数学建模分析法范文
时间：2024-01-04 17:46:05
导语：如何才能写好一篇数学建模分析法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
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0引言
随着自然科学的发展，利用数学等思想来解决实际问题，越来越受到人们的重视，数学作为一门历史悠久的自然科学，是在实际应用的基础上发展起来，但是随着理论研究的深入，现在数学理论已经非常先进，很多理论都无法付诸实践，在这种背景下，如何利用现有的数学理论来解决实际问题，成为了很多专家和学者研究的问题。通过实际的调查发现，要想利用数学来解决实际问题，首先要建立相应的数学模型，将实际的问题转化成数学符号的表达方式，这样才能够通过数学计算，来解决一些实际问题，从某种意义上来说，计算机就是由若干个数学模型组成的，计算机软件之所以能够解决实际问题，就是根据实际应用的需要，建立了一个相应的数学模型，这样才能够让计算机来解决。
1数学建模思想分析
1.1数学建模思想的概念
数学是一门历史悠久的自然科学，在古时候，由于实际应用的需要，人们就已经开始使用数学来解决实际问题，但是受到当时技术条件的限制，数学理论的水平比较低，只是利用数学来进行计数等，随着经济和科技水平的提高，尤其是在工业革命之后，自然科学得到了极大的发展，对于利用自然科学来解决实际问题，也成为了人们研究的重点，在市场经济的推动下，人们将这些理论知识转化成为产品。计算机就是在这种背景下产生的，在数学理论的基础上，将电路的通和不通两种状态，与数学的二进制相结合，这样就能够让计算机来处理实际问题，从本质上来说，这就是数学建模思想的范畴，但是在计算机出现的早期，数学建模的理论还没有形成，随着计算机软件技术的发展，人们逐渐的意识到数学建模的重要性，发现利用数学建模思想，可以解决很多实际的问题，而数学建模的概念，就是将遇到的实际问题，利用特定的数学符号进行描述，这样实际问题就转化为数学问题，可以利用数学的计算方法来解决。
1.2数学建模思想的特点
如何解决实际问题，从有人类文明开始，就成为了人们研究的重点，随着自然科学的发展，出现了很多具体的学科，利用这些不同的学科，可以解决不同的实际问题，而数学就是其中最重要的一门学科，而且是其他学科的基础，如物理学科中，数学就是一个计算的工具，由此可以看出数学的重要性，进入到信息时代后，计算机得到了普及应用，无论是日常生活中还是工作中，计算机都有非常重要的应用，而在信息时代，注重的是解决问题的效率。与其他解决问题的方式相比，数学建模显然更加科学，现在数学建模已经成为了一门独立的学科，很多高校中都开设了这门课程，为了培养学生们利用数学解决实际问题的能力，我国每年都会举办全国性的数学建模大赛，采用开放式的参赛方式，对学生们的数学建模能力进行考验，而大赛的题目，很多都是一些实际问题，对于比赛的结果，每个参赛队伍的建模方式都有一定的差异，其中选出一个最有效的方式成为冠军。由此可以看出，对于一个实际的问题，可以建立多个数学模型进行解决，但是执行的效率具有一定的差异，如有些计算的步骤较少，而有些计算的过程比较简单，而如何评价一个模型的效率，必须从各个方面进行综合的考虑。
2数学建模思想的应用
2.1计算机软件中数学建模思想的应用
通过深入的分析可以知道，计算机之所以能够解决实际问题，很大程度上依赖与计算机软件，而计算机软件自身就是一个或几个数学模型，在软件开发的过程中，首先要进行需求的分析，这其实就是数学建模的第一个环节，对问题进行分析，在了解到问题之后，就要通过计算机语言，对问题进行描述，而计算机语言是人与计算机进行沟通的语言，最终这些语言都要转化成0和1二进制的方式，这样计算机才能够进行具体的计算。由此可以看出，计算机就是依靠数学来解决实际问题，而每个计算机软件，都可以认为是一个数学模型，如在早期的计算机程序设计中，受到当时计算机技术水平的限制，采用的还是低级语言，由于低级语言人们很难理解，因此在程序编写之前，都会先建立一个数学模型，然后将这个模型转化成相应的计算机语言，这样计算机就可以解决实际的问题，由于计算机能够自行计算的特点，只要输入相应的参数后，就可以直接得到结果，不再需要人为的计算。
2.2数学建模思想直接解决实际问题
经过了多年的发展，现在数学建模自身已经非常完善，为了培养我国的数学建模人才，从1992年开始，每年我国都会举办一届全国数学建模大赛，所有的高校学生都可以参加，大赛采用了开放性的参赛方式，通常情况下，对于题目设置的也比较灵活，会有多个题目提供给队员选择，学生可以根据自己的实际情况，来选择一个最适合自己的问题。而数学建模大赛举办的主要目的，就是让学生们掌握如何利用数学理论，来解决实际问题，在学习数学知识的过程中，很多学生会认为，数学与实践的距离很远，学习的都是纯理论的知识，学习的兴趣很低，与一些实践密切相关的学科相比，选择数学专业的学生很少，而数学建模的出现，在很大程度上改善了这种情况，让人们真正的了解数学，并利用数学来解决复杂的问题。受到特殊的历史因素影响，我国自然科学发展的起步较晚，在建国后经历了很长一段时间封，闭发展，与西方发达国家之间的交流比较少，因此对于数学建模等现代科学，研究的时间比较短，导致目前我国很少会利用数学建模来解决实际问题，相比之下，发达国家在很多领域中，经常会用到数学建模的知识，如在企业日常运营中，需要进行市场调研等工作，而对于这些调研工作的处理，在进行之前都会建立一个数学模型，然后按照这个建立的模型来处理。
2.3数学建模思想应用的发展
从本质上来说，数学是在实际应用的基础上，逐渐形成的一门学科，但是受到当时技术水平的限制，虽然人们已经懂得去计算，却并知道自己使用的是数学知识，随着自然科学的发展，对数学的应用越来越多，而数学自身理论的发展速度很快，远远超过了实际应用的范围，同时随着其他学科的发展，数学变成了一种计算的工具，因此数学应用的第一个阶段中，主要是作为一种工具。随着电子计算机的出现，对数学的应用达到了一个极限，人们在数学和物理的基础上，制作出了能够自动计算的机器，在计算机出现的早期，受到性能和体积上的限制，只能进行一些简单的数学计算，还不能解决实际的问题，但是计算机语言和软件技术的发展，使其在很多领域得到了应用，在计算的基础上，能够解决很多问题，而软件程序的开发，其实就是建立数学模型的过程，由此可以看出，数学建模思想应用的第二阶段中，主要是以现代计算机等电子设备的方式，来解决实际的问题。
3数学建模思想应用的方法
3.1分析问题
数学模型的应用都是为了解决实际问题，虽然很多问题都可以通过建模的方式来解决，但是并不是所有的问题，因此在遇到实际问题时，首先要对问题进行具体的分析，首先就是看是否能够转化成数学符号，如果能够直接用数学语言来进行描述，那么就可以容易的建立相应的数学模型，但是通过实际的调查发现，随着经济和科技的发展，遇到的问题越来越复杂，其中很多都无法直接用数学语言来描述，这就增加了数学建模的难度。由此可以看出，分析问题作为数学建模的第一个环节，也是最重要的一个环节，如果问题分析的不够具体，那么将无法建立出数学模型，同时对数学模型的建立也具有非常重要的影响，通过实际的调查发现，能够建立高效率的数学模型，都是对问题分析的比较彻底，甚至有些独特的理解，只有这样才能够采用建立一个最简单的模型，而随着数学建模自身的发展，现在建立模型的过程中，对于一个实际的问题，经常需要建立多个模型，这样通过多个数学模型协同来解决一个问题。
3.2数学模型的建立
在分析实际问题后，就要用数学符号来描述要解决的问题，这是建立数学模型的准备环节，要想利用数学来解决实际问题，无论采用哪种方式，都要转化成数学语言，然后才能够通过计算的方式解决，而数学模型的过程，就是在描述完成后，建立相应的数学表达式，通常情况下，在分析问题时，都能够发现某种内在的规律，这个规律是数学建模的基础。如果无法找到这个规律，显然就不能利用现有的一些数学定律，从而建立相应的表达式，最后解决相应的问题，由此可以看出，分析问题的内在规律，是影响数学建模的重要因素，而这个规律的发现，除了在现有的数学知识外，也可以结合其他学科的知识，尤其是现在遇到的问题越来越复杂，对于以往简单的问题，只需要建立一个简单的模型即可解决，而现在复杂的问题，经常需要建立多个模型。因此现在数学建模的难度越来越大，从近些年全国数学建模大赛的题目就可以看出，对于问题的描述越来越模糊，甚至出现了一些历史上的难题，而不同学生根据自己的理解，建立的模型也具有很大的差异，其中一些模型非常新颖，为实际问题的解决提供了良好的参考，目前我国对数学建模的研究有限，尤其是与西方发达国家相比，实践的机会还比较少。
3.3数学模型的校验
在数学模型建立之后，对于这个模型是否能够解决实际问题，具体的执行效率如何，都需要进行校验，因此检验是数学模型建立最后的一个环节，也是非常重要的一个步骤，通常情况下，经过校验都能够发现模型中存在的一些问题，从而进行完善，这样才能够保证严谨性，在实际校验的过程中，要对数学模型的每个部分进行验证，通过输入特定的数据，看得到的结果是否符合理论值，如果没有问题，就说明该模型可以解决实际问题。除了检验模型的准确外，校验还有另外一个作用，就是优化模型，在选定数据后，能够看到数学模型计算的整个过程，这时就可以对具体的细节进行优化，如哪部分可以减少计算的步骤，或者简化计算的方式等，这样可以使整个模型更加科学、合理，由此可以看出，校验工作对于数学模型的建立，具有非常重要的意义。
4 结语
通过全文的分析可以知道，对于数学理论的应用，从很久之前就已经开始了，但是数学建模思想的出现，却是随着计算机技术的发展，逐渐形成的一门学科，电子计算机的出现，在很大程度上改变了处理事情的方式，利用计算机软件，只要输入相应的参数，就可以直接得到结果，这正是数学模型完成的任务，只是计算机的出现，省略了中间的计算过程，因此计算机软件的方式，是数学建模思想最好的应用方法，要想解决不同的问题，只要建立不同的模型，然后编写相应的程序。
参考文献：
[1] 吴俊，劳家仁.高校师资管理中数学建模的应用研究[J]，南京工业职业技术学院学报，2009（02）：84-86
[2] 温清芳，最优化方法在数学建模中的应用[J]，宁德师专学报（自然科学版），2007（02）：151-153
[3] 张绍艳，浅谈数学建模思想的应用[J]，科技咨询导报，2007（20）：233
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【关键词】中学数学 数学建模 活动 探索
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0129-02
“创新是一个民族进步的灵魂，是我们国家兴旺发达的不竭动力。” 中学数学建模活动最大的优点是学生的主动性，创造性可以得到充分发挥，学生的主体作用得以体现.在中学数学建模活动中，常用的建模方法有机理分析法、数据拟合法、类比分析法、图解法、假设法等，以下就这些常用的方法略以阐述。
1、机理分析法
机理分析法是指应用自然科学、数学科学等中已被证明是正确的理论、原理和定理，对被研究问题的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立问题的数学模型.机理分析法是中学数学建模活动中最常用的一种方法。当我们遇到一个问题时，总是想方设法化归到我们已经掌握的知识范围内处理。当我们对某问题的各有关因素有比较透彻的了解时，机理分析法尤其适用，我们可以根据该问题的有关性质来直接建立数学模型。
例如，在公路旁的某镇北偏西60°且距离该镇30km处的A村和该镇东北50km的B村，随着改革开放要在公路旁修一车站C，从C站向A、B两村修公路，问C站修在公路的什么地方，可使费用最少？
分析：此问题可以和物理光学内容相联系。
设以公路为x轴，该镇为原点建立直角坐标系，
则A（-15，15），B（25，25）
作A点关于x轴的对称点A’（-15，-15），
连结A’B交x轴于C，则C为所求站点。
2、数据拟合法
很多情况下，由于我们对一个问题的结构和性质不很清楚，因此就无法应用机理分析法找出符合规律的数学模型.不过如果通过实验或测量已经得到了描述这个问题的一组数据，那么我们就可以对这些数据加以分析利用，数据拟合法就是根据对这些有限的数据的研究分析，找到能够精确或大致反映问题本质属性的数学模型。
例如，据世界人口组织公布地球上的人口在公元元年为2.5亿，1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，到1999年底地球上的人口数达到了60亿，请你根据20世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100亿，到2100年地球上将会有多少人口？
分析：题目中的数据均为大致时间，粗略估计的量，带有较多误差，因此，寻找人口增长规律不需要也不应该过分强调规律与数据完全吻合，因此，组建预报模型.不必要考虑20世纪以前的数据资料，在20世纪人口的增长速度是逐步变快的，因此不能应用一次函数来作为预报的模型，而应选择指数函数.故选择N（t）=aert，其中N（t）为t时间的人口数，a、r为参数.数据拟合是处理这类问题的有利根据.我们通过已知数据，去确定某一类已知函数或寻找某个近似函数，使所得的拟合函数与已知数据有较高的拟合精度。
3、类比分析法
如果两个不同的问题，我们都可以用同一形式的数学模型来描述，那么这两个问题就可以相互类比.通过类比分析法，我们可以去猜想这两个问题的一些属性或关系也可能是相似的，从而帮助我们掌握复杂事物的规律，提高我们分析问题和解决问题的能力。
例如：问题1. 房间有8 个人，每个人都和其余每一个人握手一次而且都只能握一次手，问他们共握多少次？
问题2. 8个班参加篮球循环比赛，共比赛多少场？
这是两个生活中的例子，可以建立这样的模型：把每个人看成一个点，构造一个凸八边形模型，则每条边和对角线都表示“握手”和“比赛”，问题归为求凸八边形的对角线数加边数.即得28：当然可以推广到n 个，结果是：
4、图解法
图解法是将问题表述在图形中，利用图形直观判断实际问题的解.常用于传递性关系或仅涉及变量的近似数据，可用的信息不多或这些信息又不精确时.例如相遇问题：某轮船公司每天都有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所化的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上.问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？
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关键词：数学模型；建模；应用
一、数学模型
生活中有许多的模型，并且是多种类型的。比如说玩具、照片、飞机等实物模型，水箱中的舰艇、风洞中的飞机等物理模型。这些模型是我们进行数学建模时所必需的。
数学模型是一种模拟，是用数学符号、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，也需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。
二、数学建模
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。数学建模是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像等等。但为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。接下来介绍一下数学建模的基本方法，数学建模的基本方法一般有机理分析，测试分析，二者结合等，机理分析就是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。机理分析有以下几种具体的方法：1.比例分析法――建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。2.代数方法――求解离散问题的主要方法。3.逻辑方法――是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题有广泛应用。测试分析就是将对象看作“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。测试分析有以下具体的方法：1.回归分析法――用于对函数f（x）的一组观测值（xi，fi）i=1，2，…，n，确定函数的表达式。2.时序分析法――处理的是动态的相关数据。所谓二者结合就是用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数。
三、模型准备
下面就以生活中的实例来阐述模型准备过程。问题是椅子能在不平的地面上放稳吗？数学建模的过程通常有问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析，模型检验。
1.问题分析：通常椅子三只脚着地是不稳的，四只脚着地是稳定的。所以椅子能否在不平的地面上放稳，只需要知道椅子的四只脚能否一起着地（即椅脚与地面的距离和为零）。
2.模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出恰当的假设。在这里我们假设椅子的四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形；地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
3.模型建立
在假设基础上，利用适当的数学工具刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。在这里就是用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来。
在这里我们先利用正方形（椅脚连线）的对称性来确定椅子的位置。用θ（对角线与x轴的夹角）表示椅子位置。椅脚与地面的距离是θ的函数。设A，C两脚与地面距离之和f（θ），B，D两脚与地面距离之和g（θ）。由地面高度连续变化可以知道f（θ）与g（θ）是连续变化的函数。再由椅子在任意位置至少三只脚同时着地可以知道对任意，f（θ），g（θ）至少一个为0。而由问题分析可知椅子放稳只需要f（θ），g（θ）都等于0即可。
所以现在一个生活中的实例问题已经装化成一个简单的数学问题：
已知：f（θ），g（θ）是连续函数，对任意θ，f（θ）・g（θ）=0且g（0）=0，f（0）>0.证明：存在α，使f（α）=g（α）=0.
4.模型求解
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算。
将椅子旋转90度，对角线AC和BD互换。
由g（0）=0，f（0）>0，知f（∏/2）=0，g（∏/2）>0.
令h（θ）=f（θ）g（θ），则h（0）>0和h（∏/2）
由f，g的连续性知h为连续函数，据连续函数的基本性质，必存在α，使h（α）=0，即f（α）=g（α）.因为f（θ）・g（θ）=0，所以f（α）=g（α）=0.
5.模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。对上述的θ，f（θ）和g（θ）的确定是关键。
6.模型检验：把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际现象、数据进行比较，检验模型的合理性与适用性。
四、数学建模应用
近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。人们常常把数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用比喻为如虎添翼。
参考文献
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一、数学建模是建立数学模型的过程的简略表示。它的过程是：先将实际问题抽象、简化，明确已知和未知；再根据某种“定律”或“规律”建立已知和未知间的一个明确的数学关系；然后准确地或近似地求解该数学问题；最后对这个问题进行解释、验证并投入使用，如果通不过，则要说明理由。下面就这一过程作一个分析：
1、读题、审题，建立数学模型。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。这一环节很容易被学生忽略，认为只要完成作业就行，殊不知，有多少同学解应用题时漏看、看错题中的条件，还有不善于分析问题，所以在初中数学教学开始时，教师应多示范怎样读题、审题，必要时借助于图表。
2、根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。在简化的过程中要抓住主要因素，抛弃次要因素，用数学语言写出题中主要的已知和未知，然后根据题中的数量关系，联系所学的数学知识和方法，用精确的语言作出假设。
3、将题中的已知条件与所求问题联系起来，将应用问题转化成数学问题，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。这一环节是学生最不容易达到，所以，应多让学生尝试做这一过程，并逐步加深所给的问题。
4、上述过程是否达到了优化，还需要在对模型求解、分析以后才能作出判断。通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。
二、常用的建模分析方法。①关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型方法，即找相等关系等。②列表分析法：通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。③图象分析法：通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法。
掌握常见数学应用题的基本数学模型。在初中阶段，通常建立如下一些数学模型来解应用问题：
①建立几何图形模型。如：测量学校旗杆的高度，可选的合理的数学模型是相似三角形。
②建立方程或不等式模型 。如：甲、乙两厂分别承印八年级数学教材20万册和25万册，供应A、B两地使用，A、B两地的学生数分别为17万和28万，已知甲厂往A、B两地的运费分别为200元/万册和180元/万册；乙厂往A、B两地运费分别为220元/万册和210元/万册。较合理的数学模型是建立一次方程。
③建立三角函数模型。如截面是梯形的堤坝的修建，较合理的模式是建立三角函数的数学模型。
④建立函数模型。如：1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况。截流从8：55开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米。11：50时，播音员报告宽为34.4米。到13：00时，播音员又报告水面宽为31米。这时，电视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合龙，从8：55到11：50，进展的速度每小时减少1.9米，从11：50到13：00，每小时宽度减少2.8米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米。从下午1点起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙。但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好，现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法（建立一种较合理的数学模型）进行计算，使你的计算结果更切合实际。此例较合理的数学模型是一次函数。
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【关键词】高中数学;解题思路;培养;研究
高中数学《新课程标准》中明确指出：“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力.”数学应用题作为考查学生知识迁移能力、数学应用能力和数学建模能力的重要题型，是高中数学课程教学中不可替代的重要组成部分.
一、高中数学应用题教学的方法与技巧
高中数学应用题教学的方法和技巧有很多种，而在实际教学应用中，教学要从学生的实际情况出发，根据学生的接受能力和个体差异性对课程内容进行优化调整.
（一）导学案教学法
导学案以教师的指导教学为重点，是指教师为了能在开展活动的过程中指导学生实现自主学习而制定的一套教学体系，其中包括“学习目标、预习导学、自主探究、自学总结、课后反思、课堂反馈、拓展延伸”等环节内容.导学案教学法是当前高中数学应用题教学中应用最为广泛的教学方法，能够最大限度发挥教师的指导作用，在课堂上，教师从旁指导学生自主完成学案中的不同环节内容，让学生在自主探究过程中掌握知识点和了解知识的形成过程.应用题是综合题型，所涉及的知识点很多，通过导学案教学法可以让学生思路清晰地去解决在探究过程中遇到的难点与问题，同时还能帮助学生复习旧知识.
（二）生活化教学法
生活化教学法强调教学与实际生活的结合，指教师在开展教学活动的过程中积极引导学生的思路生活化，将所学知识与生活相融合，加强对知识点的理解.在高中数学应用题教学中，生活化教学法是最有利于提高学生应用能力的教学手段.教师在讲解应用题解题思路时，通常会列举一些与生活相关的数学问题，让学生根据自己的生活经验和知识基础，通过合作探究，去发现问题、解决问题.
（三）自主探究学习教学法
自主探究学习教学法强调学生自主学习能力的培养，指教学活动开展中教师通过引导学生进行自主探究学习，培养学生自觉学习、独立学习的能力.在高中数学应用题教学中，促进学生自主探究学习的实现在于教学情境的创设，如果教学情境创设得当，让学生处于真实的情境之中，就能够有效调动学生的学习兴趣，充分发挥自主探究学习的作用.自主探究学习教学法可分三步进行，第一步：创设一个轻松愉快且符合教学内容的知识情境;第二步：在情境中针对学生的个体差异性，分层设置探索的问题，让不同知识基础的学生在解决问题的过程中提高自信心;第三步：总结学生在自主探究学习过程中遇到的问题，从旁点拨引导，让学生在教师的点拨指导下进行课堂学结与反思.
二、高中数学应用题教学中解题思路培养的几点建议
（一）掌握求解应用题的一般步骤
1.审题：弄清题意，分析问题中已知条件是什么，要求的是什么，理顺问题中的数量关系，着重分析问题中常量是什么，变量是什么，常量和变量之间有什么关系，变量与变量之间有什么关系，所要求的量与哪一些变量有关.
2.建模：将文字语言转化为数学语言，利用有关的数学知识建立相应的数学模型，把实际问题转化为数学问题.
3.求解：根据建立的数学模型，选择合适的方法，设计合理简洁的运算途径，求出数学问题的解.
4.评价：既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求.
（二）学会具体的数学建模分析法
1.关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.
2.列表分析法：对于数据较多，较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.
3.图像分析法：通过分析图像中的数量关系建立数学模型的方法.
（三）实现实际问题向数学问题的转化
高中生对高中数学应用题的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是突破三大关卡：一是事理关，即明白问题说了什么事，学会数学应用的建模分析.二是文理关，即阅读理解关，一般数学应用题的文字阅读信息量较大，通过审题找出关键词和句，并理解其意义.三是数理关，用恰当的数学方法去解数学模型.
三、结 语
新课改背景下的高中数学课堂不再是单纯的知识的传递，而是培养学生全面发展的一片天地.我们要充分意识到数学应用题对学生能力培养的重要性，对课堂进行优化教学，找出能有效提高学生应用题解题能力的思路和对策，提高课堂教学质量.让学生们能够在课堂上自主学习，合作探究，更好地接受知识的浇灌.
【参考文献】
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学生的综合素质是学校教学与学生管理工作的一项非常重要的内容，也是评价一个学校教学质量好坏的重要指标，也是现代教学评估体系的一项重要参考，因此客观、公正、科学地进行教学综合素质的评价对于教学质量的改进，教学管理的提高有着重要的意义。本文的改进点在于正确地应用数学模型对于非结构化的管理模型进行有效的建模，然后应用科学的分类方法对学生群进行分类管理。这样既克服传统的主观评价随意性的缺陷，又克服了评价时空局限性。该模型适用于不同班级、不同专业、不同年级、不同学校学生综合素质的评价，具有较强的科学性和适应性。该模型是通过AHP层次分析法[1]对所有指标进行归一处理，然后对所有指标进行评分，接着将所有的评分结果按ABC分类[2]法进行分类，最后对分类结果制定相应的分类管理策略。
1 层次分析法建模
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是美国运筹学家托马斯?塞蒂于本世纪70年代提出的分析法，是一种定性与定量相结合的决策分析方法。它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。AHP的基本思路是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再以加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
1.1 层次分析法大致分为以下4个步骤：步骤1：建立层次结构模型。步骤2：构造成对比较阵。步骤3：计算权向量并做一致性检验。步骤4：计算组合权向量并做组合一致性检验。
下面就用数学建模来实现对上面4个步骤进行规范化描述。
1.2 用层次分析法来计算学生综合素质值[3] 通过分析图1所示，学生综合素质值包括学生德育分，学生智力分，学生体育分，同时德育分又包括学生的学习态度分，学生纪律观念分及学生文明程度分；学生智力素质分包括学生逻辑课程分，学生记忆课程分，学生动手能力分，学生创新能力分，学生自学能力分；学生体育素质分包括学生体育成绩分和学生课程锻炼分等。本文为了方便给出A-B矩阵的计算过程，其他权重矩阵计算过程相同。
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步骤1：按各因素归整后，可用图形的方式来表示，如图1。
步骤2：构造判定矩阵。
在构造判定矩阵前先来了解一下，判定矩阵量化对照表。如表1。
■
2，4，6，8及它们的倒数有类似的意义，取值处于上述中间。
判定矩阵A-B，如表2。
■
检验判定矩阵A-B的一致性λmax=3.009，C.I=（λmax-n）/（n-1）=0.005，CR=0.009
由于篇幅的限制，本文不一一列出所有指标的权重矩阵的计算过程，其计算过程如表2所示。
步骤3：计算出因素层（C）对准则层（B）的权重为
WC1～3-B1=（0.633，0.260，0.106）
WC4～8-B2=（0.342，0.342，0.184，0.066，0.066）
WC9～10-B3=（0.75，0.25）
步骤4：计算出因素层（C）对总目标（A）的权重为
WC-A=（0.154，0.063，0.026，0.229，0.229，0.123，0.044，
0.044，0.066，0.022）
2 运用ABC分类法客户进行分类
ABC分类法又称帕累托分析法或巴雷托分析法、柏拉图分析、主次因分析法、ABC分析法、平常人们也称之为“80对20”规则。它是根据事物在技术或经济方面的主要特征，进行分类排队，分清重点和一般，从而有区别地确定管理方式的一种分析方法。由于它把被分析的对象分成A、B、C三类，所以又称为ABC分析法。该方法具体分为：收集数据、处理数据、编制ABC分析表、ABC分析图及确定重点管理方式等几个阶段。具体处理过程如下：
2.1 开展分析 这是“区别主次”的过程。它包括以下步骤：
①收集数据。即确定构成某一管理问题的因素，收集相应的特征数据。这里的数据收集不是简单的数据收集，而是将通过AHP法计算的学生的综合素质值总分（100分制）的数据进行收集。②统计分析。即对收集的数据进行再加工、排序，并按要求进行计算，包括计算每个学生综合素质值分占全班总分的比例，将其百分数按降序排列，如下表3。③根据一定分类标准，进行ABC分类，列出ABC分析表。各类因素的划分标准，并无严格规定。这里我们主要把重点学生累计百分数达5%左右的，称为A类学生，累计百分数在5%～20%区间的学生称为B类，累计百分数在80%左右称C类学生。
■
2.2 实施对策 事实对策就是“分类管理”的过程[4-6]。根据上述分类结果，权衡教学管理力量和学习效果，制定ABC分类管理标准表，对三类学生对象进行有区别的管理，在教学管理过程中，A类学生辅助B类学生，B类学生辅助C类学生，老师在整个过程仅仅作为一个监督的角色，这种不仅老师轻松，更重要的是锻炼了学生自我学习能力和实践及管理能力，有利于提高整班学生的综合素质。
篇7
（北京农学院，北京 102206）
摘 要：本研究运用层次聚类法,建立了一套大学生数学建模能力评价方法,使评价工作变得更科学、合理、公正.最后通过实例验证了此种方法的可行性.此种方法可以公正客观地评价大学生数学建模能力，有助于教育研究机构对学生数学建模能力的调查和研究，既能对学生的个人发展提出改进措施和努力方向，又能为教育科研工作者开展数学建模培训提供更全面具体的指导,为数学建模竞赛选拔更优秀的人才.
关键词 ：层次聚类法；数学建模能力；评价；模型
中图分类号：O242.1 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）04-0001-03
基金项目：北京农学院教改立项（5046516450）
目前,随着数学建模在各个领域的广泛应用,许多学校开始把数学建模能力作为一个重要的研究方向.数学建模能力是综合运用知识解决实际问题的数学能力，是一个比较模糊的难以简单量化的能力.因此,要更好地对大学生数学建模能力进行评价，并因材施教,扬长避短的培养数学建模能力,需要一个科学的评价体系来对大学生的数学建模能力进行科学准确的评价.
积极有效地开展大学生数学建模竞赛，提高大学生的数学建模能力，亟需建立一套完备的大学生数学建模能力评价指标体系.目前，对大学生数学建模能力的研究主要集中在：（1）对大学生数学建模能力培养的研究[1-3]，主要是从教育工作者的角度对大学生数学建模能力培养提出若干对策与建议，这方面研究较多，但这些建议往往是由工作经验或感想得出，没有理论依据，说服力不强；（2）对大学生数学建模能力评价的研究[4,5]，有层析分析法和主成分分析法.这些研究虽然简单地列举了评价指标，但形不成体系，由于忽略了数学模型的应用，因此主观因素较大，客观性和准确性受到质疑.针对以上问题，笔者通过搜集整理众多学者的理论和观点,建立一套适用于大学生的数学建模能力评价体系,采用层次聚类法,并通过我校学生的实例验证评价体系的实用性和可行性.
1 基于层次聚类法的大学生数学建模能力评价模型
层次聚类法又称为分层聚类法，是研究样品（或指标）分类问题的一种多元统计方法.所谓“类”是指相似元素的集合.聚类分析能将样品（或指标）按其在性质上的“亲疏程度”进行分类，产生多个分类结果.
假设研究对象为n个学生，记为A={x1,x2,…,xn}，学生的m个分类特征记为B={y1,y2,…,ym}.每个对象相应于这些指标所取数值的向量记为
X={xi1,xi2,…,xim} (i=1,2,…,n)，
其中xik表示第i个学生的第k个指标，于是得到m×n矩阵，称为原始矩阵，记为
层次聚类法的基本步骤如下：
（1）首先将数据各自作为一类，每个类只包含一个数据，此时类间距离就是数据间的距离，这时有n类，计算n个数据两两间的距离，得到数据间的距离阵；
（2）合并类间距离最小的两类为一新类，这时类的个数减少一个；
（3）计算新类与其它各旧类间的距离矩阵.若合并后类的个数等于“1”，转到（5），否则回到（2）；
（4）画谱类聚类图；
（5）决定分类的个数和各类的成员.
本文采用马氏距离法定义类与类之间的距离，dij2(M)=(Xi-Xj)’∑-1(Xi-Xj)其中，∑表示指标的协方差矩阵，即：
马氏距离不但排除了各指标之间相关性的干扰，并且还不受各指标量纲的影响.除此之外，它还有一些优点，例如，可以证明将原始数据做一些线性变换后，马氏距离仍不变.若在某一步，第i类和第j类合并成第r类，则新类其它旧类之间的距离公式为drk=max{dik,djk},(k≠i,j)，其中dik,djk分别表示新类中所包含的第i类和第j类与没有被合并到新类中的某个k类的类之间的距离.
2 实例分析
2.1 确立数学建模能力评价指标体系
建立科学准确的评价指标体系,是评价工作最基本、最关键的一步,必须遵循一定的原则，这些原则包括:（1）具有普遍性.指建立的指标体系面向的是全体学生，因此在设计量化方案的时候，必须具有普遍性，符合学生的知识结构和认知规律.（2）具有科学性.指设立的指标体系要符合科学发展规律,反映学生的数学建模能力,指标要素之间要避免重叠,并具有整体完备性.（3）具有指导性.能正确体现教学指导思想、教学改革与发展方向,并能反映数学建模能力的正确导向作用.（4）具有可测性.要求指标可通过实际观察对事物某一方面的情况, 能加以度量并获得量化的结果.
按照上述原则,分析和吸取大多数学者的观点和共同之处, 经课题组共同讨论后，确定了以下指标体系：（1）创新能力，包括创新思维能力和创新实践能力，是对已有的知识和理论，进行不同程度的再组合、再创造，从而获得新颖、独特、有价值的新观念、新思想和新方法的能力；（2）协作能力，指能综合地运用各种交流和沟通的方法进行合作，尊重理解他人的观点与处境，评价和约束自己的行为，共同确立目标并努力去实现目标；（3）基础知识掌握程度，用数学建模选修课的分数来衡量；（4）分析解决问题能力，指能阅读、理解对问题进行陈述的材料，通过分析、比较、综合、抽象与概括，运用类比、归纳和演绎进行推理，能合乎逻辑的、准确地加以表述并解决问题.分析能力强的人，往往学术有专攻，技能有专长，在自己擅长的领域内，有着独到的见解和成就.看似非常复杂的问题，经过梳理之后，变得简单化、规律化，从而轻松求解，这就是分析解决问题的魅力；（5）计算机应用能力，指利用计算机软件的强大数据处理功能和网络巨大的信息量，通过编程和查找资料，对数学模型进行求解的能力.
最后，通过构造比较矩阵，计算比较矩阵的特征值和特征向量，并对其进行一致性检验，一致性比例指标符合要求，说明构造合理.数学建模能力评价体系如表1.
2.2 大学生数学建模能力评价
现以我校2013届学生为例，调查时抽取一定数量的学生，考察学生的五项数学建模能力，即创新能力、协作能力、基础知识掌握程度、分析解决问题能力和计算机应用能力.每项能力采取百分制记分，通过被试者做一组试题或问题解决的方式，主对学生在各组问题上的完成程度和表现出的个人能力进行量化评价，采取定性和定量相结合的方式，客观问题定量评价，主观问题由老师定性进行打分，评价数据如表2.通过spss软件得到聚类结果表3和使用平均联接的树状图表4.
2.3 评价结果分析
表2所示显示了系统聚类法的聚类结果，可以看到聚类结果分为以下几类.第一类：学生1、2、4、8、9、10、12、13、15；第二类：学生3、5、7、11、14；第三类：学生6.其中第三类学生6非常优秀，在协作能力，基础知识掌握程度，计算机应用能力方面有显著优势，具备良好的创新能力和分析解决问题能力，是数学建模的一流学员；第二类学生良好，有一定的数学基础，具备良好的创新能力和计算机应用能力.如学生7在基础知识掌握程度方面有显著优势，学生11在协作能力和分析解决问题方面表现突出，是数学建模的优势学员；第一类学生创新能力不足，思维有些僵化，虽然具备一定的建模思想，有良好的分析解决问题能力，能与人进行交流和合作，但个人素质相对平均.如学生1、2、12、13对数学建模的思路和方法还停留在简单模式中，不能多角度多侧面地看问题，没有思考和创新，不能在条件相同的情况下提出较多的观点和意见，发散思维能力较差.究其原因，是因为学生还没有从高中阶段的学习状态调整过来，思维模式单一，创新能力不够，对于数学建模的模式不习惯，这类学生对数学建模有一定的兴趣，但能力不够，需要多加培养，是数学建模的潜在学员.
3 结束语
本文运用层次聚类法对大学生数学建模能力进行评价，力求评价更具科学性，为数学建模人才的选拔提供参考.与其它评价方法相比，本方法具有以下优点：（1）融合了定性分析和定量分析的双重优势；（2）操作简单，只需输入数据即可得出结果.（3）评价体系适用面广，方法具有普遍性，可作为学院内部选拔学生，也可作学院之间的比较，聚类结果科学合理，较符合实际.评价结果表明，该模型可以科学公正客观的评价大学生数学建模能力，使学生了解自己的实际水平，找到自己的优势和劣势，既可以对学生个人发展提供改进措施和努力方向，又能为教育科研工作者开展数学建模教育和辅导提供更全面具体的指导,有助于教育研究机构对大学生数学建模能力的调查和研究，为数学建模竞赛选拔更优秀的人才.
参考文献：
〔1〕朱建青，谷建胜.数学建模能力与大学生综合素质的培养[J].大学数学,2013,29（6）：83-86.
〔2〕郎淑雷.关于提高学生数学建模能力的思考[J].中国科技信息,2007(24):243.
〔3〕刘大本.浅谈学生数学建模能力的培养[J]，江西教育,2006(22):34.
〔4〕张明成，沙旭东，张鑫.专科学生数学建模能力的分析及评价研究[J].淄博师专学报,2009(4):60-64.
〔5〕刘贵龙.模糊聚类分析在文本分类中的应用[J].计算机工程与应用,2003,12（6）：17-23.
篇8
【关键词】Matlab;参数辨识;最小二乘法;辅助变量法
1.系统辨识的基本理论
系统辨识是根据系统的输入输出的时间函数来确定描述系统行为的数学模型，是现代控制理论中的一个分支。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。它包括确定系统数学模型结构和估计其参数的方法。系统辨识的流程如图1所示。
图1 系统辨识过程流程图
2.模型参数辨识的方法
系统辨识包括模型阶次辨识和参数辨识。经典参数辨识的方法主要有他包括脉冲响应法、阶跃响应法、频率响应法、最小二乘法、相关分析法、谱分析法和极大似然法等，其中最小二乘法是最基本和最经典的，也是其他方法基本的思想的来源。比如辅助变量法。
2.1 最小二乘法辨识
考虑如下CAR模型：
（1）
参数估计的任务是根据可测量的输入和输出，确定如下个参数：
对象（1）可以写成如下最小二乘形式：
（2）
现有L组输入输出观测数据：
利用最小二乘法得到系统参数的估计值为：
（3）
2.2 辅助变量法辨识
当为有色噪声时，利用最小二乘法进行参数辨识时往往得不到无偏一致的参数估计量。在这个时候可以引入变量，然后利用最小二乘法进行辨识就可得到无偏一致的参数估计量。
因此，对于线性或本质线性系统，其过程的模型都可以化成最小二乘形式，考虑如下所示的模型方程：
（4）
将上式写成最小二乘格式，则得：
假定存在一个辅助变量矩阵，维数与H相同，它满足以下极限特性：
式中Q是非奇异矩阵。
如果辅助变量满足上述条件，则有：
（5）
图2 系统仿真图
3.建模实例
3.1 非参数模型辨识
某被控对象的数学模型可以表示为：，式中：
;
为白噪声，编制MATLAB程序，分别对上述对象进行ARX建模和辅助变量法建模，并比较两种方法得到的脉冲响应。
程序：
clf;
A=[1 -0.5 0.7];B=[0 1 0.5];
tho=poly2th（A，B）
u=idinput（300，'rbs'）;
y=idsim（[u，randn（300，1）]，tho）;
z=[y u];
ir=iv4（z，[2 2 1]）
Discrete-time IDPOLY model：A（q）y（t）=B（q）u（t）+e（t）
A（q）=1-0.5328 q^-1+0.691 q^-2
B（q）=0.9245 q^-1+0.4155q^-2
Estimated using IV4 from data set z
Loss function 1.04941 and FPE 1.07777
Sampling interval：1
th=arx（z，[2 2 1]）
Discrete-time IDPOLY model：A（q）y（t）=B（q）u（t）+e（t）
A（q）=1-0.4918 q^-1+0.7088 q^-2
B（q）=0.9307 q^-1+0.4477 q^-2
Estimated using ARX from data set z
Loss function 1.03855 and FPE 1.06662
Sampling interval：1
imp=[1;zeros（19，1）];
irth1=idsim（imp，ir）;
irth=idsim（imp，th）;
plot（irth1）
hold on
plot（irth，’r’）
title（‘impulse responses’）
系统仿真图如图2所示。
利用GUI图形用户界面进行辨识，如图3所示：
图3 GUI for identification
在Import输入输出数据后就可以在主界面的Estimate下拉列表中选择Parame-terMpdels命令进入模型辨识界面.在模型辨识界面可以进行模型选择，模型阶次的选择，当选择好参数后进行Estimate，得到辨识结果（如图4、图5所示）：
图4 辨识结果
图5 辨识结果
可以看到辨识结果同直接输入命令得到的结果相同，原因在于图（下转封三）（上接第199页）形界面调用的命令和程序代码调用的命令是一样的。
3.2 参数模型辨识
对时间序列：
分别采用最小二乘法估计、辅助变量法进行AR模型估计，并绘制频谱图.式中为有色噪声。
程序：
v=randn（501，1）;
y=sin（[1：500]'*1.2）+sin（[1： 500]'*1.5）+0.2*v（[1：500']）+0.1*v（[1：500]）;
thiv=ivar（y，4）;
thls=ar（y，4）;
giv=th2ff（thiv）;
gls=th2ff（thls）;
figure（1）
bodeplot（gls，'--'）
hold on
bodeplot（giv，'r'）
系统仿真图为：
图6 系统仿真图
4.结论
通过介绍系统辨识基本理论，最小二乘辨识和辅助变量辨识方法。利用MTALAB系统辨识工具箱进行了实例仿真，通过两种不同的方法得到了相同的辨识结果。引用的例子辨识结果较好，如果改变模型参数，辨识精度将会受影响，辨识结果受模型结构以及噪声的影响较为严重，具体内容不在本文内容研究之内。在具体辨识时要根据具体情况采用不同的方法。
参考文献
[1]潘立登，潘仰东.系统辨识与建模[M].北京：化学工业出版社.
[2]齐晓慧，黄建群，董海瑞，杨志军.现代控制理论及应用[M].北京：国防工业出版社.
[3]郑征，田书.基于Matlab的辅助变量法参数辨识与仿真[J].计算机应用与软件，2004，21（7）：127-129.
[4]齐晓慧，田庆民，董海瑞.基于Matlab系统辨识工具箱的系统建模[J].兵工自动化，2006，25（10）：88-90.
篇9
一、引言
现代企业要实现有效管理，就有必要掌握和运用有关成本信息，强化企业成本管理。技术经济对混合成本的研究是以成本变动与业务量之间的关系来认识这类成本，并对成本进行分类。混合成本比较复杂，按照混合成本变动趋势的不同，一般可以分为四种形式：半固定成本、半变动成本、延期变动成本和曲线式混合成本，不论何种形式的混合成本，均存在着在一定业务量范围内，随业务量变动的共性特点。业务量与混合成本变动有着一定因果关联。
研究混合成本与业务量之间的关系，回归分析是常用的数学分析法，它根据过去一定时期业务量和混合成本的历史资料，运用最小平方法模拟业务量X与混合成本Y的关系，从回归方程Y=a+bX中解析出混合成本的性态构成。通常认为，回归分析法用于混合成本与业务量的关系研究，是比较理想的数学研究手段。
灰色系统理论把一切随机量看作在一定范围内变化的灰色量，对灰色量的研究是根据灰色系统理论特有的处理方法来找出数据间的内在变化规律。混合成本是一种随机量，具有明显的灰色特征，因此，研究混合成本与业务量之间的关系应是对灰色过程的研究。
灰色系统GM（0，N）模型是一种零阶N个变量不含导数的静态模型，主要用于分析系统内待预测因素与相关因素内在特性及要素之间的相关性，以达到预测目的。本例研究的混合成本与业务量之间的关系是一种静态关系，具有运用灰色系统的GM（0，N）建模拟合分析的条件。
二、建立GM（0，N）模型
（一）原始数据
为使研究具有实证性，本文以《邮电通信企业专业成本研究》一文提供的某邮电企业成本运营实际数据为例，尝试应用灰色系统理论GM（0，N）建模，在其业务量和混合成本之间建立因果关系。邮电企业业务成本由工资、职工福利费、折旧费、邮件运输费、维修费、低值易耗品、业务费等项构成，在实际业务运营中，邮件运输费、维修费、业务费具有明显的混合成本特征。引用实例数据建模，拟合业务总量与混合成本之间的关系。选取原文中某邮电企业在5年间所发生的通讯业务总量（业务量）和相应混合成本（邮件运输费、维修费、业务费之和）为建模原始数据，详见表1。
（二）建立GM（0，N）模型
1.建模原理
GM（0，N）模型形似多元线性回归模型，是以原始数据的累加生成序列作为建模研究的基础。在变化的混合成本与业务量之间建立模型，进一步明确因企业经营活动业务量增加带来的混合成本内涵变化的两个变量之间的因果关系。
（1）进行生成数处理
建立1-AGO一次累加生成数据列，处理原始数据计算公式为：
{x1（1 ）（k）}={x1（1 ）（k-1）+x1（0 ）（k）}，其中k=2，3，…，n，且x1（1 ）（1）=x1（0 ）（1）
{xi（1 ）（k）}={xi（1 ）（k-1）+xi（0 ）（k）}，其中k=2，3，…，n，i=2，3，…，N，且xi（1 ）（1）=xi（0 ）（1）
（2）构造数据阵
B=■
Y=[x1（1 ）（2），x1（1 ）（3），…，x1（1 ）（n）]T
（3）作最小二乘参数估计
有■=（BTB）-1BTY；得待辨识参数列■=b2■bNa
（4）得GM（0，N）模型
形式为：■=■bixi（1 ）（k）+a，其中k=1，2，…，n；i=2，3，…，N。
2.GM（0，2）建模
（1）1-AGO生成数计算
本例有混合成本和业务量两个变量，需首先建立相应的原始计算数据列，即：混合成本为{x1（0 ）（k）}和业务量为{x2（0 ）（k）}，详见表2。然后按照1-AGO一次累加生成进行数据处理，具体数据处理方式是：{xi（1 ）（k）}={xi（1）（k-1）+xi（0 ）（k）}，其中k=2，…，5，N=2，且
xi（1）（1）=xi（0 ）（1）；{x1（1 ）（k）}={x1（1）（k-1）+x1（0 ）（k）}，x1（1 ）（1）=x1（0）（1），其中，k=2，…，5。形成1-AGO一次累加生成数据列，详见表3。
（2）GM（0，2）模型
针对混合成本与业务量关系拟合的研究，拟建模型应为GM（0，2），则x1（1 ）（k）为混合成本，x2（1 ）（k）为业务量。选取五个年份实际数据，则k=1，2，…，5，涉及两个研究变量，则N=2。
按1-AGO一次累加生成数据列（详见表3数据）形成相关数据阵：
B=x2（1 ）（2） 1x2（1 ）（3） 1x2（1 ）（4） 1x2（1 ）（5） 1=4 233.3369 17 848.9020 112 563.5344 119 164.7797 1
Y=[x1（1 ）（2），x1（1 ）（3），…，x1（1 ）（5）]T=[1 153.4949，
2 051.4387，3 546.8688，5 951.8265]T
计算参数列：
最小二乘估计■=（BTB）-1BTY（过程略），得辨识参数■=b2a= 0.324261-375.603512，于是得混合成本与业务量关系的GM（0，2）模型估计式为：
■=-375.603512+0.324261x2（1 ）（k）
上述拟合模型中的■、
x2（1 ）（k）均为累计量。
（三）精度检验
1.灰关联检验
灰关联度检验是灰色系统理论特有的建模精度检验方法，采用灰关联度检验法检验已建GM（0，2）模型，按灰关联度计算方法计算得出模型还原数据序列与原始生成数序列的灰关联度为0.617859，大于灰关联度检验临界值0.6，表明模型拟合结果已符合精度要求。（灰关联原理及方法略，详见参考文献[9]。
2.后验差检验
这类检验方法主要通过两项指标来判断建模精度，（1）方差比C=■；（2）小误差概率P=
p{ε'1■（k）-■'1
S■■=■■（x1（0 ）（k）-x1（0 ））2=485 995.2064（原始数据均值x1（0 ）=■■x1（0 ）（k）=1 190.3653），S■■=■■（ε'1■（k）-■'1）2=44 239.7869（拟合误差均值■'1=■■（ε'1■（k）=-22.6088），得小误差概率：P=
p{ε'1■ （k）-■'1
3.残差检验
按照GM（0，2）模型拟合数据，分别作原始生成数据列残差检验和还原数据列残差检验，形成生成数据列和还原数据列残差，及其相对误差。
生成数据列误差：生成数据列残差的相对误差表明：原点为4.27%，最大为-55.13%，平均相对误差为-1.96%，详见表4。
还原数据列误差：按{■1（0 ）（k）}={■-■}，其中k=2，…，5，且■=■，可以计算得混合成本与业务量关系拟合模型的还原原始数据序列，即{■1（0 ）（k）}={■，■，…，■}。还原数据列残差的相对误差表明，原点为1.39%，最大为-55.13%，平均相对误差为-1.90%，详见表5。
就混合成本与业务量关系数据拟合估算来看，如此精度是可以接受的。
三、结果分析与讨论
（一）GM（0，2）拟合精度有较大幅度提高
按原始数据建回归分析模型Y=a+bX，计算得a=-351.3007，b=0.402，建立回归直线方程Y=
-351.3007+0.402X。计算过程详见参考文献[7]。
分别计算两种模型均方拟合误差，设σ1、σ2分别为GM（0，2）灰色模型和回归分析法均方拟合误差，计算式为σ=■。计算可见，GM（0，2）模型拟合精度明显高于回归分析法的拟合精度，详见表6。
（二）模型拟合参数b、a的说明
研究混合成本与业务量的关系，对有效分解混合成本具有重要意义。GM（0，2）建模可以解析出混合成本中的变动成本和固定成本，参数b2可以被看作为是混合成本中的单位变动成本，它能量化随业务量变动而增加的变动成本部分。拟合模型中的b2=0.324261，表明当业务量每增加一个单位量时，变动成本将有0.324261增加量；参数a可以被看作为固定成本，是混合成本中不随业务量变动的成本部分。但在实际建模中会产生该参数的正负值问题，当a为正值时，应表示为混合成本中不随业务量变动的固定成本；当a为负数时，只能被看成是一个调节数，对混合成本起调节作用。拟合模型中a=-375.603512，可以被视为对混合成本起调节作用的参数，不能代表真实意义的固定成本。分析形成这一现象的原因，可能与业务量变动和混合成本之间增减速度以及与计算所选择的业务量区间有很大的关系。具体讨论可以参见参考文献[7]。
（三）GM（0，N）建模能有效提升精度
GM（0，N）建模与一般的多元线性回归模型有着本质区别。一般多元线性回归建模是以原始数据序列为分析基础，GM（0，N）的建模则是以原始数据的1-AGO累加生成数据序列为研究基础，有效提高了原始计算数据列曲线变化的光滑性，为拟合精度提升奠定了基础。本例通过GM（0，2）建模，拟合混合成本与业务量关系并取得了较好的拟合精度。
四、结语
篇10
关键词 数学建模 独立学院 课程改革 实践能力
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2015.02.044
Independent College Mathematical Modeling Education Curriculum Reform
――Take College of Arts and Sciences， Yunnan Normal University as an example
LIU Ruijuan[1]， YANG Bin[2]
（ [1]College of Arts and Sciences， Yunnan Normal University， Kunming， Yunnan 650222;
[2]Yunnan Institute of Electronics Industry， Kunming， Yunnan 650031）
Abstract This article from the reality of Yunnan Normal University of Arts， discusses the characteristics of Mathematical Modeling Course and the creation of the significance of this course， and then analyzes the independent Institute of Mathematical Modeling Courses problems proposed curriculum reform and solve mathematical modeling ideas. By selecting the appropriate course materials and auxiliary teaching materials， teaching and the establishment of mathematical modeling contest guide the team to achieve classroom case discussions and presentations combine teaching mode， associated with the creation of mathematical modeling curriculum support programs， such as probability theory， mathematical analysis ， operations research， graph theory and other courses， assessment methods diversified， respectively， classroom attendance， classroom discussion to answer the performance aspects of modeling large peacetime operations and final quality modeling work， modeling reply comprehensive assessment， in addition to organize students to participate actively in the network challenge and the National mathematical Contest in Modeling and other students， with remarkable results.
Key words mathematical modeling; independent college; curriculum reform; practical ability
数学建模课程是20世纪80年代初在我国理工科大学开设的一门重要的数学课程。由于数学建模过程几乎模拟了科学研究的全过程，因而对于培养大学生的科研能力与创新意识和应用数学能力具有特殊的作用。而数学建模的多媒体教学，作为一种现代化的教学手段，具有形象直观、信息量大、交互性强等优点，对于发挥学生的主体作用、促进学生主动学习和培养学生创新能力也非常有益。这些能力也正是我们大学数学素质教育所要努力追求的。
目前国内关于数学建模课程改革的研究论文虽然比较多，也有一定的成果，当时均处于探索阶段，并且从目前数学建模课程教学改革的相关文献可以看到，大部分这方面的研究都集中体现普通高校和研究型高校或者数学建模课程的改革方案和与能力培养方面的关系，然而，尽管不少普通大学和研究型大学都在大胆尝试建模课程体系改革，但针对独立学院实际的数学建模教学改革基本空白，对数学建模课程的具体化改革对象和成果展现等方面的研究更是少见。
云南师范大学文理学院建模课程开展时间较短，从内容到体系均有待完善，所以本文就云南师范大学文理学院的实际探讨数学建模课程的改革及其成效，从而达到促进建模的教学工作，提高教学质量，同时提高自身的素质水平。
1 在独立学院开设数学建模课程的意义
云南师范大学文理学院自办学以来，针对学生的缺点和不足，以新的视角，欣赏学生的特点，梳理学生的优势，客观评价学生，掌握学生的优势、优项，树立教学信心，以积极的态度开展教学工作。培养学生处理相关信息和大量数据的能力，在数学建模过程中，我们引导学生针对所研究问题进行收集、加工，处理和应用信息的能力。学会提炼有用信息，并恰当地运用信息，并学习使用计算机和相应的数学软件。
在建模过程中我们要求学生充分发挥想象力和动手能力，采用类比的方法把表面上完全不同的实际问题，用相似的数学模型去描述解决他们，逐步达到触类旁通的效果。
另外，因为数学建模课程主要涉及的都是现实生活中的实际问题，通过数学建模课程的学习和数学建模竞赛的参与，可以极好地锻炼学生的论文写作能力和创新能力，同时提升学生的参与意识，为以后的学习和工作打下良好的基础。所以在独立学院开设数学建模课程具有重要的意义。
2 云南师范大学文理学院数学建模课程的特点和存在的问题
2.1 云南师范大学文理学院数学建模课程的特点
（1）先修课程和应用课程较多。数学建模课程需要众多的先修基础数学课程和数学软件课程，如数学分析、运筹学、微分方程、概率论与数理统计、图论、计算方法、计算数学、解析几何，MATLAB，Mathematics，lingo等，我院信息工程学院在开设数学建模课程的前期或者同时开设上述相关课程，因为需要具备扎实的专业功底，才可能较好地学习数学建模课程。
（2）教学方式灵活多变。各大高校数学建模课程是基本是案例式教学，每个章节以例子来说明，如商人过河问题，交通流问题，减肥问题，旅游地的选择问题等等，均是和实际联系较为紧密的身边的问题，激发学生的学习兴趣。但是也有一些常见的建模方法可以类比推广，如层次分析法，灰色关联度分析法，时间序列法，排队论等，我们都是有针对性地选取教学内容以适应学生现有的知识结构和接受能力。教学方法上我们采用讲授法、探讨法、历年真题论文案例法（包括学生平时作业点评）等。
（3）教学设备手段先进。建模课程需要处理大量的数据，我院配备了先进的投影多媒体教室，并且开设了与建模相关的Matlab，Mathematica等数学软件。
（4）实用性强。数学建模课程的案例基本都来自实际问题，如人口、天气、干旱等的预测模型，优化模型，决策模型，控制模型等。这些模型的引入，让学生更加深刻地领会数学建模课程的实用性。
（5）课程较难学。数学建模课程涉及的领域广，知识面大。通的（交通流问题），医疗领域（看病排队问题）等，采用的各领域的知识较多，很多时候都是现学现用，需要很高的领会能力和接受能力，这对学生和教师要求都比较高。
2.2 云南师范大学文理学院数学建模课程存在的问题
本文作者从2011年开始讲授数学专业的数学建模课程，数学建模作为数学专业的专业基础课程，在教学过程中发现数学建模课程存在的问题。
（1）教材涉及面太广，如姜启源的《数学模型》教材是我国自开设建模课程以来比较权威的一本建模教材，很多高校都在使用，但是从初等模型、简单的优化模型、线性规划模型、微分方程模型到马氏链模型等共13章，而课程安排只有周4课时，教学时间上较为紧张;另外整本教材基本都是案例，内容多且涉及的数学建模方法很少，学生看着一本厚厚的教材，心里难免畏惧，而实际上并不能完全讲授;对于三本独立院校的学生来说，专业基础不是很扎实，教材一些内容较深，学习起来较为吃力。
（2）课堂教学基本以教师为中心，教师采用纯讲授的教学方法，学生很少参与，因而缺乏学习数学建模的兴趣与积极性，学生也怕学。
基于上述问题的存在，影响学生学习数学建模课程的积极性，并且我们要参与各类建模赛事，如果不及时进行教学改革，势必影响教学和学习效果，在建模竞赛中也难取得较好的成绩，虽然关于建模课程改革的课题和论文较多，但是紧扣我院实际的还基本空白，不利于应用型人才的培养，所以有必要对现有的数学建模课教学模式进行改革。
3 对云南师范大学文理学院数学建模课程改革尝试的思路
本文作者从2011年开始教授数学建模课程开始，就在实践中开始摸索适合云南师范大学文理学院的数学建模课程改革思路，经过几年的实际教学和竞赛指导，主要收获如下：
（1）主体教材辅助方法、软件教材进行教学。目前作者使用的姜启源编写的《数学模型》对于独立学院的学生来说这本教材内容太难、太多了。作者近年来除讲解教材的基本模型外，尝试对教材进行补充、重组和开发，具体方式有根据历年的全国建模竞赛的题目类型，有倾向性地进行教学安排，并插入历年建模真题和常用方法进行课堂讲授，同时插入一些实际问题让学生进行建模论文的写作，根据我院学生的数学基础和竞赛的实际（对历年的真题出现的题型和用到的方法出现的频率）对章节进行取舍。
（2）数学建模课程教学方法改革。由于数学建模课程要进行实战演练，在学期配备相应的建模大作业习题，如手机购买问题，地方人口问题，水资源短缺问题，气候干旱问题，网吧数量萎缩等实际问题，要求学生在指定的时间内进行数据收集，整理，分析处理并以论文形式展现研究成果，同时安排论文模拟答辩，锻炼学生的解决实际问题的能力。同时学院也积极聘请省级建模专家进行专题讲座，提高大家学习的积极性。
（3）数学建模课程教学竞赛团队。我院近年来连续积极组织学生参加各类官方、民间数学建模竞赛赛事。我院专门组建立了一支建模指导教师团队，除了学期必修外，在全国建模竞赛前的假期还专门组织学生进行赛前培训，教师负责制分专题讲授离散模型、连续模型、优化模型、微分模型、概率模型、统计回归模型和软件讲授、论文写作等，突出体现教师的专长，提高了课堂教学效率，增强了学生学习的积极性。
（4）开设与数学建模课程相关的软件课程。为了让学生更好地参与到数学建模中来，我们从大学一年级就有针对可开设数学软件和建模讲座。开设Mathematic，MATLAB，Lingo等软件选修课，进行数学的应用与建模能力的培养，提高学生数学建模能力，在运筹学等课程中，有意识地让学生进行作业的排版练习，如WORD，EXCEL等常用排版计算软件。
（5）通过积累建立数学建模课程学习资源。如本校学生历年的较优秀的参赛论文，平时作业
教师教案、课件等，数学建模优秀论文等学习环境和信息交互空间。另外，给学生身边实际的问题，如云南水资源短缺问题，干旱气候预测问题，地区人口预测问题，网吧问题等进行建模练习，让学生把数学建模课程与实际应用结合起来。
（6）课程考核形式多样化。本文作者通过课堂考勤，课堂回答问题，课堂讨论，平时作业，期末大作业，作业课堂答辩等多种方式结合的方法进行课程考核。根据问题的大小，由学生独立或组队完成实际问题，若完成得好在原有成绩的基础上获得“平时成绩加分” ，给出最后考核的分数，提高学生学习数学建模课程的积极性，从而提高学生的建模能力。
（7）积极组织学生参加全国大学生数学建模竞赛和各类网络建模赛事。截至目前为止，我们已经连续五年组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，连续两年组织学生参加“认证杯”数学中国数学建模竞赛，成绩优良。并且由信息工程学院定期举办建模和软件讲座参与各类数学建模比赛，熟悉比赛流程，了解论文撰写过程，为每年九月的全国数学建模做准备。
4 建模课程改革初步成效体现
我校作为独立学院从2010年开始尝试开设数学建模课程，推动大学数学素质教育方面，进行了一些探索和实践，并同年开始组织学生参加全国数学建模竞赛和网络建模竞赛，成效显著。
首先，从竞赛获奖来看，2010年全国大学生数学建模竞赛中，4个参赛队分别荣获1个省级一等奖，占总奖项的25%;2个省级二等奖，占总奖项的50%;1个省级三等奖，占总奖项的25%，获奖率100%;
2011年全国大学生数学建模竞赛中，4个参赛队分别荣获1个省级一等奖，占总奖项的25%;2个省级二等奖，占总奖项的50%;1个省级三等奖，占总奖项的25%，获奖率100%;
由于从2012年开始，数学建模竞赛组委会对建模奖项做了限制调整，获奖比例仅为原来的50%，所以2012年全国数学建模竞赛指导的参赛队教练组15个参赛队其中荣获2个省级一等奖，1个省级二等奖，9个省级三等奖，获奖率为80%，其中省级一等奖占总奖项的16.7%，省级二等奖占总奖项的8.33%，省级三等奖占总奖项的75%。
2013年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛2个队参赛，第一阶段两个参赛队均获云南最好成绩全国二等奖，第二阶段一个队荣获云南省唯一个全国一等奖，取得全球建模能力高级认证;另一个参赛队荣获全国三等奖，取得全球建模能力基础认证，获奖率100%。
2013年全国数学建模竞赛，26个参赛队参赛，其中荣获1个国家二等奖，2个省级一等奖，3个省级二等奖，4个省级三等奖的优异成绩，奖项水平首次冲入国家奖项，建模水平大幅度提高，其中全国二等奖占总奖项的10%，省级一等奖占总奖项的20%，省级二等奖占总奖项的30%，省级三等奖占总奖项的40%。
2014年全国数学建模竞赛，22个参赛队参赛，其中荣获2个国家二等奖，2个省级一等奖，4个省级二等奖，4个省级三等奖的优异成绩，奖项水平较上年建模水平大幅度提高，其中全国二等奖占总奖项的16.7%，省级一等奖占总奖项的16.7%，省级二等奖占总奖项的33.3%，省级三等奖占总奖项的33.3%。
可以看到从开设数学建模课程以来，我校的数学建模水平到目前稳步提升，很好地锻炼了学生的创新能力和动手能力，同时增强了学生学习的自信心和积极性，成效显著。其次，从综合能力来看，通过建模课程的改革，学生的应变能力和思维能力都获得了很大的提升。
参考文献
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