双曲线范文
时间：2023-04-01 18:13:40
导语：如何才能写好一篇双曲线，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
除与椭圆有类同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查其方程和性质.
命题特点
双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等.但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩.
1. 双曲线的定义及其应用
例1 在[ABC中，B（4，0），C（-4，0）]，动点[A]满足条件[sinB-sinC=12sinA]时，求点[A]的轨迹方程.
解析 设[A]的坐标为[（x，y）]，在[ABC]中，由正弦定理得，[asinA=bsinB=bsinC=2R]（其中[R]为[ABC]外接圆的半径），代入[sinB-sinC=12sinA，]得[AC2R-AB2R=12?BC2R.]又[|BC|=8，][|AC|-|AB|=4，]因此[A]的轨迹为以[B，C]为焦点的双曲线的右支（除去右顶点），且[2a=4，2c=8]，即[a=2，c=4，b2=c2-a2=12].
所以[A]点的轨迹方程为[x24-y212=1（x>2）].
答案 [x24-y212=1（x>2）]
点拨 容易用错双曲线的定义，将点[M]的轨迹误认为是整条双曲线.在使用圆锥曲线定义求动点的轨迹方程时，一定要注意定义中的限制条件，同时要结合具体问题的实际背景，对所要解决的问题做合理的限制.
2. 双曲线方程的求法
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与已知双曲线[x2-4y2=4]有共同渐近线且经过点（2，2）；
（2）渐近线方程为[y=±12x]，焦距为10；
（3）经过两点[P（-3，27）]和[Q（-62，-7）]；
（4）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为[2]，且过点（4，[-10]）.
解析 （1）设所求双曲线方程为[x2-4y2=λ]，
将（2，2）代入上述方程得，22-4・22=λ.
λ=-12.
所求双曲线方程为[y23-x212=1].
（2）设所求双曲线方程为[x24-y2=λ]，
当λ>0时，双曲线标准方程为[x24λ-y2λ=1]，
c=[5λ].[5λ]=5，λ=5.
当λ
c=[-5λ].[-5λ]=5，λ=-5.
所求双曲线方程为[x220-y25=1]或[y25-x220=1].
（3）设双曲线方程为mx2-ny2=1.
[9m-28n=1，72m-49n=1，]解得，[m=-175，n=-125.]
标准方程为[y225-x275=1].
（4）依题意，[e=2?a=b].
设方程为[x2a-y2a=1]，
则[16a-10a=1]，解得，[a=6].
所求双曲线方程为[x26-y26=1].
点拨 求双曲线的标准方程的方法：（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定[2a，2b或2c]，从而求出[a2，b2]，写出双曲线方程.（2）待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定[a2，b2]的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为[x2m2-y2n2=λ（λ≠0），] 再根据条件求λ的值.（3）双曲线与椭圆标准方程均可记为[mx2+ny2=1（mn≠0）]，其中[m>0且n>0，]且[m≠n]时表示椭圆；[mn
3. 双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线.
例3 已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）] 的一个焦点与抛物线[y2=8x]的焦点重合，且该双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________.
解析 因为抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），所以c=2，由[e=ca=2]，解得a=1.由[a2+b2=c2]，得[b2=3]，所以双曲线的方程为[x2-y23=1]，令[x2-y23=0]，可得[y=±3].故该双曲线的渐近线方程为[y=±3x].
答案 [y=±3x]
点拨 ①渐近线的求法：求双曲线[x2a2-y2b2=1][ （a>0，b>0）]的渐近线的方法是令[x2a2-y2b2=0]，即得两渐近线方程[xa±yb=0]或[y=±bax].②已知渐近线方程为[ax±by=0]时，可设双曲线方程为[a2x2-b2y2=λ（λ≠0）]，再利用其它条件确定λ的值，此方法实质是待定系数法.
4. 直线与双曲线的位置关系
例4 已知双曲线[C：x23-y2=1].
（1）若l1：y=kx+m（km≠0）与[C]交于不同的两点[M，N]，且[M，N]都在以[A（0，-1）]为圆心的圆上，求[m]的取值范围；
（2）若将（1）中的“双曲线[C]”改为“双曲线[C]的右支”，其余条件不变，求[m]的取值范围.
解析 （1）设M（x1，y1），N（x2，y2），由[y=kx+m，x2-y2=3，]
消去y得，（1-3k2）x2-6kmx-3（1+m2）=0.
l1与[C]有两个交点，
[1-3k2≠0，Δ=12?（1+m2-3k2）>0，]①
x1+x2=[6mk1-3k2]，x1x2=[-3m2+11-3k2]，
设MN的中点为G（x0，y0），
则x0=[3mk1-3k2]，y0=[m1-3k2].
AGMN，[1+m-3k23mk]・k=-1.
3k2=4m+1.②
由①②得，-[14]
（2）l1与双曲线右支有交点，
[6mk1-3k2>0，③-3m2+11-3k2>0，④]由②③④得，[m>4].
点拨 （1）①本题中第一问由于直线与双曲线有两交点，因而用判别式Δ求范围；②由于直线与双曲线右支有两不同交点，因而除判别式Δ外，还要限制[x1+x2>0，][x1x2>0].
（2）凡是涉及到直线与圆锥曲线的公共点，一般由判别式得不等关系，要注意判别式的适用范围，若圆锥曲线不完整时，应加以限制.
备考指南
1. 加强直线与双曲线的位置关系问题的复习，这类问题常涉及到双曲线的几何性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，常用设而不求法与弦长公式及韦达定理求解.
2. 注重数学思想方法的运用，如函数与方程的思想、化归与转化、数形结合的思想.
3. 近几年考双曲线的大题出现频率少，应引起重视.
限时训练
1.双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为 （ ）
A.（[22]，0） B.（[52]，0）
C.（[62]，0） D.（[3]，0）
2. 双曲线[y216-x2m=1]的离心率[e=2]，则双曲线的渐近线方程为 （ ）
A. [y=±x] B. [y=±33x]
C. [y=±2x] D. [y=±12x]
3. 已知双曲线[x24]-[y2b2]=1的右焦点与抛物线[y2=12x]的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 （ ）
A. [5] B. 4[2]
C. 3 D. 5
4. 设[F1，F2]是双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的两个焦点， [P]是[C]上一点，若[PF1+PF2=6a]且[PF1F2]的最小内角为[30°]，则[C]的离心率为 （ ）
A. [2] B. [22]
C. [3] D. [433]
5. 双曲线[x2-y2=4]左支上一点[P（a，b）]到直线[y=x]的距离为[2]，则[a+b=] （ ）
A.2 B.-2
C.4 D.-4
6. 知[A-1，0，B1，0]两点，过动点[M]作[x]轴的垂线，垂足为[N]，若[MN2=λAN?NB]，当[λ
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线 D. 抛物线
7. 如图，[F1]，[F2]是双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0]，[b>0）]的左、右焦点，过[F1]的直线[l]与双曲线的左、右两个分支分别交于点[A]，[B]，若[ABF2]为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为 （ ）
A. [±33] B. [±2]
C. [±15] D. [±6]
8. 已知双曲线[C：x2a2-y2b2（a>0，b>0）]的离心率为2，[A，B]为其左、右顶点，点[P]为双曲线[C]在第一象限的任意一点，点[O]为坐标原点，若[PA，PB，PO]的斜率为[k1，k2，k3]，则[m=k1k2k3]的取值范围为 （ ）
A. [（0，33）] B. [（0，3）]
C. [（0，39）] D. [（0，8）]
9. 过双曲线[x2a2-y2b2]=1（a>0，b>0）的左焦点F（-c，0）（c>0）作圆x2+y2=[a24]的切线，交双曲线右支于点P，切点为E，若[OE]=[12]（[OF]+[OP]），则双曲线的离心率为（ ）
A. [10] B. [105]
C. [102] D.[2]
10.已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点分别为[F1，F2]，点[O]为双曲线的中心，点[P]在双曲线右支上，[PF1F2]内切圆的圆心为[Q]，圆[Q]与[x]轴相切于点A，过F2作直线[PQ]的垂线，垂足为[B]，则下列结论成立的是 （ ）
A.|OA|>|OB|
B.|OA|
C.|OA|=|OB|
D.|OA|与|OB|大小关系不确定
11.双曲线[x24-y216]=1的渐近线方程为________.
12.已知[F1，F2]为双曲线[C：x2-y2=1]的左、右焦点，点[P在C]上，[∠F1PF2=60°]，则[|PF1|・|PF2|=]_______.
13.如图，已知[AB=10]，图中的一系列圆是圆心分别为A，B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，[n]，…. 利用这两组同心圆可以画出以[A，B]为焦点的椭圆或双曲线. 若其中经过点[M，N]的椭圆的离心率分别是[eM，eN]，经过点[P，Q ]的双曲线的离心率分别是[eP，eQ]，则它们的大小关系是________________（用“[
14. 设[F1，F2]分别是双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点[P]，使[（OP+OF2）?F2P=0]（[O]为坐标原点），且[|PF1|=3|PF2|]，则该双曲线的离心率为__________.
15. 根据下列条件，求双曲线方程.
（1）与双曲线[x29-y216]=1有共同的渐近线，且过点[（-3，23）]；
（2）与双曲线[x216-y24]=1有公共焦点，且过点[（32，2）].
16. 如图，动点[M]到两定点[A（-1，0）]，[B（2，0）]构成[ΔMAB]，且[∠MBA=2∠MAB]，设动点[M]的轨迹为[C].
（1）求轨迹[C]的方程；
（2）设直线[y=-2x+m]与[y]轴交于点[P]，与轨迹[C]相交于点[Q，R]，且[|PQ|
17. 已知常数[a>0]，向量[m=（0，a），n=（1，0）]，经过定点[A（0，-a）]以[m+λn]为方向向量的直线与经过定点[B（0，a）]以[n+2λm]为方向向量的直线相交于[P]，其中[λ∈R].
（1）求点[P]的轨迹[C]的方程；
（2）若[a=22]，过[E（0，1）]的直线交曲线[C]于[M，N]两点，求[EM・EN]的取值范围.
18. 已知双曲线[E：x2a2-y24=1 a>0]的中心为原点[O]，左、右焦点分别为[F1]，[F2]，离心率为[355]，点[P]是直线[x=a23]上任意一点，点[Q]在双曲线[E]上，且满足[PF2?QF2=0].
（1）求实数[a]的值；
篇2
有人说，这不是明摆着的嘛，“双”曲线当然是指“两条曲线”了，错！双曲线的两支合并为一个整体，构成的应认为是“一条曲线”.那么为什么要叫“双”曲线呢？因为它有两支啊，繁琐的叫法则应是“由两支曲线合成的一条曲线”.数学中这种“名不副实”的称谓很多哩！上次我们说到“椭圆非圆”，明明是椭“圆”，但它根本就不是圆.再如，直线方程y=kx+b中的“b”叫什么？叫做“在y轴上的截距”，它可为正，可为负，也可为0，所以它是直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标，而决不是距离，所以有“截距非距”之说.这下该明白了吧？还不服！再看，什么叫做函数y=f（x）的“零点”？原来“零点”是“使函数f（x）的值为零的x的值”，呵呵，“零点非点”啊！学过复数的都知道，虚数单位是“i”，那么a＋bi（a，b∈R，且b≠0）被称为“虚数”，但它是“虚无缥缈”的吗？不是，它是实实在在存在着的.想当初，有数学家首先提出虚数单位和复数的理论，却受到许多人的质疑，都认为虚数太“虚”了.后来虽发现复数理论有着广泛的应用，对数学的发展具有重要的推动作用，但“虚数”这个称谓却延续下来了，也好，留着这个“历史的足迹”，也会让后人感到回味无穷.但还有人想不通，笔者在你们的“逼迫”下，思维不禁变得十分亢奋，请看函数y=|tanx|的图象（如图1），它是由无数条曲线组成的，你叫它“几曲线”好？从整体上讲，它仍是“一条曲线”.“双”曲线非“两条曲线”啊！
图1
数学中的这些所谓“歪理悖论”表明的恰恰是数学家的智慧，给与我们深深的启迪，那就是视野开阔、思维活跃.
二、 由双曲线的渐近线想到的
提起双曲线，人们立即想到的是双曲线“独具”的渐近线.双曲线有渐近线，说是它的“特色”，可以；但说“独具”，不恰当，图1中的曲线竟有无数条渐近线：x=nπ+π2（n∈Z），所以说渐近线不是双曲线的“专利”.初中研究过的反比例函数y=xk（k≠0），其图象也是双曲线，它有两条渐近线，即x轴和y轴.指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象只有一条渐近线，即x轴.对于指数函数图象的渐近线，当时只有通过直观来理解，不可能作严格的逻辑证明.但对于双曲线的渐近线，我们还是可以有作为的.如双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），取其渐近线l：xa－yb=0，即bx－ay=0，在双曲线第一象限内的半支上任取一点P（x0，y0），作PQl于Q（如图2），则P点到直线l的距离PQ=|bx0－ay0|a2+b2.又x20a2－y20b2=1，解得y0=bx20－a2a，代入可化得PQ=b|x0－x20－a2|a2+b2=a2ba2+b2·1x0+x20－a2.请观察其中的1x0+x20－a2，因为在第一象限，所以x0值的变化趋势是无限增大，那么此式的变化趋势就是无限接近于0. 在教材后面一章《导数》中，我们会学到，由于a2ba2+b2是一个固定的值，而1x0+x20－a2无限接近于0，那么P到直线l的距离PQ也无限接近于0，将直线l称为双曲线的渐近线，当之无愧吧！由于图形的对称性，用哪个象限内的点都可以.这里反映了数学的一种极其重要的思想方法，今后还要多次研究和应用.
图2
还有个有趣的事实，不管是双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），还是双曲线x2b2－y2a2=1（a＞0，b＞0），将等号右边的“1”换成“0”，就得到它们的渐近线方程，即x2a2－y2b2=0和x2b2－y2a2=0.你说这个方程是几次的？表面上看来是二次的，但它们是两个一次方程的“合成”，即分别为y=±bax，y=±abx.
三、 双曲线的“个性”
椭圆、双曲线和抛物线统称圆锥曲线，当然它们有一些共性，但在这里我们最感兴趣的当然是双曲线的“个性”.前面已述，它有渐近线，另外它的离心率属于区间（1，∞），还有别的吗？有哇！
（1） 包围椭圆的是一个矩形，此矩形被称为椭圆的辅助矩形.双曲线也有辅助矩形，但夹在两支曲线的内部；椭圆的辅助矩形永远不会是正方形，但双曲线的辅助矩形有可能是正方形，下面还要说到.辅助矩形的两条对角线就是双曲线的渐近线.
（2） 请看着图3，将思绪放开，用一种浪漫情怀展开遐想，成语“亭亭玉立”不禁闯入心怀，那么伟岸，那么挺拔，那么俊秀，让人心醉，让人动容！但不是所有双曲线都能取得如此优美的视觉效果，这大概与矩形邻边之比的取值有关吧？不错，后面将进一步来研究.
图3
（3） 在x轴右半轴上取点F2，使OF2=OC，则F2是双曲线的右焦点.太简单了，OA2=a，A2C=b，则OF2=OC=c.这是用几何方法找焦点的好方法.现在过F2作垂直于渐近线的直线，垂足为E，RtOEF2是一个很奇特、很有趣的三角形.渐近线的方程为y=bax，直线EF2的方程为y=－ab（x－c），两个方程联立，解得x=a2c.此值可不是一般的数值哦，此直线正是我们接触不久的准线.
其实不解方程组也可以得解，易知RtOEF2≌RtOA2C，则OE=a，EF2=b.过E作x轴的垂线，垂足为G，则由平面几何知识，得OG=a2c.有人可能不熟悉这个知识，不要紧，换一个“武器”，设∠EOG=α，可得cosα=OEOF2=ac，则OG=OE·cosα=acosα=a2c.三角函数与平面几何同源同根，只是表现形式不同，熟练掌握两种武器，届时用哪个方便就用哪个.这就叫做四通八达、左右逢源.这八个字对于数学学习的意义和作用就太大了，请大家在积极钻研的过程中逐步揣摩吧.
（4） 当a=b时，得双曲线x2a2－y2a2=1（a＞0）或y2a2－x2a2=1（a＞0），它们的实轴和虚轴相等，这样的双曲线被称为等轴双曲线.那么有没有等轴椭圆呢？别引诱人上当了，等轴椭圆是不存在的.将圆称为等轴椭圆不行吗？不行，我们说了都不算，数学的理性精神不允许这样说.
等轴双曲线又有一些奇妙的特性，“等轴”，虽是废话，但这些特性却都是由“等轴”衍生出来的.图4中有个正方形，是双曲线的辅助矩形.反比例函数y=xk（k≠0）的图象也是等轴双曲线.
图4
等轴双曲线x2a2－y2a2=1（a＞0）和y2a2－x2a2=1（a＞0）有共同的渐近线，即辅助正方形的对角线y=±x；
（5） 等轴双曲线的半焦距为2a，所以等轴双曲线的离心率为2.数学中有个最优美的数，那就是“黄金数”5－12≈0.618，与黄金分割有关，本文不可能作详细讨论，只是“斗胆”提出2这个数也是非常优美的，可以说仅次于“黄金数”，联系太广泛了，这里不作讨论.
图4与图3中的双曲线，哪个更优美？图4中的双曲线“不胖不瘦”，虽不算“丑陋”，但比不上图3中的双曲线那么挺拔.前面问到什么样双曲线最漂亮？现在可以告诉大家的是，笔者认为，当图3中的矩形短边与长边之比为“黄金数”时，这样的双曲线最漂亮.
四、 双曲线趣题赏析
趣在何处？在上期《“玩”心太重的椭圆》中有过阐述，这里只重复八个字：风光无限，还是“好玩”！
例1 设双曲线C与双曲线E：x29－y216=1.
（1） 若双曲线C和E有共同的渐进线，且C过点A（－3，23），则双曲线C的方程为 ；
（2） 若双曲线C和E有共同的渐进线，则双曲线C的离心率为 .
解 析 （1） 的最佳解法为，设C：x29－y216=k，将点A的坐标代入，解得k=14，则双曲线C的方程为4x29－y24=1.
（2） 由（1），知双曲线C的离心率为53.
作为填空题，（1）可得满分，可是（2）却只能得0分.这可奇了怪了！满足（1）的条件的双曲线只有一个，可是满足（2）的条件的双曲线却有无数个，可分为两组，一组的焦点在x轴上，一组的焦点在y轴上，前者的离心率当然是53，后者的离心率为54.
点 睛 方程x29－y216=k对于简化题解的作用不可忽视；只因题（2）“过于”简单，就迅速轻率地导致“全军覆没”.这里的两组双曲线过去曾被称为“共轭双曲线”，若它们的离心率分别为e1，e2，则不难得1e21+1e22=1，道理很简单，由a2+b2=c2，得a2c2+b2c2=1，即1c2a2+1c2b2=1.没想到，一道简单的题目涉及的几个字母，做起“游戏”来还这么有趣，发人深省.
例2 若方程x22－|m|+y2m－3=1表示双曲线，则m的取值范围是 .
解 析 俗话说得好，“吃一堑，长一智”，这里可要小心了.由题意，得不等式（2－|m|）（m－3）＜0.1°若m≥0，则（2－m）（m－3）＜0，即（m－2）（m－3）＞0，得0≤m＜2，或m＞3；2°若m＜0，则（m＋2）（m－3）＜0，得－2＜m＜0.
综上，m的取值范围是（-2，2）∪（3，+∞）.
点 睛 题目虽小，却饱含知识和思维的丰富营养哩！
例3 设焦点在x轴上，中心在原点O的双曲线C的渐近线与以点A（0，2）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个焦点与点A关于直线y=x对称. （1） 求双曲线C的方程；
（2） 若P是双曲线C上不在x轴上的动点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，从F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为点N，试求点N的轨迹方程，并指出点N的轨迹是何曲线.
解 析 （1） 如图5，因为点A（0，2）与F2关于直线y=x对称，所以双曲线的半焦距c=2，则双曲线的方程可设为x2a2－y22－a2=1.
图5
由已知，点A（0，2）到渐近线xa－y2－a2=0的距离为1，则2a2－a2+a2=1，解得a=1.
故双曲线的方程为x2－y2=1.
（2） 设F1N与PF2的延长线交于Q点，由角平分线的性质，知PF1=PQ.
则由双曲线的定义，知F2Q=PQ－PF2=PF1－PF2=2.
篇3
从高考内容上看，双曲线标准方程及几何性质是命题的热点，题型多为客观题，着重考查渐近线与离心率问题，难度不大，但有一定的灵活性.
重点：双曲线的第一、第二定义， 双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，轨迹问题等.
难点：a，b，c，e等参数值的求法及其取值范围问题的探讨，直线与双曲线位置关系相关的综合问题.
（1）研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，首先应考虑用定义来解题. 关注定义中的“绝对值”，若定义中去掉了“绝对值”，则点的轨迹是双曲线的一支，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的.
（2）研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还会经常用到正、余弦定理.
（3）求双曲线的标准方程．
①定义法：分析题目条件是否满足定义；求出a，b，c；写出方程．
②待定系数法：确定焦点的位置；设出待求方程；确定相关系数；写出方程．
（4）双曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如：双曲线■－■=1中，x≥a或x≤－a，e>1等. 在求与双曲线有关的一些量的范围或与这些量有关的最值时会经常用到这些不等关系.解决双曲线中有关变量的最值与取值范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法． 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
（5）直线与双曲线. 直线与双曲线位置关系的判断：直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式δ，则有：δ>0？圳直线与双曲线相交于两个点；δ=0？圳直线与双曲线相交于一个点；δ<0？圳直线与双曲线无交点． 若得到关于x（或y）的一元一次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．
（6）直线与双曲线相交时常见问题的处理方法：①涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长. 直线l被双曲线截得的弦长ab=■或ab=■，其中k是直线l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直线与双曲线的两个交点a，b的坐标，且（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2，x1+x2，x1x2可由韦达定理整体给出． ②涉及求平行弦中点的轨迹，求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题时，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．
（1）求双曲线c的方程；
（2）若直线：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）与双曲线c交于不同的两点m，n，且线段mn的垂直平分线过点a（0，－1），求实数m的取值范围．
思索 ①涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的问题，δ>0是必不可少的条件． ②关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑δ>0，还要考虑方程根的取值范围.
建议同学们在复习本节内容时重视以下几个方面：
（1）重视定义在解题中的作用，对于双曲线的两种定义，要在训练的过程中加强理解和掌握.
（2）重视平面几何知识在解题中的作用，解题过程中应借助图形分析条件，寻求最优解法.
（3）重视设而不求的整体化处理思想的应用，遇到有关直线与双曲线交点及相关问题时，若解方程组求交点，往往运算量大，易出差错，设而不求利用根与系数的关系便可简捷求解.
篇4
轮船航行在海上时，它就处于人的位置。岸上有两个无线电发射台，轮船行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差，测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线。若再和另一对电系，可以确定出另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一点上。这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化的工具来帮助我们，你明白了吗?船长们就是这样来导航的。下面我们一起看看船长如何定位海洋生物的。
舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西，且与B相距4千米，它们准备围捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，设舰与动物均为静止的，动物的信号的传播速度是1千米／秒，试确定海洋动物的位置．
分析：首先建立适当的坐标系，读懂题意，领会含义，①B发现信号的时间比A发现信号的时间晚4秒，②B、C同时发现信号，把发现信号的时间转化为距离再借助解析几何知识来解决问题．
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穆棱市第一中学 高二学年 数学 靳春明
一.教材分析
1.地位与作用
《双曲线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（人教版）第二册（上）第八章第三节内容，双曲线是平面解析几何的又一重要曲线，本节课既是对解析几何学习方法的巩固，又是对运动，变化和对立统一的进一步认识，从整体上进一步认识解析几何，建立解析几何的数学思想。
2.教材处理
a.教材的定义并不全面，应该是“平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数
（大于0,小于）的点的轨迹叫做双曲线”
b.教材中只是给了双曲线的定义，而对距离之差2a=0，距离之差2a=2c时没有研究，为了使学生对双曲线轨迹形成有更深的体会，应该加以说明。
二.学情分析
知识结构：双曲线是圆坠曲线中第二学习的曲线，再此之前学生已经学习了椭圆曲线，对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲线的标准方程并不困难，但在求方程的过程中还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。
心理特征：高二学生已经形成了是非观，具备了一定的类比转化及分析问题的能力，在心里上也具备了承受和辨证地接受别人的意见和建议，但对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上要注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。
三. 教学目标确定及依据
双曲线是继椭圆后的有一个曲线，两者在研究方法与研究内容上类似，但是性质上差别很大这就养成学生在学习时必须辨证的考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识用于探索精神，学生亲自体会双曲线标准方程的获得过程，这样学生的动手实践能力得到了提高，有体会到了学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：
1.知识与技能：掌握双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导方法，理解怎样的双曲线其方程为标准方程，双曲线的标准方程所表示的曲线，其图形有什么特征，并能根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。
2.过程与方法：类比推理，探索知识
3.情感态度与价值观：使学生认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效的方法；发现数学美体验成功后的喜悦。
4.重点与难点
重点：双曲线中a,b,c 之间的关系。
依据：研究双曲线的性质离不开a,b,c之间的的关系
难点：双曲线的标准方程
依据：如何分清双曲线标准方程的两种形式是难点
手段：多媒体辅助教学，指导学生自学法
四.教学理念及流程设计
（一）教学理念
本着以人为本的教学理念及发挥学生主动性，使学生成为课堂的教学原则，遵循事物的发生，发展成熟过程及学生的认知规律，通过学生的自主探索，求出双曲线的标准方程，在此过程中体现生生，师生之间的团结合作，互相帮助的精神，学生的内在潜能得以发挥，通过双曲线方程判断焦点的位置的过程中提高学生分析问题及严密推理能力得以提高，学生体会到学习数学的乐趣。
（二）流程设计
1.复习：椭圆的定义及怎样求得椭圆的曲线
2.新课导入：与两定点的距离之差是常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？
3.新知探究：在什么条件下能得到双曲线，怎样求双曲线的方程？怎样通过双曲线方程判断焦点位置？求曲线方程时同桌分别求焦点在X，Y 轴的曲线方程。
4.习题分析：107页练习第二题 目的：对双曲线的焦点位置的判断
篇6
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2、去掉文档外的大边框，点击页面设置版式，再点击（右下角）边框选择无，由此可以设置各种边框（包括颜色、线条大小和式样等）。
（来源：文章屋网 ）
篇7
关键词：等角；视角；焦半径
圆锥曲线本身含有丰富的几何性质，本文将给出圆锥曲线中的几个等角定理.
圆的切线性质：过圆O外一点P引圆的两条切线PQ、PR，Q、R为切点，则点O关于PQ、PR的视角相等，P点关于OQ、OR的视角相等.
■
图1
类比得到以下定理，
定理1：（1）过椭圆外一点P作椭圆的两条切线PQ、PR，Q、R为切点，则点P关于QF1，RF2的视角相等；F1（F2）关于PQ、PR的视角相等，其中F1，F2为椭圆焦点.
（2）若PQ、PR是双曲线的两条切线，Q、R为切点，F1，F2为双曲线的焦点. 则①若R、Q在双曲线同支上，则P关于QF1，RF2的视角互补；F1（F2）关于PQ、PR的视角相等；②若R、Q在双曲线的异支上，则P关于QF1，RF2的视角相等；F1（F2）关于PQ、PR的视角互补.
（1）证明：设F1关于PQ的对称点为F′1，F2关于PR的对称点为F′2. 由椭圆性质可知F′1，Q，F2三点共线，F′2，R，F1三点共线，则F′1F2=F1F′2=2k. 因为PF′1=PF1，PF′2=PF2，
所以PF′1F2？艿PF1F′2，
所以∠F′1PF2=∠F1PF′2，
所以∠F′1PF1=∠F2PF′2.
再由对称性可知∠F1PQ=■∠F′1PF1，∠F2PR=■∠F2PF′2，
所以∠QPF■=∠F■PR，即P对F■Q，F■R视角相等.
再由对称性得∠F2F′1P=∠QF1P，∠F1F′2P=∠PF2R，∠PF′1F2=∠PF1F′2，∠F1F′2P=∠F′1F2P，即∠QF1P=∠PF1R，∠PF2R=∠QF2P，
即F1，F2对PQ、PR的视角相等.
同理可以证明双曲线的情形.
定理2：过圆锥曲线准线l上任一点K作直线和圆锥曲线相交于A、B两点，设圆锥曲线焦点为F，则两条焦半径FA、FB与KF所夹的角相等（B、F、A三点不共线）.
■
图3
证明：过A作AA′l于A′，BB′l于B′，延长BF至C，则由圆锥曲线定义可得
■=■=e，AA′//BB′？圯■=■，所以■=■.
由外角平分线性质得∠KFA=∠KFC，又由∠KFC=∠BFD，所以∠AFK=∠BFD，故命题成立.
以下是此命题的逆命题，也为真命题.
定理3：若以圆锥曲线的一个焦点F出发的焦半径FA、FB与过F的直线l所夹的角相等，且AB与l的交点是AB的外分点，则l与AB交于圆锥曲线准线上.
■
图4
■
图5
证明：设AB交准线l′于点K，则由定理2可知KF与FA、FB所成角相等，显然AB与KF的交点K是AB的外分点；
又l与FA、FB所成角相等，且AB与l的交点是AB的外分点，故l与KF重合；
故命题成立.
推论1：若PQ为有心圆锥曲线上任两点（连线不过任一焦点），设点F对应准线为l，且QF、QP分别交l于M、R，则FM平分∠QFP的外角（证明略）.
例1 （舟山市2012年第二次模拟考）已知椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F，右准线为l，一条过原点的直线交椭圆于P、Q两点（P在第三象限），交l于R点，P、F两点的连线交l于M，则有（ ）
A. ∠MFR>∠QFR
B. ∠MFR=∠QFR
C. ∠MFR
D. ∠MFR与∠QFR的大小不确定
由推论1可知选B.
在定理2与3中，若A、B两点重合于A，则就成了圆锥曲线的切线，此时KFFA，同时过F与AF垂直的直线与过A点的切线交于准线上一点.
于是得到推论2：过圆锥曲线的准线l上一点K作圆锥曲线的两条切线KA、KB，则AB过对应焦点F，且与KF垂直.（证明略）
例2 （2006年北京海淀区4月）椭圆■+■=1（a>b>0）的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于点P. 若点D满足■=■，■=λ■（λ≠0）
（1）求椭圆离心率；
（2）若椭圆长轴等于4，Q为椭圆右准线l上异于点A的任意一点，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与椭圆的另一个交点分别为M，N，求证：MN与x轴交于定点.
解：（1）略.
（2）易得椭圆方程为■+y2=1.
设F为椭圆右焦点，延长QF至E，连结MF交椭圆于M′，则
由定理2可知∠A1FE=∠MFQ.
又∠A1FE=∠QFA2，∠MFQ=∠EFM′，
所以∠EFM′=∠QFA2，
则由定理3可知M′，A2，Q在一直线上，所以M′与N点重合，
所以F即为MN与x轴的交点，
所以MN与x轴交于定点F（■，0）.
篇8
关键词：双曲线；冷却塔；综合施工
1 项目简介
某工程的冷却塔是该工程的重要组成部分，冷却塔施工能否快速、优质完成施工任务，直接关系到我公司的形象和信誉。为此目的我们专门组织了冷却塔施工科技攻关队伍，重点解决施工中的各项技术难题，为工程顺利、安全、快速施工奠定了坚实基础，施工中我们成功应用了管井降水技术，加强膨胀带代替后浇带技术，新型模板与支撑系统，塔内安装施工电梯技术，此外推广应用了预拌商品混凝土技术、粉煤灰综合利用技术，新型省工防潮涂料应用技术和小型滑轮组控制中心点测量技术，塔内淋水预制构件吊装技术。
2 施工技术内容
2.1 管井降水技术
冷却塔砂石垫层底直径为67.842m，基坑开挖面积约4000m2，挖深-4.3m，根据地质资料及设计说明地下水位为-2.1m。对如此大面积的圆形基坑及较高的地下水位，必须做好基坑的降水工作，地下水控制的方法可分为集水明排、降水、截水和回灌等形式单独或组合使用，经过分析论证，我们决定采用管井降水和集水井明排降水相结合的方法，减少了集水井数量和湿作业，效果显著。
管井降水是在基坑开挖前，先在设计位置布置井位，然后钻井、下混凝土滤水井管，管井低于基底4～5m，总深约10m，管井成型后，用深井潜水泵集中抽水，将基坑范围内地下水位降至基坑底面以下500mm，能够满足基坑开挖和基础施工要求。根据基坑开挖半径和甲方提供的地质资料，计算出基坑涌水量，在基坑周围布置6孔管井，管井内径为400mm，成井后进行单井试抽，检降水效果良好。经连续抽水10d，监测地下水位降至基底设计标高以下，可开始进行基坑开挖。
2.2 冷却塔环形基础温度裂缝控制技术
冷却塔环形基础设计池壁周长180m，要满足P8抗渗要求，因此，保证其不产生温度裂缝是满足其抗渗的决定因素。按传统做法是采用分段浇筑预留“后浇带”的施工方法，后浇带要在28d后才能浇筑，给施工工期带来很大影响。针对这一问题，我们组织人员赴郑州河南电力勘测设计院与有关专家进行交流探讨，决定采用“补偿收缩混凝土”和“加强膨胀带”的施工技术。将环形基础分为四段，预留四个加强膨胀带，每个膨胀带2m，在混凝土中掺加ACD膨胀剂（掺量为水泥的6%）四段浇筑完后，停7d后即可浇筑加强膨胀带，加强膨胀带混凝土的膨胀剂掺量提高至8-10%，其原理是在已浇筑的四段混凝土尚在膨胀过程中，即浇筑加强膨胀带，靠膨胀带和前期浇筑混凝土之间产生的膨胀应力相互作用，使混凝土密实而不产生温度裂缝。
应用这一技术，很好的避免了环形超长混凝土构件温度裂缝，效果良好，而且比采用传统的后浇带提前工期21d，效果特别显著。
2.3 冷却塔专用模板与支撑系统的应用
因冷却塔是双曲线结构，而且高度很高，采用普通的模板及支撑系统是无法施工的，解决模板与支撑体系难题是冷却塔风筒施工的关键，为解决这一难题，我们赴外地学习考察冷却塔的模板技术，并与中建二局模板厂合作优化设计制作了一套冷却塔施工的专用模板及支撑系统。冷却塔专用模板及支撑系统的原理是如下：
（1）模板采用1000mm×1300mm钢模板，一侧带60mm宽翼缘，可随着风简直径的变化进行调缝，其加工数量按直径最大处内外加工三板，施工逐层上倒、循环施工。
（2）模板支撑系统为内外三角架，以己浇筑的风筒筒壁为受力点，靠内外三角架支撑作用将上部荷载传递至已浇筑的筒臂，内外三角架之间靠螺柱连接，对拉螺栓在连接内外三角架的同时，也连接内外层模板，三角架同模板一样在施工中逐层上倒，循环施工。
（3）三角架体系在解决了模板支撑问题的同时，上层三角架还有一项重要的作用，就是内外层运输跑道固定在上层三角架上，三角架外侧设有防护栏杆，非常安全可靠。
（4）三角架支撑各杆件系统包括内斜撑、外斜撑、外环向连杆，内环向连杆，内水平杆、外水平杆、竖杆、内模斜撑、钢栏杆、吊栏、顶撑螺栓等。
2.4 塔内淋水预制构件的吊装技术
塔内预制构件包括支柱、淋水填料径向支承梁、环向支承梁、分水槽径向支承梁、分水槽及主水槽。具有构件型号多、安装难度大的特点。
为加快施工速度，拟采用两台汽车吊同时进行吊装，吊车进入塔内的跑道采用枕木搭设，为保证吊车在塔内行走无障碍，确定在径向第3排支柱的杯口基础（即半径R=15m处的杯口）事先在不影响吊车行走的路线以外预制好，吊装到该柱子时，将杯口基础吊装就位，杯口基础和底板之间用水泥砂浆坐平坐稳。
吊装单元的划分和吊装顺序的确定。根据设计特点，每30°角范围划分为一个吊装单元，共12个吊装单元，每个吊装单元内构件均完全相同。第一个吊装单元的吊装顺序为：径向预制柱（Z1、Z2）径向支承梁L1-L6径向预制柱Z3、Z4径向支承梁L7-L10径向预制柱Z1、Z2径向支承梁L1-L6填料环向支承梁L11-L17、L18-L30、L18′-L30′分水槽支承梁L31-L33主水槽分水槽。第一个吊装单元完成后两台吊车依次后退吊装。
预制构件从塔外向塔内运输方法，为加快施工速度，预制构件从加工厂运到现场后直接沿枕木塔设的跑道运至塔内，用吊车一次吊装就位，构件不再进行二次装卸。
2.4.1 吊车选择
所有预制构件单件重量均较小，最重构件混凝土用量约1.05m3。构件安装最大高度约11m，吊装分水槽FS-19a和FS-19b为最不利，最大回转半径约14m，单件混凝土用量0.421m3约1t重。因此综合考虑吊装选用2台16t吊车能够满足要求。
2.4.2 吊车行走路线确定
吊车行走中心线确定在半径R=15m处，该处杯口基础在底板其它位置事先预制好，吊装该柱子时，将杯口吊装就位。
2.4.3 预制柱的安装
吊装采用单点吊装（预制柱预留吊装环），按照事先的编号依次吊装，柱子吊装前杯口内部必须清扫干净，并按设计要求将杯口底用C35细石混凝土铺50mm，柱根进入杯口内后进行对中找正找垂直，检查柱顶标高，符合要求后用铁楔作临时固定，然后用C35细石混凝土将杯口浇灌振捣密实，铁楔不再取出。吊装柱子必须确保柱顶标高的准确，以确保水槽的安装标高和投入使用后水槽配水均匀。另外吊装时要特别注意柱子牛腿的方向，防止柱子牛腿方向错误。
2.4.4 淋水填料径向支承梁的安装
径向预制柱吊装后，开始吊装支承梁，吊梁前将梁上面的预埋铁件的中心线弹出，目的是为了安装环向支承梁时位置准确。梁采用双点平吊，按照编号依次就位，使梁中心线和牛腿中心线重合，梁头和柱之间按设计保证，50mm缝隙。就位后将梁上预埋件和柱牛腿预埋件焊接牢固。淋水填料径向支承梁上平安装标高为+5.15+0.45=+5.60m。
2.4.5 淋水填料环向支承梁的安装
第一个吊装单元三个径向的支承梁全部吊装完后，开始吊装环向的支承梁，用两台吊车同时吊装，就位时使梁中心线和径向梁上预埋铁件的中心线重合，以确保环向支承梁之间的间距符合设计要求的尺寸，每道环向支承梁准确就位后，即进行焊接，环向支承梁的上平安装标高为：+5.6m+0.35=+5.92m。环向支承梁安装时要注意L18-L30和L18′-L30′对称放置，避免放反。
2.4.6 分水槽径向支梁的安装
分立槽径向支承梁L31-L33安装于Z3、Z4柱顶+8.23m标高处，采用双点平吊，就位后将预埋铁件焊接牢固，分水槽径向支承梁的上平安装标高为+8.23+0.4=+8.63m。
2.4.7 主水槽安装
第一个吊装单元的主水槽用两台吊车同时进行吊装，主水槽安装于Z1、Z2柱顶+8.43m标高处，采用双点平吊，将主水槽中心线与柱顶中线重合，并使相邻两个主水槽之间保持不小于100mm宽的缝隙，就位后将主水槽与柱顶的预埋铁件焊接牢固，并用水泥砂浆抹出八字形角，主水槽之间的钢筋连接用钢筋搭接焊牢固，用C30细石混凝土将缝隙二次浇灌密实。
2.4.8 分水槽安装
分水槽安装于分水槽支承梁上和主水槽预留的洞口内，其中FS-1～FS-6直接安装于主水槽预留洞内，其它分水槽均一端安装于支承梁上，一端安装于水槽预留洞内，第一个吊装单元的分水槽可采用2台吊车同时吊装，分水槽采用双点平吊就位在支承梁上对称放置的分水槽端头缝隙保证60mm，顶头的分水槽底部用钢筋焊接牢固，分水槽与支承梁采用预埋铁件焊接牢固，并用水泥砂浆抹出八字角，顶头缝隙用C30细石混凝土二次浇灌密实。分水槽与主水槽接口处用3：7石棉水泥填塞密实。
3 创新点
冷却塔内淋水预制构件是冷却塔的重要结构组成部分，预制构件的吊装是整个冷却塔施工中的重点和难点，预制构件总共1000多件，而且结构复杂，预制构件的吊装是施工中我们遇到的重大技术难题，为克服这一难题，我们对传统的冷却塔构件吊装技术进行改进，取得了突破，具体如下：
传统的冷却塔预制构件吊装是在筒壁施工到中央竖井高度后停止施工，从塔外吊装预制构件，这一技术的特点是施工方便，但工期慢，不易对预制构件进行防护。我们决定先进行筒壁施工，筒壁完成后，吊车进入塔内吊装预制构件（经设计同意预留一对“人”字柱不施工，作为吊车及车辆出入口，吊装完成后恢复），而且将塔内半径R=15m处的预制柱杯口基础预留不做，留出吊车的行走路线。施工其它杯口基础时预留的杯口基础在一旁预制，吊装时逐个就位。吊车进入塔内的跑道采用枕木搭设，同时可作为预制构件运输车辆进入的跑道。吊装时两台吊车同时作业依次后退吊装。按正常工期需要30d的时间，我们只用了13d时间就完成全部吊装任务，效果非常显著，得到社会各界的好评。
篇9
关键词：定理；椭圆；双曲线；离心率
求椭圆、双曲线离心率一般涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，可先找出含a，b，c的等式关系，再求离心率. 在教学过程中，笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果！现用定理的形式叙述并证明.
离心率公式
定理1（如图1）设椭圆+=1（a>b>0）的两个焦点为F1，F2，P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，在PF1F2中，记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是椭圆的离心率，则有=e.
图1
证明在PF1F2中，==，则=.
所以=?圯==e.
定理2（如图2）设双曲线-=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点，在PF1F2中，记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是双曲线的离心率，则有=e.
图2
证明在PF1F2中，==，则=.
=，
所以=?圯==e.
定理3（如图3）设A，B是椭圆+=1（a>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上异于A，B的任意一点，∠PAB=α，∠PBA=β，e是椭圆的离心率，则tanαtanβ=1－e2.
证明设P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）＝kPB=，
所以tanβ=－，
所以tanα•tanβ=－•= -.（1）
又+=1，所以y=b21-=（a2-x），代入（1），
所以tanα•tanβ=-•（a2-x）===1－e2.
定理4（如图4）设A，B是双曲线－=1（a>b>0）的实轴两端点，P是双曲线上异于A，B的任意一点，∠PAB=α，∠PBA=β，e是双曲线的离心率，则tanαtanβ=1－e2.
证明设P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）=kPB=，
所以tanβ=－，所以tanα•tanβ= －•=-.?摇 （2）
又-=1，y=b2-1=（x-a2），代入（2），
所以tanα•tanβ=-•（x-a2）= -=-=1－e2.
注：若椭圆、双曲线的焦点在y轴，或中心不在原点，同样得到相应的结论.
公式应用
例1如图5，正六边形ABCDEF的顶点A，D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B，C，E，F均在椭圆上，求椭圆的离心率.
图5
分析本题关键是从正六边形ABCDEF中找出一个内角都已知的椭圆的焦点三角形，如EAD，这样可利用定
理1直接求解.
解析如图5，连结AE，易知∠AED=90°，∠DAE=30°，∠ADE=60°.
由定理1得e====－1.
点评：本题也可设出正六边形的边长，利用椭圆的定义进行求解.
例2（2007安徽）如图6，F1和F2分别是双曲线-=1（a>0，b>0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. ?摇 D. 1+
图6
分析解本题的关键是寻找一个内角都已知的双曲线的焦点三角形，如AF1F2，这样可利用定理2直接求解.
解析如图6，连结AF1，由于ABF2是正三角形，利用对称性得∠AF2F1=30°. 又因为F1F2是圆O的直径，所以∠F1AF2=90°，∠AF1F2=60°. 由定理2得
e====1+，故选D.
点评本题也可求出A点坐标－c，c，再将此坐标代入双曲线方程，且利用b2=c2－a2进行求解，比较麻烦.
例3（东北区三省四市2008年第一次联合考试）椭圆的长轴为A1A2，B为短轴一端点，若∠A1BA2=120°，则椭圆的离心率为（）
解析由椭圆的对称性可知A1BA2是等腰三角形. 又∠A1BA2=120°，所以∠BA1A2=∠BA2A1=30°. 由定理3得
tan∠BA1A2•tan∠BA2A1=1－e2，
即 tan30°•tan30°=1－e2?圯•=1－e2，e2=，所以e=，故选B.
点评本题也可由tan30°=，再利用e=求解.
例4设ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为顶点且过点C的双曲线的离心率为 .
解析因为ABC是等腰三角形，且∠ABC=120°，所以∠BAC=30°. 由定理4得
tan∠BAC•tan∠ABC=1－e2?圯tan30°•tan120°=1－e2?圯•（－）=1－e2，
?圯e2=2，所以e=.
点评本题也可设AB=BC=2a，求出C点坐标（2a，a），而后代入双曲线方程-=1（a>0，b>0），再利用e=求解.
篇10
莱芜地区在冬季盛行西北风,冬季气温一般都在零度以下,极端最低温度为-22.5℃。由于空气温度、湿度等气象条件的变化,冷却塔的冷却幅度要比其它季节高3-4℃,因此冷却塔极易出现挂冰现象,严重时,数百吨的冰柱悬挂在塔体,对冷却塔的安全运行带来很大威胁。若不采取相应措施,则冷却塔填料会挂冰、冷却塔集水池也会结冰,冷却塔承重支柱、填料托架、PVC配水管、淋水填料等将发生冻结损坏,因此,冷却塔如何安全越冬就成了亟待解决的问题。为此我们经过多方研究和分析,决定通过增加防冻管和改变冬季的运行方式来解决冷却塔严重结冰的问题。
2防冻管选用的原因及分析
2.1冷却塔的防冰,应用较多的是悬挂档风板和增加防冻管。
2.2在冷却塔的进风口悬挂挡风板:一是可以改善进风口的保温条件,使该区域的水流不受寒风侵袭;二是可以减少进入塔内的空气量,使进风口处易结冰的区域得以改善。但由于档风板安装和拆除很不方面,并且需要随季节变化及时进行安装与拆除,成本较高,此凉水塔面积大、立柱高,因此不适合悬挂挡风板防冻的办法,需要采用其他办法进行防冻。
2.3在冷却塔的进风口安装防冻管
2.3.1原因:针对现用设备的运行方式,结合设备系统、布置及结构,保证冷却水塔冬季防冻的措施并进行了实施。
冬季凝汽器进出水所产生的温差较大,可以作为防冻管热水的来源,不需要再增加其他的动力设备和辅助设备,从而降低了水塔防冻的费用支出。
防冻原理:防冻管是在冷却塔配水系统的(进风口处)安装循环水管,管子的下部均匀地开很多圆孔,通过喷洒热水来防止结冰。其原理是:防冻管喷洒的热水预热了进入冷却塔的空气,相当于改变了淋水填料运行的大气环境;在冷却塔进风口处形成水帘,增加了空气的流动阻力,限制了冬天冷却塔的进风量。改造后可以提高冷却塔内的温度,达到预防结冰的效果。
2.3.2防冻管的优点:一次性投资,投资小,操作方便,且投入使用后,在水塔防冻方面不需再发生任何费用,不用每年根据季节繁琐地进行安装和拆除,节约了大量的人力和物力。
3技改措施
3.1对凉水塔实施了增加防冻管的改造,此防冻管为Φ400cm碳钢管道,在循环水回水母管上接出,安装一手动阀门和一电动阀门(把信号引入主控室电脑,实行远程控制和现场控制相结合的控制措施),在布水装置下部,高度约6米,紧贴凉水塔内壁呈环形分布,环形管内侧斜向下开与立柱成45度夹角的Φ10-20mm的一排小孔,小孔间距为100mm,为保证小孔喷水的压力,小孔的总面积小于或等于防冻管的底面积,小孔数目=防冻管低面积/单个小孔面积=713个。投资预算如下所示:
名称
型号
单位
数量
价格(万元)
碳钢管
Φ400cm
吨
40
20.00
电动阀
DN400
个
1
0.8
截止阀
DN400
个
1
0.2
人工费
5.00
合计
26.00
示意图如下所示:
循环水
3.2操作方法简单易行,冬季开启阀门,春、夏、秋关闭即可。
4调控措施和效果及效益
4.1 不同情况下的使用方法:冬天气温不是很低,未出现很大的冰柱时,打开防冻管进水阀门即可,使水温不是很高的循环水经过防冻管分布到凉水塔周边即可,改善了水塔内的环境,降低了水塔周围冷空气的进入,减少了结冰的几率。
4.2改变运行方式提高回水温度减少结冰:当外界气温急剧下降,循环水回水温度较低(在4℃-8℃),凉水塔周围开始出现较大结冰现象时,我们通过汽轮机凝汽器的余热来解决结冰问题,具体作法是:通过调整旁通阀开度,提高循环水温度,然后再经过防冻管,通过淋水减少结冰程度。
当循环水温度低于15℃时,则打开旁通阀,不使用防冻管,使循环水直接进入塔池,当循环水回水温度上升到20℃以上时,则关闭旁通阀,打开防冻管,使防冻管淋水温度在短时间内达到20℃以上,从而改变了塔内的温度,防止了大面积结冰的发生。反之,循环水温度高于20℃时,则关闭旁通阀,打开防冻管,按正常方式喷水提高温度,防止结冰。通过这样往复操作,将循环水温度始终控制在15℃-25℃之间,制定了具体的冷却塔防冻管调温方案,见下表
室外温度
塔池水温
回水温度
旁通阀开度
-10℃以下
3-4℃
8-15℃
50°~75°
-5-10℃
8-10℃
13-15℃
25°~50°
0-5℃
10-15℃
15-20℃
0°~25°
5℃以上
15℃以上
25℃以上
0°
4.3效果:该防冻管自07年冬天投运以来,未出现大面积的结冰现象,特别是08年几次寒流带来的大幅度降温(最低温度零下15摄氏度)都未出现大面积的结冰现象(见下图),经受住了寒冬的严峻考验,保证了整个区域循环水的稳定供应工作。
4.4效益
4.4.1、避免了冷却塔出现大面积的结冰现象,也防止了冷却塔承重支柱、填料托架、PVC配水管、淋水填料等发生冻结损坏。更换一次约需资金30多万元。安装后更换频率可由3年增加到6年,可增加效益:30万元*2-30万元=30万元,每年降低成本30万元/6=5万元。
4.4.2、冬天如果出现结冰后数百吨的冰柱悬挂在塔体,对冷却塔的安全运行带来的威胁,停机消除冰柱(三天)一次所造成的损失如下:
(4.5万KWh*24*3)*0.2+(2万Kwh*24*3)*0.2元=93.6万元(4.5万是指5万的机组每小时发的电,0.2是指每度电的效益)。
4.4.3、如果采用悬挂挡风板,挡风板损坏频率大,更换周期不到三年,一次约需资金15万余元,每年降低成本15万元/3=5万元。
防冻管的使用年限15年,则每年成本26万元/15=1.8万元。
综上所述:每年可以增加效益