二次函数范文

导语：如何才能写好一篇二次函数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、从定义的角度认识二次函数

二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0），其中a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。从定义中我们可以看出二次函数的右边应该是关于x的二次整式，a为不等于0的实数，b、c可以等于任意实数。在关于二次函数定义的考题中学生的易错点是：把点的坐标带入表达式时漏带一个x的值，如把点（2，3）带入二次函数表达式时，学生会错写成3=a・22+bx+c，原因是只把其中的一个x替换成了2，这是数学成绩中下的学生刚开始接触到二次函数时常犯的错误。这部分学生可能是由于思维定式所造成的，因为前面所学习的一次函数和反比例函数表达式中只有一项含有x。我们教师教学时应加强函数定义的教学，让学生找清楚二次函数中的自变量，强调点的横坐标和自变量x是一一对应的关系。

二、从解析式的角度分析二次函数

二次函数的解析式分为三种：一般式y=ax2+bx+c（a≠0）；交点式y=a（x-x1）（x-x2）；顶点式y=（a-h）2+k》在求二次函数的解析式时，我们应该和同学们一起总结如何选择解析式的设法才会对我们的解题起到事半功倍的效果。

当题设中已知三个点的坐标时，我们可以把表达式设为一般式，构造出一个关于a、b、c的三元一次方程组，然后解出待定系数a、b、c即可。在求解这个三元一次方程组时，很多同学看到三个未知数就会产生惧怕的心理，这时我们老师应该及时帮助孩子消除恐惧，让学生利用消元思想把三元转化成二元，从而把陌生转化成熟悉。

当题设中已知顶点和一个普通点的坐标时，我们可以把表达式设为顶点式。这时我们应该让学生理解顶点式y=（a-h）2+k中h和k的含义，知道h是顶点的横坐标，k是顶点的纵坐标，并注意括号中的符号是减号。

当题设中已知与x轴的两个交点坐标时我们可以把表达式设成交点式，在这个表达式中x1、x2分别是图像与x轴交点的横坐标。学生在用这种方式求函数的解析式时，很容易把普通点的横坐标当做x1、x2。帮孩子走出这个误区时，我采用的是这样一种方法：先举一个利用分解因式解一元二次方程的题目，如（x-2）（x-3）=0，它的解为x1=2，x2=3。试想一下还有哪些方程的根为2和3呢？同学们思考一下会发现方程a（x-2）（x-3）=0的根也是2和3。再利用函数与方程的关系，联系函数y=a（x-2）（x-3）的图像可以发现x=2、x=3其实是二次函数与x轴交点的横坐标，从而学生就可以理解交点式、解析式的真正含义了。

三、从图像的角度去剖析二次函数的本质

在认识一个函数的时候，除了要理解函数的定义和解析式，函数的图像也是研究的重点内容之一，函数的一些特性在图像中可以很清楚地被发现、理解和应用。

首先，我们要让学生知道二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于y轴（包括重合）的一条抛物线。

其次，要认识抛物线的三要素：开口方向、对称轴和顶点。

再次，要理解抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用：

1.决定开口方向及开口大小。

2.b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=- ，故：

（1）b=0对称轴为y轴。

（2） >0 （即a、b同号）对称轴在y轴左侧。

（3）

3.c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置。

因为当x=0时y=c，所以抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c），从而有：

（1）c=0抛物线经过原点。

（2）c>0抛物线与y轴交于正半轴。

（3）c

以上三点中，当结论和条件互换时，仍然成立。如：当抛物线的对称轴在y轴右侧，则

最后我们应该利用图像让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程y=ax2+bx+c的两个实数根。从而还发现抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

1.有两个交点>0抛物线与x轴相交。

2.有一个交点（顶点在x轴上）=0抛物线与x轴相切。

3.没有交点

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大纲教材二次函数是以研究抛物线的性质为重点,它具有较强的知识性，而在新课标下却将二次函数的“重心”移于函数知识的实际应用，因此近年中考中利用二次函数解应用题的问题明显增多，这一新视角足以引起大家在中考复习中的关注和重视，对于这部分内容一般以如下几类问题出现：

1.最大利润

例：1.2006年中秋前夕，某果品批发公司准备从外地进口一种水果，为了更好的指导今年对该种水果的销售工作，该批发公司对往年同期的销售情况进行了调查统计，得到了如下数据：

（1）在如图的直角坐标系中，作出各组有序数对（x，y）所对应的点，连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系形式；

（2）若该种水果的进价为11元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取向值时，P的值最大？

解：在如图的直角坐标系中，正确的描点、连线，由图角可知，y是x的一次函数

设解析式为y=kx+b

点（25，2000），（24，2500）在图象上

25 k+b=200024 k+b=2000

解得： k=－5000b=14500

解析式为y=－500x+14500

（2）P=（x-11）y

=（x-11）(－500x+14500)

=－500 x■+20000x－159500

P与x的函数关系式为：P=－500 x■+20000x－159500

-500＜0

当销售价x=-■=20时，P的值最大。

评注:本题把函数知识与经济生活有机地结合在一起,具有较强的现实性，本题其功能是对考生进行了“观察——猜测——验证——应用”的探究过程的考查和函数思想方法的考查。

2.最大面积

例2:（2005年，青岛）在青岛市开展创文明城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），设花园的BC边长为x（m），花园的面积为y(m2)，

（1）求y与x之间的函数关系式，并写

出自变量x的取值范围；

（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若不能，说明理由；

（3）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；

并结合题意判断：当x取向值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

解：（1）由BC=xm，得AB=■=(20-■)(m)

y=AB×BC(20-■)x=■x2+20x

靠墙的一边最长是15m，

0＜x≤15，故所求函数关系式为y=－■x2+20x（0＜x≤15)。

（2）设y=200，解方程-■x2+20x=200，得

x1= x2=20，即BC=20(m)

而0＜x≤15，故花园的面积不可能达到200m2。

（3）由y=－■x2+20x=－■(x－20)2+200，

知抛物线开口向下，对称轴为x=20。

当0＜x≤15时，图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而增大，所以当x=15时，y有最大值，y最大=187.5(m2) 答：（略）

评注：本题是通过矩形面积建立了的一个二次函数模型，内容涉及函数概念其性质，函数式的变形，处理函数最值问题的基本方法，具有一定综合性。

3.拱桥问题

例3：（2006年，武汉，有改动）如图是一座下承钢管混凝土系杆拱桥，桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），拱助的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米，以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直坐标系。

（1）求抛物线的解析式；

（2）正间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由。

解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+c

由已知得F（70，42），B（140，0）

则42=4800a+c0=49600a+c 解得a=－■,c=56

所以抛物线的解析式为：y=－■x■+56

(2)当x=0时，y=56，所以OC=56（米），

当y=28时，即－■x■+56=28，

解得x=±70■。

因为相邻的系杆间距为5米，而70■÷5不为整数，所以不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半系杆。

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【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A

【文章编号】 1004―0463（2017）12―0119―01

二次函数是初中升高中必考的重点内容，也是学生学习的难点.其中涉及到五大学习目标： 会求函数解析式、会画函数图象、了解图象性质、会平移图象、会把一般式配方成顶点式，更涉及了许多思想方法.那么，如何帮助学生学好二次函数呢？下面，笔者谈谈自己的看法.

一、理解二次函数的内涵及本质

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）中含有两个变量x、y，只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解.而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形.若图象上某一点的横坐标为m（字母），那纵坐标可表示成y=am2+bm+c.

例1 在同一平面直角坐标系中画出下列函数图象并观察其有何变化规律？

①y=x2 ②y=x2+2 ③y=（x-3）2 ④y=（x-3）2+2

引导学生认真观察思考，从图象上可以很容易发现它们之间的变化规律：

从它们的图象上可知其形状大小一致都是抛物线，只是位置改变了，其变化规律其方法：就是用xx-h即设x=x-h.

y=ax2的对称轴是y轴即直线x=0.

当x=0时，有 x=x-h=0.

即y=a（x-h）2的对称轴是直线x=h顶点是（h，k）.

二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质

1. 通过描点，观察y=ax2、y=ax2+k、y=a（x+h）2图象的形状及位置，对各自图象的基本特征.反之，根据图象的特征能迅速判定它是哪一种解析式.

2. 理解D象的平移口诀“括号内加减左右移，括号外加减上下移”.y=ax2y=a（x+h）2+k “括号外加减上下移”是针对k而言的，“括号内加减左右移”是针对h而言的.总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同.由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移.如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移.平移时要区分清楚是在括号内加减，还是在括号外加减.

3. 通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的.我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中构画出它的图象，并知道图象的基本特征，这才能在真正意义上做到数形结合.

4. 在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数a、b、c、？驻以及由系数组成的代数式的符号等.在遇到比较复杂的代数式的符号判断时，可采用特殊值法处理.

三、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式

用待定系数法求二次函数的解析式是求解析式时最常规有效的方法.求解析式时往往可选择多种方法，如已知三个一般条件，可将函数关系式设为一般式；如已知顶点的任何一个坐标，可将函数关系式设为顶点式；如已知两交点坐标，可将函数关系式设为交点式；如顶点在坐标轴或原点时，可将函数关系式设为特殊式等.如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益.

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1、二次函数又是函数中的重要组成部分,所以我们要对它的基本概念和基本性质(单调性、奇偶性、周期性)及图像深入研究

2、次函数概念非常简单,但它具有丰富的内涵和外延.可以作为函数来研究,同时可以结合图形来研究.它是最基本的初等函数,我们可以以它为素材,来研究函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等性质,还可建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系;结合图形,二次函数的图象是一条抛物线,它可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系.

（来源：文章屋网 ）

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关键词:一次函数;二次函数;建模

中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)02-0139-01

一次函数、二次函数是两种常见的描述客观世界的基本数学模型,根据实际应用问题提供的两人变量的数量关系是否确定可把要构建的函数模型分为两类:一类是确定的函数模型,即两个变量的关系是确定的;另一类就是近似函数模型,这类应用题提供的变量关系是不确定的,只是给出了两个变量的几组对应值(是搜集或实验得到的),这时需结合已知数据作出散点图选择合适的函数模型来解答;

作为解答应用题其一般步骤为:①审题――认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模――求解所得的数学问题;④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中去。下面通过例题具体说明一次函数和二次函数在这方面的应用。

例1、某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每价0.12元,卖出的价格是每价0.20元,卖不掉的以每价0.04元退回报社,在一个月(30天)里,有20天每天可售400份,其余10天仅售250份。但每天从报社买进的份数必须相同,他应每天从报社购多少份,才能使每月所获利润最大?最大利润是多少?

思维展示:通过审题明确通过利润等于“售报收入”减去“退报亏损”构造函数模型,在这里明确自变量的取值范围即函数的定义域是解题的关键,一般情况下函数的定义域是由已知条件和实际意义二者结合决定的,在解答实际应用题忽视函数的定义域是常见的思维误区。

解析:设每天从报社购进x份(250≤x≤400),则每月售出(20x+250×100)份,退回10×(x-250)份。故据题意可知此人每月获利f(x)=0.08×(20x+250×100)-(0.12-0.04)×10×(x-250)=0.8x+400(250≤x≤400),因为函数y=f(x)在区间[250,400]上是增函数,所以当x=400时,f(x)max=720元。

答:应每天从报社购400份,才能使每月获利润最大。最大利润是720元。

例2、一地区95年年底沙漠面积为95万公顷,为了了解此地区沙漠面积的变化情况,进行了连续5年的观测,并将每年年底的观测结果记录于如下表中:

试根据上述信息进行预测:

(1)如果不采取任何措施,那么到2010年底,该地区的沙漠面积大约变为多少万公顷?

(2)如果从2000年底开始,采取植树造林等措施,每年改造0.6万公顷沙漠,那么到哪一年底该地区沙漠的面积能减少到90万公顷?

思维展示:本题需根据函数图象或对已知数据特点的分析,找出模拟函数的类型,再利用已知条件去求解和验证,解答此类问题的一般步骤是:提出问题――收集数据――描述数据――分析数据――建立模拟函数――求出函数――检验――解释问题、预测变化趋势等。

解析:(1)记1996―2000年分别为第1,2,3,4,5年,则由表可得沙漠面积年增加数y与年份之间的近似关系如图所示:

观察得y与年份的函数关系的图像近似为一直线,故设y=kx+b,则由0.2=k+b0.4=2k+b解得k=0.2b=0,故y=0.2x,因原有沙漠面积为95万公顷,则到2010年底沙漠面积将大约为万公顷。

(2)设从2000年底算起,第年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷,由题意可得:95+0.2(5+x)-0.6x=90解得x=15即到2015年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷。

例3、为降低人员成本,提高经济效益,有一家公司准备裁减人员,已知这家公司现有职工m(m>9)人,每人每年可创利n万元,据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年可创利0.2n万元,但公司需付下岗职员每人每年0.8n万元的生活费,试问为取得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?

思维展示:解决本题应做到如下两点:一是将公司获得的经济效益与公司裁员人数建立关系――即建立函数模型;二是问题转化为求解函数最值后,要注意对题目中的含有的字母进行必要的讨论才能顺利解答本题。

解析:设裁员人数x人,可获得的经济效益为y万元,则y=(m-x)(n+0.2nx)-0.8nx,整理得y=-■[x2-(m-9)x]+mn,故要使公司取得最大的经济效益即确定函数在定义域上的最大值,由于-■

答:当m为奇数时裁员■人公司效益最大,当m为偶数时裁员■时公司效益最大。

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1。若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）

A。抛物线开口向上

B。抛物线的对称轴是x=1

C。当x=1时，y的最大值为-4

D。抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0）

[TPJJ14。TIF；Z*2，Y]

2。y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1，那么下面6个代数式：abc，b2-4ac，a-b+c，a+b+c，2a-b，9a-4b中，值小于0的有（ ）

A。1个 [WB]B。2个

C。3个[DW]D。4个

3。由二次函数y=2（x-3）2+1，可知（ ）

A。其最小值为1

B。其图象的对称轴为直线x=-3

C。其图象的开口向下

D。当x

4。函数y=-a（x+a）与y=-ax2（a≠0）在同一坐标系上的图象是（ ）

5。如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（[SX（]1[]2[SX）]，1），下列结论：①ac

图2

A。1[DW]B。2

C。3[DW]D。4

6。把二次函数y=12x2+3x+52的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是（ ）

A。（-1，1）[DW]B。（1，-5）

C。（-5，1）[DW]D。（-1，3）

[TPjj17。TIF；Z*2，Y]

图3

7。已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，有下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>12；④b

A。①② B。②③

C。②④ D。③④

8。下列函数中，①y=-ax2（a>0）；②y=（a-1）x2（a0时，y随x增大而减小，这两个特征的有（ ）

A。1个[DW]B。2个

C。3个[DW]D。4个

9。已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图4，则下列结论中正确的是（ ）

[TPjj18。TIF，BP#]

图4

A。a>0

B。当x>1时，y随x的增大而增大

C。c

D。3是方程ax2+bx+c=0的一个根

10。如图5，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC。则下列结论：

[TPjj18-1。TIF，BP#]

图5

①abc0；③ac-b+1=0；④OA・OB=-[SX（]c[]a[SX）]。其中正确结论的个数是（ ）

A。4[DW]B。3

C。2[DW]D。1

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

11。若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=x2-9x-60的图象关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为[CD#4]。

12。抛物线y=-x2+3x-2在y轴上的截距是[CD#4]，与x轴的交点坐标是[CD#4]。

13。把函数y=-3x2的图象沿x轴对折，所得图象的函数式为[CD#4]。

14。将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是[CD#4]。

15。函数y=ax2与直线y=kx+1相交于两点，其中一点的坐标为（1，4），则另一个点的坐标为[CD#4]。

16。将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=-2x2-4x+5，则原抛物线的顶点坐标是[CD#4]。

[TS（][JZ]T5"H]图6

17。若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图6，则直线y=abx+c不经过[CD#4]象限。

18。若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是[CD#4]。

19。已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是[CD#4]。

20。请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当x5时，y随x的增大而减小。这样的二次函数的解析式可以是[CD#4]。

三。解答题（本大题共60分）

21。（9分）已知抛物线y=[SX（]1[]2[SX）]x2+x+c与x轴有两个不同的交点。

（1）求c的取值范围；

（2）抛物线y=[SX（]1[]2[SX）]x2+x+c与x轴两交点的距离为2，求c的值。

22。（9分）如图7，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B。

图7

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式。

23。（9分）已知：二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P（-2，5）。

（1）求b的值，并写出当1

（2）设点P1（m，y1），P2（m+1，y2），P3（m+2，y3）在这个二次函数的图象上。

①当m=4时，y1，y2，y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由。

②当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由。

24。（10分）某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图8），一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示，其中6月份成本最高（如图9）。

根据图象提供的信息解答下面问题：

（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价-成本）

（2）求出图9中表示的一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？

25。（11分）如图10，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）。

图10

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。

图11

26。（12分）如图11，已知抛物线y=x2+kx+b经过点P（2，-3），Q（-1，0）。

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一、二次函数在给定范围上的最值

例1 求二次函数y=x2-2x-5在0≤x≤3上的最值.

解：在函数中顶点坐标（1，-6）.注意函数顶点处于自变量的范围.函数在顶点与端点处的函数值作比较，当x=1时y的值是-6，当x=0时，y的值是-5，当x=3时，y的值是-2.得到y=x2-2x-5在0≤x≤3中最小值与最大值分别是-6和-2.

二次函数在实数范围内是连续的，在任意的闭区间上，它都是存在最大值和最小值，其注意点就是首先确定二次函数的顶点存在的范围.如果在顶点的一侧是给定的范围（包括两个端点），则最值就是端点处的函数值.如y=x2-2x-5在2≤x≤5内，x=2时存在最小值y=-5，x=5时存在最大值y=10，这时2≤x≤5处于顶点的右面，函数在2≤x≤5上面则为单调递增.

二、有字母系数的二次函数的最值

如果在二次函数中y=ax2+bx+c （a≠0）的系数a，b，c中至少有一个变动的系数，称之为含字母系数的二次函数.这时，y不仅仅是自变量x的函数，与此同时跟着变系数的取值不同而发生变化.含字母系数二次函数所表达的曲线是一条抛物线，解答这种二次函数的最值问题，一般基本的步骤都是先将字母系数作为一个普通的常数看待，用以求出顶点坐标的表达公式，接下来根据顶点处于自变量中的不同地方，进行分类解答.

例2

求y=-x（x-a）在-1≤x≤1在下面三种情形的最大值.（1）a2.

在本题中，给出了带有字母系数a的二次函数，题目条件已经明确设定了它不同的取值范围.由此，当求解最大值时，可以针对a的限制范围来分别求得端点与顶点处函数值的大小.当然，为了使直观性增强，可以画图，凭借图形进行讨论.

解：二次函数的顶点坐标为（a/2，a2/4）.

（1）a

（2）-2≤a≤2.这时-1≤a/2≤1，即顶点的范围在-1≤x≤1中，所以，y的最大值在顶点处.所以x=a/2时，y得到最大值a2/4.

（3）a2.这时a/2>1，所以给定了范围（-1≤x≤1）的位置在抛物线的顶点左面，y=-x（x-a）在-1≤x≤1上面是单调递增的.所以，当x=1时，y得到最大值a-1.

由上面的例子的解答方法可以得知，一个有最大值的二次函数当其中含有字母时，顶点不在给定范围中（包括两侧的端点），最大值是两端点中的一个数；顶点处于给定范围中，顶点处于的位置，就是取得的最大值.

三、函数最值的应用

实际生活中，多多少少会遇到一些如怎样使用材料最省，怎样花销最小，怎样利润最高等等问题.这种问题，归纳与二次函数的最值问题，在中考，运用二次函数的方法解决实际问题是重点考点，此类试题经常结合于实际将社会热点问题为背景，考查是否能够灵活运用所学知识解决现实生活问题.

例3

客房部将60个房间供应游客居住，每个房间为每天200元的定价时，房间将被住满.每个间房间的定价每提高10元时，将会空闲出一间房，宾馆要对每个房间支出各种费用设施20元，每个房间的定价提高x元，求解：

（1）房间每天的入住量y（间）与x（元）的函数关系式；

（2）每天房间的收费z（元）与x（元）的函数关系式；

（3）客房部利润w（元）与x（元）的函数关系式；当w有最大的值，每个房间的定价是多少？最大值为多少？

这种问题解决关键就是得到定价提高，该宾馆每天的入住量，此类型试题都能转化为二次函数的最值问题，二次函数画图、性质便于这种问题快速解决.

解：（1）y=60-x/10.

（2）z=（200+x）（60-x/10）=（-1/10）x2+40x=12000.

（3）w=（200+x-20）（60-x/10）=（-1/10）x2+42x+10800=（-1/10）（x-210）2+15210；当x=210时，w存在最大值.这时x+210=410，w要有最大值15210，每个房间定价410元.

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关键词 高中数学 二次函数 无可取代

中图分类号：G633.62 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.03.017

Abstract The quadratic function is one of the most important functions of middle school mathematics. It is in the whole stage of high school mathematics. Quadratic function can be seen everywhere， it is more important to image plays a very intuitive role in solving the problem， can be some complex mathematical problems into intuitive mathematics paper map， is the concrete application of a class of high school mathematics with thought. Quadratic function of the omnipresent and can not be replaced in （1） required a monotonicity parity in the domain of the functions and the values inside the embodiment， the roots of the equation and function of zero （2） required five series in arithmetic n series before and in one of the two inequalities and its solution in the dripping in （3） combined with comprehensive problems everywhere in elective in conic and the derivative of the more exciting.

Keywords high school mathematics； quadratic function； no substitution

我来介绍下二次函数在各部分的精彩表现。

首先我们先来看下中学阶段二次函数（）=++（≠0）的主要知识点：①二次函数图像的对称轴：直线=；② 二次函数图像的开口方向：a>0时开口向上：a0两个交点（1，0），（2，0）；当=0时有一个交点（0，0）；当

通过多年的高中数学教学，遇到应用二次函数解题的一些题型，有的题目如果不用二次函数图像学生很少会解出来，若用二次函数图像求解，问题不仅直观，而且显得很简单。

二次函数的图像如图1（下面是>0，

接下来我们看看二次函数在我们高中阶段是如何无处不在的。

1 二次函数在函数性质里面的体现

在函数单调性、最值以及奇偶性中的体现：

人教版必修一在讲函数单调性的新课时候首先是让学生观察二次函（）=图像（图2）。

图像在y轴左侧“下降”，也就是说，在区间（∞，0]上（）随着的增大而减小；图像在y轴的右侧“上升”，也就是说，在区间[0，+∞）上（）随着的增大而减大。从而引出本节课的重点（也是高中阶段函数性质的重点之一）――函数的单调性。

也就是说学生需要对函数（）=的熟知情况下才能顺利的往下学这节课。

（2）如图3所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？

二次函数的重要性，我们通过教材的编写就可以很直接的体会。

2二次函数在数列中的体现

等差数列{}的前项和的公式：=+=+（）也就是说等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数

必修5课本第44页例3：已知数列{}的前n项和为=+，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是它的首项和公差分别是什么？

在这里数列的前n项和是一个关于n的二次函数。

接下来就45页的探究：一般地，如果一个数列{}的前项和=++，其中，，为常数，且≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

经过研究我们发现，当r=0时数列{}是首项=+公差的等差数列。当≠0时，数列从第二项起是等差数列

例 已知等差数列5，4，3的前项和，求使得最大的序号的值。

分析：等差数列的前项和公式可以写成=+（），所以可以看成函数=+（）（∈N*）当=时的函数值，另一方面，容易知道是的图像是一条抛物线上的一些点。因此，我们可以利用二次函数来求的值。

我们可以画出的图像（图4），验证上述的结论

3应用二次函数图像及其方程解决一元二次不等式

一元二次不等式++>0或++0）的解集。我们可以有函数的零点与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图像与轴相关位置确定一元二次不等式的解集。我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式++>0或++0）的解集。

二次函数在高中必修课本里面真所谓无处不在，以上举出的例题及其原理都必须掌握可见其重要性无可替代。接下来笔者继续介绍二次函数在选修中又是如何体现其的重要性。

4 二次函数在圆锥曲线中的地位

众所周知，圆锥曲线是高考的重点考查对象，那么它考查跟我们二次函数的知识点又有什么联系呢？

分析：这题的第二步联立直线与曲线的方程消元化简后得到一个关于的一元二次方程。接下来根据二次函数方程++=0（≠0）根与系数的关系：+=I6=得到+=，I6=，这一步起到至关重要的作用，若是没有这个接下来题目也就没法往下解答。纵观近几年高考，不管是全国卷还是各省自己命题的试卷只要有考直线与圆锥曲线都离不开应用二次函数根与系数的关系来解答。也就是说，二次函数在平面解析几何中也起到了至关重要的作用。

5 二次函数在导数中的体现

二次函数在导数的题目里面出现也是不容小觑的，无论是应用导数求单调性还是最值的题目里二次函数随可见。可以说二次函数就是桥梁，它把新的知识和旧知识联系在一起。

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学习函数知识，概念是最基础的，首先要理解一个函数的定义和概念，才能够从根本上深入了解二次函数就是只含有一个未知量，并且这个未知量的最高次幂是2．通常学生会认为，二次函数的表达式为“y=ax2+bx+c”．这样的表达式，真的能够完全代表二次函数吗?教师可以让学生根据二次函数的概念进行深入的分析和讨论，要重点强调“二次函数”这一特征，让学生能够和学过的知识有所区分，根据对公式的理解和观察，学生能够举出反例，当表达式中的系数a等于0的时候，那么函数表达式就变成了“y=bx+c”，这并不符合二次函数的概念．所以说，对于上面的公式还要加上约束条件才能够成立．y=ax2+bx+c，当其中的a≠0的时候，才能够满足二次函数的定义．通过对概念的分析和理解，学生能够更加清楚地了解二次函数．当学生出现理解错误的时候，教师要及时进行正确的指导，帮助学生改正错误，要让学生对未知量的系数以及未知量的存在有更加清楚的认识，考虑问题的时候更加全面和细致，这对学生的学习和发展也是有帮助的．

二、采用数形结合法，帮助学生理解

数形结合法是数学教学中比较常用的一种教学方法，其目的就是帮助学生理解数学知识，将抽象的数学概念转化成可见的图形形式．图象和数学分析运算结合在一起来解决问题，给学生建立一个更加清晰的数学模型．在二次函数的学习过程中，对于图象的认识和学习也是非常关键的．图象能够清晰地反映出函数的基本性质以及特点，教师不能忽视图象对于学生学习的重要性，在教学过程中通过绘制图形的形式帮助学生理解和学次函数知识．在观察图形的过程中，学生能够了解到函数的具体性质．采用数形结合的思想，能够帮助学生仔细地研究和分析，从图形的变化中发现函数的性质规律．例如，在已知条件中给出二次函数抛物线的表达式y=x2+bx+c的对称轴是x=2，A、B两点都在抛物线上，并且这两点连成的线与x轴是平行的，其中A点的坐标是(0，3)，那么B点的坐标是什么?对这道题目而言，如果只是单从xyx=2ABO题目本身来看，学生很难计算出B点的坐标．这道题目就是典型的应用数形结合思想的．首先应该根据题目的要求绘制出二次函数的图形，如图，根据图形上显示的信息，学生可以判断出A、B两点的纵坐标应该是相同的，现在已知的是A点的坐标，根据图象的显示，B点在第一象限内，所以说B点的横坐标应该是位于x轴的正半轴上．由于点A在抛物线上，根据A点的坐标(0，3)可以知道，C=3，根据对称轴是x=2，可以求出b=－4，所以x=0或x=4两个结果，x=0的时候就与点A重合了，所以说不可能，那么正确的答案就是x=4，所以说B点的坐标就应该是(4，3)．

三、提出问题，让学生进行讨论探究

数学具有探究性以及实践性．在学习过程中，教师要培养学生的探究意识，在二次函数知识学习的过程中也是一样．教师可以根据生活中的实际现象向学生提出问题，让学生探究讨论．学生通过讨论分析解决问题后，会对这部分的知识印象特别深刻．要想让学生掌握函数知识，就需要将这些知识点进行展开探究，才能够深入挖掘其中的内涵．在课堂开始的阶段，教师可以采取提出问题的方式吸引学生的注意力．例如，教师可以在课堂的开始阶段，提问:在生活中有没有看见过拱桥?这样贴近生活的话题，会引发学生的共鸣．当学生回想拱桥的形状之后，教师可以接着提问:现在有一座拱桥要跨过一条宽8m的河流，河中央支撑桥体的柱子为4m高，现在想要在距离河岸各2m的地方分别支撑一根柱子，那么这根柱子的高度因该是多少?这是一个涉及到实际生活的问题，学生可以根据教师的描述在脑海中形成画面，然后积极探讨和研究解决问题的方法．教师可以适当地将学生向二次函数的方向来引导．通过分析研究，学生发现可以将拱桥看成是二次函数，将河中央的柱子看成是对称轴，以河为x轴，柱子为y轴建立直角坐标系，那么可以首先求出二次函数的表达式，然后根据要求的柱子的横坐标求出柱子的高度．

四、总结

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一、提高二次函数认识

相对于初中数学其他知识而言，二次函数研究的是自变量与因变量之间的关系，比较抽象，学生理解难度大．研究发现，部分学生不注重二次函数基础概念的学习与理解，因此，解答二次函数相关题目时常常出现一些不该出现的问题．因此，初中数学教学实践中，教师应提高课堂教学效率，加深学生对二次函数基础知识的认识与理解，防止在解答二次函数题目时因考虑不全而得出错误结论．因此，二次函数教学实践中，教师应提高学生对二次函数的认识，提醒学生二次函数满足的条件是a≠0．但初中数学题型复杂多变，仅仅记住a≠0并不一定正确的解答出题目，正如文中的例子．这就要求学生在加深二次函数基础知识深刻理解的同时，应注重分析问题的全面性，不应因学习了二次函数，导致思维定势而得出错误结论．

二、注重经典题型讲解

初中阶段有关二次函数的经典题型很多，考查学生掌握二次函数知识较为全面，因此，教师应注重讲解一些经典题型，提高学生对二次函数的理解能力，使学生掌握二次函数精髓．另外，在讲解一些经典题型时应注重多角度地对经典题型进行分析，使学生理解经典题型经典在何处，即，题目考查了哪些知识，在此题目基础上还能进行怎么变换等，使学生触类旁通，做到讲解一道题，学生会一类题，如此才能达到事半功倍的教学效果．

1．二次函数图象平移

二次函数图象平移题目在初中各阶段测试中出现频率较高，部分学生因未掌握相关的解题技巧，导致无法正确解答出相关题目．另外，为方便解答该类型的题目，部分教师总结了二次函数平移的一些规律，如“上加下减，左加右减”，但在解答题目过程中，部分学生未充分理解导致解题出错．

2．二次函数图象与一次函数图象的交点

初中数学二次函数教学实践中，另一经典题型则是二次函数图象与一次函数图象交点问题．由于该类题型具有一定综合性，难度较大，学生得分率较低，因此，教师应将其当做教学的重点加以讲解，使学生彻底掌握该类题型的解法．

三、鼓励二次函数应用

二次函数与生活密切相关，因此，为提高学生利用二次函数解决实际问题的能力，教学实践中教师应注重二次函数知识应用的讲解，使学生学有所用，体会到学次函数的成就感，树立学次函数的积极性与自信心．研究发现，部分学生在利用二次函数解决实际问题时，因无法建立实际问题与二次函数之间的关系，而无法解答出相关题目．为此，教学实践中，教师应多进行引导．

四、强调反思与总结