导数分类讨论的思路范文

导语：如何才能写好一篇导数分类讨论的思路，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词：参数；导数；极值；最值；分类讨论；构造

导数作为最为重要的数学工具之一，在数学物理等学科中有非常广泛的应用。由于含有参数的导数问题在解题过程中往往需要对参数进行求值或讨论分析，因此它也是高中学生答题的难点，本文主要针对这一问题加以分析讨论，以供参考。

对含有参数的导数问题中的参数进行求值。比较常见与典型的有下面几种情况：

在含有参数的导数问题中，最为常见的一类求值问题是已知函数的极值点（有时是最值），利用函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值时，此时f′(x)=0将x=x0代入即可求出参数的值。

例1：（2012年高考（江苏））若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.求a和b的值.

解:由f(x)=x3+ax2+bx，得f′(x)=3x2+2ax+b.

1和-1是函数f(x)=x3+ax2+b的两个极值点，

f′(x)=3+2a+b=0，f′(-1)=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3.

另一类常见的对参数求值的问题主要研究函数f(x)=g(x)+m（其中g(x)为已知函数），在这一问题中由于g(x)是已知的，所以函数f(x)=g(x)+m的基本图形是固定的，参数m仅仅决定函数f(x)=g(x)+m的上下位置。在此类问题中，经常根据函数f(x)=g(x)+m的最值（有时是极值），利用它与函数g(x)图形的一致性求出参数m的值，这种问题也常常转化为判断函数y=f(x)与函数y=m的交点个数。

例2：（05北京卷）已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a，若f(x)在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

解：因为f(-2)=8+12-18+a=2+a，f(2)=-8+12+18+a=22+a，

所以f(2)>f(-2).因为在（-1，3）上f′(x)>0，所以f(x)在[-1， 2]上单调递增，又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是有 22+a=20，解得a=-2.

故f(x)=-x3+3x2+9x-2，因此f(-1)=1+3-9-2=-7，

即函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-7.

求值问题中还有一类是主要利用导数的几何意义。特别强调下面两点①过函数y=f(x)上的点p(x0，f(x0))在这一点切线的斜率等于在这一点的导数②p(x0，f(x0))这一点不仅是在函数y=f(x)上而且也在它的切线上。使用这二点可以列出二个方程进而列出方程组求出参数的值。有时，这一类型的问题会变形为二个不同的函数y=f(x)与y=g(x)在它们的交点有公共的切线或切线与已知的直线平行（垂直）的形式，其实质也是利用导数的几何意义。

例3：（05福建卷）已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0.求函数的解析式.

解：由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2，

f′(x)=3x2+2bx+c.

由M(-1，f(-1))在处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，f′(-1)=6.

3-2b+c=6，

-1+b-c+2=1，即2b-c=3，

b-c=0，解得b=c=-3.

故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.

在含有参数的导数问题中，对参数进行分析讨论确定取值范围往往比对参数进行求值更为麻烦，需要注意的事项更多。学生在处理这一方面的问题时经常考虑得不是很周到，甚至在碰到这些题目的时候无从下手，用错方法。因此更需要教师在课堂上把这些问题分析透彻，并给出对应的解题思路与技巧，这迫使我们必须在这一问题上进行更深的了解和研究。

其中最为常见的方法是分类讨论。而常见的分类论据通常有:一根据有无极值来分，二根据驻点的大小来分，三根据最高项的系数的正负等几种方法来进行分类讨论及解题，同时必须强调指出，分类一定要先分析函数定义域，并在定义域的范围内进行。

例4：（天津卷）已知函数f(x)=(x∈R)，其中a∈R.

（I）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

（II）当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值.

解：（I）当a=1时，f(x)=，f(2)=.

又f′(x)==，f′(2)=-

所以，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

y-=-(x-2)，即6x+25y-32=0.

（II）f′(x)==-

由于a≠0以下分两种情况讨论.即a>0与a

本题中主要是使用分类讨论的方法来研究函数的单调性，但学生在分类时容易认为是利用二个不同的驻点x1=-，x2=a.进行分类，而实质上应该利用最高项的系数的正负进行分类处理，这正是这一类问题的难点所在。所以在分类过程中一定要把握好分类的依据，做到不重不漏。

含有参数的导数问题除了使用分类讨论的方法，另一种常见的方法是利用函数y=f(x)在一特定的区间满足一定的条件，通常可通过一定的变形为g(x)>c的形式，只要利用构造的方法构造出函数g(x)并利用函数g(x)在特定区间上的最值与C进行判断，就很容易可以给出参数的取值范围。但这一方法有时对如何构造函数g(x)的技巧要求较高，同时有些题目甚至需要多次使用构造的方法，学生掌握起来有一定的难度。

例5.（2012年高考（天津理））已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0，其中a>0.

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)若对任意的x∈[0，+∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值;

解：（1）f(x))的定义域为(-a，+∞)

f(x)=x-ln(x+a)⇒f′(x)=1-==0⇔x=1-a>-a

f′(x)>0⇔x>1-a，f′(x)

得：x=1-a时，f(x)min=f(1-a)⇔1-a=0⇔a=1

（2）设g(x)=kx2-f(x)=kx2-x+ln(x+1)(x≥0)

则g(x)≥0在x∈[0，+∞)上恒成立⇔g(x)min≥0=g(0)(*)

g(1)=k-1+ln2≥0⇒k>0

g′(x)=2kx-1+=

①当2k-1

②当k≥时，g′(x)≥0⇒g(x)min=g(0)=0符合（*）

得：实数k的最小值为

这一类的题型有时也可使用参变量分离的方法，当参数分离出来后，一般情况下，函数可变形为a>g(x)这一形式，其后可使用与刚才相似的方法进行解题。

当导数问题中含有参数以后，题目灵活多变，要想正确解题如同在迷雾中找到一条正确的出路一般。但如果我们能抓到问题的实质，分清主次，找到正确的应对方法，加上一些必要的训练，含有参数的导数问题也可成为得分点。

参考文献：

篇2

（）必做1 已知a＋b0，则（ ）

A． a2

C． a2

精妙解法 法1：因a＋b0，所以b

法2：因a＋b0，所以b

法3：因a＋b0，所以不妨取a=1，b=－2，此时a2=1，b2=4，－ab=2，显然有a2

误点警示 不等式两边只有同乘以一个正数，不等式方向才不改变；若同乘以一个负数，则要改变方向；同向不等式相乘不一定正确，只有同向的正数不等式才能相乘．特殊值法解题时，必须满足前提条件，如a＋b0，即b

极速突击 作差比较法是比较大小的最基本的方法，作差后一般要变形定号，有时也会先平方再作差，或采用作比比较法． 涉及不等关系的选择题，一般来说，结合题设条件寻求特殊值法比较方便．

（）必做2 对任意x∈R，若f ′（x）>f（x）且a>0，则f（a）________ea・f（0）（填大小关系）

精妙解法 由f（a）与ea・f（0）联想e0・f（a）与ea・f（0），进而联想新函数ex－a与f（x）的有机组合，建构：y=，则y′=>0，所以y（a）>y（0），即f（a）>ea・f（0）．

极速突击 此类问题关注三点：（1）单调性――作为解决问题的大方向；（2）导数应用――导数是研究函数的利器，利用一阶导数研究单调性能事半功倍；（3）有机组合――在解决问题过程中，如何选择函数和建构新函数是关键．

金刊提醒

灵活运用不等式的性质，可以解决比大小、证明、解不等式等许多问题．

不等式的解法

（）必做3 设函数f（x）=（x+1）2，x≤－1，2x+2，－1

A． （－∞，－2）∪－，+∞

B． －，

C． （－∞，－2）∪－，1

D． －2，－∪（1，+∞）

精妙解法 由f（x）及f（a）＞1可得：a≤－1，（a+1）2>1①；或－11②；或a≥1，－1>1③；解①得a

误点警示 每种情况之间是并集，每种情况内部是交集为两个易错点．

极速突击 对每一段解不等式，同时弄清集合间的交并关系．

（）必做4 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（－∞，0］上单调递减，且f（1）=0，若af（a）>0，则实数a的取值范围是______．

图1

精妙解法 作出函数y=f（x）在R上的大致图象，由af（a）>0，可得当a>0时，f（a）>0，所以a>1；当a

极速突击 解题时，应该尽量画出函数图象，使得问题具体化，避免因为抽象思维带来的解题失误，以求事半倍功．

金刊提醒

一元二次不等式的解法，可结合二次函数的图象求解，重点突破三个二次问题的联系．

线性规划

（）必做5 动点P（a，b）在不等式组x+y－2≤0，x－y≥0，y≥0表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=的取值范围是________．

精妙解法 w==1+=1+k，k为定点（1，2）与可行域上动点连线的斜率，由数形结合得斜率k的取值范围为（－∞，－2］∪［2，+∞），所以w=的取值范围是（－∞，－1］∪［3，+∞）．

误点警示 不能对w=进行合理的变形，不会用数形结合进行转化．

极速突击 线性规划问题一般采用数形结合，同时要化未知为已知，化生为熟．

（）必做6 设实数a，b满足3a－2b+1≥0，3a+2b－4≥0，a≤1，则9a2+4b2的最大值是___________．

精妙解法 令x=3a，y=2b，原不等式组可化为x－y+1≥0，x+y－4≥0，x≤3，目标函数可化为z=x2+y2=（）2，可将它看做原点与可行域上动点连线的距离的平方，作出换元后的可行域，再由数形结合可得的最大值是25．

极速突击 换元化归，等价转化，数形结合．

金刊提醒

在线性规划问题的求解中，要充分运用数形结合思想，在解题中能认真领悟图解法的实质．

基本不等式与最值运用

（）必做7 若直线ax+2by－2=0（a>0，b>0）始终平分圆x2+y2－4x－2y－8=0的周长，则+的最小值为（ ）

A． 1 B． 3+2

C． 5 D． 4

精妙解法 由已知可得直线过圆心（2，1），从而a+b=1，且a>0，b>0，+=+（a+b）=3++≥3+2，当且仅当a=－1，b=2－时取等号． 故选B．

误点警示 此题容易错解如下：由已知可得直线过圆心（2，1），从而a+b=1，且a>0，b>0，+≥2=≥=4，故选D． 错误的原因是无法取到等号． 事实上+≥2成立，当且仅当b=2a时取到等号；≥成立，当且仅当b=a时取到等号，又a>0，b>0，这样的a，b不存在．

极速突击 用基本不等式求最值必须验证等号能否取到，一般当等号无法取到时，用基本不等式求最值无效，此时应改用其他变形手段设法能使其取到等号，或者利用函数单调性求最值．

（）必做8 函数f（x）=+2的最小值为_______.

精妙解法 要使f（x）=+2有意义，需x2－2x≥0且x2－5x+4≥0，所以f（x）=+2的定义域是｛xx≤0或x≥4｝． 当x≤0时， f（x）=+2是单调递减函数，在x=0处取最小值为4；当x≥4时， f（x）=+2是单调递增函数，在x=4处取最小值为1+2，比较得最小值为1+2．

极速突击 从定义域上突破，利用复合函数的单调性求最值．

金刊提醒

运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用、活用，还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等；基本不等式应用中一定要注意三个细节，即“一正二定三相等”，记住两个结论：“和定积最大”与“积定和最小”．

不等式恒成立与有解

（）必做9 设函数f（x）=x3+x，x∈R，若当0≤θ≤时，f（msinθ）+f（1－m）>0恒成立，则m的取值范围是_________．

精妙解法 函数f（x）=x3+x，x∈R，易知f（x）为奇函数，所以f（msinθ）+f（1－m）>0可化为f（msinθ）>－f（1－m）=f（m－1），且f（x）在R上是增函数，所以msinθ>m－1，m（1－sinθ）

误点警示 f（msinθ）+f（1－m）>0可化为（msinθ）3+msinθ+（1－m）3+（1－m）>0，接下来不会因式分解化简． 因此，我们应充分考虑函数的性质．

极速突击 不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最值，求最值有时要按参数分类讨论． 若采用分离变量法，再求最值，往往可避免分类讨论． 一般地f（x）>a对一切x∈D都成立?圳f（x）min>a； f（x）

（）必做10 已知函数f（x）=lnx－x+－1，g（x）=x2－2bx+4.当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是______．

精妙解法 因为f ′（x）=－－==－= －，又因为x∈（0，2），所以当x∈（0，1）时， f ′（x）0，函数f（x）单调递增，所以f（x）在（0，2）上的最小值为f（1）=－． 由于“对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”等价于“g（x）在［1，2］上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值－”，即存在x∈［1，2］，使g（x）=x2－2bx+4≤－，即2bx≥x2+，即2b≥x+∈，，所以2b≥，解得b≥，即实数b的取值范围是，+∞．

误点警示 对条件“若对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”不能正确转化是解题的误区，如把问题转化为“f（x1）min≥g（x2）max”．

极速突击 解决“全称命题”“特称命题”相关的试题时一般可以分成下面四步走：（1）实行变量分离，转化成求最值问题；（2）判断求最大值还是最小值：（3）求解f（x）的最值；（4）得出结论．

篇3

关键词 阶梯函数 连续型随机变量 边缘分布

中图分类号：O211.6 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2016.04.026

Abstract This paper discussed some properties of the distribution function of continuous random variables and discrete random variables， and to explore the probability of the two-dimensional continuous random variable in arbitrary curve is zero and the and one dimensional continuous random variable relationship. These problems are a few concepts between contact the basic problem description， but also in teaching easy to overlook problems. For this reason， to collate， to have a more clear understanding of random variables.

Key words step function； continuous random variable； marginal distribution

概率论是研究随机现象的科学，通俗地讲，就是研究某种现象或某个事件发生的可能性大小，比如投掷硬币，出现正、反面的可能性有多大；在路上，偶遇一个孕妇，那么此孕妇生男孩和生女孩的可能性又各有多大？这个可能性就是概率论学科要研究的最主要目标――概率，那么要如何研究事件的概率问题，这就需要把随机现象引入到一个合理有效、逻辑严谨的理论体系中，在这个过程中，随机变量就像一座桥梁或基石，在理论研究中起着无可替代的作用。随机变量从本质上看就是一个函数，或者更加清楚准确地描述为：从由随机试验的结果构成的样本空间到实数上的一对一或多对一的映射。正是由于随机变量的存在，随机现象的研究中才将高等数学引入到了整个理论体系中，使得概率论学科获得了巨大的进步。随机变量在我们的教学过程中，一般只讨论两种典型情形：离散型随机变量和连续型随机变量。在概率论的讲解过程中，可以发现离散型随机变量的定义浅显而直观，易于理解和接受， 而连续型随机变量的定义则有些抽象了。对连续型随机变量的深层次理解，严重依赖于对高等数学相关内容的理解，尤其是对积分和各种函数知识的掌握。另外，无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，我们的主要目标都要研究其概率的取值情况，也就是随机变量的概率分布情况，因此在本文中我们主要讨论的内容就是随机变量的分布函数的一些特点。通过对概率分布函数的详细分析，进一步加强对随机变量，尤其是连续型随机变量的认识，本文将几个关于概率分布的基本问题进行整理和归纳，其中第一个问题分别讨论了离散型随机变量和连续型变量的分布函数的基本特点；第二个问题讨论了一维、二维连续型随机变量在什么情况下，概率的取值为零；第三个问题讨论了二维连续型随机变量与边缘分布之间的关系。在下文中，我们将以上三个问题逐一加以讨论。

第一个问题：离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，连续型随机变量的分布函数是连续函数。这个结论正确吗？其逆命题成立吗？

这里，我们首先要明确阶梯函数的定义。定义在区间[]上的函数，如果存在有限个分点 = …，在每个开区间（）， 上取常数，则称之为阶梯函数。将此定义推广到无限区间上时，只要求满足在任意有限区间上如上定义（参见王梓坤（1996））即可。总之，无论有限情形还是无限情形，从图像上看，阶梯函数都会出现阶梯形状。 故而，当离散型随机变量取有限个值时，容易知道其分布函数一定是阶梯函数；然而当其取值为可列多个值时，则不一定是阶梯函数了。

例： 定义一个取值于（0，1）中的有理数 （互质）的离散型随机变量如下：

= ，

其中 = ， 为（0，1）上的有理数集。

显然，此随机变量确定的分布函数在区间（0，1）上的有理数点处都发生跳跃，其图象无法形成阶梯形状，也就不是阶梯函数。另外，更多的例子可以在朱作宾（1984）中找到。

这个问题的反向结论则显然是成立的，即如果一个分布函数是一个单调上升且右连续的阶梯函数时，则与其对应的随机变量一定是离散型的，并且随机变量的取值点就是跳跃间断点。

那么连续型随机变量的情形又是怎样呢？ 连续型随机变量的分布函数是一个变上限积分函数，一定是连续的，但其反向，则不然。如果一个分布函数连续且在每一点都可导，那么其导数就是对应的密度函数，也就是这个分布函数一定是连续型随机变量的分布函数。然而，将此结论中的可导条件稍微弱化一点，改成几乎处处可导，则结论不成立。一个例子可以参见桂春燕（2015）。这个例子是基于康托尔集构造的，其过程比较繁琐，本文只介绍一下该例子的构造思想。其具体思路为：在非康托尔集上按特定规则定义为常数（该常数与点所在的区间有密切联系），而在康托尔集上定义为由非康托尔集上的常数序定的上确界（极限值）以保证连续， 通过这种方法构造的函数在非康托尔集上可导且导数为零，在康托尔集上不可导，而康托尔集为零测集，也就是说，我们得到了一个几乎处处可导且导数几乎处处为零的分布函数，故这个分布函数不是连续型随机变量的分布函数。

第二个问题：一维连续型随机变量在任意一点的概率为零，这是一个显然的事实。那么这个结论推广到多维情形又如何呢？是否可以推广为二维连续型随机变量在任意曲线上的概率为零？

这个问题的本质是考虑一个二元可积函数在曲线上的二重积分问题，而在二维空间内曲线的测度一般为零，比如常见的幂函数、指数函数等初等函数确定的曲线，此时上述推广的结论是成立的。然而，数学常常会有让人惊讶的奇妙之处。事实上，曲线的测度不一定是零， 一个有趣的例子就是皮亚诺曲线（可参见那汤松（1965））。关于此曲线的一种经典的构造方法是通过把一个正方形分割成4个小正方形，然后将小正方形的中心点相连，此过程不断重复递归，取极限后，可构造出一条曲线，该曲线可以覆盖整个正方形。这种语言描述显得有点不够严谨，赵明方（1965）给出了一类皮亚诺曲线的解析表达式，其具体定义如下：

在闭区间[0，2]上，令

且 = ，是整数，是[0， 36]上任意的一个实数。 再令

= ， =

从而可由， 构造出一条曲线：，赵明方（1965）证明了此曲线就是正方形[0，1][0，1]上的皮亚诺曲线，可以表示正方形中的任何一个点。因此，如果在某个正方形上定义一个服从二维均匀分布的随机变量，则其在对应的皮亚诺曲线上的概率为1。不过，这种曲线是极其特殊的，值得更进一步的研究和讨论。为避开这种特殊情形，我们可以限制曲线为可由一元参数方程确定的光滑曲线，此时光滑曲线的面积（测度）一定为零，那么我们的结论在光滑曲线上就一定是成立的，也就是说二维连续型随机变量在光滑曲线上的概率一定为零。

第三个问题：二维连续型随机变量的边缘分布是否一定对应连续型随机变量？反之， 如果边缘分布都对应连续型随机变量，其二维随机变量是否一定是连续型的？

这一个问题的前半部分的答案是肯定的。事实上，假设二维随机变量的密度函数为，则的边缘分布为

= ，

故存在一个非负函数 = 满足连续型随机变量的定义。然而，其反向结论则不成立，可见下面的例子。

例：假设随机变量服从参数为1的指数分布，，则二维随机变量的分布函数为：

此时， = 0， 从而不存在一个满足二维连续型随机变量的定义的非负二元函数，即不是二维连续型随机变量。

以上几个问题，是概率论教学过程中需要留意的几个小问题，这些问题因为都是在非常规情形下出现，往往容易忽视，故而在学习研究概率论的过程中，要始终保持谨慎认真的态度，既要对知识有直观的认识，又要严格对待理论体系的严密逻辑。

参考文献

[1] 王梓坤.随机过程通论.北京师范大学出版社，1996：73.

[2] 朱作宾.关于离散型分布函数的一个问题.安徽师大学报（自然科学版），1984：19-21.

[3] 桂春燕.连续的分布函数与连续型随机变量的关系. 安庆师范学院学报（自然科学版），2015.21（1）：101-102.

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Abstract： Since the problems do not depend on the specific areas, Genetic Algorithm as a method of strong robustness is widely used in many subjects and it is more and more discussed and tried in the decomposition of overlapping peaks. This thesis introduced processes of design, process and data analysis of Genetic Algorithm program and made several attempts in improvements of Genetic Algorithm from analyzing Lorentz overlapping peaks of computer simulation.

关键词： 遗传算法; Lorentz重叠峰

Key words： Genetic Algorithm; Lorentz overlapping peaks

中图分类号：O17文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）04-0208-01

1重叠峰分解曲线拟合的数学原理

1.1 光谱谱线峰形对于大多数原子或离子发射谱线，其波形是由于不均匀展宽所致，服从Gauss函数分布规律，而均匀展宽的谱线轮廓却总具有Lorentz曲线的形式。

Lorentz型的数学描述是II，λ，σ，λ=I1-In2

I、λ、σ分别表示谱线的峰值强度、中心波长与半高半宽度。

1.2 基于最小二乘的寻优方法在重叠峰分解中的应用曲线分离的拟合计算，也即光谱曲线的退卷积计算，判断这类拟合计算效果的优劣，最常用的一种评价准则是最小二乘法。即谱线拟合问题归结为求使目标函数F最小时，即minfλ-I成立时的谱线参数。

2遗传算法在Lorentz型重叠峰分解中的尝试

2.1 遗传算法概述及改进

2.1.1 概述遗传算法是一种模拟自然界生物进化过程随机搜索算法，它使用群体搜索技术，通过对当前群体施加选择、交叉、变异等一系列遗传操作，从而产生出新一代的群体，并逐步使群体进化到包含或接近最优解的状态[1]。它的搜索过程与自然界生物进化过程相似，在搜索过程中不易陷入局部最优[2]。遗传算法主要有以下几个步骤：①初始化群体；②计算群体的适应度；③算子操作：a.选择算子，b.交叉算子，c.变异算子，产生子代群体④反复执行②③，直到群体符合终止条件，选择最佳个体为最优解。

2.1.2 遗传算法的改进及最速下降法的引入遗传算法虽然具备鲁棒性好、适应性广泛、同时搜索空间多点的并行性、找到全局最优解概率大等优点[3]，但也存在许多不足之处[4]。本文采取了遗传算法与最速下降法相结合的混合遗传算法。

2.2 混合遗传算法在Lorentz型重叠峰分解中的MATLAB实现

本文首先以Lorentz峰型为例，使用计算机模拟几个Lorentz型峰的重叠，然后再使用遗传算法进行分解，最后比较分解到结果与初始设定的参数的差异，从而判断遗传算法在重叠峰分解中的优劣。

2.2.1 标准遗传算法的主要流程

①染色体编码，产生初始群体。采用的是浮点数编码方式，根据变量的个数产生变异概率、最大遗传代数、个体数目以及并行遗传算法中用到的子种群数目，设置了迁移率和迁移个体。②目标函数。Fit（I，λ，σ）=1-In2••I-y其中I，λ，σ即为单个Lorentz峰的参数，而n为实验数据的个数，m为初始群体的个体数目，xi与yi分别为第i个实验数据对应的波长与强度，在分配适应度时采用倒序，即FitV=ranking（-ObjV）；③选择算子。使用随机遍历抽样方式进行选择。按照个体在当前种群中的适应度FitV为繁殖概率性选择个体。④交叉算子。使用离散重组方式进行交叉。此方式完成当前种群OldChrom中一对个体的离散重组，在后返回新的种群NewChrom。⑤变异算子。使用实值种群变异的方式。对实值种群OldChrom，使用给定的概率，变异每一个变量，返异后的种群。

2.2.2 最速下降算子嵌入MATLAB主程序①最速下降算子的具体运行思路。首先按照前期给出的概率对每个个体进行判断是否需要进行最速下降搜索，如果需要，则计算该个体对应的适应度函数的梯度以及最速下降方向，继而确定搜索步长所需要的区间界限，然后根据Wolfe准则搜索出每个个体对应的步长，从而找到了此个体最速下降的下一代，即确定了新的参数值；而对于不需要进行最速下降搜索的，则将原个体直接复制到新的种群中。②在主程序中加入一个最速下降算子的基本思路。在进入遗传迭代之后，每进行10代迭代，都要在选择、交叉、变异等遗传算法标准算子之后，进行一次最速下降操作，用搜索之后的新种群取代原先种群，也可以视为一种定向的变异。

3运行结果及分析

根据前述方式进行分峰拟合，分别对带肩双Lorentz峰、带肩三Lorentz峰及融合双Lorentz峰等情况进行遗传算法搜索。

3.1 相对误差情况带肩双Lorentz峰的峰强相对误差控制在1.02%以内，峰位相对误差控制在0.0172%以内，半高半峰宽相对误差控制在0.268%以内。

带肩三高斯峰的峰强相对误差控制在0.54%以内，峰位相对误差控制在0.00383%以内，半高半峰宽相对误差控制在0.230%以内。

3.2 收敛情况标准遗传算法的最佳解收敛很快，但是其值并不很好，且平均适应度不稳定；而采用混合遗传算法后，收敛也很快，而且收敛的结果比标准遗传算法的结果要好，最佳解和平均适应度都很稳定。

3.3 融合双Lorentz峰情况对于严重重叠的融合峰，直接使用混合遗传算法并不能获得良好解。这就需要在运算之前通过导数法及互相关函数进行预判，并缩小解集合的范围，之后再进行混合遗传算法运算，结果良好。

参考文献：

[1]周明，孙树栋.遗传算法原理及其应用.国防工业出版社，1999：4~11.

[2]周向东，李通化，边防，钱君津.高等化学学报，2000，21：216~218.

篇5

关键词效用理论；多项Logit模型；最大收益；配送时间

中图分类号 F224.7 文献标识码A

doi:10.3969/j.issn.1003-6970.2011.01.007

On the Real Diagnosis Analysis of Best Allocation Time for Internet Order Based on Many Items of Logit Model

ZHU Jia-rong

Guangxi National Teacher’s College,Department of Mathematics & Computer Science,P. R.China Guangxi Province, ChongZuo 532200

【Abstract 】 With the unceasing popularization and the rapid development of the Internet, shopping on the internet has become people’s one of daily expense fundamental modes, as a result, the number of sellers provide the internet shopping service is increasing day by day. However, the commodity price and the quality service are very different from one seller to another, because of this; the commodity price, the length of the order allocation time etc. are the key factors that decide whether a deal between the sellers and customers. Based on the standpoint of the sellers ,the customer s’ satisfaction for the price and service of the commodity and taking the sellers’ expectation for maximum profit as the goal ,this thesis establishes a mathematical model - - many items of Logit model to determine the best the allocation time for the customer s’ orders.

【Key words】theory of efficiency; many items of Logit model; maximum profit; the allocation time

0引言

近年来随着网络的普及和快速发展，网上订货、购物等电子商务已逐渐进入人们的日常生活，提供网上购物服务的商家网站也日益增多，如淘宝网、当当网、拍拍网、卓越网、易趣网等都是比较有名气的网上购物网站.顾客可以在网上订购他们需要的商品，一旦顾客选定订货的商家，商家一般都会按顾客指定的送货地址直接配送商品，这种方便、快捷的上门直接配送模式，越来越受到顾客的青睐.北京正望咨询有限公司最新的调查结果显示，2009年我国网上购物持续高速发展，有1.3亿消费者共计在网上购买了2670亿元的商品，比2008年实现了90.7%的增长。预计2010年我国网络购物市场规模将达到4900亿元，到2012年我国网络购物市场规模将超过10000亿元。网络购物正成为越来越多消费者的选择，网络渠道的价值也被越来越多的商家所认知.但由于提供顾客选择的商家众多，不同商家所提供的商品种类、价格、服务质量不尽相同，因此，对商家而言，除了需要考虑品种、价格因素外，如何为顾客提供更方便、更快捷的服务，缩短订单配送时间也是吸引顾客的重要因素.

从数学的角度来分析，从顾客下订单到配送入户的实际时间是随机的，所以若买卖双方合约中规定的顾客订单指定的配

送时间越短，虽然吸引顾客购买该商家商品的可能性会增加，但是商家违约的可能性也会越大.因此，商家一方面希望从顾客下订单到配送入户的时间周期能尽可能短，以便吸引更多的客源；另一方面，一旦商家所承诺的配送周期定得太短，商家又会有不能按时将商品配送到顾客手中的风险，从而在市场上产生不良影响，并导致失去顾客和需支付一定违约金.

现在市场上有三个商家提供顾客所需要购买的某种商品，而在影响顾客选择购买商家的可衡量指标中，其中一个就是商家的顾客订单指定的配送时间.考虑某一指定的商家，除了顾客对该商家的订单指定的配送时间以外，它从每个购买其商品的顾客中所获得的平均毛利，从顾客下订单到配送入户的实际时间所服从的概率分布，配送发生延误时单位时间商家需支付顾客的延误罚金，以及顾客购买各个商家的商品时各可衡量指标及其效用参数都是已知的，在这情况下，为该商家确定最佳的顾客订单指定的配送时间.

1解决思路

针对上面所提出的问题我们可以分两步解决.第一步，从顾客对各商家的可衡量指标的满意程度以及个人偏好出发，来选择要购买商品的商家，实际上是确定顾客购买某商家商品的概率.这是一个决策问题，由经济学的知识知道，顾客在不确定场合下作出决策往往基于某些偏好，一般要通过效用理论来进行分析.这里所谓的效用，不仅在于具有满足消费者某种欲望或者需求的客观物质属性，而且效用的有无与大小，还取决于消费者的主观感受和消费者从购买该商品所受到的满足.因此作为一个理性消费者，一般都会从使其获得最大效用的商家处购买所需的商品【1】.基于这样的经济学原理，我们可以选用多项Logit模型作为顾客选择商家的数学模型，并由这个模型计算顾客购买某商家的概率.

第二步，以商家收益的最大为目标建立优化模型，建模的关键在于分析顾客订单指定的配送时间、顾客购买某商家商品的概率，与商家从每个购买其商品的顾客中获得的收益之间的关系，提出合理、简化的假设，确定目标函数.对于从顾客下订单到配送入户的实际时间这个随机变量，可以在实际调查和先验知识的基础上，假定这个随机变量的概率分布，从而以商家的期望收益最大为目标，来确定最佳的顾客订单指定的配送时间.

2 模型的建立与求解

2.1顾客选择商家的数学模型

在多元线性回归分析中，一般都是要求响应变量的样本观测值必须是连续的，且与随机误差同分布.但在许多实际问题特别是决策问题中，由于受到条件的限制或决策的需要，响应变量的样本观测值或决策结果往往是离散的.这时用多元线性回归分析就难以直接建立合适的数学模型，需要其它模型取而代之，其中多项Logit模型（译作“评定模型”，“分类评定模型”，也译作“逻辑回归模型”）就是离散选择理论中常见的一种应用模型，属于多重变量分析范畴，是社会学、生物统计学、市场营销等统计实证分析的常用方法，它可以为一个理性消费者在提供众多备选方案中选择一个最佳方案.【2】 多项Logit模型的理论框架来源于经济学中的随机效用理论，即以效用函数为出发点，认为消费者在理性的经济选择行为下，会选择带给他效用最大化的方案 （在我们的模型中就是商家 ）作为选择方案.在这里，顾客的效用既可以来自顾客对商家所提供的商品的价格的满意度，也可以来自顾客对商家所提供购物服务的满意度和个人的特定偏好等.出于对上面提出的问题的需要，我们应该把商家的顾客订单指定的配送时间作为刻画顾客选择商家的指标之一.

由于顾客在选择商家时，需要同时考虑许多复杂的因素，其中的不确定性甚高.因此，顾客选择商家时，商家的商品对顾客所产生的效用 一般可以用如下的数学式子表示：

, (1)

其中 为总效用 的系统项，它是可衡量效用，反映的是商家与顾客的所有可观测的属性；而 为总效用 的误差项，是随机效用，代表了顾客的特殊的偏好和无法被观察的效用.为方便起见，我们假设 服从位置参数为0、刻度参数为 的Gumbel极值分布，且 对j是相互独立的[3]，于是 的概率密度函数和分布函数分别为

(2)

由于顾客总是选择带给他效用最大的商家作为其选择方案，故顾客选择商家j的概率为

(3)

由于 （ 相互独立且其分布由（2）式给出，因此

（4）

这里 和 分别是标准Gumbel分布的概率密度函数和分布函数，即

(5)

可以验证，

若假设 即 独立同分布，且服从标准Gumbel分布，则由（4）得出

(6)

这里的（6）式就是在经济学中经常所说的离散选择下的多项Logit模型.为了将上述模型更好地应用到我们的问题，可以假设可衡量效用 对可衡量指标是线性的，即

（7）

这里 表示顾客对商家 的商品的固定偏好，向量 表示所有 个会对顾客的购买产生效用且与商家 的商品相关的可衡量指标，可理解为可衡量效用 的解析变量，向量 为度量指标所产生效应的参数向量.由于市场中商家的顾客订单指定的配送时间（记为 ）是顾客购买商品的一个重要的效应因子，也是模型中的决策变量，为方便起见，我们记可衡量效用因子向量 中的第一个分量 为由 所产生的购买效用，它是一个负效用，故可以设 ，其相应的参数 记为 ，此时 可理解为顾客对商家的订单指定的配送时间所产生效应的响应系数（不妨设 对市场中所有商家都是一样）.于是（7）就可以写为

(8)

若商家 是顾客最终选择的商家，其订单指定的配送时间 是问题的决策变量，为了叙述的方便，我们把 直接记为 .由式（6），（8），可以得到顾客选择商家的商品的概率为

(9)

若记

（10）

则（9）式就可简写为

（11）

由于，

所以顾客购买商家商品的概率是关于其订单指定的配送时间单调递减的.

2.2优化模型目标函数的确定

根据问题的需要，除了上面已经使用的记号和变量外，还需引入以下符号和假定：

～商家 从顾客下订单到配送入户的实际时间，假设为连续型随机变量，其概率密度函数和分布函数分别为 和 ，且数学期望为 .

～商家 配送的延误时间，即 .

～配送延误时商家 需支付顾客的单位时间罚金.

～商家 从每个购买其商品的顾客中所获得的平均毛利.

记 为商家 为每个购买其商品的顾客中所获得的纯收益，则

.

由 概率密度函数 可得 的数学期望为

（12）

上面我们已经得到了顾客选择购买商家 的商品的概率为 ，于是商家从每个顾客获得的期望收益应为

（13）

上式即为问题的目标函数.

2.3模型的求解

为了叙述简单起见，我们将（10）的 代入（13），并略去式中 ， 和 的下标 ，得到模型目标函数为(14)

求顾客订单指定的最佳配送时间 ，使 最大.对（14）的 求导，得到

(15)

其中 .令 ，得到(16)

将上式的左边记为函数 ，则 关于 的导数

(17)

即 关于 为单调递减，

且（18）

根据微积分的知识，可以得到以下两个结论：

（1）若 ，则存在由（16）唯一确定的 使得 .将（16）代入（14）得到商家从每个顾客处获得的最大期望收益为

（19）

（2）若，则，于是时，由（14）直接得到商家从每个顾客处获得的最大期望收益为

（20）

3 实证分析

为了更好地说明所建立的模型在实际中的可应用性，我们将通过具体的数值例子对给出的模型及计算结果作简要分析讨论。

首先，根据经验假设商家从顾客下订单到配送入户的实际时间 服从位置参数为 ，刻度参数为 的指数分布，即 的概率密度函数为

（21）

其中参数 ， 均大于0.显然，从顾客下订单到配送入户的实际时间的数学期望为

设 ，将（21）代入（14）计算，得到商家从每个顾客处获得的期望收益 为

（22）

由于

可知 关于 是严格单调递减的，但当 时， 关于 是单调递增的，而后者在实际情况中是可以实现的【4】.

按照3.1建立的模型，进一步假设目前市场上由3个商家（ ）提供顾客所需要购买的商品，顾客最终选择的商家为 ，影响顾客选择购买商家的可衡量指标数也是3个 ，其中 的指标就设为商家的顾客订单指定的配送时间.除了顾客对商家 的订单指定的配送时间所产生的效用未知外，顾客对购买各商家商品的其他效用由以下的数据来给出：

（1）顾客对商家 的产品的固定偏好为 ；

（2）顾客在购买商家 商品时，3个影响顾客选择购买商家 （ ）的可衡量指标所产生效用分别是 和 ，其对应的参数向量为 ；

（3）商家 的下订单到配送入户的实际时间 分布的位置参数 ；

（4）商家 对顾客购买其商品订单指定的配送时间延误时需支付顾客的单位时间罚金 ；

（5）商家 从每个购买其商品的顾客中所获得的平均毛利为 .

将以上数值代入（10），得到 ，

故根据式（11），顾客选择商家 购买商品的概率为

（23）

而由（22），商家从每个顾客处获得的期望收益（即目标函数）为

（24）

由于该商家从顾客下订单到配送入户的实际时间的期望为 ，因此，由上面从微积分知识推出的结论得，当 时，存在唯一的 满足

（25）

使得 .这时该商家从每个顾客处获得的最大期望收益为（26）

这样，我们在用模型（14）求解决策变量――顾客订单指定的配送时间以及相应的目标函数――商家从每个顾客处获得的期望收益时，还有2个未知量:顾客对商家的订单指定的配送时间所产生效应的响应系数 和商家从顾客下单到配送入户的实际时间所服从的指数分布的刻度参数 .因此我们就把 看做两个可变参数，在他们允许变化的范围内取值后代入式（25）就可以求出商家从每个顾客处获得最大期望收益时对应的配送时间 ，再将所求出的配送时间 及2个可变参数 的值代入（26）即可求出商家从每个顾客处获得的最大收益 .例如我们取（ 的值分别对应如下5组值：（1.00，0.30），（1.00，0.60），（1.00，1.00）；（2.00，1.00），（3.00，1.00），按上面的具体求法通过计算机运行数学工具软件就可以求出他们对应（ , ）的值分别是（5.90，0.71），（2.83，16.28），（2.01，27.11），（1.79，31.65），（1.71，37.11）.从所得的结果不难看出 的取值变化对 , 的值影响是比较显著的，特别地参数 越大， 就越小，而 越大.

4结论及建议

本文基于多项Logit模型下给出这个模型为商家确定最佳的顾客订单指定的配送时间提供了一个有效的方法.众所周知，顾客订单指定的配送时间越短，顾客购买该商家的商品的可能性就越大，但此时商家违约的可能性也越大.模型在假设顾客的购买概率由多项Logit模型给出的前提下，通过极大化商家的期望利润，可以得到最佳配送时间存在的条件，并求得这一最佳值.

由于在我们的模型中，假设了顾客商品的概率是由多项Logit模型给出的，而以多项Logit模型进行实际分析时，可能会产生无法观测的效用函数误差、效用函数型态及解释变量的指定问题.因此，作为改进的想法，可以考虑更进一步的模型，如巢式Logit模型，这样更能符合顾客选择行为的真正意向.但在使用巢式Logit模型时，需要处理好巢层数的给定等问题【5】.如果假设商家在顾客订单指定的配送时间之前已经将顾客订购的商品配送入户，还能获得额外的利润的话，那么，这种情形下的最佳配送时间应该如何确定呢？ 这也是一个值得考虑的问题.

参考文献

[1]龙 迪．效用理论回顾[J]．科技信息（科学教研），2007（36）．

[2]王济川，郭志刚．Logistic 回归模型――方法与应用[M]．北京：高等教育出版社，2001．

[3] 德格鲁特，舍维什（美国）．概率统计[M]．第3版．叶中行，王蓉华，徐晓岭等译．北京：人民邮电出版社，2007．

[4] 官振中，史本山．基于顾客选择模型易逝性产品收益管理订购和定价策略[J]．系统工程理论与实践，2007（09）．

[5]王济川，谢海义，姜宝法．多层统计分析模型――方法与应用[M]．北京：高等教育出版社，2008．

篇6

关键词 非比例再保险定价；倒向随机微分方程；It微分公式；时间序列预测；ARIMA模型

中图分类号 F842.6；O29 文献标识码 A

The Predictive Pricing Research of Reinsurance of China Based on Investment

ZHENG Lu-jie

(Renmin University of China School of Information,Beijing 100872)

Abstract Combining the payment of insurance companies and investment income, this paper builds an improved model on the linear forward-backward stochastic differential equations in the context of investment with a class of weak conditions based on non-proportional reinsurance. According to the explicit solution of a special class of linear backward stochastic differential equations, and taking into account time series forecasting methods, this paper gives the insurance pricing formula based on investment and provides a new feasible method of the non-proportional reinsurance pricing for insurance companies.

Key words non-proportional reinsurance pricing; backward stochastic differential equations; ；It differential formula; the prediction of time series; the model of ARIMA

1 引 言

随着市场快速发展以及后金融危机对中国的潜在影响，人们对于风险的规避需求愈来愈强烈，我国保险业得到了长足的发展.在国外，保险资金的风险投资理论相当成熟［1,2］，在实际操作中也有深入的应用［3］.作为新兴市场经济体国家，我国保险市场发展速度非常迅速，到2009年末保险业总资产额高达40 634.75亿元，而2005年末保险也总资本额仅为15 298.69亿元，同比增长165.6%，2009年末全国保费收入更是突破万亿，11 137亿元，这在2005年末仅为4 930亿元，同比增长125.9%［4］.无论按照国际保险业偿付能力标准还是我国保险法规定的风险承受能力比例，基于我国再保险业薄弱的基础［5,6］，不难发现保险业整体偿付能力有很大的风险.

再保险也称分保，是针对保险人所承担的危险赔偿责任的保险，也就是对原保险的再次保险，以保证自身业务的稳定性［7］.所以再保险的主要功能就是风险分散.非比例再保险是再保险的一种，以赔款为基础来确定再保险当事人双方的责任的分保方式.相对与传统的比例分保，非比例再保险不仅能解决因数量多、保额小、责任积累和赔款多带来的风险问题，而且简化了分保手续.同时比例分保无法彻底分散巨灾风险，非比例再保险则在易于发生风险积累和巨灾风险的保险业务中逐渐占据重要地位.最近几年我国自然灾害和意外事故频发，巨灾风险存在和蔓延导致的偿付压力挑战我国再保险机制［8］.而且再保险周期性波动的价格使得再保险人只能在不同的时期采用不同的定价策略，以维持稳定的业绩.这就需要高超的定价技术和不断改进的财务安排.

本文是以非比例再保险定价为切入点展开.保险定价是保险工作的核心.传统的再保险定价往往重与公司经营风险的赔付情况而未注意到它的投资收益情况［9］, 因此按此方法厘订的保险费往往不能反映公司的自身的实际情况.所以，研究如何优化再保险公司利用再保险费收取与保险赔偿之间的时滞对收取的该再保险费的风险投资是一个值得深入研究的领域.

倒向随机微分方程（BSDE）已比较成熟的应用于期权定价和证券组合当中，成为很好的风险投资工具［10］.目前，BSDE在保险定价方面的应用逐渐受到重视，由于倒向随机微分方程是在给定了随机终值的情况下, 来确定现在应作的投资, 非常类似于期权价格的制定. 因此, 可借助于倒向随机微分方程对再保险进行定价，这对保险公司提高在市场上的竞争力大有益处.

本文旨在从系统的观点［11］出发，把保险公司的赔付情况与投资收益结合，对非比例再保险建立在一定条件的投资背景下的线性正倒向随机微分方程.根据一类特殊线性BSDE的显式解，引入时间序列预测，给出了基于投资的比例分保定价公式，为再保险公司厘定非比例再保险的保费提供新的可行性方法.

2 预备知识

设(Ω，F，P）是一概率空间，w(t),t≥0是概率空间(Ω，F，P）上的d－维Wiener过程；Ft=σ［w(s),s≤t］是由Wiener过程w(t),t≥0产生的σ域族{Ft}，任一个σ域Ft都是完备化的.如果对任一个t∈［0,∞),x(t)是关于Ft可测的随机变量，那么称随机过程x(t)=x(w,t)为Ft－适应的.若E∫T0|x(t)|2dt＜∞,其中|x(t)|=(∑ni=1|xi(t)|2)12表示Euchlid范数，则称

x(t)=x(w,t)为平方可积随机过程.Ft－适应的平方可积随机过程全体记为M(0,T,Rn).

引理1 （It公式微分形式）［12］

假设dxi(t)=bi(t)dt+σi(t)dwi(t) （i=1,2,…,m)，函数G(x1,…,xm,t)以及它对t的一阶导数、对x的二阶导数关于(x,t)连续，这里

x=(x1,…xm)∈Rm,t≥0,wi(t)(i=1,2,…,m)是相互独立的Wiener过程.那么函数G(x1,…,xm,t)满足下随机微分方程（SDE）

dG(x(t),t)=［Gt(x(t),t)+∑mi=1Gxi(x(t),t)bi(t)

+12∑mi,j=1Gxixj(x(t),t)σi(t)σj(t)］dt

+∑mi=1Gxi(x(t),t)σi(t)dwi(t),（1）

其中G的下标表示对相应变量的偏导数.

考虑BSDE

－dy(t)=g(t,y(t),z(t))dt－z(t)dw(t),y(T)=ξ.（2）

其中(y(t),z(t))分别是取值Rm和Rm×d平方可积的适应过程，即

(y(t),z(t))∈M(0,T,Rm×Rm×d)，0≤t≤T

引理2

假设

g(t,y(t),z(t))=f(t)+a(t)y(t)+b(t)z(t)，其中f(t),a(t)∈M(0,T,R)，

b(t)∈M(0,T,Rd)，且a(t),b(t)均有界.再假设x(s)是如下It公式的解

dx(S)=x(s)［a(s)ds+a(s)dw(s), s∈［t,T］

x(t)=1,（3）

则对任何ξ∈L2(Ω,P,FT,R)，下面的BSDE

－dy(t)=［a(t)y(t)+b(t)z(t)+f(t)］dt

－z(t)dw(t),y(T)=ξ（4）

有唯一解，且解的形式为［14-15］

y(t)=E［(ξx(T)+∫Ttf(s)x(s)ds|Ft］.（5）

3 非比例再保险定价模型

邓志民、张润楚［16］在这方面进行了一定的深入研究，但是也存在很大的改进空间：1）非比例保险定价中期末t=T时索赔率与自留额度的计算基本上通过求过去平均值得到，有一定的合理性，但是定价仅依赖于单一的求往期平均值的方法使得定价风险很大.在时间序列预测日趋成熟的条件下数据采集可以得到改进.2)关于对非比例再保险索赔率的定性问题，索赔率不再看作是一随机变量.从随机变量的严格定义［17］出发，把索赔率作为随机变量等于期末t=T时的非函数值是不合适的.而且在实际情况下是无法找出对应精确的密度函数与具体情形匹配，用历史数据来求其相应的数学期望是非常明显的错误，在此基础上对非比例再保险定价公式的推导也必然会出现偏差.鉴于此种情形，引入时间序列预测是完全有必要的，因为非比例再保险价格在一定程度上是保费的投资收益对未来风险的一种补偿差.通过对历史数据（即一列时间序列）的预测求出未来的索赔率，进而导出非比例再保险定价公式.对历史数据的收集，主要针对要定价的保险产品的期限而定，如产品期限是一年，搜集对应保险产品的每年索赔率即可.（3）到目前几乎所有的相关研究给出的算例假设条件过于苛刻，无法说明并解决实际问题，下面将基于一般性模型基础上推导出新的结论，给出具有可操作性的定价模型实证分析.

考虑在风险投资下的非比例再保险定价数学模型.基本思路为：

1）假设金融市场有且仅有两类资产，即无风险资产和风险资产.不考虑交易费用，税收和红利，有方程：

dx0(t)=r0x0(t)dtdx1(t)=r1x1(t)dt+σx1(t)dw(t).（6）

x0(t)，x1(t)分别表示无风险资产和风险资产价格，r0，r1分别表示无风险资产收益率和风险资产预期收益率，σ表示风险资产波动率，σw(t)表示在时刻t风险投资回报中不确定的部分.

2）设原保人承保期限为T、索赔率为ξ、投保者的保险额为Q的保险.注意，这里它不是随机变量.在非比例再保险合同下，原保险产品的价格为P，再保险价格为P1，原保险人承担自留额度为m的风险min (ξ,m)，再保险人承担剩余的风险max (0,ξ－m).在期初t=0时刻，出经营费用和再保险保费外，公司剩余资金为［(1－h)P－P1］Q，在期末,公司面临损失为y(T)=min (mQ,ξQ).为了弥补这些损失，公司必须将期初的剩余资金投资于风险市场，以最大限度转移风险，确保正常的经营.

3）在t=0时刻，(1－h)P－P1投资于风险市场，总资产额将随时间变化而变化，记作y(t)，则有y(0)=(1－h)P－P1.设公司在t时刻总资产额y(t)分为两部分：一部分y(t)π(t)投资于有风险资产，另一部分y(t)［1－π(t)］投资于无风险资产，其中π(t)∈［0,1］表示t时刻投资于风险资产上的比例.在不考虑交易费用、税收和红利的情况下，由前面的It微分公式，可根据如题假设将其代入式（6），得总资产额y(t)满足微分方程：

dy(t)=［r0+(r1－r2)π(t)］y(t)dt

+σπ(t)y(t)dw(t),y(0)=［(1－h)P－P1］Q.（7）

令z(t)=σπ(t)y(t), r=r1－r0，则式（7）变成

dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt

+z(t)dw(t)，y(0)=［(1－h)P－P1］Q.

当P1变化时，相同投资方式下y(T)也随之变化从而在期末有y(T)=min (mQ,ξQ)

综上所述可得新的非比例再保险定价的正倒向随机微分方程：

dx(t)=x(t)［r1dt+σdw(t)］,dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt+z(t)dw(t).

x(0)=［(1－h)P－P1］Qπ(0),

y(T)=min (mQ,ξQ).（8）

在总资产额y(t)满足方程(8)的基础上，推导非比例再保险的价格P，它还要满足y(0)=［(1－h)P－P1］Q.

4 非比例再保险定价公式的推导

与原保险一样，同样假设保险公司是风险中性的，在上述保单规定下，若其资产所满足的倒向随机微分方程为

dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt+z(t)dw(t),y(T)=min (mQ,ξQ), ξ∈(0,1］,（9）

其中w(t),t≥0是标准Wiener过程，r0,r,σ＞0如前所述.则非比例再保险定价公式为：

P1=(1－h)P－min (m,ξ)exp (－r0T).

证明 假设x(s)是如下随机微分方程的解：

dx(s)=x(s)［－r0ds－rσdw(s)］,

s∈［t,T］x(t)=1

由引理2，从式（8）中可以看出a(t)=－r0,b(t)=－rσ,f(t)=0.所以由式（9）有

y(t)=E［min (mQ,ξQ)x(T)|Ft］,

可以看出当t=0时，

y(0)=min (m,ξ)QE［x(T)］.（10）

在这里ξ和Q一样被看作是常量，且

y(0)=［(1－h)P－P1］Q,（11）

所以，式(10)与式（11）联立有：

P1=(1－h)P－min (m,ξ)E［x(T)］.

接下来只需证明E(x(T)］=exp (－r0T)即可，具体推导可参见参考文献［18］.

5 预测估计

时间序列是指一个依照时间顺序组成的观察数据的集合.进行时间序列预测分析［19］需要大量的历史数据，而我国再保险业的发展与国外比较还是非常短的.为了能保证数据量，仅对期限为一年的产品进行分析预测.本文先后采用了指数平滑模型和ARIMA模型进行对ξ时间序列的分析和预测.在这里说明一下，整体看来ξ先作为估计量通过时间序列预测获取相应的值，在此基础上在前面的理论推导当中ξ作为常量，直接得出非比例再保险的定价公式.

指数平滑法用序列过去值加权均属来预测将来值，并且给序列中近期的数据以较大的权重，远期数据给以较小的权重.该方法的主要优点之一是比较直观，另外还有一个重要的优点是在时刻t，只需要知道实际数值和本期预测值就可以预测下一个时间的数值，即t+1=αzt+(1－α)t，其中α为平滑参数.但是，指数平滑法也存在问题：它适用于随时间消逝呈水平发展的序列.ARIMA模型是一族自回归滑动平均时间序列模型模型，ARMA模型有分为AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q).一般的建模分四步：1)序列的平稳化处理；2)模型识别,主要通过读ACF,PACF图形把握模型的大致方向，为目标定阶；3)参数估计和诊断，主要是讨论模型的拟合优度统计量和残差分析结果；4)预测部分，得到最终的预测结果［20］.

6 实证分析

目前，大部分相关研究给出的例子假设条件太强，没有贴合实际的实例分析，不利于相关理论的深入展开和应用.由于保险公司的相关数据作为商业机密不对外公开，所以下面尽可能采用相关数据，进行实证分析.

根据证券公司的“重点关注的无风险金融产品”的数据，取国债收益率1997~2003年的平均值为无风险收益率，取r0=3.1%.T=1，h=10%，赔款额自留M为200万元.某保险公司的保险产品历年赔款额和保险金额的数据见表1［21］：

先对索赔率源数据进行分析并生成序列图进行观察.从图1可以看出：1)有线性趋势.2)时间段较短，曲线平稳趋势还不是很清晰.以上结果显然不满足序列平稳的条件，所以要把不平稳的时间序列转换成平稳的时间序列，去除趋势，对其分别进行差分处理和加入自然对数转换处理，由统计软件显示加入自然对数后从波动范围（坐标尺度）和平稳度上是优良的.

年份/年图1 索赔率源数据的序列图

那么根据上面分析，先对索赔率ξ源数据列采用指数平滑模型进行时间序列预测，由软件运行结果显示最优预测值为ξ=4.06‰.但显著性Sig＞0.5数据显示拟合效果不理想，下面采用ARIMA模型.

用统计软件生成如下关于索赔率ξ源数据列的自相关系数图，由于前面对原始数据进行了平稳化，所以在求相关系数是已加入自然对数转换，从图2可以看出时间序列的自相关函数（ACF）图在延迟数=2时呈递减.图3中偏自相关函数（PACF）在p=0时就在上下限之内小幅波动递减，这是平稳序列的特点.由于数据序列较短，谈论不同模型下的拟合优度统计量的普遍偏大，经多次反复尝试后， ARIMA模型取值P=2，d=0,p=0时的Akike准则下和Schwarz下的贝叶斯准则相对最小.

图2 自相关图

又由于没有季节性，所以该模型的最后参数确定后为ARIMA(2,0,0)，确定模型后运算得出的结果4.11%，并生成拟合预测图进行观察,在该模型下，ξ最佳预测值为4.11‰.

图3 偏自相关图

软件生成的非线性拟图显示用该模型进行预测拟合效果非常好.进一步残差检验，从图4可以看出残差处于正常波动范围，满足ARIMA模型要的白噪声条件，又有前面的相关系数分析，说明预测估计取得了较佳的结果.根据上述预测结果推断，第8年该保险的索赔率呈下降趋势.

图4

根据原保险定价公式［22］给出原保险价格，计算得:P=4.98‰.同样对第8年的保险金额按上述预测方法进行预测，使用最优模型为ARIMA(2,1,0)，最佳预测值为103 756万元，则m=1.93‰.所以min(m,ξ)=1.93‰，由本文推导的非比例再保险有：P1=2.94‰

以上价格数据是基于卖方最优原则进行的再保险定价，为保险公司提供理论上的非比例再保险价格，决策者可在此基础上根据宏观经济形势、买方市场需求和相关市场条件等外在因素进行综合定价.

7 结 论

从实证分析得出的预测数据表明该套算法具有理论支持和较强的操作性，本文给出了新的定价理论推导，严格验证了通过时间序列预测的不同方法和模型更好地服务于再保险定价当中，而不必过于处理索赔率作为随机变量的分布密度函数问题而陷于复杂设计情形，这也体现了效率最优原则.

另外我国保险业发展时间较短，测算需要的各种基础数据的时间序列较短，加之保险数据的搜集困难和整理不完整，符合测算要求的时间序列的基础数据容易出现偏差，直接增大了保险定价的风险［23］.所以保险公司应加大对保险精算的投资，建立专门的人才研发队伍，加强数据的搜集和整理的完善，对不同情况下的保险定价问题进一步深入研究是当务之急.本文从新的角度出发，不强制要求索赔率服从某一特殊分布，给出较弱的市场假设条件尽可能符合实际情形，给出进行风险投资的一般的非比例再保险定价公式模型，并提出一种结合了时间序列预测与倒向随机微分方程的新的定价方法，同时通过实证分析论证该定价方法可行性，仅供行业内参考.参考文献

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