高等数学二范文

导语：如何才能写好一篇高等数学二，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

本大纲适用于经济学、 管理学以及职业教育类、 生物科学类、 地理科学类、 环境科学类、 心理学类、药学类(除中药学类外)六个一级学科的考生。

总要求

本大纲内容包括“高等数学”及“概率论初步”两部分，考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学的基 本概念与基本理论;了解或理解“概率论”中古典概型、离散型随机变量及其数字特征的基本概念与基本国际要闻 学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法，应注意各部分知识 的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力;能运用 基本概念、基本理论和基本方法正确地判断和证明，准确地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方 法和运算分为“会”“掌握”和“熟练”三个层次。、

复习考试内容

一、极限和连续

(1)极限

1.知识范围数列极限的概念和性质

(1)数列数列极限的定义性有界性四则运算法则夹逼定理，单调有界数列极限存在定理

(2)函数极限的概念和性质函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系 χ趋于无穷(χ∞，χ+∞， χ-∞)时函数的极限函数极限的几何意义 性 四则运算法则夹逼定理

(3)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量的性质，无穷小量的比较。

(4)两个重要极限

sin x lim x = 1 x 0

1 lim 1 + x = e x ∞x

2.要求

(1)了解极限的概念(对极限定义中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函数在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价) 。会运用等价无穷小量代换求极限。

(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

(2)连续

1.知识范围

(1)函数连续的概念函数在一点处连续的定义 左连续和右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的 间断点

(2)函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算 复合函数的连续性

(3)闭区间上连续函数的性质有界性定理 值与最小值定理 介值定理(包括零点定理)

(4)初等函数的连续性

2.要求

(1) 理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系， 掌握函数(含分段函数)在一点处的连续性的判断方法。

(2)会求函数的间断点。

(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会用它们证明一些简单命题。

(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数的连续性求极限。

二、一元函数微分学

(一)导数与微分

1.知识范围

(1)导数概念导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义可导与连续的关系

(2)导数的四则运算法则与导数的基本公式

(3)求导方法复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法

(4)高阶导数高阶导数的定义 高阶导数的计算

(5)微分微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性

2.要求

(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

(4)掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。

(5)了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

(6)理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

(二)导数的应用

1.知识范围

(1) 洛必达(L′Hospital)法则

(2) 函数增减性的判定法

(3) 函数极值与极值点值与最小值

(4) 曲线的凹凸性、拐点

(5) 曲线的水平渐近线与铅直渐近线

2.要求

(1)熟练掌握用洛必达法则求“

0 ∞ ” “ ” “0∞” “∞—∞”型未定式的极限的方法。 0 ∞

(2)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

(3)理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、值与最小值的方法，会求解简单的应用问题。

(4)会判定曲线凹凸性，会求曲线的拐点。

(5)会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。

三、一元函数积分学

(一)不定积分

1.知识范围

(1)不定积分原函数与不定积分的定义 不定积分的性质

(2)基本积分公式

(3)换元积分法第一换元法(凑微分法) 第二换元法

(4)分部积分法

(5)一些简单有理函数的积分

2.要求

(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

(2)熟练掌握不定积分的基本公式。

(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(仅限形如

2 2 2 2 。 ∫ a x dx、 a + x dx 的三角代换与简单的根式代换) ∫

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法

(5)掌握简单有理函数不定积分的计算。

(二)定积分

1.知识范围

(1)定积分的概念定积分的定义及其几何意义可积条件

(2)定积分的性质

(3)定积分的计算变上限的定积分牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式换元积分法分部积分法

(4)无穷区间的广义积分、收敛、发散、计算方法

(5)定积分的应用平面图形的面积、旋转体的体积

2.要求

(1) 理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。

(2) 掌握定积分的基本性质

(3) 理解变上限的定积分是上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

(4) 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式

(5) 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

(6) 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

(7) 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成旋转体的体积。

四、多元函数微分学

1.知识范围

(1)多元函数多元函数的定义 二元函数的定义域 二元函数的几何意义

(2)二元函数的极限与连续的概念

(3)偏导数与全微分一阶偏导数 二阶偏导数 全微分

(4)复合函数的偏导数隐函数的偏导数

(5)二元函数的无条件极值和条件极值

2.要求

(1)了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。

(2)了解二元函数的极限与连续的概念。

(3)理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法。

(4)掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。

(5)会求二元函数的无条件极值和条件极值。

(6)会用二元函数的无条件极值及条件极值求解简单的实际问题。

五、概率论初步

1.知识范围

(1)事件及其概率随机事件 事件的关系及其运算 概率的古典型定义 概率的性质 条件概率事件的独立性

(2)随机变量及其概率分布随机变量的概念 随机变量的分布函数 离散型随机变量及其概率分布 (3)随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望方差 标准差

2.要求

(1) 了解随机现象、随机试验的基本特点;理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。

(2) 掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容(或互斥)关系及对立关系。

(3) 理解事件之间并(和) 、交(积) 、差运算的定义，掌握其运算规律。

(4) 理解概率的古典型定义;掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。

(5) 会求事件的条件概念;掌握概率的乘法公式及事件的独立性。

(6) 了解随机变量的概念及其分布函数。

(7) 理解离散型随机变量的定义及其概率分布，掌握概率分布的计算方法。

(8) 会求离散型随机变量的数学期望、方差和标准差。

篇2

1 多元复合函数的二阶导数

多元复合函数的类型多种多样，这里仅以一种类型加以说明。

设z=f（u，v），u=φ（x，y），v=ψ（x，y），如果函数u=φ（x，y），v=ψ（x，y）都在点（x，y）具有对x及对y的偏导数，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，求，或的二阶偏导数。多元复合函数的二阶偏导数的计算是在一阶偏导数的基础上再求一次偏导数。必须注意的是，在第二次求导数的过程中，具有与变量z相同的函数结构，、得看成是以u、v为中间变量，x、y为自变量的复合函数。

例1、设w=f（x+y+z，xyz），f具有二阶连续偏导数，求。

2 由参数方程确定的函数的二阶导数

设参数方程的一般形式为x=φ（t）y=ψ（t）α≤t≤β，其确定的一元函数为y=f（x）。由复合函数以及反函数的求导法则，有

如果x=φ（t）、y=ψ（t）还是二阶可导的，那么从（1）式又可得到函数的二阶导数。此时，（1）式两端同时对变量x求导。右端变量t看成是变量x的函数，t的表达式看成是以t为中间变量，x为自变量的复合函数。根据复合函数的求导法则以及反函数的求导法则，即可得到参数方程的二阶导数。

篇3

【关键词】一元二次不等式 二次函数 方程 数形结合 图象

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682(2010)07-0140-02

一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点之一。从内容上看,二次不等式、二次方程与二次函数密不可分,该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看,它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想,这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。我们现用的教材在处理上是下了一番功夫的,它将二次不等式的解法分成了两部分――首先介绍了一元二次不等式的概念和用因式分解法解一元二次不等式,即利用“同号两数相乘得正,异号两数相乘得负”的原理,将一元二次不等式转化为一元一次不等式组加以解决。毫无疑问,这种解法具有极大的局限性和不完整性,这就为后面介绍二次不等式的图象法(也就是结合了与二次函数之间的关系)作了必要的铺垫和准备。一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的主要工具,它可渗透到中学数学的几乎所有领域中,对今后的学习起着十分重要的作用。笔者将从以下两个方面去探讨教学中一元二次不等式的解法及与二次函数的关系。

一、明确教学目标及教学重难点

教学分为三大目标。①知识目标:使学生掌握一元二次不等式的图象法,理解掌握这种解法的理论依据,并在教学中渗透高考对本内容的考察程度;②能力目标:通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想,培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力,培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质;③德育目标:通过图象法,有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般观点和方法,培养学生良好的心理素质和竞争意识。没有目标就像无帆的船,所以在教学中始终要坚持以贯穿这样的目标为中心,让学生做到心中有数,清楚学习一元二次不等式的重要性,从而进一步提高学生学习的积极性与主动性,从而教学才会卓有成效。

教学重点与难点:教学重点是三种类型的一元二次不等式图象解法。教学难点是二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系,数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。学生在学习中必须明确清楚这两者之间的关系,不然会把握不住学习的方向性,针对重要环节以及薄弱环节可以相应的采取不同的学习方式,达到有的放矢,需要掌握的知识点(即重点,有时难点也是重点)要非常熟悉,需要理解的知识点了解它所要体现的内容即可。

二、掌握一元二次不等式与二次函数的密切联系

首先,要掌握二次函数和一元二次方程之间的联系,二次函数的图象是一条抛物线,其开口方向由二次项系数决定,可得此重要结论:二次函数与x轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一元二次方程的根――有两个不相等的实数根则有两个不同的交点,有两个相等的实数根则有一个交点,没有实数根则没有交点。从而可观察到二次函数和不等式的关系就是不等式的解集和方程的根之间的关系:“小于取中间,大于取两边”,从而归纳出图表(一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的关系):

从上表中我们就可求解一元二次不等式,如高一教材中第22页的例题:求解不等式(x+4)(x-1)

与 ,从而求出不等式的解集。

我认为还可以采取更为简洁的方法求解此类不等式,如上例中的4比-1大,从而可判断出x+4比x-1大,因此可得到x+4>0,x-1

(x+a)(x+b)>0, 或(x+a)(x+b)

的解法,只需去判断a与b的大小,就可知x+a与x+b的大小,也就进一步求出不等式的解集。这种方法显然比上述方法显得更为简单,并且避免了讨论。

其次,要渗透一元二次不等式与二次函数间的密切联系,这建立在对一元二次不等式和二次函数的知识点掌握牢固的基础上。如二次函数的定义域、值域、单调性、最值和图象等性质,学生都需要理解透彻,不等式与二次函数结合的知识,在一定程度上可以很准确的反映学生的数学思维。

例如,设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)

-x=0的两个根x1,x2满足0

(1)当x∈(0,x1)时,证明x

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0< 。

解题思路:本题要证明的是x

由题中所提供的信息可以联想到:①f(x)=x,说明抛物线与直

线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程f(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0,它的两根为x1、x2,可得到x1、x2与a、b、c之间的关系式,因此解题思路明显有三个:①图象法;②利用一元二次方程根与系数的关系;③利用一元二次方程的求根公式,辅之以不等式的推导。现以思路②为例,解决这道题:

(1)先证明x

由00,从而证得x

根据韦达定理,有x1x2= ,0

=f(x1),又c=f(0),f(0)

根据二次函数的性质,曲线y=f(x)是开口向上的抛物线,因此,函数y=f(x)在闭区间[0,x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到,而且不可能在区间的内部达到,由于f(x1)

(2)

函数f(x)图象的对称轴为直线x=- ,且是唯一的一

条对称轴,因此,依题意,得x0=- ,因为x1、x2是二次方

程ax2+(b-1)x+c=0的两根,根据韦达定理得x1+x2=- ,

x2-

我们还可以对上述例题进行相应的变形可得:已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程f(x)=x的两个实根分别为x1、x2。

(1)若x1

x0>-1;

(2)若|x1|

对于这个例题,我们采取的常规思路如下:

(1)证明:f(x)=x,ax2+(b-1)x+1=0。

设g(x)=ax2+(b-1)x+1,由题意可得:

,即

x0=- >-1

(2)对于方程ax2+(b-1)x+1=0,令b-1=c,则有ax2+cx+1=0。

由|x2-x1|=2,得 ,即c2-4a=4a2,c2=4a2

+4a(1)

又|x1|

即-6

而=c2-4a>0,4a

由(1)(2)得a>

c2=4a2+4a>  c> 或c

又b=c+1,b> 或b

上述例题中的第(2)小题我们还可采取例外的思路进行求解,而且这种思路显得更为快捷和简便,解法如下:

由|x2-x1|=2,得|x2|-|x1|≤|x2-x1|=2,又|x1|

对于方程ax2+(b-1)x+1=0,由韦达定理我们有 =x1

x2≤|x1||x2| 而|x2-x1|= =2,(b-1)2

=4a2+4a,又a> ,b> 或b< 。

上述思路就是有效的结合了不等式与函数、方程的思想,这样就可大大简化运算的过程,而且思路清晰,学生较容易接受,因此我们在教学过程中对于这一类问题就要扩展学生的思维,不让其只陷入一个思路当中,这样就无形中使学生得到了思维的锻炼,又增强了学生学习数学的兴趣。

综上所述,二次不等式与二次函数之间有着丰富的内涵和外延,以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,更好的区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

参考文献

1人民教育出版社中学数学室编.全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上).北京:人民教育出版社,2007:21～23

2 任志鸿.高中新教材优秀教案高一数学(上).海口:南方出版社,2006:78～83

篇4

数学二考察高等数学和线性代数两部分，分别占总分的百分之78和百分之22。

根据考研大纲，数二考察144个考点，不考察：向量代数与空间解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及无穷级数。根据每年的考研真题，数学二只覆盖考试大纲的百分之82、5，所以复习时要懂得抓重点，数学二重点考察的内容是：曲率、弧长以及质心问题。在复习时要重点关注。

（来源：文章屋网 ）

篇5

一、专升本考试科目

专升本考试科目：政治、英语、专业基础。

其中专业基础包括：大学语文、艺术概论、高等数学一、高等数学二、民法、教育理论、生态学基础、医学综合。考生根据报考类别只考一门。

二、高中起点升本科考试科目

高起本考生分文理科报考，考试科目分别是：

文科：语文、数学（文）、外语、史地

理科：语文、数学（理）、外语、理化。

三、高中起点升专科考试科目

高起专考生分文理科报考，考试科目分别是：

文科：语文、数学（文）、外语。

理科：语文、数学（理）、外语。

四、其它

篇6

一、专升本考试科目

专升本考试科目：政治、英语、专业基础。

其中专业基础包括：大学语文、艺术概论、高等数学一、高等数学二、民法、教育理论、生态学基础、医学综合。考生根据报考类别只考一门。

二、高中起点升本科考试科目

高起本考生分文理科报考，考试科目分别是：

文科：语文、数学（文）、外语、史地

理科：语文、数学（理）、外语、理化。

三、高中起点升专科考试科目

高起专考生分文理科报考，考试科目分别是：

文科：语文、数学（文）、外语。

理科：语文、数学（理）、外语。

四、其它

篇7

数学一、二、三科目考试区别：

1、线性代数：数学一、二、三均考察线性代数这门学科，而且所占比例均为22%，从历年的考试大纲来看，数一、二、三对线性代数部分的考察区别不是很大，不同的是数一的大纲中多了向量空间部分的知识。

2、概率论与数理统计：数学二不考察，数学一与数学三均占22%，数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识。

3、高等数学：数学一、二、三均考察，而且所占比重最大，数一、三的试卷中所占比例为56%，数二所占比例78%。

（来源：文章屋网 ）

篇8

摘要：随着经济的发展和人们生活水平的提高，社会对人才的需求也不断发生着变化。数学作为一门重要的就学科，在一定程度上表现了学生的逻辑思维能力，在高考中也是十分重要的。但是通过观察我们可以发现，高中数学与高等数学之间存在一个比较大的跨度。本文将主要对高等数学与高中数学衔接存在的问题进行分析并给出一些建议。

关键词：高等数学；高中数学；内容衔接；研究分析

在高中时代，数学是非常重要的重点课程，而在大学时代，高等数学就成为了高等院校尤其是工科院校的基础课程。大学有突出的专业，强调专业特色，但是数学会成为后续专业课程的基础，可以为专业的学习提供数学知识和解决问题的基本方法。所以，高等数学对学生的学习与发展是很重要的。

一、高等数学教育现状

高中数学主要介绍关于常量的内容，是初等数学的范畴。而大学的高等数学主要是关于变量的。他们在研究对象、研究方法甚至思维方式和逻辑的严密性上都存在很大差异。随着高中数学和高等数学都在不断的进行教学改革，它们之间内容重复的部分和知识延伸的重点也在不断地发生变化。这些变化导致有些学生高中数学成绩优秀到了大学却不得要领不断下降甚至学习有障碍，反而有些学生高中数学成绩普通却能轻松自如地学习高等数学。虽然高等数学与高中数学二者之间有着密切的联系，但是仍然存在比较大的跨度，是两个相对独立的学习与教学阶段。但在实际教学过程中，高中教师一般会注重现有理论的教学，没有延伸和拓展，大学教师又常常会忽略二者之间的联系，造成高中数学教学和高等数学教学存在比较严重的脱节现象。让学生产生了畏难情绪。尤其是在高中艰苦学习的阶段过渡到相对轻松和自由的大学阶段，学生更容易丧失学习的兴趣和动力。

二、高等数学与高中数学内容衔接存在的问题

1、高等数学与高中数学存在脱节的问题

普遍存在的情况是，高中数学教学主要是为冲刺高考而服务的，一切以迎战高考为中心。所以在教学过程中，教师大多会按照高考考纲进行教学，这样就忽略了一些高考没有涉及到的知识点的教学，而这些知识点很有可能恰好是大学数学教学中涉及到的问题。如此一来，从高中过渡到大学，在数学的学习中就会存在脱节问题。例如，在阶常系数线性齐次微分方程y″+py′+qy=0时，学生要先求出其特征方程r2+pr+q=0的根，然后根据特征方程根的情况，写出方程的通解。在实际教学过程中，学生对由特征方程所得的一元二次方程r2+pr+q=0解答的认识主要停留在Δ=p2-4q≥0实数解上，这给微分方程的学习带来一定困难。

2、高中数学存在逻辑严密性问题

无论是在高等数学还是初等数学中，严密性都是至关重要的。必要的逻辑推理训练是不可少的，因为它是创造性数学思维中不可少的工具。这也是数学教学过程中逐步形成的一个特点。但是与高等数学比较而言，高中数学教学存在逻辑的严密性问题。如在高中教材中没有单独给出极限的定义，只有描述性表述，但在介绍导数的概念时又利用了极限的概念。

3、时间间隔造成的知识点遗忘

在大学数学的教学过程中，很多的知识点是与高中数学的知识点串联在一起的。比如集合、实数、自然数、整数、有理数、无理数、函数、极限、导数、概率等。在高中阶段，这些知识点会频繁的用到并会不断的重申，学生记忆深刻。但忙碌的高考过后，学生的身心得到放松，时间的间隔导致他们忘记了原来的知识点，而大学教师清楚的知道他们学习过这些基本的知识点，所以会一次性的复习或者根本就不复习而直接开始新的课程。学生一时间难以接受，学习就会怠慢，久而久之，严重影响学习的效果和效率。

三、如何避免高等数学与高中数学教学内容衔接问题

1、避免高等数学与高中数学知识点脱节的问题

例如上面讲到的刚进入大学的学生对一元二次方程的主要认识。那么学生在学习在微分方程内容时，应先补习求一元二次方程r2+pr+q=0在复数范围内的解和重根的概念。要解决“脱节”的问题，大学教师应该主动去了解高中教材，了解高中数学教学的内容、范围及教学的侧重面，然后针对性的进行教学。知道那些知识点是要补充的。例如：反三角函数、正余割函数、函数有界性及周期性的数学描述、曲线的参数方程、极坐标系、复数的概念。

2、解决逻辑严密性问题

高中数学注重理论本身的教学，忽略了延伸和拓展，大学教师需要把这些知识点重新详细系统地讲述一遍，给予严格的定义并澄清概念，加强学生严格的数学语言描述训练。但抽象的数学语言描述常常让大一新生望而却步，因此从高中阶段的直观描述到大学阶段严格的数学语言描述这个过程必须循序渐进，要结合直观描述让学生理解严格的数学语言描述。例如高中数学是这样介绍对数理论的：“一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x=logaN”，利用指数函数的逆运算产生了对数函数，并且用对数的定义给出了对数的运算性质：loga（MN）=logaM+logaN。事实上，在数学发展史上对数是出现在指数之前的。在大学数学教学中，可以利用积分的知识重新审视对数理论。由双曲线y=1/x下面的面积得出了自然对数函数的定义 这种新函数的引入是极其自然的，符合数学的历史发展。这样讲既避免了与中学数学知识的简单重复，又对高中数学教学的补充和拓展。

3、知识点的复习和巩固

对于一些高中数学和大学数学重复的内容，在进入大学后，教师应该进行一个知识点的梳理，帮助学生尽快的复习之前的知识，这样可以帮学生尽快的进入状态，为后面的学习打好基础。

总而言之，数学是一门重要的学科，是众多学科和专业的基础。无论是在高中阶段还是在大学阶段，数学的学习都是十分重要的。但是高中数学与高等数学之间存在一个比较大的跨度，这个就导致了高等数学的学习和教学都存在一定的难度。教师应该注重知识点的重温和衔接，弥补疏漏。这样才能提高高等数学学习的效率。

参考文献：

[1]季素月，钱林；大学与中学数学学习衔接问题的研究[J]；数学教育学报；2000年04期

[2]高雪芬；王月芬；张建明；；关于大学数学与高中衔接问题的研究[J]；浙江教育学院学报；2010年03期

篇9

关键词：微分中值定理；证题技巧

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）38-0126-02

微分中值定理是高等数学的重要内容，也是考研必考内容，因此，掌握其证题技巧，十分必要。下面就三种情形对其证题技巧进行探讨.

一、命题f（n）（ξ）=0的证法

证题方法：方法1：验证f（x）在包含x=ξ的区间上满足罗尔定理条件；

方法2：验证ξ为f（x）的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费马定理即可得证；

方法3：利用泰勒公式证明。

例1设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，且f（a）=f（c）=f（b），（a

证明：显然f（x）在[a，c][c，d]上满足罗尔定理条件，于是分别?ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b）使f'（ξ1）=0，f（ξ2）=0，再对f'（x）在[ξ1，ξ2]上用罗尔定理，故?ξ∈（ξ1，ξ2）?（a，b），使f"（ξ）=0

例2设函数f（x）在[a，b]上可导，且有f'+（a）.f'-（b）

证明：由题设可知有f'+（a）与f'-（b）异号，不妨设有

f'+（a）0，当x∈（a，a+δ1）时，有

同理，由极限的保号性可知?δ2>0，当x∈（b-δ2，b）时，有>0，从而f（x）

例3若f（x）在[a，b]上有n阶导数，且f（a）=f'（b）=f'（b）=f"（b）=…=f（b）=0，则在（a，b）内至少存在一个ξ，使f（ξ）=0

证明：将f（x）在x=b处按泰勒公式展开

f（x）=f（b）+f'（b）（x-b）+f"（b）（x-b）2+…+f（b）（x-b）+f（η）（x-b）

（x

例4若f（x）在[0，1]上有三阶导数，且f（0）=f（1）=0，设F（x）=x3.f（x），试证在（0，1）内至少存在一个ξ，使F'''（ξ）=0

证明一：由题设可知F（x），F'（x），F"（x），F'''（x）在[0，1]上存在，又F（0）=F（1），由罗尔定理，?ξ1∈（0，1）使F'（ξ1）=0，又F'（0）=[3x2.f（x）+x3.f（x）]|x=0=0，可知F'（x）在[0，ξ1]上满足罗尔定理，于是?ξ2∈（0，ξ1），使得，F''（ξ2）=0。又对F''（x）在[0，ξ2]上再次利用罗尔定理，故有ξ∈（0，ξ2）?（0，ξ1）?（0，1），使得F'''（ξ）=0

证明二：写出F（x）在x=0处的二阶泰勒展开式为

F（x）=F（0）+F'（0）x+F''（0）x2+F'''（ξ）x3，（ξ在0与x之间） （*）

因为F'（x）=3x2f（x）+x3f'（x），F"（x）=6xf（x）+6x2f'（x）+x3f"（x），所以F（0）=F'（0）=F"（0）=0，由（*）式得F（x）=F?（ξ）x3，注意到F（1）=f（1）=0，代入得F'''（ξ）=0，故F'''（ξ）=0

二、证明至少存在一点ξ∈（a，b），使f（ξ）=k（k≠0）或a，b，f（a），f（b），ξ，f（ξ），f'（ξ），…f（ξ）所构成式子成立

证题方法：

作辅助函数F（x），验证F（x）满足罗尔定理条件。

辅助函数F（x）的构造是证题的关键，以下介绍辅助函数的构造方法。

微分方程法：（1）将欲证结论中的ξ换成x；（2）将式子写成容易去掉一次导数符号的形式；（3）去掉一次导数符号，移项使等式一端为0，另一端即为所求的辅助函数F（x）。

作辅助函数的方法十分重要，拉格朗日定理的证明在2009年考研数学一和数学二中出现。拉格朗日中值定理的结论：=f'（ξ）

令ξ=x得=f'（x）积分x=f（x）+c

令c=0并举移项f（x）-x=0令F（x）=f（x）-x即可。

柯西中值定理的结论：=

令ξ=x得=变形g'（x）=f'（x）

积分g（x）=f（x）+c令c=0并移项，

f（x）-g（x）=0令F（x）=f（x）-g（x）即可。

例5设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，f（）=1，试证至少存在一个ξ∈（0，1），f'（ξ）=1

分析：f'（ξ）=1?f'（x）=1?f（x）=x?f（x）-x=0?F（x）=f（x）-x

证明：令F（x）=f（x）-x，显然，F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，又F（1）=f（1）-1=-1

f（）-=>0，（f（）=1），由零点定理可知，存在一个η∈（，1），使F（η）=0；又F（0）=f（0）-0=0，对F（x）在[0，η]上用罗尔定理，存在一个ξ∈（0，η）（0，1）使得F'（ξ）=0即f'（ξ）=1

例6设函数f（x）在[0，]上二阶可导，且f（0）=f'（0），f（）=0，试证：至少存在一点ξ∈（0，），使得f''（ξ）=

分析：f"（ξ）=?f"（ξ）（1-2ξ）-2f'（ξ）=f'（ξ）?f"（x）（1-2x）-2f'（x）=f'（x）?[f'（x）（1-2x）]'=f'（x）?f'（x）（1-2x）=

f（x）+c?f'（x）（1-2x）-f（x）=0?F（x）=f'（x）（1-2x）-f（x）

证明：令F（x）=f'（x）（1-2x）-f（x），显然在[0，]上连续，在（0，）内可导，

且F（0）=f'（0）（1-0）-f（0）=0，F（）=f'（）（1-2.）-f（）=0，所以F（x）在[0，]上满足罗尔定理条件，则至少存在一点ξ∈（0，），使得F'（ξ）=0即f"（ξ）（1-2ξ）-3f'（ξ）=0，亦即f"（ξ）=

三、证明在（a，b）内至少存在ξ，η，ξ≠η满足某种个代数式成立

证题方法：用两次拉氏中值定理，或者使用两次柯西中值定理，或者使用一次拉氏中值定理、一次柯西中值定理。

例7设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，0

证明：因为0

即=f'（η），又因为f（x）在[a，b]上满足拉格日中值定理，所以?ξ∈（a，b）使得=f'（ξ），由上面二式可得f'（ξ）=f'（η），ξ，η（a，b）

例8设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1，试证：对任意给定的正数a，b，在（0，1）内存在不同的ξ，η，使+=a+b.

证明：因为a与b均为正数，所以0