对数学建模的认识与总结范文

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关键词： 数学实验 提出问题与解决问题能力 数学建模能力 自学能力 整体分析能力

同志曾说：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭的动力源泉，一个没有创新精神的民族，是很难立于世界民族之林的。”“进行教育创新，根本目的是要推进素质教育，全面提高教育质量。”随着市场经济体制的日益完善，经济社会对人才的需求也不断地扩大，与此同时，各用人单位对人才的要求也越来越高，其中拔尖创新型人才已经成为当下社会对人才需求的大趋势。因此，现代大学教学就不能仅仅停留在知识的传授上，更要注重学生各种能力的培养，尤其是创新能力的培养。

我国实施素质教育以来，如何有效培养和提高当代大学生的创新能力，已成为人们需要深入研究的重大课题。大学生创新能力培养的途径多种多样，通过参与集体活动的组织、进行社会实践，以及毕业实习等都能够在一定程度上促进大学生创新能力的培养。但仅靠这些措施还是远远不够的，因为大学生的主体活动都是在教室里上课学习，因此以课堂教学为平台来培养创新能力是当代大学生创新能力培养中不可忽视的重要手段。数学类课程作为高等教育中的重要基础课程之一，是许多专业课的先修课程，故《微积分》、《线性代数》、《概率统计》等数学课程作为公共必修课在经管类高校中得以普遍开设。但是由于数学课程本身的性质，使得人们一谈起“数学”，总是与“枯燥无味”、“难学难懂”等词语联系起来。很少有人能把“数学”与创新能力的培养联系起来。

数学实验这一新兴的课程，通过运用数学理论和计算机技术来解决实际问题的过程，能够打破大学生对数学课程的传统认识。同时，在与计算机紧密联系在一起的数学实验课程的学习过程中，大学生的创新能力也得到了培养和提高。数学实验作为一门实践性课程，在引导学生通过独立思考对实际问题形成整体认识、自主提出问题，并对实际问题进行数学建模，最终利用先进的计算机软件来求解数学模型并解释实际问题等方面潜移默化地培养了大学生的创新能力。

实际上，拔尖创新人才的综合能力体现在很多方面，比如语文中作文命题的创新、工程中建筑风格的创新，等等。就数学实验能够培养的创新能力而言，主要包括提出问题与解决问题的能力、数学建模能力、自学能力，以及整体分析能力。本文就这四个方面对数学实验对培养拔尖创新人才的作用进行如下分析和总结。

一、勤于思考与敢于实践——提出问题与解决问题能力的培养

数学作为人类科学中最古老的一支，从它产生之初就扮演着培养人类提出问题与解决问题能力的重要角色。几千年后的今天，数学在培养人类创新能力方面的重要性更是不言而喻，甚至有“高新技术本质上是一种数学技术”的观点[1]。如今，计算机的普及为运用数学知识来解决实际问题提供了极大的便利。这种情况下，数学实验课程应运而生。

提出问题是培养学生创新能力的重要途径之一。孔子曰：“学而不思则罔。”这就是鼓励学生在学习的过程中要不断思考，并提出问题。爱因斯坦也曾经有过“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”的至理名言。这些都足以说明在学习过程中提出问题的重要性。在数学实验课程的讲授中，可以列出一些日常生活中很常见的问题和现象，而这些现象都能够用数学知识来解释。比如虽然地面坑洼不平，但是我们总是可以通过调整椅子的位置和方向，把四条腿的椅子很平稳地放好。学完后，学生们会很惊奇地发现这一日常现象竟然是用他们学过的《微积分中》的零点定理来解释的。类似例子的学习可以激发学生学习数学的兴趣，更主要的是可以让他们养成一种思维习惯：在遇到实际问题时，去思考其中哪些现象和问题可以用数学知识来解释或解决；在学习理论知识的时候，去思考这个定理或方法可以解释或解决哪些实际问题。不断引导学生提出类似的问题，久而久之，学生就能够自己发现问题、提出问题。

然而所谓创新，是指提出别人没有提出过的想法，并且有效地加以实现或解决。因此，提出问题固然很重要，但对培养学生创新能力还是不够的，还要鼓励学生用自己的所学、所知来解决所提出的问题。

在数学实验课的教学中，老师可以通过开展课堂讨论等活动，引导鼓励学生对这些自己提出的问题加以解释或解决。实际上，同一问题往往存在多种不同的解决方法，方法不同，结果或结论也可能存在差异。如何提出不同于他人的更有效的新方法，无疑成为了学生的学习目的之一。另外，虽然学生运用的是前人已经使用过的旧方法，但是只要是独立思考并独立完成的，对学生而言，每解决一个问题都是一次知识上的“自我创新”，这对培养学生的创新能力是不可或缺的锻炼方式。

创新是社会发展的动力，也是社会进步和经济发展的关键[2]。提出问题与解决问题是创新能力培养的源泉之一。学生毕业走向工作岗位后，如果不善勤于思考，缺乏用新方法解决问题的能力，而总是因循守旧，只会“本本分分”地完成上级交代的任务，就很难在这个竞争激烈的社会中取得优势。从这个角度上看，数学实验对培养学生提出问题与解决问题的创新能力就显得格外重要。

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关键词： 自主学习 高三数学复习 综合解题能力

自主学习是指学生充分发挥主观能动性而进行的创新学习,学习过程不断呈现自主、主动、创新相互依存的三个层次。高考数学既考查中学数学的基础知识和方法，更考查学生进入高等学校继续学习所必需的基本能力。因此高三数学复习中综合解题能力、应用意识和创新意识的培养既是高考数学的需要，又是培养目标的要求。而对于能力和意识的培养，课堂教学只能起指引作用，更多的应该让学生在自主学习中“感悟”“领会”。通过自我总结、归类，学生的综合能力就会在不断自我“反省”中得到培养和提高。

一、在基础知识的复习中强化自主意识，注重基本技能的培养。

著名认知心理学家哈塔罗列举知识获得的五个特征时指出：知识是通过主体的积极建构而获得，而不仅仅是通过传递来实现的。他强调了知识不能由教师传递，而要靠由学习者自己建构，强调了学生获取知识的主体性。因此，高三数学一轮复习应以学生发展为本，力求通过各种不同形式的自主学习和探究活动，提高学生对数学知识的整合能力，达到知识间的融会贯通，为知识的综合运用打下坚实的基础。例如“函数”是高中数学中起联接和支撑作用的主干知识，也是进一步学习高等数学的基础。其知识、观点、思想和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题的解决。当问到学生类似于“函数主要有哪些内容？”等问题时，学生的回答大多是一些零散的数学名词或局部的细节，这说明学生对函数知识还缺乏整体把握。所以复习的首要任务是立足教材，将高中所学的函数知识进行系统梳理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，以便找出自己的缺漏，明确复习的重点，合理安排复习计划。当然，在这个过程中也发现，如果同学们梳理知识的过程过于被动、机械，只是将课本或是参考书中的内容抄在本子上，缺少了自己的认识与理解，将知识与方法割裂开来，则整理的东西成了空中楼阁，自然没什么用。这时，需要指导学生自主地将每一个内容细化，问问自己复习这个内容时需要解决好哪些问题，以此为载体提炼与总结基本方法。由于高考强调在知识网络的交汇点处命题，即增强综合性，考查单一知识点和方法的试题一般不会出现。因此，全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学知识网络非常重要。俄国教育家乌申斯基有句名言：“智慧不是别的，而是组织得好的知识体系。”所以复习的着眼点应放在建构完整的“知识网络”上，“以不变应万变”，从而突破弱点、培养能力。

二、在课后纠错中强化自主归类，提升综合解题能力。

学习就是不断地化归转化，不断地继承和发展更新旧知识。学习数学必须做题，做题一定要独立而精细，只有具备良好的反思能力，才谈得上精做。做题后，一定要认真反思，仔细分析，通过做几道相关的变式题掌握一类题的解法，从中总结出一些解题技巧，更重要的是掌握解题的思维方式，内化为自己的能力，并总结出对问题的规律性认识和找出自己存在的问题，对做题中出现的问题，注意总结，及时解决，重点一定要放在培养自己的分析问题和解决问题的能力上。指导学生自我反思，反思一题多解，领会发散思想。通过多种解法的展开、比较、反思，能促进知识迁移，并达到举一反三、触类旁通的效果。能提高学生思维的深刻性和广阔性，使各种层次的学生对该学科的思想方法都有不同程度的领悟，从而提高高三学生的复习效率和运用知识的能力。反思一题多变，培养学生探究能力。“一题多变”是从多角度、全方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多变导向，使学生的思维变得活跃、发散，达到一题多练的效果，还能将形似神不似的题目并列在一起比较，，还能培养学生条件转换、设问置疑、探究因果、主动参与、积极思考的好习惯，也能避免学生盲目做大量的练习而效果差的现象，减轻学生的课业负担。反思多题归一，感悟学科模型建立的重要性。在高三第一轮复习中，因为学生掌握了整个高中数学的基本知识结构、基本技能及基本的解题方法，所以在对问题的解决中往往会从多个角度加以思考，呈现思维的发散性，放开无法收拢理顺现象。为引导思维的收敛，在复习时，要将很多例题有目的地串联起来，编成一组，引导学生进行观察，引导学生对多题一解进行反思，可提高学生的化归能力，使零碎的知识成为一个有机的整体，体会解题的通则通法在解题中的作用，培养学生观察问题的敏感性和思维的系统性，感悟学科模型建立的重要性，大大增强解题策略的选择与判断能力。

三、在知识应用中强化情境意识，注重自主数学建模，提升学生应用能力。

《数学课程标准》指出：教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。教师应根据学生的认知规律，从他们的生活实际出发，在数学与生活之间架起桥梁。数学知识生活化是现代数学教学的改革方向。

应用题教学涉及数学教学的方方面面，要提高应用题的答题水平，必须全面提高学生数学素养。在平时的教学过程中，要求学生做到以下几点：一是认真对待，不能随意放弃。带着自信，冷静地读题目是对学生心理素质的一种考验，要求每一个学生都树立起学习的信心，提高心理承受能力，保持冷静。二是思想上重视计算。许多学生只注重列式不注重运算，对复杂的算式缺乏信心，对简单的算式粗心马虎。原因在于思想不重视，平时没有养成良好的运算习惯。为此，教师要加强教育，让学生知道运算失误所造成的对学习成绩的消极影响。三是算法要精心研究。在运算过程中使用的概念、公式和法则要准确无误，这是保证运算准确的基本条件。因此，平时的作业、练习、测验等都必须要求学生自主认真检查、总结、订正，提高运算的正确率。另外，学生运算要熟练且合乎算理，运算过程中的每一步都要有依据。或根据概念，或根据公式，或根据法则，要养成思维严谨的好习惯。通过数学建模教学实践，让学生掌握数学建模的方法，了解数学知识的发展过程，从而发展数学创造能力，为高考和将来的工作打下坚实的基础。

四、在综合训练中强化知识块之间的联系，培养学生自主探究的能力。

目前，强调各知识块之间的整合与互补，已逐渐成为高考命题的新思路。要按照《高考说明》中的考试内容，研究高考试卷在知识的联结点上设计问题的方法，将各知识点融合到一起，在考查某个主知识点的同时，回顾巩固与之相关的其他知识点。在学生自主学习时，指导学生从不同侧面整合知识。如：按主题的整合。比如：图像交换，涉及初中二次函数中的平移、高中函数的奇偶性、轴对称和中心对称、三角中的伸缩变换、解析几何中图像的移动等诸多内容。这就需要把它们整合起来，研究它们的共通性，并拓展到各类函数的图像、方程和曲线中去；再如：以问题为中心的跨模块联通。比如研究函数的最值，就要涉及代数、平面三角与几何的有关知识，研究产生最值的背景，又要将它与代数、三角、平面几何、立体几何及解析几何放在一起融会贯通；又如：各知识块之间的交汇与融合。比如函数、数列、不等式，它们是有独立意义的三块，但综合复习时要把它们作为一个整体来学：研究函数时以不等式为工具，讨论不等式时运用函数的性质，数列可以从离散的角度刻画函数，也可视为特殊函数，从而使三者构成自然联系。

五、注重数学思想的自我领悟，提升学生实际解决问题的能力。

第一轮复习一定要透彻理解最基本的数学定义，熟记公式、定理并会运用于解题实践。如解析几何的基本思想――用代数方法（方程）研究图形（直线、圆锥曲线）的几何性质，立体几何的基本思想方法之一是化空间问题为平面问题，因而在求角（异面直线所成角、线面角、二面角）、距离（点线、线面、二面角）时，常化归到三角形中，有时要把某个平面从立体图形中分离出来，这些基本思想同时也为解题提供了具体可操作的方法，复习时要引导学生及时总结，领悟到数学思想方法是数学的精髓，对此进行归纳、领会、应用，才能把数学知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力，使自己的解题能力和数学素质更上一个层次，成为“出色的解题者”。

只有具有自主学习能力的学生才能有良好的学习兴趣，善于运用科学的学习方法，善于与他人合作，敢于质疑问难，有较强的进取精神和探索精神，才能在高考中立于不败之地。然而长期的应试教育下学生的自主探究意识薄弱，培养自主探究、创新精神的人才，教育工作者任重而道远。

参考文献：

［1］徐宗琴.浅谈高中数学中自主学习的教学［J］.人民教师论坛，2009，（7）：26.

［2］黄梅.高中数学教学思维能力培养之我见［J］.中国科技博览，2009，（26）：53.

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一是认真研读课程标准，理清数学课程每个领域的核心目标及其相应的数学内涵，以及每个具体的数学内容的课程教学要求。同时，结合小学生实际，列举一定数量的事例，以便于更准确地把握这些数学内容的深广度及相应的数学学科价值和教育价值。就小学数学课程的整个体系而言，小学数学课程的核心目标在于，通过发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观和运算能力，通过培养数据分析观念、合情推理和演绎推理能力以及数学的思维方式，进而实现学生在数学上的全面发展。而相对于不同的课程领域，其侧重点有所差异。

二是要进行数学知识补偿学习，查缺补漏。对此，不仅需要重视以往尚未系统学习过的数学内容，更不宜忽略曾经系统学过、而当前变化较大的小学数学内容。系统学习数学学科的基本思想、基本方法的论文、论著，把握数学的思维特征和数学抽象的核心特征，对于核心数学思想，如数学抽象、数学推理、数学建模，要真正理解并用小学数学的典型事例加以解读。

三是联系教学实践学习相关内容。由于我们的工作特点，提升数学素养结合平常的教学实践进行会更加有效。比如准备教学小数的意义与认识时，我们教师要了解一下小数的发展历史；在准备教学旋转与平移时，教师要首先学习相关几何变换的基本知识；在准备教学加法交换律的时候，学习运算的一般意义及不完全归纳的思想方法等。这样坚持从小学数学教学内容出发，不断深化，不断拓展，挖掘其蕴含的数学思想方法及人文内涵。长此以往，教师的数学素养会得到相应的提升。

四是要阅读相关的数学科普书籍。数学科普书籍往往具有起点低，趣味性强，视野开阔等特点。阅读这类书籍有利于提升数学教师的数学素养。比如：《小学数学教师》《帮你学数学》，《数学杂谈》等等。

五要提升课堂教学技能。主要包括：①提升数学语言技能。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言所组成的科学语言，其特点是简练、概括、完整、准确、严格、含义丰富。数学符号和数学术语是构成数学语言的最重要的成份。但由于小学生的年龄、心理等特点，在些规范化的语言尤其是有许多概念并不提倡在小学阶段揭示，所以我们有些小学数学教师在上数学课时不太注意使用规范的数学语言，久而久之，对学生的影响就会很不好。②是要提高课堂的讲解和启发技能。讲解技能随着经验的增多会逐渐掌握，但对于启发技能却需要老师有意识的培养，课堂教学启发技能有：类比型启发、情境型启发、实验型启发、递进型启发等。另外课堂的提问与评价技能、板书技能、设计技能、结束技能等。我们教师根据自己的教学特点，有效地整合教学技能构成要素，形成自己富有特色的课堂教学技能。③除了提升教师课堂授课技能外，开发学生非智力因素，促进个性和谐发展也是非常重要的。非智力因素是指除智力与能力之外的决定智力活动效益的一切心理因素，它包括学习态度、动机、兴趣、情感、意志、毅力和性格等。它在学生的一生中起着举足轻重的作用，牵引着学生人文素养的表露和培养。当然，开发非智力因素有很多的方法，如：激发学生学习兴趣，对数学教学来说，兴趣是非智力因素的核心，创造成功的机会，让每个学生在学习中享受成功的喜悦，锻炼学生坚韧的意志和品质。

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关键词:分形理论 分形维数 Zipf法则 应用

中图分类号:O29;F224 文献标识码:A

文章编号:1004-4914(2010)05-137-02

分形理论是一门横断学科,从数学、振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学,从分子生物学到生理学、生物形态学,从材料科学到地球科学、地理科学,从经济学到语言学、社会学等领域已广泛应用。分形理论对方法论和自然观产生重要影响,用分形的观点看世界,这个世界实际上是以分形的方式存在和演化着的世界。

一、关于分形内涵的研究

分形几何的概念是曼德尔布罗特(1975)年首先提出来的。但最早的研究可追朔到维尔斯特拉斯(1872)构造的处处连续、处处不可微的函数,集合论创始人康托构造了有许多奇异性质的三分康托集,皮亚诺(1890)构造了填充平面的曲线,柯赫(1904)设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线,谢尔宾斯基(1915)设计了像地毯和海绵一样的几何图形,这些都是属于规则的分形图形。它们是按一定规则构造出来的、具有严格的自相似的分形图形,它们都属于自相似分形集。豪斯道夫(1910)开始了对奇异集合性质与量的研究,提出分数维概念。布利干(1928)将闵可夫斯基容度应用于非整数维,庞特里亚金(1932)等引入盒维数,贝塞考维奇(1934)更深刻地揭示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维,他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献,从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。

现代分形理论的奠基人曼德尔布罗特(1977)出版了关于分形几何的第一部著作《分形:形状、机遇和维数》一书,它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想,总结了依据自相似性计算实验维数的方法。曼德尔布罗特(1982)的《大自然的分形几何学》出版,将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集,重新讨论盒维数,它比豪斯道夫维数容易计算,但是稠密可列集合维数与集合所在空间相等。在这两本书中他将分形的理论及应用推动到一个全新的阶段。

(一)分形定义、分类与分形维数

通常将具有某种方式的自相似性的图像或集合称为分形。所谓自相似性,就是指局部与整体相似。这类某种形式的自相似性,不只限于严格的几何自相似性,也可能是通过大量的统计而呈现出来的不很严格的自相似性。由于局部中又有其局部,而它们都是自相似的,这样整体与局部都具有无穷尽的自相似的内部结构,且在每一小局部中所包含的细节并不比整体所包含的少,所以分形是有无穷自相似嵌套性的图形或集合。

分形至今无统一定义,因为每种定义都不能涵盖所有的分形。曼德尔布罗特(1982)对其定义为“分形是一个豪斯道夫-贝塞考维奇维数严格大于其拓扑维数的集合。”此定义包括一大类具有分数维的分形集,但忽略了某些维数为整数的分形集。曼德尔布罗特(1986)给出了分形的另一个定义:分形具有在某种方式上部分与总体相似的形状特征。这个定义强调了分形集具有某种自相似性特征,但仍有很多分形集没有包括其中。

分形一般分成两大类,确定性分形和随机性分形。如果算法的多次重复仍然产生同一个分形图,这种分形称之为确定性分形。确定性分形具有可重复性,即使在生成过程中可能引入了一些随机性,但最终的图形还是确定的。随机分形指的是尽管产生分形的规则是确定的,但受随机因素的影响,虽然可以使每次生成过程产生的分形具有一样的复杂度,但是形态却会有所不同。随机分形虽然也有一套规则,但是在生成过程中对随机性的引入,将使得最终的图形是不可预知的。即不同时间的两次操作产生的图形,可以具有相同的分维数,但形状可能不同,随机分形不具有可重复性。

曼德尔布罗特引进了分数维,给出了一个分形集充满空间的复杂程度的描述。每个分形集都对应一个以某种方式定义的分形维数,这个维数值一般是分数的,但也有整数维的分形集。分形维数的定义有多种方法,常用的分形维数概念有三种:豪斯道夫维数、自相似维数以及盒维数。在分形维数中,豪斯道夫维数是最古老的最重要的一种。豪斯道夫维数具有对任何集都有定义的优点,由于它是建立在相对比较容易处理的集合测度概念的基础上,数学应用比较方便。它的主要缺点是在很多情形下用计算的方法很难计算或估计它的值,因此,还有许多其他维数定义也常常被应用。

分形维数是分形理论中核心的概念与内容,它是由曼德尔布罗特为表征曲线的复杂性和处处不可微性而提出的,是刻画分形体复杂结构的主要工具,引入分形维数正是分形理论的新颖之处。应用分形理论研究自然现象最重要的问题是如何解释分形维数的意义,分形维数的意义应包括分形维数本身的几何意义和研究对象参量及其尺度变化的意义两方面,两者结合才是特定分形维数的含义。

(二)分形的特征

肯尼思・法尔科内(1990)认为分形集F具有以下特征:(1)F具有精细的结构,即在任意小的比例尺度内包含整体。(2)F具有不规则性,使得它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。(3)F一般具有某种自相似性,可能是近似的或统计意义下的。(4)通常F的分形维数(以某种方式定义)大于它的拓扑维数。(5)在大多数令人感兴趣的情形下,F可以通过递归、迭代等简单的方式产生。(6)其大小不能用通常的测度(例如面积、长度、体积等)来度量。

(三)分形的基本性质

分形具有两个基本性质:自相似性和标度不变性。自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某种系统或结构的局域性质或局域结构与整体相似,另外在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性; 所谓标度不变性,是指在分形上任选一局域,对它进行放大,得到的图形会显示出原图形的形态特征。

二、分形理论在经济数学教学中的应用

当前分形理论的研究主要分三种类型:分形的基础理论研究、分形图形的生成方法研究及分形理论在实际应用中的研究。分形理论在化学、物理学、数学、材料科学、地震学、生命科学、艺术、计算机图形学等多个学科多个方面有广泛的应用,在广告、电脑游戏、计算机动画、书籍和刊物的封装、艺术作品中,也已经成功地应用了分形技术。在经济数学教学中适当补充一些分形知识,对提高学生思维品质有很大的益处。

(一)Zipf法则及维数

在教学中引入涉及分形背景的数学模型,结合实例,可以体现数学建模的思想,帮助学生认识到分形的实际应用价值,从而激发学生学习兴趣。国内外研究成果表明,城镇体系的人口及经济规模的等级分布符合一些数学模型,如Pareto分布模型及G.K.Zipf的等级规模分布模型等,这些数学模型为城镇体系的分析与规划提供了科学依据。Zipf(1949)把自己发现的规律应用于城市人口、企业收入等现象,研究这些数量跟等级的关系。在其出版的《人类行为与最小努力原则-人类生态学引论》中,他进一步扩展了视野,讨论了人类社会的众多社会、文化现象及自然现象。根据前人的研究成果提出了一个通用的城市规模分布法则(Zipf's law):Pr=P1r-q(1)式中r为城市位序,Pr为位序为r的城市的人口数,系数P1为首位城市人口,为Zipf指数。类比于豪斯道夫维数公式可知,式(1)服从幂定律,为一分形模型,参数q具有分维性质,它是分维D的倒数,即q=1/D。对(1)式作对数变换有:lnPr=lnp1-qlnr(2)由于幂函数关系等价于对数线性关系,因此,只要双对数坐标图上的位序-规模数据点的直线关系成立或者部分成立,即可判定分形的存在,直线上点的范围即为无特征尺度的区域。以lnr为横坐标,lnpr为纵坐标作出散点图,进行线性回归拟合可求出其城镇体系规模结构的分维数。已有研究表明中国668个建制城市的前550多个城市服从Zipf定律,即将全部10万以上人口的城市囊括在内。城市形态的分维在微观或局域上虽然参差不齐,但在宏观或整体上却有一定的规律,大量标本的平均值接近于1.71。

(二)分形图形的数学分析

可以让学生利用各种信息网络环境资源查看分形图,挖掘分形图蕴涵数学思想,使学生从一个新的视角认识传统图形。在教学中关注学生自主学习,启发学生发现分形图形所具有对称、节奏和韵律、平衡、自相似性、嵌套以及分叉、缠绕、和丰富的变换等特点,体会分形图形的美学特征。分形图形在空间结构上体现传统艺术形态中的对称形式,分形图形具有一种局部和更大的局部、或者是局部和整体的对称,具有无限精细的结构层次,在自相似的递归结构中,无论是在哪一个层次的局部都保持整体的基本形态,获得整个图形的和谐、秩序与均衡。分形树、谢尔宾斯基三角形和经典的曼德尔布罗特集等就是具有自相似特性的典型分形图形。这种自相似性也可以从复映射的经典M集的逐步放大得到,利用MATLAB,改变常数c的取值,可以得到各式各样的Julia集。以上表明,本质上艺术与数学最为接近,区别只是使用不同的语言来表达。

三、结语

分形是结构的深化,正是分形理论的提出和应用使人们以比从前更深刻更准确的方式方法去认知世界,为人们认识世界提供了新视角和新思路。教学中适当引进有关分形的知识案例,可以多维度地培养大学生数学理念,从而达到全面提高学生思维能力水平,培养出更加适应新时期发展的创新型人才。

参考文献:

1.B.B.Mandelbrot,Fractals:form,chance,and dimension,Translation of Les objets fractals,W.H.Freeman,San Francisco,1977

2.杨展如,郝柏林.分形物理学[M].上海:上海科技教育出版社,1996

3.谢和平,薛秀谦.分形应用中的数学基础与方法[M].北京:科学出版社,1997

4.肯尼恩.法尔科内.曾文曲和刘世耀译.分形几何-数学基础及其应用[M].东北大学出版社,1991

5.B.H.Kyae.徐新阳,康雁,陈旭,刘丹译.分形漫步[M].沈阳:东北大学出版社,1994

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7.张济忠.分形[M].北京:清华大学出版社,1995

8.Zipf,G.K.Human Behavior and the Principle of Least Effort:An Introduction to Human Ecology[M].Cambridge,Mass: Addison-Wesley Press,INC,1949

9.陈彦光.中国城市发展的自组织特征与判据[J].城市规划,2006(8)

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【关 键 词】 基本内涵;主要特征;常见种类;生成路径

【作者简介】 张霞玲，江苏南通经济技术开发区实验小学一级教师，区小学数学骨干教师。

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1671-0568（2015） 07-0110-03

随着义务教育阶段《数学课程标准》修订稿的颁布，数学“基本活动经验”协同“基础知识”、“基本技能”、“基本思想”，以“四基”的表述形式，走进了我们数学人的视野，数学学习中一种新的数学实践方式出现了。

一、基本内涵

国内关于数学基本活动经验的论述，最早出现在曹才翰先生和蔡金法博士主编的《数学教育学概论》中，但长期以来并没有引起广泛的关注。随着义务教育阶段数学课程改革的推进，针对数学基本活动经验的研究日渐增多，在理论建构和实践操作等诸方面也取得一些可喜的成果。

那什么是数学基本活动经验？有老师认为，所谓数学活动经验，是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。有的认为，数学经验是由实践得来的数学知识与技能，是对数学知识的生成过程的经历、体验。有学者认为，数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识。也有学者认为，数学活动经验是学生经历数学活动之后所积淀的内容，它既有学生针对有关数学活动而获得的那些直接经验，也有学生经过不同程度的自我反省而提炼出来的个体知识。

我们认为，所谓数学基本活动经验，是指为了培养学生数学素养，通过对具体事物进行实际的操作、考察和思考，形成、积累并由学生内化了的数学知识、技能和情感体验，是一种过程性知识。

二、主要特征

数学基本活动经验的美学特征主要有如下几个：

基础性。指学生活动经验不是高深莫测的，而是学习数学所必须的基础的东西。

主体性。数学基本活动经验的载体是学生个体，它只能属于学生自己，具有不可替代性。

实践性。活动经验是一种过程性知识，是学生在有意义的学习中体验、获得、内化的，离开学习实践就无法获得经验。

多样性。多样性主要包含两个层面的含义。一是不同的学生针对相同的学习对象，所获得的经验是多样的;二是同一个学生针对相同的学习对象，如果所用的学习方式不同，所获得的经验也是不同的。

发展性。学生的基本活动经验是感性的、动态的，随着学习内容的深化、学习方法的优化、个体在群体中的碰撞，学生的经验会不断丰富、充实。

内隐性。作为一种特殊的心理现象，经验是属于每一个独特的个体的，往往隐藏在人的内心深处。数学基本活动经验反映的是学习者在特定的学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验性认识，这种认识人们难以把握，难以琢磨，呈现内隐的特征。

指导性。任何一种学习都会有经验的参与，指导性是指学生通过学习过程先期获得的经验，能在学习现状的基础上，对后续学习产生有益影响，并对学习进程作出适当合理的安排。

三、常见种类

根据不同的角度，数学基本活动经验可以分成不同的种类。以来源路径来分，可分为日常生活数学经验、社会科学文化情境经验、教学活动积累经验;以活动形式来分，可分为直接活动经验、间接活动经验、专门设计经验、意境联结性经验;以信息来源和经验表达为标准，可分为检索抽取数学信息经验、选择和运用已有知识经验、建模经验、应用数学符号进行表达经验、预测结论经验、对有关结论进行证明经验、对所得结果进行解释和说明经验;基于学生个体与外界信息交换及借鉴复杂系统“自组织”原理，可以分为观察、操作、交流、猜想探究、推广、归纳等六类经验。

四、积累路径

（一）在日常生活中积累

日常生活是数学基本活动经验生成的重要路径，这样的例子俯拾皆是。

如在学习“小数”这部分内容时，可引导学生了解每吨自来水、每千瓦时电的价格各是多少元，尝试量一量自己的身高是多少米，课桌的长、宽、高各是多少米，算一算家里水电缴费单的合计数，看是否与总数相等，还可以算一算家里每天三餐花费大概多少元等等。当学习了数字与信息后，可要求学生观察生活中常见的号码信息，如图书编号、汽车牌照等，可以让学生根据自己观察到的汽车牌照，总结汽车牌照的编排有什么规律。在学习“分数”的过程中，可布置学生从报刊、电视、网络等媒体上收集用分数表达的信息，看看不同种类的分数信息各有什么特点。

有位老师讲完长方体的表面积和体积后，给学生布置了一个作业，请每个同学回家找一个牛奶盒，量出牛奶盒的长、宽、高，算出它的表面积和体积。看看牛奶盒上标注的净含量是多少，判断牛奶生产产家有没有欺骗消费者。学生们兴味盎然，在第二天的研究成果汇报课上，每位学生都能滔滔不绝，学生们真正领悟到了“留心生活，处处皆学问”的真谛。

（二）在探究活动中积累

在教学分数和除法的关系时，我将学生分成每组4人，每组发3张圆纸片代替三块饼，围绕“把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块”这一问题，开展探究活动。

探究中，每个小组不约而同，都采用“一块一块分”的方法，得出结论：一块一块地分，每人每次分得―块，分三次，3个― 块是― 块。学生为自己探究得到的结论而高兴。这时候我说：“这样的方法是对的，有没有更快的分法呢？”学生一阵沉默，接下来又叽里呱啦讨论开了。接着有学生提出，把3块饼叠在一起分，每人分得3块的― ，3块的― 是― 块，每人分得的就是― 块。又有学生提出，把3块饼分别给4人中的3个人，得到饼的3个人每人取出―块给没拿到饼的那一个，那么先分到饼的3个人各剩―块，后分饼的那个从每人处各拿―块，也是―块，最终每人都是― 块。通过这样的探究，学生积累了三种分饼经验。

（三）在思维碰撞中积累

思维碰撞出的火花，既能彰显学生的思维活动，又能给学生拓展性启发。我曾经让学生思考研究过这样一个问题：学校有一个长80米，宽64米的长方形地，同学们计划用31.4米长的木栅栏围一块地作为劳动实践基地。请你设计一个方案，使基地的面积尽可能大些。学生们经过激烈的争论，先后设计出四个方案，一个方案赛一个方案。

方案一：当周长一定时，在围成的平面图形中，圆的面积是最大的。因此，可以围成一个圆，圆的半径是31.4÷31.4÷2=5（米），面积是3.14×52=78.5（平方米）。

方案二：可以借用一面墙围成一个正方形，这时正方形的边长是31.4÷3≈10.47（米），面积是10.47×10.47≈109.62（平方米）。

方案三：利用一面围墙围成一个半圆，这个半圆的半径是31.4÷3.14=10（米），面积是3.14×102÷2=157（平方米）。

方案四：借用两面围墙围成一个圆，面积才是最大的。这个圆的半径是31.4×2÷3.14=20（米），面积是3.14×202÷4=314（平方米）。

（四）在动手操作中积累

在教学长方体的体积时，我用动手操作的方式，引导学生理解、掌握长方体体积的计算公式。我设计了两作，效果明显。

第一作的目的是让学生探究长方体体积计算公式，主要有这样几个步骤：首先是摆，学生每四人一组，小组成员齐动手，用小正方体任意摆一个长方体;其次是说，每组派一个代表说一说是如何摆的，每排摆几个，摆了几排，有这样的几层;第三是数，每组数一数所用的1立方厘米正方体的个数是多少，由之得出所摆长方体的体积是多少，并猜想长方体的体积和它的长、宽、高有什么关系，将学生的猜想板书在黑板上。

第二作的目的是让学生验证自己的猜想，主要有三步：首先用多媒体展示一个长方体，它的长为4厘米，宽3厘米，高2厘米;接着让学生根据自己的猜想用长×宽×高，算出它的体积;最后让学生再用小正方体摆一摆出示的长方体，验证长方体体积的计算公式，进一步明确长×宽和长×宽×高算到的分别是什么。

参考文献：

[1] 张奠宙，竺仕芬，林永伟.数学基本活动经验的界定与分类[J].数学通报，2008，（5）.

[2] 丁冬彦.数学教学中中学生数学经验发展研究[J].西北师范大学学报，2006，（5）.

篇6

关键词：中等职业学校 数学教学 数学兴趣 数学生活化

中等职业学校数学教学近年来一直处在瓶颈期，借着国家大力发展职业教育的春风，希望能给职业教育打上一剂强心针。教师们一方面要努力更新自己的知识，拓展视野；另一方面要想方设法让自己的知识与实际生活相结合，调动学生学习的积极性与主动性。笔者认为教学的重点应当放在培养学生的好奇心、求知欲，让广大学生能够形成独立思考，进行自主学习，鼓励学生勤于思考问题和培养学生善于解决问题的能力。

“问题是数学的心脏”，在教学中，笔者更多的是鼓励学生大胆质疑、释疑，使学生在提出问题、解决问题的过程中，学会数学的思维方法。联系生活实际，引导学生自主实践才是最可行的。现以具体课堂教学与生活化教学相结合的理论为依据，在具体探索的过程中总结的心得体会进行论述。

一、数学生活化，数学兴趣的培养很重要

《数学课程标准》中指出：“要想学习好数学，必须从学生已经掌握的知识经验出发，树立特定模型让学生亲身经历数学的建模过程，参与到特定的数学活动当中，目的是要让学生能够获得一些现实体验，并且通过学生们的合作交流及自主探究，能够将实际数学问题抽象化，将其变成数学模型，并要求学生能够对此进行解释和应用。”

在笔者从事中职数学教学的这些年中，笔者认识到数学与现实生活的紧密联系。笔者在不断地探索如何使自己所教授的内容能够更加生活化、用数学来解决现实生活中的实际问题时，又不能脱离现实逻辑。数学课堂教学的生活化与数学学习的生活化已经越来越被认同和关注，中职数学越来越倾向于生活化，这就要求教师必须把生活数学与课堂理论教学联系起来。

柏拉图在《教育论》一书中曾经说过：“强迫学习的东西是不会保存在心里的。”现代教育学家也认为，“教育不是把外面的东西强迫给儿童或青年去接受，而是要使人类与生俱来的能力得以发展”。

因此，在数学课堂教学中，广大教师要能够进行角色转换，从知识传授者的角色转换为能够主宰课堂教学，成为学生学习的组织者和引导者。教师有能力帮助学生潜能的发挥，能够创造条件促进学生有个性地、可持续地发展，争取让学生的主动地去学习。

教学的目的就是让学生主动地发展，而不只是被动地学习，要让学生有能力探究新知并不断进取；要让学生不断充满自信心，培养学生的成就感，让学生能够全心地投入到数学问题的学习当中；要让学生做学习的主人，真正理解和掌握数学。这样才能促进学生学习成绩的提高。

1.创设生活化问题情境，导入新课

人们常说“良好的开端是成功的一半”。引人入胜的课前导入，可以极大地调动学生学习的积极性，使学生产生求知的欲望，进而使课堂教学收到事半功倍的效果。如在教学指数函数及其性质时，创设如下两个问题情境。

一是让1号学生准备2粒米，2号学生准备4粒米，3号学生准备6粒米，4号学生准备8粒米……请问35号学生需要准备多少粒米？

二是让1号学生准备2粒米，2号学生准备4粒米，3号学生准备8粒米，4号学生准备16粒米……请问35号学生需要准备多少粒米？

根据以上两个问题向学生提问，每位学生所准备的米数用y表示，每位学生的编号用x表示，那么y与x的关系如何表示呢？这两个函数你熟悉吗？会命名吗？从而导入新课。

2.例题生活化，让学生体验和感受生活

美国教育学家杜威曾经说过：“最好的一种教学是牢牢记住学校教材和实际经验二者相互联系的必要性，使学生们能够养成一种态度，让他们习惯于寻找这两方面的交叉点和相互关系。”

因为那些能够让学生产生认同感或熟悉感的例题，才能让学生认为有学习需要。学生对数学产生学习兴趣后，才能让教学内容合情合理的引入，同时还能够丰富学生的生活经验，有效地促进学生的发展。

要使学生在学习中“活”起来，就首先要让学习内容“活”起来，与学生的生活发生关联，这样才会使学生意识到学习的重要性。

因此，笔者在具体的教学活动中发现，通过不断地自我探索与总结，学生们会挖掘出许多现实生活相关的实际问题，借助于这样的平台，学生们可以合理地运用他们已经积累了的生活经验，让他们感悟到所学的数学知识并不只是活跃在书本上，而是存在于广大的现实生活中。

例题的生活化可以使学生真切地体验到数学与生活是密不可分的。从生活实践中学生们会努力“寻找”到我们讲授的数学模型，“联系”到该数学模型能够与哪些数学知识相关，真切感受到数学与现实生活的密切关系，进而体会到数学的广泛应用性。

在教学分段函数时，在学了分段函数的相关概念和性质后，笔者提出以买西瓜为例，西瓜的价格常常与重量相关。

例如这道题，有一个人去买西瓜，店主说“7斤以下，每斤1元；7斤以上10斤以下，每斤1.2元；10斤以上，每斤1.5元”。最后称重时后店主说“一共13元5角，5角就不要了，给13元吧”。可这位顾客马上说“店主啊，你不仅没少要，反而还多要了”。这位狡猾的店主只好承认了错误，把多收的钱退还给了顾客。

这时向学生提问：你们知道顾客是怎么知道的吗？学生接触到这道生活化的例题后都开始思考，大概思考了一分钟的时间后，学生们就开始踊跃发表自己的想法，即若西瓜10斤以上，最少要15元，若西瓜10斤以下，最多不超过12元。

同样还是在讲授《分段函数》这一内容时，笔者还曾以自己的实际工资为例，让学生们帮忙算一算每个月笔者要缴纳多少税费。

学生们非常积极踊跃地按照笔者给出的税费计算公式：应纳税费=应发工资-四金（基本养老保险金＼医疗保险金＼失业保险金和公积金）-起征点（3500元），很快就计算出了笔者每月应缴纳的税费。

通过这次实践，不仅使学生掌握了教学内容，而且还潜移默化地对学生进行了法制教育渗透，使学生明确自己作为纳税人所肩负的巨大使命。

3.练习生活化，提高实践能力

在大力推行素质教育的今天，有必要让学生在数学应用以及生活实践中使知识得以验证，得以完善。我们的生活与数学密不可分，大到科学研究、国防建设；小到买、卖东西，房屋租赁，存钱、旅游，我们的生活与数学学习联系很大。

学好数学能够让我们观察世界的眼光及角度发生变化，学好数学可以让生活变得更加美好、有趣。可见，数学在我们生活中具有极其重要的作用。所以，学好数学至关重要。

作为学生，学习数学的终极目标就是“能够运用所学数学的知识和方法解决一些常见的实际生活问题，把数学变为一种解决问题的工具和手段。”

因此，让学生把所学的数学知识作用于生活实际，一方面可以培养学生的探索意识和创新精神，另一方面还能够提高学生的实践操作能力。因此，练习也应体现生活化。

二、课堂气氛活跃，对激发学生的学习兴趣有至关重要的作用

1.课堂气氛需要教师精心组织与主动创设

课堂气氛影响学生的学习效率和人格发展。教师是课堂教学的组织者、领导者和管理者，良好的课堂气氛的营造需要教师精心组织与主动创设。

2.良好的课堂气氛对教学效果的影响

活跃课堂气氛、激发学生的学习兴趣是提高课堂教学效果、提高教学质量的重要策略。成功的活跃课堂气氛，能有效地激发学生的学习兴趣，使学生积极、主动、轻松地投入到课堂教学中，从而获得良好的教学效果。

在具体的教学中，笔者会放手让学生自己去发现生活中的一些实际问题，让学生自主提出问题，然后共同质疑，补充形成例题。

笔者还会让学生自主探求解决问题的方法，这为学生提供了充分的学习空间和思考空间。学生的思维不再是受约束的，而是自由的、发散的，他们在轻松的氛围中体验着作为发现者和创造者的欢乐，学习不再枯燥无味，而是他们乐于参与其中的一种有趣的活动了。

3.良好的课堂氛围有利于学生参与到课堂教学中来

笔者会利用现代科技在每一次教学过程中的能力测评阶段，用问卷星这个软件提前设置相关知识点的小测验，学生们利用手机上微信，就可以进行知识点检测。同时，笔者还可以借助软件的分析能力来观察学生们知识点的掌握程度，及时发现学生存在的问题。

这样不仅激发了学生参与的积极性，还扭转了学生只会用手机上网的陋习。学生在课堂中勇于发表自己的观点，大家畅所欲言，创建了良好的教学氛围。

三、小结

综上所述，数学知识来源于实际生活。因此，广大教师在数学教学的过程中要积极地创设条件，让学生能够有机会也有能力挖掘到生活中潜在的数学问题，争取能够为学生创设生动有趣的情景展示，让学生们感受到数学学习的快乐。

篇7

关键词：高师；数学学科教学论课程；现状分析；改革设想

数学学科教学论是高师学生的一门专业必修(基础理论)课，它是由传统“中学数学教材教法”(以下简称“教材教法”)演变而来的。由于此门学科形成较晚，加之长期以来存在的有关课程属性、课程功能等方面的误区，其发展已远远滞后于当代基础教育改革的实践，既不利于学科自身的发展，更无法满足市场经济的需求。因此，只有厘正偏误，改变原有课程理念，突破原有的课程结构框架，才能走出误区，摆脱当前的困境。

一、基础教育新课程改革背景下数学教学论课的现状

教学论课程既是高师院校体现教师专业特点的重要课程，又是直接反映基础教育新课程改革的重要载体。基础教育数学新课程从课程目标、课程内容、学习方式等多个层面提出了全新的理念，这些理念是新一代中学数学教师必须具有的教学理念，也是指导教师教育行为的准则。而教学论课程在这几个层面上的现状都滞后于新课程的发展。

1．在课程目标层面上

新课程改革的核心理念是“为了每位学生的发展”，在教学目标上追求知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三者的统一，改变了过去只注重知识传授的倾向。而教学论课程的目标是为了追求给学生打造全面而扎实的理论基础。因此，高师教学论在课程属性上的定位仅是专业理论课，它自然追求小学数学知识的完整性与系统性，课程目标也就体现为注重知识传授的倾向。这与新课程理念是相悖的。

2．在课程内容层面上

新课程内容表现为两个特点：一是强调综合化。增加了能够反映现代数学思想和方法的一些新知识，如分形、混沌、编码与密码、纽结理论、数学软件使用、逻辑框图等，并把数学建模、数学探究与数学文化贯穿于数学必修课与选修课的始终，使学生在多方面获得发展。二是注重生活化。鲜明地主张要设置“身边的数学”，从日常生活和生产中选取学生熟悉的素材，强调科学知识同生活世界的交汇，理性认识同感性认识的融合，期望学生在现实情景中体验和理解数学知识的产生、形成与发展过程，体验数学的美丽，从而实现整体人格的发展。

而现行的教学论课程在内容上难、繁、偏、旧，仍只注重书本知识，关注的仍然是数学学科内容的系统性、科学性与对中学数学教材的分析，很少关注学生的学习兴趣和经验，忽视学生的生活世界，弱化课程内容与学生生活、现代社会和科技发展的联系，因此，很难适应新课程的要求。

3.在学习方法的层面上

新课程倡导自主、探究与合作的学习方式，以学生主体对知识的建构为基本教学理念。作为建构新知识的学习不仅要成为学生不断质疑、不断探索、不断表达个人见解的历程，还要成为学生超越原有的个人行为，成为群体合作的行为。它期望不仅能培养学生发现和解决问题的能力，并使学生养成探究学习、合作互助的良好习惯。可是现行的教学论课程基本上是“教论”，主要讨论的是教学方法、教学模式、教学策略，对于学生主体的学习方式的研究基本上是空白，这是与新课程所倡导的“以学论教”的理论相悖的。

二、教学论在高师课堂教学中的现状

1．重学术性，轻师范性，与培养目标脱节

教师教育长期存在着学术性与师范性之争，在现实中，人们更注重课程的学术性。在该理念的影响下，教学论也被界定为专业理论课，追求给学生打造全面而扎实的理论基础，其内容也就几乎覆盖了中学数学的全过程。勿庸置疑，深厚的学术功底与教学水平有极高的相关性，深厚的学术功底是优秀教师必须具备的重要的基础性素养，然而，牺牲师范性却与高师的培养目标完全背道而驰，因为数学教学能力才是数学专业师范生能否成为合格教师的首要条件。随着师范教育垄断教师职前教育的改变，高师院校在综合性大学竞争中，如何保持自己的特色，重新让社会认可自身的独特价值，是师范院校当前所面临的新课题。

2．重理论、轻实践，与市场需求脱节

片面追求课程的学术性，必然导致重理论、轻实践的偏向，其结果是：教学论课程忽视了中学数学教学工作的实践性，使得师范生在开展教学工作时不能很好地发挥所学的教法理论的指导作用，甚至形成了理论与教学实际相割裂的局面。这一问题可以从学生试教或实习工作中得到反映。例如，有半数以上的师范生在备课时对教学内容的重、难点把握不够准确，教学目的的确定不够恰当，教学方案的设计不够合理，在授课中对数学命题和数学概念的讲解只是照本宣科，或讲解不清晰，不到位，不能自如地将所学理论运用于教学实践。学生中普遍流传着这么一则顺口溜：“教学论很重要，可是上课想睡觉。理论知识满堂灌，走上讲台难用到。”不能满足社会对人才的需求，这是目前高师教学论课程的最大尴尬。

三、教学论课程改革的设想

1．教学论课程属性的科学界定

“教学论”是一门理论性学科，还是一门以培养数学教师的教学技能为主要任务的应用性学科，这一直是一个有争议的问题。这一问题的解决，直接影响到教学论课程结构与内容体系的建构。要回答这一问题，必须首先弄清楚师范生必须具备哪些知识和技能。

长期以来，人们一般认为，只要具备充足的学科知识便自然能成为一位好教师。事实上，好教师不仅需要具备丰富的学科知识，还需要具备与学生、教学、课程等相关的教学知识。因此舒尔曼(Shulman)认为，教师需要一种在真实教学中使用的、有别于纯粹的学科知识和一般教学知识的知识，他称之为学科教学知识，它被视为教师专业所必需具备的知识［1］。这种学科教学知识是教师所特有的，是影响教师专业成长的关键因素，也是学科教师、学科专家与教育专家的不同之处。因此，作为数学专业的师范生，除了应当具有数学学科知识，还应当具有学科教学知识和技能。而要形成学科教学技能要先学习相关的陈述性知识——所教学科的知识和教育学的知识，明白“教的是什么”和“怎么教”的事理；再学习由所教的学科知识、教育学知识与教学实际结合而成的学科教学的程序性知识，知道“怎么教”；最后还得经过训练与实践才能形成“教”的技能。

可是，现行的教师教育中的教育课程分量较小，结构单一，基本上就是心理学、教育学、教学论和教育实习等科目，只占教学计划中课时总量的10％左右，并且这些课程以各种概括化的定义、规则、理论等为课程的起点。当前，各师范院校扩招，教师教学任务繁重，在师范生教育实习环节上多无力顾及，本应有的技术指导已转为日常管理了。由此可见，数学学科教学知识的传授与技能培养，主要落在了教学论身上。

因此，把教学论课程设置为专业理论课的理念是失当的。有人提出，“学科教学论是研究如何使有关的一般理论与学科教学实际情况相结合，来指导学科教学实践，并在学科教学实践基础上研究有关的一般理论，对有关的一般理论进行整合、补充、发展和完善的学科，其核心是以实践为目的的理论设计”。也就是说，教学论的课程目标是让习得了数学专业知识与教育理论知识的学生产生“能教数学”的变化；学生产生的变化是形成了教学技能，它规定了课程的性质；课程任务是向学生传授数学教学技能；课程授受方式是教师讲解指导下的学生操作训练。实质上教学论课程是学生将从数学教育专业理论课学到的理论知识转化成数学学科教学知识的“桥梁”，从而弥合理论与实践之间的断裂。显然，教学论课程是一门以培养数学教师的教学技能为主要任务的应用性学科。

2．教学论课程功能应该多样化

教学论课程注重理论体系的完整性，使得该课程只起到一种解释的作用，而弱化了指导功能。学生学习后，对数学教学知识也只能停留在理论水平上，在教育研究方面更是一片空白。因此，难怪教学论课的有效性会受到人们的质疑了。

为适应基础教育改革发展的需要，教学论的功能应该多样化。不仅要让师范生能学习系统的理论知识，还要让师范生获得初步的学科教学知识，更要引领师范生在理论知识的学习与学科教学知识获得的同时，进行一些科学研究。一方面要引领学生关注理论的实践研究，跟踪与中学数学教学有关的学科的前沿理论，结合学科教学实践，对各种理论进行整合，并努力将其运用于数学教学实践；另一方面，要引领学生进行实践的理论研究，要在先进理论的指导下研究学科教学实践，从而更好地获得学科教学知识。

3．教学论课程结构应该综合化

教学论大都沿用一般教学理论体系的套路，人们奉行简单的拿来主义，将教育学、心理学、教育技术等学科的理论和方法进行简单的套用、移植或复制，使教学论成了一般教学论的理论加上中学数学教学的实例，即本质规律论+目的内容论+过程原则论+组织形式论与方法论+评价论，这种封闭僵死的模式化理论体系，与鲜活的教学实践形成了强烈的反差。

如何在教学论中融合中学数学的教学理论与当代教育学、心理学及教育技术等最新理论，我们在实践中作了一些有益的探索。我们打破了原理论课程的模式，将知识分解为若干个知识模块，各个模块都要反映现代教育理论的发展趋势，从而将哲学、教育学、心理学、教育技术以及中学教学理论有机地结合起来；还在各模块体系上反映出基础教育改革对未来中学数学教师的新要求，并将先进的教育理念、最新的学科知识、多样化的教学操作技能综合地有机地融合在一起，获得了很好的成效。

4.教学论课程内容应该时代化

教学论课程在内容上要体现中学数学的理论体系的完整性与实践的指向性。它一方面要涉及中学数学教学目标论、教学课程论、中学数学学习论，同时要涉及中学数学教学的操作体系；另一方面要涉及到学习和借鉴当代教育学、心理学理论的最新成果，还要关照到基础教育数学的鲜活教学实践，不断吸纳当代教育学科的教育理论与数学教学实践中的最新成果，并将其实践经验提升到理论的高度，从而形成特有的新理论。因此教学论课程的内容不仅要与时俱进，不断调整、充实，富有时代气息，而且还要具有一定的前瞻性和弹性。

5．教学论课程教学方法应该现代化

师范生在校的学习方式将直接影响其未来的教学方式和生活方式［3］。实现从大学教法到中学教法的转化过渡，实现从师范生向教师角色的转变，是高师院校教学所特有的规律。而现行的高师数学课堂教学，教师“一言堂”现象依然突出，数学课堂教学过程呆板，缺乏学生探究和主动参与，缺乏相互的合作与交流，没有充分利用现代化的教学手段，习惯于方法上的“倾囊相授”，内容上的“面面俱到”，问题解决上的“教师自我表现”。教学双边活动中，教师“主演式”、少数学生“配角式”、多数学生“观众式”仍大行其道。有研究表明，有89．7％的高师院校的数学教学方法主要是讲授法。这种教育的结果是造成了多数高师院校学生主体性的缺失，他们被动地围绕上课、作业和考试转，为获得分数而学，疲于奔命，穷于应对；他们学习不得法，死记硬背概念、结论，生搬硬套公式、定理；他们人际关系紧张，不会进行正常的人际交往等。

这种对师范生的培养方式不能满足新课程对人才的要求。因此教学论课程教学方法要满足时代的发展，不仅要发挥自身教学的功能，还要对师范生起到示范的作用。新数学课程的实施要求小学数学教师必须有从事数学发现活动的体验，具有相应的情感态度和价值观。因此，笔者在高师的大学数学课堂中实施了教学方式的改革，在实践中摸索出一套“探究——体验”式教学方式［5］。实践证明，教学论教学中的“探究——体验”式教学方式能应对新课程对学生提出的经历、体验数学知识的产生、形成过程，探究问题、解决问题，努力形成积极的情感态度等教学要求。

6．教学论课程评价应该多元化

教学质量如何，在很大程度上体现在学生的学习效果上。而目前对学生的学习效果的评价手段只有考试，即通过考试对学生的学习情况、知识水平给予评价。教学论课程也一直采用传统的考试方式，即“平时成绩+期末成绩=学科成绩”的方式对学生进行评价。其中平时成绩是教师以学生作业的完成情况与上课考勤为依据的，占总分的30％，而学生作业的完成与上课出勤在很大程度上并不能反映学生学习的真实信息，因此教师无法对学生给出一个公平合理的平时成绩;期末一次性考试的成绩定为期末成绩，占总分的70％，其偶然性大，考试内容一般偏重书本上的知识和教师在课堂上所讲的问题，即便是有对教材分析的考题，那也都属于理论性问题。这种评价方式与教学论课程是一门以培养数学教师的教学技能为主要任务的应用性学科的属性要求相差甚远，对学生的独立思考能力、创新思维能力以及学生教学基本技能等内容不易考核，因此也就不能准确而全面地监控学生对这门特色课程的目标要求的达成情况。

科学的评价体系是实现合理评价的重要保障，对学生的学习评价应根据课程目标和要求，对学生学习全过程实施有效的监控。教学论课程评价体系要注重评价主体的多元化和评价形式的多样化；评价应关注学生综合能力的发展过程以及学习的效果，采用形成性评价与总结性评价相结合的方式，既关注结果，更关注过程，从而使对学习过程和对学习结果的评价达到和谐统一。

参考文献：

［1］Shulman，L．S．．Those whounderstand：KnowledgeGrowthin Teaching［J］．Educational Researcher，1986，15(1)：4～14.

［2］吴俊明．学科教学论是一门什么样的学科［J］中国教育学刊.2003 (11)：12～15．

［3］杜玲玲．数学教育专业学生培养的若干因素及关联分析［J］．数学教育学报，2002，11(3)：64～71