概率统计的方法范文

导语：如何才能写好一篇概率统计的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、实践的观点是概率统计存在发展的基础

人们早就注意到，一次随机实验其结果完全是由偶然性支配的：测量一个长度a，一次测量的结果不一定就等于a，测量若干次，其算术平均值仍不一定等于a，但当测量的次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的；掷一颗均匀的正六面体的筛子，可能出现1～6任何一个点，在试验前无法预测下一次将会出现几点，但当试验大数次进行时，随机试验的结果就会呈现出一定的规律性，这就是“统计规律性”。这种统计规律性几乎是在人们的实践中总结、归纳、提炼出来的。例如人们在日常生活中经常使用的矩法估计：重复实验得到次的观察值，以其算术平均数来确定其实际值。这就导出了著名的切比雪夫大数定律：

■P■■-■■E（Xi）<ε=1

其中为Xi（i=1，2，3，…，n）随机变量且独立同分布，E（Xi）即为Xi的数学期望。从上述公式可以看出，当实验次数n充分大时，n个独立随机变量的平均值这个随机变量的离散程度是很小的。这意味着，经过算术平均以后得到的随机变量当n趋于无穷大时收敛于随机变量的数学期望。

上述定律中还包含着这样的数学思想，即进行某次实验认为大概率事件必定发生，或小概率事件必定不发生。在实际应用中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的。因此，人们常常忽略了那些概率很小的事件发生的可能性。这就是实际推断原理。对这一原理的严谨性，初学者总是觉得难以理解。既然小概率并不等于零，为什么假定它就必不发生呢？的确，它不像其他数学原理一样有着严谨的数学证明，它与纯粹的形式逻辑似乎也相矛盾，但它却是实践经验证明了的、反映了真理的实践标准。小概率事件的实际不可能性原理在国家经济建设事业中有着广泛的应用。

实际推断原理进一步渗透到统计学的“假设检验”中。所谓假设检验就是在总体上做某种假设（假设其参数或分布），然后从总体中随机地抽取一个子样，用它检验此项假设是否成立。如果成立，则接受假设；如果不成立，根据实际推断原理，“小概率事件在一次实验中不可能发生”，可以认为“发生了必是大概率事件”，因此拒绝接受原假设。（注：尽管在假设检验中不可避免地存在“弃真”和“存伪”的两类错误。这是一个较为复杂的问题，这里不再详述。但有两点可以肯定：一是两类错误发生的概率是确定的，可以通过数学理论推导出来；二是通过增加试验次数降低错误发生的概率。所以此两类错误的发生并不影响实践作为真理标准的正确性和严密性。）

二、必然性和偶然性的统一是概率统计应用的重要条件

必然性和偶然性是事物发展过程中两种不同的趋势。二者是对立统一的辩证关系。必然性存在于偶然性之中，通过偶然性表现出来；偶然性中深藏着必然性，是必然性的表现和补充，两者相互依存，相互转化。概率统计的基本思想是通过对偶然性的研究和考察，去揭示大量偶然现象在整体上呈现出的必然性特征——统计规律，并利用统计规律做出科学的推断和选择。

任何事物的发生和发展过程，都要受到必然性的支配和偶然性的影响，必须具体事物具体分析。概率统计在整理偶然现象的过程中，发现大量偶然现象的发生频率或整体分布状态有一种非偶然的稳定性趋势，并相继用数学方法揭示了这种稳定性的规律如大数定律、中心极限定理等。随机现象在概率统计中是一个最重要的概念，抛一枚硬币其实验结果是不确定的；但当多次重复时，正面朝上的概率和朝下的概率大约各为50%，实验结果呈现出某种有规律的数值。实验结果的这种确定性和不确定性，反映了随机事件是必然性和偶然性的完美统一：在看似偶然的抛硬币过程中，隐藏着重要的数学原理：它有可能朝上，有可能朝下，概率各占50%。实际上，这样的实验历史上有人（德.摩根、蒲丰、K.皮尔逊）做过。这种确定性可由下面数学公式表示：

■P■-p<ε=1

其中，p为某事件发生的概率，n为实验总次数，m为事件发生频数。

这就是著名的贝努里大数定律。这个定理说明：当试验在不变的条件下，重复进行很多次时，随机事件的频率在它的概率附近摆动。这一定理正是偶然性和必然性的最初统一表现形式。虽在一次随机试验中其结果难以确定，但当试验大数次进行时，结果会呈现出一定的规律性。这不仅升华出“概率”的统计定义，还导出频率“依概率收敛”于概率。

概率统计思想所揭示的必然性归根结底是大量偶然现象发生频率或分布状态的稳定性，而不是现象间因果联系的必然性，在这里，必然性得到了新的说明——它是一种整体的趋势。

三、整体与部分的辩证关系是概率统计研究的基本前提

在概率统计中，经常通过研究子样的概率统计特性来研究总体的特性。如在实践中经常遇到的检验产品质量的问题。设有n个产品，要检验这批产品是否合格，需从中随机抽取r（r

早在古希腊时期，人们已意识到机遇在某些场合有可能服务于人，例如用抽签决定人们彼此的争端。它反映了人们在不确定性的行为中努力寻找行为的理性规则，使人们的理性服从机遇的愿望。当今社会，概率统计已渗透到我们生活的各方面，不仅在科学研究中具有重要意义，而且成为一种具有普遍意义的思想方法。概率与统计之所以在现代科学及社会发展中焕发出强大的生命力，其中最重要的一个原因就是它处处包含了唯物辩证法的思想。

一、实践的观点是概率统计存在发展的基础

人们早就注意到，一次随机实验其结果完全是由偶然性支配的：测量一个长度a，一次测量的结果不一定就等于a，测量若干次，其算术平均值仍不一定等于a，但当测量的次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的；掷 一颗均匀的正六面体的筛子，可能出现1～6任何一个点，在试验前无法预测下一次将会出现几点，但当试验大数次进行时，随机试验的结果就会呈现出一定的规律性，这就是“统计规律性”。这种统计规律性几乎是在人们的实践中总结、归纳、提炼出来的。例如人们在日常生活中经常使用的矩法估计：重复实验得到次的观察值，以其算术平均数来确定其实际值。这就导出了著名的切比雪夫大数定律：

■P■■-■■E（Xi）<ε=1

其中为Xi（i=1，2，3，…，n）随机变量且独立同分布，E（Xi）即为Xi的数学期望。从上述公式可以看出，当实验次数n充分大时，n个独立随机变量的平均值这个随机变量的离散程度是很小的。这意味着，经过算术平均以后得到的随机变量当n趋于无穷大时收敛于随机变量的数学期望。

上述定律中还包含着这样的数学思想，即进行某次实验认为大概率事件必定发生，或小概率事件必定不发生。在实际应用中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的。因此，人们常常忽略了那些概率很小的事件发生的可能性。这就是实际推断原理。对这一原理的严谨性，初学者总是觉得难以理解。既然小概率并不等于零，为什么假定它就必不发生呢？的确，它不像其他数学原理一样有着严谨的数学证明，它与纯粹的形式逻辑似乎也相矛盾，但它却是实践经验证明了的、反映了真理的实践标准。小概率事件的实际不可能性原理在国家经济建设事业中有着广泛的应用。

实际推断原理进一步渗透到统计学的“假设检验”中。所谓假设检验就是在总体上做某种假设（假设其参数或分布），然后从总体中随机地抽取一个子样，用它检验此项假设是否成立。如果成立，则接受假设；如果不成立，根据实际推断原理，“小概率事件在一次实验中不可能发生”，可以认为“发生了必是大概率事件”，因此拒绝接受原假设。（注：尽管在假设检验中不可避免地存在“弃真”和“存伪”的两类错误。这是一个较为复杂的问题，这里不再详述。但有两点可以肯定：一是两类错误发生的概率是确定的，可以通过数学理论推导出来；二是通过增加试验次数降低错误发生的概率。所以此两类错误的发生并不影响实践作为真理标准的正确性和严密性。）

二、必然性和偶然性的统一是概率统计应用的重要条件

必然性和偶然性是事物发展过程中两种不同的趋势。二者是对立统一的辩证关系。必然性存在于偶然性之中，通过偶然性表现出来；偶然性中深藏着必然性，是必然性的表现和补充，两者相互依存，相互转化。概率统计的基本思想是通过对偶然性的研究和考察，去揭示大量偶然现象在整体上呈现出的必然性特征——统计规律，并利用统计规律做出科学的推断和选择。

任何事物的发生和发展过程，都要受到必然性的支配和偶然性的影响，必须具体事物具体分析。概率统计在整理偶然现象的过程中，发现大量偶然现象的发生频率或整体分布状态有一种非偶然的稳定性趋势，并相继用数学方法揭示了这种稳定性的规律如大数定律、中心极限定理等。随机现象在概率统计中是一个最重要的概念，抛一枚硬币其实验结果是不确定的；但当多次重复时，正面朝上的概率和朝下的概率大约各为50%，实验结果呈现出某种有规律的数值。实验结果的这种确定性和不确定性，反映了随机事件是必然性和偶然性的完美统一：在看似偶然的抛硬币过程中，隐藏着重要的数学原理：它有可能朝上，有可能朝下，概率各占50%。实际上，这样的实验历史上有人（德.摩根、蒲丰、K.皮尔逊）做过。这种确定性可由下面数学公式表示：

■P■-p<ε=1

其中，p为某事件发生的概率，n为实验总次数，m为事件发生频数。

这就是著名的贝努里大数定律。这个定理说明：当试验在不变的条件下，重复进行很多次时，随机事件的频率在它的概率附近摆动。这一定理正是偶然性和必然性的最初统一表现形式。虽在一次随机试验中其结果难以确定，但当试验大数次进行时，结果会呈现出一定的规律性。这不仅升华出“概率”的统计定义，还导出频率“依概率收敛”于概率。

概率统计思想所揭示的必然性归根结底是大量偶然现象发生频率或分布状态的稳定性，而不是现象间因果联系的必然性，在这里，必然性得到了新的说明——它是一种整体的趋势。

三、整体与部分的辩证关系是概率统计研究的基本前提

在概率统计中，经常通过研究子样的概率统计特性来研究总体的特性。如在实践中经常遇到的检验产品质量的问题。设有n个产品，要检验这批产品是否合格，需从中随机抽取r（r　早在古希腊时期，人们已意识到机遇在某些场合有可能服务于人，例如用抽签决定人们彼此的争端。它反映了人们在不确定性的行为中努力寻找行为的理性规则，使人们的理性服从机遇的愿望。当今社会，概率统计已渗透到我们生活的各方面，不仅在科学研究中具有重要意义，而且成为一种具有普遍意义的思想方法。概率与统计之所以在现代科学及社会发展中焕发出强大的生命力，其中最重要的一个原因就是它处处包含了唯物辩证法的思想。

一、实践的观点是概率统计存在发展的基础

人们早就注意到，一次随机实验其结果完全是由偶然性支配的：测量一个长度a，一次测量的结果不一定就等于a，测量若干次，其算术平均值仍不一定等于a，但当测量的次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的；掷一颗均匀的正六面体的筛子，可能出现1～6任何一个点，在试验前无法预测下一次将会出现几点，但当试验大数次进行时，随机试验的结果就会呈现出一定的规律性，这就是“统计规律性”。这种统计规律性几乎是在人们的实践中总结、归纳、提炼出来的。例如人们在日常生活中经常使用的矩法估计：重复实验得到次的观察值，以其算术平均数来确定其实际值。这就导出了著名的切比雪夫大数定律：

■P■■-■■E（Xi）<ε=1

其中为Xi（i=1，2，3，…，n）随机变量且独立同分布，E（Xi）即为Xi的数学期望。从上述公式可以看出，当实验次数n充分大时，n个独立随机变量的平均值这个随机变量的离散程度是很小的。这意味着，经过算术平均以后得到的随机变量当n趋于无穷大时收 敛于随机变量的数学期望。

上述定律中还包含着这样的数学思想，即进行某次实验认为大概率事件必定发生，或小概率事件必定不发生。在实际应用中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的。因此，人们常常忽略了那些概率很小的事件发生的可能性。这就是实际推断原理。对这一原理的严谨性，初学者总是觉得难以理解。既然小概率并不等于零，为什么假定它就必不发生呢？的确，它不像其他数学原理一样有着严谨的数学证明，它与纯粹的形式逻辑似乎也相矛盾，但它却是实践经验证明了的、反映了真理的实践标准。小概率事件的实际不可能性原理在国家经济建设事业中有着广泛的应用。

实际推断原理进一步渗透到统计学的“假设检验”中。所谓假设检验就是在总体上做某种假设（假设其参数或分布），然后从总体中随机地抽取一个子样，用它检验此项假设是否成立。如果成立，则接受假设；如果不成立，根据实际推断原理，“小概率事件在一次实验中不可能发生”，可以认为“发生了必是大概率事件”，因此拒绝接受原假设。（注：尽管在假设检验中不可避免地存在“弃真”和“存伪”的两类错误。这是一个较为复杂的问题，这里不再详述。但有两点可以肯定：一是两类错误发生的概率是确定的，可以通过数学理论推导出来；二是通过增加试验次数降低错误发生的概率。所以此两类错误的发生并不影响实践作为真理标准的正确性和严密性。）

二、必然性和偶然性的统一是概率统计应用的重要条件

必然性和偶然性是事物发展过程中两种不同的趋势。二者是对立统一的辩证关系。必然性存在于偶然性之中，通过偶然性表现出来；偶然性中深藏着必然性，是必然性的表现和补充，两者相互依存，相互转化。概率统计的基本思想是通过对偶然性的研究和考察，去揭示大量偶然现象在整体上呈现出的必然性特征——统计规律，并利用统计规律做出科学的推断和选择。

任何事物的发生和发展过程，都要受到必然性的支配和偶然性的影响，必须具体事物具体分析。概率统计在整理偶然现象的过程中，发现大量偶然现象的发生频率或整体分布状态有一种非偶然的稳定性趋势，并相继用数学方法揭示了这种稳定性的规律如大数定律、中心极限定理等。随机现象在概率统计中是一个最重要的概念，抛一枚硬币其实验结果是不确定的；但当多次重复时，正面朝上的概率和朝下的概率大约各为50%，实验结果呈现出某种有规律的数值。实验结果的这种确定性和不确定性，反映了随机事件是必然性和偶然性的完美统一：在看似偶然的抛硬币过程中，隐藏着重要的数学原理：它有可能朝上，有可能朝下，概率各占50%。实际上，这样的实验历史上有人（德.摩根、蒲丰、K.皮尔逊）做过。这种确定性可由下面数学公式表示：

■P■-p<ε=1

其中，p为某事件发生的概率，n为实验总次数，m为事件发生频数。

这就是著名的贝努里大数定律。这个定理说明：当试验在不变的条件下，重复进行很多次时，随机事件的频率在它的概率附近摆动。这一定理正是偶然性和必然性的最初统一表现形式。虽在一次随机试验中其结果难以确定，但当试验大数次进行时，结果会呈现出一定的规律性。这不仅升华出“概率”的统计定义，还导出频率“依概率收敛”于概率。

概率统计思想所揭示的必然性归根结底是大量偶然现象发生频率或分布状态的稳定性，而不是现象间因果联系的必然性，在这里，必然性得到了新的说明——它是一种整体的趋势。

三、整体与部分的辩证关系是概率统计研究的基本前提

在概率统计中，经常通过研究子样的概率统计特性来研究总体的特性。如在实践中经常遇到的检验产品质量的问题。设有n个产品，要检验这批产品是否合格，需从中随机抽取r（r

早在古希腊时期，人们已意识到机遇在某些场合有可能服务于人，例如用抽签决定人们彼此的争端。它反映了人们在不确定性的行为中努力寻找行为的理性规则，使人们的理性服从机遇的愿望。当今社会，概率统计已渗透到我们生活的各方面，不仅在科学研究中具有重要意义，而且成为一种具有普遍意义的思想方法。概率与统计之所以在现代科学及社会发展中焕发出强大的生命力，其中最重要的一个原因就是它处处包含了唯物辩证法的思想。

一、实践的观点是概率统计存在发展的基础

人们早就注意到，一次随机实验其结果完全是由偶然性支配的：测量一个长度a，一次测量的结果不一定就等于a，测量若干次，其算术平均值仍不一定等于a，但当测量的次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的；掷一颗均匀的正六面体的筛子，可能出现1～6任何一个点，在试验前无法预测下一次将会出现几点，但当试验大数次进行时，随机试验的结果就会呈现出一定的规律性，这就是“统计规律性”。这种统计规律性几乎是在人们的实践中总结、归纳、提炼出来的。例如人们在日常生活中经常使用的矩法估计：重复实验得到次的观察值，以其算术平均数来确定其实际值。这就导出了著名的切比雪夫大数定律：

■P■■-■■E（Xi）<ε=1

其中为Xi（i=1，2，3，…，n）随机变量且独立同分布，E（Xi）即为Xi的数学期望。从上述公式可以看出，当实验次数n充分大时，n个独立随机变量的平均值这个随机变量的离散程度是很小的。这意味着，经过算术平均以后得到的随机变量当n趋于无穷大时收敛于随机变量的数学期望。

上述定律中还包含着这样的数学思想，即进行某次实验认为大概率事件必定发生，或小概率事件必定不发生。在实际应用中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的。因此，人们常常忽略了那些概率很小的事件发生的可能性。这就是实际推断原理。对这一原理的严谨性，初学者总是觉得难以理解。既然小概率并不等于零，为什么假定它就必不发生呢？的确，它不像其他数学原理一样有着严谨的数学证明，它与纯粹的形式逻辑似乎也相矛盾，但它却是实践经验证明了的、反映了真理的实践标准。小概率事件的实际不可能性原理在国家经济建设事业中有着广泛的应用。

实际推断原理进一步渗透到统计学的“假设检验”中。所谓假设检验就是在总体上做某种 假设（假设其参数或分布），然后从总体中随机地抽取一个子样，用它检验此项假设是否成立。如果成立，则接受假设；如果不成立，根据实际推断原理，“小概率事件在一次实验中不可能发生”，可以认为“发生了必是大概率事件”，因此拒绝接受原假设。（注：尽管在假设检验中不可避免地存在“弃真”和“存伪”的两类错误。这是一个较为复杂的问题，这里不再详述。但有两点可以肯定：一是两类错误发生的概率是确定的，可以通过数学理论推导出来；二是通过增加试验次数降低错误发生的概率。所以此两类错误的发生并不影响实践作为真理标准的正确性和严密性。）

二、必然性和偶然性的统一是概率统计应用的重要条件

必然性和偶然性是事物发展过程中两种不同的趋势。二者是对立统一的辩证关系。必然性存在于偶然性之中，通过偶然性表现出来；偶然性中深藏着必然性，是必然性的表现和补充，两者相互依存，相互转化。概率统计的基本思想是通过对偶然性的研究和考察，去揭示大量偶然现象在整体上呈现出的必然性特征——统计规律，并利用统计规律做出科学的推断和选择。

任何事物的发生和发展过程，都要受到必然性的支配和偶然性的影响，必须具体事物具体分析。概率统计在整理偶然现象的过程中，发现大量偶然现象的发生频率或整体分布状态有一种非偶然的稳定性趋势，并相继用数学方法揭示了这种稳定性的规律如大数定律、中心极限定理等。随机现象在概率统计中是一个最重要的概念，抛一枚硬币其实验结果是不确定的；但当多次重复时，正面朝上的概率和朝下的概率大约各为50%，实验结果呈现出某种有规律的数值。实验结果的这种确定性和不确定性，反映了随机事件是必然性和偶然性的完美统一：在看似偶然的抛硬币过程中，隐藏着重要的数学原理：它有可能朝上，有可能朝下，概率各占50%。实际上，这样的实验历史上有人（德.摩根、蒲丰、K.皮尔逊）做过。这种确定性可由下面数学公式表示：

■P■-p<ε=1

其中，p为某事件发生的概率，n为实验总次数，m为事件发生频数。

这就是著名的贝努里大数定律。这个定理说明：当试验在不变的条件下，重复进行很多次时，随机事件的频率在它的概率附近摆动。这一定理正是偶然性和必然性的最初统一表现形式。虽在一次随机试验中其结果难以确定，但当试验大数次进行时，结果会呈现出一定的规律性。这不仅升华出“概率”的统计定义，还导出频率“依概率收敛”于概率。

概率统计思想所揭示的必然性归根结底是大量偶然现象发生频率或分布状态的稳定性，而不是现象间因果联系的必然性，在这里，必然性得到了新的说明——它是一种整体的趋势。

篇2

关键词 概率论与数理统计 数学期望 全概率公式 正态分布

中图分类号：G424 文献标识码：A

Explore University Probability Theory and

Mathematical Statistics Teaching Methods

ZHANG Lili

（Department of Mathematics and Physics， Shijiazhuang Tiedao University， Shijiazhuang， Hebei 050043）

Abstract Concentrating the society problems and the study of students， this work study the teaching from aspects of the interests， live， stimulation， study， by analyzing the characteristics of probability theory and mathematical statistics to shift the initiative of students and the classroom effect.

Key words probability theory and mathematical statistics； expectation； total probability theorem； normal distribution

概率论与数理统计是对随机现象的统计规律进行分析和归纳的科学，是我国高等院校教育中的三大基础数学课之一。它不仅广泛应用于自然科学的各个领域，而且在社会科学的许多领域也日益受到重视。由于概率论与数理统计与其它数学专业课在学习上有着很大的不同，在教学中，我们发现学生的学习存在以下几个方面的问题。一方面大多数学生觉得概率论与数理统计枯燥乏味，内容少实例多使得学生无法调动学习兴趣。另一方面，概率在实际生活中应用广泛，①很多学生无法在实际问题和抽象理论之间准确地建立联系。最后，由于当今社会的发展中，物质利益不断膨胀，有一些学生的学习目的只是为了应付考试，满足于与考试相关的内容和题目，而不去主动思考问题。

大学数学教育的目的以传授数学知识为基础，主要教导数学方法及思维方式，最终启发、引导学生了解并学会和运用数学思维方式解决实际发生的数学问题，使学生具有研究精神和创造性。②基于此目的，针对以上问题，在概率论与数理统计的教学中，改革课堂教学模式、教学方法已成为大学数学教师关注的问题，③在此我们有以下几点经验。

1 教学的趣味性

课堂教学的趣味化，即结合学生感兴趣的实际问题引入概率知识，激发学生的求知兴趣，启发学生的数学思维。

表1 五名学生成绩的概率分布

内容枯燥，教学方式单一是学生感觉课堂乏味的主要原因。在教学过程中，教师应多结合学生感兴趣的问题，让学生自己解决，这有助于提高学生的学习兴趣。比如，在给出数学期望的定义时，可以介绍学生的平均成绩问题：五名学生的成绩分别为85，80，90，85，90，求这五名学生的平均成绩。五名学生成绩的概率分布如表1所示。

通过观察表1，学生很容易知道平均成绩为1/5＃ + 80 + 90 + 85 + 90）=805 + 855 + 905，这即是离散型随机变量数学期望的形式。另外教师应精简例题的数量，利用有层次的例题展现知识点。二维连续型随机变量函数的加法分布是概率学习中的重点也是难点，在讲授时，教师可以首先通过两种方法（定义法和卷积公式法）计算X+Y型函数的分布使学生感受两种方法的不同之处，然后介绍2X+Y型分布，使学生了解卷积公式不是万能的。

2 教学的生活性

课堂教学的生活化，即通过生活中具体的实例讨论概率的应用，建立形象问题和抽象思维之间的联系。概率论与数理统计是一门实用性很强的科学，在具体实际情况和数学概念、定理、公式之间建立正确的联系，成为现在学生面临的主要难题。教师在教学过程中可以分析一些具体的实例，使学生了解怎样应用数学知识解决实际问题。比如分析问题“根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若被诊断者患有癌症，则试验反应为阳性的试验反应为阳性的概率为0.95，若被诊断者没有患有癌症，则试验反应为阴性的概率为0.95，且被试验的人患有癌症的概率为0.005，问如果被试验者反应为阳性，他患有癌症的概率为多大？”这是一个题目很长的实际问题，学生一般无从下手，解决问题的关键在于了解题目中涉及几个条件和几个随机事件，只要准确描述随机事件就可以把实际问题转化为概率问题。实际问题的多次训练有助于培养学生用数学语言描述实际问题的能力。

3 教学的启发性

教学的启发性即给学生思考的时间，等学生无法想明白的时候再去开导。具体来说就是老师对上课提出的问题给出学生思考的时间，在学生主动思考之后，帮助学生开启思路。

“填鸭式”，“满堂灌”的教学方法最容易使学生失去学习兴趣。孔子曰“不愤不启，不悱不发”，说的就是要启发学生思维，引导学生思路。比如，讲授全概率公式之前引入实例：

有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

撇开概率知识不谈，把这个问题纯粹看成一个数学问题，也可以用中学知识解决，给学生几分钟思考的时间并适当引导学生使用数形结合的方法讨论，我们把产品在三个工厂的生产及次品情况转化为产品分布图，如图1所示。

通过观察图1，学生就很容易地知道从这批产品中任取一件次品的概率就是黑色椭圆区域在整个矩形内所占的比例，经过分析就可以得到全概率公式。该方法不仅能够加深学生对该问题的印象，还有助于学生对复杂全概率公式的理解。

4 教学的研究性

教学的研究性，就是要培养学生解决新问题的能力。在大学教育中仅仅教给学生课本上的知识是远远不够的，尤其是在现代科技迅速发展的情况下，应该花大力气培养学生解决未知问题的思维能力。④比如，在讲授正态分布的概率密度函数的图形特点时，可以让学生自己试着研究密度函数图形的特点。首先引导学生根据高等数学的知识来研究函数图形的以下特性：（1）奇偶性（对称性）；（2）单调性；（3）有界性；（4）凹凸性及拐点。接下来根据正态分布概率密度函数的具体形式分析密度函数图形的特性。

在概率论与数理统计的教学中，教学方法影响了学生对这门课程的掌握程度，成功的数学教育不仅要为学生提供数学知识，还要对学生进行数学的思维训练。采用灵活多变的教学方法和形式，致力培养学生的综合素质能力是我们永恒的目标。

资助项目：河北省自然科学基金（A2014210104）

注释

① 维，惠淑荣，郑钰.高等学校概率论教学改革的探索与实践[J].沈阳农业大学学报，2011.5.13（3）：331-334.

② 周玲.关于概率论教学的一点思考[J].大学数学，2007（13）：14-16.

篇3

一、突出统计学的思维

统计学涵盖范围很广，其中最直接的表现是可以通过对整体中部分数据的分析，发现整体数据的性质。由于数据的统计结果具有很强的随机性，因此，在进行实际操作过程中，会不可避免地出现失误，这也是它不同于定性思维的主要表现。但统计思维与定性思维作为人类重要且不可缺少的思维方式，对人类进行数据分析与整理起着非常重要的作用。因此，这两种思维方式在人类应对大自然事物中具有很大的普遍性与存在性。统计学作为概率统计中随机变化的重要描述，对人类进行数据分析及结果统计中规避失误风险具有很强的指导作用。

使学生明确及了解统计知识的特点及作用是现代统计教学的重要目标。因此，教师在进行教学的过程中，可以通过对重要统计数据的合理分析，使学生了解统计学知识的作用，帮助学生明确统计学思维与定性思维的不同。如教师在进行“运用样本数据对整体进行估计”的教学时，可通过引入具体数据，使学生在分析数据的过程中明确样本数据的随机性与关联性。从另一个角度来讲，在对样本数据进行分析的过程中，抽样方法的合理性对总体概率具有一定影响，也就是说，选用的抽样方法较合理，那么，样本数据的信息就能够充分反映总体变化趋势与性质，对人们解决概率性事件具有很大帮助。

二、教学具体生活案例的引入

为了帮助学生对不确定事件发生概率进行理解，教师可以通过在教学过程中引用实际的生活经历来实现。通过这样的方法不仅可以帮助学生在学习过程中掌握数据处理方法，还可以培养学生应对实际问题的解决能力，帮助学生理解概率学知识的基本思想，使“概率与统计”知识在生活中具有更强的广泛应用性。如教师在进行“最小二乘法”的课堂教学时，通常会采用最基本也是最直接的方法，就是对“最小二乘法”进行基本的介绍及解释。但是这种教学方式不仅会造成学生对教学内容实质的不理解，还不利于学生学习以及思维能力的培养，对教学质量的提升有很大的影响。教师可通过学生较为感兴趣的话题进行举例，让学生对统计出来的数据进行散点图的整理与分析，从而发现不同的数据之间存在着线性的变量关系，这时教师再引入“最小二乘法”概念，引导学生理解与掌握线性回归方程，完成“最小二乘法”的教学内容。教师在对教材及概率事件进行案例收集时，不能仅仅局限于数学学科，还应加强对其他学科中有关概率事件案例的收集，同时强化学生发现问题的能力，通过引用具有实际生活意义的教学案例，帮助学生更好地掌握“概率与统计”知识。

三、注重对随机概率现象的解释

篇4

    一、统计与概率改革的意义

    统计与概率内容的改革,对促进初中数学教学内容的现代化、结构的合理化,推动教育技术手段的现代化,改进教师的教学方式和学生的学习方式等都有积极的作用。

    1.使初中数学内容结构更加合理

    现行初中数学教学内容主要包括代数、几何,统计含在代数之中。初中三年总课时大约500左右,代数约占258课时,统计约占14课时,几何约 占228课时。从课时分配上可以看出,代数和几何占有相当的份量,约占总课时的95%,统计仅占4%。代数、几何属于“确定性” 数学,学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法,它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间观念方面发挥着重要作用。而统计与概率属于“不确定性”数学,要寻找随机性中的规律性,学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法,它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。统计、概率与现实生活密切联系,学生可以通过实践活动来学习数据处理的方法。

    2.有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式

    转变方式是学习统计与概率的内在要求。由于统计与概率中存在着大量的活动,学生需要通过亲自参与活动来学习统计与概率的内容,掌握数据处理的方法。这些活动以有效地导致教师与学生地位的根本改变,促进教师教学方法的改进和学生学习方式的改变。教师由知识的传授者成为活动的组织者、引导者、合作者,学生由被动接受知识的容器转变为活动学习的设计者、主持者、参与者;传统的传授式教学已不能满足教学的需要,学生的学习方式由被动接受变为主动探究。

    二、处理统计与概率的基本原则

    1.突出过程,以统计过程为线索处理统计与概率的内容统计学的主要任务是,研究如何以有效的方式收集和处理受随机性影响的数据,通过分析数据对所考察的问题作出推断和预测,从而为决策和行动提供依据和建议。统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析(包括概率)的完整过程。根据统计的这个特点,初中阶段的统计内容应该反映这个完整的过程,以过程为线索设计整个初中的统计内容。首先是数据的收集,然后是对收集到的数据进行整理和描述,最后对数据进行分析。在具体内容的处理上也应突出统计的基本过程,让学生经历收集数据,整理数据、描述数据和分析数据得出结论,利用结论进行合理预测和判断的统计过程。

    2.强调活动,通过活动体验统计的思想,建立统计的观念

    统计与生活实际是密切联系的,在收集数据、处理数据以及利用数据进行预测、推断和决策的过程中包含着大量的活动,完成这些活动需要正确的统计思想观念的指导。统计的学习要强调让学生从事简单的数据收集、整理、描述、分析,以及根据统计结果进行判断和预测等活动,以便渗透统计的思想,建立统计的观念。

    3.循序渐进、螺旋上升式安排内容

    统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程,这个过程中的每一步都包含着多种方法。例如,收集数据可以利用抽样调查,也可以进行全面调查;在描述数据中,可以用象形图、条形图、扇形图、直方图、折线图等各种统计图描述数据。对统计过程中的任意一步,教材不可能在一个统计过程中全面介绍,因此教材可以采用循序渐进、螺旋上升的方式处理内容,在重复统计活动的过程中,逐步安排收集数据和处理数据内容。这样安排内容不仅符合统计的特点,也符合学生的认知规律。学生对统计的过程是陌生的,这样螺旋上升式安排内容,可以使学生在重复统计活动的过程中,不断完善对统计的认识,逐步掌握统计分析的各种方法。

    三、处理统计与概率时值得注意的几个问题

    1.统计与概率宜分别相对集中安排

    概率是刻画事件发生可能性大小的量,统计是通过处理数据,利用分析数据的结果进行预测或决策的过程。从统计学内在的知识体系看,概率是统计学的有机组成部分,在数据的分析阶段,可以利用概率进行统计分析,从数据中得出结论,根据结论进行预测或判断。因此,在初中阶段,可以把概率看成是统计过程的一个阶段。

    2.使用信息技术,突出统计量的统计意义

    信息技术的发展,使收集数据和处理数据变得更方便、更快捷。我们可以通过计算机网络收集数据,利用计算机软件制作统计表,绘制各种统计图以及进行概率实验,这是统计与概率在各行各业得到广泛应用的一个重要原因。在教材编写和实际教学中,应当提供使用计算机处理一些内容的方案,作为弹性处理,供有条件使用计算机的学校或学生选用。

    3.淡化处理概念

    虽然概率与统计的概念不多,但有些概念给出定义是困难的,教材不必追求严格定义,应将重点放在理解概念的意义上来。例如概率的概念,在中学阶段给出严格的定义是不可能的,也是没有必要的,因此在编写时,可以通过大量的例子来说明,让学生感受到概率是对随机现象中规律性的一种刻画,是对事情发生可能性大小的一种估计就可以了。

    4.选材广泛,文字叙述通俗、简洁

    统计(包括概率)的现实生活素材是非常丰富的,编写教材时应当充分挖掘,尽量从学生的生活实际出发来引出和呈现内容,通过丰富的素材处理内容。选材可以是学生感兴趣的生活实际问题、社会问题或人与自然的问题 等,突出现实性与时代感。

    统计与概率的内容虽然有大量的图表,但也需要一定的文字语言解释说明。为不影响学生的阅读兴趣、分散学生的注意力,要避免大段的文字叙述。

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概率统计的社会科学理念已经渗透到生产管理、技术革新、工艺改造等各个方面。概率统计是研究大量随机现象规律性的一门科学，对其它各学科的发展都有不同程度的影响。提高人们的概率统计社会科学理念已成为国家工业发展、经济发展的方向之一。我国2010-2020年的《中长期教育改革和发展规划纲要》把提高公众科学素质，培养创新人才放在了重要的位置（陈来成、徐燏，2012：55）。概率统计社会科学理念是科学发展中的重要组成部分，而高职理工科人才科学素质的培养离不开概率统计科学理念。因此培养高职理工科人才，提高其概率统计的社会科学理念是国家的需要。概率统计的社会科学理念包涵了活跃的思维意识、严谨的逻辑思考方式和对自然规律的解释，是高职理工科学生的专业基础课，该理念的培养是高职理工科学生基础知识的要求、专业的需求以及社会的需求。

（1）高职理工人才基础知识的要求不同层次理工科学生的培养对其基础知识的掌握有不同的要求：本科阶段的理工科基础知识偏重于理论的研究，为学生进一步深造打下科学基础；高职阶段的理工科基础知识则侧重于基本理论和对相关技术的应用。概率统计知识是高职阶段理工科基础知识的重要组成部分。高职理工科的基础课程有高等数学（数学分析）、线性代数（高等代数）、工程图学（机械制图）、大学物理学、概率论与数理统计等，数学类课程在其中占据了极其重要的比例。其中，概率统计类课程通常为48或51个课时。众多高职理工类专业都开设有概率统计类课程，如电子信息、环境科学、专业建筑学、城市规划、土木工程、建筑环境与设备工程、给水排水工程等专业。由此可见，概率统计社会科学理念的培养是高职理工科学生基础知识的要求。

（2）高职理工人才的专业需求高职理工科很注重培养学生的专业实践能力和动手能力，概率统计社会科学理念有助于增强这方面的能力。在制造类工业生产方面，人们常运用参数估计与假设检验等概率统计的科学知识解决生产中的实际问题，例如常被用于进行矿砂样品的测定、机床加工精度的分析、轮胎耐磨性的检验、电子管平均寿命的测量等。在高职理工科的专业设置中，制造大类的专业布点占高职招生计划专业总数的百分之二十，远远地超过了电子、财经类等热门专业。因此，概率统计社会科学理念的培养将有助于优化高职生，尤其是理工类高职生的专业知识结构。

（3）高职理工科学生教育的社会需求我国高职教育是社会经济发展的产物，是为适应社会对生产第一线的技术人才的迫切需要而发展起来的（尹雨琴，2012:19）。高职理工科人才的培养更多地是面向社会的需求。根据全国高等学校教学研究中心的专家分析，理工科的人才培养有两类，高职的理工科人才培养属于第二类“从事各类应用性研究以及面向生产管理部门的应用型理科人才”（夏鲁惠，2006:6），其中“面向生产管理部门”就是要紧扣社会的需求。概率统计的科学知识常被运用于生产管理的各个环节，社会各生产管理部门通过对生产数据的收集、整理、描述和分析，以此在生产运作中做出合理的推断和预测，最终做出生产决策。此外，社会的各方面信息也离不开概率统计的科学知识。读懂国家统计局公布的中国国内生产总值、人均国内生产总值等数字，合理分析国家统计局对工农业总产值和劳动就业的调查报告，这些都离不开概率统计的科学知识。因此，概率统计社会科学理念的培养将有助于提高高职理工科学生的社会意识，应用意识，帮助他们完善自我，更好、更快地满足社会的需求。

二、高职理工科学生的培养方式探索

理清了培养的重要性，从教学和人才培养的意识上确立了概率统计社会科学理念的地位之后，探讨培养的方式方法显得尤为重要。结合上文提到的，概率统计社会科学理念的培养是高职理工科学生基础知识的要求，专业的需求以及社会的需求，本研究对高职理工科学生概率统计社会科学理念的培养方式做出三方面相应的分析：

（1）结合高职理工科学生基础知识的水平，降低概率统计社会科学理念的难度高职学生数学基础知识较弱，概率统计的课程学时少，按照51或48学时的授课计划计算，连概率的基本思想内容介绍都无法完成，加强统计方法在社会实践方面的应用更是空想。因此，针对高职理工科学生的培养方案必须考虑这些实际的教学现状和问题，结合高职理工科学生基础知识的水平，降低概率统计社会科学理念的难度。在培养高职理工科学生概率统计社会科学理念的过程中，首先，要掌握高职理工科学生的学习心理。高职高专入学分数较低，文化基础弱，对各门学科的学习信心不足，稍稍遇到困难就很容易退缩，接受概率统计的科学理念又需要一定的数学基础，所以在学习的初始，应先复习中学的概率统计知识，教学内容应该在高等教育和中学教育之间有良好的过度和衔接，帮助学生树立学习的自信心。其次，概率统计社会科学理念作为高职理工科基础学科知识的一部分也应重基础，减少大而且深的理论教学，多教授生产中能应用到的函数公式，尽量减少函数曲线的抽象性，以此减低概率统计科学知识的教授难度。此外，在培养过程当中，也要慎重选择教材和教学辅助材料，许多概率统计的教材是针对本科生编写的，内容全面，但具体的概率统计应用方式介绍不够突出，讲解过于学术，不适合高职高专的学生使用，令学生阅读教材时即对概率统计的科学知识望而生畏，因此，要降低概率统计课程的难度，首先要降低教材的难度。只有全面考虑高职高专理工科学生的基础知识结构特点，才能取得概率统计社会科学理念培养方面的突破。

（2）结合理工科专业知识，细化概率统计社会科学理念概率统计社会科学理念是一个很宽广的范围，包括概率论和统计学两个方面，其中有随机思想的理念、公理化系统的理念、数形结合的思维结构、统计推断的科学理念等等。这些概率统计社会科学理念的分类都是比较宽泛的，不利于专业针对性较强的高职理工科学生在学习中接受。概率统计社会科学理念作为高职理工科基础学科知识的一部分也应重基础、重应用，与具体的理工科专业知识相互结合。例如，对于电子信息专业的高职理工科学生，可以在理念培养的过程中适时引进基于概率统计论的网络技术。研究人员徐海湄、齐守青、卢显良和韩宏曾在2009年立项的国家973计划项目中研发一种新的基于概率统计论的P2P网络信任模型。该模型运用了最大似然估计、假设检验等方法，这种经典案例极好地结合了理工科的专业知识，同时又细化了宽泛的概率统计社会科学理念。再如，对于土木工程专业的高职理工科学生，也可在学科专业培养中渗透概率统计的科学思想。重庆大学土木工程学院、研究防灾减灾工程及防护工程的学者曹晖和林秀萍曾于2010年在理工科类的核心期刊《振动与冲击》中《结构损伤识别中噪声的模拟》。文中提到，可以用概率统计方法,借助统计量和假设检验方法确定土木工程结构的损伤判别临界值,并给出检验的判错概率。总而言之，概率统计社会科学理念的培养需要紧密结合高职理工类学生的学科专业知识，培养方向应具体化，概率统计社会科学理念要在相应专业的应用方面增加深度和广度。

（3）利用STS活动、结合社会实践，将概率统计社会科学理念具体化科学、技术和社会联合式教育活动是现今高职人才培养的重要教学活动之一，STS（ScienceTechnologyandSociety）是它的英文名称。这种教学活动形式以学生为主体，在培养学生的过程中强调走出课堂，走产学研相结合的道路，主张开展“校企合作”密切联系生产管理、实体操作第一线。STS模式的应用有利于提高学生运用概率统计社会科学理念解决实际问题的能力。概率统计的科学理念本身就与社会实践活动息息相关，STS注重科学和技术在社会实践中的应用，因此，通过STS教学活动，组织学生分组协作，亲身体验企业在理工科专业领域中的生产运作，然后进行相关的模拟练习，利用概率统计的相关知识解决模拟练习中出现的生产管理问题，以此促进学生的动手能力，拉近学生与社会生产生活的距离，将概率统计社会科学理念在社会实践中具体化。在培养过程中，教学部门还应组织相应的学科竞赛，指导并鼓励学生运用所学的概率统计科学知识提高自己的专业水平。将概率统计社会科学理念具体化需要全方位的教学活动的配合，这也是高职理工科人才概率统计社会科学理念的培养方式之一。

三、结论

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[关键词]概率统计 教学改革 案例教学法 电脑实验

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2015）02-0132-04

一、引言

概率论与数理统计（简称为概率统计）是高校理工科、财经类等专业开设的一门重要的公共课程，是一门研究随机现象及其统计规律性的应用学科，其理论与方法已经被广泛地应用于生物医学、金融、地球科学、人工智能和网络通讯等领域，对经济和社会生活都产生了深远的影响。[1]近十几年来，随着高校教育改革的不断深化，概率统计课程的教学改革也取得较大的进展。[2] [3] [4] [5] [6] [7]然而，当前普通高校概率统计教学还普遍存在以下两个问题：

（一）教学内容多，但学时相对较少

就我校而言，对于理工科和财经类学生，概率统计这门课程的教学内容包含了随机事件、一维及多维随机变量的分布、数字特征、参数估计、假设检验和回归分析。当前科学技术日新月异，为适应时代的发展，普通高校的学生要学的东西也逐步增多，因此，他们需要学习的科目就自然会比以前的大学生要多一些，又因为国家法定节假日停课，所以，教学时数被压缩成为必然，而教学内容与教学时数不相适应的矛盾使得学生学习概率统计更加困难，造成了其学习的畏难情绪。例如，对非数学专业的学生，我们使用复旦版的概率统计教材，前几年安排51个课时是比较合理的，而近两年却不得不把课时缩减为34个课时，要在这么短的时间内完成同样的教学内容并保证教学效果，对任课教师来说的确是一个很大的挑战。由于课时不够，概率统计中的许多知识点往往讲不透，也是造成学生学习上的困难的一个重要原因。

（二）学生的数学基础下降，学习积极性不够

在高校不断扩招下，近十年来，普通院校生源整体素质确实相对有所下降，不少学生数学基础不好也是不争的事实，例如，由于学生微积分基础没打牢，他们在学习随机变量分布这部分内容就比较吃力，特别是连续型随机变量分布，很多学生不会计算二重积分，当然会觉得求连续型二维随机变量的数学期望和方差很困难。另一方面，由于概率统计中的公式较多、计算繁琐，部分学生由于高等数学基础薄弱而影响其概率统计学习的积极性，相当多的学生为应付考试而死记硬背公式，更谈不上掌握概率统计的实际应用了。而且大学校园里各类活动也比较多，学生积极参加各类活动，的确是能提高他们的实践能力，然而这也多少致使一些学生在学习该课程的时间上投入不够。这些因素导致不少学生缺乏学习的兴趣与动力，从而在学习概率统计的过程中感觉到枯燥乏味，因此，相当一部分学生对概率统计的学习兴趣普遍都不高，学习的积极性越来越低。

近十几年来，尽管各学校都在强调概率统计的重要性，绝大多数学生也非常重视这门课程，但是不可否认，许多学生在学习概率统计课程时的确遇到了一定的困难，比如不少学生学完之后仍然对概率统计的知识理解很模糊，不会应用于解决实际问题等。这些问题的产生有课程本身的原因，同时也有教学方面的问题。针对这些问题，我们在教学实践中进行了一系列的教学改革，旨在探索出比较适合普通院校的概率统计的教学改革方案。

二、教学改革的探索与实践

（一）教学内容调整

1.合理将大学概率统计课程的内容与中学的知识进行衔接，自然过渡。多年来，概率统计的一些内容在中小学的教材里已经出现了，在高中新课标教材中概率统计这部分内容主要包括：随机事件与概率、古典概型与几何概型、概率应用、条件概率与事件的独立性、随机变量的数字特征五部分构成。[8]但是，中学的教学主要侧重于对某一类题目解题方法及技巧的训练，而往往忽视对概念本质的理解。上述的这些内容依然还是大学概率统计的重要组成部分，因此对这部分内容既不能不讲，又不能简单重复，而是应该在提高上下工夫，即要对这些概念进行一定的深入和提升，对其方法进行优化，当然还有必要对学生的一些错误的认识或应用进行纠正。

2.内容处理上，要淡化运算技巧，重点放在讲解概率思想和统计方法上，培养学生的概率思维和解决实际问题的能力。概率统计是一门应用广泛的学科，对于普通院校的学生，学习概率统计，不用过于强调数学推导的过程，而是抓住本课程的特点，其侧重点应该放在讲解概率思想和统计方法上，并且加强实践性的训练，逐步培养学生的概率思维和解决实际问题的能力。一般的，传统的概率统计教学内容主要包括以下三个方面： 其一是基本概念和方法；其二是公式的来源、推导和详细的计算步骤；其三是统计结果的解释与分析。通常而言，公式的推导往往有利于加深学生对这些基本概念的理解，而手工计算则能够加深学生对该公式的印象。然而对普通高校的学生而言，由于数学基础相对比较薄弱，冗长的公式推导一般很难理解，显然就谈不上对该公式的记忆加深了。另一方面，复杂的公式推导往往会加重学生的畏难情绪，并且也会花费较多的课堂时间，因此在计算机已经普及以及本课程内容多课时少的情况下，普通院校的学生没有必要再把大量的时间花费在公式的推导上，而是教师应该抓主要概念，基本理论思想和方法，给学生讲解清楚最简单、最基本的知识原理，讲明知识延伸拓展的方法和思路，在理解概率统计思想的基础上，重点放在对公式或定理内涵的剖析，以及如何将这些统计方法运用于实际问题。在时间允许的前提下，可以适当增加一些应用统计方法如聚类分析、判别分析、时间序列、生存分析的介绍，以激发学生的学习兴趣，逐步培养学生的概率思维和解决实际问题的能力。同时，概率统计应用离不开统计软件，因此也要平衡教学中理论和软件的比重关系，在重视理论教学的同时适当地介绍相关统计软件的应用。[3]

（二）教学方式方法的改革

1.运用案例教学法，培养学生分析问题和解决问题的能力。一般的概率统计教材里都有比较丰富的练习题，然而这些习题大多是经过收集、整理好的现成资料，大多时候，学生做这些练习仅仅是利用计算器或计算机套用教材上的公式进行机械运算，而一旦遇上实际问题，学生常常觉得无从下手，综合运用能力较差，达不到学以致用的目的。案例教学法就是把案例作为一种教学的工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与互相讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。[4]通常在教学的过程中，在教师的引导下，学生对实际案例进行分析、研究、思考或辩论，从而找出解决问题的方法和手段。而在其过程中，学生不仅能理解概率统计的思想和方法，而且还能够锻炼和提高他们分析问题和解决问题的能力，同时也激发他们学习概率统计的兴趣。

一般的，案例教学的主体是学生，他们通过积极、主动的讨论，达到把学习到的相关的概率统计理论、方法应用于实际的目的。那么在教学中引入的案例，首先应该能引起学生兴趣与探索的欲望，能调动学生参与讨论、学习的主动性和积极性。因此，选取与设计适合本课程的案例，是开展案例教学的基础，也是有效进行案例教学的重要环节。其次，案例的素材选取应选择典型案例，比如赌金分配问题、彩票中的数学问题，以强调统计的实际应用性。再者，案例应该是客观真实的，注重与专业知识、社会热点、日常生活相结合，突出课程的实用性，例如，生日配对问题、居民消费支出的预测问题、售价与销售量的关系问题等。学生通过参与这些来源于实际生活的案例的思考、分析及讨论，真正感受到这门课程的实用性。因此，任课教师要结合概率统计学科应用性较强的特点，在平时注意多收集日常生活中的实例，根据教材内容选择适当的相应案例，多方式地灵活再现实际生活，将理论知识应用到实际案例中。[9]

案例教学方法的使用应该注意以下几点：（1）因为案例教学对学生的能力要求较高，所以教师要根据学生的特点和认知水平设计好案例，案例问题不能太难，也不能太简单，这样才能较好激发学生去思考和解决问题。因此选取与设计合适概率统计教学的案例，是本课程开展案例教学的基础，是有效进行案例教学的关键环节。（2）案例分析次数要适当，不应太多。由于在案例教学中，组织学生讨论案例，解决问题，最后老师总结点评等环节是要花不少时间[10]，因此，应选择几个经典的案例，精心设计，合理安排时间，以提高每一次案例课的效率。

2.利用多媒体技术辅助教学。概率统计涉及大量的数据、公式和统计图表等，而今，多媒体技术已经被广泛应用于各类学校的教学之中，如果还花费相当多的时间在黑板上陈列这些内容显然没有必要，采用多媒体教学可以很好的解决这个问题。在教学过程中，教师可以利用多媒体给出一些图形或动画实例，或者是对某些随机试验进行形象的模拟，这样不仅能使枯燥的课堂说教变为形象生动的动态展示和讲解，即增强了教学内容的直观性、形象性，同时能够化抽象为具体，从而可以增进学生对概率统计的学习兴趣。因此，教师利用形象生动的多媒体课件来进行概率统计教学，一方面可以避免枯燥的板书和讲解，例如，一些概念的物理背景与几何意义等可以通过图形、动画展示出来，使得教学更具动感，学生容易接受，这样能保证教学的效果。另一方面多媒体技术提高了课堂的效率，增加了课堂容量，学生的积极性、接受程度也会得到一定的提高。

3.采用分层次教学法。经济管理或财经类专业的学生，一般都是文理兼收，学生数学基础差距比较大；并且在一般的普通高校里，学生人数众多，即使专业方向相同，其数学基础也可能是参差不齐。因此，对这样不同专业背景、不同的数学基础的学生，在概率统计课程的教学方式方法的选择上，一般就很难有一个统一的模式，此时分层次教学法是一种比较合适的选择。分层次教学是根据学生不同的基础、不同的专业需求、学生的学习兴趣和学习能力等特征，将所学课程的教学起点、教学内容、教学深度、教学方法和教学时数等要素，构建成不同层次的教学班。[11]对于不同层次的学生，我们为其选用了不同深度和广度的教材，基础好的班级选用由华东师范大学编写的《概率论与数理统计教程》，基础一般的选用由复旦大学编写的《概率论与数理统计》作为教材。在分层次教学中，同一层次的学生数学水平之间也是存在差异的，所以教师必须根据本层次学生的特点，制订相应的授课内容和方法，尽可能的做到因人因材施教；每个层次都制订有针对性的教学目标，采取合适的教学方法，切实提高教学效率。[12]另外，在开展分层次教学的同时，对不同层次的班级做相应的考核方式的改革。

4.开展电脑实验课，提高学生实践能力。传统的概率统计教学过程中，一般有习题课，而没有实验课，不可否认，习题课对于巩固课堂教学起着比较重要的作用，然而习题课往往不能解决理论与实际应用相结合的问题。而且传统的概率统计教学一般注重理论的推导过程，偏重手工计算，因此在教材中普遍没有介绍统计软件的使用，而是将统计软件的使用作为学生的选修或自学内容。然而在概率统计的应用过程中往往离不开对数据的处理、计算和分析，比较有效的办法就是需要依靠统计软件来完成这些步骤，因此统计软件的应用介绍也是很重要的，这可以通过开展一些概率统计实验课来实现。在实验课里，教师可以根据学生的实际专业背景，指导他们用一些公认的统计软件，比如对理工科的学生，其编程能力一般都比较好，可以用Matlab或R软件，而对经济、管理或会计专业的学生，可以选用简单实用的SPSS即可。在实验课里，学生一边学习一边着手用统计软件处理数据，并对结果进行分析，加强了对其动手能力的培养。同时也可以借鉴前辈用掷钱币、摸球讲述概率和用撒绿豆来显示正态分布的经验，设计一系列的统计实验，在电脑和统计软件的辅助下模拟各种各样的分布和随机抽样过程，通过电脑屏幕显示统计学现象及其规律。[13]通过电脑实验教学，可使学生从繁杂的计算中解脱出来，将更多时间和精力放在统计分析的学习上。此外，电脑实验课给学生提供了一个理论与实际相结合的训练平台，提高学生处理和分析数据的能力。

（三）考核方法的调整

为了操作的方便，过去我们概率统计这门课程的考核一般就只有专业理论考试（而且通常是闭卷的）。如今教学方法的改革必然会涉及考核方式的改革，原来一考定终身的考试方法是应该要改变了，应在专业理论考试的同时，考查学生对概率统计的基本知识和原理的应用能力。为此，我们把传统的试卷分为专业理论测试（卷面考试）和实际应用测试（资料分析和软件操作），在专业理论测试方面，一般不考死记硬背的知识，废除名词解释和填空题，这样公式、定义和定理一概不需学生去背。[13]通过判断、选择、简答、案例分析等题型来考核学生对概率统计知识的理解和掌握程度（这样一是减轻学生的学习负担，二是强调本课程的应用性）。而在实际操作测试方面，则注重考核学生对统计软件操作技巧与统计分析方法的掌握程度和结合程度。这样的考核形式，既增强了教师教学的灵活性，又能让学生体会到学习的乐趣，增加学习的积极性和主动性，培养学生的应用能力，达到了良好的教学效果。

（四）不断提高任课教师的素质

概率统计教学改革是一个系统工程，需要方方面面的有机配合才能顺利实施。除了以上几方面外，教师的作用同样不容忽视，高素质的教师是教学改革能够顺利进行的一个基本保证。因此就要求任课教师不仅要具有扎实的概率统计理论基础，还要对其他专业的知识有一定的了解，特别是概率统计在其所教的学生所学的专业上的一些应用。我们鼓励并创造条件让科任教师出去进修学习，或者参加国内外的有关概率统计会议，和国内外学者进行学术交流，或者参加国内外学者开设的讨论班，以便能及时了解概率统计的学术前沿，不断提高教师自身的学术水平及其业务能力。

三、结语

总之，为了适应时代的要求，普通高校概率统计的教学改革已经成为事实，改革中要以培养学生的应用统计方法和技术解决实际问题的能力为宗旨。然而，普通高校学生人数众多，专业方向不同，接受能力、数学基础参差不齐，因而结合学生的实际进行概率统计教学的方式、方法就难以趋同，一般很难找出一种比较简单而有效的教学应对手段，普通高校的概率统计教学改革依然任重而道远，还需要我们大家共同努力去提高和完善。

[ 注 释 ]

[1] 林正炎，苏中根，张立新.当前概率学科中的研究机遇[J].数学进展，2004（33）：129-140.

[2] 朱倩军，汪晓银.农科概率统计教学改革的实践与思考[J].华中农业大学学报（社会科学版），2006（3）：98-100.

[3] 刘源远.概率统计教学的几点建议[J].数学理论与应用，2013（23）：121-124.

[4] 张爱武.对概率统计课程教学改革的几点思考[J].江苏教育学院学报（自然科学版），2006（3）：74-76.

[5] 彭君.概率统计教学改革探讨[J].数学理论与应用，2011（6）：103-105.

[6] 张燕.关于在概率统计课程中改进教学方法的若干思考[J].大学数学，2012（6）：5-9.

[7] 刘卫锋，周长芹.数学建模融入概率统计教学存在的问题与对策[J].高师理科学刊，2013（2）：85-87.

[8] 吕林燕，王学红.新课标下大学概率统计教学与中学数学教学内容的衔接探讨[J].高等函授学报（自然科学版），2010（6）：78-82.

[9] 王琼，何哲飞.点穴式案例教学在概率统计课程中的研究[J].大学教育，2012（9）：115-116.

[10] 农吉夫.概率统计课程案例教学法的探讨[J].广西民族大学学报（自然科学版），2013（19）：95-99.

[11] 陈萍.概率与统计分层次教学的实践与认识[J].江苏省现场统计研究会第九次年会论文集，2004：100-102.

篇7

独立学院作为一种新型的办学模式在高校扩招的浪潮中应用而生，它是普通高校的二级学院，但是却有着新的模式，新的机制。它的发展速度快，创办历史短，生源既不同于本科生也不同于高职生，所以在发展过程中逐渐暴露了许多问题。例如对学生的培养方案定位问题，理论教学与实践教学的分配问题，三本特设和研究型本科院校的差别问题等等，这些问题不解决，都会影响独立学院的可持续发展。本文将结合独立院校的现状和特色来浅谈《概率论与数理统计》的教学改革。概率统计是一门研究随机现象统计规律的数学学科，由于其理论和方法的鲜明特色，使得其几乎遍及所有科学领域，如自然科学，医药卫生，工程技术，国民经济等各个领域。由于概率统计严谨理论性和广泛应用性。几乎所有高校都把其作为一门重要的基础课程来上，但是由于三本院校学生本身的理论基础差，学习不够积极，所以概率论与数理统计的教学过程遇到了很多问题，老师往往认为讲的很认真很详细了，但是学生反馈回来的却是难学，难懂，难用。那么独立学院在面对新的教育对象时，如何从概率统计的培养计划到课程设置再到教学实践，办出自己的特色呢，这是本文的主要研究问题，下面我们从以下几方面先分析一下当前独立学院存在的问题。

1独立学院的概率统计教学现状及存在问题

1.1学生基础薄弱，学习积极性不高一般来说，独立学院学生的基础知识以及学习能力与一二本院校学生相比差别比较大，他们的入学成绩相对较低，基础比较差，学习积极性不高。特别是对数学这类基础课更是“望而生畏”，又因为概率论的学习需要前面的微积分作为基础，所以对于大多数学生来说对概率的学习非常吃力。慢慢的就导致对这门课学习热情的锐减。学习自信心丧失，以及期末考试会有大批学生概率挂科。

1.2教师教学教法问题独立学院的师资队伍一般是“双师型”，即既有专职教师，也有母校的有经验的教师。首先教师队伍上存在一定的问题，专职教师大都是刚毕业的年轻教师，缺乏教学经验，而母校教师长期教的是基础比较好的一二本院校学生，对于基础较差的独立学院学生，仍然采用以前的教学模式和教学方法，所以一定程度上会影响教学效果。再者对于概率统计这门学科来说，很多教师在教学上都采用传统的教学方法“概念介绍—公式推导—例题讲解”，教学模式陈旧，教学方法单一，重理论轻应用，重公式推导轻实例描述，重教授轻互动，重面面俱到轻有的放矢，重概率论轻统计学，重一概而论轻因材施教。这些问题都影响着概率统计的教学效果。

1.3教材问题独立学院大多用一二本院校的教材，缺乏适合独立学院学生的相应的教材文件，而对于一二本院校的教材主要是培养“研究型人才”，不适合独立学院的“应用型人才”培养方案，再者由于很多独立学院对概率课时的删减，很多教师为了完成任务就自主的删减内容降低难度，但是没有一个统一的标准，容易出现要求过高或过低而与实际脱节，另一方面，大多独立学院按照母校的模式重概率轻统计。但是从独立学院的培养定位来说，统计的应用性更强，对于培养应用性人才来说更具有实用性。所以要求独立学院无论从教材的难易程度，重点，难点还是概率统计的比例部分都要有一个新的模式[1]。

2独立学院的概率统计教学改革探讨针对以上问题，从以下几方面对独立学院概率统计进行改革。主要手段是坚持分层教学、实施分流培养、构建科学的分层教学管理模式,通过实施案例教学法等教学方法改革，广泛深入开展数学实验、数学建模活动等措施，来提高数学教学质量,实现培养应用型人才的目标。下面以电子科技大学成都学院的概率论与数理统计教学改革为例，具体讨论一下独立学院的教学改革。

2.1教学方法改革

2.1.1分层教学法由于独立学院学生入学水平参差不齐，数学基础，爱好程度，专业方向都不同，所以对概率统计的学习需求也存在很大的不同，导致有些同学觉得“吃不饱”有些觉得“吃不消”，为了更大程度的满足个层次的学生学习需求，电子科技大学成都学院实行了分层教学法。具体考虑了以下三个方面：第一从数学基础考虑：我们在学生一入学的时候举行数学竞赛，主要是考核高中的知识，目的是测试学生的数学基础，把成绩比较好的学生分为“行知班”，对于这个班级的学生在教学的深度，难度和广度上都等同于一本或二本院校，经过试验，此班级的学生很多都参加了研究生考试，数学成绩相对都比较不错。另一方面，概率论与数理统计是在大二上学期开设的一门课。是以高等数学为基础的一门学科，所以我们院校在高等数学上册结课后，进行了数学和英语的再次考核，把成绩好的同学分在一个H班里，这个班级的学生基础比较扎实，对数学的兴趣也比较浓烈，我们特别聘请了电子科大本部经验丰富的老教授来教授这个班级，为以后的数学建模比赛，高数比赛以及研究生考试选拔人才进一步做好准备。最后在试卷模式上也进行了相关的分层考核，试卷分为基础题和附加题，前面50分是基础分，后面50分难度逐渐提高，最后额外两道附加题作为优等生和中等生的选拔考核。这样不仅考察了学生对基本教学内容的掌握，也一定程度上反映了优良中差学生的比例，满足了不同层次学生的求知欲望。第二从专业方面考虑：由于不同专业对概率论的要求不同，所以我们从大的方面我们分了工科概率，经管专业概率，文科概率三个方面。三个方向的概率学分不同，教授内容不同，要求也不同。对于计算机，电工，通信等工科专业主要注重概率论的教授，统计方面只做简单介绍。会计专业则在减少概率的理论推导，注重应用，加大统计部分课时，重点描述如何抽样，如何让做参数估计，假设检验等等。对于文科概率则课时更少，了解基本知识就可以了，更多的介绍一些概率知识的背景，数学家的故事等，让文科学生在轻松愉快中了解数学的博大精深与伟大数学家的治学态度和睿智[2]。第三从兴趣爱好考虑：概率论与数理统计是在大二上学期开设的一门课。经过一学年高数和线性代数的学习，很多同学也知道了自己的兴趣以及基础如何，所以到大二的时候，对于基础比较好，又感兴趣的同学可以去H班学习。对于基础不太好，但是比较有兴趣的同学，我们开设了统计学等选修课，可供学生选择。第四从虚拟网络考虑：虽然我们分了很多层次来进行教学，但是对于每个学生个体仍然存在很大差异，如何真正做到因材施教，让每一个学生都得到最大满足，我们开发了网络自主学习平台，这个平台上有各个层级学生需要的概率统计题目，数学学家的背景故事，概率趣闻，各种概率统计的应用模型，历年建模题目以及很多模拟试题，很多学生可以根据自己的需求进行自主选择，并每天在固定时间安排老师进行网上答疑。这个平台正在进行中，我相信一定会取得良好的教学效果的，这样不仅让学生随时都可以最大限度的满足自己的学习欲望，而且可以锻炼其自主学习，自我创造能力。

2.1.2案例教学法由于独立学院学生的数学基础相对于一二批本科院校要差一些，但是他们大多思想比较活跃，兴趣比较广泛，所以填鸭式的理论推导，只会让他们对概率统计越来越失去信心。案例教学法是融合启发式、互动式和探究式的教学法，是通过一个具体的情景描述，引导学生深入情景，对这种特殊问题分析，讨论，解决的教学模式，好的典型的例子不仅可以激发学生的学习兴趣，而且能增强学生对知识的理解能力和自主学习能力，以及创新能力。案例教学法可以贯穿概率论与数理统计的始终，小到具体到每个例题，大道专题讨论，都可以用案例教学法，例如在第一节介绍介绍概率的起源的时候，可以给学生介绍“赌徒分赌本”的故事，让学生在思考赌本应该到怎么分的时候，感受数学的魅力，如在讲授几何概率时，可以让学生做一下著名的蒲丰实验，感受一下概率的实际数据与实验模拟的差别，也可以讲解调动学生积极性的“约会问题”；在学习古典概率时,选取学生感兴趣的彩票中奖案例，例如福彩35选7，分别计算学生中奖，中一等奖，二等奖的概率是多少；讲授正态分布的时候可以把某一年的概率成绩拿出来作为数据，让学生计算该成绩是否具有正态性，并求出优秀，良好各等级的概率，以此评价此次考试的合理性；讲指数分布时,为了说明随机服务系统中的服务时间服从指数分布,可以让学生观测某银行服务窗口的顾客等待时间,进而给出指数分布的参数，并对银行设置窗口数给出评价。在学习数理统计部分时调查身边同学每月伙食费用的分布情况、平均消费等等,给出一定信度的置信区间。在介绍概率的统计意义时，可以从统计学家的投硬币实验引入理论，在介绍中心极限定理时，可以让学生做一下高尔顿钉班实验，让学生在试验中深刻体会中心极限定理的的意义。以上简单介绍了一些概率统计的案例教学法的例子，但是如果真正的做好案例分析法需要教师扮演设计者和激励者的角色，在选取案例的时候一定要贴近生活，既要符合教学目标，又要符合专业特设，具体步骤为教师选好案例，把学生分为几个小组，每个小组自己分析问题，收集问题，分析事实依据，设计不同的解决方案，作出决定，展示结果，最后由教师对各小组的结果进行评定。所以如果严格按照这种流程来做的话，比较耗时，每学期教师可以自己找两三个案例来做，其他的案例主要体现在在选取的时候要围绕教学目标，并能激发学生的兴趣为标准，在讲课的时候穿去即可，活跃课堂气疯，互动学生参与进教学课堂[3-6]。

2.2教学内容和结构的改革独立学院的定位是培养“应用性人才”，结合这一培养目标和概率论的特点，制定符合独立学院的概率教学大纲和教学计划，适当的割舍若干教学内容，根据不同专业有重点讲解与本专业相关的重点内容，例如，大数定律和中心极限定律理论性很强，可以简单通过案例介绍，例如讲中心极限定理时可通过高尔顿板给学生演示，让学生从直观上理解中心极限定理描述的内容。整体来说一方面独立学院应该浓缩概率的课时，降低概率理论推导难度，增加统计的课时，因为统计内容对培养应用性人才更具有实用性。在整体结构改革的同时，对于各个专业也要有重点有差别。针对通信专业来说要重点介绍概率密度函数与概率分布函数，正态分布统计特性等。针对会计专业就强化统计方面的内容，尤其是抽样分布，回归分析之类的；针对电信专业当介绍随机变量的独立性时，可以介绍几种典型的系统可靠性问题等。另一方面要把概率课和数学实验课相结合，在每章概率课上完之后上一两节数学实验课，加强学生对概率知识的印象，同时学会用MATLAB，SPSS等数学统计软件，解决概率问题。例如在将统计的样本时候，MATLAB中的rand，randn，binornd等可提供你任意数量的各种分布的数据，normfit可以很轻松的计算参数估计。简单的hist和bar就可以把高尔顿板实验展现的淋漓尽致等等，这样既加深了对基本概念、公式和基本运算的理解，同时可以学会运用软件技术实现概率统计问题的求解过程。而且对以后的建模比赛也有很大的作用。

2.3教材改革由于独立学院属于一二本大学的二级学院，所以很多独立学院仍然在用母校的教材和课程大纲，这样就容易与三本院校学生基础差相脱节。三本院校应该根据自己学生的特点，学校的培养定位来制定符合独立学院的教材。要以培养应用型人才为目标，从概率论与数理统计的特点出发，分析课程体系的系统性和应用性。要在内容上，难度上，结构上做一定的调整，编出相应的教材，习题册等配套教材，介于很多独立学院起步晚，教师经验不足，则可以联合几所独立学院的骨干教师合编符合三本院校学生的教材，也可以充分利用“双师”这个优势，让本部资深老教授带队，合编具有独立学院特色的教材。在编写教材的过程中，要注意以下几点：①可以加入一些概率论的起源，发展，成熟的历史，并对一些概率中出现大数学家进行简单介绍，让学生体会这些数学家的人格魅力。②教材要加入很多应用性的例子和模型，要与时俱进。给学生讲一些当前发生的流行的事件，通过概率知识来解决问题，这样可以激发学生的学习兴趣。③教材每章的最后一节可以加入一些统计软件介绍，例如SPSS，SAS，MATLAB以及EXCEL。通过这些软件对本章的数学模型进行模拟仿真，或者通过软件求解本章学习的相关理论知识。真正实现人机结合的乐趣。

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【关键词】概率统计；社会实践；应用

概率统计是一门相当适用的数学分支学科，随着社会实践的发展，概率论与数理统计在社会实践中的应用越来越广泛，下面就一些实例谈谈概率统计知识在社会实践中的相关应用。

一、利用概率统计知识正确看待赌博现象

赌博令人忧心，又令人关注；一些赌徒巧立名目，摆设诱饵，把其中的某些小概率事件作为获奖事件，而把大概率事件作为不获奖的事件，让被蒙骗的人们不断“压注”，不断输钱。

如这里有个赌博活动，规则如下：每“注”投入10元，在一副52张扑克牌（不包括大、小王）中任意抽取4张，设立：（1）一等奖：A={4张牌同号不同花}={奖金500元}；（2）二等奖：B={4张牌同花连号}={奖金200元}；（3）三等奖C={4张牌完全不同花}={奖金l00元}；（4）四等奖D={4张牌完全同花}={奖金50元}；若抽不到规定的4张牌，则投入的10元就归庄家所有。

容易算得：

抽牌人每次赢钱的概率为：

而庄家赢钱的概率就是

每次抽牌，投入10元，而期望能赢得的钱为：

0.000048×500+0.0001477×200+0.0263745×100+0.010564225×50

=3.21906元

以上通过利用概率统计知识的相关运算结果，就清楚地说明：参赌人一般来说输钱的多，而庄家赢钱几乎成定局。

二、概率统计在保险业务中的应用

保险行业是一个利国利民，而又能使保险公司赢利的行业。每位保民只需交纳少量的保险费，则在保险期间内若发生意外伤害，便可获得保险公司较大数额的理赔，因而很多人都愿意参加保险，而保险公司也愿意经营这个行业。原因何在？利用概率统计知识不难解释。比如，一家保险公司里有10000个人参加“身故”（即死亡）保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率是0.006，参保人在这一年内死亡后，其家属可向保险公司领取1000元，问：保险公司亏本的概率有多大？保险公司一年利润不少于40000元的概率有多大？

我们可设为10000个人中一年内死亡人数，则由题意，，其中，p=0.006，q=1-p则保险公司一年收入为。

（1）保险公式亏本，则，从而，由中心极限定理，得：

则可知保险公司不会亏本。

（2）若保险公司一年利润不少于40000元。

则：从而

所以保险公司一年利润不少于40000元的概率为0.995。

因此，我们由概率统计的知识可知为什么会有那么多的保险公司成立，因为保险公司亏本的可能性几乎为零，并且我们还可以用类似的方法算出保险公司所推出的很多保险种类的利润概率，在生活中，选择保险种类的时候可以根据这些知识，购买适合自己的保险。

三、概率统计在经济管理决策中的应用

在进行经济管理决策之前，往往存在不确定的随机因素，使所作的决策有一定的风险，只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障，才能尽可能节约成本，利用概率统计知识可以进行合理的决策。

如某人有一笔资金，可投入三个项目：房产、地产和商业，其收益和市场状态有关，若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为，根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益（万元）分布表：

那么投资者该如何投资呢？

我们先考察数学期望，可知：

；

；

。

根据数学期望可知，投资房产的平均收益最大，可能选择房产，但投资也要考虑风险，我们再来考虑它们的方差：

；

；

。

因为方差愈大，则收益的波动大，从而风险也大，所以从方差看，投资房产的风险比投资地产的风险大得多，若收益与风险综合权衡，该投资者还是应该选择投资地产为好，虽然平均收益少0.1万元，但风险要小一半以上。

四、利用概率统计知识解决电影院的座位问题

如某地扩建电影院，据分析平均每场观众数人，预计扩

建后，平均的观众仍然会去该电影院，在设计座位时，要求座位数尽可能多，但空座达到200或更多的概率不能超过0.1，那么该如何设置座位呢？

现把每天看电影的人编号为，且令：

则由题意又假定各观众去电影院是独立选择，则是独立随机变量，现设座位数为，则按要求：

在这个条件下取最大。当上式取等号时，取最大，因为，由概率统计知识就知道，应满足：

查正态分布表即可确定，所以，应该设1377个座位。

五、概率统计在检验中的应用

有一汽车轮胎制造商声明，他们生产的某一等级的汽车轮胎平均寿命在一定汽车重量和正常行驶条件下大于50000km。现我们就这一等级的120个轮胎组成的随机样本进行了检测，测得平均每一个轮胎的寿命为51000km，样本标准差是5000km。已知这种轮胎寿命服从正态分布。由概率统计知识，根据抽样数据在显著水平下便能判断该制造商的产品是否与他的声明相符。方法如下：

设表示制造商生产的某一等级轮胎的寿命（单位：km）。由已知，，而方差未知。

现假设。

当时，，临界值：

因而拒绝域为：

由于，所以拒绝域，接受，即认为该制造商的声明可信，其生产的轮胎平均寿命显著地大于50000km。

概率论与数理统计是研究随机变量规律的一门重要学科，由于大自然和人类日常生活中随机现象数不胜数，丰富多彩，又无处不在，在社会实践中随时随地都可能遇到关于概率统计方面的问题，若能灵活运用概率统计的知识去分析、判断、解决这些实际问题，具有高效、简捷和实用性，我们定会受益不浅。

参考文献：

[1]中国数学会概率统计学会编.应用概率统计[M].上海：华东师范大学出版社，1985.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].高教出版社，2012（05）：19.

[3]赵蛛淳.概率论与数理统计创新教学模式初探[J].高等教育研究学报，2001，6（1）：11.

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1.1高职医药数理统计课程目标

高职医药数理统计课程的知识目标为掌握x2分布、t分布及F分布的定义和正态总体的统计量的分布；掌握常用统计描述指标的计算方法、正态总体的均值和方差的置信区间的求法及假设检验方差分析的基本方法；掌握回归分析的基本方法；掌握使用正交表设计实验的方法。熟悉数理统计的基本概念、一元函数微积分及概率论的性质，运算法则；熟悉数据的统计整理方法，以及统计表与直方图的适用范围与绘制方法。高职医药数理统计课程的技能目标为能熟练运用所学知识，科学地搜集、整理、判断数据的性质，对统计数据作区间估计，假设检验，方差分析，相关分析与回归分析，能熟练使用Excel进行统计数据的处理，正确绘制统计表与直方图。会应用加法公式和乘法公式计算随机事件的概率；会计算随机变量的数学期望与方差；学会使用统计分析软件SPSS。

1.2高中数学与高职医药数理统计课程目标的区别与联系

高中数学课程的总体目标是使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。虽然高中数学课程标准中也有获得必要的数学基础知识和基本技能,提高抽象概括、推理论证、数据搜集处理等基本能力，发展数学应用意识和创新意识等条文，但受到应试教育的影响，为了高分通过大量的练习使学生形成“条件反射”，这样使数学的思维属性丧失殆尽，还易导致学生讨厌数学。因此数学学习能力、数学学习中的态度、意志、兴趣、应用意识和创新意识等数学素养的培养是高职医药数理统计所要具备的必要条件。高职医药数理统计虽然也有提高数学素养的目标，但更强调其为后续专业课程的学习奠定必要的基础，更强调课程为专业服务的工具作用，更强调课程的目标的职业导向。两门课程目标虽有所差异，但从数学研究的对象性质、所涉及的概念原理、思想方法以及逻辑思维规律几个方面来看仍然有着不可分割的联系。

2．高中数学与医药数理统计内容衔接现状

2.1高中阶段概率统计教学内容

在新课改下，高中数学均分必修与选修，但各地区高中数学所用版本不一，下面均以人民教育出版社A版为例《。必修3》、《选修2－3》《选修1－2》涵盖了高中概率统计内容。高中阶段主要是引导学生体会统计的基本思想，通过统计案例教学，培养学生对数据的直观感觉，认识到统计结果的随机性。基本概念，多是通过实例给出描述性说明，没有具体的定义。强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，重点培养学生的运算、作图、推理、处理数据以及使用科学计算器等基本技能。在《选修2－3》中，学生通过实例了解条件概率的概念，理解离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量均值和方差的概念，学会计算简单的离散型随机变量的均值和方差。但没有涉及条件概率的基本性质，没有明确给出概率的乘法公式，没有给出随机变量的严格定义，离散型随机变量未扩充到可列个，未涉及连续型随机变量的定义和分布函数的概念。正态分布也仅通过直观的方法引入其密度曲线，掌握它的特点及表示的意义，并没有给出正态分布的分布函数表、没有介绍标准正态分布，也不需计算正态分布随机变量落到任意区间的概率。未涉及泊松(Poisson)分布、均匀分布与指数分布、参数估计、假设检验、方差分析、相关分析与回归分析等内容，未要学会应用非专业统计软件如：SPSS、SAS等。

2.2高中概率统计与医药数理统计教学内容的安排

为符合学生认知螺旋式“上升”的特点，高中数学《必修3》是先教统计再教概率，在《选修2－3》中先讲概率分布再讲统计案例。因学生在初中已经具备了的一些概率常识，这些对于学习的统计一些基础理论已经够用了，且概率理论较为抽象，统计则与生产生活密切相关，用统计带动概率的学习，用统计的思想理解随机变量的概念，学生更加容易接受。医药数理统计教学更注重学科的系统性与严谨性，先安排高等数学与概率论的基本知识，再进行统计的教学，并对定理给出必要的证明。

2.3高中数学与医药数理统计教学内容的重复与脱节

2.3.1教学内容重复

文理科高中生都学习频数分布表、频率分布直方图、算术均数、中位数、中位数、线性回归方程等统计学中的概念，随机事件、概率、古典概型等概率论中的概念。对于理科高中生来说，总共学习了46学时的概率统计知识，对于文科高中生来说，总共学习了34学时的概率统计知识。这些知识大约覆盖了医药数理统计课程的10%以上教学内容。

2.3.2教学内容脱节

基础知识点缺失。文科高中数学对不定积分与定积分、排列组合等知识不作要求，但它们却是医药数理统计学习所必需的前期基础知识。

3．高中数学与医药数理统计顺利衔接的措施

3.1教学内容的衔接

教师的教和学生的学在很大程度上取决于教学内容，教学内容的顺利衔接对教学质量的提高起着关键作用.在医药数理统计的教学中，教师有意识地引导、启发学生用严谨科学的态度，用统计学的理论、观点、方法去分析与之相关生产、生活中的案例，使学生意识到高中数学教材中一些不能讲解“深刻”的内容，可以通过医药数理统计的学习，给予相应的解释，使这些统计案例能得到应有高度来认识。大学数学教师把教材中的抽象内容具体化的同时，要考虑到学生的理解与接受能力，使其范围、深度、速度能同学生的实际水平相适应。关于医药数理统计教材内容改革，许多数学教学工作者都作出了尝试，但医药数理统计内容的改革必须依据循序渐进原则或有序性原则，要依据科学的逻辑顺序和学生不同年龄阶段发展的顺序特点编写。改革时，必须密切联系学生学习实际，了解学生学习高中数学情况，关注高中数学教材改革动向，对教学内容的处理应建立在高中数学平台上，较好地把握教学的深度和广度。对于明显重复的部分，进行适当的删减，对于需要加深、扩展的内容，应加以强调和重视。对于因某些高中未教或是文理分科，或者涉及的角度和侧重点不同，应及时补充以免形成空白造成脱节，使医药数理统计教学内容与高中数学教学内容顺利衔接。

3.2教学方法的衔接

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Abstract: Independent colleges, as a product of China''s Higher Education, is a new educational mode. To develop unique "application-oriented training" mode is the security of sustainable development for independent colleges. Probability and statistics as applied widely branch of mathematics is an important basic course. So how to reform the probability theory and statistics to conform the education mode of independent college is an important problem. To explore some of the reform measures to improve the quality of teaching is of great significance. The article discussed reform of probability and mathematical statistics for independent college from the teaching method, teaching content, teaching structure and the selection of textbooks and so on.

关键词：独立学院；概率论与数理统计；教学改革

Key words: independent colleges；Probability Theory and Statistics；teaching reform

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）03-0239-02

0 引言

独立学院作为一种新型的办学模式在高校扩招的浪潮中应用而生，它是普通高校的二级学院，但是却有着新的模式，新的机制。它的发展速度快，创办历史短，生源既不同于本科生也不同于高职生，所以在发展过程中逐渐暴露了许多问题。例如对学生的培养方案定位问题，理论教学与实践教学的分配问题，三本特设和研究型本科院校的差别问题等等，这些问题不解决，都会影响独立学院的可持续发展。本文将结合独立院校的现状和特色来浅谈《概率论与数理统计》的教学改革。

概率统计是一门研究随机现象统计规律的数学学科，由于其理论和方法的鲜明特色，使得其几乎遍及所有科学领域，如自然科学，医药卫生，工程技术，国民经济等各个领域。由于概率统计严谨理论性和广泛应用性。几乎所有高校都把其作为一门重要的基础课程来上，但是由于三本院校学生本身的理论基础差，学习不够积极，所以概率论与数理统计的教学过程遇到了很多问题，老师往往认为讲的很认真很详细了，但是学生反馈回来的却是难学，难懂，难用。那么独立学院在面对新的教育对象时，如何从概率统计的培养计划到课程设置再到教学实践，办出自己的特色呢，这是本文的主要研究问题，下面我们从以下几方面先分析一下当前独立学院存在的问题。

1 独立学院的概率统计教学现状及存在问题

1.1 学生基础薄弱，学习积极性不高 一般来说，独立学院学生的基础知识以及学习能力与一二本院校学生相比差别比较大，他们的入学成绩相对较低，基础比较差，学习积极性不高。特别是对数学这类基础课更是“望而生畏”，又因为概率论的学习需要前面的微积分作为基础，所以对于大多数学生来说对概率的学习非常吃力。慢慢的就导致对这门课学习热情的锐减。学习自信心丧失，以及期末考试会有大批学生概率挂科。

1.2 教师教学教法问题 独立学院的师资队伍一般是“双师型”，即既有专职教师，也有母校的有经验的教师。首先教师队伍上存在一定的问题，专职教师大都是刚毕业的年轻教师，缺乏教学经验，而母校教师长期教的是基础比较好的一二本院校学生，对于基础较差的独立学院学生，仍然采用以前的教学模式和教学方法，所以一定程度上会影响教学效果。再者对于概率统计这门学科来说，很多教师在教学上都采用传统的教学方法“概念介绍—公式推导—例题讲解”，教学模式陈旧，教学方法单一，重理论轻应用，重公式推导轻实例描述，重教授轻互动，重面面俱到轻有的放矢，重概率论轻统计学，重一概而论轻因材施教。这些问题都影响着概率统计的教学效果。

1.3 教材问题 独立学院大多用一二本院校的教材，缺乏适合独立学院学生的相应的教材文件，而对于一二本院校的教材主要是培养“研究型人才”，不适合独立学院的“应用型人才”培养方案，再者由于很多独立学院对概率课时的删减，很多教师为了完成任务就自主的删减内容降低难度，但是没有一个统一的标准，容易出现要求过高或过低而与实际脱节，另一方面，大多独立学院按照母校的模式重概率轻统计。但是从独立学院的培养定位来说，统计的应用性更强，对于培养应用性人才来说更具有实用性。所以要求独立学院无论从教材的难易程度，重点，难点还是概率统计的比例部分都要有一个新的模式[1]。

2 独立学院的概率统计教学改革探讨

针对以上问题，从以下几方面对独立学院概率统计进行改革。主要手段是坚持分层教学、实施分流培养、构建科学的分层教学管理模式,通过实施案例教学法等教学方法改革，广泛深入开展数学实验、数学建模活动等措施，来提高数学教学质量,实现培养应用型人才的目标。下面以电子科技大学成都学院的概率论与数理统计教学改革为例，具体讨论一下独立学院的教学改革。

2.1 教学方法改革

2.1.1 分层教学法 由于独立学院学生入学水平参差不齐，数学基础，爱好程度，专业方向都不同，所以对概率统计的学习需求也存在很大的不同，导致有些同学觉得“吃不饱”有些觉得“吃不消”，为了更大程度的满足个层次的学生学习需求，电子科技大学成都学院实行了分层教学法。具体考虑了以下三个方面：

第一从数学基础考虑：我们在学生一入学的时候举行数学竞赛，主要是考核高中的知识，目的是测试学生的数学基础，把成绩比较好的学生分为 “行知班”，对于这个班级的学生在教学的深度，难度和广度上都等同于一本或二本院校，经过试验，此班级的学生很多都参加了研究生考试，数学成绩相对都比较不错。另一方面，概率论与数理统计是在大二上学期开设的一门课。是以高等数学为基础的一门学科，所以我们院校在高等数学上册结课后，进行了数学和英语的再次考核，把成绩好的同学分在一个H班里，这个班级的学生基础比较扎实，对数学的兴趣也比较浓烈，我们特别聘请了电子科大本部经验丰富的老教授来教授这个班级，为以后的数学建模比赛，高数比赛以及研究生考试选拔人才进一步做好准备。最后在试卷模式上也进行了相关的分层考核，试卷分为基础题和附加题，前面50分是基础分，后面50分难度逐渐提高，最后额外两道附加题作为优等生和中等生的选拔考核。这样不仅考察了学生对基本教学内容的掌握，也一定程度上反映了优良中差学生的比例，满足了不同层次学生的求知欲望。

第二从专业方面考虑：由于不同专业对概率论的要求不同，所以我们从大的方面我们分了工科概率，经管专业概率，文科概率三个方面。三个方向的概率学分不同，教授内容不同，要求也不同。对于计算机，电工，通信等工科专业主要注重概率论的教授，统计方面只做简单介绍。会计专业则在减少概率的理论推导，注重应用，加大统计部分课时，重点描述如何抽样，如何让做参数估计，假设检验等等。对于文科概率则课时更少，了解基本知识就可以了，更多的介绍一些概率知识的背景，数学家的故事等，让文科学生在轻松愉快中了解数学的博大精深与伟大数学家的治学态度和睿智[2]。

第三从兴趣爱好考虑：概率论与数理统计是在大二上学期开设的一门课。经过一学年高数和线性代数的学习，很多同学也知道了自己的兴趣以及基础如何，所以到大二的时候，对于基础比较好，又感兴趣的同学可以去H班学习。对于基础不太好，但是比较有兴趣的同学，我们开设了统计学等选修课，可供学生选择。

第四从虚拟网络考虑：虽然我们分了很多层次来进行教学，但是对于每个学生个体仍然存在很大差异，如何真正做到因材施教，让每一个学生都得到最大满足，我们开发了网络自主学习平台，这个平台上有各个层级学生需要的概率统计题目，数学学家的背景故事，概率趣闻，各种概率统计的应用模型，历年建模题目以及很多模拟试题，很多学生可以根据自己的需求进行自主选择，并每天在固定时间安排老师进行网上答疑。这个平台正在进行中，我相信一定会取得良好的教学效果的，这样不仅让学生随时都可以最大限度的满足自己的学习欲望，而且可以锻炼其自主学习，自我创造能力。

2.1.2 案例教学法 由于独立学院学生的数学基础相对于一二批本科院校要差一些，但是他们大多思想比较活跃，兴趣比较广泛，所以填鸭式的理论推导，只会让他们对概率统计越来越失去信心。案例教学法是融合启发式、互动式和探究式的教学法，是通过一个具体的情景描述，引导学生深入情景，对这种特殊问题分析，讨论，解决的教学模式，好的典型的例子不仅可以激发学生的学习兴趣，而且能增强学生对知识的理解能力和自主学习能力，以及创新能力。

案例教学法可以贯穿概率论与数理统计的始终，小到具体到每个例题，大道专题讨论，都可以用案例教学法，例如在第一节介绍介绍概率的起源的时候，可以给学生介绍“赌徒分赌本”的故事，让学生在思考赌本应该到怎么分的时候，感受数学的魅力，如在讲授几何概率时，可以让学生做一下著名的蒲丰实验，感受一下概率的实际数据与实验模拟的差别，也可以讲解调动学生积极性的“约会问题”；在学习古典概率时,选取学生感兴趣的彩票中奖案例，例如福彩35选7，分别计算学生中奖，中一等奖，二等奖的概率是多少；讲授正态分布的时候可以把某一年的概率成绩拿出来作为数据，让学生计算该成绩是否具有正态性，并求出优秀，良好各等级的概率，以此评价此次考试的合理性；讲指数分布时,为了说明随机服务系统中的服务时间服从指数分布,可以让学生观测某银行服务窗口的顾客等待时间,进而给出指数分布的参数，并对银行设置窗口数给出评价。在学习数理统计部分时调查身边同学每月伙食费用的分布情况、平均消费等等,给出一定信度的置信区间。在介绍概率的统计意义时，可以从统计学家的投硬币实验引入理论，在介绍中心极限定理时，可以让学生做一下高尔顿钉班实验，让学生在试验中深刻体会中心极限定理的的意义。

以上简单介绍了一些概率统计的案例教学法的例子，但是如果真正的做好案例分析法需要教师扮演设计者和激励者的角色，在选取案例的时候一定要贴近生活，既要符合教学目标，又要符合专业特设，具体步骤为教师选好案例，把学生分为几个小组，每个小组自己分析问题，收集问题，分析事实依据，设计不同的解决方案，作出决定，展示结果，最后由教师对各小组的结果进行评定。所以如果严格按照这种流程来做的话，比较耗时，每学期教师可以自己找两三个案例来做，其他的案例主要体现在在选取的时候要围绕教学目标，并能激发学生的兴趣为标准，在讲课的时候穿去即可，活跃课堂气疯，互动学生参与进教学课堂[3-6]。

2.2 教学内容和结构的改革 独立学院的定位是培养“应用性人才”，结合这一培养目标和概率论的特点，制定符合独立学院的概率教学大纲和教学计划，适当的割舍若干教学内容，根据不同专业有重点讲解与本专业相关的重点内容，例如，大数定律和中心极限定律理论性很强，可以简单通过案例介绍，例如讲中心极限定理时可通过高尔顿板给学生演示，让学生从直观上理解中心极限定理描述的内容。整体来说一方面独立学院应该浓缩概率的课时，降低概率理论推导难度，增加统计的课时，因为统计内容对培养应用性人才更具有实用性。在整体结构改革的同时，对于各个专业也要有重点有差别。针对通信专业来说要重点介绍概率密度函数与概率分布函数，正态分布统计特性等。针对会计专业就强化统计方面的内容，尤其是抽样分布，回归分析之类的；针对电信专业当介绍随机变量的独立性时，可以介绍几种典型的系统可靠性问题等。另一方面要把概率课和数学实验课相结合，在每章概率课上完之后上一两节数学实验课，加强学生对概率知识的印象，同时学会用MATLAB，SPSS等数学统计软件，解决概率问题。例如在将统计的样本时候，MATLAB中的rand，randn，binornd等可提供你任意数量的各种分布的数据，normfit可以很轻松的计算参数估计。简单的hist和bar就可以把高尔顿板实验展现的淋漓尽致等等，这样既加深了对基本概念、公式和基本运算的理解，同时可以学会运用软件技术实现概率统计问题的求解过程。而且对以后的建模比赛也有很大的作用。

2.3 教材改革 由于独立学院属于一二本大学的二级学院，所以很多独立学院仍然在用母校的教材和课程大纲，这样就容易与三本院校学生基础差相脱节。三本院校应该根据自己学生的特点，学校的培养定位来制定符合独立学院的教材。要以培养应用型人才为目标，从概率论与数理统计的特点出发，分析课程体系的系统性和应用性。要在内容上，难度上，结构上做一定的调整，编出相应的教材，习题册等配套教材，介于很多独立学院起步晚，教师经验不足，则可以联合几所独立学院的骨干教师合编符合三本院校学生的教材，也可以充分利用“双师”这个优势，让本部资深老教授带队，合编具有独立学院特色的教材。在编写教材的过程中，要注意以下几点：①可以加入一些概率论的起源，发展，成熟的历史，并对一些概率中出现大数学家进行简单介绍，让学生体会这些数学家的人格魅力。②教材要加入很多应用性的例子和模型，要与时俱进。给学生讲一些当前发生的流行的事件，通过概率知识来解决问题，这样可以激发学生的学习兴趣。③教材每章的最后一节可以加入一些统计软件介绍，例如SPSS，SAS，MATLAB以及EXCEL。通过这些软件对本章的数学模型进行模拟仿真，或者通过软件求解本章学习的相关理论知识。真正实现人机结合的乐趣。

3 结束语

总之，独立学院的教学改革是一个不断摸索的长期的过程，很多地方还得去不断探讨研究。概率论与数理统计的不断改革是每一位数学老师不可推卸的责任，需要从教学定位，培养目标，教材建设，师资队伍建设，教学理念，教学方法等多方面进行创新和探索。要从三本学生的角度出发，探讨切合实际的，符合独立学院的教学方法。相信只要三本院校定位明确，办学思想统一，师资队伍不断提升，三本院校的概率论与数理统计一定会越来越好，越来越有特色的。

参考文献：

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[3]王利超，吕丹.“案例教学法”在概率论与数理统计中的应用[J].统计教研，2009，（1）：42-43.

[4]费绍金，周克元.三本“概率统计”教学困境成因与解困方略[J].教育与教学研究，2010，(12）:96-99.