数学建模算法及其应用范文

导语：如何才能写好一篇数学建模算法及其应用，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、教学内容的分析

本章内容以函数为核心，共两个小节：一是函数与方程，二是函数模型的应用。函数应用以独立成章的形式出现，在过去的教材里是没有的。和以往的传统教科书相比，本章内容有以下特点：

1　章头语简明扼要

本章的章头语约200字，简明扼要的讲了二点：1)研究函数的目的之一，就是希望以它为工具来刻画变化规律，并用它来解决实际问题；2)在本章我们将学习一种求方程的近似解的基本方法，初步领略用函数模型去解决实际问题的方法。应该说这个章头语起到了“让学生明确本章的学习任务，初步了解本章的大致结构，从而激发学习兴趣”的作用。

2　增加了“函数与方程”一节

这部分内容完全是新增加的。教科书上先通过考察一元二次方程的根，导出了函数零点的概念，在揭示“根”、“零点”、“图象与x轴交点的横坐标”之间的关系后，加强了知识间的联系，具体体现在结合二次函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数与分布，从而了解函数的零点与方程根之间的关系；类比可推导出方程组的解与函数图象的交点的关系，根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为学习算法做准备。

3　渗透了算法思想

随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，教科书在用二分法求方程的近似解时，给出了解法的程序框图，渗透了算法的思想，同时也为选修系列1中框图的学习奠定了基础。

4　函数模型及其应用实例典型

函数模型及其应用主要围绕具体实例展开研究，教材中选取的实例均取自大多数学生熟悉的背景，例如投资问题、人口问题以及体重身高问题等，这些实例包含了函数模型应用的以下几个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题，如例I；(2)建立确定的函数模型解决实际问题，如例4；(3)建立拟合函数模型解决实际问题如例2、例6。

二、教学过程的反思

1　遵循认识规律，提供自主探索的空间，使学生主动地学习

教学中应遵循从具体到一般的认知规律，让学生通过具体实例的探究，归纳概括发现的结论或规律。例如函数零点的教学，教科书中选取具体的方程，直观的图象来直接说明方程f(x)=0的根就是使函数值为零的自变量x的值(即零点)，也就是函数图象与x轴的交点的横坐标，教学中，这种关系的揭示需多举例说明，也可给学生提供情景，让学生自己探究、归纳。“二分法”一般算法比较抽象，学生不易理解，教学中，不必先讲一般的理论，应结合课本中的例题来引导学生探究，这样更便于学生理解，对“二分法”的算法过程，教材上附了框图，教师可引导学生结合具体例子去理解，在具体讲解教材中用“二分法”求方程近似解的具体例子时，应该让学生利用计算器或计算机边操作边认识，最好是由学生自己得出表中内容，这样可使学生更深刻地理解“二分法”的思想，思考体会“二分法”的实质。

2　重视“函数的应用”的教学，突出数学建模思想

函数的应用是学习函数的一个重要方面，通过函数的应用这部分内容的学习，对学生完善函数的思想、激发应用数学的意识、培养分析和解决问题的能力、增强进行实践的能力等，都有很大帮助。教材上在这部分举了六个例题，其中例4教学建模(人口增长模型)，应该说是突出了函数模型的应用，突出数学建模思想，教学时一定要重视。

篇2

关键词：标准；B版教材

2003年4月，教育部颁布了《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）。我们依据《标准》规定的基本理念和要求，吸取百年来国外中小学数学课程教材改革的经验教训，在继承发展我国数学教育优良传统上下功夫，努力编写了一套具有我国特色的高中数学教材，即人民教育出版社2004年出版的《普通高中课程标准实验教科书·数学（B版）》。

这套教科书经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过，从2004年秋季起在山东省6个市20万高中学生中进行试验。一年来的试验工作进展顺利，取得了可喜的成绩。2005年秋季将在全国进入第二轮试验。

这套教科书的总体设计思路是，编写一套具有科学性、基础性、选择性和一定算法特色并与信息技术整合的高中数学教科书。

本套教科书力求适应我国数学基础教育近期和较长期的需要，反映数学和科学进步，重视知识发生发展过程，适应各地各类学校高中学生学习，关照边远和较落后地区学校，使师生通过教材基本上就能完成教学任务。本套教科书力求实现《标准》规定的课程目标，使学生能获得必要的数学基础知识、基本技能，提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，发展表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

一、本套教科书编写的指导思想

本套教科书依据《标准》中规定的课程性质、课程设计思路、内容标准和教材编写建议进行编写。

编写的主要指导思想如下。

1.素材的选取努力体现数学的本质，联系实际，适应学生的特点

教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认知水平。素材要具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性。

2.展现知识的发生发展过程以及知识之间的内在联系，促进学生的自主探索

教材在讲授主要内容时，注意创设情境，从具体实例出发，展现其发生发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题、经历数学的发现和创造过程、了解知识的来龙去脉，在不同的知识层面上，让学生思考知识之间的内在联系与数学本质。

设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面深入的体验和理解。

3.教材重视数学思想、数学方法的指导，有利于培养学生的理性思维习惯和创新精神

对教材中的代数、几何、概率统计的主要概念，让学生先通过观察、分析、归纳，研究生活中的实例，探寻一般规律，提出设想或猜想，再用理性思维认识这些规律的合理性与正确性，养成良好的理性思维习惯。同时选取一些未知的、有意思的数学问题，让学生去探索研讨，激发学生发现问题的欲望，培养学生的创新精神。

4.让学生感受数学的美，接受数学文化的熏陶

教材通过数学活动，让学生感受数学与现实世界的和谐统一，感受数学问题与数学结论的美妙和有趣；让学生体验数学结论的确定性、数学方法的严谨性、思维过程的逻辑性，以养成严谨的学风和严肃的工作作风；让学生体会数学语言的简洁与明晰，以培养学生合作与交流的能力。数学是各门科学技术必不可少的重要工具，通过处理其他学科和生活实际中的问题，也让学生体会数学的重要作用，从而热爱它；通过求解一些较困难的实际问题和数学问题，让学生体验困难的可征服性以及克服困难的乐趣，培养学生的不断进取精神。

5.反映现代信息技术与数学课程的整合

使用现代信息技术帮助学生理解数学概念、探索数学结论、处理复杂的计算、解决实际问题，使学生有更多的时间和精力去探索和发现数学的规律，培养创新精神和实践能力，有助于激发学习积极性，激活思维空间；使用现代信息技术改进学生的学习方式，提高学习效益；也可以引导学生通过网络搜集资料。

二、本套教科书基本内容的体系结构

（一）基本内容

本套教科书包含必修和选修两个课程。必修课程由5个模块（数学1到数学5）组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2分别由2个和3个模块组成，系列3、系列4分别由6个和10个专题组成；每个模块2学分（36学时），每个专题1学分（18学时），每2个专题组成1个模块。体系结构力求反映模块内容之间的联系与综合，使它形成一个有机的整体。

（二）体系结构

本套教科书的体系结构，既反映数学知识的内在联系，又特别关注学生的认知发展过程，注意以下几个问题。

1.确定课程内容的原则是：必修课程内容要满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备；选修课程内容要满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础。其中系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设计的。系列2是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设计的。二者的内容都是基础性的。系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要数学思想，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐步予以调整与扩充，学生可以根据自己的兴趣、志向进行选择。

2.联系实际，体现知识的形成和应用过程，促进学习方式的改进，有利于学生生动活泼、主动的学习。把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动。高中数学课程要求把数学文化内容与各模块内容有机结合。数学探究的课题有助于学生对数学的理解，有助于学生体验数学研究的过程，有助于学生形成发现、探究问题的意识，有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创新性。数学建模为学生提供自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。

3.模块的逻辑顺序。必修课程是选修课程中系列1、系列2课程的基础。选修课程中系列3、系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。必修课程中，数学1是数学2、数学3、数学4、数学5的基础。

系列3、系列4课程的开设可以根据学校自身的情况逐步实施。可以先开设系列3和系列4的某些专题，以满足学生的基本选择需求。以后再逐步丰富和完善，并积极开发、利用校外课程资源（包括远程教育资源）。

4.注意知识的纵向逻辑结构，加强知识间的横向联系，螺旋上升地呈现重要的概念和思想。数学各部分内容之间的知识是相互联系的，学生的学习是循序渐进、逐步发展的。高中数学课程内容划分成若干个模块，不应忽视相关内容的联系。高中数学课程内容根据学生的不同需要分不同层次展开，要特别明确相关内容在不同模块中的要求和前后联系，注意学生在已有知识的基础上螺旋上升、逐步提高。

（三）必修模块的内容结构

1.数学1是整个高中数学的基础

集合一章，主要是学习集合语言，从日常生活和初中数学中的实例出发引出集合概念，让学生学习用集合语言描述在义务教育阶段学过的一些集合，如数集和图形集合。为了准确使用集合语言，学习集合之间的关系与运算。集合语言在整套教材中经常使用。

在函数一章，除学习函数概念外，重点学习一次函数和二次函数。这两个函数是学习函数概念最好的载体，其中蕴涵着高中数学中一些重要的思想方法。在教材中设专节，在初中学过的一次、二次函数的基础上拓宽、提高。用一次函数和二次函数实现初中数学向高中数学的过渡。进一步研究了指数函数、对数函数和幂函数等基本初等函数，过渡到高中数学。

在数学1中，对通用的数学思想方法，如数形结合、配方法、待定系数法、数学建模等都给予足够的重视与练习。这些通性、通法在整个高中数学教材中反复使用。

2.数学2中，学生将学习立体几何初步、平面解析几何初步

立体几何初步的学习是沿着几何历史发展的足迹安排的，这更符合学生的认知规律。在初中从直观上认识几何体的基础上，高中重点是发现并分析几何体的结构、性质，由直观认识逐步过渡到理性思维。最后要求学生适当学习形式化的推理。

在本章编制有较多课件，帮助学生发展空间想象力，形成空间概念，通过图形的变化让学生了解图形之间的内在联系。

在解析几何初步一章，从数轴开始，通过适当地说理推导出解析几何的基本公式，然后开始学习直线与圆的方程。这样编排是为学习坐标几何打下坚实的基础。由于解析几何对学生今后学习非常重要，这章编写加大了弹性，好学生可对自己提出较高的要求，通过思考与讨论、探索与研究，适当加大坐标法解题的训练，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

3.数学3中，学生将学习算法初步、统计、概率

在算法初步一章，重点学习数值算法，适当地联系实际例子，帮助学生理解算法思想，使学生知道算法思想已是现代人应具备的数学素养。在这一章还着重学习中国算法实例，激发学生的爱国心和学习算法的兴趣。

要不要学生把自己写出的算法在计算机上实现，《标准》没有明确要求。由于普通高中基本上都配备了计算机，如果选用合适的自由软件，有较为简单的语言，让学生上机实现自己编制的算法，将会激发学生学习算法的兴趣，也为学生尽快地掌握计算机技术学习数学、研究数学打下良好基础。为此选用了“Scilab”作为实现算法的语言进行实验。教学中略去这一节基本上不会影响算法的学习。由于算法例习题都较为简单，学生可通过手工计算（或借助计算器）实现算法。

在概率一章中，使用了集合语言，用集合语言描述基本事件构成的集合、事件和事件之间的关系，避免了用自然语言描述概率的有关概念所产生的各种困难和歧义。

4.在数学4中，学生将学习三角函数、平面向量、三角恒等变换

三角函数一章是在旋转变换思想指导下编写的。把角定义为射线绕顶点的旋转，把三角函数定义为角终边上单位向量在坐标轴上的投影。用旋转对称、中心对称和轴对称引入诱导公式。通过单位圆中三角函数线的变化研究三角函数的性质。到三角恒等变换一章把和角公式理解为研究旋转变换的基本公式。通过用数量积的坐标计算公式，证明和角公式，使学生体会向量的数量积与和角公式的内在联系。

平面向量一章中，向量概念是由“位移”引入的，因为数学中的向量是物理学中的自由向量，只有大小、方向两个要素，用“位移”有利于学生理解数学中的向量概念。把向量和向量运算与几何紧密地联系起来，沟通平行、全等与向量的加法，相似与数乘向量，正投影的性质与向量数量积之间的关系，把几何学的研究代数化。由于向量是沟通几何、代数和分析的桥梁，同时可为将来学习高等数学打下良好的基础，所以本章的编写较为细致，以便于教师教学和学生自学。

5.在数学5中，学生将学习解三角形、数列、不等式

解三角形一章中，在已有三角形的全等、相似与位似、解直角三角形等知识的基础上，进一步探索任意三角形中边和角的关系，得到任意三角形中普遍存在的两个结论──正弦定理和余弦定理，完美地解决涉及三角形度量的问题。应用这些知识和方法解决一类与测量和几何计算有关的实际问题。

数列一章中，重点研究等差数列和等比数列。从本质上讲，数列是一类特殊的函数，它是函数知识的延伸。在本章中，通过研究它们的特殊性质，归纳出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。这些特殊性质提供了一种数学模型，应用它们可以很方便地解决诸如教育或购房贷款、放射性物质的衰变、人口与国民经济增长等生产、生活中遇到的许多问题。

在不等式一章中，首先从现实世界和日常生活中存在的大量不等关系中，归纳得出不等式的基本性质。然后研究基本不等式和一元二次不等式及其解法，通过图象把一元二次不等式与相应的函数、方程联系起来，形成一个相对完整的知识体系。将一元二次不等式的解法与信息技术的应用结合，让我们再次看到算法思想的广泛应用。在本章中，还将运用数形结合的思想，判定二元一次不等式（组）表示的平面区域，进而学会从某些特定的情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，着重解决以下两类简单的实际问题。①在人力、物力、资金一定的条件下，如何利用这些资源来完成最多的任务；②如何通过合理的安排和规划，以最少的人力、物力、资金去完成一项给定的任务。

6.每章一般都有探索与研究专栏，内容包括三个方面：其一是正文的延伸，是必学内容，要求在教师的引导下学生自主探索完成；其二是正文内容的加深，提高学生的数学素养；其三是提高内容，希望能在大学数学与中学数学之间建立一些联系。

7.每章设数学文化专栏，通过阅读和欣赏有关文章，寻求数学进步的历史轨迹，学习数学家为科学献身的精神，激发学生学习数学的兴趣。

8.对于数学建模的教学分三步：开始安排简单的例子，让学生了解数学建模的思想和主要过程，第二步根据已给的数据进行数学建模，第三步进行完整的数学建模活动。

（四）选修板块的内容结构

1.文科必选系列

选修11共三章：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

常用逻辑用语一章中，编写的重点是命题成立的充分条件、必要条件和充分必要条件。同时让学生知道，过去数学课本的表述，除了数学符号，基本上使用的是自然语言，自然语言虽然容易接受，但歧义性较大，往往给学习数学带来一些困难。我们在编写时，注意引导学生掌握常用逻辑用语的用法，使学生尽量能够搞清楚三个逻辑联结词和两个量词所表达的逻辑含义，并能初步学着应用它们，从中体会用逻辑用语表达数学内容的准确性和简洁性。

本章的主要特色是，把集合与逻辑结合起来，通过集合的包含关系理解推出关系，通过集合的交、并、补运算理解逻辑联结词所表达的逻辑含义。

圆锥曲线与方程一章是数学2解析几何初步一章的继续，学习的重点仍是用坐标法研究图形（圆锥曲线）的性质。本章首先通过对直线和圆的方程的回顾，让学生理解曲线与方程之间的关系，并指出用方程研究曲线性质的一般步骤。我们把学习的重点放在如何用坐标法和方程研究圆锥曲线的性质上，把代数中的二次方程问题和圆锥曲线结合起来。这一章是文科选学，主要是让学生体会坐标法（数形结合）这一重要思想在数学中的作用和地位，进一步了解坐标法及圆锥曲线的实际应用，使学生能经常想到用图形去表达数量关系。

导数及其应用一章编写时的主要想法是，充分借助于直观研究导数的性质和应用。全章自始至终通过设置的“爬山情景”，让学生体会“以直代曲”及“化曲为直”的微积分思想。导数可近似地看成“差商”和“微小直角三角形中两直角边的比”。尽量让学生了解导数的直观内涵。

选修12共四章：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。

统计案例一章首先在章前语中，通过介绍两个实际例子，引起学生学习统计的兴趣。全章分为两节，每节讨论一种统计方法，每节编写的特点是，把一个个案例直接呈现在学生面前，通过探究案例、解决问题，使学生了解这两种统计方法的基本思想、解决步骤及其初步应用。在这一章的编写中，注意引导学生使用计算机技术来处理数据。还适当地融入算法思想。个别的算法给出了程序，供有兴趣的学生学习。

推理与证明专设一章，在我国高中教材中还是首次，没有实际的教学经验供参考，但推理与证明已是学生熟悉的词语，因此，在编写时主要通过实例引起学生对“推理”的兴趣，并引导学生理解各种推理的作用。能够运用合情推理去探索、猜测和归纳出一些数学结论，并能证明结论的正确性。在编写中，重点是通过分析一些定理的证明过程，总结并让学生掌握数学证明的一些基本方法。

数系的扩充与复数的引入一章，由于教学时间只有四课时，课时少，所以在编写时，主要是通过方程的求根，让学生了解引进复数的意义和作用，了解数学中的内部矛盾如何推动数系的扩充，了解数学中理性思维的重要性。

框图是《标准》中的新内容，在我国高中数学教学内容中还是首次。没有教学经验，编写时，主要通过体会《标准》的精神，选定内容，主要通过实例，进一步学习程序框图，了解工程流程和结构图。在用框图的过程中理解它们的特征，初步掌握它们的用法。

2.理科必选系列

选修21共三章：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

常用逻辑用语一章编写的指导思想同文科必选。

圆锥曲线与方程一章，编写的指导思想基本上同文科必选，但加强了坐标法解题的训练与要求。

空间向量与立体几何一章内容的编写主要采取推广与类比的方法，共分两大节。第一大节集中讲解空间向量概念、运算和性质。经历由平面向量向空间向量的推广过程，让学生理解空间向量与平面向量的异同。通过共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理的学习，让学生理解向量空间的基本结构，并将空间向量运算完全代数化，为将来学习理工科的学生打下较良好的数学基础。第二大节重点讨论空间向量在立体几何中的应用。通过例题让学生理解用向量代数方法研究立体几何的意义。通过这一章的学习，使学生再一次体会坐标法的意义。在用向量代数方法解题的同时，也向学生指出综合方法推理的一些优点，鼓励学生灵活选用不同的方法解决立体几何问题。

选修22共分三章：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。

导数及其应用一章编写的指导思想基本上同文科必选的相同内容，但在理论上，要求相对高一些。加强了求导运算及其导数在研究函数中的应用。

推理与证明一章编写的指导思想基本上同文科必选的相同内容。

数系的扩充与复数的引入一章编写的指导思想同文科必选的相同内容。

选修23共分三章：计数原理、概率、统计案例。

计数原理一章重点学习分类加法计数原理和分类乘法计数原理及其应用。通过计数原理让学生理解排列与组合的概念，并能推导排列数公式和组合数公式。会归纳证明二项式定理。让学生考查杨辉三角，发现二项式定理中系数的规律和一些性质。

概率一章是必学内容概率的继续，进一步学习概率的一些基本概念。本章编写从实例出发，引入随机变量及其分布的概念，通过实际例子的计算引入超几何分布，并了解它的实际应用。在讲条件概率与独立事件的基础上，介绍二项分布及其应用。通过实例让学生理解随机变量的两个数字特征：期望与方差。通过实例简单地介绍正态分布。

统计案例一章的编写指导思想同文科必选的相同内容，但对理工科学生，学习本章之前，由于学生有了较好的概率基础，所以在编写时，进行了必要说理和计算，以加深学生对统计原理的理解。

3.选修系列3和4

这两个系列的编写，力求体现《标准》精神，在编写的过程中紧密联系必修课程和选修系列1和2学过的内容，尽量写得通俗易懂，使教师和学生能够通过自己的努力看懂所学内容。三、本套教科书的主要特色

本套教科书力求落实《标准》中关于数学、数学课程、数学学习、数学教学活动、评价和现代信息技术的基本理念，着力突出了以下特色。

（一）精简实用，返璞归真。要做到精简，必须抓住重点。在基础数学中那些普遍实用的最基础部分，那些有普遍意义的通性、通法就是重点。抓住这些重点内容，尽量为它们提供实际背景，反映其应用价值，努力揭示其发展过程和本质，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想和方法。学实质、本质，不拘泥于抽象的形式，讲法上朴素，平易近人。

（二）深入浅出，易学好教。数学的深刻内容尽可能地用通俗语言或学生的语言加以阐述，避免一些过于形式化的语言。深入浅出的一个重要方法是把定理与公式现实化、简单化，用生活中的现实例子来阐释规律，简单明了，易学好教。定位于适应广大中等水平学生的接受程度。易学好教的一个措施是师生互助，就一个主题，师生都可提出问题，说出猜想，共同讨论，由学生或教师小结，形成共识。易学好教的另一重要方法是主要概念、定理与公式的教学一般要参照其发展演变的历史过程，引导学生合乎规律学习这些概念、定理与公式。为了易学好教，我们注意了“温故知新”，降低知识的起点。努力做好由初中内容向高中内容过渡的衔接。尽量从温习旧知识中引出新知识，揭示新旧知识的联系，使学生顺利进入高中阶段的学习。

（三）力导积极主动，勇于探索的学习方式。教科书内容素材的选取，力求贴近学生的生活实际和社会现实；教科书的组织安排，注重知识的发生发展过程、学生的认识过程和情感体验过程，为构建丰富的学习环境提供重要资源。内容的呈现力求体现数学思维规律，引导学生积极探索，使他们经历“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”等理性思维活动的基本过程，优化思维品质，提高数学思维能力，培养创新精神和实践能力。精心选编现实生活和数学发展中的典型问题，创设问题情境，通过分析和问题解决，加深对知识本质的理解，强化知识之间的联系，领悟和掌握数学思想方法，使问题在教材中发挥更大的作用。注意问题的基础性、思想性、开放性、趣味性等。设立“探索与研究”“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、勇于探索的学习方式进一步创造有利条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。

（四）整合信息技术，更新教学方式。本教科书各册都用了现代信息技术，以促进教学方式的更新。有意识地引入带有自己程序的应用数学软件，处理繁难计算、自动制表、智能绘图、人机交互等，为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有利的学习工具。为多数学习较困难的内容编制了教学课件，使用这些课件可实现动态式的、交互式的教学方式或学习方式，以帮助学生掌握和理解这些内容。另外，我们选用了中法合作开发的“Scilab”软件系统，作为开发数学教学课件和学生学习课件的平台。这是一个自由软件，学校、教师和学生都可以从有关网站上免费下载。我们与中法实验室达成合作意向，共同开发中学数学教育软件。

（五）渗透算法思想，提高数学素养。中国古代数学中蕴涵有丰富的算法思想，并注重应用，中国数学及数学教育有着自己独有的发展道路。在《标准》中，增加了算法一章，并提出把算法思想渗透到相关内容，这一理念启发我们研究了我国数学教育的传统和特色，并在教材中尽量体现。本教科书主要从数值计算的角度讲授算法，而且与现代信息技术相结合，渗透到高中数学的有关领域，给这些领域的教学带来新的生机。学习算法不仅能使许多数学问题与实际应用得到有效解决，而且可以使学生从中体会解决复杂问题的思想方法，提高数学素养，为今后的学习和工作提供强大的思想武器。

篇3

关键词：蚁群算法；数学建模；最优解

1 群体智能简介

蚁群算法，英文名称：Ant Colony Optimization，（ACO），在有些文献中亦称为蚂蚁算法，由DORIGO博士从观察蚂蚁寻找食物的过程中逐步发现路径的行为而获得灵感。蚁群算法的本质是一种模拟进化算法，具有很多优良的性质，根据数值仿真实验，蚁群算法具有现实的有效性和很高的应用价值，但在熟悉蚁群算法和对蚁群建立理想模型之前，应该首先讨论群体智能的相关概念。

由于蚂蚁是一种社会化协作的昆虫，蚂蚁群体是由许多能力单一而且有限的单一蚂蚁组成的群体，但是蚂蚁的每个个体又可以通过彼此间简单的合作，完成一个较为复杂的整体性的工作，在混沌理论里，将蚂蚁种群的这种能力称为“群体智能”。和蚂蚁群体类似，蜂群的单个个体智能水平亦不高，同样没有统一的指挥，但是蜂群却可以建起巨大的蜂巢、运送食物、繁殖后代，因为蜂群和蚁群一样，都是一种拥有完备结构和社会组织的分布式系统。由于群体组织的原因，依靠单个个体，无法完成任何复杂的工作，若依靠整个群体的力量，蚂蚁可以完成非常复杂的任务。

2 蚁群算法的数学模型

虽然蚁群算法有着智能化、自组织性等诸多优点，但也存在搜索时间过长、易于停滞的问题，为了克服经典算法的这些缺点，很多国家和地区的学者提出了不少改进算法。

1996年L.M.Gambardella和M.Dorigo又提出了一种修正算法，他们称之为蚂蚁种群系统算法[5]ACS，并且将AS算法和ACS算法定义为蚂蚁种群优化算法ACO。

1997年T.Stitzle提出了改进的最大最小蚂蚁系统MMAS算法[6]。

1999年，我国学者吴庆洪提出了具有变异特性的蚁群算法[7]。

1999年，意大利学者F.Abbattista等提出了和遗传算法相结合的算法[8]。

由于文章讨论洛阳机场的飞机起降顺序问题，数据量较小，问题并不复杂，所以在算法的选择上以M.Dorigo的经典蚁群优化算法为主，下面就以基于蚁群的蚂蚁系统的算法数学模型为例，介绍经典蚁群优化算法的数学模型和优化思路，下面求解著名的n个城市的旅行商问题为例来说明经典蚁群算法模型。

2.1 问题简述

给定n个城市以及各城市间的距离，旅行商问题可以描述为求一条经过各城市一次且仅一次的最短路线问题。

2.2 模型建立

对n个城市建立理想平面坐标系，城市i的坐标为（xi，yi），城市j的坐标为（xj，yj），设dij为城市i与j之间的欧拉距离，则：

dij=■

其图论描述为：给定图G=（N，E），其中N为城市集合，E为城市之间相互连接组成的边的集合，已知城市间链接距离，要求确定一条长度最短的回路。即走完所有城市一次且仅一次的最短回路，此问题可以描述为：“适当选择图上所有顶点的一个排列以组成最短路径”

引入决策变量：

Xij=1（访问i后访问j）0（其他情况）

则目标函数可以表示为：

minZ=■Xijdij

将最短距离的寻找交给蚁群来解决：

令：

bi（t），（i=1，2，…，n）

为在时间t在城市i的蚂蚁的数目，令：

m=■bi（t）

为蚂蚁的总数，且每个蚂蚁都是有如下特征的简单智能体：

（1）它会根据某种概率选择走哪一个城市，这个概率是城市距离和同他连接路径的信息素的数量的函数。（2）为了使得蚂蚁能够完全合理的旅行，必须禁止蚂蚁旅行访问过的城市，这个可以通过一个紧急表格来实现。（3）当蚂蚁完成了一次旅行，它就在走过的每个路径上（i，j）释放适量的信息素。

令？灼ij（t）是时间t路径上（i，j）上的信息素强度。每个蚂蚁在时间t时刻选择下一个时间t+1要到达的城市，在时间间隔（t，t+1）内，对m个蚂蚁，调用蚂蚁系统迭代算法一次，算法的n次迭代叫做一圈，每一只蚂蚁完成了遍历所有城市一遍的一次旅行。在每只蚂蚁k构造出一个完整闭合路径并计算了相应长度之后（用Lk表示），路径上的信息素强度会根据以下公式得到更新：

？灼ij（t+n）=？籽×？灼ij（t）+？灼ij

其中？籽（0？燮？籽？燮1）是一个常数，它表示信息素挥发后的剩余度，即蚂蚁爬行轨迹的持久性，1-？渍表示在时间t和时间t+n内信息素的挥发，并且在上述公式里面有：

？灼ij=■？灼ijk

？灼ij（t）表示路径（i，j）在t时刻的信息素轨迹强度，？灼ijk表示蚂蚁在时间间隔（t，t+n）内路径（i，j）上留下来的单位长度的路径信息素数量，其具体公式为：

其中Q是个常数，且Lk表示没一个蚂蚁k旅行过的路径总长度。

为了确保每一只蚂蚁访问每一个节点一次，并且避免重复，没一个蚂蚁都已一个禁忌表forbidk，用来存储蚂蚁当前访问过的城市（节点），用禁忌表使蚂蚁到这些城市的转移概率为0，用计算机语言来讲，就是禁止“蚂蚁”访问这些节点。当一次旅行完成之后，用禁忌表来计算问题现在的点。然后清空禁忌表，蚂蚁就可以重新自由的选择新的路径了。forbidk（S）表示禁忌表中第s个元素，表示在现在的一次旅行中k个蚂蚁访问的第s个城市。

因为要讨论每个蚂蚁选择一个城市的概率，这里引入一个能见度的概念，用？浊ij来表示，则有：

？浊ij=■

表示路径（i，j）的能见度，对于每一个蚂蚁k来说，从城市i到城市j的额转移概率为：

在上式中allowedk={N-forbidk}，α和β是控制路径能见度相对重要性的参数，若（i，j）之间的距离比较短，则？浊ij较大，pij也较大。也就是说，距离较近的城市以较大的概率被选择。

这样就构建好了蚁群算法的基本模型。

2.3 模型解释

下面文章以计算机编程的思想表述蚁群算法的基本模型，整个系统在0时刻进行初始化过程，给每一条边（i，j）设定一个初始信息素强度值？灼ij（0）。每一只蚂蚁的forbidk的第一个元素为这个蚂蚁出发的城市，即它的初始城市。每一只蚂蚁从城市i移动到城市j，蚂蚁会根据两个城市之间的概率函数选择移动城市，在城市从i到j移动的概率即为p■■■■（t）。此时有两个原则需要注意：（1）信息素强度：表征过去有多少蚂蚁选择了这条路径（i，j）；（2）能见度函数：说明了越近的城市，被访问的期望值就越大。

显然在p■■（t）函数中，如果α=0，就不在考虑路径上的信息素的作用，因为（？灼ij（t））α=1为定常数，这样模型就简化称为一个具有多起点的随机贪心搜索算法。在n次循环以后，所有的蚂蚁都对所有的路径完成了一次遍历，所以每一只蚂蚁的forbidk就会满。在此时就可以计算每一个蚂蚁k旅行过的路径总长度Lk，？灼ijk也会随着信息素强度的更新方程而更新。与此同时，由蚂蚁找到最短路径（即minkLk，k=1，2，3，…m）将被系统保存，所有禁忌表将被清空。重复这一过程，直到周游计数器达到最大NcMax或者所有蚂蚁都走同一条路线。

3 洛阳机场飞机起顺序问题的模型建立

洛阳机场飞机起降环境比较复杂，机型众多，就目前的起飞情况来看，主要有SR20机型，PA-44机型，MA600机型，和航班的A320机型，以及少量B737机型，如果想建立数学模型，则必须将一些问题简单化、抽象化、理想化。模型的建立对实际的运营情况具有现实的指导意义。

3.1 模型描述

洛阳机场停机坪目前共分为三块区域：为了便于表述，本论文给三块区域分别编号：

1号区域：C、D、E号机库门口，主要用于停放SR20，可以用于停放PA-44但几率很少。

2号区域：A、B号机库门口至二号道口北侧停机坪，主要用于停放SR20、PA-44和MA600。

3号区域：航站楼北侧，有廊桥的区域，主要用于停放A320，

B737等重型民航客机。

标准模型下有如下假设：（1）所有停放在机坪上的飞机分布合理，即任何一架飞机划出进入跑道都是顺畅的、无阻碍的，都不会受其他飞机位置的影响。（2）每一架飞机无论是小型飞机还是中大型飞机，从飞机开始滑行至滑行到跑道端头，所花的时间t相同。即影响起飞效率的单一变量就是起飞间隔。（3）理想化起飞，飞机起飞不受环境因素限制。

标准模型下的几点说明：（1）为了考虑软件的通用性，任

何区域所停放的飞机种类可以自定义；（2）不同类型飞机的起飞间隔可以自定义；（3）涉及蚁群算法的各种常用参数可以自定义。

有以上说明后，模型可以表述如下：

假设洛阳机场1号区域停放了a1架SR20，b1架PA-44，c1架MA600/A320/B-737（可根据实际情况令相应种类的飞机数量为0）；2号区域停放了a2架SR20，b2架PA-44，c2架MA600/A320/B-737；3号区域停放了a3架SR20，b3架PA-44，c3架MA600/A320/B-737。不同种类飞机的起飞受飞机种类的限制，这个数值一般和飞机的起飞重量，体积等参数有关，例如，SR20属于轻型飞机，一架SR20起飞以后，紧接着让一架SR20飞机起飞，则前后两种都属于轻型飞机，他们之间的起飞间隔应该为t1，如果前面是一架SR20，后面是一架中型的PA-44，则起飞时间间隔为t2…t9，则一共有如表1的几种排列组合。

最终所求问题就是：合理安排各个飞机的起飞顺序，使总得起飞时间最小。

3.2 程序设计解决实际模型

考虑程序的通用性，本设计将很多涉及蚁群算法的常数参数可以进行自定义，在实际运算过程中，这些参数是可以通过实验来测算的，在使用本软件的时候只要将不同机场的测算结果进行填入本软件，既可以计算相应的排序结果，所以本软件在设计之初就考虑了软件的通用性。

洛阳机场一共有三个停机位，暂定名为1号，2号，3号停机位，原则上，1号机位只能用来停SR20，2号机位可以停SR20，PA-44，MA600，3号机位只能停A320，B737，为了增加软件的通用性，本设计可以任意自定义每种机型的数目，如果不能停的机型，就可以将其的数量设置为0。此外，为了让本软件可以有广泛的应用，本设计设置了7个停机坪号，以应付中国绝大多数机场的应用场景，同样，用不到的机坪，可以直接在飞机数目框中填0。软件设计图如图1所示。

图1 程序主界面

由前面的论述我们可知，蚁群算法在实际应用过程中要确定五个常数参数他们分别是：α，β，ρ，Q和NcMax，根据前面的理论概述，我们可以得到每个常数参数所代表的含义：（1）α和β控制路径和能见度相对重要性的参数，如果要计算具体环境走完路径的真实值，α和β应由实验测得，在本软件中，如果只做定性排序，则只要α和β大于1即可。（2）ρ表示信息素挥发后的剩余度，且0≤ρ≤1），在真实环境中同样由实验测得，定性分析不影响排序结果。（3）Q为常数，它可以决定每段路径的信息素总量，亦表征蚂蚁个体散播信息素的能力，只要Q设定为普通自然数，不影响排序结果。（4）NcMax在本软件中表示循环次数，NcMax越大，列出的可能性越多，则最短时间越接近真实最短时间。当NcMax≤A■■，继续增大NcMax就不再有意义，因此如果想得到真实的最短时间，应该让NcMax≥A■■。

点击主界面的“参数”按钮，就可以进行算法设置本。设计的参数输入框如图2所示。

表1所讨论的起飞间隔参数，在主界面的“间隔”按钮下进行设置，其截面如图3所示。

图3 起飞间隔设置

将参数设置好以后，点击“排序”按钮就可以计算出，最优的起飞顺序，并且给出起飞时间，图4为排序结果的事例。

图4

针对以上排序结果，做如下解释：L代表轻型飞机，1代表1号停机坪，A代表此停机坪的第一架飞机，B代表第二架，一次类推，则排序结果如上述所示。

4 结束语

通过多方的建模验证，本程序可以很好地解决航班起飞顺序排序最优解问题，当然，通过和空管部门有关同志的交流得知，实际安排飞机起飞顺序和多方面因素有关系，不能一味追求最短时间。因此本程序只是用创新的方法解决一个工程问题，只作为纯技术应用的讨论，或作为洛阳机场空管部门安排飞机起飞顺序的参考，并不作为安排起飞顺序的指导程序。

另外，由于软件在设计之初就考虑了软件的通用性，因此，本软件并不仅仅局限于给航班起飞顺序排序，理论上，本软件适用于解决多种有时间间隔要求的排序最优解问题。

参考文献

[1]李丽香，彭海朋，杨义先.混沌蚁群算法及应用[M].中国科学技术出版社，2003.

[2]李士勇.蚁群算法及其应用[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2004.

[3]吴启迪，汪镭.智能蚁群算法及应用[M].上海：上海科技出版社，2002.

[4]马良，朱刚.蚁群优化算法[M].科技出版社，2008.

[5]段海滨.蚁群算法原理及其应用[M].北京：科学出版社，2005.

[6]刘浩.MATLAB R2012a完全自学一本通[M].电子工业出版社，2013.

[8]司守奎.数学建模与应用[M].长沙：国防工业出版社，2011.

篇4

一类带时滞的非线性抛物方程在图像处理中的应用

解析函数唯一性定理在复积分上的应用

离散非线性薛定谔方程的新孤子解

一类非线性奇摄动问题的渐近解

ISSR分子标记及其在水产生物遗传学中的应用

一株高生物量酵母菌株的鉴定

木兰科植物在丽水地区的引种调查和适生性分析

玫瑰的利用价值及香水玫瑰的开发前景

丽水市城市化与住宅价格的相关分析

丽水市电力消费与经济增长的协整、波动分析(1980-2008)

基于ZigBee的无线压力试验机测控系统

鸪鸪山转播发射台远程监控的设计和应用

大学男生人体密度计算模型的优选研究

湖南省高校竞技健美操队运行机制的研究

山东省普通中学与业余体校篮球运动员社会支持的比较研究

畲汉两民族女大学生体质对比与分析

大学生体质与心理健康状况相关因素的比较研究

浙江省高校学报幅面尺寸的现状调查与分析

复变函数与积分变换教学模式改革与探索

无界域上带限制的非线性椭圆特征问题的多解和变号解

一类拟五次系统的奇点量与中心条件

Schanuel引理的推广

一阶双曲方程的耗散谱tau方法及最优误差估计

毫米波辐射特性分析与研究

竹炭的微波改性方法、机理与吸附性能研究

山区池塘培育瓯江倒刺鲃鱼种试验

橄榄蚶形态参数关系的分析

中华鳖肝脏蛋白磷酸酶的酶学特性分析

非平衡态热力学在环境岩土工程中的应用

混凝土砌块墙体开裂的原因及预防措施

建筑砖砌体裂缝原因及防治探析

基于ECA规则的动态工作流建模方法研究

噪声环境下遗传算法的优化研究

丽水市成年男子身体机能与素质下降速率的变化规律和发展趋势分析

高校学报中数学表达式的合理编排

“现代教育技术实验实时诊断检测系统”题库的编写原则

谈高校计算机专业的Linux教学

谈圆柱曲线的统一方程

空间解析几何在机械制图中的案例教学探讨

复平面上n次方程ωn=z根的分布情况

一维椭圆型射影变换及其应用

用实数完备性证明闭区间上连续函数的有界性

平面打结闭曲线上扁形椭圆环面的全平均曲率——Willmore猜想的一个推广

关于单圈图的Wiener指数

随机截断数据Weibull型参数模型的估计方法

基于BP神经网络的浙江省交通运输量的预测

简易函数发生器电路分析与改进

对溴苯异氰酸酯的合成研究

一种基于遗传算法的采样网页更新策略

一种改进的遗传算法及其应用

基于凭证的SOA环境下安全框架的研究

高校信息机房环境数据网络化监控系统的应用研究

基于SWOT模型的丽水房地产市场分析

浅谈建筑施工中的项目质量管理

丽水市成年人体质状况调查与分析

浙西南山区成年男女身体形态变化特征的比较研究

关于曲线证明题的一般证明思路和方法

篇5

关键词：拱坝变形；监控模型；监测点分区；随机森林；变形预测

中图分类号：TU196.1文献标志码：A文章编号：

16721683（2016）06011606

Random forest model and application of arch dam′s deformation monitoring and prediction

LUO Hao1，2，GUO Shengyong2，BAO Weimin1

1.College of Water Resources and Hydrology，Hohai University，Nanjing 210098，China；

2.Yalong River Hydropower Company Ltd，Chengdu 610051，China）

Abstract：Dam deformation prediction plays an important role in the safety assessment of dam operation.Traditional models lack forecasting precision and the simulation effect is not stable enough.Besides，if abnormal values of dam deformation exist，traditional machine algorithm model lacks the flexibility of dealing with these abnormal data，which will lead to the deviation of the forecasting results.In order to solve these problems，random forest algorithm was introduced to the field of dam deformation monitoring for the first time.Similarity matrix of random forest was applied to divide dam deformation monitoring points into several parts.Random forests prediction model was established for each part，which will avoid the defects of traditional models such as modeling of single point or using the same model for all deformation monitoring points.Establishing forecasting model for different parts of dam was more in line with engineering practice.Deformation data of one arch dam was analyzed and the feasibility of random forest model was verified.The results showed that partition of dam deformation points based on similarity matrix of random forest conformed to the physical and engineering practical pared with support vector machine and BP neural network model，the prediction model of random forests for each part had the higher prediction precision and stability，which provided a new approach in the area of dam safety monitoring.

Key words：arch dam deformation；monitoring model；partitions of monitoring points；random forests；deformation prediction

国内外普遍将大坝变形监测[12]作为主要的监测项目，大坝受各种复杂因素的影响，变形值是反映其运行状态的最直观的表征。根据大坝变形的原型观测资料建立准确的预测模型，对大坝位移进行预测，能及时发现大坝的异常变化，采取措施防止事故发生。因此，大坝变形预报对大坝运行的安全评估起着至关重要的作用。目前应用较多数学模型主要包括统计模型[23]、确定性模型[45]和混合型模型[56]，这些模型在一定程度上可以揭示监测值和影响量之间定性和定量关系，但由于影响大坝位移的因素复杂，传统的方法受变量多重共线性的影响或模型参数的选取不恰当，使得模型精度下降。近年来，一些学者将新兴的机器算法如人工神经网络[78]、遗传算法[9]、蚁群算法[1011]、支持向量机[1213]等算法建立大坝监控模型，[JP2]但这些监控模型的研究和应用尚未达到完善的程度，每种方法都存在一定程度上的优缺点。另外，由于大坝具有整体性，布置在坝体和坝基的各测点之间存在差异性和关联性，目前位移监控模型还是以单测点为主，单测点位移监控模型存在很大的局限性，不能反映大坝整移变化情况；多维多测点模型较单测点位移模型更符合工程实际情况，但由于多测点位移监控模型[14]中待定参数较多，要达到一定的变形分析和预报精度，对原型观测数据要求较高，给建模造成很大难度，在实际工程中的应用并不广泛。随机森林（Random Forest，RF）[15]算法是由Breiman在2001年提出的一种新的机器学习技术，随机森林模型能有效地分析非线性、具有高度共线性和相互影响的数据，不需要提前假定模型的数学形式，该算法在在生物学[1617]、土壤学[1819]、医学[20]等领域已经得到了一定的应用，但在大坝安全监测领域应用几乎没有。此外，相似性矩阵是随机森林算法的重要的分析工具之一，尝试利用随机森林算法的相似性矩阵来表征大坝各位移监测点之间的相似性关系，基于这种相似关系，将大坝测点分区，分别对各区建立随机森林回归预测模型。随机森林算法预测精度高、对于异常值的处理和噪声方面具有很大的优势，不易出现过度拟合的线性，能有效处理复杂变量间的共线性问题，该算法为大坝安全监控提供了一种新思路。

4结论

（1）拱坝不同区域变形性态差异较大，若用统一个模型去建模，忽略了各测点变形之间的差异性和关联性。本文充分利用随机森林模型具有的特性，建立了各测点间的相似度矩阵，将大坝测点按照其变形的相似性进行分类，分别对各位移测点子集进行建模。由分区结果来看，符合大坝运行规律。

（2）对各子集测点利用随机森林模型进行建模，与支持向量机、BP神经网络模型相比，预测精度较高、稳定性好。不用对数据进行预处理，利用OBB误差直接估计泛化误差，不用增加交叉验证的步骤。可作为中长期拱坝变形预测的一种新途径。

参考文献（References）：

[1]吴中如.水工建筑物安全监控理论及其应用[M].高等教育出版社，2003.（WU Zhongru.Hydraulic structure safety monitoring theory and its application[M].Higher Education，2003.（in Chinese））

[2]吴中如，顾冲时.大坝原型反分析及其应用[M].江苏科学技术出版社，2000.（WU Zhongru，GU Chongshi.Dam prototype back analysis and its application[M].Jiangsu Science and Technology Press，2000.（in Chinese））

[3]李波，顾冲时，李智录，等.基于偏最小二乘回归和最小二乘支持向量机的大坝渗流监控模型[J].水利学报，2008，39（12）：13901394，1400.（LI Bo，GU Chongshi，LI Zhilu，et al.Dam seepage monitoring model based on partial least squares regression and least squares support vector machine（SVM）[J].Journal of Water Conservancy.2008，39（12）：13901394，1400.（in Chinese））

[4]Dmitry Vjushin.Scaling analysis of trends using DFA.Physica A Statistical Mechanics and its Applications，2001.

[5]Wu Zhongru.Deterministic models and mixed models of safety monitoring of concrete dams[J].Journal of Hydraulic Engineering ASCE，1989.

[6]刘求龙.基于有限元确定性模型大坝形变分析与研究[D].西安：长安大学，2003.（LIU Qiulong.Dam deformation analysis and research based on the finite element uncertainty model[D].Xi ′an：Chang ′an university，2003.（in Chinese））

[7]王小敏，刘小勇.大坝变形分析与预报的有限元法[J].地理空间信息，2009（5）：127130.（WANG Xiaomin，LIU Xiaoyong.Dam deformation analysis and prediction based on finite element method[J].Journal of Geographic Space Information，2009（5）：127130.（in Chinese））

[8]李少华，董增川.BP神经网络模型应用于大坝原型观测研究[J].水利与建筑工程学报，2004，2（2）：3133.（LI Shaohua，DONG Zengchuan.BP neural network model and its application prototype observation study[J].Journal of Water Conservancy and Architectural Engineering，2004，2（2）：3133.（in Chinese））

[9]Cevik A.Discussion On "Correction of soil parameters in calculation of embankment settlement using a BP network backanalysis model"[J].Engineering Geology，2008，100（34）：146147.[ZK）]

[10][ZK（#]王志军，刘红彩.遗传神经网络在大坝变形预报因子重要度判定中的应用[J].水电自动化与大坝监测，2008，32（5）：6971.（WANG Zhijun，LIU Hongcai.Genetic neural network′s application in the forecasting factor importance decision of dam deformation[J].Automation of Hydropower and Dam Monitoring，2008，32（5）：6971.（in Chinese））

[11]李士勇.蚁群优化算法及其应用研究进展[J].计算机测量与控制，2003，11（12）：911913.（LI Shiyong.Ant colony optimization algorithm and its application of research progress[J].Computer Measurement and Control，2003，11（12）：911913.（in Chinese））

[12]Dervis Karaboga，Bahriye Akay.A comparative study of Artificial Bee Colony algorithm[J].Applied Mathematics and Computation.2009（1）.

[13]高永刚，岳建平，石杏喜.支持向量机在变形监测数据处理中的应用[J].水电自动化与大坝监测.2005，29（5）：3639.（GAO Yonggang，YUE Jianping，SHI Xingxi.Support vector machine（SVM）in the application of deformation monitoring data processing[J].Journal of Hydropower and Dam Monitoring Automation，2005，29（5）：3639.（in Chinese））

[14][JP2]Marcelo Espinoza，Johan A K Suykens，Bart De Moor.Fixedsize Least Squares Support Vector Machines：A Large Scale Application in Electrical Load Forecasting[J].Computational Management Science.2006（2）.

[15]赵卿.大坝变形分析多测点统计模型应用研究[D].武汉大学，2010.（ZHAO Qin.Applied research of dam deformation analysis multipoint statistical model[D].Wuhan University，2010.（in Chinese））

[16]Breiman L.Random Forests[J].Machine Learning，2001，45（1）：532.（in Chinese））

[17]武晓岩，李康.基因表达数据判别分析的随机森林方法[J].中国卫生统计，2006（6）：491494.（WU Xiaoyan，LI Kang.Gene expression data discriminant analysis based on method of random forest[J].China Health Statistics，2006（6）：491494.（in Chinese））

[18][ZK（#]Prasad A M，Iverson L R，Liaw A.Newer classification andregression tree techniques：Bagging and random forests for ecologicalprediction[J].Ecosystems，2006，9（2）：181199.

[19]Mansout K，Mutanga O，Adam E，et al.Multispectral remote sensing for mapping grassland degradation using the key indicators of grass species and edaphic factors[J].Geocarto International，2016，31（5）：477491.

[20]Yan D，de Beurs，K M.Mapping the distributions of C3 and C4 grasses in the mixedgrass prairies of southwest Oklahoma using the Random Forest classification algorithm[J].International Journal of Applied Earth Observation and Geoinformation，2016，47：125138.

[21][JP2]Galaz Z，Mekyska J，Mzourek Z，et al.Prosodic analysis of neutral，stressmodified and rhymed speech in patients with Parkinson′s disease[J].Computer Method and Programs in Biomedicine，2016，127：301317.

[22]Liaw A，Wiener M.Classification and Regression by random Forest[J].R News，2002，2（3）：1822.

[23]Qi Yanjun，KleinSeetharaman Judith，Bar Joseph Ziv.Random Forest Similarity for ProteinProtein Interaction Prediction from Multiple Sources[C].Pacific Symposium on Biocomputing 2005，10：531542.

篇6

一、极限思想

极限是高等数学中最重要的基本概念，工具和方法，它从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势，也是把“有限”与“无限”、“静止”与“运动”、“量变”与“质变”联系起来的一种数学思想。对于习惯了用静止观点、孤立观点解决初等数学问题的高职学生来说，极限概念和思想内涵较难把握，但对极限思想的萌发背景和直观性描述还是不难理解的。比如在引入极限概念之前向学生介绍中国古代哲学家庄周的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话，实际上就是把木棰长度的变化纳入一个无限的过程中去研究。基于直观的事例，却蕴涵了极限思想，由此引入极限的描述性定义，学生大多比较容易接受。从极限思想的直观理解到准确、严谨的数学刻画这就需要一个由老知识向新知识，由不习惯到习惯的过渡过程。极限思想的准确理解和把握，并不是几个课时就能达到目的，如果学生不能接受，不应丧失信心。随着高等数学后续内容连续函数、导数和微分、积分以及无穷级数概念的引入，通过反复的接触和应用，逐步建立变量数学的思维方式，极限思想会逐渐成为学生认识问题、解决问题的有力工具。

二、化归思想

化归思想是数学的基本思想之一。所谓化归就是转化和归结的意思，即把待解决和未解决的问题，通过变换、转化、归结到一类已解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解决。以极限、导数和微分、积分的运算为例，都可以看到化归思想在其中的应用。如在各种极限计算中，其实最终都可以将所求极限通过适当的方法，转化为以下三种基本极限问题：

（1）特殊极限

（2）两个重要极限

（3）不定式型，型的极限。

转化的主要手段就是对待求极限式进行恒等变形，变量代换，等价无穷小代换，或应用四则运算法则，对数变形等。又如所有的积分运算包括不定积分、定积分、重积分等，其运算最终都是通过各种方法手段将其化归为不定积分的计算问题。

由于化归的指向可以界定为简单化、熟悉化和规范化，因此化归思想应着意于寻找待解决问题与己有知识经验的逻辑关联，通过观察、类比、联想、探索化归途径及目标，从而获得问题的解决。很显然，高等数学中的这种化繁为简、化隐为显、化难为易、化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体的数学思想方法，一旦成为学生的化归意思，其数学思维能力和分析问题、解决问题的能力必将有一个质的飞跃。

三、数学建模思想

应用能力和动手能力的培养是职业计算教育的主要特色，作为重要基础课的高等数学其教学重点也是数学应用能力的培养和提高，现在不少学生对数学望而生畏，觉得数学抽象难懂，认为数学没有多大用处。产生这种现象的一个重要原因就是他们没有发现和体会到数学的实际功效，而对高职学生高等数学应用能力培养的一个很好的途径就是加强对学生数学建模思想的教学。众所周知，数学来源与实际，数学理论是从不同事物的纷繁复杂的数量关系抽象反映相同规律的共性和结果的科学，而数学建模就是用数学语言和方法，通过抽象和简单化，建立描述实际问题的数学模型，然后用适当的数学工具，并且一般要借助于计算机来求解模型，最后，其结果必须接受实际的检验，并反复修改，完善这个模型和结果。应该说数学建模思想非常适合高职高等数学教学改革的“降低理论，加强应用，增加实践性环节”的指导思想，虽然现行高职高等数学中也有如利用导数求极值、最值等应用性知识内容，但这些内容大多是作为数学概念和定理的附属，更多的是对高等数学理论知识的验证，并且它们往往偏重于几何、物理上的应用，应用范围相当狭窄。这就要求要培养学生数学建模思想，将其融于高等数学基础教学之中。在教学过程中主要采用加强对数学原理和背景的介绍，注重直观性阐述，强化微积分理论的数学建模方法，不仅介绍微积分在几何、物理上的应用，还要多举一些应用微积分解决非数学的实际问题。实践证明，数学建模思想的确立能够调动学生的学习兴趣和积极性，有助于开展研究性学习，有利于学生创造性思维的培养和形成，同时，学生的实践能力、写作能力乃至于团结协助能力都能得到不同程度的锻炼和提高。

篇7

关键词：模糊Petri网；并行推理；知识表示

中图分类号：TP393 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）09-0057-02

Parallel Reasoning based on Fuzzy Petri nets

LI Li

（Center of Clean-Government Education and Case Management； Discipline Inspection and Supervision of Chenzhou， Chenzhou 423000， China）

Abstract： With the development of Fuzzy Petri nets theory and application technology， Fuzzy Petri nets theory is widely used to knowledge reasoning. This paper carries on a detailed description ranging from definition and significance of parallel reasoning based on Fuzzy Petri nets and research status to the main contents and research results.

Key words： Fuzzy Petri nets； parallel reasoning； knowledge representation

1 概念界定及研究意义

在现实世界中，确定的知识只是少数。这个充满了不确定因素的模糊世界使得我们在利用相关Petri网理论进行知识推理研究中必须考虑到知识具有的“模糊性”这一特点[1]。 “传统数学无法全部、真实地反映人脑的思维规律”―这是科研工作者在研究使计算机具有“类人类智力”过程中必须首要解决的问题之一。其中各种模糊对象和模糊概念是各个科研人员要处理模糊世界必然要面对的两大因素，套用以前那些精确知识的处理方法对于这些模糊概念或知识的运用是行不通的，处理这类问题我们必须结合各种特殊的处理方法和模糊性研究。两方面的意义蕴含于模糊性之中，第一，度量可能是模糊的（所处理的对象或概念的），例如：对老年人的界定等；第二，模糊性蕴含于各种处理方法和技巧本身，即在处理或运用中所做的动作本身就具有某种模糊性，这被科研人员称为模糊动作或模糊处理。因此，基于模糊Petri网的知识推理系统的研究领域就是把传统Petri网现有的知识处理方法与模糊数学结合起来进行深入的研究，这对提高知识推理系统的有效性和推理效率有着极其深远的理论和实际意义。

目前，国际上对模糊Petri网的理论及应用技术的研究还处于初始发展阶段。系统而全面地对基于模糊Petri网的知识推理的研究还存在一些困难： ①集中从应用方面展开研究，这是目前学术界针对模糊Petri网主要的研究方向，很少有学者关注FPN的自身理论的研究，特别是在模糊Petri网系统的初始库所token的初始值如何确定这一方面。当前，科研专家或研究人员依据经验直接给出或者主观猜测出模糊token的初始值，这导致token的初始值随意性太高，操作过程中即使算法与推理过程正确，结果也不一定正确。②不精确推理过程中模糊知识库的一致性检测问题一直没有很好的解决方案。已有的研究成果主要有成对规则比较法和关系图或推理图分析法[2]。③在现实世界中，基于模糊知识的推理存在着利用相同知识进行多次反复推理（即存在环路问题），如医疗诊断系统等。这一系列问题有待学者们进一步研究。

2 国内外研究现状

林闯等人就如何利用Petri网进行知识的表示进行了深入的研究[3]。当今，基于普通Petri网的知识推理的相关算法也已取得许多研究成果。Jonathan Lee等人提出了一种基于普通Petri网模型的推理机制[4]；林琪、周洪玉等人初步探讨了基于Petri网的并行推理机制。利用Petri网的关联矩阵可以实现基于Petri网的产生式规则推理算法，目前，诸多文献都详细讨论了这种推理算法[5]。

综上所述，基于普通Petri网的知识推理系统的研究已经硕果累累，不久的将来，这一研究领域将在人工智能的研究中占据愈来愈重要的地位。

3 基于模糊Petri网的并行推理的主要研究内容

本人认为，基于模糊Petri网的并行推理的研究主要从以下三个方面进行：

1）结合以后模糊理论的相关研究成果，给出模糊Petri网系统中初始库所token值的确定方法，使该方法能够量化不精确的、非定量的信息，有效地解决推理过程中出现的冲突问题。

2）在深入分析现有进化仿生算法的基础上，提出混合仿生算法来克服仿生算法本身易陷入局部最优、收敛速度慢等问题，并将其运用在模糊Petri网的三大参数优化过程中，以达到提高推理结果精度的目的。

3）采用语义网络表示法，在深入研究经典Petri网及各类Petri网在知识表示及推理研究领域中的研究成果的基础上，提出一种高效而可行的基于模糊Petri网的模糊知识表示及推理算法。

4 研究成果

基于模糊Petri网的并行推理的研究成果具有较高的应用价值，主要体现在如下几个方面：

1）人工智能理论及机器人应用研究领域

由于在人工智能理论以及机器人研究领域中均涉及许多智能计算及符号智能的有关算法，而本项目的研究成果中给出了大量的基于模糊Petri的相关算法的建模方法及其应用技术的相关理论；

2）专家知识库及专家系统的研究领域

由于本项目的研究成果中提出了一种基于模糊Petri网的模糊知识的表示方法以及模糊知识的推理技术，从而为专家知识库以及专家系统提供了一种新的实现途径，从而有可能为专家系统的应用提供一种更可靠和更有效的实现方法；

3）并行调度决策系统或分布式处理系统研究领域

面向对象模糊Petri网在描述异步并发（或并行）方面具有独到之处，特别适合描述具有并发性、实时性、异步性等特点的分布式系统。因此，本项目的研究的成果可应用于多任务环境下的并行调度的任务分派、分布式计算机系统的设计等研究领域。

同时，该研究具有一定的科学意义，主要体现在如下2个方面：

1）Petri网研究领域的新思路

将Petri网与模糊理论相结合，并将其扩充为面向对象的开放式的递归网，从而可将一个逐渐扩大的系统不断分解成若干个子系统，并利用扩充后的模糊Petri网的递归性建立各子系统的模型及其相互之间的关联，同时引用时间属性Petri网描述语义网络表示知识的研究成果，从而提供了一种利用成熟的Petri网理论建立基于语义网络的复杂的模糊处理技术分析模型的新思路。

2）多种Petri网技术综合应用的新尝试

本研究是多种Petri网技术综合应用的一次实践活动。它将普通Petri网、随机Petri网、时间Petri网、面向对象Petri网和模糊Petri网等多种技术及其理论有机地结合起来，使不同Petri网技术之间达到互补，并将其应用于并行知识推理的分析与实践中，是关于各类Petri网综合应用技术的一次新尝试。

参考文献：

[1]冉会中.基于Petri网的冗余控制系统建模与仿真[J].计算机仿真，2011，28（5）：103-106.

[2]周月明，杜玉越，刘伟.基于Petri网的容错系统分层建模[J].计算机工程，2010（2）：39-41.

[3] 林闯，陆维明.Petri网用于知识表示[J].计算机学报，1992（1）：1-16.

篇8

论文关键词：人体切片,三维建模,OpenGL

人体实体切片的三维重建技术研究是数字化虚拟人和力学等效仿真假人研究的重要内容之一。数字化虚拟人体研究是21世纪人类科学技术研究的热点技术，在医学研究领域有重大的意义。发达国家早在80年代后期就开始这一领域的研究，并取得了一定的成果。我国于2001年才正式将“数字化虚拟人体若干关键技术”列入国家863项目，进入数字化虚拟人体研究起步阶段。力学等效仿生假人是人体在各种复杂条件下的“替身”，是代替人类进行安全试验的“稳定受体”，广泛应用于安全测试、航空航天、服装设计等领域。我国力学等效仿生假人还处于引进和仿制阶段，理论研究与研制工作都远远落后与发达国家。

针对这一现状，本了一些基于人体实体切片的图像处理技术研究，进而进行三维人体重建。

2.建模基础知识

计算机人体建模技术发展到现在,已经出现了大量的不同实现方法,且随着时间的推移,还可能不断地有一些新方法出现,而一些老方法也可能会得到进一步完善和发展,现有的缺点,明天也许就不存在。建模方法主要有以下几种[1]：

1）线框造型

线框造型(Wire-frame Modeling)是采用物体的顶点和边这两种几何元素及其拓扑关系来表达几何体的形状。该方法的优点在于：结构简单，易于处理。由于其输入的信息仅为一系列顶点及其相互间的连接关系，因此所占的存储空间较小。同时该方法成在着严重的缺陷：不能够无二义地表达三维形体；不能反映图形与景物之间的关系，因而不能进行隐藏线消除及真实感图形显示；无

法进行剖面操作；无法进行物体的体积、质

量、转动惯量等物性计算。

2）实体建模

实体建模[2]的概念尽管早在20世纪60年代就已提出,但到20世纪70 年代才出现简单且有一定实用意义的实体建模系统。到20世纪70年代后期 , 实体建模技术在理论、算法、和应用方面才比较成熟。使用实体建模的方法对人体建模时 , 由于它增加了三维人体的实心部分表达,使其信息更加完备,从而使得三维人体得到无二义性描述。并且实体建模方法提供了人体几乎所有的几何和拓扑信息,因此它可以支持对表达人体的消隐、真实感图形显示.

3）曲面建模

曲面模型[3]是CAD和计算机图形学最活跃、最关键的学科分支之一。它主要研究具有一定光滑程度的曲面外形的数学描述。使用曲面模型的方法对人体建模时,曲面模型能提供三维人体的表面信息,并进行隐藏线消除和真实感三维人体模型显示,但曲面模型方法也存在着缺陷,由于没有明确定义三维人体的实心部分,因此曲面建模方法不能进行剖面操作。目前,曲面模型在实际中又分为两种具体的方法：特征化的曲面建模和参数化的曲面建模。

4）基于物理的建模技术

传统的人体建模技术经历了从线框建模,曲面建模到实体建模的发展历程,其对人体的几何信息和拓扑信息的描述已相当完备。但它们所描述的主要是人体的外部几何特征，而对人体本身所具有的物理特征和人体所处的外部环境因素 (如重力等)则缺乏描述。传统的人体建模方法对静止人体的建模是非常成功的, 但对于人体动态建模却相当乏力。正是针对这一问题,人们尝试将人体的物理属性和人体所受的外部环境因素引入到传统的几何建模方法中,形成了全新的基于物理的建模方法。

3.算法思想设计

3.1 数据准备

人体切片是由我国第三军医大学研究的首例中国可视化人体图谱集所选用的标本为35岁，身高1700mm体重，65Kg的重庆人。首先要对人体切片进行预处理，包括图像去噪、边缘轮廓提取、轮廓坐标数据处理一系列操作，得到了完整连续的头部切片轮廓的顶点数据，并将其数据信息保存在excel中。其次由于每一幅图片经过处理后得到的轮廓顶点总数大约在1500个点左右，那么进过同样处理的整个人体集数据集人体外轮廓的踪顶点数会达到四百万个左右。这种无间隔的取样精度是没有必要，同时也会给VC++下的模型重建带来巨大的计算量。我们采取的方法是：外轮廓点点的疏密应随着曲率的变化而采用不同的疏密程度，曲率变化大的部分顶点筛选应密集，以保持轮廓线的特征，曲线平滑的部分顶点筛选可以相对稀疏。

3.2 OpenGl下数据点连接成轮廓线

本文以VC++6.0和OpenGL[4]为编织环境，探讨VC++环境下的OpenGl实现。由于0penGL 具有跨平台的特性,它本身并不具有窗口管理、消息映射等Windows 编程所必备的能力,使用0penGL辅助库或Glut库仅能实现控制台式的简单窗口进行三维显示,不具有菜单、工具条、对话框等Windows界面必备的标准元素,难以做出美观的界面。Visual C++是Windows环境下功能最为强大的编程工具,而0penGL本身就是由C语言编写而成,VisualC++程序中可以直接嵌入0penGL语句,是0penGL 开发的天然工具。两者结合起来将充分发挥二者的优势。

利用数据库的方式将excel中的信息导入VC中后，利用OpenGL中连接点的方式形成轮廓线。

3.3 二位轮廓线重构三维人体

曲面建模是三维人体建模中运用最多的方法，其中，NURBS曲线曲面[5-7]由于具有一般性，被人们广泛应用在人体曲面造型中，NUBBS曲面可以通过控制点和权因子来改变物体的形状。但是使用NUBBS曲面对人体表面建模时存在如下弊端：需要把获取到的人体数据点作为样条函数的型值点反算出控制顶点，最后根据控制点生成NUBBS曲面实现人体表面建模。因此在这个建模过程花费时间多；同时人体模型表面的复杂性决定了用NUBBS曲面不可能一次生成整个人体，所以比较合适的方法是先找到人体表面的特征点，然后根据特征点确定人体表面的特征线，并根据特征线对人体曲面做块分割，生成NUBBS曲面块，最后再拼接这些曲面块构成完整的人体模型。这种分割的方法存在的缺点是：人体外部形状组成部分的连接处都要对曲面进行拼接，例如臀部和大腿，胳膊和胸部等，这无疑给建模带来了难度和复杂性。

而采用三角形作为基本面构成物体表面的算法简单、有效，具有突出的优点，故本文采用三角网格平面法重构人体模型。其中采用三角形基本元表示人体表面建模，这样做的好处是;不必考虑人体各个组之间的面片拼接问题，而只需用三角面片对相邻曲面进行连接即可；现有的计算机处理小平面的速度比粗合理曲面速度快得多。而且用三角面片表示的模型很容易实现三角面片构成的表面模型与三角线框建切换,如图1所示。

图1 三角剖分结果

4.结束语

虚拟人作为一门新兴的学科，涉及到动画、计算机图形学、生理学、机器人学和人工智能等多个研究领域，虚拟人的研究是一个具有理论意义和使用价值的基础课题。本文阐述了三维人体建模的基本思想，形成了静态的人体模型，为以后的动态建模奠定了基础。

参考文献：

：

[1]张绍祥，王平安等.首套中国男女数字化可视人体结构数据的可视化研究.第三军医大学学报.2003,25(7):563-565.

[2]李勇,胡敏,付小莉．三维人体建模方法的研究[J]．纺织学报，2002.

[3]孙家广. 计算机辅助几何造型技术 [M] . 北京: 清华大学出版社 , 1990.

[4]潇湘工作室译 ,0penGL 超级宝典 ,第二版[M] .北京:人民邮电出版社 ,2001.

[5]马翔,《NURBS方法的关键基础技术及其应用研究》[博士论文]，南京：南京航空学院力学系，1992．9

[6]吴晓燕、卢习林，《基于NURBS插值的散乱数据点人体自由曲面重构技术》，北京服装学院学宝(自然科学版)，第2l卷第2期，2001．10

篇9

关键词：灰色理论；马尔科夫模型；路面使用性能；预测

中图分类号：U416.21文献标志码：B

Abstract： In order to provide a more accurate method for pavement performance prediction， the greymarkov model based on the grey model and modified by Markov chain was proposed. The applicability and accuracy of the method were tested by the engineering examples. The results show that the greymarkov model makes accurate prediction of pavement performance based on the known historic data. Compared with the single grey GM（1，1） model， the greymarkov model possesses higher precision of prediction.

Key words： grey theory； Markov model； pavement performance； prediction

0引言

在道路\营过程中，路面的使用性能会因为路面环境的不断变化以及交通荷载的重复作用而不断下降，且随时间推移呈现出某种衰减规律，路面使用性能的预测就是研究各种因素作用下的路面使用性能的变化规律[1]。这种规律受自然条件、社会环境、人为因素等多方面的影响，表现出一定的随机性和动态性。灰色系统理论在预测变化趋势较为明显的时间序列中能表现出较高的精度，但是对于随机波动性大的时间序列预测则表现出比较低的精度。马尔科夫链针对随机变化的系统表现出比较好的预测性能，这恰好能弥补传统灰色模型在这一方面的不足。路面使用性能随时间变化的过程是一个非平稳过程，这并不符合作为马尔科夫链研究对象的条件，故本文通过灰色GM（1，1）模型对其进行拟合，以满足马尔科夫链的要求[24]，为路面使用性能的预测提供一种新的有效方法。

1灰色马尔科夫理论

1.1GM（1，1）模型

在灰色系统理论中，根据系统信息已知程度的不同将系统分为3种，分别是“白色系统”、“灰色系统”、“黑色系统”。若系统的信息均已知，那么就将该系统称为“白色系统”；若系统信息部分已知、部分未知，那么就将该系统称为“灰色系统”；如系统信息均为未知，那么就将该系统称为“黑色系统”。对于路面使用性能预测问题而言，系统信息包含路面使用性能的历史资料、交通荷载因素、环境影响因素、人为因素等诸多信息。该系统信息部分已知、部分未知，构成了一个较为复杂的灰色系统，因此路面使用性能的预测问题可以采用灰色系统理论来进行求解[57]。

灰色系统理论建模的基本思想是：将白色信息序列按照一定规律组成动态、非动态的白色模块，再通过一定的算法求解将来的灰色模型。灰色模型的求解过程是一个系统白度不断提高的过程，随着系统白度的不断提高，其发展变化规律也会逐渐显现。灰色理论模型是建立在把离散的时间序列拟合为一阶线性微分方程的基础之上的。GM（1，1）模型的变量只有一个，较为简单，容易被人们理解和接受，在灰色系统理论的预测模型中是应用得比较广泛的一种。在建模过程中，GM（1，1）模型并不是对系统中的所有因素进行分析拟合，而是对系统中的主要因素进行分析拟合并预测，以生成的函数作为预测的基础。GM（1，1）模型所采用的建模数据并非是所收集的原始历史数据序列，而是通过累加变换得到的新的数据序列。具体建模过程和运算步骤如下。

1.2马尔科夫模型

马尔科夫预测模型是一种随机的、变化的数学过程，建模的核心在于掌握系统状态转移规律。马尔科夫概率预测模型的基本思想是分析研究系统现状，利用马尔科夫链求解得出系统将来可能变化所至的某特定状态的概率[812]。因为该数学过程有一定的随机离散特性，所以需要采用数学概率来定量表述系统状态转移的可能性大小。定义St为系统在时刻t所处的状态，若在t=i时刻的状态Si为已知，那么在未来的某个t=i+1时刻系统所能达到的某种状态Si+1只与t=i时刻的状态Si有关，而与之前的状态没有关系，即马尔科夫链可以看成是一种无后效性的离散随机过程。定义Pij为系统由状态Si经过一次转移到状态Sj的概率，当系统存在n种状态，把这些状态组合在一起后所构成的矩阵P称之为状态转移矩阵。

2应用实例

2.1预测指标选取

如今使用最多的路面结构主要有2种――水泥路面和沥青路面，本文选广东省某路段水泥路面作为研究对象进行分析。评价水泥路面状况的指标有很多，包含路面状况指数（PCI）、断板率（DBL）、弯沉等。当用断板率来评价路面时，由于相同断板率下，不同损坏程度所对应的路面损坏差异非常大，因此断板率和路面损坏状况的相关性不强。水泥路面的弯沉值是一个平均值，因此容易掩盖弯沉值较大的板块，所以采用弯沉值来衡量水泥路面的好坏也不合适。路面状况指数PCI可以综合反映混凝土路面各方面的性能，如混凝土面层的不同破坏类型、破坏范围和破损严重程度等，能够将水泥路所处的路面破损状况最直接地反映出来，所以本文采用PCI作为示例中水泥路面的预测指标[1718]。

2.2路面状况指数GM（1，1）模型

收集广东省某路段水泥路面2006～2015年的路面使用性能数据，选取PCI数值作为原始数据序列，其中以2006～2013年的PCI数据作为建模数据，2014～2015年PCI数据作为检验模型优劣的标准。2006～2015年某路段水泥路面PCI数据如表1所示。

由表5可知，2014年和2015年PCI的GM（1，1）预测值残差处于3种状态的概率是不一样的，2014年预测值残差所对应的状态向量中，残差状态处于状态1的概率最大为0.5，所以选择状态1所对应的误差区间[0.5%，1.5%]的中值1%对GM（1，1）模型预测值进行修正，修正方式如式（14）所示，修正后得到的2014年水泥路面PCI预测值为66.1。2015年预测值残差所对应的残差状态向量中，残差状态处于状态1的概率最大为0.375，同理选择状态1所对应区间[0.5%，1.5%]的中值1%对GM（1，1）模型预测值进行修正，修正后得到的2015年水泥路面PCI预测值为63.2。根据式（11）分别计算GM（1，1）预测模型和灰色马尔科夫模型的预测残差比率，2种预测模型的预测值及相应的残差比率计算结果如表6所示。

3结语

本文运用灰色马尔科夫链路面使用性能预测模型，对广东省某地区水泥路面的PCI进行了预测分析，得出如下结论。

（1）路面使用性能的预测受到各方面不同因素的影响，具有随机性和波动性。在具有一定历史数据的条件下，通过建立灰色马尔科夫模型，借助Matlab计算求解，验证了该模型能够达到比较高的预测精度。

（2）灰色马尔科夫模型是基于马尔科夫链对灰色模型进行修正，实例表明单一的GM（1，1）模型对路面使用性能的预测也能达到一定精度，但是经过马尔科夫链修正后的预测结果更加准确，实用性更强。

（3）在实际工程中，采用灰色马尔科夫模型对水泥路面使用性能进行预测是可行的，本文虽然以路面状况指数PCI的预测为例，但也适用于路面使用性能其他指标的预测。实例证明这一模型具有较高的实际应用价值。

参考文献：

[1]周文献，李明利，孙立军.基于改进神经网络的水泥路面使用性能预测模型[J].同济大学学报：自然科学版，2006，34（9）：11911195.

[2]马士宾，魏连雨，孙维丰，等.路面使用性能综合预测物元模型及其应用[J].河北工业大学学报，2006，35（4）：4448.

[3]于洋，杨学斌，杜文.基于灰色马尔可夫链改进方法的预测方法[J].统计与决策，2008（13）：5355.

[4]武建民，刘大彬，李福聪，等.基于时间序列分析法的沥青路面使用性能预测[J].长安大学学报：自然科学版，2015，35（3）：17.

[5]邵静，王利超，刘新平.灰色马尔科夫模型及其应用[J].纺织高校基础科学学报，2009，22（3）：370374.

[6]⑺挤澹邓聚龙.GM（1，1）模型的适用范围[J].系统工程理论与实践，2000，20（5）：121124.

[7]吴金华，戴淼.基于改进算法的灰色马尔科夫模型的建设用地预测[J].安徽农业科学，2010，38（8）：38673868，3927.

[8]张国帅.基于累积法的灰色马尔科夫预测模型及其应用[J].统计与决策，2011（8）：157158.

[9]胡国祥，刘勇.灰色系统理论在预测路面使用性能中的应用[J].长江大学学报：自然科学版，2006，3（4）：133134.

[10]刘有山，李春雷，李波，等.基于灰色系统理论预测路面使用性能[J].桂林理工大学学报，2005，25（2）：173175.

[11]张澄，丁荣.马尔可夫模型预测路面的使用性能[J].江苏交通工程，2001（4）：1117.

[12]张晓华，邱延峻.基于逆阵的路面综合性能马尔可夫预测[J].东北公路，2003（3）：710.

[13]隋向辉.沥青路面温度场预测及应用[D].西安：长安大学，2007.

[14]唐娴，戴经梁，贾倩.参数自适应跟踪法预测高速公路路面使用性能[J].长安大学学报：自然科学版，2007，27（3）：3133.

[15]胡国祥，李杰，闵小双.路面使用性能灰色预测及编程实现[J].华东公路，2009（5）：8991.

[16]牛永亮，邱兆文.高速公路路面小修工程量预测模型研究[J].筑路机械与施工机械化，2008，25（1）：5456.

篇10

关键词：小波分析；时间序列；ARMA模型；钟差预报；误差分析

中国分类号：TN911.7 文献标识码 ：A

文章编号：10053824（2013）01005204

1 引 言

GPS接收机时钟偏差是影响接收机基本观测量伪距精度的主要因素，在某些需要得到伪距、伪距率等原始信息的系统，接收机内部钟差会给系统的基本观测信息带来较大的误差。在用伪距进行定位或授时的系统中，会直接影响定位精度以及授时精度。因此在实际的工程应用中，需要对GPS接收机钟差建立一个相对准确的模型，用来实时修正GPS观测量中的时钟误差。在误差建模过程中，可以将GPS接收机钟差视为一组时间序列，传统的时间序列预测方法是直接建立ARMA系列模型[1]。而ARMA模型适用于周期平稳的时间序列，因此通常需要对原始数据进行差分。 GPS接收机钟差信号中包含有用的偏差信号和噪声信号。而噪声信号和有用的偏差信号通常表现为平稳的带通信号和高频信号。在进行差分时不仅消除了时间序列的有用成份，而且其中的“畸变点”并没有剔除，降低了预测的精度。小波分析具有多尺度、多分辨率、可伸缩、可平移等方面的优势，将小波分析作为数学工具对GPS观测数据进行小波分解和重构，可以很好地检测和削弱GPS观测数据中的噪声影响[2]。于是在建立ARMA模型前对时间序列进行小波变换，进行消噪处理，得到一组相对“干净”的数据。通过仿真分析得到，在原始数据钟差数据经过消噪处理后建立的模型预测精度得到提高[3]。

在以上3个步骤中，最核心的部分就是如何选取阈值并对其进行量化，它直接关系到信号降噪的效果。一般有下述3种方法[6]：

1）默认阈值消噪处理。该方法用函数ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用函数wdencmp进行消噪处理。

2）给定阈值消噪处理。在实际的消噪处理过程中，阈值往往可以通过经验公式获得，且这种阈值要比默认阈值的可信度要高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。

3）强制消噪处理。该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。这种方法比较简单，且消噪后的信号比较平滑，但容易丢掉信号中的有用成分。

4 小波变换消噪效果

本文选取默认阈值消噪方法对IGS网站的第1240周某测站的钟差数据进行降噪处理。降噪前后的数据分布图如图1所示。

从偏差的统计特性可以看出，经过小波变换后，GPS接收机钟差数据平均滤除了3 ns的偏差，尽管滤除偏差中一部分原始序列的正常变化值，但由于3ns的平均误差也在可接受的范围内，因此完全可以采用小波变换来对信号进行预处理来消除突发噪声。

5 基于小波变换的预测模型与传统AR

预测模型预报精度的对比分析5.1 数据选取

本文采用IGS网站提供的第1 240周第一天0时0分0秒至1 240周第二天22时5分0秒接收机钟数据，共557个历元（记为数据一）、1 240周第一天0时0分0秒至1 240周第一天23时55分0秒的接收机钟差数据，共287个历元（记为数据二）。2组原始数据直接采用传统的AR序列预报值的差值分布如图2和图3所示：

由表3可以看出，在对时间序列进行AR建模前，对数据进行小波变换，可以提高模型的预测精度。在对精度要求较高的GPS定位或授时系统中，该方法可提高其精度。

5 结束语

本文给出了基于小波分析的GPS接收机钟差建模和预测方法。利用样本的偏相关函数的截尾性判断准则分别对同一组进行小波降噪前后的钟差数据进行模型的辨识。结果均为AR模型，并且该模型适用于短期的时间序列预报。仿真结果表明经小波降噪后的AR序列的预测精度得到提高，进而可以说明小波变换剔除了时间序列的“突变”点。而直接对序列进行AR建模的时候，为得到平稳的时间序列需要进行差分，不但没有消除无用信息，反而丢掉了有用的时间信息。因此，对于短期的接收机钟差预测，小波变换可有效提高其精度，对接收机内部时钟实时修正，可提高GPS定位和授时精度。参考文献：

[1] 陈军.GPS接收机单向授时算法研究[D].郑州：信息工程大学，2010.

[2] 郭彩立.基于小波分析的GPS数据处理理论及其应用研究[D].重庆：重庆大学，2007.

[3] 张斌，欧吉坤，袁运斌，等.一种小波与谱分析结合的GPS精密卫星钟差拟合方法研究[J].武汉大学学报，32（8）：715718.

[4] HANNAN E J， KAVALIERIS L. Linear estimation of ARMA processes[J]. Automatica， 1983，19（4）：447448.