数学建模的问题范文

导语：如何才能写好一篇数学建模的问题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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随着科技的快速发展，社会对应用型人才的需求日趋增加，高校教育必须加强对学生创新能力和解决实践问题能力的培养［1］。数学建模正是衔接创造性思维与实际应用的纽带，通过数学建模课程学习及实践训练，学生不仅能了解数学的应用价值，也能锻炼创新实践能力。由于数学建模课程的内容涉及的领域多，案例式授课，实际应用性强，与所学的高等数学、工程数学课程不同，不能形成连贯的系统性知识点，学生很难接受这门课程的学习方式。为了让学生更好地学习数学建模，教师要改进教学模式，根据教学规律的要求，探索数学建模教学方法，将有助于学生掌握数学建模技能，从而提高解决实际问题的能力［2—4］。

二、数学建模的认知

大学开设基础数学课程能让学生体会到数学的严密逻辑体系及高度抽象的思维方法，但对数学的实际应用介绍的甚少，很难将数学与工程技术、经济管理、生物信息等其他领域联系起来。数学建模是用数学语言来描述实际问题，将它变成一个数学问题，再利用现有的数学工具或发展新的数学工具来加以解决的整个过程。通过数学建模学习与实践，学生在体验建模过程的同时提高了思维能力和创造能力。数学建模课程的学习，可以重新认识数学的作用。课程重点就是介绍数学应用到实际领域中的方法，结合案例，应用初等数学、高等数学等数学知识来解决不同领域问题。在现实中许多现象及问题都可以用到数学来解释，如，我们看到一个四条腿椅子经过简单的移动就可以找到合适的位置放稳现象，用高等数学中的“零点存在定理”很容易解释这个问题;若知道某珍稀动物各年龄段数量信息，来推测未来种群是否会灭绝，可以用线性代数中的“矩阵”预测未来动物数量分布。书报供应商订购多少数量的商品才能得到最大收益呢?用概率中的“数学期望”建立报童卖报优化数学模型可解决这类问题。数学建模竞赛实践能更好地培养和提高学生应用数学知识分析问题、解决问题的能力。几年来，数学建模竞赛赛题背景知识广泛，要想取得好成绩，不仅要掌握扎实的数学基础，较好的计算软件使用方法，还需要较强的自学能力，广泛涉猎诸如物理、生物、信息等知识。例如，2012年美国大学生数学建模竞赛A题“树与树叶”，需要了解植物树叶生长特点，涉及到生物学知识;2014年全国大学生数学建模赛题A题“嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略”涉及到万有引力定律知识。数学建模是以数学为基础，综合自然科学和社会科学的实践活动。学生们可以通过多种途径了解数学建模，如，与数学建模课程教师咨询、与参加数学建模系列教学活动的同学交流，浏览数学建模网上的数学建模课程介绍及阅读数学建模书籍等，以获得更多的数学建模知识与信息。

三、数学建模学习过程

在学习过程中不仅要掌握数学建模的基本方法、数学建模思维模式，同时还要能以团队形式自主完成一整套数学建模训练题目，才能体会数学建模的真正内涵。目前，最行之有效的途径就是参加一次数学建模竞赛。可将数学建模过程分解为三个阶段:数学建模课程学习，数学建模综合培训，数学建模竞赛及课外科技活动。

1.数学建模课程学习

(1)掌握数学建模的基本方法。数学建模基本方法介绍是从案例分析开始，首先了解问题的背景、要解决的问题，分析用什么数学方法描述问题符合的规律，建立数学模型，并对模型求解，解释结果合理性。可以紧跟教师思路，积极展开思考，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同，从简单的初等数学建模方法入手，了解数学建模的全过程。例如，鱼的重量估计问题，在没有称重的条件下如何根据鱼的长度估计鱼的重量呢?在合理的假设下，利用初等比例方法建立鱼重量与长度数学模型，利用鱼的长度能估计出鱼的重量，经验证结果是有效的。然后，要结合所学的数学知识逐步学习一些基本的建模方法，例如，微分方程建立传染病模型可以预测流感流行趋势问题;概率统计方法建立的报童模型可以预测出订购多少报能获得最佳受益。最后，要学会模仿案例建模过程完成作业，掌握建模的基本方法和技巧。数学建模过程不是解应用题，虽然没有唯一途径，但也有一定规律可循，在学习中要善于思考，慢慢形成建模思维方式，有助于建模能力的提高。

(2)养成良好的自学习惯。数学建模课时有限，许多数学建模方法及案例不能在课堂上介绍，在课余时间同学们可以选读一些教材中的案例和在期刊公开发表的建模论文，细致研读案例的建模思想，学会举一反三，重点是学会分析问题，了解更多领域的数学建模的方法、新颖的建模思想，提高用数学方法解决问题的能力。还可以丰富建模信息量，提高建模能力。同时，还可看到同一问题，可以选用不同的数学方法、从不同角度加以解决，这也是数学建模的魅力所在。例如，锁具装箱问题，可以用排列组合方法，也可用图论方法，都能给出减少锁具互开的装箱方案。

2.数学建模综合培训

(1)数学建模方法再学习和建模能力强化训练。随着数学建模解决问题多元化发展，基本的数学建模方法及计算能力远远满足不了实际问题的需求。因此还应学习一些现代数学方法，如，图论，模糊数学，多元统计分析等。学会熟练运用计算机软件技能，如，数学软件MATLAB，EXCEL数据处理，求解数学规划软件及统计软件。

(2)阅读建模论文。通过仔细阅读刊登在杂志或数学建模网站上的数学建模论文，学习论文的整体层次结构，写作技巧，对问题的分析、假设、模型建立和求解过程。寻找论文的优缺点，并比对论文作者对论文的评价。要善于总结所读的论文中解决问题的适用类型，如，优化类，预测类等，对于不同问题采用什么方法更合适，以备后继数学建模中使用。还可以提出自己的一些想法，改进别人做过的模型，或完成其中运算过程。数学建模是一项没有标准答案的数学应用，模型的研究结果大致符合实际就好。

(3)数学建模模拟训练。选作历年数学建模竞赛题目或实际问题中提炼出来的数学建模题目，学习查阅资料、分析问题、建立数学模型、使用软件求解、论文写作来模拟数学建模全过程。请教师对论文的摘要、结构、模型的准确性、论文语言表述、格式规范等方面提出建议，再经过多轮修改，直至满意为止。

3.参加数学建模实践活动

(1)数学建模竞赛。参加数学建模竞赛是培养综合应用数学知识解决实际问题的最有效途径之一，参加一次数学建模竞赛才能体会数学的真正魅力。目前开展的数学建模竞赛可以分为四个层面，一是美国大学生数学建模竞赛(MCM/ICM)，是由美国数学及其应用联合会(CO-MAP)主办，并得到了SIAM，NSA，INFORMS等多个组织的赞助，是一项具有世界影响的国际级竞赛，为现今各类数学建模竞赛的鼻祖。二是全国大学生数学建模竞赛(CUMCM)，是由教育部高等教育司、中国工业与应用数学学会联合主办，并得到了高等教育出版社、美国COMAP公司的支持与赞助，是一项全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。三是地区级、省级、专业类别赛事，如，东三省数学建模联赛是由黑、吉、辽三省高校联合发起的科技赛事;电工杯数学建模竞赛是由中国电机工程学会电工数学专业委员会主办的科技活动;数学中国数学建模国际赛(小美赛)是由数学学会与数学中国(www．madio．net)和第五维信息技术有限公司协办的全国性数学建模活动。四是由校级开展的数学建模竞赛活动。在竞赛中，调整好心态、应用好文献资源、积极思考、发挥每个队员的长处、合理分工是取得成绩的必要条件。

(2)数学建模实践。要善于发现学习和生活中的诸多问题，要学会用数学的眼光看待问题，要用数学建模的方法来解决。例如，在课程设计、毕业设计中，在校园生活中，可能面临着方方面面的问题。要学会观察实际现象，提炼出要解决的问题。要真正做到学会发现问题、解决问题，这需要一定的练习过程，也是学好数学建模的必要环节，可以提升自身的综合素质和创新能力。

四、数学建模提高学生的综合能力

一次参赛，终身受益。数学建模最能激发人的潜能，数学建模思维方式会影响学生今后的学习和工作方法。数学建模教学内容及教学方法对培养学生的综合能力尤为突出。主要体现在:

(1)培养学生的想象力、洞察力和创新能力。不论是数学建模课程学习还是实践，都是针对实际问题，需要学生主动查阅文献资料和学习新知识，主动探索，提出解决方案，这种学习方式促进了创新能力的形成，也培养了学生从事科研工作的初步能力;同时增强了运用数学知识和计算机技术解决实际问题的能力和团队协作能力。

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关键词 数学建模；慕课；自主学习；MATLAB；SPSS；

中图分类号：G642.0 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2016）20-0097-02

Abstract In this paper， the problems existing in the mathematical modeling course are expounded in medical college.Aiming at theseproblems， the method of solving the teaching quality of mathematicalmodeling course is put forward.

Key words mathematical modeling； MOOC； autonomous learning； MATLAB； SPSS

1 前言

目前，医学院校学生普遍对高等数学课程重视程度不够，很多高校也减少了高等数学课程的学时。但医学生一旦走入社会，认识不到利用数学问题解决实际应用问题，在科研方面利用数学的方法进行各种统计分析，会影响自己的工作。数学建模就是通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，来建立数学模型的全过程[1]。对学生进行数学建模课程的培养，可以使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。因此，在医学院校开展数学建模课程是十分必要的。

2 医学院校开展数学建模课程存在的问题与重要性

自1993年国家开展第一届大学生数学建模竞赛，现在已经日益发展起来，受到更多的高校和学生的欢迎。通过数学建模竞赛，学生对实际应用的数学问题通过建立模型的方法得以解决，以提高实际应用能力、创新能力和团队协作能力。但由于医学院校学生本身对数学课程学习较少，而且对计算机软件也是最基础的学习，因此，对医学院校学生来说，数学建模竞赛基础比较薄弱。

学生重视程度不够 医学院校的学生，大部分是临床、护理、药学等医学相关专业，他们对医学专业课学习的热情较高，认为这些才是以后工作学习相关的重要课程，而对于那些其他的基础课程学习热情不高，认为只要考试及格即可，在学习态度上不够重视，导致对很多关于数学的基础算法、建模需要的模型设计在脑海中完全没有概念，因此一旦进行数学建模竞赛，就相对显示出其与一般综合性大学学生素质的差距。

医学高等数学内容教学浅显 现阶段数学建模课程并没有相对应的教材，而且并没有开设相应的课程，而所学的高等数学课程一般为32～60学时，只涉及一些基础的数学知识，对于统计课程的开设也只是学习到医学阳性分析、卡方检验之类的可以应用到医学论文应用的内容。一个数学建模过程会涉及的全面的数学知识，如果没有对数学内容理解透彻，就难以将数学建模做出来。医学生数学功底难以应对复杂的数学建模过程。

自学能力有待提高 目前大学生的学习状态从高中转换到大学，很多学习习惯仍然没有形成，仍旧延续高中时被动学习的习惯，没有掌握主动学习的方法和习惯。而数学建模的过程是需要学生自主学习，数学建模没有正确答案，只是考查学生谁的算法更好，更加准确地验证实际问题。建模过程是多学科知识、技能和能力的高度综合，因此，自学能力要求学生在数学建模中对未知的题目、陌生的领域自己去学习、去掌握。

检索创新能力、团队协作能力不够 数学建模是以小组为单位，组建成团队，团队中的成员要发挥各自的特长，擅长对数学问题的解读，擅长检索文献，擅长计算机软件编程以及擅长对论文的演讲解释。医学生初入大学，对文件检索课程学习较少，而医学院校基本上以医学文献检索介绍为主，对于综合性的数据库介绍较少，因此，学生还无法准确掌握检索的方法而找到合适的参考文献。要想建立成功的模型，不仅要求团队中的每一位成员都有一定的能力，更重要的是都要有协作精神，要相互配合、团结一心、共同努力，但目前学生都比较有个性，而且自我意识较强，相互配合及协作能力有待于进一步加强。

学校教学软件和教学场地受限 很多高校对于数学建模并没有专门的场地，基本上是临竞赛前借用计算机教室或是图书馆机房，无固定的教学场地或供学生平时学习探讨的场所。由于场地不固定，一些建模必备的软件并没有安装，如MATLAB、C++、LINGO及SPSS等，只在竞赛前临时学习培训和安装使用，因此，学生对各种软件使用起来较为生疏，需要平时的积累和练习。

数学建模对学生信息素质培养的重要性 学习数学建模相关课程和相关软件，对培养学生信息素养是十分必要的，而对于医学生来说也尤为重要。很多医学问题是由数学问题解决的，如目前常用的显著性检验、回归分析、方差分析、最大似然模型、决策树及基于二维雷当变换创建CT成像理论等，因此，数学建模对培养医学生的科研能力、处理实际应用能力、创新意识、团队协作能力、文献检索能力等是十分必要的。21世纪的大学生必备的能力就是要具备一定的信息素养，因此，数学建模对培养学生信息素养也是十分必要的。

3 解决对策

吉林医药学院根据以往的建模情况，近几年逐渐摸索出解决数学建模竞赛薄弱，培养学生数学意识，加强学生数学素养的对策，并取得一些成效。

提高学生兴趣，建立社团组织 首先，学校和团委组织学生社团，定期举办一些趣味数学的讲座。组织学生建立数学建模社团，通过社团，建立趣味数学竞赛，介绍数学和医学的联系和发展。让参加过建模竞赛的选手介绍成功的经验，从学生的角度出发，让学生对数学建模的兴趣增加，利用社团学分制度、竞赛奖励等措施培养学生对数学建模的爱好。在团队中采用新老队员结合，从简单的初等模型、计算机编程，通过简单的图书摆放方案、银行存款方案、汽车刹车距离模型、划艇比赛成绩模型等问题，引导新生对数学建模有概念，继而对数学建模有浓厚兴趣。

建立数学建模选修课 鉴于学生对数学建模知识涉猎较浅，学校增加数学建模选修课程，多位教师小班授课，将SPSS、MATLAB、运筹学、图论、微分方程、概率论与数理统计等内容结合。从数学模型引入、简单生活实例入手，逐渐增加学习难度，循序渐进，通过上机指导、模拟练习、小组讨论等多种授课方式，增加学生上机练习机会，以便在实际竞赛过程中克服紧张情绪、增加熟练程度。目前，数学建模选修课已经得到学生的热烈欢迎，选修人数每次都是爆满，而且授课中听课效果非常好。

联合计算机软件课程，多教研室辅助教学 在平时教学过程中，发现有许多学生对基础的计算机软件程序使用有困难。因此，联合计算机教研室教师，在选修课中增加对计算机软件的介绍，如C++等，这是专门的一门选修课。选修数学建模的学生可优先选修计算机课程，这种设置方式也便于学生自由选择。对于计算机基础薄弱的学生，在选修数学建模的同时也可以选修计算机基础，而对于编程较好的学生则可以省略计算机的学习过程。在组建的数学建模社团中定期聘请计算机教师给学生进行讲座，请流行病学的教授介绍疾病模型，增加学术氛围，多部门联合增强师生之间的交流。

建立慕课平台，促进学生自主学习 目前的教学模式倡导自主学习，增强学生的信息素养，培养学生的应用能力。慕课教学也是比较完善的教学形式，利用碎片化的时间，利用点滴课余时间，学生可以学习到更多高校名师授课内容。吉林医药学院引进慕课教学平台，借助慕课的教学方式，让学生利用业余时间学习，并且对学习过程中无法掌握的内容可多次重复学习，掌握所学内容。

保证教学设备，从硬件设施上保证教学质量 吉林医药学院建立数学建模小机房，内设10台电脑，可供3个建模小组同时上机操作。可以在平时让学生练习建模设计、模拟竞赛、小组讨论，让教师分组教学使用。而对于省赛和国赛，另设立专门机房，以便多人多组进行竞赛。

4 结语

通过以上措施，吉林医药学院数学建模取得良好成绩，每年均有小组获取省或国家奖项，并且学生参与积极性较高。当然，对于数学建模这门新兴的学科而言，仍然需要更多关注，如增加数学建模教材的编制，完善数学建模效果的评价体系，提高教师教学水平等。只有处理好各环节，才能提高学生的应用能力、实际操作能力及处理实际问题的能力，提高信息素养。

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【关键字】数学教学 新课程 数学建模 实际问题

随着科学技术、经济的飞速发展和计算机的广泛应用，数学日益成为一种技术，其手段就是计算和数学建模。所谓数学建模，粗略地说就是“解决各种实际问题的一种数学的思考方法。”具体地说：“数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参数，并依据某种‘规律’建立变量和参数间的一个明确的数学关系（即数学模型），然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证，若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新进行改进。

数学建模主要有以下三个步骤：实际问题数学模型；数学模型数学的解；数学的解实际问题的解。

新课程实施以后，高中阶段已全面使用新教材。在新课程理念下编写的新高中数学教材，与以往的教材相比更加注重学生学习的过程，强调学生去体验知识的获得过程，通过自己的实践获得第一手资料，要求学生了解数学知识的来龙去脉，经历数学知识的发现、发生、发展的过程。特别强调让学生去发现问题、分析问题、解决问题。但在日常教学中，由于自身条件限制和学生的原因，数学建模教学这一块仍然存在一些问题。现结合自己的教学经历谈一点感受：

一、存在问题：

1、学校方面：作为高中，学校特别注重高考升学率，狠抓常规教学，平时很少搞数学建模活动。

2、教师方面：教师在大学都学过数学建模课程，但是对这部分内容还教的不是很得心应手，平时同事间缺乏专业知识交流，数学建模方面知识匮乏。

3、学生方面：

（1）缺乏解决实际问题的信心。

与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。

（2）对实际问题中一些名词术语感到生疏。

由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、教育储蓄等概念，学生对其意思都没懂，涉及这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。

二、克服数学建模困难的对策

1、学校方面。

（1）加强对教师的继续教育，邀请专家给予指导和讲座。作为一线教师，具有一定的实践经验，但从理论上缺乏相关知识，可以开设相关的继续教育课程，打开思路，交流心得，增进了解，以此提高自身的数学应用意识。

（2）邀请各行各业专家做学术报告。学校利用校本教研，为了增强数学应用意识，可以邀请各行各业的一些专家到学校做学术报告或讲座，不仅是局限于请教育方面的专家。一般来说，他们的报告或讲座涉及实际应用，能够反映当今数学在科技前沿上的广泛应用。通过听报告和参加座谈，教师会了解当今社会数学的发展动向，洞悉数学应用的广泛领域和广阔前景，会更深刻地体会数学的应用价值。

（3）开展数学建模活动，让师生积极参与。

2、教师方面。

（1）教师还应与新教材结合起来研究，注意研究新教材各个章节要引入哪些模型问题。如储蓄问题、贷款问题可以结合在数列的教学中。教师要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生研究数学建模的兴趣，提高他们应用数学知识进行建模的能力。

（2）在数学课堂上，要适时地结合实际，将数学建模思想引入课本知识。

新课程标准在教学建议中指出：“在数学教学中，应注重发展学生的应用意识：通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学，我要学数学。”因此，教师要多创设教学情境，从现实生活中引入数学知识，使数学知识生活化。让学生带着生活问题进入课堂，使原本觉得十分枯燥的数学问题一下变得鲜活起来。

3、学生方面：

（1）培养学生的自信心。一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代必备的心理素质。教师在教学中如果注意联系身边的事物，让学生体验数学，并尝到成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣，培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的。

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[关键词] 微分方程 数学建模 经济应用

微分方程是一门独立的数学学科，有完整的数学体系，微分方程是数学联系实际，并应用与实际的重要桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。微分方程在物理学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，如果说“数学是一门理性思维的科学，是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现，现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程的问题，例如物体的冷却、人口的增长、琴弦的震动、电磁波的传播、人才的分配、价格的调整等，都可以归结为微分方程的问题，从中我们可以感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力。

一、逻辑斯谛(Logistic)方程

逻辑斯谛(Logistic)方程是一种在许多领域中有着广泛应用的数学模型，下面借助树的增长来建立该模型。

一棵小树刚栽下去的时候长的比较慢，渐渐地，小树长高了而且长的越来越快，几年不见，绿荫底下已经可以乘凉了，但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来。下面建立这种现象的数学模型。

如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差，则又明显不符合中间一段的生长过程。折中一下，假设树的生长速度既与目前的高度呈正比，又与最大高度与目前高度的差成正比。

数学建模:设小树生长的最大高度为H(m)，在t(年)时的高度为x(t)，则有

其中k>0是比例常数，称此方程为逻辑斯谛(Logistic)方程

解微分方程:分离变量得

两边积分 得

整理得

故逻辑斯谛(Logistic)方程的通解为 (其中的c是正常数)

通解函数的图像成为Logistic曲线。另外这说明树的增长有一个限制，因此也称为限制性模式。逻辑斯谛(Logistic)方程除了应用于生物种群的繁殖外，还应用于信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及商品的销售等等。

1.人口阻滞增长模型:1837年，荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型

y(t0)=t0 其中k，b称为生命系数。

符合逻辑斯谛(Logistic)方程的模型，通解为

某国家人口增长满足逻辑斯谛(Logistic)方程，其中b=275（百万），c=54，y的单位是年，根据这些数据可求出再过100年该国的人口数。

因为把以上数据代入得

即再过100年，该国的人口数为5千万。

2.新产品的推广模型:设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t)，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销量的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销量存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N-x(t)也成正比,于是有

符合逻辑斯谛(Logistic)方程的模型，通解

当x(t*)

研究与调查表明:许多产品的销售曲线与Logistic曲线十分接近，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应转产。

二、国民收入与国民债务问题的模型

某地区在一个已知的时期内国民收入的增长率为，国民债务的增长率为国民收入的若t=0时，国民收入为5(亿元)，国民债务为0.1(亿元)，试求国民收入及国民债务与时间t的函数关系

设国民收入函数为y(t),由条件知

所以得国民收入函数因为t=0时，y=5 得 c=5

故国民收入函数

设国民债务函数D(t)，由已知

解此微分方程得

由t=0时，D=0.1得c=0.1

故国民债务函数为

三、价格调整问题

某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数Q(P），S(P），则在时刻t的价格P(t)对于时间t的变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量Q(P)―S(P)成正比，即有微分方程

在Q(P)和S(P)确定情况下，可以解出价格P(t)与时间t的函数关系，这就是商品的价格调整模型

某种商品的价格变化主要服从市场供求关系,一般情况下，商品供给量S是价格P的单调递增函数，商品需求量Q是价格P的单调递减函数,为简单起见,该商品的供给函数与需求函数分别为

s(p)=a + bp, Q(p)=α―βp(1)

其中a，b，α，β均为常数，且b>0,β>0.

当供给量与需求量相等时，由式(1)可得供求平衡时的价格

并称Pe为均衡价格。

一般情况下，当某种商品供不应求，即S

其中k

将(1)代入方程，可得 (2)

其中常数λ=(b+β)k>0,方程(2)的通解为

假设初始价格P(0)=P0，代入上式，得C=p0―Pe，于是上述价格的调整模型的解为

由于λ>0知，t+∞时，p(t)Pe。说明随着时间不断推延，实际价格p(t)将逐渐趋近均衡价格Pe

四、人才分配问题

每年大学生都要有一定比例的人员分配教育部们充实教育队伍，其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作。设t年教师人数为x1(t），科学技术和管理人员人数为x2(t)，又设1个教员每年平均培养α个毕业生，每年从教育、科技和经济管理岗位上退休、死亡或调出人员的比率为δ(0

（1）

（2）

方程(1)的通解为

若设x1(0)=x01，则于是，得到方程(1)的一个特解

将上式代入方程(2），得

方程(2)的通解为

若设x2(0)=x，则，从而得到上述方程的特解

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数学建模是培养学生运用数学知识解决实际问题的能力. 我国受国际上“问题解决”教学的影响, 也注意强调对学生的分析问题和解决问题的能力培养, 开始在教育中引进实际问题, 教育部 2003 年颁布的《普通高中数学课程标准》把数学建模纳入其中, 这是我国中学数学应用与建模发展的里程碑, 同时标志着数学建模正式进入我国高中数学教学.

【关键词】高中；数学；建模；问题；应用

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)02-0230-01

在高中数学中，数学建模实际上就是如何去解决生活中的实际问题。根据本人的实际教学经验，发觉学生很难掌握数学建模这一方法。学生存在的主要困难有以下三点：（1）望而怯步,弃城投降。数学实际问题的文字叙述比较长,数量比较多,关系比较隐蔽;因此,面对一大堆非形式化的材料,许多学生不知从何下手,产生惧怕心理,有的一看是篇幅较长的文字题读也不读就放弃了。（2）术语不熟,题意难懂。由于实际应用题中有许多其他知识领域的名词术语,如利率、利润、打折、保险金、纳税率和折旧率等。如果对这些名词术语语不熟悉,那么,正确理解题意也就谈不上了。（3）杂乱无章,无从下手。许多实际问题中,涉及到的数据多又杂,数量关系不明显,而且数据具有生活实际的本来面目,杂乱无章,头绪纷聚,很难找到解决问题的实破口。面对题目,无从下手。但实际问题的解决又非常重要，在高考试卷中一般都会出现。

下面来看几个2007年各地高考试卷中出现的一些关于实际问题的题目。

例1、（浙江卷理4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是

（A）3 （B）4

（C）5 （D）6

例2、（安徽卷理21）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2, … 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r>0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+r）n－1，第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r）n－2，……. 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证Tn=An+ Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列.

例3、（湖南卷理19）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0″

（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAD修建公路的总造价最小；

（Ⅱ）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；

（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′、E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论.

可知用数学建模来解决实际问题的方法已越来越重要。如何来解决呢？一般可构建一些学生所熟悉的模型：如构建函数模型，构建数列模型，构建不等式模型，构建解析集合模型，构建立体几何模型，构建排列组合模型等等。下面我们结合案例来讲述数学建模的一般过程。在《数学课程标准》中我们可以看出建模重点在于过程, 我们要为学生创设一个学数学、用数学的环境, 为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会. 尽量为不同水平的学生提供展现他们创造力的舞台, 发挥学生自己的特长和个性, 提高他们综合利用自己所学知识解决问题的能力, 感受数学的使用价值. 充分发挥学生的创新意识, 同时培养学生团队合作的精神,养成与人交流的习惯.

案例：

你正在为你父母的投资选择充当顾问, 你的父母早就想改善住房条件, 5 年前在银行开设 5 年期零存整取账户, 坚持每月在工资发放当天存入现金 1000 元, 从没间断,今年刚好到期. 最近, 你的父母看中一套价值 20 万元的房子, 决定从银行取出这笔存款, 不足部分再向银行申请按揭贷款, 我们一起研究你的父母还需要向银行贷多少款? 你父母向银行申请为期10年的贷款13万元, 结果只批准贷款 10 万元, 请你解释这是为什么.问题分析: 首先收集材料调查银行住房存贷款类型、( 整存整取, 零存整取等) 年利率、利息计算形式( 单息, 复息) . 题中所要解决的问题:父母存款额, 需贷款额, 父母的偿还能力.模型假设: 银行存贷款利率不随物价波动即为常数.模型建立与求解:

(1) 父母现在共有存款多少?还需贷款多少?

在上述简化假设下, 父母五年存入 5×12×1000=60000( 元) , 每笔款子由于存期不同所得本利和不同, 按单利计算, 当年五年期零存整取的月利率为 8/1000, 每期为一个月, 1000 元每期的利息为 1000×8/1000=8( 元) , 设按本金存入顺序本利和依次为 a1, a2, ...a60, 则:a1=1000+60×8, a2=1000+59×8, a3=1000+48×8, a60=1000+8, 故{ an} 为公差 d=- 8 的等差数列, 实际问题就转化为求等差数列前 n 项和:S=n( a1+an) /2=60( 1000+60*8+1000+8) /2=74640( 元)

200000- 74640=125360( 元) .

父母现有存款 74640 元, 还需向银行贷款约 13 万元.

( 2) 银行减少贷款数额, 考虑什么因素?(偿还能力)

( 学生互相讨论) 据统计, 全家四口人每人每月的生活费400 元, 每年全家稳定收入 3.7 万元,

月偿还能力=年净收入/12=( 37000- 400×4×12) /12=1483.33,

父母申请按揭贷款 13 万元, 每月应归还贷款为:( 按歇贷款是每月等额归还本息的一种贷款种类. 10 年期贷款的月利率为 4.65/1000, 按复利计, 从贷款日起, 每过一个月还贷款一次, 每次归还的金额相同, 10 年即 120 个月后本息全部还清. 设每月还款额为 x, 每期还款后的金额为 ai(i=1,2,…120).贷款额p=13万,利率r=4.65/1000.则:

a1=p(1+r)-x,

a2=a(11+r)-x=p(1+r)-x(1+r)-x,

ai=ai-(11+r)-x=p(1+r)i-x(1+r)i-1-…-x(1+r)-x,

a120=p(1+r)120-x(1+r)119-x(1+r)118-…x(1+r)-x.

由于第120月贷款还清,所以a120=0(这是极关键的一步).所以

x［1+(1+r)+…+(1+r)119］=p(1+r)120（转化成数学问题),

则有x=p(1+r)120r(1+r)120-r.

把p=130000,r=4.65/1000代入得x=1415.99,

1483.33-1415.99=67.34.

银行认为贷给13万元风险较大,月偿还1415.99/13×10=1089.22(元)较符合实际.

模型分析与推广.

(1)银行存贷款利息计算方法是不一样的.但复利计算则存款与贷款的本利和就相等,对换银行与父母的角色还钱就变成零存整取了.

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研究报告摘要

随着素质教育的全面推进，“创新精神与实践能力”的培养已成为素质教育的核心。问题解决能力就是“创新精神与实践能力”在数学教育领域的具体体现，是一种重要的数学素质。本课题力图通过教学实践研究，寻找“问题解决”能力培养与课程教材知识体系学习之间的互补与平衡，形成稳定简明的教学理论框架及其操作性较强的数学课堂教学模式，促进学生的数学意识、逻辑推理、信息交流、思维品质等数学素质的提高，为学生的自主学习、发展个性打下良好基础。

（一）“问题解决”课堂教学模式的理论框架：

(1)在一定的问题情境背景下，学生可以利用必要的学习材料，借助教师和同伴的帮助，通过意义建构主动获得知识。

(2)问题解决能力的培养为学生学习数学知识提供动力，而系统的数学知识体系为问题的解决提供保障。问题解决能力的培养与数学知识体系的建构两者之间的互补与平衡有助于学生认知结构的完善。

(3)学生和教师是教学活动中能动的角色和要素，师生关系是互为主体、互相依存、互相配合的，师生双方的主体性在教学过程中都应得到发展和发挥。

(4)学生主体作用主要体现在学生的学习活动过程中。

(5)教师的主体作用主要体现在对教学活动进行科学认识的过程中，教学过程中教师的主导是发挥主体作用的具体表现形式。

（二）“问题解决”课堂教学模式的功能目标：

学习发现问题的方法，开掘创造性思维潜力，培养主动参与、团结协作精神，增进师生、同伴之间的情感交流，形成自觉运用数学基础知识、基本技能和数学思想方法分析问题、解决问题的能力和意识。

（三）数学问题解决能力培养目标：

1.会审题——能对问题情境进行分析和综合。

2.会建模——能把实际问题数学化，建立数学模型。

3.会转化——能对数学问题进行变换化归。

4.会归类——能灵活运用各种数学思想和数学方法进行一题多解或多题一解，并能进行总结和整理。

5.会反思——能对数学结果进行检验和评价。

6.会编题——能在学习新知识后，在模仿的基础上编制练习题；能把数学知识与社会实际联系起来，编制数学应用题。

（四）“问题解决”课堂教学模式的操作程序：

教学流程：

创设尝试自主反馈

情境引导解决梳理

1.创设问题情境，激发学生探究兴趣。

从生活情境入手，或者从数学基础知识出发，把需要解决的问题有意识地、巧妙地寓于符合学生实际的基础知识之中,把学生引入一种与问题有关的情境之中，激发学生的探究兴趣和求知欲。

创设问题情境的主要方法：(1)通过语言描述，以讲故事的形式引导学生进入问题情境；(2)利用录音、录象、电脑动画等媒体创造形象直观的问题情境；(3)学生排练小品，再现问题情境；(4)利用照片、图片、实物或模型；(5)组织学生实地参观。

2.尝试引导，把数学活动作为教学的载体。

学生在尝试进行问题解决的过程中，常常难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识间的联系，难以判断知识运用是否正确、方法选择是否有效、问题的解是否准确等，这就需要教师进行启发引导。

常用启发引导方式：(1)重温与问题有关的知识。(2)阅读教材，学习新概念。(3)引导学生对问题进行联想、猜测、类比、归纳、推理等。(4)组织学生开展小组讨论和全班交流。

3.自主解决，把能力培养作为教学的长远利益。

让学生学会并形成问题解决的思维方法，需要让学生反复经历多次的“自主解决”过程，这就需要教师把数学思想方法的培养作为长期的任务，在课堂教学中加强这方面的培养意识。

常用方式：(1)对于比较简单的问题，可以让学生独立完成，使学生体会到运用数学思想方法解决问题的快乐。(2)对于有一定难度的问题，应该让学生有充足的时间独立思考，再进行尝试解决。(3)对于思维力度较大的问题，应在学生独立思考、小组讨论和全班交流的基础上，通过合作共同解决。

4.练结，把知识梳理作为教学的基本要求。

根据学生的认知特点，合理选择和设计例题与练习，培养主动梳理、运用知识的意识和数学语言表达能力，达到更好地掌握知识及其相互关系和数学思想方法的目的。

常用练习形式：(1)例题变式。(2)让学生进行错解剖析。(3)让学生根据要求进行命题，相互考察。

总结是把数学知识与技能通过“同化”或“顺应”的机能“平衡”认知结构的必要步骤。适时组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用。

常用总结方式：(1)在概念学习后，以辨析、类比等方式进行小结。(2)对解题过程进行反思。(3)从数学知识、数学思想、学习的启示三个层面进行课堂小结。(4)布置阅读、练习和实践等不同形式的课外数学活动。(5)让学生撰写考后感、学习心得、专题小论文。(6)指导学生开展研究性课题研究。

（五）数学问题解决能力培养的课堂教学评价标准：

1.教学目标的确定：

(1)知识目标的确定应重视数学基础知识和基本技能；(2)能力目标的确定应强调数学思想方法的揭示和培养；(3)情感目标的确定应注意学习兴趣的激发、良好人际关系的建立、科学态度和创新精神的培养等等。

2.教学方法的选择：

采用探究式、启发式教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识、基本技能和基本数学思想方法，培养积极探索和团结协作的科学精神。

3.问题的选择：

合适的问题至少应有如下特点之一：

(1)重视情景应用，即给出一种实际情景和需求，以解决现实困难为标志。

(2)具有探究性，即问题不一定有解，答案不必唯一，条件可以变化，试验方案可以自己设计，允许与别人讨论等等。

(3)非形式化，即不是教材内容的简单模仿，不是靠熟练操作就能完成的，需要较多的创造性。

4.师生双主体意识的体现：

(1)在课堂教学活动过程中，学生主动参与学习意识强，能主动发现和分析问题，能联系新旧知识，能在独立思考的基础上，与同伴开展交流、讨论，能提出解决问题的各种方法，并努力进行验证。

(2)在课堂教学活动过程中，教师能创造性地设计教学过程，洞察课堂中发生地各种问题，并准确地判断发生问题的原因，能动地、有效地处理这种问题，把握教学活动地主动权。

5.教学策略的运用：

(1)主体发展策略——在课堂教学中，强调发挥学生学习的主动性，充分体现学生的主体作用。在课堂教学设计的过程中应充分发挥教师的主体作用，组织并落实多种形式的课堂实践活动，使学生在活动的参与过程中，提高认识能力和增强情感体验、情感控制能力，发展个性特长。

(2)动机激发策略——在课堂教学中，教师应该把学生吸引到有兴趣的、有挑战性的学习活动中，让学生体验成功所产生的愉悦和成就感，学会正确地对待挫折，从正、反两方面来有效地激发学生的学习动机。

(3)层次设计策略——在课堂教学中，应该从“自主、合作、体验、发展”等层次为学生提供概念、定理的实际背景，设计定理、公式的发现过程，让学生体验分析问题、解决问题的思考过程，领悟寻找真理、发现规律的方法和思想。

(4)探究创新策略——在课堂教学中，教师应该为学生提供动手实践的机会和探究的时间，指导学生大胆质疑，鼓励学生敢于发表不同意见和独特见解。

（六）数学问题解决能力的评价标准与方法：

1.数学问题解决能力的评价标准:(1)能否把实际问题转化为数学问题；(2)能否应用各种策略或思想方法去解决问题；(3)能否有效地解决问题；(4)能否证明和解释结果；(5)能否概括和推广解法。

2.数学问题解决能力的评价方法：(1)观察学生解题过程的细节；(2)聆听学生对解题方法的讨论；(3)批改学生的作业、测验和考试卷；(4)分析学生的学习体会或考试心得；(5)阅读学生的数学小论文。

（七）研究的成效

1.青年教师的课堂教育思想和观念从“灌输型”向“启发探究型”转化。

2.学生的学习方式从“接受性学习”向“研究性学习”转化。

3.师生关系从“从属型”向“平等型”转化。

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1.小学数学课堂提问存在的问题

小学数学中的"提问"是课堂教学的重要组成部分，是使用频率最高的教学方法之一。经过师生精心设计、恰到好处的课堂提问，能有效地激发学生学习兴趣，燃起学生对知识的探究热情，从而极大地提高课堂教学效率。但是目前小学数学教学中的"课堂提问"存在着一些普遍性的问题。

1.1 "课堂提问"只重"师问生答"，不容学生的质疑。有些老师课堂提问的主体仍然是教师，提问是老师的特权，感觉老师是高高在上的，不容侵犯的，老师的提问学生必须是无条件回答的。

1.2 课堂提问目的性、思维性不强，内容模糊不清，随意性大。如，有一位老师教学人教版五年级下册"统计--众数"。教学时他先出示学生做操和舞蹈的图片，问："六一儿童节举行体操比赛，如果你是教练如何选队员？"生1：我认为选学习成绩好的，因为不影响训练。生2：选比较漂亮的同学。生3：选男生一半、女生一半。生4：选热爱班集体的同学……显然，这一提问不明确，学生的回答没有达到教师的提问意图。如果改问："六一儿童节举行体操比赛，为了使队伍整齐、美观，你认为队员的身高有何要求？"这样的提问既明确，又问在关键处，有助于引出众数的意义以及在生活中的运用，做到了数学和生活的紧密联系。

1.3 问题评价方式过于刻板，难以激发学生的兴趣。课堂提问一贯采用"生答师评"的形式，很少出现多元的评价方式。这种形式的提问虽然能够了解学生知识水平、弥补学生知识不足等功能。但这种提问一般被老师完全控制，教师留给学生思考答案的时间很少，经常担心学生的回答脱离自己预设的轨道，很不放心地打断学生的回答，或者草率地加入个人的评价，左右学生个人想法的表达，影响了学生的思维和情绪，难以激发学生的学习兴趣。

1.4 总之数学课堂教学中严重存在低效提问、无效提问的现象，甚至出现不良提问和失误提问。上述问题的存在，严重制约着课堂提问的有效性，使其低效甚至无效。为此我们很有必要构建小学数学"以问导学"教学模式，从宏观上把握教学活动整体及各要素之间内部的关系和功能，围绕数学的基本问题和数学教学的重大问题展开，注重学生思维与智慧的培养，使学生学得主动、学得活泼，学得有趣、学得有效。

2.构建小学数学"以问导学"课堂模式

"教学模式"，突出教学模式的有序性和可操作性。其教学流程可以如下进行：课前提问，建立关系--探究提问，解决问题--巩固提问，强化应用――总结提问，增强记忆。现结合新人教版小学数学五年级下册"因数和倍数"这节课，将该教学模式的加以阐述。

2.1 课前提问，建立关系。课前谈话提问，建立新旧知识的关系，为新知学习作一些迁移铺垫；揭示并扳书课题，让学生明确本节课学习的主要内容。例如在本课教学的开始，教师提问：我们人与人之间存在着好多的关系，老师和你们是一种什么样的关系呢？在我们的数学里，数与数之间也有着相互依存的关系，今天这节课让我们就一起去研究、学习类似的一个问题--因数和倍数。通过有效的提问，让学生明确有因数与倍数之间不是单独存在的，而是有着相互的依存关系，这就将已掌握的知识和思维方法迁移到对新知识的学习中去作准备。

2.2 探究提问，解决问题。在这一环节的教学中应该重在"问"、"导"、"学"三个字。

2.2.1 问。教师出示课题让学生看课题提出大问题，让学生产生学习的需要，明确学习方向、目标、任务，培养学生的提问意识与能力。这里可以是学生独立提出的问题，学生小组提出的问题，也可以是教师补充提出的问题。教师结合学生提出的问题进行有序的板书。

例如在板书课题后教师提问：看到这个课题，你们想提出什么问题？学生通过独立思考提出了以下的问题：（1）什么是因数？什么是倍数？（2）因数和倍数有什么关系？（3）怎样找一个数的因数？（4）怎样找一个数的倍数？这些问题都是具有导向性的大问题，这些问题能让学生明确学习的主要内容和任务，激发学生探究解决问题的兴趣和欲望。

2.2.2 导。这是教学的关键。教师以问题的方式引导学生自学课本和探究解决自己提出的问题。这样既能突出教学的重点，突破教学的难点，又能充分发挥教师在教学过程中启发和引导的作用。

2.2.3 学。这是教学的核心。学生在"问题"的引领下分为三步进行学习活动：（1）看书自学，独立思考解决提出的问题；（2）小组共学，共同探讨个人未能独立解决的问题；（3）汇报展示解决问题并欣赏、点评和质疑。通过以上三个环节的学习，学生认识因数和倍数，掌握找一个数的因数和倍数的方法，充分发挥学生学习的主体作用，培养和提高学生的语言表达能力、展示汇报能力及质疑释疑的能力。教师作适时追问以加深学生对知识的认识和理解。这使学生的学习收到事半功倍的效果。

2.3 巩固提问，强化应用。教师设计多种形式的练习问题让学生解决并适当展示讲评，巩固新学的知识和方法，形成技能技巧，培养和提高学生分析和解决问题的能力及应用知识的意识与能力。

例如本节课设计的练习问题如下：（1）基本题。1）请你随意写出一个乘法算式，同桌之间互相说一说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。2）在研究因数和倍数时要注意什么问题？这里的问题设计目的让学生明白这里所讲的因数和倍数都是指整数。（2）加深题。1）请同学们列出的三个数的因数，你们发现了什么？2）请同学们列出的三个数的倍数，你们又发现了什么？这里的问题设计目的让学生掌握一个数的因数和倍数的特征。（3）拓展题。妈妈买来几个西瓜，2个2个地数，正好数完，5个5个地数，也正好数完。这些西瓜最少有多少个？这里的问题设计目的加深学生对新学知识的理解和掌握，形成技能技巧，提高辨别能力和应用能力。

2.4 总结提问，增强记忆。教师以提问的方式引导学生总结本节课主要学习内容和收获，提出疑难问题并予以解决，加深学生的认识，增强学生的印象，强化学生的记忆，共同分享学习活动和学习成功的快乐。

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关键词：问题意识    以问题为中心  问题情境    民主教学氛围

        “以问题为中心”的高中数学教学模式被认为是新课程理念下高中数学最有效的教学模式之一。以问题为中心的高中数学教学是指数学课堂教学中以有价值的问题的提出、探究和解决为线索，全面展开数学教学活动的教学方法。以问题为中心的数学教学模式要求教师和学生都必须具有“问题意识”。所谓“问题意识”，是指人们在认识活动中，经常会遇到一些难以解决或疑惑的实际问题和理论问题，并产生一定的困惑、探索的心理状态，并在这种心理的驱使下展开积极思维，探究问题，解决问题，进而提出新问题的心理品质。当一个学生自己提出了某个数学问题，并产生了解决这个数学问题的欲望，便形成了“数学问题意识”。数学问题产生蕴含着抽象的逻辑思维活动的展开，它使人的注意力具有明显的指向性与选择性，这对于数学知识的探究和意义建构具有很强的激励作用。因此在高中数学新课程中实施以问题为中心的教学模式对于增强教学的有效性，解决新课程中教师普遍感觉数学知识容量大与课时少之间的矛盾具有重大的现实意义。 本文仅就以如何建构以问题为中心的数学教学模式作一个粗浅的探究，期望能够起到抛砖引玉的作用。

        一、怎样建构“以问题为中心”的高中数学教学模式。

        1、什么是“以问题为中心”的高中数学教学。

        所谓数学问题，就是指在数学知识的学习中从思维层面产生的疑难和矛盾。数学问题一般可以归纳为三种类型，即关于“是什么”、“为什么”和“怎么做”等三类。关于“是什么”的问题一般属于简单问题，而关于“为什么”和“怎么做”则属于复杂问题，也是最有价值的问题。例如，高中数学中“什么是等差数列？”就属于简单问题，而“为什么有反函数的函数不一定是单调函数？”就属于复杂的有价值的数学问题。

        以问题为中心的高中数学教学就是要抓住数学知识学习的关键环节，抓住思维的疑难和矛盾，产生问题意识，提出问题，然后通过探究寻求一定的思维路径，最终解决问题和提出新问题的教学模式。

        2、“以问题为中心”的高中数学教学模式的建构。

        第一，以解决“是什么”为基础的“事实性知识”的学习启动教学。

        以事实性知识为基础启动数学教学，就是指数学教学探究活动应该从引导学生学习和掌握数学基本概念开始，完成基本的知识储备，解决“是什么”一类的问题，为新的问题的产生和解决作准备。例如，高中数学在教学《同角三角函数的基本关系》内容时，所要储备的事实性知识就是“三角函数的定义”，也就是首先要让学生明确什么是“sin”，“cos”…等，然后才能够提出“这些关于的三角函数之间有何关系？”这类问题，进而将教学推进到第二个阶段。

        第二，以“为什么”和“怎么做”两类数学问题的提出和解决为中心，展开问题探究，建构数学问题领域所蕴含的“原理性知识”和“技能性知识”的建构学习教学。

        如前所述，在学生明确了什么是“sin”，“cos”…等事实性知识后，提出“这些函数之间有何关系？”。教师可以引导学生观察：  

        之间有何关系？

        学生容易发现：   

        至此，教师可以提出：这个关系对你有何启发?

        此时，一般的学生都能够由特殊到一般地归纳出

        于是，“为什么成立？”

        以及“等式的成立有何条件要求？”等问题就自然产生了。

        当“为什么成立”这类问题提出来后，教师的任务就是与学生一起互动探究，共同建构关于等式为什么成立的一系列“原理性知识”和“技能性知识”。

        不难看出，以解决“为什么”和“怎么做”为目标，以原理性或技能性知识的建构为载体的第二流程是“以问题为中心”的数学教学模式的关键环节。在这个环节中，需要师生以“对话”方式共同“建构”和“生成”知识。教师不可以代替学生的思维，要充当学习的参与者，引导着，组织者和促进者。只有这样，学生才能够在问题的解决中建构知识的意义，发展心智和思维能够。 

        第三，以数学问题解决策略的评价和反思促进学生思维升华的心智提升教学。

        当师生通过共同探究或学生独立探究解决了“为什么”和“怎么做”这类问题之后，教学进入第三个环节，就是让学生展示自己解决问题的策略。这样就有可能呈现学生群体对于同一个问题的不同解题思路。在学生展示了自己的问题解决策略基础上，教师可以激励其他学生对这些解决策略进行评价，在评价的基础上教师再给予激励性的点评。需要指出的是，在数学问题解答策略的点评过程中，教师一句恰如其分的表扬，一个激励的眼神，一个亲切的微笑和一个积极的手势都会对学生的深入学习和探究产生极大的鼓舞，给学生的发展增添无尽的动力。

        教学至此，学生的学生热情一定会空前的高涨，学生的思维一定能够得到升华，学生的心智必能得到提升，新问题的产生也就水到渠成了。

        通过以上分析，我们已经明确了“以问题为中心”的教学模式有三个流程，其中第一个流程是奠基程序，第二个流程是核心程序，第三个流程是升华程序。那么，“以问题为中心”的数学教学模式的实施需要注意那些问题呢？

        二、“以问题为中心”的高中数学教学模式的实施需要注意以下三个方面

        1、教师要善于创设问题情景，培养学生的问题意识。

        教学实践中，教师可以通过下列途径为学生创设问题情境，以培养学生的问题意识。     

       （1）联系生活实际，创设问题情景

        例如，在《等比数列求和公式》的教学中，教师除了可以讲传统的“国际象棋”的故事外，还可以自己构建一个更接近学生生活实际的例子。例如，笔者曾经给学生这样讲：“同学们，现在我们来作一个游戏。假如从今天开始，我在一个月内每天给你10元钱，条件是，在这个月内，你必须第一天回扣我1分钱，第二天回扣我2分钱，第三天回扣我4分钱，…，即今后每一天回扣给我的钱数是前一天的2倍，有谁愿意吗？”。这个有趣的例子一举，学生顿时跃跃欲试，对问题产生了浓厚的探究兴趣。

        当通过等比数列求和法将问题解决之后，学生才发现30天所回扣的“感觉很少”的钱实际上会超过1000万元。至此，学生才茅塞顿开，并从中领略到了数学的奇妙。

        （2）利用认知冲突，创设问题情境。

        例如，在教学“线性规划”内容，引入教学时，教师可以提出下面的问题让学生解答：

        当教师指出这个答案是错误的，而准确的答案应该是最小值为13，最大值为17时，学生会很疑惑，便产生了认知冲突，教师便可以引入“线性规划”的相关问题了。

        2、需要教师营造民主的教学氛围，让学生敢于提出数学问题。    

        无论是课内还是课外，要激发学生的数学问题意识，需要师生之间的平等对话，需要建立民主的教学氛围。教师要善于鼓励学生质疑问难。高中学生具有强烈的好奇心强，求知欲和表现欲。教师在教学活动中要充分保护学生的好奇心和尊重学生的求知欲。师生之间需要建立民主、平等、和谐的人际关系。教师要努力消除学生在数学学习中的紧张和焦虑心理，让学生轻松、愉快的学习数学，消除对数学的神秘感，促进学生在宽松的环境中产生问题意识，进而自己提出问题。长此以往，学生将会从教师的思维中学会提出有价值的问题。

        3、教师要尽可能引导学生提出有价值的问题。

        高中学生的思维已经发展到理性阶段，对于“是什么”的简单问题凭知识的记忆和简单的问答就能够解决，因此不应该成为课堂教学的中心问题。例如，什么是指数函数？什么是椭圆？这类问题，虽然也很重要，但是这类问题的解决可以通过学生练习达成，不应该占用课堂中太多的教学时间。而象“如何推导椭圆的标准方程？”或者                             “方程在坐标系内对应的曲线是什么？”这类问题就可以成为课堂教学的中心问题加以探究解决。

        综上所述，“以问题为中心”的数学教学模式的构建需经历事实性知识的启动教学、中心问题的提出和解决教学和思维升华的提升教学三个流程，同时要注意创设问题情境、营造民主的教学氛围和提出有价值的问题等三个方面。笔者相信，随着新课程改革的深入，广大的高中数学教师一定能够在实践中逐步体会到“以问题为中心”的数学教学模式对于增强高中数学课堂教学的有效性是事半功倍的。

 

      参考文献：

      ［1］、钟启泉，《基础教育课程改革纲要（实行）》解读，华师大出版社，2001年8月；

      ［2］、张仲文，《新课改，把权利还给学生》，教育导报，2009年12月5日；

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一 学员学习的现状分析

职业院校的学生一般入学比较宽泛，学生大多数数学基础薄弱，有的连初中基础都不具备。学生对高等数学的学习感到困难，甚至一部分同学感到听不懂，出现了厌学弃学的情况。而这门课程是理工类学生十分重要的辅助基础课程，对专业课的学习有着至关重要的作用，只有有了好的数学基础，学习专业课才能更轻松顺利。但用老师讲学生听的传统教学模式已不能适应实际学情。学生已经厌倦了这样枯燥无味的学习模式，加上本来基础就差，就更使学生对这门课程感到恐惧厌烦，使高等数学课程成为了“拦路虎”课程。但对数学基础好的同学，或基础一般但乐学愿学的同学而言，数学课是他们感到快乐的课程。因为数学成绩的领先使这些同学学习数学的兴趣倍增，信心倍增。我想如果我们能够改变原有的教学模式，让课堂变得生动活泼，激发学生的学习兴趣，使学生由厌学到愿学，那么对数学教学而言将是一种进步和突破。

二 导学模式尝试

1.制订课程方案

制订课程方案主要是为了让学生明确，该课程是什么性质的课程；教学目的和教学要求是什么；重点难点是什么；课程结构如何；教学中将采用什么样的教学形式和环节；课时的安排等。教师可以在所教的班级为学生建立一个QQ群，每一次上课之前都把下一节的教学方案发到群里，让同学们共享并可以随时在群里一起讨论，当然教师也要积极参与，给同学适当的提示和帮助，这样就增强了学习的时效性，也是变相地帮助学生预习。因为很多学生没有预习的好习惯，这样听课的效率自然就差。而现在网络发达，学生们手机上网已是普遍现象，教师可以利用这种资源投其所好与时俱进，让学生在网络的世界里学习数学。这样既满足了学生的喜好，又达到了教学目标。

2.创建快乐课堂，灵活转变教学手段

课堂讲授是高等数学的主要授课方式，但只一味地讲知识点学生会感到沉闷没有乐趣，实践证明调动学生积极性是上好一节数学课的重要手段。教师可以在课前甚至在讲课中间穿插一些学生感兴趣的话题，以聊天的方式对学生进行德育，“以德树人”，不但学生感觉轻松，也可以拉近师生感情。如我在教学中就将课程尽量设计成能对学生的学习起促进作用、鼓动作用、引导作用的课型。在学生感觉到疲乏时，我有时会带领大家做手指操并告诉大家多活动活动手指才能更聪明。学生听后会一起大笑，幽默的语言、小小的活动使得学生很快从难懂厌学的情绪中走出来，变得活跃快乐。欢笑过后进行讲解时，学生会带着愉悦的心情听课，效果会好很多。总之，要对学生多关爱、尊重、理解，好的感情基础也是学生乐学的重要因素。

第一，分层教学。职业院校的学生学习程度落差很大，有高考500多分入学的，也有200多分入学的，还有从中专升学的。统一的教学进度显然不适合这样的学情。分层教学、因材施教是比较可行的教学方法。教师可以通过摸底考试、座谈等方法了解学生的数学基础，然后按照程度的不同将学生分成不同的学习小组。每个小组选出小组长对具体的小组学习情况进行管理和总结，教师及时和各小组长沟通交流，根据实际情况对方案进行调整，以达到最佳的学习效果。教学中可以采用归纳梳理法、各个击破法、优帮差等多种教学方法。针对数学基础较好的学生群体，采用归纳梳理法进行导学，效果显而易见。教师只要从旁引导，以学生为教学主体，让他们进行自主探索学习，相互讨论、相互帮助。这样既有利于学生开发智力，更有助于对知识的记忆和理解，一举多得。各个击破法可以用于数学基础不扎实的学生群体。这些学生对高等数学基本知识的掌握和运用较差、基本概念比较模糊，在学习中的问题也比较多，做习题时不知从何下手。教师采用各个击破的教学方法，本着学生学一个、教师讲一个、学生会一个的原则，让这样基础的同学从点点滴滴中逐渐增强数学的基础，一点一点进步。另外，针对少数对数学充满畏难情绪的学生，教师首先要从思想上多关心、多鼓励他们，让他们树立起信心。教师可以让基础好的同学在平时多帮助基础差的同学，制定小组定期检查。要多些耐心，按部就班从最基础的东西为他们补起。通过小组学习活动，引导他们逐步入门，为他们能起步学习奠定一个好的基础。

第二，任务型导学。开放教育倡导以教师为主导、学生为主体，尊重学生个体差异。推行任务型导学模式就遵循了这一原则。在完全了解学生数学基础的前提下，帮助和指导学生根据教学计划制定自己的课程学习计划和进度。在课程学习计划中，教师要让每个学生明确自己在各个时段所要完成的学习任务。当然，这种学习任务只是建议性的，而不是强制性的。学生明确了各自的学习任务后，教师必须要定期或不定期地督促、检查学生各个时段的学习任务完成情况。辅导教师可以通过电话、交谈、微信、E-mail等方式保持和学生的经常联系。特别是可以通过对学生作业的及时批改和个别辅导来检查、了解、帮助和指导学生的学习全过程。对学习困难大、任务完不成的学生，辅导教师应倾注更多的帮助和关爱。对学习基础好的学生，辅导教师也可以鼓励他们学习更多的东西。

三 教学体会

1.尊重每一个学生，创建幽默课堂

当今大学生自尊心和自我意识较强，教学中要尊重每一个学生。我想记住每一个学生的名字，是尊重他们的第一步。当他们表现得好时，教师可以随口叫出他们的名字给予表扬和肯定，这会大大增加学生的自信心和学习兴趣。当他们犯了错时，教师可以适当地提醒，让他们感受到教师对他们的关注。第二步是要了解他们的个性，关注每一个学生的学习动态，增进师生间的感情。第三步是创建幽默课堂，因为数学课是一门抽象难理解又很沉闷的课程，如果只用专业语言去讲知识，学生感到乏味，所以教师要学会幽默，时常让学生笑一笑，在笑声中学习既轻松又快乐。实践证明，教师语言的幽默活泼对教学来讲十分重要，要主动营造一种幽默和谐的氛围，让学生处在轻松的课堂中去学习和探索，这样才能增加学生的学习兴趣和热情。

2.坚持“少而精”的讲解

叶圣陶曾说：“老师自始至终不要多讲，而要努力引导，使学生自求得之”。精讲，就是教师集中 讲精华部分，讲关键的内容，讲重点、难点，讲知识的结构体系。讲规律性的东西，讲本质的东西。教师要在规定的教学时间内做到语言简练到位，不要把学生当小孩，其实他们都十分聪明，有着很强的适应能力和接受能力。学生一旦理解和掌握了这些知识，便可以举一反三。同时，在课堂上要留给学生思考的时间，讲到重点、难点处，有必要停顿和重复，让学生有时间去思考和领会。若教师只顾把自己所知道的东西全盘托出、口不停讲、手不停写，学生便只能高度紧张地听和写，没有自己去理解和消化的时间，也就谈不上深入思维，对自学能力的培养有负面影响。特别在教学中，应重视学生在教学活动中的主体地位，根据教学对象的特点，适当调整进度，使学生从被动机械地学习转为自主、灵活地学习，充分调动学生学习的积极性和自觉性。

3.注重复习和小结

高等数学课一周只有4～6个课时，学生学习有间断性的特点，今天学的内容过两天上课时可能就忘记了。所以复习小结是重要的教学环节，它可以加强学生对知识的理解和记忆。这是一个由认识、理解到消化、吸收的过程。归纳整理有两种方法：一种是按照内容的内在联系整理；一种是按照概念、理论、方法或重点问题进行归纳整理。教师可以让学生对所学知识按照概念、理论进行整理，这样可加深对知识的记忆，也可检测学生的学习情况。

篇10

摘要：数学建模是一种利用数学思想解决实际问题的方法,通过抽象、简化建立数学模型，能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学思想和教学手段。

关键词：数学建模；建模思想；数学教学

数学建模把现实生活中的问题加以提炼、简单，抽象成数学模型，并对该模型进行探究、归纳，利用所学数学知识、思想、方法验证它的合理性、再用该模型来解释或解决相应的数学问题的过程。

在数学教学（或解题过程）中引入数学建模思想,适当开展数学建模的活动,对学生的能力培养起着重要作用,也是数学教学改革推进素质教育的一个切入点。数学建模为我们提供了将数学与生活实际相联系的机会，提供了理论联系实际的平台，数学建模的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。

一、数学建模思想的提出

随着素质教育不断深入，数学建模理念不断深化，提高数学建模教学势在必行。数学建模能力的培养，既能使学生可以从熟悉的问题情境中引入数学问题，拉近数学与实际生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，又能培养学生的数学应用意识。

二、数学教学中应用数学建模思想的实际意义

（1）激发学生学习数学的兴趣

在教学过程中，设置问题情境，引导学生主动分析探究问题，鼓励学生积极展开讨论，培养学生主动探究实际问题的能力，能够从具体的实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，达到应用数学知识解决实际问题的功效。

（2）培养学生的应用意识和创新意识

通过数学建模教学，既可以培养学生的数学应用意识、巩固学生的数学方法，又可以培养学生的创新意识以及分析和解决实际问题的能力。

（3）数学建模教学改善了教和学的方式

数学建模使教学过程由以教为主转变为以学为主，突出学生大胆提出各种突破常规，超越习惯的想法和质疑，充分肯定学生的正确的、独特的见解，重视了学生的创新成果。

（4）重视课本知识的功能

数学建模应结合正常的教学内容逐步渗透，把培养学生的应用意识落实到平时的数学过程中，逐步提高学生的建模能力，达到“如何由思想转化为具体步骤”，而不是单纯地教步骤，教操作。

（5）加强数学建模思想在实际问题中的应用

要让学生学会建模，就必须从一些学生比较熟悉的实际问题出发，让他们有获得成功的机会，享受成功的喜悦，从而培养学生发现问题，转化问题的能力，逐步培养他们的建模能力。

三、数学建模思想应用的方式：

1、以教材为载体，重视基本方法和基本解题思想的渗透。

数学建模为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程，建模思想。

2、根据所学知识，引导学生将实际应用问题进行分类，建立数学模型，向学生渗透建模思想

为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节内容，引导学生将实际应用问题进行分类使学生掌握熟悉的数学模型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景，就可以通过类比寻找记忆中与题目相类似的数学模型，利用数学建模思想，建立数学模型。

3、突破传统教学模式，实行开放式教学向学生渗透建模思想

传统的课堂教学模式通常是教师提供素材，学生被动地参与学习与讨论，学生真正碰到实际问题，往往仍感到无从下手。因此要培养学生建模能力，需要突破传统教学模式。

四、数学建模能力的培养：

数学建模应结合平常的教学内容切入，把培养学生的应用意识落实到教学过程中，使学生真正掌握数学建模的方法，培养学生的数学建模能力。

1、以课本知识为基础，培养数学建模能力

数学建模能力的培养是一个渐进的过程。因此，从七年级开始，应有意识地逐步渗透建模思想。课本每章开始都配有反映实际问题的插图，抽象出各章主要的数学模型，一般也是由实际问题出发抽象出来的，反映了数学建模思想。

2、以课堂教学为平台，培养数学建模能力

在课堂教学中想培养数学建模能力不是简单把实际问题引入，而应根据所学数学知识与实际问题的联系，在教学中适时地进行培养。

3、以生活性问题为基点，培养数学建模能力

大量与日常生活相联系的数学问题，大都可以通过建立数学模型加以解决。只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深对数学知识的理解和运用，恰当地将其融入课堂教学活动中，会增强数学应用的信心，获得必要的应用技能。

4、以实践活动为媒介，培养数学建模能力

在平时的教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，培养建模应用能力。

5、以相关学科为链接，培养数学建模能力