三角中学范文

导语：如何才能写好一篇三角中学，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

在构建的全等三角形中得出深一层的结论．但是当我们运用一题多变的教育方式进行一定的变形时，此时如若没有上题作为前提的话，对于学生来说这道题还可以轻易解决吗?如变形题1:如图，如果把原题中“点E是BC边的中点”改为“点E是BC边上的任意一点”，其他条件不变，请你猜想AE=EF的结论是否还能成立，并证明你的猜想.学生通过上一问题的解决，明确要结合图形，添加辅助线，利用全等三角形的性质证明线段相等是解决本题的关键．再一次让学生进一步清晰辅助线的画法、全等三角形的判定、性质和正方形证明题之间的联系．在几何题目中，首先要读懂图形，理解题意，深入挖掘题中隐含条件，掌握方法，虽然条件或结论的形式或图形发生变化，而本质特征却不变．经过两道题目的解决发现，以上两个题目的实质完全相同，对于题目1，学生易于由中点推断线段的相等来助于解决问题，但学生对变形1则感到无从下手．

因此，对这些“质同形异”的题目，要善于指导学生抛开表面的限制因素，抓住此类题型的本质特征，相对于问题的解决就会起到决定性作用．我们进一步看变形2:图3如图所示，如果把原题中的“点E是BC边的中点”改为“点E是BC边的反向延长线上的任意一点”，其他条件不变，请你猜想AE=EF的结论是否还能成立，并证明你的猜想．这个变形略有难度，着重考查学生对此类变形后图形添加辅助线解决数学问题常用方法的灵活运用，由前面问题的解决，学生会容易找到解决问题的关键是利用全等三角形的性质得出结论，本题设计意图是转变思路，增强学生的探究意识，同时要体会到数学知识不是孤立存在的，它们之间会互相转化，有着某种必然联系．随着难度的不断增大，却能体现出多题归一的思想，既能体现出知识之间的纵横联系，同时也能培养学生的思维拓展效果．尽管题目条件这样的改变，原题中结论依旧是保持不变的．

通过对本题的解决和几个变式的拓展，可以使学生根据不断变化的情况，对原来的思维进程和解决题目的方法作出及时的调整，把大部分学生从过去解决问题的思维定式中及时地拯救出来，大大地提高了学生对知识掌握的程度．我们启发学生对几何问题的思考和归纳，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，获得广泛的数学经验．变式研究之前，让学生分析母题的构造及特点，渗透解题思想，即构造正方形中常用的辅助线，利用全等证明线段的相等的理念，从特殊到一般，运用数学转化的思想，通过不断的变化，建立新与旧、已知与未知的联系，有助于学生关注问题或概念的不同方面，让他们觉得有新的理念出现，让他们学会从不同的角度看问题，因而加深对题意的理解，让学生在充分的交流与合作中加深对问题的认识．学习数学不只是为了掌握一些基本知识、基本技能，更重要的是可以提高学生的发散思维能力、化归迁移思维能力和思维灵活性，激活思维、学会思考、解决问题．

上例中的几个问题，内容和形式各不相同，但实质却是相同的，有着相同的解题规律，有着一样的解题技巧，甚至完全相同的结果，图形的变化形式多样，通过这些变化使图形化静为动，动静结合，使数学问题更具魅力，中考题中也经常出现源自课本题目的改编题，变化多端，却万宗归一．这样可以提高学生解决问题的兴趣，本问题学生可以自主探究，或小组合作，通过画图、分析、论证得出恒成立的结论．在我们数学的课堂教学中，这种一题多变的典型题目比比皆是，形式也多种多样，有的是改变条件，保留结论;有的是保留条件，改变结论;当然也有同时改变条件和结论，甚至可以将原题中的结论和条件互换后产生新的问题．可以通过重点剖析这些典型习题，让学生分析结论，并加强锻炼引导和推广，从横向和纵向两个方向加深学生的知识体系，如若教师可以让学生理清千变万化的题海中互相牵连的关系，能使学生把相似的问题归为一类，总结解题规律，做到熟一题，通一类，脱离“题海”，数学课必将成为大部分学生的乐趣．以此可见，在复习过程中，要有意识地引导学生注意课本例题、习题以及常见考题之间的内在关系，寻找同一类的类型题，适当进行改变题设、结论，加强锻炼学生对类型题的归一练习，以不变应万变，必定可以改善现今各个学校存在的数学学困生的一些问题，也能使得原本擅长数学的学生更加充满自信地学习．以上所谈，仅为教学之略见．事实上，在数学教学中，使学生掌握数学思想、数学学习方法、数学解题策略比学习数学知识更为重要，它有利于培养学生的创造性思维能力和思维的灵活性、深刻性，使学生从“学会”到“会学”以至于“会用”到“创造发明”，这也是数学教学的目的之一．

作者：岳芳芳 单位：广西南宁市第十中学

篇2

关键词：中学物理；三角函数；求极值

极值问题是中学物理的基本问题之一。极值问题往往和物理现象中的临界问题相联系，因此极值问题的综合性强，对综合分析能力和应用数学解决物理问题的能力要求高。探究极值问题的规律和研究解决极值问题的方法，对于培养创造性思维能力和掌握科学研究的方法有重要意义。本文就中学物理中如何利用三角函数的性质求极值的方法通过特例作一拓展。

如果物理量的变化规律可以表示成y=A sin θ和y=A cos θ，根据

正弦或余弦函数的绝对值在0～1之间变化的性质，可以极为简捷地求出物理量的最大值和最小值。

（1）当θ=0°时，sin θ=0，y=0最小；cos θ=1，y=A最大。

（2）当θ=9°时，sin θ=1，y=A最大；cos θ=1，y=0最小。

如果物理量变化规律的三角函数的形式为y=a sin θ+b cos θ，利用等效变化的方式可以将上式转化为

y= （ sin θ+ cos θ），若令 =cos φ， =sin φ，则tan φ= .

y= （sin θcos φ+cos θsin φ）= sin（θ+φ）.

（1）当θ+φ=90°时，y有最大值为ymax=

（2）当θ+φ=0°时，y有最小值为ymax=0

另外，为了将三角函数化为y=sin θ和y=cos θ形式，还常用到下列关系：

y=cos αcos θ+sin αsin θ=cos（α±θ） y=2sin θcos θ=sin2θ

y= =sin θ y= =cos θ

特例应用一：

如下图所示，一辆四分之一圆弧的小车停在粗糙水平地面上。质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且下车始终保持静止状态。试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？

分析：设圆弧半径为R，当小球运动到重力（mg）与竖直半径的夹角为θ时，速度为v.根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，有

mv2=mgR cos θ N-mgR cos θ=m

此刻，小球对小车的压力为N=3mgR cos θ，

压力的水平分量为Nx=N sin θ=3mg cos θ sin θ= mg sin 2θ.

根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：

f=Nx= mg sin 2θ.

可以看出：当sin 2θ=1，2θ=90°时静摩擦力最大，即θ=45°

fmax= mg.

特例应用二：

如下图所示，两人以同样大小的力F一推一拉，使小车沿倾角为α斜面向上运动，且车与斜面的摩擦系数为μ。试分析：拉力与斜面成多大角度最省力？

分析：设小车重为G，拉力与斜面的夹角为θ。当小车匀速运动时，拉力最小。根据力的平衡条件，有

F+F cos θ=μN+G sin α （1）

N+F sin θ=G cos α （2）

则拉力为F= G.

可见当分母最大，即y=cos θ+μcos α最大时，F有最小值。根据a=μ，b=1的最大值为ymax= = ，

则拉力最小值为Fmin= .

设tan φ=μ，则y=cos θ= sin θ= = 。所以当cos（φ-θ）=1最大时，即φ-θ=0有最佳牵引角为

篇3

“曝错教学法”即要求教师在实践教学环节开展过程中将学生学习过程中错误频率较高的问题呈现出来，并针对错误原因进行深入的总结，继而由此引导学生在三角函数知识点学习过程中能有效规避错误的发生，同时由此加深自身对知识点内容的理解。此外，就当前的现状来看，“曝错教学法”在三角函数教学中的应用亦可改善传统“灌输式”教学模式下凸显出的相应问题，活跃课堂氛围，达到高效率教学成效。

数学学科主要考查学生综合能力、逻辑思维及运用能力等，因而在三角函数教学过程中教师应注重对“曝错教学法”的贯穿，继而便于学生在三角函数解题过程中可充分运用三角函数公式等对实际问题进行有效解决，同时注重总结自身公式运用过程中存在的问题，达到高质量知识学习状态。

一、曝错教学法解题作用

例：已知条件，∠A=60°，AB=4，BC=5，求出ABC面积值。

在此三角函数解题过程中可依据三角函数知识点采取两种解题方式。

方法一：在三角函数解题过程中可充分运用正弦定理，以 的形式求出sinC、∠B值，并将其带入到ABC面积求解公式中，最终由此达到解题目的。

方法二：设立BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos60°的余弦定理，继而由此求解AC值，并将其带入到面积公式中，满足解题条件。

从以上例题求解过程中即可看出在三角函数数值解题存在着一定的难度系数，同时极易引发错误现象。因而在此基础上，在三角函数求解过程中即可充分发挥“曝错教学法”优势对不正确的解题应用手段进行有效规避，最终由此达到高效率解题状态，同时节省部分解题时间。

二、曝错教学法理性作用

例：已知条件：

在此例题求解过程中亦可利用两种解题方法。

方法一：此方法要求学生在解题过程中利用自身所掌握的三角函数知识点内容将原公式进行拆分处理，即转化为： 的形式，且将三角函数sin2、cos2和等于1带入到其中，继而由此获取cos结果。在此次运算过程中需要经历过多的运算步骤，从而导致学生在三角函数运算过程中极易引发相应的错误问题，因而在此基础上，教师在课堂教学活动开展过程中应着重强调对“曝错教学法”的运用，以此来避免运算量较大环境下不规范计算问题的凸显。

方法二：在此例题计算过程中学生亦可利用α表示（α- 、 ，并将其带入到例题已知条件中，继而由此得出cos值，达到求解目的。此种解题方法在运用的过程中具备计算量小、错误率低等优势，因而在三角函数解题过程中应强调对此方法的运用，继而在此基础上深化学生对知识点的理解，并就此迎合“曝错教学法”实施条件。

三、曝错教学法思维培养作用

曝错教学法在应用的过程中亦具备培养学生思维的能力。

例：已知条件：∠B=60°，求出sinC+cosA取值。

在此例题计算过程中应首先将cosA与sinC间的和转化为 ，继而在此基础上获知1/2

四、曝错教学法解题思路作用

曝错教学法对解题思路的作用主要体现在三角函数三点共线类型题目计算过程中可引导学生突破思维的限制运用自身所掌握的知识点对问题展开深入的思考，同时结合教师所暴露的问题采取正确的解题手段达到实际问题解决目的。此外，曝错教学法的引入引导学生在求证问题解决过程中尝试运用典型的解题思路对问题进行处理，继而在此基础上避免不规范解题行为的凸显影响到整体解题效率。

例：已知条件，ABC边长分别为5、6、7，求出最大角与最小角的和。

方法：利用余弦值求出中间角结果，其次，获取最大角与最小角之和，由此达到解题目的。

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关键词：高中数学；三角函数；策略研究

新课程改革不单单强调了以生为本的教学思想，同时还鼓励学生采用勇于探索、积极主动的学习模式。新课改中的这些要求对数学三角函数的学习带来了一定的挑战，其中最为棘手的问题是学生学习积极性较低。就如何提高学生学习兴趣，加强高中数学三角函数教学展开以下研究。

一、当前三角函数教学中存在的问题

当前我国三角函数教学中存在的最大的问题是学生参与性不高，不能及时跟上教师的思维展开思考。但很多教师还没有意识到学生参与课堂的重要性，无论是课标中要求的内容还是教材的编写，都明确教师要重视学生参与。所以相关教育学者应该严格重视该问题，并予以解决。

二、数学三角函数教学中的应对措施

针对上述所说学生积极性不高的问题，笔者将进一步提出解决方法。当前新课程中的核心学习方式为“合作交流，自主探究”，但大量三角函数课堂中还是以教师讲为主。若采用过去的教学方法，学生理解的内容不能得到明显的提升。三角函数课程相对于其他课程来说，更加适合培养学生思考、探究、整理等能力，因此我们应该合理利用其特征，帮助学生进一步开发思维能力。简单举例来说，在三角形ABC中，如果sinC=2sinAcosB，那么该三角形为什么是特殊三角形呢？这时教师最好不要采用直接推导的方法，将答案告诉学生。而是应该给予学生部分公式提示，即2sinAcosB=sin（A-B）+sin（A+B），其后引导学生得出sin（A-B）=0，进而得到等腰三角形。这样一来就可以加强学生的思考能力，提升学生学习三角函数的积极性。当学生能够参与到课堂活动中，同时展开思考，那么就意味着整个三角函数教学工作已经成功了一大半。

新课程改革中的关键是推动学生在各个方面得到发展与进步，因此教师应该注意高中三角函数中发生的各种变化，将学生的全面发展作为教学前提，采用积极努力的态度，进一步完善自身的不足，并解决在课程教学中存在的各种问题，使学生的课堂学习效率得到大幅度的提升。

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关键词：三角函数；数形结合；诱导公式；逆用公式

一、重视三角函数的定义，注意两种定义的教学顺序

在教学过程中，我在两个班的教学中用了不同的教学顺序：甲班先从锐角三角函数的定义过渡到任意角三角函数的定义：若任意α的终边上一点P（x，y）（x≠0）；令r=OP，则sinα=■，cosα=■，tanα=■。再从P为特殊位置即P为∠α的终边与单位圆交点时，引入三角函数的第二种定义，学生学得较为自然，在应用如“角α终边经过一点P（3，-4），求角α的三个三角函数值”时正确率较高。

而乙班则严格按照课本要求：先引入单位圆定义任意角三角函数：若任意α的终边与单位圆交于一点Q（x，y）（x≠0）；则sinα=y，cosα=x，tanα=■，通过课本12页的例1求出■的终边与单位圆的交点坐标（■，-■） ，再求三角函数值。这个例题学生还好理解，而在例2的教学中利用教材中的方法：利用三角形相似去解决，然后才给出与锐角三角形相类似的定义，最后在用一道习题“已知∠α的终边与射线y=-2x（x≤0）重合，求α的三角函数值”巩固时却出现了问题：作业格式混乱，错误很多。课后与学生交流时，都有两个疑问：一是能否用省事的方法，即用终边上的点坐标直接求解？二是单位圆学来做什么用，用它来求三角函数值这不是扰乱我们的思维吗？通过这两个班的教学对比，我进行了深刻的反思。

二、进行诱导公式口诀的微小改变，注重数形结合记忆和运用公式

三角函数中诱导公式很多，学生对诱导公式的记忆非常头痛，且经常混淆，这块内容是教学中的重中之重。在教学中大多数教师是教给学生“奇变偶不变、符号看象限”的记忆口诀，但学生在运用过程中还是记忆不清。后来我把这种口诀更改为“符号看象限，纵变横不变。”其理解为：把α看成锐角后，看■±α，■±α，kπ±α等角是属于哪个象限的角，利用“符号看象限”确定变化后的函数符号，由于kπ的终边在横轴上，±■，±■，±■等的终边在纵轴上，利用“纵变横不变”确定函数名。

三、重视三角函数的性质，注重性质学习上的微小改变

学生在学习y=sinx与y=Asin（？棕x+？渍）的图象性质时会混为一谈，会把y=sinx中的x与y=Asin（？棕x+？渍）中的x当成是同一个，在求单调区间等问题时常出现错误。因而我在教学中做了一个改变：学习三角函数性质时，把三角函数写成了：y=sinα，y=cosα与y=tanα，这样建立的关系是α与y的对应关系，在横轴上也写成α 轴。这样我们在研究y=Asin（？棕x+？渍）的有关性质时，把？棕x+？渍看作 α来研究，然后再求出x的值或范围。

四、重视正弦函数的五个相位与y=Asin（？棕x+？渍）和x轴交点横坐标的关系

三角函数y=sinα的图象中，在一个周期内把第一个上升的零点作为第一相位点0，以此类推，分别得出第二到第五相位点■， π，■，2π。

在y=Asin（？棕x+？渍）（A>0）的一个周期内的图象和上述相比较可得出如下结论：

利用这些关系能够很快从图象中求出？棕和？渍的值。

五、重视三角公式中和、差、倍角公式的逆用

许多三角习题都要进行公式的逆用，而公式的逆用又是学生最不擅长的，从而给学习造成了许多困难。公式的逆用主要有：

（1）由和差角公式得出的辅助角公式：asinx+bcosx=■sin（x+？渍），其中？渍角的确定是学生最容易出错的，因而在教学中要求学生不能贪快，在书面表达上要写出：asinx+bcosx=■（■sinx+■cosx）=■sin（x+？渍），这样利用cos？渍=■，或sin？渍=■或tan？渍=■从而求出锐角？渍的值。还要要求学生熟记■，■，■的正、余弦值。

（2）由倍角公式得出的降幂公式：sinxcosx=■sin2x，sin2x=■，cos2x=■。这些公式的正确运用是做好三角化简题的前题，在三角复习中要多加强调与练习。

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一、课前准备

1.备教材

“三角形的中位线”是人教版四年制《几何》第2册第4章11节的内容.是在学生已经掌握了四边形、梯形、平行线等分线段内容的基础上，学习三角形的中位线定理，它是三角形的一个重要的性质定理.它揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，为证明平行和线段的倍分关系提供了依据，并能应用它解决一些实际问题，同时为梯形的中位线的学习奠定了基础，并且在定理的证明过程中第一次引入了“同一思想”.所以学好本节课是非常重要的.为此确定：

教学重点：三角形的中位线定理及应用.

教学难点：三角形中位线定理的证明及应用.

2.备目标

（1）知识与技能：了解三角形中位线的概念，理解掌握三角形中位线定理及得来的过程，并会运用它进行简单的计算、推理，提高解决问题的能力.

（2）过程与方法：创设情境、自主学习、交流合作、感悟、归纳、试证，形成解题策略.

（3）情感与态度：激励学生热爱家乡的情感，培养学生团结协作、相互尊重、相互促进的人文素养.

3.教法与学法指导及教学手段

（1）教法是为学法服务的，我们的教是为了“不教”. 这节课的教学方法的主导思想是利用多媒体等手段创设情境、营造氛围，让学生主动参与知识探究过程，通过动手做、感知、猜想、归纳、验证、应用，使学生在生生互动、师生互动中学会交流、学会合作、学会学习，成为课堂的真正主人.教师成为学生学习过程的引导者、组织者.

（2）充分发挥知识的载体作用，引导学生在获得知识的过程中培养情感，形成能力.使教学方法与手段都充分为目标服务.

（3）注意归纳与升华，教师在学生的探究、学习过程中，充分相信学生，学生能够自主完成的，教师绝不代替，把课堂真正交给学生；但在学习过程中，教师要注意帮助学生总结：好习惯、好思路、好方法，及时地升华为学习的经验，使学生获得一种学习的能力.

二、课堂实施

1.创设情境，引入新课

（1）组织教学：教师搬下讲桌成为学生的一员，和学生共同探究学习，拉近师生之间的距离，改变教师的权威地位，使师生关系平等，课堂气氛更加宽松、融洽、和谐.

（2）多媒体播放铁力市漂流场景，创设问题情境；引出具体问题：（铁力市有丰富的旅游资源，2004年被评为国家级优秀旅游城市.其中漂流是一项支柱产业.现在让我们感受一下漂流，在欣赏景色时，景点的变化出现了这样一个问题，A、B两景点被池水隔开，若在AB外选一点C，连接AC和BC并分别找出AC和BC的中点M、N.如果测得MN=50m，就知道A、B两点的距离是多少米，你知道为什么吗？）学生读题，教师构建几何图形，让学生猜想结论和理由，导入新课.由实际问题引入，有利于激发学生的学习兴趣，并能进行情感渗透，通过对实际问题抽象建模，让学生感觉数学就在身边，有利于培养学生的数学意识.

2.探求新知

（1）学生通过观察，感知说出三角形中位线的概念，（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.）且与三角形的中线进行区分，印象更深刻，便于接受.

（2）学生动手画三角形的中位线，测量它和第三边的长度，比较它们的数量关系，猜想出它们的倍份关系；锻炼其动脑、动手的能力.

（3）学生操作后体验平等关系：通过多媒体演示图形的变化，学生说出观察结果，从而进一步明确结论，三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半.通过对实际问题的猜想和对三角形中位线性质的探究，学生一直是研究过程的主人，他们在体验与观察中获得结论、感受成功，增强学习数学的信心，培养学生学习过程中的观察、分析、概括能力，并为下一步的探究、验证做铺垫.

3.验证新知

学生得出了结论：知道了“是什么”，这一环节要解决“为什么”的问题.给学生充分的研究、讨论的时间，通过小组合作交流，说出利用构造平行四边形证明结论的三种辅助线的做法，不要求做出具体的证明，给学生留有空白；然后教师引入“同一法”，让学生了解“同一法”这一数学思想.

4.应用新知

（1）解决引入时的实际问题，使学生理解猜想的结论及其依据，体会学习数学的作用.

（2）为了拓展学生思维，把例子（顺次连接四边形四边的中点，所得的四边形是什么图形？请说明理由）变成结论开发的形式.

首先指导学生找出本题的关键词“顺次”、“中点”、“四边形”. 然后鼓励学生自主完成，最后，师生共同对此题进行点评，从而深化对中位线定理的理解.

5.变式训练

多媒体展示问题（1.顺次分别连接平行四边形、矩形、正方形、菱形各边的中点得到的是什么图形？2.分别顺次连接对角线相等、对角线垂直、对角线垂直且相等的四边形的四边中点，所得到的四边形是什么图形？）教师展示图形，学生合作交流进行判断，由四边形特殊四边形四边形，总结形成规律，使学生逐步灵活运用三角形中位线定理，培养探究学习的能力.

6.巩固提高

多媒体展示问题（1.现有边长为3厘米、4厘米、5厘米的三角形金属框架，①将其各边中点连接还需该金属多少厘米？②同样的方法顺次连接2次、3次……N次得到三角形的周长分别是多少厘米？从中获得什么结论？2.现有一个三角形余料，各边长为6厘米，8厘米，10厘米，能否将它裁出边长为3厘米，4厘米，5厘米的备料，如果能，你能裁出多少个？并简要说出理由.）解决实际问题，进一步巩固中位线定理，提高其计算能力、推理能力，培养学生的探究、概括能力.问题的结论开放，使人人都能参与，使不同的人在数学上得到不同的发展.

7.小结

由问题情境猜想抽象建模探究验证得出科学结论解决更多实际问题，是一个完整的科学研究过程，有利于培养学生的科学素养.

8.作业

分梯度，学生可选作.（1）强化所学；（2）给学生选择的空间，使学习过程更加人性化.

9.板书设计

力求简洁、醒目、清晰、重点突出.

三角形的中位线

定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.

定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半.

例子：顺次连接四边形四边的中点，所得的四边形是什么图形？请说明理由.

解：（由学生板书完成.）

三、课后反思

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一、三角函数生活特性的掌握

知识来源于生活，数学知识也是，和生活有着密切的联系，并且无时无刻不在服务于我们的学习生活.中学数学三角函数在现实中的应用繁多，方方面面都可以找到三角函数的影子，例如体操运动员运动，钟表的分针、时针运动等.教师在进行数学三角函数教学过程中，可以充分利用这一点，情景创设中多引入生活中的问题，提高学生的学习积极性.

例如：教师可以创设这样的情景，课前预备一副圆形广场平面图，半径约为50 m，现在需要在广场中央设置探照灯，探照灯的光为圆锥形，和轴截面形成的夹角120°，若想应用该光源照亮整个广场，则光源高度应为多少米？通过提出这样富有生活气息的问题，激发学生探究兴趣，打破传统数学课堂的枯燥呆板感，让所有学生都能够乐于参与其中，不仅收获了知识，还能够提高自身综合素质.

二、三角函数整体特性的掌握

数学具有系统、严密性，且逻辑性也较高，对于中学生的学习能力培养大有裨益.和三角函数有关的知识点繁多，需要利用三角函数验证数学结果的知识点也很多，所以中学生在学习数学函数过程中，需要打好基础，明确知识之间的内在联系，深刻地了解三角函数章节的内涵，这不仅对于学生数学学习有所帮助，而且对于旁系学科的应用也很重要.学生们在知识点形成知识网络后，便可以更好地提高自己的理解能力.中学生需要了解一些基本解题策略，例如关于三角函数的性质、图像等，均需要学生认真分析、总结，与此同时，在教学过程中，教师需要予以适度引导，提高有益的知识基础辅佐帮助.

三、三角函数应用特性的掌握

某种意义上来说，数学和旁系学科的教学目标基本一致，即均需要提高在提升学生学习能力的基础上，强化学生对知识点的理解和应用能力，为此，教师在教学过程中需要侧重于学生解题能力的培养方面，并在解答三角函数题时经常变换函数，帮助学生掌握三角函数的伸缩和平移规律，明确三角函数最值的快速求解.目前，解决三角函数经常使用的方法主要包括：换元法、坐标法以及待定系数法等，学生通过这几种方法掌握进行解题.

例如：某港口深度y为时间t的函数，则可以表示为y=f（t），数据如下表所示：

t/h03691215182124y/m101397101310710不难看出，y=f（t）近似于三角函数，通过数据分析得出函数表达式.依据相关规定，船只航行过程中，若海底与船底的距离不小于五米，则可以认为是安全的，假如目前所乘船只吃水深度为6.5 m，在同一时间内安全的出港和进港，则其可以停留港内多长时间？作函数解析式之前，可以先利用表中所给数据绘制函数图象，随后进行判断.

四、综合分析法

目前，数学解题过程中，常用的几种方法主要包括：转化法、代入法以及数形结合法等，所以在学习三角函数过程中，学生们也可以将这几种方法综合运用.比如在解题的过程中，整合初中、高中所学数学知识，构建数学学习体系，提高学习效果.三角函数的覆盖内容很多，所以将会应用到各种各样的公式，利用综合分析法的目的在于，学生们学习时常有的感受，即总是觉得已经全面理解所学的知识，但还对于所学知识的灵活运用、解决实际问题方面的能力略有匮乏.为此，在三角函数教学的过程中，教师要合理引导学生，从整体出发，展_问题分析，探究解题方式.在此之前，要求中学生务必扎实掌握三角函数相关概念以及相关性质，可以通过三角函数性质进行解题，在此基础上，学生们方可更好地综合分析三角函数问题，提高解题能力.

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【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A

【文章编号】 1004―0463（2016）07―0113―01

课堂是教学的主阵地，课堂教学是整个初中数学教学活动的重要组成部分。高效率的课堂教学，可以让学生们积累基本的数学知识，掌握数学原理和方法，形成数学逻辑性的推理与思维，从而提高学生的数学应用能力。那么，如何有效提高初中数学课堂教学效率呢？

一、善于发现数学学习中出现的错误

学习是一个不断进步的过程，进步是和错误与矛盾分不开的，关键是我们要善于发现错在哪里，为什么错了。作为数学教师，我们要培养学生洞察错误的能力。在学生遇到错误的困惑时，教师要引导学生找出错误的根源。比如，是因为马虎，还是概念记得不熟悉，或者没有理解题意，再或者没有掌握定理、公式。如果问题出现在公式、概念上，那么记熟公式、背熟概念，问题就解决了；如果是因为马虎、粗心大意，那么，一定要在书写时认真，逐步解析，不能急于求答。学生如果能长期坚持这样去发现自己产生错误的原因，不但会提高学习效率，而且因为能发现错误，而喜欢在错误中寻找原因，从而爱上数学这门课。

二、善于在生活中发现数学

数学源于生活，用于生活，它无处不在。学生如果能做一个有心人，在自己熟悉、有趣的生活现象中发现数学知识，并利用自己所学的数学知识解决生活中的问题，让它真正地服务于生活，就会体会到数学的价值所在，感受到数学的魅力。因此，教学时，教师要根据教学内容的特点和学生的年龄特点，并结合学生的生活实际，综合进行教学，让生活成为学生学习数学的一个平台。

比如，为了让教学生活化，笔者结合实际生活，出了这样一道题目：校庆50周年，为了装扮校园，总务处的教师特意去购买了一批盆花，准备布置教室。如果每个教室摆6盆花，只能摆18个教室。假如你是总务处的教师，你会如何安排呢？需要考虑哪些因素呢？学生们七嘴八舌地讨论，最后一致决定，应考虑以下几方面：1.总务处一共购买了多少盆花？2.每个教室盆花的数量应该一样多。3.学校一共有几个教室？4.每个教室盆花的颜色、种类搭配等问题。实践证明，这一练习贴近学生的生活，符合学生的心理需要，让学生充分体会到数学与生活的紧密联系。

三、善于在动手动脑中学习数学

陶行知先生说得好：“人身两个宝，双手和大脑。”学生在摆拼、触摸、抓握的过程中，能认识客观事物，获得直接的感性认识，再通过有条理的语言内化，可以达到发展思维的目的。加强操作教学是目前我国小学数学教学改革的一个热点，它的提出与实践源于我国数学教育界对杜威的 “活动中心论”的创造性借鉴。杜威认为，通过活动才能产生经验，最好的教育方法是让儿童在现实生活中直接接触各种事物，这样可以获得更深刻的印象，从而取得有用的经验，即“从做中学”。实践证明，该理念的提出，不仅有利于学生对数学知识的理解与掌握，还有利于学生思维能力的培养。因此，数学教师要鼓励学生动手实践，让学生在实践中发现数学与客观事物的结合过程，以及数学与其他事物结合的妙处，让学生的手与脑变得更加和谐，从而形成更加紧密的数学逻辑。

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关键词：课堂教学；知识分析；解三角形；正弦定理；余弦定理

解三角形问题在高考中从不缺席，或注重考查基本知识、方法，或注重考查与三角函数、向量、不等式知识的综合运用。要抓住解三角形的知识和方法就要掌握解三角形的一些基本题型及解题方法。下面从任意三角形的边角元素入手，分析解三角形过程中出现的一些常见题型及其基本解题思路，并归纳总结。

一、找准基点，明确方向

无论是简单的三角形边角元素的求解，还是借助解三角形知识来解决相关的数学问题，都离不开四种基本的解三角形类型。在教学过程中，我们可以引导学生把这四种基本类型的解题思路当成一个模版记下，形成一系列相关问题的解题方法。

类型一：已知两角和任一边，解三角形

在三角形中，已知两角和任一边，可先求出第三个角，再根据正弦定理解题。

例1.在ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，c=2，求C，a，b.

分析：先根据三角形内角和180°，求出角C；再根据正弦定理求出a，b.

解析：∠A=60°，∠B=45°，∠C=180°-（A+B）=75°

根据正弦定理，a=■=■=3■-■，

根据正弦定理，b=■=■=2■-2，

∠C=75°，a=3■-■，b=2■-2

思考与小结：例1是已知A，B两角和第三边c，所以先求出第三角C，再根据■=■=■求出其余两边。若已知的是两角和其中一个角的对边，可以先用正弦定理求出其中一已知角的对边，再用三角形内角和定理求出第三角。例如在ABC中，已知∠A=30°，∠C=45°，a=20，求解此三角形。

类型二：已知三边，解三角形

已知三边长的题型，从余弦定理的推论入手，先求出其中一个角。

例2.在ABC中，已知a=2■，b=■，c=3+■，求解ABC.

分析：两种解法：（1）应用余弦定理的推论求出两角后，再由A+B+C=180°求出第三个角；（2）先用余弦定理的推论求出一个角，再根据正弦定理求出第二个角，最后由A+B+C=180°求出第三个角。

解析：（1）由余弦定理的推论得cosB=■=■，∠B=30°.

同理可得∠A=45°，∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（30°+45°）=105°.

（2）由余弦定理的推论得，cosB=■=■，∠B=30°.

由正弦定理得，sinA=■=■=■，

a

∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（30°+45°）=105°.

思考与小结：用余弦定理的推论求角只有一个解，通常选取较小边所对的锐角先进行求解，避免过大的计算量。此外，已知三边解三角形时，边长必须满足构成三角形的条件，解三角形才有意义，否则，解不了三角形，例如，已知的三条边分别为3 cm，4 cm，7 cm时，这个三角形就无法做出。

二、合理选择，巧妙搭配

解三角形的四种常见题型都有针对性的解法，在选择正弦定理还是余弦定理时具有比较明确的指向性，而对于一些题型，有时候两个定理都可以单独应用或者需要两个定理联合应用。

1.合理选择，追求高效

解三角形的主要工具是正弦定理和余弦定理，单独运用时要先观察已知条件是运用正弦定理简单，还是运用余弦定理简单。有些题目两者都可以解，但选对了方法将提高解题速度和准确率，避免繁琐的计算。

例3.在ABC中，若∠A=120°，AB=5， BC=7，则ABC的面积S=____________.

分析：有两种思路。一是先求∠C，再求∠B，根据S=■AB・BCsin∠B求出面积。但发现∠C不是特殊角，只能求出sinC=■，所以要求sinB需通过sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C） 并借助三角函数的两角和差公式来求，那么又需要求cosC，计算相当繁琐；二是运用余弦定理构造关于AC的方程，解出AC，再根据S=■AB・ACsin∠A求得面积。

解析：根据余弦定理，72=52+AC2-2×5×ACcos120°，解方程得AC=8.所以S=■AB・ACsin∠A=10■.

2.巧妙搭配，相辅相成

在求解三角形问题时，有时单独运用正弦定理或余弦定理不能求解，这时就需要二者相辅相成。

例4.在ABC中，已知∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.

分析：已知ADC的三边，先用余弦定理求出cosC，再根据sin2C+cos2C=1求出sinC，然后在ABC中根据正弦定理求出AB.

此题有多种思路，但无论哪一种都需要正、余弦定理的结合。

解析：根据余弦定理的推论，cosC=■=■.

由sin2C+cos2C=1得，sinC=■=■.

根据正弦定理，AB=■=■=5■.

AC的长为5■.

扎实的数学基础对进一步学习数学有着很大的促进作用。本文借几道简约朴实但具代表性的例题，从教学中常见的一些情况分类分析了解三角形的解题思路，并归纳小结解三角形的解题方法。万变不离其宗，只要掌握解决问题的基本策略和方法，就可以实现触类旁通，提高解题效率，解决更多解三角形的相关问题。

参考文献：

[1]赵建军.例谈用正弦余弦定理解三角形[J].数学学习与研究，2012.

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一、争取最佳的整体效果

按照教材编写的顺序，我们习惯在教全等三角形的判定方法时，先讲“判定方法1”，通过画图，归纳出“边角边”公理，然后举例、做练习、再做习题，接下去用同样的方法教另两个判定方法，这样有利于单一知识的掌握，但忽略了学生能力的发展。学生由于心理定势形成了习惯思维，即每节课后的习题“肯定”用本节课知识来解决，这种“按图索骥”思维的懒惰性，势必影响了学生创造性思维的培养，待到这几种判定方法教完后，再来综合已经迟了，形成了重视系统的局部而忽视了整体的后果。

本人认为，在处理“三角形全等的判定”这部分教材时，首先应着重于整体，通过整体来认识局部，根据初中阶段几何教学要求以及现阶段学生特别怕学几何这一实际情况，可以在学生真正理解了全等三角形的概念、掌握了全等三角形性质的基础上，把“边角边”公理、“角边角”公理、“角角边”定理以及“边边边”公理集中在一节课内教完，引导学生总结，尽可能完善学生对三角形全等判定的整体认识，需弄清以下几点：

1.判定两个三角形全等并一定需要按定义判断所有的对应边、对应角相等，在六对元素中，只要有某三对元素对应相等即可，但三对元素中至少要有一对是边。

2.要注意并不是任意三对元素对应相等就能判定两个三角形全等。“两边及其一边的对角对应相等”、“三个角对应相等”的两个三角形不一定全等。

3.从作图来看，已知两边和一对角或三个角作三角形，结果不唯一。

图1中，AC=AD，在ACB和ADB中，虽然有∠B=∠B，AB=AB，AC=AD，但ACB和ADB不全等。图2中，DE//BC，虽然有三对角相等，但ABC和ADE显然不全等。

由于学生一开始就从整体上把握了全等三角形的判定方法，对大多数例题和习题都不可能事先知道一定用哪个判定方法来解决，而应首先就题目本身认真分析之后，才能确定用什么方法判定，这样按题目的已知条件确定判定方法，提高了每道题的思维训练价值，加深了整体效果。

二、调整教材结构

“全等三角形”这一单元的教学习惯是一个定理一个定理、一页一页教下去，本人从整体性的要求和学生的实际出发，调整教材结构，以全等三角形的判定为中心，组成八个专题来开展教学，即：1.找全等三角形的对应元素；2.全等三角形的判定方法；3.直接用判定方法证全等；4.利用全等三角形证线段或角相等；5.利用全等三角形证两直线平行或互相垂直；6.添辅助线；7.实际问题；8.小结整理。这样把例题、练习题重新安排，力求一个专题揭示一个规律，解决一个难点。在培养学生证题能力的同时，证明的书写规范化，教学中告诉学生为什么要这么写。

三、注意动静结合

全等三角形教学中，既有教材的系统性，又有教法的多样性和变化性，要有动的理念。

在讲“全等三角形的对应元素”这一专题时，课前布置学生剪两个全等三角形，课堂上教师用投影或多媒体设备出示两组全等三角形，通过全等三角形相对位置的变化，让学生观察判断，要利用模型，依样摆放，最后写出对应元素，同学之间可以相互讨论，老师参与讨论，以学生为主体，这样通过运动变化思想，培养学生在运动中探索问题的习惯，加深对事物性质的认识。

四、选择最优化方案

在“全等三角形”这一单元教学中，对每节课的安排、每一道例题的讲解，都力求选择最佳教法，充分利用现代教育技术，才能圆满完成教学任务。

解决问题的方法是提高教学质量，最大限度地发挥每一道题的作用。讲解题目思路时，不仅要让学生知道“这样证”，更要让学生明白 “为什么这样证”。

实践证明，用系统思想和方法进行教学，效果比较好。

参考文献：