复数的概念范文
时间：2023-03-17 12:24:34
导语：如何才能写好一篇复数的概念，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
(1)掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;
(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力.
教学建议
(一)教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.
2、重点、难点分析
(1)正确复数的实部与虚部
对于复数，实部是，虚部是.注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数。
说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：
注意分清复数分类中的界限：
①设，则为实数
②为虚数
③且。
④为纯虚数且
(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意：
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数，即
(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：
①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对()叫做复数的.
②复数用复平面内的点Z()表示.复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是.由于=0+1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度.
③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数.但当时，是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴.
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.
④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写.要学生注意.
(5)关于共轭复数的概念
设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数(不能认为与或是共轭复数).
教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和-5也是互为共轭复数.当时，与互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行.
(6)复数能否比较大小
教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么.两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小.
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：
(i)对于任意两个实数a，b来说，a
(ii)如果a
(iii)如果a
(iv)如果a0，那么ac
(二)教法建议
1.要注意知识的连续性：复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系.
2.注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想.
3.注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答.
复数的有关概念
教学目标
1.了解复数的实部，虚部;
2.掌握复数相等的意义;
3.了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数.
教学重点
复数的概念，复数相等的充要条件.
教学难点
用复平面内的点表示复数M.
教学用具：直尺
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习提问：
1.复数的定义。
2.虚数单位。
二、讲授新课
1.复数的实部和虚部：
复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2.复数相等
如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
即：的充要条件是且。
例如：的充要条件是且。
例1：已知其中，求x与y.
解：根据复数相等的意义，得方程组：
例2：m是什么实数时，复数,
(1)是实数，(2)是虚数，(3)是纯虚数.
解：
(1)时，z是实数,
,或.
(2)时，z是虚数,
，且
(3)且时，
z是纯虚数.
3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面.
复数可用点来表示.(如图)其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上.
4.复数的几何意义：
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.
5.共轭复数
(1)当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
(2)复数z的共轭复数用表示.若，则：;
(3)实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数.
(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称.
三、练习1,2,3,4.
四、小结：
1.在理解复数的有关概念时应注意：
(1)明确什么是复数的实部与虚部;
(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
(3)弄清复平面与复数的几何意义;
(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
2.复
数集与复平面上的点注意事项：
(1)复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
(2)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
(3)表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
(4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：
五、作业1,2,3,4,
六、板书设计：
§8,2复数的有关概念
篇2
数学概念是数学知识的重要组成部分，而数学概念的复习又是掌握、理解数学的关键也是能否灵活运用公式、法则、定理，增强解题能力的基础。因此，在总复习中紧紧抓住概念复习，是提高复习效果的重要手段，现将我的具体做法分述如下：
一 、利用填表格，复习基本概念
对于一些相关而又容易混淆的概念。复习的方法是给出表格，指导学生灵活填写，对学生容易忽视的地方、概念间的联系、各自的差异，老师重点讲解使学生即准确理解，又串联了有关概念的联系，简便易记。
二 、选择典型题，构成由浅入深的“题”组，加深对概念的理解
选择概念性、典型性强的题组，可以取得以少胜多的效果。选习题组，针对性要强，覆盖面要广，习题的排列要由易到难、题型多样，形成适当梯度题组，数形结合，便于分析，灵活掌握，这样可以缩短解题过程，加深对概念本质的理解。
（一） 填空 ：
1、a（ ） 0 2、b （ ）0
3、a+b（ ）0 4、b―a（ ）0
5、|a+b|（ ）0 6、|a―b|（ ）0
7：√a2=（ ） 8、√c2=（ ）
（二）化简 |a+c|+|b+d|―|a+b| √（a―b）2
说明：1、这组题，使形式对绝对值和算术平方根两个概念有了更进一步的深刻准确的理解和运用。
2、归纳出初中数学非负数的三种常用表达式：即a为实数，a2≥0，|a|≥0，a≥0时，√a≥0。
三、利用基本练习题，巩固概念
复习某一概念时可以选择一些目的单一、运算简单的基本练习题，限时要求学生完成，通过解题加深和巩固概念的理解，熟习对公式、法则的应用，重点是公式的应用训练，这种专一强化的每一次练习，使学生思想上牢牢地印上一个概念。
四、使用类比型提问，实现概念的准确性
所谓类比型提问，即是对类似而又有区别的概念、性质公式、法则等，注意相同点以建立联系，更突出不同点，不使混淆，也便严密理解，正确运用。如在复习根式一章时，我提出：根式、二次根式、奇项根式、偶项根式、同项根式、异项根式、同类根式以及最简根式在概念及意义作用诸方面有何相同点、不同点，引导学生展开讨论。然后进行归纳和解答。
五、重点内容，采用专题型提问，归纳相关定律
问题是思维活动的起点和动力，发展思维是发展智能的核心，专题提问，经过学生动脑、动口、动手所进行的归纳，其广阔性、深刻性、敏捷性和灵活性大大增强。例如在复习《相似形》一章时，提出两个问题：
1、本章中哪些定义、定理、推论的结论是比例线段？
2、当遇到题目是比例线段时如何思考？经过10多分钟的讨论，归纳出有9条定义、定理、推论的结论可以 产生比例线段。求证比例线段的方法一般有三种：
1、纵看、横看若四条线段分布在两个三角形中，则证这两个三角形相似即得结论；
2根据题目条件，适当作平行线，制造可用的比例线段，以求问题的最后解决；
3若要证明的四条比例线段在同一直线上，则要引进“之间比”等量代换可得。
六、通过一题多解提高学生学习概念，运用概念的自觉性和分析问题的能力
篇3
摘要：《平均数》教学看似简单，其实不然，很多教师将它作为应用题教学，更是曲解了教材的编写意图。其实学习求平均数，要学习的知识点很多：为什么要学习平均数？它有什么特点和作用？求平均数的方法有哪些？生活中有什么地方要用到平均数？这些都是应该关注的问题。
关键词 ：概念性；特点；方法
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）15-0033-02
笔者在“东营市小学数学青年教师重点培养对象”评选中执教了《平均数》一课。刚看到这个课题时，笔者非常兴奋，觉得这部分内容很简单。在备课的过程中，认为只要学生对基本的数量关系式：总份数÷份数=平均数，牢牢掌握就可以了。在磨课时，笔者也急于将求平均数的规律抛给学生，认为只要学生掌握了关系式，就能解决所有的问题了。事实上，笔者曲解了教材的编写意图。
后来，笔者查阅了大量有关平均数的资料，又经过反复备课，发现其实学生学习“平均数”，要学习的知识点很多，包括：平均数产生的意义，平均数有什么特点和作用，求平均数的方法有哪些，生活中什么地方要用到平均数……这些都是本节课应该关注的问题。基于以上几点认识：在教学时，笔者选择与学生息息相关的“争夺小明星”的事例来吸引学生，激发学生的学习兴趣，同时渗透生活中处处有数学的理念。
首先，对教材进行分析，确定教学目标。例1：理解平均数含义，掌握计算法；例2：体会平均数在统计学中的作用。确定好目标以后，就可以进行分析：
平均数的意义包含以下内容：
一、带着
关键词 语进课堂
本节课的教学任务可以概括为7个
关键词 。
1.代表性：平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。平均数不同于原始数据中的每一个数据（虽然碰巧可能等于某个原始数据），但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的平均水平。要对两组数据的总体水平进行比较，就可以比较这两组数据的平均数，因为平均数具有良好的代表性，不仅便于比较，而且公平。
2.虚拟性：平均数的概念与过去学过的平均分的意义是不完全一样的，平均数是一个“虚拟”的数，是借助平均分的意义通过计算得到的。如把12块糖平均分给3个孩子，平均每人分得4块，这个“4块”是每个孩子实际分得的数；如果说3个孩子一共有12块糖，平均每个孩子有4块，这个“4块”就是平均数，因为不一定每个孩子都有4块糖。由于平均数不是一个“真实”的值，所以要充分利用教具、学具，用直观的方式帮助学生理解平均数的含义。
3.集中趋向性：表现为平均数的大小是在最大数与最小数之间的一个数。
4.敏感性：平均数的敏感性是指一组数的平均数易受这组数据中的每一个数据的影响，可以说“稍有风吹草动就能带来平均数的变化”。
5.移多补少：通过观察、比较，找出哪组多，多几个，然后把多的一部分平均分成几份，其中的一份补给少的那一组，这样几组物体的数量同样多，这就叫移多补少。
6.先合后分：先算出总数，然后用总数÷总份数。
7.设置基准数：以最小的数为标准，将多出来的合在一起进行平均分，然后将基准数与平分得到的数相加。
二、怎样让学生体会平均数产生的必要性
第一次磨课：为了“教”而“教”
出示教师分配跳绳的情境图：4位学生拿的跳绳数量分别是7、5、8、4根。
学生争论：你们组拿了8根，我们组只有4根，这样分不公平。
师：对呀，这样分不公平。要使每个小组拿到的跳绳同样多，怎么办呢？你们愿意帮帮他们吗？现在就以小组为单位，用桌面上的圆片代替跳绳摆一摆、分一分，使这几个小组拿到的跳绳一样多，好吗？现在开始。
（学生动手分配学具。）
师：你愿意把你的想法展示给大家吗？
生1：重新分，把这些跳绳平均分成4份。
师：像这个同学说的先合起来再平均分，这种方法可以取个什么名字？
生：先求和再平分。
师：我们可以把它概括为：先合后分。（板书：先合后分）
生2：把多出来的补给少的。
师：把多的补给少的，那这种方法可以取个什么名字呢？
生：取长补短。
生：取多补少。
生：移多补少。
师：意思都差不多。我们把这种方法称为：移多补少（板书：移多补少）。
师：开始几个小组拿的跳绳一样多吗？在数量上我们说不相等。后来我们经过移多补少、先合后分等方法，（演示分的过程）使得每个小组拿到的跳绳一样多。那么这个一样多的数，给它起个什么名字呢？（教师板书：平均数）。
接着，让学生体会平均数的虚拟性和趋向性，因为时间关系，没能让学生体会到平均数的敏感性。
问题研讨。课后发现：学生为什么要学习平均数？平均数是什么？学生对此仍然不清楚，整个环节都是跟着教师走。
第二次磨课：为了“学”而“教”
出示班中学生的得星情况：
1.根据小红和小明的得星情况评选听课小明星。
A.出示星期一的得星情况。
师：星期一谁的表现好？
生：小明。因为7>4。
师：刚才他用“一一对应”的方法比较出了他俩的表现情况。
B.出示两天的得星情况。
师：现在谁的表现好？
生：一样好，因为7+5=12，4+8=12。
师：刚才他用求和的方法比较出了他俩的表现情况。
C.出示一周的得星情况。
师：现在谁的表现好？
生1：小红。因为她一共得了25颗星，而小明只有24颗。
生2：小红的也只能算4天的，因为小明只有4天。
生3：这两种计算方法都不公平。
师：那怎么办呢？我们现在先来看小明的得星情况。你能想办法知道小红平均每天得到几颗星吗？现在请你用圆片代替小星星，摆一摆、试一试。
学生在后面出现了各种求平均数的方法。
问题研讨：以认知冲突，使学生感受到平均数产生的必要。但学生没有体会到平均数的“代表性”。即：为什么要将小红每天得到的星星变得同样多？为什么同样多之后才能进行比较？基于以上思考，我们进行了第三次磨课。
第三次磨课：为了“学”而“学”
出示班中学生的得星情况：
1.根据小红和小明的得星情况评选学习小明星。
A.出示周一的得星情况。
师：星期一谁的表现好？
生：小明。因为7>5。
师：刚才他用一一对应的方法比较出了他俩的表现情况。
B.出示两天的得星情况。
师：现在谁的表现好？
生：小明。因为7+5=12，5+5=10。
师：刚才他用求和的方法比较出了他俩的表现情况。
C.出示一周的得星情况。
师：现在谁的表现好？
生1：小红。因为她一共得了25颗星，而小明只有24颗。
生2：小红的也只能算4天的，因为小明只有4天。
生3：这样比较不公平，小红星期五得到的星星特别多，如果只算到周四太可惜了。
生4：如果使他们各自每天得到的星星变得一样多就好比较了。
（学生产生了认知冲突，从而体会到了学习平均数的重要性及平均数所具有的代表性。）
师：对。如果他们每天得到的星星一样多，不管出勤几天就都容易比较了。
生5：老师我有办法了。因为把6移给4，一颗星，小红平均每天得到5颗星。小明7移给5，1颗星；8移给4，2颗星，这样平均每天是6颗星，平均每天得到的星星应该比5多。
师：这位同学说得对吗？现在请你利用手的材料（象形统计图、圆片），试一试能不能解决这个问题。
学生纷纷投入到探索中，各种计算平均数的方法也相应而出。
问题研讨：学生不仅感受到了平均数产生的必要，而且体验到了平均数的“代表性”。即：为什么要将小红每天得到的星星变得同样多？因为它可以代表小红的一般水平。同时，学生在产生认知冲突后，可以自主选择学具进行问题的研究，充分体现了学生在课堂中的主体性。
三、在实践中体验平均数算法的多样化
很多教师只为得出平均数的求法，建构解题模型，为后续解决“平均数应用题”服务。对于“平均数的求法”，虽然由于学生有“平均分”知识和生活常识为起点，求简单数据的平均数已经不成为学生学习的重点、难点。但在教学“移多补少”这个方法的同时，更应该借助学具、课件等，让学生直观感知求“平均数”的算法具有多样化的特点。
基于以上特点，在实际的教学过程中，笔者发现学生看到象形统计图想到的方法只有一个：移多补少。为了便于学生理解更多的求平均数的方法，笔者给学生提供了两种材料：象形统计图和实物圆片。学生可以借助圆片摆一摆、分一分，使每份变得同样多。在操作过程中，学生的算法出现了多样化：有的学生选择象形统计图，直接在象形统计图上画一画、补一补；有的学生选择用圆片摆一摆、分一分，在摆和分的过程中，出现了“移多补少”、“先合后分”及“设置基准数（以最小的数为标准，将多出来的合在一起，再平分）”的方法；也有学生选择了列式计算的方法。在探究求平均数方法的过程中，学生的直觉思维借助直观教学得到了最大化发展。
由此看出，《平均数》是一个非常抽象的概念性教学。教材给出的主题图看似应用题教学，其实不然，因此，要想完成设定的教学目标，可不是一件易事。教师首先要深挖教材，其次找准学生的知识生长点，才能真正使学生掌握有效的知识，从而给予学生学习的“支点”。
参考文献：
篇4
一、思维导图是一种表达放射性思维的图形思维工具，其特点主要有以下几个方面
（一）有助于知识的记忆和理解，有利于知识的加工和组织
思维导图非常简洁，在关键词之间留出了大量空隙，学习者易于在关键词之间展开丰富的联想，在潜移默化中锻炼了记忆能力。思维导图将关键词与图像联系起来，运用知识的多种表达方式，将抽象的思维过程可视化、直观化、网络化，有利于大脑的记忆，有助于知识的加工和组织。思维导图在关键词之间建立联系，使关键词更加显眼，做到了重点突出，使重要的内容不至于埋没于大量的不重要的词汇之中，学习者可以集中精力于真正重要的问题。另外，思维导图是一种自然的思维方式，能建立新旧知识之间的联系，有助于新旧知识的整合。而一旦导图绘制完成，以后再复习时就可节省大量的时间，从而提高学习的效率。
（二）有助于养成系统的学习和思维习惯
思维导图是一种放射性思维方式，长期使用有助于养成系统的学习和思维习惯。
（三）有助于培养学习者合作交流的习惯
思维导图提供了一种合作交流的工具，学习者将自己的想法用图画的形式表达出来，与他人交流、讨论。另外，学习者之间可以合作绘图，培养合作精神。
（四）有助于创造力的培养
思维导图的放射性有助于在并列在图中的关键词之间产生灵活的联想，有助于创造力的培养。
（五）有助于学习者的主体参与程度
学习者在绘制思维导图的过程中，需要收集并阅读大量资料，概括出主题关键词，然后展开丰富联想。学习者不再是被动地接受知识，而是积极主动地建构所学知识。
中学数学基础知识是指“标准”中规定的代数、几何、微积分、概率与统计等的概念、定理、公式、法则、性质以及由内容所反映的数学思想和方法。其中，概念、定理、公式、法则、性质是陈述性知识，数学思想和方法属于程序性知识，数学基础知识与数学基本技能就是传统所讲的“数学双基”。本文重在探讨利用思维导图对数学基础知识的复习整理，对于数学基本技能的复习不做探讨。
利用思维导图指导学生数学基础知识的复习整理，应以教材知识的拓展加深、按知识的内在联系构建科学的知识网络体系、优化数学认知结构为目的。在具体复习整理时，还应引导学生思考知识的发生、发展过程；数学概念、公式、定理的归纳、概括和证明过程；值得研究的问题以及解决问题的方法的孕育、尝试和形成过程。复习整理时既要从整体上表现概念系中各个组成部分的关系，突出重点和关键部分，也要从细节上把握局部知识。
二、以概念、命题为例说明如何利用思维导图进行整理复习
（一）利用思维导图指导学生对概念进行整理复习
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，主要由原始概念和基本概念组成，是数学知识的最基本形式。要深入理解一个数学概念，可以从以下几个方面去认识。
1.概念的相关背景，即知识的发生发展过程、来龙去脉。只有这样，学生对学到的数学知识才不会感到突兀，不是无中生有的，它是源于各种需要的。
2.举出概念的典型正反例证、概念的特例、概念的变式。以此区分容易混淆的概念，把握概念的内涵的各个方面，识别概念外延的不同表现形式，在应用概念时才不会张冠李戴。
3.把握概念的各种表征形式（代数表征、几何表征等）、概念的等价定义，形成概念域，掌握其本质。这样学生就能够在概念的不同表征形式之间灵活转换，提高知识的迁移识别能力。
4.思考“上位”的概念是什么，“下位”的概念是什么，与以前学过的哪些概念有内在联系，与之相似的概念要进行对比辨析，以形成具有内存联系的、清晰可变的概念体系。例如，方程与函数、不等式的区别与联系，方程的曲线与函数图象的关系等。
5.思考此概念常与哪些概念构成哪些命题，其中的关系怎样，能解决什么问题，具体步骤是什么等。
6.概念本身蕴含的数学思想方法是什么，这些思想方法在解决问题时有什么指导作用。
7.概念的类比是什么。常见的有二维到多维的推广，如平面上的概念推广到空间中；加法运算与乘法运算的类比；等比数列与等差数列的类比等。这样就拓宽了概念的体系，加强了对概念本质的理解。
8.概念的应用。概念的应用分为概念在知觉水平上的应用和概念在思维水平上的应用。应通过设置不同层次、不同思维水平的题目巩固概念。设置一些简单题目考查对概念的识别，设置一些综合性题目考查概念在思维水平上的应用。一些典型的例题要找出来，还要注意概念在实际生活中的应用。
这样就从不同角度、不同层面上认识了概念，形成了一个概念系统。在应用概念解决问题时，就容易展开联想，形成解题思路。
（二）利用思维导图指导学生对命题进行整理复习
命题包括公理、定理、公式、法则等。数学命题是由数学概念组合而成的，反映了数学概念之间的关系。要理解一个命题，应从以下几个方面入手。
1.命题的起源或背景是什么，命题是为了研究什么问题产生的。
2.命题的证明方法是什么，方法是如何想到的，其中蕴含着什么数学思想。
3.构成命题的概念是什么。每个概念的含义都要弄清楚，还要明辨这些概念之间是什么关系。
4.命题的表征。代数表征是什么，几何表征是什么。命题的变式有哪些，命题的推论，命题的特例或推广是什么。
5.命题的应用，即该命题能解决什么样的问题。可以想还有哪些命题也能解决这种问题，这些命题与该命题有什么区别、联系。还有，命题应用的范围或条件是什么。
利用思维导图指导学生对概念、命题进行整理复习时，首先应选择一个核心概念作为中心主题，然后从以上几个方面去思考，进行发散，当然不是每一个概念都需从八个方面分别扩展。另外，在画图时应力争简洁、美观，多用图形、符号，鼓励学生采用个性化的表达方法，激发其创造性。对于分支概念，可以另画导图加以发散。这样就既在整体上有了把握，也在细节上有了认识。学生在画完思维导图后要与同学交流，以便发现不足，加以改进。老师也要把绘制得比较好的导图在课堂上展示，并给予必要的反馈和评价，逐步让学生知道怎样绘制好的思维导图。
篇5
【关键词】迹象；迹大于象；概念服装；非纺织材料
【中图分类号】S611 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)06-0021-02
1 “绘画迹象论”的含义
落笔成迹，因迹生象，通过迹象而有所表达，这是绘画活动的一个简单事实，也是钟孺乾首次提出的在绘画活动中可以作为一个共通的、基础的概念——“绘画迹象论”。
什么是“迹象”？简单讲，“迹”指艺术家手工或半手工半机械的操作痕迹，即以工具作用于材料留下的踪痕。在绘画中，说起某画的“迹”如何，就是指画中某“象”的质地，它包含大家所熟知的笔墨、肌理、笔触、质感、色彩之类，用现代汉语注释，“迹”可说成是一物作用于另一物而产生的痕迹；“象”指有形可见之物，由可视之迹构成的“象”，而说起某画的“象”如何，就是指画面的间架结构和画中表现对象的形状与态势，它包含我们常说的轮廓、形象、造型、构成等等，连同绘画材料的边沿和角线在内。以上的解释是分解了“迹”“象”的所指，也就是“绘画迹象论”中的“迹因素”和“象因素”。通过分析绘画作品，加以对“绘画迹象论”概念的理解，我们可以明白，“迹”在“象”中，“象”由“迹”生，“迹”为“象”之“迹”，“象”为“迹”之“象”，“象”既是“迹”，“迹”即是“象”,“迹”“象”统一便是“迹象”。
2 服装艺术领域中的“迹象论”
如今，“绘画迹象论”已被众多学者接受和认同，并被运用到其它领域。“迹象”一词，相较“笔墨”“肌理”“文本”“语言”等有着显而易见的确定性和包容性，且“迹象”作为专业术语和艺术概念，更有着不可替代的适应性。那么，介于“迹象”的确定性和包容性，如果我们愿意把绘画看成是人类“作迹造象”的事体，而且认同绘画起源于人类作迹的本能，那么人类从一开始的树叶遮体，再到如今设计师们通过对面料裁剪进而缝制出服装的过程，也可看作是人类在服装艺术领域中的“作迹造象”。
“绘画迹象论”中认为绘画是起源于人的作迹本能，绘画艺术的发生及其变化，都是因为人的智慧“首出万物，自能制造”，“人灵不能自己也”才得以产生，人类的服装亦是一样。当亚当与夏娃被逐出伊甸园，开始用无花果树的叶子为自己编作裙子遮蔽身体时，也开启了人类出自本能的属于服装艺术领域中“作迹造象”的历史。这当中，叶子及其纹理即为“迹”，编制而成的裙子外轮廓即为“象”。
服装艺术中，“象”指的由“迹”而产生的服装廓形，但这个“迹”与“绘画迹象论”当中的“迹”有所不同。服装艺术中“迹”不仅仅指艺术家对所用材料手工或半手工半机械的操作痕迹（肌理、面料质感、色彩等），它也包括所用材料本身存在和持有的肌理或质感或色彩等等。
3 服装艺术中的“迹大于象”
在绘画艺术中，油画家讲究造型与色彩，版画家重视黑白灰调子和“版味”、“刀味”，水彩画家看重水性色彩在时间序列中所呈现的图像与趣味，中国水墨画则强调意象和笔墨。同样，服装设计师亦注重服装材料“迹”的选择和改造，以及整体廓形“象”的变化。
但在“迹因素”与“象因素”的博弈中，“迹因素”略占优势。这是源于人类服装史已发展久远，且受到人体躯干造型空间等的局限，“象因素”似乎已探究到公式阶段，但“迹因素”却不同。随着时代和科技的进步，服装制作混入的材料越来越复杂，新材料越来越多被起用，媒介物质一步步自主自立，从艺术语言的辅助手段上升为艺术语言本身，“迹因素”明显被重视和凸显。设计师在许多作品中开始较多的追求“迹”的艺术表现，并有意凸显“迹”而忽略“象”,“迹因素”的呈现多过于“象因素”。因此,“象”因素被挤出了中心地位，有时甚至根本与“象”无关。这时，艺术作品最重要的是生命与物质材料的对话，思想与现成物品的交流。这种对话和交流最终留下的是注入了生命和思想的“迹”，这便是“迹大于象”。有“迹”必有“象”，而且是顺应于“迹”的“象”。
图1 Alexander McQueen贝壳制成的服装作品4 概念服装中非纺织材料凸显的“迹大于象”的艺术现象
在众多服装类型中，包括成衣、高级服装等等，带给我们最多“迹”的视觉盛宴，并将“迹因素”展现到淋漓尽致的要数由非纺织材料构成的概念服装。
篇6
三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换
2019年
1.(2019北京9)函数的最小正周期是
________.
2.(2019全国Ⅲ理12)设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:
①在()有且仅有3个极大值点
②在()有且仅有2个极小值点
③在()单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A.
①④
B.
②③
C.
①②③
D.
①③④
3.(2019天津理7)已知函数是奇函数,将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为.若的最小正周期为,且,则
A.
B.
C.
D.
4.(2019全国Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin
2α=cos
2α+1,则sin
α=
A.
B.
C.
D.
5.(2019江苏13)已知,则的值是_________.
6.(2019浙江18)设函数.
(1)已知函数是偶函数,求的值;
(2)求函数
的值域.
2010-2018年
一､选择题
1.(2018全国卷Ⅲ)若,则
A.
B.
C.
D.
2.(2016年全国III)若
,则
A.
B.
C.1
D.
3.(2016年全国II)若,则(
)
A.
B.
C.
D.
4.(2015新课标Ⅰ)
A.
B.
C.
D.
5.(2015重庆)若,则=
A.1
B.2
C.3
D.4
6.(2014新课标Ⅰ)若,则
A.
B.
C.
D.
7.(2014新课标Ⅰ)设,,且,则
A.
B.
C.
D.
8.(2014江西)在中,内角A,B,C所对应的边分别为,若,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
9.(2013新课标Ⅱ)已知,则(
)
A.
B.
C.
D.
10.(2013浙江)已知,则
A.
B.
C.
D.
11.(2012山东)若,,则
A.
B.
C.
D.
12.(2012江西)若,则tan2α=
A.−
B.
C.−
D.
13.(2011新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=
A.
B.
C.
D.
14.(2011浙江)若,,,,则
A.
B.
C.
D.
15.(2010新课标)若,是第三象限的角,则
A.
B.
C.2
D.-2
二､填空题
16.(2018全国卷Ⅰ)已知函数,则的最小值是_____.
17.(2018全国卷Ⅱ)已知,,则___.
18.(2017新课标Ⅱ)函数的最大值是
.
19.(2017北京)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=___________.
20.(2017江苏)若,则=
.
21.(2015四川)
.
22.(2015江苏)已知,,则的值为_______.
23.(2014新课标Ⅱ)函数的最大值为____.
24.(2013新课标Ⅱ)设为第二象限角,若,则=___.
25.(2013四川)设,,则的值是_____.
26.(2012江苏)设为锐角,若,则的值为
.
三､解答题
27.(2018江苏)已知为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
28.(2018浙江)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.
(1)求的值;
(2)若角满足,求的值.
29.(2017浙江)已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.
30.(2014江苏)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
31.(2014江西)已知函数为奇函数,且,其中.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
32.(2013广东)已知函数.
(1)
求的值;
(2)
若,求.
33.(2013北京)已知函数
(1)求的最小正周期及最大值;
(2)若,且,求的值.
34.(2012广东)已知函数,(其中,)的最小正周期为10.
(1)求的值;
(2)设,,,求的值.
专题四
三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换
答案部分
2019年
1.解析:因为,
所以的最小正周期.
2.解析
当时,,
因为在有且仅有5个零点,所以,
所以,故④正确,
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,
下面判断③是否正确,
当时,,
若在单调递增,
则,即,因为,故③正确.
故选D.
3.解析
因为是奇函数,所以,.
将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为,即,
因为的最小正周期为,所以,得,
所以,.
若,即,即,
所以,.
故选C.
4.解析:由,得.
因为,所以.
由,得.故选B.
5.解析
由,得,
所以,解得或.
当时,,,
.
当时,,,
所以.
综上,的值是.
6.解析(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有,
即,
故,
所以.
又,因此或.
(2)
.
因此,函数的值域是.
2010-2018年
1.B【解析】.故选B.
2.A【解析】由,,得,或
,,所以,
则,故选A.
3.D【解析】因为,所以,
所以,所以,故选D.
4.D【解析】原式=.
5.C
【解析】
=,选C.
6.C【解析】
知的终边在第一象限或第三象限,此时与同号,
故,选C.
7.B【解析】由条件得,即,
得,又因为,,
所以,所以.
8.D【解析】=,,上式=.
9.A【解析】因为,
所以,选A.
10.C【解析】由可得,进一步整理可得,解得或,
于是.
11.D【解析】由可得,,
,答案应选D.
另解:由及,可得
,而当时
,结合选项即可得.
12.B【解析】分子分母同除得:,
13.B【解析】由角的终边在直线上可得,,
.
14.C【解析】
,而,,
因此,,
则.
15.A【解析】
,且是第三象限,,
.
16.【解析】解法一
因为,
所以,
由得,即,,
由得,即
或,,
所以当()时,取得最小值,
且.
解法二
因为,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
所以,
所以的最小值为.
17.【解析】,,
①,
②,
①②两式相加可得
,
.
18.1【解析】化简三角函数的解析式,则
,
由可得,当时,函数取得最大值1.
19.【解析】角与角的终边关于轴对称,所以,
所以,;
.
20.【解析】.
21.【解析】.
22.3【解析】.
23.1【解析】
.,所以的最大值为1.
24.【解析】,可得,,
=.
25.【解析】
,则,又,
则,.
26.【解析】
因为为锐角,cos(=,sin(=,
sin2(cos2(,
所以sin(.
27.【解析】(1)因为,,所以.
因为,所以,
因此,.
(2)因为为锐角,所以.
又因为,所以,
因此.
因为,所以,
因此,.
28.【解析】(1)由角的终边过点得,
所以.
(2)由角的终边过点得,
由得.
由得,
所以或.
29.【解析】(Ⅰ)由,,
得.
(Ⅱ)由与得
所以的最小正周期是
由正弦函数的性质得
,
解得,
所以的单调递增区间是().
30.【解析】(1),
;
(2)
.
31.【解析】(1)因为是奇函数,而为偶函数,所以为奇函数,又得.
所以=由,得,即
(2)由(1)得:因为,得
又,所以
因此
32.【解析】(1)
(2)
所以,
因此=
33.【解析】:(1)
所以,最小正周期
当(),即()时,.
(2)因为,所以,
因为,所以,
所以,即.
34.【解析】(1).
(2)
篇7
马虎毛病就这样被改掉.学生姓名张**年级初二辅导科目数学辅导效果经过3个月的辅导，由之前的因马虎而丢20分到认真审题，将会做的期中考试得了113分（满分120分）辅导前学生情况：经常做题马虎，之前还因马虎丢过20分学员辅导经过：针对孩子的马虎问题，我尝试采用以下方法进行改正：1、在课堂上时，我会让孩子在白板上面做题，一方面是方便孩子自己检查错误，另一方面便于我及时给与提醒改正；2、在做试卷时，要求孩子在每个题目上面留下记号，圈出重点数字和词语，防止看漏题目；3、合理利用草稿纸，建议每次将草稿纸折叠分成两部分使用，从左到右，从上到下，标明序号，方便检查。
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篇8
(1)掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量;
(2)理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系;
(3)掌握复数的模的定义及其几何意义;
(4)通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想;
(5)通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法.
教学建议
一、知识结构
本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式.
二、重点、难点分析
本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解;难点是复数模的概念.复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视.在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点.复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离.
三、教学建议
1.在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视.
2.理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系
如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系.因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系.因此，我们常把复数说成点Z或说成向量.点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示.
相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系.复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系.
2.
这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件.
3.向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度.它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致.这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握.
4.讲解教材第182页上例2的第(1)小题建议.在讲解教材第182页上例2的第(1)小题时.如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面(曲线所包围的平面部分).对于倒2的第(2)小题的图形，画图时周界(两个同心圆)都应画成虚线.
5.讲解复数的模.讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。向量的模，又叫做向量的绝对值，也就是有向线段OZ的长度.它也叫做复数的模或绝对值.它的计算公式是.
教学设计示例
复数的向量表示
教学目的
1掌握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义.
2通过数形结合研究复数.
3培养学生辩证唯物主义思想.
重点难点
复数向量的表示及复数模的概念.
教学学具
投影仪
教学过程
1复习提问：向量的概念;模;复平面.
2新课：
一、复数的向量表示：
在复平面内以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ，由点Z(a，b)唯一确定.
因此复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应.
常把复数z=a+bi说成点Z(a，b)或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数.
二、复数的模
向量OZ的模(即有向线段OZ的长度)叫做复数z=a+bi的模(或绝对值)记作|Z|或|a+bi|
|Z|=|a+bi|=a+b
例1求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小.
解：|Z1|2=32+42=25|Z2|2=(-1)2+22=5
|Z1|>|Z2|
练习：1已知z1=1+3iz2=-2iZ3=4Z4=-1+2i
⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量.
⑵计算它们的模.
三、复数模的几何意义
复数Z=a+bi，当b=0时z∈R|Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z(a，b)到原点的距离.
例2设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形?
⑴|Z|=4⑵2≤|Z|<4
解：(略)
练习：⑴模等于4的虚数在复平面内的点集.
⑵比较复数z1=-5+12iz2=―6―6i的模的大小.
⑶已知：|Z|=|x+yi|=1求表示复数x+yi的点的轨迹.
教学后记：
板书设计：
一、复数的向量表示：三、复数模的几何意义
二、复数的模例2
例1
探究活动
已知要使，还要增加什么条件?
解：要使，即由此可知，点到两个定点和的距离之和为6，如把看成动点，则它的轨迹是椭圆.
篇9
一、数的概念与概念叠加
认知学认为概念是人脑对客观事物的抽象概括。可以想象，人脑中数的概念的建立，一方面是因为外部世界大多数的事物是“可数的”，一方面也因为客观世界中至少存在着一种单复数的对立关系——即有些事物是可数的，而另一些事物则相反是不可数的。
在微观语言系统中，存在着三种不同形式表达数的概念：
①事物概念与数无关(或完全重合)；
②事物概念表现数的最大值和最小值；
③事物概念与数的概念的有限对立。
既然事物的概念与数的概念关系如此密切，那么在语言符号中就会有所表现，或为词汇化(lexicalized)，或为语法化(grammaticalized)：要么以词汇形式，要么以语法形式来表现概念。JohnLyons曾举“thatsheep”和“thosesheep”为例，指出两个“sheep”在表达形式(word-form)上相同，但内容形式(word-expression)不同。这应属于概念词汇化的情况，即事物概念与数的概念没有(或已经)通过词的形式表现出来。这在英语中属于个例。而在缺乏词汇曲折形式变化的汉语中，表达事物概念时，核心概念得以“强化”，从属概念的“数”却被“忽略”，导致汉语名词通常只表现概念意义，不具有语法意义或可数不可数的范畴意义。也就是说，汉语中缺乏严格意义上的数的对立形式，事物的概念与数的概念无关或完全重合(overlapping)是普遍现象。总之，汉语是通过词汇和词序来表示各种语法范畴的，也就是说，还要增加一些数量词与名词连用才能表现名词的数。反观英语，普遍以可数和不可数的形式来表现数的对立：名词既具有词汇意义(明确的概念指称和系统意义)，同时又具有语法意义(可数不可数或单复数的语法范畴)。这在综合性语言中并非个例，即语言的表达形式必须体现“数”的对立，要么是单数，要么是复数；要么取数的最大值，要么取数的最小值，并以词的形式把事物的概念和数的概念叠加(word-lapping)起来，表现为任意一个名词的双重性。当然，在现代汉语中，也有了数的概念的有限对立形式：单音节的人称代词和指人名词可以历史上语素“们”来表示复数，如“我们”、“孩子们”等等。
Lakoff从认知角度看待英语中单复数的问题，认为单数是英语里数的形态范畴中的无标记成员，因此在认知上要简单一些。由此推论，认知上的简单性反映为形式上的简单性。在汉语中，名词都属于无标记成员，在语义和语法层面上表现了所谓的简单性。但是，这种简单性的形成源于汉语思维的概括性，并不由此进一步表现为语用层面的简单性。事实恰恰相反，这种形式上的简单性在语用层面上引起很多历史烦，需要更多的语境，甚至是文化因素的干预，才能使语言交流得以实现。
基于以上分析可以看出，无论表现数的概念与事物的概念是重合还是叠加，都反映了两者间的密切关系，反映了语言与思维的紧密联系，反映了语言中文化的历史迹，也反映了不同语言表达形式上的语用倾向性。
二、语法的“数”与语言表达倾向
数的概念与所指的概念在综合性语言中常常出现一种叠加，而这种概念叠加在语符编码时的直接表现，就是单复数概念的语法化——以固定的显性的标记“黏着”在表现事物概念的名词或代词上。在语法层面上，数的概念也要有所表现。以英语为例，有三种形式：
①单复数形式与概念一致；
②单数形式，复数概念；
③复数形式，单数概念。
第一种情况无疑是普遍的，有代表性的，而其他两种则是对一般功能的补充，即用人为的单复数的形式，使不可数的功能变成“可数”，或者相反。这种涉及语言使用者习惯的表达方式，是一定量的交际功能因素语法化现象，仍然属于内化的、非语境化的语法范畴，或者也可称之为“习惯法”。请看例句：
(1)Ihavetwonewst。tellyou.
(1’)lhavetwogoodnewst。tellyou.
(2)I’veboughttwoshirtsandtwotrousers.
(2’)I’vcboughttwoshirtsandtwopairsoftrousers.
句(1)中的“twonews”不合语法，可句(1’)中“twogoodnews”则语法正确；句(2)中的“twoshirts”合乎语法，“twotrousers”却是错误的，只能说“twopairsoftrousers”。一样的名词，不一样的表达，我们可以明显地感觉到一种人为的“约定俗成”。无论是概念的叠加，还是这种人为的“置放”，正是由于这种单复数概念上的对立关系，才在某种特定语言中建立了数的符号标记。这种符号标记，即语法上的数(grammaticalnumber)，又与实际所指(referentialnumber)存在着一种对应或不对应的关系：有时是复数形式，单数概念，如英语的“trousers”和法语的“fiponsailles”；有时是单数形式，复数意义，如英语的“everybody”，法语的“toutlemonde”。
语法化与词汇化、显性与隐性，是语言表达形式和内容形式之间关系的不同表现，是在历史、文化、思维方式等因素的制约下长期形成的。“在语言表达中，涉及到数的概念时，无非有两个方向，一是要求表达准确，一是要求表现模糊。”
汉语缺乏严格意义上的数的对立形式，表达倾向会模糊一些。以“昨天我和朋友约会去了”为例，相应的英语为：
(3)Yesterday，Imadeadatewithoneofmyfriends.(或Yesterday，Imadeappointmentswithmyfriends.)
就两种语言中涉及的两个名词“约会”和“朋友”而言，汉语无标记、无数的概念；而在英语中，则必须体现“date(appointment)”、“friend”的数：或为单数，或为复数，即约会和朋友的概念与数的概念必须叠加在一起，以词汇意义与语法意义相结合的形式来表现内容。在这个层面上，英语的两种意义做到了高度的一致，而汉语则是分离的，模糊与清晰的表达倾向一目了然。
三、数的语用充实
根据Morris的符号学原理，语言的内容形式和内容实体之间的关系可以在三个层面上获得：
①在语义系统中获得系统价值；
②在语句层次上，从命题或句子中获得定义：
③在语用层次上，通过推理获得含义。
在语言使用过程中，一旦涉及到数的问题，人们总是试图在语法结构(grammaticalnumber)和实际所指(referentialnumber)之间找到一种直接的联系，以便迅速、有效地“解码”，更好地在具体语境中推断出与目的意图相关的数的概念，进而达到预期的交际效果。
谈到语境，暂且不把它泛化或多元化，仅仅用来指语言语境，即上下文。这也是为了突出单复数概念在交际意图的影响下，与编码概念的区别。同其他词语的概念一样，数的概念也应在特定语境下得到充实，包括对原型意义的选择、调整、扩充或缩小。
请看以下例句：
(4)Inmanycountries’womanliveslongerthantheman.
(5)It’shardtobcascientistanditisevenhardertobeaman.
(6)Womenlikechatting，butmendon’t.
句(4)是基于统计数字的表达，零冠词的单数形式，恰恰表达的是与数无关的概念，而重在表现性别的对立。而句(5)中的“aman”以数的最小值出现，除了与前面的ascientist的呼应意义之外，也远远超出了性别和数的概念，“扩充”到指任何人。句(6)的women/men取数的概念的最大值——复数，但对任何一个读者或听者来说，则会感受到个体的集合。
通过以上英语例句的分析，可以看出数的表达形式与实际所指之间存在着某种约定俗成的联系，而这种联系的意义至少要在语言语境下得以显现。然而在汉语中，绝大多数名词为零标记，缺乏“数”的符号信息，在语言语境的作用下会如何表现，请看以下例句：
(7)“老师来了!”
(8)“学生来了!”
仅仅根据语言形式和句子本身，显然不具备任何“数”的意义，使人无法判断老师或学生为几人。然而，当语境扩大到实际交际中时，根据语用学的相关理论，交际双方处在共享的社会文化及情景等语境中，发话人既会尽可能地省去不必要的信息，又要充分地表达自己的意图。那么，这两句话所表达的数的概念会不尽相同。即使没有其他的更现实的语境(地点、手势，能否见到所指人等)，也可以推测老师通常是一个人，而学生则相反不止一个人。然而，对母语为英语的入学习汉语来说，他们常常会处于数的困惑中，无论是口语还是书面语，都未提供客观的现实的符号表征，对数的选择和判断就无从做起。而对讲汉语的人来说，虽然离不开解读者的背景知识和认知程度，但仍属于一种常规意义的推断。包括语言符号本身的语境因素越多，对交际意图的判断就会越加准确。那么语境化的潜在趋势是否会解决所有“数”的问题呢?
我们再来对比一下英语和汉语：
(9)明天一早，我要乘车去车站。
(9’)Tomorrowmorning，I’lltakethebus(es)tothestation.
首先，我们假定英语发话人和汉语发话人处在相同的语境，也暂且不去考虑汉语“车”这个名词的抽象化问题，对应的英语给了一些既可以优先编码同时又可以“优先解读”(preferredreading)的概念，这其中就包含数的概念，“morning”、“I”、“station”为单数，“bus”或为单数或为复数。那么，对于英语句子(9’)可以依赖语境，选择、推理、具体化与充实从而形成以下的命题内容：
Thedayafterthespeaker’sspeech，thespeakerwilltakethebus(es)tothestation.
此时，它几乎包括了与目的和意图相关的所有信息内容，尤其是数的概念与意义。而对于汉语句子(9)，通常会作以下解读：
说话的第二天早上，说话人要坐车(一般为公交车)去车站(一般为火车站)。括号内为通常情况下的推断，当然句子的含义仍可以得到进一步的语境充实，可能涉及更多的时代与文化背景，但那并非我们所关注的。在汉语中，“数”的概念在充分体现交际目的和意图的话题中常常被忽略；如果(9’)句的听者不知说话人是否要倒车(该名词缺乏数的表现)，就会为进一步获取此类的信息，而引起下一个话轮：
“用倒车吗?”
根据Sperber&Wilson的关联理论，人们首先假定话语是相关的，然后寻求相应的满足关联条件的语境，最后作出话语理解。名词的概念与数的概念的叠加，在语言交际过程中会有不同的表现，两者之间联系越紧密，意图与概念就越清晰，话语就越“省力”，而这种清晰和“省力”又符合语言表达的基本倾向。
四、结语
语言中都有数的概念，也都有相应的表达形式，但并非都是通过语法手段来表现。话语的非自然意义，可以在语义、语法、语用三个方面反映出来。在语义层面上，数的概念与事物的概念会出现叠加或重合，体现两者的密不可分。反映在语法形式上，有的表现为较为严格的单复数对立，如英语、法语等；有的表现为缺乏或只具有不严格的对立形式，如汉语。而在语用层面上，语言使用者的目的、意图等语境因素的介入，会使“数”的概念清晰起来，也会在一定程度上解决汉语“数”的概念模糊化的倾向，从而在尽可能的“省力”的情况下，实现交际的功能与目的。
篇10
【关键词】高中课程；数系扩充；复数引入；数学分析；教育价值
一、数学分析
（一）数系的扩充是由数学实际需求和内部矛盾发展所产生的
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了自然数；随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展：为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了满足计数需要和表示具有相反意义的量，人们引进了负数；为了解决开方开不尽的矛盾，人们引进了无理数；在解方程时，为了使负数开平方有意义，人们就引进了虚数，使实数域扩大到复数域.自然数集中，“+”满足其封闭性，为了让“-”满足其封闭性，将自然数扩充为整数；为了让“÷”满足封闭性，将整数扩充为有理数.为了将极限运算满足封闭性，将有理数扩充为实数.在历史上，解代数方程时遇到了负数，由于负数在实数范围内不能开平方，因此产生了疑惑，为了满足开方运算封闭性，将实数扩充为了复数.直到后来把复数用于二维坐标平面上的向量表示，定义了向量的乘法，才使复数有了明确的定义和意义.可以说负数是起源于代数，成熟于几何，是代数与几何的结合体.数的产生是伴随数学的内部发展而产生的.复数在数学中起着重要的作用，除了上述的代数基本定理外，还有“实系数的一元n次方程虚根成对出现”定理等，特别是以复数为变量的“复变函数论”，是数学中一个重要分支.
（二）复数的三种表达形式
复数的代数定义为两个实数x，y的代数式x+yi，或有序实数对（x，y），复数的加法和乘法由纯粹的代数式定义.复数定义的第一种形式，由于i的意义无法事先说明，因而不够严密.复数定义的第二种形式由于没有加号而显得有些抽象，实数可以用数轴上的点表示，这种几何表示对于理解实数的概念起到了非常重要的作用.设i=（0，1），利用复数加法和乘法的定义，可以把复数z=（x，y）表示成常用的代数形式
有了复数的几何概念，复数概念就可以讲得清楚了，随之也就有了虚数的说法.我们在学习实数的时候，用直角坐标系中x轴上的点表示，这样x轴上点的坐标（x，0）就表示实数x，类似地可以把平面上的每一个点（x，y）称为一个复数，x轴上的点表示实数.复数还可以用向量表示，因为平面上的点还可表示从原点指向它的向量.复数的加减法按向量的加减法定义，复数的乘除法对向量来说是一种新的运算，是复数和向量的主要区别.实数a和复数相乘按向量和数的乘法定义是合理的，即a×（x，y）=（ax，ay）.
为了引入复数的乘法，把复数z用三角形式来表示z=r（cosθ+isinθ），可以把复数的三角形式确定点的方法引入极坐标系，常用（r，θ）表示，r称为复数z的模，θ称为复数z的辐角，记为argz=θ.两个正数相乘，两个负数相乘，一个正数和一个负数相乘，一个正数和一个复数相乘，一个负数和一个复数相乘，可以发现它们都满足模相乘，辐角相加的规律，因此，定义两个复数相乘的规则为模相乘，辐角相加；定义两个复数相除为模相除，辐角相减，即设z1=（r1，θ1），z2=（r2，θ2）是两个复数，则定义z1z通过它们的相互转化，我们发现数学内部是如此的和谐统一，能够充分感受到数学的美.需要向老师说明的是，高中阶段复数的学习只需代数形式，其他表达方式不作要求.
（三）复数在生产实践和科学实验中都有着广泛的用途
随着人们对复数研究的不断深入，关于复数的学科已成为数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其他（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复数都有着非常重要的应用.
二、教育价值
“数系的扩充及其复数的引入”的教育价值体现在：