艺术学的概念范文

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篇1

【关键词】小学数学 概念教学 本质属性

一、概念教学的阶段性和发展性

在小学数学中，概念有一定的逻辑体系。概念的内涵以及外延固定不变为概念的确定性，不过客观事物是不断变化发展的，而且人们认识也在不断深化，所以，概念要反映客观事物，也处于不断变化和发展中。小学生接受能力有限，小学数学的概念教学，一般是分阶段的。比如“数”这个概念，不同阶段的学生就有不同要求，起初只是学习1、2、3、……后来又认识零，然后是分数、小数，再到正数、负数以及实数、复数等。

数学概念的发展性和阶段性是数学教学的一对矛盾，要想解决矛盾，就要掌握小学数学概念教学时每一阶段的目标。教师要仔细钻研教材，把握好数学的概念系统，理顺概念的发展脉络。数学概念不断发展，概念之间也有着一定联系，概念不同，教学中的要求也不同，教师要掌控好阶段性目标。

每个教学阶段，数学概念都是确定的，避免小学生认识概念时混乱。没有严格定义的概念，要根据他们的接受能力，用通俗的语言进行，便于小学生接受。完成一个教学阶段后，要给小学生指出数学概念是变化发展的。比如，学习长方体后，有学生认为课本中每一张纸也是长方体，这就说明该学生有了一定理解，教师要予以肯定。概念发展以后，数学教师要为学生指出原来概念和后来概念之间的联系和区别，有利于小学生掌握。

二、概念教学的具体化和抽象化

在小学数学的概念教学中，教材中很多概念没有严格定义，教师要尽量以直观形象，帮助学生理解概念的本质。从小学生角度看，概念是抽象的，形成数学概念要有一定的感性经验，由模糊到分明逐步形成。

在概念教学中，对于抽象的内容，可以借助恰当的演示和操作转化成具体的内容，并借此为小学生揭示出抽象概念的本质。像几何知识，线、面和体的概念以及图形特征和性质的概念往往都是抽象化的，教学时要注重演示、操作，让学生在触摸、摆放、测量以及拼接中体会到这些概念，加深对概念的理解。这种直观教学，充分利用了学生原本掌握的基础知识，逐渐抽象，层次清楚。在实物演示下帮助学生建立表象，解决抽象概念和形象思维之间的矛盾。

教学过程要联系生活实际，以恰当的方式使抽象概念具体化，把抽象内容转变成小学生的生活知识，同时生活知识也抽象成了教学内容。比如小学生对乘法分配律的学习，教师可以通过“一件上衣30元，一条裤子20元，买5套这种衣服要花费多少元？”类似的生活情景小学生比较熟悉，很容易把抽象问题具体化。

三、教学过程合理有序

1.引入概念时提供丰富的感性材料

在概念教学中，引入概念时要帮助学生形成清晰的表象，清晰的表现是学生认识概念的基础。不管借助什么方式引入数学概念，都要考虑能不能帮助小学生在脑中形成清晰的表象。根据教学内容采取直观方式把丰富的感性材料提供给小学生，比如实物、模型以及挂图等，引导学生进行观察，并让他们亲自动手操作，丰富感性认识。

引入概念时所选的教学材料要确切，比如角的学习，小学阶段学习平面角，课堂上可以让学生察看黑板和书面等一些平面上的角，但是如果让学生看教室中相邻两堵墙构成的角，这种为两面角，就不恰当了。

2.概念的本质属性

理解概念在概念教学中属于中心环节，背诵概念不等于理解概念，数学教师要帮助学生理解概念的内涵以及外延，并在理解基础上真正掌握概念。小学生学习概念时，不清楚内涵或者理解不全面，容易把非本质属性当成本质属性。比如，学习长方形时，学生只能认识水平位置的长方形，当斜着放时就不认识了。在概念教学时，数学教师要转换概念的表达方式，从各个侧面帮助学生理解概念，使小学生从变式中理解概念的本质属性，消除非本质属性带来的干扰。

3.概念的比较和分类

在小学数学的概念教学中，概念有时候含义相近近，不过本质属性是有区别的。像数和数字，奇数和质数，时间和时刻，周长和面积等，小学生在学习过程中很容易混淆这些概念，这就要求教学过程中要注重概念的比较，避免学生理解概念时混乱。

小学数学有着较强的系统性，前后知识联系紧密，不过由于受到小学生的思维水平以及接受水平的限制，一些知识往往分为几节课甚至几个学期进行学习，这就削弱了知识内在联系。数学教师在教学时要系统整理有联系的概念，帮助小学生形成网络式的认知结构，引导学生把概念分类，并明确概念之间的区别和联系，形成一个概念系统。

总结：

在小学数学的概念教学中，数学教师要深入了解小学生的年龄特征、思维形式，实行科学合理的教学方法，引导小学生对概念的理解。概念教学时，教师要引导学生弄清概念的先后顺序，还要摸清内在联系。概念随着事物的发展不断演变，小学生认识数学概念，也要随着学习程度的加深，逐步深化。概念教学不能仅仅停留于感性认识上，还要抽象概括观察的事物，并揭示概念本质，从感性到理性实现认识上地飞跃，形成概念。总之，数学教师要结合小学生学习的特点进行概念教学。

【参考文献】

[1] 杨雪英. 新课标下数学概念教学的几点思考[J]. 数学之友，2011 （03）.

[2] 叶宇星. 让数学概念灵动起来 ――对小学数学概念教学的思考[J]. 学生之友（小学版）（下），2011（08）.

篇2

关键词：思辨数学；算法；概率统计；直觉思维

1思辨数学词源诠释

思辨数学一词是荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（Freudenthal，1905—1990）首先提出的。他在名著《作为教育任务的数学》中举例诠释了思辨数学与算法数学的区别：设有相同数量的白酒与红酒各一杯，取一匙白酒倒入红酒内，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒内。试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反？答案是：两种含量一样多。然而解题方法有两种，一种是根据其取法操作，列出算式计算...另一种是这样思考的：设想每个杯子中的白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒正是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补。前一种解法是算法求解，后一种解法是思辨求解]。

显然，这是两种思维风格迥然不同的解法，解法一是逻辑性的算法求解，属于算法数学；解法二主要是直觉性的思辨求解，属于思辨数学。这里举例仅仅是为了诠释概率论中思辨数学与算法数学的区别。我们认为，思辨数学就是动态地辩证地把握概念和体味推据（这里把思辨推理的理论依据简称推据），凭借对概念的直觉和数学美的启迪（而非逻辑性的推理），产生直观的解题思路方法或做出合情推理决策。换言之，在直觉领引下，围绕推据，换位思考，思维在运动中觅到解题方法的一套数学知识体系。

德国数学家、数学教育家克莱因（KleinF，1849—1925）指出：“数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面，它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样，技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。”[4]克莱因这一论断，对概率统计教学具有重要的指导意义，把握思辨数学与算法数学的区分，它能为教学提供重心，对于贯彻概率统计思想方法为主线的教学大有裨益。

2概率统计课程中的思辨数学内涵透析

从思维的逻辑层面透析，概率统计知识内容可以分为两类，大部分是程序性的，有一些则是思辨性的。算法是程序性的，概率统计的演算中充斥着算法；然而，在概率演算题中也会遇到思辨求解问题，虽然这类题数量不多，但解题思维中颇富有理性精神，有着方法论的教育意义。特别值得一提的是，就产生数理统计一些重要方法的思想而言，思辨因素起着关键性的作用，从本质上讲，作为数理统计核心内容的统计推断也隶属于思辨数学的范畴，即思辨数学至少包含思辨求解和思辨推断两大模块。现分述如下：

2.1思辨求解问题

若对某些概率问题的题设条件进行分析，抓住题目中的关键概念，由对这些概念的直觉和思辨，就能引发解题的思AXB路和方法。具体说来，吃透问题的条件和结论，抓住起决定性作用的思辨因素，运用发散思维或逆向思维，进行类比联想或换位思考推理，进而恰当地引入辅助事件或辅助随机变量，就会建构和洞察到所研究的数学对象中蕴涵着的事件之间或随机变量之间的某种对称性、对等性或等可能性的关系。那么，这些事件、事件关系所遵从的一般的概率法则、统计规律或一些概率原理等就构成解题思维的支点，即推据；思维一旦受到这些推据以及数学中对称美的直觉启发，就会迅速地做出判断，寻到简便的解法，或直接给出答案。

2.2.1最大似然法（以离散型随机变量为例）

2.2.2最小二乘估计

回归分析的基本思想是首先根据样本组的分布特征以及对问题的思辨认识而先验地选定一个模型类型，然后求出（估计出）模型中相应参数。至于对参数的估计，一般采用最大似然估计法，具体到回归分析上叫做最小二乘法。所谓最小二乘法系利用拉格朗日条件极值原理，对所选模型在所给样本下，保证误差最小时，求得参数估计值[6]。说到底它也是一种思辨推断模式。

2.2.3假设检验

先根据统计目的对总体提出一个统计假设0H（也叫原假设），然后再由一次抽样的结果来检验这个假设是否可信，从而做出决策：拒绝还是接受这个假设。一方面，我们先假定0H是正确的，在此假定下，某事件A出现的概率很小，比如p(A)=0.05；另一方面，进行一次试验，如果事件A出现了，就是说在一次试验中就居然发生了小概率事件，那么根据直觉：“概率很小的事件在一次试验中一般认为是不会发生的。”（小概率事件原理，即推据）我们不能不怀疑作为小概率事件的前提假设0H的正确性，因而做出拒绝0H的决策；如果进行一次试验，小概率事件没有出现，则试验结果与假设相符，没有理由拒绝0H，因而只好接受0H。进一步归结出假设检验的一般步骤（略），即是算法程序，使概念的直观具体性有了一个逻辑思维的图式，如果没有这些逻辑模式，推理将变得没有质量。从根本上看，假设检验法是以小概率事件原理为推据的思辨推断模式。概言之，最大似然估计、最小二乘估计和假设检验本质上都是思辨的产物；从思维方法上讲，它们是思辨数学与算法数学有机的统一体；“思辨”当头，“算法”自然就在其中了。

2.3概率统计中的思辨数学之特征分析

2.3.1思辨求解问题与思辨推断的异同

思辨求解问题的推据具有确定性和真理性。。然而，思辨推断的推据则具有“或然性”，比如最大似然原理中的用词：“应该是”，并非“一定是”；小概率事件原理中的用词“一般认为是不会发生”，但并非“绝对不会发生”，可见思辨推断的结论则是概率逻辑意义下的必然。比如假设检验就是概率性质的反证法。故思辨推断理属合情推理。

思辨求解与思辨推断的共同之处，都是主体基于对概率统计领域的基础知识及其结构的透彻了解，基于对整个问题的理解把握以及已有的知识背景，使主体能跨越逻辑的思考而进入直念（即数学直观，形象观念）[3]，想象和直觉判断，以推据为准绳，迅速解决有关数学问题。

2.3.2思辨数学与算法数学的比较

由于思辨数学一词是相对于与算法数学的概念提出的，下面我们就其两者进行对比分析：

算法数学有具体化、程序化和机械化特点，又有抽象性、概括性和精确性；思辨数学有抽象化、模式化和直念化特点，又带有假定性、哲理性和启示性。

算法有算理，比如概率的公理、定理、性质等构成概率算法求解的基本算理。算理是算法的理论基础，算法是算理的具体体现；思辨求解和思辨推断有推据，比如对称性、对等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等构成概率思辨求解和思辨推断的推据。推据是思辨的理论基础，思辨求解和思辨推断是推据的实际表达。

与算法相比较，算法求解依据逻辑思维、逻辑推理，思维是纵向的、条理化的；思辨数学则依据认识之直觉，思维是跳跃性的、横向的和发散的。思辨求解的推理是非逻辑的；思辨推断是归纳性质的合情推理。

3提出思辨数学概念对概率统计教学具有的要义

关于思辨数学与算法数学的这种区分，在教学法上具有重要意义。传统的概率教学着眼于概率算法求解，重视运算规则和方法技巧，注重逻辑思维能力培养，忽视或根本不谈概率思辨求解，因为许多概率教材的例题与习题都鲜见思辨求解类的素材；轻视概率统计课程的基本概念教学，因而造成了概率思想、统计认识诸方面知识匮乏和直觉能力的缺失。比如统计推断是数理统计的核心，统计推断是对统计总体的未知数量特征做出概率形式表达的推理，鉴于思维上推与证的不同而分别提出了参数估计与假设检验，由此构成统计推断内容的两面。参数估计是根据样本数据对总体参数所作的“猜想”，而前提是样本与总体的同分布（即样本与总体的同质性）的假定；假设检验即对总体特征做出的一种假设，然后根据样本信息对这一假设的支持程度做出描述。前提同样都是样本与总体的同分布的假定。从哲学层面讲，它们探讨的都是共性与个性的辩证关系。

从战略上看，由样本推断总体具有归纳性质，从战术上看，最大似然估计法与假设检验的解题程式中的样本值nx,x,,x12􀀢又非具体的数值，因而具有演绎性质，所以最大似然估计法和假设检验是归纳与演绎的辩证统一。对于统计推断内容的教法，目前多数教学已落入算法化、程式化的俗套，把参数的最大似然估计和假设检验作为一套处理问题的规则或算法来教；2003年出版的《Mathematica基础及数学软件》一书，把参数的最大似然估计和假设检验按算法编程由计算机来做[7]，毫无思想。诚然，数学教育不应该拒绝计算机的渗透，特别是统计推断问题常会涉及一些烦琐的数据统计和计算，借助于计算机可节省大量的时间和精力。但是，数学方法的内核是数学思想，由于意识不到统计推断是思辨数学体系，所以容易忽视产生统计推断方法所依赖的统计推断思想、策略及其思维活动过程的教学，以致学生不能目睹数学过程的形象而生动的性质，体悟不到统计推断方法中蕴涵的概率思想，更达不到思维训练之效。诚然，给学生一个可仿效的范例，就足以教会一个算法，尽管这样的教学，学生学会了套用统计推断的解题步骤，可能会做对若干道数理统计习题，但是对统计推断的思想实质和认识机制理解不深。比如，有学生在用最大似然估计法解题时，先把具体的实测数据带入似然函数的表达式，再作取对数、求导、求极值点的运算；有的学生在假设检验解题中，在写到最后一步：“拒绝H0”或“接受H0”时就搁笔了，把“即认为...”这句关键的陈述语省略了不写。不难想到，他们对样本的二重性以及最大似然法所使用的辩证逻辑思维领悟不透彻；对统计推断所表达的非决定论的因果关系规律认识不到位。一句话，对最大似然估计和假设检验方法的本质思想，缺少深层的思考。传统教学的结果只会给学生留下这样的印象：数理统计是装着一筐子的“算法”。这种只强调算法与规则的数学课程，正如只强调语法和拼写的写作课程一样，都是一种本末倒置。

任何一门数学学科都是由概念和技巧支撑的；若能区别概率统计教材中思辨数学与算法数学，区分或认识思辨数学的结构，这就意味着预先设定将它们作为思维训练来教，其意义在于强调思辨因素，强调概率统计思想方法形成的思维活动的过程，自然也是强调了以概念为本的课程教学模式。

3.1凸显以概率论为基础的统计思想以深化统计认识

毫无疑问，概率论是统计的运载工具，统计思想是统计方法的灵魂。按照思辨数学模式讲授统计推断，能够更好地揭示和表达统计思想，深化统计认识。因为贯彻三段论即：“在某种假定（假设）...之下，一方面...另一方面...，依推据则有...”的思辨推断模式，势必强调深刻理解概念和推据，充分展示换位思考中的思辨原理与辩证思维方法，这就凸显了以概率论为基础的统计推断思想。比如假设检验，如果统计假设被理解为构成概率计算的基础的话，那么，看来极不可能的某个事件发生了，那就有悖于常理，于是统计假设认为是小概率的事件的发生，将是一个反对该假设的证据，并且这种概率越小，其证据越显得强有力。又由于在统计检验的逻辑中，前提与结论之间的逻辑蕴涵不再是必然的，而是一种概率蕴涵。换句话说，概率解释中的解释前提是假说，所以得到的逻辑必然的推论是可能的概率解释。而在概率解释中，对个别事实解释的概率性与统计规律在每一个别情况下无法实现这一规律联系着，因为统计规律是大数定律，它仅在大量观察或多次试验中才能出现。因此在统计规律上所作的关于个别事实的结论，只能解释这一事实的可能性，而不是它的必然性。因此，“接受”中的“纳伪”和“拒绝”中的“弃真”这两类错误不可避免的发生充分说明了这一点。

3.2强调数学思辨对培育直觉能力具有独特功效

数学强调思辨性。弗赖登塔尔指出：“算法是好的，数学中的常规也是不可避免的。”[1]诚然，对数学来说算法具有极大的重要性，代数、微积分、概率中都有算法。当前教学的强烈趋势就是盛行算法化[1]。将一个领域算法化是更容易超越该领域的一种方式[1]。然而，现代数学之不同于古老数学，在于它强调的是思辨的因素而不是算法[1]。最引人注目的新生事物，也就是引起现代化过程发生的事物——集合论、抽象代数、分析学、拓扑——都是思辨的产物。它们是冲破算法的僵化的外壳喷射而出的[1]。同时弗赖登塔尔还指出：算法数学与思辨数学的关系是辩证的，不能把它们看作是新与旧、高与低的对立。从培养数学思维能力的层面看，算法数学与思辨数学好比“算术和几何正是作为互相的直接对立面在智力上发展起来的，但这并不表明因为喜欢其中一个就应该把另一个贬低。相反，教学应该将这种发展继续下去”[8]，教学应该像重视算法数学一样重视思辨数学，但问题在于目前的数学教育现状，人们有些重算法而轻思辨的倾向。概率统计的思辨求解和思辨推断解决问题的重要策略和特点是：对具体问题作具体分析，以已有知识和经验为背景，在直觉领引下发掘问题中蕴含着的思辨因素，寻找到推据或生成推据，以推据为支点，凭借直觉展开思辨推算或推断。其思维方式是直觉的。从心理学视角看，思辨数学是直觉思辨的产物，它是思维对那种隐藏于数学对象深层的数学事物关系间的和谐性与规律性的感受，正是这种感受把知识空间投影和净化成那幅心智图像。显意识和潜意识沟通形成顿悟，进而达到直觉思维的目标。

因此，强调思辨数学，必然注重培育直觉能力。思辨求解不仅能增加和丰富学生概率解题的方法策略，而且对其直觉思维乃至创新能力的培养大有裨益。克莱因说过：“在某种意义上讲，数学的进展主要归功于那些以直觉能力著称的人多于那些以严谨证明著称的人。”

3.3透过思辨求解法感悟数学方法的奇异美

思辨求解法的产生离不开直觉，数学直觉本质上就是“美的意识或美感”。美的意识力或鉴赏能力越强，发现和辨认隐蔽的和谐关系的直觉能力也就越强。数学审美意识是产生数学直觉、爆发数学灵感的“刺激素”。

思辨求解法的思想性强，其方法直观，运算简捷，甚至用不着计算就能直接获得答案。从思辨求解法产生的心理机制来看，其思维空间是动态的；每一个具体的思辨性解法，无不联系着主体解题的思维运作：数形结合，动静联想，等价语意转换，整体性把握思考，以及受到数学美的启迪等。它把数学表达式的对称美、数学关系的和谐美、数学方法的简洁美、数学思想的思辨美发挥的淋漓尽致。奇妙的解法闪烁着智慧之光，常给人以精神上的愉悦和满足。

“奇异性与思辨性是密切相关的，奇异性的结果会导致数学的新进展，而思辨能引起人们的思索，调动人们的想象，帮助人们对未知事物作深入地理解、把握和预见，促使人们去追求数学中内在旋律。”即追求数学美的旋律。

［参考文献］

[1]弗赖登塔尔。作为教育任务的数学[M]。陈昌平，唐瑞芬译。上海：上海教育出版社，1995。

[2]KennethHR。初等数论及其应用[M]。夏鸿刚译。北京：机械工业出版社，2009。

[3]张奠宙，戴再平，唐瑞芬，等。数学教育研究导引[M]。南京：江苏教育出版社，1998。

[4]刘培杰。数学奥林匹克与数学文化[M]。哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008。

[5]蔺云。用随机方法证明一类组合恒等式[J]。高等数学研究，2003，（2）：32。

[6]高隆昌。数学及其应用[M]。北京：高等教育出版社，2001。

[7]阳明盛，林建华。Mathematica基础及数学软件[M]。大连：大连理工大学出版社，2003。

[8]弗赖登塔尔。数学教育再探：在中国的讲学[M]。刘意竹，杨刚译。上海：上海教育出版社，1999。

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关键词：小学数学；概念教学；方法意见

根据小学数学课程大纲，小学生需要掌握的数学概念大约有500多个，这说明数学概念是小学数学教学中的重要组成部分，因为小学数学概念的学习，可以培养小学生的逻辑思维能力，让小学生在理念数学概念的基础上去判断、推理数学知识，从而强化了数学系理论知识，提高了小学生数学学习的质量和效率。

一、小学数学概念教学中存在的问题

在小学数学教学过程中，一些老师在进行概念教学时，没有考虑到小学生理解力和认知程度都比较差的因素，只是一味地把抽象、复杂的数学概念通过灌输式和填鸭式的教学方式传输给学生，并且明确要求学生背诵数学概念，使得学生不能完全理解数学概念的真正含义，更别提在习题练习加以运用了。

另外，老师按照学校制定的教学任务进行授课，将数学概念分开来讲解，小学生还不善于对于所学知识进行归纳总结，从而使得小学生学到的数学概念零散、琐碎，不利于小学生对于数学概念的整体把握。

二、小学数学概念教学的方法策略

1.从生活实例引入

小学生的思维形式处在具体形象思维为主的阶段，在认识新事物时往往注重直观形象，不善于抽象思维，所以在小学数学概念教学的过程中，让学生充分接触感性材料，为学懂数学概念打下良好的基础。

所谓的感性材料，就是日常生活中学生熟悉的事物，比如实物、模型、图片等，从这些生活实例引入数学概念，可以给学生带来一种熟悉感、亲近感，从而拉近数学和学生之间的距离。例如关于数学教材中的点、线、面、集合等基础概念的学习，直线的概念，可以这样描述，用直尺在作业本的空白处画一条线，这条线就是直线；另外关于面的描述，可以用课桌面、黑板面、板凳面来说明。对于一些比较难理解的数学概念，单纯的字面解释并不为小学生所理解，所以可以用实物模型加以描述，如圆柱和圆锥的数学概念，学生通过观察实物模型来了解它们的本质属性。

2.从具体到抽象的引入

小学数学学习过程中，老师应该适当对学生进行引导，鼓励学生自主学习，从而培养了学生的思维抽象能力。教学过程中，相对抽象的数学概念，老师可以通过具体的演示以及操作，让学生亲自动手去体会一些抽象图形的概念，比如：教材中“角的初步认识中”我们可以从五角星、三角形、四方形等学生比较熟悉的生活原型中抽象出角的概念，再通过学生对于不同角的比较分析中归纳出角的共同属性。

3.从情境设疑引入

小学生的好奇心比较大，思维比较活跃，对于有兴趣的问题都会主动积极的思考，老师在小学数学教学过程中，通过创设问题情境，应到学生对所学概念的初步了解，比如：小学教材中“体积”的概念，比较抽象，老师可以取一杯水，再往水中扔一块石子，让学生思考石头丢进水中，为什么水会溢出来，这样一来，学生对石子占用了水的空间有了初步的感性认识，从而对了“体积”有了更加形象的理解。这样的情景设置，不仅可以调动学生的学习积极性，而且可以激活学生的思维，使得学生养成主动思考问题的好习惯。

4.通过“举一反三”深刻理解数学概念

在小学数学概念教学的过程，源于小学生自身的理解能力和认知水平有限，所以对于数学概念的学习只是通过死记硬背，对未来的数学学习百害而无一利。为了克服这些不利因素，老师应该在学生初步了解数学概念的基础上，通过不同的语言叙述方式，让学生从不同的角度深刻理解数学概念。比如：学习“圆的认识”后，除了教材中字面意义对于圆的定义的界定，老师还可以运用生活中车轮的例子再对圆的定义进行界定。

5.重点把握数学概念的“重点字”与“关键词”

在小学数学概念教学中，数学概念的重点字和关键词的把握，可以正确地引导学生进行概念学习，所谓数学概念的重点字或者关键词实际上就是概念的一个条件，可以使得学生从多角度、多层次理解和记忆概念。比如：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其概念中“只有”这个词是关键词，也是梯形概念的一个条件，换言之，就是不但要有一组对边平行，而且必须是唯一的一组对边平行，如果把关键词“只有”去掉，那么就会和正方形、长方形、平行四边形的概念弄混，不利于学生以后数学概念的学习。

6.概念引入时提高吸引力

小学生的玩心比较重，单纯的让他们学习鼓噪无味的数学概念，即使能够逼迫他们背诵记忆，也不能使得他们更好的运用，所以，在小学数学概念教学的过程中，要化枯燥为生动的引入数学概念，使得小学数学的学习更加生动有趣。比如：在“圆的认识”一课中，可以设计寻宝活动，当老师提出“我在教室的某个位置藏有宝物”的时候，马上就激发了学生的好奇心，让学生快乐地投入到教师设定的有数学意味的情境中去，使得学生可以更加深刻的了解圆的含义。

三、结语

综上所述，小学数学概念教学是小学数学教学的重要组成部分，甚至对学生未来的数学学习产生巨大的影响，所以，教师应该在充分了解小学生的认知水平、心理特点以及学习特性，采取合适恰当的概念教学策略来开展小学数学教学活动，从而提高小学数学教学的质量和效率，实现了小学生的自身能力的全面发展。

参考文献：

[1]尹春晓.浅谈小学数学概念教学的策略[J].教学周刊，2011（06）

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一、创设现实情境，引入概念

《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。”《数学课程标准》的这一理念，着眼于学生终身学习的愿望和能力，要求概念教学要从学生的生活经验和知识经验出发，根据学生的年龄特点和心理发展规律选材，题材要广泛，呈现形式要丰富多彩，充满学生乐于接触的、有价值的数学题材。在概念教学时创设现实而有吸引力的学习情境尤为重要，它可以激发学生学习数学的兴趣和动机，让学生在自然的情境中产生积极主动地学习新知识的愿望。

概念的引入方式要恰当，要根据不同的概念创设不同的情境。创设情境引入概念的方式很多：创设故事情境引入，使学生兴趣盎然地进行新课学习。动手操作情境引入，一些有数学背景的玩具和游戏不仅能愉悦、陶冶学生的身心，还能激发学生浓厚的探究兴趣。

教师在设计具体情境时切忌单刀直入，全盘托出，而应该根据小学生的年龄特征，紧密地联系学生已有的知识和经验，从旧到新，由浅入深，循序渐进地引入。

二、加强实践探究，建构概念

当学生感知概念后，为了让学生准确把握概念，必须通过比较、分析、综合、概括等思维活动和学习手段，剔除知识的非本质属性，抽取其基本属性，认真分析概念的内涵和外延，并找准概念中的重点难点给学生讲解，帮助学生构建自己正确、清晰的知识框架。

《数学课程标准》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿记忆。动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。

现代心理学认为：知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生依托自己已有的知识和经验主动地加以建构。

数学概念的抽象性决定了学生要想获得正确的概念必须有一个主动、复杂的思维过程。教师并不能把现成的概念原封不动地、简单地“灌”或“塞”给学生，不能只重视结论的记忆而忽视对概念的理解。在教学中，我们要关注学生的探究与发展，引导学生动手操作，主动参与结论获得的过程。如我们可以借助操作活动帮助学生建立“平均分”的概念。让学生把八根小棒分成两份，交流不同的分法，然后引导学生将几种分法进行分类。让学生通过观察、比较后，发现“4根与4根”的分法的本质特征是“每份的根数一样多”，并指出这种分法叫平均分。

三、借助生活经验，理解概念

在概念教学中，教师应尽可能地将数学知识与学生在日常生活的、熟悉的、具体的材料相联系，这样有利于抽象的数学概念具体化、形象化，便于学生理解，同时也能激发学生的思维和探索新知的欲望。如：开始学习“角”，教师凭借常见的直观实物（五角星、三角板等），帮助学生理解“角”的意义。

四、联系实际运用，拓展概念

数学概念既然来源于生活，就必须回归生活。教师要设计富有实用性、生活性的习题，让学生用所掌握的知识思考“是怎样做的，为什么要这样做，还可以怎样做”等问题，使学生的聪明才智得以充分发挥。学生对新学概念的掌握不是一次能完成的，需要由具体到抽象、再由抽象到具体地多次重复。教学中除了要重视数学概念的形成和获得外，还要加强数学概念的应用，进一步增强学生的实践意识。组织情境练习既能使学生灵活地运用概念、巩固知识，又能使学生愉快地学习，在实践中主动体验数学的价值和魅力。

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[关键词] 新课改数学 教学方法

1.明确数学教学目的，注重学生学习兴趣的培养。

作为数学教师，必须对教学目的有明确的认识，必须全面、深刻地掌握数学教学目的，并在教学过程中，经常以此来检查和评价自己的教学水平和教学效果，从而不断改进数学教学方法。通过激发学习动机，调动其全部心理活动的积极性。让学生意志在克服困难中表现，也在经受挫折、克服困难中发展，逐步养成学生良好的学习习惯。学生通过这种方式学会了运用知识解决问题，并从中体验到成功的乐趣，从而产生了进一步学习的愿望。作为教师就应该认真研究学生的这种心理倾向，并通过这种途径培养学生的求知欲望，引导学生形成良好的意识倾向，要充分相信每一位学生的潜能，注重学生学习兴趣的培养。

2.改革课堂教学结构，进一步提高教学效果。

改革课堂教学结构，课堂上多给学生留出一些让他们自主学习和讨论的空间，使他们有机会进行独立思考、相互讨论，并发表各自的意见；利用教师的主导作用，引导学生积极主动地参与教学过程。数学课堂上学生的主要活动是通过动脑、动手、动口参与数学思维活动，在教师的主导下，坚持学生是探究的主体，引导学生对知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动。让学生学会发现问题、提出问题，并逐步培养他们分析问题、解决问题的能力。

由于长期以来，许多学校的课堂教学存在一个严重问题，即只注重教师与学生之间的“教”与“学”，而忽视了学生与学生之间的交流和学习，从而导致学生自主学习空间萎缩。表现为教师权威高于一切，对学生要求太严太死。课堂气氛紧张、沉闷，缺乏应有的活力。形成了教师教多少，学生学多少，教师“主讲”，学生“主听”的单一教学模式。违背了“教为主导、学为主体”的原则。

学生在学习上依赖性增强，缺乏独立思考问题和解决问题的能力，最终导致厌学情绪，致使学习效率普遍降低。因此，要进一步提高教学效果，就必须发挥学生的主体作用，发挥学生的主体作用，就必须做到：创设情境，活跃思维精彩的课堂开头，往往给学生带来新异、亲切的感觉，不仅能使学生迅速地由抑制到兴奋，而且，还会使学生把学习当成一种自我需要，自然地进入学习新知识的情境；进行独立思考和自主探索。鼓励学生合作交流为了促使学生合作交流，在教学组织形式和教学方法上要变革，由原来单一的班级授课制转向班级授课制、小组合作学习多种教学的自制形式转变。 转贴于

3. 传授一些听课技能，采用多样化的评价方式。

数学能力实际上是学生在数学学习活动中听、说、读、写、想等方面的能力，它们是数学课堂学习活动的前提和不可缺少的学习能力，也是提高数学课堂学习效率的保证。在数学教学活动中，“听”就是学生首先要听课，同时也要听同学们对数学知识的理解和课后的感受，这就需要有“听”的技能。因此，教师要随时了解周围学生对数学课知识要点的理解及听课的效果，同时，教师也可以向学生传授一些听课技能。

在教学中，评价应得到重视，评价不仅要重视学生对知识、技能的掌握情况，还要更多地关注学生在学习过程中的表现。在教学中，学生是否积极主动地参与学习活动，是否能结合具体情境发现并提出数学问题，是否乐于与他人合作，是否能通过独立思考获得解决问题的思路，是否有反思自己思考过程的意识等，都应成为评价学生的重要指标。评价要采取定性与定量相结合的方式，更多地关注学生已经掌握了什么，有哪些进步，具备了什么能力等，从而使评价结果更有利于学生树立学习数学的自信心，促进学生的全面发展。

总之，随着我国教育事业的不断进步和发展，数学教学应紧跟时代的步伐，大力推进课程、教材、教法的改革，教师必须转变教育观念，掌握新的教学基本功，为最终提高新课程的教学而努力。

[参考文献]

篇6

关键词：心理学；数学概念；记忆

中图分类号：G642 文献标识码：A

数学是由数学概念、命题、数学思想方法构成的一个完整的结构系统。数学概念是建构数学这一完整结构系统的基石，也是学生学好数学的基础和前提。学生对数学概念的理解掌握程度是其数学基础内容掌握好坏的重要标志。如何进行数学概念的学习，怎样才能让学生完成对数学概念的实质性的掌握过程，就成为我们需要认真思考的问题。

走进中小学数学课堂，大多数教师对数学概念的讲授都是让学生多读几遍、背下来，几分钟后检查背诵结果，这样的教学过程与数学课堂本身的特点背道而驰，同时也不符合新课程改革的教学理念。

一、对数学概念的认识

在心理学层面上，概念被定义为一种反映事物一般的和本质的属性或联系的思维方式，是用来对物体、事件和特性进行分组的心理类别。数学概念作为数学学科中的特有概念，是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，也可以认为数学概念其实就是一种数学思维方式。大部分数学概念是以属概念加种差的方式定义的。属概念就相当于概念的外延，即对象的“质”的特征，而种差则相当于概念的内涵，即对象的“量”的范围。另外一少部分数学概念属于强制性定义，如整数和分数统称为有理数、π的值、e的值等。数学概念是具体性与抽象性的辩证统一，有些数学概念是对真实事物的直接抽象，具有直观的特点，而有些数学概念则凌驾于已有认知结构之上，对已有概念进行再抽象。

数学中有许多的概念是“思维的自由想象和创造的产物”，它们与真实世界的距离是非常遥远的。正由于数学概念高度抽象的特点，使得学生在学习数学概念的过程中，总是忽略对数学概念的记忆，认为数学学科最重要的是逻辑思维，对数学概念理解了就行，不需要记忆，却不知道记忆是最基本的认知能力的层次，有记忆才会有思维，有思维才会有想象。如果在数学概念掌握不到位的情况下去解题，就如同“无源之水，无本之木”。数学概念作为建构数学大厦的基石，记忆大量的概念是很有必要的，而记忆切忌“死记硬背”，因为即使把概念背下来了，也不可能对其有实质性的理解，在实际应用过程中也只能生搬硬套，不能灵活运用，所以对数学概念一定要在理解的基础上记忆。

二、从心理学角度看数学概念的记忆

数学学习中一少部分强制性定义的数学概念是需要学生机械记忆的，但大部分的数学概念都是需要学生有意义识记的，也就是在理解的基础上记忆。认知心理学认为记忆是过去的经验在人脑中的反映――是人脑对感知过的事物、思考过的问题、体验过的情绪和做过的动作的反映。在数学学习过程中，对数学概念的记忆遵循编码―存储―提取的过程。这三个阶段的任何一个阶段出现问题都将影响记忆的效果。

记忆的第一阶段――编码，它是信息进入记忆系统进行存储的过程。编码过程中对信息的加工水平直接影响着记忆的程度，编码是从表层到深层的连续统一体，加工水平越深，记忆越深刻，记忆效果越好。

以初中数学概念“数轴”为例，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。如果只对这个信息进行表层加工，需要注意原点、正方向、单位长度和直线四个关键词，对初中生而言，认知负荷较大而且不易记住。如果对这个信息进行中间加工，将数轴归为已有认知结构中的“直线”这一类概念之中，相对于表层加工阶段而言，认知负荷减少，记忆效果就会好一些。可如果对这个信息进行深层加工，将四个关键词以符号的形式直观表现出来（画一条直线，箭头指向表示正方向，平分表示单位长度，位置为原点），认知负荷最小且一目了然，数轴的概念也已了然于心。

记忆的第二阶段――存储，它是指如何保存信息以及在记忆中如何对信息进行表征。文章以语义网络理论对记忆的存储进行阐述，心理学家提出编码后的信息可以被想象成一个代表不同分类或概念节点的复杂网络，新编码的信息进入记忆系统后被安放在这个复杂语义网络中的适当位置，新信息会继续同周围网络中的相关节点逐渐产生联系，从而使得网络语义系统越来越庞大。

以初中数学概念“正比例函数”为例，在学习正比例函数之前，学生的记忆系统中已形成了由函数、一次函数构成的语义网络，在学习正比例函数的过程中，只需将正比例函数的概念放在该语义网络中恰当的位置即可。正比例函数的概念不但被安置在已有语义网络恰当的位置，还将会与日后学习的反比例函数、二次函数等概念产生新的联系。这个理论可以很好地解释死记硬背的缺陷，因为死记硬背下来的数学概念不能被很好地纳入已有的语义网络之中，通常只会是以表层加工而不是深层加工的方式形成短时记忆，不能得到有效的存储。相反，经过精细的信息加工，将新概念同已有的认知结构中的概念联系起来，就很容易被记忆系统所认可并得到存储。

记忆的第三阶段――提取，它是指在记忆系统中进行搜索，并找出需要的信息。从记忆系统中提取数学概念则体现在解题过程中对数学概念的运用上，只有灵活地将数学概念运用于解题过程中，对数学概念的记忆才有意义。而记忆的提取失败主要原因是遗忘。著名的心理学家艾宾浩斯提出记忆的遗忘曲线理论，他认为，大部分遗忘发生在学习之后不久的时间里。继艾宾浩斯之后，许多人用无意义材料和有意义材料以及不同的学习形式，对遗忘现象进行研究，都证实了艾宾浩斯遗忘曲线的普遍性。因此，对新学习的数学概念要进行及时回顾并应用于数学解题过程中。

三、数学概念的记忆策略

根据对数学概念记忆的心理^程的探讨，笔者提出了以下几点记忆策略。

1.理解概念，拒绝死记硬背

对新学习的数学概念要尽可能地进行“深层次加工”，充分理解概念的含义并试着用自己理解的数学符号来形象地表示数学概念，用自己的语言准确地表述，将新概念内化为自己的东西。

2.积极构建概念的语义网络

尽可能多地将新学习的数学概念与记忆系统中已有的概念建立联系，形成更饱满的语义网络系统，既有助于新概念的记忆，又可以在运用过程中很轻松地从记忆系统中提取出来。

3.对新概念进行及时复习

根据艾宾浩斯的遗忘曲线可以知道，在学习后的短时间内，学习者会遗忘掉大部分的学习内容，所以及时对新学习的数学概念进行有效复习，将有助于记忆。

数学概念是进行数学思维的基础，在没有足够的数学概念记忆储备的状态下进行数学解题，就像是建高楼大厦没有砖，划船比赛没有水一样无能为力。在数学学习过程中，对数学概念的记忆是至关重要的一步。本文从记忆的“编码”“存储”和“提取”三个心理学过程对数学概念的记忆进行了阐述，并提出了几点记忆策略，希望对数学概念的教学提供一定的帮助。

参考文献：

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概念同化教学模式是建立在一般学习理论基础之上，偏重于概念的逻辑结构。这种教学模式比较简明，使学生能够比较直接地学习概念，因此，被称为是“学生获得概念的最基本方式”。概念同化虽然是一种省时、省力且见效快的概念教学模式，但在这种模式下，它忽视了数学概念本身所蕴含的现实背景，学生的学习缺乏“活动”，对概念的形成过程没有充分的体验。

二、APOS理论的构建

APOS别是由英文Action（操作）、Process（过程）、Object（对象）和Scheme（图式）的第一个字母组合而成。这种理论认为，在数学概念学习中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式从而理清问题情境，顺利解决问题。这四个阶段的内容如下：

1.活动阶段（Action）：亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系。通过操作活动，理解概念的意义。

2.过程阶段（Process）：对“操作”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。

3.对象阶段（Object）：认识概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象。

4.图式阶段（Scheme）：反映概念的定义及符号，建立与其他概念、规则、图形的联系，形成综合的心理图式。

APOS理论将数学概念的建立分为活动――过程――对象――概念四个阶段，如果数学教学停留在活动层面，那不是真正的理想的数学概念学习，数学概念学习还应上升到抽象层面，使概念的形成的“活动、过程”向“对象”阶段转化，从而达到“图式”阶段，才能掌握数学知识的本质与内在。

三、基于APOS理论的教学设计

笔者认为，APOS理论的活动阶段相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段，过程阶段则是对具体实体进行思维概括得出数学概念的阶段。下面是仅以浙教版八年级（上）《平面直角坐标系》的教学设计为例来说明。

1.活动阶段――创设问题情境，在活动中思考问题

笔者发给同学们一张地图，请大家仔细观察地图并回答问题：

（1）向你的同桌描述建筑物A（动物园）、B（青少年宫）、C（电影院）的位置。（2）假设你在另一处D（学校），你将怎样找到A、B、C？

结合学生的生活经验，创造学生展开思考的环境，给予学生充分表达自己看法的机会，让他们在自主思考、自由交流中，在与同学观点交锋中，撞击出思维的火花。

2.过程阶段――体验并抽象比例概念的过程

老师广泛听取学生意见后，因势利导，总结、概括大家的意见，引导学生得出确定平面某一位置的方法，以及这些方法的共同之处。接下来，老师与学生共同回顾之前学过的有关数轴的内容――数轴上的每一个点都对应着一个实数值，然后找到那个点，以此诱发学生思考平面上一个点的确定。结合先前活动的经验，抽象得出平面上的确定位置的过程，也是寻找、设置两条数轴（两个方向）的过程。而两条互相垂直的数轴也是其中的一种过程，也就构成平面直角坐标系，而这一过程也就是形成平面直角坐标系的过程。将平面直角坐标系这一概念的形成过程归结于两条数轴的出现过程，这应该是一种全新的视角。

3.对象阶段――对平面直角坐标系形式化、工具性的表达

将平面直角坐标系作为一个新的对象来认识，对其进行形式化、工具性地表达，这是对象阶段应该达到的目标。课题练习：（1）请你在先前地图中，建立平面直角坐标系。（2）写出各点的坐标。（3）写出与B点关于坐标数轴相对称的点的坐标。1小题用于巩固平面直角坐标系的概念；2、3题皆在联系通过点写坐标。而这一切都将学生的动手尝试放在老师讲解之前，也是考虑到知识内容本身的难易程序和学生已有的知识背景。

4.图式阶段――建立综合心理图式

通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该建立如下的心理图式：现实生活中直角坐标系思想的应用、直角坐标系的作用、在直角坐标系中确定点的过程及其与数轴的区别和联系等等。老师带领学生订正课堂练习，并在其中尝试区分平面直角坐标系与数轴的不同，认识它们的优越性。

老师引导学生思考平面直角坐标系与数轴的关系，对学生拓宽思考问题的方式大有好处，明确此事物和它事物的区别与联系，也是认识事物的一种方式。

四、数学概念教学中几点建议

APOS理论对于数学的概念的学习能产生多大的指导作用，最终还要依赖于老师的课堂实践。为此，提出以下几点教学建议：

1.努力创设适合学生概念发展的现实情境。

2.对象、图式阶段是数学概念在学生头脑中建立的长远之计，二者可以循环上升。

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关键词：数学概念；概念教学；阶段；数学思维；层次分析

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0153

概念是客观事物本质属性、特征在人们头脑中的反映。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。在初中数学教学中，加强概念的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。在新一轮课改理念的引领下，结合笔者的教学实践，就数学概念教学的有关问题与大家共同探讨。

一、新旧理念下数学概念教学模式的层次分析

传统的数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行。通常分为以下几个步骤：1. 揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；2. 对概念的进行特殊分类，揭示概念的外延；3. 巩固概念，利用概念解决的定义进行简单的识别活动；4. 概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其他概念间的联系。

这种教学过程简明，使学生可以比较直接地学习概念，节省时间，被称为是“学生获得概念的最基本方式”。但是，仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念是远远不够的。数学概念具有过程――对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。

美国教育心理学家布鲁纳曾指出：“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命。”就数学概念教学而言，素质教育提倡的是为理解而教。新课改理念下的数学概念教学要经过四个阶段：1. 活动阶段。2. 探究阶段。3. 对象阶段。4. 图式阶段。

以上四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。其中的“活动“阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过”活动“让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系：”探究“阶段是学生对”活动“进行思考，经历思维的内化、概括过程，学生在头脑对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质：”对象“阶段是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其进行”压缩“并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体的对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动：”图式“的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。

二、新课改理念下的概念与法则的教学案例

1. 代数式概念

代数式（字母表示数）概念一直是学生学习代数过程中的难点，有很多学生学过后只能记住代数式的形式特征，不能理解字母表示数的意义。代数式的本质在于将求知数和数字可以像数一样进行运算。认识这一点，需要有以下四个层次：

（1）通过操作活动，理解具体的代数式

问题一：让学生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并请填写好下表：

问题二：有一些矩形，长是宽的3倍，请填写下表：

通过以上两个问题，让学生初步体会“同类意义”的数表示的各种关系。

（2）探究阶段，体验代数式中过程

针对活动阶段的情况，可提出一些问题让学生讨论探究：

①问题一中3n+1，与具体的数有什么样的关系？

②把各具体字母表示的式子作为一个整体，具有什么样的特征和意义？（需经反复体验、反思、抽象代数式特征：一种运算关系；字母表示一类数等）。

这一阶段还包括列代数式和对代数式求值，可设计下题让学生进一步体会代数式的特征：每包书有12册，n包书有 册；温度由t℃下降2℃后是 ℃；一个正方形的边长是x，那么它的面积是 ；如果买x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自来水费（每立方米b元），共花去 元钱？

（3）对象阶段，对代数式的形式化表述

这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分解及解方程等运算。学生在进行运算中就意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数，代数式本身体现了一种运算结构关系，而不只是运算过程。这一阶段，学生必须理解字母的意义，识别代数式。

（4）图式阶段，建立综合的心理图式

通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该建立起如下的代数式的心理表征：具体的实例、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义，并能加以运用有理数加法法则：

①运算操作：计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种不同情形：

（+3）+（+2）――+5 （-2）+（-1）――-3

（+3）+（-2）――+1 （-3）+（+2）――-1

（+3）+0――+3 ……

（其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。

②探究规律：把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义。

③形成对象：把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式：有理数+有理数=①符号②数值这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。

④形成图式：有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系。

三、两种教学模式下学生学习方式的对比分析

与新课改理念相比，传统的教学模式下学生的学习缺少“活动”阶段，对概念的形成过程没有充分体验，学生数学概念的建立靠教师代替快体验、快抽象。反映出的情况有：

1. 过快的抽象过程使得只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。例如学生学习有理数运算很长时间，还经常出现符号运算错误，这就是学生对有理数运算没有理解而造成的。

2. 由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使是能跟随教师进行有意义学习的学生其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。例如学生学习了代数式的概念，经常出现a+a+a×2=3a×2，25x-4=21x，5yz-5z=y等错误，这是因为学生没有进行必要的“活动”，使“探究”的体验不完整需用造成的。又如在求解方程中出现（x+2）2=1=x2+4x+4=1=……等错误，说明学生还停留于运算过程层面，对方程对象的结构特征不理解。

3. 学生建构概念的图式层面是学习的最高阶段，在现有教学环境下很多学生难以达到这一层面。例如，为什么要学习解方程？解方程的本质是什么？

四、新课改理念下数学概念教学的策略

新课改理念下的数学概念教学是由学生活动、探究到对象、图式的学习过程，体现了数学知识形成的规律性。为此，笔者结合自己的教学实践对数学概念教学采取以下策略：

1. 教师要把“教”建立在学生“学”的活动中

为了使学生建构完整的数学知识，首先要设计学生的学习活动。这需要教师创设问题情境，设计时要注意以下几个方面：（1）能揭示数学知识的现实背景和形成过程；（2）适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；（3）适当数量的问题，使学生有充足活动体验；（4）注意趣味性，活动形式可以多种多样，引起全体学生的学习兴趣。

2. 体现数学知识形成中的数学思维方法

数学思维方法是知识产生的灵魂，把握数学知识形成中的数学思维方法，是学生展开思维、建构概念的主线。学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。另外，要设计能引起学生反思的提问，如“你的结果是什么？”“你是怎样得出的？”“你为什么怎样做？”……使学生能顺利完成由“活动”到“探究”，“探究”到“对象”的过渡。

3. 数学对象的建立需经多次反复

一个数学概念由“探究”到“对象”的建立，有时既困难又漫长（如函数概念）。“探究”到“对象”的压缩、抽象需要经过多次反复，循序渐进，螺旋上升，直至学生真正理解。“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示，使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。加强知识间的联系和应用，帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。

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关键词：函数概念；情境；建构；交流协作；反思

建构主义理论是认知主义的进一步发展，是对传统学习理论的继承与抛弃。数学教学的目标不仅在于帮助学生“学会”，更重要的是促进学生“会学”。教师所教的数学知识必须通过学生主体感知、消化、改造，建立适合他们自己的数学结构，才能被理解、掌握，并且经过反思和与环境的交流，进一步改善学生的数学结构。

数学知识中最普遍的形式是概念，概念是数学内容的基本点，是逻辑导出定理、公式和法则的出发点，是建立理论联系实际的着眼点，概念学习是数学学习的核心。函数是中学数学的基本概念，也是一个重要概念。这里笔者对建构主义观下的函数概念教学作了一点探索与思考。

一、创设情境，激发兴趣

在建构主义学习环境下，教学设计不仅要考虑教学目标分析，还要考虑有利于学习建构的情境创设问题，并把情境创设看成是教学设计的最主要内容之一。在教学中，教师根据教学目标和学生认知结构的“最近发展区”设计出生动的教学情境。

学习情境通常由一系列由浅入深、由表及里的问题或活动内容组成，目的是引起学生探索动机和发现的欲望并引导其思维逐渐深入。通过情境的创设，可以调动学生学习的积极性和求知欲，在问题解决过程中，引导学生体验数学研究的真正过程，让学生感受到数学的研究其实很平常，树立学生有能力用数学理解身边事物的自信，加深对函数概念的理解。

二、创造条件，让学生自主活动构建函数概念

学生对函数概念的学习，经历由不知到知、到理解、记忆、运用，最后内化为学生自己认知结构，这需要一定的心理活动过程。学生在初中曾学过正、反比例函数，一次函数，二次函数，多半是概念化、形式化的，更多的是一种感性思维，并没有涉及对函数概念本质的理解，模仿成分居多。幂函数是学生较系统地学习的第一个函数，通过这一节的学习，除了应使学生对幂函数的有关概念，图像和性质等纯知识建立起相应的认知结构，还要在知识学习的同时，培养学生对函数的研究方法。对于刚刚进入高中的学生来讲，以往的教学模式和知识基础很难使学生与教师产生共鸣。于是可采用以下措施：讲解概念后，引导学生自己动手画出几个幂函数图象，并逐一讨论性质，在画函数图象的过程中引导学生观察、归纳、发现、整理幂函数的性质，获得对幂函数的意义建构。

三、通过交流协作，促进学生建构的发展

建构主义认为：学生和成人（教师）对于同一数学概念的理解有很大的差别，但是交流起到十分重要的作用，人们通过交流和协作得到相互启发，从而不断完善自己的认知结构。学生对函数概念的理解应该有一个从特殊到一般，从具体到抽象，从片面到全面，从形式到本质，从粗糙到精确的过程，这个过程反映出学习认识上的阶段性，也显示出通过数学交流提高认识的重要性。有学生认为：“函数就是一个解析式”“函数就是一个方程”“能写出解析表达式的才是函数，不能写出表达式的就不是函数”，把分段表示的一个函数认作“几个函数”，把用不同形式的解析式表示的同一函数认为是不同的函数等等，出现这种错误的原因在于学生只抓住表示函数的解析法这一形式，而丢掉了对应这一本质，这些问题需要老师的讲解，也更需要加强学生之间的讨论、协作、交流，在小组、在班级讨论澄清认识。

四、在应用和反思的过程中优化学生的认知结构

反思就是在学习的过程中学生以自己的学习活动为思考对象来对自己所作出的行为、决策，以及由此产生的结果进行审视或分析的过程，反思能力是建构主义的核心，学生可以通过概念学习过程的反思，更好地根据自己的需要和不断变化的情况修改和提炼自己的策略，向着更深层的思维发展。现在中学课本里的函数概念是在初中和高中分两次讲授的，两个定义都抓住了函数的本质对应（映射），但都有其局限性，在高一学过函数概念之后应鼓励学生反思，对两个概念进行比较和分析，前者突出了“变量”，对函数概念划得自然，形象直观，通俗易懂。后者突出了“映射”，比较接近于函数的近代定义，但是强调“A、B是数的集合”显得过于狭隘，使有些问题难于解释.要达到对函数关系本质属性的这种认识水平，不是在短时间内可能达到的，必然要经过一个长期的、多次的反思。

在这样数学学习中，学生通过一定的情境，通过与学习伙伴的交流，经过自己的反思，建立起来的函数的概念及其有关性质是牢固的，真正体验到函数是如何被用来探索和解决实际问题的，而不是一种抽象的枯燥无味的“空中楼阁”。当然这个过程相对于向学生直接给出函数的定义，再让学生通过练习而熟悉有关操作的教学要漫长得多，但是在这样的环境中学习，学生会学得更多、更好些。在这样的教学中，教师的创造性得到了充分的发挥，主体作用得到了充分的体现，数学知识的发生发展的过程性得到了更加充分的展现，学生的自主活动也开展得更加充分。

参考文献：

[1]G波利亚.数学的发现[M].刘景麟，译.内蒙古人民出版社，1981.

[2]高文.建构主义学习的特征[M].外国教育资料，1999-01.

[3]张奠宙.李士锜.李俊，数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003-04-01.

篇10

目前高中数学考试中，主要有三种笔试题型：选择题、填空题和解答题，下面将按这三种题型的概念分别进行讨论：

一、选择题

选择题是一种由题干和备选项两部分组成的题型。由于选择题备有若干个选项，这些信息兼具“提示”与“误导”双重作用，其功能重在判断和辨析。

一道好的选择题，往往表现出短小精悍、考察中肯、格调明快和值得回味的特点。编制这种题型的实体的关键在于考察能力的目标明确、具体、集中，取材恰当、合理、有针对性，精心编制好题干和备选题。具体编制过程中要注意以下几点：

（一） 选材与铺陈

选材所及的知识点宜少不宜多，要服务于能力考查，且应属基础和基本的知识，不宜采用派生性的知识作为考察能力的依托。每题多以1至3个知识点为宜，个别试题所含知识点可以多一些，但最好不要超过5个，否则必将降低试题的区分度。

（二） 知识与技能

几乎任何试题都同时考查了知识和技能。但是，处于选择题的特点，在通常情况下不宜二者并重，宜侧重一个方面。当侧重知识时，技能应淡化一些；当侧重技能时，知识的要求不宜加难加深。而在容量较大的考试（如高考）的数学能力的考查中，作为选择题题组，侧重技能考查的试题可以少一点，还可设置若干综合性较强、难度较大的试题。

（三） 题干与备选项

为保证试题的完整性和紧凑性，必须精心安排好题干和备选项的分割和连接。题干和备选项应该连接成为一个意思明确的完整句子，或一个问句一个答句。分割要恰当，关联词要准确明白，是整题读起来通顺流畅。题设与结论之间的关联词、提问的指导语，既要合乎逻辑，无歧义，又要十分考究，而且一般地说，放在题干中较好，有时也可放在备选项中。

二、填空题

填空题是在一个命题中，留有一个或数个空白要求学生填写出来的一种题型，也称填充题。它是介于选择题于解答题这两种题型之间的一种独立的题型。

填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同的特点：其形态短小精悍；考查目标集中；答案简短、明确、具体，不必填写解答过程；评分客观、公正、准确等等。对于答案都是数字或符号的一组填空题，在试卷的编排上还可将其“选择化”。作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质），判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。但是比起解答题，其考查深度还是差不多。就计算和推理来说，填空题始终都得控制在低层次上，不能盲目拔高要求。

填空题的另一个考查功能，是可以有效地考查阅读能力、观察和分析能力。这时因为我们可以吧试题编制成“读懂了，正确的结论也就出来了”的形态，并且可使这个审读分析过程既无干扰又无提示。这一点，对于选择题或解答题都是难以做到的，选择题总得还要备选项，解答题总得要有一定的推演、说明步骤。

适合编制为填空题的内容有：较简单的推理运算问题；容易由概念、性质或图形做出判断而严格地演绎出结果却是很难或冗繁的问题；貌似计算，实则运用概念或性质容易提示出其中某些数量关系的问题。

编制填空题的几个基本原则有如下几点：

（一） 取材合理，涉及的内容不宜多

（二） 陈述上力求简洁、精炼、规范

（三） 考查中心突出、鲜明、集中

（四） 一个试题中，一般留1至2个空白为宜

三、解答题

解答题是一种要求学生写出完整的解题过程，评分标准事先无法唯一确定，并且阅卷工作必须有一定数学修养的人员才能进行的题型。

解答题题型内涵丰富，包含的试题模式灵活多变，其基本架构是：给出一定的题设（即已知条件）然后提出一定的要求（即要达到的目标）让考生解答，不过，“题设”和“要求”的模式则五花八门、多种多样。考生解答是，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。

每道解答题的内容可多可少，问题可大可小，陈述可长可短，题设可明可暗，难度可深可浅。因此，解答题的考查功能有很大的弹性，既可在多个层次生考查基本知识、基本技能和基本思想方法，又能深入的考查数学能力和数学素质。尤其是复杂的运算，多转折的逻辑推理，多线条图形的空间想象和辨识，综合问题的分析和解决等等，这些深层的素质和能力的考查，非解答题莫属，客观性试题的题型是无能为力的。