初中数学求动点最值的方法范文

导语：如何才能写好一篇初中数学求动点最值的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：初中数学；最值问题；生活数学

最值的使用在生活中有很多，比如求两个点之间的最短距离或者两线段和的最小，还有我们平常生活中的利润最大、成本最小等最优方案的问题。这些问题都可以转化成数学问题，然后用数学的方法去解决。下面我们先来看看有关于线段的最值问题：

一、有关线段和的最值问题

有关距离的最值问题有一个简单的问题原型。比如说要在公路上建一个公交车站，在公路旁有两个村子A与B，问车站建在公路上的哪个位置才能使A、B两村去车站的路程最短？这种“确定最短路线”的问题就是最经典的求最值问题。在这里，这个问题有两种情形，第一是两个村子在公路的不同侧，这就转化成了点与点之间的最短距离，也就是两点间的连线。第二是两个村子在公路的同一侧（如图1），那么这就是一个利用轴对称解决极值的经典问题，而解决这个问题的基本方法就是对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置（如图2），计算线路最短长度。此时，这个问题的模型又变成第一种情况，两个村子在公路的不同侧了。

由上面这个简单的例子我们可以归纳出求线段和最小的一般方法：通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长（如图3）。下面我们来看一道这种类型的变式题：

恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路X垂直，如图4建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于两高速公路同侧，AB=50km，A到直线X的距离为10km，B到直线X和Y的距离分别为40km和30km。请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。

分析：这道题目所涉及的四边形的周长的最小值，包括四条线段的和，看起来会比较麻烦，不知道该怎么下手，其实求四边形的周长的最小值，可以把周长分成四部分，先分析其中的两段或三段，把问题拆解成类似原型题目这样的简单问题，再做进一步的分析。比如，可以先看BQ和QP这两段的和的最小值，单独看这两段的话，就变得很简单了，只要根据求两条线段的和的一般方法，就可以解出。同样的方法再分析QP和PA，然后把几条线段综合起来看，这道题就不难解决了。

解析：作点A关于X轴的对称点A′，点B关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。当P、Q在线段A′B′上时，AP+BQ+PQ=A′B′最小。

过A′、B′分别作X轴、Y轴的平行线交于C。在RrA′CB′中，A′C=100，B′C=50，交X轴于P，交Y轴于Q。

A′B′==50，而AB=50

四边形APQB的周长最小值为：AB+A′B′=50（+1）

总结：有关线段和的最值问题是实际生活中常遇到的问题，解决这类问题的方法就是从最简单的问题原型出发，抓住解决问题的关键，把不在同一直线上的线段转化到同一条直线上。求多条线段的和的最小值就是要先把问题化成几个小问题，把每个小问题解决，就能从整体上理清思路，解决整个问题。

二、有关函数的最值问题

有关函数的最值问题是中考常考的一种题型，也是生活中常用来解决实际问题的一种数学方法。下面我们来看这样一个例子：某蒜薹生产基地收获蒜薹200，下表是按批发、零售、冷库储藏后销售三种方式每吨的平均售价及成本价：

若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出获得的总利润为y（元），蒜薹零售x（吨），且零售量是批发量的。（1）求y与x之间的函数关系式。（2）由于受条件限制，经冷库储藏售出的蒜薹最多80吨，求该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润。

解析：（1）设零售量为x，则批发量为3x，储藏后销售量为200-4x，

则y=（3000-700）3x+（4500-1000）x+（5500-1200）（200-4x）

y=-6800x+860000

（2）根据题意得：200-4x≤80，则x≥30

y=-6800x+860000在x范围内单调递减

x=30时，y取得最大值

y=860000-6800×30=656000

也就是求得当零售量为30吨的时候，售完全部蒜薹可获得最大利润656000元。

总结：除了一次函数以外，二次函数也是求最值的重要方法。这种方法用于生活中的很多问题。学习数学就是为了把数学知识运用到生活中，帮助我们解决生活中的问题。因此，我们在学习数学的时候一定要多联系实际，数学和生活并不是两个独立存在的，而是一个紧密联系的结合体。数学的学习能使生活中的问题得到解决，而生活中的问题又是数学知识的原型，是发展数学的重要动力。

最值问题是生活中常遇到的问题，通过数学建模来解决实际问题是数学知识用于实际的重要体现，这也正说明了数学知识的生活实用性，学习数学能为我们将来创造美好的生活发挥应有的作用。

参考文献：

1.傅彪.关于折线段最小值问题的探究.中学数学初中版，2012，8.

2.赵秀琴.初中数学最值问题的解法.考试周刊，2012，44.

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关键词：构造函数；利用几何性质 ；确定范围

最值型问题，即求有关量的最大值或最小值，是初中数学的常见题型，是中考及数学竞赛中的必考题型。它主要考查学生对平时所学知识的综合应用，无论在代数还是几何中都会出现最值问题，综合起来，常见的最值问题主要有以下几种解法：

一、利用函数思想，构造函数解题，主要用于解决一些成本最小、利润最大的经济问题及方案设计、运动变化等问题

用运动变化的观点研究客观世界中变量之间的相互关系和内在规律，将其用函数的形式表示出来，并通过对具体函数的分析解决问题的思想称之为函数思想。 构造函数解题时，要注意从文字叙述、图形、图像、表格中，分析数量之间的变化规律，获取变量之间的信息，建立函数关系式，从而借助于函数图像及其性质解决相关问题同。

1.构造一次函数

例1.（2010珠海中考）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多年不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩。现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩。

（1）设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台。

①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量；

②求出y与x的函数关系式；

（2）已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？

分析：此题中发电机总费用随发电机数量的变化而变化，故可构造W与x之间的函数来解决。

解析 （1）①丙种柴油发电机的数量为10-x-y

② 4x+3y+2（10-x-y）=32 y=12-2x

（2）丙种柴油发电机为10-x-y=（x-2）台

W=130x+120（12-2x）+100（x-2）

=-10x+1240

依题意解不等式组

二、应用几何性质解题

主要有：

1、三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

2、两点之间，线段最短；

3、连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

相关知识：A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

取点A关于直线L的对称点A’，则AP’= AP，在A’BP中A’P’+B’P’>A’B，当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’=A’B，所以这时PA+PB最小。

例3.在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为_______.

解析 利用两点之间线段最短来解决，求EF+BF最短就要想法把这两条线段转化在一条直线上，由于菱形对角连线两边对称，所以AB中点E和AD中点M关于线段AC对称，即MF=EF

连接BM交AC于点F，线段MB即为MF+FB的最小值， 因此EF+FB=MF+FB=MB，

参考文献

[1] 义务教育课程标准实验教科书（华师版七、八、九年级数学）

[2] 《2009年浙江省丽水初中毕业生学业考试数学试卷》

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1. 解读中考压轴题考点

纵观近几年的中考试题，中考压轴题通常由3个小问组成，第一个小问容易得分，得分率普遍在0.8以上，第二个小题稍难，但通常还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第三个小问较难，能力要求较高，且得分率也大多在0.2与0.4之间，从全国中考数学的试题命题来看，各地中考试题呈现“起点低，坡度缓，尾巴略翘”这一大特色.

通常第一小题主要是求点的坐标或函数解析式. 第二、三小题有探究点的存在性问题、图形面积问题或最值问题等，其中，各个小题难度层层推进. 下面就以2011年浙江省部分中考压轴题为例，着重阐述第二、三小题的特点及求解策略.

2. 案例呈现，做好应考教学策略

案例1 （2011浙江义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0），C（0，12） 两点，且对称轴为直线x=4. 设抛物线顶点为P，与x轴的另一交点为点B.

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标.

（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O，P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN. 在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.

方法点拨 （1）可设出二次函数的一般形式y=ax2+bx+c，根据对称轴公式，并把点A，C的坐标代入解析式，得到方程组，可求得 a，b，c的值分别为1，-8，12. 所以函数解析式为y=x2－8x+12. 从而可确定顶点P的坐标为（4，-4）.

（2）由（1）可确定点B的坐标为（6，0），从而可确定PB的解析式为y=2x-12，发现PB∥OD，因此OP和BD为腰，计算OP的长度. 设D（x，2x），用含x的代数式表示BD2的长度，即BD2=（2x）2+（6－x）2，再根据OP2=BD2建立方程（2x）2+（6－x）2=32，解得x1=，x2=2，注意检验根的合理性. 当x=2时，OD=BP=2，四边形OPBD为平行四边形，舍去. 所以当x=时，四边形OPBD为等腰梯形. 故存在D，符合题意.

（3）当0

解决策略 对于求点的坐标问题，同学们要熟悉平行于x轴和y轴的坐标特点，以及在坐标轴角平分线上的点的特点，并会利用待定系数法求函数关系式. 对于点存在性问题，解答时应先回答问题，再说明理由. 说理的方式有两种：一是从已知条件入手，通过推理、论证得出结论成立；二是从结论入手，通过推理、论证，得到使结论成立的条件. 由于点有静态点和动态点之分，因此，做题时应区别对待. 对于静态点问题，往往涉及点满足何条件才能构成等腰三角形、等腰梯形、正方形、菱形等，这类问题应注重分类讨论，根据其性质特点，找出点的位置，然后利用方程思想来解决. 对于图形面积问题，压轴题中往往是在图形的运动变化中求值，常用割补法，或者探究两种图形重叠部分的面积.

案例2 （2011浙江宁波）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A，O，B三点，连结OA，OB，AB，线段AB交y轴于点E．

（1）求点E的坐标.

（2）求抛物线的函数解析式.

（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线EF与抛物线交于M，N两点（点N在y轴右侧），连结ON，BN，当点F在线段OB上运动时，求BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标.

（4） 连结AN，当BON面积最大时，在坐标平面内求使得BOP与OAN相似（点B，O，P分别与点O，A，N对应）的点P的坐标．

方法点拨 （1）根据A，B两点坐标可求出直线AB的解析式为y=x+3，令x=0，可求得E点坐标为（0，3）.

（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A，B两点的坐标代入，列方程组求得a=，b=－，所以抛物线的解析式为y=x2－x．

（3）过点N作x轴的垂线NG，垂足为点G，交OB于点Q，过点B作BHx轴于点H，设Nx，x2－x，则Q（x，x）. 把BON的面积表示为两个三角形之和，用含未知数的形式表示出BON的面积，即SBON=SQON+SBQN=・QN・OG+・QN・GH=・QN・（OG+GH）=・QN・OH=・x－x2－x×6=－（x－3）2+（0

（4）过点A作ASGQ于点S，易求得tan∠SAN=tan∠NOG=，且∠OAS=∠BOG=45°，所以∠SAN=∠NOG，∠OAN=∠BON. 所以ON的延长线上存在一点P满足条件. 先求出OB，AO和AN的长，由BOP∽OAN得到OP的长为. 作PTx轴于点T，所以OPT∽ONG， ==，设P（4t，t），则（4t）2+t2=2，解得t1=，t2=－（舍），所以点P的坐标为15，. 将OPT沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点P′，15. 由以上推理可知，当点P的坐标为15，或，15时，BOP与OAN相似．

解决策略 对于单动点的动态问题，应抓住变化中的“不变量”，以不变应万变. 先理清题意，根据题目中两个变量的变化情况找出相关常量，再按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，最后根据题目的要求，依据几何、代数知识求解. 对于面积的最值问题，有求三角形或四边形的面积的最大（小）值. 这类问题通常是借助三角形的面积公式或转化为三角形来解决，但它们的本质都是通过建立二次函数模型，对二次函数配方求得相应的最值，因此，在解决这类问题时，首先应求出所求问题的二次函数解析式，然后再配方求顶点坐标，这样就可以求出最值.

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最值问题可以分为两大类：一大类是代数中某些量、式子的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等。我们可把这一大类统称为代数类最值问题，它可分为代数式的最值、有关数论的最值、有关方程未知数与函数变量的最值等三小类，一大类是几何图形中按一定规律运动的元素，在一定的范围内变化而与它有关的某个量也随之变化，有时，这个变化的量存在最大值或最小值。我们可把这一大类统称为几何类最值问题，它可分为有关角度的最值、有关线段（距离）的最值、有关面积的最值、某些几何量的统计最值等四小类。

数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实的打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。本文对“数”、“形”以及数形结合等方法在中学数学的教学中的应用作一些探讨。

一、用“数”的方法求最值问题

用配方法求代数式的最值，通常是对一个一元二次多项式而言的，即满足ax2+bx+c（a、b≠0）的形式。基本思路就是根据完全平方公式用配方法配成一个完全平方式，然后根据任何一个数的平方是非负数0来求它的最值。举一个简单的例子说明：

例1：求代数式x2-4x+5的最小值。

分析：代数式x2-4x+5这是一个一元二次多项式，可以通过配方，再根据一个数的平方是非负数，便可以求得最值。

解：x2-4x=（x-2）2-4

x2-4x+5=（x-2）2+1

（x-2）2≥0

当x=2时有最小值，最小值为0+1=1

对于复杂的式子同样也适用，比如求代数式2x2-3x-5的最值。

分析：用同样的方法对2x2-3x进行配方，得■x-■■-■■

最后就可以得出当■x=■即x=■时，原式有最小值，最小值为0-■=-■。

思考问题：如果把一个一元二次多项式改为二元二次多项式，要求出它的最值的话，这种方法是否仍然适用？

二、用“形”的方法求最值问题

对称是一种客观存在的，大千世界，许多事物都具有某些对称性，对称给人们以和谐均衡的美感，在平面几何中，对称更是一种思想方法，利用对称性及“两点之间，线段最短”等性质来解决最值问题，是数学中的重要的思想方法，运用对称性解决问题，这种方法在求值中常常显示出其他方法不可代替的优越性。它既可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力。

1.点关于一条直线的对称问题

例：问题：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小明带小狗到河边喝上水，同时回家又最近？分析：把这一生活问题数学化，设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L，小明要在直线L上找一个点P（小狗在P处饮水），使得AP+BP最短。（如图所示）设L上的P点为小狗饮水处，这个问题就转化成求AP+BP的最小值，也就是数学中的最值问题。如图，我们作点A关于L的对称点A/，连结A/B交L于点P，则点P即为所求。

知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，解决了最值问题，最终便可以得出结果。此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等。

2.利用菱形的对称性进行转化

例：在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为多少？

分析：利用“两点之间，线段最短”来做，要求出EF+BF的最小值其实就是要把这两条线段转化在一条直线上。刚好由于菱形对角连线两边对称，所以线段AB的中点E和线段AD的中点M关于线段AC对称即MF=EF。连接BM交AC于点F，线段MB即为MF+FB的最小值。

解：取线段AD的中点M，连接BM

四边形ABCD是菱形

AB=AD

又∠DAB=60°

ABD是等边三角形

又点M为AD的中点

ABM为直角三角形

又点E和点M关于AC对称

MF=EF，EF+BF=MF+BF

在RtABM中， MB=AB×sin60o=6×■=3■

EF+FB的最小值等于MB的长度，是3■。

三、用数形结合法求最值问题

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模型呈现：如图1，圆外一点与圆上任意一点联结所成的线段中PA最长，PB最短（其中PA、PB所在的直线经过圆心O）.有了这种方法能使很多最值问题中的较难问题得到圆满解决.

案例1：如图2，点E为正方形ABCD的边AD上的动点，过点A作AHBE于点H，若正方形的边长为4，则线段DH的最小值是多少？

分析：由AHBH可知，∠AHB始终为90°，因此点H在以AB为直径的F上运动，此时点D为F外一点，所以可利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型（图1），联结DF交F于点H（如图3），此时DH最小.

思考：本题学生的解答正确率其实并不高，关键在于学生不容易发现动点H的运动路径是以AB为直径的圆.那么如何才能在看似无圆的题设中准确找到圆模型呢？本题经验告诉我们，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径的圆上，故看到直角，容易找到圆模型.

经验利用1：在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.

（1）如图4，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图5，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（3）如图6，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（4）如图7，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP的最小值.

分析：（1）、（2）、（3）中AEDF（证明略）.（4）根据已知条件得AEDF，∠APD始终为90°.因此根据案例1的经验不难发现点P在以AD为直径的圆上运动，记圆心为点O，连接OC与圆交于点P，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离这一结论，得到此时CP为最小.

经验利用2：设a为实数，已知直线l：y=ax-a-2，过点P（-1，0）作直线l的垂线，垂足为M.点O（0，0）为坐标原点，则线段OM长度的最小值？

分析：本题共有两大难点：第一难点是这条直线无法确定，但可以肯定的是必经过A（1，-2），第二难点是怎么发现圆模型.我们发现直线无论怎么变，∠PMA始终为直角，这样根据案例1的经验，以AP为直径的圆就形成，点M始终在以AP为直径的圆上，利用圆内一点与圆的最近距离和最远距离这一结论确定了OM的最小值.

经验拓展：如图9，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（0，3 ），点D是第一象限的一点，满足∠ADB=30°，则线段CD的最小值？

分析：本题中没有明显的圆模型，也没有同案例1一样的隐含圆模型的直角，但∠ADB恒为30°，可以看成一个30°圆周角，同样可以找到圆模型.由于圆周角∠ADB=30°，故对应的圆心角∠AMB=60°，M就是以AB的长为半径，经过A，B两点的圆，同样可以利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型（图1），最终确定CD的最小值.

推广：当某个角的大小为恒值时，该角顶点必在以该角为圆周角的圆上.特殊的，当该角为直角时，则该直角顶点在以该直角所对斜边为直径的圆上.

案例2：如图11，已知抛物线y=- （x-1）（x-7）与轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，C的半径为2，G为C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值？

分析：这一问题已经明确有圆了，但怎样利用圆的模型解决？很明显，所求的线段PD没有任何一个点在圆上，没法直接利用本模型.不难发现D为线段AB的中点，结合条件“P为AG中点”，我们可以联结BG，则PD构成ABG的中位线，利用中位线的性质PD= BG可将PD最长转换为BG最长.B为圆外定点，G为圆上动点，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型可将这个问题完满解决.

经验利用：如图12，二次函数y=a2x+bx+c（a≠0）的图像交x轴于点A（-1，0），B（4，0），交y轴于点C（0，2），过B，C画线直线，并联结AC.

（1）求二次函数的解析式和直线BC的解析式；

（2）点F是线段BC上的一点，过点F作ABC的内接正方形DEFG，使得边DE落在x轴上，点G在AC上，GF交y轴于点M.

①求该正方形的边长；

②将线段EF延长，交抛物线于点H，那么点F是EH的中点吗？请说明理由.

（3）在（2）的条件下，将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，点P始终为CF为中点，请直接写出线段OP的最大值.

分析：（1）（2）略.第（3）问没有明显的圆模型，看似与圆无关，很多学生面对这个问题无从下手，其实将线段BF绕点B旋转，可以根据圆的定义发现一个以B为圆心，BF为半径的圆，F始终在这个圆上，圆模型出现了，但同案例2一样，点O、点P均不是圆上的动点.从条件“点P始终为CF为中点”出发，根据案例2中利用中点构造中位线实现线段转换的经验，不妨作C关于X轴的对称点C′，连接OP，C′F（如图13），发现OP是三角形CC′F的中位线，因此把OP的最小值转化成了C′F的最小值，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离这个结论，这个问题迎刃而解.

综合应用：如图14在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到A′MN，连接A′C.则A′C长度的最小值？

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1 几何画板的直观性

传统的几何课堂只能由教师“手工”完成，许多知识由于条件限制讲不透，对学生的空间想象能力要求较高，导致很多学生产生畏难情绪，对几何的学习失去兴趣。现在有了几何画板，情况就完全不一样了，它能够准确、动态地表现几何问题，让学生在直观演示中体会几何的奥秘。

如在教授三角形的三条线即中线、角平分线、高是否交于同一点这个问题时，在传统的教学中只能靠教师精确地画图，有一点儿误差的话，结果就出不来了。如果利用几何画板就不同了，可以先在画板上任取三个点，然后用线段把它们连起来组成一个三角形。这时，任意拉动其中的一个点，虽然图形的大小、位置会发生变化，但形状一定还是三角形。接着在几何画板中分别构造出三角形的三条中线、三条高、三条角平分线，先让学生观察是否交于一点？结果是肯定的。这时再拉动其中任一点时，三角形的形状同样会发生变化，但三条中线、高、角平分线仍然交于一点。这样就可以在图形的变化中观察到不变的规律，加深学生对这一性质的理解。

再比如在讲授四边形的内角和时，通常的做法是让学生自己动手画一个四边形，然后用量角器度量计算和，很有局限性。如果利用几何画板软件画任意一个四边形，量出它的各内角的度数并计算它们的和，随后拖动顶点改变[第一 ww w .dylw.NET提供写作论文和论文写作的服务]所画四边形的形状，这时学生会观察得到各角的度数虽然发生变化，但是其内角和始终等于360°，从而很自然地得出“四边形内角和等于360°”这一结论。而且让学生体会了数学由特殊到一般的数学思想。

2 几何画板的动态性

传统的几何教学学生学得不好，关键在于其图形的抽象性。学生对于由图形语言转化成几何语言感到很困难，往往是胡写一通，过程也非常不规范。在传统的教学模式下，教师通常是利用三角板、直尺、圆规等工具用粉笔在黑板上做出需要的图形，但这样的图形是固定的、死板的，许多学生由于缺乏空间想象能力跟不上课堂节奏，所以导致几何越学越差。但利用几何画板来辅助教学，可以使“出示的图形更灵活，展现的图形更丰富，而且规范、直观”。

如在讲授轴对称图形和中心对称图形这一课题时，虽然通过观察现实生活中的典型图片，学生对轴对称图形和中心对称图形的概念非常熟悉，可是真正判断的话还是有一定的困难，因为学生很难想象这个图形翻折后或者旋转180°之后是什么情况。一些教师会含糊地讲讲了事，使学生还是一头雾水，越听越不懂。这时如果利用几何画板，把一个图形是怎样沿着某一条直线翻折过来，然后直线两旁的部分是怎样重合或不重合这个动态的过程展示给学生，学生就会彻底地理解这些图形所具备的特点。当然在讲授旋转、平移时也可以借助于几何画板演示其动态过程，以便帮助学生理解掌握。

在讲授三角形的中位线这一节时，传统的教学方法是教师在黑板上画上一个三角形，做出中位线，然后让学生观察得出“三角形的中位线平行于第三条边并等于第三条边的一半”，再加以证明。运用几何画板，教师就可以事先做出一个三角形及其中位线，在几何画板上显示各边和中位线的长度，随后让学生拖动三角形的任一顶点。这时中位线的位置在动态变化，各边和中位线的长度也在动态变化。这个演示过程体现了从特殊到一般，引导学生观察这一动态变化过程中的不变关系、不变量，学生通过这一动态学习直观地感受到知识产生和发展的过程。

3 几何画板帮助理解动点问题

现在中考的一个热点问题就是动点问题，这种问题仅仅靠题目中出现的固定图形根本解决不了，还得看学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。动点问题一直是数学求函数值、最值问题时学生较难解决的一类题目。学生面对图形，往往想到的只是图形里面所画的固定点，想不到还有别的情况，体现不出动点的动性。几何画板的主要优势就是能够使静态变为动态，抽象变为形象，利于抽象思维能力的培养。

在实际教学中，运用几何画板解决动点问题最典型的应该是函数部分，而且函数是整个初中数学的命脉，也是学生最难以理解的内容。如在研究一次函数图象时，可以先让学生自己猜想k、b对函数图像的影响，然后教师结合几何画板演示，拖动图像让k、b的值发生变化，学生观察图像有何特点？学生通过观察会很容易地得出结论。而且通过这一节课的学习，让学生经历了猜想、探索、观察、验证的经历，加深了学生印象，并提高了学习数学的兴趣。

4 利用几何画板，让教学活动更自由

在平时的教[第一 ww w .dylw.NET提供写作论文和论文写作的服务]学过程中，教师常常有这样一个困惑：在课堂教学中出现学生的思考顺序与自己提前预设的顺序不一致的时候，教师往往牵着学生的鼻子走，会努力将学生的思路引到所预设环节中来，但这样的做法会不利于学生的思考，学生当时可能会按照教师的思路往下走，但是在学生的脑海中始终在思考“为什么我的回答不行呢”？如果运用几何画板就可以有效地克服这个问题。

篇7

关键词：辅助圆；直角；同一端点出发的几条线段长相等；两个角成倍半关系；等腰三角形

在平面几何中，如果没有圆，就没有几何的丰富多彩。圆在数学的许多方面都有着广泛的应用，其中一种常见的应用就是利用辅助圆来解题。辅助圆是一种重要的解题工具，如巧妙地使用它，就能建立起问题的条件与结论之间的联系，从而化隐为显，找到解题的切入点。如何想到作辅助圆，如何添加辅助圆，如何运用辅助圆，主要还是能否从条件中看出本质。在这里举例说明几个添加辅助圆的常见方法：

一、当遇到直角时想到：直角圆周角所对的弦为直径，可以作出定圆

例1 如图1，在边长为正方形ABCD中，动点E、F分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止）。在运动过程中，线段CP的最小值为_______。

此题极难解决。数据让喜欢猜题目答案的人无从下手。比较常见的做法是建立平面直角坐标系求出P点的坐标，用两点间的距离公式求PC。明显计算量大而且难以把PC的长表示为常见的函数来求最值。由题意知ADE≌DCF，由全等三角形的性质可得∠APD=90°，定线段AD=，由∠APD=90°想到点P在以AD为直径的圆上。如图2，点C在O外，C到圆上的点的距离的最小值为OC-R，即。

例2 如图3，矩形ABCG（AB

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

由K型图想到相似可以解决。但是相似有两种情形，由于本题没有数据，相似的比例式不好写。设未知数对于部分学生有难度，而本题是存在性问题确定个数，可以更简单一点。

由两个矩形是确定的，连接AE，则AE是固定的线段，∠APE为直角，所以想到以AE为直径作O，只要P在O上又在BD上就能保证∠APE为直角。如图可以得知P点有两个位置符合题意。

小结：上述两题都是两个定点一个动直角问题，作出两定点为直径的圆，再利用圆的性质解题。

延伸：当某一个动角的大小固定也可以想到同弧所对的圆周角相等，也可以构造圆。

二、由同一端点出发的几条线段长相等想到：圆上的点到圆心的距离都是半径，都相等

例3 如图4，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为_______。

从ABC，ACD，ABD为等腰三角形着手可以做出此题。设∠CBD=2∠BDC=2x，∠ABD=y，则∠ADB=y，∠ADC=x+y=∠ACD，∠ACB=2x+y，所以2（2x+y）+44°=180°，2x+x+（2x+y+x+y）=180°， x=22°，y=24°，∠CAD=180°-2（22+24）°=88°。

很明显数量关系难找，也容易出错。如果仔细看题，发现AB=AC=AD。如果以A为圆心，AB为半径作圆，则B、C、D三点都在A上，∠BAC=44°∠BDC=22°，∠CBD=2∠BDC=44°∠CAD=88°。这样做简单、快捷、易懂。

例4 如图5，在ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=25°，∠DAC=35°，则∠BDC的大小是（ ）。

A.70°

B.110°

C.120°

D.50°

此题也可用三角形知识来求解。现在由DA=DB=DC可想到，根据圆的定义，以D为圆心，DA为半径作D，点A、B、C都在D上，∠BAC=（25+35）°，利用同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可得∠BDC=120°，故而选C。

小结：这两题都有明显的公共端点的三条线段相等的特征，可以利用圆的定义来作圆，再用圆的知识解题。

三、当线段的同侧所对的两个角成倍半关系时想到：同弧所对的圆周角是圆心角的一半

例5 如图6，在ABP中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D且PB=5，PD=3，则AD・DC等于（ ）。

A.6

B.8

C.15

D.16

由PA=PB，∠APB=2∠ACB想到：以P为圆心，PA为半径作P。由∠APB=2∠ACB知点C在P上，延长BP交P于点E，连接AE，利用圆中的相似可求出AD・DC的值。

解：以P为圆心，PA为半径作P，由∠APB=2∠ACB知点C在P上，延长BP交P于点E，连接AE则由∠AEB=∠ACB，∠ADE=∠BDC得ADE∽BDC，AD・DC=BD・DE=（5-3）（5+3）=16。

小结：此题中有两个要素可以联想到构造圆：①PA=PB；②∠APB=2∠ACB。善于发现问题的条件和我们所学知识的联系，可以激发“灵感”，从而巧解问题。

四、在平面直角坐标系中确定等腰三角形的个数时可以想到：构造圆，利用圆的半径相等来解决

例6 如图7，在平面直角坐标系中，已知A点坐标是（3，3），在坐标轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有_______个。

分析：在平面直角坐标系中，由O、A两点固定知等腰AOP的一边固定。OA可以作为底，以也可作为腰。等腰三角形中有两相等的边，所以联想到圆的半径相等这一性质，通过构造圆来解决。

分三种情况来考虑：①当OA为腰，A为顶角顶点时，以A为圆心，OA为半径作A，A与y轴和x轴各有一个符合要求的点；②当OA为腰，O为顶角顶点时，以O为圆心，OA为半径作O，O与y轴和x轴各有两个符合要求的点；③当以OA为底边时，作OA的中垂线交y轴和x轴各有一个点。综上所述，符合条件的点共有8个。

小结：在解决平面直角坐标系中等腰三角形的存在性和个数问题时，圆能起到快捷直观的作用，而且可以做到不重复、不遗漏。

圆是初中平面几何中的基本图形，它十分完美。圆的性质应用十分广泛，可以说是魅力无穷。上述问题的条件中都没有出现圆，但是在解题过程中构造了圆，利用圆的有关性质，建立起已知条件和所求问题之间的联系，从而圆满巧妙地解决了问题。

参考文献：

1.初中数学教与学.

2.中国数学教育.