常见的建立数学模型的方法范文

导语：如何才能写好一篇常见的建立数学模型的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、数学建模的涵义

在把实际问题进行数学模型的创建时，实质就是把实际问题中所蕴含的数学知识提取出来，形成一个具有实际意义的数学模型，运用数学语言和数学公式对这个数学模型进行研究探索，进而达到解决实际问题的目的。教师在培养学生的数学建模意识时，就要提高学生分析数学问题的能力，通过把实际问题抽象简化成为数学问题，利用学生已有的知识进行解决。数学建模从本质上说就是进行一系列的发现问题、提出问题、解决问题的过程，这个过程对学生的数学能力要求很高，学生必须具备敏锐的观察力和分析力，能把实际问题与自己掌握的数学模型相联系，然后进行提取，在数学世界中解决实际问题，最后把结果再带入问题中进行验证。

二、数学建模基本过程

（一）问题分析

数学模型就是现实世界中的问题同数学知识进行联系的工具，最初在进行数学建模时，就是要把实际问题用数学语言和数学符号进行表述。在把现实问题转化成数学模型时，学生要充分对这个问题进行了解，了解问题的成因和背景，把对解决问题能提供帮助的数据都收集起来，以更好地对问题进行抽象和概况。

（二）合理的简化假设

在实际的生产和生活中，往往受到各方面因素的影响，要解决的问题是时刻变化的，在解决这种多变问题时，要把问题进行合理假设，通过假设把问题简单化，然后运用数学模型进行解决。在进行假设时，要根据问题的背景进行合理假设，假设进行得合理，通过运用数学建模思想这个问题就能获得解决；如果假设不合理或者假设没有根据实际情况进行，那么可能利用数学建模求解出来的答案就不适合实际问题，这就是一个不成功的建模过程。所以，学生在进行建模思想的运用时，一定要根据事实进行假设，才能得出合理有效的解决问题的方法。

（三）建立模型

通过假设，把实际问题中的相关变量之间建立等量关系，从而建立数学问题。在建立模型时，学生要根据从实际问题中提取出的常量和变量建立合适的数学模型，使问题能获得解决。在建立数学模型时我们要遵循以下原则：有简单方法时一定要用简单方法，能运用初等工具时一定要用初等工具，一定要使建立的模型最简单，最易解决。

（四）求解数学模型

数学模型建立之后，接下来就是要对所建立的模型求解。在求解过程中，要使用适当的数学工具，使数学模型在简单有效的方法下获得解决。如果遇到的问题比较复杂，通过一般的数学工具解决不了，那么就可以在事实的基础上对所建立的模型进行细微变化，使模型获得解决。

（五）模型分析、检验、修改与推广

所建数学模型求解出来之后，就要把求得的结果带入实际问题中进行分析检验，以验证所得的答案是否能满足现实要求，并将不合理的结果进行修改。

案例：教师在对不等式进行讲解时，先让学生回忆在探究|x|=3的几何意义时运用了数学中的数轴，之后提出|x|>3和|x|

教师通过数轴来引入不等式意义的探究，这也是把数轴这个数学模型引入了课堂。假设x是数轴上的一个数，那么当它在哪个范围内取值时|x|>3，在哪个范围内取值时|x|3和|x|

这个案例是运用学生学过的知识对新知识进行建模，通过建模让学生能更清楚、更深刻地理解了不等式的几何意义。可见数学建模思想的运用能促进学生学习数学知识，在不断提高数学建模思想的过程中，学生的数学能力也在不断提高。

数学建模除了可以让学生能更好地接受新知识以外，还常用来解决生活中的实际问题。

三、高中常见数学应用模型

（一）函数模型

我们可以从生活中很多现象中抽象出函数模型，例如，如何控制才能使用水量达到最低？如何能使工厂的收入最高？如何使生产化肥的工厂用原材料最省等等。这些问题都能通过函数模型进行解决。

（二）数列模型

数学中的数列主要应用在从特殊到一般来进行研究的问题中，利用数列模型可以解决我们生活中的很多问题。例如，银行利率的增长率是多少？我国每年人口出生率是多少？细胞分裂的速度是多少等等诸多问题。

（三）不等式模型

在最值问题的求解时常用到这个模型，通过从实际问题中概括出来数学式子，然后再运用解不等式的方法获得最值。

（四）解析几何模型

解析几何模型在一些建筑中比较常见，例如拱形桥的修建中就设计到了解析几何的模型。把拱形桥中涉及的数学问题分析、概括出来，就能运用数学语言解决拱形桥中的拱高和半径等问题。

（五）排列、组合模型

排列组合模型的应用很广泛，在很多现实问题中都可以运用到这个模型。

（六）概率模型

在高中数学学习中，学生需要了解概率模型。概率模型是从具有不确定事件中提取出来的数学模型，通过解决概率模型问题来解决实际问题中的几率问题。

生活中存在数学模型的现象很多，学生在日常生活中要养成对事物进行深入分析的习惯，善于把实际问题的本质提取出来，把现实问题抽象成数学模型，从而获得问题的解决。

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关键词： 初中数学教学 模型思想 数学应用意识

1.引言

模型思想是体现数学应用价值的典型思想。新版《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”从数学教育的角度来看，建立模型的实质是帮助学生体会数学与外部世界的联系，而发展学生模型思想的基本活动就是建立模型。

2.数学模型的内涵及数学建模的意义

“数学模型”这个概念，从广义上看包括一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程，以及由此构成的算法系统等。“数学建模”则是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，能近似解决实际问题的一种有力的手段。《标准》指出：“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”

新课程理论提倡以“问题情境数学模型解释、应用与拓展”的模式展开课堂活动，这是因为开展建模活动能促进学生理论与实践相结合，培养学生应用数学的意识；有助于让学生体验数学与现实生活及其他学科的联系，在解决实际问题的过程中，激发学生对数学的兴趣，增进学生对数学的感情。

3.发展学生模型思想，培养数学应用意识

3.1学生的思维经历从具体到抽象的过程，有助于发展学生的模型思想。

高度的概括性是数学的一个鲜明特点，模型正是高度概括的产物，但学生的认知发展和学习内容则是具体的。教学中教师不仅要重视每一个知识点的教学，还要定期、适时地对学生所学内容进行概括、归纳、升华。例如，在学习有理数之后，学生已经知道了有理数的定义、分类、表示方法等，此时，教师概括“任何一个有理数都可以用字母a表示”，就是一个由具体到抽象的过程。学生再次看到a，就会思考a是正数、零还是负数，a是整数还是分数。此时，学生的头脑中就建立起有理数的模型。

培养学生数学应用能力的离不开应用题的训练，在应用题训练过程中，“原型模型应用”是数学知识呈现的方式，应用题充当其中的“原型”和“应用”的角色，它促使数学与现实“牵手”，帮助学生用数学的眼光、数学的方法、数学的思维认识客观世界，尝试解决所遇到的现实问题。在解决数学应用题的过程中，常见的建模方法有：对现实生活中普遍存在的等量关系或不等关系，建立方程模型或不等式模型；对现实生活中普遍存在的变量关系，建立函数模型；涉及对数据的收集、整理、分析，建立统计模型；涉及图形的，建立几何模型，等等。

3.2发挥问题情境的“建模”功能，引导学生从现象中抽象出数学问题。

在数学教学中，教师应当注重引导学生通过动手实践、自主探究和合作交流等学习方式，开展有效的数学实践活动。要给予学生充足的时间和空间，让他们思考当前面临的实际问题，而教师不能包办代做，或者只是为了引入新课而设置一个问题情境。如，一些教师在讲授新课之前，给学生展示了一个非常有趣的问题情境，正当学生兴味盎然、跃跃欲试地要进行探索、发现的时候，教师却戛然而止，迫不及待地将问题所需要用的数学模型向学生“和盘托出”，以便“顺顺利利”地引入新课。这种“直接告诉”的方法当然是不可取的。可以说，情境是一种引入新课的手段，它可以培养学生数学建模的能力，教师切不能忽视问题情境在“建模”方面的功能。

开展好建模教学，有助于提高学生知识应用能力和实践能力。在数学教学过程中，教师不仅要让学生掌握数学模型的概念及建模的方法，而且要培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起来的能力。在建模过程中，学生所面临的主要问题是如何从杂乱无章的现象中抽象出数学问题，并探究出问题的答案。为了有效培养学生构建数学模型的能力，教师可先从建立简单模型入手进行训练，在学生对有关数学知识充分理解的基础上，训练学生敏锐的洞察力，敏捷的想象力，以及顿悟能力，培养学生的抽象思维能力和创新意识。

3.3以建模为核心，培养学生将实际问题数学化的能力。

数学建模的关键是将实际问题转化为数学问题，建模能力是学生各种能力的综合运用，它涉及文字理解能力、对实际问题的熟练程度、对相关数学知识的掌握程度，以及观察、分析、比较、抽象概括等各种科学思维方法的综合运用。数学教学要以建模为核心，培养学生将实际问题数学化的能力。通过构建数学模型，解决实际问题，可以巩固学生的基础知识，训练学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，培养学生应用数学的意识。苏科版《数学》九年级下册“二次函数的应用”，就是用相关的数学问题建立数学模型，解决实际问题的典型例子。生活中很多问题都是通过建立数学模型，走由“形”到“数”的路径，求出问题答案的。如，苏科版《数学》九年级下册有这样一道题目：“一座抛物线形的拱桥架在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3米时，水面宽6米。当水面上升1米时，水面宽多少？（精确到0.1米）”桥下水位的上升或下降这一自然现象对于学生来说并不陌生。在汛期，人们要根据水位上升的速度判断桥下何时可以通航，何时需要停航，这是一个具有现实意义的问题。这就要求学生能将实际问题与数学问题建立起联系，并探求出问题的答案，让数学服务于生活。

4.结语

数学建模的目的是通过利用数学知识解决现实生活中的问题，提高学生解决问题的能力。在教学过程中，教师要引导学生反思、总结建模的过程是什么、数学模型有哪些、注意的问题是什么，进而强化学生应用数学的意识，发展学生的模型思想，培养学生的数学应用能力。

参考文献：

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[关键词]模型　模型方法 图书馆学情报学研究 图书馆学情报学方法论

[分类号]G250　G350

著名控制论创始人N・维纳曾经指出：“科学知识是由一系列抽象模型(最可取的是形式模型，特殊场合是实体模型)所组成的”。模型是人类在认识世界实践中的一大创造，模型方法是人们进行理论思维的一种重要手段。在各种科学研究活动中，几乎处处都可以看到模型的作用，模型方法已成现代科学方法的核心。在图书馆学情报学领域，图书馆学情报学模型方法已经引起了研究者的高度重视，尽管它不是唯一的科学方法，但由于其具有简单明了、形象生动、直观等特点，已经成为现代图书馆学情报学科学研究的一种重要方法。

1 图书馆学情报学模型及其类型

1.1 图书馆学情报学模型

为了更好地认识图书馆学情报学的结构、功能、属性、关系和过程，通过抽象化与理想化概括出来的思维描述、模仿、映象形式，叫做图书馆学情报学模型(以下简称“图情模型”)。图情模型是一种简化描述，比客观对象(图书馆学情报学)简单，但又高于客观对象。它抓住了客观事物的主要特征及其运动规律的本质，省略了一些非本质的部分，是图书馆学情报学实体或现实系统的高度抽象或模仿，它由与研究主题相关的本质、特点的主要因素构成，并可以表示出这些因素之间的逻辑关系或定量关系，它既可以是定性的，也可以是定量的，通常表现为抽象的、数学的、理论的形态。

通过对这种科学模型的研究，推知图书馆学情报学的某种性质或者规律，这种研究方法就是图情模型方法。

1.2 图书馆学情报学模型类型

从模型描述原型的方式角度上看，常见图情模型主要有以下三种类型。

1.2.1 行为模型　根据所要研究系统的运动和功能，构造出其行为模型。例如，程序设计图、检索步骤以及图书馆文献分编工作流程图、情报分析步骤图、决策过程图；“看不见的学院”和“情报交换小组”等非正式过程情报传递模型；OhioLINK和CALIS等图书馆联盟模型，等等。

1.2.2　结构模型 根据系统的结构建立起来的模型，主要包括以下模型：

框图模型。用图框表示组成因素或功能转换，图框之间用带箭头的线连接起来，表示模型的结果顺序或功能转换。如申农的通讯模型图，米哈依洛夫的情报交流模型，严怡民教授的广义情报交流模型，等等。

直观示意图模型。用线条简单的图表示系统因素或关系的模型，如表示知识、情报、信息逻辑关系的著名文氏图、图书馆网络拓扑图、情报检索系统检全率、检准率图表模型等等。

网络图模型。这是按照数学图论的方法用点线建立的模型，点表示组成因素，线表示点之间的关联，比如以学科发展过程中出现的重要论文被引用状况所作的网络图模型，通过引用相关分析可以得出不同专业之间关联的结构网络图，美国情报学家H・D・怀特和B・C・格雷菲斯利用作者同被引关系所得出的“知识地图”也是网络图模型。

典型的结构模型都是图形模型，既可以表达很抽象的内容，也可以表示很直观的内容，具有简明易懂、一目了然的特点。一些用语言或者数学模型很难说得清楚的问题，一份图形模型却能很好地解决问题。

1.2.3 数学模型　数学模型是采用数学方法用各种数学符号、数值来描述图书馆学情报学的组成因素及其之间的数量关系。如英国情报学家B・C・布鲁克斯提出的情报与知识关系的基本方程式K[S]＋I=K[S＋S]；布拉德福定律、洛特卡定律、齐夫定律、普赖斯曲线的数学表达式就是反应文献情报流规律的数学模型，情报传播的热传导模型，等等。数学模型按照表达的形式划分，分为以下模型：

解析式和图像模型。通过函数关系和图像描述系统的基本性质，解析式和图像本身就是一个系统的模型。比如，图书馆读者阅览量随时间的变化曲线，洛特卡定律的数学表达式和图像描述等等。

方程组模型。如果系统存在多个变量，并且这些变量互相制约使系统处于平衡状态，可用方程组模型描述。比如，情报系统的微分方程组模型。

图表模型。当系统内某特性发生变化，对应的状态值也随之变化，把这些变化值按照一定格式排列起来就成为图表模型，比如情报检索系统的检全率、检准率图表模型。

数学模型准确、便于操作、易于计算，是最常用的一种模型。由于数学是最基础的学科，一门学科没有数学的参与就不能说其已建立了真正的学科，所以其他一切模型，如果能结合数学模型来表达，则表明它已抓住了研究对象最本质的变化规律，可以认为数学模型是最深刻的模型；并且随着计算机技术的发展，可以帮助研究者处理复杂的模型、减轻计算负担、验证和补充模型，数学模型方法应用领域也会日趋扩大。

2 图书馆学情报学模型方法的功能

在图书馆学情报学科学研究中，人们广泛应用模型来分析图情系统、图情活动中的各种关系、各种要素的普遍联系，模型方法具有多方面的功能与作用。首先，图情模型具有解释功能。模型是对客观对象本质特征的概括，简单清楚，使用模型可以使人们观察到各种现象之间的关系、各主要构成要素的功能及作用等，对系统的结构和特性能做出科学的解释。如用简单的框图模型解释科学情报交流系统，令人一目了然。其次，启发功能。模型体现了图书馆学情报学的规律性，并使极其抽象、深奥的概念、假设、理论准确具体地表达出来，便于正确理解其科学意义。近年来图书馆个性化服务研究得如火如荼，文献[5]依据信息服务技术构建一个信息资源集成化、网页定制化、服务一体化的个性化图书馆服务系统模型，用户利用该模型，可以组织、定制相关资源，组织收藏个人参考文献信息，设定各种信息通告，直接进入与自己相关的个性化服务项目，这一认识过程就是通过模型启发人们进行研究和探索。再者，指导实践。模型是一种科学的简化抽象，在模型的基础上进行研究一般优于实际情况。这样，就能以科学模型所提供的优化条件为追求目标，使人们找到了在实践中怎样改善客体及其环境，以争取达到最佳或较佳效果的方向和途径。比如情报分析中的SWOT理论模型，WT、WO、ST、SO对策就是发挥优势因素、克服劣势因素、利用机会因素、化解威胁因素，争取最佳效果；利用布拉德福定律模型确定本馆的核心情报源和核心读者，指导馆藏的维护与情报源的有效利用。最后，预见功能。模型方法可以分析、推断、预见原型的未来趋势，在理想的条件下揭示原型的性质、功能发挥程度或可能发生的情况，从而形成科学的预见。比如，建立图书借阅量的灰色模型，对图书借阅量进行

预测，在此基础上结合现有书库存量和灰色预测得到的预期借阅率，得出预期图书的建议购买量。

3　图情研究中建构模型的逻辑过程

建构模型一般分为以下步骤：①模型准备，了解并研究图情活动的实际背景，明确建模的目的，掌握其数据、资料、特征等，有时还要求建模者做深入细致的调查研究。②模型假设，对问题进行必要的简化，用精确的语言做出假设。不同的简化和假设会得到不同的模型，假设做得不合理或过分简单，将导致模型的失败或部分失败；假设作得过于详细、考虑因素过多，使模型太复杂而无法进行下一步工作。所以，重要的是善于辨别问题主次，果断地抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量将问题均匀化、线性化。③模型建立，根据所做假设用一定的模型描述出来，比如用适当的数学工具刻画各变量之间的关系，建立相应的数学结构(公式表格、图形)，这是建构模型最关键的一步，是一个质的飞跃过程。建立具体模型涉及许多技巧问题，构建者要根据研究的性质、目的建立简明、合理的模型。④模型求解，包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等。⑤模型分析，把模型置于与原型相似的外部条件下对模型求解的结果进行分析，比如数学模型要根据研究对象问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定状态。⑥模型检验，将模型分析的结果“翻译”到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性与正确性。一个较成功的模型不仅能解释已知的现象，还能预言一些未知的现象并被实践所证明。如果检验结果与实际不符或部分不符，并且建模和求解过程无误的话，问题出现在模型假设上，就应当修改或补充假设，重新建模。⑦预测与决策。

4 图情研究中建构模型的方法论原则

模型建构是一门技术，也是一种艺术。图书馆学情报学的特性以及活动的多样性决定了其建模方法的多样性，主要的建模方法有以下5种：

4.1 提炼法

这种方法是在分析研究客观事物和过程的基础上，对图情系统的各要素、经验、资料进行归纳、提炼，用图解或逻辑形式得出抽象模型，一般来说都是结构模型，基本上是一种静态模型，这种模型常带有经验色彩。比如米哈依洛夫的情报交流模型，严怡民教授在《情报学概论》中提出的广义情报交流模型等。

4.2　类推法

类推法是根据两种事物的相似性，从某一事物的规律性来推测另一事物的规律或属性，即将相关学科的特定模型引入图情研究，所得的模型可以认为是模拟模型。比如情报学中常用的申农通讯系统模型、情报传播的热传导模型、耗散结构理论模型、协同理论模型、突变理论模型等等。

4.3　数学方法

借助概率与统计学、离散数学、微分与微分方程、图论、层次分析等方法建立数学模型，布拉德福、洛特卡、齐夫和普赖斯开创性地利用数学方法建立数学模型，采用数学方法建立数学模型有利于图情研究走上更加成熟的阶段。

4.4　灰色模型法

依据灰色系统理论建立模型，灰色系统理论是通过定性和定量相结合、利用动态关联度和生成数的概念，用情报信息不全的离散数据建立情报信息完全、时间连续的动态模型，包含定性分析、因素分析、初步量化、动态量化、优化5个阶段，建模的关键要处理好每个步骤的联系，合理地进行生成处理和关联度分析。灰色模型属于数学模型，经常用于情报分析与预测，如文献[8]、[9]运用灰色模型分别实现图书馆管理研究。

4.5　模糊模型法

模糊系统理论是在现代控制论基础上发展起来的，运用模糊数学理论建立模型，情报研究中有时某些对象表现出模糊性，不能做出非此即彼的判断，不能进行精确描述和测量。模糊数学利用模糊集合、论域和隶属度的概念，采取模糊集合运算和模糊关系合成运算等方法建立数学模型，成功地解决模糊性问题；建模的关键是正确描述模糊关系。模糊模型也属于数学模型，多用于情报研究与预测，是图情量化研究的一种行之有效的方法。如文献[10]模型。

5　模型方法在图书馆学、情报学中的应用

5.1　在基础理论研究中的应用

一门学科的最高境界是构造科学理论，图书馆学情报学基础理论研究通过建立模型反映检验理论或者科学事实，揭示本质属性和相对关系，如果再继之使用数学模型，就会画龙点睛妙笔生花，给理论以量的规定性，大幅度提高理论的精确度。比如使用数学模型定义情报概念、文献情报流基本定律，采用框图建立图书馆中介性模型、情报系统模型、文献存贮与检索系统结构模型、科技文献链结构模型等。模型作为理论探讨的内容，对我们认识图情规律很有价值，使得问题简明，便于思考分析。

5.2　在信息资源管理中的应用

在信息资源管理中应用模型方法要定量描述图书情报系统的主要因素和关系，建立恰当的数学模型。一般模型结构有两种，一种是采用统计模型方法(如回归法和方差分析法)，通常假定结构是线性模型，这是最常用的方法；另一种是根据基本原理推导出模型结构，比如资源分配模型反映图书使用的莫尔斯模型、反映某主题文献在期刊分布中的布拉德福定律模型、反映读者到馆率的泊松分布模型等。模型方法极大地改变了传统的图书情报管理技术，成为现代图书情报信息资源管理的一种新理念，有利于图书情报机构节约经费、提高图书情报系统性能、使信息资源利用最大化。

5.3　在信息检索中的应用

模型方法在信息检索中应用比较早，也较为系统和成熟，出现了许多模型，比如传统的布尔检索模型，Salton的矢量检索模型和扩展布尔检索模型；S.K.M.Wong在词与词的相依性基础上建立了广义矢量模型；z.w.Ras利用格与布尔代数理论建立了代数模型；Cooper和Bookstein建立了情报检索的集合论模型；一些专家还提出了概率检索模型、逻辑模型、矩阵向量模型等；随着网络的发展专家们相继提出了基于概念的情报检索模型、案例检索模型、分布式情报检索系统的拓扑模型、神经网络检索模型等。可见，模型在理论和实践上解释检索过程与检索相关性，不同类型的模型代表着不同的情报检索系统，反映着不同系统本质上的差别；模型有助于情报检索理论的研究，情报检索研究者也一直比较关注检索模型的建构。

5.4　在文献信息规律研究中的应用

文献信息规律研究是完全建立在模型方法的基础上，文献计量学的发展、成熟就是数学模型方法应用的一个典型范例。文献计量学方法包括布拉德福定律、洛特卡定律、齐夫定律、文献指数增长定律、文献老化定律，又被公认为图书情报专门研究方法。建立模型是文献计量学研究的重要手段，通过建立模型可以完成从紊乱的统计数据到文献计量规律性认识的飞跃过程。任何研究工作，只有从定性描述发展到定量分析、定量评价和预测，才能成为一种真正成熟的科学，文献计量学作为情报学的一个重要分支学科，其发展前途是

光明的，而在此数学模型方法的作用是十分巨大的。

5.5　在读者服务和服务质量评价中的应用

在新的信息技术环境下，研究者积极探索读者服务模型，比如建立以用户为核心的虚拟参考咨询自导式服务模型、基于用户需求分析的个性信息推送服务模型、基于用户定制的个性信息推送服务模型、基于信息资源整合的个性信息推送服务模型、个性化信息分类定制服务模型、个性化信息智能服务模型、个性化信息垂直门户服务模型、个性化信息呼叫中心服务模型，在服务质量评价中建立以用户满意度、忠诚度为核心的SERVQUAL数学模型等，模型方法有利于探讨数字图书馆服务和评价的有效模式，为构建可互操作的现实数字图书馆服务系统提供有益参考。

5.6　在情报研究与预测中的应用

在情报研究与预测中，情报研究者利用已知数据分析出规律，通过数学变换将多数的规律转换成模型表达式，然后通过模型进行预测。常见的预测模型有回归分析模型、交叉影响分析模型、趋势外推模型、投入产出模型、时间序列模型等等。模型方法可以帮助情报研究人员开拓视野，验证假设，把握问题本质；实际上在一些问题的预测上可能得出与假设或实际值不相吻合的结论，这将刺激研究的进一步深入，致力改进建模的每一个环节，重新建立不同的模型进行结果的比较，提高综合分析判断水平，最后获得更有价值的成果。

此外，模型方法还广泛应用于文献采购、图书馆管理、用户研究、学科动态研究、读者满意度研究、知识组织研究等方面，现在模型方法已经越来越多地在图情研究中被采用，越来越多地应用到了图书馆活动、情报活动以及探寻它们运行机制的方方面面。

6 图情模型方法应用的局限性与存在的问题

模型方法成为研究者经常采用的一种方法。据笔者对“中文科技期刊数据库”调查，从1989－2007年通过模型方法研究图书馆学和情报学的论文共1342篇，而2002－2007年就占69％，说明模型方法的应用处于上升趋势，并且研究发现图情模型方法应用中存在着一些问题。

对于图情模型来说，研究者提出了较多的定性描述模型，这无疑是对图书馆学情报学理论研究有很大帮助，但对定量描述的模型相对较少，这表明图情建模的研究有待深入，在这一领域有待于新的突破。

定量描述的模型必须运用恰当的数学模型，有的理论研究论文提出的问题可能是实际的，但由于数学模型选择得不当，在复杂的数学过程之后，结论仍然是数学的，没有能够把数学模型语言描述和产生的概念与规律还原为现实的、具体的内容。

图书馆学情报学里存在着许多经典的模型，但更多的模型提出以后不久就被人们遗忘，因此模型权威性问题必须引起研究者的高度关注。怎样提高模型的权威性?根本的是要用实践检验，也可以通过提高建模工作的质量来未雨绸缪，建模需要有充分的定性分析作基础，要寻求研究对象的特点、规律和内在联系；根据研究对象结构和性能所涉及的性质现象，如随机现象、必然现象、模糊现象等，有针对性地选择合适模型，并要讲究建模策略；使用逻辑、实验等方式来检验与修正模型；比较不同的模型，从中选择比较理想的模型。模型方法表现出一种抽象思维的力量，研究者建模还需要学量的知识与依赖智慧的作用。

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关键词：数学模型　应用　构造　创新能力

一、引子

随着科学技术日新月异的发展，数学在各个领域的作用越来越重要。不管是不同于数学领域的其它自然科学领域，还是社会科学领域，都力图通过建立数学模型来分析、处理实际问题，以期使问题得到解决。把应用还给数学，是近几年来我国数学教育界在分析总结国内外数学教育的经验教训后所取得的共识，应用问题进入中学数学的课堂教学已成为事实。有资料统计表明，数学建模方法在全国通用九年义务制教材初中课本中出现的频数最高，达108。由此可以看出，这一数学思想方法的重要性。因此，开展“数学建模”教学，加强数学与生活应用的结合，加强对学生创新意识、创新能力的培养已经摆在了每一位数学教育工作者面前。这不仅是数学学科发展的需要，也是素质教育的需要。

二、数学模型与数学模型方法

1．数学模型

所谓模型，是一种结构，这种结构是通过对原型的形式化或模拟与抽象得到的，是一种行为或过程的定量或定性的表示，通过它可以认识所代替的原型的性质和规律，模型的种类很多，可以是物质的，也可以是思想的。思想模型又可分为不同的类，如形象模型和符号模型，数学模型是一种符号模型。数学模型是现实原型的数学抽象化的产物，是“针对或参考某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述的一种数量结构。”对“数学建模”可以理解为“数学建模就是寻求建立数学模型的方法的过程。”

2．数学模型方法

所谓数学模型方法是通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。一般分三步进行：（1）对现实问题进行抽象分析，建立数学模型；（2）对建立的模型进行推理和演算，数学地求得模型的解；（3）把模型的解返回到现实问题中去，检验数学模型的符合程度或获得现实问题的解。

三、数学模型方法的应用

运用数学模型方法思想，既可以通过建立数学模型解决实际问题，也可以通过构造等价数学模型（甚至现实原型）解决某些纯数学问题。实际问题是复杂多变的，数学建模较多的是探索性和创造性，但是初中数学应用性问题常见的建模方法还是有规律可以归纳总结的。

1.建立几何模型

诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算、作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化成为几何或三角函数问题求解。

例1：（台风）某次台风中心在O地，台风中心以25千米/时的速度向西北方向移动，离台风中心240千米的范围内会受台风影响，某A市在O地的正面方向320千米处，问A市是否会受此台风的影响？若会，将持续几个小时？

分析：这是综合解直角三角形的问题，画出示意图：如图1，先计算出AB的长，比较得：AB

例2：足球赛中，一球员带球沿直线L逼近球门AB，在什么地方起脚射门最为有利。

分析：这是几何定位问题，画出示意图，如图2：根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线L上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为直线L上求点P，使∠APB最大，为此过A、B两点作圆与直线L相切，切点P即为所求，当直线L垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利，可见“临门一脚”的工夫现应包括选取起脚射门的最佳位置。

2.建立方程模型

例3：如左下图，某小区规划在长为40M，宽为26M的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积为144M，求甬道的宽度。

分析：如右上图，作整体思考，设甬道的宽度为xM，则问题转化为：求方程（40-2x）（26-x）=6×144的解，解得x=2、x=44（不合题意舍去）

3.建立直角坐标系与函数模型

当变量的变化具有近似函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立光平面直角坐标系，转化为函数图像讨论。

例4：有一批1米长的合金钢材，现要截成长为27cm和13cm两种规格，用怎样的方法截取使材料利用率最高？并求出材料最高利用率。

分析：作出直线　图像，确定与直线最近的整数点（4，2），则4×13+2×27=98，即截4段13cm，2段2cm，材料利用率为98%。

例5：如右图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶，它的拱宽为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样才能画出模板的轮廓线呢？

分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

4.建立不等式模型

对现实生活中广泛存在的不等量关系：如投资决策等可挖掘实际问题隐含的数量关系，转化成不等式组的求解式，目标函数在闭区间的最佳问题。

例6：某机床厂生产中所需垫片可外购，也可以自己生产。如外购每个价格是1.10元，如自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个垫片的材料和劳力费用需0.60元，试决定该厂垫片外购或自产的决策转折点。

分析：在固定成本增加800元不变的条件下，决定垫片外购还是自产的关键在于量的多少，设该厂每月需要垫片x个，则外购费用为1.1x元，自产费用为（800+0.6x）元，当外购费用大于自产费用时则自产，否则便外购，问题转化为求不等式1.1x>800+0.6x的解，解得x>1600；当该厂垫片需要量在1600个以上时，自产较为合算；少于1600个时以外购为好，而恰为1600个时外购和自产一样，都需花费1.1×1600=1760元。

总之，数学应用和建模能力也是一项专门的能力，它与学习、掌握纯粹数学的能力有密切关系，但并不等价，应用的意义、技巧、方法、能力也需要一个培养锻炼、提高的过程。数学建模的过程，要善于透过实际问题的现象，抓住数学问题的本质，寻求内在联系，综合运用数学知识。由于初中学生知识水平和认知能力的限制，数学建模能力的培养要适时渗透，反复训练，及时归纳方能水到渠成。

四、数学建模能力的培养

数学模型方法在中学数学教学中是一种重要的思想方法，熟练掌握和运用这种方法，是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键。怎样才能使学生更好地掌握这种方法呢？这要求逐步培养学生以下能力：

⑴　理解实际问题的能力；

⑵　洞察能力，即善于抓住系统要点的能力；

⑶　抽象分析问题的能力；

⑷　“翻译”能力，即把经过一定抽象、简化的实际问题用数学的语言符号表达出来，形成数学模型的能力和应用数学方法进行推演或计算得到的结果能用自然语言表达出来的能力；

⑸　运用数学知识的能力；

⑹　通过实际加以检验的能力。

参考文献：

[1]钱佩玲邵光华，数学思想方法与中学数学，P94.北京师范大学出版社.

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关键词：数学建模；概率模型；数学教育

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）51-0178-02

一、概率理论与数学建模

随着数学教育的发展，通过数学建模的教学实践，可以看到作为数学知识与数学应用桥梁的数学建模活动，对培养学生从实际中发现问题、归结问题、建立数学模型、使用计算机和数学软件解决实际问题的能力，起到了其他数学课程无法替代的作用；对于培养学生的独立思考和表述数学问题和解法的能力，有其独到之处.国际数学教育界对数学建模教学的共识和重视的程度也随之提高，数学建模是指根据具体问题，在一定假设下找出解这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程.数学模型从影响实际问题的因素是确定性还是随机性的角度上可以分为确定性的数学模型和随机性的数学模型.如果影响建模的主要因素是确定的，并且其中的随机因素可以忽略，或是随机因素的影响可以简单地表现为平均作用，那么所建立的模型应当是确定的数学模型；相反地，如果随机因素对实际问题的影响是主要的，不能忽略，并且在建模过程中必须考虑到，此时，建立的模型应是随机性数学模型.本文主要讨论了简单的随机问题中的概率模型，通过举例说明概率基本知识在数学建模中的应用.建立概率模型的过程主要有如下特点：

1.随机性.随机性体现在整个概率模型的建立中，由于随机因素对实际问题的影响不能忽略，在建模初期的模型分析与模型假设中必须考虑到随机性的影响，在模型建立环节也会用到分析随机问题的思想.

2.基础性.在概率模型中，用到的概率知识基本上是期望、方差、概率分布等基本知识，所以对这些基础知识的全面掌握是建立概率模型的关键.

3.启发性.在概率模型中，如何全面地考虑建模中的不确定因素具有探索性与启发性，而且对这些随机因素的考虑可以激发学生的学习兴趣与创造能力.

4.可转化性.有很多确定性模型在考虑了随机性的影响后，都可以转化成相应的随机性模型.

二、概率基础知识在数学建模中的应用

客观世界中，事物的产生、发展变化往往具有随机性，它的特点是条件不能完全确定结果.例如某地区的降雨量、某流水生产线上的次品数、某商场一天中顾客的流量，某射手在射击中命中靶心的次数，等等.这就要求学生在分析和求解模型中运用随机性的思想.在此情况下，概率知识在模型中的应用也就成为必然，而且概率知识的引入也能极大地丰富了数学建模活动中数学方法的使用.

从概率模型的特点可以看出，有很多确定性的模型，当考虑了其中随机因素的影响之后，它们都可以转化成概率模型来求解.例如，人口模型中的指数增长模型和阻滞模型，在给定了生育率、死亡率和初始人口等数据基础上预测了未来人口，但事实上人口的出生与死亡是随机的，当考虑到这一点时，我们所建立的应当是随机人口模型；再如确定性存贮模型可以转化为随机存贮模型等.

为了更好地将概率知识应用到数学建模中，我们应当做到以下几点：（1）熟练地掌握概率的基本知识；（2）全面地理解所研究的实际问题；（3）充分地考虑到实际问题中的随机性影响，并在建立模型过程中体现出随机性；（4）对所建立的模型能作出准确地检验.下面举例说明.

案例1 机票预售问题.

航空公司采用超额预订机票的对策来应付某些旅客可能不能按时乘机的情况，以增加航空公司的收入.但预订机票数超出座位数太多，不仅影响航空公司的信誉，而且损失过多的付给旅客的补贴.因此存在一个适度超额预订机票的问题.

我们首先通过分析、假设，来简化、明确问题：设f表示某航班飞行一次的固定费用，包括燃料费和维护费、机组人员的工资和报酬，以及租用机场的设施等费用.以N记飞机的座位数，以g记每位旅客所付机票费.设一个已订票的旅客按时到达机场的概率为p，设航空公司已订出的机票数为m，在已订机票的m人中有k人未能按时到达机场的概率为pk，则pk=C（1-p）kpm-k. （1）

下面计算一次飞行的利润S.

（i）如果飞机满座，且订票数恰好等机的座位数，即m=N，那么S=Ng-f.

（ii）如果实际订票数大机的座位数，即m>N，而且m人中有k人未按时到达，在不考虑补偿已定票而未能乘上飞机的旅客的情况下，一次飞行的利润为：S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f，若m-k>N

由于“m人中有k人未按时到达”是随机事件，其概率可由（1）表示，于是一次飞行的平均利润应该用S的数学期望表示，记作，因此我们有：

为了获得最大利润，从（2）式可看出：唯一的办法是减小一切0≤j≤N时Pj+m-N之值，使它尽可能接近零.由二项式分布性质可知，当m增大时Pj+m-N减小，因此增大可增加利润.

但是，增大m会导致过多预订了票的旅客乘不上飞机的情况发生.因此航空公司对超额预订机票应采取一定的补救措施，如支付给这些旅客一定的补贴以消除影响.

（iii）如果实际订票数大机的座位数，即m>N，而m人中有k人未按时到达，在考虑给每一位已订票而未能乘上飞机的旅客补偿费b的情况下，航班飞行的利润公式应改为S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f-（m-k-N）b，若m-k>N

于是一次飞行的平均利润即S的期望利润为

由上式可以看到期望利润与g、b、f、N、m、p诸因子有关.如果固定其他因子不变，仅考虑求m使得S达到最大，这就是航空公司希望解决的问题.

上面所举的例子是概率模型中常见的素材，其中概率的思想和方法都体现在了建模过程中，因此概率知识在数学建模中的应用极大地丰富了建模方法，推动了数学建模的发展.

在教育向素质教育全面发展的过程中，要求学生不但要掌握知识，同时还要学会应用知识，数学建模毫无疑问是应用知识的一种很好的方式.所以在教学过程中应当注重知识的应用性，以促进学生的全面发展.

参考文献：

[1]袁震东，等.数学建模[M].第3版.上海：华东师范大学出版社，1997.

[2]袁震东，等.数学建模方法[M].上海：华东师范大学出版社，2003.

[3]李大潜，等.中国大学生数学建模竞赛[M].北京：高等教育出版社，1998.

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[关键词]数学；市场营销；应用

[中图分类号] G71 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2017）09-0119-01

数学来源于生活，又服务于生活。在我们的大千世界中蕴含着大量的数学信息，数学无处不在无时不有，人们离不开数学，因而数学在现实世界中有着非常广泛的应用，数学与我们的生活存在着密切的联系。市场营销学作为一门应用性学科，已成为社会的重要部分，越来越受到社会的重视，在生活中有着重要的作用，自然市场营销与数学已经紧密地结合在一起。数学是市场营销的基础，促进市场营销更好地发展，市场营销也应用着数学，两者相互作用，相互促进。

一、应用简单的数学知识解决营销问题

市场营销是指一个企业为适应和满足消费者需求，从产品开发、定价、宣传推广，到将产品从生产者送达消费者，再将消费者的意见反馈回企业的一系列企业活动。企业在这一系列活动中直接应用数学知识解决营销问题的比较多。如在市场调研中收集到的第一手资料的分析整理与处理，产品价格的制定，广告费用的预算，市场占有率、销售利润额、利润率、投资收益率的计算，企业总成本的预算等。除了最简单的数学计算之外，还可以利用计算机进行科学计算和数据处理，更主要的是将数学抽象思维和逻辑推理能力应用于市场营销中，分析评价企业的营销环境、市场竞争状况、市场需求情况等，便于企业制定恰当的营销策略，指导企业创造竞争优势，力求在竞争中立于不败之地。

如市场调查是市场营销中非常重要的部分，而市场调查与数学是紧密结合的，两者息息相关。

随机抽样调查案例：

某地区百货商店为10000户，其中大型、中型与小型百货商店分别为1000户、2000户、7000户，当抽样数为200户时，若用分层比例抽样法应从各层中各抽多少样本？

按照分层比例抽样公式，各层的样本数分别为：

大型百货商店：N大=1000/10000*200=20（户）

中型百货商店：N中=2000/10000*200=40（户）

小型百货商店：N小=7000/10000*200=140（户）

二、数学建模在营销中的广泛应用

数学模型对经济领域中企业营销价值的提升越来越明显。运用现代数学方法研究营销问题，不仅丰富了营销学的分析工具，推动了营销学的发展，而且使研究者对营销问题的解释能力和对市场的预测能力都得到了极大提高。

在市场营销中建立数学模型，进行列表调查，绘制图表进行统计，运用数学公式进行复杂的计算等都非常常见。在市场营销中市场调查与预测是非常重要的一环，而市场调查与预测都和数学关系密切，其经常用到随机抽样、列表对比、画图分析、建立数学模型，这些都运用到数学这一有利的工具，使营销者拥有丰富的信息，更好地去预测，做出最正确的决策。

下面结合营销实例证实常用的经济数学模型的实际应用价值。

（1）时间序列分析法的主要模型

时间序列分析就是要把过去的销售序列Y分解成趋势（T）、周期（C）、季节（S）和不确定因素（E）等部分，通过对未来这几个因素的综合考虑，进行销售预测。这些因素可构成线性模型，即Y=T+C+S+E；

也可构成乘数模型，即Y=T*C*S*E；

还可以是混合模型，如Y=T*（C+S+E）。

（2）线性回归模型

对线性回归模型的构建及预测，确定两个变量之间是线性相关，就可以进行线性回归分析。线性回归分析的方法是在相关点之间找到一条直线，以这条直线表明两个变量之间的数量变动关系。

设线性回归模型为：YC = A + BX。其中，YC 表示Y 的估计值，X、Y 表示经济变量。模型的关键问题是如何根据以往资料确定系数A、B ，一般采用最小平方法，即先计算Y = A + BX 的总和，然后计算ΣXY 的总和，由此计算出A、B 的值，即A = ΣY/ N， B = ΣXY/ X2。

建立好数学模型以后，就可以进行市场数据的预测，将相关的经济数值如销售额、销售量、生产总值代入回归预测模型，就能得到此后相关经济指标的预测值。

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关键词：系统建模；系统辨识；参数估计；参数模型；非参数模型

中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)16-21286-03

System Modeling Based on the System Identification

XIANG Xiao-yan1, JIANG Xiao-hui2

(1. College of Physical Science and Information Engineering, Jishou University. Jishou 416000, China; 2.College of Mathematics and Computer Science, Jishou University, Jishou 416000, China)

Abstract: In analysing and designing of the control system,the most important is modeling. Mathematical models usually has three categories. The first model building method is according to the mechanism in control process. The second is based on the input and output data of controlling process to model the structure and parameters. The third one is between modeling methods above.Them usually called white box, black-box and grey box model. The methods of system identification are briefly intruduced. And significant types of mathematical model are manly investigated.

Key words: system modeling; system identification; parameter estimation; the model parameters; non-parametric model

1 仿真及建模

一般对控制系统进行设计和分析研究，也就是根据被控对象的特性进行控制器的设计，以获得满足性能指标要求的最优控制系统。分析和研究控制系统的主要目的之一是获得控制器的最佳整定参数。但是在实际生产过程中，大部分的被控对象是比较复杂的，并且要考虑安全性、经济性，以及进行实验研究的可能性等，这在现场实验中往往不易做到，甚至根本不允许这样做。例如，在研究导弹飞行、宇航、反应堆控制系统时，不经模拟仿真实验，将对人类的生命和健康带来很大的危险。这时，就需要对实际系统构建物理模型进行研究，然后把对模型实验研究的结果应用到实际中去，这种方法就叫模拟仿真研究，简称仿真。因此，仿真就是用模型（物理模型或数学模型）代替实际系统进行实验和研究。它所遵循的基本原则是相似原理，即几何相似、环境相似和性能相似。依据这个原理，仿真可分为物理仿真、数学仿真和混合仿真。其中物理仿真需要制作物理模型，必须进行大量的设备制造、安装、调试工作，并且实验数据处理也不方便。数学仿真比物理模型方便简单很多，只要有一台数学仿真设备就可以对不同的控制系统进行仿真实验和研究。

数学仿真的主要工具是计算机，因此一般也称为计算机仿真。其一般过程为：①根据仿真目的确定仿真方案；②建立系统的数学模型；③建立仿真模型；④编写仿真程序；⑤进行仿真实验；⑥仿真结果分析。通常，将实际系统抽象为数学模型，称为一次模型化，涉及系统辨识技术问题，又称为建模问题。将数学模型转化为可以在计算机上运行的仿真模型，称为二次模型化，涉及到仿真编程、运行、修改等技术，称为系统仿真技术。

数学模型主要有三类，黑箱、白箱和灰箱。相应地，建立数学模型的方法有三类。根据过程内在机理、物料和能量衡算等物理和化学规律建立的模型是白箱模型；用过程输入输出数据确定过程模型结构和参数的方法建立的模型是黑箱；介于两者之间的各种建模方法建立的模型是灰箱模型。

2 数学模型

在生产过程中，最常用的建模方法是将过程看做一个黑箱，根据过程的输入输出数据，通过系统辨识的方法建立数学模型。系统辨识方法有非参数模型辨识和参数模型辨识方法两大类。

2.1 非参数模型

利用直接记录或分析系统的输入和输出信号的方法估计系统的非参数模型。所谓非参数模型是指系统的数学模型中非显式地包含可估参数。例如，系统的传递函数、频率响应、脉冲响应、阶跃响应等都是非参数模型。非参数模型通常以响应曲线或离散值形式表示。非参数模型的辨识可通过直接记录系统输出对输入的响应过程来进行；也可通过分析输入与输出的自相关和互相关函数，或它们的自功率谱和互功率谱函数来间接地估计。非参数模型是经典控制理论中常用的描述线性系统的数学模型。传递函数反映输入与输出的拉普拉斯变换在复数域上的响应关系，频率响应反映它们的傅里叶变换在频率域上的响应关系，而脉冲响应和阶跃响应则是在时域上的响应关系。它们从不同的方面反映系统的动态特性。非参数模型比参数化模型直观，辨识非参数模型的方法和计算也比辨识参数化模型的简单。脉冲响应可以用直接记录输入脉冲函数的输出响应的方法来辨识；频率响应也可以直接利用单频正弦输入信号的响应来辨识。但是这种直接辨识方法只能应用于无随机噪声的确定性系统。对于有随机噪声的系统或随机输入信号，必须使用相关分析法或功率谱分析方法。随着快速傅里叶变换仪、伪随机信号发生器和相关仪的问世，辨识系统的非参数模型已变得比较容易。但非参数模型应用于实时控制和适应性控制仍不如参数化模型方便。非参数模型在某些情形下，可以转化为参数模型。例如，如果一个系统的传递函数可以表示为有理分式H(s)=K/(a+s)，则系统的模型可以用常微分方程y'+ay=ku表示，a与k为待估计的模型参数，这是参数化模型。又如，对于离散系统的权函数序列（离散脉冲响应序列）{hi,i=0,1,…}，如果在i充分大（如i>N0），而│hi│充分小时,则模型可以表示为■并可用最小二乘法给出有穷权函数序列{hi，i=0,1,…N0}的估计。一般说来,由参数模型容易获得非参数的脉冲响应或频率响应，但由非参数模型化为参数模型则要困难得多。

从过程的数学模型对阶跃信号的响应来分析，可将过程的数学模型分为四大类。

2.1.1 自衡非振荡过程

这是工业生产过程中最常见的类型。图1(a)是这类过程的输出响应曲线。常用下列传递函数描述这类过程的数学模型。

■

其中，τ是过程的时滞，K是过程的增益，T是时间常数。

图1 非参数模型过程特性

2.1.2 无自衡非振荡过程

这类过程通常具有积分特性，输出向单方向增加或减少，直到输出达到极限值。图1(b)是这类过程的输出响应曲线。常用下列传递函数描述这类过程的数学模型：

■

2.1.3 自衡振荡过程

这类过程在生产控制中不多见，输出为衰减振荡，最终达到新的稳态。图1(c)是这类过程的输出响应曲线。常用下列传递函数描述这类过程的数学模型：

■

2.1.4 具有反特性的过程

这类过程输出先降（或升）后升（或降），最终根据过程师傅自衡特性，能达到或不能达到新的稳态。一般含有积分特性的过程是不能自衡的。图1(d)是这类过程的输出响应曲线。常用下列传递函数描述这类过程的数学模型：

■

2.2 参数模型

现代控制理论中常用参数模型对过程进行描述，参数模型是指用有限参数描述的过程模型。常用的参数模型有AR模型、ARX模型、ARMAX模型、BJ模型和输出误差模型等，常用状态方程、差分方程或微分方程描述这类参数模型。

2.2.1 自回归模型（AR模型：Auto-Regresive Model）

当过程输出仅与它过去的值有关时，可采用自回归模型。AR模型形式为：

A(q)y(k)=e(k)

其中■

q是延时因子，即q-1y(k)=y(k-1) a1,a2,…,ana 是模型参数，e(k)是白噪声过程。

2.2.2扩展自回归模型（ARX模型：Extended Auto-Regressive Model）

又称受控自回归模型，是扩展控制变量后的自回归模型。ARX模型的形式为：

A(q)y(t)=B(q)u(t-nk)+e(t)

其中

■

nk为控制时滞

2.2.3 扩展自回归滑动平均模型（ARMAX模型：Extended Auto-Regressive,Moving Average Model）

这是应用最广的一类参数模型。ARMAX模型的形式为：

A(q)y(t)=B(q)u(t-nk)+C(q)e(t)

与ARX模型比较，增加了对滑动噪声信号平均值的项。AR模型、ARX模型都是ARMAX模型的特例。

BJ模型（Box-Jenkins Model）

BJ模型的形式为：

y(t)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+[C(q)/D(q)]e(t)

其中，D(q)和F(q)也是q的多项式，阶次分别为nd和nf。

2.2.5 输出误差模型(Output Error Model)

输出误差模型是BJ模型的一个特例，它的形式为：

y(t)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+e(t)

一般输入输出模型

一般输入输出模型通常是ARMAX模型的特例，可以用通用的模型形式来表示：

A(q)y(k)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+[C(q)/D(q)]e(t)

参考文献：

[1] P. Eykhoff, Systems Identification, Wiley, London,1974. 潘科炎、张永光，等译. 系统辨识：状态与系统参数估计[M]. 北京：科学出版社，1980.

[2] 控制系统分析、设计和应用――MATLAB语言的应用[M]. 北京：化学工业出版社，2003.

[3] 李国勇，谢克明.控制系统数字仿真与CAD[M]. 北京：电子工业出版社，2005.

篇8

《数学课程标准》明确指出："要发展学生的应用意识，让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用。"因此，在数学教学中，教师要将教学内容和现实生活紧密联系起来，引导学生将所学的数学知识运用于生活实践，使学生体验到数学学习不但有趣，而且有用。

1.以生活实践为主线，科学设计教学过程

1.1 引用现实生活中的例子创设教学情境，提高学生的学习兴趣。在日常生活中，数学的应用随处可见。因此，教师要积极地从学生的现实生活中收集信息，教学中把与数学相关的问题抽象出来，使学生感受到数学就在自己身边，对数学学习产生亲近感。例如，在教学"角的初步认识"和"三角形、圆、长方形、正方形、平行四边形的认识"时，教师可以给学生展示日常生活中常见的物件，如课本、橡皮、课桌、文具盒、红领巾等，再利用多媒体课件从中抽象出角、圆、长方形、三角形、正方形、平行四边形等几何图形，让他们感受到学习的几何图形就藏在自己的身边，从而激发学生的学习兴趣和学习热情。

1.2 强调数学学习的实践性，淡化抽象性。在课堂教学过程中，教师若过于注重让学生用规范的数学专业术语复述思考过程，进行算理分析，而不将所学内容与学生的实际生活相联系，只会将学生带进死胡同，使他们感到数学学习是无聊的、枯燥的，进而产生厌学情绪。例如，在教学"两数相差多少的应用题"这节课时，有这样一道题："一个养殖场饲养了白猪23只，黑猪11只，白猪比黑猪多几只？"学生回答：23-11=12（只）。在解答这道题的过程中，一些教师要求学生说出算式中23、11、12各表示的意思，程式化地让学生这样叙述：23表示23只白猪，11表示白猪有与黑猪同样多的11只；白猪的23是由两部分组成的，一部分是和黑猪同样多的11只，另一部分是比黑猪多的12只；从23只白猪中去掉与黑猪同样多的11只，剩下的就是比黑猪多的12只……在这样程序化的、生硬的语言分析中理解题意，使学生失去了灵活的解题能力；在这种空洞的、无味的文字复述中，学生只会越学越糊涂，越学越没兴趣。在现实的生活实践中，学生对这道题最直接的理解就是"白猪多，黑猪少，从23只白猪里去掉11只，得出的结果就是白猪比黑猪多12只"。这样的表述方式更符合小学生的思维方式，因此学生更容易接受，而且体会到学习数学是一件非常轻松有趣的事情。这就要求教师在课堂教学中要从学生已有的生活经验和知识背景出发，提供符合学生思维方式和感兴趣的学习素材，使他们有更多的机会从自己熟悉的身边事物中学习和认识数学，体验到数学与生活的紧密联系，了解数学的应用价值，体会到学习数学的乐趣。

2.小学数学教学方法生活化

在教学过程中，教学目标与教学内容的完成，都依赖于教师所选择的教学方法，如何选择合适的教学方法，体现生活化的意图是我们设计教学流程要着力思考的，在操作实践中，我们所理解的教学方法生活化主要是从创设情境、数学建模、实践操练等三方面进行的。

2.1 建构数学模型，进行"数学地思考"。义务教育阶段的数学课程指出，"要强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进一步的发展"。为此，教学研究了如何使孩子们亲身体验一个问题解决的探索过程，学会从自己熟悉的现实原型中抽象出形式化数学表达式（即数学模型），再将它应用到新的实际问题的解决中去。

首先，研究了如何建立数学模型。数学模型的建立是个生活问题数学化的过程，是解决生活问题的有效形式。在建立模型的过程中，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的绝好机会，在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和社会的密切联系。在数学模型的构建过程中隐含了由"实际问题"到"数学模型"的抽象过程，而这种抽象并不是通常意义下的"简单化"和"理想化"，它主要是一个应用语言、符号重新进行表征的过程，即"数学化"。这个过程的基本模式就可表征为：生活问题DD数学模型。

其次，研究了数学模型的应用。数学模型的应用是个数学问题生活化的过程，数学模型的建立并不是学习的终极，还应让学生学会模型在现实中的应用。实质上是对抽象化了的数学模型，即符号形式的数学表达式重新进行"意义赋予"的过程，从而就使抽象的数学概念与主体的已有生活经验或知识联系起来，成为"十分直观明了"的东西。

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关键词： 初中数学应用题 特点 模型 “建模能力”

新的数学课程标准关注学生全面、持续、和谐地发展，强调培养学生的应用意识。数学应用题是中学阶段体现数学应用性非常典型的内容，是学生了解数学应用的一个窗口，是目前检测学生应用意识和能力的一个重要方面。通过应用题，可以培养学生用数学的眼光和从数学的角度去思考、解决问题，使学生深刻地感受到数学与现实世界的密切联系，而应用题的解决可以提高学生分析问题和解决问题的能力。笔者结合新课程数学教学的经验，对新课程背景下初中数学应用题教学提出一定的对策建议。

一、科学总结出新课程背景下初中应用题呈现的特点

初中数学新教材是新课程改革的一项重要成果，同时新教材中应用题教学内容的变化也在一定程度上代表了初中数学新课程改革的方向。结合新教材中应用例题，笔者总结出新课程中应用题呈现以下几个方面的特点：

1.应用题编题范围的广泛化

原教材中应用题的取材相对比较单一，主要涉及行程、工程、材料、零件、销售、生产、度量、比赛等背景的问题，内容陈旧，范围过窄，离学生的现实生活较远。新教材中应用题的问题背景就相当丰富了，涉及建筑、自然、材料设计、人口、经济、环保、交通、雕塑、数学史、城市规划、生态、健康、工程技术、军事、城市规划等各个方面，且日常生活中的闹钟、扑克牌，家里铺的地砖，周围的高楼大厦、花园、电梯、登山缆车，老井上的辘轳，微观世界的粒子运动，浩瀚宇宙中的行星运转都可成为应用题的背景。

2.应用题取材的生活社会化

新教材中应用题的取材不仅考虑数学自身的特点，更遵循了学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，向学生提供了贴近他们的生活、真实而富有挑战性、关注社会发展的学习素材，使学生了解数学的价值，体会数学与自然及人类社会的联系，增进对数学的理解和应用数学的信心。

新教材的应用题中有学生日常生活中再熟悉不过的东西，如：书桌、铅笔盒、笔筒、足球、钟表、方向盘、小动物等。

3.应用题表现形式的多样化

原教材中的应用题主要以文字叙述为主，新教材中应用题的呈现方式结合表格、图像、图片、对话、寓言故事等，直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现了素材，可以提高学生的学习兴趣，满足多样化的学习需求。

表格式应用题除了具有直观、简明扼要、对比性强等特点外，还具有浓厚的生活气息，使学生感受到数学就在我们身边。按照表中提供的信息可以解决不同的问题，既体现了数学应用的广泛性，又能培养学生应用数学的意识和能力。统计与概率部分提供了大量的表格式应用题。例如，新教材八年级下册第178页习题第2题：2000年9月28日，我国选手伏明霞、郭晶晶分别获得悉尼奥运会女子三米板跳水冠、亚军。告知获得前六名的选手的决赛成绩（分数），试计算各个选手5次跳水成绩的平均分和方差，并比较这六名选手的表现。

4.应用题注重突出建模思想

数与代数领域，数学建模是一条主线。该领域中的方程、不等式、函数都是刻画现实世界的重要模型：方程是刻画现实世界数量关系的数学模型，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型，一次函数反映了均匀变化的规律。空间与图形领域强调几何建模过程：由于其自身的特点较之其他模型更直观、形象，更宜于从现实情境中抽象出数学的概念、理论和方法。在这样的前提下，新教材中的应用题力求体现“问题情境―建立数学模型―解释、应用与拓展”的模式，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用来展现数学知识的形成与应用过程，这事实上就是解决实际问题的基本途径、数学建模的基本过程。所以这样的呈现方式有助于增强学生的数学应用意识，初步领会数学建模的思想和方法，渗透数学建模的意识。

二、帮助学生归纳常见的初中数学应用题模型

通过对新课程背景下初中数学教材及近年来全国各地中考数学应用题题型的归纳，我们可以发现初中数学应用题出题的模型范围基本上都是紧紧围绕考试大纲的，变化的只是具体的实际生活案例载体，但是经过抽象后解决问题的数学模型基本上都是比较集中的。鉴于这种规律，结合新课程数学知识点中出应用题的高频率知识点，教师可以利用自己对知识系统性掌握的优势，帮助学生对初中数学应用题常见模型作一个基本的总结与归纳，如表1所示：

通过上表可以看出，在初中数学的知识点中最容易出应用题的知识点多集中在方程、函数、不等式及统计等方面，为了进一步让学生对以上各类数学应用题模型的基本题型有一个基本的认识与了解，教师在这样总结的基础上还应针对各类模型选取与之配套的例题来进行讲解，增加学生对数学应用题模型类型的掌握。需要说明的是，由于教师帮助学生总结数学应用题模型在知识点上跨度比较大，因此这种教学策略一般适合在初二下学期，以及初三年级进行。

三、重视过程教学，培养“建模能力”

新课程的一个重要要求就是要求学生能把一些常见的实际问题转化为数学问题。把实际问题转化为数学问题，即为数学模型。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，即把一个实际问题中某些事情的主要特征、主要关系抽象成数学语言，近似地反映事物的内在联系与变化的过程。解决此类问题的关键步骤主要有两个：一是建立数学模型（建模）；二是运用有关知识求解数学模型（解模）。建模就是构建适当的数学关系（如公式、函数、方程或图形），使原来的问题情境转化为易于解决的问题的解题方法，解模就是从题设条件和求解结论中得出启示，构造出一些新的数学形式，通过对这些数学形式的研究可以得出解题思路，从而达到解题的目的。

要实现这样的目的，在初中数学应用题教学中教师就不能以追求讲解应用题求解结果为目标，而要注重初中数学应用题过程教学。在这个过程中教师应教会学生怎样去建模，并结合新课程中应用题解题的一般过程，在应用题教学中注重让学生掌握以下的建模流程，如图1所示：

下面通过一道初中新课程教材中比较常见的应用题类型来说明建模过程在数学应用题求解中的重要流程与作用。

例题：东方超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价一元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

这是一道与日常生活非常接近的应用题，取材于生活中常见的营销问题。根据上文分析的建模过程，教师在教学时候就要鼓励学生从这些日常生活实际中抽象出数学模型来，结合这道具体的例题，教师应该提醒学生在实际问题与数学模型之间进行转换时候要注意到以下几个数量关系：

销售利润 = （销售单价 - 销售成本）×销售量

销售量 = 原销售量 - 滞销量

销售单价 = 原定单价 + 涨价

明白了这些基本模型等式之后，设销售单价为每千克x元，则每千克的销售利润为（x -40）元；月销售量为500-（x-50）×10千克；月销售利润为（x-40） ×［500-10（x-50）］元。

所以问题1的解答为：当销售单价为55元时，月销售量为500-（55-50） × 10=450（千克），所以月销售利润为（55-40）×450=6750（元）。

但是当销售单价为60元时，月销售成本为：40×［500-（60-50） ×10=16000（元），根据“月销售成本不能超过10000元”，所以销售单价定为每千克80元。

通过上述这道例题可以看出，初中数学应用题解题的关键是要找出题目所给出的实际问题中蕴藏的数学模型及等量关系，然后将实际问题直接转化成为纯数学问题，得到数学模型的解之后再回头代入实际问题之中，从而得到解决实际问题的答案。

总而言之，新课程标准对学生在应用题学习方面的要求还是比较高，教师应该在充分领悟到新课程标准对应用题教学要求基础上，推陈出新，讲究应用题教学方法，提高新课程背景下初中数学应用题的教学效果。

参考文献：

［1］韩跃钦. 新课程理念下的数学应用题教学［J］.新课程研究（基础教育），2008，（8）.

［2］张婕. 新课程下的应用题教学［J］.成功（教育），2007，（10）.

篇10

关键词 新素质 倒立摆 课程实践

1引言

对于自动化专业或相近专业来说，倒立摆正在成为一种面向自动控制类课程的较为理想的高端教学实验手段和创新能力提升平台。倒立摆亦逐渐成为自动控制领域中较为常见的控制律检测验证设备而存在。于是搞清楚倒立摆的控制原理，系统地总结倒立摆的建模过程将更加方便于广大教育工作者的教育及科研实践。

基于这样的考虑，本文以倒立摆小车为实例，将详细呈现关于对这样一个倒立摆控制问题的建模过程、模型抽象、仿真构建及成果展示。力求达成一个完整系统的倒立摆控制范本。

2倒立摆小车的物理实体

倒立摆小车通俗的说，就是让一个处于可自由转动状态的杆在小车上保持向上的直立状态。在自由状态下，这个杆在干扰力的作用下会左右晃动，无法保持向上直立。为此，就必须施加控制作用，通过自动控制技术使其保持直立，这就是倒立摆的控制。通过倒立摆控制，可以检验控制算法对于非线性、静态不稳定等问题的处理能力。而国防和社会生活领域的许多控制问题，也都可以借鉴倒立摆的控制思想和方法，如火箭竖立发射时的稳定控制、行走机器人的稳定控制、运动平台上随动天线的指向控制等。

3 倒立摆小车状态空间的抽象

因倒立摆小车的控制目标是对小车控制而使细杆得以稳定，所以必要以杆为研究对象分析。在完成对小车物理实体的分析与变量设定后，根据受力分析与运动学定量关系的推导可以得出小车系统基于牛顿第二定律的运动微分方程组，其意义是用前文抽象出的运动变量描述任意时刻的运动状态。至此已经完成了从小车的实体模型中抽象数学模型的过程。

5结语

倒立摆小车的稳定控制器设计问题，都是以分析实体模型、通过物理定律建立数学模型、抽象传递函数并搭建仿真模型、设定控制器参数并用一定的方法调参。本文通过对倒立摆小车的控制设计实例为读者总结了一套完整的倒立摆控制设计研究方法。

参考文献

[1] 孟秋艳.论大学生创新素质的培养与提高[J].教育探索，2006（10）：19-20.

[2] 师进生，刘清芝，王强，等.高等学校创新教育的探索与实践[J].科教文汇旬刊， 2015（5）：25-26.

[3] 王艳芳.大学生创新创业素质培养的探索与实践[J].中国校外教育：理论，2011（1）：9.