三角形的分类范文

导语：如何才能写好一篇三角形的分类，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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对我来说感触比较深的有以下几个方面。

一、整体教程层次性强，各环节过渡直接到位，反映了教师具有强烈的目标意识和在课堂中能及时捕捉学生的信息资源。由于教师预设充分，点拨恰到好处，所以学生对新知识的掌握比较到位。

二、教师在教学中能根据教材固有的特点和学生的实际情况。通过观摩、操作、比较、合作、自学的方法引导学生发现三角形的角和边的特征，会给三角形进行分类，能理解掌握三角形种类的特征。三角形的分类有两种不同的标准，可以用角的大小作为标准来分，还可以用边作标准来分。教师始终以学生活动来完成比较抽象的分类方法的学习，这比较有利于学生知识的内化，也充分体现了以学生为主的教学理念。如按角分类、按边分类、等环节都给学生创造了动手的机会，调动了学生的感知，让学生获得了最直接的经验。

三、自学环节处理的非常有效，自学时机把握的好，自学环节设计的好，比如说：

1、要求明确具体，操作性强。

2、难易在度上适中。内容适合学生自学，学有所获。

3、此环节很好的培养了学生的自学能力。

四、练习设计实施性强层次性、针对性、趣味性、多样性为它融一体。巩固和强化了本节课所要掌握的内容，特别是通过练习学生的所学的知识在疑惑处有了清晰和明了的认识。

五、板书设计，条理清晰，布局合理，体现整节课的主要内容。

几个小建议：

1、要注意教学细节。如教态要自然大方，要把课堂当成是展示自己风采的地方，充满自信。在教学过程中尽量避免出现冷场，避免口误。

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【关 键 词】 知识分类；视角；认知策略；教学设计

【作者简介】 高胜霞，甘肃省定西市安定区李家堡中学教师。

中图分类号：G633.64 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2015） 25-0101-03

现代认知心理学认为，知识在人脑中的表征形式是不同的，根据表征的不同可以把知识分为陈述性知识（知道某事是什么）和程序性知识（知道如何做事）。陈述性知识主要以命题、命题网络、图式的形式来表征；程序性知识主要以产生式或产生式系统为表征形式。这种广义的知识分类也适合数学知识的分类。孔凡哲在此基础上对数学知识进行了分类：数学知识不仅有陈述性知识和程序性知识还应包括过程性知识。

这种知识分类体现了数学的一种动态局势，当陈述性知识在知识运用过程中就会变为程序性知识。换句话说，程序性知识学习是以陈述性知识习得为基础的，同时各种不同类型知识的学习存在显著差异。加涅认为，不同知识类型或者说不同的学习目标具有不同的实施最佳学习条件和教学处方，教师在教学设计中要充分处理好各种知识的合理学习方式，促进知识的动态转化，让学生形成清晰的图式和牢固的产生式系统并习得一定的认知策略。下面以《三角形的内角》为例说明知识分类理论指导下数学教学设计。

一、教学任务分析

《三角形的内角》一课在教材中的位置承前启后，为多边形内角和及三角形全等的推理证明起一定的奠基作用，是人教版八年级数学上册的核心内容。这是一节以数学定理证明为重点的教学课。知识类型有陈述性知识、程序性知识和过程性知识。本节课教学任务是让学生建立初步的数学思想方法和逻辑推理能力，通过三角形内角和定理证明的教学实践，感受几何证明的思想，体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用。同时，引领学生体会数学中数形结合的思想。最后，进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想。

二、学生起点能力分析

“三角形的内角和是180°”这一结论，学生在四年级通过动手操作已经得出。而本学期学生已经学习了平行线的性质与判定、平角的知识，平移的知识，初步感受了几何推理的结构。本节课是在此基础上，证明这个结论成立的道理。同时引导学生回忆与180°有关的知识，想办法将三角形的三个角拼成一个平角或同旁内角的形式，再利用所学的知识证明三角形内角定理，启发学生正确添加辅助线并证明。

三、目标设计

知识与技能：会证明三角形内角和定理，会运用三角形的内角和定理进行简单的几何计算。

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从初一到初三涉及到三角形的问题很多，我把它分为五大类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。五是运动中三角形的分类.

一、 三角形的形状不定需要分类讨论

例1 在ABC中，∠B=25°，AD是BC上的高，并且AD2=BD·DC，则∠BCA的度数为 .

解析 因未指明三角形的形状，故需分类讨论.

如图1，当ABC的高在形内AD2=BD·DC，得 ABD～CAD，进而可以证明ABC为直角三角形.

由∠B=25°.可知∠BAD=65°.所以∠BCA=∠BAD=65°.

如图2，当高AD在形外时，此时ABC为钝角三角形.

由AD2=BD·DC，得ABD～CAD

所以∠B=∠CAD=25°，∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°+90°=115°

二、 等腰三角形的分类讨论

a、 在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论.

例2 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于 .

【练习】 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.

简析： 已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得x+x=9，x+y=12，或x+x=12，x+y=9.解得x=6，y=9，或x=8，y=5.即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm.

b、 在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论.

例3 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）

A. 30° B. 75°

C. 105° D. 30°或75°

【练习】 1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数.

简析： 依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为45°，图2中顶角为135°.

2. 在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B= .

三、 直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论

例4 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为 .

解析 由x2-4+=0，可得x2-4=0且y-5y+6=0

分别解这两个方程，可得满足条件的解

x=2y=2，或x=2y=3

由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论.

当两直角边长分别为2，2时，斜边长为=2；

当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；

当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为.

综上，第三边的长为2或或。

四、 相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类

例5 如图所示，在ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则 的长为（ ）

A. 3 B. 3或

C. 3或 D.

解析 由于以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形有一个公共角（∠A ），因此依据相似三角形的判定方法，过点 的直线 应有两种作法：一是过点 作PQ ∥BC ，这样根据相似三角形的性质可得=，即=，解得AQ=3；二是过点P作∠APQ=∠ABC，交边AB于点Q，这时∠APQ：∠ABC，于是有 =，即，解得AQ=. 所以AQ的长为3或 ，故应选B.

五、 运动中三角形的分类

例6 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，DC=5，AB=4 ，∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.

（1） 求BC的长.

（2） 当MN∥AB时，求t的值.

（3） 试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形.

解析 （3）分三种情况讨论：

① 当NC=MC时，如图③，即t=10-2t， t=10/3.

② 当MN=NC时，如图④，过N作NEMC于E.

∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，NEC～DHC. NC：DC=EC∶HC，

即 t/5=5-t/3.t= 25/8.

③ 当MN=MC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.FC= 12NC= 12t.

∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，MFC～DHC. FC∶HC=MC∶DC，

即 12t/3=10-2t/5， t=60/17.

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单元总体目标：

1.认识三角形各部分的名称、三角形的底与高、三角形的两边之和大于第三边，三角形的内角和是 180 度等。

2.通过对比了解三角形的不同类型。

3.通过观察、探究、操作的过程，认识三角形的特征及分类。

4.培养学生乐于探究、乐于实验的科学精神，培养学生的合作交流和空间观念。

本单元共用 6 课时完成教学

第一课时：认识三角形 例1、例2及课堂活动，练习九1-4

第二课时：认识三角形 例3课堂活动1题及练习十1-3

第三课时：认识三角形例4 课堂活动2题及练习十4-8题

第四课时：三角形的分类例1及课堂活动1题及练习十一1-4

第五课时：三角形的分类例2、3及课堂活动2-4题及练习十一5-8

第六课时：整理与复习 及练习

单元教学重点：三角形的特征及三角形的底与高。这是探究三角形边的关系、三角形的内角和三角形面积计算等的基础，因此是教学的重点。

单元教学难点：发现和体会”三角形任意两边之和大于第 3 边“及”三角形的内角和是 180°。

第一课时

教学目标：1、通过观察、折、画认识三角形的特征和特性。

2、指出三角形边、角、定点、会辨认出三角形的底和高。

教学例1：认识三角形的特征，用自己的语言说出什么的三角形。认识三角形的特性：三角形不容易变形的这种性质就是三角形的稳定性。

教学例2：认识三角形的底和高

1、认识底和高：检查方法：拿一个锐角三角形。折痕的一端过三角形的顶点，另一端所指的边被分为两段，折后这两段要重合。

2、三角尺画三角形的高。

第二课时

教学目标：实验操作中探索三角形3条边之间的关系，通过操作了解“三角形两边之和大于第三边”。

教学例3：探索三角形三条边的关系。课前准备好不同长短的小棒或吸管，学生动手操作实验，并完成实验表格，在围成的三角形中，两边之和与第3边比较发现：三角形任意两边之和大于第三边。

第三课时

教学目标：探索三角形内角和等于180°的过程。通过猜想、验证了解“三角形内角和等于180°

教学例4：方法：1、通过量一量，加一加2、撕一撕，评一评等方法验证三角形的内角和都是180°。

思考：三角形的内角和与三角形的大小有关系吗？

第四课时

教学目标：知道三角形按内角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。在操作中去认识各种类别的三角形及其特征。

教学过程：出示例1中的6个三角形。

提出要求：

（1）观察每个三角形中3个角分别是什么角？（不易观察的要用量角器度量）

（2）根据角的特点对这些三角形进行分类，并思考这样分的依据。

（3）给同桌同学讲一讲，你是怎样分的？为什么要这样分？

教师：为什么这里说“有1个角是直角的三角形叫做直角三角形”，想一想，在一个三角形里面能不能有2个直角呢？在一个三角形里面能不能有2个钝角呢？

第五课时

教学目标：了解等腰三角形、等边三角形的特征。

教学：

1、将红领巾或小彩旗对折，你有什么发现？

发现：（1）两条边相等。（2）两个角相等。（3）是轴对称图形。

教师：是不是所有的三角形对折后都是这样的呢？请拿出自己随意剪的三角形，进行对折，看有没有这些特征。

2、教学等腰三角形各部分的名称。

3、探索等边三角形的特征

出示例3 按要求剪三角形。

（1）将一张长方形纸对折。

（2）用量角器量30°的角。

（3）剪三角形。

（4）展开。

2、仔细观察手中的三角形的角和边，也可以动手折一折或用直尺和量角器量量，看有什么发现？

3、在小组里面交流自己的发现并说出你是怎样发现的。

4、反馈：

（1）3条边相等。

（2）3个角相等，都是60°。

（3）是轴对称图形。

（4）锐角三角形。

教师：像这种3条边相等的三角形，我们给它取个名字叫做等边三角形。

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教材简析：

“三角形的分类”是“空间与图形”领域内容的一部分，是在学生认识了直角、钝角、锐角和三角形的特征基础上展开学习的，教材分为两个层次：一是三角形按角分类，分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，并通过集合图形象地揭示三种三角形之间的关系，并体现分类的不重复和不遗漏原则；二是三角形按边分类，不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形里又包含等边三角形。着重引导学生认识等腰三角形、等边三角形边和角的特征。

学情分析：

四年级的学生已经具备了一定的平面图形的知识，而且是在学生认识了直角、钝角、锐角和三角形的特性的基础上开展学习的，三角形按角的特点分类比较直观，学生容易理解。按边的特点分类相对比较难一些，要让学生通过度量边的长度（或折）来引出概念。

设计理念：

课堂分为三个教学环节：一是谈话导入，揭示课题；二是自主探究，合作交流；三是拓展练习，提高能力。自主学习的过程实际就是教学活动的过程，以活动促学习是本节的教学定位。在活动中给学生足够的时间和空间，自由开放的探究数学知识的产生过程，逐步建立对三角形的角与边特征的认识。通过测量、观察、概括等多种形式的学习，力求让学生真正动起来，充分展现了做中学，从而获得对三角形边、角特征的认识，培养创新的意识和能力。

教学目标：

1.使学生通过观察、操作、发现三角形角和边的特征，给三角形分类，理解并掌握各种三角形的特征。

2.经历观察与探索的过程，培养学生观察分析、动手操作能力，进一步发展学生的空间观念。

3.激发学生的主动参与意识、自我探索意识和创新精神，进一步感受三角形与日常生活的联系。

教学重点：学会从不同角度给三角形分类，掌握各类三角形的特征。

教学难点：会按边的特征给三角形进行分类。

教学准备：多媒体课件、三角尺、各种形状的三角形若干个、表格。

教学过程：

一、谈话导入，揭示课题

1.提出问题

师：这节课，老师带来了7个三角形，在看到第7个三角形之前，请大家想一想：第7个三角形会跟前6个三角形有什么共同的地方？（都有三条边、三个角）

请你再从这6个三角形里选1个跟7号三角形比一比看能发现有什么不同的地方？（角的大小，边的长短都不同）

（设计意图：复习有关三角形的知识，为下面探究新知做好铺垫，创设问题情境，引出要探讨的问题，激发学生学习的兴趣。）

2.揭示课题

二、自主探究，合作交流

1.我们通过小组合作探究的方式来对三角形进行分类，请同学们听清楚小组合作的要求。

小组合作要求：①每个小组选择一个观察角度（角的特征或者边的特征）给三角形分类；②每个组员负责测量一个三角形的相关数据，并记录在表格上，并根据数据的特点对三角形进行分类；③派代表向全班汇报分类情况。

2.小组成员分工合作，按照活动要求进行探究。（教师巡视）

（设计意图：为学生创设交流的机会，通过小组观察、测量、交流、讨论活动，使学生的自主学习与合作交流有机的结合。）

3.全班交流，按角分类

（1）师：请小组汇报你们是怎么分的？为什么要这样分？（按角分可以分为三类：①三个锐角；②一个直角，两个锐角；③一个钝角，两个锐角）

师：你发现这三类三角形有没有什么共同点？不同点呢？（相同点：都至少有两个锐角。不同点：第三个角不同。）

（2）画一画：现在请你们在点子图上任意画一个三角形，并标上名称。（生画图）

（设计意图：在学生动手操作充分感知的基础上，引导学生归纳出各种三角形的特征，培养学生的探究能力和归纳概括能力。）

4.全班交流，按边分类

（1）师：刚才我们按角分把三角形分成了三类，其他小组有没有用不同的方法进行分类呢？（生汇报）

（2）认识等腰三角形、等边三角形及它们之间的关系。

师：等腰三角形除了两腰相等，还有什么也相等？（折一折、比一比发现：两个底角也相等）

认识等边三角形，再折一折、比一比，看等边三角形除了三条边相等，还有什么特点？（三个角也相等；说明等边三角形是特殊的等腰三角形）

（设计意图：在探究的过程中渗透了等腰三角形与等边三角形的关系，渗透出“异中求同，同中求异”的辩证思维观念。）

（3）找一找，哪里有这两种特殊的三角形。（学生举例）

三、巩固应用，畅谈收获

本节课的学习，你有什么收获？

（设计意图：通过课堂总结，提高学生的概括能力，培养学生学数学、用数学的意识。）

四、拓展延伸

三角形从角的角度观察可以分成三类，从边的角度也可以分成三类。如果既考虑角，又考虑边，这个位置应该放什么三角形？

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问：何谓教学目标？一条规范的教学目标应包括哪些要素？

答：关于教学目标的定义，国内外教育专家的提法不尽相同，也因此导致当前教学目标设置乱象的现状。目前比较公认的教学目标定义是：教学目标是预期学生通过各种学习活动获得的全部学习结果。从这个定义可以析出：教学目标至少有三个基本要素――目标指向的对象；学习活动；学习结果。但描述学习活动需要说明学习的载体、活动的方式等。评价学习结果需要说明特定的限制和达到的程度。因此，根据教学目标的详略其组成要素又有三要素说、四要素说、五要素说等。一般地，在不会引起误解或多种解释的前提下，目标指向的对象可以省略；由于获得学习结果往往需要多项学习策略，为避免教学目标的复杂性表述学习活动一般不具体（甚至可以省略）。因此，一般地，一条教学目标包含4个要素：学习活动（策略性的，用行为动词来界定）；学习结果（教学目的，用性能动词来界定）；特定的限制（评价学习结果所需要的特定限制）；达到学习结果的程度（学习之后预期达到的最低表现水准）。从教学目标的组成要素可以看出：教学目标是教学目的的具体化――目的只是一般的意向或意图，它只表达了“学什么”，但它没有表达“怎样学”和“学到什么程度”；目标不但表达了“学什么”，也表达了“怎样学”和“学到什么程度”.

问：根据教学目标的定义，学习结果是教学目标的基本成分。怎样确定学习结果？

答：先析出教材涉及的课程内容；再论证并解析获得课程内容的认知过程及认知条件；然后按学习结果分类理论确定涉及的学习结果。其具体操作方法如下：

（1）析出教材涉及的课程内容。析出教材涉及的课程内容就是根据课程内容的含义从章节核心概念的概念体系中抽出本节课涉及的课程内容。例如，“认识三角形（第1课时）”涉及的课程内容有：三角形的产生方法及三角形与线段和三角形与生活中三角形的关系；三角形的概念（包括定义、组成要素和表示三角形的符号）及定义三角形的步骤和蕴涵的归纳思想与发现几何图形特征的经验；三角形的“角角关系”及三角形的分类表示、三角形的“边边关系”及三条线段构成三角形的条件，及研究三角形性质的过程和蕴涵的数形结合思想、分类讨论思想、符号表示思想等与从运算角度发现与提出问题和从逆命题角度发现和提出问题的经验；用三角形的有关知识解决有代表性的问题及解题的过程和蕴涵的演绎思想等与判断三条线段构成三角形的经验等。内容之间的逻辑关系可用图1表示.图1“认识三角形（第1课时）”主要内容及其逻辑关系（2）论证并解析认知过程及认知条件。论证认知过程及认知条件就是运用学习任务分析理论，分析获得主要课程内容（特别是概念、性质）的认知过程及认知所需要的必要条件和支持性条件。认知过程是指获得有关课程内容的步骤。必要条件是学习中不可缺少的条件――学习新知识必须具备的先决条件；支持性条件是对学习起“催化剂”作用的条件――数学认知策略、数学思想方法、数学活动经验、态度等。解析认知过程及认知条件就是说明认知过程和蕴涵的数学思想方法的价值。例如，获得三角形概念的认知过程和认知所需要条件的分析结果可用图2表示.图2三角形概念学习分析结构图从图2可以看出：获得三角形概念的基本步骤是：①用适当的方法产生特定的三角形或有代表性的三角形；②观察特定或有代表性三角形的特征；③归纳或演绎三角形的本质特征；④用文字语言定义、用符号语言表示、说明组成要素等。获得三角形概念的支持性条件是：①发现几何图形特征的经验；②归纳思想（或演绎思想）；③定义几何图形的经验。获得三角形概念的必要条件是：三条线段拼接三角形的经验，或生活中三角形到数学中三角形的抽象经验。由于产生三角形有两种可行的方法，所以选择哪种方法需要价值分析：这第①种方法符合认知同化理论和几何发展规律，并且暗示了数学中三角形与生活中三角形的关系，但教师演示学生观察的方法学生思维含量不高，也容易导致学生“生活中三角形”与“数学中三角形”相混淆。这第②种方法符合认知同化理论和几何发展规律，并且暗示了三角形的本质特征，也是画三角形的基本方法。由此可见，采用线段拼接的方式产生三角形更能反映数学的本质。由于定义三角形的步骤和蕴涵的数学思想及发现三角形特征的数学活动经验对学习其它几何图形有指导作用，观察并归纳三角形的共同特征有能力发展点、个性和创新精神培养点，所以定义三角形的步骤和蕴涵的数学思想及数学活动经验应列入课程内容，并成为教学目标的有机组成部分.

（3）按学习结果分类理论确定涉及的学习结果。一般地，全部学习结果包括知识、技能、情感态度与价值观三个方面。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）把学习结果分为“结果性”学习成果和“过程性”学习成果两类。“结果性”学习成果包括四种类型的知识（事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识）和四个层级的智慧技能（知识技能、理解概念、运用规则、解决问题）。“过程性”学习成果包括数学思考、问题解决、情感态度――在数学结果形成与应用过程中的数学抽象、数学推理、数学思维等；从数学角度发现和提出问题及分析和解决问题等；在反思学习过程和学习结果中，体会认知过程和蕴涵的数学思想，体验解决问题方法的多样性，体会数学的特点和了解数学的价值等；在数学活动的过程中，积极参与数学活动，有“认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑”的良好学习习惯等。例如，“认识三角形（第1课时）”的“结果性”学习成果有：事实性知识――三角形的名称、组成要素，表示三角形的符号；概念性知识――三角形的概念，三角形三个内角之和等于180°和三角形任意两边之和大于第三边等的性质，三条线段能组成三角形的条件；程序性知识――产生三角形的方法，定义三角形的步骤，研究三角形性质的方法，用有关知识解题的方法等；元认知知识――研究三角形的策略和蕴涵的数学思想及发现几何关系和判断给定三条线段能否构成三角形的经验等。知识技能――用符号和字母表示三角形，在具体情境中识别三角形，用三角形的角角关系进行计算等；理解概念――三角形的分类表示，三角形与线段和三角形与生活中三角形的关系，用三条线段构成三角形的条件判断给定三条线段能否构成三角形；运用规则――用定义几何图形的经验定义三角形，用三角形的边边关系进行大小比较；解决问题――观察基础上归纳三角形的特征，用合情推理发现三角形的性质和用演绎推理说明三角形的性质，从运算的角度发现并提出三角形两边之差小于第三边，从逆命题的角度发现并提出三条线段能构成三角形的条件，用三角形的有关性质解决简单的实际问题。其“过程性”学习成果可能有：发现三角形特征和生成三角形性质中的个性化想法；反思三角形概念和性质形成过程中的个性化体验（特别是定义的步骤和研究的方法及蕴涵的数学思想）；参与定义三角形活动和探索三角形性质中的个性化表现（积极参与讨论并敢于发表观点等）和对学习三角形意义的感触等.

问：根据教学目标的定义，学习结果暗含认知要求。怎样确定认知要求？

答：先解析课程内容的地位与作用；再查阅《课标（2011年版）》中学段目标和教学参考书设置的章节目标；然后结合学生现实确定学习结果的认知要求。其具体操作方法如下：

（1）解析课程内容的地位与作用。解析课程内容的地位就是说明研究对象在数学体系中的位置、研究内容在解决数学内部和外部问题中的作用、研究方法对进一步认识数学的影响。解析课程内容的作用就是说明教学对学生理解数学地认识问题和解决问题的方法的作用、蕴含在知识背后的思想方法和数学活动经验等对发展学生智力的作用、数学活动过程对发展学生能力和个性的作用。例如，“认识三角形（第1课时）”，其地位是：三角形是基本图形，是平面几何的重要研究对象；日常生活中经常采用三角形的结构，利用三角形的性质能解决许多数学内部和外部中的问题；研究三角形的“基本套路”、定义三角形的步骤和研究三角形性质的方法对研究其他几何图形有示范作用。其的作用有：通过教学能使学生理解数学地认识几何问题的思维模式和解决问题的方法；其蕴涵的数学思想方法和数学活动经验对发展学生的智力有积极的影响；其蕴涵的理性思维过程对发展学生的能力和个性也有积极的影响.

（2）查阅《课标（2011年版）》中学段目标和教学参考书设置的章节目标。《课标（2011年版）》体现了国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和质量要求，是国家管理和评价义务教育数学课程的基础，也是教材编写、教学、评估和考试命题的依据。因此，所有教学活动都应该而且必须基于《课标（2011年版）》展开。教学参考书设置的章节目标是《课标（2011年版）》学段目标的下位目标，是编者根据《课标（2011年版）》学段目标按“知识与技能+认知过程”两个维度进行细化的结果，在设置教学目标时有一定的参考价值。例如，“认识三角形”在《课标（2011年版）》中的学段目标是：理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。探索并证明三角形的内角和定理；掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。“认识三角形”在教学参考书设置的章节目标是：体验并理解三角形概念；经历并掌握三角形的表示方法；体验并理解三角形两边之和大于第三边；探索并掌握三角形三个内角的和等于180°及其推论；探索并运用三角形的边和角的性质解简单的几何问题；经历并了解三角形的分类.

（3）结合学生的现实确定学习结果的认知要求。学生的现实是指学生已有的知识与经验状况，它是贯彻“个性化”和“针对性”思想的前提。如果学生数学基础较好，则其教学要求可以比《课标（2011年版）》的要求适当提高；如果学生数学基础较差，则其教学要求不能随意提高。例如，“认识三角形（第1课时）”，尽管其学习结果有较高的价值并且学生在小学阶段对三角形已有一些感性认识，但《课标（2011年版）》对“认识三角形”的教学要求已经比较高了，对大部分学生来说只要达到《课标（2011年版）》的要求即可。然而，尽管《课标（2011年版）》给出了刻画学习结果的性能动词，但这些性能动词仍然比较概括、抽象，不能满足准确刻画学习结果的需要。例如，“了解”、“理解”属于内隐的心理活动动词，应将其转换为相应的外显动词以满足准确刻画学习结果的需要。一般地，了解对应的性能动词有：能（陈述、再认、区分、识别、告诉、界定等）――了解所要解决的是“知”与“不知”的问题，即只要求“知其然”，知道“是什么”；理解对应的性能动词有：能（说明、阐明、举例、描述、解释、判断、转换、表示、分类、辩护、领会等）――理解所要解决的是“懂”的问题，即要求“知其所以然”，知道“为什么”；掌握对应的性能动词有：会（表示、计算、推理、画图、操作、测量、执行、演示等）――掌握所要解决的是“会”与“不会”的问题（具有一定的方法和步骤）；运用对应的性能动词有：会（解释、判断、运算、推理、论证、生成等）――运用所要解决的是“熟”与“不熟”和“活”与“不活”的问题（需要综合运用有关知识，选择或创造适当的方法解决问题）。例如，“理解三角形的概念”可以具体分解为：能结合图形说出三角形的组成要素与相关要素，能陈述三角形的特征和三角形与线段和三角形与生活中三角形的关系，会用文字、符号和字母表示三角形，会用三角形的定义进行判断与推理，能说出定义三角形的步骤和体会蕴涵的归纳思想等.

问：根据教学目标的定义，学习活动是教学目标的组成要素。怎样选择活动方式？

答：一般地，学习有这样一些基本的行为方式：①视，即看、观察；②听，即倾听；③读，包括有外部语言的读和没有外部语言的读；④做，即动手操作，包括列表、排序、画图、测量、计算、解答、化简、证明等；⑤思，即思考、思辨、分析、比较、抽象、概括、综合、演绎、归纳、类比、判断、推断等；⑥议，包括说、论、评，即描述、论述、讨论、交流等，总之是口头的表达。《课标（2011年版）》根据数学学科的特点将数学活动概括成有层次的三种形式：①“经历……过程”。其活动的内容是借助已有的知识与经验从数学角度认识与研究对象有关的“生活题材”或“数学题材”；其活动的形式主要是有指导地“视”、“听”、“读”、“做”等；其活动的目的是：从“生活题材”或“数学题材”中抽象出研究对象，并获得对象的一些感性认识。②“参与……活动”。其活动的内容是借助认知同化理论认识或验证对象的特征；其活动的形式主要是主动地“视”、“做”、“思”等；其活动的目的是：初步认识对象的特征及认识对象特征的一些经验。③“探索……关系”。其活动的内容是运用数学推理方法研究对象的特征、性质，或数学规律、数学方法、数学问题、数学结论等；其活动的形式主要是独立或与他人合作进行“视”、“做”、“思”、“议”等；其活动的目的是：理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。这三种数学活动方式分别用行为动词“经历”、“参与”、“探索”来界定。选择活动方式就是依据“知识与技能”的地位与作用和获得“知识与技能”的认知过程和蕴涵的数学思想方法等的价值，按《课标（2011年版）》的观点选择合适的数学活动方式以落实全面、和谐发展的教学目标。例如，由于定义三角形的步骤和蕴涵的数学思想对认识其它几何图形有指导作用，观察并归纳三角形的特征有能力发展点、个性和创新精神培养点，所以“三角形概念”的教学应选择学生参与定义三角形活动的数学活动方式.

问：根据教学目标的定义，规范的教学目标需要对学习结果附加特定的限制和说明表现的程度。怎样附加特定的限制和说明表现的程度？

答：对学习结果附加特定的限制和说明表现的程度是满足教学评价的需要。表述评价学习结果所需要的特定限制有四种类型：一是关于使用辅助手段，如“可以带计算器”或“允许上网查阅”；二是提供信息或提示，如“类比发现三角形性质的经验，能给出平行四边形的两条性质”等；三是时间的限制，如“在5分钟内，能……”等；四是完成行为的情境，如“在课堂讨论时，能叙述……的要点”。目标的表现程度是指学生学习之后预期达到的最低表现水准，它只是说明目标所指向的这一群学生最起码达到的标准，而不代表所有学生真正获得的真实的教育结果。刻画行为表现程度可用多种方式来表达所有学生的共同程度。如练习中做对题目的数量（如演示10道计算题至少对8题）；连续正确题目的数量或者连续的无误行为；以一定精确水平的完成（如正确地、精确地、准确地、正确率达80%以上等）；以一定熟练水平的完成（如熟练地、自然地等）；…….

问：表述教学目标有哪些原则？怎样按规范表述教学目标？

答：表述教学目标有这样一些原则：①目标应陈述预期学生学习的结果，即目标的主体是学生而不是教师。②目标陈述应有助于“导学、导教、导测评”。“导学”就是目标能明确告诉学生，通过学习，他应该学会做什么；“导教”就是目标应暗含要教会学生哪些知识与技能及认知策略等；“导测评”就是目标应暗含观察学生学习结果的条件。③目标中应暗含适当的分类框架。例如，“认识三角形（第1课时）”，按这样的表述原则及教学目标的定义，其教学目标可以表述为：①经历产生与感悟三角形的过程，能说出两种产生三角形的方法，能感受三角形具有丰富的现实情景。②参与定义三角形的活动，能陈述三角形的本质特征和定义三角形的步骤，能结合图形指出三角形的边、内角等，会用符号和字母表示三角形。③探索三角形的性质，能发现并提出“角角关系”和“边边关系”并能说明结论成立的理由，能发现并提出三条线段能构成三角形的条件，会对三角形进行合理分类，能感受蕴涵的数学思想和从运算角度思考、从逆命题角度思考分别是发现并提出几何命题的方法；④参与尝试有关知识应用的活动，能在具体情境中识别三角形，能用三角形的有关性质进行简单的计算、比较大小等，能用三条线段构成三角形的条件判断给定三条线段能否构成三角形.

这个教学目标体现了教学的结构、数学活动的类型、具体的任务和要求等，并且暗含着以教学顺序作为教学目标的分类标准，能起“导教”、“导学”和“导测评”的作用.

以上几个问题虽不十分系统，回答可能也不全面。但对帮助教师理解教学目标和掌握设置教学目标的方法有积极作用，对消除当前教学决策随意性和盲目性的现象也有积极影响.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部。义务教育数学课程标准（2011年版）[S]。北京：北京师范大学出版社，2012.

篇7

教师普遍对复习课教学的要求比较清晰：一是要把零碎的知识点进行梳理，使之系统化;二是要通过查缺补漏，巩固所学知识，使所学知识更扎实;三是在学有余力的基础上再获得一定的提升。但在具体实施时，复习课往往容易上成老师一人的“独角戏”：苦口婆心地进行错例的分析;枯燥反复地唆、强调;机械重复地进行技能的训练。一节课下来，老师累，学生也累，无疑，这种“炒冷饭”的课堂缺少生气。那么如何改变这种死气沉沉的课堂面貌呢？我认为应为复习课增添“三股活力”：一是创设趣味情境，增添复习的活力;二是学生参与体验活动，凸显梳理的能力;三是渗透思想方法，激发学习的潜力。下面结合我上《整理复习：三角形》的实践研究，谈一点自己的思考。

这节复习课，我改变了以往固有的复习模式，创设了学生感兴趣的三角形小精灵形象，以它为主线，串联复习内容，而内容设计又建立在学生活动的基础上，引导学生“玩中学，乐中悟”。

一、注入复习的动力

“没有兴趣的学习，无异于一种苦役。”兴趣是最好的老师，也是高效复习的关键。《整理复习：三角形》一课伊始，我把俏皮可爱的三角形小精灵引入课堂。

如，教学片段：

师：这节复习课，我们先请出三角形家族中的几位成员。是谁呢？大家看大屏幕一起说。（逐个出示后，立即隐去卡通形象，留下图形）

生：钝角三角形、锐角三角形、 直角三角形。

师：你们是怎样快速判断它们的类型呢？

生：我们只要看最大的角是什么角就知道是什么三角形。

伴随悦耳的音乐，学生感到亲切，同时复习了各种三角形的特征以及如何判断三角形类别等基础知识，充分调动了学生复习的兴趣，也为后面的整理复习做好铺垫，复习的效果便获得了自然的增值。

《整理复习：三角形》一课，主要复习三角形的有关知识，包括三角形的特征、三角形的特性、三角形的分类等内容。涉及的知识点多而杂，如果只是一题接一题简单重复地练习，课堂将枯燥无味，学生将沉闷无聊。那么如何活跃课堂气氛，激发学生的复习热情呢？课后，我设计了有趣味、有挑战性的“宝藏在哪里”的寻宝活动。

宝藏在三角形ABC区域内。

从A点扫射，它在距离BC边最短的线段上;从B点扫射，它在距离AC边最短的线段上。

学生根据提供的信息，兴趣盎然地投入紧张的“寻宝”活动， 课堂气氛先是安静紧张，进而激动愉悦，孩子们在兴奋中进一步掌握了画三角形高的方法和要点。

课堂实践告诉我们，创设趣味的情境在复习课上尤为重要，它能激发、提高学生的学习热情，又能较好地回顾和掌握所学的知识。

二、凸显梳理的能力

整理、沟通，使知识条理化、系统化，形成良好的知识网络，这是复习课最鲜明的特征。复习本身就是一个“串点成线”的过程。《整理复习：三角形》一课，我整合本单元学过的知识，将其分成两大块内容，一是从复习“三角形的分类”入手，引导学生在活动中进一步理解三角形不同的分类方法及各种三角形之间的关系;二是以“三角形有什么共同特点”为核心问题，引发学生回顾梳理，串起关于三角形边、角的共同特征，以此完善三角形的认知结构。理清了知识的脉络，那么如何以学生为主体进行知识梳理，将复习课上得活泼些呢？

1. 参与体验，理清关系

师：这天，三角形家族盖好了三栋大房子，你们看，分别是（生：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的家。

师：这是按“角”分类。

师：同学们，你们每人手上都有一个三角形，可以住进哪栋房子呢？

师：你说说看。（一位学生上台来，手拿三角形举高给大家看）

师：其他的同学呢？同桌互相说一说。

师：都找到进哪栋房子了吗？如果再给你一些三角形，也还能找到相应的房子住进去吗？

生（齐答）：都能找到。

师：是的，因为三角形按角分，只能分成三类。

师：如果把所有的三角形看做一个整体，怎样用集合图来表示这三种三角形的关系呢？

根据学生回答，出示集合图。

每个学生通过手中的三角形卡片，自主参与判断选择可以住进哪栋房子，结合活动和集合图，学生进一步理解了三角形的分类，三种三角形之间的关系。这些活动都能让学生动起来，在活泼的氛围中，激发学生的思维，他们在玩中学会了整理三角形的知识，避免了复习的枯燥。

2. 沟通联系，适度拓展

三角形按边分类对学生来说难一些，虽然教材不强调按边分分成几类，但我考虑到，作为一堂复习课，有必要帮助学生形成一个完整的认知结构，理清三角形边与角之间的内在关系，于是参考了苏教版教材《三角形按边分》的编排，课中以介绍的方式，形象地再现等腰三角形、等边三角形的关系以及按边分的集合图。从课堂教学的实施情况来看，这样的处理，适度拓展，恰到好处，较好地实现分层教学。如下片段：

师：看！这里还有一栋房子，是等腰三角形的家。你们看看，哪些三角形精灵可以住进去呢？（出示后，立即隐去卡通形象，留下五个三角形。根据学生回答，在课件上分别移动四个三角形精灵进入等腰三角形的家）

师：在四个等腰三角形中，你觉得哪个三角形最特殊呢？

师：你们知道吗？等边三角形是特殊的等腰三角形。我们可以把所有三角形看作一个整体，按边分，我们认识了两种特殊的三角形：等腰三角形和等边三角形。（用集合图表示出来）

3. 核心问题，串联知识

《三角形》这单元知识点较多，且较为零碎。如何将这些零散的知识点连缀起来，形成知识网络呢？本节复习课，我引导同学们思考，手中这么多的三角形，尽管形状、大小可能不相同，但是它们都有什么共同特点呢？请同学们以四人小组为单位，回顾一下三角形有哪些共同特点。

这样，以“三角形都有什么共同特点”为核心问题，设计学习单，学生通过小组间的相互启发、相互讨论合作完成，将一个个似乎不相关的知识点串联起来，自主建构了“三角形”的相关知识，进而形成一个完整的知识系统，使每一个学生在原有的认识基础上得到提高和发展。

三、激发学习的潜力

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，揭示知识的数学本质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别与联系。”

复习课中，我常常引导学生回顾反思，提出“回顾刚才的几种分析或者解法，你能总结出解决这个问题的策略吗？”“我们是采用什么方法来解决问题的？”等问题引导学生对自己的思考分析过程进行回顾与思考，渗透思想方法，完成探究教学。

1. 举出反例，澄清模糊

根据平时收集的学生错例，发现孩子综合考虑三角形的边和角时还较为混沌，甚至出现错误。如何帮助学生分析梳理呢？我把课堂交给学生，组织学生质疑、释疑，自己解决还有疑惑的问题。如：“等腰三角形一定是锐角三角形”是个典型错例，如何使学生加强并形成清晰的认识呢？如果仅仅停留在口头的分析上是不够的，分析过后很快又模糊不清。课中，我引导学生进行反驳，有的学生会利用手中的直角三角形或钝角三角形反驳;有的学生用举反例的方法反驳，一副三角板其中一个就是等腰直角三角形，我们戴的红领巾就是一个等腰钝角三角形，所以说，等腰三角形还可能是直角三角形、钝角三角形，有的同学补充，只要两边相等的三角形就是等腰三角形。它与角的大小无关。看！我手中的三角形是这样的（举起手中的钝角等腰三角形卡片展示），我同桌的三角形又是这样的（直角等腰三角形）。结合学生举反例的证明方法，学生及时总结：“要证明一个结论是不是成立时，只要找出一个实例来说明这个结论不正确就可以了。”我适时补充：“这种方法是举反例的证明方法。”这样，举反例的证明方法就会在学生们的头脑中深深地留下了印象。

2. 不同方法，证明释疑

针对一部分学生就等边三角形从角的角度观察一定是锐角三角形的模糊认识，我创设了一个矛盾冲突：“一个三角形，既是等边三角形，又是钝角三角形。”

老师话音刚落，学生之间立即展开了一场小小的辩论，孩子此时的学习热情高涨，分析与说理也精彩纷呈。

生1：等边三角形三个角都相等所以每个角都是60度，是锐角三角形，故等边三角形不可能是钝角三角形。

生2：我们知道，每个三角形至少都有两个锐角，而等边三角形的三个角都是相等，那么第三个角也应该是锐角，三个角都是锐角的三角形一定是锐角三角形了，不可能出现其他情况。这位同学还边说边写，到黑板前给大家呈现了他的分析推理过程。

听着分析的理由，看着推理的过程，大家都为生2的奇思妙想所折服。我也不禁赞许：“上面两位同学根据等边三角形的多个特征结合起来推理，运用推理的思想方法来证明这个结论是否正确，真是厉害！”

生3：假设等边三角形有一个角是钝角，钝角大于90度，那么等边三角形的三个内角都大于270度了，绝对不可能！所以，有钝角的等边三角形是不存在的……

在复习课里，引导学生应用举反例、假设法等思想方法多角度思考问题，学生思路逐步清晰，思维变得深刻，对知识的理解越辩越清、越辩越明。不仅进一步沟通、理清了三角形边和角的关系，还向学生渗透了比知识更为重要的方法。

篇8

教学时教师要向学生强调：定义中有两个条件1、三条线段不在同一条直线上。2、三条线段首尾顺次相接，缺一不可。如果缺少第一个条件即三条线段首尾顺次相接所组成的图形是三角形。可画图让学生观察。 图中三条线段AB、BC、CA首尾顺次相接，但不构成三角形。如果缺少第二个条件即由不在同一条直线上的三条线段，也不一定构成三角形。 让学生观察图形明白显然也不构成三角形。这样学生对三角形的定义就有了更加明晰的认识。

二、在三角形的分类时，学生常把等腰三角形和等边三角形看成独立的两类。教学时教

师不妨采用欲擒故纵的方法，将其分为三类，造成认知冲突，然后紧扣等腰三角形定义，只要求两边相等即可，没说明第三条边是否一定相等或不等，从而强化等边三角形属于等腰三角形的认识，是底边和腰相等的等腰三角形，使学生回到二分法的轨道上，从而突破难点。紧接着可用图形进一步强化这种认识。

三、变式训练，加深理解

例1有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

（A）7cm，4cm，3cm （B）8cm，4cm，3cm

（C）8cm，4cm，4cm （D）8cm，8cm，4cm

1、由学生作答后，教师故意选错，说（B）可以，造成新的思维热点，在辩论中活跃学生的思维，突出任意“两边和大于第三边”，使学生对定理的理解进一步升华。

2、提问：是不是判断三条线段能不能组成三角形都要写出三个不等式？有没有简便的方法？让学生知道掌握原理还不够，还应探索方法，直到具有操作性为止。从而得出方法：检查较小两边的和是否大于第三边。

例2对课本中的例题进行改造，设置梯度，让学生易于接受分类的数学思想方法。

一个等腰三角形的周长为18cm。

（1）已知底边长是4cm，求腰长。

（2）已知腰长是4cm，求底边长。

（3）已知其中一边长4cm，求其他两边长。

（4）已知腰长是底边长的2倍，求各边长。

（5）已知底长是腰长的2倍，求各边长。

（6）已知一边长是另一边长的2倍，求各边长。

其中的（2）可以先让学生板演，尝试错误，造成思维反差，再有不同意见的学生阐述自己的观点，使学生有恍然大悟之感，从而使学生记住：求三角形边长问题，一定要考虑三边关系，不符合的要舍去。（3）（6）这种题目条件不明确的，可以让学生找出（3）的解答与（1）、（2）之间的关系，（6）的解答与（4）（5）的关系。

使学生明白对此类题目：需要分类讨论，以培养学生思维的严密性和全面性。 转贴于

课后练习：1、等腰三角形的两边长为5cm、9cm，求第三边的长。

篇9

例1 如图1所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2.

【分析】本题对∠A1、∠A2、∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的3个角的大小无关，也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的.我们从直观图形入手，有理由猜想答案大概是0，即∠A1+∠A2=∠B1.要说明两角的和等于第三个角，通常可以通过添加辅助线把较大角分成两个较小角，首先使分出的一个角等于∠A1，这可以通过添加平行线实现，再说明余下的一个角等于∠A2即可.

【解答】如图1，过B1作B1E∥AA1，得∠1=∠A1. 又因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2，所以∠2=∠A2. 所以∠A1B1A2=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠A1B1A2+∠A2=0.

【点评】（1） 当已知与未知的转化不明显时，常常通过作辅助线的方法加以解决，过一点作已知直线的平行线是解决平行线问题时常用的作辅助线的方法；（2） 从上面的解题过程可以看出，这个问题的实质在于已知条件AA1∥BA2，A1B1、B1A2可以看作连接A1、A2之间的折线段，当连接A1、A2之间的折线段增加到4条时，如图2，仍然有结果∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2（即各向右凸出的角的和=各向左凸出的角的和），即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.

进一步可推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0，这时如图3，连接A1、An之间的折线段共有2（n-1）段A1B1，B1A2，…，Bn-1An（当然，仍要保持AA1∥BAn） .

【推广】有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况，这是一种提升自我思考能力的方法.

此题还可以进行如下变化：① AA1∥BA2这个条件不变，如果点B1向右移动到如图4的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之间又有怎样的关系呢？② AA1∥BA2这个条件不变，点B1向上移动到如图5的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之间又有怎样的关系呢？相信同学们可自行解答.

例2 在ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度数.

【分析】因三角形的高不一定在三角形内部，又ABC不是直角三角形，所以ABC的形状应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.

【解答】（1） 如图6，当ABC是锐角三角形时，高BD和CE所在直线相交于三角形内的O点，∠BOE=∠DOC=90°-（90°-∠A）=60°，所以∠BOC=180°-∠BOE=120°.

（2） 如图7，当ABC是钝角三角形时，高BD和CE所在直线相交于三角形外的O点，此时∠A与∠O分别是对顶角∠ACE与∠DCO的余角，由余角的性质可知，∠BOC=∠A=60°.

综上所述，∠BOC的度数是120°或60°.

【点评】（1） 解图形形状不唯一、几何图形位置关系不确定或与分类概念相关的问题时，常常用到分类讨论法；（2） 中线、高、角平分线是三角形中的三条重要线段，从它们所处的位置看，高与中线、角平分线不一样，中线、角平分线都交于三角形内一点，而高的位置随着三角形形状的变化而变化：锐角三角形三条高交于三角形内一点，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外一点，今后研究三角形高的问题时都要注意符合题设条件的图形的多样性.

例3 如图8，将纸片ABC沿着DE折叠压平，则（ ）.

A. ∠A=∠1+∠2 B. ∠A=■（∠1+∠2）

C. ∠A=■（∠1+∠2） D. ∠A=■（∠1+∠2）

【分析】折叠中含有很丰富的相等的量，因此在折叠的动态变化中，寻找不变关系是解题的关键.在此题中，由三角形的内角和定理可知，不变关系是∠B+∠C=∠ADE+∠AED，在四边形BCED中，未知的量减少了，利用四边形的内角和是360°建立方程，就能够得到问题的答案.

【解答】由三角形内角和定理可知：∠A=180°-（∠ADE+∠AED），∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠B+∠C=∠ADE+∠AED.

在四边形BCED中，（∠B+∠C）+（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）=360°，所以（180°-∠A）+（∠1+∠2）+（180°-∠A）=360°，即∠A=■（∠1+∠2），故选B.

【点评】（1） 折叠类问题是近几年中考的热门考题，通常把某个图形按给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题.折叠类问题立意新颖，变幻巧妙，能有效地培养同学们的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力.（2） 此题是用代数法解几何计算问题，这种方法的基本思路是：引入未知数，运用图形性质建立方程或不等式，把问题转化为解方程或解不等式，因此这种方法也称为“方程思想”.如图9，把上题中的三角形纸片改成四边形纸片ABCD，你能否用上面的方法找到∠A、∠D与∠1、∠2的关系？请你动手试试看.

例4 已知ABC中，三边长a、b、c都是整数且满足a>b>c，a=10，那么满足条件的三角形共有多少个？

【分析】这是一道典型的几何类计数问题，如果一个个三角形去列举，不仅麻烦而且容易重复或遗漏，特别地，当a的取值很大时，列举根本不可能实现，因此解决此类问题通常需要分类讨论，为了不重复、不遗漏，还可以采用列表法.

解：由三角形的三边关系知b+c>a，因为b>c，a=10，可知b>5，又因为b

因此，满足条件的三角形共有1+3+5+7=16（个） .

篇10

    比较是认识事物、澄清概念的好办法。在复习中运用比较的方法，可分清概念间的共性

和个性，把握知识 间的联系和区别，加深对概念的运用。如复习“三角形”部分可以这样

进行：

    1.指导学生阅读课本。

    让学生根据学过的知识，通过写、填、画完成教材规定的要求。这个过程是学生自己动

脑动手系统整理和 复习的过程，可以加深对三角形概念的认识。

    2.指导学生对比区别。

    （1）出示下表： 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 特征 三个角都是锐

角 一个角是直角 一个角是钝角

    （2）让学生画出表中的三种图形，提问：

    ①三角形最少有几个角是锐角？

    ②为什么直角三角形中只能有一个直角？钝角三角形只能有一个钝角？

    ③在直角三角形中两锐角与第三个角的关系怎样？

    经过对比，学生明确了3类三角形的区别和特征。 这时学生会提出疑问：“等腰三角形、

等边三角形，为 什么不归纳到锐角三角形中呢？”教师应及时指出：“分类要有确定的标准，

表中的三角形是以角为标准来分 类的，等腰三角形和等边三角形是以边为标准来分类的。”

同时引导学生讨论：“等腰三角形、等边三角形是 不是锐角三角形？”学生根据这两类三角

形的特征很快会弄清等边三角形一定是锐角三角形，而等腰三角形可 以是锐角三角形，也

可以是钝角三角形或直角三角形。

    3.指导学生比较沟通。

    在学生明确了三角形的共性的基础上，为了沟通三角形的底、高与它的面积间的本质联

系，可设计下面一 组练习：

    附图{图}

    说出上图各三角形面积的关系（单位：厘米）

    在这一组练习中，学生感受到：三角形的形状在不断地变化：锐角三角形直角三角形

钝角三角形等 腰三角形，但底和高并没有改变，所以各三角形的面积都相等。通过比

较中的复习，学生会对概念理解更清晰 ，形成比较完整的认知结构。

    二、形成网络

    在复习四边形时，教师可首先给出正方形图形，引导学生观察：如果将正方形的一组对

边延长一段（等长 ），得到什么样的图形？学生会很快地回答是长方形。然后教师又拿出一

个用木条钉的长方形图形，让一个学 生在长方形的对角一拉（让学生注意长方形角度的变

化），得到一个新的图形——平行四边形。经过分析演变 过程，学生清楚地认识到：正方形

属于长方形的范畴，是特殊的长方形，正方形、长方形又都属于平行四边形 的范畴，都是

特殊的平行四边形。接着再让学生实际操作，截开平行四边形的一条对角线，得出两个三角

形。 再让学生观察得出：如果将三角形一腰平移，可得到梯形。

    附图{图}

    在学生系统了解以上平面图形是怎样得出的基础上，引导学生分别分析每个图形的特

点、对称性、计算公 式以及各种图形之间的联系与区别。特别要搞清：平面四边图形中，

平行四边形是原理性知识，正方形、长方 形因为是特殊的平行四边形，所以它们的面积都

可以归结为“底乘以高”；三角形、梯形都是平行四边形的一 半（当梯形的上底为零时，就

是三角形），它们的面积公式都可归结为“底乘以高除以2”。 学生掌握了这一 规律，学习

起来就会觉得轻松，有兴趣，学习能力也会大大提高。

    表格式也是归类梳理形成网络的好办法，下面的4 种表格涵盖了第八册几何初步知识

的主要内容。 名称 直线 射线 线段 垂线 平行线 图形 特征 名称 角 锐角 钝角 直角 平

角 周角 图形 特征 名称 锐角 钝角 直角 等腰 等边

    三角形 三角形 三角形 三角形 三角形 图形 特征 名称 三角形 长方形 正方形 平行

四边形 梯形 图形 面积公式

    把知识表格化、条理化、系统化，便于运用和记忆。

    三、深化提高

    在复习整理中要提高学生综合运用所学几何知识解决问题的能力，培养学生的分析、综

合、判断、推理等 思维能力，在运用中加深对所学概念、公式的理解。

    1.例如：在复习角、三角形内角和等知识时，设计这样的复习题：

    ①三角形的内角和是（ ）度。

    ②∠1是（ ）度。（图一）

    ③等腰三角一底角等于55°，则顶角∠1是（ ）度。 （图二）

    ④图中三角形是等边三角形，那么∠1＝（ ）度。（图三）

    附图{图}

    上面几道题的水平是不同的。第一题，只要记住三角形的内角和是180°就行了，属识

记水平。第二题， 学生只要运用三角形内角和的知识进行简要推理，就可求得∠1的度数。

属于简单运用水平。第三、 四两题不 但要求学生掌握三角形内角和的知识，还要使其掌握

等腰三角形两底角相等、等边三角形三个内角都相等、一 平角为180°等， 属综合应用水

平。

    2.计算下图的周长。（单位：厘米）

    附图{图}

    此题要求学生能把与底6厘米平行的阶梯式的各线段向上移， 把与高6厘米平行的阶

梯各线段向右移，从而 看出这个图的周长与边长6厘米的正方形的周长相等。

    3.求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）

    附图{图}

    解答此题，先要看出这是个什么样的图形。乍一看，它像个平行四边形，但细一分析，

图形的两底分别是 2厘米与3厘米，所以这是个梯形，高为3厘米，阴影部分的面积是（2

＋3）×3÷2＝7.5（平方厘米）。

    4.由于多数组合图形都可以用不同的方法解答，在复习整理过程中要加强一题多解的训

练，培养学生多渠 道、多角度思考问题的能力。求下图的面积。（单位：厘米）

    附图{图}

    解法一：6×3＋（3＋6）×（12－6）÷2＝45（平方厘米）

    解法二：6×（12－6）÷2＋（6＋12）×3÷2＝45（平方厘米）

    解法三：（12－6）×（6－3）÷2＋12×3＝45（平方厘米）

    解法四：12×6－（6＋12）×3÷2＝45（平方厘米）

    总之，几何初步知识的复习，必须以全面提高学生的数学素质为出发点，要依据大纲要

求和学生实际，认 真研究复习内容和方法，充分发挥主导与主体的作用，扎实高效地搞好