零点分段讨论法范文

导语：如何才能写好一篇零点分段讨论法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

1. 零点分段讨论法

例1 解不等式[|x－1|＋|2－x|＞3－x]．

分析 由于实数1、2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，+∞)三部分，故分三个区间来讨论．

解 （1）当[x1]时，

原不等式可化为[－(x－1)－][(x－2)＞x＋3]，

即[x＜0]．

故不等式的解集是[{x|x＜0}.]

（2）当[1＜x2]时，

原不等式可化为[(x－1)－(x－][2)＞x＋3]，

即[x＜－2]．

故不等式的解集是[∅]．

（3）当[x＞2]时，

原不等式可化为[(x－1)＋(x－2)]>[x＋3]，

即[x＞6]．

故不等式的解集是[{x|x＞6}]．

综上可知，原不等式的解集是[{x|x＜0或x＞6}]．

点拨 对于含有两个或两个以上绝对值的不等式的求解问题，通常采用零点分段讨论法. 零点分段一般分为三步：（1）找到使多个绝对值等于零的点；（2）分区间讨论，去掉绝对值而解不等式，一般地，[n]个零点把数轴分为[n＋1]段进行讨论；（3）先分段求得解集，再求它们的并集．

2. 利用绝对值的几何意义

例2 不等式[|x-5|+|x+3|10]的解集为（ ）

A. [-5.7] B. [(-∞,-5]⋃[7,+∞)]

C. [-4,6] D. [(-∞,-4]⋃[6,+∞)]

解析 利用绝对值的几何意义.

[x-5+x+3]表示实数轴上的点[x]到点[x=-3]与[x=5]的距离之和，

[]要使点[x]到点[x=-3]与[x=5]的距离之和等于10，只需[x=-4]或[x=6].

于是当[x6]或[x-4]时，

可使[x-5+x+310]成立.

答案 D

例3 画出不等式[x+y1]的图形，并指出其解的范围.

解析 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况.在第一象限内不等式等价于：[x0]，[y0]，[x+y1]. 其图形是由第一象限中直线[y=1-x]下方的点所组成.

同理，可画出第二、三、四象限的情况.从而得到不等式[x+y1]的图形是以原点[O]为中心，四个顶点分别在坐标轴上的正方形，如下图. 这样，不等式解的范围就一目了然.

[1][1][-1][-1]

点拨 利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案.关键是在遇到相关问题时，能否准确地画出不等式的图形，从而有效地解决问题.

3. 构造函数法

例4 求使不等式[|x-4|+|x-3|

分析 本题对条件进行转化，变为函数最值问题，从而简化讨论.

解 设[f(x)=|x-4|+|x-3|],

要使[f(x)

则[a]应该大于[f(x)]的最小值.

由三角不等式得，

[f(x)=|x-4|+|x-3||(x-4)-(x-3)|=1,]

所以[f(x)]的最小值为1.

[a>1].

例5 求证[a+b1+a+ba1+a+b1+b.]

分析 利用函数的单调性.

证明 研究函数[fx=x1+x]在[x0]时的单调性. 设[0x1

[x11+x1-x21+x2=x1-x2(1+x1)(1+x2)

[fx=x1+x]在[x0]时是递增的.

又 [a+ba+b,]将[a+b]、[a+b]分别当作 [x1]和 [x2]，则有[a+b1+a+ba+b1+a+b][=a1+a+b][+b1+a+ba1+a+b1+b].

点拨 对某些分式不等式中出现了绝对值又不方便去掉的情况，我们所采用的方法是通过分析不等号左右两边各式的相似之处，将相似的量当作是所构造的两个取值点，然后利用函数的单调性来证明.

4. 分析法

例6 [若f(x)=1+x2,且a、b]为互异实数，求证：[f(a)-f(b)

分析 用综合法不易入手时，可从结论加以分析，逐步寻找使前一个不等式成立的充分条件或充要条件.

证明 方法1：欲证[f(a)-f(b)

只需证[a2+1-b2+1

[只需证1+a2+1+b2-2a2+1b2+1]

[

[即证a2+1b2+1>1+ab].

（1）[当1+ab

（2）[当1+ab0时,]

[只需证1+a2+b2+a2b2>1+2ab+a2b2]，

[即证a2+b2>2ab,而此式显然成立,]

[原不等式成立.]

方法2：[欲证f(a)-f(b)

[只需证a2+1-b2+1

[只需证1+a2+1+b2-2a2+1b2+1]

[

[即证a2+1b2+1>1+ab.]

[(a2+1)(b2+1)=1+a2+b2+a2b2]

[1+2ab+a2b2=1+ab21+ab].

[a≠b, (a2+1)(b2+1)>1+ab.]

[原不等式成立.]

点拨 本题考查用分析法证明不等式. 因为每一个不等式都是前一个不等式成立的充分条件或充要条件，因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头“⇐”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充分条件）连结；或用双向箭头“⇔”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充要条件）连结；也可以用“需证”“即证”等语句连结.

5. 平方法

例7 解不等式[x+3-x-3>3.]

分析 不等式两边均为非负数，故可以利用“平方法”.

解 不等式两边都是非负数，

将不等式两边分别平方得，

[x+32+x-32-2x2-9>9,]

整理得，[2x2+9>2x2-9.]

此不等式两边都是非负数，

两边分别平方得，[2x2+92>4x2-92,]

整理得，[x2>94.]

原不等式的解集为[xx>32或x

点拨 在利用“平方法”去绝对值符号时，必须注意“不等式两边都是非负数”这个条件.

6. 等价转化法

例8 解不等式（1）[|x+2|+|x-2|

（2）[|x2-4|+|x+3|>5].

解析 （1）原不等式等价于，[|(x+2)+(x-2)|

即[|x|

所以原不等式的解集是[{x|-6

（2）原不等式等价于，[|(x2-4)+(x+3)|>5]或[|(x2-4)-(x+3)|>5,]

即[|x2+x-1|>5]或[|x2-x-7|>5],

解得，[x

所以原不等式的解集是[{x|x

点拨 形如[|f(x)|+|g(x)|][|h(x)|]型不等式的简洁解法是利用等价命题来转化，即：①[h(x)>0, |f(x)|+|g(x)|

[h(x)>0|f(x)+g(x)|

②[h(x)>0, |f(x)|+|g(x)|>|h(x)|⇔]

[|f(x)+g(x)|>|h(x)|]或[|f(x)-g(x)|>|h(x)|,]

此类题目若用零点分段法来解答，则显得繁杂.

1. 已知 [f(x)=1+x2]，求证[f(a)-f(b)

2．[|x－4|＋|x－3|

A.[a>7] B.[a>1]

C.[a

3．解不等式[log13x]＋[log133-x]≥1.

4. 解不等式[x+3-x-3>3.]

[1. f(a)-f(b)=1+a2-1+b2=a2-b21+a2+1+b2=a+ba-b1+a2+1+b2

提示：也可用分析法.

2. B

提示: 代数式[|x－4|＋|x－3|]表示数轴上的点到(4, 0)与(3, 0)两点的距离和，最小值为1，当[a>1]时，不等式有解.

3. [{x| 0

提示： 分[0