数学建模问题范文

导语：如何才能写好一篇数学建模问题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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作为一名高中生，笔者比较喜欢数学，学习数学的根本目的是要应用到国家的建设中去，为国家的强大服务。学习过程中，要使数学课程中应用意识落到实处，一个重要的举措就是对数学建模的认识。数学建模就是用建立数学模型来解决实际问题的方法，也就是把实际的抽象问题转化为数学问题来建立模型，然后求解该数学问题，并检验修正。在中学主要有下面几类常见的数学建模问题，现分析如下。

1 从离散的点状数据建立数学函数模型（即函数图像拟合法）

这类问题以统计为前提 ，特别是随着时间或其他因素而渐变的量，从分散的数据中，建立带有参数的函数模型，并进行参数求解，可以对未知的（国民生产总值等）进行预测。例1：某新建成的服装厂的产量。该厂从去年九月份开始投产，并且前4个月的产量分别为3.5万件，3.7万件，3.8万件，3.88万件。由于产品质量好款式新颖，因此前几个月的销售情况良好。该厂厂长碰到了一个难题：为了制定企业生产计划，需要估测今后几个月的产量。从函数关系角度去研究，把月份看作横坐标，产量看作纵坐标，建立坐标系，将以上数据抽象为数对（1，3.5）（2，3.7）（3，3.8）（4，3.88），并在平面直角坐标系中表示出来。

用几个点的坐标找出与之相近的模拟函数，利用函数模型来解决该实际问题，如图1所示。

设开始生产后的第x个月份服装厂的产量为y万件。

方案1：建立模型：（直线型拟合法）。选用一次函数，因为一次函数最简单，它是直线型的。我们的模拟函数是：y=kx+b（k≠0）。求解参数：代入（1，3.5），（2，3.7）得到方程组

k+b=3.5 （1）

2k+b=3.7 （2）

求得k=0.2，b=3.3，此时y=0.2x+3.3。验证：代入 （3，3.8），（4，3.88），发现该函数模型与实际情况拟合度过低，因此应舍弃该模型。

方案2：建立模型：（抛物线型拟合法）。选用二次函数，因为折线显然不是直线，二次函?凳俏颐鞘煜さ某＜?的曲线函数。我们的模拟函数是：y=ax2+bx+c（a≠0）。求解参数：代入（1，3.5），（2，3.7），（3，3.8）得到方程组：

a+b+c=3.5 （3）

4a+2b+c=3.7 （4）

9a+3b+c=3.8 （5）

解方程组得： a=?0.05， b=0.35，c=3.2。生产月份与产量之间的关系为：y=?0.05 x2+0.35x+3.2。验证：当x=2时，y=?0.05 x2+0.35x+3.2=3.8 与实际情况（x=2时，y=3.88）有所偏差，而且根据二次函数性质，其对称轴为x=3.5，当x（代表生产月份）>3.5时y（代表该月产量）为减函数，y值不断减小，直至y=0，显然这与”产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好”的实际情况不相符合，无法正确预测后面几个月的服装产量，因此应舍弃该模型。

2 从等量关系出发建立方程模型或不等式模型

对现实生活中广泛存在的等量关系，如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工及人员调配、行程、核定价格范围、盈亏平衡分析等问题，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系可列出方程（组）转换为，转化为不等式（组）的求解或目标函数在闭区间的最值问题。

2 从图形问题中建立数学模型

这类数学建模问题在实际生活中较常见，比如求周长、面积、体积等的最大值、最小值问题。我们可以结合相关的几何公式，建立相应的函数模型。在实际工作中，诸如遇到工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及一定图形的性质常需建立几何模型，转化为几何问题求解，见图2。

例2：半径为r的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？

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一、融入程度问题

如果数学建模的精神不能融合进数学类主干课程，数学建模的精神是不能得到充分体现和认可的．数学建模思想的融入宜采用渐进的方式，力争和已有的教学内容有机地结合，充分体现数学建模思想的引领作用．为了突出主旨，也为了避免占用过多的学时，加重学生负担，对数学课程要精选数学建模内容[1]11．将数学建模融入概率统计等课程教学时，要注重数学建模思想和精神的引入，不能为数学建模而建模，不能打断教学的正常进展．这就要求教师在教学中一定要结合具体的概率统计内容来设计如何渗透数学建模的思想和精神，在有效完成概率统计的教学的同时，提高学生的数学建模能力和数学应用意识．

二、师资匮乏和教师数学建模能力问题

成功的前提条件．然而，有关调查表明情况并不乐观，文献[9]对数学建模教学的现状进行了调查和分析，结果发现数学建模教学存在着一个明显的问题就是师资缺乏：有4位以上“数学建模”主讲教师的学校仅占30%；相当一部分学校（15%）仅有1位任课教师；有些学校上课的学生的总人数达到400人以上，却只有1~2位任课教师．师资的匮乏直接影响着数学建模融入概率统计的教学．其次，是教师数学建模能力有待于提高的问题．尽管这些年来数学建模竞赛在我国开展的较为普遍，然而许多高校大部分教师并没有参与到数学建模竞赛中来[9]149，这不仅从侧面说明了许多教师对数学建模和数学建模竞赛仍然缺乏了解，而且也间接地说明了许多教师的数学建模能力有待于提高．为提高教师数学建模能力，解决师资匮乏问题，教师要积极地参与数学建模竞赛的培训和指导．通过对学生进行培训和指导，教师才能积极主动地学习和掌握数学建模知识，教师在培训中与学生一起做一些数学建模实际问题，亲身体会数学建模过程．同时，教师要结合自己的研究方向，将自己的专业知识运用到实际问题中去，通过解决实际问题不断提高自己的数学建模能力和水平，加深自己对数学建模的了解和认识．

三、缺少数学建模案例问题

我国现行大多数概率统计教材的内容是经过反复锤炼，精益求精，严格遵循定义、定理、例题、习题等模式，将数学学科的抽象性和逻辑的严谨性体现得淋漓尽致，尽管存在着不少的应用实例，但是这些例子基本上都是为了使学生掌握所学内容而设计的，大同小异，并且许多案例落后于时代，好的案例更是少之又少．好案例的缺乏使得学生失去了许多了解和接触数学建模思想和方法的机会．缺少好的数学建模案例问题的原因很多，首先，将数学建模融入概率统计教学的开展时间较短，仍然处于尝试阶段，案例开发跟不上；其次，教师缺少数学建模意识和数学建模能力有待提高是导致体现数模案例缺少的一个重要原因．第三，有些教师不注意收集和整理体现数学建模的概率统计相关的资料和案例．因此，如何结合概率统计的内容设计体现数学建模思想和方法的应用实例，值得探索．实际上，体现数学建模思想方法的概率统计案例的缺乏也为教师提供了一个发展数学建模能力和提高教学水平的机会，也就需要教师在概率统计教学中，根据教学内容和实际问题，结合自身理解和学术研究，设计出既能促进概率统计教学，又能体现出数学建模思想的案例．此外，教师应积极查询学术期刊上刊登的相关资料[10-11]，参加数学建模和概率统计的研讨会，关注社会热点焦点问题，主动开发获得相关的应用实例．

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应用题是数学的重要组成部分，在数学中占有重要的位置，同时，也是数学教学的重点与难点，因此，转变传统教学模式，应用问题―建模―应用教学模式开展教学十分重要，是提高数学教学质量的关键，阐述问题―建模―应用教学模式，研究问题――建模――应用教学模式在小学数学教学中的应用具有重要价值。

1 问题――建模――应用教学模式概述

“问题――建模――应用”教学模式的理论指导是问题教学理论，通过提出问题，思考问题，建立模型等流程能够促进学生学习，提高学生合作能力，促进学生学习探究，将实际问题转化为数学问题，在建立数学模型的情况下发挥学生学习的主动性与积极性，促使学生自主利用数学知识与技能解决问题[1]。利用“问题――建模――应用”教学模式展开教学具有重要的意义，第一，能够提升学生的综合应用能力，促进学生自主学习，主动思考。“问题――建模――应用”教学模式的关键就在于问题与应用，通过分析问题，总结问题，可以促进学生思考，活跃学生思维，在此基础上进行建模与应用，能够提升学生的综合能力与实际应用能力，为学生今后的学习打下良好的基础。第二，使学生掌握有效的学习方法，养成良好的学习习惯。小学时期是学习的关键时期，也是学生学习习惯养成的关键时期，在此时期教授学生有效的学习方法，使学生掌握学习方法，有助于学生今后数学知识的学习，使学生养成良好的学习习惯，提高学习效率与质量。

2 问题――建模――应用教学模式的应用

2.1 提出问题

在小学数学应用题解题过程中，提出问题，认真审题是解题的基础。通过提出问题、认真审题可以获取应用题中的有效信息，根据有效信息建立模型，找到解题的关键，因此，提出问题，认真审题十分重要[2]。提出问题、认真审题需要做到以下几点，第一，审题需要掌握一定的方法，抓住题目中的重要内容，以便了解题意，准确找到解题的有利条件，从而为解答应用题做好准备。第二，审题必须认真，小学生容易分心，教师可以要求学生用铅笔将题目中的数字以及有用的信息标注出来，以便快速进行解题，准确了解题意。例如，一道应用题是一根绳子长10米，第一次截去2米。第二次截去5米，问绳子还剩几米？在审题时，教师可以要求学生将10米、2米、5米都用铅笔标注出来，以免落下信息，以便保证审题的准确性，为解题打好基础。

2.2 合作交流，自主探究

自主探究及自己思考，?ττ锰獾男畔⒔?行整理，自己进行审题，抓住应用题中的重要内容，合作交流指小组成员互相交换意见，提出自己的看法与建议，共同学习，共同探讨，提高学习效率与质量，通过合作交流、自主探究，可以实现“问题――建模――应用”教学模式的有效应用，达到理想的教学效果。合作交流，自主探究需要做到以下几点，第一，引导学生带着问题独立思考，促进学生自主解决问题，提升学生自主探究能力。学生自主思考，能够锻炼小学生大脑，促进学生大脑发育，提升学生思维能力与思考能力，为学生独立解决问题创造条件[3]。第二，根据学生的学习基础、学习能力、学习态度，恰当安排学习合作小组，促进学生合作学习、合作交流，提升学生的合作能力以及学习能力。

2.3 建立模型

问题解决是数学应用题答题的核心，建立模型是解决问题的关键，因此，建立模型，解决问题十分重要，通过自主探究与合作学习，学生已经掌握了解题的大体思路，掌握了解题策略，建立模型就是实现具体实际问题到数学问题的转化，对实际问题实施数学模型建立。建立数学模型需要做到以下几点，第一，为学生进行必要的指导，帮助学生总结解题思路，实现模型的建立。小学生还处于形象思维阶段，对一些抽象问题难以理解，自己建立模型，总结知识十分困难，因此，教师需要进行必要的指导，帮助学生建立模型，解决问题，形成自己的问题解决模式，提高学生问题解决能力。第二，在模型建立过程中，需要将知识内容与生活实际以及学生感兴趣的新鲜的事物相联系，调动学生学习的积极性，帮助学生建立联系，提高学生的学习能力与效率。

2.4 拓展变式，灵活应用

应用题的题型多变，但是解题思路以及中心思想是相似的，在利用“问题――建模――应用”教学模式时需要对知识进行灵活的应用与转变，拓展变式，培养学生灵活应用、举一反三的能力，促进学生自主学习，增强学生的学习能力。数学知识点与生活密切相关，在联系实际时，需要注意变式与扩展，对知识进行灵活的应用，以免学生形成模式化的固定思维，阻碍学生思考创新，影响学生今后问题的解决。

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关键词：数学建模；问题驱动；数学建模竞赛；课程教学改革

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0143-03

《数学建模》课程具有知识面广、形式多样、教学难度较大等特点。因此，一般认为数学建模的教学是一个不断学习、不断提高、不断探索和改革的过程。我们在广东工业大学《数学建模》课程的具体教学实践过程中的指导思路是：以培养学生对现实世界建立数学模型的能力为目标，以学生通过自学和查阅相关资料解决实际问题为目的来组织教学工作。李大潜院士曾指出“数学教育本质上是一种素质教育，《数学建模》的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径”。数学建模课程和竞赛为我校大学生提供了一个运用数学、学习数学、提高数学综合素质的平台，该项活动对提高学生的合作精神、解决问题的能力和自学能力都有很多的帮助。然而，目前传统的课堂授课模式过分注重教师的主体作用，忽视了学生自我探究能力和自主学习能力的培养，压抑了学生的主动性和积极性。要改变这种现状，就必须改革现有的课堂教学状况，探索培养、引发学生主动学习的新型教学模式。美国神经病学教授Howard Barrows于1969年创立了基于问题和项目的学习（Problem Based Learning，简称PBL）理念教学法，这是一种全新高效的教学方法，是以问题驱动为中心的教学模式。近年来，这种理念在澳大利亚的维多利亚大学、美国samford大学、丹麦的奥尔堡大学等世界知名大学得到广泛重视和应用推广，并呈现出不同的形式和多元化的发展特色。在我们国家这种教学理念目前主要实践在医学、市场营销、生物化学、实验教学、毕业论文的写作等领域过程。在数学教学中还很少有人使用这种方法，因此，探索这种教学理念在《数学建模》课程中的实践具有重要的理论价值和实际意义。

一、《数学建模》教学现状及问题

我校是以工科学生为主体的省属重点高校，很多工科院校的大学生对学习数学公共课程的重要性认识不足，对数学公共课在他们后续学习专业课的重要性不够了解。因此逐步提高我校工科大学生对数学公共课的认识水平，加强培养他们的数学综合素质已经十分必要了。令人高兴的是广东工业大学的大学生们对《数学建模》课程和数学建模竞赛活动有着非常浓厚的兴趣和积极性，且已经有不少学生在比赛中获得了不俗的成绩。因此，加强数学建模教学和数学建模培训对我校学生有着重要意义。目前，广东工业大学数学建模课程教学和数学建模竞赛活动分为三个模块：数学建模A，主要针对数学专业的学生；数学建模B，主要针对非数学专业的专业选修课；数学建模公共选修课，专业面向全校对数学建模感兴趣的学生。另外还为应用数学学院的学生开设了“数学建模实验”与“数学建模课程设计”的相关课程，逐步形成了理论与实践相结合的教学模式。由于《数学建模》课程的教材一般有多个知识单元构成，知识的跳跃性较强，因此，我们曾经的教学方法是安排三个老师，每个老师分别负责讲授自己数学的专业领域，这样做的好处是能充分发挥老师的专业特长，让学生了解到该专业方向的最新国内外动态和进展。然而这样做给我们对学生的考核造成了一定的难度，我们曾经尝试过闭卷、开卷和交论文考查等多种方式，这样考核方式各有各的优势和劣势。如何才能找到更好的教学和考核方式，这是我们一直在具体的教学实践中不断探索和努力的方向。这几年我们一直把问题驱动教学法的思想融入我们的数学建模教学活动中，已经取得了初步的成效，这种方式能既考查到学生运用数学知识解决实际问题的能力，又能让学生自己动手解决自己感兴趣的问题，虽然这些问题可能对学生具有一定的难度，但是它能真正考核到学生的实际水平，这正是我们所愿意看到的。在我们以往的数学建模竞赛培训中存在着许多问题，培训上采取以教师为中心、以填鸭式讲授为主的传统教学模式，课时非常有限，而教学内容容量又比较大，学生在很短的时间很难消化这些知识。因此造成开始报名的时候学生积极性很高，课时到培训快结束的时候，剩下来坚持学习的学生就大大减少了。因此，这种填鸭式的培训让学生消磨了学习数学公共课的热情和积极性，而且也不能提高学生的综合数学能力。因此，对数学建模课程教学和竞赛的培训的改革势在必行。

二、《数学建模》教学改革的三个方面

为了解决目前数学建模教学中存在的问题，必须从《数学建模》课程本身特点出发，改革课堂教学模式，加强学生主动学习环节、实际建模训练环节的教学，将问题驱动教学模式运用到《数学建模》课程的教学过程中去。这样不仅对改变《数学建模》这门课程的教学现状有着积极的意义，而且以点带面，对其他相似或相同特点课程的教学改革也具有很好的促进、借鉴作用，切合我校培养高素质应用型人才的定位，也符合我校2010版培养方案的制订要求，更推动了新时期新形势下的大学数学教学改革。下面分别就指导思想、教学方法和培训方法三方面的改革探索进行论述。

1.指导思想的改革。《数学建模》课程和数学建模竞赛活动是培养具有综合数学素质的复合型专业人才的内在要求。在具体教学实践过程中我们应该强调学习数学公共课的重要性，而不是简单地讲授数学知识点；必须强调的是学生通过自己的努力学习自主地解决所面临的实际问题，而不是成为数学解题能手；必须强调学生在数学建模学习中的主体地位和主观能动性的发挥，而不是学生被动的接受知识点。我们教学改革的目标是要突破纯粹的教师讲、学生听、做习题的教学模式，这种教学模式要突破传统的填鸭式教学，要通过有趣的实际例子激发学生学习数学公共课的积极性，要不断提高学生对数学公共课的兴趣，逐步培养学生建立数学模型的能力和利用计算机等其他技术解决生活中的实际问题的能力。《数学建模》课程和数学建模竞赛本身就是一个具有挑战的科学研究和学习过程，无论是数学建模教学还是数学建模比赛，我们做的目的都是要提高我们工科大学生的数学综合素质，为将来学好专业知识打下良好的数学基础。因此，我们提出问题驱动教学法来组织数学建模的教学和培训工作。通过该方法来充分调动学生学习数学公共课的积极性，让学生在全国数学建模比赛的具体实际活动中体会团结合作精神的重要性，通过告诉学生要学会学习、学会思考、学会与人为善，进而提高他们的动手能力、协助能力和沟通能力，为他们将来走上自己的工作岗位奠定基础。

2.教学方法的改革。选择正确的有效的教学方法能更好地确立教学内容，实现教学目标和培养学生的创新能力。鉴于传统的数学建模教学模式无法达到大幅提高学生综合能力的预期目标，我们提出了以问题驱动为指导思想的新的教学方法――问题驱动教学法。问题驱动教学模式的特点是以学生为学习主体，教师通过问题驱动，引导学生自主学习课程内容，并利用学过的理论知识来解决这些实际问题，最后总结归纳和评价。问题驱动是一种让学生以小组形式共同学习和解决问题的教学策略，通过这样的教学策略，可以让学生们在学习知识和解决问题的过程中培养探究问题解决的技能以及自主学习的技能，实现知识意义的建构。这种教学模式无疑对创新型人才的培养有着积极的意义。黄东明等人还在问题驱动教学理念的基础上提出了双环互动教学模式。在具体的教学实践过程中，我们经常把问题布置给学生，要求他们在一周的时间内自己去收集相关资料，寻求问题的解决方法，这种教学模式不再是传统的填鸭式教学过程，而是以学生自己为主体，要求学生充分发挥主观能动性和积极性。并且我们要求学生把自己准备好的解决问题的方法在讲台上给所有的同学讲解，并且要回答同学的提问。整个学习过程好像一个论文答辩过程，这样的教学模式既能充分调动学生的主观能动性和学习积极性，又能充分发挥学生自己的聪明才智，在实践中体会团队合作的重要性。

3.培训方法的改革。全国大学生数学建模竞赛所涉及的内容相当广泛，常用到的数学理论包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学规划、微分方程、离散数学等，常用到的软件有Matlab、Lingo、Mathematics等。在建模过程中常常需要用到学生从未学习的知识来解决实际问题。因此，我们在培训过程中必须要训练学生快速学习新知识并立即运用新知识解决问题的能力。数学建模竞赛是以提交论文的方式进行结果评定的，故在培训的过程中还应该特别注重论文撰写的能力。为了适用数学建模比赛的要求，结合我们在《数学建模》课程教学的改革实际情况，把“问题驱动教学法”运用到竞赛培训中去。在提出驱动问题时，教师可以根据现阶段学生所掌握的知识情况，挑选一个具体的实际问题，学生根据所给问题首先进行归纳分析，然后查阅相关新知识和准备可能要用到的软件。在这个过程中学生需要主动学习可能没有接触到的新知识和软件的新功能，并进行参考文献的泛读和优秀论文的精读。通过对优秀论文的细节把握，提高学生处理实际问题的能力和论文撰写的能力。最后学生建立数学模型并撰写论文。最后由老师对论文进行点评，指出其优点和不足，并提出修改意见。经过近年来教学方法与培训方法的改革试验，学生对数学建模的兴趣大大提高，竞赛成绩稳步上升，取得较好的成果。

三、其他方面的探索

1.加强教师队伍的建设。“问题驱动法”的教学，特别是在学生自主学习阶段需要的一个教学团队。所以加强师资队伍建设是《数学建模》课程教学改革成功与否的关键。一方面，教师应加强学习，提高自身素养，掌握先进的教学理念，同时还要对教学内容进行深刻研究，能从现实生活的各种社会经济现象中发现数学问题，并且用数学语言加以描述。另一方面，各个教师应在教学方法创新上不断实践。传统的数学教学活动都是沿袭着“定义―定理―推论―例题”的模式进行，这种模式既使学生感到数学乏味，也使得原来对数学感兴趣的学生易生厌倦，因此，加强探索新的教学方法迫在眉睫。如何进行高水平的教学，吸引更多的学生热爱和喜欢数学，把学到的数学知识用得更广、更深入，是我们教师不得不思索的问题，更是我们教师要做的主要工作。

2.教材建设的改革。目前的《数学建模》教材多种多样，不过大多数太注重数学的理论性和完整性，这样就使得实用性不强，与实际问题脱节，常常让学生无所适从，很难培养学生运用知识解决问题的能力。经过我们对这门课程的改革常识，我们深刻体会到教材建设应遵循的原则如下：①实用性。教师将要教学的内容强调数学公共知识在实际问题中的作用，在教材的深度和广度上应尽量符合工科大学生的实际需要，适时对数学定理和推论进行删减，增加一些与当前实际问题相关的教学内容，由现实生活中的热点经济、工程实际问题引入数学模型。②可读性。根据该门课程的特点和教学改革的需要，教材中的主要内容要用简单的教学语言表达抽象概念，越简单的越好，这样一般学生容易理解和掌握，尽量使枯涩的数学知识变得生动趣味。③前沿性。教材中的内容既要兼顾传统知识又要引入前沿热点问题，既要强调数学推理又要重视数学工具软件和其他计算机技术的运用。综上所述，教材建设是今后我们在该门课程改革实践中要重点解决的问题。

3.考核方法的改革。目前大多数的数学建模考核方法是闭卷考试，而一般数学考试题目侧重证明与计算，忽略了对实际问题的应用，没有达到《数学建模》课程建设的目标，无法考核学生运用知识解决问题的能力。这与《数学建模》课程设置的初衷相违背。因此，采用多种考核方法相结合。例如，让学生做一些小的开放性课题，撰写类似数学建模比赛的论文，在对工科学生专业知识结合的同时，讲授数学建模的特点和应用领域，这样既可以激发学生对数学建模的兴趣，又能增加他们对数学的理解。在考核过程中我们可以适当加大平时分的力度，淡化对试题的考核，加强学生对具体问题解决能力的考核。

今年恰逢我国数学建模竞赛开展20周年，数学建模竞赛活动的规模得到了空前的发展。数学建模教学和数学建模竞赛活动是我们工科院校的一门重要课程，它为提高工科大学生的数学综合素质和数学在其他专业的应用发挥了重要作用。实践证明，通过进行数学建模竞赛活动，可以大大拓展学生的知识面；充分发挥学生的主观能动性，强化学生自主学习的意识和能力；提高学生的创新能力和解决问题的实际能力；还可以促进学生的团队合作精神。总的来说，问题驱动教学模式在数学建模教学和数学建模竞赛的培训过程中的实践表明：这种教学理念和数学建模的本身的特点是十分吻合的，而这种教学模式对于指导我们进行教学改革具有重要的理论意义和实践价值。

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关键词：高校；数学教学；数学建模；应用；学生能力的培养

近半个世纪以来，数学的形象发生了很大的变化，人们逐渐认识到数学的发展与同时期社会的发展有着密切的关联，许多数学内容都是因社会需要而产生的，产生了许多数学分支。数学教学的重要任务就是使学生能够将所学数学知识和数学方法应用于社会生活和生产实践当中。

数学模型是一种抽象的模拟，它用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是为一定目的对部分现实世界而作的抽象、简化的数学结构。创建一个数学模型的全过程称为数学建模。即用数学的语言、方法、去近似地刻画该实际问题，并加以解决的全过程。它经历了对实际问题的抽象、简化、确定变量和参数；并用某些特征建立起变量与参数间的确定的数学问题（一个数学模型）；求解这个数学问题；解析并验证所得到的解：从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。从教学的角度，数学建模的重点不是学习理解数学本身，而在于数学方法的掌握、数学思维的建立。通过渗透数学建模思想使学生将学习过的数学方法和知识同周围的现实世界联系起来，和真正的实际应用问题联系起来。建立数学模型的流程图，如图：

上图揭示了从提出问题到解决问题的认识过程，这是从数学的角度认识的物质及其运动的过程，符合认识来源于实践的认识规律。如历史上著名的“哥斯尼堡七桥问题”，大数学家欧拉巧妙地运用数学知识把小岛、河岸抽象成“点”，把桥抽象成“线”，成功地构造出平面几何的“精品”模型，成为数学史上解决历史问题的经典。如今，科学技术的发展、企业生产过程的控制、宏观经济现象的研讨等，都离不开数学建模。实际上，数学建模已成为现代社会运用数学手段解决现实问题的科学方法，掌握简单的数学建模与应用是现代人理应具备的一种能力。

一、在高等数学教学中培养学生的数学建模思想的途径

（一）在数学概念的引入中渗透数学建模思想

数学的定义、概念是数学教学的重要内容。下面以定积分的定义为例，谈谈如何在数学概念的引入中渗透数学建模思想；设计如下教学过程：

（1）实际问题：a.如何求曲边梯形的面积？b.如何求变速直线运动的路程？c.如何求直线运动时的变力做功？

（2）引导学生利用“无限细分化整为零一局部以直代曲取近似一无限积累聚零为整取极限”的微积分的基本思想，得到问题a的表达式。

（3）揭示如上定型模型的思维牵连与内在联系，概括总结提高为：不同的实际意义，但使用的方法相同，从求解步骤上看，都经分割一取近似一求和一取极限这四步，从表达式在数量关系上的共同特征，可抽象成数学模型：引出定积分的定义.

（4）模型应用：回到实际问题中。数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题：a.一根带有质量的细棒长x米，设棒上任一点处的线密度为，求该细棒的质量m。b.在某时刻，设导线的电流强度为，求在时间间隔内流过导线横截面的电量。

（二）在应用问题教学中渗透数学建模思想

在讲解导数、微分、积分及其应用时，可编制“商品存储费用优化问题、批量进货的周转周期、最大收益原理、磁盘最大存储量、交通管理中的黄灯、红灯、绿灯亮的时间”等问题，都可用导数或微积分的数学方法进行求解。

概率与统计的应用教学中，“医学检验的准确率问题”、“居民健康水平的调查与估测”、“临床诊断的准确性”、“不同的药物有效率的对比分析”等实际应用问题都可以用概率与统计的数学模型来解决。

在线性代数的应用问题中，可以建立研究一个种群的基因变异，基因遗传等医学问题的模型，使数学知识直接应用于学生今后的专业中，有效的促进了学生学习高等数学的积极性，提高了数学的应用意识。

建模过程给学生提供了联想、领悟、思维与表达的平台，促使学生的思维由此及彼、由浅入深的进行，随着模型的构造和问题的解决，可以让学生养成科学的态度，学会科学的方法，逐步形成创新思维，提高创性能力。

二、数学建模在高等数学教学中的作用

通过数学建模教学可以培养学生的多方面的能力：（1）培养学生“双向翻译”的能力，即用数学语言表达实际问题，用普通人能理解的语言表达数学的结果的能力。（2）培养学生的创造能力、丰富的联想能力，洞察力。因为对于不少完全不同的实际问题，在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同或相近的，这正是数学广泛应用的表现、从而有利于培养我们广泛的兴趣、熟能生巧，触类旁通。（3）培养学生熟练使用现代技术手段的能力、数学模型的求解需借助于计算机及相应的各种数学软件包，这将大大节省时间，在一定阶段得到直观的结果，加深对问题理解。（4）培养学生综合应用数学知识及方法进行分析、推理、证明和计算的能力。在数学建模过程中需要反复应用数学知识与数学思想方法对实际问题进行分析、推理和计算，才能得出解决实际问题的最佳数学模型，寻找出该模型的最优解。所以在建模过程中可使学生这方面的能力大大提高。（5）培养学生组织、协调、管理特别是及时妥协的能力。

通过数学建模活动还可以培养学生坚强的意志，培养自律、“慎独”的优秀品质，培养自信心和正确的数学观，数学建模充满挑战和创造，成功的数学建模将给学生心情的喜悦与自信。同时，数学建模有助于学生体会到成功地运用数学解决实际问题，一定要与实际问题相关的学科知识相结合，要与有关人员相结合，这是正确的数学观的形成。数学建模的开展可整体提高学生的数学素质。

总之，高等数学教学的目的是提高学生的数学素质，为进一步学习其专业课打下良好的数学基础。

参考文献：

[1]徐全智，杨晋浩，数学建模.北京：高等教育出版社，2009

篇6

题名。字体为常规，黑体，二号。题名一般不超过20个汉字，必要时可加副标题。

摘要。文稿必须有不超过300字的内容摘要，摘要内容字体为常规，仿宋，五号。摘要应具备独立性和自含性，应是文章主要观点的浓缩。摘要前加“[摘要]”作标识，字体为加粗，黑体，五号。

正文。用五号宋体，1.5倍间距。文稿以10000字以下为宜。

文内标题。力求简短、明确，题末不用标点符号(问号、叹号、省略号除外)。层次不宜超过5级。第1级标题字体为常规，楷体，小四；第2级标题字体为加粗，宋体，五号；次级递减。层次序号可采用一.(一).1.(1).1)，不宜用①，以与注释号区别。文内内容字体为常规，宋体，五号。

数字使用。数字用法及计量单位按GBT15835—1995《出版物上数字用法的规定》和1984年12月27日国务院的《中华人民共和国法定计量单位》执行。4位以上数字采用3位分节法。5位以上数字尾数零多的，可以“万”、“亿”作单位。标点符号按GBT15835—1995《标点符号用法》执行。

附表与插图。附表应有表序、表题、一般采用三线表；插图应有图序和图题。序号用阿拉伯数字标注。常规，楷体，五号。图序和图题的字体为加粗，宋体，五号。

引用。引用原文必须核对准确，注明准确出处；凡涉及数字模型和公式的，务请认真核算。

参考文献。论文应附有参考文献并遵循相应的格式。参考文献放在文末。“[参考文献]”字体为加粗，黑体，五号；其内容的汉字字体为常规，仿宋，小五。

参考文献中书籍的表述方式为：

序号作者书名版本(第1版不标注)出版地出版社出版年页码

参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：

序号作者论文名杂志名卷期号出版年页码

参考文献中网上资源的表述方式为：

序号作者资源标题网址访问时间(年月日)

页眉，页脚。团队序号位于论文每页页眉的左端。页码位于每页页脚的中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。

论文用A4纸打印出来，并将论文首页和论文装订到一起，一齐上交。

数学建模论文格式

(一)论文形式：科学论文

科学论文是对某一课题进行探讨、研究，表述新的科学研究成果或创见的文章。

注意：它不是感想，也不是调查报告。

(二)论文选题：新颖，有意义，力所能及。

要求：

有背景.

应用问题要来源于学生生活及其周围世界的真实问题，要有具体的对象和真实的数据。理论问题要了解问题的研究现状及其理论价值。要做必要的学术调研和研究特色。

有价值

有一定的应用价值，或理论价值，或教育价值，学生通过课题的研究可以掌握必须的科学概念，提升科学研究的能力。

有基础

对所研究问题的背景有一定了解，掌握一定量的参考文献，积累了一些解决问题的方法，所研究问题的数据资料是能够获得的。

有特色

思路创新，有别于传统研究的新思路；

方法创新，针对具体问题的特点，对传统方法的改进和创新；

结果创新，要有新的，更深层次的结果。

问题可行

适合学生自己探究并能够完成，要有学生的特色，所用知识应该不超过初中生(高中生)的能力范围。

(三)(数学应用问题)数据资料：来源可靠，引用合理，目标明确

要求：

数据真实可靠，不是编的数学题目；

数据分析合理，采用分析方法得当。

(四)(数学应用问题)数学模型：通过抽象和化简，使用数学语言对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。

要求：

抽象化简适中，太强，太弱都不好；

抽象出的数学问题，参数选择源于实际，变量意义明确；

数学推理严格，计算准确无误，得出结论；

篇7

关键词： 数学建模 数学模型 微分方程 信息传播 

利用数学模型建模解决实际问题的过程，是通过数学语言把其转化成数学思维的过程.本文探讨了通过个人平台销售的微信营销的信息传播建模问题. 

1.最简单的模型 

某公司通过个人微信平台进行某品牌面膜的销售，在t时刻获知该产品信息的人数为I（t），每个获知者在单位时间内可以让K个人获知该产品信息. 

假设：（1）一个获知者在单位时间内让他人获知的人数是常数； 

（2）一人知情后，持续关注本产品信息. 

由结果可知，这种信息传播是依照指数函数的趋势增加的，符合传播初期获知者依照指数函数增长.但是由于当t→+∞时，I（t）→+∞，这显然是不符合实际的.假设（1）就不是很合理，因为传播初期，获知者少，未获知的多，而在传播的中后期，获知者慢慢增多，未获知的逐渐减少，所以认为一获知者单位时间内让他人获知的人数是常数不合理.我们修改假设建立新模型. 

2.改进的模型 

原来的符号意义不变，用S（t）表达t时刻未获知者的人数，n为总人数. 

假设：（1）一个获知者在单位时间里让他人获知的人数与此时未获知者人数成正比例关系，即K=θS（t）； 

（2）一人知情后，持续关注本产品信息； 

（3）总人数n不变，即S（t）+I（t）=n. 

由以上假设得微分方程 

■=θS（t）I（t），S（t）+I（t）=n，I（0）=i■. 

用分离变量法得到解为 

I（t）=■.（1） 

令■=0得到极大值点为 

t■=■（2） 

由（2）式可知，当产品信息传播强度θ增加时，t■将变小，即产品信息传播的高峰将来得较快，与实际符合.同时，若知道传播强度θ，那么由（1）式可以得到传播高峰到来的时刻，其对企业做出合理决策有益. 

但是，此模型仍有不足之处，由（1）式，当t→+∞时，I（t）→n，即最后人人都能获知此品牌面膜产品信息，这又是不符合实际的，原因是在假设（2）中假定一人知情后持续关注本产品信息.所以模型还可以做进一步改进. 

3.再修改的模型 

因为有一部分获知者关注此产品一段时间后，可能不再关注或是会失去兴趣，转而关注其他产品，而且不是每个获知者都会把产品信息分享给其他人. 

设获知者不再关注产品信息后，永久不再关注.这样，可把人群分为三类：（1）仍在关注此产品信息的获知者，他们具有传播性，时刻此类人数为B（t）；（2）未获知者，他们在未来一段时间有可能被获知，t时刻此类人数为J（t）；（3）获知者中不再关注且永久不再关注产品信息者和获知者中暂时不再关注产品信息者，t时刻此类人数为M（t）.记N是人口总数，r是传播率，γ是排除率. 

假设：（1）总人口数相对地保持不变； 

（2）未获知者人数的减少率与第一类人和第二类人的乘积成正比； 

（3）第三类人的增加率与第一类人成正比； 

（4）获知者的增加率是第二类人数的减少率减第三类人数的增加率. 

由以上假设，得到微分方程组 

，B（t）为增函数，此产品面膜信息将很快被传播；当J=ρ时，B（t）达到最大值，即此产品面膜信息被传播到最大值；若J<ρ，则此产品面膜信息将逐渐不会被传播.由于产品信息在各时段的传播速度不同，商家据此制订合理的生产计划，广告策略等一系列决策，达到最大效益. 

参考文献： 

[1]郭大伟.数学建模[M].合肥：安徽教育出版社，2009.1. 

[2]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].3版.北京：高等教育出版社，2008.1. 

[3]尚馥娟.微分方程研究经济问题的数学建模[J].商场现代化，2008.52. 

篇8

求一组变量非负值，满足由变量的线性方程式或线性不等式构成的约束条件，且使作为变量线性函数的目标函数取最优值（最大值或最小值），这样的问题称为线性规划问题。

线性规划问题应明确三样东西：决策变量、目标函数和约束条件。

决策变量：它们是决策者所控制的那些数量，它们取什么数值需要决策者来决策，最优化问题的求解就是找出决策变量的最优取值。

目标函数：它代表决策者希望对其进行优化的那个指标。目标函数就是指标与决策变量之间的函数。

约束条件：它们是决策变量在现实世界中所受到的限制，或者说决策变量在这些限制范围之内取值才有实际意义。

高职学生在学习高职数学线性规划内容时，对建立线性规划数学模型觉得有困难.本文主要是根据自己在教学中的经验，通过几个实际例子，来说明建立线性规划问题数学模型的方法。建立线性规划问题的数学模型都可归结为下面三个步骤：

（1）设立决策变量；

（2） 用决策变量的线性函数表示目标（即建立目标函数），并确定目标求最大还是最小值；

（3） 明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示，根据决策变量的实际意义确定变量是否有非负性。解题思路见下面的图1。

图1

下面通过几个例子来说明。

例1.（生产规划问题）某厂生产A、B、C 三种产品，需要耗费的资源（人力、物力 、财力）、获得的利润、备用资源如下表：

问该厂应如何安排生产，才可获最大利润？最大利润是多少？解题思路见下面图2。

图2

解：设产品A、B、C分别生产x1、x2、x3单位，总利润为S，则问题的数学模型为

注意：此题中“x必须满足的约束条件”是根据耗费的资源（人力、物力 、财力）不能超过备用资源，产量 xi（i=1，2，3）必须非负。

例2.（运输问题）设有两个砖厂A1、A2，其产量分别为23万块、27万块，它们生产的砖供应B1、B2、B3三个工地，其需要量分别为18万块、17万块、15万块。而知道各产地Ai到各工地Bj（i=1，2；j=1，2，3）运价如下表。问应如何调运，才使总运费最省？

解：设砖厂Ai供应工地Bj砖块的数量为xij （i=1，2； j=1，2，3），则问题的数学模型为：

minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+60x23

将以上模型输入Mathematica 模型，可以得到最优解（值）：

x11=6，x12=17，x13=0，x21=12，x22=0，x23=15，minS=2940.

例3.（下料问题）某家具厂需要长80厘米的角钢150根与长60厘米的角钢330根，这两种长度不同的角钢由长210厘米的角钢截得，工厂应如何下料，才使得用料最省.

设第i种下料方案的原材料根数为 ，则问题的数学xi（i=1，2，3），模型为

将以上模型输入Mathematica 模型，可以得到结果：最优解为x1= 0， =150 ， =10 ，最优值S=160 ，即按方案2用料150根，方案3用料10根下料，一共160根，用料最省。

篇9

一、创设问题情境，激发探究兴趣

在传统的高中数学课堂教学中，教师较少提出数学问题，或者提出数学问题多以自问自答的方式解决问题，没有给学生探究问题、回答问题提供充分的机会.主要原因是课堂教学时间紧凑，教师认为学生回答问题耽误时间，所以形成了教师为主体的课堂教学模式，对提高学生的数学水平形成了阻碍.在新课改背景下构建问题教学模式，教师要深入研究问题教学的内涵，营造充满吸引力的问题情境，为学生提供问题探究机会，从而激发学生的问题探究兴趣.

例如，在讲“数列”时，对于“等差数列”，教师可以利用投影仪展示出几组数列“1，2，3，4，5”、“2，4，6，8，10”，要求学生观察数字，发现规律.认真观察数字之后，有的学生得出结论：第一组数列中，后一个数字是在前一个数字的基础上加1；第二组数列中，后一个数字是在前一个数字上加2.大部分学生对于这个结论表示认可.教师继续提出问题：给出的几个数列有什么共同特征？对于这个问题，让学生互相讨论找出规律.在合作探究学习氛围中，学生积极参与讨论，发表自己的观点和看法，使学生注意力牢牢集中在课堂上，提高了学生的学习兴趣.经过讨论，学生给出答案：从第二项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.，最后由教师巧妙引入课题，学生积极参与课堂学习，从而提高课堂教学效率.

二、注重问题的引导，引发数学思维

引发学生的数学思维，对学生学好数学发挥着不可替代的重要作用.学生具备良好的数学思维，自然会对学习数学产生浓厚的兴趣，并掌握学习数学的规律和方法.构建高中数学问题教学模式，教师应结合学生的学习特点和教材内容的基本要求，注重问题的引导，巧妙设置数学问题，激发学生的数学思维，培养学生自主探究学习的兴趣.

例如，在讲“集合”时，教学目标和重点是让学生明确集合与集合的关系，掌握集合的运算方法.在引导学生对教材例题分析之后，为了检查学生对重要知识点的掌握情况，教师可以巧妙引入数学问题：若A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={y|y=4k±1，k∈Z}.证明：A=B.同时，引导学生剖析解题关键点：证明A=B，即证明集合相等.学生分别给出两种解题思路，分别为“先将集合A进行变形，然后根据4k±1，k∈Z表示所有的奇数，即可证明集合A等于集合B”和“由集合相等的定义，先证明AB，再证明BA，可以得出A=B的结论”.对于第一种解法，学生的解答过程为：A={x|x=2n+1，n∈Z}.当n=2k，k∈Z时，A={x|x=4k+1，k∈Z}.当n=2k-1，k∈Z时，A={x|x=4k-1，k∈Z}.故A={x|x=4k±1，k∈Z}.与集合B表示的元素一样.所以A=B.

学生具备良好的数学思维，善用数学思维分析题意，找出数学问题中的等量关系，再根据所学知识，就能够灵活运用解题技巧解答数学问题，从而发挥问题教学模式的重要作用.

三、再设问题，培养创新思维能力

构建高中数学问题教学模式，既不是一味分析问题、解决问题，也不是重点讲解教材例题，而是需要教师掌握课堂教学节奏，根据教学的需要，灵活引入数学问题，通过对数学问题的解析，加深学生对重要知识点的理解.

篇10

1.小学数学课堂提问存在的问题

小学数学中的"提问"是课堂教学的重要组成部分，是使用频率最高的教学方法之一。经过师生精心设计、恰到好处的课堂提问，能有效地激发学生学习兴趣，燃起学生对知识的探究热情，从而极大地提高课堂教学效率。但是目前小学数学教学中的"课堂提问"存在着一些普遍性的问题。

1.1 "课堂提问"只重"师问生答"，不容学生的质疑。有些老师课堂提问的主体仍然是教师，提问是老师的特权，感觉老师是高高在上的，不容侵犯的，老师的提问学生必须是无条件回答的。

1.2 课堂提问目的性、思维性不强，内容模糊不清，随意性大。如，有一位老师教学人教版五年级下册"统计--众数"。教学时他先出示学生做操和舞蹈的图片，问："六一儿童节举行体操比赛，如果你是教练如何选队员？"生1：我认为选学习成绩好的，因为不影响训练。生2：选比较漂亮的同学。生3：选男生一半、女生一半。生4：选热爱班集体的同学……显然，这一提问不明确，学生的回答没有达到教师的提问意图。如果改问："六一儿童节举行体操比赛，为了使队伍整齐、美观，你认为队员的身高有何要求？"这样的提问既明确，又问在关键处，有助于引出众数的意义以及在生活中的运用，做到了数学和生活的紧密联系。

1.3 问题评价方式过于刻板，难以激发学生的兴趣。课堂提问一贯采用"生答师评"的形式，很少出现多元的评价方式。这种形式的提问虽然能够了解学生知识水平、弥补学生知识不足等功能。但这种提问一般被老师完全控制，教师留给学生思考答案的时间很少，经常担心学生的回答脱离自己预设的轨道，很不放心地打断学生的回答，或者草率地加入个人的评价，左右学生个人想法的表达，影响了学生的思维和情绪，难以激发学生的学习兴趣。

1.4 总之数学课堂教学中严重存在低效提问、无效提问的现象，甚至出现不良提问和失误提问。上述问题的存在，严重制约着课堂提问的有效性，使其低效甚至无效。为此我们很有必要构建小学数学"以问导学"教学模式，从宏观上把握教学活动整体及各要素之间内部的关系和功能，围绕数学的基本问题和数学教学的重大问题展开，注重学生思维与智慧的培养，使学生学得主动、学得活泼，学得有趣、学得有效。

2.构建小学数学"以问导学"课堂模式

"教学模式"，突出教学模式的有序性和可操作性。其教学流程可以如下进行：课前提问，建立关系--探究提问，解决问题--巩固提问，强化应用――总结提问，增强记忆。现结合新人教版小学数学五年级下册"因数和倍数"这节课，将该教学模式的加以阐述。

2.1 课前提问，建立关系。课前谈话提问，建立新旧知识的关系，为新知学习作一些迁移铺垫；揭示并扳书课题，让学生明确本节课学习的主要内容。例如在本课教学的开始，教师提问：我们人与人之间存在着好多的关系，老师和你们是一种什么样的关系呢？在我们的数学里，数与数之间也有着相互依存的关系，今天这节课让我们就一起去研究、学习类似的一个问题--因数和倍数。通过有效的提问，让学生明确有因数与倍数之间不是单独存在的，而是有着相互的依存关系，这就将已掌握的知识和思维方法迁移到对新知识的学习中去作准备。

2.2 探究提问，解决问题。在这一环节的教学中应该重在"问"、"导"、"学"三个字。

2.2.1 问。教师出示课题让学生看课题提出大问题，让学生产生学习的需要，明确学习方向、目标、任务，培养学生的提问意识与能力。这里可以是学生独立提出的问题，学生小组提出的问题，也可以是教师补充提出的问题。教师结合学生提出的问题进行有序的板书。

例如在板书课题后教师提问：看到这个课题，你们想提出什么问题？学生通过独立思考提出了以下的问题：（1）什么是因数？什么是倍数？（2）因数和倍数有什么关系？（3）怎样找一个数的因数？（4）怎样找一个数的倍数？这些问题都是具有导向性的大问题，这些问题能让学生明确学习的主要内容和任务，激发学生探究解决问题的兴趣和欲望。

2.2.2 导。这是教学的关键。教师以问题的方式引导学生自学课本和探究解决自己提出的问题。这样既能突出教学的重点，突破教学的难点，又能充分发挥教师在教学过程中启发和引导的作用。

2.2.3 学。这是教学的核心。学生在"问题"的引领下分为三步进行学习活动：（1）看书自学，独立思考解决提出的问题；（2）小组共学，共同探讨个人未能独立解决的问题；（3）汇报展示解决问题并欣赏、点评和质疑。通过以上三个环节的学习，学生认识因数和倍数，掌握找一个数的因数和倍数的方法，充分发挥学生学习的主体作用，培养和提高学生的语言表达能力、展示汇报能力及质疑释疑的能力。教师作适时追问以加深学生对知识的认识和理解。这使学生的学习收到事半功倍的效果。

2.3 巩固提问，强化应用。教师设计多种形式的练习问题让学生解决并适当展示讲评，巩固新学的知识和方法，形成技能技巧，培养和提高学生分析和解决问题的能力及应用知识的意识与能力。

例如本节课设计的练习问题如下：（1）基本题。1）请你随意写出一个乘法算式，同桌之间互相说一说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。2）在研究因数和倍数时要注意什么问题？这里的问题设计目的让学生明白这里所讲的因数和倍数都是指整数。（2）加深题。1）请同学们列出的三个数的因数，你们发现了什么？2）请同学们列出的三个数的倍数，你们又发现了什么？这里的问题设计目的让学生掌握一个数的因数和倍数的特征。（3）拓展题。妈妈买来几个西瓜，2个2个地数，正好数完，5个5个地数，也正好数完。这些西瓜最少有多少个？这里的问题设计目的加深学生对新学知识的理解和掌握，形成技能技巧，提高辨别能力和应用能力。

2.4 总结提问，增强记忆。教师以提问的方式引导学生总结本节课主要学习内容和收获，提出疑难问题并予以解决，加深学生的认识，增强学生的印象，强化学生的记忆，共同分享学习活动和学习成功的快乐。