高中数学解题方法范文

导语：如何才能写好一篇高中数学解题方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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张彦锋  

（神木第四中学，陕西  榆林  719300）

摘要：让学生掌握数学解题的方法，是提升学生数学解题效率的关键。本文笔者从用数形结合的方法解题；用分类讨论的方法解题；利用反证法进行解题；运用函数与方程相结合的方法解题等四个方面对高中数学解题方法进行了探析。

关键词：高中数学；解题方法；探析

一、用数形结合的方法解题

例 已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（    ）

(A)5     (B)7         (C)9           (D)10

[解析] 画出f(x)的图象画出y=lgx的图象数出交点个数。在这样的解题方法指导下，将“数”转化为“形”，将数与形很好的结合起来，从而大大提升了数学解题的效率与准确率。

解：由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数。又f(x) =lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点。

 

故此题答案是C。

    对于这道题目而言，虽然只是一道选择题，但要是用代数的方法进行计算得出结论，就会很容易出现错误。在解题中，我们将用“形”的形式表现出来，其答案一目了然，解题也变得快速而准确了。

二、用分类讨论的方法解题

例：解不等式 >0  (a为常数，a≠－ )

[解析]  此不等式中，含有参数a的大小，决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，介于此，我们需要参数a的大小情况进行分类讨论：a>0、a＝0、－ <a<0、a<－ ，通过a情况的不同分别进行解题。

解：2a＋1>0时，a>－ ； －4a<6a时，a>0 。  

所以分以下四种情况讨论：

当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；

当a＝0时，x >0，解得：x≠0；

当－ <a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a；

当a>－ 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。

综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－ <a<0时，x<6a或x>－4a；当a>－ 时，6a<x<－4a 。

本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。

三、利用反证法进行解题

例： 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝  (其中x∈R且x≠ )，

证明：① 经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；

 ② 这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。

[解析] 本题是要求“不平行”，在高中阶段，我们学习过如何证明平行，但是对于怎样直接证明“不平行”，我们还很陌生。对于这样的数学问题，我们在解题的过程中就要将“陌生”转化为“熟悉”，这样才能更有利于我们进行解题。于是此题目我们可以将“不平行”转化为“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设，此题即得证明。

证明： ① 设M (x ,y )、M (x ,y )是函数图像上任意两个不同的点，则x ≠x ,

假设直线M M 平行于x轴，则必有y ＝y ，即 ＝ ，整理得a(x －x )＝x －x

x ≠x    a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾，  

因此假设不对，即直线M M 不平行于x轴。

② 由y＝ 得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝ ，

即原函数y＝ 的反函数为y＝ ，图像一致。

由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝ 的图像关于直线y＝x成轴对称图像。

在解答这道题目的过程中，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾，从而使题目得到解决。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，希望同学们加以借鉴并掌握。

四、运用函数与方程相结合的方法解题

例：图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为 ,设AB=2x,BC=y.

（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；

（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.

 

          图1                              图2

[解析] （Ⅰ）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为 .所以   ，

得              

      依题意知：        得

所以， （ ）.            

（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有

          

   .

因为 ,所以，当 时，凹槽的强度最大.

答: 当 时，凹槽的强度最大.

此题利用函数与方程相结合的方法解决了最优化的问题。在解决这类最值问题的时候，一般是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值，从而使问题变得迎刃而解了。

 五，结束语。

总之，“只要功夫深，铁杵磨成针。”在要提高学生数学解题的效率，需要学生首先掌握数学解题的方法，在此基础之上，勤加练习，做到勤学巧练。这样“方法+实战”，一定会帮助我们提高数学解题的速度与准确度，最终提高我们的数学成绩。

参考文献：

[1]张德峰.关于高中数学解题教学的探究[J].读写算(教育教学研究),2010,(26).

[2]冯霞.浅谈高中数学解题的方法[J].科学咨询,2009,(24).

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关键词：高中数学；解题；化归方法；教学

学生对于划归法的把握和运用，能够充分的调动学生对于数学题目解答的自信心，对于学生更好的学习高中数学，学好高中数学是有很大帮助的，高中科目中，数学也是一个主要的科目，值得老师和学生都给予高度的重视，因此在高中数学解决教学中，教学需要就学生对于化归方法的掌握能力给予高度重视，充分调动学生学习的热情。

1．解题教学中化归能力培养的理论基础

化归教学方法是数学方法论中最典型方法或基本方法之一。而化归思想方法也是数学教学中最基本的思想方法，其主要目的是从联系实现转化，在实现转化过程中使问题更加规范化。我们在研究化归思想方法时，必须注意到，它只能是一种解决问题的方法，而不能成为发现问题的方法，不过我们肯定其在数学教学和学习以及数学研究中的重要作用，所以化归思想方法有其本身的局限性。此外，在解决数学问题时应用化归方法，也受到不同学生对认知结构的限制以及其在数学学科能力的约束。所以，在数学教学过程中，不能时刻强调化归思想方法的数学教学模式，否则学生学习过程中容易形成思维定式，这种思维定式会顺向迁移倾向，而迁移可能带来正迁移也可能产生负迁移。因此在高中数学解题中就需要结合学生的具体实际情况，注重对学生化归能力的培养，让他们在高中数学解题中更好的理解、掌握、运用化归法。

2．在高中数学解题教学中，化归法使用策略

2.1充分挖掘教材，展现化归方法

化归思想方法在数学知识中得到完整的表达，主要的限制因素是教材逻辑体系本身，所以，在数学教学中，更有利于学生学习和教师的教学方法是将具体知识利用化归思想方法清晰明朗化，更能让学生对化归思想的和知识的掌控。而在教学中利用化归思想方法进行教学并非简单的知识定义化、定理化，公式化。这需要不断总结经验，将化归思想发挥最大的优势。

在中学数学教学中，化归方法渗透到了整个中学阶段的代数、几何教学当中，可见其在中学教材中出现的频率相当大。在几何中，化归方法在教材中往往采用平移、作截面、旋转、侧面展开等手段实现，将复杂的空间问题转化为简单的几何平面内问题加以解决。而在代数教材中，对于方程式问题，例如，无理方程、对数方程，指数方程等等，基本都是将方程先转变为一元一次方程是或者一元二次方程式再解决问题；不等式方程、复数间的运算问题处理方式基本相似。在解析几何教材中，在探讨几何中标准位置后，利用其位置下各种曲线的基础知识，采取坐标变换，最终将一般的二次曲线的探讨化归到标准情形中加以解决问题。

2.2改善学生的认知结构，重视过程教学

在我国的基础教学中，实行的是数字教学，对学生的能力的培养是比较重要的方面，而在数学教学中，对学生的数学能力的培养就同样是个十分重要的方面。教师需要在教学的方方面面注重对学生能力的培养，使学生获得更多的学习的能力，而不是单纯的知识点，或者知识面，让学生更加重视对学习知识发生、获得的过程的了解，教师在过程教学中，充分的运用教学策略，吸引学生学习的积极性和学习的热情，调动学生学习的主动性，从而在学习中，使得学生对于知识和认知同步前进，形成良好的数学思维。

在高中数学解题教学中，化归法是一个不错的教学方法，也是学生需要学习的一个重要的解题方法，因此教学在过程教学中，教师需要以学生的学习能力为重，具体的展现化归法在数学解题中的重要性和诸多好处，慢慢的引导、改善学生的认知结构，让他们积极、主动的去发现、了解相关知识，在整个教学活动中，积极主动的参与。

2.3加强解题训练，提高学生在数学方面的语言应用能力

在学生的数学素质教学中，其中一个很重要的方面是加强学生在数学方面的语言应用能力。只有在平时的教学或者解题训练中，加强学生对化归思想、化归方法的运用，强化学生在解题认识中，对数学语言的理解形成一个正确的认识，懂得规范语言的灵活运用，形成对语言应用能力的慢慢培养，更好的运用化归法。

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一、高中数学解题方法与技巧应用的重要作用 

高中生的数学学习离不开做题，而在做题过程中，解题方法与技巧的掌握程度直接影响到学生的做题效率及对知识的巩固.在解题技巧运用中，观察是解题进行的前提，通过观察分析题目类型及考点，再采取相对应的解题方法与技巧，最后进行题目的解答.高中生学习数学不仅仅是为高考作准备，更重要的是拓宽学生的思维方式，培养学生的开放性思维，在充实学生知识内涵的同时，帮助学生更好地成长.提升高中生的解题技巧，能帮助学生实现对知识的融会贯通，形成良好的解题习惯，能使用规范、标准的数学语言来进行数学的表述，并在解题中养成灵活而缜密的思维方式，进而学会全面地看待实际生活中出现的问题，为今后更好地学习与成长创作有利条件. 

二、高中数学解题方法与技巧的具体分析 

1.构造辅助函数解题 

在高中数学解题中，学生通常会遇到许多已知条件不足的题目，对于这些题目无法利用现有条件完成题目解答.为此，教师需传授学生构造辅助函数法，引导学生针对这类题型及时转换思路，进行辅助函数的提炼，为题目创造更多的条件，来降低题目的难度，进而轻松解答问题.构造辅助函数法主要是指遵循固定方式及步骤，进行问题的解答，其解答对象为辅助函数.但是，构造辅助函数法本身存在一定难度，学生在其运用中，必须思考如何构建最可行的辅助函数. 

此外，学生还需注意根据题目类型与难易程度判断是否运用构造辅助函数法，对于一些不适用的题目，采用这种解题方法反而会增加解题难度. 

2.合理利用等价转换解题 

转换法是高中数学题目解答中应用极为广泛的一项解题技巧，主要适用于一些难度系数较高的题目.学生在题目解答中，要实现对转换法的有效运用，必须具备较强的创造性思维与想象力，能以多种角度与思维方式分析题目，具体化抽象的题型题目，将遇到的新题型、新知识点转变为熟悉的普通题型与旧知识.例如，在有理分式类题目解答上，通过转换法将其分式合理简化为整式，在有效降低其难度后作出详细解答.此外，一些求分式类题型，也可采用转换法，根据题中所给条件，将已知一元函数转化为二元函数，在进行积分计算.例如： 

就是采用转换法，通过极坐标方法将一元函数转变为二元函数，以此来快速完成题目解答. 

3.反面假设论证原命题 

在数学习题训练中，会出现一些无法用正常方向与思路解答的题目，对于这些题目，就必须运用到反证法，从反方向着手，进行题目解答.关于反证法的运用，首先需要仔细分析问题的命题条件与结论，再从反方向作出合理的假设，根据假设进行逻辑推理，得出矛盾的结果，通过分析矛盾产生原因来推翻假设，以此证明原命题的正确，顺利完成命题论证.一般而言，在命题证明类题型中，关于反证法的应用，主要是通过与公认事实矛盾、假设矛盾及数学标准公式矛盾等来间接证明原命题为真. 

例如：求证两条平行直线a与b，其中一条与平面α相交，则另一条也会与α相交. 

在这一题目解答中，可假设直线a相交于平面α，直线a与直线b相互平行.再假设直线b没有与α相交，则会产生以下两点矛盾状况：（1）直线b位于α内，而a与b平行，a不属于面α，则a与平面α平行，与题目自身设定存在矛盾；（2）直线b平行于α，则可经b作平面β，假设β∩α=c，则直线b与c平行，而b又与a平行，便可得出a平行于c，a平行于平面α，与题设a与α相交存在矛盾.所以b只能与平面α相交，以此来完成题设证明. 

4.巧妙加减同一个量 

加减同一个量，是高中数学解题技巧中的一种，适用于求解积分类题型.加减同一个量法的应用，主要是在被积函数内减去或添加一个相等的量，之后再进行同一量的加减，以保证所得值的准确.在积分求解中，加减同一个量从表面上看是将计算过程变得更加复杂，但实质是将题目变得更加完整、规律，有助于实现题目的变形，让问题的解答过程变得更加简单.为保证题目解答的准确、有效，关于加减同一个量法的应用，要求学生必须在解题中细心、认真，尽可能避免出现任何计算漏洞. 

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一、高中数学的解题方法

1．数形结合的思想方法

数形结合是中学数学一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，以数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，以形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

2．函数与方程的思想方法

函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画。因此，函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的、变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。函数知识涉及到的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维。

3．等价转化的思想

等价转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的数学思想方法，转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求转化过程中前因后果应是充分必要的，这样的转化能保证转化后的结果仍为原问题所需要的结果；而非等价转化其过程是充分或必要的，这样的转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分。转化思想贯穿于整个高中数学之中，每个问题的解题过程实质就是不断转化的过程。

4．分类讨论的思想方法

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在人的思维发展中有着重要的作用。首先它具有明显的逻辑性特点；其次它能训练人的思维的条理性和概括性。如“参数问题”对中学生来说并不十分陌生，它实际上是对具体的个别的问题的概括。从绝对值、算术根以及在一般情况下讨论字母系数的方程、不等式、函数，到曲线方程等等，无不包含着参数讨论的思想。但在含参数问题中，常常会遇到两种情形：在一种情形下，参数变化并未引起所研究的问题发生质变；而在另一种情况下，参数的变化使问题发生了质变。这种分类讨论有时并不难，但问题主要在于有没有讨论的意识。在更多的情况下，“想不到要分类”比“不知如何分类”的错误更为普遍，这就是所谓“素质”的问题。良好的数学素养，需长期的磨练形成。

二、深层知识在复习中的作用

1．用数学思想指导基础复习，在基础复习中培养思想方法。

基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时的两种基本方法：一是把直线方程和圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是从几何图形上考虑直线和圆锥曲线交点的情况，利用数形结合的思想方法，将会使问题清晰明了。注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程、不等式，联想函数图象可提供方程、不等式的解的几何意义。运用转化、数形结合的思想，这三部分知识可相互为用。

2．用数学思想方法指导解题练习，在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识。

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【摘 要】数学是高中课程中十分重要的一门学科。如何教好数学是很多老师都很关心的问题，而学好数学的关键是培养学生的解题能力，本文结合学生的思维角度等因素，从几个方面分析和说明高中数学的解题思维和方法的教学策略。

【关键词】高中数学；解题思维；解题方法；解题能力

数学是一门严谨的学科，要教会学生正确的解题方法，首先要让学生知道数学常规的解题程序，要培养学生养成良好的解题思维习惯。数学题目的求解一般是根据已知的条件证明所给的结论或者是求出未知的结果，一般分为四步来解题：审题、思考解答方法、解答方法的表述、检验。然而在当今的高中数学解题思维方法教学中，存在着几个比较严重的问题。

1. 高中数学解题思维方法教学存在的问题

1.1 审题不明确。 审题首先是要弄清楚题意，高中学生在进行审题时，常常在阅读题目时理解出现偏差，看错看漏给出的条件，忽略了细节。学生在没能完全理解题目意思和要求的情况下就动笔解答，解题的过程曲折，既浪费了时间又浪费了精力。学生只有明确了题目的意思，根据题目给出的条件和目标，才能够进一步分析题目的结构和类型，明白问题所需要解决的方向，从而为解决题目选择一个合适的方法。

1.2 学生未能掌握正确的解答方法。 大多数的学生对题目进行审题之后，开始探索解题的方法，可是他们通常找不到最合理的解答方法。解决数学的具体方法数不胜数，同一个题目往往都有很多种解答方法。从解题的思维形式划分，一般分为从已知条件出发推出结论和从结论反推已知条件两大方法。前者主要是充分利用和转化出相关条件，进而创造出可以证明结论的条件，证明结论或者直接证明出来；后者则是通过问题反推出已知条件，从而为问题的解决提供了另一种反常规的方法。

1.3 解题方法的表述不规范。 解答方法的表述要规范，目前许多高中学生通常不能够运用简洁的语言来描述自己的解题方法，没有设计好解题的具体步骤。在答题书写过程中，格式不够规范，卷面美观度太低.而且题目做完后，学生往往不会对题目的步骤和数据进行检查和验算，没能检查出其中的错误并及时修改。

2. 培养学生正确的解题方法

2.1 培养学生发散性思维的解题能力。 在数学学习中会遇到各种各样的公式，甚至在几何中还会遇到各种图形，它们复杂多变。这就要求学生要用发散思维来解决问题，对问题要有目的性地筛选，抓住问题的主要特征。在实际的教学过程中，老师应该引导学生从不同的角度来看待问题，同时用一般的解题方法来引出特殊的方法来培养学生的发散性思维，从而让学生学会用灵活多变的方法和角度来看待和解决数学问题。

2.2 训练学生数学思维的深刻性。 有很多数学问题往往很复杂、抽象，在解决这些问题时往往须要抓住问题的本质，而不是被问题表面的现象所迷惑而不知如何动手。这需要培养学生对数学思维的深刻性，透过问题的现象看本质，用灵活的思维方式解决复杂抽象的问题，抓住了本质，就可以以不变应万变。在课堂教学时，可以将几个简单的题目逐步变形为更复杂的题目，通过题目的变换，让学生学习抓住问题的本质。同时要培养学生的发散性思维，把复杂的问题和简单的问题结合起来，建立问题和问题、问题和答案之间的联系，使学生对问题有着深刻的认识，从而形成深刻的印象，进一步增强学生解决问题的应变能力。

2.3 规范学生解题方式，重视学生反思。数学学习是一个艰苦的过程，同时也是一个知识内化的过程。学过的知识只有被学生消化和吸收才有效果。如果只注重做题目，而不去思考和总结问题，最终可能不会取得什么效果，只有温故知新，不断地总结和反思，才能提高自己的解题思维和思想品质。

3. 高中数学常用解题方法 现从观察法、探索法、猜想法三方面来介绍在高中数学教学中常用的解题方法。

3.1 通过观察法，培养学生的解题能力。 数学观察能力是一种有目的、有选择的加工能力，它具体体现为：掌握教学概念的能力，抓住本质特征的能力，发现知识内在联系的能力，形成知识结构的能力，掌握数学法则或规律的能力；这些能力的取得，是数学教学工作中的重要载体，也是思想方法教学中的重要途径。例如我在讲解高中数学人教版“直线与平面平行的性质”的内容时，我提出了这样的问题：如果有一条直线与某一个平面平行，这个平面内的所有直线是不是也与这条直线平行呢？同学们这时议论纷纷，我不失时机地拿出两支笔，把一支笔放到和讲桌所在平面平行的位置上，把另外的一支笔放在桌面上，这时问题的答案就很明了了。可以说观察在问题的解决中起到了重要的作用，比用复杂的证明过程要简单得多、省事的多。当然数学问题是抽象的也是复杂的，我们不能只看表面的现象，而应该透过事物的本质加以观察。在教学过程中，要指导学生观察整个解题的过程，不仅审题、解题过程要观察，而且解题后还要观察，这样学生才能具有多层次观察的能力。事实证明我在教学中的这种做法，不仅激发了学生的学习兴趣和求知欲望，而且对调动学生的学习积极性也起到了一定的作用，更从很大程度上提高了学生的解题能力。

3.2 通过探索法，培养学生解题能力。 求异思维在数学教学中是一种很重要的方法，也是一种创造性的思维，它是学生在自己原有知识的基础上，凭借自己的能力，对已有的问题从另外一个角度去思考的一种方法，从而有创造性地去解决问题。但是我们的学生思维往往以具体形象思维为主，容易产生一定的思维定势。在这种情况下，我们应该从以下几点入手：（1）培养学生一题多问的能力，对于同一个问题，引导学生从不同的角度、不同的方位提出问题。（2）培养学生学会变通的能力。学生在解题时，往往受到解题动机的影响及局部感知的干扰，从而影响了整个解题的过程。在教学中，我要求学生在掌握数学法则及公式定理的基础上，进行题目的变换，将学生的思维定式逐渐淡化。（3）培养学生一题多解的能力，在数学教学中，我经常引导学生对于某一个问题，要从不同的方面去解决，看看哪种方法是最简洁的、最好的，从比较之中筛选最佳方案。

3.3 通过猜想法，培养学生解题能力。在数学教学中，大胆猜想是一种很好的方法。在我们的教学实践中，不能只是强调数学的科学性与严密性，而应该通过猜想来培养学生的推理能力，让学生觉得数学是有趣的，不难学的。我们应培养学生通过观察、实验的方法来进行大胆猜想。然后经过对问题的分析，归纳出其中的规律，先通过大体的估算，做出大胆的猜想，再通过严密的数学证明其正确性，通过教师这样的激励，使学生觉得数学是有激情的，是与现实相联系的，并且是一门具有情趣的科学。

3.4 模仿例题，提高学生的解题能力。学生学习解题能力的培养首先是模仿。学习初期，模仿例题尤为重要。例题往往具有一定的代表性，在解题的过程中又渗透有解题的常规思路和格式的规范性等问题。例题往往具有示范性的作用，学生可以通过例题感受解题过程中的运算、推导、论证、作图等，体会解题中的每一步骤都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，合乎逻辑性、严谨性。因此在教学中注重例题的作用很必要，可以让学生在典型例题中感受解题的思想和积累解题的经验。

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关键词：高中数学 解题思路 联想方法

随着我国经济、科学技术以及综合国力的增强，使得国家对于学生的学习以及教育也提出了更高的要求或者标准，其中具体来讲就是国家要求学生能够灵活的运用自己所学的知识以及技能，尽量避免学生只是为了学习而学习，当将专业知识运用到实践工作的过程中，就会出现各种问题或者阻碍。高中学生在学习数学这门课程的过程中，需要培养利用联想的方法进行解题的学习思维模式，这是由于联想的解题方式在一定程度上能够提升学生学习各种知识的综合能力。

1.对现在高中数学的教育教学方式进行了简单的阐述

与此同时讲解了现有的教学方式不能够很好的提升学生寻找解题思路的能力以前的相关的高中数学老师在对学生进行相应的知识传授的过程中，采用的大部分都是比较传统的解题模式，其中主要内容就是相应的书写老师在课堂上讲述相应的知识点，之后这些老师就会对学生进行训练或者练习，其主要目的就是为了考验学生学习相关知识点的能力和水平。

然而在这个训练过程中，学生在做题的过程中受到一定的暗示的影响—老师所讲述的知识点的运用，这样就使得学生不会朝着其他方面进行思路探索，最终让学生非常容易取得数学题目的解题思路。相关的数学老师可能会觉得这种教学方式，能够在很大程度上专项训练学生在课堂上学习的知识点，然而这些数学老师也忽视了在学习数学的过程需要培养学生正确的解题思路。如果学生在学习的过程中没有获得相应的解题思路的启示，那么经过长时间的学习之后，学生在做其他新问题的时候，仍然不能够非常迅速的找到解题思路的切入点，从而在很大程度上加大学生解题的难度，这就使得高中数学老师尽可能的采取相应的措施，与此同时对解题思路的联想方法进行研究或者分析，最终能够达到提升学生正确找到解题思路的能力，在一定程度上提升高中学生的解题教学的教育教学效果，从而推动高中学生的数学学习能力的培养或者提升。

2.我们可以从多个角度对数学知识以及现在大部分的数学老师的教育教学方式进行相应的研究以及分析，并且阐述了利用联想方法寻找解题思路的必要性

2.1从新知识观的角度对数学问题进行相应的研究以及分析，并且利用联想的方法进行相关数学知识的学习，能够在很大程度上提高学生的学习效率以及学习质量我们从新知识观的角度来看高中数学的相关知识，可以知道策略性的数学知识在高中学生的学习过程中是非常重要的一个内容，与此同时解题思路的联想方法就是策略性知识的主要内容，然而高中的数学老师在教育教学的过程中，仅仅关注或者重视解决问题的工作，对解题思路的讲述少之又少，这样就使得学生的自主学习不能够通过平时的学习或者训练得到一定程度的提升。

从这些资料或者信息中，我们可以了解到高中数学老师需要在平时的教学过程中，传授学生在平时的学习过程中利用联想方法的解题思路，这样才能够在一定程度上提升高中学生的学习效率以及学习效率。

2.2从新课程的相关标准或者要求对数学问题进行相应的研究以及分析

随着我国的教育教学体制在不断的进行更新以及改善，所以相关的教育部门进行了新课程的规定，相应的数学老师需要在平时的教学过程中，为高中学生提供一些数学学习策略的指导。通俗来讲就是需要高中数学老师在学生进行问题解决的过程中，在适当的时候给予指导或者引导，使得学生能够自己想出合适的解题思路，但是大部分老师在数学教学的过程中，经常会忽视这个问题，这就使得高中的数学老师在以后的教育教学工作中，利用联想方法提供适当的解题思路。

3.高中数学老师对学生进行相应的数学知识教学的过程中，如何让学生利用联想的方法获取正确的解题思路

3.1在高中数学学习过程中，应该怎样利用联想的方法找到解题思路的概述

数学课程的学习就是需要学生不断的探索以及研究，从而总结出相应的解题思路或者解题规律，这样才能够在以后的学习中更快的找到解题方法或者解题思路。我们可以通过举出实际的例子来说明，应该怎样利用联想的方法帮助学生非常准确的找到解题思路。高中学生在经过了几年的学习过程中，对于数学这门课程已经有了一个比较正确的认识，所以他们在做题的时候应该开始关注以及重视题型的总结，而不是仅仅将答案写出来即可。在遇到一个新问题的时候，老师应该询问学生，在以前的学习过程中有没有遇到过这道题，或者是遇到过相类似的题目，或者能不能够想到与这个问题相关联的知识点或者原理，这些要求学生充分的利用自身的学习经验进行联想。其中在联想的过程中，需要学生比较新问题与旧问题的相同点以及不同点，如果可以应该对结论进行记录或者标注。

3.2运用实际的例子说明如何运用联想的方法获取正确的解题思路

在学习高中数学的过程中，经常会出现给出一些已知数，让求一个未知数的题目，当学生遇到这种问题的时候，首先应该搞清楚题目中哪些是已知数，哪些是未知数；之后找到这些数值之间的联系，与此同时对所学的数学知识以及数学原理进行研究或者分析，从而找到和他们进行符合的数学知识以及数学原理，最终根据这些找到的信息对问题进行解决。

数学老师在平时的教育教学工作过程中，引导学生将原先的问题与现在的问题进行比较或者参考，一般要求原先的问题在考查内容上和现在的问题有联系，与此同时该题已经被解决，在进行比较或者参考的过程中，需要考虑的主要因素就是已解决问题的答案、解决问题的方式方法以及问题解决过程中运用的知识点等等其他相关的知识。毕竟每一个题目都不是完全相同的，所以学生在参考以前做过的题目的时候，可以利用联想的方法对这些问题进行分析，这样就能够非常容易的找到解题思路的切入点。（作者单位：江苏泗洪淮北中学）

参考文献：

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【关键词】高中数学;恒成立;解题思路

高中数学中的恒成立包括了变量和参数，本身就比较复杂，加之学生课业压力大，能够分给数学学习的时间有限。因此数学专家们对涉及恒成立的题型都研究出了许多合理的解题方法，并对于开发学生解题思路起到了不小的作用。

一、高中数学恒成立的解题方法

1.一次函数型的恒成立问题

假若一道数学题给了一个已知条件如y=f（x）=ax+b，限定条件是a不等于0，学生在看到这样一个已知条件时便可以得出一个结论，即[m，n]之间f（x）始终大于0恒成立，是等价于{a大于0，f（m）大于0}或者{a小于0，f（n）大于0}，这样的转化是通过等价关系的特点进行的，这样的转化可以帮助学生解决问题中的恒成立问题。教师在教学中要注意引导学生思考已知条件，将已知条件转化成自己需要的条件，即可以直接拿来应用到解决问题这一步骤。学生掌握了这一类的解题方法之后，再看到类似的问题时思维敏感度会增加，解题时的思路会更加清晰，不会出错。

2.二次函数的恒成立问题

二次函数相对于一次函数会更加有难度，学生需要有比较好的数学基础才可以掌握这一解题方法，但是一旦掌握了这一种解题方法，对于高中数学考试中相关大题的解答非常有帮助。比如二次函数：y=ax2+bx=c其中依然有a不等于0这一限定条件，这是一个始终成立的条件，即恒成立。这个已知条件等同于{a大于0，小于0}。一般涉及二次函数在指定区间上面的恒成立问题，学生可以利用曾经学过的韦达定理，还有根与系数的分布的知识来解答题目，这就为题目的解答找到了一个突破口。

3.变量分离的恒成立问题

在一道题目中给出的信息中存在着两个变量的时候，情况是其中一个变量的范围已经知道，要求出另外一个变量的范围。这时可以利用恒成立的方式将这两个变量放置在等号或者不等号的两边，这就直接把恒成立问题转化成了函数的最值问题，解答起来就容易得多。这就是变量分离型恒成立问题。比如当有一个已知条件是x∈R时，有另一个已知条件即4a+sin2x5即可，根据此等式即可知道答案。

4.函数基本性质的恒成立问题

利用函数f（x）奇偶的性质解答问题，学生利用这一方法需要具备的数学基础时要明确知道并且可以写出来函数在奇偶时的特殊等式，利用这一点建立一种等价于已知条件的等式则可以解答出题目。

比如当f（x）=sin（x+a）+cos（x-a）为偶函数，求a的值。通过简单的函数运算可以得出结论。这要求学生一定要记清楚了函数的特点和性质，否则无法将已知条件与其联系起来。

5.图解型的恒成立问题

图解型恒成立的问题主要是学生要利用函数图像根据已知条件画出符合题干意思的D像，为解答题目提供直观思维走向。学生在平常的函数学习中教师的教学第一步就是让学生认识函数，并且教师要培养学生动手能力，尤其是画图的能力。只有这样才可以在考试中讯速通过题目给出的信息画出正确的函数图像，等于又给解答题目找出了一个已知条件。

二、高中数学恒成立的解题思路探索

1.要处理好教材与教法的关系

教师要培养学生养成一种清晰的解题思路，在课上讲解例题时尽量让步骤呈现清晰，逻辑也要清晰。长此以往，学生才会潜移默化中学会解题的思路，而不是仅仅学会某一种固定题型的某一种或者几种解题方法。教师在课上讲解完例题之后还要让学生自己做练习，另外让学生通过自己的基础知识设计与教师讲解相关的数学例题，自己将题目的思路写下来并将解题思路也形成文字，这有助于学生养成逆向思维的能力。

2.解题时运用退中求进的方法

教师在讲解数学知识点以及学生在做题时都应当学会退中求进的思维方式，比如退一步进两步的方法，退主要是让学生在解题时有一个思路不通的情况时，往后退一步想一想其他的解题途径。在退的一步当中分析未知的结论，等到将问题都看清楚了，题干意思都清晰了之后再往前进进行解题。因为在一些数学题中，表现出的抽象性会让学生钻牛角尖，通过这种辩证思维的方法可以让学生认识问题的普遍性，进而寻找到解题方法。

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关键词： 高中数学教学 解题能力 培养方法

对大多数学生来说，高中数学知识十分抽象难懂，加之受固定思维定势的影响，学生往往很难学会迁移运用，无法真正做到举一反三，因此，学生往往难以轻松有效地学习高中数学知识[1]。可见，为了学生能够更准确有效地解答数学问题，教师有必要加强培养学生的解题能力，有效提高学生解题的效率和质量，充分提高学生的数学素养和能力。下面对高中数学教学中培养学生解题能力的有效方法进行探讨。

一、重视学生审题训练

一般来说，为了充分保证解题准确性和有效性，在解答高中数学题目之前，要先审题再答题。但是，多数学生都忽略了这一点，为了在有限的时间内答更多的题，往往是先快速浏览题目，便匆忙开始解题。这样既不能够保证答题质量，又不利于提高解题能力。对此，教师要重视并加强学生的审题训练。

首先，在日常教学过程中，教师要多向学生说明认真审题的积极作用，并多告诉学生一些因为审题不当而导致答题错误的典型案例，以敦促学生重视审题，引导学生树立认真审题的意识。其次，教师要适时组织学生进行审题训练。例如，教师可以在完成阶段性教学任务后，设计一些容易出现审题失误的题目，并专门安排2―3节课让学生通过这些题目进行审题训练。在训练时，学生不用解题，只要保证审题没问题即可。这样做是为了学生在针对性训练过程中明白审题的重要性，养成认真审题的习惯。

二、引导学生规范解题

除了忽略审题的重要性外，大部分学生也不重视解题的规范性。这样既不利于提高学生的解题能力，又有可能增加学生答题的失分几率，继而对其考试成绩造成影响。因此，为了降低不规范解题对学生数学成绩尤其是高考成绩的影响，教师有必要从以下两个方面着手引导学生规范解题。

首先，教师加强例题演练，并在例题演练过程中详细说明解题的具体方法和详细步骤，告知学生解题的要点和注意事项，并督促学生在日常练习和考试中都要根据例题演练时介绍的解题思路和步骤进行答题。如果学生不规范解题的现象非常普遍，而且例题演练效果不佳，教师就可以组织学生进行规范解题训练。然后将训练过程中学生的常见问题整理出来，并围绕这些常见的问题开展针对性例题演练。此外，值得注意的是，教师除了要强调解题过程的规范性外，也要重视学生书写方面存在的问题，指导、帮助学生规范书写。

三、鼓励学生一题多解

在高中数学中，大部分例题的解答方法都不少于一种。然而，由于学生数学思维受限制，知识接受能力和学习水平有待提高，很多学生都不具有一题多解能力。这样一方面不利于提高学生的解题效率，另一方面可能影响学生数学学习的效果和质量。所以，在培养学生解题能力时，教师要鼓励学生一题多解。

首先，教师在做解题示范时，要在运用常用的一般性方法进行答题的同时，告诉学生如何另辟蹊径，通过其他方法解题，从而引导学生树立一题多解的思维和观念。同时，在日常教学过程中，教师要鼓励、指导学生从多种角度分析、解答问题。例如，在进行基础概念与理论教学时，教师可以将互逆性较强的知识提炼出来，让学生先进行正向思考和学习，待学生对知识点大致有了初步印象后，再引导学生运用逆向思维和方法进行探讨。长此以往，学生便能够通过多次练习拓宽数学思维，并灵活运用多种思维和方法深入地理解、分析数学概念与问题。

四、加强学生数形结合思想的培养

一般认为，通过数形结合思想解答高中数学题目，能够更清楚地理解结论和题目条件的内在关系，有助于学生在有限的答题时间内，更好更快地找到解题突破口，从而充分提高答题效率[2]。但是，从当前情况来看，很多高中生都没有数形结合的概念，更不知道如何将其运用到实际解题中。为了培养学生数形结合的思想，教师要做好以下三个方面的工作：

首先，教师要告诉学生如何准确分析、有机结合题目中的代数和几何，从而准确把握解题的思路和过程。其次，在引导学生分析数学问题时，教师要教学生如何有效梳理题目中的已知和未知条件。如果学生解题思路较混乱，教师就可以对题目适当进行数形转换，使学生能够扩展解题的思路。再者，教师要指导学生运用数形结合思想进行解题练习，确保学生能够有效利用数形结合思想解题。

五、结语

良好的解题能力对学生更轻松地学习高中数学知识具有一定的促进作用，教师应当在教学过程中加强对学生审题的训练，引导学生规范解题，鼓励学生一题多解，同时积极培养学生数形结合的思想，以便学生能够在教师指导和自己反复练习下逐步提高解题能力，有效提高答题的效率和质量。

参考文献：

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关键词：高中数学 习题讲解模式 改进方法

在高中数学的教学中，教师在本节课的教学之后会给学生布置习题，布置习题是为了让学生通过做练习题发现自己在知识理解方面的不足，教师下节课有针对性地重点讲解，让学生高校完成每节课程的学习。可是在讲解习题方面，传统的讲解模式已经不能满足当前学生对知识的获取，因此，高中数学习题的讲解模式需要进行改进。

一、高中数学习题讲解的重要性

习题讲解的前提是教师要布置具有代表性的题目，能对本节课学的知识起到全面检测的作用，因此，对于习题的讲解就是要针对这些具有代表性的习题让学生对本节课的知识熟记于心，并且在这过程中培养学生的数学思维、正确的解题思路和解题方法。在讲解的过程中要培养学生对数学的学习兴趣，并且对于学生容易出错的题目重点讲解，让学生理解自己为什么会做错，是马虎问题还是解题思路和解题方法的问题，并在以后尽可能地避免。而且对于习题讲解要细致认真，不能为了教学进度而忽略了习题讲解，导致学生旧知识没有牢记，又学习新的知识，在学习的过程中就会缺乏效率。

二、高中数学习题讲解模式的改进方法

1.习题讲解要及时细致。在高中数学教学过程中，由于教学目标的设计和教学进度的限制，每节课留给教师习题讲解的时间很少，而且每节新课的内容非常多，这就造成了教师对习题也就是核对答案，几句话带过，或者是把几节课的内容放在一起讲解，可是这就会导致学生做习题不认真，或者在做习题中遇见的问题不能及时解决，把这个问题又带到了新课的学习上，影响学生对已经学过的知识的理解，也影响新课的学习。因此，对于这种问题需要进行改进，教师要端正思想，科学地设计教学进度，不能认为讲解习题是浪费时间的表现，而是通过讲解习题而温故知新，也就是在讲解的过程中，让学生发现自己在做题过程中遇见的问题。教师在讲解之后，能让学生找到自己做错题的原因，及时纠正，争取下次不会再犯。而且对于习题的讲解也不能把几节课的综合做一节课来进行讲解，这样时间长了之后，学生就会对当时做错题的思路忘记，不知道自己做错题的原因，下次做题还会再犯。这个过程就需要教师合理进行设计，既不能耽误新课的学习，又不能拖延习题的讲解。我觉得合理的方法是把习题发给学生后，先让学生思考，思考为什么会做错，能不能再通过自己的努力做对，教师再进行讲解，这样就会有针对性，对普遍出错的地方进行讲解，更能提高效率，而且还不会占用太多的时间。

2.习题讲解不能以批评为主。在讲解习题的过程中，教师势必要提到每道题目的正确率，有多少人做错这道题，如果做错的学生过多，教师难免会对学生完成的正确率情况进行评价，这样会打击学生对于学习数学的兴趣，久而久之，错误率会越来越高，尤其是对整套习题中正确率最低的学生，教师就会对他们进行批评，认为批评之后下次就会做对，可是并没有找出出错的原因，做习题的对与错也不是批不批评就能改变的，教师当初在布置习题的目的就是要查出学生对于知识不理解的地方进行巩固，这种一味的批评就与当时的初衷相悖。因此，教师在讲解过程中，对于错误率高的学生应更加关注，找出原因，然后解决，为每一位学生负责。具体方法就是对于出错率高的习题进行重点讲解，让所有学生都能在这一过程中理解出错原因，对于难度不大却出错的习题找出学生出错的原因，是自身对教师讲的课程不理解，还是心理原因，不能对学生进行批评，高中生在心理程度上已经和大人基本相同，而且正处于叛逆时期，对于自尊和面子看得非常重要，教师不能通过批评来让学生长记性，下次不犯错，而是用自己的耐心和人格魅力影响学生，保证学生在青春期的正常发展。

3.在习题讲解中培养学生的解题思路和解题方法。教师布置习题的目的是能够培养学生的数学思维和正确的解题思路和解题方法。因此，教师在讲解过程中要注重对方法思路的讲解，不但讲解这道题要怎么做，而且要告诉学生这道题为什么要这么做，那道题为什么要那么做。针对不同类型的习题采取什么样的解题方法。例如，在学习三角函数的时候，不只要让学生学会积化和差、和差化积，而是要让学生根据题目的要求，什么时候化成正弦函数，什么时候化成余弦函数，而不是一味地死记硬背公式而不会应用，让学生能够在看见题目的时候就能知道这道题该从什么角度考虑，用什么方法解答，对症下药，让学生学会举一反三，对知识理解和运用都能得心应手。对于同一道题目的不同解题方法要通过讲解习题来教授给学生，直接法、间接法、数学建模法、转化法等等不同的解题方法。建立多种多样的数学思维，正向思维、逆向思维、转化思维等等，这种解题的思路和方法，不是像知识点可以一一背诵的，而是通过在做题中的应用而逐渐能够掌握。

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一、代数问题

一般通过考察常见函数的单调性，或者能够利用导数问题研究其单调性，在定义域内求最值，或者通过方程思想，得到不等式再求最值.

【例1】（2008·江西·第9题）若0

A.3y

C.log4x

简析：本题直接利用指数函数、对数函数的单调性，但对于B选项，真数相同，底数不同的情况，通过数形结合，可排除，选C.

【例2】求二次函数在[0，a]上的最值.

解析：=+2

结合图像，需对a进行分类讨论：

①若0≤a≤1，==3，=；

②若1

③若a>2，=，==2.

评注：求在有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住两点：①二次函数图像的开口方向；②二次函数图像的对称轴与所给闭区间的相对位置关系.

此类型最值必然在区间端点或图像顶点处取得.

【例3】（2005·全国卷Ⅱ·文21题改编）

设a为实数，函数，求的最值.

解析：令=3x2-2x-1=0得=-，=1

，≥0，

函数在上是增函数，

==a+

显然不存在最小值.

与本题类似，2008全国卷I第19题、全国卷Ⅱ第22题（文）都出现了与导数有关的判断函数单调性的问题.

评注：导数知识放在高中阶段学习，为高中数学增添了许多亮点，同时也为高考数学的考查方向和难度提供了许多有利的条件.

【例4】已知，，求的最小值.

解法1：==5+≥5+=9

（当且仅当且x+y=1，即时取“=”号）

的最小值等于9.

说明：此法符合均值不等式的条件“一正二定三相等”.

解法2：x+y=1，令，（）

=

=

=

=≥=9

说明：此解法运用了三角换元，最后又运用了重要不等式，与法1实质相同.

解法3：利用柯西不等式

==

≥==9

说明：实质上令，，是的应用.

解法4：令=t，由，消去y可得：

转化为上述方程在内有解，故有，可得到t≥9.

所以最小值等于9.

说明：本解法体现了转化思想、方程思想.

评注：对本题的四种解法中，我们可看到解法1、解法2是较为简洁的.我们提倡一题多解，善于发现、总结，从中找出最优解法，逐步提高分析问题、解决问题的能力.

二、三角函数问题

三角函数作为一种重要的函数，也是高考考查的重点.三角函数常借助三角函数的有界性或利用换元转化为代数的最值问题.

【例5】（2008·全国卷Ⅱ·第8题）若动直线与函数与的图像分别相交于M、N两点，则的最大值为（ ）.

A.1 B. C. D.2

分析：画图像，数形结合是很难得到答案的.

易得，，则，利用正弦函数的有界性易知最大值为.

【例6】（2004全国卷）求函数的最大值.

解析：，

而，

评注：令，则，这样转化为区间或其子集上的二次函数的值域问题.类似的结构还有：，，等.

【例7】（2008重庆·第10题）

函数的值域为（ ）.

A. B. C. D.

分析：观察式子结构，若化为

，

但最小值不能直接观察出.因为分子取最小值时，分母取不到最小正数.

变形为另一种形式：，观察结构，

再配凑，会发现什么？

令，，问题转化为求的最值问题，数形结合，易知的范围是[]，从而选B.