分类讨论的方法范文

导语：如何才能写好一篇分类讨论的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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对于数学问题，一方面由于我们面对的问题涉及面广、综合性强，另一方面，由于解题中经常忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误，所以学习中有必要对分类讨论思想引起足够重视并加强训练。进行分类讨论的关键是明确讨论的动因，即认识为什么要分类讨论，只有明确了讨论的原因，才能准确、恰当地进行讨论。掌握好分类讨论这种思想方法，有利于培养我们思维的条理性和严密性。下面从几个方面论述分类讨论的动因和方法。

一、正确运用数学概念进行分类

有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如实数的绝对值。因此，要去掉绝对值的符号就要分情况讨论，即|a|要按a>0时，|a|=a；a=0 时，|a| = 0；a

例1：解不等式3|x+2|＋3|x-1|≥28。

分析：绝对值概念的本身就是按分类来定义的，为去掉指数中的绝对值符号，须进行分类讨论。

解：①当x≤－2时，原不等式变为3－x－2＋31－x≥28，即■・3-x≥28，解得x≤－2；②当－2＜x＜1时，原不等式变为3x＋2＋31－x≥28，即9・32x-28・3x+3≥0，解得3x≤■或3x≥3；得x≤－2或x≥1，这与假设矛盾，此时不等式无解；③当x≥1时，原不等式变为3x＋2＋3x－1≥28，即■・3-x≥28，解得x≥1。综上所述原不等式的解集为｛xx≤－2或x≥1｝。

二、按某些运算的要求分类讨论

有些运算有一定的要求限制，如除法要求除式不为零；解不等式要看不等式两边是同乘以一个正数还是负数；在实数集内开偶次方时被开方时须非负；对数运算其真数应为正数等。这些都是进行计算时需进行讨论的动因。

例2：已知函数f(x)=x-■+1-aln x，a＞0。讨论f(x)的单调性。

分析：由求导可判断单调性，同时要注意对参数的讨论，既不能漏掉，也不能重复。

解：由于f′(x)=1+■-■，令t=■得y=2t2-at+1(t≠0)，

①当?驻=a2-8≤0，即0

②当?驻=a2-8>0，即a>2■时，由2t2-at+1>0得t■，

■

综上①当0

三、根据相关限制条件分类讨论

有些数学定理或公式，其结论本身就是按分类讨论来进行表述的，如解一元二次方程或一元二次不等式，就需按判别式的各种情况来讨论；等比数列前n项和公式就是按公比q是否等于1来讨论；无穷递缩等比数列的极限■qn，仅在|q|＜1时才成立。

例3：设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，又设Tn=■，其中n＝1，2，…，求■ Tn。

解：当q=1时，Sn=n，Sn+1=n+1，

■ Tn=■ ■=1；

当q≠1时，Sn=■，Sn+1=■，Tn=■；

当0

■ Tn=■ ■=1；

当q>1时，有0

■ Tn=■ ■=■。

综上所述，■ Tn=1，0＜q≤1，■，q＞1。

点评：对分类讨论的结果，若能用公式的形式予以概括表出，会给人一种清晰简明的感觉，自我检查时也会一目了然。

四、根据函数的某些性质分类讨论

有些数学问题涉及到函数的单调性、值域范围等，因此在解题时，常常要讨论参数的不同取值的情况。

例4：已知a>0，a≠1，解不等式log a(x2-2ax-2a2)>2。

解：当0

log a(x2-2ax-2a2)>2?圳x2-2ax-2a2>0x2-2ax-2a2

?圳x>(1+■)a或x

?圯-a

当a>1时，由y=log ax为增函数，知

log a(x2-2ax-2a2)>2?圳x2-2ax-2a2>0x2-2ax-2a2>a2

?圳x>(1+■)a或x

?圯x3a。

综上所述，当01时，原不等式的解为x3a。

点评：解对数不等式必须考虑对数函数的增减性，因此必须对其含有参数的底数取值范围进行分类讨论，这种题型在各类考试中时有出现。

以上所述的几个方面既是引起分类讨论的原因，同时也是我们进行分类讨论的方法和策略。现就有关的几个问题概括和归纳如下：（1）分类讨论的一般步骤：①根据实际解题需要确定分类的对象和讨论的范围；②确定分类的标准，进行合理分类；③逐步讨论（必要时还要进行多级讨论）；④总结概括，得出结论。（2）分类常用的方法和策略：①概念和性质是分类的依据；②按区域进行分类是基本方法；③不定因素是分类的突破口；④二分法是讨论的利器。（3）合理分类的三条标准：①对所讨论的全域分类要“既不重复，又不遗漏”；②在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；③对多级讨论，应逐级进行，不能越级。

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关键词：数学新课程；分类讨论；再认识

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2012）04-0055-03

全日制义务教育数学课程标准要求，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。分类讨论作为最基本的数学思想方法之一，它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的解题方法。在新课程实施中，教师根据学生的年龄特征、认知规律和知识积累，在遵循科学性前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则，向学生适时渗透分类讨论的数学思想，对于发展学生的思维能力、养成良好的数学思维习惯有着重要的意义。

一、什么是分类讨论思想

分类讨论是指当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准进行分类，然后逐类讨论，最后综合各类结果得到整个问题的答案。像这种先分类再讨论，把问题“分而治之，各个击破”的解决问题的思想就是分类讨论思想。

二、分类讨论思想在新课程实施中的地位和作用

数学课程标准指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步积累数学活动经验、感悟数学思想”。分类讨论思想作为一种基本的数学思想，在学生基础知识的获得，基本技能的形成，数学素养的提高，思维能力的发展，创新意识和实践能力的培养方面占有非常重要的地位。按照数学课程标准的要求，在学生学习活动中，积极引导学生通过实践、思考、探索、交流等方式，让学生在获得知识、形成技能、发展思维的同时，借助数学知识的载体功能，将分类讨论思想向学生逐级渗透，螺旋上升，逐步积累，不断完善，对于培养学生思维的条理性、严谨性和完整性，养成缜密思考的良好品质，提高和发展学生的思维能力有着举足轻重的作用。

三、分类讨论的基本原则

分类讨论思想的核心是对问题进行合理分类，要做到合理分类，需遵循分类讨论的四个基本原则：

（一）同一性原则

分类必须按确定的同一标准进行，不能同时使用几个不同的分类标准，否则会导致分类的混乱。

例如：三角形 锐角三角形等腰直角三角形等边三角形钝角三角形

显然，以上对三角形分类时，既按边又按角同时使用了两个标准进行分类，造成了分类的混乱。

（二）完备性原则

分类应当完整，即分类后子项的外延之和应等于母项的外延，而不能出现分类后母项外延的遗漏。

例如：若a为实数，则a＝ a（a＞0）a（a0）

很明显，分类后丢掉了a=0的情况，造成分类后子项的外延出现了遗漏，导致分类不完整。

（三）互斥性原则

分类后的每个子项都应当互不相容，相互排斥，不能出现分类后一些事物既属于这个子项又属于那个子项，造成子项外延的重叠。

例如：若a为实数，则a＝ a（a≥0）a（a≤0）

这里，分类后两个子项就出现了a=0在外延上的重叠，违背了子项外延互斥性原则。

（四）逐级性原则

有些数学问题只需一次性分类，有些数学问题则需多次分类。多次分类是由于被讨论对象比较复杂，需把首次分类后的子项作为新的母项再进行分类，直至满足需要为止，进而达到解决整个问题的目的。

例如:论证方程（a-1）x2+2x-6=0的实数根的情况。

解：当a-1=0即a=1时，方程为一元一次方程，其实数根为x=3

当a-1≠0即a≠1时，方程为一元二次方程，其实数根为

当＞0即a＞■时，方程有两个不相等的实数根当= 0 即a=■时， 方程有两个相等的实数根当＜0即a＜■时， 方程没有实数根

综上所述，当a=1时，方程有唯一一个实数根。

当a＞■且a≠1时，方程有两个不相等的实数根。

当a=■时，方程有两个相等的实数根。

当 a＜■时，方程没有实数根。

四、分类讨论的一般步骤和结论归纳形式

分类讨论的一般步骤是：①确定分类讨论的对象及被讨论对象的全域；②确定分界点，统一分类标准，合理进行分类，并做到不重不漏，分层而不越级；③逐类讨论，分级进行；④综合归纳，得出结论。

分类讨论的结论归纳形式一般有三种:

①并列形式。格式为：当……时，有……；

当……时，有……。

②并集形式。格式为：……或……。

③交集形式。格式为：……且……。

五、分类讨论的常见类型

引起分类讨论的因素较多，但常见的类型主要有以下几种：

1.根据定义、性质、法则、公式、定理进行分类讨论；

2.根据运算的要求进行分类讨论；

3.根据图形的形状或位置变化进行分类讨论；

4.当条件或结论开放时进行分类讨论；

5.当问题中条件较少，需通过分类来补充条件时进行分类讨论。

六、学生在分类讨论中存在的问题

（一）在分析问题时，缺乏分类讨论的意识

例如：已知等腰三角形的两边长为8和6，求这个三角形的周长。

错解：等腰三角形的周长为8+8+6=22

分析：学生初解该类型题时，常因缺乏分类讨论的意识，仅考虑腰为8或腰为6中的某一种情况，而得出周长为22或20的单一性答案，造成问题丢解。

正解：当腰长为8时，等腰三角形周长为8+8+6=22

当腰长为6时，等腰三角形周长为6+6+8=20

所以，等腰三角形的周长是22或20.

（二）有分类讨论的意识，但在分类时存在盲目性

分类讨论的关键是确定分类标准，学生分类时常因不能准确找到分类标准的分界点，导致对问题盲目分类，出现求解上的失误。

例如：如图，一个等边三角形的边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直到回到原出发位置时，该圆自转了（ ）圈。

（A）2 （B）3 （C）4（D）5

错解：选（B） 正解：选（C）

分析：因为圆与等边三角形相切且做无滑动旋转，很多学生盲目认为按圆在AB边、BC边、CA边上分类讨论即可，因为边长等于圆的周长，所以经过一条边刚好转了1圈，在三条边旋转当然转了3圈，故选（B）。然而却忽略了圆在顶点B、C、A处旋转的情况，由图（2）不难分析，圆经过一个顶点时旋转了120°，经过三个顶点共转了

120°×3=360°恰好为一圈，所以应选（C）。

（三）在分类讨论时存在主观臆断性

在分析数学问题时，一般当遇到数量的大小或符号不能确定以及图形位置或形状不确定时考虑分类讨论，但分类讨论绝不能凭主观臆断，一开始就分类讨论，而是在计算或推理的过程中逢时而生，自然展开。

七、教师在新课程实施中渗透分类讨论思想的对策

在初中数学课程改革中，教师对分类讨论思想的渗透还存在一些不到位的地方，表现为：①在思想意识上，对分类讨论思想的重要性认识不足；②在教材运用上，对分类讨论思想挖掘不深，如对分类讨论思想在教材中的设置把脉不清，对分类讨论思想在教材中的层次缺少深度思考，对分类讨论思想的渗透缺乏整体规划与设计；③在教学过程中，对分类讨论思想渗透不强，教师往往关注知识的生成多，思想方法的渗透少，侧重就题论题多，思想方法的提炼少，注重知识系统多，思想方法的归纳少；④在实践应用上，对分类讨论思想提升不够，教师将分类讨论过多的停留在简单训练的层面上或训练模式的创新上，而忽视对思想方法的抽象与概括。那么，如何将分类讨论思想在新课程实施中有效地渗透呢？我觉得不妨从以下二个方面着手：

（一）加强对数学课程标准的学习，充分挖掘教材中蕴藏的分类讨论思想，明确分类讨论思想在不同阶段的目标要求

数学课程标准把让学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学思想方法作为教学的总体目标。人教版教材第一章《有理数》在学习了正负数后，以有理数的分类及绝对值的意义为载体最先拉开了分类讨论思想渗透的序幕。在以后的学习活动中，随着学习的深入，分类讨论思想由“隐性”向“显性”、由“方法”向“思想”逐步渗透，不断提升，最终实现由“思想”指导“方法”，达到水到渠成的功效。因此，教师在新课程实施中必须站在全局的高度统揽教学，对分类讨论思想的渗透既有整体规划和设计，又有明确而具体的目标和要求。

（二）在新课程实施中遵循逐级递进、螺旋上升的原则，将分类讨论思想有机渗透到每个阶段的教学之中

1.渗透“分类方法”，感知“分类思想”。由于初中生的数学知识比较贫乏，抽象思维能力较为薄弱，对数学思想方法还缺乏足够的了解，因此，在新课程实施中必须以知识的学习为载体，注重数学概念的生成过程、知识的发展过程和问题的解决过程，通过教师的启发引领，向学生逐步渗透“分类方法”，让学生在展开思维获取知识的同时初步感知分类思想。

2.训练“分类方法”，领悟“分类思想”。教师在新课程实施中要充分挖掘教材中体现分类讨论思想方法的各种元素，根据学生年级的不同、知识的不同和认知能力的不同，对“分类方法”展开由浅入深、由易到难、由隐到显的层次性训练，使分类讨论思想在训练过程中多次孕育，不断领悟，初步形成。

3.掌握“分类方法”，运用“分类思想”。学生对于“分类方法”的掌握需经历一个学习、思考、训练、巩固的体验过程。同样，“分类思想”的形成也是在“分类方法”的渐进生成过程中逐步领悟、不断完善建立起来的。在新课程实施中，只有把分类方法提升到分类思想的高度加以认识，才能变知识的生成过程为数学思想方法的形成过程，从而把分类讨论思想进行有效迁移和灵活运用。

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随着社会的不断进步，不断发展，教育教学的改革也在逐步更新、升级，为了更好地推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，教师就应更多的的关注学生的学习方法和策略。随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的关键入口。

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

分类讨论思想，贯穿于整个初中数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，主要有以下几种：①数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。⑤问题中几何图形的不确定，应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，从而激发学生研究问题，探索规律，学习数学的积极性。

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

例如：认识字母a可以表示数后，让学生对数a进行分类，得出数a可表示正数、零、负数三类。又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，这样学生通过对两个有理数大小比较、分类讨论后，就能系统、完整地掌握两个有理数大小比较的运用。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，弄清它们的内涵与外延。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

（一）根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例如：化简|a|－2，解答此题，是按a的取值分类讨论，即：按当a>0，a＝0，a

（二）根据数学法则、性质或相互关系进行分类

例如：解关于x的不等式:ax＋3＞2x+a，我们可以把不等式移项变形为(a－2)x>a－3，然后根据不等式性质可分为：a－2>0，a－2＝0和a－2

（三）根据图形的特征或相互关系进行分类

例如：已知等腰三角形有一个内角是50度，求其余两个角各是多少度。

解答此题就是对给出的等腰三角形的这一个50度的内角是底角、顶角两种情况进行讨论，从而求出解答结果。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

由以上的例子我们知道：抓住分类讨论的动机，把握了分类的标准，就能做到分类时条理清楚，标准一致，在解答问题时就不会重复、遗漏，保证解题的准确率。

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关键词：分类讨论思维能力学习能力工作能力

分类讨论思想在新旧教材中都有体现，在旧教材中怎样培养学生的分类讨论思想，那么在新教材中仍然适合。在职业中专阶段怎样培养学生的分类讨论能力是数学教学的一个关键，同时也是学生思维能力锻炼的黄金时段，从而也为学习和工作打下坚实的基础。下面来浅谈在职业中专数学教学中怎样培养分类讨论思想和分类讨论思想对学习和工作的作用。

一、什么是分类讨论思想

依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想．“物以类聚，人以群分”，将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。常常能起到简化问题、解决问题的作用。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性，能训练人的思维能力。

二、在职业中专数学教学中怎样培养学生分类讨论思想

我所在的学校是职业中专学校，这里的学生学习基础比较差。他们选择职业中专目标是一方面学习文化知识，一方面学习一点技能，另一方面通过学习来锻炼自己的思维能力。同时希望通过三年的学习自己各方面的能力都有所提高，作为一名数学教师应怎样帮助他们。

大家都知道教师的责任就是教书育人，而我作为一名职业中专的数学教师那么在数学教学中应怎样做呢，这不光是我思考的问题，也是我的同行们值得思考的问题。在数学教学中我个人认为不光是传授好知识就行了，学生会解几道数学问题就可以了，这样的教师没有达到教书育人的目的，也不能帮助职业中专的学生实现他们的目标。我们在教学中可以直接从知识上来帮助他们，但这种方法不好。有句名言：“授之以鱼不如授之以渔”，那应该怎样来帮助他们。我个人认为应该帮助学生提高他们的思维能力，当思维能力提高了他们学习知识的能力和学习技能的能力就会增强，从而把他们的希望就会实现。在数学教学中分类讨论思想方法是很好锻炼学生思维能力的方法，那么在教学中怎样让学生掌握分类讨论思想方法，从而达到锻炼自己的思维能力，下面举例来说明。

在二次函数学习中求函数最值问题中，如果函数的对称轴是变量那么就应该分类讨论，如二次函数f（x）＝ax2－2x＋1（a≠0）在x∈上的最值，大家都知道把对称轴分成三类，对称轴在区间左侧，中间和右侧相应求出最值。如解决含有参数的不等式解集问题都需要进行分类讨论。才开始学生对分类讨论思想方法感觉很难，也不容易掌握。这时教师就应该想尽各种方法让学生慢慢来适应分类讨论思想方法，我在教学中是从简到难，隔三岔五的让学生接触分类讨论问题，还让学生在课后共同讨论或分组讨论分类讨论问题，这样既能提高学习兴趣，又能学到知识，还能锻炼思维能力。在课堂上应多引导学生分析讨论分类讨论问题，课后应多指导学生组织的讨论活动。这应该是培养学生分类讨论思想比较可行的方法，这个方法贵在坚持，我个人认为教师和学生都能做到持之一恒。三年后学生不但各方面的能力都有所提高，尤其是通过分类讨论思想的锻炼思维能力有很大的提高。

三、分类讨论思想对学习能力和工作能力的作用

新课改下职业中专培养的学生是具有终身学习能力的人，同时也应该是工作能力很强的人。有人会说这是“夸大其词”大家可以仔细想想，学习能力强和工作能力强的人都是大脑比较灵活的人，说白了也就是思维能力强。每个人不可能天生就是一个学习和工作能力强的人，必须经过“后天”的培养。在前面已经说过学生在校不光学会了知识，还锻炼了思维能力，而思维能力又是通过分类讨论思想方法来锻炼的，由此可想分类讨论思想对学习能力和工作能力的作用。如对物理学中的受力情况分析，化学实验发生的反应分析等都有很大的帮助。在将来的工作中总会遇到这样或那样的问题，我们也会想各种各样的方法将问题分类解决，这也就体现了分类讨论的思想。虽然从表面看分类讨论思想对学习能力和工作能力没有直接作用，但内在有间接的作用。

总之，在职业中专数学教学中我们要用分类讨论思想来锻炼学生的思维能力，从而达到提高学习能力和将来工作能力。培养具有这样能力的学生是我们职业中专培养的目标，也是适应新时期国家需要的人才。

参考文献

［1］ 中国人民大学书报资料中心编写，《中学数学教与学 》，2008

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关键词：初中数学；分类思想；思维习惯；综合解题

中图分类号：G633.9 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2012）03-0156-02

新课程标准要求推行素质教育，培养学生的创新意识，关注其运用科学的学习方法和策略。中学数学课程的学习离不开抽象思维，一切数学知识的探索都需要通过思维来实现，所以，如果教师能够在中学数学教学中渗透分类思想，让学生形成有条有理地分析问题的习惯，对提高学生的数学素养有莫大的好处。随着教改的推进，我国的教育体制正在向素质教育转变，不仅要考查学生的双基，还要考醒其思维能力，会用观察、比较和分析的方法思考问题，会用有条理的语言来阐述自己的思想，这就需要学生运用分类的思维方法来思考问题。一般来说，运用分类讨论方法解决的问题可分为以下两种：一是代数或方程出现字母取不同值时，需要分类取值去解决问题；二是通过对几何图形中点和线出现的位置不同来进行分类讨论。因其是中学数学中一个很重要的思想方法，可以培养学生思维的条理性，提高学生严谨地解决问题的能力，所以占有较为重要的地位。

一、初中数学教师需在日常教学中培养学生分类的思维习惯

其实分类的思想一直存在于我们的日常生活中，如在平时，我们衣物的分类、书籍的分类等，我们要把这一分类意识迁移到数学学习中来。中学数学教师在授课时，要渗入分类思想的运用，如数的分类、绝对值的分类等等。以数的分类为例，数可以分为整数和分数，学过了负数的概念后，我们则可以对其进行进一步的分类，即正有理数、负有理数和零。运用这样的方面来定义数，可以及时引导学生对其进行分类掌握。在这一章节的讲授中，我们要反复渗透、强化数学的分类思想，让学生逐步形成数学的分类意识，并在学习的过程中掌握一定的原则，如分类的标准是统一的，对象是确定好了的，或做不到这一点就有可能分类不正确。初中数学的分类思想是非常重要的，在中学数学教学中一定要把握好一个“度”，过犹不及。

二、教学大纲和教材对渗透“分类讨论”思想的要求如下

教学大纲和教材对渗透分类讨论的思想非常看重，给出以下三条要求：

1.在初中数学教学中，要把分类思想划分为两个概念，一是分类，二是讨论。“分类”就是在研究某一数学问题时，教师要引导学生根据某一具体的标准把所研究的对象进行分类。分类是前提，分好类后，教师就要引导学生针对不同的情况进行讨论，这就是本着化难为易、化繁为简的过程。

2.教学大纲明确要求学生学会分类的方法。初中数学教师要把分类思想渗透到教学的各个环节中，如，对于实数那一节，大纲就明确规定，教师要教会学生把给出的一些实数按要求进行分类等等。分类最重要的就是要做到不重复不遗漏。当我们把一些实数进行分类时，要做到让其中的每一个数都归入类别，不能出现归不入类的现象，也不能同时归入几类均可。所以，它能够很好地锻炼学生的层次感和谨慎感。

3.教师一定要让学生尽可能简化讨论方法。讨论方法是越简单明了越好，因为在教材和练习中，我们都能找到分类的要求，言简意赅，如当A表示任意数时，它的绝对值是什么呢？教材中只分了三种情况。所以就此类讨论题目，教师也应该本着简化的原则进行分类。分类和讨论是联系起来进行的，分类就是为了讨论，所以教师要把这个理念渗透到自己的教学中去。

三、初中数学教师要指导学生学习分类方法，增强思维的缜密性

中学数学教师思维要具有缜密性，这样才能在以后繁琐的数学解题过程中理清思路。掌握科学合理的数学分类方法，就可以根据对象，按照唯一的标准进行分类，这样可以避免重复和纰漏。

四、初中数学教师要通过引导学生运用分类讨论，提高其综合解题的能力

当我们明确了分类的思想在数学教学中的地位后，我们在教学中就能做到心中有数。教师如果把分类思想渗透到了教学中，那么就一定要抓住适合体现分类思想的知识内容有目的地去渗透，在确立教学目标、安排教学过程和选择教法方面做好准备。中学课本中有很多定理、公式和习题都运用到了分类讨论的思想，这也是学生极易忽略的一点。教师在教授这些内容时，要反复地强化分类的思想，让学生通过分类讨论后，得出全部的正确的得数。最好，教师也让学生了解一下，如果不分类讨论，在解决数学问题时，会出现很多不合理的现象。最后明确，在解决中学数学难题时，教师一定要通过分类讨论来帮助学生总结出一些带有规律性的东西，帮助学生概括总结分类规律，加强学生思维的缜密性和条理性。

五、初中数学教师要让学生明白分类只是讨论的前提，而讨论才是分类的延续

分类的思想最终体现的是分类是提前，而讨论是分类的延续，是解决问题的根本所在。所以，如果教师在讲授新课时，涉及到了分类的思想就应该默默地渗透讨论的思想。

例：已知ABC是等边三角形，边长为4；ACD是含60°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一个四边形ABCD.求其面积。

分类分析：在含60°角的直角三角形ACD中，我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。

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【关键词】数学教学；数学思想；分类讨论

数学思想方法既是数学的基础知识， 又是将知识化为能力的桥梁， 用好了就是能力。而“分类思想”是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，它源于生活而用于生活，既是研究数学问题中的最重要思想方法之一，又是一种常用的数学方法。它对培养学生思维的条理性、缜密性，提高学生全面、周密地分析问题和解决问题的能力起到十分关键的作用.因此数学老师在教学中要注重数学思想方法的概括和总结。

1 什么是分类讨论

分类讨论的数学思想，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。

2 为什么要分类讨论

2.1 许多定义，定理，公式是分类的

（1）数学课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐的体会分类讨论的思想。初中七年级数学课本在引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、零、负数或将有理数分为整数、分数。在随后的去括号法则、有理数的乘法、乘方的教学中均可仿照此方法渗透分类的思想。由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等。涉及到这些概念时就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。

（2）在数学教学中，我们应该不断重视法则、定理、公式的论证过程，注意归纳、揭示公式之间的联系，帮助学生增强分类意识，体验分类思想方法的作用。

如证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况去证，这就需要学生自主画图测量、分析讨论，体会分类证明的目的和优点，逐步体会到恰当的分类可增强题设的条件，即把分类的依据做为附加条件，先证明特殊情况，再由特殊情况推广到一般情况的解决问题的思路，揭示分类讨论的本质为化繁为简，由特殊到一般，分而治之。之后，在学习弦切角定理的证明时，学生们再次重现了“分类讨论的思想”的探究过程。

2.2 某些解题过程需要分类：在解题过程中有些几何问题的图形位置或形状不能确定，这时就必须进行讨论，把问题分成几类或几部分来处理，采取分而治之的方法来各个击破。

在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

（1） 等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

（2）等腰三角形一个角是70°，求其他两个角的度数？

（3）在ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别为AB、AC边上的点，且AD=2.若ABC与ADE相似，则AE=

。

2.3 题设条件不确定要分类：有些数学问题的题设部分不确定，例如：求不等式的解集。该不等式的系数带有参数，就要分为三种情况去讨论：（1）当a-3>0时，（2）当a-3=0时，（3）当a-3

3 分类的原则：无重无漏，把握分类的标准

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关键词：分类讨论；归纳总结；高中数学教学

一、分类讨论的含义及组成

高中数学是很多学生的难点，在解题过程中通常会遇到很多复杂的问题，想要解决这些复杂的问题就必须进行分类讨论，分类求解，最后进行综合解答。

分类讨论贯穿整个中学数学教程，是高中数学难点之一。它不同于其他解题方法，分类讨论要求把可能出现的情况进行分类讨论，在最后又将讨论得到的结果进行归纳总结，然后得出相应题目的求解。分类讨论的组成大致分为要素、步骤、原则三部分。

要素：要素就是指需要进行分类讨论的对象，分类后各自的概念，还有最后区分的标准。

步骤：分类讨论的步骤具体有四个步骤，第一，确定要进行分类讨论的对象和要讨论的区域。第二，根据题目要求，进行合理的分类。第三，根据从大到小、先易后难的解题步骤进行逐步分类讨论。第四，归纳分类讨论所得出的答案，得出最后答案。

原则：分类讨论要遵循的原则是，首先要确定分类对象，不可重复对象，更不可遗漏对象。确定对象之后要选择正确的分类标准，再进行分类讨论。遇到多级分类，就需要更加仔细地在分类部分中再次分类。

二、高中数学分类讨论产生的原因

1.分类所涉及的数学概念

例如，在函数式子中y=1/sinx。看到这类函数，我们首先要考虑的是sinx，它作为一个变量，同时又作为分母，是不可以为0。在作图的时候首先要考虑的是排除sinx=0的这种情况，因此，所对应的图像是间断图像，然后再从递增递减性去考虑函数sinx，最终完成解题。

2.分类所涉及的公式

例如，在排列组合题目中的有组合计算方法，8个人分两排站立，A和B之间相邻的站法有多少种。在解答这类问题时，首先要将题目中确定的两个固定位置当中的任意一个视为整体，那剩下的7个人就分为两排，这里就出现了一个组合数，接下就该根据题目中的已知条件对AB进行讨论，将得出答案乘以2，就得出了最终答案。

3.分类所涉及的参变量

参变量这类问题在不等式中出现的较多，例如，（a-b）x0、a-b

4.分类所涉及的约束计算

所谓约束，就是指一些固定的不可改变的条款，如分母不可为零。

三、分类讨论实例

下面以具体例题来说明分类讨论。

例1：在正方体的8个顶点、12条菱、6个面的中心、正方体中心共27点，共线的三点组成的有几个。

解：根据题意，共线的三点组可以分为三类。

四、结语

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关键词：分类讨论；多解

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）22-327-02

满足条件的多解型试题不但知识覆盖面广，综合性较强，题意构思精巧，而且在解答时需要灵活运用一种重要的数学思想方法——分类讨论。分类讨论思想是指当数学问题中研究的对象不确定，不宜用统一方法处理时，常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。

各地中考数学中这种题型不但在综合题中会有所涉及，而且在选择填空题中也经常出现，进一步说明非常重视分类讨论这一数学思想方法的考查。这类题的思维空间较大，解题时常出现考虑不全或不严谨，导致漏解、错解，要求同学们在解题中应加强对多向思维的培养，学好分类讨论这一思想方法，熟练掌握这一题型的特征与解法。

分类讨论是一种重要的数学思想，又是一种重要的解题策略。

例题1：如图，是象棋盘的一部分，一匹“马”在图示的位置，如果“马”现在的位置可表示为（7，3），按照象棋的规则，“马”下一步跃到的位置可表示为 ；

分析思考：此题很简单，只要按照象棋规则，把所有的可能都例举出来，但却暗含了数学多解题的本质，要把满足条件的所有的可能一一列举，使问题的解答完整。

答案：（6，1），（5，2），（5，4）（6，5）（8，5），（9，4）

（9，2）（8，1）

例题2：（2012江西样卷改编） 已知a、b为实数，且ab≠0，那么= 。

分析思考：由于ab≠0即a、b都不为0，要继续化简，就需知a、b的正负，但a、b中是正是负是一个不确定的对象，所以可以分以下：①都是正；②都是负；③a为负，b为正；④a为正，b为负这四种情况来分别求值。

答案：0、2或-2

例题3：（2012江西样卷）小明等五名同学四月份参加某次数学测验（满分为120）的成绩如下：100、100、x、x、80。已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为 。

分析思考：这里有什么不确定的对象呢？（x的大小），因此我们讨论的对象便是x的大小。

（1）讨论对象：x的大小；讨论范围：0～120；

（2）确定分类标准并进行合理分类：考虑x相对100和80大小可能性来分类，题中x的大小有三种可能：①100

（3）当①100

答案：110或60（有一个非整数值已舍去）

解题感悟之（一）分类讨论的一般步骤：

（1）确定讨论的对象和讨论的范围；

（2）确定分类的标准并进行合理分类；

（3）逐级讨论并总结概括得出结论。

例4：（2011贵州安顺）已知，如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为

分析思考：题中不确定的对象是什么呢？显然题目给出了条件“ODP是等腰三角形”，但未指明在ODP中哪两条边相等，因此我们的讨论对象是：ODP中哪两条边相等，从而可分为三类：

当OP=OD时，则点P、D到点O的距离相等，因此只要以O为圆心，OD的长为半径画弧，交 CB于一点P，过点P作PEOD于E，由勾股定理可求得OE=3，则P（3，4）；

当DO=DP时，则点O、P到点D的距离相等，因此只要以D为圆心， DO的长为半径画弧，交CB于两点P，过点P作PEOD于E，当∠ODP为锐角时，由勾股定理可求得DE=3，OE=5-3=2，则P（2，4）；当∠ODP为钝角时，由勾股定理可求得DE=3，OE=5 + 3=8，则P（8，4）；

当PO=PD时，则点P在OD的垂直平分线上，因此只要作OD的垂直平分线PE交CB于一点P，垂足为E，由勾股定理可求得OP=，显然结果不等于5，不合题意，舍去；

其他解法：方法1：OD、DP、OP轮流为底边，同时要

注意以OD为底边时OP、PD是腰，但不会等于5，易产生错解，以OP为底边时又易漏掉一种情况。

方法2：∠POD、∠ODP、∠OPD轮流为顶角，这样分类同时还要考虑顶角可以是锐角、直角、钝角.本题由于腰为5的限制，故直角是不可能，∠POD为钝角不可能，∠PDO既可以是锐角，又可以为钝角。

答案：（3，4），（2，4），（8，4）

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数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想，形成分类意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，为下一步分类讨论奠定基础。认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、掌握分类方法，增强思维缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：（1）根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。（2）根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

三、引导分类讨论，提高合理解题能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。例如函数 y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求证：y 的值恒为正数。分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。证明：⑴ 当x≤0时， x5-x3-x≥0，y≥1恒成立；⑵ 当0 x3，1>x。 y>0 成立；⑶ 当x=1 时，y=1>0 成立；⑷ 当x>1时，y=（x6-x5）+（x4-x3）+（x2-x）+1。x6>x5，x4>x3，x2>x 。y>1成立。综上可知，y > 0 成立。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

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关键词：小学数学 解题 分类讨论思想 概念 作用 分析

随着教育的不断发展与改革，教育部逐渐重视小学各个科目的考查，尤其是数学，数学教学可以培养学生的逻辑能力和思维能力，因此，注重数学的解题思路和解题思想在教学中显得非常重要，良好的解题方法可以提高学生的数学水平，如分类讨论思想，其可以有效帮助学生解答数学问题。

一、分类讨论思想在小学数学中的概念

分类讨论思想是指学生根据教师提出的问题进行分类讨论，即通过逻计划分的方式，对数学问题各个击破，以达到解决问题的目的。分类讨论思想在数学教学中具有重要作用，是一种有效的解题方法，其也被称为逻辑方法。分类讨论思想在教学中具有很强的逻辑性和综合性，并且数学教学注重强调的是学生的逻辑性，因此，分类讨论思想符合数学教学范畴，其不仅可以激发学生的学习兴趣，也能培养学生的思维能力和逻辑能力。

二、分类讨论思想在数学教学中的基本原则

分类讨论的基本原则是正确应用分类讨论的方法，注重分类的科学性、统一性、互斥性、相称性和层次性，从而解决数学问题。

（一）分类讨论的统一性原则。针对小学5、6年级的数学课程，采用分类统一的原则，保证数学的知识体系有机的结合在一起，使学生更容易掌握知识要点。例如，六年级小数的分类，小数分为有限小数、无限小数、无限不循环小数和循环小数，23.3、25.4、0.21等都是有限小数，2.22.....、3.144555....等叫做无限小数，若数中有一个数不断重复出现，则称为循环小数，如2.4444.....、0.01111......、43.78777.....等，而n被称为无限不循环小数，但是，这些数字统称为小数。

（二）分类讨论的互斥性原则。对数学问题进行分类后，应确保分类子项的互斥性，即一个事物的子项不能影响另一事物的子项，例如某小学五年级有100人，男生人数是女生人数的1.5倍，学校将分2组队伍进行马拉松活动，问怎样分配男女生的比例才能合理？

（三）分类讨论的相称性原则。坚持分类讨论的相称原则，即分类子项和总项的相称，例如数学中的有理数可以分为正有理数和负有理数，由于0被称为有理数，但是不在正有理数和负有理数的范围之内，因此，这样的划分不符合数学的相称性。

（四）分类讨论的层次性原则。分类讨论可以把数学知识更深一步的分层，直到找出问题的答案为止，例如，计算某梯形的面积，首先，需要讨论正方形、长方形的周长，在讨论梯形的周长；其次，讨论正方形、长方形的面积算法；最后，计算梯形的面积，其梯形的面积公式为：S梯形=（上底+下底）×高÷2，当然，学生也可以更进一步求三角形的面积。

三、分类讨论思想在小学数学教学中的应用

在小学数学教学中，特别是在小学的5、6年级，这个阶段会涉及到几何的教学，如圆、正方形、长方形、圆柱体、圆锥体、正方体等几何图形，通过学习几何的基本知识，可能会更深入的进行几何图形的研究，如直线与圆的相交，因此，本文提出一个关于几何的数学问题对其进行研究，例如图1所示，数一数图中有多少个三角形？然后数一数有多少个菱形？

图1

首先，学生需要对图形进行分类讨论，即讨论三角形和菱形，根据小学数学知识，可知，由不在同一直线上的三条线首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，而菱形是指在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形为菱形。从图中可以看出，有51个三角形和22个菱形。

另外，分类讨论思想在实际问题中的应用，可以有效解决实际生活中的应用问题，例如，某书店有一套英语书原价50元，现按7折出售，买一套英语书可以便宜多少元？如果买5套，250元够吗？通过练习生活实际，从而对生活中的各种情形进行讨论。从这个买书问题，可以得出买一套英语书可以便宜15元，若买5套英语书，则花费175元，250元足够买5套英语书。

四、分类讨论思想在小学数学教学中的作用

分类讨论思想可以有效解决数学中难以解答的问题，通过分类子项，并且对各个子项进行分析讨论，从而寻找数学的正确答案，使数学问题简单化，但是，在分类讨论过程中，应注重分类讨论思想的正确应用，应遵循数学教学的统一性、互斥性、相称性、层次性等原则，使数学解答过程中更简单化。一般情况下，分类讨论思想在数学问题解答过程中，其步骤如下：首先，确定数学问题类型，同时确定问题讨论的范围；其次，结合数学理论知识，科学化的对讨论的问题进行标准分类；再者，对分类的各个子项逐步的进行讨论；最后；对各个子项讨论出来的结果进行归纳总结，从而得出整个问题的答案。

结束语

数学教学在教育中发挥着重要作用，不仅可以激发学生的学习兴趣，也能培养学生的逻辑能力和思维能力，因此，采用分类讨论思想，并正确对其进行应用，使分类讨论思想在小学数学教学中发挥重要的作用。

参考文献：

[1]罗树全.对数学新课程中分类讨论思想的再认识[J].教育实践与研究（B），2012，04：55-57.

[2]陈罗九.深挖教材 提炼方法 培养思维——浅谈初中数学中的分类讨论思想[J].中国数学教育，2011，23：13-15.