数学物理范文

导语：如何才能写好一篇数学物理，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

Salvador V. Godoy Universidad Nacional

Autonoma Mexico Facultad de Ciencias

Mathematical Physics

2010, 443pp.

Paperback

ISBN: 9783527408085

John Wiley

Shigeji Fujita等著

本书是WILEY-VCH 物理学教科书系列之一,是一部风格极为独特的物理类研究生用的数学物理学教材。作者们考虑到物理类的学生要想拿到高等学位,不管是硕士还是博士,需要攻读的核心课程太多。而这些课程要求大量的数学,特别是处理量子理论的数学。作者们因此认为,既然需要同时学习数学和物理,就不如把他们合在一起来学,不仅可以节省很多时间,同时也便于更长时间保持对所学知识的记忆。正是在这种想法的指导下,作者写了这部数学,甚至一些初等数学和几乎所有门类的物理学科知识的新颖教材。

全书内容共分成36章,1.矢量;2.张量和矩阵;3.哈密顿力学;4.耦合谐振子和简正模式;5.弹性弦;6.矢量微积分和 算符;7.电磁波;8.流体力学;9.不可逆过程;10.熵;11. 热力学非平衡态;12. 概率、统计和密度;13. Liouvile 方程;14.广义矢量和线性算符;15. 单粒子量子力学;16. Fourier 级数和变换;17. 量子角动量;18. 自旋角动量;19. 回转磁比;20. 时间相关微扰论;21. 量子简谐振子;22. 置换群; 23. 量子统计;24. 自由电子模型; 25. 玻色-爱因斯坦凝聚; 26. 磁化率;27. 变分理论;28. 二次量子化;29. 复合物的量子统计;30. 超导;31.复数和Taylor 级数;32. 解析性和 Cauchy-Riemann 方程; 33. Cauchy 基本定理; 34. Laurent 级数; 35. 多值函数;36 留数定理及其应用。

从全书内容可以见到,纯数学只占约三分之一。其余的包括经典力学、电动力学、统计力学、热力学、量子力学、量子统计、固体理论直至超导电性。几乎涉及物理学的所有分支。编写这样的教材是作者们的一个大胆的尝试,他们没有提到是否经过教学的实践,因此也很难对该书在实际教学过程中发挥的作用给出适当的评价。

不过按照作者们的意见,该书可以作为物理专业研究生学习数学物理时两个学期使用的教科书。而且由于考虑到了内容自成体系,也可以提供其他非物理专业但对于数学物理感兴趣的读者自学。

丁亦兵,

教授

(中国科学院研究生院)

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关键词:数学,方法,兴趣

中图分类号: G623文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)12-0055-02

数学作为工具性学科,与物理及日常生活息息相关。当一个物理问题被数学化之后,它就被纳入了数学的轨道,从而能用数学方法来解决这些问题。作为中学数学教师,在数学中应有机地将物理知识与数学知识结合讲解、训练,一方面使学生深刻理解数学知识,更重要的是使学生在应用中产生对数学的浓厚兴趣,促进数学成绩的提高。

一、函数知识的应用

函数在物理上的应用是最广泛的,也是最典型的,所有物理公式和运动方程无不是函数知识的再现。现举两例:

例1、某一盛水容器中用细线吊着一个下端有孔的小球,起初小球内充满水,现以恒定速度将铁球拉出水面,则水面高度与时间的函数关系的图象是( )

解:⑴根据物理知识可知,小球孔很大,所以拉出水面时,小球下孔在水的表面张力下呈曲面,使球形成一个整体球,使水从小孔流不出,所以小球是带着一腔水被拉出水面的。⑵根据数学知识可知,由球顶到球中心被拉出水面时,水面高度曲线下降得快,所以曲线向下弯,当球从球心开始到整个球被拉出水面时,水面高度下降得慢,所以曲线向上弯,但在整个过程中,水面均下降,所以,在整个过程中,函数是减函数,故选D。

三角函数反映了角与比值的关系,在实际生产和生活中,常常遇到角度问题和线段问题,这些问题可以通过构建三角函数的数学模型,研究三角函数的性质及计算使问题得到解决。解决这类问题时要善于抓住问题的本质,将其转化为三角函数问题。

例2、如图所示,屋顶断面是ABC,AB=BC,横梁AC=21(定值),当雨水从屋顶面上流下时间最短时,屋面的倾斜角?琢等于。(摩擦忽略不计,雨水初速度为0)

二、数列知识的应用

数列的通项反应了数列的性质,所以在数列问题中如能求出通项,其他问题则迎刃而解。

例3、使一原来带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触,分开后小球获得电量q,今使小球与大球反复接触,在每次分开后,都给大球补充电荷,使其带电量恢复为Q,求小球能获得的最大电量。

解:小球与大球接触后,两球所带电量之比决定于两者的形状,是一个恒量,设q1、q2、…qn和Q1、Q2、…三、向量知识的应用

向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理解答题更简捷,更清晰。并且用向量知识不仅是解决物理许多问题的有力工具,而且用数学的思想方法去审视相关的物理现象,研究相关的问题,可以使我们对物理问题认识更深刻。用向量知识解决物理问题,首先要把物理现象转化成数学问题,即将物理之间的关系抽象成数学模型,然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象。解题时还要注意对物理意义的理解。

例4、如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A出发航行到河对岸,船航行速度|v|=10km/h,水流的速度|v2|=4km/h,设v1和v2的夹角为?兹(0

(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是最少吗?为什么?

解:(1)船垂直到达对岸,即v=v1+v2与v2垂直,也就是(v1+v2)・v2=0,

v1・v2+v22=0,

即|v1||v2|cos?兹+|v2|2=0。

又00

所以当114时,船能垂直到达对岸。

(2)设船航行到达对岸所需的时间为t,

所以当?兹=900时,船的航行时间最短,而当船垂直到达对岸时,须有?兹=1140,这时所需的时间不是最少。

四、概率知识的应用

概率反应随机事件发生的可能性的大小,有四个古典概型:等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验。在解决概率问题时,要注意以下几个方面:⑴弄清所求概率的事件是什么事件,然后选用适当的概率公式;⑵选取适当的方法,即:直接法,间接法(正难则反,先求对立事件的概率);⑶做到不重不漏,考虑全面、完善;⑷从集合的角度来理解互斥事件、对立事件及互斥事件的概率加法公式。相互独立事件同时发生的概率这一知识广泛应用与物理的电子学中,常用此知识来检验物理元件的可适用性及对可靠性的预测。

例5、现有构成系统的6个元件,每个元件的可靠性约为P(0

解:系统(Ⅰ)有两个通道,它们能正常工作,当且仅当两条通路至少有一条通路能正常工作,而每条通路能正常工作当且仅当此通路中的每个元件都能正常工作。

系统(Ⅰ)每条通路正常工作的概率是P3,不能正常工作的概率是1-P3,系统(Ⅰ)不能正常工作的概率是(1-P3)2,所以系统(Ⅰ)能正常工作的概率是P1=1-(1-P3)2=P3(2-P3)。

系统(Ⅱ)由3对并联元件串联而成,它能正常工作当且仅当每对并联元件都能正常工作,由于每对并联元件正常工作的概率是1-(1-P)2,所以系统(Ⅱ)正常工作的概率是P2=[1-(1-P)2]3=P3(2-P)3。

因为P1-P2=P3[2-P3]=-6p3(P-1)2

所以P1

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关键字：数学物理方法 教学改革 学习兴趣

中图分类号: G64文献标识码：A文章编号：1672-3791(2012)03(a)-0000-00

数学物理方法一直是物理学专业学生最基本、同时也是最重要的专业基础课之一，是物理学专业学生学习后续课程的重要基础，所涉及的基本知识也是物理系学生必须要掌握的最基本内容[1-2]。在应用型本科教学背景下，要求学生不仅要掌握课本上的知识，更重要的是要学以致用，这就为这们课程的教学提出了更高的要求。如何提高课程教学质量，如何提高学生学以致用的本领，这是讲授数学物理方法课程教师索要面临的问题。作者结合多年的教学经验，整理成该文，只是起到抛砖引玉，希望与同行们交流探讨。

1 要让学生认识到课程的重要性

从学科的承接性上，数学物理方法是基础物理课程（力学、热学、电磁学、光学、原子物理学）和专业物理课程（理论力学、电动力学、热力学与统计物理学、量子力学）之间连接的桥梁，数学物理方法所介绍的复变函数概论、偏微分方程等是学习专业物理课程的数学基础或者说是工具，只有学习好了数学物理方法，学习专业物理课程才能事半功倍。

从作为物理专业学生数学知识完备性上，数学物理方法即是一门数学课程，又是一门物理课程，既有数学的严谨性和推理性，又有物理的应用性，这也是物理学专业学生的最后一门“准数学”课程，掌握了这门课程以后，物理系本科生的数学知识才算完备。

从实用方面来说，数学物理方法的知识与其他课程的内容紧密联系，比如解析函数的实部和虚部分别代表了物理中的场；傅里叶变换，在信号处理中，可以将一个信号从时域空间转换频域空间，这种转换对于信号处理是十分必要的；特殊函数论中勒让德函数等特殊函数在量子力学、电动力学等课程中也有着广泛的应用。而且在即将进行的硕士研究生和博士研究生入学考试中，很多学校的很多专业都需要考数学物理方法。

2 在教学过程中适当的引入计算机辅助教学

数学物理方法课程可以分为三篇，即复变函数论、数学物理方程和特殊函数论，每一个方面的计算题目都是十分复杂的。其实题目并不难，只是复杂，计算量很大。学生在学习的时候，往往会被复杂的计算吓倒，而失去对该门课程的学习兴趣，或者纠缠与复杂的计算，而忽视计算背后的物理实在，忘记物理的本质。

随着计算机辅助软件的推广，像Matlab，Mathematica，Maple等数学计算软件可以方便地为我们解决复杂的计算问题[3-4]。将这些软件引入到课堂讲学中，一方面，可以让同学们从复杂的数学计算中解放出来，将更多的精力放在物理图像上的理解中来；另一方面，也可以帮助同学们利用软件解决更加复杂的问题，激发同学们的学习兴趣。

但是，这里有一点需要说明的是，计算软件只是一个辅助工具，不能完全代替个人的计算修养，所以，在教学过程中，应该做到以下两点：1、定义、定理、定律的讲解应该清晰、透彻，不能含含糊糊，2、知识的应用，要展示一些典型而又简单的例题的解题全过程，布置课外作业的时候，容易计算的题目与复杂题目并举，容易计算的题目作为必做题，复杂计算的题目作为选做题，要求学生借助计算机辅助计算。

3 加强教师间学术交流，增加同行的经验共享

闭门造车，必然会造成思想闭塞。数学物理方法课程每年都有固定的年会，这里集结了全国优秀的数学物理方法教学方面的专家学者，在年会中，同行之间可以增加彼此的了解和交流各自的教学经验；另一方面，随着各高校精品课程的建设，在网络上共享的资源也是非常全面的，包括视频教学、电子教案、习题集、试题库等。

4 教材使用的几点感想

在教学中作者参考了很多版本的教材，国内的数学物理方法的教材各有优点，下面就本人的对教材的一些理解发表几点不成熟的观点，敬请同行指正：

（1）在复变函数论中，教材的内容很少与物理事件进行联系，重点放在数学上。然后，事实情况是，从实变函数到复变函数的过度对于本科生来说，本身就是非常困难的，而且又是如此枯燥的全数学内容，这会导致学生的学习态度消极，因为同学们不知道为何要学这个，因此建议在教材的编写中更加注意数学与物理的联系。

（2）物理系的学生学习数学物理方法的目的是为了应用，因此建议教材在编写的过程中将更多现代的数理技术引入的教材中，将更多的这些数理技术如何应用到物理事件中进行一定的讲解，让学生认识到这门课程在物理中的重要性，而且是与现代科学的发展是如此密切相关，以此加强学生的学习兴趣；

（3）随着计算软件的发展，建议将更多的计算软件引入的教材中去，用软件代替复杂的计算，解放学生的解题时间，而将更多的时间放在理解物理实在中去。

5 结语

数学物理方法是物理学专业一门重要的基础课程，对于很多后续课程的理解具有重要的作用，如何教好这门课，如何让学生产生对这门课程的兴趣，一直是每个教师需要认真思考的问题，以上的一些观点只是作者多年的教学中的一些经验总结，以供同行交流。

参考文献

[1] 胡嗣柱，倪光炯.数学物理方法(第二版) [M].高等教育出版社,北京：高等教育出版社.2002

[2] 吴崇试.数学物理方法(第二版) [M].高等教育出版社,北京：北京大学出版社.2004

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关键词：数学物理方法 教学改革 创新能力 应用能力

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）12（c）-0181-02

1 现有教学方法分析

数学物理方法是高等院校物理专业的传统必修课，同时也是很多工科专业的必修基础课程。作为很多专业的基础课，数学物理方法课程为它们提供必要的数学基础和工具，并培养学生的物理思维能力和锻炼学生运用数学工具解决实际问题的能力。

数学物理方法这门课程从内容上讲，主要包括两部分：一部分是复变函数，主要讲授复数、复变函数的微积分及积分变换；另一部分是数学物理方程及特殊函数，指的是从物理学以及其它自然科学、技术科学中产生的偏微分方程。主要讲如何从实际问题中运用物理定律进行数学建模从而形成定解问题并介绍求解定解问题的各种方法。

这门课是公认比较难学的课程，这是由于此门课程内容多、涉及面广，知识繁杂，学生反映不好学，听不懂，课后习题不会做等等。许多学生对这门课有畏难情绪，上课时不积极，这就往往导致课堂气氛沉闷，学习效果不佳。以往教学比较沉闷，注重解题过程和公式推导，这样的教学方法存在的主要缺陷有：（1）上课枯燥，不能提高学生的学习兴趣，造成了大部分学生平时上课缺乏积极性、主动性，学习学的刻板；（2）缺乏对学生的创新思维的培养和创新能力地培养，很多学生学完此门课程之后，只会机械的解题，而缺乏创新应用能力；（3）有一部分学生由于基础知识掌握的不好，学习此门课程比较困难，不能有效地参与到课程学习中。因此，如何对教学方法进行有效的改进，以提高学生的学习积极性、主动性、培养学生的创新能力和应用能力是非常重要的。

2 教W改革探索与初步实践

基于多年的教学探索，我们对教学内容和教学方法进行了改进，提出了能够调动学生积极性并让学生充分参与到课程中的教学方法。通过初步的实施，发现改进后的教学方法大大提高学生的学习积极性，能够培养学生的创新能力和应用能力。

2.1 关于教学内容的改进

在教学内容上，我们针对不同专业的学生准备了不同的教学案例。比如，在讲授平面向量场这一节，对于力学、能动专业的学生，我们准备了平面流速场的例题，这与他们的流体力学专业密切相关；而对于物理、广电专业的学生我们准备了平面静电场的例题，这与他们的静电学专业密切相关。再如，在建立波动方程时，对于力学、能动专业的学生我们以弦振动为例进行建模探讨，而物理专业的学生则以高频传输线作为教学实例。

通过确立与学生专业相关的教学内容和教学案例，提高了学生的兴趣，也明确了此门课程对学生的重要性。

2.2 关于教学方法的探讨

（1）对于教学方法改革，我们首先注意此课程强大的应用性，且具有实践背景和深刻的物理意义。因此，在讲授课程时，我们提出对于每一个例题，一定要数学建模、解题方法、编程可视化、分析物理意义一体化。在以往的教学中，过多地重视了解题方法的讲授，而忽视了可视化和分析物理意义这两个极为重要的环节。

例如，对于讨论有限长弦的强迫振动。求解方法有：齐次化原理和按特征函数展开法。通过MATLAB或者MATHEMATICA编程，进行可视化，可以将弦的振动过程进行动画演示，可以通过调节施加的外力，观察对弦的振动的影响，并且注意到当时间的外力频率与弦的固有频率充分接近的时候，会引起共振，产生大的振荡。因此，在启发我们意识和理解到建设桥梁时为何要避免共振，而在无线电中为何有时又要共振。

在要求学生课后作业时，也要做到数学建模、解题方法、编程可视化、分析物理意义这四个过程缺一不可，并且是组织安排学生进行报告。这样可以培养学生的创新能力和实践应用能力。

（2）学生的分组共同作业。前面提到解决一个问题，需要数学建模、解题方法、编程可视化、分析物理意义四个关键步骤。但是有一部分同学的基础不好，独立完成这一切是很困难的，为此，我们提出了分组作业。两三个同学一组，共同作业，可以相互帮助、相互学习、相互研究、相互提高，培养学生的协作能力，促进学生的全面总体成长。

（3）让学生参与到课程教学中。在一学期安排5～6次的学生课堂。给每组学生一周左右的时间准备，上前讲授某种方法或者某个内容。让学生充分的参与到课堂教学中，充分调动了学生的学习积极性，发挥了他们极大的潜能。

2.3 初步实施效果

上述的教学内容和教学方法改革，我们已经逐步进行了实施，效果是让我们惊喜的。

（1）提高了学生的学习积极性和对此门课程的学习兴趣。上课学生热情饱满，能够很好地跟教师互动，积极思考、回答老师提出的问题。

（2）充分激发了学生的求知欲和潜能。当让学生上前讲授内容或者做报告时，往往能够得到很多惊喜，学生能够查阅很多相关的资料，并能深入思考问题，呈现出很好的课堂教学。

（3）培养了学生的创新思维和应用能力。每次学生报告时，都能通过小组合作，提出解决方案，利用软件进行编程，实现可视化，极大地锻炼了学生的创新应用能力。在全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛中均取得了优异成绩。

3 结语

经过实验，将教学改革方案应用指导数学物理方法课程的授课中，确实调动起了学生学习此门课程的兴趣，学生通过软件编程进行可视化，不仅极大地调动了他们的学习积极性，而且通过对物理现象的演示，很好地加深了对问题的理解。通过学生课堂和平时的小组协作作业培养了学生利用数学知识进行建模、解决实际问题的能力，全面提高了学生对数学物理方法课程的知识掌握，培养了学生的创新能力。

参考文献

[1] 梁昆淼.数学物理方法[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2] 王元明.数学物理方程与特殊函数[M].4版.北京：科学出版社，2012.

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例1如图所示，在平面xOy内有一沿水平轴x正方向传播的简谐横波，波速为3.0m/s，频率为2.5Hz，振幅为8.0cm，已知t=0时P点质元的位移为y=4.0cm，速度沿y轴正向，Q点在P点右方0.9m处，对于Q点质元来说()

A.在t=0时，位移为y=-4.0cm

B.在t=0时，速度沿y轴负方向

C.在t=0.1s时，位移为y=-4.0cm

D.在t=0.1s时，速度沿y轴正方向

解析：由v=λf知λ=1.2m，T=1/f=0.4s，作出t=0时刻的波形图如右图所示。

由图可知Q向下振动，位移为正值，同时也可知0.1s后Q还是向下振动，所以B项对，A项、D项错。对于C选项，我们可以用数学知识把任一时刻的情况都分析清楚。

v=3.0m/s

f=2.5Hz

A=8.0cm

ω=2πf

y=Asin(ωt+φ)

对于P点：y1=8sin(5πt+φ1)，将t=0，y1=4.0cm代入得φ1=π6，所以y1=8sin(5πt+[SX（]π[]6[SX）])。Q点的振动比P点滞后t0=[SX（]0.9m[](3.0m/s)[SX）]=0.3s，所以对于Q点：y2=8sin［5π(t-0.3)+π6］=8sin［5πt-4π3］。

所以t=0时，y2=43cm，t=0.1s时，y2=-4.0cm,速度沿y轴负方向。正确答案BC。

例2如图所示，M，N是两个电荷量相等的正点电荷，它们连线的中点为O,A、B是中垂线上的两点，OA

A.EA一定大于EB，ΦA一定大于ΦB

B.EA不一定大于EB，ΦA一定大于ΦB

C.EA一定大于EB，ΦA不一定大于ΦB

D.EA不一定大于EB，ΦA不一定大于ΦB

解析:M、N是两个电荷量相等的正点电荷,在其垂直平分线上由OAB∞,其电势逐渐降低，至无穷远处电势为零，有ΦA>ΦB；但场强在O处为零，无穷远处也为零,由此由O沿中垂线远去时，场强先增大后减小，场强最大处与电荷量、距离大小有关，而A、B具置未知，因此EA不一定大于EB，选项B正确；分析到这里，有些同学就有些疑问了：究竟哪里场强最大呢？这里我们可以借助数学知识定量分析。

设两点电荷M、N电量为Q,相距2a,在中垂线上任取一点P,∠PMN=∠PNM=β。P到点M、N的距离相等，则

E1=E2=KQ/r2

即

E1=E2=KQcos2β/a2。

由平行四边形定则可得P点场强：E=2E1sinβ=2KQcos2βsinβ/a2。

对于给定的Q和a，E的值取决于cos2βsinβ。我们现在令Y=cos2βsinβ,则Y2=cos4βsin2β,变换一下，Y2=12［cos4β×2(1-cos2β)］，由数学知识得：当cos2β=2(1-cos2β)时有最大值。即cos2β=23或sin2β=13，所以当β=arcsin33时场强E有最大值。这样学生就更容易理解A、B两点场强大小不能确定了。

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江苏省高考物理考试说明提出要把对学生能力的考查放在首要位置，并列举了要求考查的五个方面的能力，其中第四个方面是应用数学知识处理物理问题的能力，即能够根据具体的问题找出物理量之间的数学关系，根据数学的特点、规律进行推导、求解和合理外推，并根据结果做出物理判断，进行物理解释或得出物理结论.能够根据物理问题的实际情况和所给的条件，恰当的运用几何图形、函数图象等形式和方法进行分析、表达.能够通过分析所给的图象找出其所表示的物理内容，用于分析和解决物理问题.

高考的要求对高中物理教学有着现实的指导意义，其对学生数学能力的考查在近几年高考试卷中体现的非常充分.如2012年江苏卷第4题，2014年江苏卷第5题等.但笔者在教学中发现学生数学知识准备不足，遇到复杂些的计算错误率很高，甚至直接跳过.长此以往，学生怕做这类题，教师却常常抱怨：“这么简单的运算的也不会”.究其原因，从初中到高中，物理的学习对学生数学能力的要求有着明显的提高，学生数学知识的准备往往落后于学习物理时对其数学知识的要求.比如；矢量的运算法则在高一物理第一章“运动的描述”就会涉及，而数学教学中“向量的运算”至少要落后一个月，这无形中造成了学生对矢量理解的障碍.

本文中笔者对高中物理教学中常用的数学知识进行了归纳整理，希望对同仁们的教学有所帮助.

2教学中常用的数学知识

2.1矢量（向量）与标量的知识

对矢量的理解是高中物理概念教学的重要一面，是对物理概念全面、深入理解不可或缺的一点.学生常常将矢量与标量混淆，在矢量运算时直接相加减，将标量正负[TP6GW50.TIF，Y#]的意义理解为方向.所以，矢量的学习既是学生学习的难点，也是教师教学的重点.高中阶段涉及的矢量有位移、速度、加速度、力、电场强度、磁感应强度、动量等，涉及的标量有路程、功、动能、势能、磁通量等.在教学时，教师可以根据需要将矢量的运算法则先介绍.如图1.

2.5相似三角形

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形.在共点力的平衡和带电粒子在匀强电场中做类平抛运动中，应用相似三角形可以给解题带来方便.

例5如图7所示，轻绳1绕过固定在A点的定滑轮系在轻杆B端，轻杆另一端通过铰链连在O点，B端下面挂着重为G的小球，拉绳1使轻杆缓慢转动，不计所有阻力，此过程中绳1对B端的拉力T和杆对B端的支持力F的大小变化情况是

[TP6GW56.TIF，Y#]

A.T增大，F减小

B.T减小，F增大

C.T增大，F不变

D.T减小，F不变

解析缓慢转动过程中，B端合力为零，T、F、G三个力构成封闭的矢量三角形（图阴影区）.由几何知识可知：三角形ABO与力构成的三角形始终相似.

AOGBOFABT，

AO、OB的长度不变，AB长度变小，所以F不变，T减小.

3对高中物理教学的启示

3.1了解学生的数学基础，为新知识的教学做准备

高中物理难学的一个重要原因是学生的数学知识准备不足.但具体是哪些知识欠缺，如果没有调查摸底，恐怕很难说清，更别提在课堂上有的放矢，化解难点了.解决此问题的方法通常有三种，一是先研究教材，掌握本节内容需要哪些数学知识，再向学生或数学教师了解这些知识初中有没有学过，学到什么程度，高中阶段会在什么时候讲，讲哪些内容.二是向有经验的老师请教，此法常能事半功倍，尤其对新教师掌握学情，提高效率有很好的帮助.三是通过分析检测中的错误，在试卷讲评中补充必要的数学知识，并做好总结，为以后的教学服务.

3.2逐步渗透，循序渐进，提升学生解题能力

在物理课堂讲数学知识不会是一种常态，对数学知识的补充也不会一蹴而就.因此，我们有必要对此作个整体的规划.笔者认为逐步渗透，循序渐进符合学生认知规律，是比较妥当的方法.在高一阶段，学生知识准备不足，此时数学知识的渗透和物理新知识的的传授同样重要.高二阶段，需要着重讲解重要数学工具的应用，如：函数法、微元法、图象法.高三阶段，主要的数学工具都已介绍，此时的重点应放在学生分析综合能力的提升.

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1 数学知识在物理中运用需要注意的问题

在高中物理的学习过程中，教师和学生都了解运用数学的价值和意义，同时也都能够有效的运用数学知识去处理物理难题，而在运用的过程中也需要注意两个方面的问题.

1.1 控制好数学知识运用的力度

数学和物理在本质上还是有区别的，有些在数学中行得通的概念和知识在物理中不一定可行，因此在物理中运用数学知识时必须要结合问题的实际状况，对不同的问题采取科学的解决方法才能获得最合理的答案.

举这样一道物理问题为例：“一辆汽车以20 m/s的速度前行，在遇到紧急问题时，司机以4 m/s的加速度停车，问刹车6 s后位移为多少.”针对此类问题，问题中虽然是以6 s后的位移为问题，但汽车在5 s之后就已经暂停，最后1 s已经静止，在解答时很容易忽视实际的情况，造成解题错误，因此在处理问题时必须要结合实际状况，控制好数学知识运用的力度.

1.2 避免把简单问题复杂化

在处理物理问题时，通过数学知识的运用能够使其化繁为简，具有非常重要的作用，而相反，运用的不恰当就会使物理问题变得更加复杂.通过下面这个故事就能把这个问题合理的阐述出来：在给爱迪生做助手的数学系学生阿普拉身上发生过这样的一件轶事，某天爱迪生让阿普拉计算灯泡的体积，作为数学系学生的阿普拉经过多方测量、计算也无法准确地得出灯泡体积的准确值，但爱迪生却将灯泡注满水，通过将灯泡里的水注入量杯中轻松计算出了灯泡的体积.可见有时物理问题是很容易解决的，千万不能过于运用数学知识而导致问题变得复杂.

2 数学方法在高中物理中的运用

数学和物理之间有着千丝万缕的联系，数学知识对物理的学习有着极大的指导作用.在高中物理知识中，运用到了很多数学方法和技巧，因此合理的使用数学方法来处理物理问题能够有效锻炼学生的思维方式以及推理能力，具有非常重要的作用.

例如用数学中的比例计算方法来解答这样的物理问题：汽车在踩下刹车之后直到停止需要5 s的时间，那么前2 s内位移同后3秒内位移的比例是多少.这个问题能够看作是反向的速度为零的匀加速直线运动，后3 s是反向初速度为零的匀加速运动的前3 s，前2 s是反向初速度为零的匀加速的后2 s，最终求得前2 s和后3 s内的位移比例.

3 数学概念在高中物理中的运用

数学知识中的很多概念同物理中的概念是相似的，因此在学习物理时教师可以引导学生站在数学的立场去分析问题.例如在数学中所谓的向量就是既有大小又有方向的量，其遵守三角形原则，而在物理中，力既有大小也有方向，遵守平行四边形原则.如长度、时间、质量等只有大小，而没有方向，称为标量；另外还有矢量，如位移、电场强度等.

再如对平抛物体的运动轨迹进行分析时，学生只能说出抛物线的字眼，对抛物线的概念却一无所知.其实平抛物体的轨迹并不能完全称为抛物线，这是因为运动的过程中会受到一定的空气阻力，其实在求得x=v0t和y=gt2两个公式之后，只需要进行简单的调整就能得出轨迹的公式.由于在数学学习中学生已经对抛物线这部分内容有了一定的了解，因此在物理的相关学习中就会轻而易举.

4 数学思想在高中物理中的运用

4.1 逆向思想

在学习高中物理的过程中，数学中的逆向思维方法具有非常重要的作用.在高中物理中，有些问题是比较复杂的，运用正常的思维方法进行解决时会很困难，甚至不能解答出来.而通过逆向思维方法，把物理问题解答过程中的末态转变为初态，反向分析物理问题，一方面能够使物理知识简化，另一方面也能使物理公式更易于理解，快速的解决物理问题，起到事半功倍的作用.

4.2 图象思想

通过图象能够把物理变化的过程体现出来，不仅能把物理知识中蕴含的规律直观的描述出来，还能把物理量之间的关系表现出来，发挥出了巨大的作用.使用图象来解决物理问题还能考察学生的识图、作图能力，对于一些难度较大的物理问题也能化难为易.

如图1，分析质点A所对应的时刻，速度v和加速度a的变化情况.通过图象能够清晰的看出，当质点处于C位置时，位移x为振幅R，a达到了最大，而v为零；当质点处于B位置时，v达到最大，而a和x都为零.由此可见，数学图象思想在高中物理中的运用能够使物理现象更加直观，具有化繁为简的功效.

4.3 对称思想

所谓对称思想就是事物变化过程中的不变性，在处理物理问题时，通过对称思想能够极大的简化解题的过程，另外也能够培养学生的直觉思维能力.运用数学对称思想解答物理问题时，最重要的是要具有敏锐的洞察力，能够及时找出其中存在的对称性，同时这也是快速解决问题的最佳途径.

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关键词 活用 数学思想 发展 物理思维

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）09-0020-02

数学思想是对数学知识与方法本质的概括，是数学各部分知识的纽带。将物理问题抽象、转化为数学问题，利用数学工具、通过计算（结合物理知识），能方便解决物理问题，是发展物理思想能力的重要途径之一。

四、极限分析法

极限分析法（或称极端思维法），是把研究对象或变化过程假设成某种思想的极限状态下进行分析、推理、判断的一种思维方法。它是分析物理问题的一种重要方法，若题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语的，一般都有临界现象出现，都要求出临界条件。分析时，为了把这个临界现象尽快暴露，一般用极限分析法，特别是某些题目的文字比较隐蔽，物理现象过程又比较复杂时，用极限分析法往往使临界现象很快暴露出来。

例4：如图（3），当滑动变阻器的滑头触点向上端移动时，电压表和电流表的读数将如何变化？

图（3）

【分析与解答】此题用极限分析法最为简捷，设想触头上滑时：R3趋于∞，立即得出I3=0最小，R外增大，U端变大，所以，电压表示数增大，电流表示数减小。

用极限分析法解这类问题的一般步骤方法：把滑动变阻器推向端点，找出电压或电流的极值进行分析。如果把滑动变阻器推向两端时出现电压或电流值相同，则电压或电流的极值可能出现在滑动变阻器处于中间值处。

当然，在分析物理问题时能用到的数学思想不仅限于以上几种，还有其他方法，如：特殊值法、平移法、函数法，类比法等。但我认为以上四种方法是最常用、最重要的方法。

参考文献：

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根据一定条件判断凸透镜焦距的取值范围，对于初中学生来说的确有困难，运用不等式（组）的知识来解这类问题，就会使问题化难为易了。

例：某同学将一物体放在距凸透镜16cm处时，在光屏上得到一个缩小的像，当物体距透镜10cm时，在光屏上得到一个放大的像，试问凸透镜的焦距的取值范围.

分析：根据凸透镜成像规律，首先要求学生由所给成像的性质找到对应的物距与焦距的关系，成放大实像时，f

二、比例知识应用

在求解有关比还是倍数关系的习题中，依据物理定律、公式或某些量相等、成多少比例或倍数等，用比例式建立起未知量和已知量之间的关系，再利用比例性质来计算未知量的方法。

例：甲、乙两物体质量之比为1∶2，当它们降低相同温度时，放出热量之比为2∶1，则组成两物质的材料甲的比热是乙的多少倍？（乙的比热是甲的几分之几？） 常用解法1：分别用脚标1和2表示甲和乙的物理量，则 m1∶m2=1∶2？圯m1=■m2 ？驻t1=？驻t2 Q1∶Q2=2∶1？圯Q1=2Q2 由Q=cm？驻t得c=■ c1=■=■=4■=4c2 即甲物质的比热是乙物质的4倍（或乙物质的比热是甲的■） 常用解法2：分别用脚标1和2表示甲、乙两物体的物理量，则： m1∶m2=1∶2 ？驻t1∶？驻t2=1∶1 Q1∶Q2=2∶1 由Q=cm？驻t得c=■ c1=■，c2=■， 故c1∶c2=■∶■=■×■=■×■×■=■×■×■=4 即c1=4c2。因此甲物体的比热应是乙物体的4倍（或乙物体比热是甲物体的■）

以上两种方法我们可以归纳为一种基本方法，即：把要求比的物理量用公式表示出来，c=■，c1=■，c2=■，C1=■，1=2，C2=■，1=■（即把Q1看为2，Q2看为1；m1看为1，m2看为2；？驻t1看为1，？驻t2看为1；带入公式计算）C1：C2=2：■=4，这对于一般求比或一个物理量是另一个物理量的多少倍（或几分之几）都是适用的，思维清晰，学生容易接受。 此类习题在有物理计算公式地方均出现，有兴趣的同学可以自己发现。

三、图象知识应用

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一、函数在高中物理中的应用

物体的各种物理量都随时间变化，各物理量之间形成或简或繁的函数关系。如果状态确定，函数就演变成固定量的关系方程，其中针对动态物理过程确定函数是重点、难点。经常用到的函数有：二次函数、三角函数、正比例函数、反比例函数等。我们应视其物理过程的特点择而用之。

探究一：一元二次函数的应用

如图1所示，位于竖直平面上的四分之一圆弧轨道光滑，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，不计空气阻力，当H为多大时，小球落地点距BC最远？

■

解析：小球由A到B的过程中，机械能守恒，有：mgR=■mv■■?圯v■=■

从B到D的过程中做平抛运动：

h=H-R=■gt■?圯t=■

x=v■t=■·■=2■

在二次函数y=R(R-H)=-R■-HR中，

当R=-■=■时， y=■=■最大。

所以，当R=■时，x■=2■=H。

在高中物理中，一元二次函数的极值问题应用非常广泛，如在追及相遇问题中速度小者加速追匀速运动的物体，求什么时候两物体相距最远时，能够用一元二次函数的极值问题很轻松的求出来。

探究二：利用三角函数的极值条件求解

在正弦或余弦函数中，当角度为90°或0时，函数有最大值或最小值。

如图2所示，水平面上放一物体处于静止状态，物体与水平面间的动摩擦因数为■，对物体施加一恒力F，求F与水平面间的夹角为多少角度时，物体产生的加速度最大？

■

解析：F■=F■-f=ma

F■=N+F■-mg=0

得F■=Fcosθ-μ(mg-Fsinθ)=ma

化简得: F■sin(θ+φ)-μmg=ma

其中 tanφ=■=■，所以φ=30°

即当θ=30■°时，产生的加速度最大，为a■=F■m-μg 。

二、图像在高中物理中的应用

图像是一种较文字更为形象、直观的语言。在解题过程中，如若能将具体物理情景转化为图像，则可更为形象、生动地说明问题，提高解题效率，简化解题过程，做到事半功倍。下面仅以υ─t图像为例（在υ─t图像中，υ─t图线的斜率反应加速度a的大小,υ─t图线与t轴围成的面积代表位移）。

例如：如图3所示，甲、乙两光滑斜面的总长度和高度都相同，只是乙斜面由两部分组成，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计拐角处的机械能损失，试分析两球中谁先落地。

■

解析：甲、乙两光滑斜面的高度相同，又不计拐角处的机械能损失，因此两球的机械能守恒，即落地时两球速度大小相同。由于斜面的倾斜程度不同，对两小球进行受力分析可知，乙图中，小球在前部分的加速度大于甲，后部分的加速度小于甲。将乙的两部分υ─t图线合并后与甲相比，则其前部分υ─t图线斜率比甲的斜率大，后部分υ─t图线较甲斜率小。同时要使两图线与t轴围成的面积相等，则其υ─t图像应如图4所示：

■

由υ─t图像可知，乙图中的小球先落地。

可见，在物理解题过程中应用图像，可以达到事半功倍的效果。问题的关键是在解题的过程中能否把物理情景转化成比较形象、直观的图像来解决。

三、解析法在高中物理中的应用

物体运动轨道，一般都是由物理现象，物理实验观察出来，很少通过理论进行推导，例如抛体运动，我们完全可以通过数学推导，得出抛体运动的轨迹是一条抛物线如图5。

■

解析：在水平方向上以v0x?做匀速直线运动，有

x=v■cosθt （1）

在竖直方向上以v0y为初速度做竖直上抛运动，有

y=v■sinθt-■gt■ （2）

⑴、 ⑵两式，显然是关于时间的参数方程，把时间化去得y=tanθx-■x■

从这个一元二次方程中，看到它的轨迹，是一条抛物线。通过观察和数学推导，更加加深我们对抛体运动的理解。