初中数学定值问题总结范文

导语：如何才能写好一篇初中数学定值问题总结，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、简析初中数学解题思维

数学知识以及数学教学的开展都离不开解题，学生们通过解题这个应用数学知识的平台，掌握了数学解题思想，提升了数学应用能力。不过解数学题本身并不是数学教学的最终目的，教师也不能简单的为完成教学任务而将整堂整堂的数学课变成满黑板数学题目的习题课。

笔者认为，一名优秀的数学老师应当把练习题作为传授数学知识的一种载体，并且让学生在解题的过程中掌握数学知识以及解题思维。通过有意识的在课堂上培养学生的数学解题思维无疑是直接有效的，刘建德老师说到：“一堂数学课，至少要解决三个问题：第一，增强数学的趣味性，让学生热爱数学，感到数学可亲；第二，增强数学的应用性，让数学源于生活，使学生感到数学有用；第三，增强数学的开放性，突出思想和方法，让学生觉得数学启智。”因此，教师可以通过增加数学知识的应用性、开放性以及趣味性来更好地向学生们传授数学的解题思维。

二、分析倒推法解题思维

在有的数学题中，假设问题已经解决，还需要进一步找到使得条件成立的隐含信息，进而发现解题的航标。在遇到这类数学题时，我们可以通过分析倒退法来解决。

三、分解法解题思维

分解法解题是指将一个复杂问题分解为几个小问题，或者将其解题过程分成几个步骤，之后逐步解决。

例如，求证：正n面体（n=4、6、8、12、20）内任一点到各个面的距离之和是一定值。这道题抽象程度较高，将其由难化简，分解成几个小问题。问题1，正n边形内任何一点到各边的距离之和是一定值。我们进一步具体化，将正n边形确定为正三角形；问题2，正三角形内部任何一点到三边的距离之和是一个定值。这样一个较难的问题就可以通过较简单的方式加以解决。

证明如下：设P为正三角形ABC内任一点，P到三边的距离为PD、PE、PF，正三角形ABC的面积为S，边长为a，

SPAB+SPBC+SPCA=S，

■（PDa+PEa+PFa）=S，PD+PE+PF=■为定值。参照问题2的证明，则可证明问题1。

四、特殊值代入解题思维

特殊值代入法是数学中常用的一种方法，能够在所有值中逐一考虑，选择最简单的数据进行代入，避开常规解法，跳出传统思维，更加简洁的进行解题。初中数学的难度虽然不大，但是作为基础数学，初中数学应当体现出数学的解题思维。初中数学的问题设置中体现了一定的难度，以求引导学生主动进行探索，改变单一的解题思维，对于部分数学问题可以进行创新型、便捷性思考。

例如分解因式题：x2+2xy-8y2+2x+14y-3。

在这道题中，教师可以先运用常规的解法进行解题，然后引导学生从巧取特殊值的思路出发，将其中的一个未知数设为0，暂时隐去这个未知数，对另一个未知数的式子进行分解，实现化二元为一元的目的。

令y=0，得x2+2x-3=（x+3）（x-1）；令x=0，得 -8y2+14y-3=（-2y+3）（4y-1）。两次分解的一次项系数为1、1；-2、4，运用十字相乘进行试验，即1×4+（-2）×1，正好为原式中的xy项系数。因此，可得，x2+2xy-8y2+2x+14y-3=（x-2y+3）（x+4y-1）。

从上面的解析中可以看出，特殊值代入法（本题中使用的是取零法）能够在因式分解中发挥奇妙的作用。从上题中可以进行经验总结，因式分解殊值代入法的解题思路为：①把多项式中的一个未知数设为0化简后进行因式分解；②把多项式中的另一个未知数设为0化简后也进行因式分解；③把两步分解形成的结果进行综合验证，如果两次分解的一次因式中的常数项相等，即可得出题中多项式的分解结果。

五、归纳猜想解题思维

在数学试题中常见的一种就是找规律题，这种题目中条件都十分隐蔽，学生常常会感到无从下手。这种题目需要利用数学的归纳猜想思维，对题目进行观察，找到题目隐含的规律。

例如：观察下列各式：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，……，

①从上面的式子中可以得出：1+3+5+7+9+11=（ ）2；

②从上面的式子中可以猜想：1+3+5+……+（ ）=n2；

③根据②猜想得出的结论进行填空：1+3+5+……+（ ）=522.

解法分析：

对于第①问，一种是直接相加，可以得出1+3+5+7+9+11=36=62，可以得出括号中应该填6；第二种经过观察可以先填出缺项即1+3+5+7+9=52，可以推出下面的一个等式右边应该为62，经过验证，正确。

对于第②问，需要研究左边最后一项与右边幂底数之间的关系，在题目中是3与2，5与3，7与4，9与5，11与6，可以发现，左边最后一项的数字是右边幂底数数字的2倍减1，所以当右边幂底数数字为n时，左边最后一个数字应该为2n-1。可以得出第②问的答案是1+3+5+……+（2n-1）=n2；

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关键词：初中数学　概念教学　有效性

数学概念主要反映了现实世界中的数量关系与空间形式，是一种体现本质的思维方法。概念是学好数学的基础与前提，也是进一步掌握公式、定理、法则的根本，有利于学生形成数学思维，为计算、证明、解答等提供根据。数学概念教学，是初中数学教学中的重要内容。数学概念具有明确性、严谨性、抽象性，在传统的教学中，大多教师以“概念同化”方式开展教学，教师占据课堂主体地位，以“填鸭式”灌输为主，学生被动接受知识，甚至只能对概念死记硬背，根本不能实现活学活用。随着初中新课程标准的不断推进，对概念教学提出了全新要求，教师必须改变教学观念与教学方法，鼓励学生发现概念、思考概念、认知概念、掌握概念、应用概念，培养数学思维与数学素质。

一、数学概念的分类

初中数学教学作为高中数学的准备阶段，具有非常重要的基础地位。由于教学概念繁多、复杂，一般按照整个教材的章节划分，但是数学作为一个整体性体系，以下将以观察和比较角度为出发点，将数学基本概念划分为直观型与抽象型两大类。一方面，直观型数学概念，可以通过简单的观察和比较获得结论，具有较强的直观性。在初中数学中，如对称特殊四边形、直角三角形、相交、平行等概念都属于这一类别，只要通过严谨的语言进行表述，就可科学解释研究对象的空间形式及数量关系等属性。另一方面，抽象型数学概念，与直观型数学概念恰好相反，它是直观概念的引申、扩展，需要通过对概念语言的深刻理解和认知才能获得结论，而无法通过表面观察或比较而获得。例如二次函数的概念，学生在理解这一概念过程中，必须在自己已经掌握的直观概念基础上，对二次函数进行深入分析与认识。

二、透过概念的现象看本质

数学概念是形成数学思维的基础，若想让学生深刻理解数学概念，并能应用到实际中，教师必须引导学生对概念的本质进行剖析，理解概念的内涵和外延，才能做到从质和量两方面认知。例如“垂线”的概念，应主要从以下方面逐层分析：其一，了解垂线的背景，即概念的内涵——两条相交的直线构成四个角，其中一个角为90°，那么其他三个角也是90°；其二，分析概念的外延，即认识到两条直线的相互垂直是两条直线相交情形下的特殊情况；其三，通过推理“垂线”的定义，认识到定义的判定与性质双重功能。另外，教师还应引导学生利用概念解决实际问题，反过来巩固概念的理解与记忆。例如，“一般将式子　a（a≥0）称作二次根式”，这就是一个描述性概念，其中“式子　a（a≥0）”作为整体概念，而“a≥0”则是必要条件。

再如，在讲解“函数”的概念时，为了能让学生更深刻地体会函数，教师也应注重揭示本质，逐层剖析：其一，认识到变量的存在，即“存在的某个变化过程”；其二，认识到两个变量之间存在的依存关系，是函数的主要特征，即“在某个变化过程中的变量（x和y）”；其三，概念中的变量x取值应在一定范围内，即“对于x在某个范围之内的每一个确定值”；其四，函数具有一定的对应原则，即“y有唯一的对应值”。可见，通过这种层层剖析的方法，能让学生更深刻地体会函数的对应关系。

三、概念教学与生活实际相结合

数学概念的形成，必须与学生生活实际相结合，才能促进学生对概念的感性认识，以观察、比较、分析等方法，找到概念的本质特征，更直观、具体地理解概念。在初中数学的概念教学中，教师应善用“直观教学法”，让原本抽象、复杂的数学概念变成看得见、想得到甚至摸得着的实实在在东西，让学生认识到数学就在自己的身边，既加深对概念的理解，也利于提高学习兴趣，增强学习的主动性与积极性。

例如在学习“绝对值”概念时，学生第一次接触这个概念，普遍认为难以理解，太抽象、太复杂。为了将复杂的绝对值概念直观化，在教学过程中，教师应引导学生体会绝对值产生的过程，在此基础上进一步理解、掌握。首先，复习“有理数”的概念以及在数轴中的对应位置。假设数轴上有a、b两点，其中a点在数轴原点右侧的“6”上，即有理数为6，那么a点到原点的距离是多少？b点在数轴原点左侧的“-6”上，即有理数为-6，那么b点到原点的距离是多少？经学生分析、思考可知：b点距离原点6个单位，因此距离是“6”，也就是-6的相反数。这时候，概念的结论出现了质的飞跃，由“-6”变成了“6”，也就是负有理数成为相反数，即正有理数。

这时候，教师就可引入绝对值的概念，同时通过平面数轴的分析，再延展到实际生活中。例如在测量两棵树之间的距离时，两棵树立在两点的位置，它们之间的长度就是距离，无论是从甲树到乙树，还是从乙树到甲树，它们的距离是一样的。而这个距离值与方向没有关系，都是正数。通过以上分析，从已学概念到生活实际，学生基本初步认识了绝对值的产生与应用，有了现实背景的支撑，学生更容易记忆并掌握绝对值。

四、积极应用多媒体教学法

通过多媒体教学设备的应用，以动画、声音等方式，将概念教学中的内容更加具体化、直观化、生动化，与初中生的认知水平相符。再加上教师的引导作用，可概括出多媒体图例中蕴含的新概念。尤其在几何概念教学过程中，通过多媒体教学方法，能有效提高教学效率。例如讲解“角的平分线”时，过去教师常常在黑板中画图，既浪费时间又不规范；而通过几何画板可展示角平分线的定理、逆向定理等，还可对角平分线的作图过程一个步骤一个步骤地加以分析，让学生通过图形、数据等变化，进一步加深对角平分线的理解与认知。

五、概念的深刻理解

对数学概念的深刻理解，更利于将概念应用于解题中，加深基本概念的理解，可通过有针对性的练习、讲评等方式，挖掘概念的深层意义。尤其在教学过程中，教师不应将概念孤立，而是注重新旧知识相结合，在新概念中复习旧概念，在旧概念中引申新概念。例如，在“因式分解”教学中，往往基础差的学生容易将因式分解和乘法运算的变形混为一谈，或者在多项式分解中仅分解了个别项。在“a3＋a2－a＋2”中，很多学生认为只要将系数“a”提取出来就可以，结果出现了“a（a2＋a－1）＋2”的错误，这就是对数学概念的误解。

六、概念内涵的巩固

在课堂中，教师向学生讲解了某一概念，但并不代表学生可以完全掌握概念并在实际中应用，因此对概念的巩固是教学中必不可少的环节。实际上，巩固数学概念的过程，就是灵活理解、运用的过程，在深刻理解的基础上，反复记忆、灵活运用。在教学中，学生掌握概念是一个由特殊到一般的过程，而概念内涵的巩固则是由一般到特殊的过程。教师可根据初中生的特点，采取各种各样的练习方式，如采取选择题、填空题、是非题、问答题等方式，还可以为了进一步掌握概念中的难点而开展“模拟练习”、“对比练习”、“判断练习”等等。在练习过程中，学生独立面对概念，更利于对概念的自我领会、自我发现，最终得出结论，在自觉学习过程中记忆概念。

七、概念的运用

概念的获得与应用是一个从个别到一般、从一般到个别的过程。而学生掌握数学概念并不是静止的，而是不断在脑中思维、运转。通过掌握概念，可将已经获得的知识更加形象化、具体化，有利于形成数学思维，同时提高实际运用能力。数学的应用离不开解题，因此教师在教学过程中应引导学生利用数学概念解题，这也是培养学生数学能力的重要方法之一。例如，通过对基本概念的正用、变用、反用等，提高学生的思维能力、计算技能等。因此，这就需要教师多给学生提供运用概念的机会，提高数学的灵活应变能力，例如对平方差公式、平方公式的应用。在初中数学中，所有教学方法都有自身的不足与缺陷，最终都要通过对概念的实际运用而检验，只有将理论与实际相结合，才能真正达到数学教学的目标，培养学生的数学能力，符合素质教育需要。

八、结束语

由上可见，在新课程标准下，教师应改变初中数学概念教学的观念与方法，积极应用新思路、新技术，同时不断完善自身建设，加强对心理学、教育学的研究，进一步巩固自身能力水平，掌握概念教学的相关技能，深刻认识到新课改赋予的新内涵，加强对学生主体地位的重视，着重培养创新能力与实践水平。教师在更新自身观念的基础上，在教学中应培养学生的主体意识与参与意识，提高团队协作能力，改变传统数学教学中“重计算、轻概念”的思想，帮助学生自主学习，改变学习方法。教师通过教学实践，不断总结经验教训，规范自身教学行为，这样才能顺利实现教学目标，减少重复性劳动，通过对概念教学的整体认知，营造良好的课堂氛围，激发学生的学习兴趣，提高教学效率与教学效果。

参考文献

[1]赵国荣 初中数学概念教学的有效生成策略探微[J].新校园（理论版），2011（2）。

[2]张玉婷 初中数学概念有效创新教学策略初探[J]。

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[4]黄惠娟 在概念教学中培养学生的探究意识[J].教学研究，2005（4）。

[5]杨琴艳 浅谈初中数学基本概念的教学[J].当代教育，2007（4）。

[6]陆洪华 浅谈初中数学概念教学的“三注重”[J].文理导航·教育研究与实践，2010（4）。

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数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径.在数学中，很多问题能化生疏为熟悉，化复杂为简单，化未知为已知，化部分为整体，化一般为特殊，化高次为低次……下面就“转化思想”在初中数学的应用通过举例作个简单归纳.

一、生疏问题熟悉化

生疏问题转化成熟悉问题是解题中常用的方法.解题能力实际上是一种创造性的思维能力，而这种能力的关键是能否细心观察.因此，教师应深刻挖掘量变因素，将教材的抽象程度通过利用学过知识，加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做可得到事半功倍的效果.

例1已知：两圆内切于P，过P点的直线交小圆于A，交大圆于B.求证：PA∶PB为定值.

分析过P点的直线绕P旋转形成无数个不同的位置，其中过P的直径每个圆只有一条，要证PA∶PB为定值，先将直线PAB过圆心，这时PA′∶PB′=r∶R.再过P点任作一条直线交小圆于A，交大圆于B，连结AA′、BB′，即可把要求解的PA∶PB为定值转化为证明三角形相似或证明平行线对应线段成比例.

二、复杂问题简单化

所谓“复杂问题简单化”即为教师先将一个复杂的问题分成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再分析说明这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务.

例2解方程（x-1）2-5（x-1）+6=0.

分析此方程形式较复杂，可通过换元化为简单方程.

令x-1=y，则y2-5y+6=0，通过换元转化为会解的一元二次方程可进一步求解.

三、实际问题数学化

即是将实际问题转化为数学问题的解题方法.

重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是近年来数学教改的一个热点，已成为我国教育改革的一个指导思想，也是新大纲强调的重点之一.新编教材在加强用数学的意识方面也作了改进，理论联系实际是编写教材的重要原则之一，教材注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力.

例3甲乙两个粮库要向A、B两地运送玉米，已知甲库可调出100吨玉米，乙库可调出80吨玉米；A地需70吨玉米，B地需110吨玉米；两库到A、B两地的路程和运费如表1.

（1）设甲库运往A地玉米x吨，求总运费（y元）关于x的函数关系式；

（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨玉米时，总运费最省？最省的运费是多少？

所以，总费用为y=20×12x+15×12（70-x）+25×10（100-x）+20×8（10+x），

即y=-30x+39200.

（2）上述一次函数中，y的值随x的增大而减小，x=70时，总运费（y元）最小，为37100元.

四、“部分”问题“整体”化

在解题的过程中，我们可以将部分问题转化为整体问题进行求解，比较直观、易懂，方便掌握.

例4已知x2-x-1=0，则代数式-x2+x+2009的值为多少？

解把x2-x-1=0看成整体，-x2+x+2009中可变出这个整体，即可变为-（x2-x-1）-1+2009.把（x2-x-1）看作整体为0，代入-（x2-x-1）-1+2009中得出结果为2008.

五、数与形的转化

即利用数形结合（数形转化），化解综合类数学题.

例5一次函数y=x+m与反比例函数y=m11x的图象在第一象限交于一点（a，b），ABx轴，垂足为B，已知ABO的面积为3，试求一次函数与反比例函数的解析式.

解由SABO=1112ab=3，得ab=6.因为点A（a，b）在y=m11x的图象上，即m=ab=6，所以一次函数的解析式为y=x+6，反比例函数的解析式为y=611x.

六、高次问题低次化

即将高次方程转化为低次方程后再进行解答.这种方法比较便捷、易懂，解题快、准，在提高解题速度方面有很大的优势.

例6解方程x4-5x2+6=0.

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数学素质是人才素质的一个重要组成部分，也是素质教育目标之一。作为初中生，并非要求每一个人都造诣甚高，但必须具有常备的数学素质：有掌握基础知识，总结基本方法，综合运用知识解决问题的技能、技巧，并能在此基础上不断拓展。

总结十多年的毕业班数学教学经验，我深深感受到：初中数学综合复习，是夯实基础、提升学生学科素质的非常重要阶段，每一个教师都必须予以重视。

一、重概念，理系统，扎稳基础

数学概念是数学的基本元素。把数学体系喻为万丈高楼，概念就是一块块坚实的基石。因此，我们在组织综合复习时，务必从基本概念入手，让学生在准确、熟练、系统掌握概念的基础上提高解决数学问题的技能和技巧，推动数学学习向纵深发展，提高综合解题能力。在数学复习教学中，我们可以设计一套利用基本概念作为解题思路的习题，以启迪学生的应用思维。例如复习方程组的解的概念时，可组织如下一套题。

例1：在 和 两组数中，方程组 的解是哪一组？为什么？

例2：已知 是方程组 的解，求a，b。

例3：已知方程组 的解为 ，求证：a，b，c为Rt三边的量数。

又如，在复习绝对值与二次根式的概念时，学生对|a|≥0， ≥0已有认识。为使它们成为寻求解题思路的向导，可以设计以下复习题。

例4：已知 ，求 的值。

例5：已知 ，且a，b，c为三角形三边的量数，求c的取值范围。

通过诸如以上例题的讲解，给学生以启迪：数学方法往往寓于概念之中。因此，注重基本概念的复习，理清基本概念的体系，是培养学生综合能力和数学素质的基础。

二、明原理，溯根源，掌握技巧

数学中的定理、定律、公式和法则是学生必须掌握的基本知识。为了克服学生死记硬背、囫囵吞枣、记而不牢，或牢而难用的毛病，教学中，教师必须指导学生追本溯源，让他们掌握推导的思路和方法。这就是常说的，教者不仅要教学生知其然，更重要的是教学生知其所以然。从而实现感性认识到理性认识的飞跃。只有这样，才能使学生既学到知识，又掌握方法、技巧。

比如：推证等比定律：若 ，则 时，

教者要讲清设定 （定值）的必要性和优越性。让学生懂得这一推理思路对以后类似的解题很有帮助。

例6：已知 ，求 的值。

例7：设a，b，c分别为ABC三内角的对边，R为ABC的外接圆半径，试证明 。

以上例子举不胜举，充分说明数学方法一部分来自定理的证明及定律、公式和法则的推导，复习时务必注重这方面的引导。

三、抓培养，速成效，启迪思维

培养学生多动脑，勤动手，是复习收益颇丰的途径，同时也是促成学生思维素质形成的有效手段。

比如，一题多解的教学能很有效地启迪学生的发散思维（当然不单纯是这一条途径）。

例8：求证：三角形的内角和等于

证明的基本思想是将三角形的三内角拼（平移）成一个平角，作如下三种辅助线均可得证：

（1）延长BC（其他边均可），过C点作CE∥AB；

（2）过任一顶点作对边的平行线；

（3）在任意位置作直线平行于三角形的一边。

例9：ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD、CE，求证：CD=2CE。

四、善归纳，巧总结，提升层次

知识系统里往往既具有纵向的相关关系，又具有横向的相关关系。在组织综合复习时，教者必须对知识罗列归纳，从而揭示一般规律，并总结出一些解题（或辅助解题）的常用技巧与方法。

例如：在组织平面几何综合复习时，教者着手于揭示解题（或辅助解题）的一般规律是提高复习效率，浓缩学生接受间接经验的过程的优选手段。

诸如两圆相切，必作辅助线时常作两圆的公切线；直线与圆相切，常作过切点的半径（或直径）；两圆相交，必作辅助线时常作两圆的公共弦，与三角形中线有关时，常把倍长中线作为辅助线，还有两圆的连心线，圆的直径，四边形的对角线，垂径分弦线，线段的平移线等都是一些常规辅助线，在复习中结合例题，让学生充分认识这些常规辅助线的作用。

例10：如图，ABEF和ACGH是ABC外的两个正方形，AM是BC边上的中线，求证FH=2AM

（提示：倍长中线）

例11：如图，O1与O2相交于A，B，分别过A点、B点作直线EF、GH交两圆于E、F；G、H，求证：EG//FH

（提示：作两圆的公共弦）

五、顺势导，促个性，发展特长

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数学素质是人才素质的一个重要组成部分，也是素质教育目标之一。作为初中生，并非要求每一个人都造诣甚高，但必须具有常备的数学素质：有掌握基础知识，总结基本方法，综合运用知识解决问题的技能、技巧，并能在此基础上不断拓展。

总结十多年的毕业班数学教学经验，我深深感受到：初中数学综合复习，是夯实基础、提升学生学科素质的非常重要阶段，每一个教师都必须予以重视。

一、重概念，理系统，扎稳基础

数学概念是数学的基本元素。把数学体系喻为万丈高楼，概念就是一块块坚实的基石。因此，我们在组织综合复习时，务必从基本概念入手，让学生在准确、熟练、系统掌握概念的基础上提高解决数学问题的技能和技巧，推动数学学习向纵深发展，提高综合解题能力。在数学复习教学中，我们可以设计一套利用基本概念作为解题思路的习题，以启迪学生的应用思维。例如复习方程组的解的概念时，可组织如下一套题。

例1：在x=6y=-2和x=3y=2两组数中，方程组5x-y=32x-2y=10的解是哪一组？为什么？

例2：已知x=1y=2是方程组ax-by=-42（a+b）x-（2b-1）y=13的解，求a，b。

例3：已知方程组ax+b=7（2a+1）x-3cz=22（b-2）z-cz=1的解为x=1y=-2z=-1，求证：a，b，c为Rt三边的量数。

又如，在复习绝对值与二次根式的概念时，学生对|a|≥0，■≥0已有认识。为使它们成为寻求解题思路的向导，可以设计以下复习题。

例4：已知y=■+■■，求x■-2y的值。

例5：已知|3a+4b-11|+■=0，且a，b，c为三角形三边的量数，求c的取值范围。

通过诸如以上例题的讲解，给学生以启迪：数学方法往往寓于概念之中。因此，注重基本概念的复习，理清基本概念的体系，是培养学生综合能力和数学素质的基础。

二、明原理，溯根源，掌握技巧

数学中的定理、定律、公式和法则是学生必须掌握的基本知识。为了克服学生死记硬背、囫囵吞枣、记而不牢，或牢而难用的毛病，教学中，教师必须指导学生追本溯源，让他们掌握推导的思路和方法。这就是常说的，教者不仅要教学生知其然，更重要的是教学生知其所以然。从而实现感性认识到理性认识的飞跃。只有这样，才能使学生既学到知识，又掌握方法、技巧。

比如：推证等比定律：若■=■=■=……，则■=■时，教者要讲清设定■=■=■=k（定值）的必要性和优越性。让学生懂得这一推理思路对以后类似的解题很有帮助。

例6：已知■=■=■，求■的值。

例7：设a，b，c分别为ABC三内角的对边，R为ABC的外接圆半径，试证明■=■=■=2R。

以上例子举不胜举，充分说明数学方法一部分来自定理的证明及定律、公式和法则的推导，复习时务必注重这方面的引导。

三、抓培养，速成效，启迪思维

培养学生多动脑，勤动手，是复习收益颇丰的途径，同时也是促 成学生思维素质形成的有效手段。

比如，一题多解的教学能很有效地启迪学生的发散思维（当然不单纯是这一条途径）。

例8：求证：三角形的内角和等于180°

证明的基本思想是将三角形的三内角拼（平移）成一个平角，作如下三种辅助线均可得证：

（1）延长BC（其他边均可），过C点作CE∥AB；

（2）过任一顶点作对边的平行线；

（3）在任意位置作直线平行于三角形的一边。

例9：ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD、CE，求证：CD=2CE。

思路1：延长CE到F，使EF=CE，连接BF，易证

CFB≌CDB？圯CD=CFCF=2CE？圯CD=2CE

思路2：过B点作BF∥CD交AB于F，易证

CD=2BFBF=CE？圯CD=2CE

思路3：过B点作BF∥CE交AC的延长线于F，易证

CD=BF=2CE

思路4：过A点作AF∥CE交BC的延长线于F，易证ACF≌DBC？圯CD=AFAF=2CE？圯CD=2CE

思路5：过B点作BF∥AC交CD于F，易证CD=2CF

CEB≌CFB CF=CE

得：CD=2CE

四、善归纳，巧总结，提升层次

知识系统里往往既具有纵向的相关关系，又具有横向的相关关系。在组织综合复习时，教者必须对知识罗列归纳，从而揭示一般规律，并总结出一些解题（或辅助解题）的常用技巧与方法。

例如：在组织平面几何综合复习时，教者着手于揭示解题（或辅助解题）的一般规律是提高复习效率，浓缩学生接受间接经验的过程的优选手段。

诸如两圆相切，必作辅助线时常作两圆的公切线；直线与圆相切，常作过切点的半径（或直径）；两圆相交，必作辅助线时常作两圆的公共弦，与三角形中线有关时，常把倍长中线作为辅助线，还有两圆的连心线，圆的直径，四边形的对角线，垂径分弦线，线段的平移线等都是一些常规辅助线，在复习中结合例题，让学生充分认识这些常规辅助线的作用。

例10：如图，ABEF和ACGH是ABC外的两个正方形，AM是BC边上的中线，求证FH=2AM

（提示：倍长中线）

例11：如图，O1与O2相交于A，B，分别过A点、B点作直线EF、GH交两圆于E、F；G、H，求证：EG//FH

（提示：作两圆的公共弦）

五、顺势导，促个性，发展特长

篇6

【关键词】 基本图形，分析图形，培养能力

许多九年级学生反映不会复习几何，以为几何复习就是做题，把复习等同于做题.但是有同学做了大量的几何题，复习的效果却不明显，在面对几何问题时仍然没有多少把握，缺乏分析几何问题和解决问题的方法和能力.而这些方法和能力又是中考复习阶段必须形成的.

该如何有效组织中考几何复习呢？本人做了一种新尝试――由点及面，多向辐射.这是基于几何基本图形的复习方法，经过连续两年中考复习的实践，取得了不俗的效果.

下面我从特殊平行四边形――菱形的复习介绍这种复习方法.

在复习菱形时，我从一个一般的菱形入手：

问题1：当我们看到一个菱形时，你能从图形中得到哪些性质？其中有哪些边角的特殊数量关系？如图1.

此时学生能把菱形的边角性质做一个回顾.

然后在图1的基础上添加一条对角线AC，如图2，有了下一步思考.

问题2：在图2中你能得到哪些图形和性质？

学生容易发现图中ABC≌ADC，∠ACD = ∠ACB = ∠BAC = ∠DAC.

接着连接BD交AC于点O，如图3.

问题3：在图3中你又能得到哪些特殊图形和性质？

学生经过观察和分析不难发现，图中有四个全等的直角三角形、两对全等的等腰三角形、AC与BD的垂直平分关系等结论.

以上三个问题旨在引导学生回顾复习菱形的重要性质，以及启发学生能通过观察分析图形，发掘其中的特殊图形和数量关系，学会读图.

此后，我从两个方面进一步变换图形，挖掘性质，达到多向辐射的复习目的：

问题4：在图3的条件下，你有什么方法计算菱形的面积？

大部分学生能想起通过对角线计算菱形面积的公式.然后老师请同学分析此公式的推导方法，进一步加深对角线分割菱形转化为特殊三角形的理解.

问题5：如图4，四边形ABCD中，ACBD，你能计算四边形的面积吗？并分析你的方法.

学生通过刚才菱形面积的计算方法，不难迁移联想到此四边形也能利用对角线来计算面积.通过问题5的思考学生能从特殊四边形过渡到具有相同特征的一般四边形，培养了学生思维的迁移能力和灵活性.

再回到图3.

问题6：在图3的基础上取BC中点E，连接OE，得到图5，请认真分析，你能得出哪些重要的结论？

这个问题很开放，结论很多，旨在锻炼学生观察分析图形的能力，给学生几分钟时间认真分析归纳，得到了许多有益的发现：OE为ABC和BCD的中位线，OE∥AB∥CD，OE = ■AB = ■CD，OE = CE = BE = ■BC，OEC和OEB为等腰三角形，OEC∽ABC，等等.

在此基础上设置两个具体的问题，巩固学生刚才发现的结论：

问题7：如图5，若OE = 2，则菱形的周长为 ；

若AC = 6，BD = 8，则OCE的周长为 ，面积为 .

在图5的基础上再进一步.

问题8：取CD 、AD、AB的中点F、G、H，并连接EF、FG、GH、EH，得到图6，判断四边形EFGH的形状，并说明理由.

还可以把图形一般化，进一步培养学生思维的迁移能力.

问题9：如图7，四边形ABCD中，ACBD，E、F、G、H为四边中点，判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论.

到此时，我们把菱形与三角形的有关知识联系起来了，既复习菱形的有关性质，也再次巩固了矩形、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、直角三角形以及三角形中位线的有关知识和方法，达到多向辐射的目的.

并且在整个探究过程中，以图形变换为主线，从一个最基本的图形开始，不断变换，增加线条，构造性质丰富的图形.而每一步都只呈现图形，设置开放性的问题，让学生从已知条件出发逻辑地导出应有的结论，旨在培养学生观察分析图形的意识和能力，发展学生思维的广阔性，把其中包含的特殊图形和特殊性质发掘出来之后，就能轻松解决问题了.这种方式也是为了教会学生学习几何的方法，就是要充分分析图形，展开联想，挖掘其中的基本图形和数量关系.

回到图1，继续变换.

问题10：在图1的基础上，取菱形的边CD、BC上两点E、F，且DE=CF，得到图8，判断AE和AF的数量关系，并证明你的结论.

本题只需连接AC，证明一对全等三角形即可.

问题11：在图8的基础上连接EF，得到图9，判断AEF的形状并证明.

问题12：如图8，若点E、F是边CD、BC上的动点，满足DE=CF，在两点移动过程中，AEF的形状会发生改变吗，请说明理由.

问题13：在问题12的基础上，若菱形ABCD中，∠ABC = 60°，猜想AEF的形状并证明.

问题10-13是一组递进式的问题，从一个菱形的最基本图形出发，从判断线段AE，AF的数量关系递进到探究它们所在AEF的形状，从定点问题递进到动点问题，由静态过渡到动态，从特殊到一般，再从一般回到特殊，既复习考查了学生菱形和等腰三角形的有关性质，也训练了学生构造全等三角形的基本能力，还培养了学生运动变化的数学思维.

问题14：在问题13的基础上，若菱形的边长为4 cm，求AEF面积的最大和最小值.

问题15：在问题14的基础上，当点E、F在什么位置时，CEF有最大面积，求出最大面积.

问题14、15是在刚才的几何图形之上构造的“最大面积”问题，其中问题14中AEF的最大（或最小）面积问题可以转化为其边AE（或AF）的最大（或最小）问题，连带复习了垂线段最短的应用，技术难度不算大，但思维量不小，并且学生容易往构造关于AEF面积的二次函数求最大（或最小）值的方向思考，这就难以解决了.而CEF的最大面积问题可以有两个思考方向，首先是在四边形AECF中利用AEF的最小面积，可以求出CEF的最大面积（因为四边形AECF面积是菱形面积的一半，为定值）；也可以直接过点F作EC的垂线段，如图10，利用三角形的面积公式构造关系CEF面积的二次函数，转化为求函数的最大值问题，这是学生熟悉的思路.

设置以上两个问题旨在沟通几何与代数的联系，这类问题是中考试题中常见的综合性问题，训练学生综合运用数学知识的能力和意识，培养学生分析和解决问题的思维能力，达到由点及面、多向辐射的复习效果.

课堂的最后阶段，我做了总结性表述：我们几何的复习不能停留在记住几个定理，也不能停留在会做几个题目，而是要多从研究图形出发，学会分析图形，展开联想，发掘其中的特殊图形和位置、数量关系，运用有关性质，培养分析图形和解决问题的能力.掌握了工具，有了思维能力，方能应对可能遇到的一切问题.

我国著名数学家华罗庚先生指出“学习有两个过程，一个是从薄到厚，一个是从厚到薄.”前者是量的积累，后者则是质的飞跃.教师在数学复习过程中，不仅应该要求学生对所学的知识、典型的例题进行反思，而且还应该重视对学生巩固所学的知识由“量”到“质”的飞跃这一转化过程.“由点及面，多向辐射”的复习方式就是熟悉基本图形，再作图形变换，引导学生联想与探索，把有关知识通过图形演变让学生分析探究，由图形得出性质，多向辐射，牵出一条条知识和思想方法的红线，使学生形成知识系统和方法系统，形成数学思想和解决问题的能力，达到由量变向质变的飞跃.

【参考文献】

[1]李果民. 中学数学教学建模. 广西教育出版社.

[2]马维民. 新课程理念下的创新教学设计――初中数学. 东北师范大学出版社.

篇7

一、素质教育目标

（一）知识教学点：

1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．

2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．

（二）能力训练点：

1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．

2．培养学生的推理论证能力．

（三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．

2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当＞0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．

三、教学步骤

（一）明确目标

上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当＞0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．

（二）整体感知

本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．

（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？

2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则＞0；如果方程有两个相等的实数根，则=0；如果方程没有实数根，则＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定值的符号，‘’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：

例1已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（1）方程无实数根．

解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，

b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）

＝8k+9．

方程有两个不相等的实数根．

方程有两个相等的实数根．

方程无实数根．

本题应先算出“”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．

练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．

t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？

学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．

教师评价，纠正不精练的步骤．

假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？

练习2．已知：关于x的一元二次方程：

kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．

和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到≥0．由k≠0且≥0确定k的取值范围．

解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．

原方程有两个实数根．

学生板书、笔答，教师点拨、评价．

例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．

分析：将算出，论证＜0即可得证．

证明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）

＝4m2-4m4-20m2-16

＝-4（m4＋4m2＋4）

＝-4（m2＋2）2．

不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．

-4（m2＋2）2＜0，即＜0．

（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．

本题结论论证的依据是“当＜0，方程无实数根”，在论证＜0时，先将恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．

本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．

此种题型的步骤可归纳如下：

（1）计算；（2）用配方法将恒等变形；

（3）判断的符号；（4）结论．

练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．

提示：将括号打开，整理成一般形式．

学生板书、笔答、评价、教师点拨．

（四）总结、扩展

1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：

（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．

（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知＞0，还是要证明＞0．

（3）要证明≥0或＜0，需将恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．

2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．

四、布置作业

1．教材P．29中B1，2，3．

2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．

（2、3学有余力的学生做．）

五、板书设计

12．3一元二次方程根的判别式（二）

一、判别式的意义：……三、例1……四、例2……

=b2-4ac…………

二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

（1）当＞0，……练习1……练习2……

（2）当＝0，……

（3）当＜0，……

反之也成立．

六、作业参考答案

方程没有实数根．

B3．证明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5

当k无论取何实数，4k2≥0，则4k2＋5＞0

＞0

方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．

2．解：方程有实根，

＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0

即：a≤3，a的正整数解为1，2，3

当a＝1，2，3时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有实根．

3．分析：“方程”是一元一次方程，还是一元二次方程，需分情况讨论：

（2）当2m-1≠0时，