初中数学的代数式范文

导语：如何才能写好一篇初中数学的代数式，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

小学的数学符号除了单一的“+、-、×、÷”和分号等符号外，几乎没有别的符号，而在初中的数学里却采纳了相当大的符号体系，初中数学里所建立的这些符号，不论从基础知识，还是数学思想上，都有着承前启后的作用.更重要的是数学符号是对数、数与数之间的关系的抽象与归纳，是数学思维的升华.而课本中对每个数学符号的引用，揭示的文字并不多，其意义也都是隐含的.所以，如何理解、如何教学数学符号，在教学中尤为值得研究.

一、“+”和“-”符号

“+”和“-”符号，开始时用来表示物体量的增减延用到现在，它有了三种意义，表示加、减，或表示正、负，或表示原数、相反数.三种意义的归纳与选择，在教学中都没有被明确地提出，更没有在实际教学中被准确的定义在不同情况下如何选用.只是学生一种模糊的认识.而事实上，选择哪种意义是有规律的.“+”和“-”若出现在数与括号之间，如a-（-b-c）或括号与括号之间，如 -（a+b） +（-c-d），那么可认为是加、减，很难理解为正、负，它若仅仅出现在一个数的前面，如-3或+5，那么可认为是正、负，且很难理解为加、减.它若出现在非一个数的代数式的前面，如-a，-（m+n）-x2或-32，那么可认为是原数、相反数.特别是-a，若理解为负，那么就容易使学生错误地理解字母是正数，所以在教学时，我们最好把-a读作a的相反数，尽量不要读作负a，又如-x2若理解为负，那么就会使学生对-x2与（-x）2在错误的读法中分不清其意义.实际上，-x2是指幂x2的相反数.它包含的运算是先对x进行平方，然后再对这个幂取相反数.若读作负x的平方，运算顺序极易出现错误，而（-x）2应读作x的相反数的平方.这种读法符合实际的运算顺序，就很易把它们区分开了.

那么对于“+”、“-”这两个符号的三种意义，也有统一的认识，就是不管“+”、“-”出现在何处，都可以理解为原数，相反数.而且不会出现任何问题.比如，13-7+5就可以理解为.13减7加5还可以理解为13加7的相反数再加上5.

二、绝对值“| |”

课本中是这样定义的“一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离”，众所周知，在数学中存在着不考虑方向的量，比如个数、长度、面积、体积、重量等等.可以用所学的数表示.那么当数第一次扩展到有理数时，为了继续表示客观存在的但不考虑方向的量，为了有理数大小的比较，法则叙述的需要.引入了“| |”这个数学符号.在初中阶段，它在坐标系中表示两点间的距离，在代数式的运算化简、不等式和方程、函数图象极值里都有应用.在后继学习中.它的应用更为广泛.比如，在高中里用它表示向量的模等.绝对值是一个重要的数学符号，也是一个很抽象的数学概念.在教学中要循环渐进地、慎重的进行.在选择例题、布置练习时不可急于求成.

三、符号字母

1.用字母表示数. ①用字母表示数是为了更好研究数的性质，这样表示，不仅把累赘的语言叙述变为简洁、明快的式子，也使得许多数学问题得到简化.用字母表示数也使数学得到了进一步发展，在数学中贯穿整个初中数学的方程、函数，就是代数与算数的结合而产生的，同时引用了字母表示数之后，进一步深化了相反数和绝对值的知识.②代数式的产生，是用字母表示数的结果.使得数的运算演变为式的运算.从而使数学问题升级，使学生思维得到升华.

2.字母表示式.数字本身就是符号，但它表示的意义单一，易于接受.用字母表示数，由于表示的对象不确定，使得表示的内容被扩大.

四、>和

有三个阶段，其内函也逐渐被丰富.在学习一元一次不等式之前，这两个符号仅在两个具体的数之间使用，比如，+6>-2或-7和和

五、关于方根符号

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.正根记作a，负根记作-a，这就清楚的说明它不是运算符号，而是表示运算结果的符号，即是方根的符号.但在有些具体的运算中，它又表示了一种运算符号，比如，9=3.所以要有意识地使学生加以区分和联系.

总之，初中数学符号体系不难理解，但要重视它的功效去研究、去分析、去使用.特别是在教学中对符号体系应有必要的解释，确切的叙述和恰当的教授方法，无疑对提高教学质量也是重要的途径之一.

参考文献：

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书法是我国几千年灿烂文化艺术的杰出代表，它凝聚着一代又一代先辈精英们辛勤的耕耘和奉献。中国书法已经被列为联合国非物质文化遗产，这是值得我们骄傲和庆贺的。

中国书法之所以成为美学和艺术的杰出代表，是有其极深刻的历史渊源的。我国著名的美学和书学理论家白谦慎曾断言说：“书法是汉字的造型艺术，就其性质来说，它是一种形象的艺术，和文学、绘画、戏剧等艺术相比，书法又可以说是一种抽象性比较强的艺术。”早年留学国外的美学大师林语堂曾说：“书法提供给了中国人民的基本美学，中国人民就是通过书法才学会线条和形体的基本概念的。因此，如果不懂得中国书法及其艺术灵感，就无法谈论中国的艺术。”所谓抽象的艺术，是说现在比较规范的汉字，大多数已经是抽象的，但是这些抽象的汉字它的起源是象形的。正如唐代书法理论家张怀瑾第一次提出“书法应直师自然”。中国方块汉字的造型是源于大自然事物的各种美感而创造出来的。所以，汉字的书写具有无穷的创造力和感染力。我国历史上的书圣王羲之的天下第一行书《兰亭序》之所以流传至今经久不衰，是因为他的书写使人进入意境，其汉字造型达到极其完美的程度。其实，世界各国的文字起源不少也是象形的，可是最终都走向了符号化和拼音化，只有我国的方块汉字，始终没有离开象形的根基，虽然有许多字已经逐渐符号化了，但仔细分析，它仍具有象形的韵味。

我们知道，任何艺术都是精神的产物，它都会感染人的灵魂和躯体。著名美学大家宗白华曾说：“中国的书法是一种类似音乐和舞蹈的节奏艺术，它具有形线的美，有情感与人格的表现。”书法可以比喻为无声的音乐，它的提、按、顿、挫，墨法的浓、淡、干、湿，以及章法和字法上的千变万化，就如同一曲动人的交响乐章。书法与绘画同源，都属于象形、线条艺术，一幅出色的绘画精品必须配上文字书写的巧妙题跋，才能自然天成，增添美感与和谐；书法与舞蹈特别是古代的舞蹈也有渊源，草书大师张旭看到公孙大娘舞剑才书写出惊天动地的狂草佳作；书法与文学更是息息相关，历代书法家都是著名的诗人和文学家，他们流传给我们的书法珍品都是诗篇和词作。所以，缺乏文化功底只是会写字，就不会成为书法家，它只能是个书匠。书法珍品的艺术感染力是潜在的，也是十分震撼的；汉字是静态的，更是动态的；一幅书写好的作品表面上是平铺在纸上的，实则是立体的、动态的、神韵万千的美学佳作。

凡艺术追本溯源，都有其自己的传承历史。美学家宗白华在考察中外艺术发展的历史后感言到：“中国音乐衰落，而书法却代替了它成为一种表达最高意境与情感的民族艺术。三代以来，每一个朝代有它的‘书体’，来表现那个时代的生命情调与文化精神。我们几乎可以以中国书法风格的变迁来划分中国艺术史的时期，像西洋艺术史依据建筑风格的变迁来划分一样。”我们说，殷商时代的甲骨文、金文是我国奴隶社会的文字记载；石鼓文则是由大篆过渡到小篆（即由奴隶社会向封建社会过渡）的代表文字；小篆是秦王朝统一六国后的标准文字；隶书成为汉朝持续时间最长、留下的碑帖最多的代表文字；楷书、行书以及草书则是在唐宋乃至明清文化辉煌年代所创立、一直延续至今为人们所敬仰、研究的书法艺术珍品。

综上所述，我们完全可以自豪地说，中国书法，即汉字的书写艺术，是我们华夏大地文明的体现，是我国美学和艺术的杰出代表。

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【关键词】初中数学； 现代教育； 应用

“大力推进现代教育技术在教学过程中的普遍应用”是新课标的要求。当前基础教育课程改革十分强调倡导以“学生发展为本”的理念。因此，我们要在现代教育理论的指导下实现教育观念的转变，采用现代教育技术将改变传统教育的基本模式、传统教育过程的组织序列以及在传统教育过程中人们分析和处理教育、教学问题的思路。

1 现代教育技术在初中数学教学中应用的基本课型

1.1数学概念课

我们很容易利用现代教育技术使一些数学概念以动态的形式呈现，让学生进入到形象直观地认知环境中。例如讲授三角形内角和定理时，先让学生动手操作，在头脑里留下一定的印象，然后利用几何画板任意画一个三角形，利用度量工具测算出它的三个内角并利用计算工具求和，然后拖动三角形的任意一个顶点随意改变三角形的形状和大小，学生们会发现：无论什么样的三角形，三个内角之和是180度。

1.2数学实验课

传统的数学教育会片面强调数学重视演绎推理的一面，忽视其作为经验科学的一面，这样学生不知道知识的由来，同时，学生很少有参与实践的机会，而以计算机为主的现代教育技术可以创设交互式学习环境，学生在教师的指导下自己做数学实验。如在学习三角形的三条中线相交于一点时，运用现代教育技术，在几何画板中，只要任意画出一个三角形，利用构造菜单画出相应的三条线，就可以发现到三线交于一点的结论。然后任意拖动三角形的顶点，改变三角形形状和大小，就会发现三线交于一点的结论确实存在，在这个实验中，不光我演示外，我还请学生来动手操作，学生的印象极为深刻，突破了本节的难点，很好地达到教学目标。

1.3运动型问题研究课

几何运动问题的特点是在问题中一定有一个运动的点，由于点的运动，学生们感到问题难以找到切入点去分析问题，解决问题。这类问题学生之所以感觉到难的原因是学生眼中的图形是静态的，缺乏运动变化的想象力，在解决问题的时候经常出现漏解的现象。如何解决这个问题呢？在教学过程中，我发现几何画板能够呈现这种变化，学生在一段时间的学习后，逐步形成了以运动的眼光看问题。

2 现代教育技术在初中数学教学中的实践

2.1案例1：黄金分割

教学工具：计算机一台，预装PowerPoint，几何画板，投影仪、黑板、常用作图工具等

案例描述：课堂开始，我利用学生这学期正好在学素描，能将绘画与数学联系起来，于是我首先作了一个让大家将卡通人物摆在了相应位置的游戏，通过纠正摆放错误同学让大家思考，“为何正确的摆放看起来比较舒服，那这里有什么数学知识吗？”这样学生的思维就被拉到了数学上来，而且他们的兴趣反而高涨起来。

接下来，我让学生拿出准备好的学习资料任选一个五角星，测量五角星上C点到A、B点的距离。并计算一下和的值分别是多少，它们相等吗？（通过测量，学生齐声回答）：“0.6，相等。”这个式子有什么特点吗？从而得出“黄金分割”的定义。我并指出“以后利用一元二次方程，我们可以计算出黄金分割比是0.618。我的话刚说完，就有一学生疑惑的举起手：“老师，为什么会是0.618呢？”于是，我利用一元二次方程的解法解释，学生开始明白，课堂的气氛也因此轻松起来。

2.2案例2：圆心角、弧、弦、弦心距的关系

教学工具：计算机一台，预装PowerPoint，几何画板，投影仪、黑板、常用作图工具等

案例描述：

2.2.1创设情境，提出问题

教师出示圆形物体：锅和锅盖，并给出问题，锅和锅盖能做成长方形吗？做成圆形使用时会带来哪些方便？引导学生归纳得出，圆形锅盖按各个方向都容易密合，并且任意旋转一个角度后都可以。然后提出圆的旋转不变性和圆心角的概念，接着板书给出课题。

2.2.2引导探究，深化认知

探究：若两圆不等，则上述结论还成立吗？引导学生归纳得出圆心角定理：“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弧的弦心距也相等。”（强调该定理的前提是“在同圆或等圆中”，进一步分析，得出推论：“在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

2.3案例3：图形的旋转

教学工具：计算机一台，预装PowerPoint，几何画板，投影仪、黑板、常用作图工具等

案例描述：情景---多媒体展示，让孩子们观察屏幕上出现的图像，感受图形的旋转。

评析：让学生充分的思考给他们考虑的空间，然后让他们把自己的发现公布出来，以此来锻炼孩子们积极思考问题的好习惯。把感性认识和理性认识相结合，使知识得到螺旋式的上升。

3结语

我们在教学中要将现代教育技术应用在数学课堂教学中，发挥现代教育技术优势，利用图片、动画将一些在课堂上难以讲清的概念，繁琐的演算过程，复杂的数形关系，清楚地展示出来，提高课堂教学效率，同时可以把传统意义下的“学习”数学变为“研究”数学，把数学实验引进课堂，为培养学生的创新能力开辟了广阔的新途径教学质量、提高学生整体素质，促进学生发展。

参考文献：

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【关键词】初中数学 小学数学 衔接 知识点 教学方法 学法

作为新初一的数学老师，最近许多家长向我询问，为什么孩子的小学数学成绩还可以，可一上初中孩子就感到非常不适应初中数学了，学习成绩也有所浮动。借此我想谈谈初中与小学数学如何很好的衔接。

一、知识点的衔接

《数学课程标准》将小学和初中的教学内容做了巧妙的衔接，理解以下几个衔接点对我们正确处理好中小学数学衔接有很大的作用。

（一）算术数和有理数的衔接。在小学阶段，学生基本接触的是算术数（正整数、分数、小数、负数），这些数都是随学生的年龄特点从现实生活中得出的；进了初中后，把数的范围扩大到了有理数域，同时数的运算也相应的从小学中的加、减、乘、除四则运算上升到了乘方、开方运算。这是对数的认识的一个飞跃。为了让学生能更好地适应初中的学习，小学高年级的数学教师在复习时应利用实际的例子对初中的知识进行延伸。对于算术方法的四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。

（二）数与代数式的衔接。小学阶段，学生所接触到的数都是从生活中来的。在他们的印象中，数是一个具体的、能代表多少的表示符号，而在初中“有理数”知识中，引进了“式”的概念，从而研究式的运算。这是从“数”到“一段抽象的含字母的代数式的过渡”，是学生在学习数学上的一大转折点，实现从具体到一般、到抽象的飞跃，也是对刚入初中学生思维的一次飞跃。其实数与式的主要变化就是从数字的具体运算到代数式的形式化运算的转变。为了顺利完成这一转变，可以在小学高年级阶段尝试运用“半代数式运算”的方法进行教学渗透。

（三）由算术法则到方程解应用题。小学人教版第9册安排了解方程的内容。小学生所接触的方程比较简单，加上受算术思维的影响，列出的这些方程，思维方式实质上还是算术的。为了让学生后续方程的学习，可以引导学生理解：列方程过程中，重要的是未知数要参与运算，用等量关系列出方程。引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。教过浙教版和人教版的教师不难发现，以前解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。如果教师加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好地学习稍复杂的方程。

二、教学方法的衔接

小学数学教学，教师讲得细，练得多，直观性强；到了初中，相对来说教师讲得精，练得少，抽象性也比较强。从实际情况看，小学生是以机械记忆、直观形象思维为主。因此，进入初中后，教师必须结合学生的生理和心理特点，从学生的认知结构和认知规律出发，有效地改进教法，搞好教学方法上的衔接。

（一）新旧联系，强化概念的衔接。例如讲解分式的基本性质，可通过分数的基本性质进行引入讲解等等，让学生在学习时有一种“似曾相识”之感。再从概念教学看，小学对溉念的掌握要求并不高，仅侧重于计算，学生以机械识记为主，一般是套模式来解题；而初中数学，对数学概念要求强化了

（二）激发兴趣，进行学习心理衔接。首先要融洽师生关系，学生刚入初中时，由于环境和教学的对象变了，特别是对教他的老师持有一种既畏惧、又信任的心理状态，往往对老师采取一种琢磨的态度，因此，教师要以火一般的热情去温暖学生的心田，消除学生的心理障碍；特别是在课内，要联系不同学生的知识前提，说理深入浅出，表达形象鲜明，讲话幽默风趣，使教与学始终处于和谐民主的气氛之中，同时还要多用学生日常生活中切身感受的事例，用别出心裁的比喻和推理、巧妙的计算方法，诱发学生强烈的好奇心和求知欲。

（三）针对特点，注重认知规律衔接。小学生的思维特点是以直观形象思维为主，他们是在听到、看到、感受到的同时进行思维的，小学教师一般采用的是与之相适应的教学方法，而中学数学，则需要逐步发展学生的抽象思维能力，必须遵循由具体到抽象、由感性到理性的认知规律，借助使用实物、模型、图片、图示等来启发诱导学生积极思维，加深理解，如在教学数轴概念时，可列举直尺、杆秤、温度计等，讲等式的性质时可借助平衡的天平，讲“浓度配比”时可用颜色不同的水稀释来帮助学生分析等量关系等等，待学生对特殊的具体事物有所认识后，及时注意把有关的数学知识进行概括、抽象，以此逐步引导学生加深由片面到全面、由现象到本质、由外部联系到内部联系的理解。

三、学法的衔接

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关键词：初中数学；开放式教学；教学策略；实施步骤

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）29-149-01

社会不断发展，科技不断进步，人们对教学的要求也越来越高，为了满足家长的期望、学生的求学欲望，我们必须要不断的加强自身的能力，深切明白自己的任务和教学目标，永不停止的寻求进步。对于当代的初中数学课堂，我们的任务是要教会他们如何学好知识，更重要的是要教会他们如何做人，两者缺一不可。要使学生成为高素质又有创新意思的人才，主要途径是全面实行素质教育，充分发挥学生的主观能动性，创造性学习知识，数学是必不可少的一门学科。因此，综合前人的经验之谈和我在初中数学课堂教学中的摸索实践，我得出了一些自己的教学体会，希望对大家有所作用。

一、开放式教学的形式

根据内容和学生的实际水平，通过讲解、演示、角色扮演、研究性学习、设计、主题班会、调查访问、辩论等形式，最大程度调动学生的积极性和参与意识，以达到教学目的。开放式教学就是把一个班的同学分成几个小组，在教师适当的组织和高效的参谋下，在课堂教学中，以个人自学、小组互动、班级互动、自由组合为基本形式通过学生之间、师生之间多方面互动合作，积极主动配合达成共识的一种行之有效学生喜欢的教学方式。互动教学充分体现了学生的主体地位，互动教学是师生之间相互作用、积极互动完成教学任务的教学。在教学活动中，学生是学习的主体、主角，教师起主导、导演作用，老师的主要任务是为学生设计学习情景，激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性，让学生参与教学活动全过程，提高发现问题、提出问题分析问题和解决问题的能力，从而使学生学会学习，真正成为学习的主人。互动教学有利于学生认识知识的发展。在互动教学活动中，教师引导学生互动沿着前人研究、探索数学问题的路子去思维、动脑、动口、动手，亲自体验知识的发生和形成过程，这样不仅掌握了知识，而且学会了怎样学习，这种方法的学习远远比被动地接受老师讲解要深刻得多，而且对学生认识知识能力的发展会产生深远的影响。开放式教学有利于教学信息的及时反馈，在开放式教学中，师生之间的信息传递和交流形成了双向反馈的方式，教师能从互动过程中充分了解不同层次学生的学习信息，及时调整教学策略，认识知识过程中出现的问题，给予点拨、引导，使学生顺利地相互学习，达到预定的教学目标。

二、开放式教学的战略战术

工欲善其事，比必先利其器。为了能够很好的达到预期的教学效果和目标，战略战术就显得尤其重要。营造课堂上良好的学习气氛，在开放式教学活动中，教师与学生之间是平等的，不是服从与被服从的关系。综合经验之谈，发现民主能够促进创新和发展，在不民主的环境下，创造力也有表现，那仅是限于少数，而且不能充分发挥其天才，但如果要大量开发人矿中之创造力，只有民主才能办到，只有民主的目的、民主的方法才能完成这样的大事。师应发扬教学民主，在分析问题、讨论问题中积极鼓励学生大胆质疑，提看法，使学生在互动学习中有解放感、轻松感，这样才能有利于学生在课堂上形成大胆提出问题，畅所欲言，集思广益，逐步形成宽松民主的课堂气氛，为学生之间、师生之间成功互动学习，因此，教师对教材的处理和教学问题的设计应难度适中，既要突出重点，又要分散难点，使学生在每一堂课的学习中，有一定知识坡度和难度，让学生跳一跳能摘到果子。例如某道数学题难住了学生，为了要解答这道题，学生无从下手，老师可以稍做提示，同学们便能互动合作解答完成。这种在教师的引导启发下的互动分析讨论、解答题目，由易到难，更能促使他们学有兴趣、轻松愉快，这样，便营造出良好的互动气氛，完美的达到教学目标。

三、初中数学开放式教学的实施

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一、初中数学思想方法在解题中的应用

在整个初中数学教学中蕴含多种数学思想方法，但最基本的数学思想方法是数形结合的思想方法、分类讨论思想方法、化归转化的思想方法、函数的思想方法，能掌握好这些基本思想方法，就相当于抓住了初中数学知识的灵魂。下面就以上四种方法分别加以举例说明。

1.数形结合的思想方法

所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，以达到使复杂问题简单化，抽象问题具体化。数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用广泛，灵活巧妙。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形无数时难入微。”就是对数形结合思想方法的作用进行了高度的概括。在数学教学中，许多定律、定理及公式等常可以用图形来描述。如勾股定理、平方差公式等都是通过几何图形来得到的结论。利用图形的直观，可以由抽象变具体，模糊变清晰，使数学问题的难度下降，从而可以从图形中找到有创意的解题思路。

2.分类讨论的思想方法

分类讨论的思想方法是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象分为不同种类的一种数学思想。在初中数学中常见的需分类讨论的知识点有：绝对值，一元二次方程根的情况，简单的分段函数，已知等腰三角形的一个内（外）角或两边，已知直角三角形的两边，未明确对应关系的全等或相似，点在圆的优弧或劣弧上，在平面直角坐标系中已知两点构建等腰三角形或直角三角形等。

掌握分类讨论思想，有助于提高学生理解知识、梳理知识和掌握新知识的能力。对数学内容进行分类，可以降低学习数学的难度，增强学生学习的针对性，因此在教学中应启发并引导学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类讨论的思想方法。

3.化归转换的思想方法

化归，指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，从而最终解决原问题的一种思想。数学问题的解决过程其实就是一系列转化的过程，初中数学处处都体现出化归转换的思想方法。如代数式的求值中的未知向已知转化；多元向一元的转化；数与形的转化；分式方程化为整式方程；高次方程向低次方程的转化；四边形问题转化为三角形问题等。而实现这种转化的常用方法有：待定系数法、配方法、整体代入法等。例如：已知a-b=2，b-c=1，求代数式a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值。观察此题，

要求出此代数式的值很容易联想到两数差的平方公式，因此可将代数式进行扩大2倍并配方，变换出（a-b）2，（b-c）2，（a-c）2 的形式，而根据题目条件易求出a-c=3，故代

数式a2+b2+c2-ab-bc-ca= 1/2 ×[（a-b）2+（ac）2，（b-c）2]=1/2×[22+22+12]=7。

因此，我们在数学教学中，首先要让学生看到常用的很多数学方法的实质就是转化的方法，其目的就是把未知的量向已知的量转化，复杂的问题向简单的问题转化，从而在其脑海中树立化归转化的思想方法；其次结合具体的教学内容进行有针对性的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。

4.函数的思想方法

函数思想的本质是变量与变量之间的对应关系。华东师大版教材把函数思想已经渗透到初一、二教材的各个内容之中。如根据不同的值求代数式的值、锐角三角函数等，因此，我们在教学中要有意识地渗透函数的思想方法。例如某市的最后一题选择题：若关于x 的一元二次方程ax2+2x-5=0 的两根中有且仅有一根在0 与1 之间（不含0 和1），则a 的取值范围是（）

A.a3C.a-3

首先关于x 的一元二次方程ax2+2x-5=0 有不同两根，则a≠0，Δ>0，解得a>-15且a≠0，观察和四个答案没有太大的联系，故必须从另一个角度去考虑此题，细看条件，此方程的两根中有且仅有一根在0 与1之间，故想到了函数的思想，可把方程ax2+2x-5=0 转换为函数y=ax2+2x-5，当x=0，则y=-5

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初中阶段的数学教学难度加深，学生接触到的知识越来越多。初中阶段，学生们开始接触代数知识，在一开始的学习过程中，学生们会在代数学习上遇到障碍。作为一名初中数学教师，应该如何进行代数教学工作，让学生对初中数学学习产生兴趣呢？

代数知识是在算术知识的基础上发展起来的，其特点是用字母表示数，使数的概念及其运算法则抽象化和公式化。初中一年级刚接触代数时，学生要经历由算术到代数的过渡，这里的主要标志是由数过渡到字母表示数，这是在小学的数的概念的基础上更高一个层次上的抽象。字母是代表数的，但它不代表某个具体的数，这种一般与特殊的关系正是初一学生学习的困难所在。

为了克服初一新生对这一转化而引发的学习障碍，教学中要特别重视"代数初步知识"这一章的教学。它是承小学知识之前，启初中知识之后，开宗明义，搞好中小学数学衔接的重要环节。数学中要把握全章主体内容的深度，从小学学过的用字母表示数的知识入手，尽量用一些字母表示数的实例，自然而然地引出代数式的概念。再讲述如何列代数式表示常见的数量关系，以及代数式的一些初步应用知识。要注意始终以小学所接触过的代数知识（小学没有用"代数"的提法）为基础，对其进行较为系统的归纳与复习，并适当加强提高。使学生感到升入初一就像在小学升级那样自然，从而减小升学感觉的负效应。

初一代数的第一堂课，一般不讲课本知识，而是对学生初学代数给予一定的描述、指导。目的是在总体上给学生一个认识，使其粗略了解中学数学的一些情况。如介绍：（1）数学的特点。（2）初中数学学习的特点。（3）初中数学学习展望。（4）中学数学各环节的学习方法，包括预习、听讲、复习、作业和考核等。（5）注意观察、记忆、想象、思维等智力因素与数学学习的关系。（6）动机、意志、性格、兴趣、情感等非智力因素与数学学习的联系。

学生对于数的概念，在小学数学中虽已有过两次扩展，一次是引进数0，一次是引进分数（指正分数）。但学生对数的概念为什么需要扩展，体会不深。而到了初一要引进的新数――负数，与学生日常生活上的联系表面上看不很密切。他们习惯于"升高"、"下降"的这种说法，而现在要把"下降5米"说成"升高负5米"是很不习惯的，为什么要这样说，一时更不易理解。所以使学生认识引进负数的必要是初一数学中首先遇到的一个难点。

我们在正式引入负数这一概念前，先把小学数学中的数的知识作一次系统的整理，使学生注意到数的概念是为解决实际问题的需要而逐渐发展的，也是由原有的数集与解决实际问题的矛盾而引发新数集的扩展。即自然数集添进数0扩大自然数集（非负整数集）添进正分数算术数集（非负有理数集）添进负整数、负分数有理数集……。这样就为数系的再一次扩充作好准备。

正式引入负数概念时，可以这样处理，例：在小学对运进60吨与运出40吨，增产300千克与减产100千克的意义已很明确了，怎样用一个简单的数把它们的意义全面表示出来呢？从而激发学生的求知欲。再让学生自己举例说明这种相反意义的量在生活中是经常地接触到的，而这种量除了要用小学学过的算术数表示外，还要用一个语句来说明它们的相反的意义。如果取一个量为基准即"0"，并规定其中一种意义的量为"正"的量，与之相反意义的量就为"负"的量。用"+"表示正，用"-"表示负。

这样，逐步引进正、负数的概念，将会有助于学生体会引进新数的必要性。从而在心理产生认同，进而顺利地把数的范畴从小学的算术数扩展到初一的有理数，使学生不至产生巨大的跳跃感。

初一的四则运算是源于小学数学的非负有理数运算而发展到有理数的运算，不仅要计算绝对值，还要首先确定运算符号，这一点学生开始很不适应。在负数的"参算"下往往出现计算上的错误，有理数的混合运算结果的准确率较低，所以，特别需要加强练习。

另外，对于运算结果来说，计算的结果也不再像小学那样唯一了。如|a|，其结果就应分三种情况讨论。这一变化，对于初一学生来说是比较难接受的，代数式的运算对他们而言是个全新的问题，要正确解决这一难点，必须非常注重，要使学生在正确理解有理数概念的基础上，掌握有理数的运算法则。对运算法则理解越深，运算才能掌握得越好。但是，初一学生的数学基础尚不能透彻理解这些运算法则，所以在处理上要注意设置适当的梯度，逐步加深。有理数的四则运算最终要归结为非负数的运算，因此"绝对值"概念应该是我们教学中必须抓住的关键点。而定义绝对值又要用到"互为相反数"的概念，"数轴"又是讲授这两个概念的基础，一定要注意数形结合，加强直观性，不能急于求成。学生正确掌握、熟练运用绝对值这一概念，是要有一个过程的。在结合实例利用数轴来说明绝对值概念后，还得在练习中逐步加深认识、进行巩固。

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关键词：初中 数学教材 培养 数学思想方法

数学思想是：“是数学中解决问题的基本观点，是对数学方法和知识的本质认识，是在数学中解决问题的指导方针。”不论是建立数学概念还是发现数学规律或者是解决数学问题，甚至是构建整个数学大厦，培养和建立数学思想方法都是核心内容。我们学习数学，不仅仅是对数学知识的学习，更重要的是培养数学思想方法和数学意识。教材是对教学内容和大纲的系统归纳和总结，是我们教学的根本和指导。因此，在初中数学的教学中，我们要以教材为基础，注重对学生的数学思想方法的培养。

培养学生数学思想方法的重要性

数学思想方法以数学内容为基础，又高于数学内容，是数学中的指导思想。它能让人们领会到数学中的真谛，学会用数学来思考问题和解决问题，对人们的思维活动有着指导和调节的作用。学生们在进入社会之后，或许没有太多的机会来运用数学，数学知识会随着时间的推移而逐渐淡忘，但是不论他们从事的是什么工作，那种植根于人脑中的数学细想和精神是不会消失的，会渗透到他们的工作生活中，并发挥重要的作用。因此，数学教学不应该止步于对知识的教学，应该更加注重对数学思想方法的培养。

初中数学教材中的数学思想

在初中的数学教材中，集中体现有以下思想。①化归思想。即：将未知的知识转化为已知的知识，将复杂的不熟悉的问题转化为简单的熟悉的问题的一种数学思想方法；②类比思想。即：根据两个对象之间的某些相似性，推理出他们在其他方面的相似性的一种思维方法；③分类讨论思想。即：在解决数学问题中，依据对象之间的相同点和不同点，将其划分为不同的类比，分别进行研究讨论的思想；④数学建模思想。即：运用数学方法和语言，通过简化、抽象，建立能解决问题的一种有力的数学手段；⑤数形结合的思想。即：将直观具体的图像和抽象复杂的数学言语结合起来，将抽象转化为具体的一种数学思想方法。

在教材中培养学生的数学思想方法

在初中数学的教学中，我们不能仅仅限于对具体数学知识的学习，要在对知识的学习中不断渗透数学思想方法，让学生们在解决具体问题的同时，领会数学思想方法，从而达到对问题本质的认识，在以后的学习中能够举一反三。教材是教学的根本和指导，因此我们要在教材中培养学生的数学思想方法。

（一）在备课时，挖掘教材中的数学思想方法。备课时每个教师上课前的必要准备。教师在备课时首先要对教材有一个完整全面的分析概括，从整体上把握教材的体系以及脉络。要统揽教材全局，建立各种概念和知识点以及知识单元之间的关系界面，归纳揭示其中的一般规律和特殊性质，分析概括其中的数学思想方法，并做好重要记录，以便在上课时引导学生思考。

（二）教学中要教材为载体，渗透数学思想方法。教师在教学过程中，要深入探究数学教材中的数学思想方法，要精心设计教学的过程，向学生们展示数学思维的过程，帮助学生们了解教材中隐含的数学思想方法的特征、应用的条件、以及如何运用等。我们要根据教学内容的具体特点，选择相应的数学思想方法指导教学。一般我们可以在讲解概念的时候引入概念型的数学思想，例如有：相似思想、方程思想、特殊和一般相互转化、已知和未知相互转化的思想等；在推导公式、规律、法则、结论时，要强调思维方法，如：函数数和形的转化、解方程的消元降次、两个三角形相似的判定规律等等；在总结知识的时候，我们可以选择结构型的数学思想，例如：方程和函数的思想就体现了方程、函数、以及不等式之间的相互转化的特点。

（三）教学中渗透教材中的转化思想，促进学生知识的迁移和扩展。转化思想是初中数学教材中的基本方法之一，也是数学思想方法的核心。在教学中渗透教材中的转化思想，可以引导学生们将未知的复杂的数学问题转化为已知的简单的数学问题，培养学生们思考问题解决问题的能力，让学生在今后的学习中逐渐形成自学的能力。总的说来，转化思想应该贯穿数学教学的始终。例如：教材中可以通过换元法、配方法以及消元法等将多元方程祖转化为一元方程，将高次的方程降为低次方程，把分式方程化为整式方程，将无理方程化为有理方程，等等这些都体现了转化的思想。

（四）揭示教材中函数思想及其变化规律，培养学生的数学思想方法。函数蕴含的是数学中量之间的依存关系，是对问题数量关系的一种刻画，初中教材从一开始就渗透了函数这种思想方法。在教学中揭示教材中不断深化的函数知识，可以帮助学生提高对知识的认识水平。例如，当我们讲解例题：当x=2时，求代数式5x+6的值。可以把x的值变化为3、5、6...等等，再让学生们求代数式的值。学生们从这个练习中就可以体会在随着x的变化，代数式也会随着x的变化而变化。

（五）在教学中渗透分类讨论的思想。在初中的数学教材中渗透有很多分类讨论的思想方法。分类就是按照对象的共同性以及差异性，将不同类别的对象归为不同的类。在分类时要依据一定的标准，因为标准不同划分的类别也就不同，会得到不同的结论。在初中教材中蕴含了丰富的分类思想。例如，a的绝对值可以按照正数、负数以及零来分类讨论，点和圆的位置关系可以按照点在圆上、圆内、圆外来分类。

四、结束语

总而言之，学习数学不仅是数学知识的学习，更是数学思想方法的学习。教师在教学中要以教材为依据，重视培养学生的数学思想方法，只有这样学生的数学思维能力才能得到提高，才能真正地学好数学，领悟数学的真谛。

参考文献

[1]韩洁.初中数学思想方法教学的几点思考[J]

[2]刘利.关于初中数学教学中重要思想方法的探讨[J]

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新修订的《义务教育数学课程标准》其中有一个重要的变化，那就是将“双基”变“四基”即原来的掌握数学基础知识、训练数学基本技能的基础上，又增加了领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验。这一纲领性指导思想，要求我们数学教师在数学教学中，要转变传统的重知识重技能训练的教学思想，更加关注学生数学思想方法的渗透，突出数学思想方法的有效教学。促进学生的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学得到不同的发展。在实际的教学中发现,很多刚升入初中的学生对数学知识掌握起来感觉非常吃力,其关键原因在于数学思想的方法没有转变过来。从小学数学的学习到初中数学的学习是一个从具体到抽象、从感性到理性的一种质的飞跃,小学学习数学的方法已经不再能适用于初中数学的学习。而数学知识的学习的关键在于数学的思想方法,它是建立知识的学习与应用之间的桥梁。所以,要做好中小学数学知识的衔接教育工作,就要立足于培养学生数学思想方法的教学,要在具体的教学环节中渗透一些初中数学的思想方法,以提高学生的学习能力,达到一定的学习效果。

一、数学思想方法的内容

《义务教育数学课程标准》明确指出:数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法。将数学思想和方法纳入基础知识范畴,足见数学思想方法的教学问题已引起教育部门的重视,也体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一种共识。培养学生的继续学习的数学能力，提升学生的数学基本素养，养成良好的数学思维方式，渗透数学思想的教育是一个行之有效重要途径。在长期的数学教学实践过程中,我们发现要注意培养学生以下的数学思想方法:

1.数式通性的思想

代数是由算术演变来的,这是毫无疑问的。利用代数符号这个工具,是代数思维发展的重要元素,它使我们在用代数解决问题方面变得更加有效。它是用字母表示数的代数思想的基础,是由具体到抽象的源头。但是完成这个飞跃,学生要经历一个“跌跌撞撞”的攀登过程,并且表现出显著的个性差异。那么,学生对学习用字母表示数的目的到底是什么是否了解?在学习用字母表示数时会碰到什么样的困难?这些问题都是教师在实际教学工作中会面临的问题。再如利用学生熟悉的有关数的运算来学习整式的运算。根据教科书的这个编写特点，在整式运算的教学中要强调通过类比的思想方法学习式的运算，理解数的运算性质和运算律在式的运算中仍然成立，体会“数式通性” 促使学生的学习形成正迁移。所以“数式通性”思想的渗透,对于刚接触初中代数知识的初一学生来说,是很有必要的。

2.分类讨论思想

所谓分类讨论思想,就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,分类是以比较为基础的,它能揭示数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识,使所学知识条理化。

学生进入初中,从引进负数的概念开始,分类的思想就逐步融进了教学工作中,并且随着知识结构的深入而不断加强。比如:有理数的分类、整数的分类、负数的奇偶次方、去括号法则等,都蕴含有分类的思想,对学生进行分类思想的培养,有助于学生思维的严谨性。

3.整体性思想

所谓“整体性思想”,就是在教学过程中,充分考虑各教学要素之间的关系和影响,把各要素加以整合,以发挥最大效能。学生进入中学,开始接触代数式,而代数式是初中数学知识的基础。在代数式学习过程中,整体性思想时刻伴随,很好地简化了解题的难度,提高了解题的效率。比如在合并同类项一节的教学中，我设计如下一个变式例题：

计算：①

②

③

④

让学生探索，当学生得出结果后，引导学生分析问题②③④与①有怎样的关系，学生会发现结果中每个单项式的系数是相同的，只是字母不同，聪明的同学会发现老师只不过是把①式中的、分别用不同的单项式、或多项式进行了替换，里面实际上渗透了整体思想的运用，通过师生的合作交流许多同学自己又类比编出许多道新颖的试题.通过这样的培养,逐渐让学生养成了整体性思想,对九年级利用“换元法”来解一元二次方程的问题也有很大的帮助。

4.化未知为已知的思想

初一的学生在小学阶段已经接触了一元方程,那时已经建立了化未知为已知的思想,通过将未知量看作已知量,由题目的具体环境,建立等式关系,解方程后求出未知量。那时学生已经能够体会到列方程解应用题相比用算术方法要简单很多。进入初中以后,接触了代数式,将一些未知量看作已知量,在列方程、不等式以及解方程、不等式时非常方便,这也同时体现出了代数方法处理某些问题时,相比算术方法所具有的优越性。比如在实际解方程组的教学过程中,“消元”、“降次”等基本思想都是化“未知”为“已知”的体现。

5.数形结合的思想

数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法。“数以形而直观,形以数而入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”,这是我国数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述。有些代数问题单纯用代数方法来解,反而显得烦琐,若能恰当、巧妙地借助几何图形,使数量关系的问题直观而形象化,实现抽象概念与具体形象的结合。在初中数学的教学中,从数轴的引进到有理数大小的比较,从相反数、绝对值的几何意义到列方程解应用题的画图分析求解等,数形结合的思想在初中数学的教学中得到了充分的体现,它将复杂的知识简单化、抽象的概念具体化。

6.可逆性思想

我们都知道“司马光砸缸”的故事，司马光的聪明方法令我们佩服。按常规的救人方法是让“人离开水”，但是由于缸高、人矮、力气小，在场的小朋友没有一个能够办得到；这时，司马光反常规而行，砸破水缸，水流出来，让“水离开人”，落水的小伙伴得救了。司马光的故事使我们联想起，初中数学教材中蕴含了为数众多数学可逆性思想，它存在于数学知识的各个环节中,如加与减、乘与除、乘方与开方、同底数幂的运算法则正逆运用，整式的乘法与因式分解等。这些互逆的知识点结合起来学习,实际上是一种双向活动,教学中学生往往只注重单向的联系,而造成对知识的单一理解和应用,从而阻碍了学生思维的发展。学生在小学阶段接受可逆性数学思想的教育很少,而可逆性数学思想方法有助于培养学生的逆向逻辑思维、创造能力。所以,在实际的教学过程中,要适时注意培养学生的可逆性思想。有理数的运算律、幂运算法则等等逆用都可以简化运算，收到一项不到的效果。

7.特殊与一般的辩证关系的思想

对于一个数学问题,特殊情形下的结论往往反映了一般状况下的特征,一般状态下探索到的结论是问题本质和规律,特殊只是一般中的某种情况。在特殊情形下的解题思路、方法往往对一般状况有指导和启发作用,反之问题若能在一般状况下得以解决,特殊情形当然也就迎刃而解。如整式可以简洁地表明实际问题中的数量关系，它比只有具体数字表示的算式更有一般性。整式中的字母表示数，这使得关于整式的运算与数的运算具有一致性，因此可以说整式的运算是建立在数的运算基础之上的，式的运算更具有一般性，数的运算是式的运算的特殊情形。通过对数与式运算的分析，使学生理解认识事物的过程是由特殊（具体）到一般（抽象），又由一般（抽象）到特殊（具体），在不断重复中得到提高，培养学生初步的辨证唯物主义观点。根据数与式之间的联系，体现数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性。实际上是知识的总结与应用的双向活动,特殊与一般的统一能使学生更灵活地掌握知识、应用知识。故在初一学生对一些问题的理解比较抽象的情况下,特殊与一般的辩证关系的运用,对初中数学的教学有着非常重要的作用。

8.归纳猜想思想

英国著名物理学家牛顿说过：“没有大胆而放肆的猜想，就不可能有伟大发现”。数学家教育家G・波利亚也指出：“要成为一个好的数学家……你必须首先是一个好的猜想家。”这两句至理名言道出猜想的重要性.归纳猜想的思想是数学思想的重要组成部分。在中学数学教学中,对有些已知其真实性的定理、公式、性质,暂时不能给学生进行严格证明,但为了说明其正确性,往往采用具体的、个别的特殊例子来说明,也就是用不完全归纳法进行推理。而猜想是数学思维中的抽象的重要形式。所谓猜想是根据部分事实去推测某种可能结果的方法,是由一些事物去估计可能出现事物的思维方法。苏科版七、八、九年级渗透的数学猜想可谓俯首皆是，这里不再列举案例阐述.

二、数学思想方法的培养方式

对学生数学思想方法的培养,要依托数学思想方法的教学工作。中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体,现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的,大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中,并没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。进行数学思想方法的教学,必须在实践中探索规律,以构成数学思想方法教学的指导原则。数学思想方法的构建有三个阶段:潜意识阶段、形成阶段、深化阶段。

一般来说,在这三个阶段的形成过程中,应以渗透性教育为主线。所谓渗透教育,是指在具体知识教学中,一般不直接点明所应用的数学思想方法,而是通过精心设计的教学情境与教学过程,着意引导学生领会蕴涵在其中的数学思想和方法,使他们在潜移默化中达到理解和掌握。虽然数学思想方法与具体的数学知识是一个有机整体,它们相互关联、相互依存、协同发展,但是具体数学知识的教学并不能替代数学思想方法的教学。一般来说,数学思想方法的教学总是以具体数学知识为载体,在知识的教学过程中实现的。数学思想是对数学知识和方法本质的认识,数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。所以,数学思想方法具有高度的抽象性与概括性。如果说数学方法尚具有某种外在形式或模式,那么作为一类数学方法的概括的数学思想,却只表现为一种意识或观念,很难找到外在的固定形式。因此,数学思想方法的形式绝不是一朝一夕可以实现的,必须要日积月累、长期渗透才能逐渐为学生所掌握。

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【关键词】初中数学；应用题；教学思考

科学地认识事物就要抓住事物的本质，那么列方程解应用题的本质是什么呢？很显然，列方程（组）是关键.所谓列方程（组）解应用题是一个“实际”问题，以文字表达形式出现，然后，运用数学方法将应用题的内涵符号化成为一个方程（组），再解所列方程（组）从而应用题得解，因此，在应用题的教学时，应把难点放到分析}意列出方程（组），并让学生熟练掌握应用题符号化这一步骤，这样方程（组）就列出了，当然学生刚刚接触应用题时可能有些难度，但按照教材的编排，在学习列方程（组）解应用题之前就学习了用代数式表示各种各样背景下的实际问题，也学习了解方程和解方程组，学习了行程、速度、时间之间的关系，学习了工作总量、工作效率、工作时间之间的关系，学习了销售中的本金、利润、利率之间的关系，等等.

初中数学中的应用题是建立在小学的基础上的，而且是从“行程问题”入手，因此，在一开始进行“行程问题”的教学时就必须强调要求画“s，v，t”表格：

来帮助分析，且要掌握好公式：路程（s）=速度（v）×时间（t），而且初中阶段的大多数应用题都可以借助“s，v，t”表格来帮助分析，如“工程问题”.

例1A，B两地相距360 km，甲、乙两辆车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车的速度是70 km/h，乙车的速度是50 km/h，求甲、乙两车出发后经过几小时相遇？

解设甲、乙两车出发后经过x小时相遇.

分析：（一）找等量关系：① 甲车的行驶时间（t甲）=乙车的行驶时间（t乙）；

② 甲车的行驶路程（s甲）+乙车的行驶路程（s甲）=360.

（二）画“s，v，t”表格：

（三）列方程：

因为等量关系① 甲车的行驶时间（t甲）=乙车的行驶时间（t乙）在画“s，v，t”表格时已经用过.因此，只能根据等量关系②甲车的行驶路程（s甲）+乙车的行驶路程（s乙）=360.列方程得

70x+50x=360.

解这个方程得x=3.

答：甲、乙两车出发后经过3小时相遇.

强调：① 认真理解题意，弄清题目中事件发生过程及其各个量之间内在的等量关系，每个等量关系只允许用一次；

② 画“s，v，t”表格，并填写“s，v，t”表格，这样可大大地减少犯低级错误；

③ 根据未用过的等量关系来列方程.

并且在以后所有应用题教学引导中都要这样“强调”，让学生形成思维习惯.

例2A，B两地相距35 km，甲从A地向B地出发5 km，乙在A地发现甲忘记带某文件立即追送，交给甲后立即返回A地，当乙返回A地时，甲恰好到达B地，乙每小时比甲多行5 km，求两人的速度.

解设甲的速度是x km/h.

分析：（一）画行程图，找出等量关系.在这必须认真理解题意，弄清楚整个事件发生过程，才能画出行程图.

从行程图中看到：甲从C点到D追及点的时间（t甲CD）与乙从A点到D追及点的时间（t乙AD）是相等的，乙从D追及点返回A点的时间（t乙DA）与甲从D追及点到B点的时间（t甲DB）也是相等的.即t乙AD=t乙DA=t甲CD=t甲DB.

因此，CD=DB=15，AD=AC+CD=20.

找到等量关系：① 乙的速度（v乙）=甲的速度（v甲）+5；

② 甲行进15 km的时间（t甲15）=乙行进20 km的时间（t乙20）.

（二）画“s，v，t”表格：

解这个方程得x=15.

经检验得x=15是所列方程的解.因此，x+5=20.

答：甲的速度是15 km/h，乙的速度是20 km/h.

此题中列方程要用到的等量关系②甲行进15 km的时间（t甲15）=乙行进20 km的时间（t乙20）没有明确表示出来，是隐藏于题目内的，需要认真地理解题意，并要借助行程图才好找.

列方程解应用题的一般基本步骤为：

（一）审题（主要完成如下三方面的工作）：

1.分析条件（对条件要进行归纳分类），认真理解题意，弄清题目中事件发生过程及各个量之间内在联系，可借画“s、v、t”表格帮助理解.

2.明确已知量和未知量.

3.找出等量关系，每个等量关系只允许用一次.

（二）解题的实施：

1.设未知数（或称设元）.

2.根据等量关系列出方程（组）.

3.解方程（组），并检验.

4.答.

学生列方程（组）解应用题的困难主要来自如下三方面：

第一，审题没有养成习惯，对文字图形理解能力低下，缺乏生活实践知识，根本弄不清题意，有的虽然审题，但审题缺乏逻辑性和系统性.其突出表现在于对审题的基本要求是什么不明确，对题目中的条件不习惯于归纳分类.因而，造成考虑问题不是全局化、透彻化，而是孤立的、表面地理解条件，甚至遗漏条件.

第二，用代数式表示各种实际问题中的量、解方程（组）等与基础知识脱节，比如，弄不清楚销售中的销售额、标价、售价、本金、利润、利率之间的关系.

第三，不明确（或没注意）列方程的基本标准，列出与实际意义不相符（错误）的方程.我们常常发现学生列出来的方程两边的意义不同，也发现一个代数式所表示的意义混乱，如，把速度与时间相加（或相除）的代数式.

鉴于上述三点，在教学上应采取什么措施以便降低错误率呢？我认为，应注重如下几方面.

1.应坚持系统性原则，可以这么认为，列代数式的训练是列方程解应用题的前奏，故应该全力争取使学生在列代数式阶段能具备较完善的由语言信息转化到数学式子（代数式）的能力，事实上，现行教材已经有足够的内容使之达到这个要求的.就是列方程解应用题本身看，也是分阶段的（如，一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程，二元二次方程等）.在诸多阶段中，应该算一元一次方程的应用题最为关键，若这一关过不好，很难保证今后学习会顺利.因此，教师在整个初中数学教学上应全面考量.

2.要严格审题程序，弄清题目中事件发生过程及其各个量之间内在的联系，这方面教师在平时教学中应落实提高学生的文字理解能力，准确地将文字语言转化成数学语言.

3.明确列方程解应用题的基本要求.主要明确三点：（1）在同一方程里，两边的意义要相同，如不要一边是距离，另一边又是时间；（2）同一方程里的各项的单位要统一，如不要一些是小时，一些又是分钟；（3）方程两边的数量要相等，符合实际意义等.