初中数学常见的思想方法范文

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一、数学思想方法的教学对教师的要求

作为教师，要对教材有完整的研究和分析，归纳和揭示其特殊性质和内在规律，在教材分析中进行数学思想方法的把握，并在教学过程中进行渗透与教学，让学生领悟数学思想方法的作用.在教学中，教师通过例题讲解和反思活动，从具体数学问题和范例中总结归纳解题方法，并提炼和抽象成数学思想.还要在解题过程中，充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通，灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题，解决实际生活中的数学问题.

二、初中常见数学思想方法的教学例析

数学思想方法的教学应与双基的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的数学思想方法，提高数学能力，形成良好的数学素质.

1.方程与函数思想

方程与函数的思想方法在解决一般数学问题中具有重大意义.在初中数学里，方程与函数是学生最熟悉的工具，教材对方程与函数都作了较为系统的研究.对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题.

图1

【例1】 （新人教版八年级上第50页例1）如图1，在ABC，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.

分析：本题中，利用等腰三角形的性质得到相关的角大小关系后，再根据“三角形内角和定理”作为相等关系建立方程，则可得解.

2.转化思想

数学中充满矛盾，在一定条件下都可以互相转化.一般是把未知的问题朝向已知方向转化；把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题朝简单的方向转化；把生疏的问题朝熟悉的方向转化，这就是转化思想.例如，“平行四边形的面积求法”的问题，通过探求解决问题的思想和策略，用转化思想将其转化成求已知矩形的面积.这样以问题的变式教学，

使学生认识到求解该问题的实质是等积变换，即要在保持面积不变的情形下实现转化目标，而转化的手段是“三角形位移”，由此揭示了解决问题的思维过程及其所包含的数学思想，同时提高了学生探索性思维能力.

3.分类讨论思想

分类讨论，是对研究对象按某个标准进行分类，对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，称为分类讨论思想.分类讨论是逐类进行，是将复杂的问题分解成若干个简单的问题，恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养.

【例2】 已知正实数a，试比较a与a的大小.

分析：很多学生都会由习惯思维很快得到a≥a，不全面考虑问题，造成遗漏.如果我们平时加强分类讨论思想的培养，学生有分类讨论的习惯，就很容易让学生理解根据a的取值范围01对这个问题分类讨论才能把这个问题不重不漏全面地正确求解.

4.数形结合思想

数形结合就是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.

【例3】 已知点A（2，-3），点A关于x轴对称的点的坐标是 ，关于直线x=1对称的点的坐标是 .

分析：如果我们直接运用轴对称的性质当然可以解决问题，但如果利用数形结合思想，结合轴对称的性质则很容易直观得到结论.可以看到通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解.

5.整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理.整体代入、整体运算、整体设元、整体处理都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用.

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关键词：初中数学教学；数学思想方法；应用研究

在初中数学的教学中，主要有数形结合、方程与函数、分类讨论、化归与转化这四种数学思想方法，教师应该结合具体的教学内容，以数学思想方法对学生教学。

一、数形结合思想

数学是一门研究空间形式和数量关系的学科。“数”与“形”是数学学科中的两个最基本的概念，数量可以通过几何图形表现出来，几何图形中也蕴含着某种数量关系。在初中数学的教学中应该突出数形结合的思想，帮助学生培养这种数形结合的解题思维，有利于学生将复杂的题目简单化、便于理解；有利于学生对相关数学知识的记忆；有利于学生对于相关问题进行思考及找到便捷的解决方法。

1.由“数”推“形”

在初中数学问题进行讲解时，教师可以将复杂的代数问题用几何图形表示出来，从中找取相应的数量关系，进行解答。尤其是对于相反数、绝对值的概念、有理数的大小的比较、函数等知识的教学时，可以充分利用数形结合的思想，帮助学生理解相关的概念，优化解答的方法。

例1：ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断ABC的形状。

解：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0

2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2ac+c2=0

（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0

（a-b）2=0，（a-c）2=0，（b-c）2=0

a-b=0，a-c=0，b-c=0

a=b=c

ABC是等边三角形。

2.以“形”表“数”

初中教师对于一些从题目看起来十分复杂的代数问题在进行讲解时，可以利用已知的条件去构造相关的图像，在根据图形的特征去寻求答案。这种解题的思路有助于培养学生的画图能力，并考察学生对于几何图形的知识掌握情况。

二、方程与函数思想

方程与函数是初中数学教学的主要及重点内容，方程思想是把一系列数值通过找取关联列成等式，从中求解的思想，而函数思想则是把数学问题中各数量间的联系用函数表述出来的思想。在初中数学教学中，教师需要将函数与方程的思想紧密联系，在两者之间寻求联系进行相互的转化，从中求得解决问题的方法。

例2：已知：等腰直角三角形ABC中，AB=BC=6，若点P为线段BC边上的一个动点，PQ∥AB交AC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点C与线段MN不在线段PQ的同侧，设正方形PQMN与ABC的公共部分的面积为S，CP的长为x.

1.试写出S与x之间的函数关系式；

2.当P点运动到何处时，S的值为8.

三、分类讨论思想

分类讨论的思想是我们日常的生活中经常用到的一种方法，也是解决数学问题最常见的方法之一。在初中数学教学中，需要将分类讨论思想分为“分类”和“讨论”这两个层面来进行教学。让学生先确定分类的对象以及如何分类，其次让学生确定分类的标准，再让学生掌握分类的方法，锻炼学生进行科学分类，最后对分类的结果进行讨论。在进行分类讨论思想的教学时，需要教师坚持由浅及深、循序渐进的原则。在初中数学中分类讨论的思想不仅使学生掌握相关的分类方法，而且对“分类”的认识与理解更加深刻。掌握分类讨论思想方法，能够帮助学生更加准确、全面的看待问题。

例3：直角三角形的任意两条边长分别为3和4，求这个三角形的外接圆半径等于多少？解：注意题中给出的是任意两条边长，所以分两种情况讨论。

1.当3、4是直角三角形的两条直角边时，斜边长为5，此时这个三角形的外接圆半径等于12×5=2.5

2.当3是这个三角形的直角边，4是斜边时，此时这个三角形的外接圆半径等于 12×4=2。

从以上示例中能够看出合理地使用分类讨论思想对于初中数学问题有效解决的重要性。在分类讨论思想的指导下，学生可以将一些复杂的问题变得简单化，在提高问题处理效率的同时，也会加深学生对部分数学知识点的理解，对于他们学习成绩的提高及数学思维模式的转变具有重要的保障作用。

四、化归与转化思想

“化归”是转化和归结的意思，是将新的问题通过转化，归结到一类已经学过的类型中去解决的方法。化归与转化思想在初中数学教学解题中十分常见，是分析解决初中数学问题最有效的方法。利用化归与转化的思想进行初中数学的教学，可以化难为易，化繁为简，运用所学知识来解决复杂的难题。教师通过在初中数学中讲解化归与转化的思想，可以帮助学生加深对于相关知识的理解与记忆。

例4：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC，DB相交于O点，且ACDB，AD=6，BC=10，求AC.

分析：1.根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，从而解决问题。

2.此题也可证AOD和BOC是等腰直角三角形，进而分别求出AO、OC的长，

则AC=OA+OC.

最终求得AC=8

通过对以上例子的有效分析，可知化归与转化的思想对于初中数学教学质量提高的重要性。对于一些复杂的、抽象的数学问题，老师应正确地引导学生加强对这种思想的理解，促使学生们在较短的时间内可以顺利地解决问题，学会运用化归与转化的思想的同时及时地掌握这些问题中所包含的数学知识点。与此同时，化归与转化的思想在初中数学各种复杂问题解决过程中的有效使用，有利于推动初中数学教育体制的改革，提高课堂教学效率的同时能够更好地转变老师传统的教学思路。

五、结语

本文主要就数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用，进行了相关的分析与探讨。依次就数形结合、方程与函数、分类讨论、化归与转化这四种数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用进行了相关的分析与研究。最终希望通过本文的分析研究，能够给予的数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用，提供一些更具个性化的参考与建议。

参考文献：

[1]钱玲.中学数学思想方法[M].北京师范大学出版社，2002.

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【论文摘要】 在学生接受义务教育阶段，数学教学是重要的教学科目，并且数学思想和数学教学方法作为基础知识，在教学中是重要的教学内容． 随着新课程改革，在初中数学教学中认真地分析数学教学思维活动，培养学生的数学思想是非常重要的． 因此，本文就针对初中数学教学中的思维活动分析与数学思想的培养进行浅显的分析和研究．

学生思维品质的好坏直接决定了学校的教学效果，学校为了促进学生的思维能力的发展，初中数学教师应该重视学生在数学教学中的思维活动，并且要认真地分析出数学教学的思维活动的发展规律，从而有效地培养学生的数学思想．

一、初中数学教学中的思维活动分析

初中数学教师在教学过程中应该合理地设计一些问题情景，充分调动学生学习数学知识的积极性和主动性，能够使学生参与到教学活动中，让学生亲身经历一下观察、分析、猜想等思维活动，这样初中数学教师在教学过程中才能不断地掌握思维活动的发展规律．

1. 初中数学教学中合理地运用观察方法

初中数学教师在教学过程中可以合理地设计情景模式，引导学生去观察问题，使学生掌握相关的数学知识． 例如，初中数学教师为了让学生了解球形的概念，可以让学生观察日常生活中经常看到的球状物体，像篮球、足球、排球等，不断地引导学生去观察这些球状物体的内在本质属性，使学生形成球的概念． 所以，初中数学教师在数学教学过程中应引导学生通过观察学习数学知识，这样的初中数学教学才能掌握思维活动的发展规律．

2. 初中数学教学中积极引导学生分析问题

初中数学教师在教学过程中可以根据教学内容，积极地引导学生分析问题，从而使教师掌握学生的思维活动． 例如，学生在学习关于负数的相关知识时，首先要明白负数的概念， 那么教师就可以引导学生主动分析日常生活中常见的现象． 学生可以分析气温零上和零下，水位的上升和下降等现象了解正负数，这样学生更容易掌握数学知识． 所以，初中数学教师在数学教学中，应该引导学生使用正确的思维方法，才能分析出思维活动的发展规律．

3. 初中数学教学中引导学生猜想问题

初中数学教师在教学过程中应该根据具体的教学内容，积极地引导学生去猜想问题，从而使学生猜想出相关数学知识，提高学生的思维能力． 例如，学生在学习圆的定义时，教师可以设置以下问题：车轮为什么是圆形的，而不是其他形状？学生通过分析和讨论，对问题进行推理，从而猜想到圆形车轮上的点到轴心的距离是完全相等的． 这样学生通过自己的努力推理出圆的定义． 所以，无论初中数学教师怎样分析教学中的思维活动，都要通过实践去亲身体会，才能准确地了解教学过程中的思维活动．

二、初中数学教学中数学思想的培养

初中数学教师在教学过程中通过讲解数学知识培养学生的数学思想，使学生能够认识数学知识和方法，理性地掌握数学规律． 因此，初中数学教师在教学过程中培养学生的数学思想是非常重要的．

1. 通过训练方法，培养数学思想

由于数学思想的内容较为丰富，方法的难易程度也各不相同，因此，初中数学教师在教学过程中应该分层次渗透，通过训练方法，培养学生的数学思想． 例如，初中数学教师在讲解“同底数幂的乘法”时，教师可以分层次进行教学，首先引导学生分析当底数和指数为具体数的同底数幂的运算方法，使学生能够归纳出一般方法，然后引导学生应用一般方法进行具体的运算． 这样教师在教学过程中通过应用归纳和演绎等教学方法培养学生的数学思维，促进学生养成数学思想．

2. 引导学生建立数学思想方法体系

学生数学思想的形成是一个循序渐进的过程，初中数学教师在教学过程中只有让学生进行反复的训练，才能使学生自觉地运用数学思想方法，建立起符合自身发展的数学思想方法体系，从而培养学生的数学思想． 例如，教师在教学过程中可以合理地应用类比方法，学生在学习一次函数时，可以用乘法公式进行类比；学生在学次函数时，可以用一元二次方程的根和系数性质进行类比． 学生通过反复地应用类比方法，能够熟练地掌握类比方法，养成一定的数学思维，进一步培养学生的数学思想．

3. 符号化思想和化归思想的培养

符号化是初中代数中重要的数学思想． 初中数学教师在教学过程中培养学生的符号化思想是非常重要的． 数学教师在教学过程中首先应该让学生认识引进字母的意义，以有理数为例，可以通过两个不同意义的数说明“＋”与“－”所表示的两种相反的量的意义． 其次，培养学生学习符号化的兴趣，教师可以通过平方差公式等乘法公式，将符号化的鲜明特点展现在学生面前，使学生对符号化产生兴趣，从而培养学生的符号化思想．

化归是一种解决问题的策略，就是将数学问题化解和归纳为几个较为简单的问题． 初中数学教师在培养学生的化归思想时应该让学生掌握纵向化归和横向化归思路． 纵向化归思路是将问题看成是一组相互关联的小问题，并且根据各个问题的联系，逐个破解． 横向化归思路是将问题转变为相互独立的小问题再解决问题． 例如教师在讲解一元一次方程时，就可以培养学生的化归思想． 所以，初中数学教师在教学过程中应该根据教学内容，培养学生的化归思想．

三、结 语

通过对初中数学教学中的思维活动分析与教学思想的培养的分析和研究，能够使教师掌握初中数学教学中的思维活动规律，可以灵活地运用各种方法开展教学，培养学生的数学思想．

【参考文献】

［1］黄家超．初中数学教学中如何渗透数学思想方法［J］．教育教学论坛，2011（30）：58．

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摘 要：在如今的初中数学课堂上，“数形结合”是一个十分重要的思想方法，它可以有效培养学生对数学知识的解读能力，激发学生的创新意识，是如今新课程改革所倡导的主要学习方法。教师需要积极地培养学生数形结合的思维能力，以课堂教学为突破口，让学生养成使用数形结合思想方法的良好习惯。结合教学实践的相关内容，对初中教学中数形结合的思想方法展开深入的讨论。

关键词：数形结合；初中数学；教学；实践

思维能力是决定了一个人数学能力高低的关键，在初中数学中需要大力提升学生的思维能力，数形结合作为一个十分重要且简单有效的思维方式，将会对解决很多数学问题起到很大的帮助。巧妙利用数与形的关系，灵活地进行相应的转变，一些看似很难懂的问题就会迎刃而解，达到事半功倍的目的。在这个过程中，需要着重了解数形结合的核心思想，让学生掌握其中的技巧与

方法。

一、数形结合思想的实际应用

1.坐标系中的数量关系

十字直角坐标系中的数量关系在初中数学中十分常见，利用向量来表示线段图形，是常见的题型之一。由于线段在十字坐标系中都可以用数字和坐标来表示，所以这也属于一种十分常见的数形结合。利用数字和符号来表示出坐标系中的线段，形成代数级的向量，将向量之g的运算从十字坐标系转移到代数上的运算，然后再通过代数中的运算结果，转移回到十字坐标系中，就可以将原本复杂难解的问题进行简化。这就是从基础的部分入手，对数形结合的思想方式进行渗透，促进学生对十字坐标系中数量关系的理解，形成一种利用数形结合思想来解决问题的习惯与

意识。

例如，在一个十字直角坐标系中，有一个线段AB的坐标为（-3，5），线段CD的坐标为（6，-10），试问这两个线段之间的关系？两条线段所处的直线，能否相交？这是一道典型的数形结合类问题，单从线段坐标上看很难判断二者有什么关系，教师需要将数形结合的思想观念引入学生的脑中，要让学生明白绝大多数的坐标类问题都可以利用数形结合的思想分析探讨。线段虽然是几何图形，但一旦放入十字坐标系中，就完全可以转化为向量。而向量则具有很多定理与性质，均符合代数的相关规律。线段AB与线段CD能否相交，就等同于向量（-3，5）和向量（6，-10）是否存在整数倍的关系。如果存在，则代表二者平行，如果不存在，则代表二者相交。如果二者的横坐标与纵坐标的乘积之差为0，则代表了另一种特殊的相交关系――垂直。经过计算可以发现，二者的确存在整数倍的关系，则是平行的关系。

将坐标系中的线段利用数形结合思想进行转变，是一个典型的题型。除此之外，数形结合也具有可逆性，将代数问题引入几何问题也是十分普遍的。例如，坐标系中的速度与时间关系、距离与速度关系等问题，也可以利用数形结合的思想方法进行解答。

2.几何图形相关问题的数形结合

几何图形也是初中数学的重点之一，对图形的面积、周长与数量关系等问题，都是需要让学生深刻掌握的。例如，较为经典的勾股定理，就是运用了代数中的二次方来进行论证的。三角形的三边关系，也是将其转化为不等式，并最终反推出了定理。除此之外，还有一些图形的规律求解，也是数形结合中的经典案例。

如上图所示，一道求解规律关系的问题中，第一个图形有1个正方形，第二个有3个正方形，第三个有6个正方形……以此类推，到了第二十个，就要比第十九个多出20个正方形。那么到了第n个的时候，就会有1+2+3+4+…+n个小正方形。再根据代数的相关求和公式可知，到了第n个的时候，会有n（n+1）/2个正方形。这也是典型的数形结合案例。

通过不同的例题，教师可以把涉及几何的图形问题进行转化，转为学生所熟悉的知识，就可以让学生加深印象，更好地实现对问题的解答。数形结合具有可逆性，教师要培养学生主动应用这种思想的习惯，让数形结合的思想与方法深深地落实到学生的脑海中。

在如今的初中数学课堂教学中，教师要利用现有的教材，对学生的思维能力进行有效的渗透，让学生能深层次地掌握数形结合的思想方法。不单单要了解方法的概念，更要明白数形结合的综合使用，落实到实践中。教师需要更加认真负责，利用科学合理的教学方法，给学生充分自主思考的空间，提供合适的例题与教材，让学生的初中数学能力与成绩都得到本质的提高。

参考文献：

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关键词：数学思想方法；教学

数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学教学的实践活动。数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。在初中阶段对学生进行数学思想方法教育是培养和提高学生素质的有效方法。并且，在《全日制义务教育数学课程标准》（修改稿）中明确指出：“义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，要着眼于学生整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展。课程设计要适应学生未来生活、工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识与基本技能，发展学生抽象思维和推理能力，培养学生应用意识创新意识，并使学生在情感、态度与价值等方面都得到发展。”所以，在初中阶段对学生进行数学思想方法教育是十分重要的。

在初中阶段，数学思想方法主要有：函数与方程思想、字母表示数思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等。笔者认为要使数学思想方法在教学中有效的应用，应该注意以下几点：

第一，教师要整体把握初中阶段的数学教材，要对初中数学教材进行数学思想方法的研究。教师作为知识的传授者要对教材进行整体的分析和研究，理清教材的体系和整体脉络，统揽教材全局，站在一定高度对教材的知识点、知识之间的连接等进行归纳，揭示其内在联系和一般规律。

第二，以数学知识为载体，将数学思想方法融入教学内容之中。在数学教学的过程中，时刻都在体现着数学思想方法。如：转化思想。在七年级数学中的一些重要章节中就体现得十分明显。在《整式》这一章中，有很多知识点都体现了转化思想。例如，已知x+y=－2，xy=3，求代数式（x+xy）－[（xy－2y）－x] －（－xy）的值。

解：原式 =x+xy－(xy－2y－x)+xy=x+xy－xy+2y+x+xy=2x+2y+xy=2（x+y）+xy

当x+y=－2，xy=3时，2（x+y）+xy=－1

除了在代数中体现外，在几何学习中也体现突出。例如在《三角形》这一章中，已知∠A-∠B=20°，∠A+∠C=70°，求∠C的度数。这种类型题十分常见，在讲解的过程中教师要注意通过题目对学生灌输转化的思想。

第三，对于重要或者较难掌握的数学思想方法，在教学过程中要反复讲解、渗透，使学生逐步积累，以求达到掌握。例如，用字母表示数的思想方法，它是基本的数学思想之一。初中开始的代数就是建立在字母表示数的基础上的。所以，教学中能否很好地渗透这一思想、应用这一方法，是使学生能否学好代数的关键之一。但是，从笔者自身的教学中发现，学生普遍觉得用字母表示数很难。例如：某商场1月份的销售额为m万元，2月份比1月份的2倍多4万元，3月份是2月份的3倍少7万元，求该商场第一季度的销售额？一道简单的数学题只要将数字换成字母，原本会做的题目就变为一道不知如何下手的难题。当然，从数到字母的过渡，是由特殊到一般，由具体到抽象的飞跃，这种飞跃，学生不可能一下子就能形成，需要一个较长的过程。要完成一个形象思维到抽象思维的过渡需要由浅入深，逐步形成。教学是个循序渐进的过程，以这道题为例，在教学中应该将这道题分成几道小题来讲解：①某商场1月份的销售额为m万元，2月份比1月份的2倍多4万元，求2月份的销售额？②2月份的销售额为（2m+4）万元，3月份是2月份的3倍少7万元，求3月份的销售额？③某商场1月份的销售额为m万元，2月份的销售额为（2m+4）万元，3月份的销售额为[3（2m+4）－7]万元，求这三个月销售额的总和？这样分解之后，学生的正确率大大提高了，并且十分有利于学生对字母表示数这一重要数学思想方法的掌握和理解。

参考文献：

[1]曾祥伟.浅谈初中数学思想方法教学（J）.教育理论，2009.4

[2]全日制义务教育数学课程标准（修改稿），2007.4，p4

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一、强调分类讨论，提高数学思辨意识

分类讨论是一种较为常见的数学思想方法. 数学思想具有很强的逻辑严密性，要让初中学生在较短的时间内掌握一种数学思想方法是有一定的难度. 因此，教师在初中数学教学时，要重点强调分类讨论的重要性，并善于引导学生用此思想方法解决数学难题，提高学生的学习积极性. 与此同时，教师应当依据学生的学习状况针对性教学，估计学生用分类讨论的方法多做数学题，加强数学思想方法的应用性和自身的思维能力. 以《统计的简单应用》的教学为例，教师在讲解时可联系生活实际，让学生在最为熟悉的情况下思考问题，这样可以引导学生逐步探讨数学现象. 当学生产生疑问后，通过教师详细讲解，学生对平均数的本质概念有了一定的理解. 数学的学习同样是层层递进的，在理解平均数概念的基础上，学生能够解决书本中平均数求值问题，能够意识到分类讨论可以用来分析生活中遇到的平均数现象，也能够依据具体状况用不同的分类方法解决实际问题. 无论是在日常生活中，还是数学题目中，分类讨论的作用都十分明显. 而在这个过程中，学生对分类讨论的思想会有重新的认识，在生活中也会自然形成勤于分类的好习惯.

二、养成分类意识，形成概念分类思想

在实际教学中发现学生并没有形成足够的分类意识，还不擅长用分类的方法解决数学问题. 所以，教师应当充分考虑导致这些现象的因素，并根据教材，强化教学，即让学生避免乱用分类讨论的方法，引领学生在解决实际问题的过程中探讨分类思想的本质. 数学课本中就有很多概念是通过分类给出的，很多概念都需要在特定的类型中才可以成立. 如绝对值问题就被分为三种情况，即绝对值符号里的数为正、负还是零. 又如遇到一元二次方程的数学问题，则需考虑其二次项系数是否为零. 诸如此类，这些概念问题的解决需要依据其不同的分类形式一一讨论. 对于大部分学生来说，数学中很多概念过于抽象，需要教师不断补充教学，同时可采用直观的教学方式，将数与形结合，加强学生的记忆和理解. 例如：求一元二次方程mx2 - （m - 1）x - 2（3m - 1） = 0. 根据题目要求和一元二次方程的概念，首先就要排除m = 0的情况. 若将题目变为求方程mx2 - （m - 1）x - 2（3m - 1） = 0. 则需考虑m = 0和m ≠ 0两种. 数学概念的不断强化教学，使学生对分类方法的应用性得到显著提高.

三、指导分类讨论，帮助认清问题本质

初中数学教学中常常会遇到需要分类讨论的题目，而这种类型的题目对于大部分的初中生来说有一定的难度. 对分类讨论方法的不熟悉会让学生无法很好地完成相关数学题，这也在很大程度上降低了学生的学习热情. 因此，教师要尽可能站在学生的角度，用他们的视角或思考方向去教学，探究很多可行的思考方法，通过多向式的思维方式帮助学生走出固定的思维套路，积极开发拓展性思维，同时对学生应当具备足够的耐心，认真指导学生探求数学问题的本质，提高分类讨论方法的运用能力. 教师还应当提醒学生要时刻保持理性和严谨的态度，有条不紊的解决问题. 例如：在教学“平面图形的认识”时，其中线段、射线、直线是最为常见和简单的平面图形，但学生的认知程度较浅，教师应根据其本质深入讲解. 对于其他较为复杂或容易混淆的平面图形，教师可以引导学生根据它们的特征进行分类，组织学生自行安排合作小组，展开讨论，探究不同类型的平面图形的异同点. 通过教师的指导和学生的热情参与，学生对平面图形的知识点有了较为全面的认识，看问题的角度也更加成熟、理性.

四、强化分类讨论，培养清晰解题思路

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【关键词】 数学解题规律逻辑思维

一、数学思想方法

在解题的过程中，学生对于题目的思考方式和技巧都是影响最终得分的关键因素，因此在教学过程中，教师要让学生独立计算出数学问题，并引导他们能够对数学思想方法有一个清晰的认识，这样才能正确地引导学生发现和学会总结解题的方法和技巧，提高学生的解题能力。根据初中数学的教学课程，学生所需要掌握的数学思想方法主要有：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想以及转化与化归的思想。学生能够充分地在初中阶段数学的各种题型中运用这些数学思考方法，那么他们基本上就已经开始了解初中数学的解题规律。下面，作者将简单地介绍以上几种数学思想方法：

（一）转化与化归思想

这种思想方法的实质就是揭示问题和结果之间的联系，实现从问题到结果之间的转化。具体操作是通过一系列的观察、分析、联想和类比的过程，运用合适的数学方法把问题进行交换，划归为已经学习的知识范围内进行简单的解决。

（二）数形结合思想

这是在初中阶段较为重要的思想方法。数，是形的抽象概括；形，是数的直观表现。数形结合思想多采用与几何图形的直观表示数问题和运用数量关系来研究几何图形的问题。

（三）分类讨论思想

该思想方法多采用于证明题或几何题。把一个较为复杂的数学问题分割成若干个小问题逐步解决，从而达到解决整体问题的目的。是较为常用且重要的思想方法之一。

（四）函数与方程思想

函数与方程思想多用于函数和方程的填空、选择和解答题中。这种题型首先要做的就是观察题目所给的图像，从已知条件出发，建立有关的函数解析式，并认真仔细地进行分析，选择适当的数学工具，最终解决问题。

二、初中数学解题规律

初中数学的题目内容主要是数与代数式、方程与不等式、各种函数以及几何证明题和解答题等，而主要题型是选择题、填空题、解答题以及证明题。在数学这门科目中取得高分的关键就是根据考试内容和考试的题型采用不同的解题方法，这样不仅达到得高分的目的，而且对于节省大量的考试时间有极大的帮助。作者将会结合上文所提到的数学思想方法简单地总结初中阶段数学的解题规律。

（一）选择填空题

作者坚信，只要能够掌握初中数学的解题规律一定能够把高分视为囊中之物。不少同学因为各种因素无法合理安排考试做题时间，导致最后总分都偏低。现在作者将会以选择填空题作为例子，简单介绍几个巧妙的方法帮助同学们节省考试时候做题的时间。

1.直接推演法。顾名思义，直接推演法就是从题目所给的已知条件出发，利用各种数学公式、法则以及定理等进行一系列的逻辑推理和运算，是一种较为传统且简单的解题方法。

2.验证法。在做选择题的时候，可以把各个选项带入到题目中去进行验算，验证这一个选项是不是正确答案，因此，这个解题方法也可以成为代入法。一般来说，定量命题大多可以利用这个解题方法解决。

3.分析法。对于题目中所给出的条件和结论进行详细的分析和判断，计算和选择最终的正确答案，这就是分析法。

4.特殊元素法。可以利用一些符合题目条件的特殊元素代入到题目的条件或结论中去，从而得出答案，如计算题型时可代入特殊数字1、几何题型可代入特殊图形正方形等等。

5.排除、筛选法。对于正确答案有且只有一个的选择题，可以根据所学的数学知识以及一系列的推理和验算把错误的答案排除，最终得出正确的结论。

（二）探索题

初中阶段的数学探索题目大多以命题缺少题设或结论为主，要求学生通过推理或证明并补充命题，大致可以分为以下几类：

1.条件类。一般要求学生利用一部分的条件或结论推理出所缺少的条件。这种类型的题目可以采用逆向思维求得答案。

2.结论类。这种题型要求学生根据已知条件求出相应的结论。

3.情景类。把实际问题通过建模方式转变为数学问题，要求学生计算出最佳决策。这种题目主要考查学生的数学应用能力。

4.策略类。这种题型并没有唯一的解答方案，学生可以通过各种途径，利用各种数学知识进行解答，为求学生能够突破惯性思维，培养学生的创新能力。

（三）几何题

几何题类型一直都是初中学生的心头大患。它要求学生要具有一定的空间思维想象力和逻辑推理辩证能力，有很多学生面对这种题目都无从下手，是一大失分点。

1.构造法。在很多几何证明题目当中，往往需要学生自己构造出一些辅助线，并同时利用一些定理和法则才能够解答问题。构造法是比较常见的解题方法，有时候在代数、三角的题目中也能够采用。

2.反证法。有些几何证明题并不只有一种证明方法，学生可以先假设一个和命题的结论相反的结果，然后从这个假设出发，经过一系列严谨的推理推出与题目的条件相矛盾，从而可以否定这个假设，肯定原命题的结论。和构造法一样，在很多计算题型中也可以用到。

3.面积法。在很多几何题目中，面积公式不仅能够计算面积，还可以证明平面几何所需的结论。

三、结言

综上所述，不难看出在数学的解题过程中往往要求学生能够灵活多变，传统的解题方法解决不了就要利用特殊的方法进行解答。以上所提到的解题技巧在解题过程中都是十分重要的，因此，教师的引导作用和教导作用是十分重要的。作者坚信，学生只要把握到初中阶段的数学解题规律，才能够提高解题效率，增强的数学能力。

【参考文献】

[1]崔正月.函数y=k/x解题技巧[J].中学生数理化（教与学），2010.

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【关键词】数学教学；数学思想；应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)06-0176-01

《数学课程标准》在对第三学段（七-九年级）的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。

1 渗透数学思想，首要培养自主学习的目标

由于数学思想的存在，使得数学知识不是孤立的学术知识点，不能用刻板的套路解决各种不同的数学问题，只有充分理解掌握数学思想在各种问题上的运用，才能更有效地把知识运用得灵活。由此可见，要培养学生的数学能力，就必须重视数学思想和方法的训练培养自主学习的能力，使得学生更容易理解和更容易记忆数学知识，让学生领会特定的事物本质属性，借助于基本的数学思想和方法理解可能遇到的其他类似问题，有效促进学生数学思维能力的发展。

现代数学教育理论认为，数学不是教出来的，更不是简单地模仿出来的，而是靠学生自主探索研究出来的。要让学生掌握数学思想和方法，应将数学思想和方法的训练视作教学内容的一个有机组成部分，而且不能脱离内容形式去进行孤立地传授。在数学课上要充分发挥学生的主体作用，让学生自己主动地去建构数学知识。初中数学教学的目的不仅要求学生掌握数学的基础知识和基本技能，更重要的是发展学生的能力，使学生形成优良思维素质。这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的。

2 函数思想的应用

古典函数概念的定义由德国数学家迪里赫勒1873 年提出。函数就是一门研究两个变量之间相互依赖、相互制约的规律。在初中数学教学中，函数的思想是数学中处理常量与变量的最常见也是最重要的思想之一，可以说是一项极为重要的内容。

对一个较为复杂的问题，常常只需寻找等量关系，列出一个或几个函数关系式，就能很好地得到解决。例如，当矩形周长为20cm 时，长和宽可以如何取值?面积各是多少?其中哪个面积最大?可以设矩形的长为x，宽为y。面积为S，然后慢慢寻找规律。得出矩形周长一定时，矩形的长是宽的一次函数，面积是长的二次函数，当长与宽相等时矩形就变成了正方形，而此时面积最大为16cm2。

3 数形结合思想的应用

数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许多代数问题具有了显明的直观性。把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数与几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合,是初中数学中十分重要的思想。应用数形结合思想，就是将数量关系和空间形式巧妙结合在数学问题的解决中，具有数学独特的策略指导与调节作用。数是形的抽象概括，形是数的几何表现，两者其实紧密结合，以此来寻找解题思路，可以使问题得到更完善的解决。

例如，二元一次方程组的图像解法，把数量关系问题转化为图形性质：A，B两地之间修建一条l千米长的公路，C处是以C点为中心，方圆50千米的自然保护区，A在C西南方向，B在C的南偏东30度方向，问公路AB是否会经过自然保护区?

数形结合思想的渗透不能简单的通过解题来实现和灌输，应该落实在课堂教学的学习探索过程中，如在《相反数》这节课，先从互为相反数的两数在数轴上的特征，即它们分别位于原点的两旁，且与原点距离相等的实例出发，揭示这两数的几何形象。充分利用数轴帮助思考，把一个抽象的数的概念，化为直观的几何形象。在这种情况下给出互为相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数。特别地规定：零的相反数是零。显得自然亲切，水到渠成。同时也让学生在数形结合的思想方法的引领下感受到了成功，初步领略和尝试了它的功用，是一个非常好的渗透背景。

4 化归转换思想的应用

所谓化归，即转化与归结的意思，就是把面临的待解决或未解决的问题归结为熟悉的规范性问题，或简单易解决的问题，或已解决了的问题。人们解决问题都自觉不自觉地用到化归的思想，这是一种知识的迁移。在整个初中数学中，化归思想一直贯穿其中。从这个意义上讲，人类知识向前演进的过程中，也都是化新知识为旧知识，化未知为已知的过程。因此，化归是一种具有广泛的、普遍性的、深刻的数学思想，也是解决数学问题的有效策略，它在数学教学中也显示了巨大的作用。

例如，对于整式方程(如一元一次方程、一元二次方程)，人们已经掌握了等式的基本性质、求根公式等理论。因此，求解整式方程的问题就是规范问题，而把有关分式方程去分母转化为整式方程的过程，就是问题的规范化，实现了“化归”。

5 渗透方程思想，培养学生数学建模能力

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在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为最值问题。在初中阶段，如何运用数学思想和方法来解决数学最值问题是值得探讨的问题，本文结合初中数学常见的最值问题进行分析，寻求解决最值问题的一些方法。

一、利用函数自变量取值范围的限制求最值问题

由于函数自变量取值范围的限制，函数图像局限于某一线段或某一部分。这样，函数的值往往也确定在某个范围内，从而存在最值，利用函数自变量取值范围的限制求最值问题是初中数学中常见的方法之一。

二、利用配方法求最值问题

配方法，主要是利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2的结构特征。把待解决问题中的代数式，通过一定变形手段，构造出完全平方式：a2±2ab+b2，然后使式子表示成（a+b）2+k或几个平方的和的形式，利用平方的非负性从而得到最值。

例1.设x，y为实数，代数式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值为 .

另外，我们经常利用二次函数的顶点性质求最值问题。如：求面积最大值，求利润最大等。

三、利用根的判别式求最值问题

通常根的判别式可以判别一元二次方程根的状况，可以用来研究二次函数图像和x轴交点个数。在这里，我们还可以利用根的判别式求函数的最值。

例2.设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值。

分析：先由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，思考是否存在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，下面从判别式入手。

当问题分析得到二次函数的顶点式时，我们还要考虑到函数的顶点是否存在，如果顶点不可取得，那么问题变成为在a≤x≤b范围内求最值。往往这些问题在考察分析综合能力的同时，还考察思考问题的严密性。

四、利用几何的方法求最值问题

数学是研究数量关系与空间形式的科学，“数形结合”是初中数学中重要的思想，利用定理“在同一平面内，两点之间线段最短”几何方法求最值问题是常见的好方法。

例3.如图，在某个牧场A附近有个草场B，它们的旁边有一条小河l。在这片土地上放养着一群牛。饲养员每天早上把牛从牧场赶到草场吃草，每天傍晚又把牛从草场赶回牧场休息。傍晚把牛赶回来时，饲养员每次都会让牛先去小河边喝水。设计一条把牛赶回来时的路线画在图上，要求路线最短。

分析：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想方法。

解：首先，作点B关于L的对称点B'，（如图所示），OB'=OB，∠BOP=∠B'，OP=OP，OPB≌OPB'，PB=PB'.

因此，求AP+BP就相当于求AP+PB'。这样，复杂的问题便通过转化变得简单，因此连接AB'得到最短路线，在L上确定点P，牛赶回来时的路线APPB最短。

数形结合是中学数学中重要思想方法之一，是数学的本质特征。它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，正如华罗庚先生所指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。”

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某知名教育家指出：作为知识的数学出校门不到两年可能就被遗忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。因此，我们应该进一步加强数学思想方法在教学中的应用。所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。当前最基本最流行的数学思想方法是数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、化归转化的思想方法、函数的思想方法。能掌握好这些基本的思想方法，就相当于抓住了初中数学知识的灵魂。

一、数形结合思想。就是将数量关系和空间形式巧妙结合在数学问题的解决中，具有数学独特的策略指导与调节作用。数是形的抽象概括，形是数的几何表现，两者其实紧密结合，以此来寻找解题思路，可以使问题得到更完善的解决。例如二元一次方程组的图像解法，把数量关系问题转化为图形性质：A、B两地之间修建一条l千米长的公路，C处是以C点为中心，方圆50千米的自然保护区，A在C西南方向，B在C的南偏东30度方向，问公路AB是否会经过自然保护区？

二、分类讨论思想。所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决。正确的分类应当符合两条原则：（1）分类应按同一标准进行；（2）分类应当不重复，不遗漏。例如，把三角形分为斜三角形和等边三角形两大类，既有重复（等边三角形是斜三角形），又有遗漏（不包括直角三角形），其分类标准不统一，故分类错误。分类后，对各个情况分别进行研究，得出不同情况下的结论，这就是讨论。

三、化归转化思想。所谓化归，即转化与归结的意思，就是把面临的待解决或未解决的问题归结为熟悉的规范性问题，或简单易解决的问题，或已解决了的问题。例如，对于整式方程（如一元一次方程、一元二次方程），人们已经掌握了等式的基本性质、求根公式等理论。因此，求解整式方程的问题就是规范问题，而把有关分式方程去分母转化为整式方程的过程就是问题的规范化，实现了“化归”。

四、函数的思想。函数就是一门研究两个变量之间相互依赖、相互制约的规律。在初中数学教学中，函数的思想是数学中处理常量与变量的最常见也是最重要的思想之一，对一个较为复杂的问题，常常只需寻找等量关系，列出一个或几个函数关系式，就能很好地得到解决。