二元一次方程范文

导语：如何才能写好一篇二元一次方程，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、教学目标

1．使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法.

2.通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；

3.通过一个二元二次方程解法的分析，使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法，继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.

2．教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程.

3．教学疑点：降次后的二元一次方程与哪个方程重新组成方程组，一定要分清楚.

4．解决办法：（1）看好哪个二元二次方程能分成两个二元一次方程，它们之间是“或”的关系，不能联立成方程组.（2）分解好的二元一次方程应与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组.

三、教学过程

1．复习提问

（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？

（2）解二元二次方程组的基本思想是什么？

（3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？

（4）解方程组：.

（5）把下列各式分解因式：

①；②；③.

关于问题设计的说明：

由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由

两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接

受了第二种类型研究的要求．关于问题（2）的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题（2）让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题（3）、（4）是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题（5）的设计是为本节课的学习内容做准备的.

2．例题讲解

例1解方程组

分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转

化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组（2）的右边是0，左边是一个二次齐次式，并且可以分解为，因此方程（2）可转化为，即或，从而可分别和方程（1）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．

解：由（2）得

因此，原方程组可化为两个方程组

解方程组，得原方程组的解为

说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．

例2解方程组

分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以

发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米，因此将右边16移到左边后可利用平方差公式进行分解，，即或，从而可仿例1的解法进行.

解：由（2）得

.

即，或.

因此，原方程组可转化为两个方程组

解这两个方程组，得原方程组的解为

巩固练习：

1．教材P60中1.此练习可让学生口答.

2．教材P60中2.此题让学生独立完成.

四、总结扩展

本节小结，内容较为集中并且比较简单，可引导学生从两个方面进行总结：（1）本节课学习了哪种类型的方程组的解法；（2）这种类型的方程组的解题步骤如何？

这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法，解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组，从而求出原方程组的解.

关于比较特殊的二元二次方程组的解法，教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法.

五、布置作业

1．教材P61A1，2，3.

六、板书设计

探究活动

若关于的方程只有一个解，试求出值与方程的解．

解：化简原方程，得（1）

当时，原方程有惟一解，符合题意．

当时，方程（1）根据的判别式

，故方程（1）总有两个不同的实数解，按题意其中必有一根是原方程的增根，原方程可能产生的增根只是0或1．

篇2

本节是在二元一次方程组的基础上进一步探究其解法，让学生通过解二元一次方程组了解其关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”，不论是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解；还是将两个方程相加消元，变成一元一次方程，从而求得原方程组的解，都是学生必须掌握的基本方法。二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，也是中考和竞赛的常见题目。

二、二元一次方程组解法的教材分析

（一）本节的主要内容

本节采用了两种教学方式进行讲解。一是在于灵活运用代入法，并且在求出一个未知数的值后，应将它代入到哪一个方程求另一个未知数的值比较简便；二是在于灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便。不论是哪种方法，学生们都要了解解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”，把“未知”转化为“已知”。

（二）本节的教学要求

使学生会分析二元一次方程组中的两个方程，分析同一个未知数系数的关联，从而决定用哪种方法比较简便，再进行解答。

（三）二元一次方程组的解法

它的解法有很多种，但是常见的只有两种，即代入法和加减法。它们虽是两种不同的方法，但其目的相同---“消元”，都是把“二元”转化为“一元”，进而求解方程组。不同点是消元的方法不同，或通过“代入”或通过“加减”。对于一个方程组用哪种消元方法解都是可以的，但应根据方程组的具体形式选择比较简便的方法，对应不同的题目在解题时可采用不同的消元方法。

（1）代入法

用这种方法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元。选取的方法是：①选择未知数的系数是1或-1的方程；②若未知数的系数不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入到没有变形的方程中去。

（2）加减法

用这种方法求解关键是相加减哪个元。选取的方法是：①某个未知数系数的绝对值相等时，可直接加减消元；②若同一个未知数的系数绝对值不等时，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解，若方程组比较复杂，应先化简整理。

（四）本节应注意的问题

（1）“系数变形”时，应注意同一个方程的左、右两边每一项均应乘同一个适当的数，防止漏乘。

（2）“加减消元”时，由于是两个方程的左、右两边分别相加或相减，特别易出现漏项、变号（相减时）等错误。

（3）“回代求解”时，应代入系数相对较简单的一个方程。

（4）“加减消元”时，若同一个未知数系数的绝对值都不相等，则选取一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，从而进行加减消元。

（5）对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等），再进行消元。

（五）典型例题

例1.已知方程组 2x-y=7 ①和 x+by=a ③有相同的解，求a，b的值。

ax+y=b ② 3x+y=8 ④

[分析]由已知两个方程组有相同的解，可知方程2x-y=7和3x+y=8有相同的解，故将此两方程联立得二元一次方程组，其解又应满足由ax+y=b和x+by=a组成的方程组，进而求解。

解：依题意得 2x-y=7，解之，得 x=3，

3x+y=8， y=-1.

将它分别代入两个方程组的另两个方程，得到关天a、b的方程组 3a-b=1，

a+b=3.

解之，得 a=1，即为所求。

b=2

说明：此例须找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程一，从而求出参数的解。

例2. m取什么整数时，方程组 2x-my=6 ①的解是正整数？

x-3y=0 ②

[分析]将m看成已知数，求出含字母的x、y的值，再由解为正整数来决定m的取值。

解：由②得 x=3y

将它代入①中 2×3y-my=6

得 y=6/（6-m）.

x、y都是正整数

6-m的值为1、2、3、6；

即m的值为0、3、4、5.

说明：此例是把参数当作已知数求出方程的解，再依据已知条件求出参数的值。

三、结束语

篇3

一、在图形中的应用

例1一副三角板按如图1所示的方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到方程组为（ ）.

A.x＝y－50x＋y＝180B.x＝y＋50x＋y＝180

C.x＝y－50x＋y＝90 D.x＝y＋50x＋y＝90

解析：本题以一副三角板的摆放方式为背景，通过三角板中隐藏的直角条件，挖掘出∠1与∠2互余的关系，故容易得到答案为D.同时，同学们可以从中体会到用代数方法（如列方程组）解答几何问题的思路.

二、在对话情景中的应用

例2第41届世界博览会“中国2010年上海世界博览会”5月1日举办，小亮计划在暑假期间为他们全家5人预订世博会门票，根据图中的对话内容请你求出甲、乙两种门票的价格各是多少元？

解：设每张甲种门票的价格为x元，每张乙种门票的价格为y元.依题意，得

x－y＝70，2x＋3y＝590.解得x＝160，y＝90.

答：每张甲种门票的价格为160元，每张乙种门票的价格为90元.

点评：本题以两人对话的方式给出了相关的数学信息．解题时，要分析他们的对话，弄清已知量与未知量，找出其中蕴涵的等量关系，设未知数，列出方程组．

三、在表格中的应用

例3老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量．（注：同种类的每枚硬币质量相同）

聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下记录：

请你运用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币重多少克，一枚伍角硬币重多少克．

分析：题目中待求的未知数有两个，故可以考虑列方程组求解．根据天平平衡的记录可以找到两个等量关系：5枚壹元硬币的质量＋10克砝码的质量＝10枚伍角硬币的质量；15枚壹元硬币的质量＝20枚伍角硬币的质量＋10克砝码的质量．

解：设一枚壹元硬币重x克，一枚伍角硬币重y克.依题意，得

5x＋10＝10y，15x＝20y＋10.解得x＝6，y＝4.

答：一枚壹元硬币重6克，一枚伍角硬币重4克.

点评：本题从天平着手，建立相应的等量关系，得出二元一次方程组.对于这类图表型信息应用题，我们要善于从图表中挖掘信息，建立相应的数学模型，灵活运用所学知识来解决实际问题．

四、在实际生活中的应用

例4端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，今年某商场销售甲厂家生产的高档、中档、低档三个品种及乙厂家生产的精装、简装两个品种的盒装粽子．现需要在甲、乙两个厂家的产品中各选购一个品种．

（1）写出所有的选购方案；

（2）现某中学准备购买两个品种的粽子共32盒(价格如下表所示)，发给学校的留守儿童，让他们过一个愉快的端午节.其中指定购买了甲厂家的高档粽子，再从乙厂家购买一个品种.若恰好用了1200元，请问购买了甲厂家的高档粽子多少盒？

解：（1）共有6种选购方案：(高，精)，（高，简），（中，精），（中，简），（低，精），（低，简）．

（2）当选用方案(高，精)时，设购买高档粽子、精装粽子分别为x，y盒.根据题意，得

x＋y＝32，60x＋50y＝1200.解得x＝－40，y＝72.

经检验，不符合题意，舍去；

当选用方案（高，简）时，设购买高档粽子、简装粽子分别为x，y盒.根据题意，得

x＋y＝32，60x＋20y＝1200.解得x＝14，y＝18.

篇4

1、会用代入法解二元一次方程组

2、会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路——通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

此外，在用代入法解二元一次方程组的知识发生过程中，让学生从中体会“化未知为已知”的重要的数学思想方法。

引导性材料：

本节课，我们以上节课讨论的求甲、乙骑自行车速度的问题为例，探求二元一次方程组的解法。前面我们根据问题“甲、乙骑自行车从相距60千米的两地相向而行，经过两小时相遇。已知乙的速度是甲的速度的2倍，求甲、乙两人的速度。”设甲的速度为X千米／小时，由题意可得一元一次方程2（X＋2X）＝60；设甲的速度为X千米／小时，乙的速度为Y千米／小时，由题意可得二元一次方程组 2（X＋Y）=60

Y=2X

观察

2（X＋2X）＝60与　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　有没有内在联系？有什么内在联系？

（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系——把方程①中的“Y”用“2X”去替换就可得到一元一次方程。）

知识产生和发展过程的教学设计

问题1：从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？把方程①中的“Y”用“2X”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化为熟悉的问题（解一元一次方程）。

解方程组　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②

解：把②代入①得：

2（X＋2X）＝60，

6X＝60，

X＝10

把X＝10代入②，得

Y＝20

因此：　X＝10

Y＝20

问题2：你认为解方程组　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　的关键是什么？那么解方程组

X＝2Y＋1

2X—3Y＝4　的关键是什么？求出这个方程组的解。

上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。

问题3：对于方程组　2X＋5Y＝－21　①

X＋3Y＝8

②　能否像上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程从而消去一个未知数呢？

（说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三无一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。）

例题解析

例：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：

（1）X＝1－Y

①

3X＋2Y＝5

②

将①代入②（消去X）得：

3（1－Y）＋2Y＝5

（2）5X＋2Y－25.2＝0　①

3X－5＝Y

②

将②代入①（消去Y）得：

5X＋2（3X－5）－25.2＝0

（3）2X＋Y＝5

①

3X＋4Y＝2　②

由①得Y＝5－2X，将Y＝5－2X代入②消去Y得：

3X＋4（5－2X）＝2

（4）2S－T＝3

①

3S＋2T＝8

②

由①得T＝2S－3，将T＝2S－3代入②消去T得：

3S＋2（2S－3）＝8

课内练习：

解下列方程组。

（1）2X＋5Y＝－21

（2）3X－Y＝2

X＋3Y＝8

3X＝11－2Y

小结：

1、用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题（解二元一次方程组）转化为旧知识（解一元一次方程）来解决。

2、用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这用利于正确、简捷的消元。

3、用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”，比如在求解例（1）中，把①代入②，就是把方程②中的元“X”用“1－Y”去替换，使方程②中只含有一个未知数Y。

篇5

每个人都有这样的体验：每当遇到一道难题，一筹莫展，山穷水尽之时，如果采用一些恰当的办法，简化条件或明确目标，或转换思维角度，或改变解题手段之后，眼前便出现了一片新天地，出现了柳暗花明的新局面，使问题得以解决.这种体验，就是在运用转化的思想，实施转化的策略.

分析 本题是用待写系数法，首先还原方程，解本题的关键是紧扣方程的解的意义，甲没有看错方程 ②，故甲的解满足方程 ②；乙没有看错方程 ①，故乙的解满足方程 ①.

二、换元法

用换元法解方程组，可以使复杂的问题简单化，但只能解一些较特殊的方程组.用换元法解方程组的基本步骤：（1） 换元（设换元未知数）；（2） 解换元未知数的二元一次方程组，求出换元未知数的值；（3） 还原；（4） 求出原方程组的解.

分析 本题有多种解法，换元法是其中的一种，换元法可以把复杂的问题简单化，使人们的思维更清楚一些.

三、分类思想

分类讨论的思想是解决问题尤其是解决复杂问题的重要手段.分类讨论的过程，是同中求异与异中求同两种思维方式的有机结合，即先抓住问题涉及的对象的不同特点，分为若干既不重复，又无遗漏的几类，分别讨论是同中求异的过程；然后将各类情形的共同特征加以综合，得出结论，这是异中求同的过程.

分析 本题主要考查二元一次方程解的表达式及寻找正整数解的方法——简单枚举法.

例5 世界杯足球赛德国组委会公布的四分之一决赛门票价格是：一等席300美元，二等席200美元，三等席125美元，某公司在促销活动中，组织获得特等奖、一等奖的36名顾客到德国看2006年世界杯足球赛四分之一决赛，除去其他费用后计划买两种门票，用完5025美元.你能设计几种购票方案供该公司选择？并说明理由.

分析 购票要分三种情况：购一等席、二等席两种门票；购二等席、三等席两种门票；购一等席、三等席两种门票.

点拨 本题设计新颖，与生活紧密相连，首先考虑几种可能出现的情形，再依据整数性质及方程组知识讨论取舍.

四、整体思想

解决一个问题，人们经常习惯于把这件事分成若干个小问题，或者分解为若干步骤逐一解决.这体现了化繁为简，化难为易，分而治之，各个击破的策略. 但是有些时候，这么做费工费时，或者根本行不通.倘若从整体的角度观察思考，变换重组，常常能出奇制胜，得出绝妙的解法，体现了胸怀全局、高屋建瓴的雄才大略.在数学学习和解题中，如果能增强整体意识，培养整体思维能力，对提高我们的数学水平和解题能力是大有帮助的.

例6 有甲、乙、丙三种铅笔，若购买甲3支、乙7支、丙1支，共需3.15元；若购买甲4支、乙10支、丙1支，共需4.20元.问：购买甲、乙、丙三种铅笔各1支，需要多少元？

篇6

一、整体思想

当一个问题中未知数较多,一个一个地求解比较复杂,或有时不能求解时,可将其中满足某一共同特性的固定代数式看作一个整体,这样有时可使运算简捷。

例1:甲骑自行车从A到B地,乙骑自行车从B地到A地,两人均匀速前进,已知两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12时,两人又相距36千米,求A、B两地间的距离。

分析:题目中甲、乙的速度,A、B两地的距离均不知道,可分别设x、y、z。相等关系有两个:上午10时相距36千米(未相遇),中午12时,又相距36千米(已相遇,后又相离)。

解:设甲骑自行车的速度为x千米/时,乙骑自行车的速度为y千米/时,A、B两地相距z千米,根据题意,得:

2(x+y)+36=z①4(x+y)-36=②

将(x+y)看作一个整体,②-①,得2(x+y)-72=0。

所以x+y=36。

将x+y=36代入①,得z=108。

答:A、B两地相距108千米。

二、数形结合思想

数形结合思想是把图形与蕴涵的数量关系巧妙的结合起来,使问题更直观,更容易解决。

例2:中央电视台2套“开心辞典”栏目中,有一期的题目如图1所示,2个天平都平衡,则与2个球体的质量相当的正方体个数为

分析:本题有三个未知量―球体、圆柱体、正方体的质量,观察图形可得到两个等量关系:2个球体的质量=5个圆柱体的质量;2个正方体的质量等于2个圆柱体的质量。

解:设一个球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z,根据题意,得:

2x=5y①2z=②

①×2-②×5,得2x=5z。

所以与2个球体相等质量的正方体的个数为5,故选A。

三、方程思想

将数量关系转化为方程(组)的形式,通过解方程(组)使问题得以解决的思维方式就是方程思想,用方程的思想解决往往比用其它方法简捷、方便得多。

例3:《一千零一夜》中有这样的一段文字:有一群鸽子,其中部分在树上欢歌,另一部分在地上觅食,树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说:“若从你们中飞上来一只,则树下的鸽子就是整个鸽群的;若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?

分析:此题有两个未知量――树上的鸽子数与树下的鸽子数。

问题中有两上等量关系:

(1)树下的鸽子数-1=×(树上的鸽子数+树下的鸽子数);

(2)树上的鸽子数-1=树下的鸽子数+1。

解:设树上的鸽子为x只,树下的鸽子为y只,根据题意得:

y-1(x+y)x-1=y+1,解得x=7x=5。

答:树上有7只鸽子,树下有5只鸽子。

四、分类思想

分类讨论思想就是把二元一次方程组在应用题中包含各种可能情况,按某一标准分成若干类,然后对每一类分别进行解决,从而达到解决整个问题的目的。

例4:“七星”体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎,每扎1000张。已知体彩中心有A,B,C三种不同价格的彩票,进价分别为A种彩票每张1.5元,B种彩票每张2元,C种彩票每2.5元。若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎,用去45000元,请你设计购票方案。

分析:本题从A、B、C三种彩票中选出两种彩票购买,故有3种情况可能发生,即购进A与B彩票、A与C彩票或B与C彩票。

解:设购进A种彩票x张,B种彩票y张,则:

x+y=1000×201.5x+2y=45000,解得因x=-10000y=30000,因x

设购进A种彩票x张,C种彩票z张,则:

x+z=1000×201.5x+2z=45000,解得因x=5000z=15000。

设购进B种彩票y张,C种彩票z张,则:

y+z=1000×202y+2.5z=45000,解得因y=10000z=10000。

篇7

数学

年级/册

七年级（

下）

教材版本

九年义务教育人教版

课题名称

8．3

实际问题与二元一次方程组

难点名称

列二元一次方程组解决几何图形问题

难点分析

从知识角度分析为什么难

列二元一次方程组解决几何图形问题，就是建立方程的模型，学生难点在于找不到等量关系。

从学生角度分析为什么难

1.

从文字信息中找到数学信息能力弱。关键是阅读理解能力有待提高。

2.

不愿意动手尝试，欠缺实践意识。

难点教学方法

1.细致读题，培养阅读理解能力，学会把文字语言转化为数学语言。

2.启发学生，鼓励学生动手去标注条件，参与到探究中去，体会数形结合数学思想。

教学环节

教学过程

导入

回忆上节课内容，利用“二元一次方程组”解决实际问题的一般步骤：

1审：认真仔细读题目，根据关键的字眼，寻找等量关系式。

2设：考虑设直接未知数还是间接未知数。

3列：根据等量关系式列出方程组。

4解：用适当的方法解方程组。

5答：写出问题的答案，记得满足实际问题。

知识讲解

（难点突破）

1、如图，用12块相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，设小长方形的长和宽分别为xcm和ycm，可列出方程组为：__________.

分析：

本题不光有文字叙述，配有几何图形，就是我们今天要研究的“几何图形问题”。

问：大长方形在哪里？（红色凸显出来）

题中主角是小长方形，拼成一个长方形，根据长方形的长相等，一条长是3个小长方形的长，一条是小长方形的2长和3宽，大长方形的宽是小长方形的长和宽之和。

问:本题的未知量是什么？可以怎样设元？你能找到哪些和未知量有关的等量关系？

所以，不难得出两个方程：x+y=40,x=3y组成方程组。

得出答案。

2、如图，一个周长为34cm的大长方形，由7个大小相等的小长方形拼成，求小长方形的长和宽。

分析：观察图形，用字母标注图形。（采取与第一道例题不一样的方式，目的让学生掌握多种方法。）

重点分析根据“大长方形的性质—--两条对边长相等，周长等于34厘米”找出等量关系。先设“小长方形”的边长，用x、y表示图中的“长”得到方程1，再表示“宽”，发现方程不成立，接着根据“周长”等量关系式得到方程2，组合成方程组。（设计“不成立的方程”意图：为后期例题中分析做准备，可以少走弯路，节约时间。）

解:设小长方形的长为xcm,

宽为ycm,由题意得:

答：小长方形的长是5cm、宽是2cm。

3、小华在拼图时，发现8个一样大的小长方形，恰好可以拼成一个大长方形如图甲。陈宇看见了说“我来试一试”，结果他七拼八凑，拼成一个如图乙的正方形，中间留下一个洞，恰好是边长2mm的小正方形，你能算出小长方形的长和宽吗？

甲

乙

分析：这是一道特别经典例题。图形甲、乙都是由小长方形拼出的，所以等量关系依然在图形的边上。

甲图的重点类比之前

“大长方形的长”

，快速得出：3x=5y。乙图在“边长2mm的小正方形”多观察。

其中

类似的设小长方形的长和宽，标识在图形上，演示给学生看，让学生会标注，会画图示。找到x+2=2y,联立方程组，问题得以解决。

解：设小长方形的长为xmm，宽为ymm，依题意，得

答：小长方形的长为10mm，宽为6mm。

课堂练习

（难点巩固）

4、用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm）

60cmcm

解:设小长方形地砖的长为x

cm,

宽为y

cm,由题意,得

解此方程组得：

答:小长方形地砖的长为45cm,

宽为15cm.

设计意图：学生当堂独立完成，检测知识点的掌握情况。再出示答案，让学生自己了解学习效果。

小结

这节课我们主要探究了用二元一次方程组解决几何图形问题，并且体会到图形的简洁美。

篇8

一元二次方程这一章容量远大于一元一次方程和二元一次方程组，学习的要求远高于一元一次方程和二元一次方程组，既是第三学段数与代数的重点内容，更是继续学习的重要基础。《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

根据课程标准的要求，我安排了授课内容，在第一环节中我选取的题目是常见的但却容易出错的，比如，解方程中的（1）2（x+3）2=x（x+3），学生会两边约去（x+3），从而导致丢根。接下来的解答题和应用题都是易错题型，比如，（2）若关于x的一元二次方程 （m-1）x2+x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。（3）某校去年对实验器材的投资为4万元，预计今明两年的投资总额为9.24万元，若该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率相同，求这个增长率？学生作业都能完成，但出现的问题不少，甚至第二小题多半学生都做得不完整，第三小题也因为读题不清做错得较多。

在第二环节中，由学生讲解复习作业中的题目，其中第一题解方程的第一个小题，请一位学生将自己的解题过程展示给大家，其余小题请一位学生与大家对答案即可。剩余的2、3、4题分别请学生展示自己的解题过程并且讲述自己的解题思路，再由其他学生进行补充说明或者纠错。对于第一题，学生普遍完成比较好。第二题较多学生在做题时只考虑了方程有两个实数根，令根的判别式大于等于0就求解了，而实际上还应该考虑二次项的系数不能为0。第三题学生在完成时大部分做错了，都说没有看清题目条件，其实也反映出学生在找这道题的等量关系时出错了，他们就按照一般情况下求第三次的量列出了方程，也提醒学生常见题型在做时也要认真审题，找准题目的等量关系是做对应用题的关键。第四题上黑板展示的学生讲解得很好，其余学生也完成得很好。请做错的学生自己给自己找错，我觉得这种形式的教学可能教学效果会很显著，因为这种强化势必会让这些曾经犯过一些错误的学生记忆非常深刻。

接下来第三环节中考链接中，要选择了具有代表性的两个题目，一个是动点问题，一个是增长率与不等式应用结合的题，这两个题都是近年的中考题，选择让学生自主探究与小组探究结合的方式去完成。第一题学生在自主探究时就有大半能找到等量关系列出方程，在相互交流时就已经很多人会做了，最后由一位学生给大家讲解了完整过程。第二题的第一问因为已经有了前车之鉴，大家找等量关系都没费时，顺利完成，到这时本章的基本应用学生已大致掌握，数学建模思想初步形成。在第二问的合作学习过程中，呈现出不同的思维形式，各组针对“使用新设备几个月后，所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润”展开了讨论，各种想法的提出，真正展现了学生开阔的思维，真正体现了合作学习的优势。通过对这两个题目的具体分析，学生再次经历在实际问题中抽象出一元二次方程的过程，发展他们分析问题、解决问题的意识和能力，也为下一章二次函数的学习奠定一定的基础，体现了教材螺旋式上升的设计意图。

到此时学生已经经历了由最初的发现本章中自己易犯的错误到纠正错误，再到细心地解决问题的过程，第四环节反思小结就很有必要了，让学生都来说一说这一章中重点是什么，需要注意什么，然后第五环节跟上课堂小测，让每位学生看看这节复习课到底有没有收获。最后环节回家的作业是回归课本，阅读本章内容。

一节复习课上完之后，学生的反应给了我很多提示，（1）复习课就是为了查漏补缺，学生总觉得我已经学过了而不重视，所以上课时一定要让他们动起来，我想在梳理一元二次方程知识点时可以让学生说，学生总想比一比自己是不是比别人说得多，这样复习课就会活起来。（2）复习课时让学生搜集平时的错题，让学生准备他认为这一章大家应该掌握的题型带到课堂上来大家交流。平时的复习课总是老师认为这些或那些需要复习，其实学生才是学习的主人，由他自己准备他才会认真整理全章的知识。（3）复习课后是不是可以由学生出一份单元测试卷并附上标准答案呢？这样就可以知道他自己是不是已经全部掌握了。

总之，复习课就要查缺，就要补漏，每位准备上复习课的教师都要事先想好这个，只有这样，复习课才能起到事半而功倍的效果。

参考文献：

篇9

1 二次函数与一元二次方程的建构的关系及其应用

1.1 二次函数与一元二次方程的建构的关系

通过构建一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c相关问题,是解决二次函数的问题的常用方法之一。如构建一元二次方程ax2+bx+c=0解决抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴交点问题;构建一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c与其它函数的交点问题;构建一元二次方程解决其它与二次函数相关的的问题等等。

1.2 一元二次方程的建构在二次函数中的应用

通常解答二次函数的问题时,一元二次方程的构建及其求解是解决二次函数的问题不可缺少的工具。

例1 如图,抛物线y=x2+bx-2交x轴的正半轴于A点,交x轴的负半轴于B点,交y轴的负半轴于C点,O为坐标原点,这条抛物线的对称轴为x=.(1) 求A、B两点坐标,(2) 求证ACO∽CBO

略解:(1)由x=,可求b=故由一元二次方程x2+x-2=0易求B(-4,0),A(1,0)

(2)略。

2 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系及其应用

2.1 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系

由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式可知,① 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;② Δ=0时,方程有两个相等的实数根;③ 当Δ0 时,抛物线与 x 轴有两个交点;② 当Δ=0时,抛物线与x轴只有一个交点;③ 当Δ

2.2 一元二次方程根的判别式在二次函数中的应用

2.2.1 利用一元二次方程根的判别式解决二次函数与x轴的相交问题

例2 已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12,求证:不论m为何值时,抛物线与x轴一定有两个交点,且其中一交点为(-2、0)

略证:=m4+16m2+64=(m2+8)2>0

抛物线与x轴一定有两个交点

又由求根公式可求x2-(m2+4)x-2m2-12=0的两根分别为x1=m2+6,x2=-2

因而抛物线与x轴两个交点中的其中一交点为(-2、0)

例4 已知直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点

求m的取值范围

略解:由抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6可知,m≠-1

由直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点,易列关于x的一元二次方程(m+1)x2+6x-8=0中,>0即36+32(m+1)>0,

m>-178

m>-178且m≠-1

2.2.2 利用根的判别式求二次函数的解析式

例3 已知:p、q为正整数,m≠n,关于x的一元二次方程-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根,抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2,且m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,求抛物线的解析式

解:-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根

>0

p

p=1

m2-2m-1=0,n2-2n-1=0

m、n是x2-2x-1=0的两根

mn=-1,m2+n2=6

抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2, q为正整数

q=4

易求抛物线为:y=3x2-6x+2

3 二次函数与一元二次方程根与系数关系的关系及其应用

3.1 二次函数与一元二次方程根与系数关系的关系

3.1.1 由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根(设其两根为x1、x2)与系数关系可知: x1+x2=-ca,x1x2=ca由这两个公式可进一步探讨x1、x2的大小:当x1、x2都是正数,则0、-ba0、ca0;当x1、x2两根异号,则0、ca0;当x1、x2有一数为零,则0、ca=0;当x1、x2都是负数,则0、-ba0、ca0;…。进一步可知y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的一些情况。即① x1+x2=-ba>0且x1x2=ca>0,则y=ax2+bx+c(a≠0)交点都在x轴正半轴;② x1+x2=-ba0且x1x2=ca>0,则y=ax2+bx+c(a≠0)交点都在x轴负半轴;③ x1x2=ca0且x1x2=ca=0,则y=ax2+bx+c(a≠0)交点在原点及x轴正半轴;⑤ x1+x2=-ba

3.1.2 如果方程x2+bax+ca=0的两根是x1、x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ca, 易知两根为x1、x2的一元二次方程x2+bax+ca=0可化为x2-(x1+x2)x+ x1x2=0或者化为(x-x1)(x-x2)=0,也就是说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化为a〔x2-(x1+x2)x+ x1x2〕=0或者化为a(x-x1)(x-x2)=0。根据这一点,当抛物线经过x轴上两点(如果存在)A(x1、0)、B(x2、0)时,就不必分别将此两点代入一般式,再与第三个条件联立方程组去求a、b、c,只须令其解析式为:y= a(x-x1)(x-x2),再将第三个条件代入去求a。这样求解二次函数的解析式就显得简洁方便.

3.2 一元二次方程根与系数关系的应用

3.2.1 求二次函数的解析式

例4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点(6,0)、(-2,0),顶点的纵坐标为,求这个二次函数的解析式。

略解:令该二次函数的解析式为:y= a(x-6)(x+2),由顶点的纵坐标为,易求a=-,所以可求出该二次函数的解析式。

3.2.2 利用一元二次方程根与系数关系解决二次函数图像与x轴的两交点位置关系相关的问题

例5 函数y=ax2+bx+c,若a>0,b

A. 没有交点;

B. 有两个且都在x轴的正半轴;

C. 有两个且都在x轴的负半轴;

D. 有两个,一个在x轴的正半轴另一个在x轴的负半轴;

分析:(1)=b2-4ac>0可知该函数与x轴有两个交点;(2)由根与系数关系x1+x2=-ba>0,x1x2=ca

篇10

例：某商店将进价为20元/盒的百合，在参考价28-38元范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可出售40盒。经调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，平均每天就多卖10盒，要使利润达到750元，应将每盒下调多少元？

解：设应将每盒售价下调x元，由题意得：

（36-x-20）（40+10x）=750

解方程，得：x1=1，x2=11（不合题意，舍去）

答：应将每盒售价下调1元。

解决“每增每降”问题要抓住“五个量、两个等量关系式、两个变化过程和一个关键句”，找出五个量即进价、售价、单利润、数量、总利润和一个关键句“每…每…”，根据“单利润=售价-进价、总利润=单利润×数量”两个等量关系列出方程。在解出方程后一定要注意是否舍根。

变式1：某商店将进价为20元/盒的百合，在参考价28-38元范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可出售40盒。经调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，平均每天就多卖10盒，要使利润达到750元，应将每盒定价多少元？

这里我们要注意的问题是“每盒定价多少元？”我们可设每盒定价x元，根据题意，得：（36-x-20）[40+10（36-x）]=750，那么方程复杂了，解方程增加了难度，如果我们按上面的问题设应将每盒售价下调x元就简单了，因此我们解题时最好设变化量来解决问题。

变式2：某商店将进价为20元/盒的百合，在参考价28-38元范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可出售40盒。经调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调0.5元，平均每天就多卖5盒，要使利润达到750元，应将每盒下调多少元？