初中数学求最值的方法范文

导语：如何才能写好一篇初中数学求最值的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为最值问题。在初中阶段，如何运用数学思想和方法来解决数学最值问题是值得探讨的问题，本文结合初中数学常见的最值问题进行分析，寻求解决最值问题的一些方法。

一、利用函数自变量取值范围的限制求最值问题

由于函数自变量取值范围的限制，函数图像局限于某一线段或某一部分。这样，函数的值往往也确定在某个范围内，从而存在最值，利用函数自变量取值范围的限制求最值问题是初中数学中常见的方法之一。

二、利用配方法求最值问题

配方法，主要是利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2的结构特征。把待解决问题中的代数式，通过一定变形手段，构造出完全平方式：a2±2ab+b2，然后使式子表示成（a+b）2+k或几个平方的和的形式，利用平方的非负性从而得到最值。

例1.设x，y为实数，代数式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值为 .

另外，我们经常利用二次函数的顶点性质求最值问题。如：求面积最大值，求利润最大等。

三、利用根的判别式求最值问题

通常根的判别式可以判别一元二次方程根的状况，可以用来研究二次函数图像和x轴交点个数。在这里，我们还可以利用根的判别式求函数的最值。

例2.设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值。

分析：先由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，思考是否存在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，下面从判别式入手。

当问题分析得到二次函数的顶点式时，我们还要考虑到函数的顶点是否存在，如果顶点不可取得，那么问题变成为在a≤x≤b范围内求最值。往往这些问题在考察分析综合能力的同时，还考察思考问题的严密性。

四、利用几何的方法求最值问题

数学是研究数量关系与空间形式的科学，“数形结合”是初中数学中重要的思想，利用定理“在同一平面内，两点之间线段最短”几何方法求最值问题是常见的好方法。

例3.如图，在某个牧场A附近有个草场B，它们的旁边有一条小河l。在这片土地上放养着一群牛。饲养员每天早上把牛从牧场赶到草场吃草，每天傍晚又把牛从草场赶回牧场休息。傍晚把牛赶回来时，饲养员每次都会让牛先去小河边喝水。设计一条把牛赶回来时的路线画在图上，要求路线最短。

分析：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想方法。

解：首先，作点B关于L的对称点B'，（如图所示），OB'=OB，∠BOP=∠B'，OP=OP，OPB≌OPB'，PB=PB'.

因此，求AP+BP就相当于求AP+PB'。这样，复杂的问题便通过转化变得简单，因此连接AB'得到最短路线，在L上确定点P，牛赶回来时的路线APPB最短。

数形结合是中学数学中重要思想方法之一，是数学的本质特征。它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，正如华罗庚先生所指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。”

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关键词：初中数学；高中数学；衔接教学

笔者系统地教过初中数学和高中数学的课程，对于初、高中的数学教材非常熟悉，所以对于初、高中数学教学的衔接问题深有感触。不少学生初中数学学习很好，而用同样的方法对待高中数学的学习则收效甚微。让学生能快速地适应高中数学的特点和教学难度，高一阶段开展初、高中数学衔接教学是非常必要的。本文将从以下三个不同的方面说明开展衔接教学的必要性。

一、初、高中数学教材存在“脱节”问题

近年来初中数学教学内容做了较大程度的压缩、整合和上调，所以高中数学对学生的数学能力提出了更高的要求。而目前初中数学教材与高中数学教材知识内容上有的地方衔接不起来。主要体现在以下几点：

第一，初中数学教材对于二次函数要求较低，学生只限于了解水平，中考要求也不高。但是在高中阶段二次函数却是贯穿始终的重要内容。对于二次函数的配方、画图像、求值域、求单调区间、求最值、研究闭区间上的函数最值等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。可以说要想学好函数，学好二次函数是前提。

第二，二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理在初中不做要求，只要求会简单的常规题型与应用题型。但是高中阶段三个“二次”的相互转化是重要内容，韦达定理的应用是解决函数、不等式、圆锥曲线的有力工具。但是高中教材中没有专门的内容讲授。

第三，初中的因式分解只限于二次项系数是“1”的，对于不是“1”的涉及不多，对于“十字相乘法”因式分解教材上也没有专门的讲授，对于三次或高次多项式因式分解不做要求。但是高中阶段的化简求值经常用到，尤其是“十字相乘法”因式分解可以快速解方程或不等式。高中教材也没有本知识的讲授，都是默认为学生初中已经学习过的。

第四，立方和与立方差公式、完全立方公式、三项和的完全平方公式在初中都不讲，但是高中有的知识还要用到。

第五，几何方面有的概念如重心、垂心、内心，在初中要求很低，但高中的立体几何时常用到。重心定理、射影定理、定比分点定理、相交弦定理等在初中阶段大都没有学习，但高中阶段都要涉及。

以上知识点是主要的初中、高中教材连接不上的地方，但是纵观高中数学的主要知识，少了这些知识的衔接就如同少了重要的台阶，要想学好高中数学是不可能的。如果不及时采取措施，查缺补漏，必然影响进一步的学习。开展衔接课程，既能巩固初中数学的基础知识，又为高中数学的学习打下了良好的基础。

二、初中、高中数学的特点不同

首先，初中数学与高中数学在数学语言的抽象程度上有明显的区别。初中数学主要以形象、通俗的语言表达定义和定理，使学生能够简单地理解、模仿和应用。而高中数学内容多，并且抽象、逻辑性强，尤其是高一数学一开始就是集合Z言、集合逻辑运算语言，概念多且抽象，符号多，定义、定理严格，论证严谨，逻辑性强。再用初中时的死记硬背、机械模仿的方法，结果肯定是事倍功半，收效甚微。

其次，初中数学与高中数学的思维方法有很大的区别。学好初中数学主要靠练，侧重于简单的记忆、模仿。而学好高中数学关键在于悟，只有深刻理解了定义、定理的来龙去脉才能灵活地应用定义、定理去解决问题。高中数学重点考查的就是学生灵活地分析问题和解决问题的能力。总体来说初中数学教材内容单一、形象直观，而高中数学则体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。

通过初中、高中数学的对比可见，要想让初中学生尽快适应高中数学的学习特点，高一阶段必须有一个过渡期或者说缓冲期引导学生来适应这种变化。

三、初中、高中数学的学习方法不同

初中数学教学内容较少，而且知识简单，教师有充足的时间让学生全面理解知识点和解题方法。课后通过反复做题可以让学生理解掌握。学生对教师依赖性强，学习没有主动性，自学能力差。但是高中课程科目多，负担重，加之高中数学难度大、容量高，学生没有充足的时间去学习数学。这就要求学生运用科学的学习方法，如制订计划、课前预习、独立思考、及时复习等。

总之，高中数学与初中数学相比，其知识的深度、广度和能力的要求都是一次大的飞跃。这就要求学生必须掌握好必备的基础知识与基本技能，为进一步更好的学习做好准备。因此，在高一阶段初期开展初、高中数学衔接教学是十分必要的。该衔接首先是知识的衔接，又是教法、学法、学习习惯的衔接。只要教师充分了解了学情，正视存在的问题，一定能使学生尽快适应高中数学的学习，促进学生更好地发展。

参考文献：

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1轴对称变换在特殊三角形最值问题中的应用.

图1例1如图1，正ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，求PA+PM的最小值和最大值.

分析作ABC关于直线BC的轴对称图形A1BC，从而M关于直线BC的对称点为边A1B的中点M1，即PA+PM的最小值为AM1.当P与C重合时，PA+PM的值最大.

解（1）作ABC关于直线BC的轴对称图形A1BC，再作M关于直线BC的对称点为边A1B的中点M1，连接AM1，PM1，CM1，因为M关于直线BC的对称点为M1，所以PBM≌PBM1，从而PM=PM1.所以PA+PM=PA+PM1≥AM1，因为当A，P，M1三点共线时，上式取到等号，所以PA+PM的最小值为AM1.因为∠ACM1=90°，AM1=AC2+CM21=22+（3）2=7，所以PA+PM的最小值为7.

因为PA+PM=PA+PM1≤AC+CM1，当P与C重合时，取到等号，即达到最大值.所以PA+PM的值最大为2+3.

通过以上问题的解决，使学生学会了在正三角形中以一边为对称轴进行轴对称变换的基本方法，利用轴对称变换可以将折线问题转化为两点之间线段最短问题，从而达到了解决平面几何最值问题.以上的问题还可以做如下变式训练：图2

变式训练：如图2，点P，Q，R分别在ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，试求ABC面积的最大值.（全国初中数学竞赛题）

2轴对称变换在特殊四边形最值问题中的应用.

例2如图3，在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=10，EC=14，点P是BD上的一动点，求PE+PC的最小值.图3

分析作点E关于直线BD的对称点E1，则点E1在边AB上，连接CE1，PE1，即PE+PC的最小值为CE1.

解因为BD所在的直线是正方形ABCD的对称轴，所以作点E关于直线BD的对称点E1，则点E1在边AB上，连接CE1，PE1，因为PEB≌PE1B，从而PE=PE1.因为PE+PC=PE1+PC≥CE1，所以当C，P，E1三点共线时，上式取到等号.所以PE+PC的最小值为CE1，因为∠CBE1=90°，BC2+BE21=242+102=26，所以PE+PC的最小值为26.

通过以上问题的解决，轴对称变换的方法在正方形中得到应用，培养学生用轴对称变换的方法能从特殊三角形迁移到特殊四边形的能力.以上问题还可以推广为更一般的情形问题如下：

例3如图4，在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，试求出这个最小值.

图4分析因为需求折线BMN的最小，所以可以考虑作对称变换，作B，N关于AC的对称点B1，N1，这样B到AB1的距离即为BM+MN的最小值.

解作点B关于AC的对称点B1，连接AB1，BB1，设AC与BB1交于点L，作NN1AC，交AB1于点N1，连接MN1，作BHAB1于点H，因为点B， B1关于AC对称，所以直线AC是BB1的垂直平分线，从而AB1=AB，因为AB1=AB，ACBB1，所以∠B1AC=∠BAC.因为NN1AC，所以ANN1是等腰三角形.所以直线AC是NN1的垂直平分线，从而MN1=MN.所以BM+MN=BM+MN1≥BH，即BM+MN的最小值为BH.因为BL=AB×BCAC=20×10202+102=45，从而BB1=2BL=85.所以BH×AB1=AL×BB1，即BH=AL×BB1AB1=85×8520=16.故BM+MN的值最小为16.

通过以上问题的解决，可以拓宽学生的解题思路，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.以上问题还可以做如下的变式训练：

图5变式训练：如图5所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，M，N分别是AD，BC的中点，AC平分∠DCB，ABAC，P为MN上的一个动点，若AD=3，试求PC+PD的最小值.

3轴对称变换在圆最值问题中的应用.

在有些圆问题中可以利用轴对称变换解决最值问题.

图6例4如图6，已知圆周被其上两定点A，B（A不同于B）分为两段弧，试指出弧上的动点P在指定弧的哪个位置时，PA+PB最大？证明你的结论.

分析当点P在优AB的中点时，PA+PB达到最大值，要证明PA+PB最大，只要在优AB上取一点P1（不同于P），只需证明PA+PB>P1A+P1B，即PA+PB最大.

证明：当点P在优AB的中点时，PA+PB达到最大值.理由如下：

在优AB上取一点P1（不同于P），连接P1A，P1B，过P，P1两点作直线l，再作点B关于直线l的对称点B1， 连接PB1，P1B1，设直线l与BB1的交点为C.因为B，B1关于直线l对称，所以直线l是BB1的垂直平分线.所以P1B=P1B1，从而P1BB1，即∠BP1C=∠B1P1C.因为A，B，P1，P四点共圆，所以∠BP1C=∠PAB，即∠PAB=∠B1P1C.因为点P在优AB的中点，所以PA=PB，从而∠PAB=∠PBA.因为∠PP1A=∠PBA，所以∠PP1A=∠PAB=∠B1P1C.因为∠PP1A+∠AP1C=180°，所以∠B1P1C+∠AP1C=180°，即A，P1，B1三点共线.因为PA+PB=PA+PB1>AB1，AB1=AP1+P1B1=AP1+P1B.所以PA+PB>P1A+P1B，故当点P在优AB的中点时，PA+PB达到最大值.

通过以上问题的解决，轴对称变换的方法也可以在圆中得到应用，进一步培养学生用轴对称变换方法的迁移能力.上面的问题还可以做如下的变式训练：

图7变式训练：如图7，已知O的半径为R，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上，试求PC+PD的最小值.

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几何原形：两点之间，线段最短。

公理释义：从A点出发，到达B点之间有很多种线路可到达，如图1，其中最短线路是沿线段AB走。

1.直接使用原理。

数学原型：一条公路l，两旁有两个村庄A和B，要在两个村之间修一条路，请在图2中画出修路的最短线路。

分析：就数学角度而言，公路所在直线l，只是一个干扰因素，只要关注到“两村之间最短路线”，就能联想到公理“两点之间，线段最短”，直接连接AB即可。

例1 如图3，一条河的河岸l1，l2看作两条平行线，河两旁有两个村庄A、B，要沟通两个村庄需要修路和架桥，请画出沟通两个村庄的路和桥最短线路。

解：如图4，把A村沿河岸垂直的方向，平移河宽到点C，然后连接BC，与河岸交于点D，过D作AC的平行线交另一河岸于E点，连接AE得折线AEDB，就是修路、桥的线路。

2.通过一次轴对称使用原理。

数学原型：如图5，直线AB的同一旁有两个点C、D，请在直线上作一点P，使得PC+PD的值最小。

解决方案是老师和学生们都比较熟悉的，如图6：先作点D的对称点E，连接CE交AB于点P即可。

原型变式：改变题设中的“直线AB”为基本图形：

（1）变直线为正方形

如图7，点P是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上任意一点，求PC+PE的最小值。

分析：这是一道典型的勾股定理求解题。如何得到直角三角形是问题的关键。把问题简化成图7的基本形式，有一定的难度：首先，要把边BD看成直线l（对学有困难的学生，可以画在纸上后，调整纸的角度，摆成图7的形状，有利于解决问题），这样就能想到找点C关于BD的对称点，即点A，连接EA与BD的交点，就是点P，从而求出PC+PE的最小值等于AE长。

当然，在这个图形中，也可以把正方形的条件改变成等腰直角三角形，解决方法不变。

（2）变直线为圆（或部分圆）

如图8，扇形AOB中，OA=OB=4，∠AOB=90°，点C是AB的三等分点（靠近点B），若半径OB上有一点P，求PA+PC的最小值。

分析：虽然这个问题情境比（1）更难些，但是只要抓住变化过程的实质：“直线OB的一旁有两个点，在直线OB上找一点，然后求线段之和的最小值”，就可以简化成图7的形式，如图9。

3.通过两次轴对称使用原理。这种问题往往应用原理的痕迹不明显，但如果能意识到“距离最短”的时候，只要有转换思维角度，虽然思维要求比较高，但还是可以找到原理的运用方法的。

数学原型：如图10，∠AOB内有一点P，点C在射线OA上，点D在射线OB上，通过尺规作图，确定C、D的位置，使PCD的周长最小。

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[关键词]初中数学课后作业设计有效性

[中图分类号]G633.6

[文献标识码]A

[文章编号]1674-6058（2016）32-0032

数学课后作业能够丰富学生的知识储备，扩大学生的知识面，发展学生的智力和创造才能，是整个数学教学工作的重要环节，在设计初中数学课后作业时，我们要考虑对各章节的重难点知识进行有效巩固与反馈，着眼提升学生分析问题、解决问题的能力；遵循循序渐进、精选精练的原则，使数学课后作业设计得到最优化，具体来说，我们要确保数学课后作业的有效性，在设计时应做好以下几点。

一、整合综合性习题。着力巩固知识体系

在设计数学课后作业时，要将各章节知识准确地进行归类，形成整体知识体系，并针对各组、各类不同知识精选综合性习题，让学生通过训练来理解、巩固数学基本概念、公式、定理，掌握解题基本技能，综合性习题指的是能全面涵括教材知识点的练习题，“基础、容易、全面、重要”是这类练习题的特点，掌握好这类习题，能有效引导学生巩固教材知识，同时也为突破难点打下坚实的基础。

二、突出⒎⑿韵疤狻C魅诽逑炙嘉训练

启发性习题是指针对学生对知识的掌握程度和学生的认知特点，利用学生容易感兴趣或容易引发思维的话题作为情境进行设计的一类题目，“综合、灵活、开放”是这类习题的特点，在启发性习题的设计中，我们要注重核心知识的变式运用，努力拓展学生的思维探究空间，让学生在训练中真正学会融会贯通，避免思维固化。

例如，在学生学完相似三角形的有关知识后，教师在布置课后作业时，可在其中设置“证明相似三角形”的启发性习题，先让学生根据相似三角形的定义，从“对应角”和“对应边”两个角度设计证明题，然后再从“在三角形中添加辅助线”的角度设计证明题，在此基础上，让学生总结证明相似三角形的常用方法，这样，相似三角形的核心知识在课后作业设计中得以充分体现，又如，学生在学完二次函数后，我们可利用营销情境，从“建立函数模型”“利用配方法求最值”“根据二次函数的增减性求最值”等角度设计一道极具启发性的二次函数综合运用题，将二次函数的核心知识尽数涵括其中，通过这种启发性习题的练习，既使学生牢固掌握数学核心知识，又使学生的解题思维得到充分启发，并且使学生学会了对数学习题进行归纳总结，学生以后再遇到类似的习题就会感到非常熟悉，从而做到举一反三、触类旁通。

三、精选适应性习题。尊重个体差异

由于学生的知识基础、能力水平不同，因此我们设计课后作业时要尊重学生的个体差异，精选适合各层次学生的适应性习题，让优等生在练习中能够综合、灵活运用各项数学公式和定理，中等生在练习中能够掌握基本解题技能，学困生在练习中能够及时发现并弥补自己的知识短板，这样，不同层次学生通过对适应性习题的训练，知识基础、能力水平都得到相应的提高，适应性习题的核心是与学生的知识能力水平相适应，与学困生知识能力水平相适应的应是一些基础性习题，与中等生相适应的应是一些具有启发性的习题，与优等生相适应的应是一些具有探索性的习题，因此，一份优秀的数学课后作业应具备能够代表各层次学生在学习中体现的代表性问题，使不同层次学生通过完成作业都能感受到收获的喜悦和成功的快乐。

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一、建模思想在初中数学教学中的作用

在初中数学教学中应用建模思想能够起到以下作用：1.培养学生的数学应用意识。当学生遇到具体问题时，可以灵活通过数学课堂上所学知识来解决。站在数学的角度来分析，解决问题。2.提高学生利用数学的能力。当学生利用数学方式来解决问题时，可以帮助学生提高从问题中观察数学现象的能力，从而提升其对数学模型划归的思维。3.激发学生学习数学的兴趣。数学能够利用在生活的方方面面，学生对学习数学的兴趣大大提升。4.树立学生学习数学的信心。以往初中数学课堂上过分抽象的知识让学生感到十分枯燥无味，进而对数学产生了畏惧感。而在初中数学中融合建模思想，学生更加容易接受抽象的知识，凭借着课堂上独立自主探索的机会来建树立学习数学的信心。

二、建模思想在初中数学教学中的应用

1.以教材为基础渗入建模思想。在初中数学课堂中融入数学建模思想主要就是指在数学课堂教学中，将数学建模作为课堂的引导思想，将数学概念、数学公式等应用与数学思想充分展现出来。在数学课本中时常会出现已经创设了知识情境的问题，这些具有知识情境的问题的大部分都能够可以数学思想、数学方法结合来开展初中数学教学。找到建模的切入口，结合教学内容开展建模思想的渗透。例如：八个人一起参加一个会议，如果每个人都与其他七个人握手一次的话，那么一共会出现多少次握手。这个例题比较现实，所问的是要总共要握手几次。但是深一层次分析后可以发现，该问题其实是八边形的对角线问题。从数学教材来看，并不是所有的数学知识点都适合进行建模教学，但是在一部分知识点的教学中还是可以灵活地利用数学建模思想。例如：我省的出租车收费标准每个市都是不一样的。A市的收费是起步价10块钱，3千米以后每千米价格1.2元;B市的价格为起步价8元，3千米后每千米1.5元。那么请问如果在A市做出租车x千米（x>3），要花多少钱？在B市又要花多少？小明要在A、B地打出租车的话，两个市相差的费用是多少钱？该应用题是学生日常都要接触到的打车价格问题，但是从数学建模思想来看，其实质是不等式求最值的问题。

2.以生活为基础渗入建模思想。在我们周围生活中有很多问题都可以通过建立数学模型来解决。例如普通家庭水费电费的计算，来回路程时间的计算、买东西打折的价格计算等。日常生活中充满了数学，因此数学就应该应用在生活中。初中数学课堂上教师要创设情境，给搭建独立实践的平台，引导学生主动利用已学的数学知识来解决生活中的具体问题，让学生充分领悟到数学的强大作用与价值。例如：在学习了有关利息的知识后，可以让学生通过利率来计算自己家储蓄所获得的利息;在学习了面积公式后，可以让学生回家测量一下自己家里客厅、房间分别多大;在学了平均数后，可以让学生调查自己家庭的平均身高或平均年龄。在生活中的很多问题都可以利用建模来解决，学生在多次运用后就会产生建模的定向思维意识，意识到数学解决具体问题的积极作用，感受到数学的独特魅力，进而对数学产生浓厚的兴趣。

3.以实践为基础渗入建模思想。初中数学教师应该适时地开展课文实践活动。例如在课外小组中，教师可以给学生讲述哥尼斯堡七桥问题：“一个人怎样才能够做到一次性走遍起座桥，每座桥只经过一次，最后回到起点呢？”学生在思考后得出相应的答案，教师在获知学生的想法和结果后可以引导学生向正确答案上思考。

三、初中数学课堂上融入建模思想的注意事项

1.注重基本方式与思维的训练。为了改善学生利用数学的能力，提高学生解决具体问题的水平，教师应该在教学中结合具体的具体问题，告知学生解答问题的基本方式与思维过程。初中数学教学应用题的一般解题思路为：将具体实际的问题抽象化，然后再对其进行概括并且转化为数学问题，再解决数学问题，得出结果后回答具体问题。

2.引导学生归类问题。教师在应用问题的教学时要密切结合教材上的章节知识，引导学生将应用问题归类，充分发挥定向思维的作用。学生在学会归类后，再遇到相似的题型就会自然而然地得知解题的思路与方式。

3.课后练习与巩固。教师在布置课后作业时应该以课本为基础，将课本中的习题、练习题、例题等进行充分的讲解，让学生自己独立实践解决具体问题。一般练习题均位于课本理论知识后，建模需求强，教师只需要稍加引导学生，学生即可以根据习题的上述理论来解决问题。而教材中的习题主要是为通过教师批改来纠正学生数学语言的规范性。

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这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间关系，或变量在一定条件下为定理时，进行相关几何计算和综合性解答。解决这类题，一般要根据图形变化的过程，对其不同的情况进行分类求解。本文以各地市的中考动点型问题为例进行分析。

一、动点与列函数关系相结合

此类问题一般是通过参变量时间t，并利用几何的一些性质，得到关于含t的代数式，由此来描述动点的运动过程，使动点视为定点参与计算，从而列出含参变量t的函数关系式，这是初中数学中解决“动点”问题最常用的方法之一。

例1[2014年冲刺卷]如图，直线Y=- 3-4 x+6与坐标轴分别A,B 两 点，动点P、Q同时从0出发，同时到达A点，运动停止，点Q沿线段AO运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿线段OBA运动。

（1）写出A、B两点的坐标；

（2)  设点Q运动时间为1秒，∠OPQ面积为S，求S与t之间的函数关系式;

（3）当S=48-5时，求P点的坐标，并求出O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M坐标。

分析：本题是动点和函数关系式的综合性试题，这类的问题难度不太大。处理方法是探索P点运动规律，对运动过程进行分类讨论。再根据题目的要求列函数关系式。

二、动点与图形相似结合

这种“动点与图形相似结合”的综合性试题，它让动点带几何图形的运动变化，在变化中利用相似的讨论方法进行分类讨论。

例2[2009广西钦州]如图，已知抛物线y=(3-4 )x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（-1，0），过点C的直线y=( 3-4t )x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．

（1）填空：点C的坐标是__，b＝__，c＝__；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由。

 

分析：以P、H、Q为顶点的三角形随P点的运动形状不断变化，但COQ的形状和各边长是固定不变，利用相似三角形的知识和相似讨论的方法不难求解本题的答案。

三、动点与最值问题相结合

动点与最值问题相结合是近年来兴趣的新型试题，这类题目综合性和探索性较强，要求学生在动中求静，必须要对图形分析、观察，才能正确地求解。

例3[2014中考模拟卷]如图，在平面直角坐票系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4、3）。平行于对角线AC的直线M从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t(秒)。

（1）点A的坐标是 ，点C的坐标是 ；

（2）设OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由。

分析：本题以动点为背景，要求学生正确分析变量和其他量之间的内在联系，建立变量与其他量之间的函数关系式，并运用数形结合的知识和方法去解决二次函数的最值问题。解题过程中渗透数形结合思想。

四、动点与分类讨论相结合

分类讨论在数学中应用比较广泛，它对考查学生全面分析问题、考虑问题可能产生的多种情况的能力有独特的作用。

例4[2007金华] 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4，√3），点B在x正半轴上，且∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒√3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边PMN．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在RtAOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

分析：解答这类问题要进行分类讨论，随P在线段BA上移动，PMN的大小及位置都发生变化，则等边PMN和矩形ODCE重叠部分的形状发生变化，找到重叠部分“形”变化时的t进行分类讨论。解答此题要求学生仔细审题，根据条件分类画出图形，通过观察、比较、分析图形的变化，提示图形之间的内在联系。这种题型有一定探索性，知识的综合性强，对学生的思维能力要求高，试题有一定的区分度，深受命题老师的欢迎。

参考文献：

[1]张奠宙，李士.《数学教育学导论》.高等教育出版社，2003年

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关键词：中考试题；数学；思想方法

通过对数学思想方法的合理应用，学生可以在很大程度上简化数学问题的难度，使原本复杂的问题变得更加简单，抽象的问题变得更加具象。近年来随着我国教育改革的不断深化，不管是在初中数学课堂的教学过程中还是在中考数学试题的命题中都十分重视数学思想方法。学生利用数学思想方法的能力能够反映他们对知识点的理解和应用能力，能够展示他们解题的思维能力，是衡量学生数学解题能力的重要依据。

一、数学思想方法分析

（一）数形结合思想方法

在数学学习过程中，最常碰到的就是数与形的问题，其中数和形之间是存在密切联系的，数是形的一种抽象概括，而形则是数的一种具体表达。这就告诉我们在进行数形问题的解决时，可以将这两者进行转换，也就是说数的问题可以用形来解决，而同样形的问题也可以借助数来计算。在进行数学问题解答的时候我们要把抽象的数学语言和具体的图形结合起来，利用图形作为辅助工具进行问题的解答。

（二）分类讨论思想方法

当一道数学试题具有不唯一解的时候，就需要应用到另外一种数学解题思想方法，那就是分类讨论思想方法。学生在进行解题的时候可以按照一定的原则把问题所涉及的情况分成若干类别，然后按照类别进行逐一的讨论，在全部的类别讨论完成之后，再把这些类别所得出来的结论进行汇总就是问题的完整答案。这种思想方法的本质其实就是“化整为零”，把复杂的问题拆开进行讨论，这种数学思想方法的一般应用步骤如下：首先仔细阅读问题，确定一个正确的分类标准；其次，针对特定的问题进行分析，按照设定好的分类标准对所有情况进行分类，要保证做到分类不重复不遗漏；然后，对所有的情况进行分别讨论，逐步得出结论；最后，将各类的结论进行分析和汇总，重复的结论进行合并，最终得出问题的完整答案。

（三）等价转化思想方法

把未知的问题转变成为已知问题，把复杂的数学问题简单化所应用到的数学思想方法就是转化思想。转化思想让学生从问题的另外一个角度进行考虑，通常这种思想方法能够把非常规的问题转变成为常规的问题，把复杂的问题转化成为简单的问题，从而能够使得问题迎刃而解，极大地节省了学生解题过程中所需要花费的时间。

（四）配方法以及待定系数法

在初中数学学习过程中，配方法的使用是非常频繁的，利用这种数学思想方法可以解决一些理论性或者比较实际的问题。在有关方程计算的问题中对配方的应用比较多，比如说利用它可以推导一元二次方程或者是求根公式；计算方程的极值点，并且大体描绘出方程的图像轮廓等。在进行方程配方的时候一定要谨记一定规律，那就是在进行配方的时候方程两边要加上一次项系数一半的平方。待定系数法就是利用特定的字母将数学问题的未知量表示出来，然后通过带入未知量，求解方程组从而求出待定系数的大小，使问题得以解决。

二、中考试题中数学思想方法的具体应用

下面就以2015年泰州市中考数学试题的第14题进行简要分析，来探究具体数学思想方法的应用。题目如下：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点。

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）如图1①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；

（3）如图1②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t

学生在进行第一问求解的时候，首先需要做的就是根据旋转的性质得到等腰直角三角形PMO，然后再根据已知条件∠OPA=45°以及P（0，2）就可以很轻松地得出M（-2，0）。进而应用待定系数法即可求得直线AB的解析式，所得的POM如图2所示。

然后在进行第二问的求解时，作出如图3所示的图形，具体做法就是过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为点D，根据题目中所给的已知条件就可以得出三角形QCD为等腰直角三角形，所以就可以得出，QD=QC然后再设Q点的坐标，得出QC点之间的关系式，根据QD与QC之间的关系进一步求出QD的表达式，最后充分应用二次函数的最值定理就能够得出想要的答案。在解答第三问的时候，学生需要注意，因为它所涉及的情况不唯一，会存在∠BPQ=45°，∠PBQ=45°，∠PQB=45°这三种情况，学生需要对这三种情况进行分别讨论，然后把得出的结果进行汇总，才是问题的最终答案。在解答这道问题的时候上面所提到的数学思想方法基本都有应用，当然题目还涉及线动旋转和相似三角形存在性问题、曲线上点的坐标与方程的关系、等腰直角三角形的判定和性质、二次函数最值求解问题，以及三角形的勾股定理和方程思想都有所涉及。

综上所述，我们知道数学思想方法是帮助学生解决数学问题的重要指导性思想和工具，它是数学知识的灵魂所在。不过学生要想具备优秀的数学思想方法，并不是一蹴而就的，这种思想方法的学习过程是潜移默化的，它需要学生在数学学习过程中不断总结和积累。当学生掌握了数学思想方法之后，还要注意对它们的巩固和应用，保证学生在利用数学思想方法进行解题的时候可以做到信手拈来。

参考文献：

[1]刘金英，贯忠喜，何志平.2011年中考数学试题分类解析：数与代数[J].中国数学教育，2012（01）.

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文章编号：1671-489X（2015）05-0132-02

初中数学是高中、大学等数学学习的基础，函数思想更是与以后的数学学习密不可分的，所以，打好基础不仅能够提高学生的中考成绩，更重要的是可以创造在数学领域学习的更大可能性。随着教育的发展，教科书的安排已经变得越来越科学，在初中学习阶段，函数的学习内容主要包括一次函数、二次函数、反比例函数、锐角三角函数等比较初级的内容和知识点。对于初学者来说，函数内容比较抽象，需要借助图像等辅助的内容帮助学生理解。信息技术的发展让函数教学变得更加有乐趣，更加有吸引力。

1 初中数学函数教学的特征

初中数学中函数的内容十分抽象 数学的学习分为不同的模板，相比于几何方面的知识，函数内容显得十分的抽象，因为函数主要是对自变量、因变量的变化以及存在的数量关系进行研究和探索，内容比较乏味和枯燥。很多学生在刚刚接触函数的前期，对函数学习的思想不能接受或是不够适应，以至于对于函数缺乏认知和认同感，甚至有很多学生会对函数产生抵触或是恐惧的心理。长此以往，很多学生在函数方面的学习都会出现“越落越远”甚至“破罐破摔”直接拒绝的情况，最终会影响到学生的数学成绩。但是函数在数学科目中占据十分重要的地位，基础不够牢固会直接为以后的学习制造越来越多的障碍。函数内容本身具有身份抽象的特征，所以在学习的过程中，要根据这一特点克服初中数学函数教学过程中的弱点和缺陷。

初中数学函数的图象具有重要意义 初中数学相对来说比较简单，函数是联系初中数学与高中数学的重要桥梁，对函数的学习受到越来越多的重视，不论是从教师的教学力度，还是在试卷题目中所占的比重来说，函数的内容都被划入重点和难点，尤其是函数性质的应用。一般考试中的实际应用题的设计都会涉及函数知识的各个方面的内容，比如求函数关系式、求最值等，因为学生在学习的过程中对函数性质掌握不够牢固，对函数图象不够熟悉，导致很多理论知识不能够运用在题目的解答当中。而且这类题目前后联系紧密，上一题的答案可能是下一题的结果，所以这类题属于丢分较多的题目，一般被作为拔高的题目放在试卷最后。在教学的过程中，更要注重考试过程中出现的问题和现象，结合实际，对教育教学方法和解题思路的解答方法进行改善和调整。

函数教学的方式方法比较传统 初中数学中函数的部分已经存在很长的时间，在教育教学方法等内容上具有一定的模式，数学教师对函数的特点更是十分地了解和熟悉，对于学生的不理解和抵触心理也习以为常，认为这就是函数作为重点难点的正常现象，却从来没有想过要改变自己的教学方法，让函数的教育内容变得更加易懂、更加有趣。函数教学比较老套，会告诉学生图象与函数关系式的相互对应关系，却没有告诉学生图象的来源以及与性质的关系，在实际的应用过程中不能让它们相互联系在一起，引起对函数知识点的整体记忆。所以，从整体的教育状况来看，即使目前拥有先进的教育设备和信息技术，却因为教育方法的传统，使得现在的数学函数教学与之前相比没有质的变化和飞跃。

2 信息技术与初中数学函数教学相结合的必要性

信息技术运用于未来教育事业是教育发展的必然趋势，也是避免传统教学缺点的重要渠道。学校在引进教学设备、教学软件的过程中，潜移默化地提高了教师的综合水平和整体质量，尤其是在信息技术方面的能力和操作的熟练程度，这就给传统教学方式的改革奠定了良好的基础。对于学生来说，硬件设备和新鲜的教学工具的加入也是吸引学生注意力的重要方式，在新的教学环境中，学生的听课质量和对内容的印象会不断加深，同时对于教学软件等信息技术的操作技能也会随之扩展。

初中数学函数和信息技术的结合，能够更好地研究和探索信息技术与数学函数之间的微妙关系，在信息技术的帮助下更深入地研究初中函数的内容，在函数的基础上帮助信息技术行业开发更多针对初中数学教育发展的软件，更好地促进我国教育事业的发展。所以，信息技术与初中数学函数内容的结合是十分具有必要性的，充分利用信息技术的优势来服务现代教育事业也是未来教育发展的大势。

3 信息技术条件下的初中数学函数解题策略分析

信息技术条件下，利用函数图象解题 信息技术对于教育有着很多尚未发掘的影响和意义，就初中数学的函数教学分析来看，信息技术可以改变原有的教学方式，让教师在对函数的图象与性质的内容进行教授时更有画面感和兴趣。最重要的是，信息技术可以便利地提供函数图象形成过程，同时能够帮助教师实现图象跟随因变量的改变而变化的动态讲解模式，从而让学生在学习的过程中更能够集中注意力，提高学习的效率，在课堂上能够给学生更多思考的时间，在课下学生也可以借助动态的画面和教师的讲解更好地理解课堂内容，帮助更多的学生进行知识的回忆和温习，在摸索和交流中让学生对函数有更多的了解、整体的认知，让学生在独立解决问题时也能够整体地回忆函数的相关内容，让思维更加开阔，解题的思路更加清晰。所以，信息技术对于函数教育以及学生解题思路等方面都有明显的意义，需要学校和教师更充分地利用，为学生创造更好的学习环境。

信息技术改变函数教学的传统方式 随着对教育研究的不断透彻，更多的专家对教科书还有试卷提出更多的改进方案和完善计划，与之相对应的课程安排也应该与时俱进，进行更加科学的调整。信息技术能够为教师的教学资源整合和函数资料的收集提供更大的空间，让教师在授课和解疑答惑的过程中给学生提供更多的信息。从初中生自身的学习方式来看，网络信息技术的发展也可以给学生提供更多独立查找信息的机会，“多角度”“多方位”的函数信息能够让学生对知识的掌握程度更加深入，自己掌握消化的信息可以帮助学生在学习函数的过程中融会贯通、举一反三。

让信息技术平台帮助学生培养“自学”的习惯，开发学生学习函数等重要内容的主观能动性。信息技术将网络的世界不断地扩大，在网络中更多的知识点和细节函数问题被挖掘出来，让每个教师和学生在独立学习的过程中都得到集思广益的效果。信息技术不仅为函数教学提供了很好的交流平台，也成为教育教学史上的转折点，改变“穿新鞋走老路”的现状，让新一代的学生能够在新的学习状态和学习环境中更好地学习和生活，也能够在学习函数的过程中重新认识自己，发掘自己从未发现的能力，帮助他们克服更多学习上的困难与挫折，为我国的科学教育事业做出更大的贡献。

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【关键词】 高中数学；数形结合；运用

数学是一门具有较强实用性的学科.但是，在长时间的教学过程中因受应试教育体制的影响较深，导致学校过度追求升学率，单单重视学生的学习成绩，从而很容易让学生产生厌倦的心理.因此，在高中数学课程的教学过程中，教师应合理应用数形结合法开展教学，以便充分激发学生学习数学的兴趣，让学生积极主动地投身于数学课堂的学习过程中.本文具体论述高中数W中数形结合法的应用途径.

一、高中数学教学中数形结合法运用的重要作用

高中数学与初中数学的知识点相比较，其难度性较大、逻辑性较强.因此，在高中数学课程的实际教学过程中，学生应该紧跟教师的思路，充分运用逻辑思维能力解决实际的数学问题.同时，教师也应该根据学生的实际数学情况，制订具有针对性的教学方案，从根本上提升高中数学数形结合法的应用效率，充分调动起学生学习数学的积极性和主动性.将数形结合法合理运用到高中数学教学过程中，不仅有利于引导学生更好地衔接初高中数学知识，而且有利于培养学生的形象思维，树立良好的现代化思维意识.

二、高中数学教学中数形结合法的运用策略

（一）列出数形条件，注重数形转换的等价性

在高中数学课堂的具体解题过程中，教师与学生应严格遵循简洁性的原则.尽量在审题的过程中根据问题列出相关的数形条件，勾画简单明了的图形，理清数量关系.尤其是在数形结合法的应用初期，教师便可以通过列出树形条件来理清解题思路，消除累赘条件，再根据自己的解题需要绘制相应的图像，为快速解题提供依据.在高中数学课堂的实际教学过程中，当教师合理采用数形结合法时，应注重“数”与“形”等价转变的重要性.其中，学生在做题过程中应结合题干内容，深入思考用代数解答简单还是运用图形解答简单，注重数形转换的等价性.

例如，根据具体的函数在平面直角坐标系下画出对应的图形，要求每一个函数值需要在具体的图像中找出对应的点，让函数图像与数量关系尽量保持一致性.同时，根据图像所确定的数量关系，应该在函数图像中找出特殊的点，并坚持等价的原则将其转换为数量关系，再列出等价的函数关系式，从而快速正确地得出答案.

（二）数形结合图形演示，列出不同的解题方法

在高中数学课程知识的教学过程中，教师应该充分利用坐标和图形，合理地利用数形结合法进行图形演示，从而将抽象的数学概念知识直观化，充分激发起学生的学习兴趣，促使学生能够快速领悟数学知识中的数形结合方法.其中，针对某一种数学题，教师应该尽量展示数与形的不同解题方法，促使学生逐步养成用数形结合的方法进行解题的习惯.

例如，在探究“代数抽象的特点与几何图形直观特点”的过程中，教师便可以利用代数和几何图形的优点，根据数学知识的实际情况，选择简便的计算方法，以此缩短解答的时间，提高解题的正确率.

（三）数形串联综合使用，提升数学学习效率

将数形结合法合理应用到高中数学课堂的实际教学过程中，首先，应让学生了解具体的几种数形结合法：以形助数求最值、以图形辅助数字、以数字辅助图形、数形串联综合使用等.其中，当前高中数学课堂教学过程中常见的题型，也是高考中经常出现的题型，就是求函数式的最值问题.然而，由于求最值问题的难度性较大，所以常常让高中学生在解答的过程中显得手足无措.因此，教师便可以指导学生采用数形结合法进行函数最值问题的解答，充分利用函数图像的斜率来求解答案.此外，还可以采取分段函数法来展示图形的内在联系，逐步将复杂的数学问题变得简单化、容易化.

例如，在“立体几何求证”的过程中，大部分学生则可以将图形问题转化为三角函数的问题，以数学代数法解决几何问题，从而将几何图形系统化，帮助学生在解答的过程中形成良好的数学思维.

再例如，在证明“等腰三角形底边上任意一点到两个腰的距离之和等于一腰上的高”时，教师便可以指导学生先将这个问题转化为几何问题，构建完善的直角坐标系，以此减少解题的计算步骤.其中，在建立直角坐标系的过程中的学习重点内容就是展示数学关系、减少计算量.另外，在数学解题过程中采取数形结合的方法时，则可以使用向量解决直线垂直、线段相等、立体几何空间距离和立体几何空间角度等问题，从根本上提升高中数学的教学水平.

三、结 论

总而言之，在高中数学课程教学过程中合理应用数形结合法，能够有效简化解题过程、构建良好的解题思维，提高数学课程的解题效率.因此，在高中数学课程的实际教学过程中，教师应多鼓励学生根据题意使用几何图形和函数关系进行解答，促使学生通过数形结合法深入了解数学知识的内在联系，从根本上提升高中数学课程的教学效率.

【参考文献】