反三角函数范文

导语：如何才能写好一篇反三角函数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

1、常见反三角函数值：

arcsin0=0；arcsin(1/2)=π/6；arcsin(√2/2)=π/4；arcsin(√3/2)=π/3；arcsin1=π/2；atccos1=0；arccos(√3/2)=π/6；arccos(√2/2)=π/4；arccos(1/2)=π/3；arccos0=π/2；arctan0=0；arctan(√3/3)=π/6；arctan(1)=π/4；arctan(√3)=π/3；arctan0=π/2。

2、反三角函数：

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

（来源：文章屋网 ）

篇2

一、数形结合,巧求范围

例1.求函数y=的定义域。

解法一:由题意知需2sinx+1≥0,即需sinx≥-。如图1,由正弦曲线知,在一个周期上[-,],符合条件的角的范围为[-,]。根据正弦函数的周期性,可知函数的定义域为[2kπ-,2kπ+],k∈Z。

解法二:如图2,由三角函数线可看出,满足sinx=-的角可以是-、,而满足sinx≥-的角的终边必须在-、的终边的上方,再结合正弦函数的周期性可知,所求的定义域为[2kπ-,2kπ+],k∈Z。

例2.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0

解:由f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,可知f(x)的图像关于原点呈中心对称,把图像补全,再结合y=cosx的图像可知所求解集为(-,-1)∪(0,1)∪(,3)。

评析:例1可用两种方法从“形”的角度来解决问题,第一种方法是根据正弦曲线的图像特征,先找出在一个周期内的符合条件的角的范围,再根据周期性得到结论;第二种方法是利用三角函数线来找出角的范围。熟练掌握函数图像、三角函数线的画法和合理选择一个周期是解决问题的关键。例2的难点在于如何根据奇偶性把图像补全,如何把f(x)的图像和y=cosx的图像有机地结合起来。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合。作为一种数学思想方法,数形结合是高中数学中常用的重要的解题思想方法之一,它的特点是直观、形象、解题快捷,合理利用数形结合,对解题往往可以起到事半功倍的效果。

二、缩小范围,正确解题

例3.已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α、β∈(0,π),求2α-β的值。

解:由两角和差的正切公式可求tanα=tan[(α-β)+β]==,tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1,

因为α、β∈(0,π),且tanα

所以α∈(0,)、β∈(,π),(2α-β)∈(-π,0)。

因为在(-π,0)上满足正切值等于1的角只有-,

所以2α-β=-。

例4.在三角形ABC中,cosA=,sinB=,则cosC的值为

解:分∠B为钝角和锐角两种情况讨论:

(1)若B为锐角,则sinA=,cosB=,所以cosC=

-cos(A+B)=-;

(2)若B为钝角,因为sinB=,又0

所以∠A>,从而∠A+∠B>π,不可能。

综上所述,cosC的值只能为-。

评析:由于三角函数是周期函数,即自变量与三角函数值是多对一的对应关系,所以,解三角问题时要特别注意确定角的实际变化范围,尽可能地缩小角的范围,否则会出现增解。在教学中,这两道题的错误率都很高,均涉及到范围的缩小问题,如例3中学生在求出tan(2α-β)=1后,往往没有注意到根据已有信息缩小范围,而是直接由题中所给范围得出(2α-β)∈(-π,2π),所以2α-β的值有三个,即、-、,从而出现增根。而例4难度则更大,更容易被学生所忽视,很多学生直接分∠B为锐角和钝角来解题,有一部分学生可能怀疑钝角的情形,却不会正确缩小范围,最终还是求出的两个结果,导致错误发生。

三、隐含条件,不容忽视

例5.设cosθ+sinθ=m,则使sinθ+cosθ>0的m的范围是

解:对sinθ+cosθ=m两边平方易得sinθcosθ=,

由立方和公式得sinθ+cosθ

=(sinθ+cosθ)(sinθ-sinθcosθ+cosθ)

=m(1-)=

所以m(m-3)

另外,m=sinθ+cosθ=sin(θ+),所以-≤m≤……②

由①②得m的范围是(0,]。

篇3

教学重点:掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

教学难点:反三角函数的定义

教学过程:

一.问题的提出：

在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值()，我们如何表示呢?相当于中如何用来表示，这是一个反解的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：

(1)包含锐角;(2)具有单调性;(3)能取得三角函数值域上的所有值。

显然对，这样的区间是;对，这样的区间是;对，这样的区间是;

二.新课的引入：

1.反正弦定义：

反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的正弦值为。

反正弦：符合条件()的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，，

由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

2.反余弦定义：

反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的余弦值为。

反余弦：符合条件()的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，由于，故为负值时，表示的是钝角。

3.反正切定义：

反正切函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的正切值为。

反正切：符合条件()的角，叫做实数的反正切，记作：。其中，。

例如：，，，

对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。

练习：

三.课堂练习：

例1.请说明下列各式的含义：

(1);(2);(3);(4)。

解：(1)表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是;

(2)表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾;

(3)表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是;

(4)表示之间的一个角，这个角的正切值为。这个角是一个锐角。

例2.比较大小：(1)与;(2)与。

解：(1)设：，;，，

则，，

在上是增函数，，

，即。

(2)中小于零，表示负锐角，

中虽然小于零，但表示钝角。

即：。

例3.已知：，，求：的值。

解：正弦值为的角只有一个，即：，

在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：，

所求的集合为：。

注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

例4.已知：，，求：的值。

解：余弦值为的角只有一个，即：，

在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：，

所求的集合为：。

例5.求证：()。

证明：，，设，，

则，即：，即：，

，，

，，即：。

例6.求证：()。

证明：，，设，，

则，即：，即：(*)，

，，

，，即：。

注意：(*)中不能用来替换，虽然符号相同，但，不能用反余弦表示。

篇4

关键词： 大学数学 高中数学 衔接 教学改革

受教育者接受教育是一个连续的过程，各教育阶段之间既有联系又有区别，是相互作用、互为影响的。针对普通高中数学课程标准在课程目标、课程内容、学生的学习方式、教师的教学方式等方面提出的要求，大学数学教学必须在内容和方法上相应地加以改革。笔者长期从事大学数学的教育工作，探索建构基于大学数学与高中数学衔接的模式。

1.高中数学新课标与大学数学交叉重合的部分

新课标中最重要的改革内容就是把微积分的知识点放在高中学习，微积分的教学成为高中数学教学的重点与难点。所以，对导数的概念、导数的运算法则及导数的性质与应用等方面的讲解成了高中教学的重中之重，学生对这方面的学习是比较到位的。从最近几年的大学数学课堂可以看出，学生对导数这部分内容的掌握明显比前几年的学生透彻得多。在大学统计的教学中，一些基本的统计概念如样本、总体，样本均值、样本方差等，在大学可以只做适当点拨，不需要作为新的知识点讲解。

2.高中删减但大学需要用到的内容

高中数学新课标中最重要的删减的内容就是反三角函数。尽管高中学习中会提到反函数，但很少有教师会真正具体详细地讲解原函数与反函数的关系，且反三角函数在《新课标》中消失了。这个内容的消失，导致学生在大学学习反三角函数有关内容的时候一头雾水。对反三角函数的定义与概念不清不楚，导致学生在学习这方面的内容时有很大的困难，特别是在对反三角函数的求导、积分运算及求连续型概率分布时候，由于缺乏反三角函数的定义域、值域及其积分运算的学习，学生对反三角函数有关知识的运用就颇为吃力。笔者的做法是在讲解反函数概念时，结合三角函数和反三角函数的关系，及时补充相关知识，能使学生加深对反函数的理解。

3.树立与高中数学新课标相适应的教学理念

课改后的新课程与旧课程最根本的区别在于理念，对于大学教师来说，其不仅要调整教学内容，改进教学方法，更重要的是要更新教学理念。高中数学新课标与旧课程在知识体系、难易程度、组织结构等方面都有了较大的变化，采取开设必修课、选修课的形式，按照分模块的方式讲解内容，满足不同层次学生发展的需要。虽然各个模块之间依然有着内在的逻辑联系，但这种逻辑性与以往相比有了较大的弱化，并且虽然《新课标》在一定程度上扩大了知识面，但是反过来，数学知识的深入程度、难易程度相对降低，对整个大学数学教学产生了很大的影响。

很多大学数学知识在高中数学已经学过，特别是在大一上学期，学习的大部分是微积分的内容，就导致很多学生产生懈怠心理；另外，进入下学期的学习，学习的都是新知识，而且难度增大不少，没有高中那样高强度的复习，学生就对数学产生畏惧心理。针对上述问题与现象，大学教师要调整与高中数学新课标相适应的教学内容，高中数学新课标增加或者删减了部分内容，大学数学的教学内容要与之适应。大学数学的内容有些随之精简，有些反而要强化，比如反三角函数及正割、余割函数在大学数学中用得比较多，因此笔者在大一第一次课讲解函数的概念与性质的时候，就把这方面的内容作为重点讲解。为防止学生因高中学过而产生懈怠心理，笔者在讲解这方面内容的时候，尽可能地多讲解极限这一思想及有关的数学人物与数学危机等背景，利用一些现象讲解有限无限的相互转换，从而加深学生对抽象概念的理解，为后续的学习打下基础。

高中数学新课标强调终身学习的理念。面对全新的教学理念，创新的教学内容，大学教师要与时俱进，在讲解知识的同时，还要加强自身的学习。教师可以通过数学探究、数学建模、数学文化等教学手段提高学生的学习兴趣。在内容上，多用些通俗易懂的语言或者经历讲解一些数学概念，不但要使得学生有兴趣，更要使得学生能深入思考。同时，利用多媒体教学等辅助仪器，形象客观的图片或者动漫展示一些事物的细微变化过程，有助于学生对抽象事物的理解。高中数学新课标已将数学文化以不同的形式渗透在各模块的教学内容中，在大学数学教学中不仅要使广大学生认识到数学的科学价值，更要使得学生具有丰富的人文价值，让学生真正体会到数学不仅是源于实际问题的需要，更具有深厚的人文价值与意义。从这个角度上讲，数学文化的修养比纯粹的数学技能的培养更能反映出人的价值。因此，在教学过程中，应当多渠道、全方位地渗透数学的人文价值，从而培养出具有丰富文化、科学精神的综合型人才。

参考文献：

[1]余立.教育衔接若干问题研究[M].上海：同济大学出版社，2003.

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决于对被积函数的分析，还需要通过多做习题来积累经验，总结几种常用的不定积分的求法，以帮助高职学生提高运算能力和分析问题的能力。

[关键词]不定积分；方法；常用方法

中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）17-0160-01

不定积分是高等数学中非常重要的部分，是计算如定积分、重积分、曲线积分的基础，同时对微分方程的求解也有着重要的作用。但是不定积分是求导的逆运算，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。因此不定积分的求解方法灵活多变，无法遵循固定方法，只能因题而异，通过不同的习题，归纳求解技巧，总结经验，探寻规律，开拓思路，提高计算能力和增强思维能力。 高职学生在学习这一部分时，一般都会感到困难，出错率很高，为了更好的让学生掌握不定积分的计算，提高解题速度和计算的正确性，现将求解不定积分的常见方法总结如下：

5 分部积分法：称为分部积分公式

一般地，需要利用分部积分法计算的不定积分其被积函数是两个函数的乘积，则确定两个函数谁作为谁作为是利用分部积分公式的关键。

（1）若被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数或正（余）弦函数的乘积，可设幂函数为，而将其余部分凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次。

（2）若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，可设对数函数或反三角函数为，而将幂函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失。

（3）若被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积，、可随意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分。

参考文献

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1、分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

2、设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu；一般来说，u,v选取的原则是：积分容易者选为v，求导简单者选为u。例如：∫Inx dx中应设U=Inx，V=x。

（来源：文章屋网 ）

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1.1问题的分析

求解着陆准备轨道近月点和远月点的位置，通过分析知近月点和远月位置可以用空间坐标来表示，于是通过直角三角形的相关性质、三角函数与反三角函数有关知识并借助计算器，最后即可求得近月点与远月点相对着陆点的位置。求嫦娥三号相应的速度与大小，借鉴了参考文献[1]，并结合自身的理解，且在基本假设中的假设2下，利用能量守恒，即可得嫦娥三号在近月点与远月点的势能与动能之和相等的一个表达式，再根据开普勒第二定律可知：在近月点与远月点的速度之比为近月点与远月点到月球球心的距离的反比，即可得第二个表达，最后联立两个表达式即可求出嫦娥三号在近月点与远月点的速度。对于嫦娥三号的方向，根据物理学中物体做曲线运动的基本性质，得到速度方向是沿曲线上该点的切线方向。

1.2能量守恒模型的建立与求解

能量守恒模型的求解将月球的质量M为7.3477×1022kg，万有引力常量G为6.672×10-11N.m2.kg-2，近月点距月球表面15km，远月点距月球表面100km，月球的平均半径为1737.013km，带入（1.13）、（1.14）得到近月点与远月点的速度分别如下：v1=1.704km/s，v2=1.625km/s嫦娥三号在近月点与远月点的速度方向为：沿曲线上该点的切线方向。

2结果分析

在假设1的情况下，计算出近月点（C）在离着陆点（A）北偏东59.204°，距离为1758.933km处。远月点（F）在离着陆点（A）南偏东24.331°，距离为3673.118km处。解决此题所运用的知识点为：直角三角形相关性质勾股定理、欧氏距离、三角函数中的正弦定理以及反三角函数。所涉及的工具为计算器。故知识点较简单、理解容易且有较好的软件支撑，则该问解出答案比较准确。在假设2的情况下，计算出嫦娥三号在近月点的速度v1=1.704km/s，远月点的速度v2=1.625km/s，，附件1中所给嫦娥三号在近月点的相对速度为1.7km/s，所以本问的误差为1.704-1.71.7=0.235%，可以看出误差很小，故利用能量守恒的方法并结合开普勒第二定律解出嫦娥三号在近月点与远月点的速度是可行的。由物理学中物体作曲线运动，物体的速度方向是沿曲线上该点的切线方向，故得出的嫦娥三号在近月点与远月点的速度方向也是可行的。

3问题二

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关键词：三角函数线；单调性；诱导公式；象限符号

三角函数是高中数学的重要内容之一，它的定义和性质涉及的知识面较广，并且有许多独特的表现形式，因而作为高考考查基础知识和基本技能方面的重要内容。即便是在新课改之后我们都使用了人教A版的新教材但是三角这块的知识除了去掉了反三角函数、积化和差、和差化积、半角公式等，基本上保留大部分的内容，所以依然是高考的重点内容。综观近几年的高考试题，一般为一道客观题和一道解答题，分值约占整个试卷的10%左右，高考对本章的考查表现为：

1、客观题的考点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、三角函数的性质以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。

2、计算或证明题的难度明显降低，主要考查对基本知识的掌握程度以及基本技能、基本方法的运用。试题大都来源于课本中的例题、习题得变形，因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”。

3、实际应用题将三角函数融入三角形中，既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，近年来备受命题者的青睐。

在人教版老教材中高一下册第四章4.8节三角函数单调性中有这样一道例题。

例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：

其实判断它们大于0还是小于0也就是比较它们的大小：

结合本节的教学目标：单调性，我们可以解决这一问题。而我们在日常教学工作中会发现这样的三角函数值比较大小的题目还是多种多样的且解法也是多种多样的。

对此我结合对数，指数比较大小的分类方法：

① 同底不同真（同底不同指）利用单调性；

② 同真不同底（同指不同底）利用图像关系；

③ 不同底不同真（不同底不同指）利用中间量。

将正弦余弦三角函数值比较大小这种题型进行了分类总结。一共分了4类：

① 同角不同三角函数名

② 同三角函数名不同角

③ 不同三角函数名不同角

④ 综合应用。

以下简记：同角不同名，同名不同角，不同名不同角，综合。

按照不同的类型找到了相应的方法。以提高学生做题的速度和效率。

一、同名不同角

方法：利用三角函数线。

例如：比较大小：

图中我们可以看到45°时正弦线MP=OM余弦线。

（1）可以明显看出1弧度角的OM

（2）可以明显看出190度角的OM的长度大于MP的长度，但是它们都是负的所以OM

点评：在使用三角函数线时要注意以下几点：

1、当角?琢的终边在y轴上时，余弦线变成一个点。

2、当角?琢的终边在x轴上时，正弦线，正切线都变成了点。

3、三种有向线段必是OM,MP,AT起点在前终点在后。比较除了长度外还要考虑正负。

三角函数线的正负与坐标轴的正反方向一致。

4、三角函数线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆。

5、在不使用量角器的条件下画出非特殊角的三角函数线时可以利用，的三角函数线作为比较界线。

当然你会发现利用三角函数线也可以解决在同一象限内不同角同名的三角函数值比较大小的问题。

二、同名不同角

方法：利用单调性。

例如：比较大小：

点评：同角不同名的三角函数值比较大小利用单调性这一种方法要求学生熟练掌握正弦函数余弦函数，正切函数的单调区间及单调性。

当然同角不同名的三角函数值比较大小不只有利用单调性这一种方法。

像例（1）就是同一象限内的同名不同角的三角函数值比较大小可以使用三角函数线。

（2）可以通过象限符号判断。

点评：像此类不同角不同名比较大小的题有时候考察的着重点不是比较大小而是三角函数象限符号问题。大家要熟记口诀：“第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限切为正，第四象限余弦为正。”简记：“一全二正弦三切四余弦”这种题相对来说比较简单。

当然大家也会发现这种方法不能解决所有的不同角不同名比较大小的问题。因为很多不同角不同名的三角函数值的符号是相同的。那么我就需要另外的方法了。

方法2：利用诱导公式化为同名，再同名不同角的方法来判断。

例如比较大小：

当然在知道

的时候我们也可以利用三角函数线得到答案。

点评：像此类不同角不同名比较大小的题考察的着重点却是六类诱导公式。大家要熟记简记角琢的诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限。”可见在此分类中，它可以通过诱导公式转化为“同名不同角”这类。也可以说这一类已经开始体现知识的灵活与连贯了。例如：

此种类型是不同名不同角但是给出了大小关系而判断角的关系。

同样也可以根据诱导公式变为同名结合单调性得。

前三种分类虽然是比较有章可循，但并不一定是唯一的方法也可能不是最简单的方法。作这种分类目的是能够在看到此题型可以在方法选择上不浪费太多时间。当然如果知识掌握灵活，能够想到最简单的方法也是可以的。

按此这些类型分开按图索骥很有效率，但是方法与方法之间也不是完全割裂分离得的，也有综合使用的。

四、综合

前面的三种方法会分开考察也会综合考察。这就需要大家在熟练掌握的基础上加以灵活应用了。这种题通常要具体问题具体分析了没有什么特定的形式。下面仅以一例作解释。

例如比较大小：

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【摘要】 不定积分的求解一直是高等数学的重点，但由于其方法的灵活性以及结果的不确定性，又一直是高等数学的难点。针对不定积分求解方法的核心思想——“凑微分”，就其技巧、步骤的形式化方面做了相关分析和总结，并给出了一系列行之有效的“凑微分”的形式化步骤和技巧。

【关键词】 不定积分; 凑微分; 换元积分法; 分部积分法; 医用高等数学

微积分是医用高等数学的基本和主要内容，在数学甚至是自然科学的发展阶段中有着不可磨灭的贡献，正如恩格斯所说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里”[1]。不定积分是微积分中的重要一章，是解决反问题的重要方法，在科学、技术和经济等许多领域中有着重要的应用。不定积分掌握程度的好坏直接决定着对后面定积分、多元函数微积分以及微分方程等章节内容的掌握，亦对后续课程的学习有很大的影响。由于不定积分方法的灵活性和结果的不确定性，同学们在学习时往往显得无从下手，下面结合自己在讲授不定积分时的经验，关于不定积分求解方法的学习提几点建议。

作者在教学之余，曾关于不定积分的求解方法总结过一句口诀“原函数，结牛莱，凑微代换分部微元来，定于不定都交代”[2]。不定积分的常规求解方法主要包括直接积分法、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，其核心即——“凑微分”。

1 换元积分法中的“凑微分”

换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，其基本原理是：当〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗 不容易直接求出时，则将其转化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗 ，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du (取φ(x)=u ) ，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗 。其中的关键是第一步：将g(x) 拆分成f[φ(x)]φ′(x) ，这正是“凑微分”的核心。由于“凑微分”方法灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分公式并不能给同学们足够的启示，在讲解过程中我们将方法归结为“一拆、二靠、三转化”三步走，并且结合常见的不定积分公式求解，这样同学们掌握起来就比较容易了。

1.1 “拆”

遇到一个不定积分题目，首先看其能否直接拆分成若干个函数的乘积，若能，则挨个观察拆分成的函数能否凑微分，找出合适的进行凑微分求解。如：求解不定积分 〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：观察到被积函数cosx2x 可以拆分成两个函数的乘积：cosx·12x ，并且12x 可以进行凑微分从而变成dx 。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。

1.2 “靠”

若一个不定积分不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。如：求解不定积分 〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通过观察此不定积分不能直接进行拆分，但其与不定积分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C 形式上接近，因此我们可以以此为目标去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。

1.3 转化

若一个不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分基本公式形式上接近，则可以先利用恒等变形等方法进行转化，再根据转化的形式进行相应求解。如：求解不定积分 〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗分析：此不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分基本公式形式上接近。通过观察被积函数1a2-x2 可以用拆分成1a-x·1a+x ，从而逆用通分公式变成12a(1a-x+1a+x) 进行求解。解：〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗=〖JF(Z〗1(a+x)(a-x)dx〖JF)〗=12a〖JF(Z〗(1a+x+1a-x) dx〖JF)〗=12a[〖JF(Z〗1a+xdx〖JF)〗+〖JF(Z〗1a-x) dx〖JF)〗]=12a[〖JF(Z〗1a+xd(a+x)〖JF)〗-〖JF(Z〗1a-x) d(a-x)〖JF)〗]=12a(ln|a+x|-ln|a-x|)+C=12alna+xa-x)+C。

2 分部积分法中的“凑微分”

分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式(主要是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数五类基本初等函数形式的乘积)的不定积分，主体内容可以概括为“一套公式、两个步骤、三种类型”：一套分部积分公式即：〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等价于 〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗两个基本步骤即：① 配微分，即将〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗 变形为 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 ;② 代入分部积分公式求解、化简(可以重复使用)。

三种解题类型即：① 配微分后直接套公式计算、化简;② 使用两次分部积分公式后移项解方程;③ 直接积分法、换元积分法和分部积分法结合运用。

分部积分法的关键是步骤①中的配微分，即将f(x) 拆分成uv′。u与v′选择不当会使题目求解越陷越繁琐，例如求解不定积分〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗 ：解法1：选择u=cosx ，v′=x

〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=12〖JF(Z〗cosxdx2〖JF)〗=12x2cosx+12〖JF(Z〗x2sinxdx〖JF)〗　=12x2cosx+16〖JF(Z〗sinxdx3〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3d sinx〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3cosxdx〖JF)〗= (陷入无限循环中)。解法2：选择u=x ，v′=cosx〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗xd sinx〖JF)〗=xsinx- 〖JF(Z〗sinxdx〖JF)〗=xsinx-(-cosx)+C=xsinx+cosx+C(求解简单明了)。对于u 与v′的选择，我们有以下两个原则:① u 、v′选择要得当，使 v容易求出。② 〖JF(Z〗vdu〖JF)〗要比原积分 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 容易求解。遵循上面的两个原则，在教学实际中我们总结出一个比较实用的方法：对拆分成乘积的两个函数求导数，若函数类型发生变化则做u，没有发生变化则做v′，全部没有发生变化则任选其一做u 即可。

如：求解不定积分 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗分析：指数函数ex 与三角函数cosx 求导数后仍然为指数函数与三角函数，函数类型都没有发生变化，则任选其一做u 即可。解1：〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinx exdx〖JF)〗=exsinx+〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移项整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(sinx+cosx)+C。解2： 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=excosx-〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗exsinxdx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移项整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(cosx+sinx)+C。另外，针对某些被积函数只有一个的情况，可以看成其与常数的乘积。如：求解不定积分 〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗分析: 被积函数arctanx 可以看成arctanx·1 ，arctanx 求导得11+x2 ，类型由反三角函数形式变成幂函数形式，而1求导得0，仍为幂函数形式不变，因此取u=arctanx ，v′=1 即v=x 。解：〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗=xarccosx-〖JF(Z〗xd arccosx〖JF)〗= xarccosx+〖JF(Z〗x11-x2 dx〖JF)〗

=xarccosx+12〖JF(Z〗x11-x2 dx2〖JF)〗=xarccosx-12〖JF(Z〗x11-x2 d(1-x2)〖JF)〗xarccosx-1-x2+C。此方法对于“配微分”的选择来说是比较实用的，并且可以培养同学们的发散思维，但在一定方面亦有其局限性，对于某些题目，容易使同学们产生“歧途亡羊”之感。

如：求解不定积分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析: 被积函数x2 求导得2x ，cosx 求导得-sinx ，类型仍是幂函数和三角函数形式，因此应该任取一个做u 即可，但通过下面的求解发现并不是如此。解法1：〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=13〖JF(Z〗cosx dx3〖JF)〗=13x3cosx-13〖JF(Z〗x3d cosx〖JF)〗=13x3cosx+13〖JF(Z〗x3sinxdx〖JF)〗=13x3cosx+112〖JF(Z〗sinxdx4〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4d sinx〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4cosxdx〖JF)〗=… (陷入无限循环)。解法2： 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=〖JF(Z〗x2d sinx〖JF)〗=x2sinx-〖JF(Z〗sinx dx2〖JF)〗=x2sinx-2〖JF(Z〗xsinx dx〖JF)〗=x2sinx+2〖JF(Z〗xd cosx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2〖JF(Z〗cosx dx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2sinx+C (求解简单明了)。为解决此缺陷，我们再给出一个选择u 及v′ 的简便方法(此法在《高等数学》[3]中亦有相应体现)：把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂指三(反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数)”的顺序，前者为u ，后者为v′ 。

如：求解不定积分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析：被积函数x2cosx 可以看成幂函数x2 与三角函数cosx 的乘积，按照“反对幂指三”顺序取u=x2 ，v′=cosx (具体求解过程即上例解法2)。其实，两种方法各有利弊，第一种方法拓展了学生的发散思维，但对于某些问题不能广泛使用，第二种方法虽然简洁、应用广泛，但是又限制了同学们发散思维的培养，因此我们在教学过程中应该相互结合，互为补充，这样才能既有效解决问题，又培养了学生们的思维能力。

通过上面的方法，我们几乎可以将不定积分的基本求解形式化的确定下来，在一定程度上减轻了同学们的学习压力。但是，对于不定积分求解步骤、方法形式化的讨论，并不是要把高等数学装扮得冰冷且美丽着，而是要在掌握形式化技巧的基础上深度挖掘“冰冷的美丽”[4]后面“火热的思考”[4]，从而达到“淡化形式，注重实质”[5]的目的，真正的使同学们“透过形式主义的美丽，真正领会到微积分的无穷魅力”[4]。

【参考文献】

1 张顺燕.数学的思想、方法和应用.北京大学出版社，2002.

2 范应元，安洪庆，孔雨佳.医用高等数学教学中人文推动的模糊综合评价.数理医药学杂志，2008，21(6)：760～761.

3 同济大学应用数学系.高等数学.第5版.高等教育出版社，2002.

4 张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考.大学数学课程报告论坛论文集，2005.

篇10

从实际出发，探讨在医学类专业《医用高等数学》教学中实行分层教学的必要性与可行性。

【关键词】 医用高等数学； 教学效率； 分层教学

《医用高等数学》是一门医学类专业的基础课程，随着生命科学与医学科学数量化进程的加快，数学在高等医学教育中的地位和作用显得愈来愈重要。在面向21世纪高等医学人才的培养目标中，应当使未来的医学人才具有应用数学分析的头脑去研究医学理论和临床实践的能力。许多教育者正在不断探索、尝试各种途径，以提高《医用高等数学》教学效率。笔者认为实行分层教学对于提高《医用高等数学》教学效率是一种必要、可行的方法。

分层教学就是教师在学生知识基础、智力因素和非智力因素存在明显差异的情况下，有区别地设计教学环节和进行教学，遵循因材施教的原则，有针对性的实施对不同类别学生的学习指导，从而使每个学生都能在原有基础上得到发展，从而达到总体教学目标。分层教学有多种形式，主要有两种：一是针对不同专业特点，后续课程的要求进行分层教学，在课时计划、教学大纲、教学内容上进行区别，如药学专业开设课时是一般医学类专业的两倍，内容也是增加了许多，包括了微积分的基本内容、级数、微分方程的基本解法等；二是针对同一专业、同一要求，根据学生基础的差别进行教学。对于第一种我国的高校基本上做到了，根据专业特点进行分层教学，但对于第二种尚处于起步时期，探索阶段。下面就医学类专业《医用高等数学》中进行第二种分层教学的必要性与可行性谈谈自已的看法。

1 实行分层教学的必要性

1.1 从教育时代特色上有必要

为实现“科教兴国”的战略目标和可持续发展的跨世纪的宏伟计划，在本世纪初我国青年接受高等教育的比例逐年大幅度提高，到2005年中国高等教育毛入学率达19%，我国已进入国际上公认的高等教育大众化阶段，有些大城市已从精英教育转向大众化的普及教育。高校招生规模的不断扩大，使新生入学基础的差别相对增大。按传统的教学体系和教学方法进行教学所产生的问题和矛盾将更加突出，高等教育形势的这一变化必然对《医用高等数学》教育提出新的按不同层次进行教学的要求。

医学类专业中有多个专业是文理兼招，如预防专业、临床专业、妇幼专业等，这些专业是必须开设高等数学的。我国教育部颁布的高中数学教学大纲对高中文科、理科中学数学有些区别，对某些知识点要求不一样，如反三角函数这一知识点文科生不作要求、理科生必须掌握的内容，在高考指挥棒下，有些学校为提高升学率对于文科生反三角函数不进行教学。但反三角函数是基本函数之一，是《医用高等数学》中必须涉及的内容，这样如不进行分层教学势必对某些学生是一种重复学习，对文科生来说是一种全新的知识，因此分层教学是必须的。

2 实行分层教学的可行性

分层教学的理论基础是“掌握学习”理论，美国教育家、心理学家布卢姆(B．S．Bloom)认为：“只要在提供恰当的材料和进行教学的同时，给每个学生提供适度的帮助和充分的时问，几乎所有的学生都能完成学习任务或达到规定的学习目标。”同一专业实行分层教学，应遵循“掌握学习”原则：作为同一专业的课程，分层教学并不是降低对学生要求的教学，而是教学要求相同，即学生对知识的掌握程度要求是相同，只是教师根据学生的实际发展水平、学习方式和个性特点，在教学环节的组织上、课时的分配上进行调整的教学方式。

对于文、理兼招的医学专业，一般可以分成A、B两组。A组对象主要为原理科生，B组对象主要为原文科生（当然这样的分层要充分征求学生的意见，有可能原学文科的会自愿到A组，而原理科的自愿到B组）。现行教材是可行，编者们在编教材时，都是“宽编窄用”，兼顾了文、理科学生，教师在教学内容选择上有很大的自主性。经过几年的发展师资上较前几年有了很大的提高，原来的本科生教本科生基本都不存在，教师的学历与实际教学经验都得到了提高，教师完全的能力胜任这样的教学改革。

参考文献

1 汤自凯.医用高等数学教学方法体会.湖南医学高等专科学校学报，2001，(4)：44～45．