否平行或垂直等，如上题中的第（1）问；另一类是定量求解，即求解直线与平面之间的夹角、距离，以及与夹角、距离有关的问题，如上题中的第（2）、（3）问．明确了考试的内容，我们就能将主要精力放在重点知识和重点方法的学习和复习上．

二、 知晓考试难度，树立得分信心

本题为2005年高考浙江试卷解答题的第4题，难度系数约为0.7，属于中档题．绝大多数同学都能得分，部分同学还能拿到较高的分数甚至是满分．另外，高考数学试卷中关于立体几何内容的问题一般还会有一道选择题和一道填空题，难度略低于解答题，总分值为23分左右，约占试卷总分的15％．立体几何部分总体难度为中低档，只要树立起充分的信心，通过科学系统地复习，立体几何部分要拿到高分并不困难．

三、 学会知识串网，注重方法积累

明确了考点和难度之后，我们需要对本部分的知识内容有熟练的掌握．立体几何所涉及的知识点比较多，概念之间容易混淆，在复习的过程中，可以通过列知识图表、画网络图等形式，将知识串联起来，形成属于自己的知识网络结构，有利于知识的记忆和提取．

图2所示是立体几何的一个典型图例，通过它我们可以很好地建立起有关立体几何的知识网络．简言之就是“一个模型、两种关系、三大交角、四个公理、五大步骤、六种距离”.通过这个模型，我们可以发现平行和垂直两大位置关系，寻找线线角、线面角和面面角三类夹角，揭示立体几何的四大公理，训练求角过程一般所遵循的 “一找二作三转化四证明五求解”的解题程序，计算点、线、面三元素之间的距离．

如从四面体E－BFG中，我们可以找到构成它的四个直角三角形；EG，EF和平面GBF是三垂线定理的常见模型．高考立体几何的解答题一般以柱或锥为背景，在图2中稍加连线，就可得到典型的柱体、锥体，其中对线面关系、角度、距离等问题都有体现；应用9B知识解题，需要建立适当的空间直角坐标系，在上图中也能找到两两垂直关系的三线来建立坐标系.图2所示的结构也是高考立体几何题的创题背景．

四、 关注演练提升，着意形成能力

练习是复习备考必不可少的环节，一方面可以进一步熟悉知识、体会方法；另一方面，同学们需要在实践中不断锤炼，才能提高分析问题和解决问题的能力．

例题第（1）问中要证明线面平行，常用方法是将问题转化为证明直线和直线平行或者平面和平面平行．所以既可以在平面PAB内找与直线OD平行的直线，也可以寻找过OD且与平面PAB平行的平面．解法如下：

解（1）： O，D分别为AC，PC的中点， OD∥PA.又 PA?奂平面PAB， OD∥平面PAB．

篇2

关键词:立体几何;作图;语言互译

中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)07-0196-01

一、立体几何入门从作图开始

空间图形是立体几何特有的一种语言形式,因为很多时候,看题目里的文字,感到模模糊糊,画个图一看,就清清楚楚了。

在初中学习平面几何时,已经形成了强大的“思维定势”,结果对于立体几何图形也往往不加分析地从平面几何的角度来理解空间图形问题,常把空间图形看成平面图形,以至于妨碍三维空间的建立。必须下大力气,尽快打破平面图形的思维习惯,逐渐熟悉根据纸上画的图形而想象出物体在空间的真实形状。反过来,又能逐步学会将空间的三维物体用线条直观地在一张纸上表现出来。

为此,可采用实物,多角度地“写生”,多画图,才能从中悟出空间图形和平面图形的差异和联系,更合理地画出空间图形。例如,可以对长方体进行观察,摆出不同的位置,从各种角度画出图形,看从哪些角度画出的图形更有立体感;又如,三个面在空间中相交的各种情况,是立体几何图形的基础,可以用硬纸片做模型,摆出各种不同情况的空间位置,逐一画图联系,打好绘制基本图形的功底。

二、分清平面几何与立体几何的联系与区别

立体几何与平面几何有着紧密的联系。因为立体几何中的许多定理、公式和法则都是平面几何定理、公式和法则的推广,处理某些问题的方法也有许多相似之处。但必须注意的是,这两者又有着明显的区别,有时平面几何知识的局限性会对立体几何学习产生一些干扰阻碍作用,如果仅凭平面几何中的经验,把平面几何中的结论套用到空间中,就会产生错误。因此,在解题时需要特别注意的是,并非所有的平面几何结论都可以推广到空间,必须在证明所研究的图形是平面图形之后,才能引用平面几何的结论。

三、三种语言互译十分必要

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本文正是通过对高考立体几何试题（理科）进行分类、整理和汇总，让读者能明白四川省高考立体几何考查的内容，并作出相应对策. 四川省高考立体几何试题，分值相对稳定，其题型一般是一个解答题，一个选择或填空题.解答题处于整卷解答题的中间，从知识方面看一般和棱柱和棱锥有关，主要考查线线关系.线面关系和面面关系，其重点是考查空间想像能力和推理运算能力.下面是我对四川省高考立体几何试题的一些分类和分析。

1. 线类

如图1所示， ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的

图1

（ A） BD∥平面CB1D1

（ B） AC1BD

（ C） AC1CB1D1

（ D）异面直线AD 与 CB1所成的角为

解析：选 。显然异面直线 与 所成的角为45°

2. 球类

设M，N 是球O 半径OP 上的两点，且NP=MN=OM ，分别过N，M，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为 （ ）

（A）3：5：6 （B）3：6：8 （C）5：7：9 （D）5：8：9

解析：由题知，M 、 N是 OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比。在球的轴载面图中易求得：

R2-（R3）2=8R29，R2-（2R3）2=5R29

故三个圆的半径的平方之比（见文献[1]）为R2：89R2 ：59R2，故本题选D。

本题着意考查空间想象能力。

3. 棱柱类

已知正四棱柱的对角线的长为 6，且对角线与底面所成角的余弦值为 33，则该正四棱柱的体积等于________________。

答案：2。

解析：设四棱住的边长为a，高为h.

由题意得 a2+a2+h2=6cosθ=26a=33=>a=1h=2=>V=a2h=2

每年的选择题、填空题难度设计均为容易题和中档题，多为线线.线面关系，近五年四川省高考解答题部分，立体几何通常是一个，以棱柱、棱锥、直角梯形为载体，其中直线与直线、直线与平面的位置关系一直是高考立体几何的考查热点，因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质，又可以考查空间的线线和线面关系，并将证明和计算有机地结合在一起，可以比较全面准确地考查考生的空间想像能力.逻辑推理能力以及运算能力.一般设置两个或三个小题，层层递进，由浅入深。

[例]：已知PCBM 是直角梯形，∠PCB=90° ，BM∥BC ， PM=1，BC=2又 AC=1，∠ ACB=120°， ABPC，直线AM 与直线PC 所成的角为60°

（Ⅰ）求证：平面PAC 平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角M-AC-B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥P-MAC 的体积。

本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。

解法一：如图2

图2

（Ⅰ） PCAB，PCBC

PC平面ABC

PC包含于平面PAC

平面PAC平面ABC

（Ⅱ）取 BC的中点N ，则CN=1，连结AN，MN

PM∥CN

MN ∥PC，从而 MN平面ABC

作NHAC ，交AC 的延长线于H ，连结MH

则由三垂线定理知， ACMH

从而 ∠MHN 为二面角M-AC-B 的平面角

直线AM 与直线 PC所成的角为60°

∠AMN=60°

在ACN 中，由余弦定理得AN= AC2+CN2-2AC・CN・con120°=3

在AMN 中， MN=AN・cot ∠AMN=3×33=1

在CNH 中，NH=CN・sin∠Nch=1× 32= 32

在MNH 中，tan∠MHN= MNNH=1 32= 233

故二面角M-AC-B 的平面角大小为 arctan 233

（Ⅲ）由（Ⅱ）知， PCMN为正方形

VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN=13×12AC・CN・sin120°・MN= 312

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面ABC 内，过C 作CDCB ，建立空间直角坐标系C-XYZ （如图3）

图3

由题意有 A（ 32，- 12，0）

设 P（0，0，Z0）（Z0>0）

则 M（0，1，Z0）， AM=〔 - 32， 32，Z0〕CP=（0，1，Z0）

由直线AM 与直线 PC所成的解为 60°

得 AM・CP=AM・CP・cos60°

篇4

一、命题的常用判断方法

1.直接法

若对定义、公理、定理等掌握灵活，可直接判断，称为“直接法”。

例1．垂直于同一平面的两直线平行。用符号表示即：mα，nα？圯m∥n

显然，这个命题是正确的，即直线与平面垂直的性质定理。

例2．垂直于同一直线的两平面平行。用符号表示即：mα，mβ？圯α∥β

这个命题也是正确的。

例3．如一条直线平行于一个平面，则该直线平行于该平面内的任何直线。用符号表示即：a∥α，b∈α？圯a∥b

这个命题是假命题。只要对直线和平面平行的性质定理掌握的准确就可正确判断。另外也可通过实物演示，如图：

2.模拟法

模拟法就是结合实物加以模拟演示。

例4．垂直于同一平面的两平面平行（假命题）

可用墙角来模拟说明。

3.否定检验法

有一些命题，看起来是真命题，并且通过实验演示也容易演示错误。

例5．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则两直线平行。

由于有“两条平行直线与同一个平面所成的角相等”这个正确命题作为经验，用实物演示时往往容易演示成下图，从而认为该命题为真，而事实上该命题为假命题。

判断这样的命题可用以下思路：否定所给命题，再利用已知条件演示或作图，若能做出图形，则所给命题为假命题。

如例5可先假定两直线不平行，再利用已知条件，及构造两条不平行的直线与一个平面所成的角相等，而两直线不平行可以却相交，可以用实物演示：

这种方法为“否定检验法”，对很多似是而非的命题判断很有效。

二、常用的构造命题法

通过比较我们发现很多命题都有相似处，所以可利用一些方法自己“构造”并判断命题。通常构造命题的方法有：利用四种命题的关系构造命题；利用变换“关键词”构造命题，比如在原有命题中，将关键词“点”“直线”“平面”互相转化，将“平行”“垂直”进行转化等，并且注意文字表述和符号表述。

例6．利用变换关键词的方法构造命题

已知命题：若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行。

符号表示即：a∥b，c∥b？圯a∥c（真）

⑴若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

符号表示即：ab，cb？圯a∥c（假）

⑵若两个平面都和一条直线平行，则这两个平面平行。（已知命题中的直线变平面）

符号表示即：α∥a，β∥a？圯α∥β（假）

⑶若两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。（已知命题中的直线变平面）

符号表示即：α∥γ，β∥γ？圯α∥β（真）

⑷若两条直线都和一个平面平行，则这两条直线平行。（已知命题中的直线变平面）

符号表示即：a∥α，b∥α？圯a∥b（假）

⑸若两条直线都和一个平面垂直，则这两条直线平行。（已知命题中的平行变垂直）

符号表示即：aα，bα？圯a∥b（真）

⑹若两个平面都和一个平面垂直，则这两个平面平行。符号表示即αγ，βγ？圯α∥β（假）

⑺若两个平面都和一条直线垂直，则这两个平面平行。（已知命题中的平面变直线）

符号表示即：mα，mβ？圯α∥β（真）

例7．利用四种命题的关系构造命题

原命题：如果两条直线平行，则它们和第三条直线所成的角相等（真）

逆命题：如果两条直线和第三条直线所成的角相等，则两直线平行（假）

否命题：如果两条直线不平行，则它们和第三条直线所成的角不相等（假）

逆否命题：如果两条直线和第三条直线所成的角不相等，则两直线不平行（真）

篇5

在高中数学课程中，立体几何的内容是一个难点内容。有不少学生一开始学就模模糊糊，缺乏空间感，总是把立几问题看作平几问题。也有些学生对课本中的概念，定理如数家珍，但遇到具体题目时却无从下手。也有些学生知道如何证明，但书写时总是写不清楚，条理混乱，逻辑性差。因此，如何培养学生的空间想象能力，促进学生发展空间思维能力是教师在教学过程中应当思考的问题。本文就个人的一点体会在此谈谈。

1 结合生活实例

刚开始学习立体几何时，学生的空间思维较差，对图形的理解更加感性化。初中学过的正方体、长方体、球、圆柱、圆锥等几何体都是生活中较常见的实物模型。高中阶段要在这个基础上抽象出点，直线，平面间的位置关系，要由感性认识转化为理性思维。在这种思维发展的起步阶段应该侧重于具体的实物模型或生活实例，不能拔苗助长，否则容易引起学生的恐惧感，造成不良的心理反应。

教学时可以把黑板、讲台当作平面，把它们的两条平行边当作平行直线，把墙角当作互相垂直的三条直线或互相垂直的三个平面，把教室的灯管与地面间的位置关系当作线面平行，三棱镜的三条边当作三条平行直线，旗杆与地面间的位置关系当作线面垂直。把门的开合当作平面绕直线旋转，把打开的课本当作二面角。还有可以把笔当作直线，把课本当作平面，根据需要进行摆放来表示直线与平面间的位置关系。

对一些学生特别难以理解的问题，教师可以根据问题自制一些简单的教具来帮助学生理解。教具所用材料宜来源于学生易接触到的事物，便于学生接受。演示教具时应针对学生思维的误区或者盲点，注重实效，不宜变成一种表演或者一种作秀。

2 明确三种表述

对于公理、定理应让学生掌握用三种语言(文字语言、符号语言、图形语言)进行表述，而且能将这三种语言相互结合，相互转化。教学时不少教师更注重符号语言和图形语言，因为考试时比较少用到文字语言。其实用文字语言更容易理解定理、公理，因为符号和图形更加抽象，而文字则更加具体，学生易于接受。当然用文字语言表述时可以将定理内容进行概括、浓缩，取其主干，弃其枝叶。

例如：线面平行的判定，可以说成“面外的一条直线与面内的一条直线平行，则面外的直线与平面平行”，面面垂直的判定可以说成“面内的一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直”。还可以简化为“线线平行线面平行，面面平行线线平行”等文字，这时应让学生明确这些线与面分别代表定理中什么线和什么面，明确它们的具体含义，否则学生很容易产生误解。例如：“线线垂直线面垂直”学生会误解为两条直线互相垂直就推出了一条直线与另一条直线所在平面垂直。

用文字语言表述时应结合符号和图形，三者都不能忽视，图形能体现空间结构特点，而符号则能表示线面间的关系。因此将这三种表述结合起来，能让学生全面掌握，透彻理解。

3 注重定理用法

不少学生对定理内容很熟悉，但真正解题时很茫然。特别遇到要作辅助线的问题时会束手无策，不知所措。因此，教学时既要让学生理解掌握定理本身，更要教会学生如何使用定理，定理的用法是对定理中已知条件，所需条件以及结论之间的逻辑关系的一种重新整合，是对定理内含的一种深层次的挖掘。

例如：判定线面平行，其中直线和平面是已知的，那就要在平面内找到一条与已知直线平行的直线，因此思维的关键就是在图中找到满足条件的直线。问题转化为线线平行，常见的线线平行关系有三角形的中位线，平行四边形的对边等。当然也可以通过面面平行的定义来得到线面平行，也可以用面面平行的性质定理得到线线平行。

又如：判定线面垂直，根据判定定理，要在平面的内找两条分别与已知直线垂直的相交直线。问题就转化为线线垂直，常见的线线垂直关系有等腰三角形底边的中线与底边垂直，直角三角形的两直角边，另一组线面垂直得到线线垂直等。线面垂直也可以根据面面垂直的性质定理得到。

对于定理应明确它的作用是什么，它的条件有哪些，要找哪些条件，特别是一些关键条件，更要重点强调。对一些常见问题应进行归纳总结，形成通性通法。

4 注重三个细节

4.1 培养作图能力。在立几问题中识别图形是最基本的能力，学生由平面几何过渡到立体几何，思维的障碍就是不能准确地识图，往往会将空间图形看成平面图形。教学时让学生根据要求作一些基本的线面位置关系的草图，或给定图形模仿作图有利于提高学生的识图能力，从而提高学生的空间想象能力。

4.2 使用彩色粉笔。有些立体几何图形较复杂，线面较多时，可以按不同的线面关系使用彩色粉笔将它们区分开来，不同的颜色代表不同的线面组合。有时不同的解法需要添加不同的辅助线，这时也可以用彩色粉笔加予区分。有时一些比较重要的线面关系也可以用彩色粉笔，以示强调。当然教学时应根据实际需要添加彩笔，不可滥用，否则达不到预期效果。如果彩笔使用得当，可以增强图形的空间感，从而有助于培养学生的空间思维能力。

篇6

1. 下列命题中错误的是（ ）

A. 如果平面[αβ]，那么平面[α]内一定存在直线平行于平面[β]

B. 如果平面[α]不垂直于平面[β]，那么平面[α]内一定不存在直线垂直于平面[β]

C. 如果平面[αγ]，平面[βγ]，[αβ=l]，那么[lγ]

D. 如果平面[αβ]，那么平面[α]内所有直线都垂直于平面[β]

2. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

[正（主）视图][2][侧（左）视图][俯视图][2] [2][2] [2]

A. [2π+23] B. [4π+23]

C. [2π+233] D. [4π+233]

3. 空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 非充分非必要 条件

4. 如图，四棱锥[S-ABCD]的底面为正方形，[SD]底面[ABCD]，则下列结论中不正确的是（ ）

A. [ACSB]

B. [AB]∥平面[SCD]

C. [SA]与平面[SBD]所成的角等于[SC]与平面[SBD]所成的角

D. [AB]与[SC]所成的角等于[DC]与[SA]所成的角

5. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面的面积与球的表面积的比（ ）

A. [316] B. [916] C. [38] D. [932]

6. 平面[α]的斜线[AB]交[α]于点[B]，过定点[A]的动直线[l]与[AB]垂直，且交[α]于点[C]，则动点[C]的轨迹是（ ）

A. 一条直线 B. 一个圆

C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支

7. 已知正方体外接球的体积是[323π]，那么正方体的棱长等于（ ）

A. [22] B. [233]

C. [423] D. [433]

8. 关于直线[m，n]与平面[α，β]，有以下四个命题：①若[m∥α，n∥β]且[α∥β]，则[m∥n]；②若[mα，nβ]且[αβ]，则[mn]；③若[mα，n∥β]且[α∥β]，则[mn]；④若[m∥α，nβ]且[αβ]，则[m∥n].其中真命题的序号是（ ）

A. ①② B. ③④

C. ①④ D. ②③

9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）

A.[22] B.[32] C.[2] D.[3]

10. 在半径为[R]的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径[r]的最大值为（ ）

A. [（6-2）R] B. [（2-1）R]

C. [14R] D. [13R]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 过棱锥一条棱的两个三等分点，分别作平行于底面的平面，这两个平面把棱锥分成三部分，则这三部分的体积之比（自上而下）为 .

12. 如图，正方体[ABCD-][A1B1C1D1]的棱长为1，[E，F]分别为线段[AA1，B1C]上的点，则三棱锥[D1-EDF]的体积为 .

13. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .

14. 下列命题中正确的是 .（填上你认为正确的所有选项）

①空间中三个平面[α，β，γ]，若[αβ，][γβ，]则[α∥λ] ②若[a，b，c]为三条两两异面的直线，则存在无数条直线与[a，b，c]都相交 ③球[O]与棱长为[a]正四面体各面都相切，则该球的表面积为[π6a2] ④三棱锥[P-ABC]中，[PABC]，[PBAC]，则[PCAB]

三、解答题（共4小题，44分）

15.（10分）如图，已知平面[α]，[β]，且[α?β=AB，][PCα，PDβ，C，D]是垂足.

（1）求证：[AB]平面[PCD]；

（2）若[PC=PD=1，CD=2]，试判断平面[α]与平面[β]是否垂直，并证明你的结论.

16. （10分）在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]为直角梯形， [BC∥AD]，[∠ADC=][90°]，[BC=CD=][12AD]，[PA=PD]，[E，F]为[AD，PC]的中点.

（1）求证：[PA∥]平面[BEF]；

（2）求证：[ADPB].

17. （12分）在如图所示的几何体中，面[CDEF]为正方形，面[ABCD]为等腰梯形，[AB∥CD]，[AC=3]，[AB=2BC=2]，[ACFB].

（1）求证：[AC]平面[FBC]；

（2）求四面体[FBCD]的体积；

（3）线段[AC]上是否存在点[M]，使[EA∥]平面[FDM]？证明你的结论.

18.（12分）如图，四棱锥[P-ABCD]中， [BC∥AD]，[BC=1]，[AD=3]，[ACCD]，且平面[PCD]平面[ABCD].

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易错点一：概念不清导致错解

例1下列命题：

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.

其中正确命题有.

错解：①②③

错因分析：对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误.

正解：②③

例2已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：

①若a∥b，bα，则a∥α；

②若a∥b，a∥α，则b∥α；

③若a∥α，b∥α，则a∥b.

其中真命题的个数是.

错解：1

错因分析：对于①，若a∥b，bα，则应有a∥α或aα，所以①不正确；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或bα，因此②不正确；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题.综上，在空间中，以上三个命题都是假命题.

正解：0

易错点二：定义理解不清导致错解

例3若直线ab，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是.

错解：b与α相交或b∥α

错因分析：直线与平面的位置关系的定义理解不清，在判断时最易忽视“线在面内”.直线b与平面α的位置关系还有bα.所以b与α相交或bα或b∥α都可以.

正解：b与α相交或bα或b∥α

例4如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，则AO与A′C′所成角的度数为.

错解：A′C′∥AC，

AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

OCOB，

AB平面BB′CC′，

OCAB.又AB∩BO=B，OC平面ABO.

又OA平面ABO，OCOA.

在RtAOC中，OC=22，AC=2，

sin∠OAC=OCAC=12，∠OAC=30°或150°.即AO与A′C′所成角的度数为30°或150°.

错因分析：没有真正理解两异面直线所成角的定义，∠OAC可能是OA，A′C′所成的角或其补角.在解题过程中，通过直线的平移得到角，只有锐角或直角才是两异面直线所成的角.

正解：在RtAOC中，OC=22，AC=2，

sin∠OAC=OCAC=12，∠OAC=30°.由两异面直线所成角为锐角或直角得AO与A′C′所成角的度数为30°.

易错点三：忽视判定定理中的条件导致错解

例5如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.

（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）设AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱锥CA1DE的体积.

错解：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点.

又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.

所以BC1∥平面A1CD.

（2）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1∩AB=A，于是CD平面ABB1A1.

由AA1=AC=CB=2，AB=22，得∠ACB=90°，CD=2，A1D=6，DE=3，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DEA1D.

所以VCA1DE=13×12×6×3×2=1.

错因分析：在第（1）问解题过程中的漏掉“DF平面A1CD，BC1平面A1CD”，缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完全.

正解：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点.

又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.

又因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.

例6如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

错解：（1）GH是A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.

又B1C1∥BC，GH∥BC.

B，C，H，G四点共面.

（2）E，F分别为AB，AC的中点，EF∥BC.

EF平面BCHG，BC平面BCHG，

EF∥平面BCHG.

A1G∥EB，A1G=EB四边形A1EBG是平行四边形.

A1E∥GB.

A1E平面BCHG，GB平面BCHG.

A1E∥平面BCHG.

平面EFA1∥平面BCHG.

错因分析：在第（2）问解题过程中漏掉“A1E∩EF=E”，忽视了面面平行的判定定理中有五个条件，也是缺一不可，若没有两“相交”直线这个条件，不一定有面面平行，也可能相交.

正解：（2）E，F分别为AB，AC的中点，EF∥BC.

EF平面BCHG，BC平面BCHG，

EF∥平面BCHG.

A1G∥EB，A1G=EB四边形A1EBG是平行四边形.

A1E∥GB.

A1E平面BCHG，GB平面BCHG.

A1E∥平面BCHG.

A1E∩EF=E，平面EFA1∥平面BCHG.

易错点四：盲目地套用性质定理导致错解

例7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.

（1）求证：直线AE直线DA1；

（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE平面DFG.

错解：在平面ABCD内，过点D在平面ABCD内作平面AEH的垂线DF.

错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.

正解：（1）连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1AD1，DA1AB，又AB∩AD1=A，DA1平面ABC1D1，

又AE平面ABC1D1，DA1AE.

（2）所示G点即为A1点，证明如下：

由（1）可知AEDA1，取CD的中点H，连结AH，EH，

由DFAH，DFEH，AH∩EH=H，可证DF平面AHE，

AE平面AHE，DFAE.

篇8

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004―0463（2017）06―0124―01

立体几何知识是高考考查的重点内容，但面对许多复杂的几何计算问题，常让人束手无策，找不到解题的突破口.正方体作为最基本的空间模型，包含了丰富的点、线、面的位置关系.若能巧妙地借助正方体解题，必然会得到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果.下面，笔者举例说明.

一、有关三视图的一些问题

例如 ，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的所有棱中最长的棱的长度为多少？

解法一：将三视图还原为三棱锥D-ABC（如图1），

侧面DBC底面ABC

易知 侧面DBC∩底面ABC=BC

ABBC?AB面DBC

?ABBD

由侧视图可得，BD=2，BC=4，又AB=4，

则AC=4，AD=6，那么最长棱为AD=6.

解法二：根据三视图借助一个棱长为4的正方体（如图2），则三视图对应的多面体为三棱锥，易得最长棱为AD=6.

评析：在第一种解法中，只根据三视图本能地画出几何体，显然其中的线面关系不好确定，并且运算量相对较大.而第二种解法中，借助正方体可以有效实现三视图的还原，降低计算难度，提高解题效率.

变式：一个多面体的三视图如下图所示，则该多面体的体积是（ ）.

A. B. C.6 D.7

解：由三视图中三个图都是正方形可知该几何体是棱长为2的正方体（如图3），截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2×××1×1×1=.故选A.

二、有关异面直线的一些问题

例如，直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于多少？

解法一：延LCA到D，使AD=AC，连结A1D，BD，则四边形A1C1AD是平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角.图中BA垂直平分DC，得BD=BC.又直三棱柱中AB=AC=AA1，可得BC=BA1=AC1=A1D，则A1DB是等边三角形，∠DA1B=60°，即异面直线BA1与AC1所成的角是60°.

解法二：把该直三棱柱补成一个正方体，如图5所示，借助正方体的性质，知AC1∥BD1，则就是异面直线BA1与AC1所成的角，A1B，DA1，BD三条线段都是正方体三个面的对角线，所以构成一个等边三角形，因此异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.

评析：对异面直线所成的角的问题，经常通过平移直线化异面为共面来解决.在解法一中构造了一个平行四边形完成了平移直线的任务，但此法相对较难，不容易找到解题的突破口.在解法二中，借助正方体中直线的平行关系成功的将异面直线平移到了某一个三角形中，从而通过解三角形来求角.

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已知a，b为两条不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在平面α上的射影有可能是: ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 上面四个结论中，正确的结论的序号是．

面对这个问题，有的同学手拿钢笔和铅笔在桌面上演示，也有同学利用教室空间指指点点，虽然给出了答案，但总觉得不够放心．固然，借助学习用具、利用周围环境，这些都是解立体几何题的好方法，但是是否有更保险、更快捷的方法呢？有的，比如借助正方体来解决问题。

通过对图1、图2和图3的观察，我们可以直观地发现选项①②④都是正确的，而③不正确．若a，b在平面α上的射影为同一条直线，因为与平面α相交且经过这条直线的垂直平面有且只有一个，所以此时的a，b为两条共面直线，与条件“异面直线”不符．

总的来说，利用正方体可以便利地解答以下六个方面的立体几何问题.

一、判断空间直线的位置关系

例1平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，则下列命题中不正确的命题的个数为

①m′n′?圯mn；②mn?圯m′n′；③m′与n′相交?圯m与n相交或重合；④m′与n′平行?圯m与n平行或重合．

（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

解析： 利用正方体模型，如图4所示，可举出①③的反例；如图5所示，可举出②④的反例．选D．

二、探讨空间距离的大小关系

例2已知平面α平行于平面β，直线m?奂α，直线n?奂β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m到直线n的距离为c，则

（A） b≤c≤a （B） a≤c≤b

（C） c≤a≤b （D） c≤b≤a

解析： 这道选择题可用特殊情形求解．画一个正方体，如图6所示，可知c

三、求异面直线所成角的大小

例3如图8所示，在直角梯形ABCD中，BC=CD，M，N是两腰的中点，DEAB于点E．现将ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则点M与点N的连线与AE所成角的大小为．

解析： 如图9所示，构造正方体AD，点Q，R，N，P分别为棱HG，AF，BC与DE的中点． 对角面AGDB的对角线AD的中点M与“中截面”NPQR的对角线的交点重合，又NPQR是正方形， MNPR. AE∥PR， MNAE． MN与AE所成角的大小为90°．

四、求直线和平面所成角的大小

例4在图10所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且AC=BC=BD=2 AE，M是AB的中点．

（1） 求证：CMEM；

（2） 求CM与平面CDE所成角的大小．

解析： （1） ACBC且AC=BC， ABC是等腰直角三角形．又EA平面ABC，DB平面ABC，可以看出题目中的几何体是由底面为等腰直角三角形的直三棱柱截割而成．如图11所示，以A，B，C为正方体底面的三个顶点构造正方体PR，设N为正方体棱HR的中点，正方体的边长为2a. 则BD为正方体的一条棱，E为正方体棱AH的中点. EC==a. EM==a，MC=a， 由勾股定理可知CMEM．

（2） 以A为原点，以，，分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系． 正方体的棱长是2a， P（2a，0，0），N（0，a，2a），E（0，0，a），D（2a，2a，2a），C（0，2a，0）． 计算可得PNCD，PNDE， PN平面CDE．又M∈PC， ∠NPC的余角就是直线CM与平面CDE所成的角． 由勾股定理可得：CN=a，CP=2a，NP=3a． cos∠NPC=＝，∠NPC=45°， 直线CM与平面CDE所成的角是90°－∠NPC＝45°．

五、求二面角的平面角的大小

例5如图12所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F．求二面角C－PB－D的平面角的大小．

解析： PD底面ABCD， PDA，PDC是直角三角形．又 ABCD为正方形，PD=DC，如图13所示，可将四棱锥P-ABCD放入以ABCD为底面、PD为高的正方体AS中． ARRS，RS∥BC， ARBC．又ARQB，QB∥PC， ARPC． AR平面PBC． ACBD，ACPD， AC平面PBD．又二面角C-PB-D为锐二面角，直线AR与AC所成的角为60°， ∠RAC即二面角C-PB-D的平面角，大小为60°．

六、解决与球有关的问题

例6棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上，若过该球球心O的一个截面如图14所示，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是

（A） （B） （C） （D）

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关键词: 高中 立体几何 审美教育 培养

美育,又称审美教育,是素质教育的重要组成部分。在高中数学教学中,教师应注重对教学内容中美学因素的挖掘,并将其与教学实际有机融合,让学生在学习过程中感受到美的熏陶,形成科学审美观,提高审美能力,培养其全面科学的数学学习素养。

一、高中立体几何教学中的美学特征

1.朴素的简洁美。

尽管高中立体几何教材内容纷繁复杂,但在其本质上都可归纳为若干基本数学定律。这就使整个教学体系呈现朴素的简洁美。以直线与直线位置关系教学为例,掌握此知识必须先过好“图形关”和“语言关”。立体几何的直线要有立体感,所以培养学生正确的作图能力是解题的关键。但是无论多么复杂的图形问题,都是围绕点线面三者的位置关系进行分析的,其中直线与直线关系是高中时期进一步学习立体几何的基础,极其简单的图形中蕴含着丰富的内涵;另外,数学的符号语言也是最精炼、最正确的语言,高中教材中对相交直线和平行直线的概念作了更深层次的定义,强调了“同一平面”中才有相交和平行的说法,异面直线没有相交或者平行的概念。这些定理用简单的语言对学生树立立体几何概念打下了坚实的基础。

2.神奇的对称美。

对称之所以给人以美感,是因为对称中存在着某种“重复”、“均衡”、“有序”的东西。而立体几何课程中的等角概念,对称图形的组合体问题,无不给人一种直观形象的空间对称感。而在学习直线间位置关系时,我们不仅可以根据两条直线是否同面,判断其相交或者平行,而且可以根据平行直线推断其所在的图形。例如:空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA,的中点,求证四边形SFGH是平行四边形。(教材必修二例题)

由直线引入空间图形,有利于学生正确理解立体几何的对称之美,培养学生良好的逻辑推理分析能力,是树立学生空间观念的重要手段。

3.和谐的统一美。

数学教学和学习是一个循序渐进的过程,高中教材数学课程每一个知识点都不是孤立存在的,而是普遍联系的。我们通过这种联系能将各部分的知识统一起来,从而形成既千变万化又和谐统一的科学数学学习体系。立体几何对点线面角等问题的研究,是平面几何点线面角问题的延续,所以在教授新知识的同时,教师应该适时地引导学生温故而知新。比如,平面几何中,学生已经学习过直线间相互平行所需条件,即在同一平面内且没有交点的两条直线相互平行;而学习过立体几何后,学生更多要思考的是平行线的传递性,即同一平面中平行于同一直线的所有直线均相互平行。后一定理既是前面内容的补充又是其合理延续,这体现出数学课程本身各知识点的和谐统一之美。

二、高中立体几何教学中如何突出美育特征

1.运用多种教学手段,激发学生科学创造力。

立体几何的学科魅力在于:它能将抽象的东西形象化地想象和展示出来或描绘出来,还能将直观、形象东西的本质抽象地揭示出来。教师在教学中不仅要运用精湛的教学语言,而且要运用直观且富于启发性的多种教学手段来激发学生的学习兴趣和想象力。

如下图,教师可以从直线与平面、平面与平面,以及异面直线的位置关系三个方面来启发学生展开想象和研究,从而鼓励学生自己探索异面、相交、平行等几何现象的内涵。

总之,在日常教学过程中,教师应改变自身观念,将实践与理论相结合,有目的、有计划地向学生展现和揭示隐藏在数学课程中的科学美。教师可以鼓励学生自己动手做出各种几何图形,并在实践中分析相关具体问题。就直线间位置关系问题,教师完全可以让学生自己动手去探寻答案,并指导学生自己完成教材中相关习题,甚至可以创造性的对教材中相关定理进行研究和修改,不断完善自身的理论体系。

2.多学科交叉教学,切实陶冶学生高尚情操。

多学科交叉教学,成为近年来越来越热门的教学形式。在数学等自然科学的学科教学中,教师也应注意加入社会科学甚至人文科学的知识。其中,对美育的挖掘就是培养学生人文素质的有效途径。在教学过程中,教师适时穿插对科学精神之美的教育,能激励学生去追求科学上的真、善、美。美育的实质就是情感教育,使人怡情养性。教师对历史上数学巨匠事迹的介绍可以深化学生对数学的理解,激发其情感上的共鸣,从而形成科学学习观点。例如:拉格朗日:法国数学家、物理学家。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何和力学脱离开来。拉格朗日是分析力学的创立者。欧几里德是古希腊最享有盛名的数学家,以他的主要著作《几何原本》而著称于世,这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展,对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。也比如在建筑中,往往是几个简洁的体块相互穿插,想成最后的造型,其实各个体块分别代表了一些逻辑关系。这样,几何就通过逻辑这个词汇和建筑联系起来。由此可见,数学与其他学科是广泛联系的,只有采用多学科交叉教学才能敦促学生更深刻地体会数学的科学美。

综上所述,教师应充分利用数学课程简洁、对称、和谐等美的特征,向学生揭示数学学科的规律性和科学性,使其从内心深处去感受数学的学科美感,切实激发其数学学习的兴趣,提高学习效率。所有教师应共同努力让数学学科真正成为学生德育、智育、美育多方面发展的平台,开创高中数学学科素质教育的新局面。

参考文献:

[1]张相纶.教学美学[M].南京:江苏教育出版社,1998.