数学建模没思路范文
时间：2024-01-04 17:44:24
导语：如何才能写好一篇数学建模没思路，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
中图分类号：O29 文献标识码：A
随着全国大学生数学建模竞赛在国内影响力的日益提升，学生参赛的积极性逐年提高，从而对与之相搭配的数学建模的教学提出了更高的要求。在之前国内高校的数学建模教学往往以专设的课程教学为主，这种教学方式无形中割裂了数学建模与其应用学科领域之间的联系，学生在学完数学建模课程往往不知其中的思想和方法如何应用，从而影响了教学效果和数学建模的推广。最近，我国著名的中科院院士李大潜等专家针对数学建模的发展现状，提出数学建模应逐渐由专设课程转变为相关课程的融入教学，改革旧方法，引入新方法，让学生在学习到某一专业领域知识的时候，适时引入数学建模思想，从而达到润物细无声的效果，促进数学建模教学的可持续发展。
1 当前数学建模存在的一些问题
1.1 教师队伍单一
目前很多高校的数学建模教学队伍往往是固定的，虽然对保持建模教学的连贯性和稳定性起到了积极作用，但是也限制了数学建模教学的推广；只有这一部分的老师在其它课程的教学中有条件开展数学建模的融入教学，而对于更多的未从事过建模教学的老师要想进行建模的融入教学，则难以将建模知识点与专业知识进行有效的串接。
1.2 学生队伍缺乏持续性
由于大一学生的数学理论体系尚未完全建立，而高年级学生往往忙碌于考研或者就业，因此对于数学建模竞赛的参赛学生，大部分为本科二年级的学生。对于大部分大二参赛学生而言，参加完一年一度的数学建模竞赛就似乎没有了再参赛的动力，然而恰恰是这部分学生，参加过比赛，有着自己的经验与体会，若能善加引导，例如一方面将自己的经验介绍给新参赛同学，或者通过组队的形式，形成老生带新生的传帮带机制；另一方面若能以此为基础，总结经验教训，继续参赛，则更有可能获得荣誉。
1.3 建模激励机制有待创新
大部分建模指导老师需要持续多个月，甚至牺牲暑假的时间来培养和指导学生参加建模竞赛，付出了辛勤的汗水，然后在学生获奖之后有的老师却面临着尴尬的处境：学校没有相关的奖励机制或者奖励力度不大，一定程度上打击了指导老师的积极性，从而影响到指导教师队伍的稳定性和教学的效果。
1.4 建模教学缺乏创新性
数学建模的教学往往分为两类，一类是正常的专设课程，一类是类似夏令营形式的集中培训。数学建模领域的知识往往分为多个课题，内容分散且专业化程度较高，教学方法一旦不当，轻则影响学习的效果，重则打击学生的学习积极性，因此，要做好数学建模的教学，不仅要出力，还需要取巧，做到因材施教。
2 提高建模水平的一些思考
为了提高数学建模水平，普及建模思想，有必要针对上述问题有的放矢，提出改进的思路以及方法。
2.1 加大队伍引进，倡导“全民建模”
针对教师队伍单一的问题，加大数学建模导师队伍的引入与培养是十分必要的。对于刚刚从事建模教学与指导的老师，通过类似“助教”的形式随堂听课、辅导答疑、指导参赛队伍等不同形式，让新教师尽早度过磨合期，能够独当一面。与此同时，在承担建模教学以及比赛指导任务的学院或系所，应倡导“全民建模”：让每一个老师能了解数学建模，参与数学建模，在自己所从事的专业课教学（例如数学分析）中挖掘数学理论与实际应用之间的关联，让枯燥的数学理论生动起来，让学生切实体会到数学不是无源之水，真真切切领悟到数学的真谛与价值。
2.2 建立学生建模的可持续发展机制
面对大部分学生只参加一次数学建模竞赛的现状，鼓励和动员这些学生再次参加竞赛；这些学生一般都经历过一次建模的暑期集训，经过一次竞赛的洗礼，积累了经验，若不加以利用，在笔者看来就是造成了资源的浪费。问题总是有两面性，若是能吸引这些学生将自己的经验进行分享，例如举办建模经验交流会，并且再次参与数学建模竞赛，形成新老队伍的共存机制，既能形成“传帮带”的良好局面，也能有效提高建模竞赛的获奖率，何乐而不为？
2.3 加大激励力度，提高主管能动性
目前，一些老师对于从事数学建模的教学与指导任务积极性不高，缺乏有效的激励机制是很大的因素。相同的时间，有的老师认为若能把时间花在科研、上，则既有奖励，对自己将来的职称评定也有好处，因此不愿意把时间花在数学建模上。针对这一情况，就要从机制上进行改革，使得从事建模教学的老师能够与其他老师处在同一起跑线上，例如若建模获奖，同样也能有利于自己的职称评定，则相信会有更多的老师投身到这一领域中。
2.4 改进教学思路，创新教学方法
毋庸置疑，教学处在数学建模培训的中心地位，教学的好与坏直接关系到学生参加竞赛的成与败。
（1）案例驱动教学。众所周知，一提到数学课程，大部分人的印象就是满黑板的公式，使得很多学生对数学的学习产生了畏惧心理，在这些学生的眼中，数学成了阳春白雪，似乎与实际没有什么瓜葛。数学建模的教学同样如此，但若是能在教学中，尤其是在专业课程的教学中，针对领域内的特定情况或案例展开建模教学，使得理论与实际得到有效的联系，两者相辅相成，一方面在专业课的学习中领会到建模的精髓，另一方面通过领会建模思想升华对专业知识的理解。
（2）从灌输式转向启发式。数学的教学稍不留意，就会陷入灌输式教学的泥潭，因此在建模的教学中，要时刻注意避免这种方式的教学，多与学生互动，实现交互式教学，避免出现老师在讲台上口若悬河，学生在讲台下云里雾里的尴尬场景。
（3）多元化教学方法。现如今，教学的手段和方式都呈多元化，教学的背景也从单一的黑板转向声光电等多媒体媒介。数学由于其难度大，所以在引入多媒体时，务必要控制好节奏。数学教学使用黑板之所以有时比多媒体效果还好，很大的原因在于节奏没有控制好：黑板在写板书的过程中给学生留下了一定的缓冲与理解时间，多媒体若没注意到这一点，则往往是学生还没来得及理解怎么回事就已切换到幻灯片的下一帧；但是若在使用多媒体的过程中注意到这一点，则相比黑板教学更有效果。
工欲善其事，必先利其器。要想做好建模的教学，好的工具往往能起到事半功倍的效果。目前在数学教学领域可用的教学软件除了常见的PowerPoint、Flash等软件外，对数学符号有良好支持的TEX平台得到了越来越多的关注，在TEX平台上除可基于beamer宏包制作幻灯片之外，还可使用metapost、asymptote等工具画出专业、形象的数学图形，甚至生成可三维任意角度查看、与操作系统无关的pdf格式图形文件，这些都对当前的数学建模教学起到了积极的推动作用。
3 结语
数学建模的教学对于促进素质教育的意义不言而喻，积极做好数学建模教学工作，普及数学建模知识对于目前社会各界培养复合型人才的需求具有重要的推动意义。
参考文献
[1] 吴孟达,,毛紫阳.面向问题的数学教学—谈数学建模对数学教学改革的启示.高等教育研究学报,2011(34):15-16.
篇2
引言
初中数学，可以说是真正接触数学的开始，初中的数学相对于小学数学来说，是完全处在不同的体系中，有好多学生在小学的时候数学是相当厉害，哪怕是每天只知道玩，而花少量时间去学习，都能考上一个很好的成绩，而上初中之后，这种方法似乎不再行得通。据调查，上初中后，数学成绩两极分化状况特别严重，也就是成绩好的就好的不得了，并且他们愿意花大量时间在数学学习上面；而成绩不好的则是根本看到数学就怕，更不愿意在数学学习上浪费半点功夫。究其原因，全归于一个兴趣问题，在中国的这种应试教育的背景下，学生的知识都有那么一点被逼灌输的意思，试想这种教育方式，有谁能不反感，就算有逼出来的成绩，又有谁能去创新发展？要解决这些问题，还要从根本上解决问题，培养学生的数学兴趣，才能让中国数学真正兴起。
一、我国初中数学探究式学习的实践现状
1.学校中依然保持着死记硬背和埋头苦干的学习方式
在教学中，许多教师教给学生们唯一必胜的法诀就是死记硬背，在初中数学中，已经出现了很多定理和公式，这些定理和公式在数学证明或解题中是经常会用到的，在这么多的定理和公式中，要想全部记下是很有难度的，而这些教师大多会鼓励学生多花时间，死记硬背，到时候做题直接套用就行了。然而这样的方式往往会造成应用的时候出现错误，或者一下子难以找出而浪费做题时间。于是这些教师就让学生多做习题，认为只有做多了才能见多识广，才能不惧任何问题。这是我国学校在教学中数学教学存在的普遍现状。
2.国家对初中数学学习做出规定
我国数学《新课标》指出，教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。这充分的说明我国已经开始重视在教学过程中探究式教学的实践了。
二、探究式学习的实践方式
1.把数学带入生活
我们学习数学的目的，不单纯是为了应付考试，更多的应该是很好的服务生活，把数学带入生活，可以加深对数学的理解。例如：当你走路经过彩票店的门口时，你可以对一些彩票的玩法进行一下了解，双色球的玩法是，红色区域是在33个号码球中选择6个，蓝色区域是在16个号码球中选出1个，了解这些之后，我们通过计算就可以知道，大家天天期待的一等奖的概率到底有多少了，一千七百七十二万一千零八十八分之一的可能性，通过这种方式学习数学，不但能够加深对学习的知识的印象，还能培养学生们对数学的学习兴趣。
2.课堂中数学建模的探究
通过建立一个数学模型可以用来解决一类或几类实际问题。开展数学建模的探究活动，可以先结合教学内容，由教师改编设计一些应用问题，在课堂教学中开展探究活动，让学生逐步领会数学建模的思路和方法，为学生开展独立的数学建模活动打好基础。这种教学可以围绕一个数学应用问题进行，也可以安排在一部分知识学完以后，引导学生灵活应用知识，体验数学建模的方法，培养学生的应用意识[1]。
例如：一窝老鼠第一年有5只，第二年增加了10只，第三年增加了20只，到了第五年，这一窝老鼠有多少只？我们可以通过函数知识得出，五年以后的老鼠将会达到155只。（解题过程中，学生们可函数的知识得出经验公式）
3.增加学生在数学学习过程中的动手实践能力
实践始终是检验真理的唯一标准，在教学过程中，老师就算讲的透彻，学生们也只是停留在理论层次，并不能整真正去体会。老师们课外应该带孩子们去参加一些实践活动，培养孩子的动手能力。不如在带孩子们参加学校举行的全校性的集体活动的时候，就可以给学生们好好实践一下统计学。在活动开始前就可以给学生准备好题目，让学生去统计全校人数，初一的人数、初二的人数、初三的人数、教师的人数，初一学生、初二学生、初三学生、教师中没来的人数，在分别算出没来人数的一些比例。
例如：学校师生一共有568人，其中教师55人，初一学生没参加此次活动的有12人，初二没参加活动的15人，初三没参加活动的10人，计算出没来人数的比例，和没来人数中，教师、初一学生、初二学生、初三学生各占的比例。
4.增添上课的趣味性
数学课一般上课都是很烦躁无趣的，若教师照本宣科，学生听来索然无味。在课堂中设计富有情趣、意味和吸引力的问题，能提高学生学习数学的积极性，培养学生对数学的兴趣，让学生自觉的加入到数学的学习中。例如：在几何中，知道长方体的长、宽、高分别是12cm、10cm、8cm，求长方体的面积。老师就可以那一个类似的长方体，把他们六个面的面积算出来再相加，然后用长乘高乘宽乘高的公式再算一边，当得出的结果一样是，学生们对这个了解相对更抽象一点。
篇3
【关键词】高中数学；机智处理；教学问题
错题，在我们的教学生涯中是常见的。一般情况下，老师们对待它的态度：一知错就改，二避而远之。其实，有的时候我们换一种态度去对待它，可能会有意外的收获。
一、发现问题，激发学习兴趣
为培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力，教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程、建模思想。教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化――数学问题――解决数学问题――回答实际问题。具体可按以下程序进行：审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、缜密地阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。？建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。例如，某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，写出该城市人口总数y（人）与年份x（年）的函数关系式：这是一道人口增长率问题，教学时为帮助学生审题，笔者在指导学生阅读题时提出以下要求：（1）粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？解释“年自然增长率”的词义，指出：城市现有人口、年份、增长率，城市变化后的人口数等关键量。（2）细想，问题中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎样的关系？（3）建模，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系，它们是如何解决的？对此有何帮助？学生讨论后，从特殊的1年、2年……抽象归纳，寻找规律，探讨x年的城市总人口问题：y=100（1+1.2%）x。前不久，我在复习资料上发现这么一道错题：已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）=。（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式。（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性。（3）当 为何值时，方程f（x）= 在[-1，1]上有实数解。在解题过程中，我发现：第一问可能很多同学不能求出x=-1和x=1这两处的解析式，甚至会认为题是错的。第二问，至少有两种解法，定义法和导数法。第三问，我先是将其转化成方程，用根的分布的方法解题，发现要考虑的情况太多了，这种方法不可取，想了想，然后改用数型结合的方法，这时问题出现了，不能画出函数f（x）在区间[-1，1]上的图象，原因是f（x）在x=0的地方没有极限值。显然这道题是个错题，然后我翻阅了其他的资料，发现题干中的“-”号应该是“+”号。突然间我想起，德国教育家第斯多位曾说过：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师叫人发现真理”，于是我有个想法：我就把这道错题交给学生，让他们去发现问题，也许会比直接让他们去解收获更大。
我将这道题作为课后思考题交给了学生，并且告诉学生是个错题，让他们找解题方法，和为什么错？当然课后免不了有学生要和我单独探讨一下。
二、设置问题，碰出思想火花
在讲评这道题的时候，我没有采取以往的直接破题，分析，解题，点评的步骤。而是通过创设问题情景将本题的解题思路、解题方法，和错误的地方，该怎么改？一一呈现在学生面前。我提的第一问是：同学们，你们发现问题了吗？许多同学都自信满满的大声说道：“是不是求闭区间[-1，1]上的解析式应该改为开区间？”已经通过我点拨的同学根本不给我机会，反对道：“不是”。并且主动要求：“老师，这个问题我来给同学们讲”。我微笑示意，现在交给你表演了，他很自信的走上讲台，发挥得非常的好，同学们都恍然大悟，兴奋之余还不忘送上热烈的鼓掌。第二问：“那是那里错了呢？会是第2问吗？”这会儿不得了，反对我的同学很多，纷纷要求发言，一副要教我怎么做的表情，当然我不会打击他们的积极性，顺势我就问第三问：“如果你认为没错，那请大胆的说出你的解法？”他用定义法给同学们，还有我，证明了第2问，步骤非常的完美。教室再次响起了久违的掌声。掌声刚落，有位同学发言了，“你太落伍了，还用定义法，导数法不是来得更快吗？”他开始滔滔不绝起来。同样的赢得了同学们热烈的掌声。就这样第二问的两种解法，猴孩子们都一一的呈现了出来，我也是兴奋不已。
篇4
【关 键 词】鸡兔同笼；假设法；教师评价
中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1005-5843（2012）02-0156-02
在一节小学三年级数学课上，老师正在讲鸡兔同笼问题。她先向学生出示了题目：笼子里有一些鸡和兔，每只鸡有2条腿，每只兔有4条腿，它们一共有8个头、26条腿，问这个笼子里鸡、兔各多少只？
一名学生很快举起手，老师就让他把计算过程写在黑板上。学生的列式为：5×4=20（条），3×2=6（条），20+6=26（条），并解释道：“5只兔一共有20条腿，3只鸡一共6条腿，那么鸡和兔一共26条腿，所以有5只兔，3只鸡。”
老师停顿了片刻，对学生说：“用未知求已知合理吗？”学生一脸茫然，没有吱声。老师只好自己回答：“这样不合理，下面我们就一起研究怎么做这道题。”接着就开始在黑板上画表格，希望学生用列表法来解题。这名学生的计算为什么会被老师贴上“不合理”的标签呢？老师的看法是否就非常合理呢？以下从几个方面进行分析。
一、学生解题思路的实质――假设法
从题目本身来看，教师往往认为“8个头、26条腿”是已知条件，而鸡、兔的只数未知。在解题时一定要遵循用上个题目中的已知条件，通过列式求出未知量的普遍思路。因此，在教师看来，学生列式中所出现的“5”和“3”纯属无中生有硬造出来的量，自然不合理。然而，学生却未必如此理解。通过分析这个班所有学生的解答过程，发现62％的学生都采用了类似的方法，因而有必要思考学生如此作答的原因及这种思路的实质。
学生从题中能够读出：鸡和兔共有8个头、26条腿，但它们各自的只数未知。为解决问题，学生也许会这样想：如果确定了鸡和兔其中一种的只数，另一种的只数也就确定了。于是假设如果有5只兔，那么就有3只鸡。5只兔有5×4=20（条）腿，3只鸡有3×2=6（条）腿，一共有20+6=26（条）腿，刚好和已知条件“鸡和兔共有26条腿”相一致。所以假设成立，即有3只鸡、5只兔。当然，也有一部分学生没那么“幸运”，假设的鸡或兔的只数与上述假设不同，求得的鸡和兔的总腿数不是26条。
通过对学生追问还发现，学生并不认为假设的“5只兔”是未知量。有学生这样说：“我认为有5只兔，那就是有5只兔”，显然他已把兔的只数看成已知量了。既然有5只兔，那么就有3只鸡。接下来，鸡兔的腿数可求，总腿数也可求。最后将求得的腿数与已知的总腿数进行对比、检验就可以了。
这样就不难理解了，学生解题思路实质上是运用了假设法。他们将自己假设的鸡、兔的只数当作了已知量，将鸡和兔的总腿数当作未知量来计算。而案例中的教师没有充分理解学生这种解题思路的实质，也就没有看出它和接下来要讲授的列表法、画图法之间的关系，所以就将这种解答方法纳入“不合理”的范围了。
二、用未知求已知的合理性
在鸡兔同笼问题的教学中，教师大多使用列表法、画图法进行讲解，以求清晰直观地呈现出假设的步骤，使学生初步理解运用假设法的优点。此外，这类问题还可以设未知数，列方程解答。那么，学生的列式中显现的假设思路与这些常见解题思路之间有什么关系？这种用未知求已知的思路是否具有合理性？以下分两方面进行阐述。
（一）从假设法的角度理解
教师在使用列表法、画图法讲解时，绝对不能丢掉的词就是“假设”或“如果”。这说明表格和示意图是用来体现假设思路的形式，假设则是解题思路的实质。显然，不能只注重对形式的认同而忽略对实质的深层挖掘和理解。
教师用列表法先假设8个头全是兔，发现总腿数比实际多，逐步减少兔的只数，增加鸡的只数，直到假设全部是鸡为止，分别求出相应的总腿数，找到满足已知条件的答案（具体列表过程略）。
可见，在这里列表法是以假设法为前提的。在鸡、兔只数逐渐增加与减少的分析过程中，可以培养学生有序思考的能力，这种有序推理为学生从具体形象思维到抽象逻辑思维打下一定基础。同时，列表法也体现了从未知到已知的过程，即通过假设，把未知（鸡兔只数）当作已知，推理总腿数直至符合题意（共26条腿），再确定未知（对应的鸡兔只数），得到正确答案。这种算术法借助假设增加辅助信息，逆向解决了问题。[1]
画图法也是在假设的基础上进行的。教师先画8只兔，说明她假设笼中全是兔（每只身上4条腿）。与列表法相似，由于总腿数比实际多，所以要逐渐减少兔的只数增加鸡的只数（即每只兔减少2条腿），直到总腿数与已知条件相符，则答案确定。（示意图略）
列表法与画图法方法虽然形式不同，但本质都是假设法，这与学生直接假设5只兔3只鸡没有本质差别。解答时运用假设增加辅助信息，实质是通过把未知当作已知推理符合题意的数量关系再求得未知的过程，是从未知到已知的过程。
（二）从方程的角度理解
方程思想是重要的数学思想，它的核心体现在建模思想和化归思想。其中建模思想的本质就是用等号将相互等价的两件事情联立。[2]本题使用方程法解通常分以下步骤：先设一个或两个未知数，根据已知建立等量关系式（列方程），再利用等式性质（方程的同解原理）通过变形求出符号代表的数值（解方程）。（参见表1方程法一、二过程）。它将生活中的问题用数学模型表达，体现了高度的抽象性。对比学生的解答不难看出，学生假设的5只兔对应方程法中的x，3只鸡对应（8-x）或者y，推理总腿数对应方程同解变形（参见第三步），这说明学生已经在形式上体现了方程方法的踪迹。
在内容上，学生解答中的26与方程法中的26表达的含义不同。学生写的26是在假设的前提下求得的总腿数，如果假设的数据不同结果可能不同，方程法中的26是已知条件不会随意改变。可见，学生用的仅是计算的一种方法，还没有真正体现代数方法中用等号连接等价事物的建模思想。当然，从算术法到代数法还要经过很长的学习过程，如此解答是符合学生认知规律的。
方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。[3]这种等量关系的建立是通过设未知数把未知当作已知来表达的，再通过解方程求得未知。所以，从未知到已知的探究问题具有一定的合理性。
三、教师指导的针对性
教师在进行评价时，不能只简单地判断对与错，要发现学生言语背后所表达的意思，找到它的合理性，再进行引导与提升。案例中老师希望要传授的列表法、画图法和方程法与学生“凑数”的方法本质是一致的。教师如果认识到这一点，完全可以由学生的论述深入挖掘，引出不同形式表达同样的数学方法之一核心。还可以进一步进行对比，找到各种方式的优缺点引发一个择优的过程等等。只有充分理解学生的想法，并辅以针对性的评价与指导，学生才能体会到数学内在的、深刻的美，才会真正乐学、爱学。
参考文献：
[1]曾小平,刘长红.谈谈算术与代数的本质与区别――兼答“算术法和方程法那个重要”[J].小学教学,2011(11).
篇5
一、在动静交替的感官经历中积累操作经验
数学是抽象性、逻辑性很强的学科，小学生的思维正处于由具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段。小学数学教学必须在数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间架起一座桥梁。这座桥梁就是动静交替的感官经历，即学生的手、口、眼、脑等多种感官参与到操作活动中来，不仅有行为的动，更有思考的静（表面是静，实际思维也在动）。教学中，只有组织全体学生利用多样的操作介质经历不同的操作过程，学生才能真正积累、形成操作经验。操作经验的形成离不开教师的设计和指导，为帮助学生积累丰富的操作经验，教师除了要选择恰当的操作材料外，更应精心设计操作的程序。实践中，我们总结出以下两种程序。
1.动为先导，以动促思
儿童是在动作中思考的，其直观动作思维也被称作“用手思维”。数学的学科特点与儿童思维的特征具有一定的相似性，这就决定了小学数学教学的动手操作活动，同样是学生智力活动的重要源泉，也是学生积累直接经验的重要途径。多数的数学教学是从学生的动手操作开始的，并在动手操作的基础上引导学生思考、交流和发现新知。
【案例1】苏教版二年级上册（下面的案例均为苏教版）“认识平均分”
在帮助学生形成“平均分”的概念时，教师安排了这样三次操作活动：
（1）任意分6个桃子，初步感知平均分：有的是平均分，有的不是。
（2）平均分8个桃子，建立“平均分”的概念：每份同样多。
（3）平均分12根小棒，深入理解平均分：总数一样，份数越多，每份数越少；每份都是同样多。
平均分概念的形成离不开分物体的操作活动。怎样组织“分物体”的操作活动呢？教师并没有将教学停留在“分”的动作层面，而是借助学生分的动作不断将思维引向深处：在三次操作活动之后都对“平均分”进行交流、反思。这样就将学习过程中的操作活动和智力活动变为思维的对象进行反省，帮助学生将操作经验进行优化。
2.静为先导，以静带动
学生的操作是一种定向的心智活动，其方向决定于数学目标，其过程要有利于揭示概念的本质和知识间的内在联系。所以，在学生操作前应安排一个思考的环节，其功能，一方面是完成操作的内部动因；另一方面是建立活动的定向映像，使之成为操作过程的导引与调节系统，也就是让学生带着问题去操作，即先思再做。
【案例2】二年级上册“乘法的认识”
为了解学生是怎样理解乘法的，可先让学生画图表示4×3。在两个班级我采用了不同的教学方法：第一个班级，学生没有思考就直接画图，全班有30.8%的学生用第一种画法来表示，有69.2%的学生用第二种画法来表示。第二个班级，要求学生先想一想4×3表示什么意思，再画图表示4×3。用下面三种画法表示的人数分别占5.9%、84.3%和9.8%。
第一种画法：
第二种画法：
第三种画法：
用画图的方法来表示乘法算式的意义，对于学生来说是有一个富有挑战性的操作活动。由两个班级对同一内容的操作对比可以看出：在思维引导下的操作才是有效和富有创造性的。
二、在出入穿梭的高峰体验中积累探究经验
在小学数学中，探究经验集中体现在形成概念的经验、发现规律的经验和推理的经验，即在概念形成、规律总结和逻辑推理等活动中积累的经验。形成这些经验的重要途径之一就是“体验”：让学生在高峰体验中体会、回味、总结、提升探究经验。
1.进入冲突情境，点燃探究热情
学生是学习的主体，其对于数学活动的参与态度与参与程度直接决定了数学基本活动经验的获取质量。教学中首先要带领学生进入真实、有趣、富有认知冲突的情境之中，激发学生对数学活动的兴趣，引发学生的探究热情，调动学生积极参与探究活动。
【案例3】三年级上册“认识周长”
周长概念的引入，教师创设了“懒羊羊每天绕操场跑一圈”的情境：第一天，懒羊羊没有完全沿着边线跑，而是跑到了操场的里面；第二天沿着操场的边线跑，但是没有跑到原来出发的地方；第三天沿着边线跑，正好回到出发的地方。
关于“周长”概念的教学，多是从故事情境切入，如蚂蚁绕树叶爬行、小鸭子绕游泳池热身等。这些情境尽管富有童趣，但仍无法激起学生探究的兴趣。究竟什么样的情境能够激活学生已有的生活经验，进而点燃学生的探究热情呢？相对于蚂蚁爬树叶、小鸭子绕游泳池热身而言，“绕操场跑步”更贴近学生的生活现实，“绕操场跑步”的生活经验在“懒羊羊体育锻炼”的儿童化情境中得到放大，学生的探究热情被点燃，在三次锻炼的过程中，生活经验与数学本质的冲突逐步加深，学生从正反两个方面深刻体验到“周长就是一周边线的长度”。
2.超脱冲突情境，反思探究路径
学生在学习新知识之前，头脑中并非一片空白，而是具有不同的原有认知结构，学生总是试图以这种原有的认知结构来同化对新知识的理解，当遇到不能解释的现象时，就会打破之前低层次的“平衡”产生新的“冲突”，通过“冲突”的不断化解又会实现新的平衡与发展。在认知的二次平衡或多次平衡之后，教师应该引导学生及时跳出问题情境，反观探究的路径和方法，进而提升学生的探究经验，使得探究经验明晰化和系统化。
【案例3】三年级上册“认识周长”
教学完周长的意义后教师组织了一个层次递进的探究活动。
（4）比较这两个图形，说一说自己的发现：用不同方格数拼成的图形，它们的周长可能相等。
（5）激疑：用相同方格数组成的图形，它们的周长是否一定相等呢？
（6）操作验证：以6个方格为例，在方格图中画出图形验证这个猜想。
（7）回顾反思：我们刚才是怎样得到这个发现的？
上面的探究活动学生经历了三次认知冲突：第一次是3个方格拼成的图形，它们的周长并不是3个方格周长的总和；第二次是用不同方格数拼成的图形（3个方格和4个方格），它们的周长可能相等；第三次是用相同方格数组成的图形，它们的周长不一定相等。在这三次认知冲突中，学生一次次打破认知平衡，一次次建构新的认知结构。最后的回顾反思环节，是对三次冲突的梳理和总结，更是对探究路径的梳理和提升。
三、在丰简变换的问题解决中积累应用经验
应用经验主要是指运用数学知识和技能综合进行巩固练习的经验、问题解决的经验。这里仅探讨问题解决的经验。
数学问题解决的过程与数学建模的过程具有很强的相似性，学生形成应用经验的途径之一就是经历数学建模的过程：理解现实问题情境——简化并结构化所描述的情景——将被简化的现实情景翻译为数学问题——用数学手段解决所提出的数学问题——根据具体的现实情景解读并检验数学结果。与此相对应的认知过程为：问题表征——模式识别——知识迁移——思维监控。其中，问题表征和模式识别对于应用经验的形成具有极其重要的作用。
1.简中求丰，表征问题
问题表征是指根据问题所提供的信息和自身已有的经验，发现问题的结构，构建自己的问题空间的过程。这个过程既是对问题的理解和内化，也是对问题理解的一种解构。
解决问题的教学如果仅仅关注问题的答案，就显得过于简单了，因为简单的问题中常常蕴含深刻的数学规律和数学思想方法。因此，教学应该从简单入手，将简单的问题进行丰富化处理，即扩大问题表征的时空，经历问题表征的过程，积累问题表征的经验。
【案例4】二年级上册“求比一个数多（少）几的实际问题”
在巩固练习阶段，教师先是安排了教材“想想做做”的第1、2两题。
在读题后并没有让学生动手解答，而是提出新的要求：如果画图来表示两个小朋友走的格数，你想怎样画呢？引导学生逐步完成。
在此基础上，引导学生说出直条图的意思，使学生认识到由这个直条图不仅可以清晰地得到信息，而且还可以清晰地看出刘芳走了多少格。
下面的图你能看懂吗？把你理解的题意说给同桌听一听。
本节课仅从知识的角度看，教学的内容比较简单，但教师并不是着眼于知识的教学，而是注重数学活动经验的积累——问题解决中“表征问题”经验的渗透和指导：线段图是数学问题常用的、重要的问题表征形式之一。苏教版教材第一次出现线段图是在三年级上册。这节课出现直条图（线段图的直观形式）就是在简单知识中进行自然渗透，显然，这样的教学形式更为丰富和深刻。
2.丰中求简，识别模式
模式识别是一种知觉过程，当人们能够确认他所知觉的某个模式是什么，而且将它与其他模式区别开来的过程就是模式识别。在数学应用中，模式识别是指对数学模式的再认识。在数学问题解决中，具有共同结构的一类问题或者具有相同解法的一类问题就是一种模式。因此，要帮助学生形成识别模式的经验，就要让学生在丰富的问题中通过比较找出相同的特征，并用简单的模式来表达这种相同特征。
【案例5】二年级下册乘法练习十二
8.修一条800米长的水渠，已经修了7天，每天修84米。还有多少米没修？
9.（1）冬冬看一本75页的故事书，第一天看了20页，第二天看了22页。还有多少页没有看？
（2）冬冬看一本75页的故事书，已经看了3天，每天看20页。还有多少页没有看？
教学第9题时，学生读第（1）小题后正准备解答，教师提示：这一题与前面的哪一题在解题方法和解题思路上是相同的呢？解答后再比比、想想：它们为什么会有相同的方法和思路？
同样，在教学第（2）小题的时候，同样启发学生这样思考、解答、比较。
最后引导学生比较、总结：这里的四道题其实就是两类题，尽管每一类题目表述的内容和数量不一样，但它们在解题思路和解题方法上都是相同的。这就提醒我们，在解决问题的时候，我们先想想它是属于哪一类的问题，再按照相应的思路和方法去解答。
数学是使人聪明的学科，模式识别是使人变得聪明的灵丹妙药。上面的教学，教师不只是带着学生解答四道题，而是在前两题的基础上，引导学生先思考要解决的这个问题与刚解决的哪一题在解题方法和思路上相同，这个思考、比较的过程就是模式识别的过程。正确识别了模式，比解答几十道题都有价值。因为模式是简单的，问题是丰富的，在以简驭丰的过程中学生识别模式经验将逐步形成。
篇6
关键词：小学计算教学；算理；算法；强化练习
当我们碰到一节计算课的时候，我们该从哪些方面进行思考？根据每个人的教学经验和水平不同，每个人思考的角度都会有所不同。下面结合自己的教学实践谈一些粗浅的思考。
一、算理的强调是必须的，但算法的指导不可缺少
我们应在计算教学中使学生在理解算理的基础上，建立“运算”意识，自主发现计算法则，在算理直观与算法抽象之间架设一座桥梁。如，教学一位数乘两位数进位乘法24×3的过程中，学生在教师的引导下经历了摆小棒的过程，理解了竖式中为什么要向前进位的道理，即：满十进一和满几十进几的问题。为学生笔算乘法的计算法则奠定了基础。摆小棒作为理解算理的一种方式，呈现目的是为学生计算法则的运用建立表象，而学生对计算法则的归纳是为以后按照这种特定的规则进行计算，并将这种规则类推到三位数乘多位数、多位数乘多位数，最终形成计算法则。
二、算法多样化的倡导是应该的，但算法的优化不可缺少
算法多样化的提出是为了改变只重结果，不讲过程，要求在课堂上展示学生的个性化思维，在此基础上引导学生优化，自主构建数学模型。例如，有一个教学片断：“师：20+10你能解决吗？把你怎么想的与同桌交流一下，不会的可以用小棒。生1：把20当作2，把10当作1，2+1=3，所以20+10=30。生2：20+10=30，30-10=20。师：有没有小朋友是摆小棒的？生：没有。师：谁愿意带着你的小棒摆给小朋友们看看？（指名一生操作演示）师：还有其他方法吗？生：10+20=30。师：10+20=30你是怎么算的？生：用小棒摆。师：还有其他方法吗？学生摇头。师：你们看看20里面有2个10，10里面有一个10，2个10加1个10等于3个10。”教师在课堂上也竭力体现算法的多样化，不停地问：“你还有其他方法吗？”“有没有用小棒摆出来的？”结果学生不知从哪个角度去寻找老师需要的答案，学生的学习热情在教师的声声追问中消殆，课堂出现冷场的尴尬。也有教师反映：像13-9这样的计算，没教以前，学生一看到算式就能很快地算出得数，学了多样化的计算方法后，计算速度反而慢了。
为什么学生想不出来多样化的计算方法？为什么算法多样化会出现上述的负效应呢？我想这也许与现在孩子相对良好的学前教育有关。很多学生早已对一年级的简单计算有所接触，他们学习的真实起点远远高于逻辑起点。从心理学角度来说他们已经从数学建模阶段进入了提取数学事实阶段。如果学生思维已经进入了高一层次，再一味要去多样化，就像让他们从四楼回到二楼，这不应该是我们所需要的课堂教学。
三、强化训练意识，优化训练方法
1.加强口算训练
口算是笔算的基础，是训练思维敏捷性的良好手段。实际生活中的计算问题大部分运用口算解决。口算既是笔算、估算和简便计算的基础，也是计算能力的重要组成部分。
每天的数学课堂上，教师要舍得拿出时间进行口算练习，持之以恒，常抓不懈，每天练的数量和类型教师要心中有数，由少到多，由易到难，由慢到快。做到有目的、有计划、有步骤地进行，基础性内容的口算十分重要，它是其他计算的基础。
2.培养学生简算意识，加强简算技能训练
在计算题教学中必须重视简便运算，注重简便\算灵活的思路学习，正确理解简便运算的含义，合理进行简便运算，使学生思维能力得到提高。
3.加强记忆训练
有些数在试题中出现的次数特别多，它们常常是进行快算的基础，如果每次都要动笔计算，既麻烦，又易出错，对于这些数要求师生要熟记。实践表明：如果学生能熟记一些常用数据，在四则运算中，则能较好地掌握解题的方法，使学生能更准确、快速而灵活地计算。
4.加强纠错训练
学生计算随时会出错，教师要适时适当地把这些错解抄在黑板上，组织学生找准错因，并及时纠正。对这些易错的地方，教师必须花大力气，给学生讲清算理和算法。我们可以建立错题库，设计各种易错题，让学生进行针对性练习，以进一步巩固新知。
5.加强训练形式的变化
机械重复，学生会感到枯燥乏味，针对班内学生水平参差不齐的情况，对练习可进行开放性设计，分别设计几个层次的练习，让学生根据自己的水平和爱好选择适合自己的作业，让学生享受到成功的乐趣。
提高学生的计算能力不是一朝一夕的事，但只要我们教学得法，坚持训练，学生攻克计算关的日子一定为期不远。
参考文献：
篇7
关键词：测试准则；EM算法；测试用例复杂性；软件可靠性模型
中图分类号： TP311
文献标识码：A
0引言
随着软件应用的日益广泛及重要性的不断增强，人们对软件质量的要求也越来越高。可靠性作为衡量软件质量的重要特性，其定量评估和预测已成为人们关注和研究的焦点。软件可靠性模型作为可靠性评测的核心和关键，可用于软件生命周期的不同阶段，定量地估计和预测软件可靠。一个好的可靠性模型可以准确评估和预测软件可靠，这对于软件资源分配、软件市场决策有着重要的意义。オ
软件可靠性模型这一领域的研究在 20 世纪 70 年代获得较大发展后，很多可靠性模型已经投入使用。可以说，软件可靠性模型已从研究阶段发展到了工程阶段。但是，面对软件自身及其开发过程日益复杂的情形，它仍然呈现出其自身的不足。 首先，在软件可靠性建模方面，传统的软件可靠性模型主要是从时间域和输入域两个方面来考虑软件缺陷发生的概率或缺陷总数，很少从缺陷自身的因素论述；其次，在软件可靠性建模过程中，基本上是根据测试结果直接来推导模型，很少关注软件测试的设计过程；最后，在适应性方面也存在着一定的缺陷。
鉴于此，要想建立比较适用的软件可靠性模型，必须改变传统可靠性建模思路，采用新的观点、方法和新的数学工具来研究软件故障过程。论文将测试用例的设计融入到软件可靠性建模过程中去，在充分考虑软件缺陷影响因子和复杂性等因素基础上，采取合适的数学处理方法构建出一个基于测试用例的软件可靠性模型，并结合EM算法对该模型的可靠性作了验证。该模型不但考虑了失效出现的概率，还考虑了失效后可能产生后果的严重性。
论文主要工作如下：(1)根据等价类、边界值等方法来设计测试用例模型；(2)在一定假设的基础上，通过观测数据推导出测试用例的可靠性并得出相应的软件可靠性；(3)利用EM算法对软件可靠性进行相应的检验。
1测试用例模型的构建
测试用例的设计是软件测试过程中最为关键的一个环节，一个软件测试成功与否与其测试用例设计成功与否有很大的关系。所谓测试用例，也就是为特定目标开发的测试输入、执行条件和预期结果的集合。也可以说是对软件运行过程中所有可能存在的目标、运动、行动、环境和结果的描述，这些特定目标可以是验证一个特定的程序路径或核实是否符合特定需求。而测试活动要建立必要的前提条件，提供测试用例输入、观察输出，然后将这些输入和输出进行比较，以确定测试是否通过测试某个程序路径或何时满足软件规定的要求。简言之，测试用例就是设定输入数据，运行被测试函数，然后判断实际输出是否符合预期结果。
通常造成软件缺陷的主要原因有：(1)软件设计文档规范不一；(2)测试用例设计过程中引入了人为的错误；(3)测试执行后，复杂的决策条件、循环和分支的覆盖率目标并没有达到等。而一个完整的测试应该包含正面测试（Positive Testing,PT）和负面测试（Negative Testing,NT）。正面测试是验证程序应该执行的工作，而负面测试是验证程序不应该执行的工作。只有面面俱到，才能保证测试的充分性。要想保证测试用例设计质量，必须遵循四个原则：(1)测试准则，每个测试用例应当有一组有限可枚举的待测目标的判定准则；(2)测试用例输入域的划分和输入点集的提取；(3)测试目标的复杂性问题，应尽量化复杂为简单；(4)对测试用例进行测试的力度，就是在特定输入条件下进行测试的细分程度和测试的次数。在黑盒测试中，不可能采取穷举式测试。只能选取输入域中有代表性样本点来运行程序，然后通过程序运行的结果（成功率或失效率）来推断出软件可靠性。综上可知，一个好的测试用例既要有完善的输入域也要有代表性的输入点集。
输入域主要来源于需求规格说明、程序观察和额外的属性规约。假设D表示输入域，S表示规格说明，P表示程序观察，T表示额外的属性规约。则输入域可表示为：D=S∪P∪T。其中额外的属性规约主要是指规格说明中没有但满足负面测试或可能用到的那部分数据。
输入点的选取对软件测试来说也是至关重要的，为了确保输入点集选取的客观性，特采取有选择性随机输入的方法。其大体过程分为两步：
1) 提取测试用例的边界值点，构成集合T1;
2) 在每个相邻边界点中选取n个点进行测试，其中选取测试点个数由测试人员根据具体情况而定，关于相邻边界值点间测试点的选取通过高斯随机函数产生。即：
其中ij表示输入点，n表示选择点的个数，σ表示所选取点的方差，Id表示所选取点。
根据上式所得到的Id构成了集合T2。则测试用例的输入域D=T1∪T2。根据边界值和等价类相结合的方法将输入域化分成L个子区域。即D=(D1,D2,…，DL)。
2测试用例可靠性评估
2.1基本概念
软件可靠性模型通常分为三种：时间域可靠性模型、输入域可靠性模型和混合可靠性模型。实际上，软件黑盒测试的过程是从输入域着手，反复有选择性地随机抽取输入点集，通过观察其输入和输出之间的映射关系得出其可靠性。下面给出一些测试过程中常用到的概念和度量。
定义1测试准则：测试准则是关于一组有限可枚举的待测试目标（待测试的软件部分）的判定规则，如果测试通过了判定规则的判定，则认为达到了测试准则，否则就没有。假设i表示输入数据，且i∈D，output表示输出数据，也就是说如果输入数据i满足output=f(i)(i∈D)，就认为达到了判定准则，否则就没有。
定义2测试子域：把测试用例的输入域D按照上述二个步骤划分成L个互不相交的子域D1,D2,…，DL，即D=D1∪D2∪…∪DL，且Di∩Dj=(i≠j且i,j=1,2,…,L),则Di称为测试子域。
定义3测试可靠性因子：为了更好的判断输入和输出是否满足映射关系，特此引入功能性可靠因子c，其中c=1或c=0。当c=1时，表示输入和输出符合其映射关系；当c=0时，表示输入和输出不满足其映射关系。
定义4缺陷影响因子：不同的缺陷对软件可靠性的影响不一样。通常测试人员将缺陷分为如下几个级别：致命、严重、一般、轻微、建议。对应不同的级别应给予相应权重来描述它，以表示它对测试结果的影响。其中缺陷影响因子用γi表示，这里i=5，表示5个级别。根据经验可设γ=(10,5,2,1,0.5)。
软件就好比一辆汽车，不同的缺陷、故障（缺陷因子不同）会产生不同的结果，就像座位和车刹的故障一样，同样是缺陷，但产生的结果不同。作为软件的可靠性来说，应该把缺陷因子考虑到其中，这样才能更好地度量和评价软件可靠性。
假设输入i产生缺陷的概率为P(i)，其中i∈D，根据定义3可将c表示为i的函数c(i)，它满足c(i)=1或c(i)=0，根据定义4可将缺陷影响因子γ表示为i的函数γ(i)。则测试用例的可靠性可用(1)式表示：
2.2测试用例的可靠性评估
在软件测试可靠性评估领域，所有的结果都是在一定假设条件下产生的，不论是JM模型、Musa模型或者NHPP模型，都是在一定的假设基础上进行的。
根据等价类原理可知测试向量所产生的缺陷在各个子域内出现的概率是均等的。同时，软件的复杂性在观测数据矩阵中也得到了很好的体现。根据等价类原理，可以计算出相应的可靠性模型。
推论1对任意一功能点进行一次有选择性的随机测试，其可靠度可表示为：
其中γi表示第i个缺陷影响因子，c/ij表示观测结果。
证明假设对任意一个功能向量F进行测试，其输入点集为：
根据其映射规则，通过定义3可以得出一组相应的矩阵C。它可表示为式(2)。
根据定义4可知每组输入可能产生5种等级的缺陷，而每种等级的缺陷对软件可靠度造成的影响是不一样的，因此可把矩阵C分解成一个新矩阵C/，C/中包含了5种缺陷影响因子的信息。由于论文主要是计算软件的可靠性，在定义3中已规定当输入和输出满足映射关系时，c取1，否则取0。所以C/表示式(3)。
根据矩阵C/和(1)式可以得出软件无缺陷运行的概率如(4)式所示。
根据(4)式可推知缺陷影响因子为γi的发生概率Pγ为：Pγ=1－PFi，从而可计算出软件可靠度RFi如式(5)所示：
推论2测试用例在无缺陷下运行的概率为：
证明测试向量F1,F2,…,Fn相互独立， 则可推出测试用例F的可靠度为各个测试向量可靠度的交集，表示为(7):
据推论1知测试用例的可靠度Rc=∏ni=1RFi， 从而可得出测试用例在无缺陷下运行的概率为
3软件可靠性评估
3.1最大概率的EM算法
在文献［5］中论述了EM算法在假设检验中的应用，本文将该方法引申到软件测试可靠性评估计算上。
假设输入点集为I，通过输入和输出的映射函数关系，观测到I服从概率分布Pd(I)， Id。随机变量I只是观测数据的一部分，假设A表示与I有关的随机事件，即A={R(I)>Rα}，R(I)表示通过随机输入I观测到的似然统计量，Rα表示测试人员的期望值，且Rα∈［0,1］。这里所要求的是最大概率sup{Pd(A):d∈D0}，这里D0是D的子集。在假设检验中，最大概率可以是真实的检验水平，也可以是犯第1类或第2类错误的概率。
EM算法是用来求解似然函数最大值点的工具，所以，如果能够将概率Pd(A)看成似然函数的值，则可以利用EM算法得到最大概率sup{Pd(A):d∈D0}。
EM算法的基本步骤：
设f(y|d)是Y的概率函数。从一个初始点d∈D开始，则寻找sup{Pd(A):d∈D0}的算法由下面的两步迭代而成(t=0,1,…)：
E步：给定现在的值d(t)后，对未知的对数似然函数l(d|Y)=log f(Y|d)求条件期望：
M步：最大化函数Q(d|d(t))，求取最大值点d(t+1)作为下一步迭代的值，即使得：
3.2基于测试用例的软件可靠度检验
软件测试是一个反复测试的过程，一个测试软件包含多个测试用例，各个测试用例之间的关系是相互独立的，假设测试软件P包括m个测试用例，并且对该软件进行了k次测试，根据推论2可计算出一个关于测试用例的观测数据矩阵R如(8)式所示：
其中Rij表示对第i个测试用例进行第j次测试所得到的结果。其中经过k次测试后，每个测试用例的可靠度可以取其算术平均值作为最后结果，其结果可表示为式(9)。
根据(8)、(9)式可推导出测试软件P的最终矩阵表达式为式(10)：
下面利用R={R(c)1,…,R(c)m}对软件可靠度RP进行检验。检验的问题是：
这里的RP表示测试员或者软件使用者对软件可靠度的期望值，如果测试软件可靠度大于该期望值，则认为测试软件的可靠度达到要求，否则，认为没达到要求。根据式(8)可推出软件的可靠度的极大似然估计为式(11)。
对于给定的检验水平α，假设A={R^p>Rα}，通常的检验方法应该选取R尽可能的小，对给定的水平α，其中临界值Rα可以表示为式(12)。
通过上文分析，可得出RP的对数似然函数为式(13)。
其中，c是一个与Rij无关的常数且c=－m log k。
给定(R1,…,Rm)的一个初值(R(0)1,…,R(0)m)，则在已知l步迭代后，EM算法的E步是：
EM算法的M步是在RP=R1…Rm=RP下求出Q(R1,…,Rm,R(l)1,…,R(l)m)关于(R1,…,Rm)的最大值。其中可以利用Lagrange乘子法得到最大值点为R(l)ij=R(l)ij+λ,其中λ是方程∏mi=1∑kj=1(R(l)ij+λ)=RP的解。
这样可得到一个序列{(R(l)1,…,R(l)m),l=1,2,…}。根据EM算法的一般原则，这个序列使得R(l)P{R^P>R}是单调不减的。如果初值选得适当，则方程也收敛得较快。
4试验模拟
软件可靠性模型主要是改进软件开发过程和软件可靠性的度量。基于测试用例的软件可靠性评估模型是根据在在改善测试用例设计过程中通过对失效数据进行建模,并且通过EM算法来求其最小置信下限，真实地描述了软件失效特征，理论上具有较高的预计精度和较好的适用性。
4.1测试用例可靠度计算
下面给出一个有关登录原为：登陆系统的测试用例试验数据，该用例包括3个测试向量，即，Fc={F1,F2,F3}，根据定义4将其按照缺陷等级分成5个类别，其相关测试数据见表1。
缺陷因子对软件本身的影响的情况下可计算出功能向量的可靠度RF=［0.9415,0.9658,0.962］和测试用例的可靠度Rc=0.9564。从测试结果来说，用户和测试人员更容易接受包含缺陷影响因子的测试结果。
4.2适用性评价
本文所给出的软件可靠性评估模型是基于数据域的基础上提出的，而Nelson模型是数据域软件可靠模型的代表。文章通过对上述登录原为：登陆系统的模拟，得出了一组关于Nelson模型、传统算法和基于测试用例模型的试验数据（本文所提出的模型用TC模型表示）。
篇8
（1）需要较好的数学演算推理能力。例如概率论、傅立叶变换、卷积等数学知识在通信系统的理论推导中会频繁的使用。
（2）需要较好的逻辑思维能力。通信理论较为抽象，学生很难把简单的建模框图与实际通信系统中的设备联系起来。
（3）需要良好的综合分析能力。“现代通信技术”课程中知识体系结构复杂，综合性强，学生不容易抓住重点、难点，难以理清头绪。
比如“数字基带传输系统”与“数字频带传输系统”和“数字信号复用系统”的知识点都有着紧密联系。但是，高职高专学生数学基础普遍较弱，自学能力不强，课程知识在短时间内难以理解和消化，学生在学习过程中有着较大的难度。所以，根据“现代通信技术”课程的分析以及高职高专学生特点，在授课过程中对课程教学内容的取舍、教学方法的设计以及实验内容的选择与设计都作出了相应的调整，同时增加了仿真技术。
1“现代通信技术”理论教学教育改革
（1）教学内容的选择
“现代通信技术”课程主要介绍的是通信系统的组成、工作原理、实现过程和分析方法，但是模拟通信系统中的调幅、调频和调相的调制和解调技术在“高频电子线路”课程中已讲过，因此“现代通信技术”课程在教学内容上以数字通信原理为主，同时还要兼顾现有的先进的数字通信系统，如移动3G系统、移动4G系统等。
（2）教学方法的设计
“现代通信技术”的传统教学方法都是逐一介绍通信系统中各个关键技术的数学模型和原理，由于理论抽象、知识点零散，使学生学习起来很难有系统的概念，更不易将简单的系统框图与实际通信系统联系起来。所以在教学方法上采用了“以线带点”的改革思路对教学内容进行设计，即以数字通信系统的模型图作为学习的总线路图，图中方框为“点”，有向线段为“线”，如图1所示。在授课时始终以通信系统的模型图为基础，以图中的节点涉及的典型技术理论分析为重点，以信号的传输流程为主线，以线带点，使学生掌握通信系统的综合分析方法。首先，讲解通信技术的实现过程不应求全求深，而是帮助学生建立数字通信技术的知识体系从而激发学生的学习兴趣，再系统阐述数字通信技术中信源编码模块、信道编码模块、传输模块（基带传输与频带传输）和同步模块等核心技术节点的说明以及每个节点在教材中的章节分配。其次，根据信号线的传输方向，对每个节点进行功能分析，例如，在调制器和解调器节点中应重点讲解数字调制技术2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK的调制、解调、带宽分析、波形分析和抗噪声分析等内容，避免复杂的数学推导，要求学生掌握该节点基本理论、关键性能和指标以及分析方法。最后，教师应重点说明各节点存在的必要性以及前后节点之间的逻辑关系，让学生建立数字通信系统的整体概念，同时将简单的系统框图与实际通信系统联系数字通信系统模型图起来。
（3）引入SystemView仿真软件
SystemView仿真软件是用于各种线性或非线性控制系统的设计和仿真软件。“现代通信技术”的知识体系概念抽象，很多知识点单纯用口述很难直观的表达清楚，因此采用SystemView计算机仿真技术来进行系统分析和设计能够帮助学生更好理解知识点。在授课时将一些抽象难懂的知识点的仿真结果利用多媒体投影出来，使课堂教学更加形象化，让学生对知识点的理解更加清楚。比如在讲解AM调幅输出波形在改变调制指数的仿真波形时，如图2所示，教师通过调节参数来改变调制指数，学生能够很直观的观察到调制指数的改变对输出波形的影响。
2“现代通信技术”实验教学教育改革
目前实验教学中大多是对已知原理进行验证的实验，学生按照实验指导书上的实验步骤在实验箱上测试已预留好的测试点的数据、波形，然后根据实验结果写出实验报告。这种实验过程学生根本不考虑实验的基本原理和出现错误结果的原因，学生往往是动手多、动脑少，甚至在没弄懂电路原理的情况下进行测试并写出实验报告，因此有必要对实验教学内容和方法进行改革。首先，对实验指导书进行修改，其中弱化复杂的计算，只需将各个模块的功能详细说明，引导学生能自主地对所做的实验内容的原理进行分析，并抽象出系统的框图，再利用模块连接实现功能。其次，在实验中要求学生自行给定输入数据，比如HDB3的编译码，学生则自己随机给出编码的码型，并通过实验来验证输出的码型和自己在课堂所学的编码规律是否一致。同时，当学生实验过程出现问题时，教师应引导他们分析问题的原因并按照“从后往前”的方式查找故障点，而不是简单地给出问题的解决方法，通过这种方法实质的提高学生分析问题和解决问题的能力。最后，将软件仿真引入到实验教学当中并与硬件实验相结合。在做硬件实验之前要求学生应做好SystemView的仿真，然后将仿真结果在硬件实验实现，这种软件仿真和实验验证同步进行的方式使学生的实验兴趣和动手能力明显提高，让学生更加深入理解通信系统的工作原理，同时对理论学习也起到了辅助的作用。
3总结
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教学对象：小学二年级学生
教学目标：
知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题，掌握画画数数的解法及其升华――假设法，并能用来解决生活中简单的该类问题。
过程与方法：掌握将画画数数解法抽象升华到假设法的过程，培养初步的抽象逻辑思维能力、符号和数学建模意识，渗透对应思想、优化思想。
情感与价值：获得解决问题的成功体验，提高学习数学的兴趣和自信心；了解有关的数学史，增强民族自豪感；体会“鸡兔同笼”问题的应用价值。
教学重点与难点：将画画数数的解题方法抽象升华为假设法及模型的过程。
教学准备：多媒体课件、白纸等
教学过程：
一、观察提炼，做好铺垫
师：同学们，你们喜欢小鸡和小兔吗？
生：喜欢。
师（放录像）：我们先放一段有小鸡和小兔的录像，同学们观察一下一只鸡和一只兔子各有几个头、几个身子、几条腿，一样多吗？
生1：一只鸡有一个头，一个身子，两条腿；一只兔有一个头，一个身子，四条腿；一只兔比一只鸡多两条腿。
师：很好！可鸡和兔子的腿长在哪里呢？
生1：长在身子上。
师：鸡和兔的身子都像什么图形？
生1：扁圆形。
师：同学们观察得很仔细。鸡和兔的身子有相似性，都接近于扁圆（椭圆）形，也就是这种 形状。
【评析：引导学生对鸡兔的头、身子、腿的数量及对应关系进行观察，提炼出身子的形状，为后面画身子、画腿做了铺垫。这有别于大多数教学设计“用圆或椭圆表示头，在头上画腿”的不合情理的教学设计。】
二、创设情境，导入新课
师（课件展示）：一天傍晚，小明去王阿姨家串门，发现阿姨把养的鸡和兔关进了一个笼子里。他就问：“为啥关在一个笼子里？”阿姨说：“家里只有这一个笼子，晚上把它们关在一个笼子里睡觉好管理。”小明又问：“您养了多少只鸡，多少只兔？”阿姨说：“笼子里的鸡和兔共有8个头，20条腿，你就自己算算吧。”“啊！这也需要数学？”
师：是啊！生活中到处都要用到数学。为了方便，我们先结合这个问题产生的背景给它起个名字，然后帮帮小明吧。
生2：叫“笼子里的鸡兔问题”。
生3：名字太长，也没说明是同一个笼子。叫“鸡兔同笼”吧。
师：同学们真善于动脑筋。我国古代的劳动人民早就给它起了“鸡兔同笼”问题这个名字，既简短，又能反映其产生的背景。这节课，我们就来探讨这个问题。（板书课题：鸡兔同笼问题）
【评析：教者从创设生活情景入手，既体现了数学与生活的密切联系，又使问题的引出水到渠成。】
三、诱导启发，主动探索
师：同学们都喜欢画画，看看能不能用画画数数的办法来解决这个问题呢？当然，没有必要像美术课那样去画，只要简单地画出来，能体现题目中鸡和兔子的有关数量关系就行。可不知道各有几只，画多少个鸡头、兔头好呢？头的差异又比较大，难画，画错了改的时候也麻烦。怎么画好呢？
生4：一个头对应一个身子，身子都是扁圆形，先画身子，再画腿，确定了鸡和兔后再画头。
师：同学们真善于动脑筋。那就用 表示身子，用一道竖杠“|”表示一条腿试试吧。少画了补上好办，多画了擦掉麻烦，不多画当然最好。
（教师巡视，以便选择不同画法的学生回答）
师：我看到同学们都画完了，也都画对了，而且画法好多啊！有的先全画成鸡；有的先全画成兔；有的先画2只鸡，再画6只兔；有的先画5只鸡，再画3只兔；有的先画4只鸡，再画4只兔；有的按一只鸡一只兔的顺序画；有的按两只鸡两只兔的顺序画；等等。结果都是――
生（齐答）：6只鸡，2只兔。
师：由于时间关系，老师下面请三位同学把画的过程说出来。
生5：我先画了8个身子，再在身子下画腿。考虑到多画了还得擦掉，就把它们当鸡来画，在每个身子下画2条腿，数一数画了16条腿，比实际的20条腿少4条腿，需添上4条腿。一只兔比一只鸡多两条腿，画的每只鸡上添2条腿就改成兔，4条腿添到了两只鸡上，所以兔有2只，鸡有6只。
师：这个同学很善于动脑，思路很清晰，表述得也很好。
生6：我也先画了8个身子，再在身子下画腿。我估计鸡应该多，就先在5个身子下画2条腿当鸡，在3个身子下画4条腿当兔，数一数画了22条腿，比20条腿多2条腿，就把画4条腿的一个身子擦掉了2条腿改成鸡，所以兔2只，鸡6只。
师：这个同学首先进行了估计，思路也很清晰，值得我们学习。
生7：我也先画了8个身子，再在身子下画腿。我喜欢兔，就先在每个身子下画4条腿当兔，数一数画了32条腿，比20条腿多12条腿，就每个擦去2条腿改成鸡，擦到第6个时就一共擦去了12条腿，所以6只鸡，2只兔。可惜我喜欢的兔太少了。
师：这个同学从喜欢的角度出发开始画，思路也很清晰，表述也很好。老师也给出了多种画法，就包含这三位同学的画法。同学们比较一下这三种画法，哪种最简单呢？（展示课件，让学生浏览）
生8：第一种画法简单，没多画腿，省了擦的工夫。
师：以后我们解题时，既要善于探讨不同的方法，又要比较哪个方法更好，争取掌握最好的方法。
【评析：不同画法的展示及优劣比较，既培养了学生的发散思维能力，又渗透了数学优化思想。尤其是让学生把画的过程用语言表述出来，实际上是解决问题思维过程的展现，有利于学生思维的清晰化、条理化、系统化，以及方法的内化和语言表达能力的培养。】
四、抽象提炼，思维升华
师：既然大家都认为第一种画法简单，我们一起把这种画画数数的过程边说边用算式来表示一下。
师（课件展示过程）：把8个身子当鸡来画，在每个身子下画2条腿，数一数画了16条腿，可以列成――
生9：2×8=16（条）腿。
师：比实际的20条腿少4条腿，可以列成――
生10：20-16=4（条）腿。
师：一只兔比一只鸡多两条腿，可以列成――
生11：4-2=2（条）腿。
师：画的每只鸡上添2条腿就改成兔，4条腿添到了2只鸡上，所以兔有2只，鸡有6只。可以列成――
生12：4÷2=2（只）兔，8-2=6（只）鸡。
师：同学们真棒！写出画的过程太麻烦，我们把能用式子表示的语言替换下来，写成下面的解法。
解：全当做鸡，有2×8=16（条）腿，比实际少20-16=4（条）腿。一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，兔有4÷2=2（只），鸡有8-2=6（只）。
答：有6只鸡，2只兔。
师：同学们看，简单吧？
生：简单。
师：以后我们再解这类问题就没有必要真的去画，只要在自己大脑里展现画的过程，边说边写就行了。
【评析：首先，教者不厌其烦地引导学生从画法中提炼、抽象算式的做法有着重要的意义。这种把汉语语言转化为数学语言过程的展现，有利于学生掌握转化的方法，为升入高年级解数学应用题奠定了基础。因为，解应用题的实质就是实现这两种语言的转化。同时，也有利于学生的认知由具体运算阶段向形式运算阶段过渡，由具体形象思维向抽象逻辑思维发展。
其次，教者在画画数数方法的基础上进行提炼、升华，呈现出了用假设法解决鸡兔同笼问题的解题过程。这一浑然天成的处理方式，既抓住了两种方法之间的联系，又展现了假设法的实质就是画画数数解决问题的这一学前儿童都能掌握的方法，实现了两种方法的统一，有利于学生掌握。另外，假设法出而不点的处理方法还是很有新意的，既避免了不同方法的罗列，又避免了学生产生新的疑惑。】
师：同学们能仿照着老师写解法的过程，把第二和第三种画画数数的过程，边说边写吗？（课件展示画法及画图过程）
（教师巡视指导，让两个学生板演）
生13：写第二种。
解：5只当做鸡，3只当做兔，共有2×5+4×3=22（条）腿，比实际多22-20=2（条）腿。一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，所以多了2÷2=1（只）兔，兔有3-1=2（只），鸡有8-2=6（只）。
答：有6只鸡，2只兔。
生14：写第三种。
解：全当做兔，有4×8=32（条）腿，比实际多32-20=12（条）腿。一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，鸡有12÷2=6（只），兔有8-6=2（只）。
答：有6只鸡，2只兔。
师：同学们都写得很好（课件展示这两个解法）。大家都掌握这个问题的解法了吗？
生（齐声答）：掌握了。
【评析：教者首先示范，再让学生去抽象、提炼解法，既发挥了低年级学生模仿性强的优势，又可促进学生抽象逻辑思维的发展。尤其是三种不同假设法的展现，打破了大多数书籍、教学论文中只假设全是鸡或全是兔的做法。事实上，若鸡和兔共有n个头，可以假设有m（0≤m≤n）只鸡（兔）来解答。】
五、巩固拓展，建立模型
师：前面说过，我国古代的劳动人民早就提出了鸡兔同笼问题。大约在1500年前，数学著作《孙子算经》中就有一个这样的问题。（课件展示）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
师：雉就是鸡，足就是脚，几何是指多少。用现代话来说是“现在有若干只鸡和兔在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问鸡兔各有几只？”
师：同学们帮古人解决这个问题好吗？要边在大脑里画，边说边写解法。
（学生独立练习，小组交流自己的解法）
师：《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题还漂洋过海传到了世界上很多国家，如日本、俄罗斯等。人们又仿照它编出了“龟鹤问题”、“人狗问题”等，这说明了它具有重要的价值。其实，“鸡兔同笼”问题不是一个题，而是一类问题，画画数数的解题过程可作为一个模型用来解决很多类似的问题。
师（课件展示）：这个问题就属于“鸡兔同笼”类问题。老师买了两种不同的圆珠笔共16支，一种每支3元，另一种每支5元，共花了62元。问两种圆珠笔各买了多少支？
生15：这里没有鸡和兔啊？
师：不要紧啊，我们可以把每支3元的圆珠笔当成“1个头，3条腿”的“怪鸡”，把每支5元的圆珠笔当成“1个头，5条腿”的“怪兔”。这样，16支变成了什么？62元变成了什么？
生16：16支变成了16个头，62元变成了62条腿。真有意思！
师：那就在大脑里想象画画数数的过程，边说边写，把解法写出来吧。可要灵活啊！
生17：全当做是3元的圆珠笔共花3×16=48（元），比实际少62-48=14（元）。1支5元的圆珠笔比1支3元的圆珠笔多花5-3=2（元），所以5元的圆珠笔有14÷2=7（支），3元的圆珠笔有16-7=9（支）。3元的圆珠笔有9支，5元的圆珠笔有7支。
师：大部分同学解的都很好，只是个别同学把圆珠笔真的写成了“怪鸡”、“怪兔”。我们说可以当做 “怪鸡”与“怪兔”，但不要机械地往上套啊！
【评析：教者通过对有关史料的介绍，在传承我国古代数学文化的同时，也使学生体会到我国文化的博大精深，有利于学生民族自豪感的培养。另外，让学生感受问题的变式，使其解法成为解决这类问题的模型，既渗透了建模思想，又有利于学生的灵活应用。】
六、课堂小结
师：今天我们学习了什么内容？你有什么收获？
生18：学习了“鸡兔同笼”问题，会解这类问题了。
师：这类问题难不难？
生：不难。
师：这可是五六年级的哥哥姐姐们才学的呀！
生：啊！
师：这说明只要我们勤动手、勤动脑，数学一点都不难。也说明同学们真棒（伸大拇指）！最后请同学们在大脑里再画一遍，嘴里默默地把过程再说一遍好吗？
生：好！
【评析：通过回顾总结，让学生对知识进行梳理，再次巩固和内化了解“鸡兔同笼”问题的数学模型。最后揭示该问题是五六年级所学知识，使学生树立了信心，培养了学生的自豪感。】
七、课后作业（略）
总评：“鸡兔同笼”问题是我国广为流传的有名的古算题。由于解决这个问题的思维含量高，人们常常拿它来考察一个人的智力状况，也成了小学高年级奥数的经典题型，现已进入小学五六年级的数学教材。因此，让二年级的学生掌握这类问题的解法，是一具有挑战性的教学任务。当我的学生刘慧进行课外实践，提出想给二年级学生讲这堂课时，我为她捏了一把汗。没想到的是，她的教学设计取得了很好的教学效果，不仅深受学生欢迎，还得到了任课教师的好评。总之，这是一堂出色的课，除了穿插的评析外，再指出以下几点。
1.符合学生的认知和思维发展水平是本节课成功的关键
教学从画画数数入手，抽象与提炼解法时要求学生脑子里想象画法、边说边写，以及解法用语言与式子混合写出，没有只用算术表达式（含综合算式）等，均符合二年级学生的认知发展与思维发展水平。
2.引导到位，放收合理
本节课教师的引导与学生的自主探究结合得比较好，教师始终有效地掌控教学，没有大撒把，避免了自主探究流于热热闹闹的形式。
3.语言简练，亲和力强，不乏幽默感
篇10
一、创设学习兴趣，激发思维
心理学告诉我们学生的思维是后天培养和训练的结果。人们的思维在解决具体问题时才会积极起来。因为在日常的教学活动中，要创设教学情境，除了为学生设置“疑问”或者用变换的例题教学办法外，还可以组织学生对某一个问题进行争论来激发学生学习兴趣，进而发挥学生探索总是的积极性，引导学生装进行正确的思维。如，在教比的基本性质时，我提出“比的前项和后项都乘以或者除以相同数，比值不变。”让学生判断，当总是提出后，有一位学生装回答说：这是正确，因为比与除法的关系中，比的前项相当于除法中的被除数，后项相当于除法中的除数。根据商不变性质。“当这个学生发言完毕。这时我没有表态，就请另一位给予纠正，当说出商不变性质中的“0”除外，比值不变。
二、正确处理知识迁移关系，启发思维
知识迁移现象是学生认识结构的形成和发展的自然产物。在教学过程中若能做到正确的迁移，就可以促进学生认识结构的形成和发展。如果无目的、不正确的迁移就会导致学生认识的误区。因此，我们教师要有意识地引导学生兢的迁移活动。比如：比的基本性质与分数的基本性质，除法中商不变规律是相通的。在教学比的基本性质时，就可以引导学生说出比与分数、除法的关系，沟通比与分数、除法的联系。促进学生的知识迁移活动，将商不变规律、分数的基本性质迁移到比的基本性质。从而使用权学生形成对新知识的认识结果。国一方面，还可以引导学生走进负迁移误区，防患未然，促进认识知识结构朝着健康方向发展。比如，教学分数除法时，学生容易将附和 号改乘号，而没有把除数倒数。这时可引导学生辨析其结果，把商乘以除数不等于被除数，说明了计算错误，从而引起学生对分数除法要把除数这个重要性的认识，强化了分数除法的法则一认识结构形成。
三、鼓励学生自己释疑，促进思维
教师在教学中，要尽可能让学生在亲自解决总是的过程中去理解知识，当学生看到自己的劳动获得成果时，就会产生强烈的兴趣和信心，就会促使他们对知识继续作进一步探索。如，有的学生提出“为什么分数四则运算的结果都要是最简分数呢？”这个简单幼稚的问题，说明学生对所学的最简分数概念还不是很清楚，这个问题就可以让学生自己来解决。教师可以这样回答：“那么，现在我们不要求计算的结果是最简分数，你们来做一做。学生动手做完后，就让学生说谁结果是正确，其结果各异，不知哪个是对的。最后他们终于明确道理，自己解决了问题。
对平时作业中学生解答的错误，我们只要在错误处打上针对性的批发符号，不要给错处直接订正，然后布置学生独立思考，想想这个地方为什么是错的，应该怎样做才是对的，让学生自己发现问题自己订正。总结经验教训，对一些难度较大的问题可进行全班性讨论，开拓思路，相互沟通知识间的内在联系，促进思维的灵活性和创造性的发展。
四、在实践操作中，发展思维
俗话说“百闻不如一见，百见不如一如一做。”在平面几何教学，必须建立图形概念，要形成几何概念就需要教师直观教具的演示，形象语言的描述，及时的抽象概括；然而由于小学生抽象思维能力差，光靠这些仍然不能过到目的。因此，在学生获得各种图形的概念之后要提出具体要求，让学生作图或用纸剪图，拼图等方法进行操作练习。如把圆沿半径剪开，分成若干等份，然后用近似的等腰三角形，让学生拼成近似的平行四边形或长方形。并让学生推导圆的面积公式。这样，在实践力的提高和养成解题前后观察、动脑以及合理选择计算方法后再动笔的良好学习习惯。
五、在实践练习中，提高思维
知识技能的巩固要靠练习，灵活精巧的练习能促进思维的提高。目前，广大教师在教学中采用基本训练题，一题多变，一题多解，补条件或问题，编题等练习让学生练习，这时培养学生思维的逻辑性、灵活性等良好品质很有效果。我认为要使学生在练中发展，提高思维可另外选择练习的内容，还应按学生的认识规律由浅入深，由易到难，分层次，坚持秩序渐进的原则。
总之，通过上述一系列变换形式的练习与多层次的训练，可以使学生的思维随着练习加深发展，由于训练的形式变换，又促进学生的发散思维和集中思维的灵活性。这样练习，有利于引起学生练习的兴趣，提高学生的学习效果，又促进学生的思维发展和提高。 （上接第125页） 为人民服务的精神。了解掌握与专业相关的历史文化，发展前景等人文方面的知识。教师具备了良好的素质，并在教学中认真负责，不断地总结经验，将会培养出一批批优秀的人才。
三 创造优良的教学环境
