讨论单调性的步骤范文

导语：如何才能写好一篇讨论单调性的步骤，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

《函数的单调性》是人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，它是研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域（或最值）、定义域、不等式、比较两数大小、求方程的根的个数（或函数的零点的个数）等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情分析

本节复习课安排在必修一所有内容都完成后的一节期中复习课。依据现有认知结构，学生能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，且能用符号语言进行严密的代数证明。在教学过程中，要注意让学生掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程。

三、教学目标

1.会用定义证明函数的单调性

2.会用函数的单调性解决函数根的个数、函数的值域等问题

3.体会函数思想、化归思想、数形结合思想

在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下：

四、教学重点

函数的单调性的判断与证明。

五、教学难点

函数的单调性的灵活应用。

六、课前准备

学生复习函数单调性的定义，并完成题目：已知函数

①用定义证明函数在[0，+∞）上是增函数；②求出函数的单调区间；

七、教学设计

[教学环节 问题展示 设计意图 课前预习 已知函数①用定义证明函数在[0，+∞）上是增函数； 复习用定义法证明函数的单调性，强调其步骤：取值――作差――变形――定号――结论 课内探究（一题多问） ②求出函数的单调区间；

③不等式

对一切恒成立，求实数的取值范围； 1.会利用复合函数的单调性求单调区间或利用函数的奇偶性解决单调区间有关的问题

2.利用函数的单调性，知道自变量的大小关系会求自变量的大小关系

3.解决恒成立问题 一题多变 变式1：已知函数在 [0，+∞）上是增函数，求实数的取值范围。

变式2：设函数在 [1，2]上的最小值为，求 1.已知函数的单调性解决参数问题

2.会利用单调性求最值

3.体会转换思想和分类讨论思想 ]

八、精彩回放

师：求方程的根

生1：方程的根为

师：方程就只有一个根吗？并说明理由。

生2：方程的根等价于函数的零点，而函数是单调递增的，故方程就只有一个根

师：这里我们用到了函数的什么性质？

生2：函数的单调性

师：这节课我们就来复习函数的单调性（板书课题）。

师：请同学们看例题：

例题：已知函数

①用定义证明函数在[0，+∞）上是增函数；

师：复习增函数的定义。

生3：当x1

师：用定义证明函数单调性的步骤。

生4：取值――作差――变形（乘积的形式或平方和的形式）――定号――结论

师：本题中求出函数的单调区间；并说明理由。

生5：的单调增区间是，减区间，因为为偶函数，在是增函数，所以在上是减函数。

生6：利用复合函数的单调性，令单调递增，在单调递减，单调递增，所以f（x）的单调增区间是，减区间。

师：本题中若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；

生7：将变量带入解析式去解不等式。（做了一段时间后）发现计算量太大，没法解决。

生8：利用函数的单调性，，

师：已知函数的单调性，并且知道函数值的大小关系，你能得到什么结论？

生9：函数在区间D上是增函数，当f（x1）

师：变式1： 已知函数在 [0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围。

生10：任取，且

师：你能总结一下思路吗？

生10：函数在区间D上是增函数，当x1

师：你们还有其他的解法吗？

生11：利用复合函数的单调性，令单调递增，

当时，在上单调递增，符合

当时，在单调递减，单调递增，

要使在单调递增，则，

综上所述，

师：变式2： 设函数在 [1，2]上的最小值为g（a），求g（a）。

生12：令，

①当时，在上单调递增，

②当时，在单调递减，单调递增，

当即时，在单调递增，

当即时，在单调递减，上单调递增

当即时，在单调递减，

师：总结一下本节课学的知识点和思想方法。

生13：知识点：函数的单调性①当x1

思想方法：数学结合思想，转换思想，分类讨论思想。

九、教后说教

本节课是必修一内容上好后为学生期中考试准备的一节复习课。

（1）通过求方程的根的个数引出函数的单调性，而这个方程的根学生容易看出来，但为什么只有1个根，只能利用函数的单调性加以解决。这样让学生体会函数单调性的重要性，更加激发学生学习函数单调性的积极性，大大提高了课堂效率。

（2）例题及变式归纳出证明函数单调性的方法、步骤及注意点，还对单调性进行灵活应用：①已知当x1

（3）题目设置一题多问，一题多变，复习了函数单调性涉及的题型，让问题更集中，更加突出问题的本质。

（4）本节课内容完整，思路清晰。符合新课程标准的精神。例题及变式由浅入深，完整，全面。

篇2

关键词：单调性；同课异构；反思；高效

近年来，随着新课程实施的不断深入，广大一线教师和教研员都在日益关注课堂教学的实效性问题，关于“有效课堂教学”的讨论进行地轰轰烈烈． 先进的教育理念需要物化为教学实践，才能对教学实践起促进作用，教师的教学能力最终也是需要通过教学实践才能得到提高． 我们教研组积极开展同课异构教学，让所有教师都接触新的教学方式，并围绕着如何改变课堂教学中教师“教”的方式和学生“学”的方式这一主题，让教师们人人谈体会，说感想，大胆设计课堂教学新思路，从而大大增加课堂教学的有效性． 下面就两位教师开展《函数的单调性》的同课异构教学谈谈自己的体会．

课堂引入环节的比较与评析

1. 周老师的课堂引入

多媒体显示两组图象

提问：下列两组图象的变化趋势有什么区别？

学生：图1的图象都是上升的，图2的图象都是下降的．

教师：函数图象的“上升”、“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性． 提出课题，板书．

问题：二次函数y=x2的图象的变化趋势怎样呢？

2. 王老师的课堂引入

材料一：我市某天12小时的气温图．

材料二：人的大脑是一个记忆的宝库，人脑经历过的事物、思考过的问题、体验过的情感和情绪、练习过的动作，都可以成为人们记忆的内容． 德国有一位著名的心理学家名叫艾缤浩斯，他描绘非常有名的揭示遗忘规律的曲线． 这条曲线告诉人们在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程不是均衡的，不是固定地一天丢掉几个，转天又丢几个的，而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐减慢了，到了相当长的时候后，几乎就不再遗忘了，这就是遗忘的发展规律，即“先快后慢”的原则．

问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

学生：0到3点，图象下降；3点到7点，图象上升；7点到12点图象上升．

问题2：怎样用数学语言刻画艾缤浩斯遗忘曲线“随着时间的增加记忆的保持量降低”这一特征？

3. 观点与评析

周老师采用的是问题引入，学生总结每组三张图片的共同点和两组图片的不同点，对两组图象的不同变化趋势（上升和下降）有了直观形象的认识，使学生初步体会增（减）函数． 问题具有起点低、可操作性强的特点，学生很容易入手． 很自然地带出二次函数作为探究的对象．

王老师采用的是情境创设，由贴近生活的两幅函数图（我市的气温变化图和艾缤浩斯遗忘曲线），带领学生认识函数图象的变化趋势，趣味性的小故事激发学生的学习的好奇心和兴趣．以问题带动学生的思维，通过第二个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．

单调性概念形成教学环节的比较与评析

1. 周老师的教学处理

学生画好二次函数y=x2的图象：

问题1：观察函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？

学生：在y轴的左边，图象下降；在y轴的右边，图象上升．

问题2：此函数在区间?摇_______内y随x的增大而_______，

在区间_______内y随x的增大而_______．

问题3：如何用数学语言来准确地表述这种y值随着x的值增大而增大（减小）呢？

（教师提示：增大，至少需要几个量比较，如何用式子表达量的增大动态．）

在老师的帮助下，学生逐步完善到式子x1

2. 王老师的教学处理

问题1：画出下列函数图象，指出其变化趋势．

（1）f（x）=x；（2）f（x）=x2（以此函数为例，探究概念的形成）．

填写下表：

问题2：图象上升或下降，函数值和自变量的变化关系？

学生：通过表格数据发现，表1中x值增大，y的值也增大；表2中x值增大，y的值减小．

问题3：区间（0，+∞）上，函数单调递增，

区间（-∞，0）上，函数单调递减.

问题4：如何用数学式子表达x的增大？

学生：譬如：取两个值1，4，则1

问题5：在区间（0，+∞），x的增大怎么表达？

学生：（思考、讨论）得出0

问题6：类比x的增大，那么y的增大（减小）的表达是什么？

学生：（迫不及待地报出）y1y2）．

（师生一起整理探讨的过程，得到单调性的概念）

3. 观点与评析

两位老师都以二次函数y=x2为例，引导学生采用数学符号表达增（减）函数的概念． 但两位老师的教学设计有所不同．

周老师给出二次函数的图象，以填空的形式，引导学生关注区间以及x与y之间的变化情况，结合初中所给的y随着x的增大而增大（减小），引导学生如何用数学关系式表示x和y之间的这种变化，再通过三道判断题，完善了概念中的区间和任意性．指导学生对特殊的二次函数的增（减）性的表达迁移到一般的函数增减性的表达，从而得出函数单调性的概念． 周老师的导语贴近学生，问题设计易促动学生，又是步步以旧知带出新内容，学生很容易接受，也愿意接受新知识的扩充，学生的积极性和主动性比较高，学生积极参与整个过程．

王老师要求学生画好图和填写表格中x对应的y值，引导学生注意图象的上升（下降），并说明图象的变化与变量x和y之间的变化具有什么关系？学生完成表格，在表上很容易得到x增大，y的值增大（减小），再提示学生如何将这种变化情况表达出来．王老师通过一系列的本原性问题使学生突破了思维的瓶颈，让学生感受到：通过用任意的点x1和x2的大小关系来判断f（x1）和（x2）的大小关系，可以得到函数单调性的整体性质，这既让学生理解了教师最终给出的严格的单调性定义，也让学生体验到了如何用局部的点的任意性推演到函数的整体单调的性质这一数学思想方法． 这种从形变化引导学生用数来表达，将数形结合思想无形中遁于具体的操作，让学生在做中悟的做法很值得学习．

课本29页?摇例题2教学处理环节的比较与评析

1. 周老师的教学处理

练习：画出函数y=的图象，并写出单调区间．

学生：画出图象，写出区间（－∞，0），（0，+∞）． 有学生轻轻说，好像应该是（－∞，0）∪（0，+∞）． 学生均表现出疑惑，陷入思考． 片刻后，

教师：究竟是（－∞，0），（0，+∞），还是（－∞，0）∪（0，+∞）？

教师（追问）：为什么？请说明理由．

学生：是（－∞，0），（0，+∞）． 因为取x1=－1，x2=1，则y1

教师：（例2）如何用函数的单调性证明y=在（0，+∞）是减函数？

（学生思索后，由学生叙述，教师板书，共同完成，总结证明步骤的四部曲）

教师：（变题）如何证明y=（k为正常数）在（0，+∞）上是减函数？

学生：对比例2的过程，进行证明．

教师：（趁机抛出课本29页例题2）：物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大． 试用函数的单调性证明之．

学生：轻而易举地将问题归结为变题，轻轻松松解决了物理学中的问题，揭示了其数学本质．

教师：（变题）函数y=的单调性情况怎样？

学生：要对k进行讨论，分k>0和k0时，在区间（－∞，0），（0，+∞）上都是减函数；当k

2. 王老师的教学处理

与学生一起阅读课本29页例题2（略）后给出问题．

问题1：本例涉及了哪类函数模型？

学生：是反比例函数模型．

问题2：它的单调区间是什么？它们的单调性变化情况怎样？

学生：定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），所以有两个单调区间（－∞，0），（0，+∞），因为k>0，所以在两个区间上都是减函数． （部分学生反应敏捷，快速质疑，指出体积不能是负的）

学生：因为体积不为负，所以单调区间只有一个，在（0，+∞）上是减函数．

教师：及时点拨，提醒学生要注意实际问题需要满足的条件．

问题3：那如何证明它在（0，+∞）上是减函数?

思考几分钟后，由一个学生主述，其他学生修正，教师板书，共同完成，并总结证明的四个步骤．

3. 观点与评析

周老师先给出一道练习，回顾了反比例函数y=（x≠0）的图象，应用了单调性的性质，并且将学生中出现的单调区间为（－∞，0）∪（0，+∞）的现象进行了说明．很自然地过渡到例2，证明y=在（0，+∞）是减函数．此题的解决对抽象的定义进行步骤化，使学生对定义有进一步的理解．改变y=的分子1为k，一道变题，将高度提升，含参数的题目，顾及学习能力强的一部分学生，这一变也揭示了玻意耳定律p=（k为正常数）的数学本质，完成了课本中的例题．最后将k的条件放开，引入分类讨论的思想． 周老师通过变题，由一个基本问题变式而生成互相关联的问题链，使学生学一道题，会一类题，有助于学生掌握解决这类问题的规律，并使原有的孤立的、零碎的知识整体化，促进对知识块整体的认知，增强系统性和条理性，实现量与质的统一． 变题使得学生容易搞清相似的概念或题型情景间的联系与区别，不至于混淆，加深了基本概念的理解；通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和独创性． 周老师设计的题目环环相扣，步步深入，整个过程犹如行云流水． 虽然课堂气氛活跃，学生的思维训练得到发展，但遗憾的是学生练习的题量不多，是不是落实到位很难检测．

王老师先利用过渡语保持了课堂的自然与流畅，使物理问题在数学课堂上出现，让学生体验学科之间的融合． 王老师设计的3个问题紧紧围绕着解决例题的核心因素，又充分关注思想方法（数学建模思想、转化化归思想等）的渗透，使解决问题的过程始终是在数学思想方法的指导下进行的． 问题1帮助学生理解、分析题意，舍弃与数学无关因素，建立函数模型，将问题抽象转化成数学问题，梳理自变量和因变量之间的关系． 问题2指导学生在用数学方法解题时，碰到纯数学和实际的约束条件有出入时，如何适当的处理好这两者之间的关系． 对于问题3，在证明函数在（0，+∞）是减函数的处理上，王老师也始终不脱离本课的核心内容，回归到函数单调性的概念特征上去． 但是纵观整堂课的过程，此题的处理与前后的衔接不是很自然，显得有点孤立．

小结环节的比较与评析

1. 周老师的教学处理

小结：

1． 函数单调性的定义中有哪些关键点？

2． 判断函数单调性有哪些常用方法？

3． 利用函数单调性证明的步骤有哪几步？

2. 王老师的教学处理

本节课主要学习了以下内容：

1． 单调函数的图象特征；

2． 函数单调性的定义及其判断方法；

3． 证明函数单调性的步骤.

3. 观点与评析

周老师的小结以问题的形式让学生对本节课讲授的知识结构、主线进行归纳总结，加深对知识的巩固，锻炼学生的总结、概括能力． 王老师简明扼要地帮助学生回忆所学的内容，帮助他们进行知识梳理，辨清知识之间的联系． 两位老师都进一步强调这节课的重点和难点，帮助学生建立和完善他们的认知结构，提高他们解决问题的能力．

反思及对今后教学的启示

古罗马著名思想家普罗塔克曾经说过：“学生不是一个需要添满的罐子，而是一颗需要点燃的火种．” 两位教师都在导入环节非常注重激发学生学习兴趣与唤醒学习求知欲望，但好的导入还必须立足学发展区，紧扣教学重点与核心内容，这样才能在有效提升主体的内驱动力的同时为更有效地达成教学目标服务，好的导入是成功的一半．

新课程的指导思想之一就是强调问题性、启发性，指出遵循认知规律，以问题引导学习，在课堂中要以恰时恰点的问题引导数学活动，让学生经历思想方法的产生过程． 两堂课中都采用“问题链”形式给出有挑战性的问题，很好地激发了学生的研究热情，他们利用旧知，探讨解决方案的同时产生了新知识、新方法，使数学学习成了一个再创适的过程． 问题式的对话不只是简单的语言交流，而是我们要注重强调对“对话”空间和“对话”内涵的拓展，真正激发学生的学习兴趣，使学生的自主学习成为可能．好的问题能激活学生原有的知识结构，唤醒学生的运用意识．

篇3

关键词： 高考 导数 函数

导数的应用部分是以高一时学习的函数单调性为前提的，直接讲明判定可导函数增减性的方法，如果能利用好导数这个有效工具，便可以突破很多初等数学思想和方法上的局限，真正拓宽对数学问题的解决思路，简化解题步骤和提高解题能力.为此，本文以四道高考的典型题目为例，分别从解题思路、步骤及适当的拓展等方面入手，使之具有连贯性和逻辑性.

一、高考数学考试中对导数应用的考查

1.利用导数研究函数性质

把导数当做研究函数问题的“利刃”，可解决有关极值、单调性等问题，结合导数的思想，熟练掌握一般的求解步骤：

首先求导，并求出驻点，接着以驻点为界点划分定义域，最后在各区间内确定其增减性并由此判断出相应的极值.

首先，本题开门见山地给出了x≥0，a>0，因而ax+1>0.但是若没有此条件的限制，在求解过程中则可能忽视函数的定义域，从而一下子扩大了讨论范围，最终造成分类情况增多，继而出现错误.因此，在解决这类问题时要先求出函数的定义域，再往下继续求解，这点务必注意.

由于含有参数a，故在求导之后，令f′（x）=0.找出分界点，并求出函数的增减区间，注意分类标准要统一，不能前后不一致，换句话说就是不能变换讨论的对象.

二、结语

应用导数研究函数的单调性、极值、最值、凸凹性、拐点等可以较准确地画出中学阶段的大部分函数图像，为数形结合教学做好准备.只有真正理解导数的本质，考试时才能以不变应万变.由此可见，在导数部分的学习和复习中，教师和学生要防止简单将导数作为一种规则的步骤去学习，而不在理解思想性上动脑子的倾向.因此，教师和学生不应该把平时的训练重点放在对函数导数的纯技巧、高难度上，形成形式化的运算练习，而应当凸显导数的价值性，从根本上增强对导数的应用意识.

参考文献：

[1]洪毅.数学分析[M].广东：华南理工大学出版社，2003：56-58.

[2]李长明.导数与微分[M].贵阳：贵州人民出版社，1987：74-77.

[3]王元明.数学是什么[M].长沙：东南大学出版社，2003：56-59.

[4]杜德怀.高等应用数学[M].苏州：苏州大学出版社，2007：20-22.

[5]上海市教育委员会.高等数学[M].上海：中国科学院印刷厂，2005：35-38.

篇4

1.知识与技能

能从文字、形与数三方面解释说明增、减函数的概念及函数单调性的定义；初步学会利用函数图像和定义判断、证明函数单调性的方法。

2.过程与方法

结合生活实例及已学的特殊函数，通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法的运用；体会分类讨论思想及集合语言的运用，培养学生观察、归纳、抽象的能力；通过对函数单调性的应用，提高学生的推理论证能力。

3.情感、态度与价值观

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感受从具体到抽象，从特殊到一般，从局部到整体，从感性到理性的认知过程。

[教学过程]

（一）创设情境

师：刚才通过大屏幕我们欣赏到了四季更迭，应该说季节的变换让我们充分感受到自然之美，众所周知这种色彩的演变源于温度。今天就让我们从温度开始，进入今天的数学探索历程。让我们来看这样一个问题。（用多媒体展示问题，老师身入同学中）

师：问题1：观察沈阳市秋季某一天24小时，温度随时间变化的函数曲线。如图，分析随时间的逐渐推移，温度的变化情况。

■

生：从零时至3时温度下降，从3时至14时温度上升，从14时至24时温度下降。

师：很好。在这位同学清晰、准确的描述中，提到了两个关键词：上升与下降。（升高、降低）

师：请问：在我们学过的数学知识中，有没有类似具有既上升又下降（升高、降低）或仅上升、仅下降的例子，谁能举例？

生：一次函数的整体上是上升或是下降的，二次函数在对称轴左右的升降是相反的。

生：反比例函数。

（演示学生提出的实例，在生动活泼的氛围中，了解“上升与下降”图形特征）

师：如此多（实例）熟知的函数，都具有这种特征，为了更好描述这些事物的这种共性，教材用了两个字来形容，即“增、减”。若与函数相结合，我们就将这种具有“升高”或“降低”的特征函数，取名为“增函数”与“减函数”——统称函数的单调性。这就是我们这节要研究的主要内容。

（二）初步探索，展示内涵

第一层：归纳（图像特征）

师：由刚才温度函数曲线，可迅速观察出在某时间段上函数的“增、减”。若现在换个方向观察（从右到左），能否说此时因函数图像呈上升趋势就在这个时间段上是增函数，呈下降趋势就在这个时间段内是减函数？

生：不行。

师：一旦改换观察方向结果就大相径庭，为此，在这里我们将观察的方向作以统一规定。

第二层：数学符号表示

师：有了这个规定，由图像观察增、减函数简单易行，但我们知道有些函数的图像是难以画出的，特别对于存在无限延展的图像（例如二次曲线），更是受限于我们的视野及纸张等实际条件的约束，无法通过观察来判断远处的增、减。所以急待寻找一种更为严格、通用、可行的方法来定义增、减函数。“形”难以完美体现的，数学中我们就用“数”来形容。今天我们就一同来尝试用数的方式来体现图形的增减，进而来定义增、减函数。

师：如何将数与形联系在一起呢？如何用数体现形的增、减，现在我们借助以下的问题作以分析，从中你会有什么发现？

师：判断1、根据问题1中的图像，因为当1

生：错。

师：为什么？

生：在[3，14]上为增函数，1与15不在这个区间内。

师：很好。所以我们在表述增减时必须指明在同一区间内才可以研究。（板书：区间）

师：判断2、因为当8

生：错。

生：对。（出现意见上的分歧，分组讨论，派代表发言、演示）

师：判断3、因为当t1

生：错。

师：如何形容[3，14]上为增函数更准确？两点不行、多个有限点也不行？那应该多少个点？

生：任意点。

师：哪上的任意点？

生：区间上的任意点。（教师板书：任意）

师：如何实现任取？由于取定点、定值是不可行了，必须取变点，需要取几个变点呢？

（引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象得到函数单调性定义，帮助学生完成思维的飞跃）

生：两点。

师：如何实现任取？看图像，为方便我们从函数图像中截取一段进行研究。

生：函数在某区间上任意两点y随x的增大而增大；则函数在该区间上为增函数；函数在某区间上任意两点y随x的增大而减小；则函数在该区间上为减函数。

（学生可借助已有的认知基础很容易答出这样的表述，在表述中让各组畅所欲言，在对比中寻出更合理科学的表达方式。老师将有代表性的几种定义方式用展示屏台演示）

师：所有的定义方式都有哪些公共关键词？

生：区间，任意，增大，减少。

师：现在我们以这里面公认最优的这一定义表述为基础，如何用数学符号来表达？

生：对于函数f（x）的某个区间M上的任意两个自变量的值x1，x2，

（1）当x1

（2）当x1f（x2），则说f（x）在这个区间M上是减函数。

师：形容增、减有没有其他方式？

师：1到1.5如何去形容它们间的增，反之如何形容它们的减？（引入增量）

生：作差比较，差为正值时为增，差为负值时为减。

师：改变量定义：Δx=x2-x1，表示自变量x的改变量；Δy=f（x2）-f（x1），Δy表示因变量y的改变量。

师：板书概念：设函数的定义域为A，区间MA. 如果取区间M中的任意两个值，

（1）当改变量Δx=x2-x1>0时，有Δy=f（x2）-f（x1）>0，那么就称函数y=f（x）在区间M上是增函数。

（2）当改变量Δx=x2-x1>0时，有Δy=f（x2）-f（x1）

（3）单调性与单调区间

若函数y=f（x）在某个区间M上是增函数或减函数，则说函数y=f（x）在这一区间M上具有单调性，这一区间M叫做函数y=f（x）的单调区间。

师：科学定义有哪些关键词，有何特征？

生：“定义域、区间、任意”“同号则增，异号则减”即“同增异减”。

（三）循序渐进，延伸拓展

师：例1、如图，定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f（x）的图像，根据图像说出y=f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f（x）是增函数还是减函数。

■

生：函数y=f（x）的单调区间有[-5，-2），[-2，1），[1，3），[3，5]，其中y=f（x）在区间[-5，-2），[1，3）上是减函数，在区间[-2，1），[3，5]上是增函数。（小结判断函数单调区间的方法：从左至右）

师：例2、判断以下函数在定义域上的单调性，并加以证明。①f（x）=3x+2；

生：解：在R上为增函数；

证明：任取x1，x2∈R，且x1

则Δx=x1-x2>0

Δy=f（x2）-f（1）=（3x2+2）-（3x1+2）——作差

=3（x1-x2），——变形

Δx>0 Δy>0——判号

f（x）=3x+2在R上是增函数。——定论

归纳解题证明步骤：设元、作差、变形、判号、定论。

师：②f（x）=x2

生：解：在（-∞，0]上为减函数，（0，+∞）上为增函数

（两组证明（-∞，0]，两组证明[0，+∞），以竞争机制提高效率）

生：证明：①任取x1，x2∈（0，+∞），且x10，

Δy=f（x2）-f（x1）=x22-x12=（x2-x1）（x2+x1）>0，

f（x）=x2在区间（0，+∞）上是增函数。

②任取x1，x2∈（-∞，0]，且x10，

Δy=f（x2）-f（x1）=x22-x12=（x2-x1）（x2+x1）

f（x）=x2在区间（-∞，0]上是增函数。

师：你在证明中出现了哪些疑难？同学是如何将你的疑难解决的？

生：①出现x22-x12如何去解释：有理有据，不能评经验。

②单调区间的表示，不要写成范围，应写成区间。

（四）归纳总结，内化知识

由学生自己总结，再由师生共同归纳完善。

篇5

一、温故知新，在对话中生成新课

奥苏贝尔认为：“影响学习最重要的因素是学生己知的内容，弄清了这一点之后，进行相应的教学。”回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数等，学生随意选定以上几个函数的具体解析式，利用几何画板软件画出相应的函数图像。教师：请同学们结合自己画出的图形，观察所画•34•函数图像的升降变化，并说说自己的看法。学生1：从左至右看，一次函数的图像是上升的。学生2：从左至右看，二次函数在Y轴左侧是下降的，在Y轴右侧是上升的。学生3：从左至右看，反比例函数的图像在Y轴两侧是下降的。教师：比较所画的函数图像的升降变化情况，说一说它们的不同点。在这里，教师启发、鼓励学生畅所欲言，进行交流和讨论，表达出自己的看法。学生4：所画的图像有上升的，也有下降的。教师：那么它们上升或下降的范围有多大?学生5：可能是定义域上，也可能是定义域的某个区间。教师：所画的函数图像升降变化，不同函数相应升降变化区间各不一样，表现为：在某些区问上升，某些区间下降。我们常说：“数学是有用的，数学是自然的。”学生运用已有的知识，利用几何画板软件绘图，并从图像变化中获取对函数单调性的直观感知，建立数与形的结合，温故知新，符合学生的认知规律。这里，不同层次的学生亲身经历了做数学实验的过程，通过人机互动，实现了实践性对话。教师更多地启发学生输入具体函数解析式，亲自动手操作，在动态状态下观察图像的变化趋势以及升降特点，体会某一种函数在不同区间上的变化差异。此时，“教师越来越少地传递知识，越来越多地激励思考”，通过与学生对话，新的教学内容不断地生成与转化，师生共同分享理解新知识。

二、创设多元联系表示形式，在交流中重组，并建构单调函数概念

华罗庚说：“形缺数时难人微，数缺形时少直观。”以函数g(X)=X为例。教师：函数g(X)=X图像在Y轴右侧是上升的，在函数g(X)=X图像上任找一点P“按横坐标(即自变量)X增大”的方式移动时，点P的纵坐标(即函数值)Y的变化规律如何?教师指导学生利用几何画板软件的“度量坐标”功能，在函数g(X)=X图像上任找一点P并拖动它，测出其坐标。学生自主观察，并思考问题。学生6：在Y轴右侧，拖动点P，随着自变量x的增大，函数值Y也增大。师生间、学生间相互沟通，相互补充，达成共识，总结规律后，给出增(减)函数的自然语言描述。学生7：在某个区间I上，若随着自变量X的增大，函数值y也增大；在区间I上，若随着自变量X的增大，函数值y减少。在这里，学生学会用自然语言描述图像“上升”、“下降”的特征，学生对单调函数概念的学习，从定性分析过渡到定量分析，从直观认识过渡到数学符号表述。教师指导学生利用几何画板软件进行如下操作：(1)在区间[0，+oo)上，从0开始，拖动点P，每隔0．1秒取一个自变量的值，算出其对应的函数值表(如图1(1)所示)。(2)在区间[0，+oo)上，从2开始，拖动点P，每隔0．5秒取一个自变量的值，算出对应的函数值表(如图1(2)所示)。(3)在区间[0，+oo)上，从5开始，拖动点P，每隔1秒取一个自变量的值，算出其对应的函数值表(如图1(3)所示)。(4)在区间[0，+。。)上，从0开始，拖动点P，任选一个自变量的值作起点，随机地取一批自变量的值，算出其对应的函数值表(如图1(4)所示)。教师：结合以上的实验操作，观察以上表格中，自变量X的值从小到大变化时，函数值Y是如何变化的。学生通过自己动手操作进行尝试，得到对应的函数值表，进行数据分析，各自表述发现的规律。教师及时抓住时机，鼓励学生大胆用自己的语言回答问题，教师加以纠正和引导，并给予评价，形成正确的结论：任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大。教师：由于刚刚所验证的是一些具体的有限个的自变量的值，如果任意给出一些[0，+O0)上的x，X的值，当X<x时，能否验证都有X<X；呢?学生8：如果给出具体数值，容易验证，但区间内的值有无限个。学生陷人思考之中，不知如何是好。一会儿后，有学生提出：不给X，X赋具体数值，当X<X时，验证X<X成立，行吗?学生9：太好了，这就体现X，X：取值的任意性了。学生10：若x<x；成立，转化为验证X一X；<0即可。此时，课堂气氛也活跃起来，大家进行热烈讨论，教师参与其中，师生在相互倾听和接纳过程中，更好地理解知识和珍视差异。学生11(交流讨论后)：事实上，。．‘x1+x2>0，X1一X．<0．‘．f(X1)一f(X2)=X—X=(X1+X2)(Xl—X2)<0，得X<X即f(X1)<f(X2)。以上表述过程，教师引导学生用函数解析式来描述。再次操作确认，通过逻辑推理，从理论上给出单调函数定义形式化的表达。正如波利亚在《怎样解题》中提到的：“严格表述的数学是一门系统的演绎科学，但在形成过程中的数学则是一门实验性的归纳科学。”教师：我们把具有函数值随着自变量的增大而增大这种性质的函数叫增函数。教师：我们应如何定义增函数?教师进一步从具体函数g(X)=X延伸到一般函数Y=f(X)，引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，完善后给出增函数的定义，从具体到一般引出增函数的定义。教师：从函数图像上可以看到，函数g(X)=X在Y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出什么结论?学生通过观察、验证，讨论、交流，师生共同得出减函数的定义，由此培养学生的类比能力。教师：大家能分析一下增(减)函数定义中的要点吗?教师首先让学生自主阅读课本中的概念，寻找增(减)函数定义的要点，在此基础上，教师指导学生体会定义中关键字、词和句，如：“某个区间D上的任意两个自变量的值”、“都有”等。学生l2：我们能说函数g(X)=X在X=0是增函数吗?学生13：不行吧，概念中指明单调区间内取值。教师：非常好，说明大家阅读是比较认真的，函数在某一个点处是没有单调性的。通过定义分析，实现师生和文本对话，学生把定义与图形结合起来，使新旧知识融为一体，加深对单调函数概念的理解，同时也渗透数形结合的数学思想。

三、深入自主探究，在共享中巩固并倍增新知

教师：请同学们利用几何画板软件，画出函数Y=X一3x一9x在(一3，5)内的图像，并指出它的单调区间。教师：现在我们来思考必修一课本中的探究题：•36•函数f(x)=的定义域I是什么?它在定义域I上的单调性是怎样的?你能用定义证明自己的结论吗?学生14：定义域I是(一∞，0)u(0，+。。)，函数在定义域上是减函数。学生15：好像不对吧，从函数图像上看，从左至右，它的图像不是一直下降的。学生16：现取两个值，X=一1，X：=1，可得f(X1)=一1，f(X2)=1此时X1<X2，f(X1)<f(X2)。学生一下子感觉茫然了，找不出问题关键所在。教师：回到定义，大家是否注意到这样的话：“某个区间D上的任意两个自变量的值”，这里任意两个自变量的值是否应该在同一个单调区间来取值呢?如何更_tY_．fl0才获得的结论呢?学生17：函数f(X)在区间(一∞，0)和(0，+∞)上是减函数。教师：回答很好。如何证明你们的结论呢?学生18(交流讨论后)：任取0<x<x2，所以x一x1>0，X1‘2>0则f(x1)一f(x2)=一=>o所以函数f(X)在区间(0，+∞)上是减函数，同理可证，函数f(X)在区间(一o。，0)也是减函数。教师：以上题目的解题过程，请大家概括一下用定义证明一个函数是某个区间上的增(减)函数的一般步骤。学生(协作讨论)：取值一作差一判断符号一得出结论。

四、回顾总结

篇6

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来更深刻地认识函数的概念。二次函数是从一个数集A（定义域）到数集B上的对应f：AB，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax+bx+c（a≠0）。这里ax+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在集合B中的对应元素，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

题型I：已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.

这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

题型Ⅱ：设f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1在集合B中的对应元素为x-4x+1，求定义域中元素x的在集合B中的对应元素，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。

f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.

（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都适用。

令t=x+1，则x=t-1，所以f（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，从而f（x）=x-6x+6.

二、二次函数的单调性、最值与图像

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax+bx+c（a≠0）在区间（-∞，-］及［-，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习与二次函数有关的一些函数的单调性。

题型Ⅲ：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性。

（1）y=|x+2x-1|?摇（2）y=x+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数表示，然后画出其图像。

题型Ⅳ：设f（x）=x-2x-1在区间［t，t+1］上的最小值是g（t），求：g（t），并画出y=g（t）的图像.

解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1时取最小值-2

当1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2

当t＞1时，g（t）=f（t）=t-2t-1

当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t-2

g（t）=t-2，（t＜0）-2，（0≤t≤1）t-2t-1，（t＞1）

首先要使学生弄清楚题意。一般的，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=x-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域.（可适当改变区间）

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

题型Ⅴ：设a为实数，函数f（x）=2x+（x-a）|x-a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；

（2）求f（x）的最小值；

（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接写出（不需给出演算步骤）不等式h（x）≥1的解集.

解析：本小题主要考查函数的概念、性质、图像及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

（1）若f（0）≥1，则-a|a|≥1?圯a＜0a≥1?圯a≤-1

（2）当x≥a时，f（x）=3x-2ax+a，f（x）=f（a），a≥0f（），a＜0=2a，a≥0，a＜0

当x≤a时，f（x）=x+2ax-a，f（x）=f（-a），a≥0f（a），a＜0=-2a，a≥02a，a＜0

综上f（x）=-2a，a≥0，a＜0

（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1得3x-2ax+a-1≥0，=4a-12（a-1）=12-8a，

当a≤-或a≥时，≤0，x∈（a，+∞）；

当-＜a＜时，＞0，得：（x-）（x-）≥0x＞a

讨论得：当a∈（，）时，解集为（a，+∞）；

当a∈（-，-）时，解集为（a，］∪［，+∞）；

当a∈［-，］时，解集为［，+∞）.

篇7

数学教学过程总是充满了矛盾，如教与学的矛盾、学生认知特点与数学学科特点的矛盾、学生认知发展水平与数学教学内容的矛盾等.有矛盾才能有发展，其中，学生现有的知识基础、能力水平与教学要求之间的矛盾是数学教学的决定性动力.作为教师，应努力做到敏锐地发现、深刻地认识各种矛盾，进而在教学中科学合理地暴露、“创设”甚至“激化”矛盾，以帮助学生在解决矛盾的过程中发展自己的认知结构、提升自己的数学素养，这可以充分体现出教师的专业水平、教学能力与教学智慧.

“函数的单调性”是反映函数变化规律的一个最基本的性质，是学生学习了函数概念后研究的第一个函数性质，也是学生在高中阶段遇到的第一个用数学符号语言刻画的概念，对学生进一步学习函数的其它性质具有示范和引领作用.本节课汇集了数学教学的诸多矛盾，如何在教学中处理好这些矛盾，特别是其中的主要矛盾，对每个数学教师都是一项极具挑战性的任务.笔者认为，“函数的单调性”教学，关键是要深刻认识、科学处理以下“三个矛盾”.1 “上升”、“下降”、“单调”等名词的数学意义与学生的生活理解之间的矛盾

“函数的单调性”教学，通常是从现实生活入手――展示某地某天的气温变化图、举出生活中描述“升降”变化规律的成语（如蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏）并画出相应的函数图象等，然后让学生观察得到：函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，而在另一个区间内呈下降趋势，此时教师指出：函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质――单调性，接下来引导学生用自然语言进行描述，并体验单调性是函数的局部特征（教师可在此处提前介绍“增函数”、“减函数”、“单调区间”等名词）.

这里，“上升”、“下降”、“单调”的数学意义与学生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若从A到B是“上升”，则从B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那样，仅仅考虑了铅垂方向；而在数学中，若x增大时y也随之增大，则称函数y=f（x）“上升”，若x增大时y随之减小，则称函数y=f（x）“下降”，是水平与铅垂这两个方向的“合成”.在生活中，“单调”是指“重复而缺少变化”；而在数学中，“单调”是指“随着自变量的增大，函数值始终增大或始终减小”，是不断变化的.对此，有些学生可能会因区分不清而产生错误理解.例如，对于函数y=x2（x≥0），有学生认为：x由小到大时，y是“上升”的，x由大到小时，y是“下降”的；又如，对于函数y=2，有学生认为它是“单调”的，理由是“y始终没有变化”.

因此，在本节课的教学中，教师应明确地指导学生将数学名词与日常概念区分开：

（1）对于同一段函数图象来说，在数学上它究竟是“上升”还是“下降”，应该是确定的，不能产生歧义.因此，我们选择x轴正方向作为参照，从左往右，沿着图象“策马前行”，函数图象的“上升”“下降”就有了统一的规则和统一的结论；

（2）数学上的“单调”，其本身也含有“重复而缺少变化”的意味，但它不是指函数值始终保持不变，而是指函数在某个区间“上升”“下降”（或“增加”“减少”）具有不变的规律性，反映的是一种“变中的不变性”，当然也显得“单调”.

2 学生已有的知识基础和认知习惯与新知学习的必要性之间的矛盾

我们知道，“精确定量思维方式”是数学教育所能给予学生的最重要和最基本的数学素质，也是培养学生理性精神的最好体现.在高中阶段，“函数的单调性”定义之所以要进一步符号化（形式化），正是基于数学精确化、严谨性的要求.只有这样，学生才可以通过准确的计算进行推理论证，以保证结论的严密性，在此过程中逐渐培养并形成“算法的思维”.

然而，学生在初中已经接触过一次、二次、反比例函数，对函数的单调性已经初步有了直观形象的认识：图象从左往右上升（y随x的增大而增大）是增函数，图象从左往右下降（y随x的增大而减小）是减函数.他们会觉得这种定义通俗易懂、易于接受，用它解决函数的单调性问题时也没遇到过什么困难，进而产生疑问：为什么还要费尽周折地去学习符号化（形式化）定义呢？岂不是“多此一举”！学生一旦在心理上排斥新知，那么教与学的效果都将大打折扣，这是一个很重要的问题.

因此，在学习抽象的定义之前，教师应针对性地设置“认知冲突”，以便让学生充分体验到学习新知的必要性，增强研究的兴趣和积极主动性.例如，可让学生依据函数单调性的图象特征或自然语言描述，尝试判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.由于学生对该函数的图象性质并不熟悉，因此无法判断函数图象呈现什么样的变化趋势，也难以根据函数解析式描述其变化规律.此时，学生就会自然意识到自己知识上的欠缺，认识到用精确的数学语言刻画定义的必要性，从而进入一种“愤悱状态”，产生较强劲的学习动力.

3 学生现有的思维水平与函数单调性定义的思维要求之间的矛盾

这是本节课教学的核心矛盾.刚进入高一的学生，其思维处于从经验型水平向理论型水平转变的阶段，仍然偏于简单化、直观化，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.函数单调性的定义，是数学概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.从“随着x增大，y也增大”这一自然语言转换到“对于某区间上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”这一数学符号语言，跳跃性较大，学生非常不习惯，特别是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1<；x2，通过比较f（x1）与f（x2）的大小来刻画函数的单调性，学生更是感到难以理解，容易产生思维障碍.

为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.

以下是笔者施教这一环节时的具体设计：

问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？

教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.

问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？

教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；

若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：

以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.

问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？

教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.

至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.

问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？

学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.

问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.

这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.

问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；

（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；

（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.

篇8

1. 几何方面的应用 在导数概念的基础上，结合函数图像来研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程y=f（x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。

下面给出求曲线的切线方程的方法步骤：

（1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）

例1. 试求曲线y=xlnx上点（1，2）的切线方程

解： 对函数f（x）=xlnx

求导得f'（x）=lnx+1

所以f'（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为

y-2=1（x-1）

即 y=x+1

切线方程： y=x+1

先求出函数y=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。

例2. 求垂直于直线2x-6y+1=0并且和曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程。

解 因为所求的直线与已知直线2x-6y+1=0垂直

所以所求直线的斜率 k1=-3

又因为所求直线与y=x3+3x2-5相切，

所以它的斜率 k2=y'=3x2+6x

因为k1=k2 即 3x2+6x=-3

所以（x+1）2=0 即 x=-1

代入曲线方程得 y=（-1）3+3（-1） 2-5=-3

所以切点为 （-1，-3）

故所求直线方程为y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0 。

2. 在函数方面的应用 运用导数知识研究函数性质的试题，研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等命题常以复合的函数形式出现。

2.1 函数单调性的讨论。（1）利用导数的符号判断函数的单调性。函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断f（x1）-f（x2）正负较困难。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出f'（x） ，再考虑f'（x）的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。

利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。

一般地，在某个区间（a，b）内，如果f'（x）>0 ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f'（x）<0 ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。

如果在某个区间内恒有f'（x）=0 ，则f'（x）是常函数。

注意：在某个区间内， f'（x）>0 是f'（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。

（2）求函数y=f（x）单调区间的步骤。

①确定y=f（x）的定义域；

②求导数解f'（x）=0 此方程，求出它们在定义域区间内的一切实数根。

③当f'（x）>0时， y=f（x）在相应区间上是增函数；当f'（x）<0时， y=f（x）在相应区间上是减函数。

例3. 判定函数y1=x3-x和y2=x3+x在（-∞，+∞）上的增减性。

解： y'1=3x2-1=3（x+13）（x-13）

当y'1>0 得 x<-13或x>13

当y'1<0 得 -13

所以y1=x3-x在（-∞，-13）和（13，+∞）内单调递增，在（-13，13）内单调递减。

因为y'2=3x2+1>0 ， 故y2=x3+x在（-∞，+∞）上单调递增。

2.2 函数的极值的求法。

例4.求函数f（x）=13x3-4x+4的极值。

解：因为 f（x）=13x3-4x+4，所以f'（x）=x2-4=（x-2）（x+2） 。

令f'（x）=0 ，解得x=2或x=-2 。

下面分两种情况讨论：

（1）当f'（x）>0 ，即x >2或x <-2时；

（2）当f'（x）<0 ，即-2

当x变化时，f'（x） ，f（x） 的变化情况如下表：

因此，当x=-2 时， f（x）有极大值，并且极大值为f（-2）=283 ；

当x=2 时， f（x）有极小值，并且极小值为f（2）= -43。

点评：求可导函数的极值的步骤可归纳为：

（1）求导数f'（x） ；

（2）求方程f'（x）=0 的根；

（3）检查f'（x） 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x） 在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个点出取得极小值。

2.3 函数的最值求法。极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小。当然函数在某个区间上一定是连续的不断的曲线，它必有最大值和最小值。

例5. 求函数y=cos2x+cosx+1 的极值和最值。

解： y'=-2cosxsinx-sinx ，

令y'=0 得 sinx（2cosx+1）=0

解得sinx=0或cosx=- 12， 由sinx=0 可得：

cosx=1或cosx=-1 ，因此，

当cosx=- 12 时，得y极小 = 34；

当 cosx=1时， 得 y极大=3；

当cosx=-1 时，得y极大=1 。

则ymax =3， ymin= 34

最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点。它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径。用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。

一般地，求函数f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求 f（x）在（a，b） 内的极值；

（2）将 f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b） 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，从而得出函数f（x） 在[a，b] 上的最值。

3. 利用导数解决实际优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，也称为最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题。

例6.有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

解：设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，所需水管总费用为y元，

则y=500（50-x）+700 x2+402=25000-500x+700 x2+1600，

y'=-500+700x12（x2+1600）-122x=-500+700x x2+1600，令 y'=0，解得 x=50 63

当x∈[0，50 63） 时，y'<0 ；当x∈[50 63，50） 时，y'>0 ，所以当 x=50 63时， y'取得极小值，也是最小值。

答：水厂建在距甲距离为50-50 63 千米时，所需水管费用最省。

解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把得主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题。再化归为常规问题，选择合适的数学方法解题。

“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题的最大（小）值，其主要步骤如下：

（1）列出实际问题的数学模型，写出实际问题中的变量之间的函数关y=f（x）系 ；

（2）求函数的导函数f'（x） ，解方程f'（x）=0 ；（3）比较函数在区间端点和使f'（x）=0 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。

导数在高中数学中只能介绍一些简单的应用。对于高中学生，这一部分内容不能挖掘太深，因为导数的引入，本质上就是将初等数学中一些高难度、繁杂的问题简化。但也要求学生对该部分内容要掌握其实质，弄清楚与其他各章节内容的联系。从解决上述三个方面的应用中可以看到，导数在应对复杂的数学问题时，感觉有入手易，过程简便的优势，它的最终目的还是考查函数的性质。所以我们不仅要掌握导数的概念，求导的公式和求导的法则及其简单应用，包括求函数的极值、单调区间。证明函数的增减性等，还要学会把导数与其它知识相结合，去寻找求一些复杂问题的简单解法。

参考文献

[1] 普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2A版，人民教育出版社

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思维品质包括思维的深刻性、严密性、灵活性、敏捷性、独立性等。如何有效地培养学生的思维思维品质呢？我在教学实践中作了一些探索：

一、思维深刻性的培养

函数作为数学教学的主线，贯穿于数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

二、思维严密性的培养

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

S=X(50-X)故函数关系式为：S=X(50-X) ．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：0

即：函数关系式为： S=X(50-X)（ 0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

三、思维灵活性的培养

思维的灵活性指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。 实践证明讲什么练什么的单一反馈模式易使学生形成错误定势，不利于学生知识的掌握，技能的形成和素质的发展。因此应重视对学生进行多角度的类比训练，使学生举一反三，触类旁通，引导学生关心解决问题的思考过程及采用策略。 如在讲授反正弦函数时，教师可以这样安排讲授：

①对于我们过去所讲过的正弦函数Y=SinX是否存在反函数？为什么？

②在（-∞，+∞）上，正弦函数Y=SinX不存在反函数，那么我们本节课应该怎么样研究所谓的反正弦函数呢？

③为了使正弦函数Y=SinX满足Y与X间成单值对应，这某一区间如何寻找，怎样的区间是最佳区间，为什么？

讲授反余弦函数Y=ArcCosX时，在完成了上述同样的三个步骤后，我们可向学生提出第四个问题：

④反余弦函数Y=ArcCosX与反正弦函数Y=ArcSinX在定义时有什么区别。造成这些区别的主要原因是什么，学习中应该怎样注意这些区别。

四、思维独立性的培养

教学中要创造性地使用教材和借助形象思维的参与，培养学生思维的独立性。 例如我在《等比数列求和公式》的教学中，首先讲了这样一个故事：甲、乙两人订立了一个合同，一个月内甲每天需付给乙1万元，而乙第一天需付给甲1分钱，第二天2分钱，第三天4分钱……，以后每天乙付给甲的钱数都是前一天的2倍，直到30天期满．猜想一下，这一合同对谁有利？由于问题富有趣味性，学生顿时活跃起来，凭自己的自觉猜测结论．我及时点题：这就是我们今天研究的课题《等比数列求和公式》．这样巧设悬念，使学生一开始就对问题产生浓厚的兴趣，自觉地启动积极的思维。

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1． 串联情况：本部分是函数内容的基础． 重点是了解函数的定义，会求简单函数的定义域、值域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 在熟练掌握有关技能的同时，注意换元、待定系数法等数学思想方法的运用，并通过对分段函数、复合函数、抽象函等的认识，进一步体会函数关系的本质．

2． 考情分析：从近几年来看，对本考点的考查形势稳中求变，向着更灵活的方向发展，多为寻求变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质来解决问题．考查以选择或填空题为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大．

3． 破解技巧：

（1）函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，一般是构建不等式组求解．

（2）要克服“函数就是解析式”的片面认识，其中列表法、图象法直观，解析法是常用表述法，同时也要注意自变量的实际意义的要求．

（3）确定函数f（x）的值域或最值一般用不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用它的图象和性质求解，还可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域．

4． 经典例题：

函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg［（x－a－1）（2a－x）］（a

（1）求A；

（2）若BA，求实数a的取值范围．

破解思路 实数集合间的相互关系一般需注意数轴（或韦恩图）的利用；含参问题讨论需注意合理的分类讨论．

经典答案 （1）由2－≥0得x

（2）由（x－a－1）（2a－x）>0得［x－（a+1）］（x－2a）

设函数f（x）=x－1（x≥0），（xa，则实数a的取值范围是_______.

破解思路 分段函数体现了“分类”的数学方法，也是高考命题的热点之一． 解此类问题一般需从两方面考虑问题，必要时可结合图象处理．

经典答案 法1：当a≥0时，有a－1>a，得a

法2：分别作出函数f（x）的图象与函数y=x的图象，用两函数交点的横坐标确定取值范围．

1． 串联情况：函数的图象与性质是函数的主体部分． 考查形式灵活多变，一般是通过函数与不等式、导数或数列的交汇与链接，借助函数图象的直观工具，全面考查函数的奇偶性、周期性及单调性等基础知识，同时考查数形结合、抽象思维、逻辑推理及创新能力．

2． 考情分析：函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，函数图象是函数形的体现，着力考查作图、识图、用图能力． 从近几年来看，以中等难度、题型新颖的试题综合考查函数的性质，预计以组合形式、一题多角度考查函数性质的试题会成为新的热点．

3． 破解技巧：函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，学习本单元要从定形、定性、定位各方面深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法；掌握函数图象变化的一般规律，并灵活运用图象辅助解题．

4． 经典例题：

设函数f（x）=x2+2x－a（x∈R，a为实数）

（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；

（2）设a>2，求函数f（x）的最小值．

破解思路 （1）函数的奇偶性问题，一要确定函数的定义域，二要看f（x）与f（－x）的关系；

（2）讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②注意系数a的符号对抛物线开口方向的影响．

经典答案 （1）由偶函数的定义得f（－x）=f（x），即2x－a=2x+a，解得a=0．

（2）f（x）=x2+2x－a（x≥a），x2－2x+a（x2，x≥a，得x>1，从而f（x）在x≥a时单调递增， f（x）的最小值为f=．

当x0知f（x）的最小值为a－1．

假设定义域为［0，1］的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：

①对任意的x∈［0，1］，总有f（x）≥0；

②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列判断正确的有_________．

（1）f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；

（2）函数g（x）=2x－1在区间［0，1］上是“友谊函数”；

（3）若f（x）为“友谊函数”，且0≤x1

破解思路 解决抽象函数问题一般有三种思路：

①利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用；

②适当的“赋值”也是得到一些基础结论的好方法；

③寻求函数“模型”通过简图处理．

经典答案 （1）取x1=x2=0得f（0）≥f（0）+f（0），又由f（0）≥0，得f（0）=0．

（2）显然g（x）=2x－1在［0，1］上满足①g（x）≥0；②g（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有g（x1+x2）－［g（x1）+g（x2）］=2－1－［（2－1）+（2－1）］=（2－1）（2－1）≥0，故g（x）=2x－1满足条件①②③，所以g（x）=2x－1为友谊函数．

（3）因为0≤x1

综上，正确答案是（1）（2）（3）．

定义在R上的偶函数f（x）满足：f（2－x）=－f（x），且在［－1，0］上是增函数，下面关于f（x）的判断：

①f（x）是周期函数；

②f（5）=0；

③f（x）在［1，2］上是减函数；

④f（x）在［－2，－1］上是减函数．其中正确的判断是________.

（把你认为正确的判断都填上）

破解思路 研究函数图象，可以从“数”和“形”两个方面入手，即解析式定量分析与图象的定性分析．

经典答案 因为f（2－x）=－f（x），所以f（x）有对称中心（1，0）．

又f（2－x）=－f（x），所以f（x）= －f（2－x），所以f（x+4）=－f［2－（x+4）］= －f［－（x+2）］．

又f（x）为偶函数，所以f（x+4）= －f（x+2），所以f（x+4）=f［2－（x+2）］=f（－x）=f（x），所以4是f（x）的一个周期．

从而由图象可知其中正确的判断是①②③．

1． 串联情况：二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延． 作为最基本的初等函数，可以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其他平面曲线讨论相互之间关系．

2． 考情分析：有关二次函数的内容与近、现代数学发展紧密联系，是我们进入高校继续深造的重要知识基础． 从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考查力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用． 高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关．

3． 破解技巧：学次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图象特征． 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，从图象特征出发，可以实现数与形的自然结合．

4． 经典例题：

已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=fx－是偶函数．

（1）求f（x）的解析式．

（2）已知t

（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

破解思路 （1）待定系数法是求二次函数解析式的基本方法，可设一般式、顶点式、两根式，若是结合图象处理可获简洁过程．

（2）确定函数f（x）在［a，b］上的值域，可直接利用它的图象和性质求解；也可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域．

经典答案 （1）因为函数y=fx－是偶函数，对称轴方程为x=－，故b=1．

又因为二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．

因此， f（x）的解析式为f（x）=x2+x+11．

（2）g（x）=（x-2）•x，当x≤0时，g（x）=－（x-1）2+1，当x>0时，g（x）=（x-1）2－1，由此可知g（x）max=0．

当1≤t

当1－≤t

当t

（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），其中m为正整数，n为自然数，则m2+m+11=n2，从而4n2－（2m+1）2=43，即［2n+（2m+1）］［2n－（2m+1）］=43．

注意到43是质数，且2n+（2m+1）>2n－（2m+1），2n+（2m+1）>0，所以有2n+（2m+1）=43，2n－（2m+1）=1，解得m=10，n=11.

因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）．

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2．

（1）如果x1

（2）如果x1

破解思路 在求解二次方程根的分布问题时，要灵活运用判别式、边界函数值、对称轴等来转化运算过程． 本题条件x1

经典答案 设g（x）=f（x）－x=ax2+（b－1）x+1，则g（x）=0的两根为x1和x2．

（1）由a>0及x1

即3+3•－

（2）由（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=－， 可得2a+1=． 又x1x2=>0，所以x1，x2同号．

所以x1

即g（2）0，2a+1=或g（－2）0，2a+1=，解之得b．

本题还可拆分为以下两道较简单的问题：

（拆分1）集合A=｛（x，y）y=x2+mx+2｝，B=｛（x，y）x－y+1=0，且0≤x≤2｝，若A∩B≠，求实数m的取值范围． （答案：m∈（－∞，－1］）

（拆分2）已知关于x的方程x2－2tx+t2－1=0的两个实根属于区间（-2，4），则实数t的取值范围是_______．（答案：－1

把题设中“两个实根属于区间（-2，4）”改为“至少有一实根属于区间（-2，4）”或“至少有一实根属于区间［－2，4］”或“一实根大于4，一实根小于-2”作为练习效果更好．

已知函数f（x）=ax2+（b－8）x－a－ab（a≠0）. 当x∈（－3，2）时， f（x）>0；当x∈（－∞，－3）∪（2，+∞）时， f（x）

（1）求f（x）在［0，1］内的值域；

（2）当c为何值时，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立？

破解思路 （1）确定函数f（x）在［a，b］上的值域，可直接利用它的图象和性质求解，也可利用单调性的定义或导数法确定其有关性质，再求值域.

（2）关于不等式恒成立的问题，常见解法有数形结合法、分离参数法与主元法. 多数与参数取值范围有关的问题，都可转化为恒成立问题来处理. 如以下两道题.

（拆分1）设f（x）=x2－2ax+2，当x∈［－1，+∞）时， f（x）≥a恒成立，则实数a的取值范围是__________. （答案：a∈［－3，1］）

（拆分2）已知函数f（x）=lg（2x－b），b为常数，若当x∈［1，+∞）时， f（x）≥0，则（ ）

A. b≤1 B. b

C. b≥1 D. b=1

（答案:A）

经典答案 由题意得x=－3和x=2是函数f（x）的零点，且a≠0，则0=a•（－3）2+（b－8）•（－3）－a－ab，

0=a•22+（b－8）•2－a－ab.解得a=－3，

b=5.所以f（x）=－3x2－3x+18.

（1）由函数图象知，函数f（x）在［0，1］内单调递减，当x=0时，y=18；当x=1时，y=12. 所以f（x）在［0，1］内的值域为［12，18］.

（2）令g（x）=－3x2+5x+c，则g（x）在，+∞上单调递减. 要使g（x）≤0在［1，4］上恒成立，则需g（x）max=g（1）≤0，即－3+5+c≤0，解得c≤－2. 所以当c≤－2时，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立.

1． 串联情况：本部分主要侧重考查以下几点：一是以指对数运算为依据，考查求函数值、对数式与指数式的互化；以考查单调性为目的的大小比较；以指数或对数函数为载体，以某一性质为核心，结合其他知识，把问题延伸，主要以考查知识的综合运用和能力的发展为目的．

2． 考情分析：指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位． 从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题． 题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质． 若它们与其他知识点交汇命题，则难度会加大．

3． 破解技巧：指数函数与对数函数互为反函数，运算可相互转化，性质可相互理解，方法可相互借鉴．

（1）学会指数式与对数式的相互转化；

（2）结合指对数“互反”性质记忆有关的概念、图象和性质．

（3）底是参数时，一定要区分底是大于1还是小于1的，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域．

4． 经典例题：

已知函数f（x）=ax（x

A． 0， B． （0，1）

C． ，1 D． （0，3）

破解思路 本题考查意图：一是解决指数函数的相关问题时，要对底数a进行讨论；二是考虑分段函数的单调性问题，这是学习的一个难点，应紧扣定义理解．

经典答案 由条件知， f（x）在R上为减函数，则0

设函数f（x）=loga1－，其中0

（1）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；

（2）解不等式f（x）>1．

破解思路 证明函数单调性的常用方法有：

定义法，一般是作差、分解、判断.

导数法，若f（x）在某个区间A内有导数，则f ′（x）≥0（x∈A）f（x）在A内为增函数；

f ′（x）≤0（x∈A）f（x）在A内为减函数．

经典答案 （1）任取x1，x2∈（a，+∞），且x1f（x2），所以f（x）是（a，+∞）上的减函数．

（2）由01得loga1－>logaa，则0

已知函数f（x）=a－，

（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；

（2）求证：不论a为何实数， f（x）在R上总为增函数；

（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

破解思路 （1）判断函数的奇偶性，先考察定义域，再利用定义判定；

（2）解决具体函数的单调性问题，一般可用单调性定义解决；也可用求导方法解决． 但用定义证明要注意合理的判断过程．

经典答案 （1）函数f（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，所以f（0）=0=a－1，所以a=1；

（2）函数f（x）在（－∞，+∞）上是增函数，证明如下：设x1，x2∈R，且x1

因为函数y=2x在R上是增函数，且y>0，又因为x10，所以f（x1）

（3）由单调性知2x+1>1，则0

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）求证：f（x）为奇函数；

（2）若f（k•3x）+f（3x－9x－2）

破解思路 利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解．

经典答案 （1）证明：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0，代入上式，得f（0）=0；再令y=－x代入上式，得f（x－x）=f（x）+f（－x）=f（0）=0，即f（－x）=－f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．

（2）f（3）=log23>0，即f（3）>f（0），又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，且f（x）是奇函数．f（k•3x）

令t=3x>0，问题等价于g（t）=t2－（1+k）t+2>0对任意t>0恒成立．

当

当≥0，即k≥－1时，则g=2－>0，得－1≤k

综上，当k

1． 串联情况：本部分内容在高考中地位并不非常突出，但属于必考内容，整个命题过程源于教材，又高于教材，是教材中问题的延伸、变形与组合，主要以考查知识的综合运用和能力的发展为目的．

2． 考情分析：函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解一定是高考的考点． 题型可为选择题、填空题和解答题，多为函数零点（即方程的根）的应用问题，即已知函数的零点的存在情况求参数的值，同时考查函数方程的思想．

3． 破解技巧：解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．

4． 经典例题：

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时， f（x）=log0.5（x+1）（0≤x

破解思路 奇偶函数的问题，可以根据对称性先研究一部分，数形结合是解决此类问题的常用方法．

经典答案 因为x≥0时， f（x）=log0.5（x+1）（0≤x

综上S=－1（－1

1． 串联情况：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题．

2． 考情分析：对函数与导数的交汇考查非常全面，所占分值较高，既有基本题也有综合题． 一般以两种形式考查：一是直接把导数应用于多项式函数性质的研究，考查多项式函数的单调性、极值、最值等：二是把导数与函数、方程、不等式、数列等相联系，进行综合考查，主要考查函数的最值或求参数取值范围问题．

3． 破解技巧：首先确定函数的定义域，再求导数f ′（x），得到导函数的零点，一般列表判定单调区间与极值或最值；若是含参变量的单调性或极值问题，则应结合定义域对方程根的问题进行讨论；求解某些综合问题时，还要进行命题转化（如恒成立、大小比较、数列问题等），逐步化归为基本问题来解决，尤其要注意分类讨论、数形结合等思想的综合运用．

4． 经典例题：

已知函数f（x）的定义域为［－3，+∞），部分函数值如表1所示，其导函数的图象如图1所示，若正数a，b满足f（2a+b）

表1

图2

A． ，1

B． ，4

C． （1，4）

D． －∞，∪（4，+∞）

破解思路 利用导数研究函数的单调性与利用初等函数研究单调性不同，其中导函数是通过函数值的正负研究其单调性的，初等函数是通过图象的上升或下降来研究其单调性的．

经典答案 由函数表与导数图判定得－3

已知函数f（x）=x3+2bx2+cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x－10．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．

破解思路 用导数的几何意义研究切线方程时要注意该点是否在曲线上． “三次型”函数的导数是二次函数，我们往往可以通过研究二次函数的根的分布问题来解决此类题目．

参考答案 （1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，即4b+c+3=0．①

又f ′（x）=3x2+4bx+c，由已知f ′（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0． ②

联立①②，解得b=－1，c=1，所以函数的解析式为f（x）=x3－2x2+x－2．

（2）因为g（x）=x3－2x2+x－2+mx，令g′（x）=3x2－4x+1+m=0，当函数有极值时，则Δ≥0，方程3x2－4x+1+m=0有实数解， 由Δ=4（1－m）≥0，得m≤1．

①当m=1时，g′（x）=0有实数根x=，在x=左右两侧均有g′（x）>0，故函数g（x）无极值．

②当m

表2

所以在m∈（－∞，1）时，函数g（x）有极值．当x=（2－）时，g（x）有极大值；当x=（2+）时，g（x）有极小值．

已知函数f（x）=alnx－ax－3（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）函数f（x）的图象在x=4处切线的斜率为，若函数g（x）=x3+x2f ′（x）+在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

破解思路 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含参数的一元二次不等式的解集的讨论． 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，不要忽视了定义域的限制．

经典答案 （1）f ′（x）=（x>0）． 当a>0时， f（x）的单调增区间为（0，1］，减区间为［1，+∞）；

当a

当a=0时， f（x）不是单调函数．

（2）f ′（4）=－=得a=－2， f（x）= －2lnx+2x－3，所以g（x）=x3++2•x2－2x，所以g′（x）=x2+（m+4）x－2．

因为g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g′（0）=－2，所以g′（1）0， 所以m－，m∈－，－3．

1． 串联情况：函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次函数、二次函数、y=x+（a＞0）型、指数型、对数型与现实生活相结合，考查建模能力，而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的典型问题．

2． 考情分析：函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考查即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势． 高考中重视考查环境保护及数学课外的综合性应用题等问题． 出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活．

3． 破解技巧：解函数应用问题的步骤（四步八字）

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

4． 经典例题：

行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离． 为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如表3． 在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13 m，则该汽车在刹车时的速度是多少？

破解思路 所求问题为根据表3数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题． 此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系． 根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数．

经典答案 假设变量v与s之间有如下关系式：s=av2+bv+c，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）． 再在散点图中任意选取两点A（30，7．30），B（80，44．40）代入，解出a，b，c，于是s=0.0062v2+0.0563v． （代入其他数据有偏差是许可的）

将s=15．13代入得15.13=0.0062v2+0.0563v，解得v≈45.07．

所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h．

如图2，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

图2

（1）求面积S以x为自变量的函数关系式，并写出其定义域；

（2）求面积S的最大值．

破解思路 梯形面积是“上底加下底，乘以高除以2”，题目中已经给出梯形的上、下底分别为2x和2r，但是其高是多少呢？这显然取决于椭圆的形状． 又椭圆的方程正是这一形状的“数”的表示，有了方程就可知高与x的关系，进而梯形的面积S与x的关系式（目标函数）也就不难写出来了．以导数为工具求函数S（x）的最大值是比较自然而常规的方法．

经典答案 （1）以AB的中点O为原点建立直角坐标系，则点C在椭圆+=1（y≥0）上，所以S=2（x+r）•，定义域为｛x0

（2）记f（x）=S2=4（x+r）2（r2－x2）（0

1． 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质． 从“数”和“形”两个方面体会并加强对一些小结论形成过程的理解．