初等数学内容范文

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论文摘 要 高等数学与初等数学教材内容的有效衔接问题，是切实提高高等院校高等数学课程教学质量的关键问题之一。本文对高等数学与初等数学教材中有关“函数与极限”、“导数与微分”等内容及教学要求进行了比对，并给出了解决这些问题的一些建议。

经过调研了解到，2003年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后，新出版的高中教材与以前的教材相比，一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系，高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。但是，大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。这些问题影响了大学数学课程的教学质量，对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。

1 “函数与极限”的衔接

函数，是高中数学的重点内容，高考要求较高，学生掌握也比较牢固。高等数学教材中的这部分内容基本相同，但内涵更丰富，难度也提高了。

（1）函数概念：在原有内容中，增加了几个在高等数学中经常用到的实例，如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。因此，在学习中，函数概念部分可以简略，重点学习这几个特殊函数即可。

（2）初等函数：反三角函数要求提高，新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。反三角函数的概念在高中已学过，但高中对此内容要求较低，只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。而高等函数中要求较高，此处在学习中应补充有关内容：在复习概念的基础上，要求学生熟悉其图像和性质，以达到灵活应用的目的。新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到，故应特别注意。

（3）函数极限：“数列极限的定义”，高中教材用的是描述性定义，而高等数学重用的是“”定义，此处是学生在高等数学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念，因此在教学中应注意加强引导，避免影响函数极限后面内容的学习。新增内容“收敛数列的性质”虽是新增内容，但比较容易理解和掌握，教学正常安排即可。“极限四则运算”处增加了“两个重要极限”，要加强有关内容的学习。

2 “导数与微分” 的衔接

高中新教材中的一元函数微积分的部分内容，是根据高等数学内容学习需要所添加，目的是加强高中数学与高等数学的联系，让中学生初步了解微积分的思想。

（1）导数的定义：高中数学和高等数学教材中，这一内容是相同的，不同的是学习要求。高中数学要求：了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念。也就是说，尽管极限与导数在高中已经学过，但主要是介绍概念和求法，对概念的深入理解不作要求。到了大学，概念上似懂非懂、不会灵活运用，成了夹生饭。但高等数学要求学生掌握并熟练应用，这是高等数学的一个重要内容，在此处应用举例增加了利用“两个重要极限”解题的例题，在教学中应给与足够的重视。

（2）导数的运算：高中新课标教材要求较低：根据导数的定义会求简单函数的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数导数。重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。

高等数学教学大纲对这部分内容要求：掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握初等函数的一、二阶导数的求法，会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；了解微分的概念与四则运算。

建议：高中学过的仅仅是该内容的基础，因此需重新学习已学过的内容，为本节后面更深更难的内容打好基础。

（3）导数的应用：高中新教材中仅是借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，并通过实际的背景和具体应用事例引导学生经历由函数增长到函数减少的过程，使学生了解函数的单调性，极值与导数的关系，要求结合函数图像，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的最大最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。

高等数学对这部分内容的处理是：先介绍三个微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式，然后严格证明函数的单调性和曲线的凹凸性，给出函数的极值、最值的严格定义，及函数在一点取得极值的必要条件和充分条件。在此基础上，讨论求最大最小值的应用问题，以及用导数描绘函数图形的方法步骤。

建议：由以上分析比较可知，高中数学所涉及的一元微分学虽然内容差别不大，但内容体系框架有很大差异，高等数学知识更系统，逻辑更严谨。学习要求上，对于导数的几何意义，导数的四则运算法则及简单函数的一阶导数，利用导数判断函数单调性和求函数极值都是高中数学课程标准中要求的重点，是重点强化训练的知识点。而在高等数学教学中建议一点而过，教学重点应放在用微分中值定理证明函数单调性的判定定理、函数极值点的第一、二充分条件定理以及曲线的凹凸性、拐点等内容上。

以上主要分析比较了高中数学与高等数学的重复知识点。除此之外，二者之间以及高等数学与后继课程之间还存在着知识“断裂带”。

3 高中数学与高等数学知识的“断裂带”

高考对平面解析几何中的极坐标内容不做要求，鉴于此这部分知识在高中大多是不讲的；而在大学教材中，极坐标知识是作为已知知识直接应用的，如在一元函数微分学的应用中求曲率，以及定积分的应用中求平面图形的面积等。建议在相应的地方补充讲解极坐标知识。

初等数学与高等数学除了在教材内容上的衔接外，在学习思想和方法等方面的衔接也都是值得研究的课题。学生刚开始学习高等数学，不能很好地衔接，教师在教学中要注意放慢速度，帮助学生熟悉高等数学教与学的方法，搞好接轨。首先要正确处理新与旧的关系，在备课时，了解中学有关知识的地位与作用及与高等数学知识内在的密切联系，对教材做恰当的处理；上课时教师要经常注意联旧引新，运用类比，使学生在旧知识的基础上获得新知识。

总之，努力探索搞好初等数学和高等数学学习衔接问题，是学好高等数学的关键之一。

参考文献

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【关键词】初等数学；高等数学；关系

从数学这门学科的建立直至十七世纪这整个阶段，数学只能解释一些静止的现象和计算一些定量（例如，它只能用于计算直边所围成的面积，以及固定的高度和距离等）这个阶段被称为初等数学阶段。初等数学远远不能满足社会发展的需要，因此人们寻求新方法，解释那些运动现象（例如，变速运动的瞬时速度、任意曲边所围成的面积等）于是建立了高等数学。高等数学的出现，显示出了巨大威力，许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。

本文介绍了初等数学与高等数学的一些相关内容及它们之间的关系。

1.初等数学简介及其研究内容

代数的最早起源可追溯到公元前1800年左右。那时代的巴比伦数学文献里已经含有二次方程和某些很特殊的三次方程。从那时直到15世纪的三千多年里，中国﹑印度﹑阿拉伯和欧洲都在不同的方面对代数学的发展作出了不同贡献。特别是中国的代数获得了比较系统的﹑高水平的发展。例如，约在公元前1世纪前后成书的《九章算术》，其中记载了“方程术”和“正负术”等重要成就。到了13世纪后，中国数学在高次方程的数值解法﹑同余式理论以及高阶等差数列等方面又再放异彩，取得令人惊异的成就。

纵观数学发展的整个历史过程，大体上经历了初等代数的形成﹑高等代数的创建以及抽象代数的产生和发展三个阶段。随着这门学科的不断发展，人们对于代数学的研究对象问题的认识也不断深化，逐步形成下面几个观点。

（1）代数学是研究方程解法和字母运算的科学

（2）代数学是研究多项式和线性代数的科学

（3）代数学是研究各种代数结构的科学

（4）代数是推动数学发展、解决科学问题的有利工具

初等数学中主要包含两部分：初等几何与初等代数。初等几何是研究空间形式的学科，而初等代数则是研究数量关系的学科。初等数学基本上是常量的数学。

1.1数的概念及其运算 1.2解析式及其恒等变换 1.3方程 1.4不等式 1.5函数 1.6 平面几何1.7立体几何

2.高等数学简介及其研究内容

16世纪以后，由于生产力和科学技术的发展，天文﹑力学﹑航海等方面都需要很多复杂的计算，初等数学已经不能满足时展的需要了，在此种情况下，高等数学随之应运而生。 高等数学是初等数学的进一步发展，它从更深的层次揭示了数学的本质。

高等数学含有非常丰富的内容，它主要包含：高等代数﹑解析几何﹑微积分﹑概率与数理统计等。 所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。

2.1高等代数（研究方程式的求根问题）

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称。它包括很多分支，现在一般把它分为两部分：多项式理论，线性代数初步。

高等代数主线明晰，多项式理论以整除、分解为主线，矩阵是一条最粗最显的主线，贯穿整个线性代数部分，从而使高等代数具有严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性等特征，这也增加了与初等数学的变化联系。 [1]

2.2 解析几何（用代数方法研究几何）

社会生产力的发展和科学技术的进步都要求数学从研究静止的数量关系转变到研究变化着的数量之间的关系，也就是说研究运动和变化，并用数学来描述这种运动和变化，这种数学是一种研究变量之间相互关系的数学，解析几何正是在这种需要描述变量关系的背景下应运而生的。解析几何的诞生实质上也就是变量数学的诞生和发展。解析几何的诞生，又构成变量数学研究的起点，促进了变量数学的发展。

在解析几何中我们主要采用代数的方法研究几何，它主要包括两部分：平面解析几何、空间解析几何。[2]

2.3微积分（研究变速运动及曲边形的求积问题）

微积分是人们认识客观世界中量的运动变化规律的有力工具，又是很多其它学科的基础，而且又能直接应用解决实际问题。

它主要解决以下四部分的相关问题：

第一类问题是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

函数是微积分的研究对象，极限是微积分的研究工具， 微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

（2）积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。[2]

2.4概率论与数理统计（研究随机现象，依据数据进行推理）

概率论与数理统计是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论。

主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等内容。

在初等数学中一些关于排列组合及使用排列组合去计算概率的内容，这个内容在一定意义上属于日常生活的基本知识，它是高等数学概率论与数理统计的基础，关于抽样、数据、误差、平均值、标准差、统计规律、统计相关性、大数定律等内容，与我们的现实生活密切相关，有着广泛的应用。[3]

3.初等数学与高等数学之间的关系

初等数学是学习高等数学不可或缺的基础，它从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这个方向继续发展，数学在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就产生了高等数学。

高等数学基于初等数学，但又高于初等数学，除所学内容不同外，处理问题的观念和方法有所不同。高等数学的研究对象主要是函数。 研究的方法主要是极限的方法。 如果说初等数学是用“静止”的观点去研究，那么，高等数学极限的思想则是一种“运动”的观点。高等数学是初等数学的进一步发展，它从更深的层次揭示了数学的本质。用高等数学的观点﹑原理和方法去认识﹑理解和解决初等数学的问题，有助于我们加深对问题实质与知识间联系的理解。高等数学是在初等数学基础上发展起来的，因而它所包含的思想方法既是初等数学方法的进一步发展，又同时具有更大的适用性和更高的思想层次，通过学习高等数学有利于从更高的层次看初等数学，加深对数学问题本质的理解。 [4]

（1）初等数学讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等数学在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论。

（2）初等数学给出了多项式因式分解的常用方法。高等数学首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定。

（3）初等数学讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等数学接着讲一元n次方程根的定义；复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数；实系数一元n次方程根的特点；有理系数一元n次方程有理根的性质及求法；一元n次方程根的近似解法及公式解简介。

（4）初等数学讲二元一次、三元一次方程组的消元解法。高等数学讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系。

（5）初等数学学习的整数、有理数、实数、复数为高等数学的数环、数域提供例子；初等数学学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等数学的向量空间提供例子；初等数学中的坐标旋转公式成为高等数学中坐标变换公式的例子。

（6）初等数学学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型；三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型；线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型.

4.结束语

综上所述可知，初等数学是高等数学不可或缺的基础，高等数学是初等数学的继续和提高.高等数学不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统.这对用现代数学的观点、原理和方法指导数学教学是十分有用的.

参考文献：

[1] 张殿国 高等数学[M] 北京高等教育出版社

[2] 同济大学数学教研室 高等数学 上下册 高等教育出版社

[3] 唐国兴 高等数学（二） 第二分册概率统计[M] 武汉大学出版社

[4] 王健吾 数学思维方法引论[M] 安徽教育出版

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【关键词】初等数学；高等数学；过渡

一、引言

对于高等数学的教学而言，首要问题是如何做好初等数学到高等数学的过渡。教学过程是教师与学生共同参与的活动，教师要面对来自全国各地、数学基础不同的学生，而大一学生无论对于教师授课、教材内容还是学习方法都需要适应过程。随着数学教育的发展以及初等数学课程的改革，过渡中的许多问题被凸显出来。

二、初等数学到高等数学要面对的问题

1.教师面对的问题

①文理科学生交叉现象。在高中阶段，文理科学生学习内容有所差异，且实施方式为分开教学，分开考核。进入大学，会出现一些专业，文理科学生重新集合在一起，而高等数学课程是一门公共基础必修课，因此产生了文理科学生交叉的现象。②学生数学基础不一样。中学数学课程在改革之后，内容有必修课程和选修课程之分，但是由于各省份和地区落实的情况不一致，且受高考指挥棒影响程度的大小不一样，造成的结果是学生学习的内容存在差异性，导致学生的数学基础不尽相同。③高等数学教材与初等数学的不匹配。这种现象的出现也是因为高中数学课程改革的影响，高中数学课程改革调整力度较大、覆盖范围较广，目前入校的大一新生都是在高中数学课程改革之后进入大学，而目前的大学教材作出的调整很小或者基本没有调整，依旧按照以前的教学内容开展教学。比如反三角函数、导数、极坐标的内容在高中只是作为选修课内容，有些学生并没有学习过，或者只做简单了解，并不深入，而到了大学，这些内容有的成为了重点内容。

2.学生面对的问题

①教学方法的变化。高中数学教师内容讲解细致，灌输式教学仍占有不小比重，训练量与训练强度大；而高等数学教师更多地考虑知识的逻辑性、系统性，注重数学概念的本质、原理的实质，启发式教学是主要的授课方式，虽配有例题分析，但数量少，课堂训练量不大。②教学进度的改变。初学数学课程进度较慢，讲解例题，练习所占时间较多；高等数学课程进度较快，一般每章开设一到两次习题课，甚至没有安排习题课，只有少量的答疑时间，整体来看，高等数学课程的进度要较初等数学快很多，这种影响虽不能量化，但是通过大多数学生的感受来看，这种变化对学生造成的冲击力非常显著。③学习方法的改进。在中学阶段，绝大多数学生自主学习的能力不强，学习方法没有完全定型，大多情况下是在老师的引领和安排下进行学习，统一上课，统一练习，统一讲解，统一考核，学生思考的自主空间相对较少，学习方法相对比较单一。④心理作用的影响。大一新生需要适应新的角色，适应新的环境，适应新的教师，另外，进入大学，大多数学生的学习优势已经丧失，要想确立优势，需要付出艰苦的努力。各种心理因素的作用会对高等数学的学习产生一定的负面影响。⑤考核方式的改变。初等数学课程考核有期中、期末考试，配以平时的章节考核或其他考核方式，而高等数学基本不再有期中考试，只是以期末考试成绩或配以平时成绩作为最终成绩。考核方式、次数的改变，令学生不能适应，甚至有失落感和不安全感。

三、如何做好初等数学到高等数学的过渡

1.教师的指导和引导作用。第一，初等数学课程在内容上发生了较大的变化，作为高等数学教师，应该尽快了解初等数学新课程的变化，从而考虑如何在高等数学课程中进行调整。在遵循课程标准和教学要求的前提下，适当进行教学内容上的调整和优化，强调教材内容中不一致的位置，重点讲解，适当补充。例如极限的方法贯穿高等数学学习的始终，对于极限的定义要加以重点强调和分析，使学生真正掌握极限的本质；要适当补充极坐标的基础知识，让学生掌握基本的极坐标表示，为课程教学做好铺垫，优化教学设计。同时，要注意文理科学生基础的不同以及数学思维存在的差异性。

第二，引导学员主动思考、自主学习，着重培养学生的自学能力。现在是一个终身学习的时代，培养学生学会学习，树立终身学习的思想。初等数学课程课时充足，教师教学时间充裕，但是导致的结果是学生的依赖心理强；而高等数学课时有限，任务较重，教师授课不可能面面俱到，再加上课程改革之后，不同学生的知识基础不尽相同，课堂上不可能满足每一位学生对知识的需求。因此，教学的根本应该侧重授人以渔，培养学生的自主学习能力。

2.学生的主观能动性。学生在遇到问题的时候，应积极思考，通过各种方式寻找解决的方法。笔者认为，做好初等数学到高等数学的过渡，要做到以下几点：第一，加强预习和复习，尽快适应教学方式、教学进度的变化。第二，改变练习方式，重点题目重点练习，提高效率。第三，做好心理调整，制定学习计划，合理安排时间。第四，通过自我检查，相互检查等方式检验学习效果。

参考文献：

[1]葛倩，胡明涛.从高等数学教学看中学数学课程改革[J].科技信息，2008(11)．

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蔡高厅的高等数学适合工科类学生学习，比如土木工程、计算机、采矿、桥梁等等。

高等数学指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。

（来源：文章屋网 ）

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一、注重引导，抓住学习关键

数学关键就在一个悟字，所谓悟，就是开窍，如何开窍，就要求讲师不要只讲题目的做法，而是包括，是怎么想到要这么做的，以引导学生去理解，去悟，对于初等数学，本人的看法是随便怎么做，因为初等数学的试题必然有解，必然是可以通过所给条件经过N多步骤推出来，不信可以试试，拿一道，先什么都不要管，只管把已知条件以全排列方式组合，以推出新的条件，再将所得条件组合，再推，直到最后推无可推，你会发现题目所求就在其中，甚至简单的可能是离最终结论还有N步，复杂的估计也就是最终结论了，所以以高考为目的的初等数学题目是不经做的，因为只要你做，就一定能做出来，而之所以很多学生觉得难，没处着笔，不知道改该怎么做，很大一部分是因为懒，不愿动笔，而只是呆看，简单的能看出来，复杂的是很难看出来的，如果说那种直接推导的办法太耗时间，那么只能说是因为不熟练，一旦题目做多了，思维形成了，差不多就可以一眼看出来，顶多推两步，就知道后面的怎么推了，从而省略了N多的分支，古往今来的题海战术不是没有依据的，熟能生巧，见得多了，做的多了，自然可以找到某种规律

二、要正确处理本课程的自身逻辑系统与相关课程的关系

初数研究课在研究初等数学问题时，大多采用专题讨论的方法，都有一套完整的体系。如果过分强调自身完整的逻辑系统，容易导致不同学科、不同课程的内客及方法有很多重复和交叉。

如数与初等数论中的相关内容，解析式的恒等变形，方程、不等式的解法与证明，几何证题法与证题术排列、组合及数列的一些解题方法等。如果不处理好它们之间的关系，只是简单地追求各门课程自身体系的完整，既不利于学生整体数学思想的建立，又制约了他们数学综合运用能力的提高，同时占用了很多的课时，所以，对于相关课程中己作详尽讨论过的知识及理论，应作为工具来应用，避免一些不必要的重复。

三、变被动式学习为主动式学习

1.知识系统的探究

初数研究课涉及大量的理论，教师讲、学生听的传统教学模式既占用课时多，又难以体现学生的主体性。因此对理论性较强的内容，教师可以先提出一些切题的问题作为一堂课的锲子，留待后面逐个解决。这些问题将整个教学内容串起来，起到提纲挚领的作用，使学生明确学习目标，集中学习资源（如本课程及相关课程的教村及参考书）有针对性地去探究问题，然后教师组织学生对探究的结果进行归纳整理，形成较完整的知识体系。当然一个问题的解诀并非探究的终结，在探究过程中教师与学生都可以提出一些新问题，延续学生探究的热情，在合作交流的民主和谐的氛围里，尽可能地让学生走向自由探究。

2.解题方法的探究

从学生的认知角度未说，解题过程是独立的发现、探索与积极思考的过程，这种探索过程中所形成的意识和思维，就是真正的创造与发现。应该说，解题教学是中学数学教学的主要任务之一，设置初数研究课程的目的之一，就是结合中学实际对解题作专门的训练。

3.条件与结论的探究

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【关键词】高等数学；中学数学；教学的应用

相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为复杂的一部分。高等数学是比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科，主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。一般以微积分学和级数理论为主，其他方面的内容为辅，这是对高等数学的总述。随着我国新课程改革的逐步展开，在中学数学教学中，逐渐改变教学方法，将高等数学的教学与中学数学的教学相融合，在中学数学教学过程中插入高等数学，有利于一些抽象数学问题的解决，是学生能更好的掌握所学的知识内容，并更好的举一反三，解决中学数学中较高逻辑的问题。

1、高等数学教学如何与中学数学的教学巧妙结合

高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与中学数学的教学有着紧密的联系。中学数学教学中插入高等数学教学的方法不仅可以使学生居高临下地去观察一些初等问题，帮助学生确定新的解题思路时，还能够帮助学生剖析某些疑难问题的实质，寻求简捷的解法。站在高等数学的角度来看中学数学教学中出现的某些问题，又会更深刻、更具体、更全面、更据逻辑性。对于高等数学在中学数学教学中的进行的巧妙结合简要总结为以下几点：

1.1 要根据数学教学的内容设计贯彻学习高等数学思想方法的途径。使数学教学的思想方法蕴涵在数学知识的内涵和发展之中。在数学教学中要抓住分析过程，概念的形成过如程、定理与法则的发现过程和一些公式的推导过程、证明思路和解决问题方法等过程。

1.2 在数学教学内容中要揭示事物本质，指揭示一些抽象的概念、计算定理、计算公式或一些计算方法的本质，例如极限方法，实质上是一种以运动的、互联系和量变引起质变的辩证方式，还有比如求函数的极值、最值问题，也可以设计到中学数学的教学内容当中，体现高等数学方法在中学数学教学中的应用。

1.3 把逻辑思考问题作为教学的出发点。即不以单纯的数学问题感知为出发点，教师的教学更不以直接告诉现成知识结论为出发点，在数学教学过程中而是通过创设逻辑问题情景启发诱导学生，激发学生解决问题求知欲，教师扎住时机，引入高等数学的教学，培养学生运用高等数学解决一些逻辑数学的思维，培养学生运用高等数学解决问题的逻辑思考能力。并同时指导学生开展尝试性的学习活动。教师在讲授的同时，辅助指导学生探究、发现、应用，在活动中解决、学习。

1.4 在教学过程中建构连续地知识结构。适时指导学生归纳在高等数学中所获得的新知识和新技能方面的一般结论，归入总结出知识系统，运用到中学数学的学习过程中。

1.5 根据教学目标，及时反馈，注意调节，随时搜集与评定高等数学学习的教学效果，有针对性地对学生进行质疑性讲解，并对学习高等数学有困难的学生给予相应的重复讲授的机会，使教学效果达到所定目标的要求。

2、在中学数学教学中应用高等数学的创新教育与传统中学数学教学之间的差别

创新的教学模式，需要一种全新的教学思想。在我国新课程改革的推动下，在中学数学教学中插入高等数学的教学方法这种全新的教学思想促进了学生能力、素质的提高。传统中学数学的教学中存在大量与创造性人才的培养不相符的思想与行为，必须加以改进、变革，在合理继承传统中学数学教学的基础上，构建与培养新型人才相配套的创新数学教学模式。中学数学的传统教学和创新教学在实践教学中表现出截然不同的教育模式。

2.1 传统型的中学数学教学的学生与新型插入高等数学的学生在学习目标、动机、策略或方法等方面表现出截然不同的学习方式和行为倾向。传统型数学教学倾向于记忆、理解固定的内容和知识；学习刻苦，意志坚定，完全听从教师的安排，以考试成绩为目标，使用模仿型的学习方法，熟悉教师的讲课和书本内容；按规定的时间做完规定的作业；尊重现有的成果，迷信权威，遵守纪律，创造力不足。

2.2 新型插入高等数学的数学教学模式，可以培养学生的逻辑思考能力和整体的辩查能力；除书本以外，喜欢探究自己学习中的一些问题，并不一定以教师的授课内容或课程所限制，同时学生有时会对教师讲述的问题持有异议；运用逻辑思维主动寻找一些解决问题的方法，有批判精神，善于发现问题，拓展自己的思考范围；不盲从，培养学生自己较强的创造力和创新精神。

2.3 传统中学数学教学的模式较死板，目标较单一，主要以固定目标为主。

2.4 中学数学教学中插入高等数学的创新教学方法，在教师的作用下，让学生通过自己的思维来学习数学，教学时在教师的启发和引导下，让学生独立地去探索教师精心安排的数学问题，这些数学问题是学生力所能及的，同时又具有一定的深度和难度，学生克服困难的过程，就有可能表现出创造性活动的特征，并在此过程中积累他们自己的经验，成为他们将来可以利用的经验。

2.5 中学数学教学中插入高等数学的创新教学方法，可以灵活运用高等数学基础知识和技能、解题模式、数学方法的典范，逐步的启迪学生的思维。充分发挥例题和习题的作用（如适当的一题多解、多题一解等），还可以消除一些学生不良的心理定势，使他们逐步养成灵活思考数学问题的逻辑思维能力和习惯。

2.6 中学数学教学中插入高等数学的创新教学方法，通过举例分析教会学生鉴赏数学，懂得数学的逻辑美表现在哪些层次和方向，如何从高等数学的角度分析评比各类数学定理和证明方法，启发学生认识到生活中的数学的实际应用，从而更好的培养学生喜欢、热爱数学。

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关键词：高等数学 教学 学习

我们可以作这样一个比喻：如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。我们现在学习的高等数学是由微积分学、空间解析几何、微分方程组成，而微积分学是数学分析中主干部分，而微分方程在科学技术中应用非常广泛，无处不在。大学新生可能对将要学习的高等数学产生畏惧的心理，因为高等数学与初等数学相比教师的讲授方式和学生的学习方法都有了较大的变化。如何让学生们有一个良好的过度，教师的教就起到了至关重要的作用，同时对于学生的学习方法引导也尤为重要。为了解决以上的问题，本文就针对教与学给出以下一些建议：

教师的教

与初等数学相比，高等数学的课堂教育有几个显著的特点：第一是时间长。大学课堂里的每一堂课一般都是100分钟，两节课连上，高等数学也不例外；第二是进度快。由于高等数学的内容十分丰富，但学时又有限，因此每堂课不仅教学内容多，而且是全新的，教师讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲概念、讲思路，举例较少。第三是课堂大，高等数学一般是若干个小班合班上课，课堂上不允许过多的同学们提问。因此教授高等数学课是一门艺术，它涉及到很多个环节，其中定义的引入和讲解最为主要，要能够适应学生的思维发展规律，美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”。 这说明数学学科的高度抽象性和概括性，这些特点容易让学生对于高等数学的定义理解产生困难，不能深入理解其中的内涵，造成表面的形式理解，表现在做题时仅能够解答与例题类似的习题，遇到稍微变形的题目时，就不知如何下手，不会举一反三，灵活运用解题方法。因此，在教学中要研究高等数学定义的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学形式，讲解时，尽量由浅入深，多从生活中找素材进行引入，使学生慢慢理解消化。例如，在讲解导数的定义时，要求变速运动物体在某一时刻的瞬时速度，根据他们以前掌握的知识，是没法准确得到的，怎样利用他们已有的知识去解决新的问题？教师这个时候，要有目的地去引导，把变速转化为匀速，最后求极限就可以把问题解决。后面定积分的定义和定积分的应用都是采用相同的方法，通过这样慢慢的引导，学生能明白定义的来龙去脉，对定义的理解会深刻一点，也容易记住定义的实质，而不再死记硬背，起到事半功倍的效果。这种让学生也参与其中而不再被动接受知识的授课方式，能促进他们从中学的那种思维方式向大学学习的思维方式转变。同时教师要注意引导学生调整学习心态和学习方法，主动地适应大学数学的课堂教学，培养他们自学的能力，在教学中要允许学生有一个适应过程。在课堂上老师应该教给学生们一些基本的方法，除此之外，还要讲一些经典的题目，这样就诱发学生们的学习乐趣，此外就是要留一些课外的作业，光是靠课堂上 讲的完全不够，课外的作业就是为了让学生们自己去找找方法，很有帮助。 至于什么样的标准才算教好了，我觉得把学生们的兴趣都培养了，就已经达到教学目的了，如果只是看成绩，那只是表面现象而已。在刚开学的前几周，教师讲课进度要稍慢一些，较难的内容讲得详尽些，随着学生对大学数学的课堂教学的不断适应，讲课进度就可以加快了。

二、学生的学

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【关键词】高等数学；高考；数学思想

随着新课改的不断推进，参与高考命题的专家越来越重视初、高等数学知识的衔接，很多高考题、模拟题的命制都喜欢有着高等数学背景的定理，这些看起来抽象、高深的定理下放到中学试卷中，用初等数学方法来解答，往往蕴含着丰富的数学思想，对于训练思维非常有好处.

下面我将从线性变换、不动点和凹凸函数三个方面给出例证.

一、线性变换

例（2009四川卷）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：VV，a∈V，记a的象为f（a）.若映射f：VV满足：对所有a，b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a，b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；

②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；

③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）.

其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）

解析

理解何为“平面M上的线性变换”，是解题关键，对于①④可用特殊值验证，对于②③抓住定义即可.

对①，令λ=μ=1，则有f（a+b）=f（a）+f（b），故①是真命题.

对②，f（b）=b+e，且f（λa+μb）=λa+μb+e，而λf（a）+μf（b）=λ（a+e）+μ（b+e）=

λa+μb+（λ+μ）e，但λ+μ不恒等于1，故②是假命题.

对③，有f（b）=-b，则f（λa+μb）=-（λa+μb）=λ（-a）+μ（-b）=λf（a）+μf（b）是线性变换，故③是真命题.

对④，令λ=k，μ=0，则f（ka）=kf（a），故④是真命题.

认清“平面M上的线性变换”定义是解出这道题的关键.

二、不动点

例对于f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0是f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）.

（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；

（2）对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.

解析（1）a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3，若x0是f（x）的不动点，则x02-x0-3=x0，解得x0=-1或x0=3，所以-1和3是f（x）=x2-x-3的两个不动点；

（2）因为f（x）有两个相异的不动点，所以方程f（x）=x有两个不同的解，所以

f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）=x，即ax2+bx+（b-1）=0有两个不等的实根，所以

Δ=b2-4a（b-1）>0成立，即对任意b∈R，b2-4ab+4a>0恒成立，所以（-4a）2-4・4a

所以0

只要认清了不动点的定义，这道题很容易用初等数学知识解答.

三、凹凸函数

近年高考出现了一类函数――凹凸函数，为更好的体现直观性，给出定义：函数f（x）在区间D=[a，b]内，若x1，x2∈D时有：

fx1+x22

fx1+x22>f（x1）+f（x2）2（x1≠x2），则称f（x）在D内为凸函数.

从定义可以看出“凹函数”图像是向下凹的，“凸函数”图像则是上凸的.

例在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0

A.0B.1C.2D.3

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关键词："高观点"；中考试题； 命制方法

1 "高观点"思想之由来

"高观点"思想是德国杰出的数学家菲利克斯・克莱因于20世纪初在《高观点下的初等数学》这本书中提出来的.克莱因认为，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过[1]。

克莱因的"高观点"思想主要是指用高等数学的观点来剖析、俯视初等数学问题.初中数学是高中数学和大学数学的基础，高中数学和大学数学是初中数学的发展和延伸，它们是一脉相承的.因此，我们可以用高等数学（包括高中数学，以下简称高数）的观点（知识、思想、方法等）来剖析、透视初中数学试题。

本文以浙江省台州市中考数学试题为例，运用"高观点"思想，剖析试题的解法，分析试题的特点和命制方法。

2 "高观点"思想下中考数学试题之赏识

在近几年的浙江省台州市中考数学一些试题中，有着或明或暗的高数背景，都可以从高数的视角来剖析，举例如下：

[浅析]本题摒弃了通常的找规律型试题和给出新定义让学生理解的命题方式，独辟蹊径，把主动权交给学生，请学生给出合理的对象定义[2]，这与直接给出新定义的途径正好相反。该题既考查了学生的数学归纳、数学概括能力，又检测了学生的"自我在线监控与调节"的意识[2]。事实上，本题的三个式子中都有ab =ba 这个重要特征，即对称性，它的背景就是高等代数中的对称多项式。我们知道，在高等数学里，如果对于任意的i，j （其中1 i

[浅析]函数最明显的特征是模型属性而非图形属性，画函数图像是为研究函数的性质服务的，而不是为了研究图像而研究图像[2]。本题中，学生通过分析函数图像特征断定用二次函数来拟合，利用几个特殊点确定函数解析式，求出函数的最值.从高等数学的角度思考，满足已知条件的函数也可以用拉格朗日插值函数来表示：

[浅析]求椭圆的面积需要用高等数学中积分的知识来解决，即使如题意中所描述的采用"化整为零，积零为整""化曲为直，以直代曲"的方法，由于初中学生不清楚椭圆的标准方程，分割求面积和求极限都不会.在《全日制义务教育数学课程标准》中提出，教师应该引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力.事实上，数学直觉和合情推理能力是数学素养的重要组成部分，但在现实的教学中普遍存在对这两种能力重视和关注不够[3]，该题的出现旨在考查学生的数学直觉和类比能力.尽管为了降低难度，命题者作了暗示性的铺垫：希望通过正方形与矩形面积的关系启发得出圆与椭圆的面积关系，但这种暗示作用甚。也许有人会这样去猜测，把圆的面积公式πa2 看成πa・a ，再将其中的一个a换成b，但为什么可以这样猜测呢？笔者以为，要解决这个问题，还得从高等数学的角度来诠释，因为把圆压缩成椭圆就是仿射变换的过程，在仿射变换下，任意两个封闭曲线围成的面积之比是仿射不变量，即

3 "高观点"思想下初中数学试题特征之分析

3.1 "高观点"思想下初中数学试题的特点。

仔细分析这些试题，我们不难发现它们有以下一些特征：

①背景深：

试题背景源于高数，它从不同的角度、不同的思维抓住了初中与高数的衔接点，立意新，背景深，这类试题或者以高数符号、概念直接出现，或者以高数的概念、定理作为依托，融于初中数学知识之中，贴近学生的最近发展区.因此这类试题靠猜题押题是不行的，体现了试题的公正性、公平性，为命题者喜欢。

②落点低：

问题的设计虽然来源于高数，但解决问题的思想、方法却是初中所学的，决不会超纲，思维虽高落点却低，它能有利于引导学生提高思维的逻辑性、敏捷性和严谨性。

③要求高：

试题的设计旨在考查知识的基础上，能宽角度、多观点地考查学生的数学素养，有层次深入地考查数学思维能力和继续学习的潜能，为学生的后续发展打下基础。

3.2 "高观点"思想下初中数学试题的命制方法。

相比而言，高数所涉及的知识点当然要比初等数学所涉及的多（而且深）."升格"和"降格"是我们编制初等数学问题的有效策略。升格就是把问题从局部归结为整体，从低维提高到高维，从具体提升到抽象的策略；降格是遵循人们认识事物的规律，把复杂、多元、高维的问题情形，分解、降维为简单、一元、低维的情形，如特殊化方法，可以将问题转化为我们熟悉的情形。

"高观点"思想下初中数学试题的命制并不是高数知识和方法的简单下嫁，而是充分利用高数的背景，通过初等化的处理和巧妙设计，使之贴近初中学生的思维认知水平，达到一定的考查目的。

3.2.1 直接引用法。

直接引用法是指将高数中某些命题、概念、定理、公式等直接移用为初中数学试题的一种做法.事实上，高数中有许多抽象化的概念本身就是初中数学知识的拓展和延伸，在考查学生掌握相关知识水平的同时，也考查了学生对高数知识的理解能力。

例4（2009年第10题） 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如 a+b+c就是完全对称式。下列三个代数式：①（a-b）2 ；②ab+bc+ca ；③a2b+b2c+c2a。其中是完全对称式的是（ ）

（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

[浅析]该题中的完全对称式就是直接引用于高等代数中的对称多项式。

3.2.2 适当改编法。

根据高数有关知识，结合相应的考查要求，适当地将问题进行改编，使之能符合初中学生的知识能力要求范围内，可以有效地运用初中所掌握的知识和方法予以解决。这类方法可以简单分为三种：演变法、初化法和高化法。

①演变法 演变法是指将高数的定理公式等的条件和结论进行演变，或以公式、定理为载体，可以通过对概念的延伸或弱化，或增加适当地背景，转而考查学生的数学思维能力。

问题，通过适当演化，用表格创设背景，所考查的知识内容没有改变。

②初化法 初化法是指将高数的问题、概念、原理等进行特殊化、初等化、具体化、低维化的处理，使之成为具体的初等化内容。

例6（2006年第17题） 日常生活中，"老人"是一个模糊概念.有人想用"老人系数"来表示一个人的老年化程度.他设想"老人系数"的计算方法如下表：

[浅析]此题是高等数学中的模糊数学和高中数学中的分段函数相结合后初等化处理的一种设问形式，主要考查学生的阅读理解能力，引导初中数学教学更多地关注背景深刻、趣味无穷、应用广泛但又是学生能够理解和接受的数学。

③高化法 高化法是指将初等数学的语言、符号、概念等升华为高数的语言、符号和概念，是学生所学知识的延伸，考查学生的探究能力和后续学习能力。

例7（2008年第10题） 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图4）。结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图5）的对应点所具有的性质是（ ）

（A）对应点连线与对称轴垂直

（B）对应点连线被对称轴平分

（C）对应点连线被对称轴垂直平分

（D）对应点连线互相平行

[浅析]本题从植物叶子的构造特征中让学生发现平移与轴对称的组合变换，是将单一的图形变换升华为复合变换，旨在考查学生对新定义的理解.它也明白地告诉学生，自然界中的许多现象都可用数学的语言区描述，简洁而准确，数学是有趣的也是有用的.从高等数学看，几何变换的发展正是从轴对称出发，通过数学概念的弱抽象（减弱数学结构的抽象）过程，探究各种不变量：轴对称变换合同变换相似变换仿射变换射影变换拓扑变换，因此，轴对称变换是几何变换的基础，该题可以引导学生在变换过程中积极寻找不变量。

结语

"站得高才能看得远"，从数学学科的整体性和数学教育的连续性的角度上说，用"高观点"思想分析初中数学试题，可以较好地解决一些困惑问题，是一把利器.

当然，尽管中考数学试题中有一些高数知识的背景，但是我们也不提倡教师在课堂教学中把高数内容下放给学生，否则势必会加重学生的学业负担，再说你想教也是教不完的！在学生充分掌握初中数学知识的基础上，我们可以借助实例和直观，渗透一些为学生所能接受的高数的初步知识（最近发展区），突出思想和方法，重视思维训练，强调理解和应用，不追求严格的证明和逻辑推理，积极发展学生的合情推理能力，从而最终提高学生的数学素养.

参考文献

[1] 菲利克斯・克莱因著，舒湘芹 陈义章 杨钦等译.高观点下的初等数学[M].上海：复旦大学教育出版社，2011.

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关键词 数学竞赛；结合；辅导

一、国际数学奥林匹克的起源

国际中学生数学竞赛也被称为国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad）简称IMO。数学竞赛在国际数学教育活动中的发展历史是十分悠久的。20世纪以来，随着举办中学生数学竞赛的在全世界的兴起，为国际上的数学奥林匹克竞赛的诞生奠定了一定的客观基础。一年一度的IMO在每年的7月进行，由各个参赛国家或地区轮流主办。IMO已经成为世界所公认的最高水平的数学竞赛，在世界各国的数学教学中都得到了提倡和发展。经过多年学者们的研究，数学竞赛的质量也得到了逐步提高，要求考试题目的形式具有深刻的数学背景，并以最通俗有趣的语言将其表现出来。

二、数学奥林匹克竞赛在初等数学教育中的地位

奥林匹克数学完美地结合了初等数学与高等数学，主要任务是分别用初等数学的语言和方法来描述和解决高等数学的有关问题。随着数学奥林匹克竞赛与数学教育相互之间的不断深化和发展，数学教育工作者要客观恰当地评估数学奥林匹克在数学教育中所处的重要地位及产生的影响。概括地讲，奥林匹克数学活动的教育功能主要体现在以下四个层面：①有利于优质人才的及时发现和培养；②能激发青少年对于数学学习的兴趣，具有开发智力和潜在创造力的深远意义；③在很大程度上促进并推动了数学教育课程的改革和发展；④丰富了初等数学教育研究的内容和数学解题的思想理论。

三、数学竞赛与初等数学教育的有机结合

1.数学竞赛中体现的数学思想

我们在对任何一道奥林匹克数学竞赛题的研究过程中，会发现其思考方法与解题形式都蕴含了大量的数学思想方法。这就要求学生们在读题的基础之上能充分地理解出题者的意图及考察方向。因此，我们只有不断地去发现、思考、创造、领悟，得到的数学思想才能愈深愈奇。经过这样长期系统的训练，一点一滴地积累、领悟，才能具备超强的研究能力。

2.将数学竞赛结合到初等数学教育的实践中

首先，数学教师在具体的教学实践活动中不能只教给学生“这样解”的方法，还应引导学生去思考“怎样解”的思想，以及如何发散思维方式。目前，国家已研制出面向21世纪中学数学的课程新标准，作为国家教改后第一线主力军的中学数学教师而言，要善于发现每一位学生的优势，并制定出适合每一个人才的培养方案。将新的理念和教学模式用心地应用到每一堂数学课中。事实上，现阶段对数学教师的要求是在兼具教学与科研相结合的基础上，尽力发展每一位学生的个性与特长，这就是对我国教育事业的贡献。其次，将数学奥林匹克视作一种数学教育实验。那么在实际课堂教学中，教师应启迪学生自己去发现、领悟数学思维，培养学生的创造精神。并引导学生逐步深入到更高层次的知识中去，将被动接受化为主动探索达到教与学的高度统一。教师在教学过程中，应鼓励学生积极提出问题，并组织学生选好一个角度进行分组讨论。让学生发表意见，在强调重点和归纳结论时，尽量创造条件让学生自主发现，培养学生的独立性，而教师只需监督检查和点拨。另一方面，教师要注意边讲边问，将启发诱导贯穿始终，尽可能联系学生的生活实际，从最熟悉的地方引入激发解决问题的兴趣，从而使学生在不断地思考问题中，把全部精力都用到听课上来。最后，教师必须协调好数学竞赛辅导与正常课堂教学的关系。由于许多数学奥林匹克问题富有新颖性，如若强度过大地开展这一活动，也会产生消极的影响冲击正常的数学教学活动。这就在更高层面上要求教师具备将数学奥林匹克的普及教学与日常数学教学有机地结合起来的能力。下面举一个具体案例：排列组合问题中应用的抽屉原理就是数形结合教学法的一个体现。抽屉原理是证明命题存在性的有力工具。对所要讨论的问题，需分清哪个是苹果（元素）哪个是抽屉（集合），及量各是多少。具体应用时，依据复杂程度可分为以下六个层次：①若题目已知苹果和抽屉，只需进行观察区分；②注意原理的逆向应用，反求苹果数和抽屉数；③若题目已知苹果与抽屉二者之一，只需构造另一个；④若题目中苹果与抽屉均是未知时，需构造二者；⑤注意抽屉原理的多次应用；⑥综合应用抽屉原理时，需注意与某些数学思想方法的结合。因此，关键是教会学生利用题目中的已知条件构造出需要的“抽屉”和“苹果”的思维方式。构造法主要有以下五种方式：①利用同余项②利用不大于n的正整数③分割区间④分割图形⑤利用染色。在我们利用抽屉原理解决问题时，可选的方法途径多种多样并不只限于以上五种，因此，教师应注重引导学生灵活地应用此原理，根据题目的条件与要求，有的放矢地进行构造“苹果”与“抽屉”。

综上所述，数学奥林匹克在一定意义上是一种数学教育实验，指引并推动了中学数学的教学改革。在强调素质教育的今天，举办数学奥林匹克竞赛是为了更充分的发挥其重要的教育功能，从而使我国的数学教育体系更加完善，得以健全发展。

参考文献：