数学案例范文

导语：如何才能写好一篇数学案例，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

本学期，学校开展了青年教师研讨课活动，不同学科的研讨课，精彩纷呈，令我大开眼界，引发我的思考. 在学习振国主编的《教育新理念》和研究《数学课程标准》的基础上，我写下了这篇教学案例，对数学课堂教学进行了一些改革尝试，并开设了市公开课，获得了听课教师的一致好评. 现将教学案例整理如下.

二、案例描述

【知识目标】 掌握各种旅行社旅游费用的计算和班费奖励费用的计算.

【能力目标】1. 培养学生数学阅读的能力，通过旅游费用的计算使学生初步学会从不同角度分析问题、解决问题.

2.培养学生的创新思维及创新精神.

3. 通过小组合作学习，培养学生的合作精神，增强学生的协作意识.

【情感目标】通过旅游中碰到的数学问题和奖励中的数学问题，让学生认识数学与人类活动的密切联系，提高学生参加数学学习活动的积极性.

【教学重点】 旅行费用和班级奖励费用的计算是本节课的重点.

【教学难点】 用数学知识从不同角度分析、解决旅游中的问题.

【教学方法】 讨论式学习法.

三、教学过程设计

（一）创设情境，趣味引入

师：中考结束成绩公布以前，我们班将组织一次旅游，大家说好不好？

生：好！

师：请班委组织同学为这次旅游做一些准备.

（设计意图：从同学们感兴趣的话题引入，学生的兴趣立刻被调动起来.）

（二）班长组织学生讨论问题

1． 选旅游地点

班长：经班委会讨论协商，初步拟定了三条路线供同学们选择.

（1）班长分别播放了三个地方的精美图片：上海野生动物园和东方明珠塔，江南名镇――周庄，苏州乐园欢乐世界.

（2）大家讨论，举手表决确定旅游地点. 讨论结果：苏州乐园.

2． 选旅行社

班长：班委兵分几路联系了市区好几家旅行社，拿到了本市三家旅行社一日游旅游线路及报价单，现发给全班同学，发挥大家的聪明才智选出最合适的旅行社.

生：同学们兴趣高涨，纷纷表示愿意.

（三）学生活动，教师点拨

1. 步骤一：全班同学分成若干小组，每小组4~5人，发给每小组旅行社的行程安排和报价单，小组讨论价格问题.

中山旅行社报价：门票：49元／人（凭学生证购买门票， 15名学生免一名带队老师门票）；交通：1600元／辆（45座空调旅游车，含路桥费），1700元／辆（49座空调旅游车，含路桥费）.

江天交通旅行社报价：35人以下：100元／人（含门票费和车费）；35人以上，每增加1人，平均旅游费用降低1元.

神州旅行社报价：门票：54元／人，九折优惠；车费：1600元／辆（45座空调旅游车，含路桥费），1700元／辆（49座空调旅游车，含路桥费）.

2. 步骤二：小组汇报讨论结果并说明理由，计算过程用数码投影演示.

生1 ：我们班有学生46人，加上班主任李老师共47人，各旅行社价格计算如下：

中山旅行社报价：门票：49 × 46 ＝ 2254（元）；车费：1700元；总费用：2254 ＋ 1700 ＝ 3954（元）；人均：3954 ÷ 46 ≈ 86（元）.

江天交通旅行社报价：人均：100 － （47 － 35） ≈ 88（元）.

神州旅行社报价：门票：54 × 0．9 × 47 ≈ 2284（元）；车费：1700元；总费用：2284 ＋ 1700 ≈ 3984（元）；人均：3984 ÷ 47 ≈ 85（元）.

通过计算比较，神州旅行社的人均费用最低，所以我们小组决定选神州旅行社.

生2：我们认为应该选中山旅行社，因为中山旅行社尽管人均价贵了1元钱，但可以免费带三名教师.

生3：我们认为不应只考虑费用，还应该考虑游玩景点的多少和旅行社的服务质量问题.

师：同学们答得非常好！那我们该选哪家呢？

经讨论后学生一致选中山旅行社.

（设计意图：这两个环节主要是让全班学生充分活动，利用班委向旅行社做的调查报表，通过大家讨论，既真实又新鲜，激起学生的兴趣和探求知识的热情.）

（四）班费奖励，再掀

师：目前我们班班费还剩1000元，我准备奖励给班上品学兼优的学生，作为这次旅游费用的一次性补贴，我初步拟定了一个奖励规则：

以学期班级常规考核总分为依据，总分在85分以上的同学，将给予旅游补贴奖励. 若达到标准的人数不超过3人，每人奖励90元；若超过3人，则按平均每增加1人，人均降低6元奖励. 请同学们帮忙算算：（1）最多可奖励多少人？（2）最多需要班费多少钱？

学生活动：小组讨论计算并交流.（学生用数码投影展示计算结果并向全班同学作讲解）

教师活动：对有问题的小组进行点拨和指导. 最后幻灯片显示下面完整的解答过程.

解：设增加的人数为x人.

（1）90 － 6x ＞ 0，解得x ＜ 15，

x取14， 最多可奖励14 ＋ 3 ＝ 17（人）.

（2）设增加的人数为x人，需要的班费为y元，由题意，

y ＝ （x ＋ 3）（90 － 6x） ＝ 6（－x2 ＋ 12x ＋ 45） ＝ －6（x2 － 12x ＋ 36 － 36 － 45） ＝ －6（x － 6）2 ＋ 486.

最多需要准备486元班费，此时奖励的人数为6人.

师：如果班上85分以上的同学超过17人，我还想多奖励些班费，怎么奖励呢？

生：修改奖励细则.

修改细则：若达到标准的人数不超过4人，每人奖励90元；若超过4人，则按平均每增加1人，人均降低3元奖励. 请问：（1）最多可奖励多少人？（2）我们班现有班费1000元，按这样的规则够不够奖励？

学生活动：请同学们自行解答，两同学上黑板板演计算过程.

参考答案如下：

解：设增加的人数为x人.

（1）90 － 3x ＞ 0，解得x ＜ 30.

x取29，最多可奖励29 ＋ 4 ＝ 33（人）.

（2）设增加的人数为x人，需要的班费为y元，由题意，

y ＝ （x ＋ 4）（90 － 3x） ＝ 3（－x2 ＋ 26x ＋ 120） ＝ －3（x － 13）2 ＋ 867.

最多需要准备867元班费，1000元够奖励了.

师：现在每个人都知道自己应交的旅游费了吧，希望同学们平时好好表现，争取品学兼优，能拿到我们的奖励.

（设计意图：这一环节主要是通过学生合作交流、讨论的方式，攻关本节课的重点和难点. 让学生作为主角给学生讲解，学生间互相查漏补缺，学生容易接受，印象也深刻. ）

（五）畅所欲言，完善旅游程序

师：如果我们收齐了全班的旅游费后，下一步该做什么？

生：与旅行社签订旅游合同.

师：签订合同时有哪些要注意的吗？付款时有哪些要注意的呢？

学生活动：畅所欲言，请班长做必要的笔记.

师：同学们互相提醒一下旅行前我们还要准备些什么？

学生活动：畅所欲言，请班长做必要的笔记.

（设计意图：这部分要求同学们畅所欲言，对说得好的给予表扬，让班长做笔记，这样设计既考虑启发学生旅游的一般程序，又是课堂气氛的一种调控，也是对同学们的肯定，有助于树立学生的自信心、成就感，学生的办事能力也得到了锻炼.）

（六）作业布置

教师活动：播放一组旅游徽标的图案配上寓意说明供同学们欣赏.

师：看了这组图形优美又赋予意义的徽标后，同学们是不是也想试一试我们的能力呢？课后请同学们为我们九（5）旅游团设计一下去苏州乐园的团旗吧！我们将择优录用哦！

（设计意图：通过旅游徽标的欣赏，激发同学们的创造热情，开发学生的智力，使本节课的教学内容得到了升华. ）

（七）本课小结

同学们通过本节课的学习，你们有哪些收获？还有什么困惑？学生们畅所欲言.

四、教学反思

这堂课是以学生探究为主的一堂新授课.

（一）案例设计：针对初三学生学习压力很大，生活乏味的现状，本节课我选了学生最感兴趣的旅游话题，调动学生的兴趣和学习热情，巧妙地穿插对各种旅游费用和奖励费用的计算，让学生掌握了二次函数求最大值的问题.

篇2

教学活动是教师与学生二者之间的互动、交流、沟通、讨论的发展、前进过程，具有显著的双边特点和双向特性。传统的教师包办整个案例课教学活动过程的教学模式，已经不适应也不符合新课改的标准和要求。教学实践证明，案例应成为师生双边互动的有效载体，学生只有在双边互动过程中，才能实现主体特性的展现，主体能力的提高。如“如图所示，在ABC中，现在从ABC中内接一个正方形DEMF，如果SADE=1，S正方形DEFM=4，求SABC的值”案例教学中，教师围绕解题思路这一主题开展互动交流活动，向学生提出“该问题条件内容中告知了哪些条件关系？”、“问题条件中隐含了哪些数学知识点内容？”、“要实现问题要求的有效解答，需要找到哪些数学关系式？”等问题。学生根据教师所提问题，开展小组合作探析活动，经过个人思考，小组讨论，得出解析过程：“先根据所揭示的正方形面积，求出这个正方形的边长，然后过A点作AQBC，利用SADE的面积求得AP、AQ两条边的长度，再由ADE与ABC之间相似，求出BC的长度，最终得到SABC。”教师针对所得解析过程进行讲解，强调：“解答该问题过程中要找准三角形相似成立的等量关系。”在探析解题思路这一过程中，学生在教师有效引导和学生深入探讨的“遥相呼应”的互动教学中，主体特性得到有效锻炼，探析技能得到有效培养。

二、案例教学活动要体现能力发展功效

案例教学与其他课堂教学活动一样，其出发点和落脚点都是为了培养学生良好的学习能力。新课程标准强调指出，学习能力培养，是教师教学活动的重中之重，是一切教学活动的“第一要务”，是素质教育的必然要求。这就要求，教师案例讲解必须为学生能力培养目标要求服务，重视主体能力训练和培养，强化对学生分析、解答、判断等实践过程的指导和点拨，锻炼学生学习数学的技能，培树良好数学学习品质。问题：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，试求出AC的长度。学生小组合作探究问题条件内容，指出：“根据问题条件内容，解题时需要运用解直角三角形的知识点内容。”学生合作探析并共同推导解题过程，得出其解答问题的思路：“利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解。”教者根据初中生推导过程及合作情况，进行有的放矢的指导：“本题考查直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系。”学生书写解答过程（略）。在上述案例教学中，学生成为案例解答的“主力军”，承担了解析问题的大部分工作。其数学分析、探究、归纳、推导、判断、合作等学习技能得到锻炼和增强，较好落实了新课改提出的学习能力培养目标要义。

三、案例教学内容要呈现延伸拓展特性

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关键词： 初中数学 案例教学 二元一次方程组 教学方法

1.案例研究背景与目标

关于方程的数学思想，在我国古代《九章算术》中就有所提及，以案例援引的“二元一次方程组”学习，笔者认为有必要引导学生了解方程的古代历史，即古代数学家为何重视方程组的研究，明确方程组与实际生活的关系，以达到提高学生学习兴趣和加强学生学习理解的双重效果。相关的案例教学目标可概括为：

（1）引导学生了解“二元一次方程组”的古代数学历史研究成果;

（2）引导学生掌握“加减法解二元一次方程组”的方法;

（3）引导学生在掌握“加减法解二元一次方程组”的同时，能够举一反三，按照这种方法掌握更多的初中数学知识。

2.案例研究阶段

围绕以上提及的教学目标，以教师引导和学生资料查阅的合作探究方式，分别从问题情境阶段、实践体验阶段、表达交流阶段、学习成果阶段入手研究。

（1）问题情境阶段。发放有关《九章算术》的资料，并介绍：《九章算术》源自于两千多年前，书内记载很多沿用至今的数学问题解决方法。譬如“牛五、羊二，等于十两黄金;牛二、羊五，等于八两黄金。问羊一值几两黄金”，按照书中的“齐同”演算，即“牛10、羊4，等于20两黄金;牛10，羊25，等于40两黄金。前后两行的牛10，而黄金多出了20两，主要是多出21头羊的价钱，则可推算出羊1值二十分之二十一”。

根据案例，我说明了以上“齐同”演算中“化归”和“消元”的数学理论，并对学生强调这些数学理论，对当前“一元一次方程”数学计算有很大的影响。

（2）实践体验阶段。初步了解“一元一次方程”亘古至今的数学意义后，让学生自由组成学习小组，每组人数为6人，要求每个小组在三天时间内，通过书刊、网络等渠道，了解有关“一元一次方程”的资料，分别掌握“一元一次方程”的“消元”、“化归”解法，同时还要结合生活中的实际问题，设计“一元一次方程”的解答题进行求解。期间，我将密切关注学生的分组研讨情况，并对主动请求帮助的学生进行学习指导。

（3）表达交流阶段。在实践体验的基础上，小组内的每个同学需要自己所查阅的资料和研究的成活，在小组内进行汇报，在合并重复资料和剔除错误资料后，将全部资料进行组内汇总，随后委托组内的任何一位同学，在班级内进行汇报。在汇报期间，由笔者进行引导，将每个小组中的资料，将最具代表性的资料、意见和建议提炼出来，再将各组编制的应用题目打乱，由各个小组随机选取一个题目，列出“一元一次方程组”，完成题目的解答。在整个表达交流阶段，我们需要综合各个小组提出的意见，检查每个小组意见中客观存在的不足之处，提出反思性的建议，促使整个交流程度内容更完善。

（4）学习成果阶段。通过以上的教学活动，我们可以看出初中数学课程中应用案例教学方法的灵活性。按照以上的方法开展案例学，笔者认为最重要的是保持教学的生动性和活泼性，并思考是否有利于学生学习积极性和主动性的提高，即强调对学生学习主体地位的尊重。至于以上案例教学的总结和评价，笔者认为可归纳为两点：一方面是案例教学兼顾学生的个体性、独立性和差异性，在教学过程中，必须建立起学生与学生之间、教师与学生之间的平等关系。另一方面是案例教学的实践性特征，直接贯穿于整个课程，正面要求教师关注日常生活中的相关数学问题，鼓励学生设计出更多的数学案例，让案例教学更彰显创新思维和创新意识。

3.教学经验总结

以“加减法解二元一次方程组”作为案例，笔者认为初中数学案例教学中，至少有以下经验值得参考借鉴。

（1）为学生量身定制。学生是初中数学案例教学的学习主体，课程开展的目的，是让学生更快更好地掌握课程知识，因此初中数学案例的设计，务必考虑学生的发展水平和个性特征。一方面是根据学生的学习经验，选择学生周围最熟悉的事物，另一方面是结合学生的个性特征，将数学知识循序渐进地融入案例中。

（2）有利于学生数学能力发展。初中数学案例教学的目的，除了提高学生的知识和素养外，还要求让学生的观察能力和动手能力等都得到锻炼。在初中数学案例教学中，学生可进行案例形式之间的优势互补，充分调动学生的积极性。最后在课堂上，每个小组进行互动性讨论，以此全方位了解初中数学案例教学知识。这种方式，既能减少教师的工作程序，又能调动学生探索的积极主动性。

（3）间接“点拨”。初中数学案例教学属于自主性的教学模式，在没有标准教学预案的情况下，由学生作为课程的主体，充分发挥自身的主观能动性，因此在活动期间，难免会遇到难以解决的困难。适时，教师不需要即刻为学生提出解决方案，而是在案例内容的基础上，引导和启发学生，让学生在自主思考的情况下，进行深入分析，最后获得攻克难关的具体方法。

（4）师生交流的加强。活动过程中，无论是问题的解答，还是气氛的调节，都离不开师生之间的有效交流，具体要结合数学知识的内容，以及学生所能接受的程度而定。但总体的原则，要求能够有效引发学生的新奇感，这样才能保持学生探究初中数学知识的积极性和主动性。

3.结语

初中数学案例教学中，最重要的是保持教学的生动性和活泼性，并思考是否有利于学生学习积极性和主动性的提高，即强调对学生学习主体地位的尊重。通过研究，以“加减法解二元一次方程组”为例，基本明确了初中数学案例教学的方法，但考虑到不同数学课程学习要求和条件的差异性，笔者认为以上方法需紧扣具体的课堂教学实践，予以因地制宜地灵活应用。

参考文献：

篇4

关键词：小学数学；数学阅读教学；教学方法

1教学案例

观摩了湘潭市风车坪小学四年级丁老师的一节数学教学，教学内容是人民教育出版社四年级数学上册《三位数乘两位数》例五：已知速度、时间和路程三者的定义和关系。教学过程，由学生齐读后发现题目中的数学信息，教师引导学生汇报数学信息并通过数量关系式计算得出结果。全班学生齐读关系式：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间。教师带读书本上的定义：一共行了多长的路，叫作路程；每小时（或每分钟等）行的路程，叫作速度；行了几小时（或几分钟等），叫作时间。

2案例反思

本节课选《三位数乘两位数》，本节课时为第三课时，主要通过体现实际生活应用习题案例来学习三位数乘两位数的算理和数学公式。应用题案例以数学语言叙述，需要小学生通过阅读摄取信息。整节课，授课教师很重视数学阅读教学：一复习回顾知识是让学生回忆背诵数学公式并复述的方式。二教学应用题型，首先让全体学生读题目找信息，即是让学生找到解题关键、找到条件，全体同学齐读后，个别同学汇报信息。三通过对关键信息的解读来学习新的知识点，再让学生读定义。四让学生读数量关系式，熟读会背诵。教学过程中教师有意识地培养学生良好的阅读习惯，有方法地提升学生解决数学问题的能力，有目的地加深学生运用正确的数理逻辑的体验。

3数学阅读教学的内涵

阅读是获取、加工材料，摄取信息的过程，以理解为核心的认知。透过数学现象看本质，根据条件得出结论等逻辑推理的过程即理解。阅读是自我学习知识的重要学习方式。朗格朗的终身学习教育需要通过学会阅读来实现。解决数学应用到生活实际问题离不开数学阅读。数学阅读分为浅阅读和深读两种。浅阅读停留在浅见的、浅显的层面上，而深读则是需要在发挥学生的主观能动性的基础上发现数学信息、探求数学问题。数学阅读就是通过数学文本获取数理知识、理解数量关系、感知空间结构变化的过程。数学阅读教学，即主要体现在教师的教和学生的学对于文本获取数学信息的智育活动。

4小学数学阅读教学的学理分析

很多小学生由于数学阅读意识还没有形成、数学阅读习惯还未培养，未能掌握良好的数学阅读方法。对于应用题的信息看不懂题目条件、看不出逻辑关系，这些都说明部分小学生的阅读能力较弱。同时，很多教师对数学阅读教学没有足够重视，在教学过程中常常呈现“为了解题而解题”，的现象。现从以下两个方面进行小学数学阅读教学学理分析。其一，从认知情况分析来看，数学阅读教学符合小学生实际认知规律的发展。其思维主要呈现出具体性和形象性等特点，求知欲强烈，受学习经验和内容的影响，学生的学习迁移能力还不够强，学习方法方面掌握简单的推理方法，学习习惯还处于塑型时期。小学数学阅读教学符合小学生身心发展的特点和认知规律。其二，从小学数学特点方面来看，小学数学主要包含了数的认识，数的关系，简单的图形问题等，让小学生对数学有了基本的初步认知，教学内容和方式贴近生活，便于学生对于知识的迁移。但表达数学语言比较抽象，因此，教学方式大多选择直观教学，教学选取简单的、联系学生已有经验的内容，数学知识大多需要详细的文字解释。小学数学的知识点适合用阅读教学，同时通过阅读教学有效地完成教学任务、实现教学目标。

5实施小学数学阅读教学的考虑因素

实施小学数学阅读教学主要受教师教育理念、授课类型、小学生学习情况、学校整体教学氛围等因素的影响。

5．1教师教育理念的影响

教师的教育理念，教师对阅读教学的理解，渗透在其教学计划和课堂组织之中，决定课堂教学过程时间的分配、方法的选择、问答设置、互动交流。教学穿插数学阅读教学可以便于教师更好的关注学习相对较困难的学生，增强小学生数学的理解能力，发挥他们主观能动性，提升他们独立思考能力。

5．2授课类型的影响

数学阅读教学受教学内容的影响，主要表现在授课类型的不同，这种教学方法所占教学时间分配就不一样。按照授课类型可以把数学课划分为：讲授课、复习课、习题课和试卷讲评课。讲授课和复习中教学设计时可安排一定的时间运用数学阅读教学的方法，使学生在理解的基础上促进逻辑思维的运转。习题课和试卷讲评课主要讲解题目，但教学过程中应用数学阅读教学方法需要根据具体题目安排，典型问题着重用这一方法去分析问题、加深印象。

5．3小学生学习情况的影响

小学生原本的数学基础、数学思维、数学认知结构、阅读心理、阅读习惯、阅读方法等学习情况都是数学阅读教学实施考虑的因素。学生原有的数学基础是他的知识储备，数学阅读教学需要联系学生已有知识经验才能对新知识产生认知。小学生的数学逻辑思维影响着思考数学问题方式，实施数学阅读教学需要根据学生的思维方式、数学认知结构具体安排。学生的阅读心理对阅读是否有兴趣，是否排斥、抵触。

5．4学校整体教学氛围的影响

从教学环境来看，学校的整体教学氛围潜在地影响着数学阅读教学是否可以顺利实施。一般而言，学校的同一学科教学风格相似，所以一所学校数学教学的主要方式是以讲解教师为主还是学生自主学习亦或二者参半，决定着数学阅读教学是流于形式还是可以顺利实施。因此，不同的学校教学氛围不同所实施的数学阅读教学情况也不一样。

6合理安排小学数学阅读教学的策略

实施小学数学阅读教学主要从以下几个方面展开阐述。

6．1提升教师核心素养，打造数学阅读教学共同体

阅读教学作为一种方法，教师对阅读教学的理解渗透在教学组织过程中。小学数学课堂阅读教学离不开教师的正确指引。为了实现更好地教，教师需要不断提升自我的核心素养。学校打造数学阅读教学共同体，让数学老师在集体的帮助下加深对数学阅读教学的学习和理解。加强数学阅读教学，减少师生课堂交流误解。通过集体备课、互相听课、多次磨课，带动学校教学氛围，促进数学教学优质化，落实数学阅读教学。

6．2完善数学阅读教学设计

小学数学课堂教学中，如何把数学阅读教学设计其中并付诸实施尤为重要。进行课堂教学环节预设，对阅读教学时间的安排，要注意追求解决问题的同时不能太过于低效率。教学计划中运用阅读教学方法要适当，计划一定的时间，太短或次数太多则不能达到原有的效果。首先，需要正确解读数学语言，再结合问题训练。其次，让学生在阅读的过程中把关键信息标注记号。学生掌握了具体的信息条件，弄清需要解决什么问题，标记的过程就是学生思考的过程。长期坚持下来，学生阅读习惯养成，解决问题的思路清晰。

篇5

关键词: 数学实验 教学案例 创新精神

在今天,课堂教学活动正迫切需要形成一种能突破传统课堂教学的束缚,恢复其应有的生机和活力的教学方式和学习方式,以此来充分地调动学生学习的主动性和创造性,保证课堂教学改革的成功实施。“数学实验”作为一种新的教学模式,它将数学知识、数学建模与计算机应用相结合,在培养学生用所学的知识建立数学模型,并借助计算机等工具解决实际问题的能力方面有着不小的作用。此外它采用了开放式教学,使学生由被动接受转变为积极主动参与,在整个过程中激发学生学习数学的兴趣,培养学生的创造精神和创新能力。

在初中数学教学中恰当地引入数学实验,在课堂创设丰富的情境,改变传统教学中学生被动接受局面,促进学生既长知识又长能力方面起到了非常好的作用。以下就是我进行的一堂数学实验课的尝试。

[案例]如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+b(b>0)分别交x轴,y轴于A,B两点,以OA,OB为边作矩形OACB,D为BC的中点,以M(4,0),N(8,0)为斜边端点作等腰RtPMN,点P在第一象限,设矩形OACB与PMN重叠部分的面积为S。

(1)求点P的坐标。

(2)当b值由小到大变化时,求S与b的函数关系式。

类似问题(2)图形运动的题在近年中考试卷上频繁出现,学生要解决问题(2)主要得体会b值由小变大时,矩形OACB也由小变大,从一开始没有重叠部分,逐步变为重叠部分为三角形,继而变成四边形,最后当b继续变大时,PMN全部进入矩形OACB内部,这时重叠部分就是PMN。学生要设计的演示方案就是这一列变化的过程,把变化中的重叠部分的各种图形表现出来。但是对于八年级学生而言,图形在运动中不断改变的题目接触不是很多,体验不足,用什么方法能把抽象的运动过程转变得直观一些,让学生体验更深刻呢?显然让他们亲自看看图形变化的过程,感受一下是最好的方法了。此时我面对的是八年级的学生,他们有充足的课余时间,我决定选择放开,在教学过程中大胆尝试让学生做“数学实验”:让学生课前准备,设计实验方案,构造数学模型,填写实验报告,最终解决问题。

一、课前准备

提前一周,我把题目公开给全班,要求完成如下任务:自愿组成合作小组,合作讨论后对上题(2)图形运动设计演示方案,完成实验报告中的“实验目的”、“实验准备”、“我的实验画图”和“我的实验步骤”,课堂交流后将评选出最佳设计方案,最佳设计小组,所以欢迎独到的设计方案。

学生第一次发现数学和其他学科一样也有实验,也要填写实验报告。三天后我进行了一次检查,结果是全部小组都有了设计方案,有的小组早已准备完毕,有的小组基本完成,只要略加改动也无大碍,比较突出的是班中一个男生正一筹莫展,无法进行下去。这组里的几个成员平时对数学学习热情都很高,加上男生平时喜欢电脑,基础较好,以前看我上课用过几何画板演示图形的平移、旋转等变换时,觉得是一种很神奇的运用软件。

在他们设计的方案基础上,我又组织了全班分析讨论,比较了现有方案的优缺点,对有创新的方案特别表扬,最后安排有代表性的小组选出代表,准备课堂上讲台演示。

二、课堂表现

我事先准备充分,所以当天演示效果非常好。当天课堂上主要有四种典型方案:方案一、学生通过枚举法画图,分别取b值从1到5的正整数,一共画了五张图;方案二、一个小组在纸上画了固定不变坐标轴和PMN,然后拿出一组透明塑料薄膜,上面的矩形OACB随着b值的由小到大也由小到大地准备了好几块,这次取的b值更细,以0.5递进,从0.5取到4.5;方案三、这组同学把“方案一”中的五张图做成了幻灯片,由于多媒体的介入,变化比“方案一”看上去生动了不少;方案四、就是我上面提到的用几何画板演示的小组,他们用几何画板动态地演示了整个变化过程中,随着鼠标的缓缓移动,b值缓缓变大,一次函数y=-x+b(b>0)直线与y轴的交点发生了变化,矩形OACB的大小也随之改变,但全部同学又很清楚地看到直线的倾斜程度没有改变,一次函数直线都在平行移动,重叠部分的形状由三角形到四边形再到三角形的整个过程。这是这群八年级学生第一次遇到这类动态综合题,也许方法还不尽科学,解题也没形成规范,但他们用自己大胆的尝试真切地感受了动态中不同情形分类讨论的主旨思想。这样已经很好地完成了预设目标。

整节课上学生表现完全可以用“出色”这个词来形容,上台的同学俨然像一位“小老师”,耐心讲解。台下的同学由于设计方案自己都有参与进去,他们也显得特别认真,关注自己小组代表演示是否到位;关注其他小组设计方案是不是比自己组的好。最后全班一致公认“方案四”为最佳方案,他们总结认为几何画板演示更胜一筹的理由是:1.让图形动了起来;2.可以反复操作,让没看清的同学再看,直到看清变化为止;3.图形由动态可以到静止,又可以再由静止转化为动态;4.其他小组的b值变化都是由小变大,而几何画板还演示了从大到小的变化过程。

三、课后反思

本堂实验教学课,我只给学生布置了任务,接下来从设计实验方案,建立数学模型到最后演示几乎都由学生完成。学生在数学实验活动中表现出了大胆设想、敢于尝试的精神,完全地充当了学习的主体,而且在实际操作中还无形锻炼了怎样设计模型、怎样运用数学软件等综合能力。通过该节课,我认为要上好数学实验课,必须注意以下几个问题。

1.学生主体性

学生通过特定的数学实验,可以直观地了解非常抽象的数学内容,化枯燥为有趣,这个过程会增加学习数学的兴趣;在实验的过程中也会遇到挫折和失败,这会使学生体会到研究的艰辛;让他们以小组合作方式来做实验,可以培养他们的团队合作的精神和人际交往的能力;在数学实验中,学生会充分结合自己已有的知识,通过其他知识例如信息技术知识来解决数学问题,让知识在他们眼里不再是孤立的,而是相互间密不可分的。

2.提高学生自信心

初中生在以往的学习中涉及到自己进行数学实验的机会还不算多。一开始部分学生往往不知所措,难以设计出一套完整的实验方案,即使书写实验报告也不能自行完成。所以教师要做好培育工作,可以先选用小组合作的形式,依靠小集体的力量帮助部分学生;其次在课前准备时要多加指导、修改,让学生强烈体验成功的喜悦,为下次开展实验教学增强信心。

3.实验应呈开放的学习姿态

由于解决问题的实验方法,呈现了相当的开放性,学生没有了思想上的束缚,完全可以在他的研究实验领域内自由地驰骋,充分发挥他们的想象力,所以学生们常常能设计出几种不同的方法。教师要利用这种资源,组织学生进行再讨论比较,指出各种方法的优劣,让思维更一步深化。总而言之这种开放、自由地进行数学实验操作,正是学生灵感火花、创新精神产生的前提条件。

4.教师的自身素质

由于大量的数学实验可以通过信息技术辅助来完成,而对大多数中学数学教师来说,计算机相对灵活使用的程度还很不足,此时相当多的教师就心有余而力不足了,空有想法,却无法落实。所以要成功开展实验教学,教师自身素质的提高也迫在眉睫。

篇6

关键词： 高中数学 案例教学 学习技能

数学具有较强的逻辑推理、抽象思维、严密严谨等特性.在数学学科教学活动中，教师经常借助数学案例这一“抓手”，进行数学知识内容的巩固强化，以及数学学习技能素养的锻炼和培养活动.案例教学是课堂教学活动的重要环节之一，也是课堂教学的重要形式之一.教育学指出，由于数学案例在数学知识内容方面的概括提炼特性及在数学学习技能培养提升方面的显著功效，案例教学成为其主要教学形式.随着新课程标准的深入推进，学习能力素养培养成为“主旋律”，如何开展有效、深入、高效的数学案例教学活动，成为重要的课题.笔者现结合案例教学感悟，对高中数学案例教学活动进行阐述.

一、案例教学要体现师生之间的互动交流特性

案例教学是数学课堂教学的一项重要活动，同时也是教师在数学教学方面的一项重要形式.案例教学作为课堂教学活动的一种形式，理应遵循和按照课堂教学活动的要求.案例教学过程，既包含教师讲解指导的活动，又包含学生探知分析的活动.并且教师与学生之间的各自活动，又有深刻密切的联系和包容.但通过大量观摩课堂案例教学发现，部分高中数学教师在案例教学活动中，将教师的“讲解”与学生的“探析”二者之间的活动过程进行割离，未能将“讲”与“探”有效融合、渗透，影响案例教学效能.因此，案例教学应生动体现课堂教学的显著特性，将互动交流特性在案例教学中予以有效体现，把教师对问题内容的讲解，解析方法的点拨，以及学生解题活动的指导等活动，融入整个案例教学的活动过程中，让教师的主导特性有效呈现，学生的主体地位充分展示，达到教学共进的目标.

如在“已知函数f（x）=|log（x+1）|，满足f（m）=f（n），m0.”教师引导学生一起进行讨论归纳活动，针对解析过程所应用的数学知识点内容及解题思路，指出：“在该类型的问题案例解答中，要利用函数的单调性，运用转化的数学思想，比较两个式子的大小.”

二、案例教学要落实新课程标准的能力培养要义

案例教学是教学活动的一种形式或阶段，需要认真落实新课程标准提出的学习能力培养的目标要求.高中阶段与其他教学阶段一样，其学习技能、学习素养及学习品质等方面，始终是教学活动的重要任务和唯一追寻.案例教学，不仅是为了教会学习对象感知案例、解析案例的方法和策略，更重要的是，让学习对象借助案例教学这一平台，其数学学习技能得到深刻的锻炼和有效培养.因此，高中数学教师不仅要将案例教学作为巩固所学知识的有效载体，还要将案例教学作为数学学习技能培养提升的有效“平台”，提供高中生自主探知案例、合作探析案例、归纳解析策略等活动时机，同时切实做好实践过程的引导和点拨工作，实现高中生在数学案例的探究实践活动中，数学学习技能的有效锻炼和提升.

问题：已知有实数x，y满足不等式组1≤x+y≤4y+2≥|2x-3|，如果a>0时，在（x，y）所在的平面区域内，求函数z=y-ax的最大值和最小值.

学生分析：该案例是关于简单线性规划的问题，先画出不等式组的平面区域图，根据所提出的问题条件，画出可行域，通过观察图像内容，可以发现需要采用分类讨论的解题思想，就直线z=y-ax的斜率a>2时和直线z=y-ax的斜率-1

教师指导：该案例是关于不等式的线性规划问题，主要考查学生对线性规划知识的应用能力.学生开展问题解答活动.小组讨论得出解题策略：正确地画出不等式的线性规划可行区域，准确深刻认知函数的几何意义是本题解答的关键.

三、案例教学要渗透高考政策的数学考查要求

高中数学阶段案例教学活动的开展任务，应达到高考政策的命题考查要求，以便高中生更好地达到高考数学命题要求.案例教学为数学高考活动“服务”，是案例教学的重要要求之一.因此，在案例讲解活动中教师不能“就问题讲问题”，开展浅显的案例讲解活动，还应该深刻研析近年来高考政策制定中，有关数学知识内容的考查要求和命题趋势，在案例讲解过程中，选取和设置近年来的典型高考试题，开展讲解和练习活动，拓展案例讲解的外延，丰富案例讲解的内涵，提高案例综合解析能力.

求函数f（x）的最小值及此时x的值的集合”高考试题，组织学生开展探析和解答活动.学生通过对典型模拟试题的研究、分析、解答等活动，认识到：“平面向量章节更注重学生对解题思想策略的运用，更突出向量与其他数学知识的交汇.”同时，也对数学高考考查要求有所认识和掌握.

总之，案例教学为教师数学知识讲解提供了有效平台，为学生数学学习技能锤炼提供了有效载体.

参考文献：

篇7

在实际教学过程中，教师要借助对实际活动的讲解和分析处理，确保学生能更好的学习并了解分米和毫米，从而进一步掌握长度单位。并且，在学习过程中，也要了解长度单位之间的换算关系，从而更好地提升学生在生活实际中的估测能力，并且能提升整体动手操作和合作交流的意识，为生活学习提供便利。

二、案例描述

（一）设置教学目标

1.本堂课教师要引导学生结合生活实际了解并认知长度单位，分块学习分米和毫米的相关知识，并且在原有学习基础上提高分米和毫米的长度预判能力。

2.借助实际测量，保证学生能利用有效的长度单位对物体的长度进行描述，教师要建立思维导图，确保学生能有效的理解1m等于10dm、1dm等于10cm以及1cm等于10mm，并引导学生在实际操作中有效使用。

3.教师要建构有效的小组学习机制和交流互动，集中培养学生的探索精神和自主学习能力，也要提升学生勤于动手和善于分析的能力，真正在生活中体会数学的魅力，更好的学习数学。

（二）明确教学难点

有效认知并建构1dm、1mm等长度单位结构，能有效使用度量单位对物体的长度进行集中描述。

（三）教学具体流程

1.课前导入

师：我们学过哪些长度单位？量黑板的长度，用哪个长度单位？

生：厘米、米。

师：老师这里有米尺可以借给你量，不过我希望每个同学都能参与量，可是我又没有那么多米尺，所以我帮大家准备了简易米尺。这根米尺正好一米。你能用它量出黑板的长度吗？

小组讨论：（小组成员配合着量）

2.课堂教学

（1）认识厘米，设置小组挑战。

师：你能用这根米尺量吸管的长度吗？

小组探究量法：（启发学生用多种方法量）

教师引导学生对讨论内容进行集中分析，得出吸管的长度是10厘米

（板书内容：为10厘米=1分米）

随之引出问题：分米和米有着怎样的关系呢？

（板书内容：1米=10分米）

教师要带领学生用直尺验证吸管的长度，

师：大家拿出直尺量吸管的长度，看看是不是10厘米？在米尺上找出一分米，数数看一米里有几个一分米？

学生进行独立学习和小组学习

师：你能用手比划出1分米大约有多长吗？

开展小组讨论，并借助学生的回答实现课堂问题的有效解答。

为了进一步加深学生对于“分米”的认识。

师：我们认识了1dm，也就了解了1分米的实际程度，现在，老师要求小朋友们在纸上画一条1分米长的线段，能做到吗？

（学生独立画线段，教师边检查边给予专业指导。）

师：有哪个小朋友想更大家分享如何利用直尺画出1分米的线段？

生：（投影展示学生所画的线段）我是从0刻度开始画了一条10cm的线段。老师说过，10厘米等于1分米，那么这条线段就是1dm的线段。

设疑：小朋友画得太好了！可是老师尺子的0刻度磨损了，我怎么画1dm线段（出示一把零刻度磨损的尺子。）

生：可以从刻度7画到刻度17，10厘米等于1分米。

总结：不论从哪个刻度开始画，只要画一条10厘米的线段，就是1分米。

看来大家对1分米已经有了一定的认识，就让我们用大拇指和食指比划出1分米吧。

（师生一块儿比划出1分米的长度。）

你能在咱们身边找到1分米吗？（学生说的过程中引导：如果不是正好1分米长的物体可以用“大约”来表示。）

（2）认识毫米，设置小组挑战

教师通过设疑，引导学生对毫米的概念进行初步认知

师：目前，通过之前的学习，我们已经知道了3个长度单位，分别是厘米、分米和米，那么，老师想请同学们用所学知识量一下笔记本。

（学生动手量，发现问题。）

生：我们数学书厚度还没到1cm！

师：对呀，正是基于此，让我们今天再继续学习一个比厘米还要小的度量单位，塔就是毫米，我们通常使用mm来表示。（板书：毫米）那么，老师不仅想问了，1毫米究竟有多长呢？就请同学们给老师答案吧（投影展示一把直尺）介绍：直尺上1厘米中间每一个小格所代表的数学度量意义就是1mm。希望同学们能体会一下1毫米的长度。

教师借助班级内一些较为常见的物体，帮助学生建立毫米的表象，体会1厘米=10毫米，其实生活中有很多物体的长或者厚是接近1mm的。

师：老师今天为同学们准备了一枚五角硬币和一张公交卡，请6个人成为1个小组，同学们要测量这些物体的实际厚度。

（学生6个人一小组进行合作测量。）

师：你们在测量过程中发现了什么？

生：很短很短。

生：要比厘米小好多。

师：是的，它们的厚度都很接近1毫米。请小朋友们捏一捏，感受一下1毫米。

（停留半分让孩子感受。）

师：拿出一张白纸捏一捏，这张纸的厚有1毫米吗？那么请小朋友们估算一下，估算一下多少张纸的厚度加起来是1mm。并且利用直尺进行集中测量，你估算得是不是符合实际？（课件呈现1毫米1毫米数的过程，数到10毫米暂停。）

引导：我们可以说1厘米等于……？

生：10毫米！

（板书：1厘米=10毫米）

引导：再接着往下数1小格呢？再数1格呢？（课件呈现：接着数到15毫米。）

现在同学们能告诉老师数学书的厚度了吗？

想一想，在我们的生活中我们还能用毫米作单位对什么进行测定

（分6人小组自由讨论。）

（3）小组学习汇报

师：首先请选择第一个小组的同学进行小组学习演示，并通过题目进行检验，第一组来完成“想想做做”第2题。

学到现在，豆荚老师有个问题要考考大家了。（课件呈现豆荚老师的问题：你能说出它们的长度各是多少毫米吗？）你是怎么知道的？

生：通过目测指导大概是多少，然后用尺子测量，和预测的很相近。

师：接着选择第二个小组的同学进行小组学习演示，并通过题目进行检验，第一组来完成“想想做做”的第3题。

小朋友拿出一块橡皮和一支粉笔，根据橡皮的厚度和粉笔的长度利用合适度量单位，然后进行测量。你们发现了什么？

生：橡皮厚度是1.5厘米，铅笔长度是14厘米

生：橡皮长度3厘米。铅笔长度是12厘米

三、教学反思

篇8

WANG Juan

（Jiangsu Institute of Commerce，Nanjing Jiangsu 211168，China）

【Abstract】It is essential to improve the quality of campus enterprise plan.Taken opening a tea bar as an example，a mathematical model of the purchase of desserts was established，and then the result of the model was used to support the decision of the purchase.The mathematical modeling improves the scientificity of the enterprise plan，and the mathematical modeling also enhances the mathematical ability of campus students，So as to explore a feasible way for the reform of mathematics teaching under the situation of innovation and Entrepreneurship Education.

【Key words】Mathematical modeling；Enterprise plan；Vocational education

数学建模是实际问题与数学知识之间联系的桥梁，当前已在自然科学、工程技术甚至社会科学等领域中被广泛应用[1-3]。数学建模作为数学知识应用的主要途径，在各类创业实践中的应用也不少。创业计划是高校创业教育的重要载体，在国内外有多种形式的创业计划竞赛，但比较中美创业计划竞赛发现，美国大学生创业计划更加关注高智力、高科技领域创业，科学知识应用比较多；而我国大学生创业计划多是从事家教、零售业、餐饮等低端领域创业，依赖感性认识比较多[4，5]。要在校内创业教育中大面积改变学生创业从事的业态比较困难，而帮助学生在创业计划中增加理性认识是目前提升创业计划质量最有效的方法，如在创业计划中运用数学方法进行市场预测、财务分析、决策分析和利润评估等。

为了更直接地向学生展示数学建模在创业领域中的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，提升大学生创业计划的科学性，本文依托我校大?W生的一项创业计划实例，运用数学建模方法进行定量分析寻找最佳订货量，希望通过这样的数学建模案例教学进一步提升学生的创新创业能力，同时激发学生学习数学的动力。

1 创业计划背景

江苏经贸职业技术学院的“180创业园”作为全国大学生创业示范园区，每年都会面向全校征集大学生创业计划，已有20多名学生在园区内成功实现了多个创业项目。本文将其中一个创业计划作为数学建模的教学案例在大学数学教学中进行了分析。由于我校所在的江宁大学城远离主城区，校园附近的生活配套设施相对不完善，尤其是适合大学生们的休闲聚会场所非常缺乏。而在城区，以茶饮、点心和简餐等为主的茶吧深受年轻人的喜爱，但是城区场所价格相对较高，而且交通不方便。该项目团队计划在我校180创业园内开设一个环境优雅、价格相对低廉的茶吧，方便校内学生的聚会和交流。

该创业计划由2名食品专业学生和1名旅游专业学生发起，项目得到了180创业园的大力支持，拟无偿租用创业园内的一间75平方的门面房一年。初期只经营茶饮和点心，逐步积累经验后再开展例如简餐等其它服务。

2 创业计划中的数学问题

该创业计划中项目运行阶段，食品的采购是一个非常重要的问题。其中茶饮的保质期较长，囤积一定数量没有关系。而新鲜烘焙点心的采购比较敏感，保质期很短，口味要好，价格还要合理。为此，团队在全校10个院系发放了450份问卷调查，收回362份，由于我校女生较多，因此调查样本中女生占了大多数，具体指标如表1所示。

从表1中可以看出，学生的消费普遍都在千元以上，都具备聚会消费的能力；但能承受的人均消费价格都在20元以内，因此点心的价格不能高；从学生的聚会时间和人数来看，基本以小范围聚会为主，而且都偏好晚上，因此保质期短的点心在晚上的打折肯定大受欢迎。在以上定性分析的基础上，如何确定每天点心的采购数量，从而获得最大的销售利润成为创业者必须思考的问题，这就需要借助数学建模方法进行定量分析。由于此时采购数量即进货量只能取正整数，相应的模型是离散型模型，其目标函数不具有连续性和可导性，因而不能对目标函数进行简单的求导求最值，那么就需要寻找一些特殊的算法。

表1 问卷调查指标统计表

3 数学模型建立及求解

团队通过与某品种比较丰富的烘焙点心供应商沟通，取得了一些价格优惠，但进货价格主要却绝于点心的采购数量Q，进货价格G（Q）协议如下：

G（Q）=5 0

初步拟定蛋糕的销售价格为6元，但如果当天无法销售完，就要在每晚7点后以3元的价格打折销售，且以该价格售出一定能售完。

本计划中的进货价格是和采购数量相关的一个分段函数，针对这个问题，借助报童卖报这一经典的数学建模实例，通过数学建模的方法帮助进行采购决策[6，7]。假设点心的正常销售价格为Cp，当天没有售完，亏本的销售价格为Cd，所以每销售一份点心可以赚取的利润是k=Cp-G（Q）。如果卖不完，每晚7点开始打折销售，每份点心将亏本h=G（Q）-Cd。假设实际每天的销售量为x，x是一个离散型的随机变量。由概率论知识可知，点心的销售量x服泊松分布。假设它的概率密度函数为P（x），分布函数为F（x），根据试营业期间的统计经验，该密度函数的参数？姿为150。由以上条件，可计算出销售的利润函数M（x）为：

M（x）= kQ Q

那么，每天盈利的期望为E（Q）：

E（Q）=

kx-h（Q-x）P（x）+kQP（x）（3）

为了使每天的采购数量Q得到盈利期望的最大值，应满足下列关系式：

E（Q）？叟E（Q+1）E（Q）>E（Q-1）（4）

从而得到：

P（x）

由于G（Q）不是常数，所以最佳采购量Q的确定需要对每一种价格进行比较。将该创业计划中的数据代入计算，其中C=6，C=3。

当0

当100

当Q>200时，由式（5），=0.667，求得最佳Q为154，但该值也不在此区间内，舍去。

因此，点心的最佳采购量Q可以定为150个。

4 结束语

篇9

[关键词] 二元；一元；启发；引导；尊重

案例

一个小学六年级的学生，假期里遇到这样一个数学问题：解二元一次方程组3x+4y=10，

x+2y=12，他自己想了一会，没有找到解决的办法，然后跑去问他的父亲怎么做，父亲说，做不起就耍一会再做嘛，孩子就做其他事情去了.

第二天，父亲问儿子昨天那个问题做出来了没有，儿子说没有，父亲说，今天你再想一下，可能就做出来了. 儿子就把那个问题拿出来，大概做了半个小时，还是没有做出来，父亲说做了这么久都没有做出来，那就不做了，明天再想.

第三天，儿子跑来给父亲说还是做不出来，父亲说，你把问题拿来我们一起研究一下. 父亲一看，心里就明白了，这个问题属于初一的内容，对于儿子现在的数学基础来说，的确比较难，于是父亲说，二元一次方程组解不出来，这是个问题，那你会解什么方程啊？儿子想了想说，一元方程. 父亲说，那能不能把这个二元的问题弄成你会的呢？儿子又把问题拿回去做.

过了大概半个小时，儿子把他的草稿本拿过来，上面写了很多过程，后来他找到一个办法，就是把第二个式子各项均乘2，得到2x+4y=24，再用第一个式子3x+4y=10来减它，这样y就没有了，只剩下x. 但又出现了一个新问题，10减24不够减，思路就卡在这里了. 父亲说，不够减怎么办呢？儿子说，不知道. 父亲说，我们住的楼平层以下是几楼啊？儿子说负一楼，父亲说，还有负二楼、负三楼，不够减是不是也可以用这种方式啊？儿子想了想，是啊，那这里是不是减了就可以得到负14啊？父亲说，你太聪明啦. 儿子高兴极了，屁颠屁颠地回去继续做. 隔了大概十分钟，就得到了这个问题的解x=-14，

y=13.

父亲说，既然你可以把y消掉，可不可以先把x消掉呢？儿子观察了一下，说把第二个式子的各项均乘3，再去减第一个式子. 父亲说，那你又去做一下，看是不是行得通. 隔了一会，儿子就把第二种方法的过程做出来了. 父亲说，观察一下，这两种方法有没有共同的地方呢？儿子想了之后，基本上说出了加减消元法的核心. 儿子很高兴，说爸爸真厉害，父亲说，我什么厉害哦，我又没给你讲什么. 儿子说，你就是给我讲了我才做出来的. 父亲说，你说我讲了些什么？儿子想了想，好像又没有讲什么，然后又高兴地去玩了.

第四天，父亲写了两个系数与前一个二元一次方程组不同的方程组，儿子解第一个的时候还有些慢，解第二个时就已经很熟练了，而且还找到了解二元一次方程组的另一方法――代入消元法.

又隔了几天，孩子遇到一个应用题，在他想到用x，y设未知数建立二元一次方程组之后，很熟练地得到了问题的求解.

启示

这是一个非常经典的教学案例，案例中的父亲是我的同事，也是一名数学老师，但这个案例中父亲的做法并不全是非要数学工作者才能完成，作为家长、作为教育工作者，都可以参考和学习.

启示一：启发式教育永远是引导学生进行探究学习的不二法宝. 儿子第一个思维难点是如何想到将二元问题转化成一元问题，父亲设置了一个很好的提问“你会解什么方程”，孩子回答之后，父亲又给了一个极具提示作用的问题“能不能把这个二元的问题弄成你会的呢”，这一下孩子基本上就会朝着将未知的没有见过的问题转化成自己会的、熟悉的模型. 这个环节能很好地让孩子体会到转化的思想. 儿子的第二个思维难点，是关于“不够减”的处理. 父亲用了生活中孩子每天都会看见的模型“负楼层”来提示. 小学生对于负数是没有概念的，用这样一个贴近生活的实例来提示，对于负数的概念理解就比较顺利了，这就是类比的推理方式. 而类比推理是我们生活或数学中最常用的推理方式之一. 第三个启发在儿子用两种方式解出方程后，“观察一下，这两种方法有没有共同的地方呢”，引导儿子完成归纳总结. 数学问题千变万化，如果不学会归纳总结，找到同类问题的共性，永远都是“见子打子”，那就太笨了，不仅耗费时间，思维也不会得到升华.

启示二：尊重学生的思维方式. 大多数教师在初次讲二元一次方程组时，一般都会先讲解代入消元法（这也是教材的编写顺序），案例中的方程组较简单的方式也是将第二个方程变形为x=12-2y，然后代入第一个式子得到求解，但孩子并没有想到这种方式. 我分析是孩子更习惯解用x表示未知数的方程，所以先想到消去变量y，进而想到了加减消元法解方程组. 父亲并没有刻意地将儿子的思维往代入消元法上引，而是因势利导，让孩子先学会用加减消元法解二元一次方程组（其实熟练了之后两种方法的运算量差不多）. 这里最重要的是明白消元的思想. 接着，在第四天的时候通过习题让孩子找到代入消元法. 这样的处理方式，尊重了孩子的思维方式，让孩子在思维的过程中始终有主动感、成就感，在思维的过程中体会到了不断深入，以及被肯定感，而这种体验会积极地影响到他今后遇到问题的自信程度. 试想，如果当孩子把草稿本拿给父亲看，父亲立马给他讲了代入消元法，那么孩子得到的心理反馈会是什么？啊，我想了这么久，竟然全白费了，还没有爸爸的这种方法简单，我真笨. 由此带来的挫败感，可能会让他在下一次遇到问题时产生怀疑和不自信，还容易产生依赖思想，因为爸爸知道更简单的方法，自己不用想，可以直接去问他. 失去独立思考的想法，养成依赖别人的习惯，这是最可怕的事情.

启示三：为搞清楚原理多花时间，远比为熟练操作多花时间更重要. 读者可以看到，孩子思维的核心工作是在第三天完成的，据其父亲说，第三天把原理搞清楚差不多花了两个多小时，而第四天的练概在半个小时内就完成了，最后应用题中的解方程组仅仅只用了两三分钟. 在学校教育中，同样的内容可能是这样安排的，一节课四十分钟，可能花15到20分钟讲清楚代入消元法的原理，然后开始大量练习，系数同为正数的，有正有负的，系数有分数的，解是整数的，解为分数的等，有的在课堂上，有的出现在作业中，有的在习题评讲中. 练习巩固的时间远远比探寻原理所花的时间多. 这种方式与案例中的教学方式最大的不同在哪里呢？遇到二元一次方程组不会解――将二元问题转化为一元问题――找到二元一次方程组的一般解法，这是有创造性的思维过程，而练习不同类型的二元一次方程组解法，是熟练操作的过程，创造性的活动相对减少. 其实，道理很简单，真正搞清楚原理后，熟练过程会水到渠成，可以减少很多不必要的重复机械工作. 数学应该培养学生什么？是培养学生学会理性地思考，学会理性地分析，而不单是简单的计算. 当然，学校的集体教育不能和这种单个对象的教育完全一样. 课堂集体教育有教学任务，有教学进度的安排，不可能像单独对象教育这样随意，更不用说还有考试压力. 实际教学中，用前面谈到的课堂教育方式，在阶段性考试中可能效果会好一些，但在教学设计上我们可以考虑让创造性思维多一些的环节，多留一些时间. 从长远来看，让学生体验更多的创造性思维过程，会更有利于他们的学习.

篇10

[关键词]数学教学；同课异构；探索；比较

[中图分类号]G633.6

[文献标识码]A

[文章编号]2095-3712（2014）26-0020-03

[作者简介]常梅（1963―），女，广西桂林人，大专，桂林市第十七中学教师，中学高级。

同课异构指的是同一节的内容，由不同教师根据自己的实际理解，自己备课并上课。由于教师的不同，课的结构、风格、所采取的教学方法和策略各有不同，这就构成了同一内容用不同的风格、方法、策略进行教学的课。随着基础教育课程改革的深化，不同的教学模式层出不穷，传统教学模式已经不再适合现代教育的需要，学生自主学习、合作学习的理念被越来越多的教师所接受并运用到自己的教学中。笔者把同课异构的方式运用到具有很强的逻辑性和抽象性的数学学科教学中，引导学生合作学习和自主学习，探索不同的教学设计达成“异曲同工”之妙。下面笔者用同课异构的方式研究“一元二次方程与实际问题”两个案例，分析比较传统教法和合作学习的优劣。

一、案例一：一元二次方程与实际问题的合作探究导学案

（一）学习目标

1.通过学生自学探究感受用一元二次方程解决实际问题的过程；

2.在阅读的过程中，掌握根据面积与面积之间的等量关系列方程及解题的具体步骤。

（二）学习重难点

如何寻找用面积之间的关系列方程。

（三）教学过程

1.知识链接

（1）请写出你学过的所有几何图形的面积公式。

（2）亲自动手用一张正方形的纸片做一个无盖的盒子，要做好盒子的关键是什么？

2.合作探究

问题1：小明把一张边长为10的正方形硬纸的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子，如果要求长方形的底面积为81cm2，那么剪去的正方形为多少cm2？

思考下列问题：在图1中画出底面积为81cm2的长方形，如果剪去正方形的边长为xcm，分别写出长方形的长是cm和宽是cm。根据长方形面积公式列方程，并写出解题过程。

问题2：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？如何理解“上、下边衬等宽，左、右边衬等宽”？等量关系是什么？根据等量关系列方程并解方程。

教师设计了一系列问题引导学生思考和探索，通过自学、群学、探究质疑达到解决问题的目的。最后提出“如果换一种设法，是否可以更简单”的问题。

3.效果检测

问题3：如图，要设计一幅宽20m，长30m的图案，两横两竖宽度之比为3∶2 ，若使彩条面积是图案面积的四分之一，应怎样设计彩条的宽带？（讨论用多种方法列方程比较）

效果检测时，同桌同学互相点评与纠正，教师及时收集学生的不同解法，要善于利用图形的平移把问题简单化。

4.归纳小结

在几何图形应用题中，我们往往以“面积”找出等量关系，要灵活地将“面积”拼成一个“整体图形”，使问题更易解决。

二、案例二：一元二次方程与实际问题的讲练结合教学案

（一）教学目标

掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。

（二）学习重难点

根据面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决。

（三） 教学过程

1.复习引入

教师提问，学生口答，教师点评的方式复习所学的面积公式和列方程解应用题的步骤。

2.探索新知

教师通过对案例一中的问题一和问题二的分析、讲解、板书，归纳总结得出：通过面积之间关系来建立数学模型，解决一些实际问题。把案例一中的问题3作为当堂练习，教师根据学生完成的情况点评，最后强调要善于利用图形的平移把问题简单化。

3.应用拓展

如图（a）所示，在ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使SPBQ=8cm2。

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使PCQ的面积等于12.6cm2。

教师通过富有激情的、准确的数学语言以及严密的逻辑思维分析得出了解题思路，用漂亮的板书展示了完整的解题过程，把初中的数学知识进行了一次大综合。

4.归纳小结

利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。

三、综合评析

可以看出这是教学内容相同，教育理念完全不同的两个案例，第一案例是以学生为中心的导学案，第二案例是以教师为中心的传统课堂的教案。从课的目标就可以看出它们的巨大区别：案例一从学生的认知角度出发，提出学生应达到的目标，并且用通俗易懂的语言使目标显性化，具有可操作性；案例二强调教师怎么教及所要达到的目标。

案例一中教师设计一系列问题让学生独立思考，根据自己的能力解决问题，通过小组合作学习、讨论、质疑逐步完善结论，然后全班展示，以集体的力量和智慧再次完善和肯定所学内容，形成知识体系，很自然地实现了把生活现象转化为数学问题，在此基础上进行数学建模，有效地培养了学生的创新思维能力。合作学习的模式倡导开放互动的教学方式与自主、合作、探究的学习方式，使课堂教学由传统的以教师为主的、面向集体授课的教学形式，转变为以学生为主体的、个别学习与合作学习相结合的教学组织形式，最大限度地把教转化为学。而从案例二可以看出教师满堂灌地讲解完第一、二题，让学生练习第三题，然后不遗余力地讲解最后一道综合题。从传统的课堂评价来说，案例二会是一堂优质课，体现了教师良好的个人素养和教学水平，并且高质量地完成教学任务，特别是四十分钟解决了四个问题，正符合传统教法所追求的高效率。然而在传统教学中，教师是中心，是绝对的权威，学生只能被动地跟教师的思维走。在备课时，教师以自己对某个知识点的理解来设计思路并展现给学生，至于学生是否跟得上，是否认同知识就无所谓了。

案例一的检测是为了诊断学生合作学习后的效果，及时发现，及时解决，教师挑选有不同解法、答案正确或存在共同问题的学生展示自己的解题方法。案例二的教师仍不放心学生，根据学生的情况，苦口婆心地给学生再来演示一次。两种模式比较，合作学习符合学生的认知规律，更符合全面发展和健康成长的教育理念。

美国著名的学习专家爱德加・戴尔的学习金字塔理论指出，“学习的方法不同，学习的效果大相径庭。以语言学习为例，在初次学习两个星期后，阅读能够记住学习内容的10%，聆听能够记住学习内容的20%，看图能够记住30%，看影像、展览、演示、现场观摩能够记住50%，参与讨论发言能够记住70%，作报告、给别人讲、亲身体验、动手做能够记住90%”。这一理论表明：采用听讲等被动学习的传统学习方式，学习效率都在30%以下，而学习效率在50%以上的都是合作学习的基本方式。

在传统教学中数学教师更容易成为课堂的主宰者和权威，数学因其严密的逻辑思维性和抽象性让教师觉得这些知识是学生难以掌握的，所以教师会采用灌输策略。可教师一旦表达出权威的看法，学生往往就不再思考，而是尽力揣测教师的心思，并投其所好。合作学习中教师由权威变成了引导者，教师似乎变得无足轻重了，但实际上这对教师提出了更高的要求。例如，在导学案的编制中如何制定具有可操作性的学习目标？如何通过在导学案中提出的一系列问题指导学生阅读课本，研究解决知识点的重点、难点，理解抽象的数学概念？如何通过学生的展示和质疑发现闪光点和问题，甚至是错误，及时表扬和纠正？如何在恰当的时机来个画龙点睛，在看似乱糟糟的课堂上做到有张有弛？

四、小结

苏联教育家苏霍姆林斯基说过，教育发展的最高境界就是实现自我教育，经过一段的时间合作学习，学生能够很快实现自我主动学习、自我管理、自我评价和自我发展。以数学知识作为载体，通过自主、合作、探究、质疑使学生得到全面发展，提升综合素质和自主学习的能力。反过来，当学生形成自主、高效的学习能力时又可促进知识的理解和掌握。我们不能把知识的掌握和自主学习能力对立，因为它们是相辅相成的。

参考文献：

[1]郑金洲.行动研究指导[M].北京：教育科学出版社，2004.

[2]娄华英.我们的课堂：基于课例研究的课堂教学改进行动[M].上海：华东师范大学出版社，2009.

[3]陈肯.高校公共艺术教育有效性的行动研究――同课异构的课程方案探究[D].北京：中央美术学院人文学院美术教育学系，2009.