数学史与数学教育范文

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于是我们看到了西方中学数学课本中数学史内容的增加。丹麦的一套中学教材即由女数学史家安德逊（K.Anderson）主编，数学史完全融入了教材内容本身。波兰的中学数学课本含有丰富的数学史知识，如著名数学家生平、数学符合的起源、不同文化背景下的数学活动或数学思想（包括埃及、中国、印度、希腊的数学），等等。

数学素养包括知识、才能和思想三个方面，即数学知识、数学能力和数学思想素养。这三个方面彼此联系，层次由低到高。形成数学素养的关键是要在知识传授、才能培养及有目的有计划的素质教育中让学生理解数学蕴涵的精神、思想、观念、意义等内容，并培养他们运用数学的思想和方法去处理数学问题和现实问题的意识。数学的思想和方法、数学研究中的科学精神及数学的美，首先是从数学的发展史中总结归纳出来的。当然学生学习数学的过程也是继承人类文化的过程，因为人在本质上是文化遗传物，世世代代积累的文化要由人来继承。所以在高中阶段向学生介绍一些数学史，不仅可以激发学生的学习兴趣，还能促进其数学素养的提升。笔者通过在教学中的探索与实践，认为数学史对高中数学教育的积极作用主要体现在以下四点。

一、揭示数学知识的现实来源和应用

高中数学课程标准指出：讲数学一定要讲知识的背景，讲它的形成过程，讲它的应用，让学生感觉到数学概念、数学方法与数学思想的起源和发展都是自然的。历史往往揭示出数学知识的现实来源和应用，从而可以使学生感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，认识到数学是一种生动、基本的人类文化活动，进而引导他们重视数学在当代社会发展中之间的关系。所以说，在高中数学的教学过程中，渗透数学史的知识是十分必要的。

二、理解数学思维

一般说来，历史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛，而不是单纯地传授知识。这可以激发学生对数学的兴趣，培育他们的探索精神。历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。

三、数学历史名题的教育价值

对于那些需要通过重复训练才能达到的目标，数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富有趣味和探索意义，从而极大地调动学生的积极性，提高他们的兴趣。对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣。历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的，许多历史名题的提出和解决都与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家探索过的问题，或许这个问题还难住了许多有名的人物，学生在探索中获得成功的享受，这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的。

向学生展示历史上的开放性的数学问题将使他们了解到，数学并不是一个静止的、已经完成的领域，而是一个开放性的系统，认识到数学正是在猜想、证明、错误中发展进化的，数学进步是对传统观念的革新，从而激发学生的非常规思维，使他们感受到，抓住恰当的、有价值的数学问题将是激动人心的事情。数学中有许多著名的反例，通常的教科书中很少会涉及它们。结合历史介绍一些数学中的反例，可以从反面给学生以强烈的震撼，加深他们对相应问题的理解。

四、榜样的激励作用

古希腊数学家阿那克萨戈拉晚年因自己的科学观点触怒权贵而被诬陷入狱面临死刑的威胁，但他在牢房中还在研究化圆为方问题。阿基米德在敌人破城而入、生命处于危急关头的时候仍然沉浸在数学研究之中，他的墓碑上没有文字，只有一个漂亮的几何构图，那是他发现并证明的一条几何定理。17世纪初，鲁道夫穷毕生精力将圆周率π的值计算到小数点后35位，并将其作为自己的墓志铭。大数学家欧拉31岁右眼失明，但他仍以坚韧的毅力保持了数学方面的高度创造力。由于他的论文多而且长，科学院不得不对论文篇幅做出限制，在他去世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。通过介绍数学家在成长过程中遭遇挫折的实例，对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学生学习数学的自信心无疑会产生重要激励的作用。

总之，数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要的意义。

参考文献：

［1］张奠宙.中学数学教材中的“数学文化”内容举例，数学教学，2002.4.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中《数学课程标准》（实验）.人民教育出版社，2004.

［3］李迪.中外数学史教程.福建教育出版社，1993.6.

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随着经济的发展，教育的发展也逐渐进入人们的视野里，因此，教育行业也不断的适应着社会的发展相继进行了一些改革。积极响应新课程改革，数学教学提出了新的教学观点，也即是将数学史应用于数学教育，因为比起知识的学习，培养学生积极的学习态度和多方面多角度考虑解决问题的方法过程，这更为重要。而当数学教育与数学史融为一体后，在实际教学中，就能培养学生这些能力。而这两者相融合的教育教学模式，对它的发展历程和研究展望是目前需要探讨的。

1数学史应用于数学教育的发展历程

中国数学有着悠久的历史，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其源远流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因，16世纪以后中国变为数学入超国，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。因此，在数学史应用于数学教育方面的发展相对而言是落后于外国的。

而国外从18世纪欧拉和拉格朗日，到19世纪的柯西和车比雪夫，最后到20世纪初的龙格，利用计算机软件演示各个阶段多项式逼近函数的过程，这样，有助于提高学生从概念的视觉解释到正式推理能力的转化的能力；而顺着历史的发展脉络来引导课堂教学，也可以带领学生体验数学家的思考过程，促进了学生对于概念的深入理解。美国数学教育家、中国著名数学家华罗庚的导师维纳也很注重在数学课堂上结合数学史，他总是将科学研究中的思想方法和要点原原本本地告诉学生。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔非常重视发挥数学史的作用，他认为学生学习数学是一种“再创造”。著名数学家与数学教育家克莱茵在课堂上告诉初学微积分的学生们：尽管牛顿和莱布尼兹是声名显赫的先辈，但是他们自己也没有透彻地理解微积分的许多概念，数学家们大约经过200年的努力，才把这些概念弄确实。这样一来，即使学生们在开始时不能很好地理解这些概念，也不至于感到迷茫，相反他们将得到鼓舞而树立起继续学下去的信心，这样也体现了数学历史的一部分教育价值。

2数学史应用于数学教育的研究展望

2.1数学史对于数学教育发展的意义

数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。

在数学教育中融入数学史，介绍数学这门学科的起源与发展，在这个过程当中，学生会逐渐了解数学家门在为数学发展做出自己的努力付出艰辛，并会产生对该学科的学习兴趣。而在介绍数学发展史中出现的理论定理等，也让学生更加了解这些传承多年的数学知识的发生与由来，在学习时也有一定的帮助作用。数学史的学习也会让学生在美学方面的修养多了几分认识，数学所体现出来的美是贯穿于生活各个方面的。理论和定义的介绍说明，能培养学生无论是在学习还是其他方面，都保持一种认真、批判以及改进的态度。这些都是数学史融入数学教育的意义，它不仅仅是在数学教学方面起作用，在生活当中更是给予了人们无限的智慧。

2.2对于数学史应用于数学教育的思考

我国著名数学史专家李文林在作数学史与数学教育的录音谈话中说到：我们应从五个角度去挖掘数学史的文化价值，首先，数学为人类提供精密思维的模式；其次，数学是其他科学的工具和语言；其三，数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆；其四，数学是人类思想革命的有力武器；最后，数学是促进艺术发展的文化激素。因而，在今后，将数学史应用于数学教育中，应该将数学文化尽可能地结合数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。

使学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。数学史应用于数学教育，使得学生对数学这一领域有更深入的了解和认识，对数学学习研究当中所有的思想方法以及精神会产生更深入的感悟。学生在数学学习过程中，逐渐知道了真理是需要不断刻苦钻研并且有时候需要换一种思维模式来考虑问题，这会更有利于数学教育的开展。

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关键词：高中数学；数学史；教育

数学史与数学教学相互联系、密不可分。高中数学教学的过程绝不能脱离了数学史，但也不是仅限于数学史的相关知识，而是通过数学史的辅助作用，使学生学会解决数学问题的思路和方法，进而培养应用意识和创新精神。只有真正地将数学史的相关知识渗透到高中数学教学过程中，才能使得数学这一门学科更容易被接受，更有利于激发学生学习数学的兴趣，让学生真正理解数学、热爱数学，将数学史知识有效地渗透到数学教学中更加有利于培养学生正确的世界观、科学观和人生观，这也将数学史所具有的人文理念体现在了数学教学中。数学教学的功能就是培养学生的思维能力，培养学生发现问题、解决问题的能力，归根结底就是为了培养人。如果脱离数学史而仅是数学知识的传授，人类所凝聚的数学历史就很难得以传承，更谈不上能够做到对数学科学的全面了解。数学史作为连接数学知识与学生思维之间的桥梁，在传授给学生数学知识和数学历史的过程中，必然也会给学生以智慧的启迪。

数学是一门基础学科，也是人类文化的重要组成部分。《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出：“高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民的数学素养。”具体来说就是通过高中数学教学，在教学目标上突出三个层次：第一个层次是知识与技能；第二个层次是过程与方法，注重知识的发生发展过程，鼓励学生自主探究，培养学生应用意识和创新精神；第三个层次是情感态度与价值观，培养学生科学的态度和正确的价值观。要实现这些目标，高中数学教学就应该在传授知识的同时，引导学生掌握知识的来龙去脉，领悟数学思想、方法的产生和发展过程，而数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展正是数学史知识研究的内容，因此在高中数学教学中渗透数学史知识就显得尤为重要。

首先，我们可以在高中数学教学过程中有意识地引入一些故事，教师尤其要重视引入故事的真实性，结合所教内容的特点选择有针对性地引入数学史知识，会起到意想不到的效果。比如课本在编写等差数列的前n项和公式时，就以9岁的高斯计算1+2+3+4+…+96+97+98+99+100来引入的，使学生在佩服高斯的同时，主动学习高斯解决问题的方法，让学生在数学史知识的情境中体会数学家分析问题、解决问题的历程，体会数学史学习的真谛。

其次，我们也可以有意识地引入悖论。很多悖论往往含有一些真理性的东西，并且在高中数学课堂教学中让学生接触悖论，更能激起他们的数学学习兴趣，让学生知道数学是在解决矛盾的过程中发展进化的学科。悖论对于数学史的发展具有巨大的推动力。在高中数学课堂教学的初始阶段，通过悖论的引入，让学生有一种在已有知识条件下解决新问题的冲动、深入研究的欲望，从而迅速抓住他们的注意力。比如，在学习集合知识时，就可以将19世纪数学家希尔伯特提出的著名的“理发师悖论”引入教学。

再次，我们要注重高中数学教学中历史名题的引入。历史名题对于历史的发展意义重大，在很大程度上推动了历史的变革，将这些历史名题引入到高中数学教育中具有十分重要的价值。引入历史名题是教师要重点引导学生分析历史上的数学家是怎样解决所遇到的问题的，总结和学习他们所特有的思维方式方法。比如在学习等比数列的前n项和公式时，可以以古印度国王奖励国际象棋发明者的故事引入。

另外，任何人在其一生当中所做的事情都不可能都是完全正确的，总是会出现这样或是那样的错误。即使是伟大的、著名的数学家也是如此。因此在教学中我们可以有意识地引用一些历史上数学家在思考过程中遇到的困难，以及数学家们迂回、曲折的解决问题的过程。有助于学生在关注知识本生的同时，关注知识的形成和发展过程，关注数学家的坚毅品质，这一点正是我们在高中阶段要给予学生的。

最后，高中数学教学中引入数学家的传记也是一个很好的选择。数学教学中引入数学家的传记所起到的主要是一种榜样的作用。传记性材料的引入，可以让高中生认识到追求知识的过程不是一帆风顺的，总会遇到许多的坎坷。通过对数学家传记的了解，使学生掌握学习数学知识的思想方法，在实际教学中加以使用，提高学习质量。

总之，高中数学教学中渗透数学史的内容很多，教师要不断学习相关的数学史知识，学习数学教学中渗透数学史知识的方式方法，适当将数学史料渗透到日常的教学当中。

参考文献：

[1]邓明立，陈雪梅.重视数学史在数学教育中的作用[J].数学通报，2002.

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(一)调查对象

本校中学部十名数学教师及本年级六个班的220名同学，其中119名男生，101名女生．

(二)调查数据分析

教师问卷调查数据分析:

1．你了解数学史吗?非常了解10%，基本了解80%，稍微了解10%．2．你在平常的教学中渗透数学史吗?经常渗透20%，偶尔渗透80%，从不渗透0%．3．你觉得数学史融入课堂教学有必要吗?非常有必要20%，必要70%，没必要10%．4．你认为将数学史融入数学课堂教学这项工作实施最困难的原因是什么?考试不考，课程标准没有明确提出40%，日常教学任务重，教学时间紧张50%，初中生年龄太小，渗透数学史没必要10%，其它0%．学生问卷调查数据分析:1．你了解数学史吗?非常了解0%，基本了解0%，稍微了解63．29%，不了解36．71%．

2．你的老师在平常的教学中渗透数学史吗?天天渗透0%，经常渗透15．94%，偶尔渗透55．90%，从不渗透28．16%．3．你觉得老师将数学史融入课堂教学有必要吗?非常有必要27．27%，有必要60．45%，随便10%，没必要2．28%．4．你认为将数学史融入平常的课堂教学，起到的作用中最重要的是什么?更加激发自己学习数学的兴趣35．27%，加深了对数学概念的理解，更能从本质上了解数学15．60%，拓宽视野，全方位的认知和理解数学20．65%，提高数学文化修养，形成良好的数学素养23．44%，其它5．04%．

(三)由数据总结出的结论

大多数教师，意识到了数学史的有用之处，但是碍于现在一线教师的教学升学压力，无法将数学史在日常的课堂教学中很好地渗透．而学生对数学史引入课堂持积极、欢迎的态度．他们认为这样一来能够增强数学教学的有趣性，改变以往数学教学的呆板、枯燥的状态;二来有助于自己全面了解数学，提高自己的数学文化修养，来增强自己的数学素养．由此可见，我们多数的数学教师，只是把自己定义为一名数学知识的传授者，而没有把自己定位成数学文化的传播者．我们忽略了教育本身的实质，也误解了数学这门课程设置的意义与目的．教育的实质是通过发展人，来发展社会．而数学课程的设置从宏观上来讲也是为了发展人，从微观上讲是为了培养人的思维，发展人的技能与能力．数学史恰好就是一部数学思想方法发展史，它记录了人类在数学方面思维进程的记录，学习数学史，实质就是继承前人优秀的数学思想．美国数学史家M•克莱因说过，“数学是一种理性的精神，正是由于这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使着人类思维得以运用到最完善的程度”．

二、实施过程的三个注意点

1．适合的才是最好的

数学史的引用最忌生搬硬套，脱离实际教学．我们应该学会见缝插针，要将数学史的知识与自己所传授的知识有机结合起来，这样才能起到辅助教学的目的．

2．切勿喧宾夺主，本末倒置数学史的引用，是为了辅助课堂教学，是加餐而非正餐．每节课我们都有教学目标，教学任务．我们不能因为为了渗透数学史，而耽误日常的课堂教学．我们应该把数学史的渗透当成常态化的任务在课堂教学中实施，不急于一次，也不急于一时．

3．多环节渗透很多数学老师误以为，渗透数学史，就是在课堂引入的环节，介绍相关的数学家及故事，如同语文中的作者及写作背景一样，亦或者在涉及到有关解法时，介绍前人的一种思想．数学史应该是通过适当的手段，应用于我们教学中的多个环节．

三、对数学史融入数学课堂教学的展望与设想

将数学史融入初中的课堂教学，这是以后数学教学发展的趋势，也是实施素质教育的体现．数学教育的目的是通过培养使学生养成一定的数学素养，来起到发展人，乃至发展社会的目的．如何将数学史较好的融入我们的课堂教学，我相信这是我们从事数学教学人的责任与义务．在此，我有一些设想与建议．

(1)在以后的教学中，每天给学生欣赏一条关于数学的名人名言，可以是关于数学概念、数学本质、数学方法、数学思想等等的．

(2)每周开辟一节课，讲学生感兴趣的又可以启迪思维的数学史内容，以趣味性、启发性的故事，去感染学生，真实地让学生感受到数学有趣、数学有用．

(3)开展数学文化艺术节，通过学生阅读数学史书籍，或举办数学故事演讲比赛、数学文化知识竞赛等活动，让学生接触到更多的数学文化知识．

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小学数学教师专业发展的目标包括知识、信念、能力等方面，其中，教师的知识可以用美国数学教育家鲍尔提出的MKT理论来刻画。所谓MKT，是Mathematical Knowl-edge for Teaching的简称，指的是“完成数学教学工作所需要的数学知识”，其组成成分如图1所示。

“一般内容知识”是指除教学外，在其他背景下也使用的数学知识和技能；“专门内容知识”是指教学所特有的数学知识和技能；“水平内容知识”是关于整个数学课程中数学主题之间联系的知识；“内容与学生知识”是指对学生的了解和对数学的了解相结合的知识；“内容与教授知识”（对应于范良火的“教学的内容知识”和“教学的方法知识”）是指对如何教授的了解和对数学的了解相结合的知识；“内容与课程知识”（对应于范良火的“教学的课程知识”）是指关于课程大纲、课程标准、教科书、教学材料以及其他教学资源的知识。

近年来，数学史在小学数学教学中的意义日益受到人们的关注，数学史融入小学数学教学的实践探索也日益增加。我们在开发HPM教学案例（即“融入数学史的教学案例”）的过程中，确立了“大学研究人员和小学教师密切合作”的模式，使得小学数学教师在没有受过数学史教育或缺乏数学史材料的情况下，也能走进HPM的世界。本文拟回答以下问题：数学史与小学数学教师的MKT之间有何关系？

二、数学史与MKT

虽然许多一般内容知识是教师在学生时代习得的，但在数学教学中，教师不断会遇到新的一般内容知识，而数学史往往提供了这样的知识，如计算两个正整数乘积的不同方法。图2所示是16世纪盛行于欧洲的“手指算”，而图3则给出了古埃及人计算97～79的方法。

为了解决教学中所遇到的各类“为什么”问题，教师需要拥有丰富的专门内容知识。三角形面积公式和三角形内角和定理属于一般内容知识，但它们的推导或证明方法则属于专门内容知识。这类知识往往源于数学史。如，中国古代数学家用“出入相补”法证明三角形、梯形面积公式，古希腊哲学家泰勒斯通过拼图发现三角形内角和定理。圆周率的近似值为3.14，这属于一般内容知识，但得到该近似值的具体方法则属于专门内容知识，刘徽的割圆术就是其中之一。至于对诸如“为什么未知数用字母x来表示”“小数是很小的数吗”之类的问题，教师只能从数学史中寻找答案。

数学的历史是一面镜子，前人在数学概念理解过程中所遇到的困难和障碍，往往也是今天数学课堂上学生会遇到的困难和障碍。从数学理解的意义上说，了解历史，也就了解了学生。尽管在古代中国，数学家出于解方程组的需要而引入了负数，但在西方，18世纪还有人问：“世界上还有什么小于一无所有？”直到19世纪，还有数学家认为负数是“荒谬的”。负数大小比较问题也完全没有我们想象的那样简单。历史上，笛卡儿、牛顿、欧拉、波尔查诺、阿贝尔等数学家都有不同于今天的理解，他们的观点都可以归结为“数轴上离原点越远的数越大”或“绝对值越大，数越大”。据此有-4>-1。关于负数及其序关系的认识论障碍提示我们：学生在学习负数概念时必会遭遇困惑或出现错误。数学史丰富、深化了内容与学生知识。

历史上，一个概念、公式、定理、法则甚至一个数学分支学科的产生都有其内在或外在的动因，也都有演进的过程。这种动因和过程为教师“怎么教”有关知识点提供了参照。例如，分数有分割分数和度量分数两类。究竟如何引入分数概念？分数的历史告诉我们，人类首先是在物品分割的情境中认识和运用分数的，因此，分割分数是理所当然的教学选择。

数学史是一座宝藏，其中含有取之不尽、用之不竭的教学素材和思想养料，因而是数学教师的重要教学资源。针对某一个特定的知识点，教师关于相关数学史素材的知识是内容与课程知识不可或缺的一部分。另一方面，数学史知识也有助于教师对小学数学知识体系的理解。例如，关于教科书中“小数和分数孰先孰后”的争论，需要参照数学史加以研究。

三、HPM教学案例分析

1.角的初步认识。在数学史上，“角”是一个具有多重属性、争议很多、很难刻画清楚的几何概念。古希腊哲学家泰勒斯曾将“相等的角”称为“相似的角”。后来，亚里士多德将“角”视为“弯曲的线构成的图形”，并且也将两个相等的角称为“相似的角”。可见，早期哲学家是从“形”的角度去看待“角”的，即赋予“角”以“质”的属性。

在《几何原本》中，欧几里得从两线之间位置关系的角度去刻画“角”：“角是平面上相遇且不在同一直线上的两条线彼此之间的倾斜度”。另一方面，欧几里得分别将“直角”“锐角”“钝角”定义为：

若一直线与另一直线构成的两个相邻的角相等，则称这两个角为直角；

钝角是大于直角的角；

锐角是小于直角的角。

用“等于”“大于”和“小于”来比较两个角，欧几里得又赋予“角”以“量”的属性。而徐光启在翻译《几何原本》时创用“直角”“钝角”“锐角”三个名称，又赋予角以“|”的属性。普罗克拉斯认为，必须同时从质、量和关系三个方面来定义角，因为单独采用某一个方面，都未能完善地刻画该概念。

在二年级教学案例“角的初步认识”中，教师借鉴角概念的发展历史，按照从“质”到“量”再到“关系”的顺序展开教学（如图5）。首先，让学生列举生活中的角的实例，并描述什么是角。学生提到“尖尖的”“像屋顶一样”“像L一样”，等等，他们显然都是从“质”的角度来认识“角”。接下来引入情境：“鸟妈妈对鸟宝宝们说，谁的嘴巴张得大，就把小虫喂给谁吃。”让学生判断，图中哪一只鸟宝宝能吃到小虫。在学生说出鸟宝宝嘴巴大小顺序之后，教师让他们说出角的大小比较方法，从而引导学生从“量”的角度来认识角。接着，让学生对不同大小的角进行分类，并探讨：为什么小于直角的角称为“锐角”，大于直角的角称为“钝角”？学生从“质”的角度，用“锐利”“迟钝”“扎人疼”“扎人不疼”等来解释。在练习之后，教师通过将不同的角的顶点和一边重合，引导学生发现，角可以通过将一边旋转得到，从而让学生从“关系”（即两条边之间的位置关系）的角度来认识角。

HPM视角下的“角的认识”的教学，让学生经历了角概念的产生和发展过程，在课堂上获得探究机会，感受成功的喜悦；当教师总结，学生比较角的大小的方法、关于锐角和钝角的解释，都与历史上数学家的想法相似，这大大增强了学生的自信心，让他们感受到自己也是小数学家。

本案例中，角概念的历史为教学设计提供了参照，是教师在HPM教学设计与实施过程中所学到的内容与教学知识；同时，对于角的三重属性（质、量、关系）的认识，使教师关于角的一般内容知识得到了扩充与完善。数学教育研究表明，学生对于角的认识具有一定的历史相似性，古人在对角的认识方式以及认识过程中所遭遇的困难（角的多重属性、特殊角（零角和平角））会再现于今日的数学课堂中，因而角的历史对教师而言是一种内容与学生知识。在教师接触HPM之前，并未思考过“锐角”“钝角”的辞源问题，角概念的历史为教师弥补了专门内容知识。此外，以角的历史为参照，教师开始审视课本上的内容，拓展了自己的内容与课程知识。

2.一位数与二位数的乘法。历史上，求两个正整数乘积的算法很多。1430年左右，在意；kN的一份数学手稿中，出现了一种名为“格子算”的乘法。图6是世界上第一部印刷出版的算术教科书《特雷维索算术》（1478年）中的格子算。

在三年级教学案例“一位数乘二位数”中，教师通过实际情境，引入32×5，让学生独立给出自己的算法；在学生给出各种各样的算法之后，教师引入图7所示的格子算，让学生加以解释，并与竖式算法进行比较。在课堂小结部分，教师让学生思考：为什么格子算现在不用了？

格子算的引入促进了学生对乘法算理的理解，也开阔了他们的视野，感悟到自己的解法只是很多解法中的一种。在古今方法的对比中，学生体会到现代竖式算法的优点，但也有许多学生更喜欢格子算。对于“为什么现在不用格子算”这一问题，有学生给出的解释是：“格子算传着传着就失传了”，不知不觉中，学生对于数学知识已经有了历史感，这种历史感让他们更加亲近数学。

在本案例中，格子算拓宽了教师关于乘法的一般内容知识。对于格子算背后的算理、格子算与竖式算法之间联系的认识，丰富了教关于乘法的专门内容知识。在教学设计过程中，教师在大学合作者的指导下，查阅有关乘法的历史文献，丰富了自己的内容与课程知识。

3.圆的面积。历史上，古希腊数学家阿基米得（Archimedes，公元前287-前212）最早给出圆面积的准确公式：圆面积等于一条直角边长为圆半径、另一条直角边长为圆周长的直角三角形面积。这里，阿基米得将圆“转化”为更简单的三角形，从而得出了圆面积公式。

虽然阿基米得最终借助穷竭法来证明关于圆面积的命题，但他一开始是如何将圆和三角形建立联系的呢？从微积分的角度看，圆面积的不同解决方法取决于“微元”的不同选择，如图8所示。

阿基米得可能使用了第一种方案。如图9，想象圆由一些长短不同的细绳围成，将圆“剪开”，并将各绳“拉直”，一端对齐，得到一个直角三角形，其长直角边等于圆的周长，短直角边等于圆的半径。

17世纪德国数学家开普勒（J.Kepler，1571-1630）则选择第二种方案建立起圆与三角形之间的联系：将圆分割成无数个顶点在圆心、高为半径的小“三角形”（实为小扇形，但将圆分得越细，小扇形越接近三角形）。将这些小“三角形”都转变成等底等高的三角形，最后，它们构成了一个直角三角形，如图10所示。

在六年级教学案例“圆的面积”中，教师讲述开普勒求圆面积和酒桶体积的故事，并采用开普勒的方法来推导圆面积公式：先让学生回顾“等底等高的三角形面积相等”的事实；再作圆内接正十二边形，利用几何画板（PPT展示），依次对其中的12个小三角形进行等积变换，从而将其变成等积的直角三角形；然后作正二十四边形、四十八边形、九十六边形，相应得到等积的直角三角形，让学生直观感受并猜想这些直角三角形与圆面积之间的关系。

开普勒求圆面积的方法引起学生浓厚的兴趣，而开普勒的故事则让学生感受到数学背后的人文精神。

在本案例中，开普勒的方法拓展了教师的专门内容知识和内容与教学知识；同时，该方法建立了圆面积公式和三角形面积公式之间的联系，丰富了教师的水平内容知识。

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关键词：数学史；数学教育；意义

数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，展现数学问题的提出、解决与发展，展示数学的美，激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神，揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，都具有重要意义.在进行数学教学时有必要引导学生了解定理、原理诞生的时代背景、艰难历程，以及科学家为此付出的心血和汗水，再去学习和品味定理的内涵，感受会大不一样.他们从中不仅能悟出一些闪光的东西，而且还会激励他们更加自觉地掌握前人经过奋斗而得来的知识.

一、数学史在数学教育中的地位

现代数学的体系犹如“茂密繁盛的森林” ，使人“站在外面窥不见它的全貌，深入内部又可能陷身迷津” ，数学史的作用就是指引方向的“路标”，给人以启迪和明鉴. 不了解数学史就不可能全面的了解数学.欧阳绛指出 ：“数学史，也就是数学的脉络.只有掌握了数学的脉络，才能从实质上把握数学；只有从实质上把握数学，才能教好数学.”这充分说明了数学史对数学教师及教学的重要性.英国哲学家培根说过：“历史使人明智” ，“数学使人周密”，这也充分说明了数学史对学生及学习数学的重要性.

二、数学史的学习有助于学生理解掌握抽象的数学知识

数学给人的感觉就是抽象不易理解，枯燥乏味，这就给数学教学带来了困难，主要分为两类：一是抽象概念难以让学生理解从而为推理带来困难，二是数学概念的深奥使学生难以把握本质.为此我们教育时需要理论联系实际，具体与抽象相结合的教育原则.通过大量的数学史实例来引导学生领悟概念的内涵.通过恰当运用数学史，可以使教学不只局限于现成知识的静态结论，还可以追溯到它的来源和动态演变；不只局限于知识本身，还可以揭示出其中的科学思想和科学方法，使学生终身受益.这样就可以达到逻辑和历史的辩证统一，化抽象为具体.

三、数学史的学习有助于增强学生学习数学的兴趣

兴趣指一个人对学习的一种积极的认识倾向与情绪状态.当一个人对某一事物或活动表现出感兴趣时，则它的内心活动处于最活跃状态这是大脑的学习细胞处于高度兴奋状态而无关的细胞处于高度抑制状态，只是学习效率最高，情况最佳！因为初高中学生的心理仍处于幼稚、不成熟的阶段，他们对故事的兴趣往往会大于对知识的兴趣，恰当的运用数学史的知识，会让他们的大脑处于兴奋的状态，提高兴趣，在不知不觉中吸收到有用的知识.但一定要注意例子应恰当、适当.例如，在讲等差数列时，可以介绍大数学家高斯在数学领域、物理学领域、天文学领域所做的贡献，重点要讲的是高斯少年时用巧妙算法做的一道数学题：

高斯解题的故事激发了学生的学习兴趣，解题技巧启发了他们的思维，在启发中推导出了等差数列前 项和的公式 ， 在活跃的课堂气氛中表现出学生学习的积极性.在讲二项式定理时，可以介绍我国古代数学家杨辉以及他对二项展开式系数变化规律的发现，学生利用这个规律可以写出 ，当 的每一个二项展开式，为学项式定理创造了条件.提高学生们的积极性，增进课堂的活跃气氛，达到理想的教学效果.在讲极限概念时，可以引入我国古代数学家刘徽的圆内接多边形，当正多边形的边数 时，正多边形的面积趋近于圆的面积.这种思想启发了学生对极限概念理解，使一个极为抽象的数学概念具体化了，同时学生对极限这个概念产生了兴趣，为学习极限定义打下了基础.

四、数学教师掌握数学史知识势在必行

每一理论的发展都离不开数学家辛勤的奋斗历程.数学史中有许多科学家刻苦研究、严谨治学、勇于克服困难、坚持真理的事例。提高数学教育的质量，教师不仅要有足够深、广的知识，还要对数学的产生、发展的历史背景有全局性的了解和把握，对数学内容本质的内在联系有一定的认识.事实上，数学概念的原型，数学方法的背景都是教师备课时必须优先考虑的问题.在数学教学中，这样就使学生清楚地理解了“负数”引入的必要性与合理性.对于一个有志于做合格数学教师的人来说，理应认真学习数学史、数学哲学、数学方法论等多方面的知识.在高等师范院校数学专业开设数学史课程，丰富准教师的数学史知识对推进素质教育具有十分重要的意义.

五、结语

总之，数学是人类文化的重要组成部分，它绝不是简单的年代史实的罗列，它是人类智慧的演变和发展的过程是从愚昧走向文明，从粗浅走向智慧，是生动充满激情的过程.我们在进行数学教育时就不仅要反映数学的这些生动的历史发展过程，还要突出数学对人类社会巨大的发展作用，数学的社会需求和数学的严谨的思想体系，以及数学家的不怕艰辛奋发向上矢志不渝等等的可贵的数学精神.努力推行数学、数学史和数学教育以及素质教育的结合，使学生在领略数学精髓的同时，激发他们的兴趣，培养他们的爱国精神，发挥他们的创造精神和启发他们的认知发展，促进学生的理解和对数学价值的认识，构筑教师与学生的思想桥梁！

参考文献：

[1] 杜福昌. 数学教育的理论与实践[M] 大连：海事大学出版社，1995

[2] 尹斌庸等.古今数学趣话[M].成都：四川科学技术出版社. 1985

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在科技发展日新月异的今天，教育的重要性越发凸显。时代前进的步伐要求我们不断完善自己、与时俱进、培养创新思维。实现这一目标的主要途径就是不断提高我们的课程质量，使之适合国家发展趋势和时代要求。因此，《小学教育课程标准》要求不同学科之间内容要相互联系，将多样化的教学手段运用于数学教育当中。

从数学历史发展来看，数学与生活密不可分。最初，为了解决社会、经济需求和年龄等问题，人们发明了数学。数学最先出现在几大古代文明发源地，如古中国、古印度、古埃及、古罗马、古希腊及古巴比伦。在早期文明中，许多解决方法都是经验性的，而经过后人的不断演绎、推理、总结，才有了如今许许多多理论性的成果。数学发展的历史告诉人们，她与社会、经济环境是密不可分的。在她的每个发展阶段，都会迸发出新的思想和观念，并且与当时的主流意识形态和现实需求相契合。而在科学技术高度发展的今天，数学渗透到了生活的方方面面，我们用数学知识去解决许许多多的实际问题，我们的生活和社会离不开数学。不论是进行抵押贷款、购买养老金、房屋和桥梁的建设，还是太空轨道运行、互联网跨国通讯，我们都离不开数学的应用。100多年以前，Hieronymus George Zeuthen曾写过一本关于数学史的书。当然这并不是第一本记载数学历史的书籍。但是这本书与众不同之处在于它是专门写给教师的一本读物。Zeuthen认为数学史是数学教育中的必不可少部分。例如，数学史的学习改变了老师和学生长期以来的错误观念---数学真理和研究方法不是完美无缺，不可撼动的。一些著名数学家的传记和传奇经历一直激励的许多数学爱好者不断前进。将数学史融入数学教学中，对于数学教育来说是一项新的研究和探索，对于数学老师和学生来说亦是一项挑战。老师的知识水平以及对数学的认知对其教学水平和教学成果有着极大的影响。这就意味着老师要不断学习以拓展自己的专业知识和提高教学技能。教师能从众多数学史料找出那些与课程内容息息相关，更有益于课堂教学的史实并巧妙利用，而摈弃那些只能在理论研究中发挥作用而没有任何实际效用的史实。换句话说，我们所关注的应该是如何将数学史与数学教育巧妙的结合在一起：什么样的历史事件或数学问题适合引入课堂教学？如何引入？如何将数学史引入教师培训中？以时间问题为例，有些老师可能会问这样问："课程安排如此紧张，我哪有时间去向学生讲授数学历史呢？"我们无需为它特别安排额外的时间，只要直接给出与你讲授内容相关的历史问题即可，告诉学生这个问题发现于何时、它的背景和发展，这样便能引导学生自觉的查阅相关资料，了解数学历史，更加透彻的学习相关教学内容。

将数学史融入数学教学中能够帮助学生树立一种观念---数学不是一项固定不变的知识系统，而是一个不断发展变化的过程，并且与其他科学体系紧密相联。数学史的学习使学生认识到在数学研究过程中一定会出现---错误、怀疑、直觉、争论、一题多解等现象，而这些都是数学研究中必不可少的组成部分。将数学史融入课堂能够提高学生理解力和解决问题的技巧，帮助学生建立各种数学问题之间的联系、加强数学与其他学科之间的关联性。我们在研究数学对世界发展中所发挥的重要作用时，就会很自然的将数学与社会、经济通讯等方面联系起来。 Mariolein Kool （2003）曾说随着数学科学的发展与进步，历史上许多著名的数学问题，会有多种不同的解决方法，已不仅仅局限于"标准答案"。因此，我们何不将这些"经典"引入课堂？在荷兰一所圣迈克尔小学曾经做过这样的实验，让20个年龄11-12 岁的学生对于3个经典问题进行研究解答并组织课堂讨论。而这个经典问题就来自于我们的就教科书中。让我们欣喜的是，学生可以利用这次机会用自己的方式去研究问题，创建自己解决问题的独特方法。随后，在老师组织课堂交流会中，将自己的成果与其他人充分比较和积极讨论。在讨论中，我们发现其中有一个孩子的方法与历史上的标准答案重合，而其他孩子的方法或新或旧，有些很冗长繁琐，而有些则十分简洁巧妙。在创造性教学中，即使经典问题，我们也会拓展出许多不同的解决方案。以达到培养学生创造性思维，提高独立解决问题的能力，激发学生的学习兴趣的目的。

当然，将数学史与数学教学巧妙结合并恰当的运用也不易。著名数学家、教育家Fauvel认为我们不仅仅要让学生了解历史上各个数学家所作出的贡献以及如何将历史与现在巧妙融合。他强调将数学史运用于数学教育中不是一项简单的任务，我们不能把它看成是一种添加剂，在适当的时候随意加进去就可以了，不能像我们洗衣服时往洗衣机里面加衣物护理剂一样。数学史在数学教学中的运用能使学生们具体深刻的感受数学的发展历程，使其认识到数学是不断发展前进的，而学生们自己也是一分子参与其中，为其发展做出贡献。因此对于我们的学生来说，了解数学史，熟知哪种文化、哪些人曾对数学发展做出何种贡献有非凡的意义。

希望通过这项研究，老师们能意识到数学史在创造性教学中的重要性。将数学史融合在教学中可提高课堂趣味性，激发学生的创造力，从而提高学生学习效果。通过将数学史与教学内容有效结合起来，充分提高学生课堂注意力。如果教师能将一些数学定理的产生背景，在生活中的广泛应用以及其科学家的有趣故事引入教学中，那么我们的数学课堂将更加的丰富多彩，趣味横生。

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摘要：三角函数是三角学的重要组成部分，是刻画周期现象的一种非常重要的模型，是高中数学教学中很重要的一类函数。对学生而言，由于这部分知识很少有实际背景支持，完全在抽象的数学符号层面展开，使得许多学生感到枯燥，难理解，缺乏学习动力，而且学生学习之后存在着对三角函数的本质不理解，不明白为什么要学这些知识等问题，而解决这些问题就需要从三角函数的发生发展中去寻找答案。本论文选择了高中北师大版必修4，三角函数章节中重要的2个部分：弧度制和正弦函数的定义。是在许多人研究的基础上，首先是对弧度制的教学进行了综述的概括，继而开始对正弦函数的定义进行教学设计。

关键词：数学史;三角函数;教学设计

一、研究背景

国家教育部制订的《普通高中数学课程标准》的基本理念之一就是在高中数学课程中体现数学的文化价值，在适当的内容中提出对数学文化的学习要求，并明确规定数学史选讲纳入高中数学课程，但有关三角函数的历史却没有在课程中体现。现在数学史融入数学教学中的研究理论很强，但实际的具体操作方法很少，所以有很多数学史与数学教育的研究者提议要多研究一些关于数学史融入数学教学中的具体的案例。目前针对三角函数部分进行研究的人较少，主要查到了几篇关于数学史视角下的弧度制教学的论文，而且对正弦函数单独研究的人更少，这是由于正弦函数的历史比较零散，内容庞杂，研究时无法整段整段的研究。本文在前人研究的基础上，写了一份将数学史与弧度制教学结合的教学案例，继而通过设计正弦函数的模型来研究如何对正余弦函数的定义进行教学。

二、数学史视角下的弧度制教学

（一）关于数学史视角下弧度制教学的论述

课本中关于角的弧度制教学是通过测量同样的圆心角所对的弧长与半径，发现同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。但相当多的高一学生感觉弧度很“糊涂”， 为了解决这个问题，研究数学历史上弧度制的产生及发展历程，发现其产生及发展的必要性，从数学史中找到答案则显得尤为重要。根据相关的论文，本人查到的几篇基于数学史的弧度制的教学，对弧度制教学引入数学史必要性提出以下证据：

1.很多人对弧度制概，念产生的动机缺乏正确的理解。有人认为在角度制里，三角函数是以角为自变量的函数，对研究三角函数的性质带来不便，引入弧度制后，便能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，从而将三角函数定义在实数集或其子集上。事实上，无论是角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系。只不过在建立一一对应时，弧度制为十进制，不需要换算，方便;在角度制里，若将 n°的角对应实数 n 也能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，但是需要做 60进制的换算（例如 30°15′的角对应实数 30.25），不方便。但是使用的方便与否不足以说明弧度制产生的动机。

2.有人认为由弧长公式可得lr=nπ180，因此 l与 r 的比值只与圆心角的大小有关，而与所取的半径大小无关，因而把 l 与 r 的比值作为对应的圆心角的弧度数。当 l=r 时，比值为 1，所以把等于半径长的圆弧所对的圆心角作为 1 弧度的角。这样对学生讲也缺乏说服力，因为能够确定圆心角的大小而与所取的与半径大小无关的量有很多，如为什么不把等于半径长的弦所对的圆心角作为 1 弧度的角？

（二）教学过程设计

1. 历史链接：将圆分为360度源于数学史。360这个数实际上与圆的任何基本性质之间并没有任何关系。美索不达米亚的苏美尔人使用了六十进制，他们之所以选择这种位值制，可能是因为30，60，360这样的数能被许多数整除，巴比伦人和埃及人沿用了这种制度，将圆分为360等份，每一份所对的圆心角叫做 1 度，1度有60分，1分有60秒。埃及人还创用了度数的符号。

2 .弧度制产生的基础

随着对圆周运动的研究，对角的认识，角的单位发生了很大的变化和发展，且出现了很多的优势。最初，在平面几何里，我们把圆周分成 360 等份，每一份叫做 1 度的弧，把1 度的弧再细分就得到分和秒。1 度的弧所对的圆心角叫做 1 度的角。也就是说度、分、秒最初是度量圆弧这样的曲线的长度单位，在圆弧与圆心角之间建立一一对应后，度、分、秒便成了度量角的单位。 n°的角对应实数 n 也能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，但是需要做 60进制的换算。如下图：

六十进制的角度制十进制的角度制角度对应实数弧长表示

3030′30.530.530.5

我们可以看出当时的人们已经发现圆中角与弧长之间的一一对应关系。

这种方法是把圆周长的1360作为单位长度（长度单位不是我们学过的统一的国际长度单位，而是根据具体的实际情况取圆周长的1360）来测量弧长，此时的整个圆的长度为360，那么很显然我们可以求出半径为3602π，此时半径为无理数，不方便计算。印度数学家阿耶波多根据这种方法制作了正弦表时，就取π=3.14159，按 60 进制，整个圆周长是 360 度=21600 分。如果半径也用弧长的“分”作单位，由上式可推得 r=3437.746 分，略去小数部分，取半径为 3438 分。我们可以看到此时的计算数字非常的大，求角所对的弦或者弧的时候计算量很大。 在这可以举一个例子：倘若我们知道半径为3米，那么你能计算出30.50所对的弧长吗？根据扇形相似，对应边成比例我们可以得出设所对的弧长为x，则34383=30.5*60x，可得x=1.597。（给出合理解释：我们知道圆的大小形状可以由半径来确定，那么在确定了半径为3602π后，我们就可以得出圆的周长为360，而且存在着对于任意角α0有唯一的弧长为α的弧与之对应）。

3.弧度制的产生

经历千年之久后，1748 年欧拉主张用半径为单位来量弧长。设半径等于 1，那么整个圆周的长就是2π个半径，半圆周的长就是π个半径。此时是将圆周长划分为2π个单位长度，同样的圆心角360°也分为2π个单位长度，得到角的弧度制的表示方法。即如下：

角度制3601809057.296

弧度制2πππ21

这就是现代的弧度制。

根据北师大版高中课本弧度制的定义如下：在定义 1 度角的时候，先把圆周长分成 360 份，每一份弧所对的圆心角就是 1 度的角。类似地，在定义 1 弧度角时，以半径为单位，把圆周分成 2π 份，每一份弧所对的圆心角就是 1 弧度的角。这时，每一份的弧长就是半径长。因此，也有定义把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

角的角度制与弧度制的比较：两种角的单位在处理角度与弧长时都是一一对应的关系。利用角度制时，角度为α度的角所对的弧长为α. 利用弧度制，角度为αrad的角所对的弧长为α。可以发现根据扇形相似，对应边成比例可以得到通过这两种方法在已知弧所对的圆心角α，半径时，可以求出弧的长度。同样的在已知弧和弧所对的圆心角时，可以求出这个圆的半径，即这两种方法都揭示了对于任意圆心角α，其所对应的lr的比值是一定的。另外第一种方法是选择了半径为3602π，圆周长为360的圆作为单位圆来表示这种关系，而第二种方法是选择了半径为1，圆周长为2π的圆做为单位圆来表示这种关系。都是采用了单位圆直观形象的表示这种关系。 但相比较第一种，第二种的计算方便，所以在以后的学习中，我们一般都会用弧度制来表示角。

4. 角度与弧度的互化

因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360，所以

360=2πrad，180=πrad，1=π180rad

1rad=（180π）≈57.30=5718′

n=nπ180rad，nrad=（180nπ）

（角的角度制与弧度制间的转换公式3602π=角的度数角的弧度数，乃是基于一整圆得到的。也可以使用基于半周所得到的等价公式：180π=角的度数角的弧度数。）

三、数学史视角下的正弦函数教学

（一）关于正余弦函数教学的论述

高中数学北师大版必修四该章节是在初中学习的基础上，通过在单位圆中将锐角α的正弦函数坐标化得到锐角α的正弦函数值与余弦函数值的定义，继而将其推广到任意角α的正弦函数值，余弦函数值。最后是利用终边定义法的原理解释角α的正弦值是唯一确定的，与角α终边上点的选取无关。在教学过程中学生会很困惑：为什么要在角、该角与单位圆的交点两者之间定义这样的函数关系，感觉到莫名其妙。在以后的学习中会很容易得产生厌烦心理。

（二）正余弦函数教学过程设计（问题引导）

1.复习引入，揭示课题

在初中，我们学习了锐角的正弦函数和余弦函数，大家回忆一下，它是如何定义的？

在直角三角形中，锐角α的正弦函数为sinα=对边斜边，余弦函数为cosα=邻边斜边 即对每一个给定的（0，π2）内的角就可以得到一个正弦函数值（若以后不做说明，角的单位均为弧度）。

但初中所学的三角函数定义并不是三角函数的原始定义。在古代，数学家们在研究三角函数时，并不是以直角三角形为基础的，而是在圆中来研究的。

2.构建模型

本章第一节中我们了解了现实生活中存在着大量的周期现象。它的变化规律用什么数学模型来刻画呢？首先我们需要将圆周运动数学化，即转化为数学问题来解决。

研究圆周运动呢，即研究当物体沿圆形路径运动时，如何来确定某一刻它所在的位置，即倘若知道了任意时刻它的位置，那么我们就可以将其路径确定下来，它的变化规律也就可以研究了。

寻找圆周运动的函数模型，就是当点P 绕圆周运动时，如何来刻画点P 的位置。我们知道任意角是一条射线绕端点O旋转形成的，在角的变化过程中，角的终边上的点都绕点O 作圆周运动。因此，为了研究问题的方便，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以 1 为半径作一个圆，这个圆我们称作单位圆。把点P 看做角 的终边与单位圆的交点，点P 坐标为（x，y）。

3.析出函数

问题 1：随着角α的变化，角α的终边与单位圆交点 P 的坐标也变化，那么角α与点P（x，y）之间有怎样的关系呢？（一一对应的关系）

问题 2：“说一说”什么叫点P 确定？角α 与它的终边OP 谁确定谁？

角α――终边OP ――点P（x，y）

①任意角 ――唯一的数x②任意角 ――唯一的数 y

问题 3：大家还记得函数的定义吗？任意角和它终边上的点P 满足函数的条件吗？

任意角α分别于点P 的横纵坐标满足函数关系

问题4：上面两个函数刻画了圆周运动中点的变化规律，那我们给他们取什么名字呢？请同学们能给任意角的三角函数下个定义吗？

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x，y），那么：①y叫做α的正弦，记作sinα，即 sinα= y;②x叫做α的余弦，记作cosα即cosα=x。

正弦、余弦都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

4.函数规范化

（1），我们知道sinα=y，cosα=x。通常我们用x表示自变量，y表示函数值，那么任意角的三角函数该如何表示？

正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx

（2），我们知道我们函数中的变量x，y是变化的数，我们讲到x表示角的大小，那么x可以表示实数吗？

通过前一节角的弧度制的学习，我们知道弧度把角度单位与弧度单位统一起来，角的大小可以用角在单位圆中所对的弧长表示。所以x可以看做是角的弧度制表示的。这样三角函数就成为x为实数，y也为实数的函数，是数与数的对应关系。以后若不做特殊说明，角的单位均为弧度制。

5.补充正弦函数的历史，介绍数学家欧拉

目前所学的正弦函数的定义，并不是数学家们最初研究的成果。最初正弦函数的研究是从弧到弦长，后发展为角到弦长，再到比值的表示，这个过程历经了 20个世纪。

在古希腊时期，由希腊数学家托勒密制作出第一张有记载的正弦表，但那时的正弦值和现在的正弦值有所不同。在希腊时期也没有函数的概念，科学家为了研究天文学，从而产生了三角学，正弦函数只是三角学的一部分。随着历史的发展，三角学也逐渐丰富起来。和我们现在意义相同的正弦函数概念出现在18世纪，由瑞士著名的数学家和物理学家欧拉提出。

1748年欧拉在《无穷小分析论》中说：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。欧拉给出了包括正弦函数在内的六个函数的定义。欧拉提出的三角函数定义，使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为一门反映现实世界中某些运动和变化、具有现代数学特征的学科。欧拉不仅用直角坐标来定义三角函数，他还令圆的半径等于1，定义了单位圆，以相应线段与半径的比值定义三角函数，这样使得三角函数的定义更为简单。并引入了弧度制，从而使三角公式和计算大为简化。

参考文献：

[1]严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学必修4[M].北京：北京师范大学出版社，2010.9-16

[2]杜雨珊.三角学历史研究[D].辽宁：辽宁师范大学科学技术史，2009.

[3]徐章韬.基于数学史的弧度制概念的教学设计[J].课堂链接，2008（12）：41-42

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【关键词】初中数学；数学概率；学科发展

长期以来，数学学科在教学过程中的“缺人”现象一直存在.所谓的“缺人”现象就是对人文素养的缺失与忽视.而实际上，教学过程中适当的融入数学史的做法便是很好的人文渗透.以人文渗透的方式丰富数学学习的内容与形式，可以让学生喜欢数学、会学数学、进而学好数学.从数学史的内容分布来看，在数学教育中渗透数学史的元素可以从以下几个方面入手.

一、数学史之数学概念的发生、发展过程

数学概念是数学中最基本的元素之一，对数学概念的历史挖掘可以更好的让学生对概念的本质产生直观印象，从源头帮助学生学好知识，学透知识.正数与负数的历史发展正数与负数的产生是人类思维进化的大飞跃.在原始时期，人们没有数的概念，在计数的时候往往使用手指计数，当手指数量不够用的时候，人们就会借助结绳、棍棒、石子的方式计数.随着社会的发展，尤其是经济的发展.对计数的要求就逐渐变高，于是就有了自然数的概念，分数的产生.而在生活中则有了比0度还低的温度……这些情景的出现就要求人类开始考虑数字的正反，多少两个层面的含义，于是就诞生了负数的概念.这种正负数产生的过程就可以让学生真切的感知负数诞生的历史背景和社会生态，有利于学生将正负数的知识迁移运用到生活当中.

二、数学史之定理的发现与证明过程

传统课堂中对定理的证明和介绍往往是将证明过程进行展示，学生对定理的来历和证明过程的原始记载并无掌握，不能很好的形成对所学知识的深刻印象.将定理证明的来源及其在不同国家的历史发展介绍给学生将有助于深化对定理的理解，学习伟大数学家对待证明的方法，并感悟数学思想的魅力.勾股定理的证明在中国，勾股定理的证明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算经》的开头就有关于勾股定理的相关内容；而在西方有文字记载的最早给出勾股定理证明的则是毕达哥拉斯.相传是毕达哥拉斯在朋友家做客时，无意中看到朋友家地板的形状，于是便在大脑中出现了一系列的假设和猜想，并随后给予了论证.当毕达哥拉斯证明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是杀牛百头以示祝贺.现在，数学家已经从不同的角度对勾股定理进行了证明，证明方法多达几十种.

三、数学史之数学历史中较为有名的难题解析

在数学的发展史中，有一些流传下来的被后人津津乐道的数学难题，这些题目的解答中往往蕴含着丰富的数学解题思想和独特的思维方式，同时也可以让学生感受到数学问题的奥秘并从中获得启示.哥尼斯堡七桥问题在18世纪的时候，有一个小城角哥尼斯堡，城中有一条河，河上坐落着七座桥，这七座桥将河中间的两个小岛与岸边相连.在那里生活的居民就提出了一个问题，如何在既不重复，也不落下的情况下走遍七座桥，并在最后回到出发点？这个问题困扰了大家很久，但始终都没有得到解决.直到一位名叫欧拉的数学家通过将问题简化和抽象最终得出了问题的解决办法.这就是后人常提到的“一笔画”问题.

四、数学史之数学家的故事

数学家的故事往往蕴含了丰富的人生哲理，不仅教会学生如何对待工作，对待生活，对待工作中的每个细节，还在侧面影响了学生从事数学工作的意愿.教师可以在教学之余穿插介绍一些中外数学家的故事，重点介绍其对待数学事业的态度以及在工作上优良的品质，以鼓励所有学生在数学学习过程中不断的学习数学家的品质与风貌.高斯的故事高斯十岁上学时老师给所有同学出了个题目：将1－100的数字全部写出来并把它们相加.老师原本想让孩子们多算一会儿好让自己休息，其他很多同学也开始用石板逐一计算.但是高斯却很快就将答案摆在了老师的面前.老师自然对高斯的表现异常吃惊，尤其是高斯的答案是正确的.而当高斯解释解题过程的时候，连老师都没有想到将数字串进行首尾相加的方法却从一个十岁儿童的笔下得出.这不得不让人对这个孩子的聪颖大加赞赏和敬佩.

五、数学史之中国古代的数学成就

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一、让学生习得具有普遍意义的思维方式

什么是数学的灵魂？那就是学科当有的一种独立的思维方式，即数学思维.数学思维的培养为什么离不开专业史的教育？探讨其理论根源，和所谓的“生物遗传定律”息息相关.也就是说，在数学学习过程中，学生对某一知识的认知过程和该知识的历史发展过程存在相似性.

在数学教学中，我们要求学生掌握数学概念、数学命题以及数学理论，期间贯穿以数学史教育，为的就是让孩子们了解这些内容的来龙去脉，通过揭示数学思想从孕育、发生、发展、飞跃到转换为科学理论的全过程，从中便可提取带有普遍思维意义的认识论和方法论.

在数学的发展变化过程中，无论是概念的形成，还是重大理论的创立，如果全面综合地来看待，我们可以归结为一种对立统一的唯物辩证法思想.数学概念的形成是从“多”与“少”的比较开始，继而出现了“大”与“小”、“整”与“分”，相应就有了“加”与“减”、“乘”与“除”，随之产生了“正”和“负”、“有理”与“无理”；研究了“形”之后，便有了“直”与“曲”、“凹”与“凸”，以至发展到“常量”与“变量”、“微分”与“积分”等等都是一系列互相矛盾的数学状态.数学正是在这样相互转化、融合、统一的螺旋状循环往复的过程中向前发展.再如史料“科学家如何测算地球年龄”的教学中，应该让学生切身体会要认识和改造客观世界，数学和数学思维便是必须的工具之一.故而，对数学思维的规律有全局性地分析归纳，对其在此基础之上建立其一种独立的、具有普遍意义的思维认知方式，是数学史教育的最大价值之一.

二、发掘人格养成的精神力量

数学史料故事在中学课堂里面，绝不仅仅起到激发学生兴趣的作用，更大程度上需要我们从中挖掘出史料本身的文化价值和人文精神，对学生进行一种思想上、人格上的启迪，发挥专业史本身的人文内涵.

洪万生先在其随笔中就提到了阿基米德的故事.这位古希腊著名的数学家、物理学家，在叙拉古城被罗马人攻破之时，还浑然不觉地钻研着一道几何题目，结果不幸被士兵所杀，他的墓碑上永远留下了一幅著名的几何定理图形.十八世纪法国的苏菲姬曼深为此故事所感，她想探究这门科学艺术是有何魔力能够让阿基米德奉献出生命，她为墓碑上的图形心醉神驰，在数学研究道路上孜孜以求，无怨无悔奉献终身，最后自己也终成赫赫有名的数学家.

这个代表性的故事，具有独特的启迪作用.阿基米德解题时那种全神贯注，心无杂念的状态，是人在求真过程中最纯粹的生命状态，所以对士兵入城浑然不觉.这一纯粹之状态是每一位老师最渴望学生能够在数学甚至在其他任何学科的学习当中，所达到的最理想的生命状态.苏菲姬曼就好比现今我们的每一位学子，他们需要一个人生榜样去感动，并为之努力和付出，最终能够实现自己人生价值的最大化.

历史是一段关于人的故事，数学史当中所蕴含的人的故事，已经超越了数学知识本身.数学家的品德修养，求真精神，都能给予学子最为生动启迪和思考.例如，史料“圆周率”中对π値的探索，从古希腊的阿基米德到魏晋的刘微、南朝的祖冲之再到今天人们用计算机辅助计算.人类这种对目标的执著，对真理的探究，何尝不是人生的又一要义.一个拥有正确的历史观，具有批判意识、人文意识的教师都应该在教学过程中，给予学生最恰当的点拨，从每一段尘封的历史当中，挖掘出促成学子人格养成的精神力量，让数学课堂真正变成人生课堂.

三、培养学生在多元文化体验中的审美意识

著名数学史专家张奠宙教授在第二届全国数学史与数学教育研讨会上做过一个讲话，他认为数学史教育需要更高的社会文化意识，营造数学文化意境，提高数学文化品味.

张奠宙先生认为，在给中学生讲授平面几何概念的时候，并非只简单介绍欧几里得生平和《几何原本》成书年代就行，应结合当时社会文化背景和政治制度，向学生解释为什么古希腊会产生公理化思想方法，并且对照中国古代数学体系，解释为什么古代中国只注重算法体系的建立，缺乏对演绎推理的运用.两者的不同在于，古希腊社会在“民主制度”的作用下，执政官的产生、国家财政预决算，战争和平等重大问题都需要建立在一个广大公民公开投票、平等讨论的基础之上，于是古希腊整个社会文化都具有一种崇尚证据说理，逻辑推演的客观理性精神.而古代中国数学是为皇权服务，好比李迪先生所说《九章算术》就等同于“国家管理数学”，以丈量田亩、征求赋税、安排劳役等维护君王统治继续运作的实用性算法成为主流.

笔者认为，在张奠宙先生所提出的讲史深度基础上，我们还应该给学生一种恰到好处的审美教育的点拨.就上个例子来说，从古希腊数学体系当中衍生出来的民主精神和理性精神，恰恰正是旧中国社会最为缺失的重要精神品格.我们就是应该借此机会向学生讲授西方社会最主要的精神气质，让其能对这样的精神品格进行产生一种美的感悟.

实际上，中学数学史教育在让学生进行多元文化体验的基础上，更为重要的是让其能够有一种纯粹的审美感受.不论是杨辉三角图形的对称美、海伦-秦九韶公式的简洁美，还是黄金分割的比例美，再到笛卡尔创立坐标系时“大胆科学想象”的气势磅礴之美，这无一不昭示着数学并不是想象中的枯燥和抽象，而是看得见用得着的，她简直是美的化身.在人教版教材七年级下册（第41页）当中介绍笛卡尔创立坐标方法的历史，更重要的是要点明笛卡尔对此的思路形成过程，一个大胆的设想：科学问题数学问题代数问题方程问题.这是“为了将度量化为方程问题，即建立算术运算和几何图形之间的对应，于是建立了斜坐标系和直角坐标系.这是一个大胆的设想，一次伟大的哲学思考，一种气势磅礴的科学想象.”与其如张奠宙先生所言对这种“磅礴的科学想象”的发掘是一种“文化品位”的表现，笔者认为不如坦言，坐标系是在将几何与代数相互连接起来的深刻的科学思考中产生出来的，我们要启迪学生的正是这种伟大的科学想象，让他们能够对这种伟大的想象产生审美愉悦.

更何况张奠宙先生还有著名的数学与诗词意境的论断.举例陈子昂的《登幽州台歌》可以看做是时间和空间感的佳作.“前不见古人，后不见来者”表示时间可以看成是一条直线（一维空间），诗人以自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大.“念天地之悠悠，独怆然而涕下”是描写三维的现实空间：天、地、人，悠悠地张成三维的立体几何环境.对学生启迪以诗歌的解读，让他们了解这种将时间和空间放在一起思考，领悟自然之伟大，宇宙之浩渺，时空之无极.