初等数学研究范文

导语：如何才能写好一篇初等数学研究，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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《初等数学研究》是高师院校数学教育系的专业必修课，它与学生毕业后所从事的中学数学教育工作联系密切。“初等数学”可以分为“传统的初等数学”以及“现代的初等数学”，本书所讨论的初等数学就是指现代的初等数学。“初等数学研究”所包括的内容：

其一，用现代数学、古典高等数学考察传统的初等数学，理解“中学数学”的理论基础；

其二，掌握与灵活运用数学思想方法；

其三，用“生长”的观念探讨与延伸一些初等数学问题。

本课程从中学数学教学的需要出发，把基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深与拓广，在理论、观点、思想与方法上予以提高，使中学数学教师具有严谨、系统的初等数学理论与基础知识，提高中学数学教师的解题技巧。

二、 主要教育价值

1. 利用《初等数学研究》中的内容，引导学生用高观点分析解决问题，提高学生认知结构的层次，激发学生的学习兴趣

初等数学中的内容必须在教学中有意识地进行引导，用高观点分析，才能提高学生对初等数学的认知结构的层次，从而掌握中学数学的规律。如数系这一章是初等代数的重要内容。学生基本上是在中学阶段已经学习过关于数概念的扩展的知识。在高师，除了在数学分析中学习实数理论外，关于数的概念扩展再也没有系统提到过，高师的学生仅靠这些知识是绝对不合格的，初等代数中数系这一章让学生掌握了数的发展规律，从而将来能适度地处理中学教材。

例如自然数理论的建立若用群、环、域的观点，可使学生对数系的发展有一个系统性的认识，并且使学生调整了对中学时代建构的认知结构，提高了认识层次，增强学习目的性，因而激发了学习的兴趣。

2. 利用《初等数学研究》的特点，突出课程的“研究”性质，从而培养学生科研能力

弗赖登塔尔曾提出，中学教师的基本要求是：（1） 能独立地运用当今数学的基本方法；（2） 能向学生提供理解当今数学结构所需的基本知识；（3）能对怎样应用数学知识作 一些讲解；（ 4） 对于如何进行数学研究有初步的概念。初等数学是一门综合性学科，它形数并举，方法多样，题型复杂，最适用于解题方法的研究；初等数学的发展，一直以来是和科学方法论有着密切的联系，从方法论的角度上看初等数学问题，又给初等数学的研究开辟了一条广阔的道路；此外，初等数学与高等数学的关系密切，都决定着初等数学领域中的科研课题，因此在《初等数学研究》的教学中，就应该充分利用它的特点，结合教学活动，提出课题，引导学生进行研究。

2.1 进行方法论的教育，引导学生从方法论的角度研究，把握初等数学的内容和方法

初等数学中的题目有很多，如何从分散的解题过程中，提炼出一般性的方法，反过来再用一般方法来指导解决具体问题，这些对于中学教师来讲都是非常重要的能力，在《初等数学研究》教学中就要培养学生的这种能力。

比如在初等几何部分，解决的关键在于“分析”，也就是分析关键点、线的位置。而有些图形需要进行几何变换，由于变换的思路以及规律不同，使部分教材失去它的作用。经过研究，笔者向学生推荐 R M I 原则，引导学生在分析时把思路集中在寻找一个恰当的映射上，提高学生的思想境界，那么许多难题也迎刃而解了。

2.2 正确指导学生解题，培养学生解题研究的能力

《初等数学研究》的初衷是为了改变学生被动地照搬照抄地做题为主动地去研究题。为此可利用波利亚的“怎样解题 ”表，引导学生按这个表探究问题。或是把问题分类，让学生进行专题研究。例如对于一题多解的题目，把低维变成高维，一元变为多元后，结论是否成立等等。学习初等几何证明，则研究数学的逻辑，采用多种证明方法进行研究、对比。在此基础上，再指导学生进行总结反思，使学生初步掌握解题研究的方法。

3. 利用《初等数学研究》在培养人的智能方面的作用，加强对学生思维的训练

3. 1 在教学中言传身教，加强合情推理的教学

初等数学虽然比不上高等数学抽象，但它的综合性强，比较灵活，形数并举可以多角度分析，因而在培养人的思维方面有着至关重要的作用。“定义―定理―证明”的学习模式是学生学习中的通病，抑制了学生的创造性思维。产生这个问题的原因主要是教学中过分重视逻辑推理而忽视合情推理。因此，

在《初等数学研究》教学中重点应放在培养学生合情推理的能力上。

在教学中，教师的言传身教尤为重要，这关键取决于教师对教材的处理。教材中的初等数学知识都是数学家创造性工作的结果，教师应当通过参考数学发展史、数学家传等揣摩数学家的创造过程，在课堂上再现数学家的创造过程，而具体的证明、计算过程则都在课本上，学生根据教师的引导自主完成。按数学家的创造过程进行教学，学生不仅能对这一部分知识进行活学活用，还受到了一次合情推理的训练。

3.2 在教学中加强联想，引导学生构建“思维块 ”，动用思维块

在初等几何的学习中，尽管你把定义、定理、公式都背得滚瓜烂熟，可遇到题目可能照样无从下手。经过研究，凡是解初等几何题的能手，在他们的头脑中都存在着许多基本题，也就是“思维块”，一遇新的问题，迅速联想，找到与思维块的联系，解题思路就很清楚了。这种构造、运用思维块的能力为培养创造性思维、灵感思维能力提供了坚实的基础。

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1引导学生明确学习目的，唤起学习动机

学习动机指的是直接推动学生进行学习的一种内部动力，是激励和指引学生进行学习的一种需要。教师应引导高职生认真了解美术学科的学习目的，了解学科发展的趋势，或从国家、社会的发展前景的高度去看待学科。当他们意识到学习的社会意义或与自己的关系时，学习动机被唤起，学习兴趣也就随之产生。如果不跨专业就业，他们未来就是教师，要给学生一滴水，自己就要有一桶水，因此，夯实基础，提升专业素养无论于自己，还是于日后的工作都是百益而无一害的。

2着力培养学习兴趣，提高教学有效性

在教学活动中，兴趣是学习的内在驱动力，是提高学习质量最有利的因素，使得学习长期、持续、浓厚的保持下去。高职美术教师应结合美术学科本身的特性，着力创新教学手段和方法，精心呵护学生的好奇心，提高和保护学生的学习兴趣。

2.1充分利用平台网络和多媒体技术辅助教学。

（1）充分利用网络辅助美术教学。资源发达的网络有效打破了传统美术教学的桎梏，例如，简捷高效的网络视频微课、能够即时交流的QQ群和微信群等网络载体，都为提高高职美术教学有效性提供了支撑。在网络环境下开展美术教学，真正地把学习的主动权还给了学生，让学生体验到主动探索问题的挑战性和乐趣，充分体现了教师的主导和学生主体作用的结合，为最终形成探究性自主学习方式提供了便捷。高职学生运用网络的能力已经达到了一定的高度，教师应放手让学生充分利用网络完成布置的课业任务，回到课堂上，再与传统的美术教学有机地结合起来，使网络教学与传统教学有机地结合起来，进而有效提高美术课堂教学有效性全面提高。

（2）运用多媒体优化美术教学效果。多媒体技术是一种新的教学辅助手段，它能将图像、声音、文字、动画等融合在一起，使教学素材立体地呈现在学生面前，让学生在愉快轻松的教学环境中通过形、色、声的变化学习和掌握知识，使教学收到事半功倍的效果。例如，欣赏《富春山居图》一课时，教师播放课前精心制作的多媒体课件，让学生在古典的古琴音乐意境中品味作品中所蕴含的深层次文化内涵，进一步领会和感悟艺术家在作品中所想要表达和寄托的思想感情。通过多媒体所展现的声情并茂图画，学生参与课堂教学的积极性被充分调动起来，较好地培养了鉴赏水平，为学生在专业课知识学习中发现美和创造美奠定了基础。

2.2营造良好的教学氛围。

浓郁、良好的教学氛围是激发学生学习兴趣的有效方法。例如，把美术专用教室布置成一个小型博物馆，让墙上、黑板上、柜子里挂满或摆满各种绘画、工艺、雕塑和学生自己的作品。还可以根据授课的内容对教室进行渲染，如在工艺课上，适当多摆些工艺作品，挂些工艺制作示意图等。有了艺术氛围浓厚的环境，可以使学生步入教室就能沐浴在艺术的海洋中，受到美的感染，从而产生强烈的求知欲和创造欲。

2.3激发学生的自我成功感。

高职学生美术知识底子薄，自我约束力差，教师给他们的学习目标不可定得太高，需要因材施教，让学生自己和自己比较。先确定简单的学习目标，从易到难、从简到繁，让学生在学习中体会到进步，产生自我成功感，不知不觉就会建立起直接兴趣，提高学习的信心。鼓励学生参加美术创作比赛、课堂争做一日小老师，从点滴做起，慢慢积累，不断地重复和巩固练习为大目标的实现不懈努力。例如，在色彩课堂上，为了训练学生对颜色的精微表现和控制能力，教师可以采取先易后难的策略，先布置學生做简单的色彩推移变化练习，在学生识别颜色和控制颜色的能力提高了之后再布置控制颜色的综合练习，最后在进行色彩插图创作。

3加强课外活动教学，培养和提高学生的实践动手能力

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随着科技发展的日新月异，经济结构的优化调整，传统产业升级换代，社会对人才需求的层次越来越高，在激烈的人才市场就业竞争中，中职生由过去的走俏变为现在的“坐冷板凳”。招生难、就业难、收费难、管理难已经成为制约中职教育发展的瓶颈因素。由于招生难，中职学生由过去的挑挑捡捡，变成现在的“一窝端”。因此，就必须对传统的《机械设计》课程教学进行改革.基于以上两点，笔者选择“信息技术与《机械设计》课程整合的研究”作为论题，以期能在这一研究领域做出有益的探索，为中等职业学校的工科各课程的教学尽一点绵薄之力。

1 信息技术与《机械设计》课程整合的涵义与目标

1.1 信息技术与《机械设计》课程整合的涵义

信息技术不仅给传统的《机械设计》教学带来了巨大的冲击，而且能够促使《机械设计》教学的方方面面产生变革，但无论信息技术有多强大，它在与《机械设计》课程的整合都必须遵循“以课程为主体”的基本理念，据此笔者认为，信息技术与《机械设计》课程的整合是指：在先进的教育理论和思想的指导下，在《机械设计》课程的教育教学设计与实施中，引入以计算机多媒体和网络技术为主的信息技术，使信息资源与《机械设计》课程内容有机结合，以便更好地完成《机械设计》课程目标，达到最优化的教学效果。其中，先进的教育理论和思想的指导是信息技术与《机械设计》课程整合的方向保证；使信息资源与《机械设计》课程内容有机结合是其基本要求；完成课程目标，达到最优化的教学效果是其目标。

1.2 信息技术与《机械设计》课程整合的目标

根据系统论的观点，一个系统中所有要素的活动都是围绕着系统目标来进行的，可见合理的信息技术与《机械设计》课程整合的目标对整合重要性。信息人是信息化社会对身处其中的每个成员的基本要求，教育肩负着将普通人培养成信息人的任务，馏嘟姆计》教育系统是信息化社会系统的一个子系统，学习者与奴殉柞轰有手事珠饭晒珍Al为了实现由普通人向信息人的转变，在《机械设计》教育系统中，教师和学生通过《机械设计》教学，一方面学习了信息技术，一方面也利用信息技术促进了《机械设计》学与教的优化，达到了既培养信息素养也实现《机械设计》教育目标的目的。最终实现了由普通人向信息人的转变。在当前《机械设计》教学改革的背景下，具体来说，信息技术与《机械设计》课程整合的目标是利用信息技术改革传统的《机械设计》教学。

2 信息技术与《机械设计》课程整合的必要性

2.1 《机械设计》课程的特点、作用

《机械设计》谋程的特点：《机械设计》基础是工科院校机械类和机电类专业的一门必修主干课程，对学生学习专业课程起着承上启下的重要作用。学习过程中强调创新设计、设计实践性训练、培养学生独立分析能力和解决实际问题的能力。《机械设计》课程的作用：《机械设计》课程的特点决定了《机械设计》课程的独特作用，而《机械设计》课程的重要性就是通过它的独特作用体现出来的.通过本课程的学习使学生掌握《机械设计》的基础知识、基本理论和基本方法；受到设计技能的基本训练。常用机械零件的设计和计算是本课程的基本教学内容。本课程的学习的最终目的在于使学生能综合运用各种机械零件和各种机构及其它先修课程的知识，具有设计机械传动装置和简单机械的能力；使学生具备所必需的机械零件和常用机构的基本知识和基本技能；为学生学习后续专业课程，提高全面素质，增强职业应变能力和继续学习的能力打下一定的基础。

2.2 传统《机械设计》教学难以实现中职《机械设计》课程目标

课程的教育目标主要是通过课程的教学来实现。而我国中职《机械设计》课程教学长期以来存在着的“少、慢、差、费”的现状。少是实习时间少：慢是《机械设计》课程改革慢；差是学生机械设计产品实用性和学习直观性差；费是教和学费时费力。这样严重影响了《机械设计》课程目标的实现。同时，《机械设计》课程较难而且比较枯燥，难以激发学生地学习兴趣。这样素质又不是很好，兴趣又不是很高的学生如何学好成才，是摆在我们工科教师当前的难题。因此我们要深入研究《机械设计》教学改革。

传统《机械设计》教学现状：在我国工科学校教学中，基本上仍然沿用传统的三段制教学模式，即将课程分为基础课、技术基础课和专业课，通过认识实习、生产实习、毕业实习和各种课程设计、毕业设计来培养学生的专业能力。在培养学生设计创新能力方面主要通过机械原理、《机械设计》和各种专业课程及其相应的课程设计和毕业设计来实现。由于这些课程的教学及其设计存在诸多问题，使我们培养出来的学生的设计创新能力远没有达到人们所希望的那样。而且由于中职招生难，中职生由过去的挑挑捡捡，变为现在的“一窝端”。这样素质的学生难以实现既定的人才培养目标，这样的“产品”进入人才市场，可能更不受欢迎，从而形成恶性循环。综上所述，我国《机械设计》教学现状令人堪忧，我国机械类毕业生基本上不会搞创新设计（或新产品开发），而且，设计出产品的实用性较差，只有在工作岗位上经过长时间的摸索才能具有这种能力。其影响是显而易见的，我国目前很多工厂产品结构调整主要靠引进技术或样机，但是缺乏自主知识产权，很难参与国际市场竞争。我们应该加大教改力度，全面改革教学体系、内容和方法，争取在不太长的时间内有所建树。

最后笔者根据自己的实践教学摸索，初浅的认为信息技术与《机械设计》课程整合的教学模具体可以划分为三种模式：第一种是教师演示型教学模式、第二种是学生探索型学习模式、第三种是网络设计教学模式。因篇幅关系这里就不介绍了，以上是笔者对信息技术与《机械设计》课程整合的初浅看法，不足之处请大家不吝赐教。

【参考文献】

[1]何克抗，李文光.教育技术学[M].北京师范大学出版社.

[2]王海春.信息技术与机械设计课程整合模式研究[J].电化教育研究.

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关键词 高等数学；初等数学；衔接

近年来，高考中对初等数学的要求不断更新，教学内容比之前有所改动，另一方面，高职院校的高等数学为了更适合学生的需求也进行了不少改革，这就使得高等数学与初等数学在部分内容上难免存在重复或脱节的情况。众所周知，高职院校的学生大部分数学基础较差，对数学的兴趣也不高，如果再加上教学内容不合理，那么势必会影响学生的学习兴趣与成绩。所以，高等数学与初等数学的衔接尤为重要，高等数学教师如何解决好高等数学与中数教学的衔接，把学生从中学平稳地送入大学的学习轨道，是提高高等数学教学质量的关键之一。

一、衔接的重要性

一方面，现在高职院校的生源越来越广，不同区域的学生高考对数学要求各不相同，教学难度也有所差异，所以任课教师应按照由浅入深、由易到难、循序渐进的认知规律，注意新旧知识的衔接与联系，平稳过渡中学到大学的数学学习。另一方面，学生的基础差距较大，学习方法、思维方式还停留在中学阶段，教师只有在讲授知识的同时做好这方面的衔接工作，学生才能真正适应大学的数学学习。因此，高等数学与初等数学的衔接很有必要，将有利于学生在高数课程中更好的学习与提高。

二、高等数学与初等数学的区别与联系

1.高等数学与初等数学的区别

在研究对象方面，初等数学中研究对象以常量居多，常常用静止的角度去研究；而高等数学则以变量为主，以运动的、变化的观点研究问题。在教学方法和教学手段方面，初等数学的课时较多、进度慢，学生对教师的依赖性大；而高等数学教学内容多、课时少，进度快，学生的自主性学习非常重要。

2.高等数学与初等数学的联系

虽然高等数学与初等数学之间存在较多的不同，但初等数学是高等数学的基础，培养了学生的逻辑思维及解决问题的能力。首先，初等数学孕育着高等数学的内容及方法。近年来，为了学生在大学数学的学习更加适应，中学数学加入了导数、极值等知识。虽然这些内容可能并没有深入讲解，但学生有了初步认识后，再次接触时就会得心应手。其次，高等数学是初等数学的延伸和发展。高等数学涉及的领域更广，实用性也更强。

三、高等数学与初等数学衔接的措施

1.做好新生摸底工作

新生摸底工作对于高等数学与初等数学的衔接尤为重要。新生来自不同地区，中学所学有所不同，更有文理兼招的专业，所以他们的数学基础参差不齐。可以在学期第一周统一做一些问卷调查，一是了解他们原本的数学知识结构，二是知道他们专业对数学的需求。教师只有充分掌握新生的数学基础与所需，才能在上课的时候有的放矢，才能有针对性的教学。

2.上好第一堂课

新生的第一堂课尤为重要，直接影响他们对本门课程的认识与兴趣。首先，要介绍课程的具体要求，让他们知道其实《高等数学》课程不是想象中的那么可怕。其次，分析数学与专业课的关系，让学生了解本门课程的重要性。最后，要活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣。比如数学概念是大量感性知识归纳和抽象得到的，理论性较强，很多新生都感觉这些概念抽象又远离实际生活，这些想法都导致学生学习的兴趣和动力不足。因此在教学中，应该让抽象的数学与现实生活相结合，让学生从感性认识开始，自主升华到理性认识，这不但能提高学习兴趣，活跃课堂气氛，还能培养学生的思维能力和创新能力。

3.做好过渡工作

高数是一门理论性、系统性强的科目，在新生刚接触高等数学时，教师应在前期尽量放慢教学进度，给他们一个缓冲的时间。在新生进校的一个月的时间里，通过对以往知识的温故与整理，注重新旧知识的接轨，让他们尽快适应大课堂教学，学会自主学习。

4.改革教学方法

（1）有针对性教学，因材施教、因需施教。学生所学的专业不同，对数学的需求也不一样。理科方面导数、积分等知识点应用较广，往往是在专业课程中起到了公式应用或计算工具的作用，比如船建系、机械系的《工程力学》对于积分的要求较高；文科方面导数的知识点相对重要一些，比如经济学中边际成本、利润计算、弹性问题等有所涉及，另外会计、统计学等部分学科也会用到一些基础的数学知识。所以，在备课时，必须要把这些因素考虑进去，不同专业的教学内容要有所调整，因材施教、因需施教。

（2）注重数学应用方面的讲解。数学的力量关键在于应用。所谓“应用”包括在专业方面的应用和实际生活方面的应用。在教学中应该结合专业和实际问题精心设计一些题目，这些问题的解决即可以满足学生的“实用”主义倾向，又使高职院校教学特色得以体现。

（3）规范学生使用数学语言。很多学生在中学时对于数学符号、数学语言很不在意，缺乏规范性。例如在求解函数的定义域时，很多学生不习惯使用区间，常常是符号和文字混在一起。因此，教师在教学时要有意识地对学生进行数学语言及符号运用方面的训练。通过训练，教师能让学生体会到数学语言的严谨精辟以及符号的应用对结构体系建立的重要性。

（4）注意改进学生的学习方法。引导学生掌握学习方法，形成良好的学习习惯。由于高等数学教学进度快，理论抽象，因此教师应指导学生做好课前预习和课后复习。通过课前预习，学生可以先行了解本次课的教学内容，掌握自己的薄弱点，从而提高听课效率与听课质量，克服一些学生对教师的依赖性，增强学生的自信心。通过课后复习，让学生学会概括和总结，增强对数学知识的理解，温故而知新，进而让自己的学习形成一定的体系。

参考文献：

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近几年来，新课程改革如火如荼地进行着，新课程改革对教师的要求提到了更高的层次，如何全方位地把握高中数学教学，能不能高观点下驾驭中学数学内容也成了衡量一位高中数学教师够不够胜任的重要标准之一。

教师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用。教师不仅是课程改革的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。为了更好地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质。”可见，数学课程改革对教师提出了更高的要求，教师不能再是以前照本宣科式的只能给学生灌输知识的教书匠了，教师要从学生需要的角度出发，从学生终身发展的角度出发来实施教学。

2006年11月3日－5日，“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计”第二次课题会议在浙江省温州市举行，会议的主题是：中学数学核心概念、思想方法及其教学设计典型案例研究。省高中数学新课程专业指导小组成员金克勤指出：核心概念的教育价值，实际上是从高层次理解核心概念；成员薛红霞指出高观点下看中学内容是非常重要的，如何在高观点下驾驭中学数学内容是当前新课程改革不可回避的问题。

2009年9月28日－29日，浙江省高中数学新课程“疑难问题解决”暨高观点下的数学教学研讨会在宁波市惠贞书院举行，浙江省海宁电大张小明副教授，浙江省教育学会数学教学分会会长金蒙伟教授为全体与会代表分别作了《例举初等数学与高等数学的一些联系》及《从高等数学看中学数学―高观点下中学数学教学》的精彩报告，两位教授站在高等数学角度看中学数学问题的报告让全体老师清楚认识到高中数学教师必须得站得高，才能看得远，才能真正把准高中数学教学脉搏。

德国著名的数学家、数学教育家F・Klein在其名著《高观点下的初等数学》中曾指出：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好象同中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他们很快就完全忘了中学所学的东西，但是毕业以后，他们当了教师，他们又突然发现，要他们按老师的教法教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前所教内容与所受大学数学训练之间的联系，于是很快就坠入相沿成习的教学方法，而他们所受到的大学训练至多就成为一种愉快的回忆，对他们的教学毫无影响。”这就是所谓数学教学中的“双重遗忘”幽灵。笔者相信，这一“双重遗忘”现象在绝大多数中学数学教师身上出现过，很多教师都有切身体会。

浙江省高中数学新课程实施以来，笔者有幸参加过几次本省的高中数学教学研讨会，观摩过一些优秀教师的公开课，聆听了一些专家的报告，感觉到高观点下的高中数学教学逐渐成为新课程改革的一种趋势。也对高观点下的高中数学教学的具体内涵做了一些思考和领悟。认为高观点下的高中数学教学并不是让高中的数学教师再回头去学学里的高等数学知识，用高等数学的知识来解决中学数学问题。高观点下的高中数学教学是新课程改革形势下对教师能力的一种新的挑战，是从数学教育的本质目的出发，是从高中生如何能在大学里再发展的需要的角度出发，高中数学教师应该重视和掌握的一些数学思想方法和数学思维能力，并且把这些高观点的数学思想和数学思维渗透到平时的教学中去。

二、高观点下的高中数学教学的内涵

1.对“高观点”的认识。查阅相关文献，就目前我国数学教育工作者对这一思想的认识主要有：①在现代数学观点下，沟通高等数学与初等数学的联系。②用高等数学的知识去统一初等数学的松散体系，用高等数学的思想方法去总结初等数学的解题规律，用高等数学的理论对初等数学作新推广和深发展。③通过简要介绍并适当补充与中学数学的密切联系的现代数学内容，用较高的观点研究初等数学，分析研究初等数学的重要概念、思想和方法，研究现代数学与初等数学的联系，从而使中学数学教材教法得到居高临下、深入浅出地理解和处理。④结合现代数学思想方法，对中学数学教材中那些讲得不透彻的、薄弱的内容，加以分析、充实、提高，帮助教师更好地把握教材。

本文所讲的“高观点”趋向于上面认识中的第三种，就是高中数学老师在教学中要必备的高观点，就是在教学中能介绍并适当补充与中学数学的密切联系的现代数学内容，用较高的观点研究初等数学，分析研究初等数学的重要概念、思想和方法，研究现代数学与初等数学的联系。通俗地来理解，高观点并不是一些高等数学的知识点与应用点，而是现代数学中的一些高观点的数学思想方法。

2.高观点下的高中数学教学的理解。通过上面对“高观点”的阐述，认为高观点下的高中数学教学指的是高中数学教师能从学生终身发展需要（尤其是大学教育的需要）的角度出发，能全方位把握高中数学内容，能知道在平时的教学中应该重视哪些数学思想方法？打好哪些数学基础？培养哪些数学能力？

三、怎样在在高中数学教学中体现“高观点”

1.能用数学思想剖析初等数学。新课程下的高中数学教师能基于初等数学的基本概念和基本内容，以数学思想为主线，结合历史的发展，运用高观点去研究、解剖初等数学。数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的认识，是数学的精华，它是贯穿于数学学科的不同分支、不同层次的数学知识之中的。在高中数学教材中，蕴含着丰富的数学思想，如集合思想，化归思想，符号与变元思想，数形结合思想，函数与方程思想，抽样统计思想，极限思想等。在这些思想中，函数与方程思想是基础数学中最重要和最基本的数学思想。因此在初等数学类的课程教学中，应抓住数学思想这条主线。

中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步（上接75页）知识，是现代数学的基础，是现代数学中许多（不是全部）概念和理论的原型和特例所在。因此，从高观点来看中学数学，就要把现代数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。这样能使我们准确把握中学数学的本质和关键。从而高屋建瓴地处理中学教材，用现代数学的思想方法指导中学数学教学，提高教学质量和教学水平，拓宽学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益。要力求将现代数学思想全面渗透入中学数学，要在现代数学概念、理论的通俗化，与中学数学概念、理论的抽象化上，寻找现代数学与中学数学的结合点。

2.在课堂中如何进行高观点的把握。高观点下把握课堂教学，必须重视数学思想方法在课堂中的渗透，数学思想方法蕴涵在具体的数学基础知识内，要想在讲解知识的同时渗透数学思想，高中数学教师要做到以下几点：①要深入钻研教材和参阅有关参考材料，要善于从具体的数学知识中挖掘和提炼出数学思想方法，要预先把全书，每单元章节所蕴涵的数学思想方法及它们之间的联系搞明确具体，然后统筹安排，有目的、有计划和有要求地进行数学思想方法的教学。教师要抓准知识与思想方法的结合点。②据每一教学内容的类型和特点去设计贯彻数学思想方法教学的途径。因为数学思想方法蕴涵在数学知识的产生、内涵和发展之中，故一般都可采用以分析解决问题为主线的启发式和发展式的教学方法，具体来说，要注意引导学生抓住：概念的形成过程、定理与法则的发现过程、公式的推导过程、证明思路和解决问题方法的探索过程等。③绪论课和复习小结课是进行数学思想方法教学的良好时机和阵地，比如绪论课一般都要讲述知识产生的背景，发展简史，研究对象、基本和主要的问题、研究的思想方法和与其它各章知识的联系等。据此，教师可抓准时机在绪论中直接简介有关的数学思想方法，而在复习课中则可顺势总结概括本章用到的数学思想方法。故教师应充分备好和讲好各章的绪论与复习课。④掌握数学思想方法必须有一个反复认识、训练和运用过程。为此，在每章节的课外练习以及期中与期末考试中都应有一定数量的数学思想方法题目。此外，还要指导学生做好各章或单元的小结，阅读有关数学思想方法的参考书或举办专题报告会。

3.不断学习，加强数学教学研究能力的培养。①不断学习，理解和掌握高观点的数学思想方法，要不断提高自身的素质，加强对数学史和数学方法论的学习与研究，积极参与数学的教改探索与实践，提高学术水平、教学水平和数学方法论的素养。②本着合作学习和终身学习的观念，高中数学教师也应参与到运用“高观点”进行初等数学研究的过程中去．这同样能够改善教师自身的知识结构，也促使其不断钻研数学专业知识，关注学科发展，从而不止步于中学教材教法的改革。

四、高观点下的高中数学教学对学生终身发展的意义

可以使学生掌握数学的基础知识和基本能技能以及从本质上掌握它们所体现的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础。

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关键词：变量；魅力；解决问题；后续发展

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）04-0235-02

DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.04.149

数学家把世界抽象成数与形、逻辑与符号等数学语言，世界需要计算和实证，所以数学在科学领域中一直处在非常重要的地位。数学包含着一切，世界上的万事万物都可以转换成数学来描述，都可以用数学来刻画和演绎。因此，喜爱数学的人，觉得数学有无穷的魅力。著名数学家华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”

但是，正所谓难者不会，会者不难。对于摸不着数学门路的人来说，数学可能成为不可逾越的难关。阿里巴巴的创始人马云，高考时数学考过1分、19分和69分。可见，学习数学会和不会的巨大差别。有人甚至说：“一入数学深似海，从此幸福是路人。”所以很多人对数学的专业研究望而生畏，不敢涉足。可是，那些看似万分难解的抽象概念和复杂推理，对于谈数学变色的人来说，确实难如登天，可对于数学爱好者来说，却正是数学最吸引人的地方。

以数学中的变量为例，就可以看出数学的难学之处正是数学的魅力所在。从常量数学到变量数学，是数学发展的一个分水岭。从函数概念开始的变量数学，对人的思维能力的发展产生了重要的作用。从中学数学教材的编排可以看出，函数在代数中起着纽带的作用，从微积分、极限、排列组合、数列这些相对高级的代数，到不等式、方程、代数式这些相对初级的代数，它们都离不开函数知识的支撑。从函数开始，数学中的变量出现成为常态。诸如因变量、自变量、中间变量等，成为函数中不能缺少的概念，也使数学的难度和魅力同步增强。

一、数学中的变量使数学应用到更多的科学领域

不言而喻，数学中的变量使数学能够把现实生活中纷繁复杂的实际事物进行一种数学简化，这样就能够使数学应用到更广阔的科学领域。

所谓的常量，指的是在数学问题的研究发现过程中出现的那些保持恒定不变的量。常量数学属于初等数学时期，时间上大概从人类产生到17世纪中叶。这一时期的初等数学，一开始主要的研究对象是常数、常量和没有变化的图形，接触的都是有关数字和形态的感性知识。大约到了公元前6世纪，希腊出现了几何学，这是初等数学时期的一个转折点，就是数学从具体的数字、实际的生活内容转变成了抽象的线条和理论。至此，初等数学才开始进入了真正的创立阶段。在实际的生活应用中，经过不断发展和交流，算术、代数、三角、几何这些独立的数学分支才相继出现。但是，从数学的整个发展历史来看，这一阶段的数学完全属于初等数学，或者说就是常量数学。常量数学是数学的基础，现在中小学课本中的有关内容，都属于常量数学。常量数学按照主要学科形成和发展的过程，可以分为萌芽阶段、几何优行阶段和代数优先阶段。常量数学的发展和完善，在人们的生产生活实践中，发挥了重要的作用。

但是，随着社会经济的发展和科学技术的进步，人们的生产实践活动变得越来越复杂。这也进一步激发了数学的发展，变量数学也就是在这种情况下创立和产生的。所谓变量，指的是在数学问题的研究发现过程中出现的那些可以取不同值的量。变量数学属于高等数学时期。变量和常量之间的关系是：变量是常量的高级形式，常量是变量的特殊呈现，在初等数学中出现的主要元素都是常量，而在高等数学中，以常量为基础，以变量为主要研究对象，常量和变量在高等数学中是辩证统一的关系。变量数学出现的社会基础，是十六、十七世纪经济的繁荣和航海、军事等方面的发展，技术科学的进步推动着数学不断向前演变。已经成熟的初等数学已经不能满足社会实践活动的需要，复杂的经济生活自然而然地出现了大批的变量因素，要解决这些问题，变量和函数的引入成为数学发展中的新突破。

正是变量的引入，使17世纪以后数学的发展趋势向科学数学化的方向发展。正因为如此，数学的活动范围扩大了，在数学领域发生了深刻、巨大的变革，从事数学研究的人员增加，数学著作得到广泛的传播，数学被广泛地应用到人们生活实践的各个领域。

二、数学中的变量使数学解决问题的方式更加灵活多样

变量数学的渗透使数学的思维形式有了新的突破，从根本上改变了数学的面貌，改变了数学解决问题的方法。通过常量数学，诸如代数、几何、三角等，不能解决的问题，在变量数学中找到了便捷的解决途径。物质世界运动变化的过程，一直是自然科学积极探索和描述的对象，但由于变化过程的复杂和各种不确定性，一直是自然科学的难题。但是，人类对变量的掌握和运用，为解决这些难题找到了根本的方法。从哲学的意义上来讲，变量数学从本质上看，是辩证法在数学上的成功运用。恩格斯对此曾明确指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。”可以说，变量数学使数学如虎添翼，使数学解决问题的方法更加灵活多样。

三、数学中的变量使数学的后续发展具有更广阔的前景

变量数学的产生、发展和应用，使数学后续获得了极大的发展。数学后续发展的基础，是数学中的函数，数学的这种特质，也使数学在自然科学领域被广泛地应用和发展。比如，在物理、化学等自然科学的研究和实践中，就离不开函数，因为变量数学在人们的生产生活实践中的作用不可替代。

数学建模作为一种利用数学解决实际问题的科学手段，已经应用到各个科学领域。形象地说，数学建模让数学家变成了化学家、建筑学家、金融专家等，甚至心理学家。通过数学的思考过程，用数学的方法和语言，把事物发生、发展的过程进行抽象和简化，建立一个数学模型，达到解决问题的目的。在这个建立数学模型的过程中，要利用适合这一模型的数学工具，在对实际问题进行简化并提出假设的基础上，描述各种变量和常量之间的数学关系。正是这种抽象的涵盖性，使数学的后续发展具有更加广阔的前景。

总而言之，变量数学使数学应用到更多的科学领域，使数学解决问题的方式更加灵活多样，使数学的后续发展具有更广阔的前景。

参考文献：

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所谓数学活动是指把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形式和发展来理解的。按这种解释，数学活动教学所关心的不是活动的结果，而是活动的过程，让不同思维水平的儿童去研究不同水平的问题，从而发展学生的思维能力，开发智力。

那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢？下面谈谈笔者一些想法。

一、考虑学生现有的知识结构

知识和思维是互相联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的现有知识结构。

什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构，才能进一步了解思维水平，考虑教新知识基础是否够用，用什么样的教法来完成数学活动的教学。

例如：在讲解一元二次方程[a(x)2＋bx＋c＝0a≠0]时，讨论它的解，须用到配方法，或因式分解法等等，那么上课前教师要清楚这些方法学生是否掌握，掌握程度如何，这样，活动教学才能顺利进行。

二、考虑学生的思维结构

数学教学是数学思维活动的教学，进行数学教学时自然应考虑学生现有的思维活动水平。

心理学早已证明，思维能力及智力品质都随着青少年年龄的递增而发展，学生的思维水平在不同的年龄阶段上是不相同的。斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水平，在这五个阶段上，学生掌握知识，思考方式、方法，思维水平都有明显差异。因此，要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学生思维水平有关的两个问题。

1．中学生思维能力之特点

我们知道，中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段，尽管思维能力的几个方面的发展有所先后，但总的趋势是一致的。初一学生的运算能力与小学四、五年级有类似之处，处于形象抽象思维水平；初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻辑思维；高一与高二学生的运算能力的抽象思维，处在由经验型水平向理论型水平的急剧转化的时期。从概括能力、空间想象能力、命题能力和推理能力四项指标来看，初二年级是逻辑抽象思维的新的起步，是中学阶段运算思维的质变时期，是这个阶段的关键时期。高一年级是逻辑抽象思维阶段中趋于初步定型的时期，高中之后，学生的运算思维走向成熟。总的来说，中学生思维有如下特点。

首先，整个中学阶段，学生的思维能力得到迅速发展，他们的抽象逻辑思维处于优势地位，但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维，抽象逻辑思维虽然开始占优势，可是在很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理论型的，他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里，才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。

其次，初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始，中学生抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，这种转化初步完成，这意味着他们的思维趋向成熟。这就要求教师，要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练，使他们的思维能力得到更好的发展。

2．学习数学的几种思维形式

（1）逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论或答案，要求使之成立各种条件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过来，给一个方程，就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。

（2）造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性，也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。例如：试求其反函数等于自身的函数。

（3）归纳型思维。通过观察，试验，在若干个例子中提出一般规律。

（4）开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可推知的问题或结论，由学生自己去探索。比如让学生观察y＝sinx的图象，说出它的主要性质，并逐一加以说明。

了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式，在教学中，结合教材的特点，运用有效的教学方法，思维活动的教学定能收到良好效果。

三、考虑教材的逻辑结构

我们现有的中学数学教材内容有的是按直线式排列，有的是按螺旋式排列。

如果进行数学活动的教学，教材的逻辑结构就应有相应的变化。比方说，指数、对数、开方三种不同形式都可表示为：a、b、N之间的关系a的b次幂等于N，是否可以把它们安排在一起学习。再比方说，关于一元一次方程应用题，中学课本里有浓度问题、行程问题、工程问题、等积问题，在讲解时，可用一个方程表示不同问题，使他们得到统一，只是问题形式不同而已，其方程形式没有什么本质差异，可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分开，使学生觉得似乎几种问题毫不相干。因为这些问题具体不同的思维形式，要受小学、初中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。

数学思维活动的教学，就是要尽量克服这些制约，使学生在短期内高质量获取知识，大幅度提高思维能力，完成学习任务。

在考虑教材逻辑结构时，还应明确的一个问题是教材内容的特点，即初等数学有些什么特点，对它应有一个总的认识。

1．初等数学是相对于抽象程度来说的，其内容方法都比较直观具体，研究的对象大多可以看得见、摸得着，抽象程度不深，离开现实不远，几乎直接同人们的经验相联系。

2．初等数学是一门综合性数学，它数形并举，内容多种多样，方法应有尽有，自然分成几个部分，各部分又相互渗透，相互为用。

3．初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深，总离不开四则运算，总要应用等式、不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉，各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长起来的。

4．初等数学的普通教育价值。对中小学生来说，它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。

5．与高等数学相互渗透，相互为用。一方面，由于实践中某些问题的出现，使初等方法被深入研究和发展成专门的数学分支，另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。

初等数学具有这样的特点，不仅为编写教材提供了依据，同时对数学活动教学的模式来说也是恰到好处的。比方说，特点1，对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助；特点2、3，对数学标准的逻辑组织化也很适宜；特点4、5，是对理论的应用。由此看来，数学活动教学对于初等数学再合适不过了。

数学活动教学，不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构，而且具体的某段知识也要仔细研究，不同性质的内容用不同方法去处理，这就是下面要谈的积极的教学方法问题。

四、考虑积极的教学方法

目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的。如目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一句话，那就是：积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时，重视发展智力、培养能力。它们的特点是：充分调动学生的积极性，让学生独立解决一些问题，注意能力的培养。从实践效果看，这些方法在某个阶段，对某部分学生，结合某部分内容确实有事半功倍功能，但这些方法哪个都不是万能的，不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异，兴趣的不同，教材内容的变化，教师素质不平衡等各方面条件的限制。

我们主张，采用积极的教学法，因课、因人、因时、因地而异。比方说，对于教材内容多数是逻辑上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法较为适宜；对于教材中的一般公式、定理等采用问题探索法较好；对于教材中理论性较强的难点，一般采用讲解法较好。教师要灵活掌握。

数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学，因此，在教学中调动学生积极性极为重要。一般来说，教学内容的生动性，方法的直观性、趣味性，教师和家长的良好评价，学习成绩的好坏，都可以推动学生的学习，提高积极性。另外，如课外活动，参观工厂、机房，介绍数学在各行中的应用，尤其是数学应用在各领域取得重大成果时，能够促进青少年扩大视野，丰富知识，增进技能，从而发展他们的思维能力，提高学习的积极主动性。也可讲一点数学史方面的知识，比如我国古代科学家的重大贡献及在世界上的影响，也能激发学生的积极性。

另外，从学习方法上看，随着学科多样化和深刻化，中学生的学习方法比小学生更自觉，更具有独立性和主动性。因此，在教学中教师就要注意启发学生的积极思维。

究竟怎样启发学生去积极思维呢？方法是多种多样的。比方说，创设问题情境，正确提供直观材料让学生从具体转到抽象，也可运用已有知识学习新知识，把新旧知识联系起来。还可以把语言和思维结合起来，达到启发思维的目的。

从上面几个方面来比较，数学活动教学的核心是教学方法，因此教学方法的采用，直接影响活动教学的效果。

为使数学活动教学收到良好效果，目前没有一个成熟的模式，具体做法也少见。南通市十二中李庚南在总结过去经验基础上，提出几种有效的方法。

首先，重视结论的探求过程。数学中的结论教师一般不直接给出，而是引导学生运用观察、实验、练习、归纳等方法发现命题，尔后深入研究探求的过程和论证的方法，进而剖析结论的内容，举实例将结论内容具体化。

其次，是沟通知识间的内在联系。她认为：数学有着严密的体系，学生揭示数学知识之间纵横交错的内在联系，是学生主动思维活动的过程，可引导学生按知识的发生、发展、变化关系或逻辑关系整理出一个单元的知识结构和基本的研究方法，进行知识的引申、串变，提高学生灵活运用知识的能力。

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关键词： 高数 第一堂课 课程体系 学习方法

对刚踏入大学校门的大学生来讲，无论所学的是理工类专业还是经管类专业，都必须学高等数学。高等数学是一门非常重要的公共基础课，它是学好专业课的基础。在大学生中曾流传这样的笑话：“大学有棵树，名字叫高数，树上挂了很多人……”因此很多学生在未上高数之前就对高数有种莫名的恐惧感，觉得高数既神秘又难学，给高数学习造成了负面影响。俗话说：一出戏，要奏好序幕；一部乐章，要凑好序曲；良好的开端是成功的一半。因此第一堂课在整个教学过程中有独特的地位和作用。上好新学期第一次课，可以为接下来的高数教学奠定良好的基础。下面我就如何上好第一堂高数课谈谈自己的看法。

一、教师以得体大方的着装和幽默风趣的自我介绍吸引学生。

面对具有极强欣赏意识和批判眼光的“90后”大学生，大学教师的形象塑造十分关键。第一次上课要着装典雅、精神饱满。也就是说，教师穿衣服不一定要时髦，但一定要端庄。教师在学生面前要表现得有精神、有气质、有魅力。学生很自然地就会从你身上感受到一种美，甚至从第一眼看到你就会喜欢你，进而喜欢听你上课。在第一堂课做幽默风趣的自我介绍也是拉近和学生的距离、取得学生的信任是一个不可缺少的环节，包括介绍自己的姓名、专业、学习经历等。通过这些信息的传递让学生感受到你的平易近人及积极进取的精神，让学生得到正能量，给学生留下深刻的印象，从而让学生喜欢自己，进而喜欢听自己上课。

二、介绍这门课的课程体系，增加学生对这门课的了解，调动学生学习这门课的积极性。

在第一次课可以对这门课程做简单的介绍。因为只有说清楚这门课程的来龙去脉，让学生对这门课有大概的了解才不至于对这门课很陌生。鉴于此，可以介绍这门课程的发展史，历史上哪些人物对高数的发展作出了突出贡献，引起学生的兴趣；介绍这门课程的特点：具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性。针对高数广泛应用性的特点，我们可以列举生活中生动的并能用高数知识解决问题的案例来说明高等数学知识在生活中的广泛应用，比如说银行复利的问题等；介绍这门课程的主要内容及各个内容之间的联系。

三、介绍学习高等数学的学习方法。

为了消除学生学习高等数学的恐惧心理，我们要讲清楚高等数学其实并不神秘，高等数学仅仅是初等数学的延伸和发展，在中学阶段我们研究过函数的有界性、单调性、奇偶性等性质，而在高等数学中主要研究函数的连续性、可导性、可积性，自始至终用的主要工具都是极限。利用高等数学中学到的方法可以处理初等数学中的有些问题，比如判断函数单调性，求函数的最值等问题用高等数学的知识解决就很简单，通过高等数学的学习可以解决很多用初等数学知识解决不了的问题等。同时也给学生介绍两者的区别：与初等数学相比，高等数学在内容上比初等数学要多、深，而且课堂容量很大，老师不再像以前一样总结各种题目类型的解题方法，课堂上不再给大家太多的时间练习。这就课前一定要预习，不懂的问题课上重点听，同时课上要有选择地记笔记，不能像在高中那样，老师讲什么就记什么。总之，把自己掌握的学习高等数学的诀窍毫无保留地诉学生，让学生知道下一步怎么去学、怎么去做、怎么很好地配合老师。

除以上几点外，教师还要介绍本学期的学习内容、学期目标、学习计划、自己的授课特点、对学生的课堂要求，并且对学生应该达到的程度做出明确的说明。

好的开始是成功的一半，精彩的第一堂课可以让学生了解这门课程的特点，激发学生学习的兴趣，也让学生认识到这门课程的重要性，调动学生学习的积极性。我们一定要重视第一堂课，努力上好第一堂课。

参考文献：

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随着高等数学的普及，以及生源情况也发生了很大变化，高等数学在教与学上面临诸多的问题与挑战。为适应素质教育和社会发展的要求，在高等数学教学中必须正确认识现代数学教学观，确立新的数学教学观念。下面，笔者结合自身教学实践，就对学习高等数学的意义和和其对象特点以及教与学等方面谈一点粗浅的认识。

一、高等数学研究的对象和特点

初等数学研究的是固定的图形、常量和它们之间的关系，而高等数学则是研究图形的变化，变量及其相互关系，研究对象是函数。与此相适应，研究的方法也就不同，运算法则也有不同。初等数学基本上是从静止的观点出发，高等数学就不能用静止的观点，而是要在运动中找规律，以解决千变万化的现实世界中的各种具体问题，所以高等数学始终充满着辩证法。至于运算法则，初等数学的运算是加、减、乘、除、乘方、开方，属于初等运算法则。而高等数学的运算是极限、导数、积分……等运算，也就是分析运算。

虽然高等数学与初等数学有着本质的区别，但这两者也不是截然分开的。高等数学要以初等数学为基础，对于那些初等数学遗忘较多的同学应结合高等数学的学习，进行适当的复习。只要初等数学掌握很好，学习高等数学基本上不会有多大的困难。

二、教师如何教

（一）正确认识数学教学的本质

数学教学过程是教师逐步引导学生认识数学世界的过程。教师通过这种教学过程， 增加了学生对数学知识的了解， 本文由收集整理促进了学生的思维能力。数学教学的目的， 就是要面向全体学生， 不仅培养他们的数学素质， 更要提高他们的综合素质， 使之成为具有一定创造性的人。由于学生在知识、技能、能力方面的发展和志趣、特长不尽相同， 学生之间存在着个体差异， 所以， 教师要创设条件， 因材施教， 使每个学生都得到不同程度的发展和提高。其次， 在教学中教师不仅要精心设计， 创设情境， 充分调动学生学习的积极性， 让每个学生都参与教学的全过程， 还要积极提高学生在教师的启发诱导下能够独立思考并提出问题、解决问题的能力， 使学生的智慧潜能得到开发，同时培养学生的思想品德和世界观， 让学生的综合素质得到提高。这就是数学教学的本质。

（二）把高等数学教学与中学数学教学进行联结式教学

因为中学数学是高等数学的基础，高等数学是中学数学的延续，所以我们要把二者看成是相辅相成的整体。一方面，我们强调高等数学的指导作用。在一些中学数学中不易解决的问题，只有通过高等数学才能解决。在中学数学中不能彻底解决的问题，在高等数学中解决这类问题也是很方便的。另一方面，我们要尽量充分地调动学生中学数学的思想来解决高等数学中的问题，确实初等数学中很多解题方法解题技巧都可以延续到高等数学中来，从而体现中学数学的应用价值。

（三）采用多媒体教学的方式

随着当今科学技术的飞速发展，多媒体教学在教学体系中的优势也逐渐的显示出来，尤其是其作图动画等功能，它不但能调动学生的积极性，而且能使整个的教学过程得到强化，使课堂由静态变为动态，从而使学生的积极性得以提高。传统的教学方法只能是静止的画面，对运动的画面或过程难以表现出来。多媒体技术就补充了传统教学的不足，使之更加完善。多媒体教学的应用对于高等数学的教学课堂起到了一个很好的辅助作用。在辅助高等教学工作中起到了画龙点睛的作用。但是，多媒体技术也不是十全十美的，在传授和反馈知识等方面，传统的黑板教学就比多媒体教学更加适合教学，在讲课中教师所表现出的艺术感染力是多媒体教学所不能替代的，通过教师与学生的交流，把数学的思维传授给学生，更有利于学生理解掌握。因此，我们教师应该根据不同的内容，合理、恰当地引入多媒体教学，使之能够合理的为高等数学教学提供方便。

（四）全面提高学生的应用能力

建立数学模型的能力是运用数学能力的关键一步。解综合性较强的应用题的过程， 实际上就是建造一个数学模型的过程。在教学中， 我们可根据教学内容选编一些应用问题对学生进行建模训练， 也可结合学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题（ 如利息、股票、利润、人口等问题） ， 引导学生通过观察、分析、抽象、概括来建立数学模型， 培养学生的建模能力。

三、学生如何学

（一）要正确认识高等数学在自然科学中的地位和作用

高等数学是一门重要的基础理论课，它是学习

自然科学跟们学科的基础工具。自然科学越发展，各门学科应用数学越来越广泛，越来越深入。许多学科都在悄悄地或先或后地经历着一场数学化过程。现在，已经没有哪个领域能够抵御得住数学理论或方法的渗透。目前，工科院校普遍开设的高等数学，它是近代数学各个分支的基础。所以，每个有心学习自然科学的人，在开始时都应该下苦功把高等数学学好。一元函数微积分，是高等数学的基本功和突破口，更要特别重视，努力学好。

（二）要掌握基本运算方法

高等数学在其它学科中的应用，多数情况是和计算联系在一起。因为自然科学的各门学

科都有一个从定性分析到定量分析计算的深入发展过程。要定量计算，就得用数学。因此，掌握高等数学中基本的运算方法，就显得格外重要。高等数学的基本运算法很多，以一元函数微积分来讲，就有极限运算法，一元函数微分法（导数、微分），一元函数积分法（不定积分、定积分）。

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针对上述难点，下面我们结合自己多年来进行数学分析教学改革的实践，谈谈_些认识和体会.

1联系初等数学与初等微积分进行教学

微积分理论是数学分析与高等数学教学的主体.数学分析不同于高等数学的是，它已超出“经典微积分”的范畴，更多地关注十九世纪微积分严格化的成果，甚至近代分析学的成果.简言之，数学分析研究的是“严格意义下的微积分”

数学系新生在学习数学分析之前，绝大部分已经在中学学过初等微积分，包括对极限和导数等概念的较为直观的定义，以及较为简单的求极限、求导数和求积分的运算等.而在大学阶段所学的“严格意义下的微积分”，涵盖了初等微积分的内容，并在此基础上对极限、导数等概念给出了严格的数学定义，同时对微积分理论体系中的定理给出了严格的证明.为了在中学微积分教学的基础上，立足于更高的观点来讲授数学分析，激发学生学习的兴趣，同时让学生认识到学习“严格意义下的微积分”的必要性，我们作了如下两点尝试：

11联系初等数学进行教学.

初等数学是常量的、静态的数学，它只能解决和解释常量的几何问题和物理问题，比如求规则图形的长度、面积和体积，匀速直线运动的速度，常力沿直线所作的功，以及质点间的吸引力等；微积分是变量的、动态的数学，它解释和解决那些变化的几何问题和运动的物理过程，特别是描述一些物体的渐近行为和瞬时物理量等，比如不规则图形的长度、面积和体积，一般运动问题，变力沿曲线作功，一般物体间的吸引力等.

例1导数概念的引入--变速直线运动，切线斜率.

初等数学一般讨论匀速直线运动，速度为：^表示速度，s表示位移，表示时间.但是如何求变速直线运动在时刻z的瞬时速度呢？=lim^，这里土为仏时间后的位移差.这里用极限描述的是A-0时，平均速度趋向于瞬时速度.

同样在讨论切线问题时，初等数学定义为过圆的半径端点且垂直于该半径的直线或与圆只有一个交点的直线称为圆的切线，这是孤立静止的观点，它并不适用于所有的曲线.要考虑任意曲线在其上任意一点处的切线，需要用运动的观点考察问题.在曲线上任取一动点，连接两点的直线即为曲线的割线，当动点沿曲线无限接近定点时，割线的极限位置即为曲线在该点的切线，切线的斜率为运动割线斜率的极限.

例1考虑的速度和斜率在匀速运动和直线的情形下，其计算是简单的除法，但对于“非匀速运动”和“曲线”，其计算就是求导数，即求函数增量与自变量增量商的极限.相应地，求函数增量可以用求微分近似代替.

例2积分概念的引入--曲边梯形的面积和变力作功.

例2考虑的面积和功在直边形和常力的情形下，其计算是简单的加法与乘法，但对“曲边形”和“变力”的情形，其计算就是积分.

综合上述两例，可以给出一个不太准确的说法：微积分研究的是“非线性情形下的和差积商”

讲解导数和积分概念时，要突出背景问题的运动变化和非线性的特征，与初等数学形成鲜明的对比--从直到曲、均匀到非匀、常量到变量、有限到无限，从而使学生认识到微积分是数学从常量时期进入变量数学时期的一个重要的里程碑，并逐步学会运用运动变化的观点来看待和解决问题.

1.2联系初等微积分，运用悖论和反例进行教学.

学生在中学里已经初步认识了微积分最重要的几个基本概念，并学会了初步的微积分算法.进入大学后，他们接触到“严格意义下的微积分”，经常会产生两个问题：

一是难以接受微积分概念的严格数学定义，如数列极限的HV定义、一致连续的定义等，在学习过程中感到极大的困难；

二是对已经学过的微积分中的相关运算缺乏耐心，没有进一步深入探究和学习的动力.

为了解决上述问题，我们在教授相关内容时，首先是尽量完整清晰地给出概念的具体背景，讲清楚概念的来龙去脉，降低学生学习的困难，其次，也是我们更为看重的一个方法是：密切结合初等数学和初等微积分的内容，运用悖论和反例进行教学，使学生体会到微积分严格化的必要性，同时在进行计算和证明时有意识地验证条件，避免陷阱.

例3发散级数悖论.

例4可以使学生惊讶地发现，原来常用的变量替换也是不能随便用的，前提条件是函数极限必须存在丨结合这个例子，可以提醒学生，在运用函数极限的相关运算法则进行计算的时候，也必须先验证法则的适用条件是否成立.

通过上述例子，使学生体会到直观的认识、常规的做法常常是很不可靠的，为了在实际应用中避免出现谬误，必须加深对概念的理解，学习它们的严格化定义，同时对法则的适用条件要进行严格的验证，并学会把标准法则的条件加以弱化或改变，以使法则适用于更广阔的领域.

2揭示概念间的内在联系

在数学分析教学中，最基本的要求是让学生掌握基本知识，基本技能.但是仅仅只有这些是远远不够的.数学分析教的不仅是_种知识，更是_种思想，一种学习数学的方法.对_些具体的知识，通过进行抽丝剥茧般的分析，从不同特征中找出共同的本质，揭示出概念间的内部联系，就可以使零散的知识点统一起来，并使学生对分析学的基本概念和基本思想加深认识.

数学分析概念繁多，但是数学分析的几个重要概念，如函数的连续、可导和可积[1]，都可以用极限的思想将它们连贯串通起来.

从教学过程中可以不断的启发学生，虽然这三种定义完全不同，但要注意到这些定义的共同点：都是通过极限定义的.以上三个定义实质是三种不同形式的极限.可见极限是这些定义的基础.从连续、可导、可积概念出发可以推广到多重积分，曲面、曲线积分，级数等等.这样，极限就将整个数学分析联系起来了.所以，极限思想可以说是贯穿数学分析的始终.

3与后续课程联系起来进行教学

我们在数学分析教学过程中，_直试图将数学分析和_些后续课程如常微分方程、泛函分析、实变函数等联系在_起进行，以便加深学生对于各门课程之间联系的了解，进而充分认识到数学分析是整个数学的重要基础.

例5从研究对象出发，揭示数学分析、实变函数、泛函分析之间的内在联系.

a)数学分析研究的主要对象--函数，可记作y-/(x).定义域是R中子集，自变量取值为实数.

b)泛函分析[3]中研究的主要对象之泛函，可记作y=/(gO.定义域是由函数构成的集合，

自变量取值为函数或映射.泛函就是以函数为自变量的特殊映射.

c)实变函数w中研究的主要对象之测度，可记作y=rn(E).定义域是以集合为元素构成

的集合，自变量取值为集合.测度是以集合为自变量，满足_定规则的特殊映射.

在学习数学分析的时候，就让学生了解：道着研究对象的不同而形成了不同的数学分支.这样能进_步扩大学生的知识面，加强学生对学习的兴趣；同时可进一步加深学生对数学分析中函数概念的理解，对于后续课程如实函、泛函的学习就有一定的帮助.

实质上方程（1)就是一个常微分方程.从方程（1)可以直观地看出所谓的微分方程就是含有有关未知变量导数的方程.常微分方程中导数是关于一个自变量的导数.若方程中有关于多个自变量的导数，那就是偏微分方程.之前我们学习的方程从本质上说都是代数方程.

将求隐函数的导数和介绍常微分方程联系起来，可为下一步学习常微分方程作铺垫，同时可加深对隐函数导数的理解，也进一步加深学生对数学分析这门基础课的重要性的认识.

4注重讲解知识的来源启发学生进行创新

在数学分析教学中，注意讲解知识的来源，运用观察、启发、归纳的手段让学生掌握数学研究的方法，调动学生进行数学研究的兴趣，提高其创新的能力.

例7泰勒展式[1]的推导过程.

1.计算验证猜想，解决问题；通过计算可证实我们的猜想.

通过以上三步，可以很自然地推导出泰勒展式.在教学过程采用类似于例7的教学方法，可提高学生的创新兴趣，使学生掌握数学研究的基本方法，且具有初步的创新能力.

5结合数学史进行教学

我国老_辈数学家余介石等人曾受美国数学家克莱因的深刻影响，主张：历史之于教学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之思，收闻风兴起之效.更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融和调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也这对于数学分析教学来说，尤其如此.结合数学史进行教学可以提高学生的学习兴趣，加强学生对于相关知识的理解.另外从数学史的整个发展趋势中，学生可以初步了解微积分知识的基本框架.

例8教授数学分析第一章--实数集与函数，引入第_次数学危机的故事.

大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了“毕达哥拉斯悖论”.毕达哥拉斯学派认为：宇宙间-切事物都可归结为整数或整数之比.但后来由于勾股定理的发现，进一步发现了等腰直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）.这一新发现直接触犯了毕氏学派的根本信条，称为“毕达哥拉斯悖论”该悖论导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机.

在发现无理数之前，人们认为只有整数和整数之比，这一认识是做为公理存在的.但随着知识的发展，社会的进步，当时的公理导致了悖论的出现.通过了解第一次危机，提高了学生的学习兴趣，鼓励学生开展创新，而不总是墨守成规.同时对有理数有了更深刻的理解，增加了对于实数性质学习的兴趣.

例9无穷小的学习与第二次数学危机.

无穷小是零吗？一一第二次数学危机，贝克莱悖论.贝克莱指出：牛顿在求导数时认为无穷小既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬的”.没有清楚的无穷小概念，从而使得导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，而且导致了发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等问题.

通过第二次数学危机，对照数学分析教材中无穷小的概念，学生可以加深理解：无穷小是一类趋向于零的函数，常数零也是一类特殊的无穷小.